Lösungsvorschlag: Stochastik für Physiker I

Lösungsvorschlag: Stochastik für Physiker I
Serie 7 im WS 2008/2009 bei PD Dr. W. Nagel
von Simon Stützer
Stand: 9. Dezember 2008
1. Aufgabe:
Die Zufallsgröße X sei Normalverteilt mit den Parametern µ und σ. (X ∼ Nµ,σ2 ). Die
Verteilungsfuntion ist also
2 !
Z x
1 t−µ
1
exp −
dt.
FX (x) = √
2
σ
σ 2π −∞
Mit dem weiteren Parameter λ > 0 schreiben wir
P (µ − λσ < X < µ + λσ ) = FX (µ + λσ) − FX (µ − λσ)
{z
}
|
Ereignis A
=Φ
µ + λσ − µ
σ
−Φ
µ − λσ − µ
σ
= Φ(λ) − Φ(−λ) = Φ(λ) − (1 − Φ(λ)) = 2Φ(λ) − 1
Somit ergeben sich folgende Werte
λ
1
2
3
4
2. Aufgabe:
Es ist X ∼ Nµ,σ2 ,
µ = 3,
P (A)
0, 683
0, 955
0, 997
≈1
σ2 = 4
a)
P (X ∈ (−1, 2)) = P (−1 < X < 2) = FX (2) − FX (−1) = Φ(
2−3
−1 − 3
) − Φ(
)
2
2
1
= Φ(− ) − Φ(−2) = 0.3085 − 0.228 = 0.2857
2
b) Gesucht ist Intervall [a, b] mit P (a < X < b) = 0.95. Da es hierfür unendlich viele
Lösungen gibt, wählen wir die zum Mittelwert symmetrische Lösung mit
c
µ−c+µ
µ+c−µ
−c
P (µ − c < X < µ + c) = Φ
−Φ
=Φ
−Φ
σ
σ
σ
σ
c
!
−1
= 2Φ
− 1 = 0.95 ⇒ c = Φ (0.975) · σ = 3.92
σ
Ein mögliches Intervall ist also [−0.92, 6.92].
1
c)
P (X ∈ (c, ∞)) = 1 − P (X < c) = 1 − FX (c) = 1 − Φ
c−3
2
!
= 0.8
(1)
⇒ c = Φ−1 (0.2) · 3 + 2 = 1.4
(2)
d) Analog zu vorigen Aufgaben ergibt sich
α
!
P (µ − aσ < X < µ + aσ) = 2Φ(a) − 1 = 1 − α ⇒ a = Φ−1 1 −
2
3. Aufgabe:
Betrachte X1 , ..., X1 00 als i.i.d. Zufallsgröße und bezeichne
(
0 i − ter Fluggast erscheint nicht
Xi =
1 i − ter Fluggast erscheint
.
Die Erfahrung zeigt, dass
P (Xi = 1) = p = 0.95
(nur 95% der Gäste erscheinen zum Abflug)
Offensichtlich ist
X=
100
X
Xi
i=1
die Anzahl der erschienenen Gäste. Annahme der Binomialverteilung der Zufallsgröße
X ∼ Bn,p ,
n = 100,
p = 0.95
Die Wahrscheinlichkeit, das zum Abflug maximal 95 Leute erscheinen ist
n X
n k
P (X ≤ 95) =
p (1 − p)n−k
k
k=1
100 100 X
X
100
100
k
100−k
=
0.95 (1 − 0.95)
=1−
0.95k (1 − 0.95)100−k
k
k
k=1
(3)
(4)
k=96
= 0.564
(5)
Mit dem Poissonschen Grenzwertsatz ergibt sich unter Verwendung der neuen Zufallsgröße
Yi = 1 − Xi
P (X ≤ 95) = P (100 −
100
X
Yi ≤ 5) = P (
k=1
100
X
Yi ≥ 5) ≈ 1 −
k=1
k=4
X
k=0
λk −λ
e
k!
λ=n·p
≈
0.5146
(6)
4. Aufgabe:
Fmin {X1 , ..., Xn }(x) = P (min{X1 , ..., Xn } ≤ x) = 1 − P (min{X1 , ..., Xn } > x)
= 1 − P (X1 > x, ...Xn > x)
n
n
Y
Y
=1−
P (Xi > x) = 1 −
(1 − F (x)) = 1 − (1 − F (x))n
i=1
i=1
Seien X1 , ...Xn i.i.d. mit Xi ∼ Eλ folgt
Fmin{X1 ,...,Xn } (x) = 1 − (1 − (1 − e−λx ))n = 1 − e−λxn
2
(7)
(8)
(9)