Elektrische Maschinen - Formelsammlung

README
Beschreibung
Formelsammlung für Elektrische Maschinen auf Grundlage der Vorlesung FS 16 von Prof. Dr.Jasmin Smajic
Bei Korrekturen oder Ergänzungen wendet euch an einen der Mitwirkenden.
Modulschlussprüfung
Prüfungsstoff ist der gesamte ElMasch-Vorlesungsinhalt des FS2016 einschliesslich aller UE + P Lerninhalte.
Als Hilfsmittel für die Modulschlussprüfung sind die Vorlesungen,
UE-Aufgaben und eigenen Praktikumsaufzeichnungen sowie der Taschenrechner erlaubt.
Plan und Lerninhalte
• Die elektrodynamischen Grundgesetze
• Allgemeine Merkmale elektrischer Maschinen
• Gleichstrommaschinen:
Aufbau und Wirkungsweise, Grundgleichungen, Betriebsverhalten, Klemmenbezeichnungen und Schaltungen
• Synchronmaschinen: Bauarten, Funktion, Betriebseigenschaften - und grössen, Sonderbauformen
• Drehstrom-Asynchronmaschinen:
Bauarten, Schaltungen, Wirkungsweise, Betriebseigenschaften, Kreisdiagramm
• Transversalflussmaschinen: Aufbau und Wirkungsweise, Betriebseigenschaften
• Linearantriebe
• Steuerung und Regelung elektrischer Maschinen
Contributors
Stefan Reinli
[email protected]
Luca Mazzoleni
[email protected]
Michel Gisler
[email protected]
License
Creative Commons BY-NC-SA 3.0
Sie dürfen:
• Das Werk bzw. den Inhalt vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen.
• Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes bzw. Inhaltes anfertigen.
Zu den folgenden Bedingungen:
• Namensnennung: Sie müssen den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
• Keine kommerzielle Nutzung: Dieses Werk bzw. dieser Inhalt darf nicht für kommerzielle Zwecke verwendet werden.
• Weitergabe unter gleichen Bedingungen: Wenn Sie das lizenzierte Werk bzw. den lizenzierten Inhalt bearbeiten oder in anderer Weise erkennbar
als Grundlage für eigenes Schaffen verwenden, dürfen Sie die daraufhin neu entstandenen Werke bzw. Inhalte nur unter Verwendung von
Lizenzbedingungen weitergeben, die mit denen dieses Lizenzvertrages identisch oder vergleichbar sind.
Weitere Details: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ch/
Elektrische Maschinen - Formelsammlung
S. Reinli
L. Mazzoleni
Inhaltsverzeichnis
M. Gisler
19. August 2016
1
Grundlagen
1.1 Wichtige Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
GSM - Gleichstrommotoren
2.1 Grenzwerte und Arbeitsbereiche
2.2 Fremderregte GSM . . . . . . . .
2.3 Nebenschluss GSM . . . . . . . .
2.4 Reihenschluss GSM . . . . . . . .
2.5 Drehzahlregelung . . . . . . . . .
6
6
7
8
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
Dreiphasenwechselstrom und Drehfelderzeugung
10
4
Wicklungsschema Übung 4
4.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Wichtige Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
5
Synchronmaschine
5.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . .
5.2 Aufbau und Wirkungsprinzip . . . . .
5.3 Grundgleichungen . . . . . . . . . . .
5.4 Zeigerdiagramm im Motorbetrieb . .
5.5 Zeigerdiagramm im Generatorbetrieb
.
.
.
.
.
12
12
12
13
14
14
.
.
.
.
15
15
15
16
16
.
.
.
.
19
19
20
21
23
8
Vergleich der Elektrischen Maschinen
8.1 Auswahl Flowchart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
25
9
Idiotenseite
27
6
7
Asynchronmotor
6.1 Aufbau Ständer . . . . . . . . . .
6.2 Aufbau Läufer . . . . . . . . . . .
6.3 Formeln Läufer . . . . . . . . . .
6.4 Modell der Asynchronmaschine
Schrittmotor
7.1 Merkmale . . . . . . .
7.2 Reluktanz-SM . . . . .
7.3 Permanentmagnet-SM
7.4 Herleitungen aus DGL
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 2 von 28
1 Grundlagen
1.1 Wichtige Formeln
Elektrische Kraft
[Fe ] =
Q¨q
1
F~e prq “
¨
¨ r~0
2π
r
Fe prq “
π¨¨
ˆ
˙2
r ´ R1
2 ¨ r ¨ ln
R1
U2
Die Kraftwirkung des geladenen Körpers (Q) auf
eine elektrische Probeladung (q)
N
m
“ 0 ¨ r
“
p dielektrische Permittivität
„

As
´12
0 “ 8.8542 ¨ 10
Vm
~r
r~0 “
“
p Einheitsvektor
|~r|
„ 
C
Q, q “
p Linienladungsdichte
m
Magnetische Kraft
F~m prq “
µ I¨i
~
¨
¨ r~0 “ µ ¨ i ¨ l~0 ˆ H
2π r
Fm prq “
µ ¨ I2
2¨π¨r
µ “ µ0 ¨ µr
“
p magnetische„Permeabilität
 „

N
Vs
´7
µ0 = 4π ¨ 10
“
Am
A2
~r
r~0 “
“
p Einheitsvektor
|~r|
I, i “
p elektrische Ströme
rFm s =
N
m
BSP:
Elektrische Kraft vs.
Magnetische Kraft
π ¨ ¨ U2
´11
Fe prq “
ˆ
˙2 “ 2.88 ¨ 10
r ´ R1
2 ¨ r ¨ ln
R1
„
N
m

µ0 ¨ I 2
Fm “
“ 2.00 ¨ 10´6
2¨π¨r
„
N
m

Die magnetische Kraft pro Länge & Strom ist 7 ¨ 104 grösser als jene der elektrische Kraft.
Daher basieren alle elektrischen Maschinen auf der magnetischen Kraft.
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 3 von 28
1.1.1 Elektrische Kraft
Elektrisches Feld
~
~ “ Fe “ 1 ¨ Q ¨ r~0
E
q
2π r
rEs “
V
m
~ “ 1 ¨ Q ¨ r~0
E
2π r
Elektrisches Potential
ϕA “
ż Bezugspunkt
~
~ ¨ dl
E
rϕA s “ V
A
Elektrische Spannung
żB
UAB “
~ “ ϕA ´ ϕB
~ ¨ dl
E
rUs “ V
A
Elektrischer Strom
I“
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
dQ
“ Q9
dt
rIs “ A
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 4 von 28
1.1.2 Magnetische Kraft
Magnetische Feldstärke
~
~ “ I ¨ L0 ˆ r~0
H
2π
r
[H] =
A
m
L~0 , l~0 “
p Einheitsvektoren der
Stromleiter
r~0 “
~r
“
p Einheitsvektor
|~r|
Magnetische Flussdichte
~ “µ¨H
~ “ µ0 ¨ µr ¨ H
~
B
rBs “ T “
µ0 =
Magnetische Fluss
"
φ“
~
~ ¨ dA
B
Vs
m2
„
4π ¨ 10´7
 „

N
Vs
“
Am
A2
rφs “ Vs “ Wb
pAq
Verkettete Fluss
ψ“N¨φ
rψs “ Vs “ Wb
ψ“L¨I
meistens
"
~ “ N ¨ B ¨ A ¨ cos pωtq
~ ¨ dA
ψptq “ N ¨
B
pAq
Induzierte Spannung
Uind “ ´
dφ
dψ
“ ´N
dt
dt
meistens
Uind “ ´
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
dψ
“ ω ¨ N ¨ B ¨ A ¨ sin pωtq
dt
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 5 von 28
Magnetische Durchflutung
Θ“
n
ÿ
¿
Ik “
k“1
rΘs “ A
~
~ ¨ dl
H
pCq
Beispiel:
¿
żP2
~ “
~ ¨ dl
H
~`
~ ¨ dl
H
P1
pCq
żP3
~ ` ... `
~ ¨ dl
H
P2
żPm
~
~ ¨ dl
H
Pm´1
Magnetische Spannung
żB
Vm “
~ « HLu f t ¨ lLu f t “ VmLu f t
~ ¨ dl
H
« Nur wenn der Kern nicht in
Sättigung
A
Magnetkreis
¿
rVm s “ A
~ «H¨L“N¨I
~ ¨ dl
H
falls L ąą R und
das Feld in der Spule homogen ist
B L ist hier die Länge!
pCq
N¨I
L
N¨I
ñ B “ µ0 ¨
L
ñH“
Reluktanzkraft
BWm
F1
N2 ¨ I2 ¨ AFe
FR “ ´
“
“ µ0 ¨
Bδ
2
4 ¨ δ2
F1 “ µ0 ¨
Magnetische Energie
H2 ¨ AFe
N2 ¨ I2 ¨ AFe
“ µ0 ¨
2
δ2 ¨ 2
1
I2 ¨ N2
¨ Hδ ¨ Bδ ¨ 2 ¨ AFe ¨ δ “ µ0 ¨
¨ AFe
2
4¨δ
1 # ~ ~
1 # 1 2
Wm “ ¨
B ¨ H ¨ dV “ ¨
¨ B ¨ dV
2 pVq
2 pVq µ
Wm “
wobei AFe die magnetisch
wirksame Fläche des Luftspalts
ist.
F1 = Kraft bei 1nem Luftspalt
FR = Kraft beider Luftspalte
δ= Länge 1nes Luftspaltes
wobei AFe ¨ δ dem Volumen des
Luftspalts entspricht.
Gilt für 2 Luftspälte
Magnetischer Widerstand
Rm “
Vm
φ
rRm s “
A
Vs
~Kφ
~:
wenn A
Rm “
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
H0 ¨ l
l
“
B0 ¨ A
µ0 ¨ A
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 6 von 28
2 GSM - Gleichstrommotoren
Vorteil:
• lineares Übertragungsverhalten
• einfache Ansteuerung, Drehzahleinstellung
• hohe Überlastfähigkeit
Nachteil:
• verschleissbehaftet wegen dem mechanischen Kommutator
• thermische Verluste entstehen im Rotor und sind schwer abzuführen
• maximale Drehzahl durch mech. Kommutator begrenzt
2.1 Grenzwerte und Arbeitsbereiche
PMech “ ω ¨ M “ 2π ¨ n ¨ M
Mpnq “
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
Pmax 1
¨
2π n
rns “
1
s
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 7 von 28
2.2 Fremderregte GSM
Erregerwicklung
Ue “ Re ¨ Ie ` Le ¨
dIe
dt
Ua “ Ra ¨ Ia ` La ¨
dIa
`E
dt
Stator
Ankerwicklung
Rotor
Spannungsgleichung des
Statorkreises
Spannungsgleichung des
Rotorkreises
ψ“
p Erreger-/Hauptfluss
ω “ 2π ¨ n
„ 
1
n“
p Drehzahl des Läufers
s
E“ω¨ψ
ψ “ Le ¨ Ie “
Ue
ω0
ˆ
Elektrische Leistung
Im stationären Betrieb:
d
“0
dt
˙
rPs “ W
Pel “ Pe ` Pa “ Ue ¨ Ie ` Ua ¨ Ia
Pel “
2
Roemo
¨ Ioen
lo
Ohmsche
Erregerverluste
2
Roamo
¨ Ion
a
lo
`
Ohmsche
Ankerverluste
` ω
¨ ψ ¨ Ia
looomooon
Mechanische
Leistung
Mechanische Leistung
Pmech “ ω ¨ M “ ω ¨ ψ ¨ Ia “ ω ¨ Le ¨ Ie ¨ Ia
Drehmoment
M “ ψ ¨ Ia “ Le ¨ Ie ¨ Ia
rMs “ Nm
Ua ¨ ψ ´ ω ¨ ψ2
Ra
Ua M ¨ Ra
ω“
´
ψ
ψ2
M“
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 8 von 28
2.3 Nebenschluss GSM
Die Erreger- und Ankerwicklung werden parallel an die gleiche Spannungsquelle geschaltet.
Beim Nebenschluss sind die Anker- und Erregerspannung gleich und der Anker- und Erregerstrom unabhängig
voneinander.
Spannungsgleichung
U “ Ua “ Ue
I “ Ia ` Ie
ψ “ L e ¨ Ie “
p Erregerfluss
U “ loooomoooon
Ra ¨ Ia ` E “ looooooomooooooon
Ie ¨ Re ` Le ¨ I9e
Ua
Ue
E“ω¨ψ
U´ω¨ψ
U´E
Ia “
“
Ra
Ra
M “ Ia ¨ ψ “ Ia ¨ L e ¨ Ie
Drehmoment
M“
ω “ 2π ¨ n
U ¨ ψ ´ ω ¨ ψ2
Ra
R “0
v
MA Ñ
MAnlau f
U¨ψ
MAnlau f “
Ra ` Rv
U
IAnlau f “
Ra ` Rv
Anlaufmoment
pn “ 0q
rMs “ Nm
Ra “
p Ankerwiderstand
Rv “
p Im Ankerkreis in Serie geschalteter Regelungswiderstand
(= oft 0)
ˆ
Elektrische Leistung
„ 
1
s
Im stationären Betrieb:
d
“0
dt
˙
Pel “ U ¨ I
rWs
Pel “ Pe ` Pa “ Ue ¨ Ie ` Ua ¨ Ia
Pel “
2
Roemo
¨ Ioen
lo
Ohmsche
Erregerverluste
Mechanische Leistung
(M = 0)
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
Ohmsche
Ankerverluste
Mechanische
Leistung
Pmech “ ω ¨ M “ ω ¨ ψ ¨ Ia
U
n0 “
2π ¨ ψ
U
ψ“
ω0
Leerlaufdrehzahl
2
` lo
Roamo
¨ Ion
`ω
¨ ψ ¨ Ia
a
looomooon
„ 
1
n“
s
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 9 von 28
2.4 Reihenschluss GSM
Die Erreger- und Ankerwicklung werden in Serie an die gemeinsame Spannungsquelle geschaltet.
Beim Reihenschluss sind die Anker- und Erregerströme gleich und die Anker- und Erregerspannungen sind
deshalb stark voneinander abhängig.
Achtung: M Ñ 0 ñ n Ñ 8
U “ pRa ` Re q ¨ I ` 2πn ¨ ψ
Drehmoment
Spannungsgleichung
der Reihenschluss-Schaltung
M“I¨ψ
ˆ
M “ I ¨ ψ “ Le ¨
U
Ra ` Re ` 2πn ¨ Le
˙2
I “ Ia “ Ie
ψ “ Le ¨ I
Anlaufmoment
MA “
Bezugsdrehzahl
nb “
Le ¨ U2
pRa ` Re ` Rv q2
Ra ` Re
2π ¨ Le
pn “ 0q
rMs “ Nm
Rv = Vorwiederstand meistens 0!
rns “
1
s
2.5 Drehzahlregelung
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 10 von 28
3 Dreiphasenwechselstrom und Drehfelderzeugung
Sternspannungen
Stern-Dreieck
Umwandlung
Verkettete Spannung
S. Reinli
L. Mazzoleni
UU ptq “ Um ¨ sin pωtq
ˆ
˙
2π
UV ptq “ Um ¨ sin ωt ´
3
ˆ
˙
4π
UW ptq “ Um ¨ sin ωt ´
3
U∆
I∆
UY “ ?
IY “ ?
IY “ I12
3
3
M∆
P∆
MY “
PY “
U∆ “ U12
3
3
UUV pU12 q, UVW pU23 q, UWU pU31 q
M. Gisler
UU , UV , UW “
p den
Spannungen zwischen dem
Neutralleiter und dem
Aussenleiter
oft 230V
U “ StrangspannungrVs
I “ StrangstromrAs
M “ MotormomentrNms
P “ Leistung
oft 400V
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 11 von 28
4 Wicklungsschema Übung 4
4.1 Beispiel
iL1 “ RealtIL1 u “ 0.5 ¨ I0
” 8 ´ polig” Ñ Polpaarzahl p “ 4 Ñ Polzahl 2p “ 8
Statornuten N = 48
Strangzahl m = 3 (Anz Phase)
N
48
Statornutzahl pro Phasenband q “ 2p¨m
“ 8¨3
“2
iL2 “ RealtIL2 u “ 0.5 ¨ I0
iL3 “ RealtIL3 u “ ´1.0 ¨ I0
4.2 Wichtige Formeln
Drehzahl n
f
n “ 60 ¨
p
p=floor(p) bei ASM
Polpaarzahl p
p “ 60 ¨
f
n
Nutzahl N
N “ 2p ¨ q ¨ m
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
1
n - Drehzahl [n] =
min
f - Frequenz
p - Polpaarzahl
2p - Polzahl
q - Nutzahl pro Phasenband
m - Strangzahl pro Phase
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 12 von 28
5 Synchronmaschine
Vorteil:
• sehr robust, elektrodynamisch, mechanisch und
thermisch stabil
• Hoher Wirkungsgrad (80-90%)
• Drehmoment einfach bestimmbar
• Einfache Konstruktion
• Man kann Blindleistung mit diesem Motor kompensieren
Nachteil:
• hoher Anlaufstrom
5.1 Funktionsweise
Das Drehfeld und der Rotor einer Synchronmaschine rotieren mit derselben Geschwindigkeit d.h. sind sie im
Synchronlauf.
Anwendung: zur Umwandlung von mechanischer Energie in elektrische Energie.
5.2 Aufbau und Wirkungsprinzip
Folgende Eigenschaften gelten für grosse Generatoren >1GW darunter können die Bauarten beliebig sein.
Schenkelpolmaschine
Vollpolmaschine
• Wasserkraftwerk
• Wärmekraftwerke
• Grössere Polpaarzahl
• Polpaarzahl = 1
• Kleinere Drehzahl
• Grössere Drehzahl
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 13 von 28
5.3 Grundgleichungen
Strang Ersatzschaltung:
Strangspannung
U1 “ Ud ` UP
Spulenspannung
Ud “ jXd ¨ I1
Polradspannung
(fiktive Hilfsgrösse)
UP “ UP pIe q
UP “
p der Polradspannung
Ie “
p dem Erregerstrom
Ie 1 “
p dem Erregerstrom
umgerechnet auf die
Statorseite
UP “ jXh ¨ Ie 1
Synchronreaktanz
Xd “ Xσ1 ` Xh
Xd “ 2π f Ld
Xd “
Leistung
U1Str
IK
cospϕq “ ´ sinpαq
ϕ “ ´α ´ 900
2
2
pXd ¨ I1Str q2 “ U1Str
` UpStr
´ 2 ¨ U1Str ¨ UpStr ¨ cospδq
Polradwinkel δ “ ]pUp , U1 q
PStr “ UStr ¨ IStr ¨ cospϕq
d = ´Up ¨ sinpδq
“ Xd ¨ I1 ¨ sinpαq “ ´Xd ¨ I1 ¨ cospϕq
UP ist die Polradspannung,
sie entspricht einer fiktiven
Grösse! Sie kann wiederum
durch ein Zeigerdiagramm
bestimmt werden.
UPStr ¨ U1Str
¨ sinpδq
Xd
Generatorbetrieb: δ ă 0
Ppδq “ Pmech ´ PV “ ω ¨ M ´ PV
Motorbetrieb: δ ą 0
Ppδq “ Pmech ` PV “ ω ¨ M ` PV
d
ˆ
˙2
Ie
I1
2
“ cos pϕq ` x ¨
´ sinpϕq
Ie0
IN
Ppδq “ 3 ¨ PStr pδq “ 3 ¨
Erreger-Regulierkennlinien
mechanisches Moment
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
Xd “
p Synchronreaktanz
Xσ1 “
p Streureaktanz des
Stators
Xh “
p der Hauptreaktanz
P“Ω¨M“
ω
¨M
p
rgrads
Achte auf Y-∆-Umrechnug
Seite: 10
Ie “ f pI1 q
cospϕq gegeben
I1 - gewünschter Netzstrom
X
Bezugswert x “ d
XN
XN “ Normiert
Gilt falls PV “ 0
Ω “Mech. Winkelges.
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 14 von 28
cospϕq “ xind Ñ ϕ0 ą 0 Strom eilt der Spannung nach
cospϕq “ xkap Ñ ϕ0 ă 0 Strom eilt der Spannung voraus
5.4 Zeigerdiagramm im Motorbetrieb
P > 0 und δ > 0
5.5 Zeigerdiagramm im Generatorbetrieb
P < 0, δ < 0
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 15 von 28
6 Asynchronmotor
Kennlinie Asynchronmotor
Eigenschaften:
• meist verwendeter Elektromotor
• Drehfeld wird durch den Ständer erzeugt
• Drehmoment entsteht durch den im
Läufer induzierten Strom
Vorteil:
Nachteil:
• sehr einfacher Aufbau
• sehr robust und widerstandsfähig
• Extrem hoher Anlaufstrom
ñ dies wird vermindert mit der Stern-DreieckUmschalt-Methode
(3 Mal mehr Leistung im Dreieckbetrieb)
6.1 Aufbau Ständer
6.2 Aufbau Läufer
Wirbelströme im Eisen entstehen durch die Induktion des Rotors in den Stator
ñ Stator erwärmt sich.
Durch den Rillenaufbau des Stators können diese Wirbelströme bzw. die Temperaturansteigung minimiert werden.
Schlupf “
p Abweichung zu der Synchronen Drehzahl
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 16 von 28
6.3 Formeln Läufer
6.4 Modell der Asynchronmaschine
N = Windungszahl
kw = Wicklungsfaktor
R1 , Xσ1 = Widerstand und Streureaktanz des Stators
R2 , Xσ2 = Widerstand und Streureaktanz des Rotors
RFe = Eisen-Verlustwiderstand
Xh = Hauptreaktanz
Uh = innere Spannung
Iµ = Magnetisierungsstrom
Grundgleichungen:
I1 “ IFe ` Iµ ` I21 « I21
U1 “ R1 ¨ I1 ` jXσ1 ¨ I1 ` Uh « Uh
Übersetzungsverhältnis:
u“
N1 ¨ kw1
N2 ¨ kw2
I21 “ I2 ¨ u
R12 “ R2 ¨ u2
Induzierte Spannung
Ui “ 4.44 ¨ f ¨ w ¨ ξ ¨ φ
Elektromagnetische Kraft
F~2 “ l2 ¨ I~2 ˆ B~1
f“
p Frequenz
w“
p Windungszahl
ξ = Wicklungsfaktor
φ = Magnetischer Fluss
B1 = Flussdichte
I2 = Strom Rotor l2 = länge
Rotor
r2 = radius Rotor
Mech. Drehmoment
~ 2 “ r~2 ˆ F~2
M
Drehzahl
n1 “
f1
p
n = Drehzahl des Läufers
n1 = Synchrondrehzahl
n2 = Relativdrehzahl
n2 “ n1 ´ n
Schlupf
s“
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
f2
n2
n1 ´ n
“
“
n1
n1
f1
f1 = Frequenz Drehfeld
f2 = Frequenz Anker
Synchroner Lauf: s = 0
Stillstand: s = 1
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 17 von 28
Induzierter Strom
U1
I1 “ g˜ ¸
f
f R1 2
2
e
12
` X2σ
s
I 2 “ dˆ
Ui20
˙2
R2
2
` X2σ
s
Verluste Drehmoment
PD1 “ Pm ` PC22
PD1 “ 2 ¨ π ¨ n1 ¨ M
PN “ Pm “ 2 ¨ π ¨ n ¨ M
M“
1 PCu2
2πn1 s
Funktion Drehmoment
M“
1 PCu2
2πn1 s
“
q2
R2
¨ I22 ¨
2πn1
s
“
2
Ui20
q2
R2
2
2πn1 pR2 {sq2 ` X2σ s
Anlauf
M“
sK “
1
R12 “ X2σ
¨ sk
U12
R12
q1
¨ 1
¨
2πn1 pR {sq2 ` X1 2 s
2
2σ
P1 - primäre Netzleistung
PCu - Ohmsche Verluste
PFe - Blechkernverluste
PD1 - Drehfeldleistung
Pm - mechanische Leistung
PN - Nennleistung
PR - Reibungsverluste und
Lüftung
Pm1 - mech. Nutzleistung
M - Drehmoment
M-Kennlinie
Motorbetrieb
Generator-Betrieb
q2 = Anz. Phasen der
Rotorwicklung
q1 = Anz. Phasen der
Statorwicklung
R12
1
X2σ
U12
q1
MK “
¨ 1
4πn1 X2σ
Klosssche Gleichung
Anlauf Ñs = 1
M
“
Mk
s
sk
2
`
sk
s
sk = Kippschlupf
sk ą s
Mk = Kippmoment
Mk ą M
1 2 2Mk
s ´
sk ` s “ 0
s k
M
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 18 von 28
6.4.1 Leerlauf
Im Leerlauf wird die Asynchronmaschine an der
Welle nicht belastet.
R1 ăă RFe
Xσ1 ăă Xh
Ersatzschaltbild
Synchronlauf
s=0
s=0
f2 “ 0
I2 “ I2max “ 0
Grundgleichungen
I0 “ IFe ` Iµ
P0
cospϕ0 q “
U0 ¨ I0
U0
U0
RFe “
“
IFe
I0 ¨ cospϕ0 q
U0
U0
Xh “
“
Iµ
I0 ¨ sinpϕ0 q
6.4.2 Kurzschluss
Im Kurzschluss wird der Rotor der
Asynchronmaschine blockiert. (s=1)
R1 ăă RFe
Xσ1 ăă Xh
Ersatzschaltbild
Stillstand
s=1
s=1
f2 “ f1
I2 “ I2max “ b
S. Reinli
Grundgleichungen
PK
cospϕK q “
UK ¨ IK
UK ¨ cospϕK q
UR
R1 ` R12 “
“
IK
IK
U
U
K ¨ sinpϕK q
X
1 “
Xσ1 ` Xσ2
“
IK
Ik
Ui20
2
R22 ` X2σ
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 19 von 28
7 Schrittmotor
7.1 Merkmale
• Der Schrittwinkel hängt vom Aufbau der Maschine ab und kann zwischen 0.6°und 15°sein.
• Drehmoment bis zu 5 Nm
• Werden im unteren Leistungsbereich eingesetzt
– Reluktanz-SM
– Hybrid-SM
– Permanentmagnet-SM (werden am häufigsten verwendet, da hoher Wirkungsgrad und gute statischen
und dynamischen Eigenschaften)
Vorteil:
• kostengünstig
• praktisch nicht überlastbar
Name
FS
Windungszahl Statorstrang/spule
N
Zahnfläche
Az
Höhe des Luftspalts
δd “ δq
Zahnweite (breite) Stator
wS
Zahnweite (breite) Rotor
wR
Breite der Zahnüberlappung
wzu
Stator-Zahnzahl
Zs
Rotor-Zahnzahl
ZR
Trägheitsmoment Rotor
JR
Länge des Motors
L
Durchmesser Luftspalt
D
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
Grösse
Gleichnug
Stator-Winkel
αS “
2π
Zs
[rad]
ˆ
Stator-Zahnzahl
ZS “ ZR
Rotor-Winkel
αR “
m
m´1
˙
m´1
m
˙
2π
ZR
[rad]
ˆ
Rotor-Zahnzahl
ZR “ ZS
Vollschritt-Winkel *
α0 “ αR ´ αS
Strangzahl
m“
Schrittzahl
Np “
Steuer/Schaltfrequenz
FZ
[rad]
Zs
ZS ´ZR
2π
α0
fs “ N p ¨ n
„ 
1
n“
s
*Der Vollschrittwinkel bezeichnet die Bewegung des
Rotors pro Einzel-Steuerimpuls.
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 20 von 28
7.2 Reluktanz-SM
Aufbau
Stator-Zähne: SZ1 , SZ2 , SZ3 , SZ4
Stator-Wicklungen: SW1 , SW2 , SW3 , SW4
Rotor-Zähne: RZ1 , RZ2
Wirkungsprinzip
Die magnetische Reluktanzkraft ist immer anziehend
ñ versucht den Luftspalt zu verkleinern.
1. Die Spule SW1 ,SW3 sind an die Quelle angeschlossen.
2. Das magnetische Feld der ersten zwei Spulen wird erzeugt.
3. Die Reluktanzkraft wirkt auf den Rotor um die Luftspalte zu
verringern.
4. Das mechanische Moment wird erzeugt.
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 21 von 28
7.3 Permanentmagnet-SM
Aufbau
Stator-Zähne: SZ1 , SZ2 , SZ3 , SZ4
Stator-Wicklungen: SW1 , SW2 , SW3 , SW4
Rotor-Zähne: RZ1 , RZ2
Statorinduktivität
d-Achse Parallel
Ld “
Ψmd
Φ
B Az
2NI1 Az
“ 2N md “ 2N δd
“ µ0 2N
I1
I1
I1
2δd I1
“ µ0 2N2
wzu > 0 Zahnüberlappung
wzu ď Keine Zahnüberlappung
Lq “
q-Achse Parallel (Keine Zahnüberlappung)
Ψmq
I1
Az
L ¨ ws
“ µ0 2N2
δd
δd
“ 2N
“ µ0 2N2
Φmq
I1
“ 2N
Bδq Az
I1
“ µ0 2N
2NI1 Az
2δq I1
“ µ0 2N
2NI1 Az
2δq I1
Az
δq
q-Achse Parallel (mit Zahnüberlappung)
wzu “ ws ´ α0 ¨
Lq “
Ψmq
I1
“ 2N
“ µ0 2N2
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
D
2
Φmq
I1
rα0 s “ rad
“ 2N
Bδq Az
I1
Az
L ¨ wzu
“ µ0 2N2
δq
δd
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 22 von 28
Rotorleistung
pδ ptq “
1 dL
¨
pγr q ¨ ωr ¨ i2 ptq
2 dγr
Motormoment
MM ptq “
pδ
1 dL
ptq “ ¨
pγr q ¨ i2 ptq
ωr
2 dγr
Motormoment (lineare Annäherung)
MM “
Betriebsverhalten
Jg
dωr
ωs ´ ω1
“ Jg
“ MM ´ ML
dt
Ts
ωs “ 2π
fs
ns
“ 2π
“ α0 fs
60
Np
1 Ld ´ Lq 2
I1
2 α0
rα0 s “ rad
JR “ J g = Motorbezogenes Trägheitsmoment
MM = Motorbezogenes Drehmoment
ML = Lastmoment
ωs = Kreisgeschwindigkeit Statorfeld
ω1 = Kreisgeschwindigkeit des Rotors
ñ ω1 “ 0 ñ Motor im Stillstand
Lastmoment
ωs
ω1
ML p fs , ω1 q “ MM ´ J g
` Jg
Ts
Ts
“ Mm ´ J g α0 fs2 ` J g ω1 fs
d
MM
fAG “
Ñ Nur wenn ML “ 0!
J R ¨ α0
L. Mazzoleni
fAG : MM & ω1 “ 0
fAG = Anlaufgrenzfrequenz
fBG = Betriebsgrenzfrequenz
Anlaufkennlinie
S. Reinli
fs “ T1s = Schaltfrequenz
ω1 = Anfangsgeschwindigkeit
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 23 von 28
7.4 Herleitungen aus DGL
Drehmoment Herleitung
Φm pγr , iq “ Lpγr ptqq ¨ iptq
dΦm
d
rLpγr ptqq ¨ iptqs
ptq “ R ¨ iptq `
dt
dt
dγr
dL
di
“ R ¨ iptq `
pγr q ¨
iptq ` Lpγr q ¨ ptq
dγr
dt
dt
uStatorkreis ptq “ R ¨ iptq `
pStatorkreis ptq “ uptq ¨ iptq “ R ¨ i2 ptq `
dL
di
pγr q ¨ ωr ¨ i2 ptq ` L ¨ iptq ¨ ptq
dYr
dt
Elektrische Leistung des Stators
pptq “ R ¨ i2 ptq `
“ pCu ptq `
dL
di
¨ ωr ¨ i2 ptq ` L ¨ iptq ¨ ptq
dγr
dt
dwm
1 dL
ptq ` ¨
pγr q ¨ ωr ¨ i2 ptq
dt
2 dγr
Zeitableitung magnetischer Energie
wm ptq “
“
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
1
d
¨ Lpγr q ¨ i2 ptq ñ
2
dt
ˆ
1
¨ Lpγr q ¨ i2 ptq
2
˙
1 dL
di
¨
pγr q ¨ ωr ¨ i2 ptq ` L ¨ iptq ¨ ptq
2 dγr
dt
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 24 von 28
8 Vergleich der Elektrischen Maschinen
Aufbau
Komplexität des Aufbaus
Kosten
Wirkungsgrad
Anpassungsfähigkeit
Anlaufstrom
Anlaufmoment
Drehzahlregelung
Anwendungsbereich
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 25 von 28
8.1 Auswahl Flowchart
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
Seite 26 von 28
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 27 von 28
9 Idiotenseite
9.1 SI-Vorsätze
Symbol
Name
Wert
Symbol
Name
Wert
da
Deka
101
Binär
d
Dezi
10´1
h
Hekto
102
c
Centi
10´2
k
Kilo
103
210 “ 1024
m
Mili
10´3
M
Mega
106
220
y, µ
Mikro
10´6
G
Giga
109
230
n
Nano
10´9
T
Tera
1012
240
p
Piko
10´12
P
Peta
1015
250
f
Femto
10´15
9.2 Dreiecksformeln
Cosinussatz
c2 “ a2 ` b2 ´ 2 ¨ a ¨ b ¨ cos γ
Sinussatz
a
b
c
u
“
“
“ 2r “
sin α
sin β
sin γ
π
Pythagoras beim Sinus
sin2 pbq ` cos2 pbq “ 1
tanpbq “
sinpbq
cospbq
Gegenkathete
b
a “ Hypotenuse
Ankathete
“ ac “ Hypotenuse
sin β “
cos β
tan β “
cot β “
c
b
c
b
“
“
Gegenkathete
Ankathete
Ankathete
Gegenkathete
9.3 Funktionswerte für Winkelargumente
deg rad sin
0
30
45
60
0
0
π
6
π
4
π
3
1
2?
2
?
2
cos
tan
1
2
3
deg
0
?
3
2
?
2
2
1
2
90
?
3
3
1
?
120
135
3
150
rad
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
sin
1
?
3
2
?
2
2
1
2
cos
deg
rad
180
π
0
´ 12
210
´ 12
´
225
7π
6
5π
4
4π
3
0
´
?
2
2
?
3
2
240
sin
´
´
cos
-1
?
2
2
?
3
2
?
´ 23
?
´ 22
´ 12
deg
rad
sin
cos
270
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
-1
0
300
315
330
´
?
2
?
´
´ 12
2
3
2
1
2?
2
2
?
3
2
9.6 Ableitungen
9.4 Periodizität
cospa ` k ¨ 2πq “ cospaq
sinpa ` k ¨ 2πq “ sinpaq
pk P Zq
d
dx
9.5 Quadrantenbeziehungen
sinp´aq “ ´ sinpaq
sinpπ ´ aq “ sinpaq
sinpπ
` ` aq˘“ ´ sinpaq
`
˘
sin π2 ´ a “ sin π2 ` a “ cospaq
S. Reinli
L. Mazzoleni
M. Gisler
sin
cosp´aq “ cospaq
´ cos
cospπ ´ aq “ ´ cospaq
cospπ
` ` aq˘“ ´ cospaq
`
˘
´ sin
cos π2 ´ a “ ´ cos π2 ` a “ sinpaq
d
dx
d
dx
cos
d
dx
19. August 2016
Elektrische Maschinen - Formelsammlung (v1.0)
Seite 28 von 28
9.7 Additionstheoreme
9.8 Doppel- und Halbwinkel
sinpa ˘ bq “ sinpaq ¨ cospbq ˘ cospaq ¨ sinpbq
cospa ˘ bq “ cospaq ¨ cospbq ¯ sinpaq ¨ sinpbq
tanpaq ˘ tanpbq
tanpa ˘ bq “
1 ¯ tanpaq ¨ tanpbq
sinp2aq “ 2 sinpaq cospaq
cosp2aq “ cos2 paq´sin2 paq “´ 2 ¯
cos2 paq´1 “ 1´2 sin2 paq
`
˘
a
1`cospaq
1´cospaq
cos2 2a “
sin2
“
2
2
2
9.9 Geradengleichung Interpolieren
ypxq “ y1 `
y2 ´ y1
px ´ x1 q
x2 ´ x1
Grad <-> Rad
9.10
αrad “ α grad ¨
π
180
α grad “ αrad ¨
180
π
9.11 Grundelemente
Ohmscher Widerstand R
Kapazitität C
Induktivität L
u und i können sprunghaft ändern
u kann nicht sprunghaft ändern
şt
uptq “ C1 ipτqdτ ` up0q
i kann nicht sprunghaft ändern
uptq “ R ¨ iptq
uptq “ L
0
iptq “
uptq
R
iptq “
ZR “ R
nicht lineR“ puq “
ar:
ZC “
U
,r
Ipuq D
P “ I2 ¨ R “
“
dU
dI |U0
duptq
C dt
1
jωC
iptq “
j
U2
R
şt
upτqdτ ` ip0q
0
ZL “ jωL
“ ´ ωC
BC “ ωC
1
XC “ ´ ωC
1
L
diptq
dt
XL “ ωL
2
1
BL “ ´ ωL
I
QC “ ´U2 ¨ ωC “ ´ ωC
QL “ I2 ¨ ωL “
WC “ 12 CUC2
WL “ 12 LIL2
U2
ωL
9.12 Begriffe der Impedanz und Admittanz
Z“
Scheinwiderstand
Ue f f
Ie f f
a
R2 ` X 2
U
U ¨ U˚
S
U2
“
“
““ ˚ “ 2
˚
I
S
S
I
“
Komplexer Widerstand
Impedanz
Z “ R ` jX “ Z ¨ e jϕ
Komplexer Leitwert
Admittanz
Y “ G ` jB “
Wirkwiderstand
Resistanz
R “ RepZq
“ Z ¨ cospϕq
Wirkleitwert
Konduktanz
G “ RepYq
,
Blindwiderstand
Reaktanz
X “ ImpZq
“ Z ¨ sinpϕq
Blindleitwert
Suszeptanz
B “ ImpYq
L. Mazzoleni
“ Z1 e´jϕ
ϕ “ ϕu ´ ϕi “ arctan
Phasenverschiebung
S. Reinli
1
Z
M. Gisler
“
,
´
ImpZq
RepZq
I
U
1
R
1
X
Ohm
Ohm
Siemens
Ohm
Siemens
Ohm
Siemens
¯
Radiant
19. August 2016