Formelsammlung Elektrische Antriebssysteme I

Formelsammlung Elektrische Antriebssysteme I
Andrea Katharina Fuchs
28. Juli 2009
Teil I
Θ... Durchflutung
1
Zentrifugalkraft:
2
2
F = mv
r = mrω
Grundlagen
1.1
Mechanik
Translatorische Bewegung:
Grösse Symbol
Weg
s
Geschw v = ds
dt
Einheit Grösse
Symbol
m
Winkel
ϕ
m/s
Kreisfreq ω = dϕ
dt
2
W-beschl ω̇ = dω
= dt2
dt
Drehmom M = J · ω̇
J: Trägheitsmom
Drall
D =J ·ω
Leistung P = M · ω
R
Energie W = p(t)dt
2
Ws
Wkin = Jω2
R
Wpot = M (ϕ)dϕ
Ws
ω = 2 · π · f = 2 · π · n/60
[n] = [1/min]
a = dv
= ddt2s
m/s2
dt
F =m·a
N
m: Masse
kg
Impuls B = m · v
kg m/s
Leistung P = F · v = E · tW
R
Energie W = p(t)dt
Ws
Beschl
Kraft
Trägheitsmoment:
R
RRR 2
J = m r2 dm = ρ
r dV
V
m 2
4
Vollzylinder: J = 2 r = πlρ
2 r
Einheit
m 2
2
4
4
Hohlzylinder: J = 2 (ra + ri ) = πlρ
2 (ra − ri )
m
m
2
Zylindermantel (δ << r): J = 4 (2r − δ) = 2πlρr3 δ
1/s
8
2
5
Kugel: J = 2m
5 r = 15 πρr
d2 ϕ
2
Rotatorische Bewegung:
kin. E Wkin = mv
Ws
R2
pot. E Wpot = F (s)ds Ws
M =F ·s
ω = v/r
1/s
Nm
Magnetischer Fluss:
ZZ
kg m2
~ · dS
~ =B·A
Φ=
B
kg m2 /s
W
bei homogener Induktion B
Ws
[Φ] = [V s] = [W b] (Weber)
2
Induktionsgesetz:
ui = dφ
dt
Bewegungsinduktion:
d
d
ui = dφ
dt = dt B · A = dt B · l · s = B · l · v
mit konstantem Magnetfeld B
magnetische Feldstärke in einem Eisenkern einer Spule:
I
X
~ · d~s = H · lF e =
H
I =N ·I
H=
Flussverkettung:
Ψ = Nφ
N ·I
lF e
magnetische
Spannung:
R2
~ · d~s
Vm = 1 H
Selbstinduktion:
di
ui = L dt
magnetische Flussdichte:
~ = µ0 µr H
~
B
µ0 = 4 · π · 10−7 Vs/Am
µr kommt auf Material drauf an, Luft: µr = 1
(in Körpern ohne permanente Magnetisierung)
Für eine Spule mit N Windungen gilt: N · φ = Ψ = L · i
Drosselspule mit geschlossenem Eisenkern:
N 2 ·A·µ0 ·µr
dH
ui = N · A dB
·
dt = N · A · µ0 µr dt =
lF e
somit: L =
[H] = [A/m]
[B] = [V s/m2 ] = [T ] (Tesla)
1.2
2
N ·A·µ0 ·µr
lF e
Luftspalt:
H
~ · d~s = HF e · lF e + Hδ · lδ = P I = N · I
H
Elektromechanische Energiewandlung
Lorentz-Kraft:
F =i·l·B
Rechtehandregel:
Zeigefinger: Strom, Mittelfinger: Magnetfeld, Daumen: Kraft
Durchflutungsgesetz:
I
ZZ
~
~=Θ
~j · dA
H · d~s =
1
di
dt
1.3
Elektrische Maschinen im Überblick
Wicklung, in die bei Bewegung eine Spannung induziert wird (Ankerwi
Erregerwicklung erzeugt ein zeitlich und räumlich konstantes Feld. In diese
sich die Läufer (Anker)-Wicklung. Der Läufer trägt eine Reihe von Wicklun
Gleichstrommaschine
S. 19
den2Kommutator
(Stromwender) mit der speisenden
Gleichspannungsquel
sind.
Skript S. 17
- Maschinen mir ruhendem oder zeitl pulsierendem Feld: Gleichstrommaschinen (DC-Maschinen) und Universalmotor
- Maschinen mit räumlich veränderlichem Feld, sog. Drehfeldmaschinen: Synchron- und Asynchronmaschinen (AC-Maschinen)
Stator:
Drehstromwicklung (D) oder Ausgeprägte Einzelpole (P)
Rotor:
- Käfigwicklung:
D: Asynchron-Käfigläufer-Motor, P: Spaltmotor
- Drehstromwicklung mit Schleifringen:
D: Asynchron-Schleifringläufer-Motor, P: Aussenpol-Synchronmaschine
- Einzelpolen:
D: Innenpol-Snychronmaschine, P: Schrittmotor
Bild 2.1: Aufbau der Gleichstrommaschine
- Stromwenderwicklung:
Ankerkreis:
D: Drehstrom-Kommutator-Maschine, P: Gleichstrommasch
a
Ua = Ra · Ia + La dI
dt + Ui
Zur Erläuterung der Funktion betrachten wir zunächst eine einzige Windun
einem
homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld (Bild 2.2). Die induzier
Erregerkreis:
dIe
u12Uläßt
sich folgendermaßen
berechnen:
e = Re · Ie + Le dt stationär: Ue = Re · Ie
dΦ
dωm
uM
12el= MW elle + MReibung + J dt
dt
Kopplungen:
mitUΦ
= Φ ]cos(2πnt) und Φ0 = -B]A folgt
i = c ·0φ · ωm
Mel = c · φ · Ia
2 π n ] B ] A ] sin (2 π n ] (enthält
t) ω ] Bu.a.
] A ] sin
(ω t)
uc...
Windungszahl)
12 Maschinenkonstante
Erregerfluss:
Le
Ie
φ= N
e
____________________________________________________________
Be/Wo 24.10.99
2.1
Fremderregte GM S. 22
Erregerkreis wird unabhängig vom Ankerkreis gespeist
stationär gilt:
Ua = Ui + Ra · Ia = c · φ · ωm + Ra · Ia
wenn Ie konst, φ auch konst.
ωm =
Ua
cφ
−
Ra
c2 φ2 Mel
Im Leerlauf:
M = 0 → Ia = 0, Ua = Ui
ωm0 = Ucφa
Leerlaufnenndrehzahl:
60
n0 = ωm0 2π
[n0 ] = [U/min]
Drehzahl nimmt bei Belastung proportional mit Moment ab,
I
2
2.3
Steigung:
a
− cR
2 φ2
Seriemaschine S. 27
Vergrösserung von Ua : M-n-Kennlinienschar parallel nach rechts
Verkleinerung von Ie : M-n-Kennlinien nach rechts und schwachen ab
Drehzahlregelung über Ankerspannung oder Erregerfluss:
Feldschwächung (Verkleinerung Erregerfluss (φe ))
Im unteren Drehzahlbereich, bei vollem Fluss Drehzahlerhöhung- auch Reihenschluss- oder Hauptschlussmaschine genannt
durch Erhöhung der Ankerspannung. Bei maximalem Anker- - niederohmige Erregerwicklung in Serie geschaltet mit Anstrom bleibt Moment konstant. Leistung nimmt linear zu.
kerkreis
- Erregerstrom und Ankerstrom sind gleich gross
Drehzahl bei maximal zulässiger Ankerspannung kann durch
Feldschwächung erhöht werden (Verkleinerung Erregerfluss I = I
e
a
(φe )).
Le
Le
Ie = N
Ia
φ= N
e
e
ωm =
Ua −(Ra +Re )Ia
Le
cN
I
e a
ohne Last brennt Maschine durch: für Ia → 0 geht ωm → ∞
Mel = c ·
2.4
Le 2
Ne Ia
Ankerrückwirkung S. 29
- Fliesst auch in der Ankerwicklung ein Strom, erzeugt dieser
ebenfalls ein Fluss durch den Luftspalt
- Ankerrückwirkung: Überlagerung des Erregerfeldes durch
Ankerfeld
→ nahe beim gesättigtem Zustand: induzierte Spannung nimmt
ab
2.4.1
Kompensationswicklungen
- Gleichen Feldverzerrung von Ia aus
- Vom Ankerstrom durchflossen
2.4.2
Wendepolwicklung
- Verbesserung des Kommutierens durch Aufheben des Ankerfeldes in der geometrisch neutralen Zone
2.2
Nebenschlussmaschine S. 26
Erregerkreis und Ankerkreis sind parallel geschaltet.
φ=
Le
Ne Ie
=
Le
Ua
Ne Re +RV
Erregung kann mit Vorwiderstand RV beeinflusst werden.
Drehzahl:
e +RV )
ωm = Ne (Rc·L
−
e
Ra (Re +RV )2 Ne2
(c·Le ·Ua )2
· Mel
Leerlaufdrehzahl: (unabhängig von Ua )
e +RV )
ωm0 = Ne (Rc·L
e
3
I
2.5
-
3
Universalmotor S. 30
Baugleich wie Serieerregte GM
benötigen Kollektor → Kollektormotoren
Können mit Wechselstrom betrieben werden
Drehmoment pulsiert mit doppelter Netzfrequenz
meistens zweipolig
-
Antriebe mit Drehfeldmaschinen S.
36
rotierendes Feld
SM: Synchronmaschinen
ASM: Asynchronmaschinen
Stator- und Rotorfeld immer synchron
3.1
Drehfelder und Drehzeiger
Drei Phasenströme:
ia (t) = Iˆ cos(ωt + ϕi )
ib (t) = Iˆ cos(ωt − 120◦ + ϕi )
ic (t) = Iˆ cos(ωt + 120◦ + ϕi )
Flussverkettung:
Ψa = Lph · ia
Ψb = Lph · ib
Ψc = Lph · ic
- Eisenverluste der Erregerwicklung vernachlässigt
- Stromwärmeverluste vernachlässigt
- betrachten nur Grundwellen
Betrag des Drehfeldes entspricht 3/2 der Amplitude der Phasengrösse:
~ gesamt = [Ψa · ej0◦ + Ψb · ej120◦ + Ψc · e−j120◦ ]
Ψ
= 23 · Iˆ · Lph · ej(ωt+ϕi )
U e = I · Re + jωLe I
U a = I · Ra + jωLa I
U i = c · Φde ωm
Ohne Berücksichtigung der Sättung sind Strom und Spannung in Phase
Übliche Konvention:
~ = 2 [Ψa · ej0◦ + Ψb · ej120◦ + Ψc · e−j120◦ ]
Ψ
3
U = U i + I(Ra + Re ) + jωI(Le + La )
= Iˆ · Lph · ej(ωt+ϕi )
Mel = cΦde I
ωm ∼
Effektivwerte: Faktor
√Ui
Mel
√
2/3
◦
Universalmotoren können mit Gleich- und Wechselspannung
betrieben werden
Feldschwächung bei kleinen Anwendungen durch Feldumschaltung (Skript S. 33)
ej0 = 1
√
◦
ej120 = − 21 + j · 23
√
◦
e−j120 = − 12 − j · 23
3.2
3.2.1
Drehzeigertransformation
Dreiphasenebene ⇒ Drehzeiger S. 40
◦
◦
◦
~
Ψ(t)
= 23 [Ψa (t) · ej0 + Ψb (t) · ej120 + Ψc (t) · e−j120 ]
◦
◦
◦
~i(t) = 2 [ia (t) · ej0 + ib (t) · ej120 + ic (t) · e−j120 ]
3
◦
◦
◦
~u(t) = 32 [ua (t) · ej0 + ub (t) · ej120 + uc (t) · e−j120 ]
◦
◦
◦
~x(t) = 32 [xa (t) · ej0 + xb (t) · ej120 + xc (t) · e−j120 ]
Feststehendes KOS (α/β-Ebene):
~x(t) = xα + j · xβ
xα = 31 (2xa − xb − xc )
xβ = √13 (xb − xc )
Informationsverlust, da Abbildung von drei Phasengrössen
auf zwei Grössen
Es fehlen gleichphasige Komponenten:
Nullsystem: x0 (t) = 13 [xa + xb + xc ]
Gleichphasige Komponenten sind Anteile in den Phasengrössen,
die für alle drei Phasen gleich sind.
Für symmetrische, sinusförmige Dreiphasensysteme im stationären Zustand verschwindet das Nullsystem.
I
4
4
Stationärer Zustand: Länge und Frequenz des Drehzeigers
sind konstant
-
Synchronmaschine S. 45
Rotor 1phasig, Stator 3phasig
Als Generator in Kraftwerken im Gebrauch
Als Motor mit Frequenzumrichter
Stator hat dreiphasige Wicklung
Vollpolmaschine: schnelllaufend
Schenkelpol: Rotor-Magnetfeld zeitl konst, langsamlaufend
Vorteil: kann Blindleistung liefern
Abbildung 1: links: Schenkelpol, rechts: Vollpol
3.2.2
Drehzeiger ⇒ Zeiger S. 41
Statorwicklung erzeigt Drehfeld:
ωD1 = ωp1
1... Stator
p... Polpaarzahl
- Rotierendes KOS mit Umlaufgeschwindigkeit ωK
- Zum KOS erscheint stillstehender Zeiger X
X(t) = ~x(t) · e−j
R
ωK dt
Wenn ωK konstant: X(t) = ~x(t) · e−jωK t
Stator und Rotor haben immer die gleiche Polpaarzahl
Imaginär- und Realteil:
X(t) = Xx + j · Xy
Polpaarzahl grösser:
→ Drehzal nimmt um Faktor p ab
→ Drehmoment nimmt um Faktor p zu
→ Leistung bleibt konstant, somit unabhängig von p
Bei SM: X(t) = Xd + j · Xq
3.2.3
Drehmoment an der Welle nimm um Faktor p zu:
M = p · Mp
Mp ... pro Polpaar erzeugtes Drehmoment
Zeiger ⇒ Drehzeiger S. 43
- Ohne Informationsverlust
~x(t) = X(t) · ej
R
4.1
ωK dt
Lastmoment = Motormoment
dq-KOS:
- bei Schenkelpolmaschine magnetische Verhältnisse in d- und
q- Achse unterschiedlich
- bei Vollpolmaschine (etwa) gleich
- deshalb anderes Ersatzschaltbild
- bei Zeiger: U P im stat. Betrieb immer auf q-Achse gesetzt
Wenn ωK konstant: ~x(t) = X(t) · ejωK t
3.2.4
Stationärer Betrieb
Drehzeiger ⇒ Phasengrössen S. 44
- gleichphasige Komponenten gehen verloren
- eindeutig, wenn gleichphasige Komponenten (Nullsystem)
einbezogen werden oder gleich null sind
xa (t) = Re{~x(t)} + x0 (t)
◦
xb (t) = Re{~x(t) · e−j·120 } + x0 (t)
◦
xc (t) = Re{~x(t) · ej·120 } + x0 (t)
direkt aus Drehzeigerkomponenten:
xa = xα√+ x0
xb = 12 ( 3xβ − xα ) + x0
√
xc = 12 (− 3xβ − xα ) + x0
Abbildung 2: Links: Schenkelpol, Rechts: Vollpol
ϑ... Polradwinkel, zwischen Stator- und Polradspannung
Polradspannung: Spannung, die durch das Magnetfeld des
drehenden Rotors in der Statorwicklung induziert wird
ϑ > 0 → positives Drehmoment → motorischer Betrieb
5
I
Kippmoment:
4.1.3 SM am Netz S. 55
maximales Moment, wird Maschine über diesen Punkt belas∆U ⊥I 1
tet kippt sie, d.h. sie fällt ausser Tritt und läuft nicht mehr
synchron
4.1.1
Schenkelpolmaschine
Statorspannungsgleichung:
U 1 = I 1 R1 − ω1 Lq Iq + jω1 Ld Id + jU P
Auf d- und q-Achse:
U1d = −U1 sin ϑ = R1 I1d − ω1 Lq Iq = R1 I1d − Xq Iq
U1q = U1 cos ϑ = R1 I1q + ω1 Ld Id + UP = R1 I1q + Xd Id + UP
Ströme:
U X cos ϑ−U1 R1 sin ϑ−UP Xq
I1d = 1 q
R2 +Xd Xq
4.2
1
SM in Raumzeigerdarstellung
U1 R1 cos ϑ+U1 Xd sin ϑ−UP R1
R12 +Xd Xq
I1q =
Leistung der ganzen Maschine:
2
2
P = M · ωm = 3(U1d I1d + U1q I1q − R1 (I1d
+ I1q
))
=
3U1 UP
Xd
sin ϑ +
3U12 1
2 ( Xq
Moment:
1 UP
sin ϑ +
M = ω3·U
mech Xd
−
1
Xd ) sin(2ϑ)
3·U12
1
2ωmech ( Xq
−
1
Xd ) sin(2ϑ)
U P im stat. Betrieb immer auf q-Achse gesetzt
U R parallel zu I 1
dΨ
d
Ud = R1 Id + dΨ
− pωmech Ψq
Uq = R1 Iq + dtq − pωmech Ψd
dt
Φd = Ld Id + Φ0
Φq = Lq Iq
Id = (Φd − Φ0 )/Ld
Iq = Φq /Lq
3p
(I
Φ
−
I
Φ
)
=
(I
Φ
+
Id Iq (Ld − Lq ))
M = 3p
q d
q 0
d q
2
2
R
1
ωmech = J (M − MLast )dt
4.3
M = MKipp · sin ϑ
ϑ ... Polradwinkel
s.S 52
Abbildung 3: links: Schenkelpol, rechts: Vollpol
4.1.2
Vollpolmaschine
U xd ⊥I 1
Statorspannungsgleichung:
U 1 = I 1 (R1 + jω1 Ld ) + jUp
Leistung:
P = M · ωmech =
3U1 UP
Xd
sin ϑ = 3UP I1q
Moment:
1 UP
M = ω3·U
sin ϑ ωmech =
mech Xd
I
Kippmoment
ω1
p
6
5
-
Asynchronmaschine S. 60
Stationär induzierte Spannungen:
h
Stator: Uh1 = N1 dΦ
dt = ω1 · N1 · Φh
dΦh
Rotor: Uh2 = N2 dt = ω2 · N2 · Φh
Uh2
N1 Uh2
⇒ Uh1 = N
s = ü s
2
robust
kostengünstig
keine Schleifringe (Unterhalt)
Lebensdauer: Lager
hoher Anlaufstrom
Stator und Rotor 3phasig
Statorsprom:
I1 = − ü1 I2
unter Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes
Leistung im Rotor:
P2 = 3 · Uh2 · I2
Leistung im Stator:
P1 = 3 · Uh1 · I1
Leistung im Luftspalt:
Pδ = P1 − 3 · R1 · I12 − PF e
Bei Vernachlässigung von R1 und den Eisenverlusten PF e
stimmt Leistung im Luftspalt mit der im Stator überein:
P2 = s · Pδ
Pδ = P2 + Pmech
Pmech = Pδ − P2 = (1 − s) · Pδ
Statorwicklung induziert Drehfeld:
ωD1 = ωp1
ω1 ... Statorfrequenz
ωD1 ...Frequenz des Statordrehfeldes
- im Stillstand wie Transformator, entsprechend Windungs- 5.1 Stillstand
zahlverhältnis
ωmech = 0
- Luftspalt möglichst klein wegen magn. Widerstand und Streuin-n = 0
duktivitäten
s=1
- im Motorbetrieb: Maschine in gleiche Richtung wie Stator- ω = ω
2
1
feld
U = Uh 1
h2
ü
Relative Rotorfrequenz: (Frequenz des Drehfeldes aus Sicht
5.2 Synchrondrehzahl
des Rotors)
ωD2 = ωD1 − ωmech
ωmech = ω1
ω2 ...Rotorfrequenz
n = nsyn
s=0
ωmech ... mech. Drehzahlkreisfrequenz, prop. zu Drehzahl
ω2 = 0 = ωmech − ω1
Uh2 = 0
ω2 = p · ωD2 = ω1 − p · ωmech
5.3
Leerlauf → Synchrondrehzahl:
ωmech = ωD1 dann wird ωD2 = 0 und ω2 = 0
Im Rotor induzierte Spannung = 0, Strom im Rotor = 0
(Leerlauf )
Motorbetrieb
0<s<1
0 < n < nsyn
Pδ > 0
Schlupf ist die Drehzahldifferenz zwischen Stator- und Rotor0 < Pmech < Pδ
drehfeld, angegeben als Prozentwert bezogen auf die Dreh0 < P2 < Pδ
feldzahl
Statordrehfeld vor Rotor
Die in Stator eingespeiste Leistung teilt sich in mechanische
Leistung und Rotorleistung (im Rotorwiderstand in Wärme)
auf.
Schlupf:
s=
ωsyn − ωmech
ω1 − p · ωmech
ω2
ω2D
nsyn − n
=
=
=
=
nsyn
ωsyn
ω1
ω1
ω1D
somit:
5.4
ω2 = s · ω1
ω2 > ωsyn :
mechanische und Statordrehfeld-Richtung entgegengesetzt
Generatorbetrieb
s<0
n > nsyn
Pδ < 0
Pmech < 0
P2 > 0
n > nsyn :
- Rotor schneller als Statordrehfeld, Schlupf negativ
- entspricht Phasendrehung der induz Spannung um 180◦
7
I
Die mechanische Leistung wird über die Statorwicklung zurück
ins Netz gespeist und über die Rotorwicklung in Wärme umgesetzt.
5.5
Bremsbetrieb = Gegenlauf
s>1
n<0
Pδ > 0
Pmech < 0
P2 > 0
Rs = R2 ·
mit R2 + Rs =
Rotor dreht entgegen Statorfeld. Leistung von Netz und Welle 5.7.2
im Rotor in Wärme umgesetzt. Mit Umrichtern keine Bedeutung.
5.6
Berücksichtigung von Streu- und Hauptimpedanzen
Motorbetrieb
Pmech
P1
<
Pmech
Pδ
=1−s
η=
5.6.2
η=
R2
s
Wirkungsgrad S. 69
5.6.1
η=
1−s
s
Streuinduktivitäten: Lσ1 und L0σ2
Magnetisierungsstrom: RF e und Lh
Generatorbetrieb
P1
Pmech
5.7
Pmech
P1
<
Pδ
Pmech
=
1
1−s
U 02 = ü · U 2
I
I 02 = ü2
R20 = ü2 · R2
Rs0 = ü2 · Rs
L0σ2 = ü2 · Lσ2
Einphasiges Ersatzschema S. 69
Annahme idealer Transformator:
- Statorwiderstand vernachlässigt
- Streuinduktivitäten vernachlässigt
- Magnetisierungsstrom vernachlässigt
- Eisenverluste vernachlässigt
5.7.3
T-Ersatzschaltbild (nur stationärer Betrieb)
Abbildung 4: RF e vernachlässigt, R20 und Rs0 zu R20 /s zusammengefasst
Uh2 = üs Uh1 = s · Uh20
I1 = − ü1 I2 =
1
ü
·
Abbildung 5: Lσ1 zum Verschwinden gebracht
Uh2
R2
Uh20 ... Rotorspannung im Stillstand bei s=1 (Stillstandspannung)
R1 , R2 ... Wicklungswiderstände
5.7.1
I
Läuferwiderstand Rs
8
Abbildung 7: Drehmoment in Funktion der Drehzahl
Abbildung 6: Lσ2 zum Verschwinden gebracht
Kippmoment:
U2
3·p
Mk = 2ω
· (R1 +ω1 L1σ1+ω1 L0
1
2
2σ )
Mel
Mk
=
5.9
s
sk
2
s
+ sk
Betrieb mit variabler Drehzahl S. 80
Es gibt 4 Möglichkeiten auf die Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie
einer ASM einzugreifen: R2 , U1 , ω1 und p
5.8
5.9.1
Variation von R2
5.9.2
Variable Speisespannung U1
5.9.3
Variable Statorfrequenz ω1
Drehmoment S. 76
Mel =
Pmech
(1 − s)Pδ
Pδ
Pδ · p
=
=
=
ωmech
(1 − s)ωD1
ωD1
ω1
mit rotorseitiger Streuung:
2
Uh20
Mel = 3·p
·
ω1 · R2 2
2
(
s
) +(ω1 L2σ )
R2
s
U2h0 ... Rotorspannung im Stillstand bei s=1
mit Statordaten:
Mel = 3·p
R0
ω1 ·
(R1 +
U12
0
2 2
2
s ) +(ω1 L1σ +ω1 L2σ )
·
R20
s
In Umgebung der Synchrondrehzahl, Moment annähernd linear:
U12
Mel ≈ 3·p
ω1 R0 · s
2
Kippschlupf:
sk = √ 2
R20
R1 +(ω1 L1σ +ω1 L02σ )2
9
I
5.9.4
6
Variation Polpaarzahl
6.0.4
5.10
Umrichter
Stromrichter mit Spannungszwischenkreis
Abbildung 8: Netzseite fremdgeführt
Stromortskurve S. 83/84
- stationäre Betrachtung
- konstante Statorspannung
- I1 als Funktion von s
5.11
ASM in Raumzeigerdarstellung
Abbildung 9: Netzseite selbstgeführt
Raumzeigerdarstellung zur Behandlung von dynamischen Vorgängen
d/dt 6= 0 → nicht mehr stationär!!
- Spannungzwischenkreis: U-Umrichter
- selbstgeführte Stromrichter auf Maschinenseite
5.11.1 Stillstehendes KOS (α − β−KOS) S. 87
- Leistungshalbleiter müssen abschaltbar
Spannungsgleichungen im rotorfesten KOS aufstellen und ins - Leistungshalbleiter müssen rückwärtsleitend sein
statorfeste KOS transformieren:
→ antiparallele Diode
dΨ
u1 = R1 i1 + dt1
- Rückspeisung bei selbstgeführter Netzseite
u2 = R2 i2 +
dΨ2
dt
− jpωmech Ψ2
6.0.5
Stromrichter mit Stromzwischenkreis
Ψ1 = L1 i1 + Lh i2 = (Lh + Lσ1 )i1 + Lh i2 = Lh (i1 + i2 ) + Lσ1 i1
Ψ2 = L2 i2 + Lh i1 = (Lh + Lσ2 )i2 + Lh i1 = Lh (i1 + i2 ) + Lσ2 i2
M=
3p
∗
2 ={Ψ1 i1 }
ωmech =
1
J
R
=
3p Lh
∗
2 L2 ={Ψ2 i1 }
=
3p Lh
∗
2 L1 {Ψ1 i2 }
(M − MLast )dt
- I-Umrichter
- Induktivität hält Strom konstant
Ψ=L·i=N ·Φ
5.11.2
6.1
Rotierendes KOS S. 90
Fremdgeführte Stromrichter
- alle Komponenten als ideal angenommen
u1 = R1 i1 +
dΨ1
dt
+ jωK Ψ1
u2 = R2 i2 +
dΨ2
dt
+ j(ωK − pωmech )Ψ2
6.1.1
Einphasiger Gleichrichter mit L-Glättung
Ungesteuerte B2:
Ψ1 = L1 i1 + Lh i2
Ψ2 = L2 i2 + Lh i1
M=
3p
∗
2 ={Ψ1 i1 }
=
3p Lh
∗
2 L2 ={Ψ2 i1 }
=
3p Lh
∗
2 L1 {Ψ1 i2 }
ωmech =
1
J
5.11.3
Trafo vom stator- ins rotorfeste KOS und umgekehrt
R
(M − MLast )dt
Wenn die Netzspannung positiv ist, leiten D1 und D4, wenn
negativ, D3 und D2.
XS = XR · ejωK t
ωK = −p ∗ ωmech
XR = XS · e
linearer Mittelwert der Ausgangsspannung:
√
RT
Rπ
Udi0 = T1 0 ud dt = π1 0 ud d(ωt) = 2 π 2 UN = 0.9UN
−jωK t
d... Gleichspannung
I
10
6.1.3
Dreiphasiger Gleichrichter mit L-Glättung
L-Glättung: durch Induktivität
Netzstrom ist rechteckförmig
Oberschwingungen des Netzstromes!
Ungesteuerte B6:
i... idealisiert
0... Zündwinkel α = 0 (bei Dioden immer)
Gesteuerte B2:
Ausgangsspannung folgt dem Mittelwert der verketteten Spannung, wenn Dioden eingesetzt werden
Idealisierte
DC-Spannung (Mittelwert):
√
Mittelwert der Ausgangsspannung ist einstellbar mit Zünd3 2
Udi0 = π UN = 1.35UN
winkel α zwischen
Udi0 und −Udi0 :
R
1 α+π
Udiα = π α
ud d(ωt) = Udi0 cos α
Im dreiphasigen Fall ist für UN der Effektivwert der verketteten Netzspannung einzusetzen!
◦
Bei Zündwinkel α = 90 mittlere Ausgangsspannung = 0
◦
α < 90 : passive Last
Effektivwert
q des Netzstromes:
α > 90◦ : aktive Last, mittlere Ausgangsspannung negativ,
2
i
=
N
ef f
3 Id
Wechselrichterbetrieb (Einspeisung ins Netz)
6.1.2
Fourieranalyse:
√
1
iN (t) = 2 π 3 Id {sin(ωt)− 51 sin(5ωt)− 71 sin(7ωt)+ 11
sin(11ωt)+
...}
Nur ungerade Harmonische, Vielfache von 3 nicht
Einphasiger Gleichrichter mit C-Glättung
Glättung durch Kondensator, Netzstrom ist pulsförmig
Effektivwert
q im Halbleiter:
iHLef f = 13 Id
Mittelwert im Halbleiter:
iHLavg = 13 Id
11
I
Gesteuerte B6:
6.1.5
Vergleich der verschiedenen Schaltungen
Udiα = Udi0 cos α
1)
2)
3)
4)
Abbildung 10: oben: 30◦ , unten: 60◦
Leistungsfaktor:
Pdiα
=
λ = PS = π/3·P
di0
6.1.4
cos α
π/3
= 0.995 cos α
Dreiphasige Gleichrichter mit C-Glättung
Effektivwert
qdes Netzstromes:
iNef f = I3L t10
E
Effektivwert
qin Diode:
iDef f = I3L 2t10
E
Mittelwert in Diode:
iDavg = 13 IL
Stromeffektivwert
in Kondensator:
q
iCef f = IL 6t10 − 1
E
Relative
q Pulsweite:
t0E = 6πω √IL2U C
N
v0
d
Uv0 ... Effektivwert der verketteten Netzspannung
I
12
Ungesteuerte Gleichrichterbrücke
Gesteuerte Gleichrichterbrücke
Umkehrgleichrichter (Rückspeisung ins Netz möglich)
selbstgeführter Stromrichter
Teil II
2
Asynchronmaschine am
Netz
1
Maschinengleichungen ASM
2.1
Konzentrierte Wicklungen
2.2
Transformation auf zwei Achsen
Umrichter als Spannungsquelle
3-phasiger IGBT-Umrichter mit U-Zwischenkreis
Mittelwert der Ausgangsspannung (Kurzzeitmittelwert) zwischen 12 UDC und − 21 UDC
Gewünschter Mittelwert mit PWM (pulse width modulation)
abc ↔ αβ Transformation
 
xa
xα
= T ·  xb 
xβ
xc
1
1
−
−√12
√2
T = 32
3
0
− 23
2
 
xa
 xb  = S · xα
xβ
xc


1
0
√

3 
S = − 21
2√ 
− 21 − 23
Common mode Anteil geht bei der Umrechnung jedoch verloren!
Darum bei wenn Sternpunkt angeschlossen ist, xa +xb +xc = 0
oder 0-Komponente ergänzen
2.2.1
1.1
Common mode
- Asymmetrische Spannungen
- Last-Sternpunkt nicht mit dem Mittelpunkt des Zwischen2.2.2 Nutzen der αβ Transformation
spannungskreises verbunden
- Spannung fällt ab, ohne dass Strom fliesst
Leistung:
 T  
T ua
ia
i
offenes Nullsystem:
3 uα




u
i
p=
· b =2
· α
b
uβ
iβ
Ûmax P h−n = √23 UDC
2
uc
ic
Ûmax P h−P h = UDC
Flussgleichungen:
  
  
Ψa
La Lba Lca
ia
 Ψb  = Lab Lb Lcb  ·  ib  + f (Rotorströme)
1.2 Differential mode
Ψ
L
L
L
ic
- Sternlastpunkt mit Mittelpunkt von Zwischenspannungs- c ac bc c
Ψα
L 0
i
kreis verbunden
=
· a + f (Rotorströme)
Ψβ
0 L
ib
- Strom fliesst
- Spannungsverzerrungen, 15% Spannungseinbussen
- Spannung zwischen Last-Phasen und Mittelpkt vom Zwi- 2.3 Drehtransformation
schenkreis
xα
Vektor: X =
xβ
UDC
Ûmax P h−n = 2
√
komplexe
Zahl:
X = xα + jxβ
Ûmax P h−P h = 23 UDC
entweder oder verwenden, nicht mischen!
13
II
2.4.5
Streufaktor
L1σ
L1
L2σ
L2
σ1 =
σ2 =
=
=
L1 −Lh
L1
L2 −Lh
L2
Streufaktor:
σ = 1 − (1 − σ1 ) · (1 − σ2 ) = 1 −
σ ≈ 5..10%
2.4.6
Ψ1 =
2.3.1
L2h
L1 L2
Zusammenhang Stator- und Rotorfluss
Lh
L2 Ψ2
+ i1 · L1 · σ
Übliche KOS
S
... statororientiertes, stillstehendes KOS
... rotororientieretes, mitdrehendes KOS
F
... mit dem Fluss mitdrehendes KOS
ω
... mit ω(t) drehendes KOS
bei der Transformation in ein anderes KOS wird aus einer
Ableitung dv/dt → dv/dt ± j · ω · v (+ wenn in pos. und - in
neg. Drehrichtung)
R
2.4
Maschinengleichungen
1 ... Statorgrössen
2 ... Rotorgrössen
2.4.1
d S
dt Ψ1
mit τ2 =
R-KOS
2.4.8
und f2 =
ω
2π
L2
R2
Rotorfluss
1
Ψ2 = Lh i1d 1+sτ
2
stationär: Ψ2 = Lh · i1d
Rotorfluss-orientiertes KOS
2.4.9
F
F
d F
uF
1 = R1 · i1 + dt Ψ1 + jω1 Ψ1
F
d F
F
0 = u2 = R2 · i2 + dt Ψ2 + jω2 ΨF
2
2.4.4
Lh i1q
τ2 Ψ2
ω2 =
Rotorwicklung ist kurzgeschlossen → u2 = 0
R
d R
0 = uR
2 = R2 · i2 + dt Ψ2
2.4.3
Schlupffrequenz
im F-KOS
S-KOS
uS1 = R1 · iS1 +
2.4.2
2.4.7
Spannungsgleichungen im statorfesten KOS
uS1 = R1 · iS1 +
ΨS
1
dt
= R1 · iS1 + σL1
diS
1
dt
+
S
Lh dΨ2
L2 dt
Flussgleichungen
in beliebigem KOS
Ψ1 = L1 · i1 + Lh · i2
Ψ2 = Lh · i1 + L2 · i2
L1 = Lh + L1σ
L2 = Lh + L2σ
e1 = u1 − R1 i1 ⊥Ψ1
2.4.10
T =
2.5
Anwendungen der Gleichungen
2.5.1
i2 =
II
14
Drehmoment
3 Lh
2 p L2 |Ψ2 |i1,q
Rotorströme
Ψ2 −Lh ·i1
L2
h
stationär: i2 = − L
L2 · i1q
3
2.5.2
Grenzen:
- maximaler Strom
- maximale Spannung
- maximal möglicher Fluss
Gleichstrombremsung
Mit Gleichstrom kann man eine ASM bremsen, die Bremswirkung ist jedoch auch bei grossen Strömen nur sehr klein
2.5.3
Zusammenhänge beim Stromrichterbetrieb
Kopplung Statorfluss und Strom
1
Ψ2 = Lh i1d 1+sτ
2
→ Rotorfluss sehr gut vom Statorstrom entkoppelt
h
Ψ1 = L
L2 Ψ2 + i1 · L1 · σ
→ Statorfluss gekoppelt an Statorstrom
2.5.4
ξ=
Wirkungsgrad im stationären Betrieb
pmech
pel
=
ωmech ·p
ω1
=
ω1 (1−s)
ω1
=1−s
3.1
U/f-Regelung
- sehr einfach
- Strom nicht im Griff
- System schwingfähig → keine Rampen und Sprünge
15
II
4
Maschinenmodelle
5
Feldorientierte Regelung
Zwei Wege um Rotorfluss zu berechnen: Spannungs- und Strommodell
4.1
U-Modell
für grosse
Frequenzen
R
h
Ψ1 = (u1 − R1 i1 )dt = L
L2 Ψ2 + i1 · L1 · σ
L2
→ Ψ2 = Lh (Ψ1 − i1 · L1 · σ)
Berücksichtigen:
- Statorwiderstand temperaturabhängig
- Integrator nachtragend → negative Rückkopplung
- Fehlerkorrektur (in Phase und Betrag)
- zeitliche Konsistenz
4.2
Idee der Rotorfluss-orientierten Regelung:
- laufendes KOS auf Rotorfluss legen
- d- und q-Achse
- Drehmoment und Fluss können praktisch entkoppelt geregelt werden
- d-Strom: Fluss regeln
- q-Strom: Drehmoment regeln
I-Modell
für tiefe Frequenzen
R
1
ΨR
2 = i1 Lh 1+sτ2
Zeitkonstante τ2 =
L2
R2
eher langsam
Beachten:
- Winkel des Rotors nötig
- τ2 von vielen Grössen abhängig: Temperatur, Sättigung, Frequenz der Ströme im Rotor
verschiedene Vergehen:
- Regler rein theoretisch auslegen, Parameter anhand Frequenzgängen bestimmen (meist kompliziertere Regler)
- einfacher Regler (z.B. PI) von Han tunen
- Startwerte ausrechnen, dann von Hand tunen
4.3
Reiner I-Teil geht nicht, da schwingfreudig!! Mind. PI
Vergleich der beiden Modelle
- häufig Kombination verwendet
5.1
Stromregelung
U-Modell:
- unempfindlich auf ungenaue Parameter
- bei Nennspannung Spannungsabfall am Statorwiderstand
vernachlässigbar
- Streuinduktivität meist recht genau bekannt
- bei tiefen Frequenzen: Spannungsabfall über Statorwicklung
und kleine Messfehler haben hohen Einfluss
I-Modell
- wenn Lh und R2 genau bekannt wären, wäre I-Modell bei
Differenz von Soll- und Istwert in PI-Regler
allen Frequenzen gut
- benötigt Drehzahlsensor (finanziell und unterhaltsmässig Feedforward: Anteile der gefordeten Spannung bereits bekannt
schlecht)
Statorspannungsgleichung:
F
Die Resultate der beiden Modelle stimmen meistens nicht uF = R1 · iF + σL1 di1 + σL1 · jω1 · iF + Lh · jω1 · ΨF
1
1
1
2
dt}
L
überein, darum redundante Informationen benutzen, um Mo|
{z
|
{z 2
}
Regler
delle abzugleichen.
V orsteuerung
→ Linearkombination von beiden Modellen!!
Lh dΨF
2
+
L2 dt
| {z }
F lussänderung
- Vorsteuerung: Anteile als Feedforward zum Reglerausgang,
somit entkoppelt vom Regler
- Flussänderung: bei Reglerdimensionierung oft vernachlässigt
Anteil des Reglers:
diω
1
uP I = R1 · iω
1 + σL1 dt
Als Übertragungsfunktion:
II
16
1
R1
ΣP I =
τel =
5.2
1+sτel
Flussregelung
1
Ψ2 = Lh i1d 1+sτ
2
→ Rotorfluss folgt d-Strom mit Tiefpassverhalten
σL1
R1
Regler:
1+sT
GP I (s) = kpf sTnfnf
Stromregler:
ni
GP I (s) = kP I 1+sT
sTni
Strecke:
1
→ Lh in per unit!
Gel (s) = Lh 1+sτ
2
Strecke:
1
GP I = R11 1+sτ
el
offener Regelkreis:
k Lh (1+sTnf )
Go (s) = pf
sTnf (1+sτ2 )
offener Regelkreis:
k (1+sTni )
G0 (s) = sTnip·R1 ·(1+sτ
el )
geschlossener Regelkreis:
geschlossener Regelkreis:
τcl =
Gcl (s) =
τcl =
G0 (s)
1+G0 (s)
=
Gcl (s) =
1
1+s
τel ·R1
kP I
=
1
1+sτcl
Go (s)
1+Go (s)
=
1
τ
1+s L k2
=
h pf
1
1+sτcl
τ2
Lh kpf
Parameter setzen:
τcl ≈ 2 · TS
τel ·R1
kP I
Parameter setzen:
Tni = τel
Ts ist typischerweise 250 µs
kpf 6
τ2
Lh τcl
=
τ2
Lh ·100·τcl,iLoop
Beachtung der Samplingzeit (Totzeit)→ Shannon-Theorem:
·R1
τel = τel
kP I > 2 · TS
el ·R1
1
→ kP I 6 τ2·T
= σ·L
2·TS
S
100 mal (2 Dekaden) langsamer als i-Regelkreis
kurz:
kP I =
Flussregler darf 15-20% überschwingen
Tnf = τ2
σ·L1
2·TS
Tni = τel =
σ·L1
R1
5.3
Regelungstopologie
Fluss und Drehmoment entkoppelt geregelt:
- Fluss über d-Strom geregelt
- Drehmoment über q-Strom geregelt
17
II
6
Abgleich der beiden Maschinenmodelle
i-Modell:
Lh (sättigungsabhängig)
(τ2 = L2 /R2 (sättigungs- und temperaturabhängig))
u-Modell:
Lσ = σ · L1 (leich sättigungsabhängig)
Quotient Lh /L2 (lohnt sich nicht)
(R1 (nur bei kleinen Frequenzen))
6.1
Abgleich von Lσ
u-Modell wird abgeglichen
6.2
Abgleich von Lh
u-Modell wird als korrekt angenommen und i-Modell abgeglichen
6.3
Abgleich von τ2
Zwei Möglichkeiten:
- Zeitkonstante aus id,Ref Sprung ablesen
L i
- Abgleich mit ω2 = τ2hΨ1q2
Beide Verfahren werden mit dem u-Modell durchgeführt
6.3.1
Zeitkonstante aus id,Ref Sprung ablesen
Ψ2 hat Tiefpassverhalten mit τ2 :
1
Ψ2 = Lh i1d 1+sτ
2
Abbildung 11: Lσ zu gross
Abbildung 12: Lσ zu klein
τ2 graphisch ablesen
6.3.2 Abgleich mit ω2 = f (iq )
- Im Leerlauf (iq = 0) ergibt sich durch falsches Lσ ein WinL i
ω2 = τ2hΨ1q2
kelfehler in Ψ2
- Lσ grösser als korrekt, vermeintlicher q-Strom hat positiven
Mit u-Modell zu Betriebspunkt mit Schlupf fahren, dann:
d-Anteil
L i
τ2 = ωh2 Ψ1q2
→ u-Modell und fixer Sollwert für Ψ2 , dann id = f (iq ) anω2 = ω1 − ωmech
schauen, Lσ verändern bis f (iq ) konstant
II
18
7
7.1
Traktionsregelung
7.4
Beispiel für Traktionsregelung
Fahrzeugleittechnik gibt maximale Steigung (dω2 /dt) vor
Grössenordnungen
Lok 2000:
- 300 kN Zugkraft
- 650 t Zuglast
Max. Steigung Gotthard: 270/00
Max. Steigung RhB: 700/00 , Triebwagen (fast alle Achsen angetrieben)
7.2
Rad-Schiene Kontakt
Rad MUSS schlüpfen
1. Zug fährt konstant, Triebräder drehen mit etwas Schlupf,
um Moment aufzubringen
2. Triebräder beginnen zu schleudern, dank Begrenzung df /dt
nicht zu steil
3. Zu grosse Differenz zwischen Trieb- und Laufrädern, df /dt
verkleinern, Drehmoment Sollwert bleibt
4. Triebrad-Frequent nie grösser als eingestellter maximaler
Gradient
5. Durch negatives df /dt Triebrad auf gewünschte Differenz
zu Laufrad mit optimalem Schlupf
7.5
Abbildung 13: Kennlinie Kraftschluss-Schlupf
Direkt beeinflussbar:
- d- und q-Strom-Sollwert, Drehmoment-Sollwert
- Modulationswert für alle drei Phasen
- Fluss-Sollwert
Ziel: nicht spulen!
7.3
Weitere Möglichkeiten
Umrichter-Regelung und Fahrzeugelek- Andere Regelverfahren:
Statoflusszeigerlänge und dessen Umlaufgeschwindigkeit retronik
geln, Stellgrössen: Frequenz und Betrag des Statorflusses
Erkenntnis: Die Umrichter-Regelung darf keine sture Drehmomentregelung sein!
19
II
8
8.1
Praktische Aspekte beim Programmieren
Zeitdiskrete Regelung
Zeitdiskrete Übertragungsfunktion
Emulation vom Regler:
Integration
q(k + 1) = q(k) + e(k) · T
q(k + 1) = q(k) + e(k + 1) · T
1
Tustin
q(k + 1) = q(k) + (e(k) + e(k + 1)) · T
2
Transformation
z−1
Forward
s≈
T
z−1
Backward
s≈
z·T
2 z−1
Tustin
s≈ ·
T z+1
Rück-Transformation
Forward
m1 : z ≈ T · s + 1
1
Backward
m2 : z ≈
1−T ·s
1 + s T2
Tustin
m3 : z ≈
1 − s T2
T ... Samplingzeit
Forward
Backward
8.3
Richtige Initialisierung ist wichtig!
8.4
Timing
Zeitliche Abstimmung von Strommessung, Task-Berechnung
und Aktivierung der neuen Stellsignale
Massnahmen wegen Rippel von Umrichterströmen:
- Filterung (negativ: Phasendrehung und Delay)
- Strommessung in neutraler Phase des PWM Signales messen
Unnötige Schalthandlungen verhindern, da Verluste. Dies durch
gutgewählte Referenzsignale und Zeitpunkte
II
Anti-Windup
Maximalwerte (Sättigung) einführen damit sich Integrator
nicht ”aufwickelt”
Im einfachsten, konservativsten Fall wird das System mit einer zusätzlichen Totzeit angenommen, die der Samplingzeit
entspricht
8.2
Anfangsbedingungen setzen
20