Kleine Formelsammlung Technische Mechanik - Will - Beck-Shop

Kleine Formelsammlung Technische Mechanik
von
Peter Will, Bernd Lämmel
1. Auflage
Kleine Formelsammlung Technische Mechanik – Will / Lämmel
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Hanser München 2007
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 446 41137 1
Inhaltsverzeichnis: Kleine Formelsammlung Technische Mechanik – Will / Lämmel
Peter Will, Bernd Lämmel
Kleine Formelsammlung
Technische Mechanik
ISBN-10: 3-446-41137-2
ISBN-13: 978-3-446-41137-1
Leseprobe
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser.de/978-3-446-41137-1
sowie im Buchhandel
3
Dynamik
3.1
Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz
Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers ergeben
sich aus dem Schwerpunkt- oder Impulssatz sowie dem Momenten- oder Drallsatz unter Beachtung kinematischer
Zwangsführungen. Erstere charakterisieren die translatorische
Bewegung des Systemschwerpunktes, während der Momenten- bzw. Drallsatz die Rotation des Körpers bewertet.
Schwerpunktsatz
m
d2
xS = Fx
dt 2
m
d2
yS = Fy
dt 2
m
d2
zS = Fz
dt 2
Der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems bzw. eines Bauteils bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse m des Körpers in
ihm vereinigt wäre und die Resultierende (Fx, Fy, Fz) aller äußeren Kräfte an ihm angreift.
Impulssatz
Impuls
m
r
vS
r
d r
pS = F
dt
r
r
pS = mvS
Masse des starren Körpers
Geschwindigkeitsvektor des Schwerpunktes
Drallsatz, Momentensatz
Rotation eines starren Körpers mit raumfestem, körpereigenen Bezugspunkt A
Die zeitliche Änderung des Drehimpulsvektors (Dralls) ist
gleich dem resultierenden Momentenvektor der äußeren Kräfte.
r
d r
LA = M A
dt
r
MA
Vektor des äußeren Moments bezüglich A
104
3 Dynamik
Rotation eines starren Körpers mit bewegtem Schwerpunkt S als Bezugspunkt
r
d r
LS = M S
dt
r
MS
Vektor des äußeren Moments bezüglich S
Achtung: Schwerpunkt- bzw. Momentensatz starrer Körper
gelten auch für mehrteilige, verbundene Systeme. Die Bewegungsgleichungen für jedes Teilelement des Gesamtsystems
lassen sich aus den genannten Sätzen unter Berücksichtigung
von Schnittkräften bzw. Schnittmomenten sowie kinematischen Beziehungen für die gekoppelte Bewegung zwischen
den einzelnen Bauteilen ableiten.
Drallsatz (ebene Bewegung)
M A = Θ Aϕ&& + m ( &&
y A x AS − &&
x A y AS )
MA
ΘA
ϕ&&
( &&xA , &&y A )
( xAS , y AS )
äußeres Moment
Massenträgheitsmoment des starren Körpers bezüglich des
körpereigenen Referenzpunktes A
Winkelbeschleunigung
Beschleunigung des Bezugspunktes A
Differenzkoordinaten zwischen Bezugspunkt A und Schwerpunkt S
Drehimpuls (ebene Bewegung)
Ebene Rotation eines starren Körpers um raumfesten, körpereigenen Bezugspunkt A
LA = Θ Aω
ΘA
ω
Massenträgheitsmoment des starren Körpers zum raumfesten,
körpereigenen Referenzpunkt A
Winkelgeschwindigkeit der Rotation um A
3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz
105
Ebene Rotation eines starren Körpers um den bewegten Schwerpunkt S
LS = Θ Sω
ΘS
ω
Massenträgheitsmoment des starren Körpers bezüglich des
Schwerpunktes S
Winkelgeschwindigkeit der Rotation um S
Drehimpuls Referenzpunktverschiebung
Formulierung 2d
LB = LA + m ( xBA y& S − yBA x&S )
m
( xBA , yBA )
( x&S , y& S )
Masse des Bauteils
Differenzkoordinaten vom Bezugspunkt B zu A
Geschwindigkeitskoordinaten des bewegten Schwerpunkts
Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes
Θ s = ∫∫∫ ρ r 2 dV
V
ρ
r
V
Dichte des Materials
Entfernung vom Schwerpunkt des Körpers
Volumen des Bauteils
Kreisscheibe
Θs =
m
R
mR 2
2
Masse der Kreisscheibe
Radius des Kreisquerschnitts
r
S
106
3 Dynamik
Kugel (Schwerpunktachse)
Θs =
m
R
2
mR 2
5
Masse der Kugel
Radius der Kugel
Schlanker Stab
S
ΘS =
m
l
2
ml
12
l
Masse des Stabes
Länge des schlanken Stabes
Satz von Steiner (2d)
A
Θ A = Θ S + ma
2
m
a
S
a
m
Abstand der parallelen Achsen A und S
Masse des Körpers
Trägheitsradius
iA =
ΘA
m
Der Trägheitsradius ist die Entfernung eines als Punktmasse
gedachten Ersatzkörpers von der Drehachse A, der das gleiche
axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat wie ein originales, ausgedehntes Bauteil mit der Gesamtmasse m.
3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz
107
Reduzierte Masse
mA =
ΘA
r2
Die reduzierte Masse ist die Masse eines im vorgegebenen
Abstand r von der Drehachse A angebrachten punkt- oder
ringförmigen Ersatzkörpers, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat wie das originale Bauteil.
Drehimpuls (3d)
Rotation eines starren Körpers mit raumfestem, körpereigenen Bezugspunkt A
⎡Θ
r ⎢ Axx
LA = ⎢ Θ Axy
⎢ Θ Axz
⎣
Θ Axx , Θ Ayy , Θ Azz
Θ Axy , Θ Axz , Θ Ayz
r
ω
Θ Axy
Θ Ayy
Θ Ayz
Θ Axz ⎤
⎥r
Θ Ayz ⎥ ω
Θ Azz ⎥⎦
axiale Massenträgheitsmomente bezüglich A
Deviationsmomente bezüglich A
Vektor der Winkelgeschwindigkeit des Körpers
Rotation eines starren Körpers mit bewegtem Schwerpunkt S als Bezugspunkt
⎡Θ
r ⎢ Sxx
LS = ⎢ Θ Sxy
⎢ Θ Sxz
⎣
Θ Sxx , Θ Syy , Θ Szz
Θ Sxy , Θ Sxz , Θ Syz
r
ω
Θ Sxy
Θ Syy
Θ Syz
Θ Sxz ⎤
⎥r
Θ Syz ⎥ ω
Θ Szz ⎥⎦
axiale Massenträgheitsmomente bezüglich S
Deviationsmomente bezüglich S
Vektor der Winkelgeschwindigkeit des Körpers
108
3 Dynamik
Drehimpuls Referenzpunktverschiebung
Formulierung 3d
r
r
r
r
LB = LA + m rBA × vS
m
r
rBA
r
vS
Masse des Bauteils
Vektor vom Bezugspunkt B zum Bezugspunkt A
Geschwindigkeitsvektor des bewegten Schwerpunkts
Axiale Massenträgheitsmomente
2
2
⎮⎮⎮ ( y + z )ρ dV
Θ xx = ⌠⌠⌠
⌡⌡⌡
V
2
2
⎮⎮⎮ ( x + z )ρ dV
Θ yy = ⌠⌠⌠
⌡⌡⌡
V
2
2
⎮⎮⎮ ( x + y )ρ dV
Θ zz = ⌠⌠⌠
⌡⌡⌡
V
ρ
V
Dichte
Volumen des Bauteils
Deviationsmomente, Zentrifugalmomente
Θ xy = Θ yx = − ∫∫∫ xy ρ dV
V
Θ yz = Θ zy = − ∫∫∫ yz ρ dV
V
Θ xz = Θ zx = − ∫∫∫ xz ρ dV
V
ρ
V
x, y , z
Dichte
Volumen des Bauteils
Koordinaten der Volumenelemente dV des Körpers bezüglich
des Referenzpunktes
Der Wert von mindestens zwei Deviationsmomenten wird zu
Null, wenn eine der Koordinatenachsen x, y oder z mit einer
Symmetrieachse des starren Körpers zusammenfällt.
3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz
109
Homogener Quader
z
m
Θ xx = ( b 2 + h2 )
12
Θ yy =
m 2
l + h2 )
(
12
m
Θ zz = ( l 2 + b2 )
12
y
S
l
h
x
m
l , b, h
b
Masse des Quaders
Abmessungen des Quaders
Zylinder
y
m
Θ xx = Θ yy = ( 3r 2 + l 2 )
12
r
m
Θ zz = r 2
2
m
r, l
z
x
l
Masse des Zylinders
Abmessungen des Zylinders
Kreiskegel
Θ xx = Θ yy =
3
m ( 4h 2 + r 2 )
20
x
r
3
Θ zz = mr 2
10
z
y
m
h
r
Masse des Kreiskegels
Höhe des Kreiskegels
Radius der Grundfläche
h
110
3 Dynamik
Satz von Steiner (3d)
y*
y
S
y*AS
x
z
x*AS
A
x*
z*AS
z*
Axiale Momente
(
2
2
2
2
2
2
Θ Axx = Θ Sxx + m y*AS + z *AS
(
Θ Ayy = Θ Syy + m z *AS + x*AS
(
Θ Azz = Θ Szz + m x*AS + y*AS
)
)
)
Θ Sxx , Θ Syy , Θ Szz axiale Momente zum Schwerpunkt S
m
Masse des Körpers
( x*AS , y*AS , z*AS ) Differenzkoordinaten zwischen Bezugspunkt A und Schwerpunkt S
Deviationsmomente
Θ Axy = Θ Sxy − m x*AS y *AS
Θ Ayz = Θ Syz − m y *AS z *AS
Θ Azx = ΘSzx − m z*AS x*AS
Θ Sxy , Θ Syz , Θ Szx Deviationsmomente zum Schwerpunkt S
m
Masse des Körpers
*
*
*
( xAS , y AS , z AS ) Differenzkoordinaten zwischen Bezugspunkt A und Schwerpunkt S
3.2 Stoßgesetze
111
Axiales Massenträgheitsmoment für Achse in Raumrichtung (φ,θ )
z
θ
φ
y
x
Θ = ( Θ xx cos 2 φ + Θ yy sin 2 φ + Θ xy sin 2φ ) sin 2 θ
+Θ zz cos 2 θ + ( Θ yz sin φ + Θ zx cos φ ) sin 2θ
Θ xx , Θ yy , Θ zz axiale Massenträgheitsmomente
Θ xy , Θ xz , Θ yz Deviationsmomente
φ ,θ
Raumwinkel
3.2
Stoßgesetze
Stoß einer Punktmasse gegen drehbar befestigten Körper
A
ωA
l
m2
m1
v1
ΘA
112
3 Dynamik
Geschwindigkeitsänderung Punktmasse
∆v1 =
(ω Al − v1 )(1 + ε )
m1 m1l 2
+
m2 Θ A
Änderung der Winkelgeschwindigkeit des Körpers
∆ω A =
m1
m2
v1
l
ΘA
ωA
ε
( v1 − ω Al )(1 + ε )
l+
ΘA
m2l
stoßende Punktmasse
Masse des drehbar gelagerten Körpers
Geschwindigkeit der Punktmasse vor dem Stoß
Lot vom Drehpunkt A auf die Stoßrichtung
Massenträgheitsmoment des drehbar gelagerten Körpers bezüglich der Drehachse A
Winkelgeschwindigkeit des drehbar gelagerten Körpers vor
dem Stoß
Stoßzahl
Stoßmittelpunkt (Trägheitsmittelpunkt)
Die dynamischen Lagerreaktionen eines drehbar gelagerten,
starren Körpers verschwinden, wenn die Stoßnormale durch
den Stoßmittelpunkt des starren Körpers verläuft und senkrecht zur Verbindungsgeraden zwischen dem Drehpunkt A
und dem Schwerpunkt S des starren Körpers gerichtet ist. Der
Stoßmittelpunkt liegt auf dieser Verbindungsgeraden in der
Entfernung l vom Drehpunkt.
l=
m2
l AS
ΘA
ΘA
m2l AS
Masse des gestoßenen, drehbar gelagerten Körpers
Entfernung des Schwerpunktes S vom Drehpunkt A
Massenträgheitsmoment des gestoßenen Körpers bezüglich A