R. Rückkopplung - von Prof. Lenz Haggenmiller

SC/R/Hg
R1
R. Rückkopplung
R.1 Das Rückkopplungsprinzip
Die Rückführung eines Teils des Ausgangssignals auf den Eingang eines Verstärkers beeinflußt die Verstärkung,
Eingangs- und Ausgangsimpedanz, Bandbreite und nichtlineare Verzerrungen. Abb. R1 zeigt einen Verstärkervierpol, bei dem ein Teil der Ausgangsspannung über einen Rückkopplungsvierpol auf den Eingang zurückgekoppelt wird. Das Übertragungsverhalten A’ der Gesamtschaltung soll berechnet werden.
Allgemein können A
_ , k_, und A
_ ’ komplex sein.
u’
1
u
A
1
uk
Übertragungsfunktionen:
u2
Verstärker
k
uk
u2
RK-Netzwerk
A
u2
u1
uk
Rückkopplungsvierpol: k
_=
u2
u
Gesamtvierpol:
_A ’ = 2
u1’
_2
u
1− k
_A
_
_ 1’ = u
u
_1 − u
_k =
− k
_u
_2 = u
_2
_
A
_
A
Verstärkervierpol:
_’=
A
k
_=
A
u2
_
_
A
=
_1 ’ 1− k
u
_A
_
( R1 )
Abb. R1: Prinzip der Rückkopplung
Der Nenner von Gln. (R1) wird als Rückkopplungsgrad p bezeichnet: p = 1− k
_A
_
( R2 )
Das Produkt k A die sog. Schleifen- oder Ringverstärkung ist eine maßgebliche Größe in einem rückgekoppelten
System. Sie kann durch Auftrennen gemessen werden. Für eine korrekte Messung ist zu beachten, daßdie
Belastungsverhältnisse an der Trennstelle exakt denen bei geschlossener Schleife entsprechen müssen.
Zwei wichtige Sonderfälle:
a) Mitkopplung:
uk ist in Phase mit u1’ : k A ist positiv und reell. Mit k A = 1 geht der Nenner gegen Null und die Verstärkung gegen
Unendlich. Es kommt zur Selbsterregung.
_
A
( R3 )
_’=
A
1− k_ A
_
Dies ist das Prinzip der Schwingungserzeugung bei Oszillatoren.
b) Gegenkopplung:
uk ist gegenphasig zu u1’ :k A ist negativ und reell.
_’=
A
_A
1+ k_ A
_
mit Nenner 1+ k
_A
_ als Gegenkopplungsgrad
(R4)
Die Gegenkopplung verringert zwar die Verstärkung, verbessert aber im gleichen Maße andere Eigenschaften wie
Klirrfaktor, Stabilität und Bandbreite. Eingangs- und Ausgangsimpedanzen können je nach Art der Gegenkopplung sowohl erniedrigt als auch erhöht werden.
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R2
R.2 Gegenkopplung
Bei Gegenphasigkeit von Eingangssignal und rückgekoppeltem Ausgangssignal liegt eine Gegenkopplung vor.
Es gibt vier verschiedene Grundschaltungen von Gegenkopplungen.
R.2..1 Arten von Gegenkopplungsschaltungen
ausgangsseitig
eingangsseitig
Schaltung
Serie
Schaltung
Parallel
wirksame Ausgangsgrösse
beeinflusste
Eg-Grösse
Strom
Spannung
i2
u ’1
Serie
u1
uk
Spannung
A
u2
u’2
u’1
i2
k
uk
Parallel
Strom
A
u
2
u’2
u ’2=u 2
k
A
u’1=u 1
k
Parallel-Serien-GK
oder
stromabhängige Strom-GK
oder
Strom-Strom-GK
A
Serien-Parallel-GK
oder
spannungsabhängige Spannungs-GK
oder
Spannungs-Spannungs-GK
Serien-Serien-GK
oder
stromabhängige Spannungs-GK
oder
Strom-Spannungs-GK
u ’1=u 1
u1
u’2=u 2
k
Parallel-Parallel-GK
oder
spannungsabhängige Strom-GK
oder
Spannungs-Strom-GK
Abb. R2: Grundschaltungen v. Gegenkopplungen
Damit die Gegenkopplung voll wirksam werden kann, ist im äußeren Kreis bei Serienankopplung ein möglichst
niederohmiger Abschluß und bei Parallelschaltung ein möglichst hochohmiger Abschluß notwendig. Dies gilt für
den Eingangs- und den Ausgangskreis.
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R3
R.2.2 Die Stabilisierung der Verstärkergröße
Die Verstärkung eines Verstärkers wird durch die Eigenschaften der aktiven Elemente, der Umgebungstemperatur
und der Versorgungsspannung beeinflußt. Eine Gegenkopplung verringert den Einfluß dieser Störgrößen.
Stabilisierte Verstärkergröße:
Je nach Gegenkopplungsschaltung wird eine andere Verstärkergröße stabilisiert:
stabilisierte Verstärkergröße =
wirksame Ausgangsgröße
beeinflußte Eingangsgröße
( R5 )
i2
= gm = Steilheit. (Primäre Größe)
u1
Mit einem konstanten Lastwiderstand Ra enststeht die sekundär stabilisierte Größe
u2
i2
Ra = gm Ra =
= vu
, aber nicht : Rm , Vi
u1
u1
u2
= Rm = Transimpedanz (Primäre Größe)
z.B.: Parallel-Parallel-GK: Stabilsierte Verst.-Größe =
i1
Mit einem konstanten Lastwiderstand Ra enststeht die sekundär stabilisierte Größe
u2 1
i2
=
= vi
,aber nicht: Vu, g m
i1 Ra
i1
z.B.: Serien-Serien-GK: Stabilsierte Verst.-Größe =
Größe der Stabilisierungswirkung:
A
dA ’
1
A’ =
; relative Änderung:
=
1+ kA
dA
(1+ kA ) 2
 .
dA
1  A
dA
. A
dA ’ =
;
dA ’ =
:

1+ kA 1+ kA  . A
A(1+ kA ) 1+ kA

dA . 1
dA ’ dA . 1
=
=
A 1+ kA
A p
A’
( R6 )
Die relative Abhängigkeit der "neuen" Verstärkergröße A’ von Schwankungen der Größe A wird um den Gegenkopplungsgrad vermindert!
Am deutlichsten wird die Wirkung der Gegenkopplung auf die Verstärkergröße A für den Extremfall kA > > 1
ersichtlich:
1
A
A
1
kA> > 1 bzw. A > >
liefert: A ’ =
≈
≈
( R7 )
k
1+ kA kA k
Bei hoher Schleifenverstärkung kA wird die Übertragungsfunktion der gegengekoppelten Schaltung A’ gleich
1/k und praktisch unabhängig von A ! Das gilt auch dann, wenn der Verlauf von 1/k frequenzabhängig ist. Viele
lineare Schaltungen mit Operationsverstärkern nutzen dieses Prinzip.
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R4
R.2.3 Die Auswirkung von Störgrößen in der Gegenkopplungsschleife
Zur Verallgemeinerung wird das Eingangssignal X, das Ausgangssignal Y und die Störgöße Z bezeichnet. Das
Eingangssignal X* vor der Schleife wird auf Null gesetzt, da es keinen Einfluß hat.
Z
X*=0
A
X
-
Y
AX
X = 0− Y k
Y = Â.X + Z = − k.A.Y + Z
Y( 1+ kA) = Z
Y=
k
kY
Z
Z
=
(1+ kA)
p
(R8a)
• Eine Störung zwischen Verstärkerausgang und Abzweig des Gegenkopplungsignals wird um den Gegenkopplungsgrad p verringert.
X = 0− kY + Z
Y = A.X = − k.A.Y + A.Z
Y ( 1+ kA) = A.Z
Z
X*=0
A
X
-
AX
Y
Y=
k
kY
X*=0
A
AX
X
k Y+Z
Y
Y=
Z
(R8b)
X = 0− k Y − Z
Y = A.X = − k.A.Y − A.Z
k
kY
A.Z
= A∗ .Z
1+ kA
− A.Z
= − A∗ .Z
1+ kA
(R8c)
• Eine Störung im Eingangsbereich der Gegenkopplung wird am Ausgang nur mit der Verstärkung A* der
gegengekoppelten Schaltung wirksam.
X*=0
A
-
X
k Y+k Z
Y
AX
k
X = 0− k(Y + Z)
Y = A.X = − A k Y − A k Z
Y= −
Z
k. .
Z≈ − Z
1+ kA
(R8d)
Abb. R3ff: Einfluß einer Störgröße
• Eine Störgröße zwischen Ausgang der Gegenkopplungschaltung und dem Rückkopplungsnetzwerk wirkt
sich bei großer Schleifenverstärkung nahezu ungeschwächt auf das Ausgangssignal aus.
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R5
R.2.4 Die Beeinflussung der Impedanzen des Verstärkers
Die Gegenkopplung beeinflußt nicht nur die Verstärkung der Schaltung sondern auch deren Ein- und Ausgangsimpedanz.
Berechnung des Eingangsimpedanz Z1’ bei Serien-Parallel-Gegenkopplung:
Z1’
i1
Z2
Z1
u1
A
uk
k
u ’1
Z 2’
u1
(für Verstärker ohne GK )
i1
u1’ u1+ uk
u1 k A u1 u1
Z1’ =
=
=
+
=
( 1+ kA)
i1
i1
i1
i1
i1
Z1 =
u2
uk
Z1’ = Z1 (1+ kA) = Z1 . p
u2
( R9 )
Abb. R4: Zur Ber. d. Eingangswiderstands
In ähnlicher Weise lassen sich die Ein- und Ausgangsimpedanzen auch für ander Gegenkopplungsschaltungen
berechnen.
Allgemein gilt für alle vier Gegenkopplungsarten:
Ankopplung am Eingang
Ankopplung am Ausgang
Serienschaltung Pll.-Schaltung
1
Z1 ’ = Z1 . p
Z1 ’ = Z1 .
p
Serienschaltung Pll.-Schaltung
1
Z2 ’ = Z2 . p
Z2 ’ = Z2 .
p
( R10 a,b,c,d )
Diese einfachen Beziehungen gelten nur, wenn keine weiteren Gegenkopplungsschleifen wirksam sind!
Bei der Ankopplung einer Schaltung mit Gegenkopplung an einen Generator ist dessen Innenwiderstand Rg zu
beachten:
Serienankopplung des RK-Netzwerks am Eingang:
Die rückgekoppelte Spannung teilt sich an Rg und Z 1 auf. Für volle Wirksamkeit der GK muß gelten: Rg < < Z1.
Parallelankopplung des RK-Netzwerks am Eingang:
Der rückgekoppelte Strom teilt sich in Rg und Z1 auf. Für volle Wirksamkeit der GK muß gelten: Rg > > Z1.
R.2.5 Verringerung der nichtlinearen Verzerrungen
uw
vu
ue
ua
Insbesondere bei großer Aussteuerung verursachen Verstärker nichtlineare Verzerrungen. Diese können gem. Abb.R4 als Oberwellenspannung uw aufgefaßt werden. Ohne Gegenkopplung ist die
Oberwellenspannung u w im Ausgangssignal voll enthalten:
u2a = v2u u2e + u2w
( R11 )
Abb. R5: Verzerrungen ohne
Gegenkopplung
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uw
vu
u’1
u’1- k u’2
k u’2
u2
u’2
R6
Durch eine Gegenkopplung werden mit dem Nutzsignal auch
die Verzerrungen gegengekoppelt und somit verringert.
Die Wirkung der Oberwellenspannung an den Ausgangsklemmen wird durch die GK verringert.
Für ein Eingangssignal u’ 1= 0 ist mit Uw als Störgröße die
Wirkung der GK unmittelbar aus Gln. (R8a) zu entnehmen
k
Abb. R6: Verzerrungen mit Gegenkopplung
u’2 =
uw
1+ kvu
d.h. jede einzelne Harmonische der Oberwellenspannung wird um den Gegenkopplungsgrad p reduziert! Die
ebenfalls verringerte Verstärkung für das Nutzsignal u’1 läßt sich durch eine Erhöhung der Eingangsspannung
ausgleichen. Die Größe der Verzerrungen hängt nicht von der Verstärkung sondern von der Aussteuerung ab.
Der Klirrfaktor K wird ebenso beeinflußt:
K
K’=
; wenn p = Gegenkopplungsgrad
p
( R12 )
R.2.6 Beeinflussung des Frequenzgangs
1000
|A|
|A|
100
B
|A’|
|1/k|
10
B’
1
1
10
100
1000
10K
100K
f/Hz
1M
Abb. R7: Wirkung einer GK auf den Frequenzgang
Eine Gegenkopplung verringert den Einfluß von Verstärkungsänderungen. (Gln. R6 ) Da der Frequenzgang als
eine frequenzabhängige Änderung der Verstärkung aufgefaßt werden kann, bewirkt eine frequenzunabhängige
Gegenkopplung eine Linearisierung des Frequenzgangs. Es kommt dabei zu einer Reduktion der Verstärkung
aber im selben Maße zu einer Erhöhung der Bandbreite.
Durch den Einbau einer frequenzabhängigen Gegenkopplung kann man den Frequenzgang einer Schaltung
beeinflussen:
Stärkere GK in einem bestimmten Frequenzbereich bewirkt eine Schwächung, eine
geringere GK in einem bestimmten Frequenzbereich einen Anhebung dieses Bereichs im Frequenzgang der
Gesamtschaltung.
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R7
R.2.7 Berechnung einer gegengekoppelten Verstärkerstufe als Beispiel
BJT in Emitterschaltung mit Serien-Serien - Gegenkopplung:
Zwecks Verringerung des Rechenaufwands werden das (vereinfachte) Transistormodell herangezogen und
nachfolgend übliche Vernachlässigungen eingeführt. Ob die Vernachlässigungen vertretbar sind, muß von Fall zu
Fall geprüft werden. Genauere Rechnung siehe Übungen!
Ucc
Z*1
R2
Ck
Ts. -Vierpol
Rc
i1
A
Ck
E
u*
2
R1
u*1
u*
1
RE
RB u be
gm u
Xck = 0
be
rce
r
be
e
RL
i2
c
b
u2
Ra=Rc // RL
u*
2
RE
Z*2
Z*1
Z*2
Abb. R8: Emitterschaltung mit Strom-Spannungs-GK
a) Spannungsverstärkung
u2
u∗2
RE 
(A) : i2 = gm Ube+
; (B): i2 = −
; (C): uE = i2 RE; (D) : ube = u∗1− uE ; (E): u2 = u∗2 − uE = u∗2  1+
rce
Ra
Ra 
1
In (A) eingesetzt und mit
< < g m wird nach Rechnung:
rce
u∗2
− g m Ra
− gm Ra
− Ra
1
v∗u = ∗ =
≈
≈
=
1+ gm RE
RE
ku
u1 1+ g m RE + Ra
rce
( R13)
nur Abschätzung!
Der Nenner stellt den Gegenkopplungsgrad dar: (1+ gm RE) = p
b) Eingangswiderstand
Z∗1 =
u∗1
;
i1
u∗1 = ube+ i2 RE = ube+ g m ube RE = ube  1+ gm RE
Z∗1 =
ube (1+ gm RE)
= rbe (1+ g m RE) = Z1 p
i1
c) Ausgangswiderstand
m
ue
i2
r
m ue ce
c
rce
RE
u be
i2
rce
u*
2
u*
2
e
( R14 )
u1* = 0; u2* eingespeist; rbe in Pll.-Schaltung vernachlässigt, da meist r be > > RE .
-g
-g
mit rce> > Ra, RE . Daraus entsteht:
RE
ue
r
be
ue = − ube und ue = i2 RE
u∗2 = i2( RE+ rce) + g m i2 RE rce
u∗2
Z∗2 =
= RE + rce+ gm RE rce ;
i2
RE vernachlässigbar
Z∗2 = rce  1+ g m RE = Z2 p
( R15 )
mit p = 1+ gm RE = Gegenkopplungsgrad
Abb. R9: Berechnung des Ausgangs-Widerstands
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R8
R.2.8 Parallel-Gegenkopplung
In diesem Zusammenhang soll nur die Auswirkung eines Rückwirkungsleitwerts auf den Eingang des gegengekoppelten Verstärkers untersucht werden. Der Rückwirkungsleitwert wird als "Gegenkopplungsnetzwerk" betrachtet.
YR
ik
Y (1+Vu)
R
i1
i1*
i1*
Vu
-
Ui
i1
-
Ui
Y1
Uo
Y1*
Y1
Uo
Y1*
Abb. R10a: Auf Eingang transformierter
Rückwirkungsleitwert
Abb. R10: Parallel-Gegenkopplung
i∗1 = i1− ik
i∗1 = ui y∗1 ; i1 = ui y1 ; ik = (uo− ui ) yR ;
ui y∗1 = ui y1− (uo− ui) yR
liefert umgestellt:
− uo = ui Vu ; wobei Vu > 0
y∗1 = y1+ yR (1+ Vu)
(R16)
Damit wirkt YR auf den Eingang wie ein zu Y1 parallel geschalteter Leitwert yeff = yR( 1+ Vu).
Aus Abb. R10 wird Abb. R10a.
Dieses Ergebnis gibt den schon bekannten "Millereffekt" wieder:
• Eine zwischen Ausgang und invertierendem Eingang eines Verstärkers liegende Kapazität CR wirkt am
Eingang gegen Masse wie eine um (1+ Vu) vergrößerte Kapazität Ceff = CR( 1+ Vu) ; Vu > 0 !
Im Zusammenspiel mit einem nicht vernachlässigbaren Generatorwiderstand trägt diese "Millerkapazität" in erster
Linie zur oberen Grenzfrequenz eines invertierenden Verstärkers bei.
Beispiel: Verstärkerstufe mit BJT ohne Emittergegenkopplung:
Ucc
Rc
Rg
Ck
Ug
U2
Ug
U1
RE
Cr
Rg
r ce
Ck
U1
Rc RL
U2
rbe
RL
R2
CE
Abb. R12: Zur Berechnung der oberen Grenzfrequenz
Abb. R11: Obere Grenzfrequ. eines BJT- Verstärkers
Das Ersatzbild vereinfacht sich nach Anwendung des
Ug
Millertheorems zu Abb. R13:
g
Rg
U1
rbe
Cm
u
m 1
R2
U2
Abb. R13: Anwendung des Millertheorems
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Spannungsverstärkung ohne Frequenzabhängigkeit:
u2
= − gm R2
Vu =
u1
Mit der Millerkapazität Cm = Cr (1+ gm R2)
entsteht ein frequenzabhängiger Spannungsteiler am Eingang:
rbe
pCm
1
rbe+
u1
pCm
rbe
1
=
=
ug
rbe
Rg+ rbe 1+ pCm (Rg| | rbe)
pCm
Rg+
1
rbe+
pCm
Der Frequenzgang der Verstärkung Vug wird dann:
rbe
gm R2
u2 u1 u2
=
=−
Vug =
Rg+ rbe 1+ pCm ( Rg| | rbe)
ug ug u1
mit der dominanten Polstelle:
Cr( 1+ gm R2) rbe Rg
1
To = ω = Cm ( rbe | | Rg) =
o
rbe+ Rg
R9
(R17)
(R18)
(R19)
Zur Abschätzung des Einflusses sei Rg> > rbe und gm R2> > 1 angenommen:
1
1
1
≈
≈
ωo =
To Cr g m rbe R2 β Cr R2
Das Ergebnis zeigt den starken Einfluß von C r und R2 auf die obere Grenzfrequenz!
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R 10
R.3 Mitkopplung
Bei der Mitkopplung wird das rückgekoppelte Signal phasengleich zum Eingangssignal addiert. Mitkopplung wird
zur Schwingungserzeugung, als "Boot-Strapping" und in aktiven Filtern verwendet. Verstärkereigenschaften
werden ähnlich wie bei Gegenkopplung, aber in Gegenrichtung verändert; so verschlechtert eine Mitkopplung
ganz wesentlicg das Stabilitätsverhalten eines Verstärkers.
R.3.1 Die Schwingbedingung
Gemäß Abb. R1 und Gleichung ( R3 ) wird für die Übertragungsfunktion der Gesamtschaltung:
_2
u
_
A
=
_’=
A
_
_1 ’ 1− k_ A
u
Wenn der Nenner von Gln. ( R3 ) Null wird, kommt es zur Selbsterregung der Schaltung.
( R20 )
Barkhausen’sche Selbsterregungs-Bedingung:
Nenner ---> 0 bzw.
_k _A
_= 1
( R21a )
In Zeigerschreibweise:
ϕA
k_
_
A
_ = | _k| ejϕ k | _A
_| ejϕ
= 1.e± jn2ππ
mit n = 0, 1, 2, 3,.......;
( R21b )
Die Zerlegung dieser komplexen Gleichung in Betrag und Phase liefert zwei Bedingungen für Selbsterregung:
Amplitudenbedingung:
Phasenbedingung:
|_
k| .| _
A
_| = 1
ϕA + ϕk = ± 2π n mit n = 0, 1, 2, 3,.......;
( R22a )
( R22b )
Für Selbsterregung harmonischer Schwingungen müssen beide Bedingungen erfüllt sein!
Einfluß der Amplitudenbedingung:
| kA| < 1: Die Schleifenverstärkung reicht nicht aus um die Schwingung aufrecht zuerhalten. Schaltung schwingt
nicht an oder liefert nur ein abklingendes Signal.
| kA| > 1: Erforderliche Bedingung für ein sicheres Anschwingen mit aufklingender Amplitude. Als Anfangserre
gung genügt das Rauschen der Schaltung oder der Signalsprung beim Einschalten der Versorgungsspannung. Falls keine Amplitudenregelung vorhanden ist, Aufklingen bis zur Übersteuerung des Verstärkers.
| kA| = 1: Die Amplitude der Schwingung bleibt konstant. Eingeschwungener Zustand bei "Harmonischen Oszillatoren" ( Sinusgeneratoren ) muß i.a. durch elektronische Regelschaltungen sichergestellt werden.
Einfluß der Phasenbedingung:
•
•
•
•
Die Phasenbedingung bestimmt die Frequenz der Oszillatorschwingung.
Harmonische Schwingung entstehen, wenn Phasenbedingung nur bei einer einzigen Frequenz erfüllt ist.
Der Oszillator schwingt auf der Frequenz, bei der die Phasen bedingung erfüllt ist.
Für eine gute Frequenzstabilität soll der Phasengang der Schleifenverstärkung möglichst stark frequenzabhängig sein und überwiegend vom RK-Netzwerk und nicht vom Verstärkerelement bestimmt werden.
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R 11
R.3.2 Boot-Strapping
Das Prinzip des Boot-Strapping besteht in einer Mitkopplung mit einer Schleifenverstärkung < 1, sodaß kein
Oszillieren auftreten kann. Meist soll damit die Wirkung von Impedanzen verändert oder der Aussteuerbereich
vergrößert werden.
Schaltungsbeispiele:
R.3.2.1 Vergrößerung des Eingangswiderstands eines Sourcefolgers (oder Emitterfolgers).
Udd
Ck
Die Schaltung wird in Kap. F.4.2 näher beschrieben.
Erzeugung v. Ugsa
RGA
U1
XCk =0
Ck
Rs1
Ck
U2
Rs2
Z1
Z2
Abb. R14: Sourcefolger mit Bootstrap
R.3.2.2 Vergrößerung des Lastwiderstands einer Verstärkerstufe:
Ucc
Rv
C2
Rc
C1
Ue
T2
Uc
Ua
T1
Re
ua
< 1.
uc
Bei großem C2 liegt das Ucc-seitige Ende des Rc auf der Signalspannung ua und über Rc steht die Spannung
uRc = uc− ua = uc(1− vu) .
uc(1− vu)
Damit wird der Signalwechselstrom durch Rc: iRc =
.
Rc
Die Spannungsverstärkung des Emitterfolgers sei Vu =
Für den Kollektor des T1 erscheint der Kollektorwiderstand mit dem
Wert:
uc
uc Rc
Rc
R∗c =
=
=
(R23)
iRc uc(1− vu) 1− vu
Abb. R15: Vergrößerung des
Wechselstromarbeitswiderstands
R.3.2.3 Erhöhung der Aussteuerbarkeit.
Aus Abb. R15 ist auch zu erkennen, daß bei der positiven Halbwelle das Ucc-seitige Ende des Rc zeitweise über
die Betriebsspannung Ucc zu liegen kommt. Damit kann der bei größeren Basisströmen von T2 nicht mehr zu
vernachlässigende Spannungsverlust an Rc ausgeglichen werden.
Diese Methode findet man häufig bei Gegentakt-Leistungsverstärkern.
Nachteil des Bootstrapping: Da es sich um eine Mitkopplung handelt, werden alle von einer Gegenkopplung
positiv beeinflussten Eigenschaften im gleichen Maße verschlechtert. ( Geringere dyn. Stabilität, größerer Klirrfaktor, kleinere Bandbreite usw.) Dies muß durch sorgfältige Gegenkopplung ausgeglichen werden!
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R 12
R.4 Harmonische Oszillatoren
Harmonische Oszillatoren dienen zur Erzeugung von möglichst verzerrungsarmen sinus-Schwingungen.Im folgenden sollen Beispiele für die wichtigsten Oszillatorarten gezeigt werden
R.4.1 RC-Oszillatoren
Das frequenzbestimmende Netzwerk besteht aus RC-Kombinationen.
Vorteile:
• Keine Induktivitäten (Größe, Gewicht, Preis, Nichtlinearitäten)
• Höhere Frequenzvariation (1:10 und mehr). Bei LC-Oszillatoren erreicht man bei der üblichen Kapazitätsvariation der Drehkondensatoren von 1:10 nur eine Frequenzvariation von 1 : √

10 ≈ 1:3.
Nachteile:
• Nicht für hohe Frequenzen geeignet. (Grenze ca. 2 MHz)
• Keine sehr hohe Frequenzstabilität, da Phasensteilheit der RC-Glieder nicht so groß wie bei guten
Schwingkreisen.
Beispiel: Wien-Brücken-Oszillator
Wien-Robinson-Brücke (verstimmt)
C
R1
R
Ue
C
Ua
R
U1
R1/(2+ )
Abb. R16: Verstimmte Wien-Robinson-Brücke
Phase
180
1
log(f/f r)
-180
Die Brücke muß geringfügig verstimmt werden, ansonsten wäre
im Abgleich U a = 0 . Der untere Widerstand des rechten Zweiges
R1
in Abb R14 ist etwas kleiner als
zu machen.
2
Bei sehr hohen und sehr tiefen Frequenzen wird dann:
1
__a ≈ − U
U
__ − − − > ϕ = ± 180 o
3 e
Bei der sog. "Resonanzfrequenz" fR ist Ua in Phase mit Ue.
1
fR =
( R24 )
2 π RC
Bei fR werden :
ε
1
1
1
__1 = U
U
__e und U
__a = ( −
)U
__e ≈ U
__e
3
3 3+ ε
9
3 Ω ( Ω 2 − 1)(3 + 2 ε)
tan ϕ =
( Ω2 − 1) 2 (3 + ε) − 9 ε Ω 2
f
mit Ω =
fR
Bei sehr kleinen ε (z.B. 0,01) erreicht der Phasenverlauf Steilheiten wie Schwingkreise mittlerer Güte. (Q einige 10).
Abb. R17: Phasengang der Wienbrücke
__a
U
ε
= k≈
muß durch eine nachfolgende Verstärkerstufe wieder
U
_
_e
9
ausgeglichen werden um die Amplitudenbedingung zu erfüllen.
Die Dämpfung des Signals in der Wienbrücke
Die Amplitudenbedingung ist genau einzuhalten: k vu = 1!
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R 13
Beispiel für eine Amplitudenstabilisierung:
Mit dem steuerbaren Kanalwiderstand des FET
kann die Gegenkopplung und damit die Verstärkung des Operationsverstärkers eingestellt
werden. Das Steuersignal für den FET erhält
man durch Gleichrichten des Ausgangssignals. Die Gegenkopplung über der D-GA
Strecke des FET dient der Linearisierung des
Kanalwiderstands um die Verzerrungen klein
zu halten
Wird das gleichgerichtete Regelsignal noch zusätzlich verstärkt, erhält man eine PräzisionsAmplitudenstabilisierung.
Stabilisierung
Abb. R18: RC-Generator mit Wienbrücke
R.4.2 LC-Oszillatoren
Die frequenzbestimmenden Glieder sind Resonanzkreise aus C und L.
R.4.2.1 Meißnerschaltung
Rückkopplung wirkt transformatorisch, richtige Phasenlage durch geeignete Polung der Trafowicklungen. In Eund B-Schaltung ist der Ausgangswiderstand des Transistors groß genug, um den Schwingkreis nicht zu stark zu
dämpfen.
Phasenbilanz: Praktisch besteht stets ein kleiner positiver Phasenfehler + ∆ ϕk im Rückkopplungskreis, hervogerufen durch Verluste und Streuung des Übertragers. Zur Einhaltung der Phasenbedingung muß ∆ ϕA negativ sein,
d.h. die Schwingfrequenz liegt etwas oberhalb der Resonanzfrequenz .
Annähernd kann man trotzdem schreiben:
1
f ≈ fres =
Thomson− Formel
2π√

LC
( R25 )
U cc
A
U cc
U cc
E-Schaltung
B-Schaltung
Praktische Ausführung
Abb. R19: Meißner-Oszillator
Die Meißnerschaltung war die erste bekannte harmonische Oszillatorschaltung. Sie hat auch heute noch Bedeutung. Andere LC-Schaltungen lassen sich aus dem Meißner-Prinzip entwickeln.
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R.4.2.2 Induktive Dreipunktschaltung (Hartley-Oszillator)
U cc
ube
L2
uce
L1
Der Übertrager mit 2 Wicklungen wird durch einen Spartransformator ersetzt.
Durch die signalmäßig auf Masse liegende Anzapfung der
Schwingkreisspule wird Gegenphasigkeit von uce und ube
erreicht. (Phasen- bedingung erfüllt).
Mit einem geeigneten Windungszahlverhältnis kann die Amplitudenbedingung eingehalten werden.
C
Schwingfrequenz:
annähernd: fs ≈
Abb. R20: Hartley-Oszillator
1
= fres
2π √

C Lges
( R26 )
R.4.2.3 Kapazitive Dreipunktschaltung (Colpitts-Oszillator)
U cc
Drossel
C1
L
Die Spannungsaufteilung am Schwingkreis ist hier kapazitiv.
Die Zufuhr des Kollektorgleichstroms muß gesondert über
eine HF-Drossel oder (weniger gut) über einen Kollektorwiderstand erfolgen.
go
1
1
Schwingfrequenz: fs 2 =
(
+
)
( R27 )
2 LCT
C
C
1 2 rbe
4π
mit go = Ausgangsleitwert
C2
Faßt man die Reihenschaltung von C1 und C2 zu
C1C2
CT =
zusammen, entsteht bei kleinem go u n d
C1+ C2
1
großem r be: fs ≈
( R28 )
2π √

L CT
Ck
Abb. R21: Colpitts-Oszillator
R.4.2.4 Rückkopplung über die Kollektor-Emitter-Strecke
Ck
Drossel
Bei der Basisschaltung tritt keine Phasenumkehr zwischen
Ein- und Ausgangssignal auf. Selbsterregung kann über
den Rückkopplungskondensator Ck erfolgen.
Oft genügt schon die innere Transistorkapazität Cce.
C
L
U cc
Abb. R22: Oszillator mit C-E-Kapazität
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R.4.3 Quarzoszillatoren
In Oszillatoren mit besonders hoher Frequenzkonstanz werden Schwingquarze als frequenz- bestimmendes Glied
∆f
verwendet. Während einfache LC-Oszillatoren nur eine Frequenzkonstanz von
≈ 10− 4 haben, erreichen
f
∆f
Quarzoszillatoren ein
≈ 10− 6 ....10− 10 .
f
Schwingquarze werden aus möglichst reinen Naturquarzen (z.B. Turmalin) oder aus synthetischen SiO2-Kristallen
geschnitten. (Herstellung der synthetischen Quarze bei ca. 400 oC und 1000 bar).
Ein Schwingquarz arbeitet nach dem Prinzip des Piezo-Effekts. Ein elektrisches Feld verändert die Geometrie des
Quarzgitters. Je nach Schnittwinkel zwischen Kristallachsen und Elektrodenanordnung entstehen Dicken-, Biege-,
oder Scherungsschwinger.
Schwingmodi bei Schwingquarzen:
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Der Quarz führt im elektrischen Wechselfeld mechanische Schwingungen aus. Im Resonanzfall entsteht eine sehr
scharfe mechanische Resonanz, die Auslenkungen können rel. große Werte annehmen (hochbelastete Quarze
ermüden im Laufe der Zeit!)
R.4.3.1 Elektrisches Verhalten eines Schwingquarzes
Hinsichtlich seiner elektrischen Eigenschaften verhält sich ein Schwingquarz wie ein Schwingkreis von sehr hoher
Güte. Die elektr. Eigenschaften werden durch sein Ersatzschaltbild beschrieben:
jX
L
induktiv
Co
R
f
fs
C
fp
kapazitiv
Abb. R23: Elektrisches Ersatzbild eines Schwingquarzes
Hierin bedeuten:
L die dynamische Induktivität, welche die schwingende Masse des Quarzes nachbildet.
C die dynamische Kapazität, die die Elastitizität des schwingenden Körpers modelliert.
R den dyn. Widerstand zur Darstellung der mechanischen Reibungsverluste.
Co die statische Parallelkapazität, welche aus der Kapazität der Elektroden und des Trägersystems besteht.
Typische Eigenschaften von Quarzen:
• sehr hohe Güte ( Q = 104....105)
• großes L/C -Verhältnis. (1010....1015)
• C< < Co
• Frequenzstabilität bis 10-10 (bei höchsten Anforderungen Einbau in Thermostat.)
z.B. Werte für einen 1 MHz-Quarz: L = 2.533 H, C = 0.01 pF, R = 50 Ω , C0 = 5 pF. Q = ω
L
≈ 3× 105 !
R
Berechnung der Resonanzfrequenzen:
Die nachfolgenden Beziehungen gelten unter den Voraussetzungen C< < C0 und
1
R< <
mit ωs = Serienresonanz. Genaue Berechnungen sind u.A. zu finden in
ωs C0
"Der Schwingquarz, ein Bauelement zur Frequenzstabilisierung, VALVO-Broschüren."
1
2 π √
LC
C 1
1 C
Parallelresonanzfrequenz: fp ≈ fs (1+ ) 2 ≈ fs ( 1+
)
C0
2 C0
Serienresonanzfrequenz: fs =
( R29 )
( R30 )
Für obiges Beispiel ergeben sich als Resonanzfrequenzen: fs = 1.000005 MHz, fp = 1.001005MHz. fp liegt also
nur um 1 Promille höher als fs. Im Bereich zwischen fs und fp ist der Quarz induktiv.
Die Parallelresonanz hängt von der nicht sehr stabilen Kapazität C 0 ab, während die Serienresonanzfrequenz nur
durch die mech. Eigenschaften des Quarzes bestimmt wird . Deshalb betreibt man den Quarz bei hohen
Anforderungen auf seiner Serienresonanz.
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"Ziehen" eines Quarzes.
Häufig will man die Frequenz eines Oszillators in einem engen Bereich variieren um den exakten Wert genau
einstellenzu können.
Eine zusätzlichen Parallelkapzität Cp ergibt näherungsweise eine gezogene Pll.-Resonanz:
C
fp ’ ≈ fs [ 1 +
] dabei sinkt allerdings die Güte ab.
( R31 )
2(C0+ Cp)
Einer zusätzliche Serienkapazität Cs ergibt näherungsweise die gezogene Serienresonanz:
C
].
( R32 )
fs ’ ≈ fs [ 1 +
2(C0+ Cs)
Durch den Serienziehkondensator erhöht sich f s in Richtung f p .
Bei Verwendung des Parallelziehkondensators erniedrigt sich f p
in Richtung f s.
Größenordung des Ziehkondensators = einige 10 pF).
Cs
Für stabile Schaltungen ist stets die Serienresonanz und ein
Serien-Ziehkondensator vorzuziehen.
Cp
Abb. R24: Ziehen eines Quarzes
R.4.3.2 Oszillatorschaltungen mit Schwingquarzen
Prinzip:
E
+
Die Phasendrehung des Quarzes beträgt
0o bei Serienresonanz und
1800 bei Parallelresonanz.
Somit wird der Quarz mit einem nichtinvertierenden
Verstärker in seiner Serienresonanz und mit einem
invertierenden Verstärker in seiner Parallelresonanz
betrieben.
C1, C2 bilden einen kap. Spannungsteiler. Vgl. Schal-
A
Serienresonanz
C2
C1
Parallelresonanz
Abb. R25: Oszillatorprinzip mit Schwingquarz
tung von Abb. R26 .
U cc
Colpitts-Oszillator mit Quarz:
Drossel
A
E
C1
C2
Ck
vu u 1
u1
Die Kreisinduktivität wird durch einen induktiv verstimmten Quarz ersetzt.
Wegen Gegenphasigkeit des Signals an den bei- den
Schwingkreis-Enden wird der Quarz in (bzw. knapp unter)
seiner Parallelresonanz betrieben.
Für hohe Stabilität sollen C1 und C2 möglichst groß sein
(Größenordnung einige 100 pF....einige nF). Die Transistoreigenschaften gehen dann nicht mehr in die Frequenz
ein.
Abb. R26: Quarzoszillator in Colpitts-Schaltung
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R 18
Pierce-Schaltung:
Diese weitverbreitete Schaltung kann aus dem Hartley-Prinzip entwickelt werden:
ind.
ind.
ind.
ind.
Hartley-Prinzip
Huth-Kühn-Prinzip
Rb
ind.
anstatt Drossel
oder Schwingkreis
Einfache praktische Schaltung
ind.
Rc
Cb
Pierce-Miller-Prinzip
Ucc
Abb. R27: Entwicklung der Pierce-Schaltung
Die beiden Teilinduktivitäten werden durch induktiv verstimmte Pll.-Kreise ersetzt. Damit erhält man das HuthKühn-Prinzip, das in Verstärkerschaltungen, die ein- und ausgangsseitig gleich abgestimmte Kreise enthalten
(Geradeausverstärker), leicht zu ungewollten wilden Schwingungen führen kann. Ersetzt man den im Basiskreis
liegenden Schwingkreis durch einen (ind. verstimmten) Quarz, kommt man zur Pierce-Miller-Schaltung. Der
kollektorseitige Pll.-Kreis kann durch eine Drossel oder im einfachsten Fall durch einen Widerstand ersetzt werden.
R.4.4 Synthetische Schwingungserzeugung
Bei diesem Prinzip handelt es sich eigentlich nicht um eine harmonische Schwingungserzeugung. Vielmehr wird
aus einem Rechtecksignal, das über eine PLL-Schaltung Quarzgenauigkeit haben kann, ein Dreiecksignal und
daraus ein Quasi-Sinussignal geformt. (Sinusfunktiongenerator.)
Die Umformung einer Dreieckspannung in ein sinusförmiges Signal erfolgt häufig über Diodennetzwerke unter
Ausnutzung der nichtlinearen Diodenkennlinie.
+
Mit 3 Dioden pro Halbwelle kann ein Klirrfaktor unter 1% erreicht werden.
Usin
Ud
Abb. R28: Signalformierung mit Dioden
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R 19
R.4.5 Rechnerische Behandlung von Oszillatorschaltungen
R.4.5.1 Mittels Schleifenverstärkung
Hierzu wird die Rückkopplungsschleife an einer geeigneten Stelle aufgetrennt. die Enden der Schleife müssen so
abgeschlossen werden, daß die Belastungsverhältnisse gleich bleiben. Dann ermittelt man die Schleifenverstärkung k
_A
_ und spaltet in Amplituden- und Phasenbedingung auf. Die sich ergebenden 2 Gleichungen liefern
Aussagen und Dimensionierungsvorschriften für den Verstärkervierpol und das Rückkopplungsnetzwerk.
R.4.5.2 Mittels Vierpolrechnung
Das Verfahren soll am Beispiel der Spannungs-Spannungs-Rückkopplung erläutert werden:
i1
i2
A
u1
i2’
u2
u1’
i2’
u1’
||H*||
k
neuer Vierpol
Abb. R29: Oszillator als Vierpol
Wie in vorstehender Skizze angedeutet, wird für die rückgekoppelte Schaltung eine Vierpol-Gesamtmatrix
errechnet. (Zusammenfassung von Verstärker- und RK-Vierpol nach den Rechenregeln der VP- Rechnung).
Selbsterregung (harmonische Schwingung) tritt auf, wenn unabhängig von den äußeren Signalen (hier ux1 , ix2 )
ein Ausgangssignal auftritt.
ux1 = 0 = hx11 i1 + hx12 u2
i2x = 0 = hx21 i1+ hx22 u2
Obige Gleichungen werden erfüllt für:
( R33a )
( R33b )
∆h =
x
hx11 hx22 −
hx12 hx21 =
0!
( R34 )
Dies gilt allgemein: Wenn die Determinante eines rückgekoppelten Vierpols = 0 ist, entsteht ein harmonischer
Oszillator. (Mitkopplung vorausgesetzt)
also:
∆ yx = 0 bei spannungsabhängiger Stromrückkopplung
( 35a,b,c )
x
∆ z = 0 bei stromabhängiger Spannungsrückkopplung
∆ cx = 0 bei stromabhängiger Stromrückkopplung
Die sich ergebende komplexe Gleichung liefert
a) die Amplitudenbedingnung (Realteil = 0)
b) die Phasenbedingung (Imaginärteil = 0)
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