2. Potenzen

2. Potenzen
Potenzen sind Produkte gleicher Faktoren. Quadratzahlen wie 42 = 4 · 4 = 16 sind
zweite, Kubikzahlen wie 23 = 2 · 2 · 2 = 8 sind dritte Potenzen. Im täglichen Leben
spielen vor allem die Potenzen der Zahl 10 eine Rolle, und mit diesen wollen wir uns
zuerst befasssen.
2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen
Die Einheiten für Länge, Gewicht und Zeit hat man zu allen Zeiten so gewählt, dass
man sehr große und sehr kleine Zahlen vermeiden kann. Die Körpergröße hat man in
Fuß gemessen und nicht in Meilen, das Gewicht von Butter in Pfund usw.
Auch heute noch werden etwa die Größe von Fahrrädern oder von Bildschirmen
in Zoll gemessen. Ein Zoll, im Englischen inch, ist umgerechnet 2,54 cm. Ein Fuß
besteht aus 12 inch, ein yard aus 3 Fuß, dann folgen die Einheiten chain“ (22 yards),
”
furlong“(10 chains) und die Meile (8 furlongs).
”
Um die von Stadt zu Stadt verschiedenen Versionen von Fuß, Elle oder Meile zu
vereinheitlichen haben die Franzosen nach ihrer Revolution dezimale Maße eingeführt.
Den Meter legten sie als den 10-millionsten Teil der Entfernung zwischen Nordpol und
Äquator fest; diese Entfernung bestimmten sie1 , indem sie die Entfernung zwischen
Dünkirchen in der Bretagne und Barcelona so genau maßen, wie es die damalige
Zeit erlaubte. Dass diese Entfernung heute etwa 40 007 km beträgt, zeigt, wie genau
Méchain und Delambre damals trotz der Wirren der Revolution ihre Aufgabe erledigt
haben. Inzwischen haben alle Länder – mit Ausnahme der USA – das metrische
System übernommen.
In der Atomphysik und der Astronomie liegen die Längen, Zeiten und Massen in
ganz anderen Größenordnungen, weswegen dort andere Einheiten benutzt werden.
Die metrischen Einheiten lassen sich durch gewisse Präfixe vergrößern und verkleinern: so sind ein Kilogramm 1000 g und 1 Millimeter ist der tausendste Teil eines
Meters. Große Potenzen von 10 werden in der Regel nicht ausgeschrieben, sondern
abgekürzt: so ist 1 000 000 = 106 und 1 000 000 000 = 109 : bei Zehnerpotenzen zählt
die Hochzahl die Anzahl der Nullen.
Die gebräuchlichsten Präfixe für große Einheiten sind:
1
Das Abenteuer dieser “Vermessung der Welt” ist Thema einer ganzen Reihe von Büchern; sehr empfehlenswert ist Längengrad von Dana Sobel.
30
2. Potenzen
kilo
Tausend
Mega
Giga
Tera
Million Milliarde Billion
106
109
1012
103
Diese Regeln werden nicht immer konsequent eingehalten: statt Megagramm (das
sind 106 g, also 103 kg) benutzt man in der Regel das Wort Tonne, und statt Gigagramm eher Megatonne, etwa im Zusammenhang mit der Sprengkraft von Atombomben. Daneben gibt es noch die Vorsilbe hekto, die man vor allem bei Hektolitern (100
Liter) und Hektar (100 ar, also 10 000 m2 ) benutzt.
Man beachte auch, dass die Einheiten Kilobyte und Megabyte für die Größe von
Dateien nicht genau Tausend bzw. 1 Million Byte angeben. Dies liegt daran, dass man
in der Informatik gerne im Dualsystem rechnet, also mit Zweierpotenzen. Ein Bit ist
die kleinste Informationseinheit, also der Unterschied zwischen einer 1 und einer 0.
Dem Informationsgehalt eines Worts aus 8 Bit hat man den Namen Byte gegeben.
Unter einem Kilobyte versteht man nun nicht etwa 1000 Byte, sondern 210 = 1024
Byte, und entsprechend sind 1 MB genau 220 = 1 048 576 Byte.
Große Zahlen
Zum Rechnen mit großen Einheiten benutzt man eher Zehnerpotenzen als Vorsilben.
Dazu stellt man Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (auch Normdarstellung
genannt) dar, schreibt sie also als Produkt einer Dezimalzahl zwischen 1 und 10 und
einer Zehnerpotenz. So gilt etwa
300 000 = 3 · 105
4 125 = 4,125 · 103
2,1 · 103 = 2100,
3,14 · 107 = 31 400 000
Um die Zahl 32,1 · 108 in wissenschaftlicher Schreibweise darzustellen, dividieren wir
die Dezimalzahl 32,1 durch 10 (Komma um eine Stelle nach links schieben) und
hängen zum Ausgleich an die Zehnerpotenz eine 0 an, ersetzen die 108 also durch 109 :
32,1 · 108 = 3,21 · 109 .
Um zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise zu multiplizieren, multipliziert
man die beiden Dezimalzahlen, addiert die Hochzahlen, und verschiebt ggf. noch das
Komma, damit das Produkt wieder die gebräuchliche Form hat.
Beispiel. Um das Produkt 3 · 5 · 109 zu berechnen, multiplizieren wir 3 · 5 = 15 und
schreiben 15 · 109 = 1,5 · 1010 .
Entsprechend ist
4 · 108 · 2,1 · 109 = 8,2 · 1017 .
Die Addition der Hochzahlen rührt daher, dass man bei der Multiplikation 100 ·
1000 ja auch nur die Anzahl der Nullen addiert, und wenn man diese Zahlen in
2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen
31
wissenschaftlicher Schreibweise darstellt, wird genau diese Addition vorgenommen:
100 · 1000 = 102 · 103 = 102+3 = 105 . Bei der Division von Zehnerpotenzen werden die
Hochzahlen entsprechend subtrahiert: es ist ja 100100000 = 1000, da zwei Nullen gekürzt
werden, folglich ist 105 : 102 = 105−2 = 103 = 1000.
Satz 2.1. Das Produkt der beiden Zehnerpotenz 10m und 10n erhält man, indem man
die Hochzahlen addiert:
10m · 10n = 10m+n .
Entsprechend werden diese Potenzen dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert:
10m : 10n = 10m−n .
Zwei Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise lassen sich nur dann direkt addieren,
wenn die Zehnerpotenz dieselbe ist: natürlich ist 3 · 105 + 4 · 105 = 7 · 105 . Sind
die Potenzen nicht gleich und unterscheiden sie sich nur wenig, kann man sie durch
Kommaverschiebungen gleich machen: 3 · 106 + 5 · 105 = 3 · 106 + 0,5 · 106 = 3,5 · 106 .
Sind die Zehnerpotenzen sehr verschieden, kann man in der Regel die kleinere einfach
weglassen: 3 · 106 + 2 ≈ 3 · 106 ; das genau Ergebnis wäre 3 000 000 + 2 = 3 000 002.
n
n
2n
Beim
√ Ziehen von Quadratwurzeln gilt es zu beachten, dass 10 · 10 = 10 gilt,
n
2n
also 10 = 10 : Zehnerpotenzen, die Quadratzahlen sind, haben eine gerade Anzahl
von √
Nullen, und diese werden beimp
Ziehen der Quadratwurzel halbiert. Entsprechend
3
6
gilt 9 · 10 = 3 · 10 = 3 000. Bei 1,6 · 109 muss man erst das Komma verschieben:
Wegen 1,6 · 109 = 16 · 108 (den ersten Faktor
p haben wir√ mit 10 multipliziert, den
zweiten zum Ausgleich durch 10 geteilt) ist 1,6 · 109 = 16 · 108 = 4 · 104 .
Pythagoreische Tripel
Im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras taucht vor allem das Dreieck mit
den Seiten 3, 4 und 5 auf, das wegen 32 + 42 = 52 rechtwinklig ist. Jedes Tripel
(a, b, c) natürlicher Zahlen, welche der Gleichung a2 + b2 = c2 genügen, nennt man ein
pythagoreisches Tripel. Wir betrachten nun folgende Zahlenreihen:
b
c
a
21
220
221
201
20200
20201
2001 2002000 2002001
Wir behaupten, dass jedes dieser Tripel ein pythagoreisches Tripel ist. Beim ersten
lässt sich das leicht nachrechnen: es gilt ja 212 + 2202 = 48 841 = 2212 . Auch die
nächsten Tripel kann man (mit oder besser ohne Taschenrechner) erledigen. Um einzusehen, dass die Behauptung für alle Zahlen dieser Reihe richtig ist, muss man die
auftretenden Zahlen erst einmal aufschreiben. In der linken Spalte stehen nacheinander die Zahlen
32
2. Potenzen
21 = 2 · 101 + 1,
201 = 2 · 102 + 1,
2001 = 2 · 103 + 1, . . . ,
und es ist nicht schwer zu sehen, dass die n-te Zahl in dieser Reihe gleich an = 2·10n +1
ist.
Die Zahlen in der mittleren Spalte sind etwas schwieriger aufzuschreiben. Hier
finden wir
220 = 2 · 102 + 2 · 101 ,
20200 = 2 · 104 + 2 · 202 ,
2002000 = 2 · 106 + 2 · 203 , also allgemein
bn = 2 · 102n + 2 · 10n .
Wegen cn = bn + 1 können wir nun daran gehen, die Behauptung zu beweisen:
a2n + b2n = (2 · 10n + 1)2 + (2 · 102n + 2 · 10n )2
=
= (2 · 102n + 2 · 10n + 1)2 = c2n .
Kleine Zahlen
Um auch kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise darstellen zu können,
müssen wir die Reihe
Giga
Mega
kilo
Milliarde Million Tausend
109
106
103
nach rechts fortsetzen. Die Einheit ohne Vorsilbe ist die Einheit selbst, die dem Faktor
1 entspricht, und es liegt nahe, die Folge der Hochzahlen 9, 6, 3 mit 0 fortzusetzen:
Giga
Mega
kilo
–
Milliarde Million Tausend
109
106
103
Eins
100
Wir definieren also 100 = 1 aus rein praktischen Erwägungen heraus. Damit liefert
nämlich die Division 103 : 103 = 103−3 = 100 ebenso das richtige Ergebnis wie die
Multiplikation 1000 · 1 = 103 · 100 = 103+0 = 103 . Unsere bisherigen Rechenregeln
bleiben dadurch auch für Multiplikation und Division mit 1 richtig.
Es ist auch nicht schwer zu erraten, wie die obige Tabelle weiter fortzusetzen ist:
Giga
Mega
kilo
–
milli
mikro
nano
Milliarde Million Tausend
109
106
103
Eins Tausendstel
100
10−3
Millionstel Milliardstel
10−6
10−9
2.1 Das Rechnen mit Zehnerpotenzen
33
Daneben gibt es eine ganze Reihe weiterer Vorsilben, etwa centi (für den Hundertsten
Teil, etwa bei cm).
Dieses Schema passt auch wunderbar mit den bisher gefundenen Regeln überein:
bei der Division von Zehnerpotenzen musste man die Hochzahlen subtrahieren, und
die Subtraktion der Hochzahl 3 (also die Division durch 103 = 1000) ist dasselbe wie
1
).
die Addition der Hochzahl −3 (also die Multiplikation mit 10−3 = 1000
Natürlich führen wir negative Hochzahlen nicht nur für Vielfache der 3 ein, sondern
ganz allgemein:
n
10n
4
3
2
1
0 −1
−2
−3
−4
10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
Wir setzen also 10−n = 101n und bemerken ganz ausdrücklich, dass negative Hochzah1
len nichts mit dem Vorzeichen der Zahl zu tun haben: es ist 10−1 = 10
= 0,1 und
1
−10−1 = − 10
= −0,1.
Übungen
2.1 Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise:
a) die Lichtgeschwindigkeit 300 000 km/s;
b) die Entfernung Erde – Mond 384 000 km;
c) die Entfernung Erde – Sonne 150 Millionen km.
d) die Staatsschulden Deutschlands 2 242 000 000 000 Euro
2.2 Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise:
a) 21 000
b) 215 000
5
d) 0,34 · 10
e) 0,00932
g) 0,034
h) 0,0000047
c) 220 · 103
f) 0,100
i) 313 · 10−4
2.3 Verwandle in Dezimalzahlen:
a) 2 · 103
b)
−3
d) 2,1 · 10
e)
c) 1,4 · 105
f) 2 · 100
2.4 Berechne:
a) 106 · 102
d) (4 · 105 ) · (3 · 107 )
g) 106 + 105
3 · 10−2
2,4 · 10−2
b) 10 · 105
e) 2 · 103 · 5 · 104
h) 5 · 1011 + 2 · 1012
c) 109 : 104
f) 4 · 108 : (2 · 103 )
i) 2 · 107 + 3 · 108
2.5 Wenn man ein Papier der Dicke 0,1 mm 30mal falten könnte, wie dick wäre es
dann?
34
2. Potenzen
2.6 Wenn man die Staatsschulden Deutschlands (vgl. Übung 2.1) in 10-Euro Scheinen aufstapeln würde, wie hoch würde dieser Turm, wenn ein Schein eine Dicke
von 0,1 mm hat?
2.7 Ein Autoreifen verliert etwa 1 cm Profil auf 60.000 km. Berechne den Profilverlust auf 1 km.
2.8 Die Venus ist etwa 0,7 AE (die Astronomische Einheit ist die mittlere Entfernung
von Erde und Sonne) von der Sonne entfernt. Wie nahe (in km) kann die Venus
der Erde kommen?
Hierbei nehmen wir an, dass die Bahnen von Erde und Venus Kreisbahnen in
derselben Ebene sind. Dies ist zwar nur angenähert richtig, die Größenordnungen
bleiben davon aber unberührt.
2.9 Wie lange braucht das Licht vom Mond bis zur Erde (vgl. Übung 1) ? Wie lange
braucht es von der Sonne bis zur Erde?
2.10 Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Der
nächste Stern, Alpha Centauri, ist 4,3 Lichtjahre von uns entfernt. Rechne diese
Entfernung in km um.
Wie groß ist die Entfernung bis zur Andromeda-Galaxis, der uns am nächsten
gelegenen großen Galaxie, von der das Licht bis zu uns 2,2 Millionen Jahre
braucht?
2.11 Die Masse eines Wasserstoffatoms ist 1,673 · 10−27 kg, die eines Sauerstoffatoms
etwa 16mal so groß. Wie viele Wassermoleküle enthält ein Liter Wasser?
2.12 Ein Sauerstoffatom hat die 16fache, ein Stickstoffatom die 14fache Masse eines
Wasserstoffatoms. Unsere Atemluft besteht grob aus 20 % Sauerstoff O2 und
80 % Stickstoff N2 . Die Luft hat am Boden bei normalen Temperaturen und
normalem Druck eine Dichte von 1,2 kg/m3 . Wie viele Moleküle Sauerstoff bzw.
Stickstoff enthält 1 Liter Luft? Wie groß können diese Moleküle höchstens sein?
2.13 Die Sonne produziert ihre Energie durch Kernfusion: vier Wasserstoffkerne (Protonen) werden bei sehr hohen Temperaturen und sehr hohem Druck zu einem Heliumkern verschmolzen. Dabei ist die Masse eines Heliumkerns um 0,048·10−27 kg
kleiner als die Summe der Massen der Wasserstoffkerne. Diese Masse m wird bei
der Kernfusion nach Einsteins berühmter Gleichung E = mc2 , wo c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet, in Energie umgewandelt.
Wie viele Wasserstoffatome müssen pro Sekunde verschmelzen, um den Energieausstoß der Sonne von 3,86 · 1026 Watt zu erklären? Wie viele Tonnen Masse
verliert die Sonne pro Sekunde allein durch die Kernfusion?
Die Sonne hat eine Masse von 2 · 1030 kg und besteht zu % aus Wasserstoff. Wie
lange reicht der Brennstoff maximal?
2.2 Die Potenzgesetze für natürliche Exponenten
35
Die wirkliche Lebensdauer der Sonne ist viel kleiner, da die Kernfusion zusammenbricht, wenn der Wasserstoffanteil unter eine bestimmte Grenze fällt.
10
2.14 (ZK 2003) Wenn man die Zahlen u = (1010 )10 und v = 1010 ausschreibt,
beginnen sie mit einer 1, danach kommen viele Nullen. Wie viele Stellen haben
die Zahlen u bzw. v?
Ein Drucker gibt 150 Ziffern pro Sekunde aus. Wie lange braucht er ungefähr,
um die ausgeschriebene Zahl u bzw. v zu drucken?
2.15 Man nehme die Erde als Kugel mit einem Unfang von 40 000 km an und denke
sich ein Seil um den Äquator gespannt. Dieses Seil wird dann um 1 m verlängert
und gleichmäßig so weit wie möglich hochgezogen, sodass es knapp über dem
Erdboden wieder einen Kreis bildet. Wie hoch ist das Seil über dem Boden?
2.16 Jetzt wird ein reißfestes Eisenseil um den Äquator gespannt. Wenn die Temperatur T um den Betrag ∆T sinkt, dann zieht sich das Seil nach dem Gesetz
∆`
≈ α∆T
`
zusammen, wobei ` die Länge und ∆` die Verkürzung des Seils bezeichnet und
α der Längenausdehnungskoeffizient von Eisen ist, nämlich α ≈ 1,2 · 10−5 /◦ C.
Wie tief zieht sich das Seil in den Boden, wenn die Temperatur um 1◦ C sinkt?
2.17 Konstruiere aus der Kubikzahl 1331 = 113 nach obigem Muster eine Folge von
Kubizahlen, welche nur die Ziffern 1, 3 und Nullen besitzen.
2.18 Rechne nach, dass die folgenden Zahlen eine Reihe pythagoreischer Tripel bilden:
b
c
a
41
840
841
401
80400
80401
4001 8004000 8004001
Wie lautet das n-te Tripel in dieser Reihe? Zeige, dass es ebenfalls pythagoreisch
ist.
2.2 Die Potenzgesetze für natürliche Exponenten
In diesem Abschnitt werden wir die Gesetze für Potenzen fromulieren, deren Hochzahlen natürliche Zahlen sind. Später werden wir auch Potenzen mit negativen und
gebrochenen Zahlen einführen, und zwar so, dass diese Potenzgesetze erhalten bleiben.
36
2. Potenzen
Potenzen mit gleicher Grundzahl
Potenzen mit kleinen Hochzahlen kennen wir bereits: es ist a1 = a, a2 = a·a und a3 =
a · a · a. Potenzen sind also Produkte einer Zahl mit sich selbst, und die Schreibweise
an = a
| · a{z· · · a}
n mal
ist erst einmal nur eine Abkürzung. Wir nennen a die Grundzahl (die Basis), n die
Hochzahl (den Exponenten), und an die n-te Potenz von a.
Wenn man sich unsicher ist, wie man mit Potenzen zu rechnen hat, kann man
(zumindest bei kleinen Exponenten n) immer hinschreiben, was die Potenz bedeutet:
a1 · a2 = a · (a · a) = a3 ,
a2 · a3 = (a · a) · (a · a · a) = a5 .
Es ist an dieser Stelle angebracht, mit einem häufigen Missverständnis aufzuräumen: 
während man Produkte von Summen wie etwa 2(a + b) mit dem Distributivgesetz
umformen kann zu 2(a + b) = 2a + 2b, darf man bei 2 · ab = 2(ab) = 2ab nicht jeden
Faktor in der Klammer mit 2 multiplizieren, denn es gilt ja 2 · (ab) = ab + ab = 2ab.
Auch bei a5 ·a7 kann (und sollte) man sich vorstellen, dass zuerst 5mal der Faktor a
dasteht und dann noch 7mal, daher steht a im Produkt insgesamt 12mal da: a5 · a7 =
a5+7 = a12 . Das ist auch schon unser erstes Potenzgesetz:
Satz 2.2. Potenzen mit gleicher Grundzahl werden multipliziert, indem man die
Grundzahl beibehält und die Hochzahlen addiert:
am · an = am+n .
Im wesentlichen addiert man nur die Anzahl der Faktoren:
· · a} = a
· · a} .
am · an = a
· · a} · a
| ·{z
| ·{z
| ·{z
m mal
n mal
m+n mal
Bei Produkten wie 2a2 · 3a3 darf man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen;
es ist also
2 · a2 · 3 · a3 = 2 · 3 · a2 · a3 = 6 · a5 .
Wer verstanden hat, was eine Potenz am bedeutet und wie man Produkte multipliziert und sich daran erinnert, wenn so ein Produkt auftaucht, wird dies automatisch
richtig machen. Man kann sich natürlich auch an die entsprechende Regel bei Zehnerpotenzen erinnern, wo die Addition der Hochzahlen in einem Produkt einfach der
Addition der Nullen entspricht.
Eine anderer Fehler ist 2 · 23 = 43 oder Ähnliches: wenn man sich vor Augen hält,
dass 2 · 23 = 2 · (2 · 2 · 2) = 24 bedeutet, kann man auf diesen Unsinn gar nicht erst
kommen.
2.2 Die Potenzgesetze für natürliche Exponenten
37
Ebenfalls wichtig ist folgende Übereinkunft: bei Rechenausdrücken, in denen Pro- 
dukte und Potenzen vorkommen, wird zuerst die Potenz und dann das Produkt berechnet. Der Ausdruck 2a2 bedeutet also 2 · a · a und nicht (2a)2 = 4a2 . Sinnn dieser Regelung ist, dass man dadurch Klammern einsparen kann. Insbesondere ist auf
diese Regelung zu achten, wenn es um Ausdrücke der Form −24 geht: nach unserer Übereinkunft ist dies als −24 = −(24 ) = −16 zu lesen, während bekanntlich
(−2)4 = (−2)(. − 2)(−2)(−2) = +16 ist.
Zweites Potenzgesetz. Zum ersten Potenzgesetz, das die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Grundzahl regelt, gehört ein zweites, das sich mit der Division
befasst. Wir haben etwa
5·5·5·5
= 5 · 5 · 5 = 53 ,
54 : 51 =
5
2·2·2·2·2
25 : 23 =
= 2 · 2 = 22 ,
2·2·2
da wir beim ersten Bruch eine 5 und beim zweiten dreimal die 2 kürzen können.
Damit ist klar, wie das zweite Potenzgesetz formuliert werden muss:
Satz 2.3. Potenzen mit gleicher Grundzahl werden dividiert, indem man die Grundzahl beibehält und die Hochzahlen subtrahiert:
am
am : an = n = am−n .
a
Dabei müssen wir uns (vorläufig) auf den Fall m > n beschränken, weil wir negative Hochzahlen erst nachher besprechen werden. In diesem Fall ist das zweite
Potenzgesetz einfach die bekannte Regel zum Kürzen von Brüchen:
m mal
z }| {
a···a
am
= a
· · a} ,
=
| ·{z
an
a
· · a}
| ·{z
m−n mal
n mal
da wir n Faktoren a oben und unten wegkürzen können und dann eben m−n Faktoren
übrig bleiben.
Der häufigste Fehler beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Grundzahl tritt 
auf, wenn man etwa am : am−1 zu bestimmen hat. Stellt man sich diesen Quotienten
als Bruch vor, in dessen Zähler m mal und in dessen Nenner m − 1 mal der Faktor a
steht, dann sieht man, dass man den ganzen Nenner wegkürzen kann und zum Schluss
ein a im Zähler übrig bleibt. Dasselbe Ergebnis liefert das zweite Potenzgesetz:
am : am−1 = am−(m−1) = am−m+1 = a1 = a.
Allerdings muss man dabei beachten, dass um jede Hochzahl eine unsichtbare“ Klam”
mer steht, die man nicht weglassen darf, wenn davor ein Minuszeichen steht. Nichtbeachtung dieser Klammer führt zum falschen Ergebnis am : am−1 = am−m−1 = a−1
(und dieses Ergebnis ist falsch, wie das Beispiel 24 : 24−1 = 24 : 23 = 2 zeigt).
38
2. Potenzen
Zum Vereinfachen von Ausdrücken oder zum Umstellen von Formeln ist es ganz
wichtig, diese Potenzgesetze auch in einer komplizierteren Umgebung richtig anwenden zu können. So muss man in der Lage sein, aus x4 + x9 die größte Potenz von x
auszuklammern, die in beiden Summanden steht: x4 + x9 = x4 (1 + x5 ). Nach dem
Ausmultiplizieren muss wieder dasselbe dastehen wie zu Beginn. Entsprechendes gilt
für 12a5 + 18a3 = 6a3 (2a2 + 3). Bleiben Ausdrücke zurück, die keinen offensichtlichen
Faktor mehr besitzen, so ist zu prüfen, ob eine binomische Formel vorliegt, wie etwa
in den folgenden Beispielen:
3a3 + 12a2 b + 12ab2 = 3a(a2 + 4ab + 4b2 ) = 3a(a + 2b)2 ,
2a5 − 8a3 = 2a3 (a2 − 4) = 2a3 (a − 2)(a + 2).
Das Erkennen von binomischen Formeln erfordert keine höhere Intelligenz, sondern
nur Übung. Wir werden in diesem Schuljahr bei einigen Anlässen Gelegenheit haben,
binomische Formeln gewinnbringend einzusetzen.
Übungen
2.1 Rechenübungen.
1. Berechne nacheinander 21 , 22 , . . . , 210 .
2. Berechne 36 .
3. Berechne die Dezimaldarstellung von /1 1024 durch fortgesetztes Halbieren.
2.2 Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Potenzgesetze.
a) x2 · x4
d) xa · x2a
2.3 Vereinfache
8
a) xx2
d)
2x3 ·3x4
5x7
b)
e)
2x5 · 3x3
3x2 · 4x2
b) x3 : x2
e)
a4m+3n : a3m+4n
c) 2 · 29
f) x · x4 + 2x5
c) xm : xm−3
f)
8x2m+1
2xm+1
2.4 Faktorisiere so weit wie möglich.
a) x6 + x2
d) x6 − x2
g) 16a4 − 24a3 + 9a2
b) 12x2 + 18x3
e) 27x5 − 12x3
h) 5a2 b − 10ab + 5b2
c) x2 − 4
f) 4x3 + 8x2 + 4x
i) 4a2 b2 − 1
Potenzen mit gleicher Hochzahl
Auch Potenzen mit gleicher Hochzahl lassen sich zusammenfassen; diese Art von
Umformung kommt aber deutlich seltener vor als diejenige von Potenzen mit gleicher
Grundzahl. So ist beispielsweise
2.2 Die Potenzgesetze für natürliche Exponenten
39
24 · 34 = (2 · 2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3 · 3)
= (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = 6 · 6 · 6 · 6 = 64 ,
und das funktioniert natürlich allgemein:
Satz 2.4. Potenzen mit gleicher Hochzahl werden multipliziert, indem man die Hochzahl beibehält und die Grundzahlen multipliziert:
am · bm = (ab)m .
Selbstverständlich bleibt alles richtig, wenn wir das Ganze rückwärts rechnen: aus
6 = 24 · 34 erhalten wir nach Division durch 24 die Gleichung 64 : 24 = 34 :
4
Satz 2.5. Potenzen mit gleicher Hochzahl werden dividiert, indem man die Hochzahl
beibehält und die Grundzahlen dividiert:
am a m
.
am : b m = m =
b
b
Wichtig ist, dass bei Umformungen von Produkten mit gleicher Grundzahl die 
Grundzahl erhalten bleibt, bei Produkten mit gleicher Hochzahl die Hochzahl. Produkte, bei denen Grundzahlen und Hochzahlen gleich sind, kann man daher auf zwei
verschiedene Arten umformen; so ist
24 · 24 = 24+4 = 28
24 · 24 = (2 · 2)4 = 44
nach dem ersten Potenzgesetz,
nach dem zweiten.
Welche Umformung die bessere ist, hängt von der Situation ab. Wichtig ist allerdings,
dass je nach Wahl des Potenzgesetzes entweder die Grundzahl oder die Hochzahl gleich
bleibt.
Potenzen von Potenzen
Das letzte Potenzgesetz dreht sich um Potenzen von Potenzen. Eigentlich ist es, wie
die andern auch, überflüssig, wenn man weiß, was man tut. Denn selbstverständlich
ist (24 )3 nichts anderes als (24 )3 = 24 · 24 · 24 = 24+4+4 = 24·3 = 212 , folglich lautet das
entsprechende Potenzgesetz so:
Satz 2.6. Bei Potenzen von Potenzen werden die Hochzahlen multipliziert:
(am )n = am·n = amn .
Zu achten hat man bei der Anwendung darauf, dass etwa
(2a2 )3 = 2a2 · 2a2 · 2a2 = 23 a2·3 = 23 a6
ist, also die dritte Potenz sowohl auf den Faktor 2 ebenso wie auf den Faktor a2
anzuwenden ist. Insbesondere ist (−a2 )4 = a8 , weil das Minuszeichen viermal auftritt.
3
Zu Potenzen von Potenzen ist noch zu sagen, dass in Ausdrücken wie 22 von
oben nach unten gerechnet wird (eine Regel, die man zum Einsparen von Klammern
festgelegt hat – genausogut hätte man festlegen können, dass man von unten nach
3
oben rechnet). Es ist also 22 = 28 = 256, aber (22 )3 = 26 = 64.

40
2. Potenzen
Umformen
Treten in Aufgaben Potenzen von 4 und 8 auf, so ist es zum Anwenden der Potenzgesetze oft angebracht, diese mit dem fünften Potenzgesetz in Potenzen von 2 zu
verwandeln:
23 · 42 · 84 = 23 · (22 )2 · (23 )4 = 23 · 24 · 212 = 219 .
Entsprechendes gilt für Potenzen von 9 und 27 usw.
Auch beim Vereinfachen von Brüchen ist diese Idee anzuwenden: so ist etwa
(2 · 5)4 · (2 · 3)5
24 · 54 · 25 · 35
8
104 · 65
=
=
= 24+5−6 35−5 54−5 = 23 5−1 = .
3
5
2
3
5
6
5
5
4 · 15
(2 ) · (3 · 5)
2 ·3 ·5
5
Selbstverständlich geht es bei solchen Aufgaben nicht darum, im täglichen Leben
auftretende Brüche zu berechnen, sondern einzig und allein um das Einüben von
Potenzgesetzen in vielen verschiedenen Situationen.
Übungen
2.1 Berechne:
a) 105 · 10
c) 520 : 5
b) 106 : 10
d) 2 · 106 : 10
2.2 Vereinfache:
a) x2 · x3
d) xa · xa
b) x−2 · x3
e) xn : xn
c)
f)
x3
x
a2 ·a−1
a3
2.3 Schreibe als Produkt:
a) x2 + x5
d) a4 − b4
b) 3y + 3y 2
e) a−2 − b−2
c) a2 − b2
f) a4 + 2a2 b + b2
2.4 Schreibe als Produkt:
a) a2 − 4a4
d) a4 − 2a2 b−3 + b−6
b) a2 + 2ab + b2
e) a−2 − b4
c)
f)
a4 + 2a2 b + b2
81 − 25
c)
53
√ 6
3
2.5 Berechne (ohne Taschenrechner):
24
√ 2
d)
2
a)
b)
e)
33
√ 4
2
f)
2.6 Berechne (ohne Taschenrechner):
a)
(−1)2
b)
d)
1,22
e)
(−2)4
√
(− 5 )6
c)
f)
−32
√ 5
2
2.3 Potenzen mit negativen Exponenten
41
2.7 Schreibe als Potenz mit möglichst großer Hochzahl:
a) 27
d) 18
b)
e)
32
c)
f)
64
b) 0,04
e) 0,0009
c)
f)
0,16
0,81
b) 34 · 3m
e) am bn a2+m b4−n
c) 2m · 2n
f) x2m−1 x2−m
9
16
1
81
2.8 Schreibe als Potenz mit möglichst großer Hochzahl:
a) 0,01
d) 0,064
2.9 Vereinfache:
a) 25 · 23
d) am+1 an−m
2.10 Vereinfache:
a) 2m · 4m+1
d) 22m − 4m
b)
e)
2.11 Klammere aus:
a) 8x + 16y
d) 32m−1 − 9m x
g) r2 + 4rs + 4s2
b) 25 a − 27 b
e) x2 − 4y 2
h) 23m − 4m
2.12 Vereinfache:
2 −y 2
a) xx+y
b)
d)
r2 −4s2
r2 +4rs+4s2
e)
32m−1 : 9m
23m+1 − 8m
c)
f)
32m−1 − 92m
3 · 2n − 2n+1
c) 2m−1 r + 2m+1 s
f) 22m x2 − 34m y 2
i) 24m a2 + 22m+1 abm +
b2m
a−b
b−a
47 ·69
219 ·38
c)
f)
x2 −y 2
y−x
x2 +2xy+y 2
x2 +xy
2.3 Potenzen mit negativen Exponenten
Potenzen mit negativen Exponenten haben wir im Zusammenhang mit Zehnerpotenzen bereits kennengelernt: 10−3 beispielsweise haben wir definiert als 10−3 = 1013 =
1
. Dies machen wir allgemein: wir setzen
1000
1
a−1 = ,
a
a−2 =
1
,
a2
a−n =
1
.
an
Bei dieser Festlegung bleiben die Potenzgesetze gültig, wie man nachrechnen kann; es
ist ja, wenn m > n ist,
am · a−n =
am
= am−n = am+(−n) ,
n
a
wobei wir im ersten Schritt die Definition von a−n und im zweiten das erste Potenzgesetz für positive Exponenten benutzt haben. Im Falle m < n haben wir entsprechend
42
2. Potenzen
am
1
=
= a−(n−m) = am−n .
n
n−m
a
a
Auch hier muss man negative Vorzeichen und negative Exponenten fein säuberlich 
auseinanderhalten: es ist
1
1
1
und (−4)−2 = .
4−2 = , −4−2 = −
16
16
16
2.1 Berechne (ohne Taschenrechner):
√ −2
a) 2−4
b) 3−2
c)
2
√ −4
d)
3
e) (−1)2
f) (−2)4
√
g) 1−2
h) (− 5 )−2
i) 10−2
am · a−n =
2.2 Schreibe als Potenz (neg. Hochzahlen):
a)
d)
1
27
1
81
b)
e)
1
32
1
64
c)
f)
0,01
0,04
2.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
√
Im letzten Schuljahr haben wir Quadratwurzeln eingeführt. Die Quadratwurzel a
einer positiven
√ √ Zahl a ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst malgenommen a
ergibt: a · a = a.
Quadratwurzeln als Potenzen
Wir wollen einmal die Potenzen von 3 und 9 nebeneinander schreiben:
30
31
32
33
34
35
36
=
1
=
3
=
9
= 27
= 81
= 243
= 729
90 =
1
91 =
9
92 =
81
93 = 729
Wenn wir auch die ungeraden Potenzen von 3 wie 3, 27 und 243 als Potenzen von 9
schreiben möchten, dann sollte klar sein, wie wir vorzugehen haben:
30
31
32
33
34
35
36
=
1
=
3
=
9
= 27
= 81
= 243
= 729
90
1
92
91
3
92
92
5
92
93
=
1
=
3
=
9
= 27
= 81
= 243
= 729
2.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
43
√
1
Wir setzen also 9 2 = 9 = 3; das passt mit den Potenzgesetzen√gut zusammen: es
1
1
1
ist ja einerseits (9 2 )2 = 9 2 ·2 = 91 = 9, andererseits auch (9 2 )2 = ( 9 )2 = 32 = 9.
Auf leicht anderem Weg hätten wir 3 als Potenz von 9 auch einfach so erhalten
können: wenn 3 = 9x ist und die bisherigen Potenzgesetze weiter gelten sollen, dann
muss 3 = 9x = (32 )x = 32x sein, und Vergleich der Hochzahlen liefert 1 = 2x, also
x = 12 .
√
1
Allgemein setzen wir a 2 = a, wobei natürlich a ≥ 0 sein muss, damit die Quadratwurzel existiert. Für die Festlegung aller anderen Potenzen mit halbzahliger Hochzahl fordern wir die Gültigkeit der Potenzgesetze auch für solche Hochzahlen. Dann
√ 3
3
1
wird nämlich 9 2 = (9 2 )3 = 9 = 33 = 27 wie gewünscht.
Zum Rechnen sind gebrochene Hochzahlen nur dann hilfreich, wenn man Ausdrücke mit verschiedenen Wurzeln zu vereinfachen hat. Der eigentliche Zweck der
Einführung gebrochener Hochzahlen wird sich erst im nächsten Schuljahr offenbaren.
Kubikwurzeln
Quadratwurzeln treten auf, wenn man die Seitenlänge eines Quadrats mit gegebenem
Flächeninhalt berechnet:
ein Quadrat mit Flächeninhalt 16 m2 hat eine Kantenlänge
√
von √
4 m wegen √ 16 = 4, und ein Quadrat mit Flächeninhalt 5 hat eine Kantenlänge
von 5, wobei 5 diejenige positive reelle Zahl ist, die mit sich selbst malgenommen
5 ergibt.
Entsprechend tauchen Kubikwurzeln beim Berechnen der Kantenlänge eines Würfels
mit gegebenem Volumen auf: Ein Würfel mit Volumen 8 m3 hat eine Kantenlänge
von 2 m wegen 23 = 8. Allgemein nennen wir die Zahl, deren dritte Potenz gleich
√
3
a.
einer gegebenen positiven
reellen
Zahl
a
ist,
die
Kubikwurzel
von
a
und
schreiben
√
4
Entsprechend ist a diejenige Zahl, deren 4. Potenz gleich a ist.
Beispiel.
√
3
27 = 3
√
3
64 = 4
√
4
81 = 3
√
4
√
5
p
3
16 = 2
32 = 2
0,001 = 0,1
Wenn man eine dritte oder vierte Wurzel aus einer Zahl zu ziehen hat, die keine
dritte bzw. vierte Potenz ist, muss man den Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Weiter
unten werden wir aber zeigen, dass man gute Näherungen durchaus auch von Hand
berechnen kann.
√
Ist q ungerade, darf a auch negativ sein: 3 −8 = −2 wegen (−2)3 = −8. Lässt
man dies zu, muss man beim Rechnen mit Potenzgesetzen allerdings aufpassen, weil
jetzt, wenn man unbedarft rechnet, unangenehme Dinge geschehen können:
√
p
√
√
√
1
2
2
1
6
6
3
3
−2 = (−2) 3 = (−2) 6 = 6 (−2)2 = 4 = 22 = 2 6 = 2 3 = 2.
44
2. Potenzen
Das Problem ist, dass wir beim Wechsel von der Hochzahl 13 zur Hochzahl 62 einmal
quadriert und einmal die Quadratwurzel gezogen haben; diese Operationen heben sich
auf, wenn der Radikand positiv ist, aber nicht, wenn er negativ ist. Beim Rechnen
mit 3. und 5. Wurzeln aus negativen Zahlen sollte man also zuerst das Vorzeichen vor
die Wurzel ziehen.
2.5 Übungen
2.1 Abschätzen von Wurzeln: zwischen welchen ganzen Zahlen liegen folgende Wurzeln?
√
√
(b) < 3 16 <
(a) < 10 <
√
√
(d) < 4 20 <
(c) < 3 40 <
√
√
√
√
2.2 Es ist 0,7 < 0,6 < 0,8 wegen 0,49 < 0,6 < 0,64. Löse ebenso
√
√
√
a) < 0,2 <
b) < 0,03 <
c) < 0,001 <
√
√
√
d) < 0,4 <
e) < 0,004 <
f) < 0,0002 <
2.3 Vereinfache (alle Variablen sind positiv):
√
√
a)
a2
b)
a4
√
√
3
d)
a6 b 3
e)
a2 b 4
c)
2.4 Vereinfache (alle Variablen sind positiv):
√ √
√
√
3
a)
a5 a−3
b)
a4 : 3 a
√
√
3
a6m+3
e) m 2m
d)
c)
2.5 Berechne:
p√
a)
16
p
√
3
d)
a12
√
n
g)
a2n
b)
p
√
3
64
p√ √
e)
a2 b 2
√
h) m am b−m
f)
f)
c)
f)
i)
√
3
a3
√
4
a4 b−12
√
22m
√
k
bk2 +k
p√
x8
p
√
√
3
a3 : b 3
√
5
32x5
2.6 Berechne, falls möglich:
1
a)
16 2
d)
(−36) 2
g)
32 5
1
1
1
1
c) −4 2
b)
64 2
e)
−36 2
h)
( 18 ) 3
1
1
1
f)
64 3
i)
( 49 ) 2
c)
16 4
f)
81 4
i)
( 49 )− 2
1
2.7 Berechne, falls möglich:
2
1
b) −25− 2
a)
27 3
d)
125− 3
g)
64 6
2
5
4
e)
8− 3
h)
8 −3
( 27
)
1
3
3
3
2.6 Übungen
2.8 Vereinfache so weit wie möglich:
a)
1
1
1
5
5
2
a2 · a2
d) x 4 · x 4
g)
a6 : a3
2.9 Fasse zusammen.
√ √
a) 3 2 · 4 2
√ √
d) 3 2 : 4 2
√ √
4
g) 3 b · b3
1
2
b) b 3 · b 3
e)
1
1
x3 · x2
3
h) x 2 : x
b)
e)
h)
√
√
4
3
2 · 22
√
√
3
a· 4a
√
√
3 2
3
b : b−1
2.10 Teilweises Ausziehen von Wurzeln:
√
√
12
b)
50
a)
√
√
d) 3 24
e) 4 48
√
√
g)
4x2
h)
9x3
2.11 Vereinfache.
√
√
√
a) √12 + 2 75
−
3
√
2
c) 3 5a − a 20
1
1
c)
c 5 · c− 5
f)
x3 : x3
i)
x : x2
c)
f)
i)
c)
f)
i)
2
1
1
√
√
3
2· 48
√
√
4
3
a · a2
√
√
3
x: 4x
√
3
108
√
5
96
√
3
8x4
√
√
√
b) 2√18 − 50√+ 32
d) 2 6x2 + x2 24x−2
2.6 Übungen
2.1 Klammere einen möglichst großen Faktor aus:
b) x2 + 2xy
d) 2x+3 + 3 · 2x
a) 14a + 21b
c) 9x3 + 12xy 2
2.2 Berechne ohne Taschenrechner:
a) −72
b) (−a)4
d) x2 · x5
e) x12 : x4
2.3 Berechne ohne Taschenrechner:
a) 2,1 · 108 + 108
c) 4,2 · 1018 : (2 · 1012 )
c) (−x2 )3
f) xm : xm−1
b) 3 · 108 · 2 · 107
d) 3 · 10100 + 2 · 10101
2.4 Berechne.
a) 26
d) 4−1
g) ( 32 )−2
b) (−3)2
e) 10−3
1
h) ( 49 )− 2
c) (−1)0
1
f) 16 2
1
i) −8 3
45
46
2. Potenzen
2.5 Fasse zusammen.
a) a4 · a3
d) ak : ak−1
g) 35 · 92
c) a5 : a−2
1
f) (a 2 )4
15 ·128 ·109
i) 61512
·1811
b) am · am+1
e) (a4 )5
h) 47 · 84
2.6 Schreibe in wissenschaftlicher Notation.
a) 40 000
d) 2 · 104 · 6 · 108
b) 299 800
e) 2,4 · 10−20 · 5 · 1040
c) 0,0004
f) 1,8 · 1023 : 3 · 106
2.7 Vereinfache so weit wir möglich.
a)
c)
a4 −a5
a2
a2 −b2
a−b
b)
d)
a6 −a3
a3 −1
x2 −4xy+4y 2
x−2y
2.8 Vereinfache:
4 5 6
a) aa3 bb5 cc7
√ √
c)
x: 4x
x −25y
b) x2 +10xy+25y
2
√
d) x2 : x
2.9 Berechne:
a) x3 · x7
c) (9 · 109 ) : (2 · 10−3 )
e) (x4 )3
g) −8−2
b)
d)
f)
h)
2
2.10 Berechne:
a) q
13 % von 110
c)
b)
54
24
d)
2
xm : xm−3
3 · 108 + 2 · 109
−(−x)8
1
( 94 )− 2
18
15
√
:
24
25
64 + 36
2.11 Vereinfache so weit wie möglich:
a) (x − 2)2 − (2 − x)2
√
√
c)
2x · 18x
b) 3m(1 − 2m) − 2m(2m − 1)
3 +3x2 y
d) x x+3y
2.12 Vereinfache so weit wie möglich.
a)
c)
√
x
√
6x
ab2 −a3
ab−b2
b)
d)
2.13 Berechne bzw. Vereinfache.
67 ·148
217 ·46
a3 −6a2 b+9ab2
a2 −3ab
(a)
2m+n ·2m−n−1
41+m
(b)
√
3 2
a
√
4 2
a
(c)
x2 −4y 2
x2 +4xy+4y 2
(d)
125 ·10−4
66 ·5−2
(e) x5 · x9
(f) x4 y 2 x3 y
(g) x3n−2 · x2n−3
(h)
x2+3m : x2−3m
2.6 Übungen
2 · 2x
√
√
3
(k)
x2 : 6 x
(i)
(j)
(2n+2 )3
(l)
(3r−1 + 26 · 3r−1 ) : 9
3,41·1012
2,17·1015
(m)
(n)
47
(2·105 )3
(3·104 )4
2.14 Die Gleichung 210 = 1024 kann man benutzen, um große Potenzen von 2 abzuschätzen: aus 210 ≈ 103 folgt z.B. 220 ≈ 106 , 224 = 24 220 ≈ 16 · 106 . Schätze
ab (ohne TR): 232 ; 241 ; 263 (die Anzahl der Reiskörner auf dem 64. Feld in der
Legende). Vergleiche diese Abschätzungen mit den exakten Werten (mit TR).
2.15 Berechne bzw. vereinfache die folgenden Ausdrücke.
2
3
5
a) 65 − 32
b)
−
: 21
3
7
d)
g)
j)
3
+ 27 : 73
4
3 5 4
· ·
4 6 5
1− 12
x
1− x1
e)
h)
k)
3
7
c)
3
− 15
7
3
+ 15
7
i)
l)
2.16 Berechne:
√
a)
144
1
d) 16 2
g) 38 · 35
1
j) 4− 2
√
b) 3 64
1
e) ( 18 ) 3
5
h) 4,2·10
2·10−3
k) ( 31 )−1
√
c)
0,04
f) −52
i) 45 · 83
l) ( 25 )0
2.17 Berechne:
√
a)
a6
1
d) 36 2
g) 512 · 55
√
b) 3 125
1 13
e) ( 27
)
6,2·108
h) 3,1·10−4
√
c)
0,16
f) −92
i) 95 · 273
j)
1
16− 2
k)
( 71 )−1
2
11
:
12
33
41
5
7
− 13
− 17
17
1
+ 2b
a
r
s
: r+s
r+s
f)
3
5
7
+ 13
: 13
7
a
b
+ a+b
a+b
· 75 −
+
(− 25 )0
l)
2.18 Forme mit Hilfe der Potenzgesetze um:
a) xr · x1−r
c) (24 )5
b) am+1 : am−1
d) 37 · 57
2.19 Vereinfache den Bruch:
(a)
a5 b4 c9
(abc2 )2
(b)
66 ·104
154 ·45
(c)
a3 +6a2 b+9ab2
a2 +3ab
(d)
am+2
am−2
2.20 Berechne bzw. vereinfache die folgenden Ausdrücke.
5
5
5
2
3
a) 12
− 18
b)
−
: 33
3
11
d)
3
4
+
5
9
:
4
9
e)
3
− 15
7
3
+ 15
7
c)
3
7
· 57 −
f)
41
17
−
5
14
2
11
:
12
33
−
7
17
+
19
14
18
13
48
2. Potenzen
2.21 Berechne bzw. vereinfache die folgenden Ausdrücke.
a)
d)
3 5
·
7 6
1− 12
·
7
5
x
1+ x1
b)
3
7
+
5
13
:
7
13
c)
3
a
e)
x+1
x−y
−
y+1
x−y
f)
s
t2 −u2
2m · 8n
c)
e)
ax −ax+2
ax+1 −ax
f)
x+y
x
− x+y
x
4n ·25n+1
102n+1
b)
xn −xn+2
xn+1 +xn
y 2m −14y m +49
y 2m −49
c)
2.22 Vereinfache bzw. berechne:
2 4
4 b2
a) a ab2−a
b)
−ab
d)
a2 −4b2
a2 +4ab+4b2
:
a−2b
a+2b
+
2
b
:
t
t−u
2.23 Vereinfache bzw. berechne:
a)
d)
a2 b3 (16−a2 )
a3 (4b2 −ab2 )
9y 2m −4
3y m+1 −2y
e)
f)
x2k +4xk +4
x2k −4
9y 2m −4
3y m+1 −2y
2.24 Kürze so weit wie möglich:
(a)
(24 ·153 )2 ·21
58 ·72 ·126
(c)
a−5 b−7 c4
a3 b−2 c5
(e)
2x −k
y2
(g)
:
:
(b)
(10a)21 ·627
817 ·(400a2 )11
ab−9 c3
a9 b−3 c−1
(d)
(2xy 2 z)4
a2 b−1
x−3 k
x−2
(f)
b2n
cn−1
t2k −2tk
tk−2 −4t−k−2
:
:
2(x2 y)−3
(ab)−1
a2
cn+1
·
b3n
a5
(h)
2.25 Vereinfache:
a)
a7 · a3
b)
√ 4
5
c)
13−0
d)
y7
y4
a3 −ab2
a−b
e)
(x2 )5
f)
(−2x2 )3
h)
21100 ·1080
15101 ·3570
i)
−2 · (−2x)4
c)
a3 b5 −a5 b3
ab2 −a2 b
a2 −4b2
: a−2b
a2 +4ab+4b2
a+2b
2
g)
2.26 Vereinfache bzw. berechne:
3 4 5
b) am+n : am−n
a) xx5 yy4 zz3
y
x
d)
8n+1 : 23n
e)
x
y
g)
(rs − 1)(rs + 1)
h)
(a + 5b)2
−
f)
i)
(ac − bd)
c)
√
3
27a6 c9
p
p
4
x5 y 7 : 4 xy 3
2.27 Berechne 30 dm2 + 0,2 m2 + 130 cm2
2.28 Vereinfache bzw. berechne:
√ √
65 ·154
a) 12
b)
x· 4x
6 ·107
p
p
p
p
d)
xy 5 · x3 y
e) 3 x2 y 4 · 3 x5 y 2
f)
2.29 Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die folgenden Größen?
√
√
√
a)
43
b) 3 43
c) 4 43
2.6 Übungen
2.30 Vereinfache:
2
a) 1+x
− x x−1
− x15
3
x6
2
1
c) 3−x
+ xn−2
− 3x−2
xn
xn+1
b)
d)
2.31 Vereinfache:
q q
a) 4 12 : 12
√√
3x
d) √
5 √
4
b)
e)
x
49
a
4b
− a3 b−4ab
3
a2 b2 −4b4
p
√
3
3
3
3
ax + bx · (a + b)2
√
√ √
3
6
a2 · a · a5
√
√
3
4: 2
√
z2 z
√
4 3
z z
c)
√
√
3
3
a5 b ab2
f)
2.32 Vereinfache:
√
18 +
√
50 =
√
3
√
√
3
3
16 + 128 − 6 2 =
√
√
√
120a − 2 270a − 5 30a =
21/3 − 161/3 + 541/3 =
2.33 Vor der Einführung von G8 gab es am Ende von Klasse 10 Zentrale Klassenarbeiten in den Hauptfächern. Die folgenden Aufgaben sind diesen Prüfungen
entnommen.
Vereinfache folgende Ausdrücke.
(1997)
(212 ·a3 )5
(75 ·a4 )2
(1988)
√
√
√
( a+1)(1− 4 a )(1+ 4 a )+a (1999)
6·(3xy 2 )3
(9x2 y 3 )2
(1999)
(a2 )3 ·(b3 )−2 ·(ab)4
(ab2 )−3 ·(a3 )4 ·b5
(2000)
ax −ax+2
ax+1 −ax
(2000)
x−5 y −3 z −7
x−6 y −2 z −5
(2001)
16a3 −a
a2 −4a3
(2001)
a−5 b2
c−5 a3
(2002)
(a2 c)2
a2 c2 +bc2
−
b2
a2 +b
(2002)
(a2 c)2
a2 c2 +bc2
(2003)
b3
an−2
b5
c2n
(2004)
4n+1 +12·4n
4n+2 −4n+1
(2005)
4n ·25n+1
102n+1
(2006)
n+1
20·5n+2
√ +25·5
( n 25 )2n
(2007)
5n+2 +2·5n
2·5n −5n+1
(2007)
xn+3 +xn+2
x2n ·x2−n
()
:
(1988)
·
x8 y −3 z −1
x7 yz −3
c4 b3
ba8
−
b2
a2 +b
x−2y
y2
+
:
1
x
:
2.34 Löse folgende Gleichungen.
a) x4 − 4x2 + 3 = 0
b)
(x − 4)(x2 − 6) = 0
c)
5 · 2x + 1 = 81
d)
22x − 6 · 2x + 8 = 0
e)
2x2 + 2x = 12
f)
(2x − 1)(x2 − 4) = 0
h)
3x − 2x − 1 = 0
g) x4 − 5x2 + 4 = 0
:
x−y
xy 2
c2n
an+3
50
2. Potenzen
2.35 Löse folgende Gleichungen.
(a) x4 − 3x2 = 0
√
(c)
x = 16
1
x
16
(b)
4x4 + 15x2 − 4 = 0
(d) x4 + 3x3 − 10x2 = 0
(g)
4x4 + 15x2 − 4 = 0
6x5 − 5x4 + x3 = 0
√
√
(h)
x = 16
(i)
(x3 − 8)(x2 − 16) = 0
(j)
x2 − 16 x =
(k)
2x3 − 5x2 + 2x = 0
(l)
4x4 + 11x − 3 = 0
(e) x5 −
(m)
1
x
=
=0
1
7
(f)
1 2
x
4
(n)
1
6
2
+ 12 x = 2
2.36 Löse folgende Gleichungen.
(a) x3 − 3x = 0
(b) x4 − 6x2 − 27 = 0
(c)
(d) x4 + 3x3 − 10x2 = 0
10x = 11x
(e) x5 − 16x = 0
(f)
2x4 = 162
2.37 Löse die folgenden Gleichungen:
(c)
x
− x4
3
x−1
=
x+1
(e)
1 2
x
3
(a)
=3
(b)
3
(d)
x−3
+ 2x−1
= 13
5
3
x+12
= 3x − 4
x+5
(f)
3
x+1
=3
(b)
+
3
(d)
x−2
5
x+5
x+2
(f)
3
x
5
2x−1
+ 13 x = 2
+
5
2x−1
=
7
4
2.38 Löse die folgenden Gleichungen:
(c)
x
− x5
3
x−1
=
x+1
(e)
1 2
x
3
(a)
+ 13 x = 2
+
=
2x+1
3
2x+3
4
=
1
3
=2
2.39 Löse folgende Gleichungen.
(a)
5 · 2x = 80
(b) x4 − 5x2 + 4 = 0
(c)
22x − 9 · 2x + 8 = 0
(d)
(3x − 9)(2x − 8) = 0
(e)
9x + 2 · 3x − 3 = 0
(f)
(2x2 − 8)(22x+1 − 32) = 0
(g) x4 − 10x2 + 9 = 0
(h)
15x3 − 8x2 + x = 0
(i)
22x − 3 · 2x = −2
(j)
(k)
(x2 − 4)(x2 + 16) = 0
(l) x3 − 5x2 + 4x = 0
(x − 17)(x + 18) = 0
2.40 Löse folgende Gleichungen:
(a) x3 − 5x2 + 4x = 0
(c)
32x − 12 · 3x + 27 = 0
(b)
2x4 + 3x2 − 5 = 0
(d)
22x − 6 · 2x + 8 = 0
2.6 Übungen
(e) x3 − 5x2 + 4x = 0
(g)
1 4
x
5
2
−
(i) x + 7
34 2
x
5
= x82
+ 45 = 0
(f) x4 + x2 − 20 = 0
(h)
(j)
27x−4 = 17
32x + 2 · 3x = 3
2.41 (ZK 1997) Löse die Gleichung 2x · 3x+1 = 21 .
2.42 (ZK 1998) Löse die Gleichung 3 · 2x+1 − 48 = 0.
51
52
2. Potenzen