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A6.1 Geometrische Parameter des Tragflügels Geben Sie die Bezeichnungen und Definitionen der geometrischen Parameter eines Tragflügels an - Halbspannweite - Spannweite - Flügelzuspitzung - Flügelfläche - Streckung - mittlere Flügeltiefe - Flügelbezugstiefe - Pfeilung - Flächenschwerpunkt einer Flügelhälfte - Geometrischer Neutralpunkt x s y s , , z s s b2s l a li dimensionslose Koordinaten Halbspannweite Spannweite Flügelzuspitzung, Verhältnis äußerer zu innerer Flügeltiefe s S l y dy Flügelfläche, einschließlich dem überdeckten Rumpfanteil b2 S S lm b s 1 l l 2 y dy l y S S s Streckung oder Seitenverhältnis s dx y dy y arctan dx25 y dy 25 y arctan s yS 2 l y y dy S 0 s 1 x N 25 l y x25 y dy S s mittlere Flügeltiefe Flügelbezugstiefe, gleich Flügeltiefe im Flächenschwerpunkt Pfeilung Pfeilung der l/4-Linie V-Stellung Flächenschwerpunkt einer Flügelhälfte Geometrischer Neutralpunkt, entspricht dem Flächenschwerpunkt des Gesamtflügels, sofern dieser auf der l/4-Linie mit einer der örtlichen Flügeltiefe proportionalen Gewichtsverteilung belegt ist Seite 1 von 17 Geometrische Bezeichnungen bei Flügeln unterschiedlicher Grundrißformen Seite 2 von 17 A6.2 Wirbelsystem des Tragflügels endlicher Streckung Skizzieren Sie das Wirbelsystem eines Tragflügels endlicher Streckung. Welche Wirbel sind ortsfest, welche Wirbel bewegen sich mit dem Tragflügel und welche Wirbel können einen direkten Einfluß auf nachfolgende Luftfahrzeuge haben? Wie lassen sich die durch Wirbel induzierten Geschwindigkeiten berechnen? Der Anfahrwirbel verbleibt am Ort seiner Entstehung, während der gebundene Wirbel nach der einfachen Traglinientheorie auf der l/4-Linie des Tragflügels fixiert ist. Die beiden freien Wirbel, die infolge des Druckausgleichs an den beiden Enden des Tragflügels entstehen, müssen ständig neu gebildet werden und bewegen sich mit dem Tragflügel mit. Die durch diese freien Wirbel induzierten Geschwindigkeitsfelder, insbesondere bei großen Flugzeugen, können aufgrund ihrer Stärke zu einer direkten Gefährdung nachfolgender kleinerer Luftfahrzeuge führen. Die in einem Punkt P durch eine Wirbel der Stärke induzieren Geschwindigkeiten können über die Methode von Biot-Savart berechnet werden v r 4 a ds l a 3 wobei a a den Abstand des Aufpunktes vom Linienelement ds und l die Länge des Wirbelfadens bezeichnet. Der Geschwindigkeitsanteil v, den ein gerades Wirbelstück der Länge s' als Beitrag zu dem (theoretisch) im Raum geschlossenen Wirbelring liefert lautet v cos 1 cos 2 4 r Wirbelelement (a) und gerades Wirbelstück (b) Seite 3 von 17 A6.3 Prandtl'schen Traglinientheorie Beschreiben Sie den Grundgedanken der Prandtl'schen Traglinientheorie. Welche Funktion hat die sog. tragende Linie? Skizzieren Sie das Ersatzmodell für einen Flügel endlicher Streckung. Die Vorstellung, die der Prandtl'schen Traglinientheorie zugrunde liegt, besteht darin, einen Flügel endlicher Streckung durch einen gebunden Wirbel zu ersetzen, der im Gegensatz zu den freien Wirbeln, wie sie an den Tragflächenenden entstehen, sich mit dem Flügel mitbewegt. Dieser gebundene Wirbel wird auf der sogenannten tragenden Linie angesetzt. Ersatzmodell des Flügels endlicher Streckung A6.4 Auftriebs- und Abwindverteilung nach der einfache Traglinientheorie Skizzieren Sie die Auftriebs- und Abwindverteilung eines Rechteckflügels und eines elliptischen Flügels mit elliptischer Auftriebsverteilung nach der einfachen Traglinientheorie. Welcher der beiden Tragflügel hat einen geringeren induzierten Widerstand? Zirkulationsverteilung y const. 2 y y 0 1 b 2 Seite 4 von 17 Abwindverteilung wi y b 2 4 b 2 y 2 wi y const. Elliptischer Tragflügel mit elliptischer Auftriebsverteilung weist minimalen induzierten Widerstand auf A6.5 Abwindfeld und Auftrieb Welche Auswirkung hat die durch die freien Wirbel induzierte Abwindgeschwindigkeit auf den effektiven Anstellwinkel und den Auftrieb? Der durch die freien Wirbel induzierten Abwindgeschwindigkeit wi y entspricht ein induzierter Anstellwinkel i y i y wi y V um den Tragflügel, welcher bewirkt, daß die für den Auftrieb maßgebliche Anströmrichtung induzierten Anstellwinkel i y gegenüber der ungestörten Anströmrichtung eff y um den g y verringert wird. eff y g y i y Ein Tragflügel endlicher Streckung erfährt somit beim gleichen geometrischen Anstellwinkel effektiven Anstellwinkel eff g einen geringeren wie ein Tragflügel unendlicher Streckung. Der verringerte effektive Anstellwinkel bewirkt somit eine Verringerung des Auftriebs. Induzierter, effektiver und geometrischer Anstellwinkel A6.6 Induzierter Widerstand Erläutern Sie das d'Alembert'sche Paradoxon. Aus welcher Modellbetrachtung läßt sich dieses Ergebnis ableiten? Warum erfährt ein Tragflügel endlicher Streckung auch in einer reibungsfreien Strömung einen Widerstand? Geben Sie die Definition des induzierten Widerstands und Anstellwinkels bei elliptischer Auftriebsverteilung an. Das d'Alembert'sche Paradoxon beschreibt den Umstand, daß ein Tragflügel unendlicher Streckung in einer reibungsfreien Strömung zwar einen Auftrieb, jedoch keinen Widerstand erzeugt. Dieses Ergebnis läßt sich aus der Annahme einer Potentialströmung um ein Profil oder einem quer angeströmten Zylinder mit Zirkulation herleiten. Die sich aus der Integration der Druckverteilung an der Oberfläche resultierende Gesamtkraft (= Auftrieb) steht senkrecht zur Anströmrichtung, eine Kraft entgegen der Strömungsrichtung tritt hierbei nicht auf. Seite 5 von 17 Die Integration der Druckverteilung über den Umfang liefert für einen quer angeströmten Zylinder der Breite b den Auftrieb A nach der Auftriebsgleichung von Kutta-Joukowski A b V Seitenkraft auf einen Zylinder mit Zirkulation Eine bedeutsame Konsequenz, die sich aus der Entstehung der freien Wirbel ergibt besteht darin, daß zur Erzeugung dieser Wirbel, d.h. zur Beschleunigung der ruhenden Luft in eine Drehbewegung, permanent Arbeit verrichtet werden muß. Diese Arbeit muß dem System in Form von Triebwerksschub zugeführt werden, obwohl diese zusätzliche Triebwerksleistung keinen Beitrag zum Auftrieb liefert. Somit erfährt der Tragflügel endlicher Streckung, im Gegensatz zum Tragflügel unendlicher Streckung, auch in einer reibungsfreien Strömung einen Widerstand. Dieser Anteil am Gesamtwiderstand wird als induzierter Widerstand bezeichnet. Entstehung der freien Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite als Ursache für den induzierten Widerstand Beiwert des induzierten Widerstands bei elliptischer Zirkulationsverteilung induzierter Anstellwinkel bei elliptischer Zirkulationsverteilung 2 cA b2 cWi , S w y c i y A i const . V Seite 6 von 17 A6.7 Lokaler Auftriebsbeiwert und Auftriebsverteilung Erläutern Sie den Unterschied zwischen lokalem Auftriebsbeiwert und Auftriebsverteilung. Skizzieren Sie für einen Deltaflügel, Rechteckflügel und für einen Flügel mit elliptischem Grundriß die spannweitige Verteilung des Auftriebs und des lokalen Auftriebbeiwertes. Bei der Betrachtung der spannweitigen Auftriebsverteilung ist prinzipiell zwischen dem lokalen Auftriebsbeiwert ca y A y q S und dem dimensionsbehafteten lokalen Wert der Auftriebsverteilung A y N m 2 zu unterscheiden. Der Verlauf des lokalen Auftriebsbeiwerts und der Auftriebsverteilung wird wesentlich vom Flügelgrundriß bestimmt. Lokaler Auftriebsbeiwert und Auftriebsverteilung Seite 7 von 17 A6.8 Geometrische und aerodynamische Verwindung Erläutern Sie den Unterschied zwischen geometrischer und aerodynamischer Verwindung eines Tragflügels. Welchen Zweck hat die Verwindung? Zur Reduzierung des effektiven Anstellwinkels im Flügelaußenbereich bieten sich prinzipiell zwei unterschiedliche Maßnahmen an, die auch miteinander kombiniert werden können. Eine Möglichkeit besteht in der geometrischen Verwindung, d.h. die Profilform bleibt über die Spannweite unverändert, die Profilsehne wird jedoch nach unten gedreht. Geometrische Verwindung Bei der aerodynamischen Verwindung werden unterschiedliche Profile, in der Regel unterschiedliche Wölbung, miteinander kombiniert. Das Profil im Flügelaußenbereich weist immer einen kleineren Auftriebsanstieg ca als das Profil im Innenbereich auf. Damit soll erreicht werden, daß die Strömung immer zuerst im Flügelinnenbereich ablöst. Aerodynamische Verwindung Bei der spannweitigen Auftriebsverteilung wird stets angestrebt, daß die Strömung zuerst im Flügelinnenbereich abreißt während im Flügelaußenbereich die Strömung noch anliegt und somit die Querruderwirksamkeit zur Rollsteuerung erhalten bleibt. Seite 8 von 17 A6.9 Ermittlung einer Tragflügelpolare P bei y = 3,5 [m] V y NACA 4412 NACA 4418 s=7 V(y=0)= +2° V (y=s)= -2° y=0 Lineare Verwindung V = f(y) Betrachtet wird ein Rechtecktragflügel mit der Halbspannweite s = 7 m und einer linearen Verwindung gemäß Skizze. Das Flügelprofil wird aus den beiden NACA-Profilen 4418 (innen) und 4412 (außen) linear interpoliert. Fluggeschwindigkeit: kinematische Zähigkeit Streckung Auftriebsanstieg 1.) V = 277.2 [km/h] = 17.1110-6 [m²/s] =7 C A ,ne 5.0 Berechnen Sie die Reynoldszahl Rel V 277.2 3 .6 m V 77 s l 2 m Re l 9 106 Rechteckflügel: l = l b 2 2 s S 2 s l 2 Re l 2.) V l 77 2 17 .11 10 6 l 2s 27 7 Interpolierte Profilpolare Bestimmen Sie für diese Reynoldszahl die aus NACA 4412 (außen) und 4418 (innen) interpolierten Polare (Index P), die Werte für CA,P und CW,P für die Anstellwinkel P (y = 3,5 m) = -4°, 0°, 4°, 8° und tragen Sie die Werte in die Tabelle ein. Seite 9 von 17 Markieren Sie die entsprechenden Kurven und Werte in den beigefügten Diagrammen. (Hinweis: 'lift' = Auftrieb, 'drag' = Widerstand) NACA 4418 NACA 4412 y=0 y=7 4418 CA,4418 CW,4418 4412 CA,4412 CW,4412 gemittelte Polare y = 3,5 CW,P P CA,P -4 -0.025 0.0066 -2 0.20 0.0066 -6 -0.25 0.0066 2 0.60 0.0068 -2 0.20 0.0060 0 0.40 0.0064 6 1.00 0.0088 2 0.60 0.0060 4 0.80 0.0074 10 1.35 0.0132 6 1.05 0.0080 8 1.20 0.0106 Index 1: NACA 4418, Index 2: NACA 4412 Index P: Interpoliertes Profil 1 2l l 1 3l 1 1 l 2 l2 1 l1 l 2 k1 1 2 , k2 1 3 l1 l 2 3 2l 2 3 l1 l 2 2 C A, P k1 c A1 k 2 c A2 CW , P k1 cW1 k2 cW2 4418 P V y 0 , 3.) 1 c A c A2 2 1 1 cW cW2 2 1 4412 P V y 7 m Flügelpolare Rechnen Sie die Werte des gemittelten Profils ( = ) auf einen Flügel mit einer Streckung von = 7 um und skizzieren Sie den Verlauf von C A, P f P und C A, P f CW , P jeweils für das Profil ( = ) und den Flügel mit = 7. Bestimmung der Glauert-Korrekturfaktoren für Anstellwinkel und Widerstand g i mit cW cW cWi mit cA 1 G 2 cA 1 G cWi i Mit C A ,ne 5.0 und 7 7 5.95 0.31 5.95 0.31 P 5 c A ,ne P 6.46 Seite 10 von 17 G = 0.055 G = 0.16 Mit la li 1.0 (Rechteckflügel) G 0.055, G 0.16 Umrechnung von Anstellwinkel und Widerstand auf = 7 mit G = 0.055 und G = 0.16 7 g i mit cW 7 cW cWi mit P [grd] CA,P CW,P cA 1 0.16 2 c cWi A 1 0.055 i i [grd] g[grd] CW,i,=7 CW,=7 -4 -0.025 0.0066 -0.076 -4.076 0.0 0.0066 0 0.40 0.0064 1.209 1.209 0.0077 0.0141 4 0.80 0.0074 2.418 6.418 0.0307 0.0381 8 1.20 0.0106 3.627 11.627 0.0691 0.0797 < Seite 11 von 17 CA = CA(alpha) 1.4 1.2 1 CA 0.8 Profil 0.6 Streckung = 7 0.4 0.2 -5 -4 -3 -2 0 -1 0 -0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 alpha [grad] CA = f(CW) 1.4 1.2 1 CA 0.8 Profil 0.6 Streckung = 7 0.4 0.2 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -0.2 CW Seite 12 von 17 NACA 4418 CA,4418 CW,4418 y=0 y=0 0.20 0.0066 0.60 0.0068 1.00 0.0088 1.35 0.0132 NACA 4418 4418 CA,4418 y =0 y = 0 -2 0.20 2 0.60 6 1.00 10 1.35 NACA 4412 CA,4412 CW,4412 y=7 y=7 -0.25 0.0066 0.20 0.0060 0.60 0.0060 1.05 0.0080 NACA 4412 4412 CA,4412 y=7 y=7 -6 -0.25 -2 0.20 2 0.60 6 1.05 Aufgabe 6.10 Für das skizzierte Ultraleichtflugzeug sind im Auslegungspunkt folgende Berechnungen durchzuführen: x CA 0.10 y 0.08 0.06 0.04 rHLW = 7 m 0.02 -4 -2 0 2 4 l =2 m P 6 8 10 [°] Polare des Höhenleitwerks b =14 Auslegungspunkt - Flugzeugmasse - Fluggeschwindigkeit: m 450 kg V 180 km h - Profilwirkungsfaktor des Tragflügels 1.0 kg m3 g 3 F 0 P 1 - Lastvielfaches: nz 4 - Dichte: - Geometrischer Anstellwinkel des Tragflügels: - Einstellwinkel des Tragflügels: 1. Bestimmen Sie für den Tragflügel den Abminderungsfaktor e 1 G gegenüber einer elliptischen Auftriebsverteilung G = 0.055 Glauert-Abminderungsfaktor aus Abb. 6-40 (Skript) mit Rechteckflügel: la 1.0 li b2 142 S ref 14 2 7 P 7 1 G 0.055 e 1 G 1 0.055 P 7 e 1.055 2. Berechnen Sie den durch den Tragflügel induzierten Widerstand Wi Wi CW ,i q S ref mit CA 450 9.81 4 m g nz 2 q S ref 1 180 2 14 2 3.6 1.055 0.50452 e CA 7 C A 0.5045 CW ,i 0.0122 Wi 427 N 2 CW ,i 1 Wi CW ,i q S ref 0.0122 502 2 14 2 3. Berechnen Sie unter der Annahme einer konstanten Zirkulationsverteilung ( const. ) die Zirkulationstärke auf der l/4-Linie des Tragflügels A m g nz 450 9.81 4 b V b V 1.0 14 180 3.6 25.226 m 2 s 4. Berechnen Sie unter der Annahme einer konstanten Zirkulationsverteilung ( const. ) den Einstellwinkel HLW des Höhenleitwerks, so daß der lokale Auftriebsbeiwert ca des Höhenleitwerks an der Stelle P(y=0) zu Null wird. x 1 I y 3 l =2 m 2 rHLW = 7 III II P b =14 Tragende Linie: Endlicher gerader Wirbelfaden wP , I cos 1 cos 3 4 rHLW Induzierte Wirbel: Halbunendlicher gerader Wirbelfaden wP ,II ,III b 4 2 cos 2 1 Induzierte Geschwindigkeit in Punkt P cos 1 cos 3 2 cos 2 1 b 4 rHLW 4 2 cos 1 cos 3 2 cos 2 1 wi b 4 2 25.226 cos 45 cos 45 2 cos 45 1 wi 14 4 2 wi wi 1.385 m s Induzierter Anstellwinkel i wi 1.385 V 50 i 0.0277 rad 1.59 Effektiver Anstellwinkel am Höhenleitwerk: HLW g HLW i Lokaler Auftriebsbeiwert am Höhenleitwerk wird zu Null, d.h. HLW C A 0 aus Polare des HLW: HLW HLW g i 2 3 1.59 HLW C A 0 2 HLW 3.41