Übungen zu ELEKTROTECHNIK I Laborunterlagen

DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING
Tel.:+43/(0)3842/402/311
Fax: +43/(0)3842/402/318
MONTANUNIVERSITÄT LEOBEN
UNIVERSITY OF LEOBEN, AUSTRIA
Institut für
Elektrotechnik
Franz-Josef-Straße 18
A-8700 Leoben
Österreich, Austria
INSTITUT FÜR ELEKTROTECHNIK
http://www.unileoben.ac.at/~etechnik
e-mail: [email protected]
Vorstand: O.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Helmut Weiß
Übungen zu ELEKTROTECHNIK I
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Version: 3.1
02 / 2003
Dipl.-Ing. Dr. mont. Andreas Schmidhofer
Literatur:
[1]
Weiß, H.: Vorlesungsunterlagen zu „Elektrotechnik I“, Institut für Elektrotechnik,
Montanuniversität Leoben.
[2]
Krikava F., Ruhswurm H., Seiser J.: Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1 und
Band 2, R. Oldenbourg Verlag, Wien, 1990.
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Übungen zu Elektrotechnik I
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Version 3.1, 02/2003
0 Inhalt der Laborübungen
Es werden insgesamt acht verschiedene Übungen angeboten.
Die Anzahl der zu absolvierenden Übungen hängt von
Semesterwochenstunden ab, die laut Studienplan vorgesehen sind:
der
Anzahl
der
• Sechs Übungen für die Studienrichtungen B, IU, K, M, Mm, PE, W
• Acht Übungen für die Studienrichtung G
Die Termine für die Übungen sind im Aushang am Institut für Elektrotechnik und auf der
Homepage angekündigt, wobei die Einteilung entsprechend der Übungsanzahl, dem
Übungsinhalt und der Gruppe aus den reservierten Terminen (max. 8) laut Übungsplan
erfolgt. Der Aushang dieser genauen Einteilung steht erst nach der Sicherheitsbelehrung zur
Verfügung.
Die vorliegenden Unterlagen beinhalten die Lehrinhalte für das SS2003 und sind daher nur für
diesen Zeitraum gültig. Die Unterlagen sind auch auf der Institutshomepage als pdf- Files
verfügbar.
0.1 Übersicht der Übungsinhalte
Übung 1: " Elektrische Messtechnik, Messung von Widerständen"
Bestimmung von Widerstandswerten mit der Anwendung
-
der strom-, bzw. spannungsrichtigen Messung
-
eines Digitalmultimeters
-
der Farbcodierung
-
Gleichstrom- Messbrücke
Übung 2: "Oszilloskop, Schaltvorgänge"
Ein- und Ausschaltvorgänge von R-C bzw. R-L Netzwerken
-
Messung des Spannungs- und Stromverlaufes
-
Bestimmung der Zeitkonstanten
Übung 3: "R-L und R-C Netzwerke"
Netzwerke bestehend aus Widerständen und Induktivitäten sowie aus Widerständen und
Kondensatoren
-
Strom- und Spannungsmessungen
-
Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetze
-
Rechnerische Überprüfung der Messwerte
Seite 0.2 von 6
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Übung 4: "Elektronik: Operationsverstärker- Grundschaltungen"
Invertierende und nicht- invertierende Operationsverstärker (OPV)- Grundschaltung.
-
Aufnahme des Amplituden – und Phasengangs
-
Darstellung der Messwerte im logarithmischen Maßstab
-
Handhabung des Oszilloskops
Übung 5: "Leistungsmessung im Dreileiter- und Vierleitersystem"
Messung der Schein- Wirk- und Blindleistung von symmetrischen und unsymmetrischen
Verbrauchern:
-
Messung mit drei Wattmeter,
-
Zwei-Wattmeter-Methode (Aron- Schaltung)
-
Messung mit einem Wattmeter
Bestimmung des Leistungsfaktors
Übung 6:
"Resonanzkreise"
Serien- und Parallelresonanzkreis
-
Messung der Spannungen und Ströme
-
Bestimmung der Resonanzfrequenz
Übung 7:
"Leistungsmessung im Einphasennetz"
Messung der Schein- Wirk- und Blindleistung von einphasigen Verbrauchern:
-
Messung mit einem Wattmeter
-
Bestimmung des Leistungsfaktors
-
Kompensation
Übung 8: "Magnetismus"
Messung der Flussdichte
Messung der Hysterese- Kurve
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0.2 Vorausgesetzte Kenntnisse
Für ALLE ÜBUNGEN werden die Kenntnisse der
Kapitel 1.1 ... 1.5
Kirchhoff’sche Gesetze, Ohm’sches Gesetz, Serien- und Parallelschaltung von
Widerständen,
Spannungsquellen
Kapitel 4
Elektrische Messgeräte
Kapitel 6
Elektrische Energieverteilung, Sicherheitstechnik
vorausgesetzt.
Weiters werden noch folgende Kapitel für die jeweiligen Übungen vorausgesetzt:
Übung
Titel
Kapitel
Übung 1
Elektrische Messtechnik, Messung von
Widerständen
3.1
Übung 2
Oszilloskop, Schaltvorgänge
1.6
Übung 3
R-L und R-C Netzwerke
2.1, 2.2, 2.3
Übung 4
Elektronik - OperationsverstärkerSchaltungen
5
Übung 5
Leistungsmessung im Dreileiter- und
Vierleitersystem
3.2
Übung 6
Resonanzkreise
2
Übung 7
Leistungsmessung im Einphasennetz
3.2, 2.5
Übung 8
Magnetismus
7
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0.3 Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
1
Gleichstrom............................................................................................................1
1.1 Kirchhoff’sche Gesetze ....................................................................................1
1.1.1 1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel) ...................................................1
1.1.2 2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel) ................................................2
1.2 Ohm’sches Gesetz ..........................................................................................2
1.3 Serienschaltung von Widerständen .................................................................3
1.4 Parallelschaltung von Widerständen................................................................5
1.5 Spannungsquellen ...........................................................................................8
1.6 Schaltvorgänge................................................................................................9
1.6.1 Allgemeines ...............................................................................................9
1.6.2 Schaltvorgänge an einer Induktivität („Spule“) .........................................10
1.6.3 Schaltvorgänge an einer Kapazität („Kondensator“) ................................15
1.6.4 Allgemeine Erklärungen...........................................................................20
1.6.5 Mess - Schaltung .....................................................................................22
Kapitel 2
2
Wechselstromkreise ..............................................................................................1
2.1 Einführung komplexer Zeiger...........................................................................1
2.1.1 Komplexe Spannung, komplexer Strom.....................................................1
2.1.2 Komplexe Impedanz Z ...............................................................................4
2.1.3 Komplexe Admittanz Y...............................................................................5
2.1.4 Komplexe Scheinleistung S .......................................................................5
2.2 Einzelne komplexe Impedanzen für R, L, C.....................................................7
2.3 Schaltungen von zwei komplexe Impedanzen .................................................8
2.4 Schaltungen mit R, L und C Elementen Resonanzkreise ....................12
2.4.1 Reihenschaltung von R, L und C .............................................................12
2.4.2 Parallelschaltung von R, L und C.............................................................15
2.5 Blindleistungskompensation ..........................................................................18
Kapitel 3
3
Messtechnik ..........................................................................................................1
3.1 Messung von Widerständen ...........................................................................1
3.1.1
Strom- / Spannungsmethode ...................................................................1
3.1.2
Widerstandscodierung .............................................................................4
3.1.3
Messbereichserweiterung ........................................................................5
3.1.4
Gleichstrom- Messbrücke (Wheatstone-Brücke)......................................7
3.1.5
Wechselstrom-Messbrücke......................................................................9
3.2 Leistungsmessung........................................................................................10
3.2.1
Einphasiger Verbraucher .......................................................................10
3.2.2
Dreiphasiger Verbraucher ......................................................................11
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Kapitel 4
4
Elektrische Messgeräte .........................................................................................1
4.1 Allgemeines .....................................................................................................1
4.1.1 Fehler bei analogen Messgeräten .............................................................1
4.1.2 Fehler bei digitalen Messgeräten...............................................................3
4.2 Analoge Messgeräte........................................................................................3
4.2.1 Drehspul-Messgerät...................................................................................3
4.2.2 Drehspul-Galvanometer.............................................................................7
4.2.3 Dreheisen- Messgerät................................................................................7
4.2.4 Elektrodynamisches Messgerät .................................................................9
4.3 Digitale Messgeräte .......................................................................................12
4.3.1 Digital-Multimeter (DMM) .........................................................................12
4.3.2 Digitales Wattmeter .................................................................................12
4.4 Oszilloskope ..................................................................................................13
4.4.1 Analog- Oszilloskope ...............................................................................13
4.4.2 Digital- Oszilloskope ................................................................................13
4.4.3 Tastkopf, Tastteiler ..................................................................................17
4.4.4 Erdungsproblematik bei Oszilloskopen ....................................................19
Kapitel 5
5
Elektronik - Operationsverstärkerschaltungen .......................................................1
5.1 Funktion des Operationsverstärkers...............................................................1
5.2 Lineare Anwendungen...................................................................................3
5.2.1
Nicht-invertierender Verstärker ................................................................4
5.2.2
Spannungsfolger (Impedanzwandler) ......................................................5
5.2.3
Invertierender Verstärker ........................................................................6
5.3 Nichtlineare Anwendungen.............................................................................9
5.3.1
Komparator ..............................................................................................9
5.3.2
Schmitt- Trigger (Schwellwert-Schalter).................................................10
5.3.3
Astabiler Multivibrator............................................................................12
Kapitel 6
6
Elektrische Energieverteilung, Sicherheitstechnik .................................................1
6.1 Elektrische Energieverteilung ..........................................................................1
6.2 Schutzmaßnahmen in Elektrischen Netzen .....................................................3
6.2.1 „5 Sicherheitsregeln“..................................................................................3
6.2.2 Berühren spannungsführender Teile .........................................................3
6.2.3 Schutz vor indirektem Berühren.................................................................4
6.2.4 Überstrom- Schutzeinrichtungen ...............................................................7
Kapitel 7
7
Magnetismus .........................................................................................................1
7.1 Grundlagen magnetischer Kreise .........................................................................1
7.2
Aufnahme der Hysteresekurve ................................................................................. 4
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1 Gleichstrom
1.1 Kirchhoff’sche Gesetze
Die Berechnung von verzweigten Stromkreisen erfolgt im einfachsten Fall durch Anwendung
der beiden Kirchhoff’schen Gesetze. Für die Erläuterung der beiden Gesetze betrachten wir
folgendes beispielhafte Schaltbild:
U1
I1
R1
I2
UB
U2
R2
(1)
I3
R3
I4
R4
Abb. 1.1
1.1.1
1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel)
Ii = 0
(1.1)
Die Summe aller an einem Stromverzweigungspunkt („Knotenpunkt“) zufließenden
und aller wegfließenden Ströme ist gleich Null.
Hierbei werden zur Festlegung einer Bezugsrichtung die zufließenden Ströme mit positivem
Vorzeichen („+“), und die wegfließenden Ströme mit negativem Vorzeichen
(“-“) eingesetzt.
Für den in Abb. 1.1 dargestellten Knoten (1) gilt folgende Gleichung:
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I1 − I 2 − I3 − I 4 = 0
1.1.2
(1.2)
2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel)
Für dieses Gesetz werden die Maschen eines elektrischen Netzwerkes betrachtet, womit ein
beliebiger, über die Zweige des Netzwerkes geschlossener Weg bezeichnet wird.
Ui = 0
(1.3)
Die Summe aller in einer Masche wirkenden Spannungen ist gleich Null.
Vorgehen bei der Festlegung einer Zählpfeilrichtung:
1. Alle Spannungsquellen der betreffenden Masche erhalten einen vom positiven Anschluss
(+) zum negativen Anschluss (-) weisenden Spannungszählpfeil.
2. Die Ströme in den einzelnen Zweigen der Masche erhalten willkürlich gewählte Zählpfeile.
3. Alle passiven Verbraucher erhalten Spannungszählpfeile in der selben Richtung wie der
durch den betreffenden Verbraucher fließende Strom („Verbraucher-Zählpfeilsystem“).
4. Es wird ein beliebiger Umlaufsinn als positive Umlaufrichtung festgelegt.
5. Gemäß obiger Maschenregel wird nun die Summe aller Spannungen dieser Masche
gebildet, wobei alle Spannungen in Richtung der gewählten Umlaufrichtung positiv, und
alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen negativ einzusetzen sind.
Für die in Abb. 1.1 strichliert eingezeichnete Masche gilt folgende Gleichung:
− UB + U 2 + U1 = 0
(1.4)
Wenn sich aufgrund der rechnerischen Auswertung der Kirchhoff´schen Gesetze eines
Netzwerkes negative Werte für Ströme oder Spannungen ergeben, bedeutet dies nicht
zwangsläufig einen Rechenfehler, sondern lediglich, dass die betreffende Zählpfeilrichtung
eben in „falscher“ Richtung angenommen wurde, und daher die tatsächliche Richtung
entgegen der angenommenen ist.
1.2 Ohm’sches Gesetz
I=
U
R
(1.5)
Der durch einen Verbraucherwiderstand R fließende Strom I ist umso größer, je
größer die treibende Spannung U und je kleiner der - den Stromfluss bremsende Widerstand R eines Verbrauchers ist.
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1.3 Serienschaltung von Widerständen
I
UB
R1
R2
R3
U1
U2
U3
Abb. 1.2
Ausgehend von Gleichung (1.3) folgt als Maschengleichung für Abb.1.2:
− UB + U 2 + U1 + U3 = 0
(1.6)
UB = (I R1 ) + (I R 2 ) + (I R 3 )
(1.7)
Mit UB = I R Ges folgt:
I R Ges = (I R1 ) + (I R 2 ) + (I R 3 )
Die Division durch I liefert den Gesamtwiderstand der Serienschaltung:
R Ges = R1 + R 2 + R 3
(1.8)
Spannungsteiler - Regel
Es ist offensichtlich, dass bei einer Serienschaltung von Elementen durch jedes Element
derselbe Strom I fließt.
I = IR1 = IR 2 = IR 3
Daraus folgt unmittelbar
„Spannungsteiler-Regel“:
(1.9)
die
Aufteilung
der
Gesamtspannung
U
UB
U
U
= 1 = 2 = 3
R ges R 1 R 2 R 3
gemäß
folgender
(1.10)
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„Die Gesamtspannung durch den Gesamtwiderstand ist gleich der Teilspannung
durch den Teilwiderstand“.
Daraus erhält man z.B. für die Teilspannung U 2 :
U2 =
R2
UB
R Ges
(1.11)
•= Unbelasteter Spannungsteiler:
Die Abb. 1.3 zeigt nochmals das Schaltbild eines unbelasteten Spannungsteilers und die
zugehörige Formel zur Berechnung der Ausgangsspannung U2 des Spannungsteilers (z.B.
die Teilspannung am Widerstand R2).
R1
U1
R2
U2
Abb. 1.3
U2 =
R2
R2
UB =
UB
R ges
R1 + R 2
(1.12)
•= Belasteter Spannungsteiler:
In Abb. 1.4 ist an den Anschlüssen der Ausgangsspannung U2 eine Last (in diesem Beispiel
ein Ohm’scher Widerstand R3) angeschlossen. Nun gilt nicht mehr die oben angeführte,
einfache Formel des unbelasteten Spannungsteilers, vielmehr muss auch der
Ausgangsstrom I2 durch den Widerstand R3 berücksichtigt werden.
In dem in Abb. 1.4 gezeigten Beispiel ist folglich für die Teilspannung U2 der Teilwiderstand
R23 bestehend aus der Parallelschaltung von R2 und R3 zu berücksichtigen, wodurch sich die
Gleichung (1.13) ergibt.
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R1
I2
R2
U1
R3
U2
Abb. 1.4
U2 =
R 23
R ges
R2 R3
R 23
R2 + R3
UB =
UB =
UB
R2 R3
R 23 + R1
+ R1
R2 + R3
(1.13)
1.4 Parallelschaltung von Widerständen
Iges
Iges
UB
I1
U1
I2
U2
R1
I3
UB
U3
R2
R3
Abb. 1.5
I1
U1
I2
U2
R1
I3
U3
R2
R3
Abb. 1.6
Die Schaltung in Abb. 1.6 ist identisch zur Schaltung in Abb. 1.5, lediglich mit einer
veränderten Zeichnungsweise für die Knoten, um die später angeführte Knotengleichung
klar zu erkennen.
Ausgangspunkt sind die drei Maschengleichungen:
UB − U1 = 0
→ UB = U1
(1.14)
UB − U 2 = 0
→ UB = U 2
(1.15)
UB − U3 = 0
→ UB = U3
(1.16)
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Mit dem Ohmschen Gesetz folgt:
U1 = I1 R 1
I1 =
UB
R1
(1.17)
U 2 = I2 R 2
I2 =
UB
R2
(1.18)
U3 = I3 R 3
I3 =
UB
R3
(1.19)
UB
R Ges
(1.20)
UB = IGes R Ges
IGes =
Durch Einsetzen in die Knotengleichung
IGes = I1 + I2 + I3
(1.21)
folgt:
UB
U
U
U
= B + B + B
R Ges R 1 R 2 R 3
(1.22)
Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung berechnet sich mit
R Ges =
1
R Ges
=
1
1
1
zu
+
+
R1 R 2 R 3
1
1
1
1
+
+
R1 R 2 R 3
(1.23)
Vereinfachung für zwei parallele Widerstände:
R Ges =
R1 R 2
R1 + R 2
(1.24)
Daraus ergibt sich bei Parallelschaltung von Widerständen ein Gesamtwiderstand
RGes, welcher kleiner ist als der kleinste der parallel geschalteten Einzelwiderstände.
Beispiel:
Parallelschaltung von zwei gleichen Widerständen (R1 = R2 = R)
R
RGes =
2
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Stromteiler - Regel
Aus Abb. 1.5 ist ersichtlich, dass bei einer Parallelschaltung von Elementen an jedem
Element dieselbe Spannung U anliegt.
UB = UR1 = UR 2 = UR3
(1.25)
Daraus folgt unmittelbar die Aufteilung des Gesamtstromes gemäß folgender „StromteilerRegel“:
IGes R Ges = I1 R1 = I 2 R 2 = I3 R 3
(1.26)
„Gesamtstrom mal Gesamtwiderstand ist gleich dem Teilstrom mal Teilwiderstand“.
Daraus erhält man z.B. für den Teilstrom I2:
I2 =
R ges
R2
(1 27)
Iges
Rechnung mit Leitwerten
Der Leitwert G eines ohmschen Elements ist der Kehrwert des Widerstandes R:
G=
1 I
=
R U
... Einheit: Siemens [S] = [Ω-1]
(1.28)
Je kleiner der Widerstand ist, desto größer ist dessen Leitwert, bzw. Strom-Leitfähigkeit und
der Strom durch diesen Widerstand (bei gegebener Spannung).
Der Gesamtleitwert der Parallelschaltung berechnet sich mit:
G Ges = G1 + G 2 + G 3 =
1
(1.29)
R Ges
Bei Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Leitwerte.
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1.5 Spannungsquellen
Eine ideale Spannungsquelle stellt eine konstante, vom fließenden Laststrom unabhängige
Spannung Uq zur Verfügung.
Ri
I
k
URi
Uq
l
Ukl
RL
Abb. 1.8
Jede reale Spannungsquelle (z.B. Batterie) weist jedoch durch ihren nicht idealen inneren
Aufbau einen Innenwiderstand Ri auf, welcher als Serienwiderstand dargestellt wird (siehe
Abb. 1.8). Die von der Spannungsquelle an ihren Anschlüssen („Klemmen“) dem
Lastwiderstand RL (z.B. Glühbirne) zur Verfügung gestellte „Klemmenspannung“ Ukl ist also
um den Spannungsabfall URi, welcher durch den Strom I an Ri hervorgerufen wird, kleiner
als die nominelle „Quellenspannung“ Uq der Spannungsquelle.
Ukl = U q − URi
(1.30)
Die Größe dieser - die abgegebene Klemmenspannung Ukl vermindernden - Spannung URi
ist über das ohmsche Gesetz
UR i = I R i
(1.31)
direkt proportional zum fließenden Laststrom I.
Ukl = Uq − I R i
(1.32)
Je größer der vom Verbraucher RL aufgenommene Strom I ist, desto kleiner wird die von der
Spannungsquelle abgegebene Klemmenspannung Ukl an ihren äußeren Klemmen k und l
(„die Spannung geht bei Belastung in die Knie“).
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1.6 Schaltvorgänge
1.6.1
Allgemeines
Schaltvorgänge sind Einschwingvorgänge beim Ein- oder Ausschalten von Verbrauchern an
einer Gleichspannungsquelle. Es muss hier mit - zeitabhängigen - Differenzialgleichungen
gerechnet werden, da die komplexe Wechselstromrechnung nur für sinusförmige Vorgänge
angewendet werden kann (siehe Kap. 2.1).
Die Anzahl der unabhängigen Speicherelemente (L, C) in der Schaltung entspricht der
Ordnung der entstehenden Differenzialgleichung - in unseren Fällen handelt es sich um ein
Element (L oder C), so dass sich Differenzialgleichungen 1. Ordnung ergeben.
Regeln für das Aufstellen der Differenzialgleichungen
Bei Schaltvorgängen an Induktivitäten wird die Differenzialgleichung für den Strom i(t) durch
die Schaltung aufgestellt, da bei Induktivitäten der Strom i(t) keine Unstetigkeiten aufweist
(siehe Abb. 1.12 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte
Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung
(siehe Kap. 1.6.2).
Bei Schaltvorgängen an Kapazitäten wird die Differenzialgleichung für die Spannung uC(t) an
der Kapazität aufgestellt, da bei Kapazitäten die Spannung uC(t) keine Unstetigkeiten
aufweist (siehe Abb. 1.16 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte
Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung
(siehe Kap. 1.6.3).
Die nachfolgend beschriebenen Schaltvorgänge stellen den allgemeinen Fall von
unterschiedlichen Widerständen (R1, R2) und somit unterschiedlichen Zeitkonstanten (τ1, τ2)
im Lade- und im Entladekreis dar.
Vorbemerkungen:
Der Zählpfeil für i(t) wurde für das Laden (siehe Abb. 1.10, bzw. Abb. 1.14) und für das
Entladen (siehe Abb. 1.11, bzw. Abb. 1.15) jeweils in derselben Richtung durch L, bzw. C
gewählt, so dass ein unmittelbarer Vergleich der Stromrichtung durch L, bzw. C vor und
nach dem Umschalten (Zeitpunkt t1) in der Darstellung des zeitlichen Verlaufs von i(t), bzw.
uC(t) in der Übersicht der Abb. 1.12 und Abb. 1.16 möglich ist.
Der Zählpfeil für uR2(t) im Entladekreis von L, bzw. C (siehe Abb. 1.11 und Abb. 1.15) wurde
so gewählt, dass er in die selbe Richtung wie der durch R2 fließende Strom i(t) während des
Entladens zeigt (übliches Zählpfeilsystem für Verbraucher: gleiche Richtung von
Spannungszählpfeil und Stromzählpfeil).
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1.6.2
Schaltvorgänge an einer Induktivität („Spule“)
R1
+
uR1(t)
1
R2
0 2
S
UE
L
_
i(t)
uR2(t)
uL(t)
Abb. 1.9
+
R1
R2
i(t)
uR1(t)
UE
uL(t)
L
L
_
uR2(t)
uL(t)
i(t)
Abb. 1.10
Abb. 1.11
In Abb. 1.9 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Induktivität L
gezeigt.
Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in
Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.10 dargestellte Schaltkreis ergibt.
Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in
Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.11 ergibt.
Einschalten einer Induktivität (Aufladen)
Die Maschengleichung lautet:
uL ( t ) + u R1 ( t ) = UE
(1.33)
mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Induktivität
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uL ( t ) = L
di( t )
dt
(1.34)
und am Ohm’schen Widerstand
uR1 ( t ) = R1 i( t )
(1.35)
Daraus ergibt sich für i(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
L
di( t )
+ R1 i( t ) = UE
dt
(1.36)
mit der Randbedingung:
U∞ UE
=
R1 R1
i( t = ∞ ) = I∞ =
(1.37)
Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt:
U
i( t ) = E
R1
t
æ
− ö
ç1 − e τ1
ç
è
(1.38)
wobei die Zeitkonstante mit der Definition
τ1 :=
L
R1
(1.39)
errechnet wird.
Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität
U
di( t )
uL ( t ) = L
=L E
dt
R1
uL ( t ) = UE e
−
t
t
æ æ 1 ö ö − τ1
UE R1 − τ1
ç− ç− ÷ e
L
=
e
ç ç τ ÷
R1 L
è è 1
t
τ1
(1.40)
Bestimmung der Spannung uR1(t) am Widerstand R1:
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t
æ
− ö
τ1
ç
uR1 ( t ) = R1 i( t ) = UE 1 − e
ç
è
(1.41)
Probe: uL ( t ) + uR1 ( t ) = UE , bzw. uR1 ( t ) = UE − uL ( t )
... die Summe der Spannungen uR1(t) und uL(t) ergibt UE (= konstant).
Ausschalten einer Induktivität (Entladen)
Die Maschengleichung lautet:
uL ( t ) + uR 2 ( t ) = 0
(1.42)
mit Gleichung (1.34) sowie mit
u R 2 ( t ) = R 2 i( t )
(1.43)
ergibt sich für i(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
L
di( t )
+ R 2 i( t ) = 0
dt
(1.44)
Randbedingung: i( t = t 1 ) = I1 aktueller Strom durch L beim Beginn des Entladens.
Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist:
i( t ) = I1 e
−
t
τ2
(1.45)
wobei die Zeitkonstante
τ 2 :=
L
R2
(1.46)
beträgt.
Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität:
t
t
æ 1 ö − τ2
R −
di( t )
= L I1 çç −
uL ( t ) = L
e
= −L I1 2 e τ2
dt
L
è τ2
uL ( t ) = − I1 R 2 e
−
t
τ2
= U1,n e
−
t
τ2
(1.47)
(Index: U1,n ... U1 unmittelbar nach dem Umschalten)
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Bestimmung der Spannung uR2(t) am Widerstand R2:
uR2 ( t ) = R 2 i( t ) = I1 R 2 e
−
t
τ2
(1.48)
Probe: uL ( t ) + uR 2 ( t ) = 0 , bzw. uR 2 ( t ) = −uL ( t )
... die Summe der Spannungen uR2(t) und uL(t) ergibt Null.
uL(t), uR1(t), uR2(t)
Einschalten
Ausschalten
uR1(t)
UE
uR2(t)
U1,v
t1
t
τ1
τ2
uL(t)
U1,n=
= - (I1 x R2)
i(t)
UE/R1
i(t)
I1
t
τ1
t1
Abb. 1.12
Seite 1.13 von 22
τ2
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Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass auf Grund unterschiedlicher Widerstände im
Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall
ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist.
Verlauf von uL(t):
Bei Induktivitäten zeigt der Verlauf von uL(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen
(= Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Die Spannung springt von dem unmittelbar vor dem
Umschalten vorhandenen Wert U1,v auf den negativen Wert U1,n unmittelbar nach dem
Umschalten.
Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: U1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten.
Die Spannung uL(t) an der Induktivität startet also beim Beginn des Entladens von einem
negativen Startwert U1,n , welcher durch den Wert des zum Umschaltzeitpunkt fließenden
Stromes I1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2 bestimmt wird (siehe
Gleichung (1.47)).
Vorsicht beim Entladen mit offenem Entladekreis (R2 = ∞):
Das Entladen von Induktivitäten muss über einen Widerstand R2 < ∞ erfolgen, der die
Spannung uL(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Abschalten eines induktiven
Verbrauchers mit offenen Klemmen ohne parallelem R2 (R2 = ∞) entsteht kurzzeitig eine
unendlich hohe Spannung an der Induktivität ( u L ( t ) = −I ⋅ ∞ nach Gleichung (1.47)), welche
als Überschlag sichtbar sein und zur Beschädigung des Verbrauchers und der Schaltorgane
führen kann.
Erkennbar ist dies z.B. im Haushalt beim Ausschalten induktiver Verbraucher (Heizlüfter, ...)
durch kurzzeitige Funken am Schalter.
Ebenso kann durch Spannungsmessung an induktiven Verbrauchern mit digitalen
Messgeräten beim Ausschalten der induktiven Verbraucher ein Schaden des Messgerätes
oder ein Auslösen der internen Sicherung durch die kurzzeitig hohe Ausschaltspannung
verursacht werden.
Verlauf von uR1(t), uR2(t):
Die Spannung uR1(t) ist nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur
während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt
sein, dass die Summe aus uL(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus
uL(t) und uR2(t) den Wert Null ergibt.
Verlauf von i(t):
Der Strom i(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne Sprungstelle.
Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei
Schaltvorgängen an Induktivitäten die Differenzialgleichung für i(t) zu lösen.
Seite 1.14 von 22
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1.6.3
Schaltvorgänge an einer Kapazität („Kondensator“)
R1
+
1
R2
0 2
S
uR1(t)
C
UE
_
uR2(t)
uC(t)
i(t)
Abb. 1.13
R2
R1
+
i(t)
uR1(t)
uC(t)
UE
_
C
C
uR2(t)
uC(t)
i(t)
Abb. 1.14
Abb. 1.15
In Abb. 1.13 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Kapazität C
gezeigt.
Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in
Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.14 dargestellte Schaltkreis ergibt.
Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in
Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.15 ergibt.
Einschalten einer Kapazität (Aufladen)
Die Maschengleichung lautet:
u C ( t ) + uR1 ( t ) = UE
(1.49)
mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Kapazität
i( t ) = C
du C ( t )
dt
(1.50)
Seite 1.15 von 22
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und am Ohm’schen Widerstand
uR1 ( t ) = R1 i( t ) = R1C
du C ( t )
dt
(1.51)
Daraus ergibt sich für uC(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
uC ( t ) + R1C
du C ( t )
= UE
dt
(1.52)
mit der Randbedingung: u C ( t = 0 ) = 0 .
Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist
t
æ
− ö
τ1
ç
u C ( t ) = UE 1 − e
ç
è
(1.53)
wobei die Zeitkonstante mit
τ1 := R1C
(1.54)
errechnet wird.
Bestimmung des Stromes i(t):
du ( t )
i( t ) = C C
= C UE
dt
t
t
æ æ 1 ö ö − τ1
æ 1 ö − τ1
ç − ç − ÷÷ e
C
U
=
Eç
çR ⋅C e
ç ç τ ÷÷
è 1
è è 1
t
−
U
i( t ) = E e τ1
R1
(1.55)
Bestimmung der Spannung uR1(t) am Widerstand R1:
uR1 ( t ) = R1 i( t ) = UE e
−
t
τ1
Probe: u C ( t ) + uR1 ( t ) = UE , bzw.
(1.56)
uR1( t ) = UE − uC ( t )
... die Summe der Spannungen uR1(t) und uC(t) ergibt UE (= konstant).
Seite 1.16 von 22
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Ausschalten einer Kapazität (Entladen)
Die Maschengleichung lautet:
u C ( t ) + uR 2 ( t ) = 0
(1.57)
mit Gleichung (1.50) und
uR2 ( t ) = R 2 ⋅ i( t ) = R 2 ⋅ C ⋅
du C ( t )
dt
(1.58)
ergibt sich für uC(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
uC ( t ) + R 2 C
du C ( t )
=0
dt
(1.59)
Randbedingung: u C ( t = t 1 ) = U1 aktuelle Spannung an C bei Beginn des Entladens
Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist:
u C ( t ) = U1 e
−
t
τ2
(1.60)
wobei die Zeitkonstante
τ2 = C R2
(1.61)
beträgt.
Bestimmung des Stromes i(t):
t
t
æ
æ 1ö −
du ( t )
1 ö − τ2
i( t ) = C C = C U1 çç − ÷÷ e τ2 = C U1 çç −
e
dt
è R2 × C
è τ2
t
t
−
U −
i( t ) = − 1 e τ 2 = I1,n e τ2
R2
(1.62)
(Index: I1,n ... I1 unmittelbar nach dem Umschalten)
Bestimmung der Spannung uR2(t) am Widerstand R2:
uR 2 ( t ) = R 2 i( t ) = − U1 e
−
t
τ2
Probe: uR2 ( t ) + u C ( t ) = 0
(1.63)
uR2 ( t ) = −u C ( t )
... die Summe der Spannungen uR2(t) und uC(t) ergibt Null.
Seite 1.17 von 22
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uC(t), uR1(t), uR2(t)
Einschalten
Ausschalten
UE
U1
uR1(t)
uC(t)
t
t1
τ1
τ2
i(t)
UE/R1=
uR2(t)
=I0
i(t)
t1
I1,v
τ1
I 1,n =
t
τ2
= - U1/R2
Abb. 1.16
Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass aufgrund unterschiedlicher Widerstände im
Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall
ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist.
Verlauf von i(t):
Bei Kapazitäten zeigt der Verlauf von i(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen
(= Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Der Strom springt von dem unmittelbar vor dem
Umschalten vorhandenen Wert I1,v auf den negativen Wert I1,n unmittelbar nach dem
Umschalten.
Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: I1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten.
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Der Strom i(t) im Entladekreis startet also beim Beginn des Entladens mit einem negativen
Startwert I1,n , welcher durch den Wert der zum Umschaltzeitpunkt an der Kapazität
anliegenden Spannung U1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2
bestimmt wird (siehe Gleichung (1.62)).
Vorsicht beim Entladen mit kurzgeschlossenem Entladekreis (R2 = 0):
Das Entladen von Kapazitäten muss unbedingt über einen Widerstand R2 > 0 erfolgen, der
den Strom i(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Entladen eines Kondensators
über einen Kurzschluss (R2 = 0) würde kurzzeitig ein unendlich hoher Strom im Entladekreis
entstehen ( i(t)= -U1/0, siehe Gleichung (1.56)), welcher zu Beschädigungen führen kann.
Vorsicht beim Berühren von kapazitiven Verbrauchern kurz nach dem Abschalten:
Weiters erkennt man, dass das Absinken der Spannung uC(t) am Kondensator bei einer
großen Zeitkonstante (abhängig von τ2 = C R2) entsprechend langsam - der e-Funktion
folgend - abläuft. Es kann also durchaus der Fall sein, dass ein Kondensator, der z.B. auf
eine Spannung von 230 V aufgeladen wurde, nach Abschalten der Versorgungsspannung
noch für einige Zeit (τ2 - abhängig) eine gefährlich hohe Spannung aufweist.
Nach Abschalten der Versorgungsspannung ist vor Berühren von Schaltungen, bzw.
Verbrauchern mit kapazitiven Elementen eine entsprechende Entladezeit abzuwarten, bzw.
ist eine Entlade-Einrichtung vorzusehen!
Verlauf von uC(t):
Die Spannung uC(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne
Sprungstellen. Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei
Schaltvorgängen an Kapazitäten die Differenzialgleichung für uC(t) zu lösen.
Verlauf von uR1(t), uR2(t):
Die Spannung uR1(t) ist ja nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur
während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt
sein, dass die Summe aus uC(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus
uC(t) und uR2(t) Null ergibt.
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1.6.4
Allgemeine Erklärungen
Das Einschalten, bzw. das Ausschalten einer Gleichspannung entspricht unmittelbar nach
dem Schaltbeginn einer sehr steilen, hochfrequenten (da rechteckförmigen)
Spannungsänderung (f -> ∞). Diese Frequenz- Wirkung ist bei Überlegungen zum
frequenzabhängigen Impedanzverhalten von L und C zu berücksichtigen.
Induktivität L
Die Impedanz einer Induktivität L ist proportional zur Frequenz f.
.... siehe Kap.2: komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) Z L = jω L = j2πf L
Dadurch wirkt L für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich hohe
Impedanz, womit kein Strom fließt und die gesamte Spannung UE an L abfällt.
i( t = 0) = 0
u L ( t = 0 ) = UE
u R ( t = 0) = 0
Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung,
d.h. die Impedanzwirkung von L wird immer geringer, und für t = ∞ wirkt UE nur noch als
Gleichspannung (f=0), bei der die Impedanz von L gleich Null ist und die gesamte Spannung
UE an R1 abfällt, bzw. der Strom nur durch R1 begrenzt wird.
uL (t = ∞) = 0
u R ( t = ∞ ) = UE
U
i( t = ∞ ) = E
R1
Die Zeitverläufe zwischen t = 0 und t = ∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der
Differenzialgleichung.
Kapazität C
Die Impedanz einer Kapazität C ist umgekehrt proportional zur Frequenz f.
1
1
.... siehe Kap.2: komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) Z C =
=
jω C j2πf C
Dadurch wirkt C für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich kleine
Impedanz, d.h. die Spannung UE fällt zur Gänze an R1 ab, bzw. der Strom wird nur noch
durch R1 begrenzt.
u C ( t = 0) = 0
u R ( t = 0 ) = UE
U
i( t = 0) = E
R1
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Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung,
d.h. die Impedanzwirkung von C wird immer größer, und für t = ∞ wirkt UE nur noch als
Gleichspannung (f = 0), bei der die Impedanz von C unendlich hoch ist, wodurch kein Strom
fließt und die gesamte Spannung UE an C abfällt.
u C ( t = ∞ ) = UE
uR ( t = ∞) = 0
i( t = ∞ ) = 0
Die Zeitverläufe zwischen t = 0 und t = ∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der
Differenzialgleichung.
Zeitkonstante
Die Zeitkonstante τ stellt eine Verkürzung der mathematischen Schreibweise dar, indem der
Nenner des e-Exponenten mit τ abgekürzt wird. Daraus ergeben sich die verschiedenen
Definitionen für τ bei Schaltvorgänge an L und an C.
Durch diese Definition erkennt man, dass τ die Zeitdauer angibt, nach welcher der
Zeitverlauf auf den e-ten Teil (= 36.8 %) des Startwertes abgesunken ist (bei fallender eFunktion), bzw. auf den e-ten Teil (63.2 %) des Endwertes angestiegen ist (bei steigender
e-Funktion).
Bei steigender e-Funktion:
1− e
−
t=τ
τ
= 1 − e −1 = 0.632 = 63.2 %
(1.64)
Bei fallender e-Funktion:
e
−
t =τ
τ
= e −1 = 0.368 = 36.8 %
(1.65)
Die Zeitkonstante τ kann auf folgende Weise ermittelt werden:
1. Einzeichnen des 63.2% Levels bei steigender e-Funktion bzw. 36.8 % Levels bei fallender
e-Funktion vom stationären Wert (t >>). Mit Hilfe der Cursor – Funktion des Oszilloskops
können die Zeitkonstanten sehr genau ermittelt werden.
2. Tangente an den Zeitverlauf im Startzeitpunkt legen und den Schnittpunkt der Tangente
mit dem stationären Wert bilden (Ausdruck muss vorhanden sein, ungenau).
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1.6.5
Mess - Schaltung
In Abb. 1.17 ist beispielsweise die Mess- Schaltung zur Darstellung des zeitlichen Verlaufs
der Kondensatorspannung uc(t) auf einem Oszilloskop gezeigt.
Ein Funktionsgenerator erzeugt einen rechteckförmigen Spannungsverlauf, welcher die
Serienschaltung aus R und C speist. Die Rechteckflanken entsprechen dabei dem
Einschalten einer Gleichspannung (bei der positiven Flanke) bzw. dem Ausschalten einer
Gleichspannung (bei der negativen Flanke). Dadurch erspart man sich den Aufwand eines
mechanischen Schalters, welcher in den vorangegangenen Abbildungen für das Ein- und
Ausschalten verwendet wurde, und der Verlauf der Ein- und Ausschaltvorgänge kann als
periodisches Signal dargestellt und die Zeitkonstante τ gemessen werden.
R
Koaxial-Kabel
FG
C
Ch1
uC(t)
Oszilloskop
FG ... Funktionsgenerator (Rechtecksignal)
Abb. 1.17
Für die Messpraxis ist Erdungsproblematik der Oszilloskope zu beachten - siehe Kap. 4.4).
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2 Wechselstromkreise
2.1 Einführung komplexer Zeiger
2.1.1 Komplexe Spannung, komplexer Strom
Zur Vereinfachung der mathematischen Behandlung von Wechselstromkreisen wird ein
Bezug zwischen sinusförmigen Zeitverläufen und Zeigerdiagrammen in der komplexen
Zahlenebene hergestellt. Diese Möglichkeit ist auf sinusförmige Signale beschränkt, und z.B.
nicht für Schaltvorgänge (z.B. in Kap. 1) verwendbar.
Im
û
I
t
0
ϕu
ϕi
i(t)
(ω
t=0
)
î
ϕi
U
(ω
t
ϕ =0)
u
Re
u(t)
Abb. 2.1
Wie das Beispiel in Abb. 2.1 zeigt, kann der zeitliche Sinusverlauf in die komplexe
Zahlenebene projiziert werden.
Es gilt folgende Zuordnung zwischen komplexer Größe U und realer Zeitgröße u(t):
Komplexer Zeiger U:
Realer Zeitverlauf u(t):
Betrag (Länge des Zeigers) Phase (Winkel des Zeigers) -
Scheitelwert (Amplitude) oder Effektivwert
Nullphasenwinkel ϕ0 (ϕu ,bzw. ϕi)
Bei der gewählten Darstellung in Abb. 2.1 rotiert der Zeiger mit fortschreitender Zeit im
Gegenuhrzeigersinn, und der Imaginärteil der komplexen Zahl entspricht dem physikalisch
auftretenden Momentanwert u(t). Der Zeiger selbst gilt also immer nur für einen
Seite 2.1 von 23
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Zeitaugenblick, und dessen Imaginärteil ist die Momentaufnahme des gerade aktuellen
Momentanwerts der Größe u(t).
Üblicherweise wird das Zeigerbild für t = 0 gezeichnet, so dass die Winkel der komplexen
Zeiger dem Nullphasenwinkel (ϕu und ϕi in Abb. 2.1) entsprechen.
Für die Zeigerdarstellung können die Beträge der Zeiger entweder als Scheitelwerte oder als
Effektivwerte der Sinusgrößen maßstäblich eingezeichnet werden. Üblicherweise wird die
Darstellung in Effektivwerten verwendet (da z.B. auch die meisten Messgeräte den
Effektivwert anzeigen).
Veranschaulichung anhand Abb. 2.1
Hier ist als Zeigerdiagramm die Momentaufnahme zum Zeitpunkt (ωt = 0) gezeigt, womit die
Winkel der Zeiger U und I den Null-Phasenwinkeln (= Phasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0) von
u(t) und i(t) entsprechen. Der Imaginärteil der Zeiger repräsentiert den physikalisch realen
Momentanwert von u(t), bzw. i(t) zum Zeitpunkt t = 0.
Zu späteren Zeitpunkten hin (also bei Fortschreiten entlang der ωt-Achse im Zeitdiagramm)
wird in diesem Beispiel der Momentanwert von i(t) kleiner, während u(t) noch im Ansteigen
begriffen ist. Das zeigt sich auch im Zeigerdiagramm, wo bei fortschreitender Zeit, also bei
Weiterdrehen der Zeiger im Gegenuhrzeigersinn (z.B. mathematisch positive Richtung), der
Imaginärteil des Zeigers I bereits absinkt, während jener von U noch ansteigt.
Zur Darstellung einer Sinusgröße ist es ausreichend, den Zeiger für eine bestimmten
Zeitaugenblick in der komplexen Ebene darzustellen. Daraus kann der Scheitelwert (oder
der Effektivwert, je nach gewähltem Maßstab) und die Phasenverschiebung zum Zeitpunkt
t = 0 abgelesen werden und daraus die Sinusschwingung als zeitlicher Verlauf dargestellt
werden. Die einzelnen Momentanwerte von u(t) zu verschiedenen Zeitpunkten werden für
die komplexe Zeigerdarstellung also nicht benötigt.
Man erkennt zeitlich voreilende Signale daran, dass diese im Zeigerdiagramm bei
Umlauf in Uhrzeigerrichtung zuerst erreicht werden.
Im gewählten Beispiel ist u(t) gegenüber i(t) um den Winkel ∆ϕ = ϕ u − ϕ i nacheilend.
Um verschiedene sinusförmige Signale in einem Zeigerdiagramm darzustellen, wird jedes
Signal mit Amplitude und Phasenwinkel des selben, beliebig gewählten Zeitpunkts des
zeitlichen Verlaufs als Zeiger dargestellt - üblicherweise werden die Zeiger für den Zeitpunkt
(ωt = 0), also mit den Null-Phasenwinkeln gezeichnet.
Voraussetzung für die Darstellung verschiedener Signale ist, dass alle Zeitsignale dieselbe
Frequenz aufweisen, so dass also alle Zeiger mit der selben Geschwindigkeit rotieren, da
die Zeiger nur dann für alle Zeitpunkte (für alle möglichen Zeigerlagen) einen fixen Bezug
zueinander aufweisen. In diesem Fall ist also die Darstellung eines einzelnen momentanen
Zeigers jeder darzustellenden Sinusgröße ausreichend, um daraus die Amplitude (bzw.
meist den Effektivwert) und die gegenseitige - zeitliche - Phasendifferenz der Signale
abzulesen.
Für diese Zeiger können alle Rechenregeln für komplexe Zahlen angewendet werden. So
entspricht z.B. die Differenz der Phasenwinkel der beiden komplexen Zeiger U und I der
tatsächlichen zeitlichen Phasendifferenz zwischen u(t) und i(t).
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Phasenwinkel ϕ:
Definition des Phasenwinkels
zwischen u(t) und i(t):
Im
I
ϕ := ϕ ui = ϕ u − ϕ i
ϕui
ϕi
ϕu
(2.1)
U
Re
Abb. 2.2
Abb. 2.2 zeigt den allgemeinsten Fall eines Zeigerdiagramms von U und I. Daraus ist
ersichtlich, dass mit der angeführten Definition der Phasenwinkel ϕui von I nach U gerichtet
ist und in Gegenuhrzeiger-Richtung (also in mathematisch positiver Richtung) positiv gezählt
wird.
In Abb. 2.2 ist der Verbraucher als Beispiel Ohm’sch- kapazitiv, erkennbar aus der
Nacheilung der Spannung und aus dem negativen Vorzeichen des Phasenwinkels ϕ.
Unterstrichene Größen (z.B. U, I, Z, Y, S) symbolisieren komplexe Zahlen, bestehend aus
Realteil und Imaginärteil, bzw. Betrag und Phase:
U = U∠ϕ u
mit:
U ..... komplexe Größe mit Betrag und Phase
U ..... Effektivwert von u(t)
„Betrag“
ϕu .... Nullphasenwinkel von u(t)
„Phase“
Vorteile der komplexen Schreibweise
Bei der Durchführung von mathematischen Operationen zeigt sich der große Vorteil einer
komplexen Schreibweise, wie am Beispiel einer Division zweier Sinus-Signale gezeigt
werden soll (dabei seien die Winkel ϕu und ϕi die Null-Phasenwinkeln von u(t) und i(t) ).
Zeitdarstellung:
Komplexe Darstellung:
u( t ) = û sin(ωt + ϕ u )
U = û e j(ωt + ϕu ) = û∠ϕu =
i( t ) = î sin(ωt + ϕ i )
I = î e j(ωt + ϕi ) = î ∠ϕi =
u( t ) û sin(ωt + ϕ u )
=
i( t )
î sin(ωt + ϕ i )
U U eff ∠ϕu U eff
=
=
∠(ϕu − ϕi )
I
Ieff ∠ϕi
Ieff i
Seite 2.3 von 23
(
(
)
2 Ueff ∠ϕu
)
2 Ieff ∠ϕi
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In der Zeitdarstellung sind trigonometrische Formeln zur weiteren Behandlung notwendig,
während in der komplexen Schreibweise lediglich die Beträge zu dividieren und die
Phasenwinkel zu subtrahieren sind.
In der komplexen Rechnung ist es sinnvoll, für Additionen und Subtraktionen die Darstellung
in Realteil und Imaginärteil, sowie für Multiplikationen und Divisionen die Darstellung in
Polarkoordinaten (Betrag, Phase) zu verwenden. Ebenso können die mathematischen
Grundoperation anschaulich in der komplexen Zahlenebene durch vektorielle
Verschiebungen graphisch gelöst werden.
Einschränkungen zur komplexen Rechnung
Wie bereits erläutert, ist die komplexe Zeigerdarstellung nur für harmonische (sinusförmige
und kosinusförmige) Größen von Spannung und Strom möglich, wobei nur eine Frequenz
auftreten darf und ausschließlich lineare Elemente (R, L oder C) vorhanden sein dürfen.
2.1.2 Komplexe Impedanz Z
Die Erweiterung des Ohm’schen Gesetzes auf sinusförmige Wechselsignale liefert
folgende Grundgleichung für die komplexe Impedanz Z:
Z=
U U∠ϕ u U
= ∠(ϕ u − ϕ i ) = Z∠ϕ Z = Z∠ϕ ui
=
I
I∠ϕ i
I
(2.2)
Der Winkel ϕZ der Impedanz Z entspricht also dem Phasenwinkel ϕui.
Ohm’scher Verbraucher:
Z R = R∠0°
(2.3)
Induktiver Verbraucher:
Z L = jω L = ω L∠90°
(2.4)
Kapazitiver Verbraucher:
ZC =
1
1
1
= −j
=
∠ − 90°
ωC ωC
j ωC
(2.5)
Impedanzdreieck
Die Darstellung von Z in der komplexen Zahlenebene mit Realteil und Imaginärteil, bzw. mit
Betrag und Phase wird als „Impedanzdreieck“ bezeichnet.
Allgemeine Benennungen von Impedanzen:
Z = R + jX
Z
R
X
(2.6)
... Scheinwiderstand (Impedanz)
... Wirkwiderstand (Resistanz)
... Blindwiderstand (Reaktanz)
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2.1.3 Komplexe Admittanz Y
Analog zum rein Ohm’schen Leitwert G liefert die Erweiterung auf sinusförmige
Wechselsignale folgende Gleichung für die komplexe Admittanz Y:
Y=
I∠ϕi
I
I
=
= ∠(ϕi − ϕ u ) = Y∠ϕ Y = Y∠ − ϕ ui
U U∠ϕu U
(2.7)
Der Winkel der Admittanz Y entspricht dem negativen Phasenwinkel ϕui.
1
∠0°
R
Ohm’scher Verbraucher:
Y R = G∠0° =
Induktiver Verbraucher:
YL =
Kapazitiver Verbraucher:
Y C = jωC = ωC∠90°
1
1
1
= −j
=
∠ − 90°
j ωL
ωL ωL
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Admittanzdreieck
Die Darstellung von Y in der komplexen Zahlenebene mit Realteil und Imaginärteil, bzw. mit
Betrag und Phase wird als „Admittanzdreieck“ bezeichnet.
Allgemeine Benennungen von Admittanzen:
Y = G + jB
Y
G
B
(2.11)
... Scheinleitwert (Admittanz)
... Wirkleitwert (Konduktanz)
... Blindleitwert (Suszeptanz)
2.1.4 Komplexe Scheinleistung S
Definition der Leistungen eines Verbrauchers bei sinusförmiger Wechselspannung:
Scheinleistung [VA]
S = U eff Ieff
(2.12)
Wirkleistung [W]
P = U eff Ieff cos ϕ = S cos ϕ
(2.13)
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Blindleistung [VAr]
Q = U eff Ieff sin ϕ = S sin ϕ
(2.14)
Leistungsfaktor [-]
cos ϕ =
P
S
(2.15)
Zur Überführung dieser Leistungsbegriffe in die komplexe Zeigerdarstellung wird die
komplexe Scheinleistung S mit folgender Definition eingeführt:
S := U I = U eff ∠ϕu Ieff ∠ − ϕ i = Ueff Ieff ∠(ϕ u − ϕ i ) = S∠ϕ u i
*
(2.16)
mit
I = Re{}
I − Im{}
I = I∠ − ϕ i
*
(2.17)
als konjugiert komplexe Zahl von I
Die Verwendung des konjugiert komplexen Wertes von I ist rein mathematisch begründet,
denn so ist gewährleistet, dass P und Q als Realteil und Imaginärteil von S dargestellt
werden können, um in der komplexen Betrachtung die selben Gleichungen für die Beträge
von P, Q und S zu erhalten, wie in der physikalisch realen Zeitdarstellung:
Komplexe Scheinleistung [VA]
S = P + jQ = S∠ϕ ui
(2.18)
Wirkleistung [W]
P = Re{S} = S cos ϕ = U eff Ieff cos ϕ
(2.19)
Blindleistung [VAr]
Q = Im{ S} = S sin ϕ = U eff Ieff sin ϕ
(2.20)
Leistungsdreieck
Die Darstellung von P in der reellen Achse, Q in der imaginären Achse und S als vektorielle
Summe von P und Q wird als „Leistungsdreieck“ bezeichnet, wobei der Winkel von S gleich
dem Phasenwinkel ϕui ist.
Anmerkung:
Würde man nicht I* sondern I für die Definition von S verwenden, wäre folgender Ausdruck
das Ergebnis für S:
S := U I = U eff ∠ϕ u Ieff ∠ϕ i = U eff Ieff ∠(ϕ u + ϕ i ) = S∠(ϕ u + ϕ i )
Das Ergebnis wäre eine komplexe Zahl S, deren Phasenwinkel nicht ϕ = ϕu - ϕi sondern ϕu +
ϕi beträgt, wodurch sich für P und Q nicht die einfache Beziehung mittels Realteil und
Imaginärteil von S ergeben würde.
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2.2 Einzelne komplexe Impedanzen für R, L, C
Im
Im
IR
IR
R
U
U
Re
R
Re
G=1/R
P=S
ϕ=0°
Abb. 2.3
Bei rein Ohm’schen Verbrauchern sind Strom und Spannung immer in Phase (ϕ = 0°).
Die gesamte Leistung ist eine reine Wirkleistung (S = P).
Im
IL
U
L
U
Im
ϕ=90°
IL Re
XL=jωL
Re
BL=1/XL=1/jωL
QL=S
Abb. 2.4
Bei rein induktiven Verbrauchern ist die Spannung über L immer um 90° gegenüber dem
Strom durch L voreilend (ϕui = +90°; positiv, da von I nach U im - mathematisch positiven Gegenuhrzeigersinn gerichtet; vgl. Definition von ϕui).
Die gesamte Leistung ist eine rein induktive Blindleistung (wurde mit positivem Vorzeichen
festgelegt; S = jQL).
IC
U
IC
C
ϕ=−90° U
X C=1/jωC
BC=1/XC=jωC
QC=S
Abb. 2.5
Bei rein kapazitiven Verbrauchern ist die Spannung über C immer um 90° gegenüber dem
Strom durch C nacheilend (ϕui = -90°; negativ, da von I nach U im - mathematisch negativen
- Uhrzeigersinn gerichtet; vgl. Definition von ϕui).
Die gesamte Leistung ist eine rein kapazitive Blindleistung (wurde mit negativem Vorzeichen
festgelegt; S = -jQC).
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2.3 Schaltungen von zwei komplexe Impedanzen
Nachfolgend sind als Überblick über die komplexe Zeigerdarstellung jeweils zwei
Möglichkeiten für Ohm’sch- induktives und für Ohm’sch- kapazitives Verhalten mit allen
Zeigerdiagrammen
(Spannungs-/Stromzeiger,
Impedanzdreieck,
Admittanzdreieck,
Leistungsdreieck) dargestellt.
R
I
Re{Y}
L
U
UR
U
Z
UL
ϕ
UL
−ϕ
jωL
ϕ
UR
j Im{Y}
S
Y
P
R
I
jQL
ϕ
Abb. 2.6 : Ohm’sch- induktives Verhalten mit Serienschaltung von R und L
I
IL
IR
U
R
L
Re{Y}
U
IR
−ϕ
Z
−ϕ
IL
I
jωL
ϕ
S
j Im{Y}
jQL
ϕ
Y
P
R
Abb. 2.7 : Ohm’sch- induktives Verhalten mit Parallelschaltung von R und L
R
I
C
I
UR
UR
U
R
P
−ϕ
ϕ
UC
−j
UC
U
Z
Y
1
ωC
ϕ
−ϕ
jIm{Y}
S
jQ C
Re{Y}
Abb. 2.8 : Ohm’sch- kapazitives Verhalten mit Serienschaltung von R und C
I
IR
U
R
IC
ϕ
I
C
Re{Z}
jIm{Z}
IC
ϕ
Z
IR
U
−ϕ
Y
jωC
S
−ϕ
1
R
Abb. 2.9 : Ohmsch- kapazitives Verhalten mit Parallelschaltung von R und C
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P
jQ C
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Proportionalität der Zeigerdiagramme
Im folgenden wird die Proportionalität zwischen den einzelnen Arten von Zeigerdiagrammen
(d.h. gleiche Winkel in den Zeigerdiagrammen) anschaulich hergeleitet.
Bei Betrachtung der Serienschaltung von z.B. R und L in Abb. 2.6 (analoges gilt für R und C
in Abb. 2.8) erhalten wir für die Beträge der Teilspannungen:
UR = I R
UL = I X L
U =IZ
UR ~ R
UL ~ X L
U~Z
Bei Serienschaltung sind die Beträge der Impedanzen R, X und Z proportional zu den
Beträgen der Spannungen UR, UL (bzw. UC) und U.
Weiters erhalten wir folgende Gleichungen für die Leistungen:
P = U I cos ϕ = UR I
Q = U I sin ϕ = UL I
S = UI
P ~ UR
Q ~ UL
S~U
Bei Serienschaltung sind die Beträge der Leistungen P, Q und S proportional zu den
Beträgen der Spannungen UR, UL (bzw. UC) und U.
Das Spannungsdreieck ist proportional zum Impedanzdreieck und proportional zum
Leistungsdreieck.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bei Betrachtung der Parallelschaltung von z.B. R und L in Abb. 2.7 (analoges gilt für R und C
in Abb. 2.9) erhalten wir für die Beträge der Teilströme:
1
U
IR =
IR ~ = G
R
R
U
1
IL =
IR ~
=B
XL
XL
U
1
I~ = Y
I=
Z
Z
Bei Parallelschaltung sind die Beträge der Admittanzen G, B und Y proportional zu den
Beträgen der Ströme IR, IL (bzw. IC) und I.
Weiters erhalten wir folgende Gleichungen für die Leistungen:
P = U I cos ϕ = U IR
Q = U I sin(− ϕ ) = U IL
P ~ IR
Q ~ IL
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S = UI
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S ~I
Bei Serienschaltung sind die Beträge der Leistungen P, Q und S proportional zu den
Beträgen der Ströme IR, IL (bzw. IC) und I.
(wobei Q in umgekehrter Richtung zu IL, bzw. IC weist, da S mit I* definiert ist).
Das Stromdreieck ist proportional zum Admittanzdreieck
Leistungsdreieck (letzteres mit umgekehrten Vorzeichen von ϕ).
und
proportional
zum
Spannungen, Ströme
Bei einer Serienschaltung fließt durch alle Elemente derselbe Strom, so dass es sinnvoll ist,
den Strom in die 0°- Richtung zu legen. Die Spannungen über den einzelnen Elementen
ergeben sich aus den obigen Grundregeln, und addieren sich - komplex, bzw. vektoriell - in
Summe zur Gesamtspannung U.
Bei einer Parallelschaltung liegt an allen Elementen die selbe Spannung an, so dass es
sinnvoll ist, die Spannung in die 0°- Richtung zu legen. Die Ströme durch die einzelnen
Elemente ergeben sich aus den obigen Grundregeln, und addieren sich - komplex, bzw.
vektoriell - in Summe zum Gesamtstrom I.
Impedanzdreieck, Admittanzdreieck
Bei Serienschaltungen (Abb. 2.6, Abb. 2.8) addieren sich die Impedanzen, so dass diese
direkt gezeichnet werden können, während für das Admittanzdreieck die komplexe
Impedanz Z zu invertieren ist.
Folglich gilt nicht: Re{Y}=1/R, Im{Y}=1/X, sondern Re{Y} und Im{Y} ergeben sich aus der
komplexen Invertierung von Z.
→
Z = R + jX
Y=
1
1
1
1
=
≠
+
Z R + jX
R jX
!!!!!
Bei Parallelschaltungen (Abb. 2.7, Abb. 2.9) addieren sich die Admittanzen, so dass diese
direkt gezeichnet werden können, während für das Impedanzdreieck die komplexe
Admittanz Y zu invertieren ist.
Folglich gilt nicht: Re{Z}=1/R, Im{Z}=1/X, sondern Re{Z} und Im{Z} ergeben sich aus der
komplexen Invertierung von Y.
Y = G + jB =
1
1
+
R jX
→
Z=
1
1
=
≠ R + jX
1
Y 1
+
R jX
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Leistungsdreieck
Wie bereits gezeigt, ist das Leistungsdreieck proportional zum Spannungsdreieck, bzw.
proportional zum Impedanzdreieck.
Netzwerk: R-L Kombination
Unabhängig davon, ob R und L in Serie oder parallel liegen (Abb. 2.6, Abb. 2.7), ergibt sich
immer ein Ohm’sch- induktives Verhalten, d.h. ein positiver Phasenwinkel ϕui zwischen den
Gesamtgrößen U und I, sowie ein Winkel mit selbem Vorzeichen und selber Größe für Z und
S (bzw. ein negativer Winkel für Y).
Netzwerk: R-C Kombination
Unabhängig davon, ob R und C in Serie oder parallel liegen (Abb. 2.8, Abb. 2.9), ergibt sich
immer ein Ohm’sch- kapazitives Verhalten, d.h. ein negativer Phasenwinkel ϕui zwischen den
Gesamtgrößen U und I, sowie ein Winkel mit selbem Vorzeichen und selber Größe für Z und
S (bzw. ein positiver Winkel für Y).
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2.4 Schaltungen mit R, L und C Elementen Resonanzkreise
2.4.1 Reihenschaltung von R, L und C
Serienresonanz, Spannungsresonanz
I
UE
R
L
UR
UL
C
UC
Abb. 2.10
Bei einer Serienschaltung von R, L und C addieren sich - analog zum oben Gesagten
(Kap. 2.3) - die Teilspannungen an den einzelnen Elementen (mit komplexer Rechnung oder
vektoriell) zur Gesamtspannung U.
Für die gesamte Impedanz Z ergibt sich (vgl. Kap. 2.1.2 - komplexe Impedanzen):
Z = R + j ωL +
1
1 

= R + j  ωL −
 = Re{ Z} + j Im{ Z}
j ωC
ωC 

(2.21)
Aufgrund der Frequenzabhängigkeit ( ω = 2πf ) von Z lassen sich prinzipiell drei verschiedene
Fälle mit folgenden beispielhaften Zeigerdiagrammen unterscheiden:
I
UR UC
UE
f < f0
UL
UR=UE
UC UL
f = f0
Abb. 2.11
Seite 2.12 von 22
I
UE
UL
UR
f > f0
UC
I
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1
ωC
1
f = f 0 : ωL =
ωC
1
f > f 0 : ωL >
ωC
f < f 0 : ωL <
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→ Im{Z} < 0, ϕ < 0°, UL<UC
Ohm’sch- kapazitiv
(2.22)
→ Im{Z} = 0, ϕ = 0°, UL=UC
rein Ohm’sch
(2.23)
→ Im{Z} > 0, ϕ > 0°, UL>UC
Ohm’sch- induktiv
(2.24)
Bei kleinen Frequenzen (also kleinem ω) überwiegt die kapazitive Impedanz (1/ωC), es fällt
ein größerer Teil der Gesamtspannung an C als an L ab (UC>UL), so dass die Schaltung
in Summe Ohm’sch- kapazitiv wirkt (vgl. Abb. 2.11, links). Je kleiner nun die Frequenz wird,
desto stärker wirkt die Kapazität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und I)
gegen -90° (vgl. Abb. 2.12, rechts).
Bei großen Frequenzen (also großem ω) überwiegt die induktive Impedanz (ωL), es fällt ein
größerer Teil der Gesamtspannung an L als an C ab(UL>UC), so dass die Schaltung in
Summe Ohm’sch-induktiv wirkt (vgl. Abb. 2.11, rechts). Je kleiner nun die Frequenz wird,
desto stärker wirkt die Induktivität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und I)
gegen +90° (vgl. Abb. 2.12, rechts).
Resonanzfrequenz
Als Resonanzfrequenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der die Spannung in Phase
mit dem Strom ist. Das bedeutet, dass dabei die induktive Impedanz und die kapazitive
Impedanz genau gleich groß sind (XL=XC), und sich somit aufgrund ihrer
entgegengesetzten Phasenlage gegenseitig aufheben. Folglich heben sich auch die
Teilspannungen an den Blindelementen (UL, UC) aufgrund ihrer entgegengesetzten
Phasenlage auf. Es tritt somit eine „Spannungsresonanz“ (UL=UC) in dieser Schaltung
auf.
Die Teilspannungen an L und an C können auch sehr hohe Werte annehmen
(„Resonanzüberhöhung“), ohne dass dies - aufgrund der gegenseitigen Aufhebung - bei
einer Messung der äußeren Gesamtgrößen U und I bemerkt werden würde.
Aus der Resonanzbedingung der gegenseitigen Aufhebung von XL und XC folgt:
Resonanz-Kreisfrequenz ω0:
ωL =
1
→ ω0 =
ωC
1
(2.25)
LC
Resonanzfrequenz f0:
f0 =
ω
1
=
2π 2π (LC )
(2.26)
Seite 2.13 von 22
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Impedanz bei Resonanz
Als gesamte Impedanz Z wirkt lediglich R, der Betrag von Z ist ein Minimum, und der
gesamte Schaltkreis wirkt nach außen hin wie ein Ohm’scher Widerstand R:
2
 2 
1  

Z 0 = R +  ωL −
 =

ωC  


(R
)
(2.27)

1 
 = R + j0 = R∠0°
Z 0 = R + j  ω 0 L −
ω 0 C 

(2.28)
2
+0 =R
Strom bei Resonanz
Nachdem die Impedanz minimal wird, nimmt der Strom I ein Maximum an. Der Strom bei
Resonanz beträgt
I0 =
U U
=
Z0 R
(2.29)
und ist in Phase zu U.
In der folgenden Abb. 2.12 sind die charakteristischen Verläufe der Beträge der
Gesamtimpedanz Z und des Gesamtstromes I sowie der Verlauf des GesamtPhasenwinkels ϕ in prinzipieller Form dargestellt.
|Z|, |I|
ϕ
kapazitiv
|I|
|Z|
induktiv
+90°
f
0
f0
f
f0
-90°
Abb. 2.12
Seite 2.14 von 22
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2.4.2 Parallelschaltung von R, L und C
Parallelresonanz, Stromresonanz
Abb. 2.13
Bei einer Parallelschaltung von R, L und C addieren sich - analog zum oben Gesagten
(Kap. 2.3) - die Teilströme durch die einzelnen Elemente (mit komplexer Rechnung oder
vektoriell) zum Gesamtstrom I.
Für die gesamte Admittanz Y ergibt sich (siehe Kap. 2.1.3 - komplexe Admittanzen):
Y = G + jB L + jB C =
1
1
1
1 

+
+ j ωC = + j  ωC −
 = Re{ Y } + j Im{ Y }
R j ωL
R
L
ω

(2.30)
Aufgrund der Frequenzabhängigkeit ( ω = 2πf ) von Y lassen sich prinzipiell drei verschiedene
Fälle mit folgenden beispielhaften Zeigerdiagrammen unterscheiden:
IR
UE
IL
I
IC
f < f0
UE
IR=I
IL IC
f = f0
IC IL
I
UE
IR
f > f0
Abb. 2.14
f < f 0 : ωC <
1
ωL
→ Im{Y} < 0, ϕ > 0°, IC<IL
Seite 2.15 von 22
Ohm’sch- induktiv
(2.31)
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1
ω⋅L
1
f > f 0 : ωC >
ωL
f = f 0 : ωC =
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→ Im{Y} = 0, ϕ = 0°, IC=IL
rein Ohm’sch
(2.32)
→ Im{Y} > 0, ϕ < 0°, IC>IL
Ohm’sch- kapazitiv
(2.33)
Bei kleinen Frequenzen (also kleinem ω) überwiegt die induktive Admittanz (1/ωL), es fließt
ein größerer Teil des Gesamtstromes durch L als durch C (IL>IC), so dass die Schaltung
in Summe Ohm’sch- induktiv wirkt (siehe Abb. 2.14, links). Je kleiner nun die Frequenz wird,
desto stärker wirkt die Induktivität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und I)
gegen +90° (siehe Abb. 2.15, rechts).
Bei großen Frequenzen (also großem ω) überwiegt die kapazitive Admittanz (ωC), es fließt
ein größerer Teil des Gesamtstromes durch C als durch L (IC>IL), so dass die Schaltung
in Summe Ohm’sch- kapazitiv wirkt (siehe Abb. 2.14, rechts). Je größer nun die Frequenz
wird, desto stärker wirkt die Kapazität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und
I) gegen -90° (siehe Abb. 2.15, rechts).
Resonanzfrequenz
Als Resonanzfrequenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der die Spannung und der
Strom in Phase sind. Das bedeutet, dass dabei die induktive Admittanz BL (=1/XL) und die
kapazitive Admittanz BC (=1/XC) betragsmäßig genau gleich groß sind, und sich somit
aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage gegenseitig aufheben. Folglich heben sich
auch die Teilströme durch die Blindelemente (IL, IC) aufgrund ihrer entgegengesetzten
Phasenlage auf. Es tritt somit eine „Stromresonanz“ (IC=IL) in dieser Schaltung auf.
Die Teilströme durch L und C können auch sehr hohe Werte annehmen
(„Resonanzüberhöhung“), ohne dass dies - aufgrund der gegenseitigen Aufhebung - bei
einer Messung der äußeren Größen U und I bemerkt werden würde.
Aus der Resonanzbedingung der gegenseitigen Aufhebung von BL und BC folgt:
Resonanz-Kreisfrequenz ω0:
ωL =
1
ωC
→
ω0 =
1
(2.34)
LC
Resonanzfrequenz f0:
f0 =
ω
1
=
2π 2π (LC )
(2.35)
Es ergibt sich also für diese Schaltung dieselbe Berechnung für die Resonanzfrequenz wie
für die Serienschaltung aus R, L und C.
Seite 2.16 von 22
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Admittanz bei Resonanz
Y 0 (ω 0 ) =
Z0 =

1
1  1
1
 = + j 0 = = G
+ j  ω 0 C −
R
R
ω0L  R

Y0 =
1
∠0°
R
(2.36)
1
1
= R∠0°
=
Y0

1
1 

+ j  ω 0 C −
ω 0L 
R

(2.37)
Bei Resonanzfrequenz wirkt als gesamte Admittanz Y lediglich G (=1/R), der Betrag von Y
ist ein Minimum, folglich die Impedanz Z ein Maximum, und der gesamte Schaltkreis wirkt
nach außen hin wie ein Ohm’scher Widerstand mit G ( =1/R).
Strom bei Resonanz:
Nachdem die Impedanz maximal, bzw. die Admittanz minimal wird, nimmt der Strom I ein
Minimum an. Der Strom bei Resonanz beträgt
I0 =
U
U
= U Y0 = = U G
Z0
R
(2.38)
und ist in Phase zu U.
In der folgenden Abb. 2.15 sind die charakteristischen Verläufe der Beträge der
Gesamtimpedanz Z und des Gesamtstromes I sowie der Verlauf des GesamtPhasenwinkels ϕ in ihrer prinzipiellen Form dargestellt.
|Z|, |I|
ϕ
|Z|
|I|
induktiv
kapazitiv
+90°
f
0
f0
f
f0
-90°
Abb. 2.15
Realer Resonanzkreis
Bei Verwendung realer Bauelemente sind auch deren Verluste – welche bei der Spule und
des Kondensators durch zusätzliche Ohm’sche Widerstände repräsentiert werden - zu
berücksichtigen.
Seite 2.17 von 22
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2.5 Blindleistungskompensation
Wie bereits in Kap. 2.4 gezeigt wurde, kann bei z.B. gegebener Frequenz durch geeignete
Wahl der Blindelemente L und/oder C der Resonanzfall bestimmt werden, so dass sich die
Gesamtschaltung wie ein rein Ohm’scher Verbraucher verhält. Das bedeutet, die
Eingangsgrößen U und I sind in Phase und die Gesamtschaltung nimmt keine Blindleistung
Q, sondern ausschließlich Wirkleistung P auf.
Für die Betrachtungen in diesem Kapitel gehen wir nun von einem Ohm’sch- induktiven
Verbraucher aus, welcher z.B. als Reihenschaltung von R und L beschrieben wird
(Abb. 2.16). Diese kann z.B. einen Elektromotor symbolisieren.
Es soll nun eine Kapazität C bestimmt werden, die parallel zu dieser R-L-Reihenschaltung
anzuschließen ist, so dass die Gesamtschaltung keine Blindleistung aufnimmt, sich also wie
ein rein Ohm’scher Verbraucher verhält (Abb. 2.17).
Im Unterschied zum vorigen Kapitel sind nun umgekehrt die notwendigen Blindelemente
(zumindest eines davon) gesucht, so dass sich bei gegebener Frequenz ein reiner
Wirkleistungsverbraucher ergibt.
Nachdem dabei die durch die Induktivität L hervorgerufene Blindleistung durch die parallel
geschaltete Kapazität C zu Null kompensiert wird, spricht man allgemein von
„Blindleistungskompensation“. Wenn, wie in diesem Beispiel, die Kompensation durch
Parallelschaltung eines Blindelements erfolgt, wird der Blindanteil des Stromes zu Null
kompensiert, so dass hier auch der Ausdruck „Blindstromkompensation“ verwendet wird.
I
I*
R
I
IC
R
C
L
U
U
Abb. 2.16
L
Abb. 2.17
Zur Veranschaulichung der komplexen Rechnung sollen im folgenden zwei Möglichkeiten
zur Bestimmung der Kompensationskapazität C erläutert werden.
Seite 2.18 von 21
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1. Möglichkeit: Spannungs-/Strom-Zeigerdiagramm
Wenn Eingangsspannung und Eingangsstrom, d.h. U und Igemessen werden, kann man
anhand des Spannungs-/Strom- Zeigerdiagramms die Bestimmung von C in folgenden
Schritten durchführen:
a.) Ausgangspunkt
Die Schaltung in Abb. 2.16 wird zuerst für die R-L-Kombination noch ohne C mit dem
Zeigerdiagramm nach Abb. 2.18 betrachtet, und danach die kompensierte Schaltung mit
paralleler Kapazität C (Abb. 2.17) mit dem zugehörigen Zeigerdiagramm nach Abb. 2.19.
U
Re{I}
ϕi ϕui
I
ϕui=0°
U
IC
Im{I}
I*=Re{I}
Abb. 2.18
Abb. 2.19
Eine Größe darf in Zeigerdiagrammen beliebig angenommen werden, so dass z.B. in
Abb. 2.18 der Strom I in die horizontale Richtung gelegt wird (so dass sich für U und I ein
Zeigerdiagramm wie in Kap. 2.3, Abb. 2.6 ergibt).
Im folgenden ist es einfacher, die Richtung von U in Abb. 2.18 als 0°- Richtung anzusehen,
um so für die Projektionen von I parallel, bzw. normal zu U die Bezeichnungen Re{I}, bzw.
Im{I} verwenden zu können.
U = U∠0°
I = I∠ϕ i = Re{I} + j Im{I}
b.) Bestimmung des zu kompensierenden Phasenwinkels ϕ:
Z = Z∠ϕ Z = Re{ Z} + j Im{ Z} = R + jωL
ϕ = arctan
(2.39)
Im{ Z}
ωL
= arctan
Re{Z}
R
(2.40)
c.) Bedingung für Kompensation
Damit der neue Strom I* in Phase zu U ist, muss der zusätzliche Strom IC betragsmäßig
gleich groß sein wie Im{I} (siehe Abb. 2.19):
IC = Im{I} = I sin ϕ 
(2.41)
Seite 2.19 von 21
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Daraus ergibt sich unmittelbar die notwendige kapazitive Impedanz ZC:
ZC =
U
1
=
j ωC I C
(2.42)
Der Betrag der Impedanz beträgt:
ZC =
U
U
1
=
=
ωC I C
I sin ϕ
(2.43)
Somit ergibt sich die erforderliche Kompensationskapazität C zu:
C=
I sin ϕ
(2.44)
U 2πf
mit
 ωL 
ϕ = arctan

 R 
und |U|, |I| als Messgrößen.
2. Möglichkeit: Impedanz- und Admittanzdreieck
Ohne Messung von Spannung und Strom kann die notwendige Kapazität C über die
Impedanzen, bzw. Admittanzen berechnet werden.
Damit I in Phase zu U ist, muss sowohl der Winkel der neuen Gesamtimpedanz Z* (inkl.
parallelem C) als auch jener der neuen Gesamt- Admittanz Y* Null werden.
Re{Y}
Z
Y*=Re{Y}
−ϕ
ϕ
Im{Y}
jωL
ϕ=0°
jωC
Y
R
Abb. 2.20
Abb. 2.21
Abb. 2.22
Da in diesem Fall die Kapazität C parallel hinzugeschaltet wird, ist es einfacher, mit
Admittanzen zu rechnen, da diese bei Parallelschaltungen einfach addiert werden können
(siehe Kap. 2.3), so dass die Berechnung in folgenden Schritten abläuft:
a.) Berechnen der Impedanz Z der Serienschaltung aus R und L (Abb. 2.20):
Z = Z∠ϕ Z = Re{ Z} + j Im{ Z} = R + jωL
Seite 2.20 von 21
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(R
Z =
2
+ (ωL )
2
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)
(2.45)
b.) Umrechnen dieser Impedanz in eine Admittanz Y (Abb. 2.21):
1
1
=
Z R + j ωL
Y=
Y =
1
=
Z
(2.46)
1
(R
2
+ (ωL )
2
)
(2.47)
c.) Bedingung für Kompensation
Die - komplexe, bzw. vektorielle - Addition dieser Admittanz mit der Admittanz YC des
parallelen Kondensators muss eine neue Gesamt- Admittanz Y* ergeben, deren Imaginärteil
Null ist (Abb. 2.22). Somit müssen YC und Im{Y} betragsmäßig gleich groß sein, bzw. sich
vektoriell gegenseitig aufheben:
Y C = Im{ Y } = Y sin ϕ =
(R
1
2
+ (ωL )
2
)
sin ϕ
(2.48)
Für sin ϕ folgt aus Abb. 2.20, bzw. Abb. 2.21:
Im{ Y } Im{ Z} ωL
=
=
=
Y
Z
Z
sin ϕ =
(R
ωL
2
+ (ωL )
2
)
(2.49)
Damit ergibt sich für die notwendige Admittanz von C aus Gleichung (2.47) und (2.48):
YC =
ωL
R + (ωL )
2
(2.50)
2
Aus Y C = ωC (siehe Kap. 2.1.3) folgt für die notwendige Kompensationskapazität C:
C=
L
(2.51)
R + (ωL )
2
2
Seite 2.21 von 21
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3 Elektrische Messtechnik
3.1 Messung von Widerständen
Widerstände werden in der Elektrotechnik in vielfältigster Weise eingesetzt, z.B.
-
Schutztechnik, Strombegrenzung
Messtechnik, Vor – und Nebenwiderstand zur Messbereichserweiterung
Elektrowärme, Ausnutzung der Verlustwärme, (Bügeleisen, Wassererhitzung...)
Es gibt aber auch „Anwendungen“, bei denen der Ohm’sche Widerstand nicht erwünscht ist,
z.B. bei Erdungsanlagen oder Innenwiderstände von Spannungsquellen und
Strommessgeräten.
3.1.1 Strom- / Spannungsmethode
Die Bestimmung des unbekannten Widerstandes RX erfolgt indirekt durch Messung der
Spannung U über RX und des Stromes I durch RX.
Im Idealfall ist der Innenwiderstand eines Strom-Messinstrumentes (Amperemeter) gleich
Null und jener eines Spannungs-Messgerätes (Voltmeter) unendlich hoch.
Reale Amperemeter weisen einen sehr kleinen, aber von Null verschiedenen
Innenwiderstand und reale Voltmeter einen sehr großen, aber nicht unendlich hohen
Innenwiderstand auf. Diese Eigenschaft führt dazu, dass je nach Anordnung der Messgeräte
entweder die Messung des Stromes oder die Messung der Spannung verfälscht wird, und
man zwei prinzipielle Messschaltungen unterscheidet.
Spannungsrichtige Messung
RA
A
IRV
UB
IX
IA
RV
V
Abb. 3.1
Seite 3.1 von 19
RX
UX=UV
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Bei dieser Anordnung misst das Voltmeter die Spannung direkt am unbekannten Widerstand
RX, also unverfälscht, während das Amperemeter nicht nur den durch RX fließenden Strom IX
erfasst, sondern auch den durch das Voltmeter fließenden Strom IRV („Stromfehler“).
IA ... vom Amperemeter angezeigter Strom
UV ... vom Voltmeter angezeigte Spannung
RV ... Innenwiderstand des Voltmeters
IRV ... Strom durch das Voltmeter (da RV < ∞)
Bestimmung von RX aus den Anzeigen:
RX =
UV
IA
(3.1)
Bestimmung von RX durch exakte Berechnung:
RX =
UX
UV
=
=
IX
I A − IRV
UV
U
IA − V
RV
(3.2)
Diese Methode wird zur Messung kleiner Widerstände RX verwendet (RX << RV).
•= Erklärung aus der Gleichung für RX:
Je kleiner RX ist, desto größer ist der Strom I X = I A −
UV
durch RX und desto kleiner ist die
RV
UV
auf die Ermittlung des kleinen RX.
RV
verfälschende Auswirkung des Terms
•= Erklärung aus Überlegung:
Je kleiner RX ist, desto größer ist der Strom IX gegenüber dem, die Strommessung
verfälschenden Strom IRV, d.h. also, desto kleiner wird der Unterschied zwischen dem
tatsächlichen Strom IX durch RX und dem gemessenen Strom IA (inkl. IRV).
Stromrichtige Messung
RA IX=IA
A
UB
UV
V
URA
RV
Abb. 3.2
Seite 3.2 von 19
RX
UX
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Hier wird der Strom direkt am unbekannten Widerstand RX, also unverfälscht, gemessen,
während das Voltmeter nicht nur die am Widerstand RX anliegende Spannung UX misst,
sondern auch den Spannungsabfall URA, welcher durch den Strom IX an RA erzeugt wird.
Bestimmung von RX aus den Anzeigen:
RX =
UV
IA
(3.3)
Bestimmung von RX durch exakte Berechnung:
RX =
U X U V − URA U V − I A R A
=
=
IX
IA
IA
(3.4)
Diese Methode wird zur Messung großer Widerstände RX verwendet (RX >> RA).
•= Erklärung aus der Gleichung für RX:
Je kleiner RA gegenüber dem gesuchten RX ist, desto geringer ist die verfälschende
Auswirkung des Terms I ⋅ R A auf die Bestimmung von RX.
•= Erklärung aus Überlegung:
Je größer RX ist, umso kleiner wird der Strom IX und die von IX an RA erzeugte, die
Spannungsmessung verfälschende Spannung URA, d.h. umso kleiner wird der Unterschied
zwischen der tatsächlichen Spannung UX und der gemessenen Spannung UV.
Bei der Messung von Widerständen mit Hilfe der spannungs- bzw. stromrichtigen
Messmethode muss darauf geachtet werden, dass die Nennleistung des Widerstandes nicht
überschritten wird. Eine deutliche Erwärmung des Widerstandes führen zu zusätzlichen
Fehlern.
UX
und Pmax > U X I X kann die max. mögliche Spannung UB
IX
errechnet werden, wenn die Widerstand annähernd bekannt ist:
Mit Hilfe der Formeln R X =
UX <
Pmax
RX
(3.5)
Innenwiderstände von Messgeräten
Wie bereits angeführt, ist im Idealfall der Innenwiderstand eines Strom-Messinstrumentes
(Amperemeter) gleich Null und jener eines Spannungs-Messgerätes (Voltmeter) unendlich
hoch. Wenn nun z. B. bei Verwendung eines digitalen Multimeters (vgl. Kap. 4.3) eine
Spannung gemessen werden soll und der Messart-Wahlschalter versehentlich auf Stellung
„Strommessung“ (anstelle „Spannungsmessung“) eingestellt ist, dann fließt aufgrund des –
im Idealfall unendlich kleinen Innenwiderstandes in der Strommess-Position - ein „unendlich“
hoher Strom durch das Messgerät, bzw. unterbricht eine Überstrom-Schutzeinrichtung den
Seite 3.3 von 19
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hohen Strom. Daraus folgt die Notwendigkeit einer sorgfältigen Einstellung des Multimeters
auf die Messgröße.
Beispiel: Innenwiderstände von Messgeräten
1.
Analoges Multimeter Normameter S2
z.B. Spannungsmessung:
Messbereich
50 mV
5V
150 V
500 V
Innenwiderstand
167 Ω
16.7 kΩ
500 kΩ
1.67 MΩ
z.B. Strommessung:
Bei der Strommessung wird der Spannungsabfall bei Vollausschlag (= Messbereichsendwert ME) angegeben, woraus der Innenwiderstand (bei Vollausschlag) berechnet werden
kann:
Messbereich
15 mA
1.5 A
25 A
Spannungsabfall Innenwiderstand
Messbereichsendwert
0.1 V
6.67 Ω
0.2 V
0.133 Ω
0.15 V
0.006 Ω
2. Digitales Multimeter (DMM): Unigor 355
z.B. Spannungsmessung
Messbereich
300 mV
3V
30 V
300 V
Innenwiderstand
Gleichspannung
> 20 MΩ
11 MΩ
10 MΩ
10 MΩ
Innenwiderstand
Wechselspannung
5 MΩ
5 MΩ
5 MΩ
5 MΩ
z.B. Strommessung (Gleichspannung und Wechselspannung)
Messbereich
Innenwiderstand
30 mA
300 mA
3A
10 V
200 mV
300 mV
110 mV
350 mV
Innenwiderstand
Messbereichsendwert
6.67 Ω
1Ω
36.6 mΩ
35 mΩ
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3.1.2 Widerstandscodierung
Die in der Elektronik verwendeten Ohm’schen Widerstände sind farbcodiert. Der Wert sowie
die Genauigkeitstoleranz werden in Form von Farbringen auf den Widerstandskörper
aufgedruckt.
Man legt den Widerstand so vor sich hin, dass das Ende links zu liegen kommt, welches
einen kürzeren Abstand zum ersten Farbring aufweist. Von links nach rechts betrachtet
repräsentieren die ersten beiden Farbringe (bzw. die ersten drei, wenn fünf Ringe
aufgedruckt sind) die ersten zwei (bzw. drei) Ziffern des Widerstandswertes. Der nächste
Ring stellt den Multiplikator dar, und der letzte Ring (ganz rechts) zeigt die Toleranz des
Widerstandswertes dar.
In Abb. 3.3 ist die Widerstandscodierung graphisch dargestellt. Diese muss nicht auswendig
gelernt werden, sondern kann jederzeit in Tabellen nachgeschlagen werden.
Abb. 3.3
Beispiele:
•= Widerstand mit vier Farbringen, von links nach rechts:
rot - rot - rot – silber ... 22 ⋅ 10 2 = 2200 Ω , Toleranz: ± 10 %
•= Widerstand mit fünf Farbringen von links nach rechts:
blau - grau - schwarz - blau - gold ... 680 ⋅ 10 6 = 680 MΩ , Toleranz: ± 5 %
Seite 3.5 von 19
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3.1.3 Messbereichserweiterung
Wenn die zu messende elektrische Größe (z.B. Spannung oder Strom) größer als der
Messbereich des verwendeten Messgerätes ist, dann kann man beispielsweise durch
Zuschalten eines Ohm’schen Widerstandes eine Messbereichserweiterung durchführen. Bei
Voltmetern wird dabei ein Ohm’scher Widerstand in Serie zum Messgerät geschaltet
(Vorwiderstand), bzw. bei Ampere-Metern ein Ohm’scher Widerstand parallel zugeschaltet
(Nebenwiderstand, Shunt- Widerstand).
Messbereichserweiterung bei Spannungsmessgeräten
I
RV
V
UV
Rvor
Uvor
Umess
Abb. 3.4
In Abb. 3.4 ist gezeigt, wie durch das Hinzufügen eines Vorwiderstandes Rvor in Serie zum
Voltmeter aus der zu messenden Spannung Umess eine kleinere Spannung UV am Voltmeter
wird. Hier wird das Prinzip des Spannungsteilers angewendet (siehe Kap. 1), welches wie
folgt zur notwendigen Größe des Vorwiderstandes Rvor führt.
U vor
U
= V
R vor R V
(3.6)
U vor = Umess − U V
(3.7)
I=
Mit
ergibt sich
æU
ö
R vor = R V çç mess − 1
è UV
(3.8)
Man erhält somit bei gegebenen Werten des Voltmeters (Innenwiderstand RV und zulässige
Messgröße UV) sowie der zu messenden Spannung Umess den notwendigen Wert für den
Vorwiderstand Rvor.
Beispiel:
Für die Messung einer Spannung von 1000 V ( = Umess) steht ein Voltmeter mit einem
Messbereich von 0 ... 100 V und einem Innenwiderstand RV von 100 kΩ zur Verfügung. Wie
groß muss der einzufügende Vorwiderstand RV sein, damit am Messgerät maximal 100 V
angezeigt werden?
æU
ö
æ 1000 ö
R vor = R V çç mess − 1÷÷ = 100 ⋅ 10 3 ç
− 1 = 900 kΩ
è 100
è UV
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Messbereichserweiterung bei Strommessgeräten
Imess
IN
RN
IA
RA
A
U
Abb. 3.5
In Abb. 3.5 ist gezeigt, wie durch Hinzufügen eines Nebenwiderstandes Rvor (ShuntWiderstandes) parallel zum Amperemeter aus dem zu messenden Strom Imess ein kleinerer
Strom IA am Amperemeter wird. Hier wird das Prinzip des Stromteilers angewendet (siehe
Kap. 1), welches wie folgt zur notwendigen Größe des Nebenwiderstandes RN führt:
U = IN R N = I A R A
(3.9)
Mit
IN = Imess − IA
(3.10)
ergibt sich:
RN =
RA
(3.11)
Imess
−1
IA
Man erhält somit bei gegebenen Werten des Amperemeters (Innenwiderstand RA und
zulässige Messgröße IA) sowie des zu messenden Stromes Imess den notwendigen Wert für
den Nebenwiderstand RN.
3.1.4 Gleichstrom- Messbrücke (Wheatstone- Brücke)
I1
I
U1
I3
R1
R3
U3
+
_
I0~0
UB
I2
U2
I
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R2
0
U0 R
4
I4
U4
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Abb. 3.6
Vier Widerstände sind in der dargestellten Weise an eine bekannte Betriebsspannung UB
geschaltet, wobei einer dieser Widerstände der unbekannte Widerstand RX ist. In der
Brückendiagonale ist ein hochohmiges Galvanometer zur Anzeige der Brückenspannung U0
angeordnet.
Für unsere Betrachtungen kann der Innenwiderstand des Galvanometers als unendlich hoch
angesehen werden, d.h. I0 = 0 A.
Prinzipiell unterscheidet man zwei Möglichkeiten des Betriebs:
•= nicht-abgeglichene Brücke,
•= abgeglichene Brücke.
Nicht-abgeglichene Brücke
Aus I0 = 0 A folgen zwei Knotengleichungen.
I1 = I2
I3 = I4
U1 U2
UB
=
=
R1 R 2 R 1 + R 2
U3 U 4
UB
=
=
R3 R4 R3 + R4
U1 = UB
R1
R1 +R 2
U 3 = UB
R3
R 3 +R 4
Als Maschengleichung ergibt sich für die obere Masche die Brückendiagonalspannung für
die nicht-abgeglichene Messbrücke:
æ
ö
ç
ö
æ R3
R1
1
1
÷÷ = UB ç
−
U 0 = U 3 − U1 = UB çç
−
ç
R
R
è R 3 +R 4 R1 +R 2
çç 1 + 4 1 + 2
R3
R1
è
(3.12)
Wenn drei Widerstände bekannt sind und U0 gemessen wird, kann der unbekannte vierte
Widerstand berechnet werden.
Anwendung
Die Brückenschaltung nach dem Ausschlagverfahren wird vor allem zur Bestimmung von
Widerstandsänderungen verwendet (z.B. Temperaturänderungen, Kraft- und DrehmomentMessungen mit Dehnungsmessstreifen, indem die Veränderung der BrückendiagonalSpannung U0 gemessen und daraus die Änderung ∆RX des unbekannten Widerstandes RX
bestimmt wird. Dies ist weniger aufwendig, als ständig einen Abgleich der Brücke
durchführen zu müssen.
æ
ö
ç
1
1
U0 = UB çç
−
R
R2
çç 1 + 4 1 +
R3
R X + ∆R X
è
(3.13)
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Beispiel: Temperaturmessung mit temperaturabhängigem Widerstand
Bei einer kontinuierlichen Temperaturmessung wird bei einer Referenztemperatur (z. B.
20 °C) einmal ein Abgleich der Brücke durchgeführt (d.h. U0 = 0). Danach wird jeweils die zu
einer veränderten Temperatur zugehörige Spannung U0 gemessen und daraus gemäß
Gleichung (3.13) die Widerstandsänderung ∆RX berechnet, welche in einem direkten
Zusammenhang mit der Temperatur steht. Der genaue Wert des Widerstandes ist dabei von
geringerer Bedeutung, da lediglich die Änderung ∆RX in die Berechnung eingeht.
Abgeglichene Brücke
Man spricht von einer abgeglichenen Brücke, wenn sich die Diagonalspannung U0 zu Null
ergibt. Dies wird genau dann erreicht, wenn folgende Bedingung erfüllt ist (direkt ersichtlich
bei Nullsetzen des Klammerausdrucks in Gleichung (3.12)
R1 R 3
=
R2 R4
(3.14)
Wenn einer dieser Widerstände der unbekannte Widerstand RX ist, dann kann dieser durch
die drei anderen, bekannten Widerstände berechnet werden. Wenn z.B. R1 der unbekannte
Widerstand RX ist, dann gilt:
RX = R2
R3
R4
(3.15)
In der Praxis wird einer der bekannten Widerstände als verstellbarer Widerstand
(Potentiometer) ausgeführt und dann so lange verstellt, bis die Brückenspannung Null ist.
Es geht weder die Speisespannung UB noch die Brückendiagonalspannung U0 in die
Bestimmung von RX ein. Zum Erreichen der Abgleichbedingung ist kein Voltmeter im
herkömmlichen Sinn notwendig, sondern es genügt ein Messgerät mit lediglich einer
Nullanzeige und möglichst großer Empfindlichkeit im Bereich um den Ausschlag Null
(Galvanometer, siehe Kap. 4).
Anwendung:
Die Brückenschaltung nach dem Abgleichverfahren wird zur Messung von unbekannten
Festwiderständen verwendet, indem der unbekannte Widerstand RX mit drei bekannten
Widerständen verglichen wird, so dass obige Widerstandsbedingung erfüllt ist.
3.1.5 Wechselstrom-Messbrücke
Im Unterschied zur Gleichstrom-Messbrücke wird diese mit Wechselspannung gespeist. An
die Stelle der Ohm’schen Widerstände treten komplexe Impedanzen Z1, Z2, Z3, Z4, welche
durch beliebige Kombination aus R, L und C realisiert sein können.
Analog zur Herleitung bei der Gleichstrom-Messbrücke ergibt sich als Bedingung für eine
abgeglichene Brücke:
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Z1 Z 3
=
Z2 Z 4
(3.16)
Für die Abgleichbedingung der Brücke gibt es nun zwei Gleichungen:
Trigonometrische Form: Gleichsetzen der Realteile und Gleichsetzen der Imaginärteile
Polarform: Gleichsetzen der Beträge und Gleichsetzen der Winkeln
1.
Bedingung: Amplitudenabgleich
Z1 Z 4 = Z 2 Z 3
2.
(3.17)
Bedingung: Phasenabgleich
ϕ1 + ϕ 4 = ϕ 2 + ϕ 3
(3.18)
3.2 Leistungsmessung
3.2.1 Einphasiger Verbraucher
In Abb. 3.7 ist als Beispiel eine beliebige, einphasige R-L-C-Kombination dargestellt.
P
Abb. 3.7
Zur Messung der Wirkleistung P werden Wattmeter (digital, analog) eingesetzt. Zur
Messung benötigt das Wattmeter Informationen über den fließenden Strom und über die
anliegende Spannung (siehe Kap. 4), welche dadurch gewonnen werden, dass das
Wattmeter zwei Anschlüsse aufweist, welche in den Strompfad geschaltet werden, sowie
zwei Anschlüsse, welche in den Spannungspfad geschaltet werden.
P = cW α
(3.19)
3.2.2 Dreiphasiger Verbraucher
Begriffe
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Einphasiger Verbraucher
.... zwei Anschlüsse (z.B. Glühbirne).
Dreiphasiger Verbraucher
- symmetrisch: identische Impedanz aller drei Phasen;
- unsymmetrisch: verschiedene Impedanzen in den drei Phasen;
- in Dreileitersystem: d.h. drei zuführende Leitungen (L1, L2, L3)
(Dreieckschaltung; oder Sternschaltung ohne Mittelpunktsleiter);
- in Vierleitersystem: d.h. vier zuführende Leitungen (L1, L2, L3, N)
(Sternschaltung mit herausgeführtem Mittelpunktsleiter Mp - auch als Nulleiter N
bezeichnet).
Verkettete Spannung
.... die außen zwischen zwei Zuleitungen des Dreiphasensystems anliegende Spannung.
Phasenspannung (Strangspannung)
.... die direkt über einer der drei Phasen anliegende Spannung (Wicklungsstrang - andere
Bezeichnung für die einzelne Phase eines dreiphasigen Verbrauchers, in Anlehnung an die
Wicklungen eines dreiphasigen Motors).
Phasenstrom (Strangstrom)
.... der in einer Phase (im „Wicklungsstrang“) fließende Strom.
Leiterstrom (Außenleiterstrom)
.... der von den äußeren Zuleitungen in den dreiphasigen Verbraucher fließende Strom.
Dreileitersystem
(z.B. Dreieckschaltung; Sternschaltung ohne Mittelpunktsleiter)
Jeweils für Sternschaltung und für Dreieckschaltung ist beispielhaft in Abb. 3.8 ein
symmetrischer und in Abb. 3.9 ein unsymmetrischer dreiphasiger Verbraucher dargestellt.
P1
a
a
b
b
c
c
L1
P2
L2
L3
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Abb. 3.8
P1
a
a
b
b
c
c
L1
P2
L2
L3
Abb. 3.9
Wenn ein symmetrischer oder ein unsymmetrischer dreiphasiger Verbraucher an ein
Dreileitersystem angeschlossen ist, dann werden zwei Wattmeter in der gezeigten Weise
angeschlossen, dass der Spannungspfad der beiden Wattmeter jeweils mit einem Anschluss
an der dritten, nicht mit einem Wattmeter versehenen Phase verbunden ist („AronSchaltung“).
Pges = P1 + P2 = c W α 1 + c W α 2
(3.20)
Herleitung (unter Ausnützung der Kirchhoff’schen -Regel, so dass die Summe der drei
Phasenströme I1, I2 und I3 gleich Null ist):
Pges = Pph1 + Pph 2 + Pph3 = U1 I1 + U 2 I 2 + U3 I3 = U1 I1 + U 2 I 2 + U3 (− I1 − I2 )
= (U1 − U3 ) I1 + (U 2 − U3 ) I 2 = U13 I1 + U 23 I 2 = P13 + P23 = c W α 1 + c W α 2
(3.21)
Als Gesamtleistung ergibt sich somit die Summe der beiden Wirkleistungen, welche mit den
zwei Wattmetern gemessen wurden (in Abb. 3.9 mit P1, P2 bezeichnet), die in diesem
Beispiel zwischen die Phasen 1 und 3, bzw. 2 und 3 geschaltet sind.
Für die gesamte Wirkleistung des dreiphasigen Verbrauchers sind die beiden WattmeterAnzeigen zu addieren, wobei ein eventuell negatives Vorzeichen einer Anzeige für die
Summenbildung als negativ zu berücksichtigen ist.
Bei digitalen Wattmetern wird ein negativer Wert durch ein „Minus“- Vorzeichen am Display
dargestellt, während bei analogen Wattmetern die Spannungsanschlüsse umzupolen sind,
um den entgegengesetzten Zeigerausschlag in den Ablesebereich zu invertieren (dieser
umgepolte, ursprünglich negative Ausschlag ist mit einem negativen Vorzeichen in der
Rechnung zu berücksichtigen).
Vierleitersystem - symmetrischer Verbraucher
(Sternschaltung mit herausgeführtem Mittelpunktsleiter)
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L1
P1
L2
L3
N(Mp)
Abb. 3.10
Wenn ein dreiphasiger symmetrischer Verbraucher an ein Vierleitersystem
(also
Sternschaltung mit herausgeführtem Mp- Leiter) angeschlossen ist, dann genügt die
Verwendung eines einzigen Wattmeters (mit dem Spannungspfad wie in Abb. 3.10 gegen
den Mp- Leiter geschaltet) in einer der drei Phasen, dessen Wirkleistungsanzeige mit 3
multipliziert wird.
Pges = 3 P1 = 3 c W α1
(3.22)
Vierleitersystem - unsymmetrischer Verbraucher
(Sternschaltung mit herausgeführtem Mittelpunktsleiter)
P1
L1
P2
L2
P3
L3
N(Mp)
Abb. 3.11
Wenn ein dreiphasiger, unsymmetrischer Verbraucher an ein Vierleitersystem (also
Sternschaltung mit herausgeführtem Mp- Leiter) angeschlossen ist, dann sind drei
Wattmeter notwendig, welche jeweils mit ihrem Spannungspfad gegen den Mp- Leiter zu
schalten sind. Die gesamte Wirkleistung des dreiphasigen Verbrauchers ergibt sich aus der
Summe aller drei angezeigten Wirkleistungen.
Pges = P1 + P2 + P3 = c W α 1 + c W α 2 + c W α 3
In diesem Fall ist keine negative Wattmeter-Anzeige möglich.
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(3.23)
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Gesamtleistung eines dreiphasigen Verbrauchers
Die gesamte Leistung (Wirk-, Blind- oder Scheinleistung) eines dreiphasigen Verbrauchers
ergibt sich aus der Summe der einzelnen Leistungen in den drei Phasen (= Strängen).
Es gilt für einen unsymmetrischen, dreiphasigen Verbraucher:
Pges = P1 + P2 + P3 = Uph1 Iph1 cos ϕ ph1 + Uph 2 Iph 2 cos ϕ ph 2 + Uph3 Iph3 cos ϕph3
(3.24)
Q ges = Q1 + Q 2 + Q 3 = Uph1 Iph1 sin ϕ ph1 + Uph 2 Iph 2 sin ϕ ph 2 + Uph3 Iph3 sin ϕ ph3
(3.25)
S ges = S1 + S 2 + S 3 = Uph1 Iph1 + Uph 2 Iph 2 + Uph3 Iph3
(3.26)
Für einen symmetrischen, dreiphasigen Verbraucher sind die Effektivwerte Uph, Iph und der
Phasenwinkel ϕph in jeder Phase identisch, so dass sich folgende Vereinfachungen ergeben:
Pges = 3 Uph Iph cos ϕ ph
(3.27)
Q ges = 3 Uph Iph sin ϕ ph
(3.28)
S ges = 3 Uph Iph
(3.29)
Dreieckschaltung
Abb. 3.12 zeigt das Schaltbild eines symmetrischen, dreiphasigen Verbrauchers in
Dreieckschaltung (mit beliebigen, aber in allen Phasen identischen Impedanzen Z).
L1
IL1
U12
L2
I12
Z
I23
IL2
U23
L3
U31
U12
IL3
U31
Z
Z
U23
I31
Abb. 3.12
Bei Dreieckschaltung ist der Betrag der Phasenspannung gleich der außen
anliegenden, verketteten Spannung (z.B. U12). Der Betrag des Phasenstromes ist um
den Faktor 1/√3 kleiner als der Außenleiterstrom.
Somit kann die Wirkleistung mit den außen zugänglichen Größen (verkettete Spannung
Uverk, Leiterstrom IL) wie folgt geschrieben werden:
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PGes = 3 Uph Iph cos ϕ ph = 3 U verk
IL
3
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cos ϕ ph = 3 U verk IL cos ϕ ph
(3.30)
In Abb. 3.13 ist das Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme gezeigt, welches wie folgt
entsteht:
1. Für die außen anliegenden, verketteten Spannungen, welche bei Dreieckschaltung gleich
den Phasenspannungen sind, kann die Richtung einer Spannung beliebig angenommen
werden (in diesem Fall z.B. ϕ=0° für U12), die übrigen Spannungen ergeben sich durch
Phasen-Nacheilung um jeweils 120°. Der Effektivwert der verketteten Spannungen sei
z.B. 400 V.
U12 = 400∠(0°) V
U23 = 400∠( −120°) V
U31 = 400∠( −240°) V = 400∠(120°) V
U31
I31
I23
IL3
ϕ3
IL2
U12
ϕ1
ϕ2
I12
IL1
U23
Abb. 3.13
2. Die Phasenströme I12, I23, I31 seien in jeder Phase jeweils um den selben Winkel (da
symmetrisch) gegenüber den Phasenspannungen phasenverschoben, z.B. um 45°
nacheilend (also Z beispielhaft als Ohm´sch- induktiver Verbraucher angenommen). Der
Effektivwert der Phasenströme sei z.B. 5 A.
I12 = 5∠( −45°) A
I23 = 5∠( −165°) A
I31 = 5∠(75°) A
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3. Die Außenleiterströme IL1, IL2, IL3 erhält man durch vektorielle Addition der Phasenströme
gemäß der Kirchhoff´schen Knotengleichung.
IL1 = I12 − I31 = 5∠( −45°) − 5∠(75°) = 8.66∠( −75°) A
IL 2 = I23 − I12 = 5∠( −165°) − 5∠( −45°) = 8.66∠(165°) A
IL 3 = I31 − I23 = 5∠(75°) − 5∠( −165°) = 8.66∠( 45°) A
Aus der maßstäblichen, vektoriellen Addition oder aus der komplexen Rechnung erhält man
für die Beträge (z.B. Effektivwerte) der Ströme folgende allgemeine Formel:
Iph =
IL
(3.31)
3
Ferner gilt:
Uph = U verk
(3.32)
Sternschaltung
L1
IL1
U12
U31
L2
U23
IL2
IL3
L3
U1
Z
U2
IL1
Z
Z
U3
IL3
Abb. 3.14
Die Abb. 3.14 zeigt das Schaltbild eines symmetrischen, dreiphasigen Verbrauchers in
Sternschaltung (mit beliebigen, aber in allen Phasen identischen Impedanzen Z)
Bei Sternschaltung ist der Betrag der Phasenspannung um den Faktor 1/√3 kleiner als
die außen anliegende, verkettete Spannung. Der Betrag des Phasenstromes ist gleich
dem Außenleiterstrom IL.
Somit kann die Wirkleistung mit den außen zugänglichen Größen (verkettete Spannung
Uverk, Leiterstrom IL) wie folgt geschrieben werden:
PGes = 3 Uph Iph cos ϕ ph = 3
U verk
3
IL cos ϕph = 3 U verk IL cos ϕ ph
(3.33)
In Abb. 3.15 ist das Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme gezeigt, welches wie folgt
entsteht:
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1. Da für symmetrische Verbraucher in Sternschaltung auch die Phasenspannungen ein
120°-System bilden, kann hier auch von den Phasenspannungen ausgegangen werden
kann. Die Richtung einer Spannung kann beliebig angenommen werden (in diesem Fall
z.B. ϕ=0° für U1), die übrigen Phasenspannungen ergeben sich durch Phasen-Nacheilung
um jeweils 120°. Der Effektivwert der Phasen-Spannungen sei z.B. 230 V.
U1 = 230∠(0°) V
U2 = 230∠( −120°) V
U3 = 230∠( −240°) V = 230∠(120°) V
U12
U3
IL3
U31
ϕ3
IL2
ϕ2
45°=ϕ1
U1
IL1
U2
U23
Abb. 3.15
2. Die verketteten Spannungen ergeben sich gemäß Kirchhoff´scher Maschenregel:
U12 = U1 − U2 = 230∠(0°) − 230∠( −120°) = 400∠(30°) V
U23 = U2 − U3 = 230∠( −120°) − 230∠( −240°) = 400∠( −90°) V
U31 = U3 − U1 = 230∠( −240°) − 230∠(0°) = 400∠(150°) V
3. Die Phasenströme sind identisch zu den Außenleiterströmen IL1, IL2, IL3. Die Ströme sind
jeweils um den selben Winkel (da symmetrisch) gegenüber den Phasenspannungen
phasenverschoben, z.B. um 45° nacheilend (also Z beispielhaft als Ohm´sch- induktiver
Verbraucher angenommen). Der Effektivwert der Phasenströme sei z.B. 5 A.
IL1 = 5∠( −45°) A
IL 2 = 5∠( −165°) A
IL3 = 5∠(75°) A
Aus der maßstäblichen, vektoriellen Addition oder aus der komplexen Rechnung erhält man
für die Beträge (z.B. Effektivwerte) der Spannungen folgende allgemeine Formel:
Uph =
U verk
(3.34)
3
Ferner gilt:
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Iph = IL
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(3.35)
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Allgemeine Leistungsformeln für symmetrische Verbraucher
Unabhängig von der Schaltung des Verbrauchers (Dreieckschaltung oder Sternschaltung)
können folgende allgemeingültige Gleichungen für symmetrische Verbraucher aufgestellt
werden, wenn ausschließlich die außen zugänglichen Größen (verkettete Spannung Uverk,
Leiterstrom IL) verwendet werden:
L1
IL
Uverk
L2
Uverk
IL
Uverk
L3
Dreiphasiger
Verbraucher
IL
Abb. 3.16
PGes = 3 U verk IL cos ϕ ph
(3.36)
Q Ges = 3 U verk IL sin ϕ ph
(3.37)
S Ges = 3 U verk IL
(3.38)
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4 Elektrische Messgeräte
4.1 Allgemeines
Fehler - Definitionen
Absoluter Fehler Fa
fa = x A − x W
(4.1)
Relativer Fehler Fr
xA − xW
100 [%]
xW
fr =
mit
(4.2)
xA .... angezeigter Wert (Istwert)
xW .... wahrer Wert (Sollwert)
4.1.1 Fehler bei analogen Messgeräten
Die Klassengenauigkeit gibt den maximal auftretenden Fehler in [%] des MessbereichsEndwertes des Messgerätes bei Nennbedingungen (Temperatur, Frequenz, Kurvenform, ...)
an. Die Genauigkeitsklasse ist in der Anzeigeskala des analogen Messgerätes angegeben.
Da sich die Klasse auf den Messbereichs-Endwert bezieht, bedeutet dies bei kleinen
Zeigerausschlägen zwangsläufig einen höheren relativen Fehler (in [%]), während der
absolute Fehler (in [A]) gleich bleibt!
Dies soll folgendes Beispiel verdeutlichen (wobei der Messgeräte-Typ nicht untersucht wird).
Beispiel (Abb. 4.1):
100
90
80
70
60
50
40
30
A
110 120
Genauigkeitsklasse Kl. = 1.0 (entspricht 1.1 A),
Messbereichs-Endwert = 110 A
Messbereich: 20 A ... 110 A
Anzeigebereich: 0 A ... 120 A
à nichtlinearer Anfangsbereich: 0 ... 20 A
nichtlinearer Überlastbereich: 110 A ... 120 A
20
0
1,0
Abb. 4.1
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Beispiel: Fehlerbetrachtung
Messwert (entspricht ME) : 110 A
x A,min −max = 110 A ± 1.1 A = 108.9 A ... 111.1 A
f a,max = (x W ± 1.1 A ) − x W = ±1.1 A
Absoluter Fehler:
f a = ±0.01 ME = ±1.1 A
± 1.1 A ) − x W
100 = ±1.1%
xW
Messwert: 50 A
x A,min −max = 50 A ± 1.1 A = 48.9 A ... 51.1 A
fr =
(x W
f a,max = (x W ± 1.1 A ) − x W = ±1.1 A
± 1.1 A ) − x W
100 = ±2.2%
xW
Messwert: 25 A
x A,min −max = 25 A ± 1.1 A = 23.9 A ... 26.1 A
fr =
(x W
f a,max = (x W ± 1.1 A ) − x W = ±1.1 A
fr =
fr
Fr
(x W
± 1.1 A ) − x W
100 = ±4.4%
xW
[%]
Der absolute Fehler f a = f a,max von 1%
bezogen auf den Messbereichsendwert bleibt
konstant ( ± 1.1A ).
Der relative Fehler fr ändert sich als
Funktion des Messwertes.
fr
Fr
10
100
[%]
8
6
10
4
2
xAA/ME
X
/ ME
1
1
10
100
[%]
Abb. 4.2
xXAA/ME
/ ME
20
40
60
80
100
[%]
Abb. 4.3
Zur Veranschaulichung ist für ein Messgerät der Klasse 1.0 in Abb. 4.2 die starke Zunahme
des relativen Messfehlers Fr bei kleinen Messwerten in logarithmischer Skalierung und in
Abb. 4.3 in linearer Skalierung dargestellt. Auf der Abszisse ist der angezeigte Messwert XA
bezogen auf den Messbereichs-Endwert ME in [%] angegeben. Für unser Beispiel ist 100 %
also mit 110 A als Messbereichs-Endwert gleichzusetzen, bei welchem der angenommene
Klassenfehler von 1 % Gültigkeit besitzt.
Aus dieser Überlegung folgt die Forderung nach überlegter Auswahl der analogen
Messgeräte:
Der Messbereich des verwendeten Messgerätes sollte zur Vermeidung großer Messfehler so
eingestellt werden, dass die zu messende Größe größer als 1/3 des Messbereichsendwertes
ist.
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4.1.2 Fehler bei digitalen Messgeräten
Der Fehler von Digitalmultimetern wird durch einen proportionalen Anteil (% vom Messwert)
und einen konstanten Anteil charakterisiert (Digits).
f = ±(% v. M. + Digits )
(4.3)
Beispiel: Fehler von Digitalmultimeter (DMM)
1. Digitalmultimeter Unigor 355 (Quelle: Bedienungsanleitung)
DC – Spannungs-Messbereich, 30 V: ± (0.05 % v. M. + 3 D) , Auflösung 1 mV
AC – Strom- Messbereich, 300 mA: ± (0.5 % v. M. + 30 D) , Auflösung 10 µA
2. Digitalmultimeter Fluke 189 (Quelle: Bedienungsanleitung)
DC – Spannungs- Messbereich, 50 V: ± (0.03 % v. M. + 3 D) , Auflösung: 1mV
AC – Strom - Messbereich, 400 mA: ± (0.75 % v. M. + 5 D) , Auflösung: 10 µA
Beispiel: Berechnung vom maximalen absoluten und relativer Fehler
Anzeige im 30 V DC Messbereich: 25.341 V
f a,max = ±(0.0005 ⋅ 25.341 + 3 ⋅ 0.001) = ±(0.01267 + 0.003 ) = ±0.01567 V
x A,min −max = 25.341 ± 0.01567 V = 25.325 V... 25.357 V
fr,max =
(25.341 ± 0.01567 V) - 25.341 V
= ±0.0618 %
25.341 V
Einstellzeit
Die Zeit, die der Zeiger benötigt, bis er nach einer sprungartigen Änderung der Messgröße in
den Toleranzbereich der Klassengenauigkeit eingeschwungen ist. Ursache sind bei
analogen Messgeräten die mechanische Zeigerträgheit und bei digitalen Messgeräten die
notwendigen internen Signalumsetzungen.
4.2 Analoge Messgeräte
4.2.1 Drehspul-Messgerät
Bildung des Zeigerausschlags
Der Aufbau des Messgerätes ist in zwei verschiedenen Abbildungen (Abb. 4.4, Abb. 4.7)
gezeigt. Eine drehbar gelagerte Spule befindet sich im radial homogenen Magnetfeld eines
Permanentmagneten. Wenn nun die Spule von einem Strom durchflossen wird (in diesem
Fall ist es der zu messende Strom) dann erfährt jeder Leiter der Spule eine Kraft gemäß
(
r
r r
F = I l ×B
)
(4.4)
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Abb. 4.5:
Symbol für
Drehspulmesswerk
Abb. 4.6
Symbol für
Drehspulmesswerk
mit Gleichrichter
Abb. 4.4
Abb. 4.7
Wenn B und l normal aufeinander stehen, gilt
F = IlB
(4.5)
Gesamtkraft aller w Windungen der Spule
Fges = w I l B
(4.6)
Jede Windung (zwei Leiter) bildet einen Hebelarm um die Drehachse des Zeigers, wodurch
sich ein stromproportionales, elektrisches Moment Me auf die Spule ergibt:
Me = 2 r w I l B = k I
(4.7)
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Die Spule ist über eine Spiralfeder - welche sowohl der Stromzuführung als auch als
mechanisches Gegenmoment dient - drehbar gelagert, wodurch die Spule ein
drehwinkelproportionales Gegendrehmoment Mmech erfährt
Mmech = D α
(4.8)
(... D: Drehfeder-Konstante, α: Drehwinkel)
Die Spule wird durch den fließenden Strom I so weit verdreht, bis das elektrische,
auslenkende Moment Me gleich dem rückstellenden Drehmoment Mmech wird.
Mmech = M e
(4.9)
2r w IlB = D α
(4.10)
Somit ergibt sich ein Zeigerausschlagwinkel α, welcher proportional zum Messstrom I ist:
α=
2 r w IlB
= k1 I
D
(4.11)
α ~ i( t )
(4.12)
Dämpfung:
Nachdem jedes Masse-Feder-System (in diesem Fall aus drehbar beweglicher Spulenmasse
und Drehfeder bestehend) mechanische Schwingungen ausführt, bevor es den stationären
Ruhezustand annimmt, wird auch der Zeiger des Messgerätes erst nach Ablauf dieser
mechanischen Einstellzeit eine ruhende Anzeige des Messwerts ermöglichen. Die
Gleichungen (4.9) und (4.10) stellen somit das statische Gleichgewicht der wirkenden
Momente dar, welches sich erst nach Abklingen der Einschwingvorgänge einstellt.
Zur Verkürzung dieser Einstellzeit wird die drehbare Spule auf einem Aluminiumrahmen
gewickelt. Bei jeder zeitlichen Änderung des Magnetfeldes, welches ein magnetisch
leitfähiges Material durchsetzt, werden in diesem Material Spannungen induziert, welche
aufgrund des geringen magnetischen Widerstandes von Aluminium in diesem Ströme
hervorrufen („induzieren“). Diese sogenannten „Wirbelströme“ erzeugen ein Magnetfeld,
welches ihre Ursache (i.e. die Bewegung der stromdurchflossenen Spule) zu hemmen
versucht, also dämpft.
Diese dämpfende Wirkung ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit des Magnetfeldes
und somit proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Zeigers, wodurch ja eine
Dämpfungseinrichtung charakterisiert ist.
Abb. 4.8
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In Abb. 4.8 sind drei typische Fälle gezeigt:
• Kriechende Einstellung des Anzeigewertes (starke Dämpfung)
• Aperiodischer Grenzfall (ideale Dämpfung)
• Überschwingen (geringe Dämpfung)
Es gilt also, einen Kompromiss zwischen hoher Empfindlichkeit (große Einstellzeit, geringe
Dämpfung) und geringer Einstellzeit (geringe Empfindlichkeit, große Dämpfung) zu finden.
Strommessung, Spannungsmessung
Das Drehspulmessgerät ist prinzipiell ein Strom-Messgerät, wird jedoch weitverbreitet als
Spannungsmesser verwendet, indem intern der Strom über einen definierten
Messwerkwiderstand geführt wird, an welchem die Messspannung abfällt.
Wechselgrößen
Bei Wechselströmen sehr kleiner Frequenz folgt der Zeiger dem Momentanwert des
Stromes, während bei genügend hohen Frequenzen (z.B. auch 50 Hz) der Zeiger aufgrund
seiner mechanischen Trägheit nicht mehr folgen kann und den zeitlichen Mittelwert anzeigt,
welcher bei sinusförmigen Wechselgrößen Null ist.
Um dennoch den Effektivwert von sinusförmigen Wechselgrößen zu messen, wird im
beschriebenen Messwerk ein Gleichrichter vorgeschaltet, so dass das Messwerk den
zeitlichen Mittelwert der gleichgerichteten Stromes i( t ) erfasst.
|i(t)|
t
T
Abb. 4.9
Der zeitliche Mittelwert i( t ) des von einem Vollweg-Gleichrichter gelieferten, pulsierenden
Gleichstromes i(t) ( = Gleichrichtwert) lautet:
i( t ) =
1T
∫ i(t ) dt
T0
(4.13)
Daraus folgt für den Gleichrichtwert einer pulsierenden Gleichspannung (Abb. 4.9):
i( t ) =
1 T/2
2
2
î ( t ) sin(ωt ) dt = ..... = î =
2 Ieff = 0.9 Ieff
∫
T 0
π
π
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(4.14)
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Damit ergibt sich für den Formfaktor F einer sinusförmigen Wechselgröße, welcher als
Verhältnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert definiert ist:
F=
Ieff
= 1.11
| i( t ) |
(4.15)
Die Skala des Messgerätes ist nun so eingeteilt, dass dieser Formfaktor F = 1.11
berücksichtigt wird. Somit wird der vom Zeiger gemessene Mittelwert des pulsierenden,
gleichgerichteten Stromes aufgrund der Skaleneinteilung mit dem Formfaktor für
sinusförmige Größen multipliziert.
Das Drehspulmessgerät mit eingebautem Gleichrichter zeigt ausschließlich für sinusförmige
Wechselgrößen den korrekten Effektivwert an, da der Formfaktor für andere Wechselgrößen
(z.B. Dreieckspannung, Rechteckspannung) nicht 1.11 beträgt (... andere Kurvenform für die
Integral-Berechnung gemäß Gleichung (4.12)).
4.2.2 Drehspul-Galvanometer
Galvanometer werden zur Messung sehr kleiner Spannungen und Ströme vor allem als NullAnzeigegeräte in Messbrücken (siehe. Kap. 3) verwendet.
Für die geforderte Messung sehr kleiner Messgrößen ist eine große Empfindlichkeit
notwendig, welche im Galvanometer durch ein schwache Dämpfung des Zeiger-FederSystems und eine Spule mit hoher Windungszahl (größere Ablenkkraft bei gleichem
Messstrom; siehe Gleichung (4.6)) erreicht wird. Dafür muss jedoch eine größere Einstellzeit
in Kauf genommen werden.
4.2.3 Dreheisen- Messgerät
Abb. 4.11
Symbol für
DreheisenMessgerät
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Abb. 4.10
Abb. 4.12
Bildung des Zeigerausschlags
Im Magnetfeld der vom Messstrom durchflossenen Spule befinden sich ein festes und ein
bewegliches Blechplättchen, wodurch beide Plättchen vom selben Magnetfeld erfasst und
magnetisiert werden. Folglich stoßen sich die Plättchen gegenseitig ab, wodurch das
bewegliche, drehbar gelagerte Plättchen entsprechend der Größe des Messstromes
ausgelenkt wird.
Herleitung über Energiebilanz:
Von der Spule aufgenommene magnetische Energie:
Wmagn =
1 2
LI
2
(4.16)
Moment des bewegten Plättchens:
Me =
dW 1 dL(α ) 2
=
I
dα
2 dα
(4.17)
Rückstellendes, mechanisches Gegenmoment:
Mmech = D α
(4.18)
Gleichsetzen des elektrischen, auslenkenden Moments Me mit dem rückstellenden
mechanischen Moment Mmech liefert den Zeigerausschlagwinkel
α=
1 dL(α ) 2
⋅
I = f (α ) I 2
2 D dα
(4.18)
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α ~ i( t ) 2
(4.19)
Der Zeigerausschlag ist direkt proportional zum Quadrat des Momentanwerts i(t).
Wechselgrößen
Die gewünschte Anzeigegröße ist der Effektivwert des gemessenen Stromes
( = Wurzel des quadratischen Mittelwerts):
Ieff =
1T 2
∫ i( t ) dt
T0
(4.20)
Es gilt nun, aus der Zeigerausschlag-Proportionalität zum quadratischen Mittelwert eine
Proportionalität zum Effektivwert herzustellen, was durch folgende zwei Maßnahmen erreicht
wird:
a.) Aufgrund der mechanischen Trägheit des Messwerk-Zeigers folgt der Zeiger nicht dem
schnell pulsierenden Quadrat i(t)2 des Momentanwerts des Messstromes (z.B. 50 mal pro
Sekunde bei einer Frequenz von 50 Hz), sondern folgt dem zeitlichen Mittelwert des
quadratischen Momentanwerts:
i( t ) =
1T 2
∫ i(t ) dt
T0
(4.21)
b.) Die Skala des Messgerätes wird nun nicht proportional zu diesem Mittelwert eingeteilt,
sondern durch spezielle Formgebung der Blechplättchen wird eine Wurzelabhängigkeit vom
Mittelwert ( = Effektivwert; Gl. 4.16) erreicht.
Das Dreheisen-Messgerät misst also ohne Umweg über Gleichrichter den echten
Effektivwert von Wechselgrößen jeder Art (z.B. Sinus-, Dreieck-, Rechtecksignale).
Das Dreheisen-Messwerk ist robust gegen Überlast, da es keine stromdurchflossenen
bewegten Teile enthält, und weist gegenüber dem Drehspul-Messwerk einen wesentlich
höheren Eigenverbrauch auf, da das magnetische Feld für die Zeigerauslenkung erst durch
den durch die Spule fließenden Messstrom aufgebaut werden muss (bei
Drehspulinstrumenten: Permanentmagnet).
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4.2.4 Elektrodynamisches Messgerät
Abb. 4.14
Symbol für
elektrodynamisches
Messgerät
Abb. 4.13
Abb. 4.15
Bildung des Zeigerausschlags
Dieses Messwerk kann als Sonderfall eines Drehspul-Messwerks angesehen werden,
dessen feststehender Permanentmagnet durch eine von einem zweiten Messstrom
durchflossene Spule ersetzt ist. Es fließt also ein Messstrom I2 durch die bewegliche Spule
und ein Messstrom I1 durch die feststehende Spule.
Die Herleitung der Gleichung für den Zeigerausschlag ist analog zu jener des DrehspulMesswerks (siehe Gleichung (4.11)), so dass für den Zeigerausschlagwinkel gilt:
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α=
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2 r2 w 2 I 2 l B1
D
(4.22)
(Index 1: feststehende Spule, Index 2: bewegliche Spule)
Für die magnetische Flussdichte B1 der feststehenden, von I1 durchflossenen Spule gilt
(siehe Kap. 7)
B1 =
µ w 1 I1
= k 1 w 1 I1
l
(4.23)
Daraus folgt für den Zeigerausschlag:
α=
K1
I1 I 2
D
(4.24)
Der Zeigerausschlag ist proportional zum Produkt der beiden Messströme I1, I2 (zwei
Strompfade). Wenn einer der beiden Messströme zwischen die Spannungsanschlüsse eines
Verbrauchers geschalten wird, ist dessen Stromfluss direkt proportional zur Spannung U am
Verbraucher.
(4.25)
I 2 ~ U1
Wenn nun u1(t) und i1(t) sinusförmige Wechselsignale mit einer Phasenverschiebung ϕ
zueinander sind, dann gilt
α=
K1
1
1
u1 ( t ) i1 ( t ) = ... = K û î cos ϕ − K û î cos( 2ωt + ϕ)
D
2
2
(4.26)
Aufgrund der mechanischen Trägheit kann der Zeiger dem zweiten - mit doppelter
Kreisfrequenz pulsierenden - Term nicht folgen, so dass lediglich der zeitlich konstante,
erste Term relevant ist.
α = K U eff Ieff cos ϕ = K 1 P
(4.27)
α ~P
(4.28)
Der Zeigerausschlag ist proportional zur Wirkleistung P.
Wattmeter-Konstante
Die Skala von analogen Wattmetern weist eine dimensionslose Skalierung in „Skalenteilen“
[Skte.] auf. Für die Anpassung an den Maximalwert der Messgröße sind verschiedene
Messbereichsendwerte für Spannungspfad und für Strompfad einstellbar.
Die Umwandlung der Anzeige in [Skte.] in die Einheit [W] erfolgt mit Hilfe der „WattmeterKonstante“ cW .
cW =
mit:
UME IME
α ges
in [W/Skte.]
(4.29)
UME - Messbereichs-Endwert des Wattmeter-Spannungspfades [V]
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IME - Messbereichs-Endwert des Wattmeter-Strompfades
αges - Gesamt-Skalenteile der Wattmeterskala
[A]
[Skte.]
Die Wattmeter-Konstante hängt also vom gewählten Messbereich am Wattmeter ab.
P = cW α
 W 
Einheiten: [W ] = 
 [Skte.]
 Skte. 
(4.30)
Die am Wattmeter abgelesene Leistung in [Skte.] wird mit der aus den Wattmeterdaten
berechneten Wattmeter-Konstante cW multipliziert und ergibt die Wirkleistung in [W].
Aus der Anzeige der Wirkleistung allein erkennt man nicht, wie groß die anliegende
Spannung oder der durch das Messgerät fließende Strom ist (ob also das Wattmeter
spannungsmäßig oder strommäßig bereits überlastet ist).
Folglich ist auf eine sorgfältige Wahl der Spannungs- und Strom-Messbereiche des
Wattmeters bezüglich der maximal auftretenden Messwerte zu achten.
4.3 Digitale Messgeräte
4.3.1 Digital-Multimeter (DMM)
U-Eingang
I-Eingang
ADU
_
Verarbeitung
Digitalanzeige
+
R-Eingang
Abb. 4.16
Abb. 4.16 zeigt stark vereinfacht das Schema eines Digital-Multimeters (DMM) zur Messung
von elektrischen Größen (z.B. Spannung, Strom, Widerstand).
Die Eingangsschaltung wirkt als Spannungsteiler, um die Eingangsspannung auf ein
verarbeitbares Niveau zu senken. Hier erfolgt auch die (automatische oder manuelle)
Umschaltung der Messbereiche des DMM entsprechend der Höhe der Messgröße. Der
Analog-Digital-Umsetzer (ADU) erzeugt aus der analogen Messgröße ein digitales Signal zur
Anzeige am LCD-Display.
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Man unterscheidet grundsätzlich:
• DMM mit eingebautem Gleichrichter („Effektivwertgleichrichter“), welche wie bei
Drehspulinstrumenten bei Wechselsignalen nur für sinusförmigen Verlauf den korrekten
Effektivwert anzeigen à Aufschrift „RMS“ (root-mean-square, Wurzel des quadratischen
Mittelwerts = Effektivwert; vgl. Gl. 4.16).
• DMM mit eingebautem Effektivwert-Umformer, welche den „echten“ Effektivwert
unabhängig von der Kurvenform, also auch von nichtsinusförmigen Größen anzeigen
besitzen die Aufschrift „True RMS“- oder „TRMS“ („Echt-Effektivwert-Messgeräte“).
4.3.2 Digitales Wattmeter
Dieses ermöglicht neben der eigentlichen Messung der Wirkleistung (direkt in [W]
angezeigt) auch die direkte Messung von Spannung, Strom und Leistungsfaktor cos ϕ ,
wobei bei letzterem zusätzlich eine Anzeige erfolgt, ob der zugehörige Phasenwinkel ϕ
positiv oder negativ (also induktiv oder kapazitiv) ist.
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4.4 Oszilloskope
Das Oszilloskop dient zur Darstellung zeitabhängiger Signale, nachdem mit - analogen und
digitalen - Messinstrumenten lediglich ein konstanter Wert - in der Regel der Effektivwert jedoch nicht der zeitliche Verlauf der Messgröße erfasst werden kann.
4.4.1 Analog- Oszilloskope
Die Analog- Oszilloskope beruhen auf dem Prinzip der Elektronenstrahl – Ablenkung in einer
evakuierten Röhre. Das Mess – Signal wird auf Ablenkplatten geführt, der Elektronenstrahl
erfährt eine proportionale Ablenkung in y – Richtung. Der fluoreszierend wirkende Schirm
macht den Strahl sichtbar. Prinzipbedingt haben die Analog - Oszilloskope eine große
Bauform und niedrige Grenzfrequenzen. Diese entsprechen daher nicht mehr dem Stand
der modernen Messtechnik.
4.4.2 Digital- Oszilloskope
Bei Digital- Oszilloskope werden die Messwerte mit Hilfe von schnellen Analog – Digital
Umsetzer (ADU) zeitlich und amplitudenmäßig diskretisiert. Die Messwerte können
abgespeichert und weiterverarbeitet werden. Man spricht daher auch von
Digitalspeicheroszilloskope (DSO).
Vertikaleinstellung, Vertikalmenü
Die Abb. 4.17 zeigt das grundsätzliche Schema eines Digitaloszilloskops. Die Messwerte der
einzelnen Kanäle werden je nach der gewünschten Dehnung in Vertikalrichtung
[VOLTS/DIV, Spannung pro Skalenteilung] verstärkt und dem ADU zugeführt.
Datenerfassung:
Modus und
Zeitbasis
Vertikal:
Verstärkung
und position
Kanäle
Signalaufzeichnung
Anzeige
Schnittstelle
Ext.
Trigger
Netz
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Abb. 4.17
Kopplung
In Zusammenhang mit den Einstellungen zur Vertikalablenkung des Messsignals ist ein
Wahlschalter für die Kopplung des Eingangssignals vorgesehen:
GND In Position GND wird intern im Oszilloskop Null Volt als Eingangsspannung angelegt,
wodurch am Bildschirm die Nulllinie dargestellt wird und somit die Lage der Nulllinie
am Bildschirm entsprechend der gewünschten Darstellung gewählt werden kann.
AC
In Position AC wird das Eingangssignal über eine interne „Hochpass“-Schaltung
eingekoppelt, welche die hochfrequenten Anteile des Eingangssignals „passieren“
lässt („Hochpass“), die niederfrequenten Anteile bzw. einen eventuellen Gleichanteil
des Eingangssignals sperrt. Wenn das Messsignal z.B. aus einem Sinusverlauf mit
einem Gleichanteil besteht, dann gelangt in der Position AC lediglich der
Wechselanteil zur Bildschirmanzeige, nicht jedoch der Gleichanteil.
DC
In Position DC wird das Eingangssignal direkt eingekoppelt, d.h. das Signal wird
vollständig (inklusive Gleichanteil) dargestellt.
Datenerfassung
Die Messdaten können mit verschiedenen Methoden erfasst werden.
Normaler Abtastmodus (Standard)
Die Messsignale werden in gleich großen Intervallen ab. Dieser Modus erfasst jedoch keine
schnellen Änderungen im analogen Signal, die möglicherweise zwischen den Abtastwerten
auftreten.
Spitzenwert
Das Oszilloskop sucht die höchsten und niedrigsten Werte des Eingangssignals innerhalb
eines Abtastintervalls. Auf diese Weise können kurze Impulse erfasst werden, die im
normalen Abtastmodus nicht erfasst worden wären. Es tritt aber erhöhtes Rauschen auf.
Mittelwert
Die Messwerte werden über mehrere Signalwerte gemittelt, das Rauschen wird unterdrückt,
führt aber dadurch zu einem Informationsverlust bei z.B. kurzen Signalen.
Zeitbasis
Mit der Zeitbasis ist die zeitliche Abtastung mit der Auswahl SEC/DIV einstellbar.
Beispiel:
Digitales Echtzeit- Oszilloskop Tektronix TDS 210
Horizontaleinstellung 5 ns/DIV – 5 s/DIV
Triggerung
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Zur Erzeugung eines stehenden Bildes auf dem Bildschirm ist es erforderlich, dass die
Ablenkung in X- und in Y- Richtung in einer festen Beziehung zueinander stehen. Dies wird
durch die Triggerung ( = engl. Auslösung) erreicht.
Die Funktion des Triggers entspricht somit grundsätzlich der des Analog – Oszilloskop.
Während jedoch beim Analog – Oszilloskop vom Trigger ein Sägezahngenerator ausgelöst
wird, der die X- Ablenkung steuert, wird beim Digital Oszilloskop die Speicherung gesteuert.
Die Triggerung kann sowohl intern über die Messsignale der Kanäle (üblich) oder über
externe Signale ausgelöst werden. Als weiterer Triggersignaleingang steht nochein Signal
zur Verfügung, das einen Bezug zur Frequenz der Versorgungsspannung des Oszilloskops
hat (siehe Abb. 4.17).
Beispiel:
Digitales Echtzeit- Oszilloskop Tektronix TDS 210
Max. Abtastrate:
1GS/s (1 Gigasample/s = 109 Abtastungen/s)
Aufzeichnungslänge: 2500 Abtastungen/ Kanal
Der Triggerzeitpunkt wird über den Trigger – Level (einstellbarer Amplitudenwert) festgelegt.
Weiters ist anzugeben, ob die Triggerung bei steigender oder bei fallender Flanke erfolgen
soll. Mit dem Pretrigger kann die „Vorgeschichte“ vor dem Triggerereignis aufgezeichnet
werden. Es können mit Hilfe des Posttriggers Signalverläufe dargestellt werden, die nach
dem Triggerereignis auftreten. Je nach Speichertiefe ist aber nur eine bestimmte
Aufzeichnungsdauer möglich.
Aliasing
Dieser Effekt tritt auf, wenn das Oszillokop die Signale nicht schnell genug abtastet, um eine
präzise Signalaufzeichung zu ermöglichen. Beim Aliasing wird ein Signal angezeigt, das eine
niedrigere Frequenz als das eigentliche Eingangssignal aufweist. Um das Aliasing zu
vermeiden, muss das Signal mit einer Frequenz abgetastet werden, die mehr als doppelt so
hoch ist, wie die höchste Frequenz der Komponenten des Eingangssignals.
Beispiel: Ein Eingangssignal mit Frequenzkomponenten von 5 MHz muss mit mindestens
10 Millionen Abtastungen pro Sekunde abgetastet werden.
Mit Hilfe der Zeitbasis kann die entsprechende Einstellung getätigt werden, um den Aliasing
– Effekt zu vermeiden. Je kleiner die Zeitbasis eingestellt ist, umso höher muss die
Abtastrate gewählt werden.
Beispiel:
Digitales Echtzeit- Oszilloskop Tektronix TDS 210
Zeitbasis
Abtastungen/s
Maximale Signalfrequenz
1µs
10 µs
5 ms
5s
250.0 MS/s
25.0 MS/s
50.0 kS/s
50.0 S/s
125.0 MHz
12.5 MHz
25.0 kHz
25.0 Hz
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Beispiel eines Oszilloskop- Bildes:
Abb. 4.18
Abb. 4.18 zeigt den Ausdruck eines digitalen Speicheroszilloskops (DSO), wobei folgende
Informationen abgelesen werden können:
Zeitablenkung:
Signal-Ablenkung:
Trigger-Level:
Trigger-Flanke:
Abtastrate:
M5.00ms, d.h. 5 ms/DIV → 5 ms pro Rastereinheit
→ Abmessen der Periodendauer: T = 4 Einheiten = 20 ms
→ Frequenz (f = 1/T) = 50 Hz
Die Frequenz des Signals kann auch vom Oszilloskop errechnet
werden. Die erforderliche Einstellung ist über die Mathematik – Menüs
zu tätigen.
1.00 V, d.h. 1 V/DIV → 1 V pro Rastereinheit
→ Scheitelwert (= Amplitude): û = 3 Einheiten = 3 V
- 0.58 V
fallend
50.0 kS/s. Der dargestellte Signalverlauf hat eine Frequenz f = 50 Hz,
die deutlich unter der maximalen theoretischen Frequenz von 25 kHz
liegt (Vermeidung des Aliasing Effekts)
Schnittstelle
Die vorhandene Schnittstelle ermöglicht die Bedienung des Oszilloskops über den PC, die
Abspeicherung der Messdaten, sowie die bequeme Einbindung in ein automatisiertes
Messsystem. Auf Grund der vorliegenden, intern gespeicherten Daten können auch
Mathematikfunktionen aufgerufen, die von einfachen Funktionen wie z.B. Additionen, MinMax Auswertungen, Mittelwertbildung, Invertierungen bis zur Fourieranalyse von Signalen
reichen.
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Anzeige
Die Darstellung der Messsignale erfolgt im auf elektronische Weise auf einem
Flüssigkristallschirm. Somit gibt es keine Störeinflüsse durch magnetisch verseuchte
Messumgebungen (im Gegensatz zu Analog – Oszilloskope).
4.4.3 Tastkopf, Tastteiler
Durch diese Frequenzkompensation werden außerdem die durch lange Messkabel oder
hohe Messfrequenzen möglichen kapazitiven Einstreuungen beseitigt.
Um kapazitive Einstreuungen bei langen Messkabeln oder hohen Messfrequenzen zu
vermeiden, werden sogenannte Tastköpfe eingesetzt.
Wenn der Tastkopf zusätzlich einen Spannungsteiler aufweist, welcher hohe
Messspannungen auf einen für das Oszilloskop verarbeitbaren Wert teilt, spricht man von
einem Tastteiler. Dazu wird das Prinzip des Spannungsteilers angewendet (siehe Kap. 1),
indem der Tastkopf mit dem eingebauten Widerstand RT vor das Oszilloskop geschaltet
wird.
Würde das Oszilloskop lediglich einen Ohm’schen Eingangswiderstand RO aufweisen, dann
würde der Tastkopf nur einen Widerstand RT enthalten müssen, d.h. der Spannungsteiler in
Abb. 4.19 wäre rein Ohm’sch mit RT und RO. Für diesen Fall würde die Formel des
Ohm’schen Spannungsteilers wie folgt lauten:
U1
U
= 2
RT + RO RO
(4. 31)
Die am Oszilloskop anliegende Spannung U2 würde damit gemäß folgender Formel reduziert
werden:
U2 = R O
U1
RT + RO
(4.32)
Da das Oszilloskop jedoch - wie in Abb. 4.23 und Abb. 4.24 gezeigt - zusätzlich zu RO eine
Eingangskapazität CO aufweist, muss im Tastkopf parallel zu RT eine Kapazität CT
geschaltet sein, damit der Spannungsteiler für alle Frequenzen dasselbe Teilerverhältnis
zwischen U1 und U2 aufweist. Damit dies erfüllt wird, ist folgende Bedingung einzuhalten:
R T CT = R OCO
(4.33)
„frequenzkompensierter, kapazitiver Spannungsteiler“
Abb. 4.19 zeigt das Prinzip eines Tastkopfes mit den internen Elementen RT und CT, wobei
CT mittels Drehknopf veränderlich ausgeführt ist, und die Eingangsschaltung eines
Oszilloskops mit RO und CO.
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Abb. 4.20 zeigt nochmals das elektrische Schaltbild des entstehenden kapazitiven
Spannungsteilers anschaulich herausgezeichnet.
Tastkopf
Signal
Oszilloskop
RT
CT
Signal
U1
RO
RT
CT
RO
CO
CO
Masse
U2
Masse
Abb. 4.19
Abb. 4.20
Wenn der Tastkopf verschiedene Stufen bietet (z.B. 10:1, 100:1), dann ist auch die in ihm
enthaltene Kapazität CT für jede Einstellung so zu verändern, dass Gleichung (4.33) erfüllt
ist. Dazu weist der Tastkopf einen Drehknopf zur Verstellung von CT auf.
Vor Verwendung eines Tastkopfes sollte stets ein Abgleich zur Überprüfung der korrekten
Einstellung von CT durchgeführt werden.
Durchführung des Tastkopf-Abgleichs:
Am Oszilloskop befindet sich ein Anschluss, welcher eine Rechteckspannung zu
Testzwecken liefert (meist mit „Cal“ bezeichnet - Kalibrierknopf). Der Tastkopf wird mit
seinem Koaxial-Kabelende an einen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen, und
die Tastkopf-Spitze wird mit dem Kalibrieranschluss verbunden. Dadurch wird am
Oszilloskop das Rechtecksignal dargestellt.
Der Drehknopf des Tastkopfes wird nun so lange verstellt, bis das Rechtecksignal am
Leuchtschirm als exaktes Rechteck auftritt (also keine gekrümmten Ecken zeigt). Wenn dies
erreicht ist, dann liegt Frequenzkompensation vor, d.h. es werden alle Frequenzen ohne
Verzerrungen am Oszilloskop dargestellt.
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4.4.4 Erdungsproblematik bei Oszilloskopen
1. Sicherheitsproblematik
Beispiel:
Darstellung der Wechselspannung einer 230 V-Steckdose mittels Oszilloskop.
Zwischen dem Phasenleiter (z.B. L1) und dem Nulleiter (N-Leiter) liegt die Phasenspannung
230 V. Das Oszilloskop- Messkabel ist zur besseren elektrischen Abschirmung (Schutz vor
Einkopplung von Störspannungen) als Koaxial-Kabel ausgeführt, d.h. ein Anschluss ist als
Innenleiter ausgeführt, welcher vom zweiten, als Außenleiter ausgeführten Anschluss
umgeben ist. Der Außenleiter ist der Masseleiter, da er im Oszilloskop mit dem metallischen
Gehäuse des Oszilloskops verbunden ist. Das Gehäuse seinerseits ist über den Schutzleiter
(PE-Leiter, „Protection Earth“; siehe Kap. 6) mit dem Nullpunkt des speisenden DreiphasenTransformators (dessen Sekundärseite in den Abbildungen dargestellt ist) verbunden.
Es ist also darauf zu achten, dass lediglich am Innenleiter die zu messende Spannung
anliegen darf, während am Masseleiter immer Nullpunktsspannung als Bezugsspannung
anliegen muss. Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf die Problematik, wenn der
Masseleiter an die zu messende Spannung (hier: Phase L1) und nicht an die Nullspannung
angeschlossen wird.
Prinzipiell ist anzumerken, dass für den ordnungsgemäßen und sicheren Betrieb von
elektrischen Geräten ein vorhandener PE-Leiter (gelb-grüner Schutzleiter) nicht
unterbrochen werden darf !
230 V
L1
Koaxial-Kabel
L2
Oszilloskop
L3
N
PE
Abb. 4.21
Wenn der Masseleiter des Oszilloskop- Kabels mit dem 230 V - Phasenleiter verbunden
wird, wird somit die 230 V - Spannung über Masseleiter, Oszilloskop- Gehäuse und PELeiter mit dem Nullpunkt des speisenden Trafos verbunden. Dadurch fließt ein hoher
Kurzschlussstrom über den PE-Leiter, wodurch der Fehlerstrom-Schutzschalter (FISchalter) den Stromkreis unterbricht, um bei Berühren des Gehäuses einen gefährlich
hohen Strom über den Körper zu verhindern.
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230 V
L1
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Koaxial-Kabel
L2
Oszilloskop
L3
N
PE
Abb. 4.22
Eine gefährliche und daher unzulässige Möglichkeit stellt die Unterbrechung des PE-Leiters
dar.
Das Gehäuse des Oszilloskops liegt auf dem selben Potenzial wie die gerade gemessene
Spannung, so dass bei Berührung des Gehäuses abhängig von der Höhe der gemessenen
Spannung (sowie vom Körper- und Bodenwiderstand) ein gefährlich hoher Strom über den
Körper fließen kann (nachdem der vorgesehene Fehler-Stromweg über den PE-Leiter
unterbrochen ist).
Und selbst wenn lediglich ungefährlich kleine Ströme über den Körper fließen (aufgrund
kleiner Messspannung oder großen Bodenwiderstandes), kann das Messergebnis durch den
abfließenden Strom verfälscht werden (Einkopplung eines Magnetfeldes in den
geschlossenen Stromkreis).
230 V
Koaxial-Kabel
L1
L2
L3
Oszilloskop
Trenntrafo
N
PE
Abb. 4.23
Ebenso unzulässig ist die Verwendung eines Trenntrafos in der Versorgungsleitung des
Oszilloskops, da dieser auch eine Unterbrechung des PE-Leiters bewirkt und wiederum die
im vorigen Beispiel angeführten Probleme auftreten können.
Seite 4.21 von 24
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230 V
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Koaxial-Kabel
L1
L2
Oszilloskop
L3
N
PE
Abb. 4.24
Eine mögliche und sichere Abhilfe für obige Problematik stellt die Verwendung eines
zusätzlichen, isolierten Gehäuses dar (Prinzip der Schutzisolierung), wodurch die am
Oszilloskop -Gehäuse anliegende Spannung keinen Stromfluss über den Körper hervorrufen
kann, nachdem kein geschlossener Stromkreis vorliegt.
In diesem Zusammenhang ist die neueste Generation von tragbaren Oszilloskopen zu
erwähnen, welche keinen Masse-Bezug mehr aufweisen, über Batterie oder Akku versorgt
werden und mit einem schutzisolierten Gehäuse versehen sind. Dadurch sind keine
Probleme hinsichtlich Erdung und Spannungsverschleppung zu erwarten.
230 V
L1
Koaxial-Kabel
Spannungswandler
L2
Oszilloskop
L3
N
PE
Abb. 4.25
Die sicherste und somit empfehlenswerte Möglichkeit ist die Verwendung eines
Spannungswandlers (oder eines elektronischen Trennverstärkers) im Messkreis,
wodurch eine Potenzialtrennung erfolgt. Es kann über den Trafo, bzw. über den
Trennverstärker kein Strom von der Primärseite auf die Sekundärseite fließen. Es wird also
ein geschlossener Stromkreis verhindert, so dass die Spannung am Masseleiter keinen
Stromfluss über den PE-Leiter oder über den Körper hervorrufen kann.
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2. Messproblematik
Selbst wenn, wie oben empfohlen, die Messschaltung galvanisch vom versorgenden
Spannungsnetz getrennt ist, können bei der gleichzeitigen Darstellung mehrerer Signale
aufgrund der Oszilloskop- internen Masseverbindung Messprobleme auftreten, welche im
folgenden erklärt werden sollen.
Mehrkanal- Oszilloskope ermöglichen die gleichzeitige Darstellung mehrerer Signale (z.B.
Zweikanal- oder Vierkanal- Oszilloskop). Für den Aufbau einer Messschaltung mit mehreren
Signalen ist jedoch zu beachten, dass - wie oben angeführt - jeder Signaleingang des
Oszilloskops mit einem Koaxial-Anschluss versehen ist, dessen Außenleiter intern im
Oszilloskop mit dem Gehäuse verbunden ist („Masse-Punkt“). Das bedeutet also, dass
jeweils alle am Außenleiter angeschlossenen Punkte eines Messsignals intern am
gemeinsamen Massepunkt verbunden sind.
Die dabei auftretende Problematik zeigen Abb. 4.26 und Abb. 4.27. Hierbei sollen als
Messaufgabe die beiden Spannungen U1 über R1 und U2 über R2 auf zwei vertikalen
Kanälen eines Zweikanal- Oszilloskops gleichzeitig dargestellt werden.
Koaxial-Kabel
U1
R1
Ch1 Ch2
U2
Masse
R2
Koaxial-Kabel
Abb. 4.26
In Abb. 4.26 sind die beiden Messspannungen so an das Oszilloskop angeschlossen, dass
das jeweils im Schaltbild „obere“ Potenzial an den Innenleiter und das jeweils „untere“
Potenzial an den Außenleiter („Masseleiter“) des Koaxial-Kabels angeschlossen wird.
Man erkennt, dass aufgrund der internen Verbindung der Außenleiter jedes Koaxial-Kabels
mit dem gemeinsamen Masse-Anschluss auf diese Weise der Widerstand R2 widerstandslos
überbrückt (kurzgeschlossen) wird. In diesem Fall wird somit als Signal des Kanals 2 (Ch 2)
Null Volt anstatt der Messspannung U2 dargestellt.
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Koaxial-Kabel
U1
"invertiert"
R1
Ch1 Ch2
U2
Masse
R2
Koaxial-Kabel
Abb. 4.27
Die beschriebene Problematik wird bei Anwendung einer Messschaltung nach Abb. 4.27
vermieden. Die Messung der Spannung U1 erfolgt auf die selbe Weise wie in Abb. 4.26. Die
Messspannung U2 wird nun jedoch in umgekehrter Art so an das Oszilloskop
angeschlossen, dass das im Schaltbild „obere“ Potenzial an den Außenleiter („Masseleiter“)
und das „untere“ Potenzial an den Innenleiter des Koaxial-Kabels angeschlossen wird.
Auf diese Weise bleibt die Oszilloskop - bedingte Verbindung der Außenleiter beider KoaxialKabel mit dem gemeinsamen Massepunkt ohne Auswirkung, da nun zwei Punkte der
Schaltung über die Oszilloskop- Masse kurzgeschlossen werden, welche auch in der
Schaltung selbst ohnedies direkt verbunden sind, sich also auf gleichem Potenzial befinden
(„unterer“ Punkt von R1 und oberer“ Punkt von R2).
Da bei dieser Anschlussart die Messspannung U2 negativ (bei Gleichspannung), bzw. mit
180° Phasenverschiebung (bei Wechselspannung) am Bildschirm dargestellt werden würde,
muss zur Vorzeichenumkehr der INV – Modus (Invertierung) am Oszilloskop eingestellt
werden.
Bei der Darstellung mehrerer Signale ist also zu berücksichtigen, dass alle MasseAnschlüsse (Außenleiter) der koaxialen Signaleingänge am Oszilloskop intern mit dem
gemeinsamen Massepunkt verbunden sind. Eventuell ist aus diesem Grund ein Signal
invertiert am Oszilloskop darzustellen.
Grundsätzlich sollte man die Koaxial – Messleitungen so kurz als möglich halten, um
Einstreuungen (kapazitive und induktive Beeinflussung) auf diese Messleitungen weitgehend
zu vermeiden.
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5 Elektronik - Operationsverstärkerschaltungen
5.1 Funktion des Operationsverstärkers
Die Arbeitsweise von Operationsverstärkern wird von ihrer äußeren Beschaltung bestimmt,
während der innere Aufbau in weitem Maß für das Verständnis seiner Anwendungen
unerheblich ist. Der Operationsverstärker wird je nach äußerer Beschaltung entweder in
linearen Anwendungen als Verstärker für Spannungen und Ströme verwendet (siehe
Kap. 5.2) oder in nichtlinearen Anwendungen als Schalter (siehe Kap. 5.3), wobei dieser
sowohl für Gleichsignale als auch für Wechselsignale Verwendung findet. Für
Wechselsignale hoher Frequenz sind jedoch gewisse Einschränkungen zu beachten.
I1+
UD
I1-
U2
U1+ U1-
- UB
0V
+ UB
Abb. 5.1
Der Operationsverstärker (kurz OPV) weist die in Abb. 5.1 gezeigten Anschlüsse auf.
Zur Versorgung der inneren Elektronik des OPV sind an die bestimmungsgemäßen
Anschlüsse die positive Versorgungsspannung (+UB, „Betriebsspannung“) und die negative
Versorgungsspannung (-UB) anzuschließen. Die Größe dieser Spannung ist vom jeweiligen
OPV- Typ abhängig und wird im entsprechenden Datenblatt angegeben (z.B. ± 12 V, ± 15
V). Die Null Volt-Anschlüsse für Versorgungsspannung, Ein- und Ausgangsspannung sind
miteinander verbunden.
Die Eingangsklemmen werden invertierender (-) Eingang, bzw. nicht-invertierender (+)
Eingang genannt, was sich aus folgender prinzipiellen Funktion des OPV erklärt:
U 2 = V0 (U1+ − U1− ) = V0 UD
(5.1)
V0 ist die offene Verstärkung, d.h. Verstärkung des unbeschalteten OPV.
(im Gegensatz zur Verstärkung mit Gegenkopplung)
Der OPV verstärkt die unmittelbar an seinen Eingängen anliegende Differenzspannung UD
um den Verstärkungsfaktor V0.
Die Verstärkung V0 beträgt im realen Fall ca. 104 - 107, für idealisierte (und in der Praxis
ausreichend genaue) Überlegungen kann sie jedoch als unendlich groß angesehen werden.
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Wenn nun als U1+ eine positive Gleichspannung (gegenüber 0 V) und als U1- die Spannung 0
V angelegt wird, dann ergibt sich eine positive Eingangsdifferenzspannung UD. Diese wird
vom OPV mit V0 verstärkt an den Ausgang gelegt (U2), wie folgendes Zahlenbeispiel zeigt:
Beispiel:
U1+ = 1 V, U1- = 0 V, V0 = 106
→
U2 = 106 1 = 1000000 V = 1 MV (??)
Der OPV würde also an seinem Ausgang eine Spannung von 1 Mio. Volt erzeugen, was
natürlich nicht möglich ist, wie folgenden Überlegung zeigt:
Abb. 2 zeigt vereinfacht, dass im Inneren des OPV der Ausgang über Transistoren
(vereinfacht als steuerbare Stromquellen anzusehen) mit +UB, bzw. -UB verbunden ist. Somit
kann U2 in positiver Richtung maximal +UB minus ca. 2 V als Spannungsabfall am Transistor
aufweisen, bzw. in negativer Richtung maximal einen Wert, welcher um den
Transistorspannungsabfall von ca. 2 V positiver ist als -UB.
Beispiel:
→
→
+UB = +15 V
-UB = -15 V
U2,max = 15 - 2 = 13 V
U2,min = -15 - (-2) = -13 V
U2,max und U2,min müssen nicht notwendigerweise betragsmäßig gleich groß sein.
+ UB
UD
-UB
-
U1+ U1-
U2
Abb. 5.2
Daraus ergibt sich, dass der OPV die Eingangsdifferenzspannung UD um den Faktor V
verstärkt an den Ausgang (U2) liefert (und dies in einem linearen Verhältnis zwischen UD und
U2; linearer Bereich des OPV), dies jedoch nur soweit es ihm von der ihn versorgenden
Betriebsspannung ermöglicht wird. Sobald also UD so groß ist, dass U2 den maximalen Wert
in positiver oder negativer Richtung erreicht, kann U2 nicht weiter steigen (die Transistoren
sind bereits voll durchgesteuert).
Abb. 5.3 zeigt diese Begrenzung für folgende Werte: +UB = +15 V, -UB = -15 V, V0=106
U2 [V]
+13
-15
U2
ideal
real
ideal
real
UD
+15
[µV]
-13
Begrenzung linear Begrenzung
Seite 5.2 von 14
UD
U0
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Abb. 5.3
Es wird deutlich, dass bereits bei einer sehr kleinen Eingangs-Differenzspannung UD von
lediglich ca. 10 µV (= 10 10-6 V) der OPV an den Anschlag getrieben wird.
Für Anwendungen als linearer Verstärker (d.h. zum Erzeugen einer zur Eingangsspannung
UD proportionalen Ausgangsspannung) ist der OPV ohne äußere Zusatzbeschaltung nicht
verwendbar.
Kleinste Eingangsspannungen, wie z.B. durch elektrostatische Aufladung der Luft, führen
bereits zum „Endausschlag“ des OPV (Übersteuerung). Für das lineare, definierte
Verstärken von Spannungen ist also der OPV von außen mit einer geeigneten Beschaltung
zu versehen (z.B. Gegenkopplung mit Ohm’schen Widerständen)
Ohne äußere Beschaltung mittels Gegenkopplung ist der OPV nur in nichtlinearer
Anwendung als Komparator einsetzbar (siehe Kap. 5.3).
Wechselspannungen:
Die Ausführungen bezüglich Linearität gelten natürlich ebenso für Wechselspannungen,
welche bei Übersteuerung sowohl im positiven als auch im negativen Bereich auf den
Maximalwert begrenzt werden.
Weiters ist für hohe Frequenzen eine Abnahme der Verstärkung und eine
Phasenverschiebung festzustellen.
Offsetspannung:
Wie die Detailansicht der Abb. 5.3 zeigt, verläuft die Kennlinie nur für idealisierte
Betrachtungen durch den Koordinaten-Nullpunkt, während in Realität die sogenannte
Offsetspannung U0 berücksichtigt werden muss.
Erklärung:
Der OPV weist zwei separate Eingänge (+,-) auf, die im Inneren zwei verschiedenen
Verstärkerstufen zugeführt werden. Nichtideale Eigenschaften des OPV (z.B.
Bauteiltoleranzen, nicht exakt identische Eigenschaften der beiden Stufen) führen nun dazu,
dass bei Anlegen der Spannung UD = 0 V der OPV am Ausgang eine von Null verschiedene
Spannung U2 erzeugt (siehe Abb. 5.3 rechts). Die Offsetspannung U0 ist nun jene
Spannung, welche als Differenzspannung UD am Eingang des OPV anzulegen ist, um U2 auf
Null zu bringen.
5.2 Lineare Anwendungen
Gegenkopplung
Wie bereits in Kap. 5.1 erläutert, ist der OPV als linearer Verstärker nur dann einsetzbar,
wenn er außen in Form einer Gegenkopplung beschaltet wird. Gegenkopplung bedeutet,
dass ein Teil der Ausgangsspannung an den invertierenden (-) Eingang rückgeführt wird,
und dort somit die verursachende Eingangsdifferenzspannung UD verringert.
Im Unterschied dazu wird bei einer Mitkopplung (siehe Kap. 5.3) ein Teil der
Ausgangsspannung des OPV auf den nicht-invertierenden (+) Eingang rückgeführt.
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5.2.1 Nicht-invertierender Verstärker
I1+ ~ 0
+ 15 V
I2
UD ~ 0
- 15 V
R1
IA
I1- ~ 0
U1
IA
Ug
U2
R2
0V
Abb. 5.4
Wirkungsweise
Aufgrund des inneren OPV- Aufbau (unendlich hoher Eingangswiderstand) können die
Eingangsströme I1+, I1- mit Null angesetzt werden.
Der Ausgangsstrom der Schaltung (I2) ist im Leerlauf Null (d.h., wenn keine weiteren
Verbraucher, bzw. wenn Verbraucher mit unendlich hohem Eingangswiderstand an U2
angeschlossen sind).
Gegenkopplung:
Die folgenden Betrachtungen gelten für den ersten, unmittelbar dem Einschalten der
Eingangsspannung U1 ( =U1+) folgenden Zeitabschnitt. Der OPV weist eine begrenzte
Reaktionsgeschwindigkeit auf, d.h., die Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung
(dU2/dt) ist aufgrund der Innenschaltung des OPV limitiert (z.B. 5 V/µs).
1. Zeitpunkt:
Es sei z.B. die Eingangsspannung U1 (=U1+, nicht-invertierend) ein positiver
Gleichspannungswert von +5 V, und U1- gleich 0 V. Der OPV verstärkt diese positive
Eingangsdifferenzspannung UD = + 5 V mit der Verstärkung V = ∞. Im ersten Augenblick
wird nun U2 auf einen positiven Wert ansteigen, und entsprechend dem SpannungsteilerVerhältnis der beiden Widerstände R1, R2 wird auch die Gegenkopplungsspannung Ug
ansteigen:
Ug
R2
=
Ug =
U2
R1 + R 2
(5.2)
R2
U2
R1 + R 2
(5.3)
Da Ug = U1- ist, wird die Spannung UD mit diesem Anstieg von Ug wie folgt kleiner:
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UD = U1+ − U1− = U1+ − Ug
(5.4)
2. Zeitpunkt:
Somit steigt U2 um einen gegenüber dem vorigen Zeitpunkt kleineren Wert an, was durch
den Spannungsteiler R1, R2 auch für Ug gilt, so dass UD ebenfalls geringer wird.
3. Zeitpunkt:
Der selbe Vorgang wiederholt sich nun mit einer wiederum kleineren Spannung UD.
Die geschilderten Vorgänge setzen sich solange fort, bis die Ausgangsspannung U2 des
OPV gerade so groß geworden ist, dass die Eingangsdifferenzspannung UD durch die von
U2 verursachte Gegenkopplungsspannung Ug zu Null geworden ist (bei unendlich hoher
Verstärkung V0 des OPV; bei realen Werten für V0 wird UD einen von Null verschiedenen,
aber sehr kleinen Wert annehmen).
U 2 = V0 UD = V0 (U1 − U g ) = V0 (U1 −
R2
U2 )
R1 + R 2
(5.5)
Dieser „Einschwingvorgang“ der Gegenkopplung wurde zeitlich gedehnt geschildert und ist
in Realität wenige µs nach dem Zuschalten von U1 (=U1+) abgeschlossen.
Resümee:
Bei Beschaltung des OPV in Form einer Gegenkopplung kann unmittelbar nach dem
Einschalten mit UD ≈ 0 V gerechnet werden. Daraus folgt (z.B. durch Ansetzen der
Kirchhoff´schen Maschengleichung für den Eingangskreis: U1 - Ug - UD = 0, mit UD = 0), dass
die Eingangsspannung U1 gleich der Gegenkopplungsspannung Ug ist.
Für den als nicht-invertierender Verstärker beschalteten OPV gilt somit folgender
Zusammenhang zwischen Ausgangsspannung U2 und Eingangsspannung U1:
U 2 = (1 +
R1
) U1
R2
(5.6)
Der Eingangsstrom I1 in dieser Schaltung ist gleich dem OPV- Eingangsstrom I1+ und somit
näherungsweise gleich Null, so dass der Eingangswiderstand des nicht-invertierenden
Verstärkers als unendlich hoch betrachtet werden kann.
5.2.2 Spannungsfolger (Impedanzwandler)
I1+ ~ 0
+ 15 V
I2
UD ~ 0
- 15 V
RL
U2
I1- ~ 0
U1
0V
0V
Abb. 5.5
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Ein Vergleich der Abb. 5.5 mit Abb. 5.4 zeigt, dass der Spannungsfolger lediglich einen
Sonderfall des nicht-invertierenden Verstärkers mit R1 → 0 und R 2 → ∞ darstellt.
Daraus folgt für den Zusammenhang zwischen U2 und U1
U 2 = (1 +
0
) U1
∞
(5.7)
U2 = U1
(5.8)
Es „folgt“ also die Ausgangsspannung U2 direkt und mit selbem Vorzeichen der
Eingangsspannung U1.
Der Sinn der Schaltung erklärt sich aus der zweiten Bezeichnung „Impedanzwandler“, denn
dieser weist einen sehr hohen (für „ideale“ OPV: unendlich hohen) Eingangswiderstand und
einen sehr kleinen (für „ideale“ OPV: Null Ohm) Ausgangswiderstand auf. Dadurch wird z.B.
eine dem OPV vorgeschaltete Schaltung nicht belastet, da von dieser kein Strom in
Richtung der hochohmigen OPV- Schaltung abfließt.
Die Energie zur Versorgung der Last RL (P = U2 I2) wird über die OPV- Versorgung
zugeführt.
5.2.3 Invertierender Verstärker
Ig
R1
R2
+ 15 V
Ie
I1-~0
I2=0
UD~0
Ia
- 15 V
I1+~0
U1
Ug
U2
0V
Abb. 5.6
Hier wird wiederum eine Gegenkopplung angewendet, d.h. Rückkopplung des Ausgangs auf
den invertierenden (-) Eingang.
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Wirkungsweise
Auf Grund seines inneren Aufbaus (unendlich hoher Eingangswiderstand) können die
Eingangsströme I1+, I1- mit Null angesetzt werden.
Der Ausgangsstrom der Schaltung (I2) ist im Leerlauf Null (d.h., wenn keine weiteren
Verbraucher an U2, bzw. wenn Verbraucher mit unendlich hohem Eingangswiderstand
angeschlossen sind).
Gegenkopplung:
Die folgenden Betrachtungen gelten für den ersten, unmittelbar auf das Einschalten der
Eingangsspannung U1 folgenden Zeitabschnitt.
1. Zeitpunkt:
Es sei z.B. die Eingangsspannung U1 ein positiver Gleichspannungswert von +5 V, während
U1+ durch die Verbindung zur Masse (0 V) immer Null Volt beträgt, so dass im ersten
Zeitpunkt UD gleich -5V ist. Der OPV verstärkt nun diese negative UD mit V0 = ∞. Im ersten
Augenblick wird nun U2 auf einen negativen Wert ansteigen, d.h., dass nun folgender
Ersatzstromkreis vorliegt:
Ig
R1
R2
Ie
Ia
U1
Ug
0V
U2
0V
Abb. 5.7
Da nun U1 positiv ist und U2 negativ wird, verschiebt sich auch die GegenkopplungsSpannung Ug ( = U1- des OPV) mit negativer werdender U2 in negative Richtung
(entsprechend dem Spannungsteiler-Verhältnis der beiden Widerstände R1, R2).
Durch die negativer werdende OPV- Eingangsspannung U1- (= Ug) wird UD kleiner, so dass
auch der Anstieg von U2 (=V0 UD) kleiner wird.
Dieser Vorgang wiederholt sich nun solange, bis die Ausgangsspannung U2 des OPV
gerade so groß geworden ist, dass die Eingangsdifferenzspannung UD durch die von U2
verursachte Gegenkopplungsspannung Ug zu Null geworden ist (bei unendlich hoher
Verstärkung V0 des OPV), bzw. bei realen Werten für V0 wird UD einen von Null
verschiedenen, aber sehr kleinen Wert annehmen.
Anmerkung: Für negative Eingangsspannungen ergeben sich negative Werte für die Ströme
entsprechend dem Stromzählpfeilsystem von Abb. 5.7, d.h. der Strom (positive
Ladungsträger) fließt physikalisch entgegengesetzt zur Richtung der Strompfeile.
Dieser ganze „Einschwingvorgang“ der Gegenkopplung wurde zeitlich gedehnt geschildert
und ist in der Realität unmittelbar nach dem Einschalten der Eingangsspannung U1
abgeschlossen.
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Resümee
Bei Beschaltung des OPV mit einer Gegenkopplung kann unmittelbar nach dem Einschalten
mit UD ≈ 0 V, also mit Ug ≈ 0 V gerechnet werden.
Durch Anwendung der Kirchhoff´schen Knotenregel erhält man folgende Beziehung:
I1 = Ig
U1 − U g
R1
=
− (U 2 − U g )
U1 − U 2
=
R1
R2
R2
mit Ug = 0 V
Für den als invertierender Verstärker beschalteten OPV gilt somit folgender Zusammenhang
zwischen Ausgangsspannung U2 und Eingangsspannung U1:
U2 = −
R2
U1
R1
(5.9)
U1 wird also mit dem Faktor R2/R1 verstärkt und invertiert, das bedeutet für
Gleichspannungen eine Vorzeichenumkehr, bzw. für Wechselspannungen eine
Phasenverschiebung von 180°.
Der Eingangsstrom I1 in diese Schaltung ist, wie die Abb. 5.6 zeigt, im Gegensatz zum nichtinvertierenden Verstärker nicht gleich dem OPV- Eingangsstrom (I1-) sondern gleich dem
über die Gegenkopplung fließenden Strom Ig und somit auch nicht näherungsweise gleich
Null. Folglich ist der Eingangswiderstand des invertierenden Verstärkers nicht unendlich
hoch.
Linearität
Man sieht bei den bisherigen Schaltungen, dass die Ausgangsspannung U2 jeweils durch die
äußere Beschaltung mit Widerständen bestimmt in einem linearen (proportionalen)
Verhältnis zur Eingangsspannung U1 steht. Dies gilt jedoch immer nur für den Fall, dass der
OPV nicht übersteuert wird, also U2 sich immer zwischen Ua,max und Ua,min bewegt.
Beispiel:
Invertierender Verstärker, U1 = 2 V, Scheitelwert, Sinus,
R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ
10
--> U 2 =
U1 = 20 V, Scheitelwe rt, Sinus (siehe Abb. 5.8)
1
Es ergibt sich ein sinusförmiger, zu u1(t) proportionaler Verlauf von u2(t)
lediglich in jenen Zeitintervallen, in welchen der OPV nicht übersteuert wird,
während in den übrigen Bereichen die Sinus-Spannung „abgekappt“ wird.
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u(t)
[V]
u2(t)
20
13
2
t
-2
10
[ms]
20
u1(t)
-13
-20
Abb. 5.8
Bei Übersteuerung des OPV verliert jede linear angewendete OPV- Schaltung ihre
Linearität!
5.3 Nichtlineare Anwendungen
5.3.1 Komparator
+ 15 V
I1-~0
I1+~0
Ue1
I2=0
- 15 V
Ue2
U2
0V
Abb. 5.9
Wie bereits in Kap. 5.1 angeführt, kann der unbeschaltete OPV nicht als linearer Verstärker
verwendet werden. Die einzige Anwendung des OPV ohne äußere Beschaltung stellt der
Vergleich zweier Spannungen dar („Komparator“).
In dieser Schaltung erzeugt der OPV am Ausgang - abhängig vom Vorzeichen der
Eingangsdifferenzspannung UD und somit abhängig davon, ob Ue1 größer oder kleiner als
Ue2 ist - entweder die maximale Spannung U2,max = UB - 2 V, oder die minimale Spannung
U2,min = -UB - (- 2 V).
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U 2 = U 2,max = +UB − 2 V ..... für U e1 > U e 2
(5.10)
U 2 = U 2,min = −UB + 2 V ..... für U e1 < U e 2
(5.11)
Dieser Sachverhalt ist in Abb. 5.10 graphisch dargestellt.
∆U ~ 20 µV
U2
U2,max
Ue1
Ue1=Ue2
U2,min
Abb. 5.10
5.3.2 Schmitt- Trigger (Schwellwert-Schalter)
Die Schaltung als Schmitt- Trigger ist derzeit nicht Inhalt und Lernstoff der Laborübungen
und dient hier lediglich zur Abrundung des Themas.
Die äußere Beschaltung zeigt große Ähnlichkeit mit jener des nicht-invertierenden
Verstärkers, mit dem wichtigen Unterschied, dass die Rückführung des Ausgangssignals
zum nicht-invertierenden (+) -Eingang hin erfolgt (Prinzip der Mitkopplung).
I1- ~ 0
+ 15 V
UD
R1
- 15 V
IA
I1+ ~ 0
U1
IA
Um
U2
R2
0V
0V
Abb. 5.11
Beachte: UD ≠ 0 V (wie die folgenden Erklärungen zeigen).
Wirkungsweise
Der OPV an sich hat wiederum einen unendlich hohen Eingangswiderstand, so dass die
Eingangsströme mit Null angesetzt werden können (I1+ = I1- = 0).
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Wie beim nicht-invertierenden Verstärker kann somit das Spannungsteiler-Verhältnis der
Widerstände R1, R2 aufgestellt werden:
Mitkopplung:
Negativer Schwellwert:
Es sei z.B. die Eingangsspannung U1 ( = U1-, invertierend) eine positive Gleichspannung von
+5 V, und U1+ gleich Null V. Der OPV verstärkt nun diese negative EingangsspannungsDifferenz UD = - 5 V mit der Verstärkung V0 = ∞. Im ersten Augenblick wird nun U2 auf einen
negativen Wert ansteigen und entsprechend dem Spannungsteiler-Verhältnis der beiden
Widerstände R1, R2 wird auch die Mitkopplungsspannung Um ansteigen:
Um =
R2
U2
R1 + R 2
(5.12)
Da Um = U1+ ist, wird UD jedoch mit diesem Anstieg von Um vergrößert:
UD = U1+ − U1− = Um − U1−
Das bedeutet, dass der OPV seine Ursache, i.e. die Spannung UD, vergrößert, und dadurch
eine größere Spannung U2 erzeugen will (im Gegensatz zum nicht-invertierenden
Verstärker, welcher UD bis auf Null verkleinert). Aus Kap. 5.1 ist bereits bekannt, dass U2
betragsmäßig begrenzt ist, und bei der kleinsten Abweichung der Spannung UD von Null - je
nach Polarität - den maximalen oder den minimalen Wert annimmt. Der OPV nimmt also bei
positiver Eingangsspannung U1 ( = U1-) sofort den minimalen Wert (-UB + 2V), z.B. -13 V, an.
Daraus ergibt sich für Um ein von den Widerständen R1, R2 abhängiger, ebenfalls negativer
Wert.
Um,min =
R2
U 2,min
R1 + R 2
(5.13)
Solange nun U1 positiver ist als dieser negative Wert von Um („negativer Schwellwert“), ist UD
< 0 V und U2 = U2,min bzw. Um = Um,min.
Positiver Schwellwert:
Wenn nun U1 negativer wird als der genannte negative Wert von Um, dann wird UD > 0 V,
und U2 springt sofort auf den maximalen Wert (+UB - 2 V), bzw. Um daraus resultierend
ebenfalls auf einen maximalen, positiven Wert.
Um,max =
R2
U 2,max
R1 + R 2
(5.14)
Solange nun U1 negativer ist als dieser positive Wert von Um („positiver Schwellwert“), ist
UD > 0 V und U2 = U2,max, bzw. Um = Um,max.
Im folgenden Beispiel sind diese Ausführungen exemplarisch für eine sinusförmige
Eingangsspannung U1 skizziert. Dabei ist die sehr hohe Übergangsgeschwindigkeit, welche
durch den OPV- Typ bestimmt wird, durch Doppelpfeile dargestellt.
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U2
u(t)
+13
-2
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[V]
u2(t)
13
U1
2
u1(t)
t
2
[ms]
-2
-13
-13
Abb. 5.12
Beispiel:
Abb. 5.13
(Abb.5.12 und 5.13):U1 = 2 Veff, Sinus
U2,max = +13 V
R1 = 5.5 kΩ
U2,min = -13 V
R2 = 1 kΩ
1
13 = +2 V
Um,max =
5. 5 + 1
1
Um,min =
( −13) = −2 V
5. 5 + 1
Im Unterschied zum Komparator, welcher für positive und für negative Richtung ein und
denselben Schwellwert aufweist, sind diese beim Schmitt- Trigger unterschiedlich. Es
besteht eine Schalthysterese zwischen positivem und negativem Schwellwert (siehe Abb.
5.10, Abb. 5.12).
5.3.3 Astabiler Multivibrator
Die Schaltung als astabiler Multivibrator ist derzeit nicht Inhalt und Lernstoff der
Laborübungen und dient hier lediglich zur Abrundung des Themas.
I1- ~ 0
+ 15 V
UD
R3
- 15 V
R1
IA
C
I1+ ~ 0
U1
IA
Um
0V
U2
R2
0V
Abb. 5.14
Seite 5.12 von 14
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Die Schaltung des astabilen Multivibrators ist ein Schmitt- Trigger, dessen
Ausgangsspannung über einen RC- Tiefpass wieder auf den Eingang rückgeführt wird
(Abb. 5.14).
Zur Erläuterung sei Abb. 5.15 betrachtet:
Das bereits bekannte Kippen der Ausgangsspannung ist strichpunktiert dargestellt, wie es
für einen reinen Schmitt- Trigger auftreten würde, wobei für die Anschaulichkeit dieselben
Kippspannung (+2 V, -2 V) wie in Abb. 5.13 gewählt wurde.
Wenn man vom Schmitt- Trigger ausgeht, dann würde die Ausgangsspannung des OPV
immer dann auf -13 V springen, wenn U1 größer wird als +2 V, bzw. auf +13 V, wenn U1
kleiner als -2 V wird.
U1
[V]
τ
13
2
t
-2
5
10
15
20
25
30
[ms]
U2,Schm.-Tr.
-13
Abb. 5.15
Nun ist jedoch die Wirkung des Kondensators C zu berücksichtigen, welcher über den
Widerstand R3 von der Ausgangsspannung U2 des OPV aufgeladen. In Abb. 5.16 ist dieses
Detail der Aufladung eines Kondensators über einen Widerstand nochmals gezeichnet (mit
denselben Spannungsbezeichnungen wie in Abb. 5.14), für welches bekanntermaßen gilt:
UC = U1 = U 2 (1 − e
−
t
τ
(5.15)
)
mit
τ = R3 C
(5.16)
Daraus wird deutlich, dass sich die Kondensatorspannung (d.h. die Eingangsspannung U1
des Multivibrators) gemäß einer e-Funktion an die vorne anliegende, rechteckförmige
Spannung (d.h. Ausgangsspannung U2 des OPV) annähert (Abb. 5.17).
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u(t)
[V]
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τ
13
u2(t)
u1(t)
R3
U2
C
U1
0V
t
5
10
Abb. 5.16
15
20
25 [ms]
Abb. 5.17
Der Ladevorgang in der Abb. 5.17 ist im Spannungsverlauf des Multivibrators (siehe
Abb. 5.15) deutlich wiederzuerkennen. Bei einem gerade aktuellen Wert der OPVAusgangsspannung U2 von +12 V steigt die Eingangsspannung U1 ausgehend von -2 V
gemäß einer e-Funktion mit dem Endwert +12 V an (punktierter Verlauf), und sobald U1 den
Wert der positiven Kippspannung (in diesem Beispiel +2 V) erreicht, springt U2 auf -12 V.
Nun gelangt diese negative Spannung an den Tiefpass (bestehend aus R3, C), so dass sich
der Kondensator C unmittelbar auf den Wert -12 V umzuladen beginnt, und die Spannung
U1 gemäß einer e-Funktion mit dem Endwert -12 V absinkt, bis diese den Wert der
negativen Kippspannung (-2 V) erreicht hat und sich das Spiel wiederum umkehrt.
Der astabile Multivibrator weist keinen stabilen Zustand auf, er erzeugt vielmehr eine
Dauerschwingung mit dem in Abb. 5.15 gezeigten Verlauf, wobei der Wert des
Umschaltpunktes (im gezeigten Beispiel +2 V, -2 V) von den Werten des Widerstandsteilers
R1, R2 abhängt, die Frequenz wird weiters auch von den Werten R3 und C bestimmt wird
τ = RC .
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6 Elektrische Energieverteilung, Sicherheitstechnik
6.1 Elektrische Energieverteilung
KraftwerksGenerator
Trafo
Trafo
Trafo
Haushalt
G
Höchstspannungsnetz Hochspannungsnetz Mittelspannungsnetz Niederspannungsnetz
(220 kV)
(110 kV)
(20 kV)
(400 V)
Abb. 6.1
Abb. 6.1 zeigt das prinzipielle Schema der Energieübertragung vom Kraftwerksgenerator
bis hin zum Hausanschluss. Dabei werden für die Überwindung der längsten Distanzen
höchste Spannungsniveaus verwendet, die dann zur Feinverteilung auf niedrigere Niveaus
transformiert werden, bis hin zur 400 V - Spannungsverteilung (verkettete Spannung im
unmittelbaren Siedlungsbereich.
Die elektrische Energieübertragung über große Distanzen erfolgt auf möglichst hohem
Spannungsniveau, um die Verluste in den Zuleitungen gering zu halten.
Diese Aussage soll anhand folgender Abb. 6.2 veranschaulicht werden:
RL
I
UG
UL
UN
PN
Abb. 6.2
Ausgangspunkt der Überlegungen ist als Verbraucher z.B. eine Transformatorstation mit
einer bestimmten Leistungsaufnahme PN, die als konstante Größe vorgegeben sei (z.B.
200 kW zur Versorgung einer Siedlung). UN bezeichnet die „Netzspannung“, mit welcher der
Verbraucher gespeist werden soll.
Seite 6.1 von 8
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Die Formel für die vorgegebene Leistungsaufnahme des Verbrauchers lautet:
PN = I UN
(6.1)
Der gesamte Leitungswiderstand der Hin- und Rückleitung ist durch RL symbolisiert und wird
durch folgende allgemeine Formel berechnet:
RL =
ρl
A
(6.2)
wobei
ρ .... spezifischer Widerstand des Leitermaterials
l ..... gesamte Leitungslänge
A ... Leitungsquerschnittsfläche
Die gesamte Verlustleistung PL der Leitung (Hin- und Rückleitung) ergibt sich zu:
PL = I UL = I 2 R = I2
ρl
A
(6.3)
Mit Berücksichtigung der Gleichung (6.1) folgt für die Leitungsverluste PL:
2
 P  ρ⋅l
PL =  N 
 UN  A
(6.4)
Nachdem der spezifische Widerstand ρ für ein bestimmtes Leitermaterial und die
Leitungslänge l vorgegeben sind, kann eine Verringerung der Verlustleistung PL in der
Leitung lediglich durch Erhöhung der Spannung UN oder durch Erhöhung des
Leitungsquerschnittes A erfolgen.
Da einerseits der Erhöhung des Querschnittes A naturgemäß Grenzen gesetzt sind und
andererseits durch die quadratische Abhängigkeit die Beeinflussung der Spannung größere
Auswirkung auf eine Verringerung von PL besitzt, werden zur Energieübertragung über weite
Distanzen hohe Spannungsniveaus verwendet.
Anmerkung:
Im Zuge einer Harmonisierung der Spannungsniveaus verschiedener Staaten wurde vor
einigen Jahren das damalige Niveau 220 V, bzw. 380 V auf das Niveau 230 V, bzw. 400 V
geändert.
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6.2 Schutzmaßnahmen in Elektrischen Netzen
6.2.1 „5 Sicherheitsregeln“
Für das Arbeiten an elektrischen Anlagen sind folgende fünf Sicherheitsregeln in der
angegebenen Reihenfolge unbedingt einzuhalten:
1.
2.
3.
4.
5.
Allpolig und allseitig abschalten !
Gegen Wiedereinschalten sichern !
Auf Spannungsfreiheit prüfen !
Erden und Kurzschließen !
Benachbarte spannungsführende Teile abdecken und
Gefahrenstellen eingrenzen !
Vor dem Wiedereinschalten der Anlage ist sinngemäß in umgekehrter Reihenfolge
vorzugehen !
6.2.2 Berühren spannungsführender Teile
In der einführenden Sicherheitsbelehrung wurde erklärt, dass international genormt
Spannungen über 50 V (Effektivwert) als gefährlich eingestuft werden, so dass deren
Berühren unter allen Umständen verhindert werden muss.
Prinzipiell gibt es zwei Möglichkeiten, mit spannungsführenden Teilen von elektrischen
Verbrauchern in Berührung zu kommen.
Direktes Berühren
Damit wird das Berühren von betriebsmäßig unter Spannung stehenden Teilen verstanden,
wie z.B. beim Öffnen des Gerätegehäuses zu Reparaturzwecken. Dieses Berühren setzt
also ein Fehlverhalten des Bedieners voraus, indem die fünf Sicherheitsregeln für Arbeiten
an elektrischen Anlagen nicht vollständig eingehalten wurden.
Indirektes Berühren
Dies bezeichnet das Berühren von betriebsmäßig nicht unter Spannung stehenden
Anlagenteilen, wie z.B. das Metallgehäuse eines Heizstrahlers. Hier liegt also kein
Bedienungsfehler vor, sondern es ist die Folge eines Isolationsfehlers zwischen inneren
spannungsführenden Geräteteilen und dem außen zugänglichen Gehäuse.
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6.2.3 Schutz vor indirektem Berühren
Wenn auch jedes elektrische Gerät mit einer Isolation versehen ist, so muss doch davon
ausgegangen werden, dass diese im Lauf der Zeit altert und schadhaft werden kann.
Folglich sind zusätzliche Maßnahmen notwendig, um indirektes Berühren von
spannungsführenden Geräteteilen zu verhindern, wobei man - abhängig vom verwendeten
Gerätetyp - prinzipiell drei Schutzprinzipien unterscheidet.
Schutzkleinspannung
Geräte, die mit Spannungen bis maximal 42 V betrieben werden ( = „Schutzkleinspannung“), benötigen keinen besonderen Berührungsschutz. Derartige Verbraucher
finden für kleine Leistungen sowie bei besonderen Sicherheitsauflagen Anwendung (z.B.
Klingel, Türöffner, Kinderspielzeug mit max. 24 V).
Da die Leistung gleich ist dem Produkt aus Spannung und Strom, würden beim Betrieb
eines Verbrauchers mit größerer Leistung (z.B. Heizstrahler) bei Verwendung einer derart
kleinen Spannung große Ströme fließen. Dies würde größere Verluste erzeugen und höhere
Leitungsquerschnitte erfordern, so dass deren Betrieb an kleiner Spannung nicht sinnvoll ist.
Die Anschlussstecker dürfen keinesfalls in Steckdosen für höhere Spannung (z.B. 220 V Steckdose) passen, um Beschädigungen des Geräts zu vermeiden !
Schutzisolierung
Unterwerk
(Drehstromtrafo)
230 V
L1
Haushalts-Stromkreis
Schuko-Steckdose
Sicherungen ("Schutzkontakt")
L2 400 V
elektrischer
Verbraucher
L3
N
PE
Verlängerungs- Gerätekabel
Anschlußkabel
Basisisolierung
(Betriebsisolierung)
Abb. 6.3
Seite 6.4 von 8
Schutzisolierung
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Geräte mit Schutzisolierung weisen zusätzlich zur Betriebsisolierung (Basisisolierung) eine
zweite Isolierung auf, womit selbst bei der oben angeführten Möglichkeit einer schadhaften
Betriebsisolierung weiterhin Berührungsschutz besteht (Abb. 6.3).
Die Anschlusskabel dieser Geräte weisen keinen Schutzleiter (s.u.) auf und sind somit mit
dem typischen, zweipoligen Flachstecker versehen.
Da der Schutz durch die zusätzliche Isolierung erfolgt, darf kein Kabel mit Schutzleiter (s.u.)
direkt an das Gerät angeschlossen werden. Die Anschlusskabel dieser Geräte bilden also
eine untrennbare Einheit mit dem Gerät und können nicht vom Gerät abgesteckt werden.
Dadurch wird gewährleistet, dass ein Kabel mit Schutzleiter (z.B. herkömmliches
Verlängerungskabel, wie in Abb. 6.3 gezeigt) nicht direkt an das Gerät sondern lediglich an
das geräte- eigene Anschlusskabel angeschlossen wird und der Schutzleiter (PE-Leiter; s.u.)
nicht zum Gerät gelangt.
Abb. 6.4: Symbol auf schutzisolierten Geräten
Das Symbol in Abb. 6.4 gibt an, dass das betreffende Gerät schutzisoliert ist.
Schutzleiter
Geräte mit elektrisch leitfähigem Gehäuse müssen
die Versorgungsspannung angeschlossen werden.
leitende Verbindung zwischen Gehäuse und dem
Transformators dar. Der Schutzleiter wird auch
Earth“).
über einen sogenannten Schutzleiter an
Dieser Schutzleiter stellt eine elektrisch
Mittelpunkt (Nullpunkt) des speisenden
als PE- Leiter bezeichnet („Protection
Der Schutzleiter hat eine genormte, grün-gelb gestreifte Farbe und darf keinesfalls an
spannungsführende Leitungen angeschlossen werden !
Die Anschlusskabel weisen rundliche Schutzkontakt-Stecker („Schuko“-Stecker) auf, welche
neben den zwei Betriebsleitungen für den Stromhinfluss und Stromrückfluss den
Schutzleiterkontakt in doppelter Ausführung enthalten.
Als Beispiel wird in den Abb. 6.5 und 6.6 ein einphasiger 230 V - Verbraucher betrachtet, für
welchen die Spannung der angedeuteten 230 V - Steckdose durch Verbindung der
Hausanschlussleitung mit Phase und Mittelpunkt im Unterwerk hergestellt wird (siehe Kap. 3
- dreiphasige Verbraucher). Vom Unterwerk ist die in Stern geschaltete Sekundärseite des
speisenden Drehstromtransformators dargestellt. Bei Sternschaltung eines dreiphasigen
Erzeugers oder Verbrauchers liegt zwischen zwei Außenleitern (Phasen) die „verkettete“
Spannung (400 V für das Haushalts-Stromnetz) und zwischen einer Phase und dem
Mittelpunkt (Nullpunkt) die Phasenspannung (= Uverk/√3 = 230 V bei Uverk = 400 V) an.
Daraus ergeben sich die beiden in Haushalten verfügbaren Spannungsniveaus (230 V für
einphasige Steckdosen und 400 V für Drehstromsteckdosen, z.B. Waschmaschine).
FI- Schutzschalter
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Der FI- Schutzschalter, auch Fehlerstrom-Schutzschalter genannt (F ... für Fehler, I ... für
Stromstärke), dient zur Differenzstrom-Überprüfung (siehe Abb. 6.5 und Abb. 6.6). Wenn I1
gleich I2 ist, dann bleibt der FI- Schutzschalter inaktiv, wenn jedoch I1 ≠ I2 wird, dann ist dies
auf jeden Fall ein Fehlerfall, da der Strom nicht mehr betriebsmäßig über den N-Leiter
zurückfließt, und der FI- Schutzschalter löst aus, d.h. er unterbricht die Stromzufuhr zum
Verbraucher (strichliert eingezeichneter Wirkpfeil am FI- Schutzschalter in Abb. 6.5,
Abb. 6.6).
Der FI- Schutzschalter ist im Haushalts-Verteilerkasten montiert und sollte monatlich einmal
mit der Prüftaste ( = bewusste, gezielte Auslösung mittels kleinem Prüf-Differenzstrom) auf
Funktionsfähigkeit überprüft werden.
FI- Schutzschalter im Normalbetrieb
Unterwerk
(Drehstromtrafo)
230 V
L1
L2
Haushalts-Stromkreis
Sicherungen
I1
Schuko-Steckdose
("Schutzkontakt")
400 V
L3
FI-Schutzschalter
N
I2
elektrischer
Verbraucher
PE
Abb. 6.5: Normalbetrieb: FI- Schutzschalter löst nicht aus
Im normalen Betriebsfall fließt der Strom von L1-Anschluss des Unterwerkes über den FISchutzschalter, Verbraucher und wieder FI- Schutzschalter zurück zum Mittelpunkt des
speisenden Trafos.
In diesem Fall ist die Größe des hinfließenden Stromes I1 gleich jener des rückfließenden
Stromes I2, der FI- Schutzschalter löst nicht aus und der Stromkreis bleibt aktiv.
FI- Schutzschalter im Fehlerfall
Wenn ein Isolationsfehler auftritt, so dass die innen im Verbraucher vorhandene Spannung
an das äußere Gehäuse gelangt (in Abb. 6.6 symbolisch durch den Strompfeil dargestellt),
dann fließt der eigentliche Rückstrom I2 entweder teilweise oder vollständig über das
Gehäuse und den Schutzleiter zum Mittelpunkt des Trafos zurück.
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Unterwerk
(Drehstromtrafo)
230 V
L1
L2
L3
N
PE
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Haushalts-Stromkreis
Schuko-Steckdose
I1 ("Schutzkontakt")
Sicherungen
400 V
FI-Schutzschalter
IF
I2
elektrischer
Verbraucher
Abb. 6.6: Fehlerbetrieb: FI- Schutzschalter löst aus
Das Wirkungsprinzip des FI- Schutzschalters hat zwei Vorteile:
•
Die Spannung bleibt nicht am Gehäuse bestehen (was den Bediener bei Berührung
gefährden würde), sondern die Spannung wird durch den Stromfluss über den
Schutzleiter sofort abgebaut.
•
Der über den FI- Schutzschalter rückfließende Strom I2 ist nicht mehr gleich groß wie
der hinfließende Strom I1, sondern wesentlich kleiner, so dass der FI- Schutzschalter
sofort bei Erkennen der Ungleichheit auslöst und den Stromkreis unterbricht.
6.2.4 Überstrom- Schutzeinrichtungen
Während FI- Schutzschalter als Fehlerstromschutz fungieren, wirken Sicherungen und
Sicherungsautomaten als Überstromschutz.
Die Überstrom-Schutzorgane sind in Abb. 6.3, 6.5 und 6.6 vereinfacht mit „Sicherungen“
bezeichnet, obwohl im Haushaltsbereich die früher verwendeten Schmelzsicherungen
vielfach durch Sicherungsautomaten ersetzt wurde.
Leitungsschutzsicherungen (Schmelzsicherungen)
Die Sicherungspatrone aus Porzellan ist in ihrem zylindrischen Hohlraum mit trockenem
Sand gefüllt, in welchem der stromführende Leiter als feiner „Schmelzdraht“ verlegt ist.
Wenn durch einen Fehler ein über dem Nennstrom der Sicherung fließender Strom auftritt,
dann „schmilzt“ der feine Draht innerhalb der Sicherung durch und unterbricht somit den
Stromfluss. Der umgebende Sand ist ein schlechter Wärmeleiter, um zu verhindern, dass
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sich der Schmelzdraht bei einem Überlaststrom abkühlt, noch bevor er abschmilzt und den
Stromkreis unterbricht.
Leitungsschutzschalter (Sicherungsautomaten)
Diese vereinigen ebenso wie die Sicherungsautomaten die zwei Funktionen Überlastschutz
und Kurzschlussschutz in folgender Weise:
Überlastschutz:
Bei kleineren Überströmen unterbricht der Automat erst verzögert den Stromfluss, wenn
diese Überströme länger andauern.
Kurzschlussschutz:
Bei einem großen Überstrom (z.B. Kurzschluss im angeschlossenen Gerät) löst der Automat
sofort aus und unterbricht den Stromfluss.
Der Vorteil der Sicherungsautomaten ist ihre Wieder-Einschaltbarkeit nach Behebung des
Störfalles gegenüber dem notwendigen Sicherungstausch bei Schmelzsicherungen.
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7 Magnetismus
7.1 Grundlagen magnetischer Kreise
Im folgenden wird die Vorgehensweise bei der Untersuchung eines magnetischen Kreises
erläutert.
a.) Magnetische Durchflutung
Ausgangspunkt sei ein stromdurchflossener Leiter. Wenn ein Leiter aus mehreren
Windungen besteht, dann trägt der Stromfluss jeder Windung zum Erzeugen eines
Magnetfeldes bei.
Daraus ergibt sich die Definition für die magnetische Durchflutung
Θ = wI
[A]
(7.1)
welche die „Ursache“ des Magnetfeldes (= Summe aller in den Windungen fließenden
Ströme) darstellt. Die magnetische Durchflutung ist umso größer, je mehr
stromdurchflossene Windungen vorhanden sind.
b.) Magnetische Erregung
Aus dem Durchflutungsgesetz (vereinfacht für einen geschlossenen Kreis aus nur einem
Material, z.B. geschlossener Eisenring)
H lm = w I
(7.2)
folgt für magnetische Erregung (auch magnetische Feldstärke genannt) :
H=
wI
lm
[A/m]
(7.3)
wobei lm die mittlere Länge des magnetischen Pfades ist.
Die magnetische Erregung ist bei gegebener Geometrie und Windungszahl proportional zur
Stromstärke I.
c.) Magnetische Flussdichte, Hysteresekurve
Die magnetische Erregung H erzeugt nun eine magnetische Flussdichte B, deren Größe
sich aus der Hysteresekurve ergibt.
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Der Zusammenhang zwischen erzeugender magnetischer Erregung H und erzeugter
Flussdichte B lautet:
B = µH = µ
wI
lm
[T] oder [Vs/m2]
(7.4)
Für die Permeabilität µ gilt:
µ = µ 0 µr
(7.5)
wobei
µ0 ... Permeabilitätskonstante in Vakuum (= 4π 10-7 [Vs/Am])
µr ... Permeabilitätszahl des verwendeten Materials:
µr = 1 in Luft,
µr >> 1 in ferromagnetischer Materie (gemäß Hysteresekurve).
Sättigungsbereich µ r = 1
B
µr >> 1
Neukurve
in ferromagnetischer Materie
BR
Luft µ r = 1
HC
H
Abb. 7.1
Für Luft ergibt sich also ein proportionaler Zusammenhang zwischen B und H mit sehr
kleinen erzeugten Flussdichten B gemäß dem kleinen Proportionalitätsfaktor µ=µ0 (strichliert
eingezeichnete Gerade in Abb. 7.1).
In einem geschlossenen, ferromagnetischen Kreis (z.B. Eisenring) ist µr nicht konstant,
sondern von H abhängig und wesentlich größer als in Luft. Daher ist auch die erzeugte
Flussdichte B nicht konstant, sondern verläuft entlang der werkstoffabhängigen
Hystereseschleife des verwendeten Materials mit wesentlich höheren Werten als in Luft.
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Man kann sich dies veranschaulichen, wenn man bedenkt, dass die magnetische
Permeabilität µ auch magnetische Leitfähigkeit genannt wird, da eben bei hohen Werten für
µr (also bei ferromagnetischen Materialien) aus einer gegebenen magnetischen Erregung H
ein großes Magnetfeld B erzeugt wird (siehe Gleichung (7.4)), das Material also magnetisch
leitfähiger ist.
d.) Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss Φ symbolisiert die Summe aller magnetischen Feldlinien in der
betrachteten Materie.
Die magnetische Flussdichte B ist der magnetische Fluss Φ bezogen auf die betrachtete
Querschnittsfläche A, also die Summe der magnetischen Feldlinien pro Querschnittsfläche.
B=
φ
A
(7.6)
Durch Umformung von (7.6) errechnet sich der magnetische Fluss mit
φ=BA
[Vs]
(7.7)
Die Hysteresekurve gibt den Magnetisierungsbedarf, d.h. die notwendige magnetische
Erregung H, an, um eine bestimmte magnetische Flussdichte B (und in der Folge einen
magnetischen Fluss φ) zu erzeugen.
Der Zusammenhang zwischen B und H ist lediglich für Luft linear (in Abb. 7.1 strichliert
eingezeichnet), jedoch ist das von einer bestimmten magnetischen Erregung erzeugte
Magnetfeld (Flussdichte B) in Luft wesentlich geringer als in ferromagnetischen Materialien.
Bei ferromagnetischen Materialien verläuft B in Abhängigkeit von H lediglich beim
erstmaligen Magnetisieren des Materials vom Koordinaten-Nullpunkt beginnend
(strichpunktiert eingezeichnete Kurve in Abb. 7.1, auch „Neukurve“ genannt).
Der Normalfall ist, dass im Material auch bei Abschalten der magnetischen Erregung H noch
ein Restmagnetismus erhalten bleibt (Remanenzflussdichte BR in Abb. 7.1). Erst bei einer
Magnetisierung des Materials in der Größe der sogenannten „Koerzitiv- Erregung“ HC mit
entgegengesetzter Polarität (z.B. Änderung der Stromflussrichtung) geht die Flussdichte B
gegen Null.
Bei Wechselströmen erfolgt ein ständiger Wechsel der Stromflussrichtung (siehe
Sinusschwingung), so dass also in ferromagnetischer Materie ständig die Hysteresekurve
entlang der Schleife durchfahren wird („Hystereseschleife“)..
Die Fläche der Hysterese- Schleife ist ein Maß für die auftretenden Verluste durch das
Ummagnetisieren.
Materialien mit schmaler Hysterese- Schleife können mit geringeren Verlusten
ummagnetisiert werden („weichmagnetische Materialien“) und werden folglich für
Maschinen, Transformatoren verwendet, welche Wechselströmen ausgesetzt sind.
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Materialien mit breiter Hystereseschleife verursachen bei Wechselströmen größere Verluste
(„hartmagnetische Materialien“) und werden deshalb für Dauermagnete verwendet, welche
das Magnetfeld beibehalten sollen. Denn je breiter die Hystereseschleife ist, desto größer ist
die Remanenzflussdichte BR auf der Ordinate, welche nach Abschalten der Magnetisierung
(H=0) erhalten bleibt.
Das magnetische Wechselfeld ist lediglich dann ebenfalls sinusförmig (sinusförmiger Verlauf
von B und φ), wenn der die Erregung H erzeugende Strom nur so groß ist, dass die
Flussdichte B noch im näherungsweise linearen Bereich liegt (andernfalls geht die
Proportionalität zwischen H und B verloren, und ein sinusförmiger Strom erzeugt keine
sinusförmige Flussdichte B mehr → Sättigungsbereich der Hysteresekurve, „das
ferromagnetische Material geht in Sättigung“).
7.2 Aufnahme der Hysteresekurve
Die Darstellung der Hysteresekurve erfolgt mit dem Oszilloskop (siehe Abb. 7.2), welches
lediglich Spannungen als Eingangsgrößen verarbeiten kann. Daher ist es notwendig,
spannungsproportionale Zusammenhänge der Größen B und H herzustellen:
• zwischen der magnetischen Erregung H und einer Spannung ux, welche an den
horizontalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird,
• sowie zwischen der magnetischen Flussdichte B und einer Spannung uy, die an den
vertikalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird.
i2
i1
ux
u1
R2
u2
i=0
Oszi
uy
C
i2
R1
Abb. 7.2
Zusammenhang zwischen H und ux
Das Magnetfeld in der gezeigten Messanordnung wird vom Strom i1 erzeugt, welcher
zusammen mit den w Windungszahlen die magnetische Durchflutung Θ bildet. Die dadurch
hervorgerufene magnetische Erregung H ergibt sich gemäß Gleichung (7.3) zu:
H=
w i1
lm
(7.8)
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Der Strom i1 ruft am Widerstand R1 gemäß Ohm’schen Gesetz eine proportionale Spannung
ux hervor:
u x = i1 R1
(7.9)
Somit erhält man den gesuchten proportionalen Zusammenhang
darzustellenden Größe H und der darstellbaren Spannung ux:
H=
zwischen
w
ux
l m R1
der
(7.10)
Zusammenhang zwischen B und uy
Das Induktionsgesetz gibt die Spannung ui an, welche bei einer zeitlichen Änderung des
einen Leiter durchsetzenden Magnetfeldes im Leiter erzeugt („induziert“) wird. In unserem
Fall ist die induzierte Spannung die auf der Sekundärseite vorherrschende Spannung u2,
welche vom magnetischen Wechselfeld (sinusförmig, wenn im ungesättigten Bereich der
Hysteresekurve) der Primärwicklung erzeugt wird.
u2 = w 2
dφ
d(B A )
dB
= w2
= w2 A
dt
dt
dt
(7.11)
wobei w2 die Windungszahl der Sekundärwicklung ist.
Damit erhalten wir für die magnetische Flussdichte B:
B=
1
w2 A
∫ u 2 dt
(7.12)
Wir benötigen nun eine Beziehung, mit deren Hilfe die Spannung uy proportional zum
Integral von u2 wird. Dies wird in zwei Stufen erreicht:
1. Die Maschengleichung für den Sekundärkreis liefert in komplexer Schreibweise:

1 

U 2 = I 2  R 2 +
jωC 

(7.13)
Wenn R2 >> (1/ωC) gewählt wird, gilt näherungsweise:
U 2 = I2 R 2 , bzw. in Zeitdarstellung: u 2 = i 2 R 2
(7.14)
2. Es wird ein Kondensator C zu Hilfe genommen, dessen grundlegende Gleichung für die
Messanordnung lautet:
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i2 = C
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du y
du c
=C
(siehe Schaltvorgänge in Kap. 1)
dt
dt
(7.15)
Durch Umformung erhält man:
uy =
1
∫ i 2 dt
C
(7.16)
Durch Einsetzen von Gleichung (7.13) erhalten wir eine Spannung uy, die proportional zum
Integral von u2 ist (wie oben angeführt):
uy =
1
∫ u 2 dt
R 2C
(7.17)
Somit ergibt sich folgender proportionaler Zusammenhang zwischen B und uy:
B=
R 2C
uy
w 2A
(7.18)
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