Komplexen Zahlen alte Maturaarufgaben Matura 2002

Komplexen Zahlen
alte Maturaarufgaben
Matura 2002 – Aufgabe 6
(a) Berechne alle Lösungen der Gleichung z 2 + 10iz − 25 = 0, (z ∈ C).
(b) Schraffiere in der Gaussschen Zahlenebene (1 Einheit = 2 Häuschen) die Menge aller
Punkte z, welche gleichzeitikg folgende drei Bedingungen erfüllen:
• 2 < |z| < 5
• Wird z in der Form z = x + iy dargestellt, so ist 4x > y.
• Wird z in der Form z = r cis ϕ dargestellt, so ist sin ϕ < sin 240◦ .
Matura 2003 – Aufgabe 4
(a) Bestimme die Lösung der Gleichung 5z + 2z = 14 − 21i.
(b) Bestimme diejenige Lösung der Gleichung z 6 = i−10, die sich im IV. Quadranten befindet.
(Angabe sowohl in der cis- als auch in der rechtwinkligen Form.)
√
(c) Erkläre das Taschenrechnerresultat von i i
(d) Bestimme eine Gleichung höheren Grades (ausmultipliziert), deren Lösungen in der Gausschen Zahlenebene gerade den Eckpunkten eines Quadrats mit Diagonalenschnittpunkt
bei 1 (auf der reellen Achse) entsprechen, wobei der Nullpunkt ein Eckpunkt des Quadrats
ist.
Matura 2004 – Aufgabe 7
Die Grundmenge in dieser Aufgabe ist die Menge der komplexen Zahlen C. Die Teilaufgaben
sind voneinander unabhängig.
(a) Berechne die Summe 1 + i + i2 + i3 + · · · + in−1 + in für n = 317.
(b) Zeichne in der Ebene der komplexen Zahlen alle Zahlen z ein, deren Quadrate den Realteil
0 haben.
(c) Bestimme die reellen Zahlen a und b, welche die folgende Gleichung erfüllen:
i(i a − 1) + (i + b)2 = i a
Matura 2005 – Aufgabe 6
Die Grundmenge in dieser Aufgabe ist die Menge der komplexen Zahlen C.
Die Teilaufgaben sind voneinander unabhängig.
√
√
(a) Die Gleichung z 4 = r · eiϕ (r, ϕ ∈ R) besitzt die Lösung z1 = 2 + i 2 Bestimme r und
ϕ sowie die restlichen Lösungen der Gleichung (in Normalform).
(b) Die vier Lösungen der Gleichung z 4 − 8z 3 + az 2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R) bilden in der
komplexen Zahlenebene ein Quadrat, von dem eine Ecke im Nullpunkt liegt. Bestimme die
restlichen Lösungen sowie die Koeffizienten a, b und c.
Komplexen Zahlen
Lösungen
alte Maturaarufgaben
Matura 2002 – Aufgabe 6
(a) 3 Lösungen: 5i, 10 − 5i, −10 − 5i
(b) Das gesuchte Gebiet ist gelb hervorgehoben.
iR
R
Matura 2003 – Aufgabe 4
(a) z = 2 − 3i
(b) 1.469 · cis(329.0482◦ ) = 1.2598 − 0.7555i
√
1/i
1
(c) i i = i i = eiπ/2
= eπ/2 ≈ 4.8105
(d) z(z − 2)(z − (1 + i))(z − (1 − i)) = z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z = 0
Matura 2004 – Aufgabe 7
(a) s318 = 1 + i
(b) Die Menge der komplexen Zahlen mit Re(z 2 ) = 0 liegen auf den Geraden mit den Gleichungen y = x und y = −x
(c) L = {(−1, 0), (3, 2)}
Matura 2005 – Aufgabe 6
√
√
√
√
√
√
(a) r = 16, ϕ = π; z2 = − 2 + i 2, z3 = − 2 − i 2, z3 = 2 − i 2
(b) z2 = 4, z3 = 2 − 2i, z4 = 2 + 2i; a = 24, b = −32, c = 0
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