Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2
Blatt 4
SS 10
PD. Dr. J. Schürmann
Abgabe: Freitag, 14.05.2010, 13:00 Uhr
Aufgabe 10 (mündlich): Es sei Ω eine Menge, und es seien A, B, C ⊂ Ω drei Ereignisse.
Drücken Sie die folgenden umgangssprachlichen Ereignisse in der Sprache der Mengenlehre aus:
1. Keines der drei Ereignisse tritt ein.
2. Genau eines der drei Ereignisse tritt ein.
3. Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein.
4. Höchstens eines der drei Ereignisse tritt ein.
5. Genau zwei der drei Ereignisse treten ein.
6. Mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein.
7. Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein.
8. Nur die Ereignisse B und C treten ein.
Lösung:
1.
Ac ∩ B c ∩ C c = (A ∪ B ∪ C)c .
2.
(A ∩ (B ∪ C)c ) ∪ (B ∩ (A ∪ C)c ) ∪ (C ∩ (B ∪ A)c ) .
3.
A∪B∪C .
4. { keines der drei Ereignisse } ∪ { genau eines der drei Ereignisse }:
(A ∪ B ∪ C)c ∪ ((A ∩ (B ∪ C)c ) ∪ (B ∩ (A ∪ C)c ) ∪ (C ∩ (B ∪ A)c )) .
5.
(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (C ∩ B ∩ Ac ) .
6. { genau zwei der drei Ereignisse } ∪ { alle drei Ereignisse }:
((A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (C ∩ B ∩ Ac )) ∪ (A ∩ B ∩ C) .
7. { alle drei Ereignisse }c :
(A ∩ B ∩ C)c = Ac ∪ B c ∪ C c = (A ∩ B)c ∪ C c .
8.
B ∩ C ∩ Ac .
Aufgabe 11: Ein Neutronenstrahl wird auf zwei hintereinanderstehende Gewebeschichten
gerichtet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Neutron absorbiert wird, liegt bei der ersten
Gewebeschicht bei 8 % und bei der zweiten Gewebeschicht bei 15 %.
a) Geben Sie die Grundmenge Ω und die Wahrscheinlichkeitsverteilung p : Ω → [0, 1] explizit
an, welche dem abstrahlen eines Neutrons auf diese beiden Gewebeschichten entspricht.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Neutron durch eine der beiden Gewebeschichten aufgehalten wird?
Lösung: Dieses Wahrscheinlichkeitsexperiment kann man am leichtesten durch den folgenden
Wahrscheinlichkeitsbaum beschreiben, wobei a für aufgehalten, bzw. na für nicht aufgehalten,
steht:
q1 =0,92
q2 =0,85
1.Schicht −−−−−→ 2.Schicht −−−−−→ na
na




p1 =0,08y
p2 =0,15y
a
a
a) Ω = {a, (na, a), (na, na)} mit p(a) = p1 = 0, 08, p((na, a)) = q1 · p2 = 0, 92 · 0, 15 = 0, 138
und p((na, na)) = q1 · q2 = 0, 92 · 0, 85 = 0, 782. Man beachte:
0, 08 + 0, 138 + 0, 782 = 1
bzw. allgemeiner
p(a) + p((na, a)) + p((na, na)) = p1 + q1 · p2 + q1 · q2 = p1 + q1 · (p2 + q2 ) = p1 + q1 · 1 = 1 .
b) Dieses entspricht dem Ereignis E = {a, (na, a)} ⊂ Ω mit
p(E) = p(a) + p((na, a)) = 0, 08 + 0, 138 = 0, 218 .
Aufgabe 12: Die menschliche Blutgruppe wird durch Allele bestimmt, von denen es insgesamt
3 gibt: a, b und 0. Wir nehmen an, dass die Verteilung des Auftretens der einzelnen Allele wie
folgt aussieht: p = 29 % für a, q = 7 % für b und r = 64 % für 0.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der verschiedenen Genotypen
00, ab, a0, aa, b0 und bb.
b) Als Phänotypen erhält man:
1. Blutgruppe 0 beim Genotyp 00.
2. Blutgruppe AB beim Genotyp ab.
3. Blutgruppe A bei den Genotypen aa und a0.
4. Blutgruppe B bei den Genotypen bb und b0.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , p3 und p4 für diese 4 verschiedenen Phänotypen.
Rechnen Sie bitte auch die folgenden Formeln nach:
p1 + p3 = (r + p)2 = (1 − q)2
und p1 + p4 = (r + q)2 = (1 − p)2 .
2
Lösung: Hier handelt es sich um eine Multinomialverteilung mit den n = 3 Grundereignissen
x1 = a, x2 = b und x3 = 0
mit den Wahrscheinlichkeiten
p(a) = p = 0, 29, p(b) = q = 0, 07
und p(0) = r = 0, 64 .
Offensichtlich ist
p + q + r = 0, 29 + 0, 07 + 0, 64 = 1 .
a) Hier geht es um eine 2-fache Wiederholung, mit
2
p(00) =
· p0 · q 0 · r 2
0; 0; 2
2
p(ab) =
· p1 · q 1 · r 0
1; 1; 0
2
p(a0) =
· p1 · q 0 · r 1
1; 0; 1
2
p(aa) =
· p2 · q 0 · r 0
2; 0; 0
2
p(b0) =
· p0 · q 1 · r 1
0; 1; 1
2
· p0 · q 2 · r 0
p(bb) =
0; 2; 0
= r2 = 0, 4096 ,
= 2 · p · q = 0, 0406 ,
= 2 · p · r = 0, 3712 ,
= p2 = 0, 0841 ,
= 2 · q · r = 0, 0896 ,
= q 2 = 0, 0049 .
b) Als Wahrscheinlichkeiten der 4 Phänotypen ergeben sich:
p1 = p(00) = r2 = 0, 4096,
p2 = p(ab) = 2pq = 0, 0406
p3 = p(aa) + p(a0) = p2 + 2pr = 0, 4553
und
p4 = p(bb) + p(b0) = q 2 + 2qr = 0, 0945 .
Insbesondere ergibt sich mit p + q + r = 1:
p1 + p3 = r2 + p2 + 2pr = (p + r)2 = (1 − q)2
und
p1 + p4 = r2 + q 2 + 2qr = (q + r)2 = (1 − p)2 .
3
bzw.