G1 ∪ G2

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Zuerst betrachten wir die rekursiv definierte Graphenklasse G mit der Funktion
t : G → N.
Dazu sei mit „G1 ∪ G2 “ die disjunkte Vereinigung zweier Graphen G1 und G2 , d.h.
V (G1 ∪ G2 ) = V (G1 ) ∪ V (G2 ), E(G1 ∪ G2 ) = E(G1 ) ∪ E(G2 ),
und mit „G1 ∨ G2 “ der Join zweier Graphen G1 und G2 , d.h.
V (G1 ∨ G2 ) = V (G1 ) ∪ V (G2 )
E(G1 ∨ G2 ) = E(G1 ) ∪ E(G2 ) ∪ {xy : x ∈ V (G1 ), y ∈ V (G2 )},
bezeichnet. Nun wird G wie folgt definiert:
(i) Es sei F2 ∼
= C6 ∈ G und t(F2 ) = 1.
(ii) Seien G1 , G2 ∈ G zwei beliebige Graphen. Dann sind auch
(G1 ∪ G2 ) ∨ K1 , (G1 ∪ G2 ) ∨ K2
Graphen aus G. Weiterhin seien
t((G1 ∪ G2 ) ∨ K1 ) = t((G1 ∪ G2 ) ∨ K2 ) = t(G1 ) + t(G2 ).
Mit obiger Definition entspricht t(G) für G ∈ G der Anzahl der C6 aus denen G über
die disjunkte Vereinigung und den Join konstruiert wird.
(C6 ∪ C6 ) ∨ K1
(C6 ∪ C6 ) ∨ K2
Beobachtung 4.16. Jeder Graph G ∈ G ist F1 -frei.
Beweis. Für F ∈ F1 gilt ∆(F ) ≤ n(F )−2. Zudem gilt für je zwei unabhängige Knoten
v1 , v2 ∈ F , dass dF (v1 ) + dF (v2 ) ≤ 2n(F ) − 5 ist. Mit Hilfe dieser Fakten können wir
die Aussage induktiv zeigen. Natürlich ist F2 F1 -frei. Seien also G1 , G2 ∈ G beliebig.
Es gilt sofort, dass (G1 ∪ G2 ) ∨ K1 F1 -frei ist, falls dies auch für (G1 ∪ G2 ) ∨ K2 gilt.
Angenommen, S induziert in (G1 ∪ G2 ) ∨ K2 einen Graphen aus F1 , also G[S] ∼
=F ∈
F1 . Da G1 und G2 jedoch keinen Graphen aus F1 als induzierten Teilgraphen besitzen,
ist ein Knoten x1 aus V ((G1 ∪ G2 ) ∨ K2 ) \ [V (G1 ) ∪ V (G2 )]) in S enthalten. Damit
gilt aber laut Definition, dass entweder x1 zu allen Knoten aus S \ {x1 } adjacent ist
oder beide Knoten x1 , x2 ∈ V ((G1 ∪ G2 ) ∨ K2 ) \ [V (G1 ) ∪ V (G2 )] zu S gehören sowie
zu allen Knoten aus S \ {x1 , x2 } adjazent sind. Somit folgt dG[S] (x1 ) ≥ |S| − 1 bzw.
dG[S] (x1 ) + dG[S] (x2 ) ≥ 2|S| − 4, was einen Widerspruch zu obigem Fakt darstellt.
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Warum gilt kMIN (G) = 3t(G) und kMAX (G) = kVO (G) = 2t(G) für G ∈ G?
Aus vorherigen Überlegungen wissen wir bereits, dass kMIN (C6 ) = 3 = 3t(C6 ) und
kMAX (C6 ) = kVO (C6 ) = 2 = 2t(C6 ). Seien also G ∈ G ein Graph der durch zwei
Graphen G1 , G2 ∈ G entstanden ist und X = V (G) \ [V (G1 ) ∪ V (G2 )].
Es fällt auf, dass NG (x) = V (G1 ) ∪ V (G2 ), NG (v1 ) ⊆ V (G1 ) ∪ X und NG (v2 ) ⊆
V (G2 ) ∪ X für alle x ∈ X, v1 ∈ V (G1 ) und v2 ∈ V (G2 ) ist. Da n(G1 ), n(G2 ) ≥ 6,
folgt somit dG (x) ≥ dG (vi ) + 4 für i ∈ [2].
MAX entfernt somit immer zuerst alle Knoten aus X und der erhaltene Graph ist
G−X ∼
= G1 ∪ G2 . Somit folgt aufgrund der Beobachtung 4.10, dass
kMAX (G) = kMAX (G − X) = kMAX (G1 ∪ G2 ) = kMAX (G1 ) + kMAX (G2 ).
Folglich schließen wir induktiv kMAX (G) = 2t(G1 ) + 2t(G2 ) = 2t(G).
In jeder Sortierung der Knoten nach Knotengrad belegen die Knoten aus X die letzten
Plätze. Falls der Algorithmus Vertex-Order demnach bei diesen Knoten ankommt, so
hat er bereits immer Nachbarn der Menge SVO hinzugefügt. Also für er dieser Menge
keinen Knoten aus X. Weiterhin gilt
dG−X (v) = dG (v) − |X|
für alle v ∈ V (G1 ) ∪ V (G2 ). Folglich kann man aus unseren Fakten schließen, dass
kVO (G) = kVO (G − X). Da aber G − X ∼
= G1 ∪ G2 folgt aus Beobachtung 4.10, dass
kVO (G) = kVO (G − x) = kVO (G1 ∪ G2 ) = kVO (G1 ) + kVO (G2 ).
Wir schließen wieder induktiv kVO (G) = 2t(G1 ) + 2t(G2 ) = 2t(G).
Aufgrund der Knotengrade wählt MIN im ersten Schritt immer einen Knoten v aus
V (G1 ) ∪ V (G2 ). Da der Algorithmus somit aus dem Graphen G die Menge NG [v]
entfernt und alle Knoten aus X adjazent zu v sind, kann MIN nie einen Knoten
aus X wählen. Da, wie oben bereits erwähnt, auch dG−X (v) = dG (v) − |X| für alle
v ∈ V (G1 )∪V (G2 ) gilt, folgt kMIN (G) = kMIN (G−X). Wir schließen analog zu obigen
Betrachtungen, dass
kMIN (G) = kMIN (G − x) = kMIN (G1 ∪ G2 ) = kMIN (G1 ) + kMIN (G2 ).
Wir erhalten erneut induktiv kMIN (G) = 3t(G1 ) + 3t(G2 ) = 3t(G).
Außerhalb der Klasse der F1 -freien Graphen kann der Algorithmus Vertex-Order
durchaus besser als MIN sein. Sei k ≥ 4. Wir definieren eine Graphen G1k wie folgt:
(i) V (G1k ) ist die disjunkte Vereinigung von vier Knotenmengen U1 , U2 , U3 , U4 wobei
|U1 | = k, |U2 | = k + 1, |U3 | = 2 und |U4 | = 1.
(ii) E(G1k ) ist die disjunkte Vereinigung von fünf Kantenmengen E1 , E2 , E3 , E4 , E5 ,
wobei G0 = (Ui ∪ Ui+1 , Ei ) ein vollständig bipartiter Graph für alle i ∈ [3],
G0 = (U2 , E4 ) isomorph zu K1 ∪ Kk und G0 = (U3 , E5 ) isomorph zu K2 ist.
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G14
Aufgabe: Man überlege sich, warum
kMIN (G1k ) = 3, kVO (G1k ) = kMAX (G1k ) = k + 1
gilt.
Als nächstes betrachten wir für k ≥ 1 den Graphen G2k . Dieser wird aus den Wegen
P : v11 v21 v31 v12 v22 v32 . . . v1k v2k v3k z,
Q1 : u11 u12 u13 , Q2 : u21 u22 u23 , . . . , Qk : uk1 uk2 ukk ,
R11 : x11 , R21 : x12 , R12 : x21 , R22 : x22 , . . . , R1k : xk1 , R2k : xk2
konstruiert, indem für alle i ∈ [k] die Kanten v2i ui1 , v3i xi1 , v3i xi2 hinzugefügt werden.
v11
v21
u11
v31
x11
v12
x12
v22
u21
v32
x21
v1k
x22
v2k
uk1
u12
u22
uk2
u12
u22
uk2
v3k
xk1
z
xk2
G2k
Aufgabe: Man überlege sich, warum
kVO (G2k ) = kMIN (G2k ) = 5k + 1, kMAX (G2k ) = 4k + 1
gilt.
Zuletzt möchten wir uns noch für k ≥ 3 den Graphen G3k anschauen. Dieser ist
isomorph zu (K1 ∪ Kk+1 ) ∨ Kk .
G34
Aufgabe: Man überlege sich, warum
kMAX (G2k ) = k, kMIN (G2k ) = kVO (G2k ) = 2
gilt.