Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Manfred Hoffmann, Norbert Krämer, Georg Ponnath
Mathematik
für die Berufliche Oberschule
Band 2
Nichttechnische Ausbildungsrichtungen
3. Auflage
Bestellnummer 05976
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www.bildungsverlag1.de
Bildungsverlag EINS GmbH
Hansestraße 115, 51149 Köln
ISBN: 978-3-427-05976-9
© Copyright 2011: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln
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Vorwort
„Mathematik für die Berufliche Oberschule“ ist für nichttechnische Ausbildungsrichtungen geeignet und erfüllt den aktuellen Lehrplan für Mathematik des
Bundeslandes Bayern.
Einer der Schwerpunkte von „Mathematik für die Berufliche Oberschule“ ist das
reichhaltige Angebot von Übungsaufgaben, die optisch in einzelne Lernthemen
aufgeteilt sind, damit Lehrer und Schüler mit einem Blick das Grundthema der
Aufgabe erkennen können. Daneben werden auch vermischte Aufgaben gestellt,
die ein größeres Lerngebiet behandeln, zum Beispiel für Prüfungsvorbereitungen. Jeder schwierigeren Übungsaufgabe ist eine vollständig vorgerechnete Musteraufgabe vorangestellt.
Der Inhalt des Lehrbuchs umfasst die beiden mathematischen Teilgebiete Analysis und Stochastik. In beiden Teilgebieten wird versucht, die mathematischen
Zusammenhänge plausibel darzustellen, wobei oftmals auf exakte mathematische Beweise verzichtet wird. Es wird jedoch großer Wert auf die methodisch
schlüssige Darstellung der Sachverhalte gelegt. Deshalb geht der Inhalt einiger
Kapitel über die Anforderungen des Lehrplans hinaus (gekennzeichnet durch
das Symbol 䉲). Am Anfang ist das Kapitel „Grenzwert“ in einer Kurzfassung
aufgenommen, es dient als Wiederholung sowie als Information für Quereinsteiger. In der Stochastik wird wiederholt das methodische Vorgehen herausgearbeitet, wirkliche zufällige Vorgänge durch Urnenexperimente zu simulieren oder als
Spiel zu interpretieren. Das Kapitel „Kombinatorik“ ist, entsprechend den Angaben des Lehrplans, etwas verkürzt dargestellt, aber doch ausreichend behandelt.
Vor den Kapiteln „Zufallsgröße“ sowie „Erwartungswert und Varianz“ wurden
einige Grundregeln aus der beschreibenden Statistik eingefügt.
Die dritte Auflage ist farbig gestaltet, um Definitionen, Formeln, Lehrsätze und
Aufgaben besser zu kennzeichnen. Kurzzusammenfassungen am Ende jedes Kapitels erleichtern das Lernen. Am Anfang jedes Kapitels steht eine Einführung,
die dem Schüler verbal erläutern soll, welchen Stellenwert das betreffende Kapitel im Kontext der Mathematik und der praktischen Anwendung hat. Bilder sollen zum Nachdenken anregen und motivierend wirken.
Autoren und Verlag
3
Inhaltsverzeichnis
und Stetigkeit
䊏 1 Grenzwert
(Wiederholung und Zusammenfassung)
11
1.1
Grenzwert für x gegen unendlich
12
1.2
Grenzwert für x gegen x 0
12
1.3
Standardgrenzwerte
14
1.4
Grenzwertregeln
14
1.5
Grenzwerte bei Nahtstellen
16
1.6
Lokale Stetigkeit bei der Stelle x 0
17
1.7
Stetige Funktionen in Intervallen
19
1.8
Stetige Fortsetzung
20
䊏 2 Differenzialrechnung
25
2.1
Steigung in einem Kurvenpunkt
27
2.1.1
Steigung bei linearen Funktionen
28
2.1.2
Steigung bei nichtlinearen Funktionen
28
2.2
Differenzierbarkeit
34
2.3
Ableitungsfunktionen
37
2.4
Ableitungsregeln
41
2.5
Der Mittelwertsatz
49
2.6
Ableitung von abschnittsweise definierten
Funktionen
51
2.7
Anwendungsbeispiele
53
2.7.1
Geschwindigkeit und Beschleunigung
53
2.7.2
Grenzkosten
55
2.7.3
Grenzerlös
57
5
Inhaltsverzeichnis
䊏 3 Kurvendiskussion
3.1
Monotonieverhalten
3.2
Krümmung, Wendepunkt und Extrema
72
3.2.1
Krümmungsverhalten
72
3.2.2
Kriterium für Wendepunkte
74
3.2.3
Alternative Kriterien für relative Extrema
77
3.3
Diskussion ganzrationaler Funktionen
80
3.4
Diskussion abschnittsweise definierter Funktionen
90
3.5
Aufstellen von Funktionstermen
93
3.6
Allgemeine Tangentengleichung und
Newtonverfahren
97
3.6.1
Allgemeine Tangentengleichung
97
3.6.2
Newtonverfahren
98
3.7
Extremwertaufgaben
102
3.7.1
Absolute Extrema
102
3.7.2
Zielfunktionen ohne Koordinatensystem
105
3.7.3
Zielfunktionen im Koordinatensystem
111
䊏 4 Integralrechnung
6
63
65
117
4.1
Stammfunktionen
118
4.1.1
Bestimmen der Stammfunktionen
119
4.1.2
Eigenschaften der Stammfunktionen
120
4.2
Bestimmtes Integral
123
4.2.1
Flächenfunktion
123
4.2.2
Die Streifenmethode
126
4.2.3
Bestimmtes Integral
128
4.3
Integralfunktion
134
4.3.1
Von der Flächenfunktion zur Integralfunktion
134
4.3.2
Formel von Leibniz-Newton
135
4.3.3
Eigenschaften von bestimmten Integralen
136
4.3.4
Flächen zwischen zwei Graphen
139
Inhaltsverzeichnis
䊏 5 Zufallsexperimente und Ereignisse
150
5.1
5.1.1
5.1.2
Zufallsexperimente
Einstufige Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente
151
151
154
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
Ereignisse
Gleiche Ereignisse
Vereinigung von Ereignissen
Durchschnitt von Ereignissen
Zerlegung (Partition) von Ergebnisräumen
Komplementäre Ereignisse
Die Regeln von de Morgan
158
160
160
161
162
163
164
䊏 6 Wahrscheinlichkeit
169
6.1
6.1.1
6.1.2
Häufigkeitsverteilungen
Qualitative Merkmale
Quantitative Merkmale
170
171
172
6.2
Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilung
173
6.3
Eigenschaften der relativen Häufigkeiten
177
6.4
Vierfeldertafeln
179
6.5
Relative Häufigkeit bei zunehmender Zahl von
Ausführungen
181
6.6
6.6.1
6.6.2
6.6.3
Wahrscheinlichkeit bei einstufigen Experimenten
Folgerungen aus den Axiomen
Abzählregel von Laplace
Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten
184
185
186
189
6.7
6.7.1
6.7.2
6.7.3
Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen
Experimenten
Ziehen mit Zurücklegen, Pfadregeln
Ziehen ohne Zurücklegen
Ziehen mit Dazulegen
196
196
198
199
6.8
6.8.1
6.8.2
6.8.3
6.8.4
6.8.5
Unabhängigkeit von Ereignissen
Abhängige und unabhängige Teilexperimente
Abhängige und unabhängige Ereignisse
Produktregel
Unabhängigkeit bei einstufigen Experimenten
Unabhängigkeit bei der Vierfeldertafel
203
203
203
203
207
208
7
Inhaltsverzeichnis
䊏 7 Kombinatorik
7.1
Geordnete und ungeordnete Stichproben
216
7.2
Allgemeines Zählprinzip
217
7.3
Anzahl der k-Tupel bei geordneten Stichproben
217
7.4
Anzahl der Permutationen bei
geordneter Vollerhebung
219
Kombinationen
221
7.5
䊏 8 Bernoullikette
227
䊏 9 Zufallsgrößen
237
9.1
Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsfunktion
238
9.2
Kumulative Verteilungsfunktion
248
9.3
9.3.1
Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung und kumulative
Verteilungsfunktion
Tafelwerk zur Binomialverteilung
255
9.3.2
䊏 10 Parameter von Verteilungen
8
215
255
258
264
10.1
10.1.1
Mittelwerte von Häufigkeitsverteilungen
Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung
265
265
10.1.2
Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung
mit Klassen
266
10.1.3
Zentralwert oder Median Z der Verteilung
267
10.1.4
Modalwert
268
Inhaltsverzeichnis
10.2
10.2.1
10.2.2
Streuungsparameter von Häufigkeitsverteilungen
Mittlere lineare Abweichung
Mittlere quadratische Abweichung (Streuung)
268
268
270
10.3
Erwartungswert
272
10.4
Varianz, Standardabweichung
278
10.5
Erwartungswert und Varianz der
Binomialverteilung
Bernoulli-Ketten der Länge 1 und 2
Bernoulli-Ketten der Länge n
282
282
282
10.5.1
10.5.2
䊏 11 Prüfen von Hypothesen
290
11.1
Grundlagen
291
11.2
Einseitiger Signifikanztest
295
䊏 Mathematische Zeichen und Symbole
303
䊏 Sachwortverzeichnis
307
9
1 Grenzwert und Stetigkeit
(Wiederholung und Zusammenfassung)
Einführung
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse und einige Aufgaben zu den Themen
„Grenzwert“ und „Stetigkeit“ aus Band 1 erneut zusammengestellt, da es sich
um notwendige Werkzeuge handelt, die zur Untersuchung von Funktionen und
vor allem bei der Einführung der Differenzialrechnung und Integralrechnung
benötigt werden.
Graphen von Funktionen werden in den meisten Fällen nur in einem Bildausschnitt um den Ursprung herum gezeichnet. Oft will man aber wissen, wie sich
der Graph über den Zeichenbereich hinaus verhält, beispielsweise für sehr große
positive x-Werte. Streben die y-Werte gegen sehr große positive Beträge (verläuft
der Graph nach rechts oben) oder streben sie gegen sehr große negative Beträge
(verläuft der Graph nach rechts unten), verläuft der Graph asymptotisch gegen
eine Gerade oder schwankt er um einen festen Wert herum?
Hat die Funktion eine Nahtstelle x 0 zwischen zwei Teilfunktionen und ist diese
Nahtstelle nicht definiert, will man das Verhalten des Graphen beiderseits der
11
2.7 Anwendungsbeispiele
Da die Steigungen bei links- und rechtsseitiger Annäherung gleich sind, existiert
die Ableitung von f an der Stelle x0 ⫽ 1. f ist dort differenzierbar. Man schreibt
f⬘(1) ⫽ ⫺4, bzw. f⬘(x) ⫽ f⬘ (x) ⫽
x ⫺ 2, x 僆 ]⫺⬁; 1]
.
冦 ⫺2
2 x ⫺ 6, x 僆 ]1; ⫹⬁[
Die Ableitungsfunktion ist an der Stelle x0 ⫽ 1 lokal stetig. Der Graph verläuft
„glatt“ (d.h. ohne Knick) durch den Punkt (1; ⫺1).
Allgemein gilt:
Eine abschnittsweise definierte Funktion f ist an der Nahtstelle x0 differenzierbar,
wenn sie dort lokal stetig ist und auch ihre Ableitungsfunktion f⬘ lokal stetig ist.
Anmerkung: Man beachte jedoch, dass die genannte Bedingung hinreichend,
jedoch nicht notwendig für die Differenzierbarkeit ist.
2.7 Anwendungsbeispiele
Der Abschnitt 2.7.1 wird aus historischen Gründen erwähnt, weil die Überlegung, wie man aus der bekannten Abhängigkeit des Weges von der Zeit die
Geschwindigkeit eines Massenpunkts berechnen kann, Isaac Newton
(1643⫺1727) zur Begründung der Differenzialrechnung inspiriert hat. In diesem
Beispiel kommen also logische Schlüsse vor, wie sie auch Newton damals gezogen haben könnte. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646⫺1716), der zeitlich parallel
zu Newton, aber von ihm unabhängig, die Differenzialrechnung schuf, ging von
der Überlegung aus, wie man Steigungen von Kurventangenten berechnen
könnte (s. Abschnitt 2.1.2).
2.7.1
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Bei einer geradlinigen Bewegung, die nach dem Zeit-Weg-Gesetz s ⫽ s (t) abs (t) ⫺ s (t0 )
läuft1), gibt der Differenzenquotient
die mittlere Geschwindigkeit
t ⫺ t0
s (t) ⫺ s (t0 )
im Zeitintervall [t; t0], der Grenzwert lim
⫽ v(t0 ) die Momentanget ⫺ t0
t 씮 t0
schwindigkeit zum Zeitpunkt t0 an. Ist die Funktion s ⫽ s (t) an der Stelle t0
differenzierbar, so ist v (t0 ) ⫽ ṡ(t0 )]2).
Angenommen, s ⫽ s (t) sei in einem bestimmten Zeitintervall differenzierbar, so
gibt die Ableitungsfunktion v (t) ⫽ ṡ(t) in diesem Intervall die Geschwindigkeit
in Abhängigkeit von der Zeit an.
1) In der angewandten Mathematik ist es üblich, Funktionen nur durch ihre Terme anzugeben, z.B. s ⫽ s (t), v ⫽ v (t) oder a ⫽ a(t).
2) Ist die Zeit t die Variable, so schreibt man für die Ableitung ṡ (t) und nicht s⬘(t).
53
2 Differenzialrechnung
v (t) ⫺ v (t0 )
wird mittlere Beschleunigung im Zeitintert ⫺ t0
vall [t; t0] genannt. Ist die Funktion v ⫽ v (t) im Zeitpunkt t0 differenzierbar, so
v (t) ⫺ v (t0 )
nennt man den Differenzialquotient lim
die Momentanbeschleunit ⫺ t0
t 씮 t0
gung im Zeitpunkt t0 . Die Funktion a(t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈(t) gibt die Abhängigkeit der
Beschleunigung von der Zeit an.
Der Differenzenquotient
Zusammenfassung:
s ⫽ s (t)
v ⫽ v (t) ⫽ ṡ (t)
a ⫽ a (t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈ (t)
ds
dv d2s
ṡ (t) ⫽
v̇ (t) ⫽
⫽
dt
dt dt 2
Zeit-Weg-Gesetz:
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz:
Andere Schreibweise:
In der Bewegungslehre gibt es zwei wichtige Spezialfälle:
앫 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
Allgemeine Zeit-Weg-Gleichung: s (t) ⫽ s0 ⫹ vt
Dabei ist s0 die zum Zeitpunkt t ⫽ 0 zurückgelegte Wegstrecke (Anfangsbedingung).
Durch Bildung der ersten und zweiten Ableitung erhält man:
v (t) ⫽ ṡ (t) ⫽ v ⫽ const.
a (t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈ (t) ⫽ 0
Die Beschleunigung ist also null.
앫 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung
1
Allgemeine Zeit-Weg-Gleichung: s (t) ⫽ s0 ⫹ v0t ⫹ at2
2
Dabei sind s0 die zum Zeitpunkt t ⫽ 0 zurückgelegte Wegstrecke und v0 die
Anfangsgeschwindigkeit (Anfangsbedingungen). Durch Bildung der ersten
und zweiten Ableitung erhält man:
v (t) ⫽ ṡ (t) ⫽ v0 ⫹ at
a (t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈ (t) ⫽ a ⫽ const
B EISPIELE
a) Gegeben ist s (t) ⫽ 20 m ⫹ 5
s (0) ⫽ 20 m
Dann gilt:
m
s
a (t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈ (t) ⫽ 0
v (t) ⫽ ṡ (t) ⫽ 5
54
m
⋅ t.
s
Zeit-Weg-Gesetz
Anfangsbedingung
Zeit-GeschwindigkeitsGesetz
Die Beschleunigung ist 0.
2.7 Anwendungsbeispiele
b) Gegeben ist s (t) ⫽ 5 m ⫹ 2
s (0) ⫽ 5 m
m
m
⋅ t ⫹ 0,4 2 ⋅ t 2 .
s
s
Zeit-Weg-Gesetz
Anfangsbedingung
Dann gilt:
v (t) ⫽ ṡ (t) ⫽ 2
v (0) ⫽ 2
m
m
⫹ 0,8 2 ⋅ t
s
s
m
s
Anfangsbedingung
a (t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈ (t) ⫽ 0,8
c) Gegeben ist s (t) ⫽ 15
m
s2
m
m
⋅ t ⫺ 2 2 ⋅ t 2.
s
s
Dann gilt:
m
m
v (t) ⫽ ṡ (t) ⫽ 15 ⫺ 4 2 ⋅ t
s
s
v (0) ⫽ 15
m
s
a (t) ⫽ v̇ (t) ⫽ s̈ (t) ⫽ ⫺4
2.7.2
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz
Zeit-Weg-Gesetz
Zeit-GeschwindigkeitsGesetz
Anfangsbedingung
m
s2
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz
(Verzögerung)
Grenzkosten
In der Wirtschaftspraxis interessiert
man sich bei der Kostenrechnung unter anderem für die Abhängigkeit der
Gesamtkosten K (x) von der ausgebrachten produzierten Menge x. In der
Zeichnung auf der folgenden Seite ist
der Graph der Funktion K : x 哫 K (x),
x 僆 D, dargestellt. Hier sind x0 und x
zwei Produktionsmengen, K (x0 ) und
K (x) die Gesamtkosten für die Herstellung dieser Mengen.
K (x) ⫺ K (x0 )
gibt den Kostenzuwachs pro Mengeneinx ⫺ x0
heit an, der durch den Übergang auf eine höhere Ausbringungsmenge entsteht.
Er heißt Kostendifferenzenquotient.
Der Differenzenquotient
55
2 Differenzialrechnung
A UFGABEN
01 Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit an der jeweiligen
lokal stetigen Nahtstelle x0 . Falls vorhanden, bestimmen Sie f⬘ (x0 ):
a) f: x 哫
1]
冦 xx ,, xx 僆僆 ]⫺⬁;
]1; ⫹⬁[
b) f: x 哫
⫹⬁[
冦(1x ⫹⫹1,x) , xx 僆僆 [0;
]⫺⬁; 0[
c) f: x 哫
冦
2
4
2
2
冥 2冤
21
1
⫺ x ⫹ 2, x 僆 冤 ; ⫹⬁ 冤
4
2
x 3 ⫺ 1,
6 x2
x 僆 ⫺⬁;
1
d) f: x 哫 兩 x 2 ⫺ 3 x ⫹ 2兩, x 僆 r
02 Zeigen Sie, dass folgende Funktionen in r differenzierbar sind und bestimmen
Sie die Ableitungsfunktionen:
⫺
0
⫹
a) f: x 哫
冦 x⫺x⫹ ⫹2, 2, xx僆僆rr
b) f: x 哫
冦69 xx
c) f: x 哫
]⫺⬁; 0]
冦xx(x⫹⫹x,1), xx 僆僆 ]0;
⫹⬁]
3
3
3
3
⫺ 4 x 2 ⫹ 3 x ⫹ 1, x 僆 ]⫺⬁; 1]
⫺ 7 x 2 ⫹ 4,
x 僆 ]1; ⫹⬁]
3
M USTERAUFGABE
Parameter bestimmen
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) ⫽
]⫺⬁; 1[
.
冦ax4 x ⫹⫹ bxx ⫹⫹ 2,3, xx 僆僆 [1;
⫹⬁[
2
3
2
Gesucht sind a, b so, dass die Funktion an der Nahtstelle stetig und differenzierbar wird.
Lösung:
lim (ax 2 ⫹ bx ⫹ 2) ⫽ a ⫹ b ⫹ 2
x씮1
x⬍1
lim (4 x 3 ⫹ x 2 ⫹ 3) ⫽ 8
x씮1
x⬎1
rechtsseitiger Grenzwert
f (1) ⫽ 4 . 13 ⫹ 12 ⫹ 3 ⫽ 8
Funktionswert an der Stelle x ⫽ 1
a⫹b⫹2⫽8⇔a⫹b⫽6
(1) Bedingung zur Stetigkeit
f⬘ (x) ⫽
58
linksseitiger Grenzwert
1[
冦212axx ⫹⫹b,2 x, xx 僆僆 ]⫺⬁;
]1; ⫹⬁[
2
1. Ableitung der Funktion f, Nahtstelle
2.7 Anwendungsbeispiele
lim (2 ax ⫹ b ) ⫽ 2 a ⫹ b
x씮1
x⬍1
lim (12 x 2 ⫹ 2 x) ⫽ 14
linksseitiger Grenzwert der Steigung
x씮1
x⬎1
rechtsseitiger Grenzwert der Steigung
2 a ⫹ b ⫽ 14
(2) Bedingung für die Differenzierbarkeit
Aus (1) und (2) folgt a ⫽ 8, b ⫽ ⫺2.
03 Gegeben ist die Funktion:
f: x 哫
冦
x 2 ⫹ 1,
x 僆 r⫺
a
x 3 ⫹ x 2 ⫹ a, x 僆 r0⫹
2
Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Funktion f an der Stelle x0 ⫽ 0
differenzierbar ist.
04 Gegeben ist die Funktion:
f: x 哫
x ⫺ 7,
x 僆 ]⫺⬁; ⫺2]
冦⫺2
ax ⫹ bx ⫺3, x 僆 ]⫺2; ⫹⬁]
2
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die Funktion f an der Stelle x0 ⫽ ⫺2
differenzierbar ist.
05 Gegeben ist die Funktion:
冦
ax 2 ⫹ b,
兩x 兩 ⱕ 2
1
f: x 哫
x 4 ⫺ x 2 ⫹ 8, 兩x 兩 ⬎ 2
32
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die Funktion f differenzierbar ist.
Geschwindigkeiten
06 Bestimmen Sie mithilfe von Ableitungen das t-v-Gesetz und das t-a-Gesetz folgender geradliniger Bewegungen:
m
⋅ t⫹ 3 m
s
m
m
b) s (t) ⫽ 5 2 ⋅ t 2 ⫹ 10 ⋅ t ⫹ 1 m
s
s
9m 2
c) s (t) ⫽ v0 ⋅ t ⫺
⋅t
2 s2
1
(Zahlenwertgleichung)
d) s (t) ⫽ 1 ⫺ 2
t ⫹1
a) s (t) ⫽ 2
59
6 Wahrscheinlichkeit
B EISPIELE
a) In einer bestimmten Stadt in einer
bestimmten Straße an einem bestimmten Tag werden zwei Verkehrszählungen durchgeführt. Die
erste Verkehrszählung findet von
16.00 Uhr bis 16.30 Uhr statt, die
zweite Verkehrszählung von 19.00
Uhr bis 19.30 Uhr. Die Merkmale
sind Pkw, Lkw sowie Motorräder
u. a. Die Ausprägungen werden in
folgender Tabelle festgehalten:
16.00 Uhr bis 16.30 Uhr
19.00 Uhr bis 19.30 Uhr
55
19
33
42
23
25
Pkw
Lkw
Motorräder u. a.
Die Ergebnisse werden in einem Streifendiagramm dargestellt. Auf der waagrechten Achse stellt man die drei qualitativen Merkmale dar (vorteilhafterweise
in gleichen Abständen), auf der vertikalen Achse die absoluten Häufigkeiten.
Anzahl
60
40
20
Pkw
Lkw
Motorräder
u.a.
16.00– 19.00–
16.30 19.30
Streifendiagramm zur Verkehrszählung
b) 200 Familien (Eltern mit 2 Kindern) werden hinsichtlich ihrer durchschnittlichen monatlichen Ausgaben befragt. Die Merkmale sind: Miete, Haushalt,
Kleidung, Versicherungen und Banken, Sonstiges. Aus der Urliste entwickelt
sich die Verteilung der absoluten Häufigkeit und daraus die angegebene Verteilung der relativen Häufigkeit:
Merkmal
Miete
Haushalt
Kleidung
Versicherungen, Banken
Sonstiges
174
relative Häufigkeit
0,20
0,40
0,13
0,09
0,18
6.2 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilung
Bei der Darstellung in einem Kreisdiagramm wird man die einzelnen relativen Häufigkeiten in Winkelmaße umrechnen (1 Vollkreis = 360°), beispielsweise ergibt sich für die Miete 20 %
von 360°, also 72°.
Haushalt
Miete
Sonstiges
Kleidung
Banken
Versich.
Durchschnittliche monatliche Ausgaben im
Kreisdiagramm
c) In einem medizinischen Gerät sind genau 320 Schrauben eingebaut. Die Herstellungsplanung interessiert sich für die Verteilung der Durchmesser dieser
Schrauben. Die Merkmale der Verteilung sind Durchmesser von 1 mm, 2 mm,
3 mm, 4 mm, 5 mm und 6 mm. Eine Zählung ergibt folgende Verteilung der
Schraubenzahlen:
Merkmale
Durchmesser in mm
absolute Häufigkeit
1
2
3
4
5
6
20
50
110
90
20
30
320
Anzahl
Anzahl
120
120
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
1
2
3
4
Darstellung im Stabdiagramm
5
6
mm
1
2
3
4
5
6
mm
Darstellung im Histogramm
Im Histogrammm werden Rechtecke gezeichnet, die denselben Flächeninhalt
haben wie die absolute Häufigkeit angibt.
175
6 Wahrscheinlichkeit
d) Hier beziehen wir uns auf das Beispiel auf Seite 173 (Nettolohnverteilung der
280 Beschäftigten einer Firma). Die dort angegebene Häufigkeitsverteilung
der Klassen soll in einem Diagramm dargestellt werden.
Anzahl
60
50
40
30
20
10
500
700
900
1100 1300
1500
1800
2200
2600
1100 1300
1500
1800
2200
2600
Stabdiagramm der Verteilung
Anzahl
60
40
20
500
700
900
Histogramm der Verteilung
Beachten Sie, dass die Klassen 7 und 8 doppelt so breit sind wie die anderen
Klassen. Da die Häufigkeit durch die Rechtecksfläche dargestellt wird, muss
also die Länge der betreffenden Rechtecke halb so groß sein wie die Häufigkeit angibt. Beachten Sie auch die Darstellung der offenen Klassen am Rand.
A UFGABEN
01 Welche der folgenden Merkmale sind qualitativ, welche quantitativ?
Beruf, Körpergewicht, Anzahl von Schachteln verschiedener Größe, Schultypen,
Kinderzahl einer Familie, Arbeitszeit, Blutdruck, Farbe, soziale Stellung.
02 Gegeben ist eine Urliste aus einer statistischen Erhebung:
1; 2; 2; 2; 2,5; 3; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 5; 6; 8; 9; 9,5; 10; 10; 11.
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Zusammenfassung zu Kapitel 6
Zusammenfassung zu Kapitel 6
Häufigkeit
Von einem bestimmten Zufallsexperiment wird ein Ereignis E (Merkmal) definiert. Anschließend wird das Zufallsexperiment n-mal durchgeführt. Tritt das
Ereignis E (Merkmal) dabei f (E)-mal ein, so nennt man f (E) die absolute Häufigf (E)
keit des Ereignisses (des Merkmals). Das Verhältnis h (E) =
wird relative
n
Häufigkeit des Ereignisses (des Merkmals) genannt.
Man unterscheidet qualitative Merkmale (z. B. Farben) und quantitative Merkmale (z. B. Körpergrößen).
Häufigkeitsverteilungen werden dargestellt durch:
앫 Tabellen,
앫 Stabdiagramme,
앫 Kreisdiagramme,
앫 Histogramme.
Regel für die relative Häufigkeit der Vereinigung von zwei vereinbaren Ereignisses (Merkmalen):
h (E1 傼 E2 ) = h (E1 ) + h (E2 ) ⫺ h (E1 傽 E2 ).
Definition des Begriffs Wahrscheinlichkeit
Axiom 1: Jedem Ereignis E eines Ergebnisraums Ω wird eine nicht negative reelle
Zahl P (E) eindeutig zugeordnet. Die Zahl P (E) heißt Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis E.
Axiom 2: Es gilt P (Ω) = 1 (Normierungsbedingung).
Axiom 3: Sind E1 und E2 zwei unvereinbare Ereignisse des Ergebnisraums Ω,
dann gilt
P (E1 傼 E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) (Additivität).
Folgerungen:
Sind E und Ē Komplementärereignisse eines Ergebnisraums,
P (E) + P (Ē) = 1.
Für ein beliebiges Ereignis E 債 Ω gilt 0 ⱕ P (E) ⱕ 1, P (0
/) = 0.
so
gilt
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Sind ω1, ω2, …, ωn alle Elementarereignisse eines feinen oder beliebig vergröberten Ergebnisraums und sind alle deren Wahrscheinlichkeiten gegeben, dann gilt:
P (Ω) = P (ω1 傼 ω2 傼 … 傼 ωn) = P (ω1 ) + P (ω2 ) + … + P (ωn) = 1. In diesem Fall
liegt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vor.
Abzählregel von Laplace
Enthält ein Ergebnisraum Ω n gleich wahrscheinliche Elementarereignisse
(兩 Ω 兩 = n) und hat ein Ereignis E die Mächtigkeit m (兩 E 兩 = m), dann berechnet man
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