2. Elementare Abzählprobleme Definitionen und Abzählprinzipien

2. Elementare Abzählprobleme
Definitionen und Abzählprinzipien ohne Beweis:
. Wir sagen eine Menge A hat n Elemente, falls es eine Bijektion von A nach
[n] gibt.
. Für endliche Mengen A und B gilt: #A = #B genau dann, wenn es eine
Bijektion f : A → B gibt.
n
[
. Sei A =
Bi für endliche Mengen Bi und Bi ∩ Bj = ∅ für 1 ≤ i < j ≤ n,
i=1
so gilt #A =
n
X
#Bi .
i=1
n
. Sei A = × Bi für endliche Mengen Bi , so gilt #A =
i=1
n
Y
#Bi .
i=1
. Ist f : A → B eine Abbildungnvon endlichen
Mengen
A und B, so daß für ein
o
festes k und alle b ∈ B gilt # a ∈ A f (a) = b = k, so gilt k · #B = #A.
Definition 2.1. Sei A eine endliche Menge und n ≥ 0.
(i) An = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ n}.
(ii) Ahni
= {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ A, ai 6= aj , 1 ≤ i < j ≤ n}.
(iii) A
n = {B | B ⊆ A, #B = n}.
Satz 2.2. Sei A eine endliche Menge und n ≥ 0. Dann gilt:
(i) #(An ) = (#A)n
(ii) #Ahni
= #A · (#A − 1) · · · (#A − n + 1)
(iii) # A
n = #A(#A − 1) · · · (#A − n + 1)/n!.
Proof.
(i) Dies folgt sofort aus unserem Abzählprinzip für kartesische Produkte
von Mengen.
(ii) Ist n > #A, so ist Ahni leer. Da #A − (#A + 1) + 1 = 0, folgt aber
auch #A(#A − 1) · · · (#A − n + 1) = 0. Sei n ≤ #A. Bei einem nTupel (a1 , . . . , an ) ∈ Ahni hat man #A Möglichkeiten für a1 , (#A − 1)
Möglichkeiten für a2 , etc. , (#A − n + 1) Möglichkeiten für an . Damit folgt
die Behauptung.
(iii) Ist n > #A, so folgt wieder, daß A
n leer ist. Analog zu (ii) folgt dann
aber auch #A(#A − 1) · · · (#A − n + 1)/n! = 0. Sei also n ≤ #A. Wir betrachten die Abbildung φ : Ahni → A
n , mit φ((a1 , . . . , an )) = {a1 , . .. , an }.
Wegen ai 6= aj für 1 ≤ i < j ≤ n folgt, daß φ((a1 , . . . , an )) ∈ A
n . Für
{a1 , . . . , an } ∈ A
folgt
außerdem
n
#φ−1 ({a1 , . . . , an }) = {(aσ(1) , . . . , aσ(n) ) | σ ∈ Sn }.
Damit gilt: #φ−1 ({a1 , . . . , an }) = n!. Nach (ii) und dem letzten unserer
Abzählprinzipien folgt dann die Behauptung.
Korollar 2.3. Gilt n = #A, so ist #Ahni = #A!.
Proof. Folgt sofort aus Satz 2.2 (ii).
Bemerkung 2.4. Ist #A = n, so nennen wir die die Elemente von Ahni die
Permutationen von A. Für A = [n] erhalten wir die Permutationen aus Kapitel 1.
1
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Definition 2.5.
über n.
m
n
:= m(m − 1) · · · (m − n + 1)/n! heißt Binomialkoeffizient m
Lemma 2.6. Für 0 ≤ i ≤ n gilt:
(i)
n
n!
=
.
i
i!(n − i)!
(ii)
n
n
=
.
i
n−i
(iii) Gilt zusätzlich n, i ≥ 1, so :
n
n−1
n−1
=
+
i
i
i−1
(iv)
n
n
n
<
< ··· <
.
0
1
bn/2c
Proof.
(i)
n
i
=
=
=
n(n − 1) · · · (n − i + 1)
=
i!
n(n − 1) · · · (n − i + 1)(n − i) · · · 1
=
i!(n − i) · · · 1
n!
i!(n − i)!
(ii) 1. Beweis: Mit (i) folgt:
n!
n
n
n!
=
=
=
.
i!(n − i)!
(n − i)!(n − (n − i))!
n−i
i
[n]
2. Beweis: Man betrachte die Abbildung φ : [n]
→ n−i
, mit φ(A) =
i
[n] \ A. Man zeigt leicht, daß φ eine Bijektion ist. Damit folgt die Behauptung aus Satz 2.2 (iii).
(iii) Sei 1 ≤ i ≤ bn/2c. Dann gilt nach (i):
n
n
−
i
i−1
n!
n!
−
i!(n − i)! (i − 1)!(n − i + 1)!
n!
=
((n − i + 1) − i)
i!(n − i + 1)!
n!
=
(n + 1 − 2i)
i!(n − i + 1)!
> 0
=
Die Darstellung des Binomialkoeffizienten aus Definition 2.5 ist der Darstellung
aus Lemma 2.6 (i) oft vorzuziehen. Insbesondere wird in der Darstellung 2.5 sofort
klar, daß
(i) ni ein Polynom vom Grad i in n ist.
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(ii) ni auch für beliebige n ∈ C definiert ist.
Die Tatsache (i) muß aus Lemma 2.6 (i) erst hergeleitet werden und komplexe n
können in Lemma 2.6 (i) nicht benutzt werden.
Satz 2.7 (Binomialsatz). Für n ≥ gilt:
n X
n i n−i
n
(x + y) =
xy .
i
i=1
1. Beweis: Induktion nach n: Für n = 0 ist die Behauptung offensichtlich. Sei
n ≥ 0 und die Behauptung für n − 1 bewiesen. Damit gilt:
(x + y)n
=
=
=
=
=
n−1
X
n − 1 i n−1−i
xy
=
i
i=0
n−1
n−1
X n − 1
X n − 1
xi+1 y n−1−i +
xi y n−i =
i
i
i=0
i=0
n n−1
X
X
n − 1 i n−i
n − 1 i n−i
xy
=
+
xy
i−1
i
i=1
i=0
n−1
X n − 1 n − 1
yn +
(
+
)xi y n−i + xn =
i
−
1
i
i=1
n X
n i n−i
xy .
i
i=0
(x + y)(x + y)n−1 = (x + y)
Die letzte Gleichheit benutzt dabei Lemma 2.6 (iii).
2. Beweis: Wir betrachten den Koeffizienten bi von xi y n−i in (x + y)n . Der Koeffizient bi zählt die Anzahl der Möglichkeiten in den n Faktoren (x + y) beim
Ausmultiplizieren das x genau i-mal und das y genau (n − i)-mal auszuwählen.
Das entspricht der
Auswahl von i Elementen aus einer Menge von n Elementen.
Also folgt bi = ni . Damit gilt:
n
n X
X
n i n−i
n
i n−i
(x + y) =
bi x y
=
xy .
i
i=0
i=0
Definition 2.8. Sei A eine Menge. Dann heißt
2A := {B | B ⊆ A}
die Potenzmenge von A.
Satz 2.9. Sei A eine endliche Menge mit #A = n. Dann gilt
#2A = 2n .
1. Beweis: Die Menge 2A ist die disjunkte Vereinigung der Mengen Ai für 0 ≤ i ≤
#A = n. Nach dem
zur disjunkten Vereinigung und Satz 2.2 (iii)
PnAbzählprinzip
folgt dann #2A = i=0 ni . Nach Satz 2.7 gilt
n n X
n i n−i X n
n
n
2 = (1 + 1) =
11
=
.
i
i
i=0
i=0
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2. Beweis. Für jedes Element a ∈ A gibt es bezüglich einer Teilmenge B ⊆ A genau
zwei Möglichkeiten. Entweder ist a ∈ B oder a 6∈ B. Damit gibt es für B genau
· · 2} = 2n Möglichkeiten. Also #2A = 2n .
|2 ·{z
n
Korollar 2.10.
n X
n
i=0
i
= 2n .
Proof. Folgt sofort aus dem ersten Beweis von Satz 2.9
Definition 2.11. Sei Σ = {s1 , . . . , sm } eine Menge von Buchstaben. Wir nennen
Σ dann auch Alphabet. Ein Wort w über Σ ist eine Folge w = w1 · · · wn von
Buchstaben wi ∈ Σ. Ist w = w1 · · · wn , so schreiben wir |w| = n für die Länge von
w. Mit Σn bezeichnen wir die Menge der Worte der Länge n über Σ und mit Σ∗
die Menge aller Worte über Σ. Mit bezeichnen wir das leere Worte, das einzige
Wort der Länge 0 über Σ.
Bemerkung 2.12. Es gilt #(Σn ) = (#Σ)n .
Wir interessieren uns nun für Anzahlen von Wörtern über einem gegebenen
Alphabet mit einer festen Anzahl von Vorkommen der einzelnen Buchstaben.
Definition 2.13. Seien n und r natürliche Zahlen. Eine Darstellung n = a1 +
· · · + ar mit natürlichen Zahlen ai ≥ 0 heißt schwache Komposition von n mit r
Teilen. Die Reihenfolge der Summanden wird dabei beachtet. Eine Darstellung
n = a1 + · · · + ar mit natürlichen Zahlen ai ≥ 1 heißt Komposition von n mit r
Teilen.
Definition 2.14. Sei n = a1 + · · · + am eine schwache Komposition von n mit m
n
n!
der Multinomial-Koeffizient zur schwachen
Teilen. Dann heißt a1 ,...,a
= a1 !···a
m!
m
Komposition n = a1 + · · · + am .
Satz 2.15. Sei Σ = {s1 , . . . , sm } ein Alphabet mit m Buchstaben und n = a1 +
n
· · · + am eine schwache Komposition von n mit m Teilen, dann gibt es a1 ,...,a
m
∗
Wörter in Σ mit genau ai Vorkommen des Buchstaben si , 1 ≤ i ≤ m.
Proof. Für die Platzierung von a1 Buchstaben s1 in einem Wort der Länge n gibt
es an1 Möglichkeiten. Für die Platzierung von a2 Buchstaben in einem Wort
1
der Länge n nach Platzierung der a1 Buchstaben s1 gibt es n−a
Möglichkeiten.
a2
etc. Für die Platzierung von am Buchstaben sm in einem Wort der Länge n nach
m−1
Platzierung von a1 +· · · am−1 Buchstaben s1 , . . . , sm−1 gibt es n−a1 −···−a
viele
am
Möglichkeiten. Es gibt also
n
n − a1
n − a1 − · · · − am−1
···
a1
a2
am
viele Möglichkeiten. Nach Satz 2.5 (i) folgt, dass es
(n − a1 )!
(n − a1 − · · · − am−1 )!
n!
···
a1 !(n − a1 )! a2 !(n − a1 − a2 )!
am !(n − a1 − · · · am )!
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viele Möglichkeiten gibt. Nach Kürzen erhalten wir
n!
n
=
a1 ! · · · am !
a1 , . . . , am
als Anzahl.
Satz 2.16. Die Anzahl der Kompositionen von n mit 1 ≤ r ≤ n Teilen ist 2(n−1) .
Proof. Man zeigt: Die Abbildung φ, die n = a1 + · · · + ar auf {a1 , a1 + a2 , . . . , a1 +
· · · + ar−1 } abbildet, ist eine Bijektion der Kompositionen mit der Potenzmenge
2[n−1] .
Satz 2.17. Seien n und r natürliche Zahlen. Dann ist die Anzahl der schwachen
Komposition von n mit r Teilen gleich n+r−1
r−1 .
1. Beweis. Man zeigt: Die Abbildung φ, die n = a1 + · · · + ar auf {a1 + 1, a1 +
a2 + 2, . . . , a1 + · · · + ar−1 + r − 1} abbildet, ist eine Bijektion der schwachen
Kompositionen von n mit r Teilen mit [n+r−1]
.
r−1
2. Beweis. Man zeigt: Die Abbildung ψ, die n = a1 + · · · + ar auf das Wort
| · · · | + · · · + | · · · | abbildet, ist eine Bijektion der schwachen Kompositionen von n
| {z }
| {z }
a1
ar
mit r Teilen und den Worten der Länge n über Σ = {+, |} mit r − 1 Buchstaben +
und n Buchstaben |.
Wir kommen nun zu dem letzten der elementaren Abzählprobleme, dem Abzählen
von Klassen von Abbildungen.
Satz 2.18. Seien A und B Mengen mit #A = m und #B = n. Dann gilt:
(i) Es gibt nm Abbildungen f : A → B.
(ii) Ist m 6= n, so gibt es keine bijektive Abbildung zwischen f : A → B. Ist
n = m, so gibt es n! = m! bijektive Abbildungen zwischen A und B.
(iii) Es gibt n(n − 1) · · · (n − m + 1) injektive Abbildungen f : A → B.
Proof.
(i) Sei A = {a1 , . . . , an }, Dann gibt es für jedes ai , 1 ≤ i ≤ m, genau
n mögliche Bilder unter f . Also gibt es n
· · n} = nm Abbildungen von A
| ·{z
m
nach B.
(ii) Ist n < m, so kann keine Abbildung f : A → B surjektiv sein, ist n > m,
so kann keine Abbildung f : A → B injektiv sein. Also gibt es keine
bijektive Abbildung, falls n 6= m. Ist n = m, so kann nach Umbenennung
der Elemente, A = B = [n] angenommen werden. Dann ist f aber eine
Permutation in der Sn . Davon gibt es aber n! = m! viele.
(iii) Ist f injektiv, so gilt #f (A) = m. D.h. das Bild von f ist eine m-elementige
n
Teilmenge von B. Davon gibt es m
– dies schließt den Fall m > n ein.
Sei nun C = {c1 , . . . cm } ⊆ B eine m-elementige Teilmenge von B. Dann
ist die Abbildung f mit f (A) = C eine Bijektion von A nach C und nach
(ii) gibt es davon m! viele. Daher gibt es
n
n(n − 1) · · · (n − m + 1)
m!
= m!
= n(n − 1) · · · (n − m + 1).
m
m!
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Bevor wir die surjektiven Abbildungen zählen können, müssen wir noch einige
neue kombinatorische Objekte einführen.
Definition 2.19. Sei n ≥ 1. Eine Menge {B1 , . . . , Bn } von Teilmengen Bi ⊆ [m]
heißt Mengenpartition von [m], falls
• S
Bi 6= ∅, 1 ≤ i ≤ n.
n
• i=1 Bi = [m].
• Bi ∩ Bj = ∅, 1 ≤ i < j ≤ n.
Die Bi heißen die Blöcke oder Teile der Mengenpartition. Wir schreiben für {B1 , . . . , Bn }
auch B1 | · · · |Bn .
Man beachte, daß die Reihenfolge der Blöcke bei einer Mengenpartition keine
Rolle spielt. Es gilt also B1 | · · · |Br = Bσ(1) | · · · |Bσ(n) für alle σ ∈ Sn .
Definition 2.20. Für n, m ≥ 1 heißt die Anzahl S(m, n) der Mengenpartitionen
von [m] mit n Teilen Stirling-Zahl 2. Art. Wir setzen S(0, 0) = 1 und S(0, n) = 0
für n ≥ 1.
Satz 2.21. Seien A und B Mengen mit #A = m and #B = n. Dann gibt es
n!S(m, n) surjektive Abbildungen f : A → B.
Proof. Wir können annehmen, A = [m], B = [n]. Für eine surjektive Abbildung
f : A → B ist f −1 (1)| · · · |f −1 (n) eine Mengenpartition von [m] mit n-Teilen. Da für
eine Mengenpartition B1 | · · · |Bn von [m] mit n-Teilen noch die Bilder f (Bi ) = σ(i),
1 ≤ i ≤ m, durch ein σ ∈ Sn bestimmt werden müssen, um eine Abbildung
f : [m] → [n] zu definieren, gibt es also n!S(m, n) surjektive Abbildungen von [m]
nach [n].
Korollar 2.22. Für m ≥ 0 gilt:
xm =
m
X
S(m, i)x(x − 1) · · · (x − i + 1).
i=0
Proof. Für m = 0 folgt die Gleichung wegen S(0, 0) =
P1m and S(0, i) = 0 für i ≥ 1.
Sei also m ≥ 1. Dann sind h(x) := xm und g(x) := i=0 S(m, i)x(x − 1) · · · (x −
m + 1) zwei Polynome vom Grad m. Damit folgt h(x) = g(x), falls g(n) = h(n)
für 0 ≤ n ≤ m. Da S(m, 0) = 0 für m ≥ 1, folgt g(0) = 0m = 0 = h(0). Sei nun
1 ≤ n ≤ m. Dann ist nm die Anzahl der Abbildungen von [m] nach [n]. Es gilt
{f : [m] → [n]} =
=
m
[
i=1
m
[
{f : [m] → [n] | #f ([m]) = i}
[
{f : [m] → [n] | f ([m]) = C}
i=1 C∈([n])
i
Da alle Vereinigungen disjunkt sind, folgt:
nm =
m
X
X
i=1 C∈([n])
i
Nach Satz 2.21 folgt für i ≥ 1:
#{f : [m] → [n] | f ([m]) = C}.
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#{f : [m] → [n] | f ([m]) = C} = i!S(m, i).
Damit:
h(n) = n
m
=
=
m X
n
i=1
m
X
i
i!S(m, i)
n(n − 1) · · · (n − i + 1)S(m, i)
i=0
= g(n).
Damit folgt die Behauptung.
Die Mengen {1, x, x2 , x3 , . . .} und {1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2), . . .} sind beides
Basen des Vektorraums R[x] der Polynome mit reellen Koeffizienten. Korollar 2.22
gibt die entsprechende Basistransformation an.
Zum Abschluß des Kapitels noch eine wichtige Rekursion für S(m, n).
Satz 2.23. Für n, m ≥ 1 gilt:
S(m, n) = S(m − 1, n − 1) + nS(m − 1, n).
Proof. Ist n > m, so auch n − 1 > m − 1 und n > m − 1. Daher sind in diesem Fall
beide Seiten gleich 0. Wir müssen also noch 1 ≤ n ≤ m betrachten. Ist m = 1, so
auch n = 1. Es gilt:
1 = S(1, 1) = 1 + 1 · 0 = S(0, 0) + 1S(0, 1).
Sei nun m > 1. Nach Definition zählt S(m, n) die Mengenpartitionen von [m] mit
n Teilen. Ist B1 | · · · |Bn solch eine Mengenpartition. Ohne Einschänkung können
wir m ∈ Bn annehmen. Ist Bn = {m}, so ist B1 | · · · |Bn−1 eine Mengenpartition
von [m − 1] mit n − 1 Teilen. Davon gibt es S(m − 1, n − 1) viele. Jede davon
entsteht auf eindeutige Weise aus einer Mengenpartition von [m] mit n Teilen,
wobei {m} eine dieser Mengen ist. Ist #Bn > 1, dann ist B1 | · · · |Bn−1 |Bn \ {m}
eine Mengenpartition von [m − 1] mit n Teilen. Davon gibt es S(m − 1, n) viele.
Jede dieser Mengen entsteht aus n Mengenpartitionen von [m], in der m in einem
Block der Größe > 1 liegt – m kann zu jedem der n Blöcke einer Mengenpartition
von [m − 1] mit n Teilen hinzugefügt werden. Damit folgt die Rekursion.