Zusammenfassung

Netzwerke und Schaltungen I und II
Prof. Dr. G. Andersson
Prof. Dr. J. Kolar
Zusammenfassung
Jonas Huber
Rev. 68 bis 89, 30.6.2008
1 Netzwerke und Schaltungen I
1.1 Einleitung
[Vgl. Einheitentabelle im Skript]
1.2 Elektrische Ladung und Felder
1.2.1 Der Begriff der elektrischen Ladung
Die Ladung Q ist an Elementarteilchen gekoppelt und quantisiert: Q = n · e; Elementarladung
e = 1.60 · 10−19 C. [Q] = 1 C = 1 As.
Gesetz von Coulomb:
Elektrsch geladene Körper üben eine Kraftwirkung aufeinander aus.
F~12 =
1
Q1 Q2
· ~e12
·
4π0
r2
(1.1)
F12 ist die Kraft, welche Q1 auf Q2 ausübt. F21 ist betragsmässig gleich aber zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
As
0 = 8.855 · 10−12 Vm
: Permittivität des Vakuums. Permittivität einer Materie = 0 · r ; r : relative Permittivität.
1.2.2 Das elektrische Feld
Elektrische Feldstärke: Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld. Der Feldvektor in einem Punkt
addiert sich aus den durch die verschiedenen Ladungen hervorgerufenen Feldkomponenten.
~
~ =F
E
q
q : Probeladung
(1.2)
Das Feld ist bezüglich der Ladung Q kugelsymmetrisch. Feld einer Punktladung:
~ = Q ~r
E
4π0 r3
mit
r = |~r| ,
E1 =
Q
r1
4π0 (r12 + r22 + r32 )3/2
etc.
(1.3)
Auch bei einer kugelförmigen Ladung ausserhalbt der Kugel.
1.2.3 Arbeit im elektrischen Feld
Bewegt man eine Ladung auf dem Weg s durch das elektrische Feld, so wird je nach Vorzeichen
der Kraftkomponenten entweder mechanische Energie frei oder aufgewendet.
W12 = q ·
Z 2
~ · d~s
E
1
2
W21 = −W12
(1.4)
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Die Arbeit W ist unabhängig vom Weg s! Im homogenen Feld gilt:
W12 = E · d · q
(1.5)
1.2.4 Eletrische Spannung und elektrisches Potential, Maschenregel
Die elektrische Spannung oder Potentialdifferenz ist wie folgt definiert:
W12
= ϕ1 − ϕ2
q
U12 =
U12 = −U21
(1.6)
Eine genaue Angabe der Bezugspunkte ist Wichtig (Spannungspfeil). [U ] = 1 Nm
C = 1 V.
Maschenregel (KVL): Betrachtet man n Punkte mit den Potentialen ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , so ist die
Summe aller Spannungen über einem geschlossenen Umlauf:
U12 + U23 + · · · + Un−1,n + Un,1 ≡ 0
(1.7)
Die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Masche verschwindet.
1.3 Der elektrische Strom
1.3.1 Bewegte Ladungsträger als Strom
I=
dQ
dt
[I] = 1
C
= 1A
s
(1.8)
Der Strom I hat eine bestimmte Richtung, übereinstimmend mit der Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger (technische Stromrichtung).
~ charakterisiert,
Stromdichte: Die Bewegung der Ladungsträger wird durch die Stromdichte S
welche ein Vektorfeld bildet. Die Stromdichte S ist der auf die Bezugsfläche A bezogene Strom
I mit der Einheit 1 A/m2 . In drahtförmigen Leitern fliesst der Strom üblicherweise parallel zur
Drahtasche und es gilt: I = S · A.
1.3.2 Knotenregel (KCL)
Die Summe aller in einen Knoten ein- und austretenden Ströme muss verschwinden.
I1 + I2 + I3 + · · · + In = 0
(1.9)
Hier muss mindestens einer der Ströme ein negatives Vorzeichen haben (oder alle Ströme Null sein)!
3
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1.4 Der elektrische Widerstand
Stromdichtevektor und die Elektrische Feldstärke sind in einem Leiter gleichgerichtet und proportional:
~
~=E
S
%
(1.10)
Spezifischer elektrischer Widerstand: Symbol %. Ist material- und temperaturabhängig. Es gilt:
%ϑ = %20 [1 + α(ϑ − 20)]; [%] = 1 Ωm. Tabelle im FuT, S. 177.
Der elektrische Widerstand
l
U =% I
A
Ohmsches Gesetz: U = R · I. [R] =
Elektrische Leitfähigkeit:
Leitwert: G =
1
R;
1V
1A
R=%
l
A
(1.11)
= 1 Ω. Alternative Schreibweise: U − RI = 0.
κ = %1 .
[G] = 1 Ω1 = 1 S.
1.4.1 Spannungs- und Stromquellen
Ideale Spannungs- und Stromquellen: Spannung bzw. Strom sind konstant und unabhängig von
der Last. Ideale Spannungsquellen dürfen nicht parallel geschaltet werden; ideale Stromquellen
nicht in Serie, ausserdem müssen letztere eine Mindestlast haben, da sont die Spannung unendlich
würde.
Ideale Spannungsquelle:
Ideale Stromquelle:
Reale Spannungsquelle: Hier wird auch im Kurzschlussfall der Strom nicht unendlich, da sie
einen Innenwiderstand besitzt. Es gilt:
U = Uq − I · Ri
(1.12)
Bei hinreichend kleinem Strom I kann die Spannungsquelle als ideal angesehen werden. Wird die
reale Quelle mit dem Widerstand R belastet, gilt:
U = Uq ·
R
R + Ri
(1.13)
Der Wert des Innenwiderstandes Ri kann theoretisch über den Kurzschlussstrom gefunden werden:
Ri = UIk1 . In der Praxis misst man die Spannung U bei verschiedenen Strömen, beim Leerlauf I = 0
ist U = U1 . Ri ist die Steigung der Belastungskennlinie; man braucht also zwei Messungen von
U −U
Strom und Spannung, z.B. bei Leerlauf und bei Imax . Dann gilt: Ri = qImaxmin .
4
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Reale Stromquellen haben ebenfalls einen Innenwiderstand, allerdings liegt dieser parallel zur
idealen Stromquelle.
Reale Stromquelle:
Reale Spannungsquelle:
1.4.2 Quellenumwandlung
Umwandlung einer Strom- in eine Spannungsquelle: Uq = −Iq · Ri .
U
Umwandlung einer Spannungs- in eine Stromquelle: Iq = − Rqi
Pfeilrichtungen beachten!
1.5 Arbeit und Leistung
1.5.1 Berechnung aus Spannung, Strom und Zeit
P =U ·I
Z t2
W =
[P ] = 1 VA = 1 W = 1
Z t2
P dt =
t1
U · Idt
Nm C
Nm
· =1
C
s
s
[W ] = 1 Ws = 1 Nm = 1 J
(1.14)
(1.15)
t1
Für zeitlich konstante Werte von Strom und Spannung gilt: W = U0 · I0 · ∆t. Eine gebräuchliche
Einheit für die elektrische Arbeit ist die Kilowattstunde: 1 kWh = 3.6 · 106 Ws.
1.5.2 Leistung eines Widerstandes
P =U ·I =
U2
= I2 · R
R
(1.16)
Je nach dem, was bekannt ist, kann man eine der Formeln wählen. Anders geschrieben gilt auch:
2
P = G · U 2 = IG .
1.5.3 Leistung einer realen Quelle
Bei der Berechnung der abgegebenen Leistung einer realen Spannungsquelle muss nicht nur die am
Belastungswiderstand umgesetzte Leistung sondern auch jene am Innenwiderstand berücksichtigt
werden: Pq = −Uq · I = −(Pi + Pv ).
5
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1.5.4 Leistungsanpassung
Mit welchem Verbraucherwiderstand Rv muss eine Quelle belastet werden, damit die Leistung am
Widerstand maximal wird?
Rv = Ri
Pv,max =
1 Uq2
·
4 Ri
(1.17)
Man findet dies durch Ableiten von Pv (Rv ) nach Rv und dann gleich Null setzen.
Leistungsanpassung bei Sinusstrom Analoge überlegung, allerdings sind die Anpassungsbedingungen komplizierter: Z a = Z i . Falls Z = R + jX gilt komponentenweise: Ra = Ri und Xa = −Xi .
Die übetragene Wirkleistung ist gleich wie im reellen.
1.6 Gleichstromnetzwerke
1.6.1 Einfache, lineare Gleichstromnetzwerke
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen:
1
RE,Serie = R1 + R2 + · · · + Rn
Unbelasteter Spannungsteiler:
I=
1
1
1
+
+ ··· +
R1 R2
Rn
(1.18)
[Schaltplan]
U
R1 + R2
Potentiometerschaltung:
RE,P arallel
=
U1 = I · R1 =
U · R1
R1 + R2
U2 =
U · R2
R1 + R2
(1.19)
[Schaltplan]
U1 = U · x
U2 = U · (1 − x)
(1.20)
Belasteter Spannungsteiler: [Schaltplan]
U1 = U ·
Rv
R1 +R2
v
R1 · R1R+R
2
R1 ·
R2 +
Belastete Potentiometerschaltung:
=U·
R1 · Rv
R1 · R2 + R1 · Rv + R2 · Rv
(1.21)
[Schaltplan]
U1 = U ·
R02
R0 · x · Rv
· x(1 − x) + Rv R0
(1.22)
Stromteiler:
I1 =
R2
·I
R1 + R2
I2 =
6
R1
·I
R1 + R2
(1.23)
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1.6.2 Netzwerke mit begrenzt gültigen linearen Spannungs-Strom-Beziehungen
Lichtbogenkennlinie: Abschnittweise linearisieren. Vgl. Skript Seiten 63-73. Beachte, dass der
Ersatzwiderstand einen negativen Wert erhält!
1.6.3 Beispiele linearer Netzwerke mit abschnittweise linearen Kennlinien
Diode
In Durchlassrichtung geringe Durchlassspannung UD ≈ 1..2 V und in Sperrrichtung nur einen kleinen Leckstrom. [Schaltbild] [Kennlinie]
Arbeitspunkt: Der Arbeitspunkt als Schnittpunkt zwischen Verbraucher- und Quellenkennlinie
dIa
dIa
ist nur dann Stabil, wenn gilt: dU
(Quelle) < dU
(V erbraucher)
a
a
Ideale Diode:
[Kennlinie]
ID ≥ 0
UD = 0
(1.24)
UD ≤ 0
ID = 0
(1.25)
Verlustleistung der idealen Diode: PV = UD · ID .
Shockley-Modell einer realen Diode:
UD
ID = Is (e UT − 1)
(1.26)
Mit: Is : Sperrstrom; k = 1.3807 · 10−23 VAs/K: Boltzmann-Konstante; e: Elementarladung; T :
absolute Temperatur und UT = kT
e .
Zener-Diode: Sind für den Betrieb in Sperrichtung ausgelegt. Sie geht im Punkt D in den kontrollierten Spannungsdurchbruch über, die Spannung ist in diesem Bereich konstant (Spannungsstabilisierung). UZ 0 bestimmt man, indem man wie im Bild die lineare Kennlinie bis zur Ordinatenachse
verlängert. [Schaltbild] [Kennlinie] [Ersatzschaltbild]
RZ =
UZ (IZmax ) − UZ0
IZmax
(1.27)
Metalloxid-Ableiter (Varistor)
Aufgabe: Bei Normalbetrieb möglichst gut isolieren und im Falle einer Überspannung kontinuierlich
in den leitenden Zustand übergehen und somit die Spannung auf ein (für die Last) erträgliches Mass
zu senken. [Kennlinie] ist achsensymmetrisch.
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Bipolartransistor
Im linearen Bereich gilt:
Ic =
UCE
1−
UEarly
!
· B · IB
(1.28)
Falls UEarly UCE ist, gilt IC ≈ B · IB .
IB
Stromquelle IC0 (IB ) = B · IB . Leitwert GCE (IB ) = B · UEarly
(Kennliniensteigung). Schleusenspannung UT ≈ 1..2 V. B: (Grosssignal-)Stromverstärkung.
Emitterschaltung:
Die Spannungsquelle US legt den Basisstrom im Arbeitspunkt fest und diesem wird die Signalspannung ∆US überlagert und erzeugt am Ausgangswiderstand eine entsprechende Spannungsänderung
∆Ua , die um Ua0 schwankt.
Ua = Ra · B ·
(US + ∆US ) − UBE
RS + RB
(1.29)
Die Emitterschaltung zeichnet sich durch eine grossse Leistungsverstärkung aus, da Strom und
Spannung verstärkt werden.
Kollektorschaltung:
Potential des Kollektors ist für den Eingangs- und für den Ausgangskreis das Bezugspotential. Die
Spannungsquelle US legt den Basisstrom im Arbeitspunkt fest. Die Signalspannungsquelle ∆US wird
dem Strom überlagert udn erzeugt am Ausgangswiderstand eine entsprechende Spannungsänderung
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∆Ua .
UA + ∆UA =
RA (1 + B)(US − UT )
RA (1 + B)∆US
+
RS + RB + RA (1 + B) RS + RB + RA (1 + B)
(1.30)
Falls UBE UB – was meinstens der Fall ist, dann vereinfacht sich obige Gleichung zu: UA ∼
= UB .
Die Liestungsverstärkung ist im Vergleich zur Emitterschaltung klein, die Spannungsverstärkung
kleiner als Eins. Diese Schaltung findet vor allem Anwendung als Impedanzwandler.
1.6.4 Gesteuerte Quellen
[Vgl. Skript Seite 86f.]
1.6.5 Der Kondensator
Die Spannung kann am Kondensator nicht springen:
ic (t) = C
duc (t)
d
(Ladestrom)
bzw. uc (t) =
1
C
Z
ic (t)dt
Energieinhalt: W = 21 CU 2
Serieschaltung: C1E = C11 + C12 + · · · + C1n , wobei alle Kondensatoren die selbe Ladung tragen.
Parallelschaltung: CE = C1 + C2 + · · · + Cn
Sind zwei Kondensatoren über einen Widerstand verbunden; z. B. der einge geladen und der andere
nicht, so lässt sich die Ladungserhaltung anwenden!
t
RC-Aufladung Zeitkonstante: T = R · C. Spannungsverlauf: Uc = Uq − Uq · e− T
t
U
Stromverlauf: ableiten: Ic = Rq · e− T
1.6.6 Die Spule
Der Strom in einer Spule kann nicht springen:
uL = L ·
diL (t)
dt
bzw. iL (t) =
1
L
Z
uL (t)dt
Energieinhalt: W = 21 LI 2
Serieschaltung: LE = L1 + L2 + · · · + Ln
Parallelschaltung: L1E = L11 + L12 + · · · + L1n
−t
L
. Spannungsverlauf: UL = Uq · e T .
RL-Kreis Zeitkonstante: T = R
Uq
Uq −t
Stromverlauf: IL = R − R e T
1.7 Schwingkreise
1.7.1 Allgemeines Vorgehen bei Schwingkreisberechnungen im Zeitbereich
• Aufstellen der Elementgleichungen: iC = C · u̇C , uR = R · iR und uL = L · i̇L .
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• Maschen- und Knotengleichungen aufstellen.
• Aufstellen der Differentialgleichung. Durch geeignete Substitutionen in den Maschen- und
Knotengleichungen auf gewünschte Form bringen (nur noch i oder u).
• Lösen der DGL:
– Homogene Gl lösen.
– Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen.
– Freie Paramter mit Hilfe von Anfangsbedingungen berechnen.
Es gibt drei Fälle für die Lösung, zu deren Bestimmung det(chp(λ)) interessant ist, also der Teil
unter der Wurzel bei den Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
det(chp(λ)) > 0 Aperiodischer Fall: i(t) = Aeλ1 t + Beλ2 t
det(chp(λ)) = 0 Aperiodischer Grenzfall, λ1 = λ2 : i(t) = (A + Bt)eλ1 t
det(chp(λ)) < 0 Periodischer Fall, λ1,2 ∈ C: Resultat in trigonometrischer Form schreiben.
Kenngrössen:
1
Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Kreises: ω0 = √LC
q
q
1
L
Dämpfungskonstante: D = R2 C
L (seriell) und D = 2R
C (parallel)
1
Gütefaktor: Q = 2D
√
Kreisfrequenz des gedämpften Kreises: ω = ω0 1 − D2
Also allg. im periodischen Fall: i(t) = (A cos ωt + B sin ωt)e−ω0 Dt .
1.8 Aktive Netzwerke, Operationsverstärker
Die Anschlüsse für positive und negative Speisespannung sowie GND
a
können auch eingezeichnet werden. Spannungsverstärkung: v = U
Ue , wobei
Ue = Uep − Uen , Eingangsspannung.
Vorsicht: |UA | ≤ |Uq |, man spricht von Sättigungsspannung; in der
Realität gilt auch: −Uq ≤ Uep und Uen ≤ Uq . (Uq : Speisespannung, auch
US ).
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1.8.1 Idealer OPV
Für viele Anwendungen reicht es, vom idealen OPV auszugehen. Beim
idealen OPV gilt der Grenzfall: v = ∞, ausserdem ist die Eingangsspannung und damit auch der Eingangsstrom gleich Null: Ue = 0 und Ie = 0.
1.8.2 Realer OPV
Hier werden diese Vereinfachungen nicht gemacht und v ist als
endlich zu betrachten. Die Offset-Spannungsquelle Ueo und die
Offset-Stromquellen Iep und Ien bewirken je nach Beschaltung eine
Änderung der Aussgansspannung, sie sind temperaturabhängig.
1.8.3 Operationsverstärkerschaltungen
Invertierender Verstärker Gegenkopplung über RK .
UA = −
RK
· UE
RE
Spannungsfolger/Impedanzwandler Direkte Gegenkopplung. Der Spannungsfolger belastet die Quelle nicht: IE = Ie = 0.
UA = UE
Also bestens als Messverstärker bei schwachen Signalen geeignet. Hohe Eingangsimpedanz, kleine
Ausgangsimpedanz.
Addierer Kann man durch geeignete Wahl der Widerstände REi als
D/A-Wandler verwenden.
RK
RK
UA = −
UE1 + · · · +
UEn
RE1
RE n
Ev. noch Widerstand zw. nichtinv. Ein. und Masse als Offsetkorrektur;
R = RE1 ||RE2 || . . . ||REn .
Differenzverstärker Potential der Verstärker-Eingangsklemmen wird
durch den Spannungsteiler aus RE2 und R0 festgelegt.
UA = −
Falls
R0
RE2
=
RK
RE1
1+
RK
+
RE1 1 +
RK
RE1
RE2
R0
UE2
= V , gilt UA = V · (UE2 − UE1 ).
A
Integrierer Für die Gegenkopplung gilt: IK = CK dU
dt und für die Ausgangsspannung:
UA = −
1
RE CK
Z t
UE dt + UA (0)
0
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Vorsicht: |UA | kann nicht grösser als |Uq | werden, man spricht von der Sättigung.
Induktivität anstelle von CK ergibt einen Differenzierer. Diode anstelle von CK ergibt Logarithmierer, Diode bei R und Widerstand bei CK gibt e-Funktion.
Nichtinvertierender Verstärker NuS II.
1.9 Netzwerkanalyse
1.9.1 Zweipole und Quellen
Verbraucherzählpfeilsystem Im VZS muss die verbrauchte Leistung positiv und die erzeugte Leistung negativ sein. D. h. bei Verbrauchern zeichnet man die Pfeile so ein, dass Strom und Spannung
in die gleiche Richtung zeigen und so die Leistung positiv wird. Wichtig ist, dass die Pfeile nur
eine Zählrichtung vorgeben. Den tatsächlichen, vorzeichenbehafteten, Wert erhält man erst durch
Rechnung; ist der Wert negativ, so hat man halt die Pfeilrichtung falsch“ gewählt.
”
Nach der Annahme einer Stromrichtung in einem Zweig muss die Spannungsrichtung der passiven
Zweigelemente in dieselbe Richtung gehen wie die Zweigstromrichtung!
1.9.2 Berechnungsverfahren für lineare Netzwerke
Topologische Kennzeichnung
Graph Der Zusammenhang der passiven Elemente (auch der Quelleninnenwiderstände!) kann als
Graph dargestellt werden. Dabei erhält jeder Knoten und jeder Zweig eine Nummer. Ideale Spannungsquellen werden zu einem Kurzschluss, ideale Stromquellen zu einem Leerlauf.
Baum In dem die Knoten des Graphen so verbunden werden, dass keine Maschen mehr vorhanden sind, erhält man den Baum, der das Netzwerk repräsentiert. Die verbleibenden Verbindungen zwischen den Knoten heissen Äste und jene, durch deren Hinzufügen wieder der Graph
entstehen würde Sehnen. Es gelten: M aschen = Zweige − Knoten + 1, Aeste = Knoten − 1,
M aschen = Zweige − (Knoten − 1) und M aschen = Zweige − Aeste = Sehnen
Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix Akz Zeilen: Knoten; Spalten: Zweige. Sie enthält nur Elemente
∈ {−1, 0, 1}. Vom Graphen (!) ausgehend wird für jeden Zweig beim Anfangsknoten eine 1 und
beim Endknoten eine −1 eingetragen, die restlichen Elemente sind 0. Anfangs- und Endknoten
werden durch die eingezeichnete Stromrichtung in einem Zweig bestimmt. Beachte, dass später bei
den passiven Elementen der Spannungspfeil in die selbe Richtung eingezeichnet werden muss!
Die Quellen des Netzwerks
Die Innenwiderstände wurden bereits als normale“ Widerstände berücksichtigt, es bleiben also
”
noch die idealen Quellen zu behandeln.
Eine ideale Stromquelle befindet sich meist im Zuge eines Zweiges (Reihenschaltung). Die Richtung des Spannungspfeils muss nicht mit der Stromrichtung im Zweig übereinstimmen (im Gegensatz zu Widerständen).
Ideale Stromquellen greifen an zwei Knoten an, welche nicht mit einem passiven Element verbunden sein müssen (nicht benachbart).
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Ideale Quellen ohne Innenwiderstände Zur systematischen Berechnung muss eine ideale Spannungsquelle im Zuge eines Zweiges und eine ideale Stromquelle parallel zu einem Zweig angeschlossen sein. Gibt es im Originalnetz nun Quellen ohne Innenwiderstand (seriell bzw. parallel) führt
man das entsprechende Element Ri ein und führt am Ende der Rechnung den Grenzübergang
Ri −→ 0 durch
1.9.3 Überlagerungssatz
Der additive Beitrag einer unabhängigen idealen Quelle zu den Zweigspannungen und -strömen
lässt sich in einem linearen Netzwerk unabhängig von jenen der anderen Quellen berechnen. Die
anderen Quellen werden wie folg ersetzt: Ideale Spannungsquelle ⇒ Kurzschluss; ideale Stromquelle
⇒ Leerlauf. Die Quelleninnenwiderstände sowie gesteuerte Quellen werden im Netz belassen!
Bei Ausgleichsvorgängen können Anfangswerte (z. B. Kondensatorspannung) als ideale Quelle in
Reihe mit dem idealen Element (hier: Kondensator) angenommen werden.
Dies wird für jede vorhandene Quelle gemacht. Abschliessend werden die Teilspannungen und
-ströme jeweils vorzeichenrichtig (!) addiert ⇒ Zweigströme und -spannungen.
1.9.4 Thévenin-Norton-Theorm für lineare Netzwerke
Jedes lineare Netzwerk (auch Teilnetzwerk), bestehend aus beliebigen Kombinationen von Widerständen, gesteuerten und ungesteuerten Quellen kann bezüglich zweier Klemmen (Tor, Anschlusspaar) auf eine ideale Spannungsquelle plus Serienwiderstand (Thévenin) oder einen ideale Stromquelle plus Parallelwiderstand (Norton) reduziert werden. Es gibt drei Grössen, die so
zusammenhängen: UL = RT IK , es reicht also, zwei zu berechnen.
• Leerlaufspannung UL am Anschlusspaar: Nur die Elemente des betrachteten Teilnetzes einbeziehen.
• Kurzschlussstrom IK : Strom, der durch Kurzschlussverbindung des Klemmenpaares fliessen
würde, wenn nur die Elemente des betrachteten Teilnetzes einbezogen werden.
• Ersatzwiderstand RT des Teilnetzes: Alle Quellen des Teilnetzes auf Null setzen (Spannungsquelle ⇒ Kurzschluss; Stromquelle ⇒ Leerlauf), dann Widerstände normal zusammenfassen.
Je nach Aufgabenstellung kann nun eine Ersatzspannungsquelle (mit UL ) oder eine Ersatzstromquelle (mit IK ) sowie jeweils dem Innenwiderstand RT gezeichnet werden, die bezüglich des betrachteten Klemmenpaares jeweils das identische Verhalten wie das ursprüngliche Netzwerk zeigen.
1.9.5 Maschenstromverfahren
Gegeben: Netzwerk mit bekannter Topologie, Impedanzen und Quellen.
Gesucht: Zweigströme und -spannungen.
1. Alle Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln, Leitwerte in Widerstände (Admittanzen
in Impedanzen).
2. Festlegen eines Bauems und der Sehnen, so dass die unabhängigen Maschen ermittelt werden
können (Kontrolle: m = z − k + 1).
3. Zweige Nummerieren, vorteilhafterweise zuerste die Sehnenzweige. Zweigströme mit Zählpfeilen
im Graphen eintragen.
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4. Diagonalmatrix Zz aufstellen. Sie enthält als Diagonalelemente die Zweigimpedanzen in der
Reihenfolge der Nummerierung aus dem Schritt vorhin.
5. Maschen mit den Sehnenströmen als Maschenströme und Umflausinn gemäss Sehnenstrom
einzeichnen. Jede Masche umfasst eine Sehne und die entsprechenden Äste. Wenn Baum
korrekt: Nur eine Möglichkeit für jede Maschen bei gegebenen Sehnen.
6. Aufstellen der Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix Azs , welche die Zweigströme (Iz ) durch die Maschenströme (Im ) ausdrückt:
Iz = Azs Im
Iz , Im : Spaltenvektoren
Zeilen: Zweig, Spalte: Sehne. In der Spalte steht eine 1, wenn der entsprechende Zweigstrom
im Umlaufsinn der Masche positiv gezählt wird, sonst eine −1; falls der Zweig gar nicht zur
Masche gehört eine 0.
7. Bildung der Maschenimpedanzmatrix Zm durch die Zweigimpedanz-Diagonalmatrix Zz :
Zm = ATzs Zz Azs
8. Bildung der eingeprägten Maschenspannungen utner Verwendung der vorzeichenrichtig eingesetzten Zweigspannungsquellen Uqz (Spaltenvektor: i-tes Element ist Summer der Spannungsquellen in Zweig i; diese werden positiv gezählt, falls Pfeil in gleiche Richtung wie Zweigstrom,
sonst negativ).
Uqm = −ATzs Uqz
9. Bestimmung der Maschenströme durch Lösen des LGS Zm Im = Uqm :
−1
Im = Zm
Uqm
10. Rückrechnen auf die Zweigströme Iz und die (totalen!) Zweigspannungen Uztotal (d. h. inkl.
der ev. vorhandenen Zweigspannungsquellen).
Iz = Azs Im
Uztotal = Zz Iz + Uqz
Falls im Originalnetzwerk Stromquellen verhanden gewesen sind, müssen diese nun wieder aus
den Spannungsquellen zurückgewandelt werden. Der Strom im Zweig mit paralleler Stromquelle Izi berechnet sich wie folgt:
Uz
Izi = total
Z zi
Dabei ist Uztotal die totale Zweigspannung und Zzi die Zweigimpedanz im ursprünglichen
Zweig mit paralleler Stromquelle.
Kurzes Maschenstromverfahren
Für kleinere, einfachere Netze können die Maschengleichungen direkt aufgestellt werden, indem
man beim Maschenumflauf die Zweigspannungen direkt durch die Maschenströme ausdrückt.
1. Umwandlung von Stromquellen in Spannungsquellen, Bestimmung des Baumes, der Sehnen
und der Maschen mit Stromrichtungen.
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2. Bestimmen der Maschenimpedanzmatrix
a) Diagonalelemente Zm (i, i) = Summe aller in der Masche i liegenden Impedanzen.
b) Nebendiagonalelemente i 6= j : Zm (i, j) = Summe derjenigen Zweigimpedanzen, welche
gemeinsam von Masche i und Masche j durchlaufen werden. Beim summieren eine Impedanz positiv zählen, falls sie von beiden Maschen im gleichen Sinn durchlaufen wird,
negativ zählen sonst. Umlaufrichtung der Masche ist durch den jeweiligen Sehnenstrom
gegeben.
3. Bestimmen der Maschenspannungen Uqm (i) = Summe aller in der Masche i liegenden Spannungsquellen, wobei eine Spannungsquelle positiv in die Summe einfliesst, wenn die Spannungsquellenrichtung in Gegenrichtung (!) zum Maschenstrom liegt, sonst negativ.
4. Analog wie oben die Maschenströme und dann die Zweigströme bilden, entweder mit der
Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix oder über die zugrundeliegende Überlegung, der Knotenregel,
insbesondere, wenn nur einzelne Ströme gefragt sind.
1.9.6 Knotenpotentialverfahren
Hier berechnet man die Potentiale aller Knoten in Bezug auf einen der Knoten, der willkürlich als
Träger des Bezugspotentials ausgewählt wird. Dieser Bezugsknoten taucht während der Rechnung
nicht in den Matrizen auf!
1. Umrechnung aller Spannungsquellen in Stromquellen sowie allfälliger Widerstände in Leitwerte.
2. Auswahl des Bezugsknotens und Einführung der Knotenpotentiale sowie Festlegen der Zählpfeilrichtungen. Alle Knoten und Zweige nummerieren (Bezugsknoten: 0), sowie für normale
Zweige eine Zählrichtung wählen. Jene Zweige, die nur eine ideale Stromquelle enthalten,
haben eine durch die Quelle vorgegebene Richtung.
3. Aufstellen der N = n−1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige.
Ströme, die aus einem Knoten heraus fliessen, werden positiv gezhält, jene, die hinein fliessen
negativ.
Systematisch: Aufstellen der Knoteninzidenzmatrix Ak gemäss der Regel Ak I = Ikq , wobei I
und Ikq Spaltenvektoren sind, ersterer mit allen Zweigströmen und letzterer mit den vorzeichenrichtigen (rein: pos.; raus: neg.) (!)Summen der in den jeweiligen Knoten einfliessenden
Quellenströme: Anz. Elem. von Ik q ist gleich Anz. Knoten.
Bei der Matrix Ak entspricht jede Zeile einem Knoten (Reihenfolge gemäss Nummerierung);
die Spalten entsprechen den Zweigen. Fliesst ein Zweigstrom in einen Knoten, wird eine −1
eingetragen; fliesst er heraus eine 1; ist der Zweig nicht an den Knoten angeschlossen eine 0.
Oder anders betrachtet: In jeder Spalte (die ja einen Zweig repräsentiert) erscheint beim
Startknoten eine 1 und beim Endknoten eine −1. Beachte, dass ein Zweig, dessen eines Ende
beim Bezugsknoten ist, nur einen Eintrag in seiner Spalte hat, da ja der Bezugsknoten nicht
aufgeführt wird!
4. Admittanzmatrix G aufstellen: Die Leitwerte Gi befinden sich auf der Diagonalen, Reihenfolge
gemäss Nummerierung.
15
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Zusammenfassung
5. Knotenadmittanzmatrix berechnen: Y = Ak GATk
6. Lösen des Gleichungssystems Y · V = Ikq wobei der Spaltenvektor V als Einträge die Knotenpotentiale hat, Reihenfolge ebenfalls gemäss Nummerierung; Anz. Elem. = Anz. Knoten.
Für die Knotenpotentiale gilt also:
V = Y −1 · Ikq
7. Berechung der gesuchten Grössen (Zweigspannungen oder -ströme). Nun können die Zweigspannungen aus den Differenzen der Knotenpotentiale und die Zweigströme aus dem Ohm’schen
Gesetz wie folgt berechnet werden:
Uz = ATk · V
(Zweigspannungen)
I = G · Uz
(Zweigströme)
1.9.7 Schnelles Knotenpotentialverfahren
Der Hauptaufwand im Knotenpotentialverfahren ist die Berechnung der Knotenadmittanzmatrix
Y . Diese lässt sich unter Umständen direkt aufstellen:
• Vorbereiten des Netzwerks“ wie oben (nur Stromquellen, Zählpfeile, Nummerieren, etc.).
”
• Die Dimension der Matrix Y ist (k − 1) × (k − 1), wobei k die Knotenzahl inklusive dem
Bezugsknoten ist.
• Jede Zeile entspricht einem Knoten i (ohne Bezugsknoten). Das jeweilige Diagonalelement yii
ist die Summe der Zweig-Admittanzen Gij der von diesem Knoten ausgehenden Zweigen inkl.
jenem zum Bezugsknoten.
• In den übrigen Positionen j der Zeile i (i 6= j) ist ein Element nur dann ungleich Null, wenn
zum Knoten j, der durch die Spaltennummer j gekennzeichnet ist, ein Zweig vorhanden ist.
Dann ist das Element yij gleich der negativen Zweigadmittanz (yij = −Gi ) dieses Zweiges.
• Besteht das Netzwerk nur aus passiven Elementen und idealen Stromquellen, dann ist die
Matrix Y symmetrisch.
Lösen des GLS und berechnen der gesuchten Werte wie oben (ab Schritt 6).
1.9.8 Tellegen-Theorem
Grundlegende Aussage: Das Produkt der Zweigströme mit den Zweigspannungen, aufsummiert über
alle Zweige, ist gleich Null. Details siehe Skript, Seite 192f.
Anwendung: Überprüfen von Ergebnissen. Wenn man zwei Netzwerke N und N 0 betrachtet, die
denselben Graphen haben, sich aber hinsichtlich der Bauelemente unterscheiden können und Uz ,
Iz und Uz0 , Iz0 die zugehörigen Zweigspannungen und Zweigströme sind, wobei erstere die Maschenund letztere die Knotengleichungen in den jeweiligen Netzwerken erfüllen, dann gilt:
UzT Iz0 = Uz0T Iz = 0
16
2 Netzwerke und Schaltungen II
2.1 Einführung
2.1.1 Dezibel
Das Dezibel ist definiert als Logarithmus (zur Basis 10) des Quotienten von Eingangs- und Ausgangsleistung:
P1
dB
p = 10 log10
P2
Ein Leistungsverhältnis von 2 : 1 entspricht ungefähr 3 dB. Da die Leistung proportional zum
Quadrat der wirkenden Effektivwerte ist, also z. B. P ∼ u2 , kann ein Pegel auch über jene nach
folgender Formel berechnet werden:
p = 10 log
P2
u2
u2
dB = 10 log 22 dB = 20 log
dB
P1
u1
u1
2.1.2 Stern-Dreieck-Umwandlung
Stern aus Dreieck:
R1 =
R12 R31
R12 + R23 + R31
R2 =
R12 R23
R12 + R23 + R31
R3 =
R23 R31
R12 + R23 + R31
Dreieck aus Stern:
R12 = R1 + R2 +
R1 R2
R3
R23 = R2 + R3 +
R2 R3
R1
R31 = R3 + R1 +
R3 R1
R2
Sind die Widerstände jeweils untereinander gleich Gross, so gilt: RDreieck = 3 · RStern .
Dies gilt auch für komplexe Widerstände, allerdings dann nur für eine bestimmte Frequenz: bedingt äquivalente Schaltung!
2.2 Sinusstrom, einphasig
2.2.1 Kenngrössen
Funktion und Nullphase Sinusgrösse wird so dargestellt: x(t) = x̂ sin(ωt + ϕx ), wobei ϕx der
Nullphasenwinkel ist, eine gerichtete Grösse. Es ist jene Zahl, die Man zum ersten“ Nulldurchgang
”
der Kurve addieren muss, um zum Nullpunkt zu kommen.
ω ist die Kreisfrequenz (!): ω = 2πf .
Phasenverschiebung Meistens wählt man den (Nullphasenwinkel des) Strom als Bezugsgrösse:
ϕI = 0 und dann gilt für den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung: ϕ = ϕU − ϕI . ϕ > 0
bedeuted Spannung eilt vor“ und ϕ < 0 bedeutet Spannung eilt nach.
”
”
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Zusammenfassung
Scheitelwert Ist die Amplitude der Strom- bzw. Spannungskurve.
Effektivwert Dies ist jener Wechselstrom, der z. B. die gleiche Wärmewirkung wie ein Gleichstrom
mit demselben Betrag verursacht. Der Effektivwert berechnet sich folgendermassen:
s
Allgemein:
I=
1
T
Z t0 +T
i(t)2 dt
Sinussignal:
t0
î
I=√
2
.
î
I
Scheitel- und Formfaktor ξ =
=
û
U
Scheitelfaktor und F =
I
|i|
Formfaktor, wobei |i| der
R
Gleichrichtwert ist: |i| = T1 0T |i|dt
Rechnen mit Sinusgrössen Sinusgrössen addiert (oder subtrahiert) man, indem man dies geometrisch tut, also Betrag und Phase berücksichtigt. Am einfachsten geht dies, wenn man die Sinusgrössen gleich als komplexe Zahlen betrachtet . . .
2.2.2 Sinusgrössen als komplexe Zahlen
Komplexe Festeiger Sinusgrössen können als komplexe Zahl geschrieben werden, die die Information über Amplitude bzw. Effektivwert sowie über die Phasenlage enthalten.
û = uejϕU = u∠ϕU
U = U ejϕU = U ∠ϕU
Scheitelwert
Effektivwert
Strom analog. In Zeigerdiagrammen wird meist der Strom als Bezugszeiger in die positive reelle
Achse gelegt.
Komplexe Drehzeiger enthalten zusätzlich den Drehfaktor ejωt . Ein Drehzeiger erlaubt auch
das berechnen von Zeitwerten, wohingegen der Festzeiger eher die Schwingung als ganzes“ re”
präsentiert.
dr
j(ωt+α)
Integrieren und Differenzieren Differentialquotient dtt = dre dt
= jωrt Zeiger wird um Winkel 90◦ vorgedreht
und
um
den
Faktor
ω
gestreckt.
R
r
Integral: rt dt = jωt + K, wobei K bei Sinusgrössen Null ist. Zeiger wird um den Winkel −90◦
zurückgedreht und um den Faktor ω1 gestreckt.
2.2.3 Grundgesetze bei Wechselstrom
Im Gegensatz zum Gleichstrom müssen bei Wechselstrom auch die magnetischen und elektrischen
Felder die in Induktivitäten bzw. Kapazitäten entstehen berücksichtigt werden, da die Ableitung
eines sinusförmigen Verlaufes nicht verschwindet.
Wirkwiderstand
Auch bei Wechselstrom wird elektrische Energie in Wärme überführt. Es gilt ebenfalls I = U
R;
ausserdem ist ϕ = 0, ein Widerstand führt zu keiner Phasenverschiebung zwischen Strom und
Spannung.
2
Am Wirkwiderstand wird nur Wirkleistung verbraucht: P = U I = RI 2 = UR
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Zusammenfassung
Induktivität
[Hintergrund zu magnetischen Zusammenhängen: Skript, V-32ff.] Es gilt der Zusammenhang zwischen den komplexen Drehzeigern:
di
u = L = jωLi
dt
Die Spannung u eilt dem Strom i um ϕ = π2 = 90◦ vor.
Induktiver Blindwiderstand XL = ωL Impedanz: Z L = jωL.
Induktive Blindleistung In der Induktivität wird keine elektrische Energie in Wärme umgewandelt, vielmer ist die Energieaufnahme über eine ganze Periode betrachtet gleich Null, d. h. P = 0.
U2
Allerdings findet trotzdem eine Leistungspendelung statt: Blindleistung: Q = U I = I 2 XL = − X
.
L
Hier ist die Blindleistung grösser Null.
Kapazität
[Vgl. Skript, V-40f.] Es gilt
du
= jωCu
dt
= 90◦ nach.
i=C
Die Spannung u eilt dem Strom i um ϕ =
1
Kapazitiver Blindwiderstand XC = − ωC
π
2
Impedanz: Z C =
1
jωC .
2
I
Kapazitive Blindleistung Q = −U I = −U 2 ωC = − ωC
Hier ist die Blindleistung immer negativ.
Wirk- und Blindleistung
2
Scheinleistung: S = U I = I 2 Z = UZ Die Scheinleistung besteht im Allgemeinen aus einer Wirkund einer Blindkomponente; sie ist die geometrische Summe der beiden und es gilt S 2 = P 2 + Q2 .
Wirkleistung: P = S cos ϕ = U I cos ϕ, Blindleistung: Q = U I sin ϕ = S sin ϕ.
Leistungsfaktor
tung ist.
λ=
P
S
= cos ϕ An ihm erkennt man sofort, wie gross der Anteil der Wirkleis-
2.2.4 Allgemeiner Sinusstromkreis
Maschen- und Knotenregel
Auch bei Sinusstrom gelten Maschen- Knotenregel, Allerdings unter Berücksichtigung der Phasenlage: Die Summe der komplexen Spannungen in einer Masche ist Null und die Summe der komplexen
Ströme in einem Knoten ist Null.
Beachte, dass auch hier beim Antreffen eines gegenläufigen“ Spannungspfeils diese Spannung
”
negativ (geometrisch: Vektorrichtung ändert) in die Summe einfliesst; bei der Knotenregel werden
ebenfalls einfliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gezählt.
19
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Zusammenfassung
Rechnen mit Sinusstrom
Mit komplexen Spannungen, Strömen und komplexen Widerständen (Impedanzen: Spulen, Kondensatoren) wird ganz normal gerechnet, einfach unter Verwendung der komplexen Werte, z. B.
ZL und ZC . Es gelten dann die normalen Regeln für Serie- und Parallelschaltung, Stern-DreieckUmwandlung, etc.
2.2.5 Blindstromkompensation
Hat man eine Last, die nicht ein reiner Wirkwiderstand ist, so fliesst mehr Strom, als für die reine
Wirkleistung nötig wäre. Dies ist z. B. bei einem E-Motor der Fall, da dieser eine induktive Last
ist. Man kann nun eine geeignete Kapazität parallel schalten, deren Blindleistung gegenphasig zu
jener der Induktivität ist. Dies führt dazu, dass der Kreis gegen aussen nun nur noch Wirkleistung
bezieht, also cos ϕ = 1 ist. Es muss also gelten
I bC = −I bL
2.2.6 Ortskurven
[Vgl. Skript, V-57ff.] Ortskurven ermöglichen einen schnellen Überblick über die Abhängigkeit einer
komplexen Grösse (Betrag, Winkel) von einem Parameter, z. B. der (Kreis-)frequenz (Frequenzgang). Im Normalfall wird also im Diagramm nur eine Grösse, die Real- und Imaginärteil hat,
vorkommen.
Gerade und ihre Inversion im Komplexen Gerade, parallel zur reellen Achse: r(p) = pa + jb,
parallel zur imaginären Achse: r(p) = a + jpb, wobei p der Parameter ist.
1
Inversion einer solchen Gerade (s(p) = r(p)
) ergibt einen (Halb)kreis, dessen eine Ende der Nullpunkt ist.
Vorgehen:
- Bestimmen der Extremalpunkte der Inversion: s(p → ∞) =? und s(p = 0) =?.
- Quadrant der Inversion: Man kann sagen, die Gerade sei so definiert: r(p) = reiϕ Bei der Inversion
kehrt das ϕ das Vorzeichen; d. h. sind die Punkte der Gerade z. B. alle im zweiten Quadranten, so
liegt der Halbkreis im ersten.
2.2.7 Reihen- und Parallel-Ersatzschaltung
Geht bei linearen Netzwerken, in denen R, L, C unabhängig vom Strom i, der Spannun u sowie
der Frequenz f sind. Die Idee ist, einen allg. Sinusstrom-Zweipol, z. B. eine Drossel, von dem man
die Impedanz Z kennt, durch die idealen Standardelemente zu modellieren.
20
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Zusammenfassung
Reihen-Ersatzschaltung Strom I als Bezugszeiger. U wird in eine rein imaginäre und eine rein
relle Komponente Zerlegt: Wirkspannung Uw = U cos ϕ und Blindspannung Ub = U sin ϕ; Gesamtspannung U = Uw + jUb . Analog wird die Impedanz Z des Elements in einen Wirk- und Blindwiderstand aufgeteilt, wobei letzterer je nach Resultat eine Kapazität (negatives Resultat) oder eine
Induktivität (positives Resultat) sein kann: R = Uw /I = Z cos ϕ und X = Ub /I = Z sin ϕ.
Parallel-Ersatzschaltung Hier ist die Spannung U der Bezugszeiger, der Strom wird in Wirkstrom
(reell) Iw = I cos ϕ und Blindstrom (imag.) Ib = −I sin ϕ zerlegt. Dann gilt: Wirkleitwert G =
Iw /U = Y cos ϕ und Blindleitwert B = Ib /U = −Y sin ϕ, wobei Y der bekannte komplexe Leitwert
Y = I/U des zu modellierenden Zweipols ist.
2.2.8 Bedingt äquivalente Schaltungen
[Vgl. auch Skript, V-78] Manchmal ist es notwendig, eine Reihen-Ersatzschaltung mit Widerständen
in eine Parallel-Ersatzschaltung mit Leitwerten oder umgekehrt umzuwandeln: Z = R + jX und
Y = G + jB.
R
X
Parallel aus Reihen: G = R2 +X
2 und B = − R2 +X 2 .
B
G
Reihen aus Parallel: R = G2 +B
2 und X = − G2 +B 2 .
Da B und G von ω abhängen sind die Ersatzschaltungen nur für eine bestimmte Frequenz gleichwertig ⇒ bedingte Äquivalenz.
Unbedingte Äquivalenz, also vollkommen gleicher Frequenzgang: Siehe Skript, V-88f.
2.2.9 Ersatzquellen
Jedes beliebige Sinusstromnetzwerk kann bezüglich zweier Klemmen a und b als Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle mit jeweils demselben Innenwiderstand Zi dargestellt werden:
- U qE = U al = Leerlaufspannung zw. Klemmen a und b.
- I qE = I ak = Kurzschlussstrom über die Klemmen a und b.
- Z i = U qE /I qE = U al /I ak .
Innenwiderstand kann auch bestimmt werden, in dem man alle Quellen im Originalnetz auf Null
setzt und dann die Widerstände zusammenfasst (vgl. auch Thévenin- und Norton-Äquivalent, NuS
I).
2.2.10 Überlagerungsgesetz
Bei linearen Netzwerken (R, L und C unabh. von Strom und Spnnung sowie Quellen ideal) dürfen
komplexe Spannung U und komplexer Strom I überlagert werden. Die Wirkleistun P darf nicht
überlagert werden.
Vorgehen analog wie mit Gleichstrom (NuS I), sofern beide Quellen mit der gleichen Frequenz
arbeiten.
Überlagerung von Sinus- und Gleichstrom Hier wird der Überlagerungssatz getrennt für Gleichund Wechselströme angewendet. Dabei ist zu beachten, dass für den Gleichstromkreis eine Induktivität ein Kurzschluss darstellt sowie eine Kapazität eine Unterbrechung!
Bsp.: Der Gleichspannungsanteil legt einen Arbeitspunkt fest, um den der Wechselspannungsanteil oszilliert (Transistorverstärker).
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Zusammenfassung
Überlagerung zweier Sinusstromquellen unterschiedlicher Frequenz [Vgl. Skript, V-108ff.] Solange die Differenz der Frequenzen gross ist, gibt es eine normale“ Überlagerung. Sind die Fre”
quenzen allerdings nahezu gleich, entsteht eine Schwebung.
2.3 Magnetische Kopplung, Übertrager
t
Induktionsgesetz uq = N dΦ
dt Eine Änderung des magnetischen Flusses induziert eine Spannung.
Diese ist gemäss der Lenz’schen Regel so gerichtet, dass ein durch sie hervorgerufener Strom ein
der Flussänderung entgegengerichtetes Feld aufbauen würde.
di
Das passiert auch in einer einzelnen Induktivität: Selbstinduktivität uq = L dt
, ausserdm ist
Φt
L=N i
Gegeninduktivität [Vgl. auch Skript, V-112ff.] Zwei benachbarte Leiter (Spulen) induzieren bei
Stromdurchfluss jeweils eien Spannung im anderen Leiter (Spule). Vorsicht beim Wicklungssinn:
Punkt im Induktivitätssymbol kennzeichnet Wicklungsanfang. Siehe Skript!
2.3.1 Idealer Übertrager
Anordnung aus gleichsinnig gewickelten Spulen, keine Wirkwiderstände, Kern mit Permeabilität
µ = ∞ (magn. Widerstand Null), keine Ummagnetisierungsverluste, Betrieb mit Sinusspannungen.
Übersetzungsverhältnis der Sinusspannungen:
U1
N1
ü =
=
U2
N2
I2
=
I1
Die Ströme verhalten sich, falls Sekundärseite belastet, gerade umgekehrt wie die Spannungen.
Die Leistungen sind beim idealen Übertrager auf beiden Seiten gleich: P1 = P2 .
Leerlauf
iµ = 0.
Primärseite angeschlossen, aber kein Last: Idealer Übertrager nimmt keinen Stom auf:
Hauptinduktivität Auch Magnetisierungsinduktivität: Primärseitig parallel zum idealen Übertrager.
Impedanztransformation
Die Primärseite sieht“ eine Impedanz auf der Sekundärseite durch den Übertrager anders, als sie
”
tatsächlich ist. Dies lässt sich zur Impedanzanpassung ohne Spannungsteiler etc. verwenden.
Widerstände werden quadratisch mit dem Übersetzungsverhältnis auf die grössere Windungszahl
hinauftransformiert:
2
I2
Z1 = Z20 = Z2 ·
= Z2 ü2
I1
Man kann nun Sekundärgrössen auf die Primärseite umrechnen und dann den Üertrager weglassen
(natülich auch umgekehrt). Für das Umrechnen von Spannungsquellen (Stromquellen) verwendet
man die Formel für ü von oben.
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Zusammenfassung
Idealisierter Lufttransformator
[Vgl. Skript V-124ff.] Man berücksichtigt nun die Permeabilität der Luft µ0 6= ∞, und somit fliesst
jetzt ein rein induktiver Magnetisierungsstrom I1µ und damit wird das Strom-Übersetzungsverhältnis
gestört, es gilt nun: I 1 = I 1µ + I 02 . Die andere Eigenschaften bleiben erhalten.
Berücksichtigt man noch die Streuung, die dadurch entsteht, dass die Querschnittsflächen der
beiden Spulen nicht genau Deckungsgleich sind, wird es noch komplizierter; man kann dann jeweils
zwei Leerlauf- und zwei Kurzschlussversuche durchführen:
2
- Speisung primär, sekundär offen: U2l = Uü1 · A
A1
- Speisung sekundär, primär offen: U1l = U2 · ü
1
1
1
- Speisung primär, sekundär Kurzschluss: I1k = I1l A1A−A
= XU1k
und I2k = üI1k = üI1l A1A−A
2
2
U1
U2
A1
2
- Speisung sekundär, primär Kurzschluss: I1k = I2l ü1 · A1A−A
=
sowie
I
=
I
=
2k
2l
X1k
A1 −A2
X2k
2
Dabei ist X1l der primäre Leerlaufblindwiderstand, nämlich ωL1 , etc. Vgl. auch Skript für Bsp.
und Details: V-126ff.
Berechnung der Induktivitäten:
L1 =
N12 µ0 A1
lm
lm : mittlere magn. Weglängen,
A1 : Querschnitt
Ersatzschaltung Aus den obigen Überlegungen kann man vier Blindwiderstände berechnen: X1l =
U1 /I1l , X1k = U1 /I1k , X2l = U2 /I2l und X2k = U2 /I2k . Damit lassen sich zwei gleichwertige
Ersatzschaltungen darstellen, wobei der Übertrager ideal ist mit ü = N1 /N2 :
Weitere Details, z. B. zur Wahl der Ersatzschaltung siehe Skript, V-134ff.
Eisenkerntransformator
Vorteil: Durch höhere Permeabilität des Eisens geringerer Magnetisierungsstrom. Nachteil: Eisenverluste (Hysterese, etc.). Siehe Skript, V-136ff.
Grenzfrequenzen
[Vgl. Skript, V-144ff.]
2.3.2 Ersatzschaltungen
Sinusstrom-Leitung
[Vgl. Skript, V-149.]
Drossel
Eisenverluste ⇒ RF e parallel zur Induktivität, Stromwärmeverluste ⇒ RCu in Serie. Der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung ist nun kleiner als 90◦ .
- Verlustwinkel: δ = 90◦ − ϕ
- bzw. Verulstfaktor: tan δ = Rcu /XL = Rcu /(ωL)
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Zusammenfassung
- Gütefaktor: QL = 1/ tan δ = ωL
R
Falls ohne Eisenkern: RF e kann weggelassen werden.
Umwandlung von Rcu in Parallelwiderstand über QL : RP = QL · ωL
Kapazität
Es treten Ableitungs- und Oberflächenverluste auf, die dadurch entstehen, dass das Isolationsmaterial eben trotzdem einen ganz geringen Leitwert besitzt.
- Verlustwinkel: δ = 90◦ + ϕ
- bzw. Verlustfaktor: tan δ = IR /IC = −XC /R = G/(ωC)
- Verluste: Vd = GU 2 = U 2 ωC tan δ
Im Ersatzschaltbild befindet sich also ein Leitwert parallel zur Kapazität.
2.3.3 Wechselstrombrücken
Eigentlich analog wie mit Gleichstrom: Die Brücke ist abgeglichen, wenn die Spannung im Querzweig
verschwindet. Allerdings muss dies hier für die komplexen Widerstände gelten. D. h. die Spannungen in den parallel Brückenzweigen müssen gleich sein: U 1 = U 3 und U 2 = U 4 .
Z 1 /Z 2 = Z 3 /Z 4 . Beträge: Z1 Z4 = Z2 Z3 und für die Phasenwinkel: ϕ1 + ϕ4 = ϕ2 + ϕ3
2.4 Schwingkreise
2.4.1 Kenngrössen von Schwingkreisen
√
- Kennkreisfrequenz: ω0 = 1/ LC (auch: Eigenfrequenz oder Resonanzfrequenz des ungedämpften
Schwingkreises).
p
p
- Kennwiderstand: Z0 = L/C
Kennleitwert Y0 = C/L
- Gütefaktor: Q = Z0 /R = Y0 /G
Dämpfung: d = 1/Q
- Bandbreite: bω = ω2 − ω1 = ω0 /Q, wobei ω1 , ω2 untere bzw. obere Grenzkreisfrequenz.
√
Bei ω1 und ω2 ist der Betrag der Schwingenden Grösse auf das 1/ 2-fache des Maximums S%
abgesunken. Die sich dann einstellende Phasenverschiebung beträgt |ϕ| = 45◦ .
Die Resonanzkurve ist um so steiler ( schmaler“), je höher die Güte des Kreises ist, die Bandbreite
”
wird dann also kleiner. D. h. um dieses Ziel zu erreichen muss man möglichst verlustarme Spulen
und Kondensatoren verwenden.
2.4.2 Freie Schwingung
[Skript, V-158ff.] Der Schwingkreis (bestehend aus R, L und C) wird nach Aufladen eines Energiespeichers sich selbst überlassen. Maschenregel etc. führen auf homogene lineare DGL 2. Ordnung,
deren Lösung eine (abklingende) Schwingung ist (vgl. auch NuS I), also von der Form: uc = U ept ,
wobei p die komplexe Kreisfrequenzt ist. Es gilt:
q
p1,2 = −δ ± j ω02 − δ 2 = −δ ± jω
δ=
R
2L
1
ω0 = √
LC
Dabei ist δ die Abklingkonstante und ω die Eigen-Kreisfrequenz. Für δ > ω0 ergibt sich die aperiodische Lösung; für δ > ω0 zusammen mit den Anfangsbedingungen abklingende periodische
24
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Zusammenfassung
Funktionen für Spannung und Strom der Form:
−δt
uc = U0 e
δ
cos(ωt) + sin(ωt)
ω
i = −C
duc
U0 −δt
=
e sin(ωt)
dt
ωL
Wenn δ gross wird, geht die Phasenverschiebung unter 90◦ .
Freie ungedämpfte Schwingung
Wenn δ = 0 (auch schon δ ≈ 0) wird, wird die Kenn-Kreisfrequenz ω0 zur Eigen-Kreisfreqenz ω
und damit die komplexe Frequenz zu p1,2 = ±jω0 . Es gilt dann:
uC = uL = U0 cos(ω0 t)
i=
U0
sin(ω0 t) = U0 ωC sin(ω0 t)
ω0 L
Die Phasenverschiebung ist 90◦ ; ausserdem wird keine Energie irreversibel umgewandelt, reine
Pendelung zwischen L und C. Der Energieinhalt ist konstant: Wt = (Cu2 /2) + Li2 /2 = const.
2.4.3 Erzwungene Schwingung
[Skript, V-165ff.] Der Schwingkreis wird nun von aussen mit einer Sinusspannung u = û cos(ωt + α)
angeregt.
Nur bei ω0 ist der maximale Energieinhalt von L und C gleich (!) – dann muss der Erreger nur
Wirkleistung (die Dämpfungsenergie) liefern (Resonanz). Bei allen anderen ω wird zusätzlich eine
Leistungspendelung überlagert, um die Differenz Speicherenergien auszugleichen.
Reihenschwingkreis
[Skript, V-168ff.] Resonanzfrequenz, bei
√ der der Erreger nur noch Wirkleistung liefert, ist hier gliech
der Kennkreisfrequenz: ω% = ω0 = 1/ LC
- Resonanzstrom: I% = U/R ist reiner Wirkstrom.
p
- Kennwiderstand: Z0 = ω0 L = 1/(ω0 C) = L/C
- Spannungsspitzen bei Resonanz: UL,% = I% ω% L und UC,% = I% /(ω% C)
Bei Resonanz können die Spannungen über L und C auf ein Vielfaches der Erregerspannung anwachsen. Ausserdem ändert sich der Phasenwinkel mit der Frequenz von −90◦ bis 90◦ , wobei er bei
der Resonanzfrequenz 0◦ ist. Dies, weil die Impedanz des Kreises mit steigender Frequenz von eher
kapazitivem Charakter zu eher induktivem ändert.
Grössere Dämpfungen Maxima von Strom I und Spannungen UC und UL liegen nur solange
bei der selben Resonanzfrequenz f% wie der Wirkwiderstand R klein ist gegenüber dem ResonanzBlindwiderstand
(Kennwiderstand). Kurvenverläufe:
p
2
- I = U/ R + [ωL − 1/(ωC)]2
q
p
1
2
- UL = IωL = U ωL/ R2 + [ωL − 1/(ωC)]2 , Max. bei fL,% = 2π
2LC−R2 C 2
p
- UC = I/(ωC) = U/(ωC R2 + [ωL − 1/(ωC)]2 ), Max. bei fC,% =
1
2π
q
1
LC
−
R2
2L2
Parallelschwingkreis
[Skript, V-172ff.] Vieles Analog wie beim
p Serieschwingkreis.
- Kennleitwert Y0 = ω0 C = 1/(ω0 L) = C/L, Resonanzstrom bei ω% = ω0 : I% = U G
25
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Zusammenfassung
- Wenn L und C je noch einen Widerstand in Serie haben: fr =
ω0
2π
r
2−L
RL
C
L
2
RC − C
.
Impedanz:
Parallelschwinkreis blockt bei Resonanzfrequenz, Reihenschwingkreis lässt bei Resonanzfrequenz
durch; die Impedanz ist Frequenzabhängig! Einsatz als Filter!
2.4.4 Resonanztransformation
Ziel: Leistungsanpassung. Vor allem bei hohen Frequenzen möchte man auch schmalbandige Anpassung haben. Aus den Anpassungsbedingungen folgt:
a) Ri > Ra , b) Ra > Ri
q
a) X2 = ± Ra (Ri − Ra )
s
Ri
X1 = −Ra
X2
b)
X2 = ±Ra
Ri
Ra − Ri
X1 = −Ra
Ri
X2
Blindwiderstände haben immer entgegengesetztes Vorzeichen, d. h. Induktivität und Kondensator.
2.5 Sinusstrom, dreiphasig
[Skript, V-187ff.] Um einen Generator effizienter zu machen, werden 3 Wicklungen verwendet: Es
entstehen 3 Sinusspannungen mit gleicher Frequenz f und gleichem Effektivwert, die jeweils um
120◦ gegeneinander Phasenverschoben sind.
2π
uV = ûV sin ωt −
3
uU = ûU sin (ωt)
4π
sin ωt −
3
uW = ûW
Für die komplexen Effektivwerte gilt: U U + U V + U W = 0.
2.5.1 Bezeichnungen
Mittelpunkt N Punkt, der allen gleichwertigen Strombahnen gemeinsam ist; in Mehrphasensystem:
Sternpunkt, von ihm geht der Mittelleiter N aus.
Strang Einzelner Zweipol, liegt zw. zwei Aussenleitern oder einem Aussenleiter und dem Mittelleiter.
Sternspannung U× Spannung zwischen Aussenleiter und Sternpunkt.
Aussenleiterspannung U Spannung zwischen zwei aufeinanderfolenden Aussenleitern.
Dreieckspannung U4 Aussenleiterspannung.
Strangspannung UStr Spannung an Strangwicklung oder Verbraucherstrang.
2.5.2 Symmetrische Mehrphasensysteme
[Skript, V-192ff.] Mehrphasen-Spannungssystme werden als symmetrisch bezeichnet, wenn alle
Strangspannungen gleich gross und gegeineinander um 2π/m zeitlich phasenverschoben sind.
26
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Zusammenfassung
Symmetrische Sternschaltung
[Skript, V-195ff.]
Der Verbraucher besteht aus 3 völlig gleichen komplexen Widerständen Z. Die Aussenleiterströme
sowie die Sternspannungen (U 1 etc.) zeigen auf den Mittelpunkt N des Verbrauchers; bei den
Aussenleiterspannungen (U 12 etc.) geben die Indizes die Richtung der Pfeile an.
Für die Generator-Strangspannungen gilt: U 2 = U 1 ∠ − 120◦ sowie U 3 = U 1 ∠120◦ .
Für die Strangspannungen gilt: U 12 = U 1 − U 2 , U 23 = U 2 − U 3 und U 31 = U 3 − U 1 .
Verhältnis von Aussenleiterspannung U zu Strangspannung UStr bzw. Sternspannung U× = UStr.
ist:
√
U
U
1
=
= 2 cos 30◦ = 3
also: UStr = √ U
Achtung: Beträge!
U×
UStr
3
.
Hier sind die Strang- und die Aussenleiterströme einander (betragsmässig!) gleich: IStr = I× = I.
Der Mittelleiterstrom I M = I 1 + I 2 + I 3 = 0 verschwindet, der Mittelleiter darf daher bei exakt
symmetrischen Systemen weggelassen werden.
Vorsicht: Beim Rechnen aufpassen, zwischen welcher Spannung welchem Strom die Phasenverschiebung ist! [Vgl. auch Skript, V-197].
Symmetrische Dreieckschaltung
[Skript, V-198ff.]
Aussenleiterspannung und Strangspannung sind gleich gross: UStr = U4 = U (Beträge!). In einer
symmetrischen Dreiecksschaltung verursachen die Aussenleiterspannungen die Strangströme
I 12 =
U 12
Z
I 23 =
U 23
Z
I 31 =
U 31
Z
und die Aussenleiterströme
I 2 = I 23 − I 12 = I∠ − 120◦
I 1 = I 12 − I 31 = I
Schliesslich gilt:
I
IStr
=
√
I
= 2 cos 30◦ = 3
I4
27
I 3 = I 31 − I 23 = I∠120◦
Achtung: Beträge!
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Zusammenfassung
Leistung bei symmetrischen Drehstromsystemen
[Skript, V-203f.] Leistungen eins symmetrischen Dreiphasennetzes bei symmetrischer Belastung.
Leistung pro Strang:
St = UStr IStr cos ϕ − UStr IStr cos(2ωt + ϕ)
Die anderen Stränge gleich, einfach Phasenverschiebung von 120◦ .
√
Sternschaltung Spannungen: U× = UStr = U/ 3, Ströme: I× = IStr = I
√
Dreieckschaltung Spannungen: U4 = UStr = U , Ströme: I4 = IStr = I/ 3
√
Scheinleistung der 3 Stränge: S = 3UStr IStr = 3U I
√
Wirkleistung gesamt: P = 3U I cos ϕ
√
Blindleistung gesamt: Q = 3U I sin ϕ
Dabei ist ϕ der Phasenwinkel, der sich stets auf Strangrössen bezieht, z. B. bei Sternschaltung auf
Sternspannung und Aussenleiterstrom.
Beachte, dass die übertragene Leistung (Wirkleistung) konstant ist!
2.5.3 Unsymmetrische Dreiphasenbelastung
[Skript, V-206ff.] Die elektrische Energie wird an Kleinverbraucher über Vierleiternetze verteilt,
was zu einer unsymmetrischen Belastung des Dreileiternetzes führt.
- Aussenleiterspannung: 400 V
√
- Leiter-Mittelpunktspannung: U× = 400 V/ 3 ≈ 230 V
Weiteres im Skript.
Bedingung: I1 + I2 + I3 = 0 ist durch fehlenden Nullleiter aufgezwungen: Bei Dreieckschaltung:
Aussenleiterspannungen bleiben Symmetrisch und die Strangströme werden asymmetrisch (V-211);
Sternschaltung: Strangströme bleiben symmetrisch, Strangspannungen werden asymmetrisch (V212).
Wichtig: Man kann auch Dreieck- in Sternschaltungen umrechnen (oder umgekehrt), weil dann
jeweils bestimmte Grössen einfacher zu berechnen sind [Skript, V-213f.]!
2.5.4 Weiteres
Stichworte: Blindleistungskompensation, Drehfelderzeugung, Leistungsmessung in Mehrphasensysteme ⇒ Siehe Skript, V-204ff.
2.6 Zweitore
[Skript, V-247ff.] Ein Zweitor (Vierpol) modelliert das Verhalten einer beliebigen Schaltung bezüglich
des Verhaltens von Ein- und Ausgang. Der genaue Schaltungsafbau interessiert nicht (Blackbox).
Dadurch ergeben sich Verfahren für eine Netzwerkanalyse und Gesetze für die Synthese von Netzwerken mit gewünschten Übertragungseigenschaften.
Wie betrachten nur passive lineare Zweitore.
28
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Zusammenfassung
2.6.1 Zweitorgleichungen
Betriebsfall: Zwei Klemmen sind ein Tor und Element ist passiv und lineare: I1 = I3 und I2 =
I4 . Durch die beiden Kirchhof-Gesetze sind Ströme und Spannungen miteinander verbunden; die
Eigenschaften lassen sich durch ein homogenes lineares Gleichungssystem darstellen:
a11 U1 + a12 U2 + b11 I1 + b12 I2 = 0
(2.1)
a21 U1 + a22 U2 + b21 I1 + b22 I2 = 0
(2.2)
Diese Gleichungen können nach den Spannungen (Widerstandsform) oder nach den Strömen (Leitwertform) aufgelöst werden. Die Paramter dürfen Frequenzabhängig etc. sein!
Leitwertform
[Skript, V-251f.] I 1 und I 2 berechnen, wenn U 1 und U 2 gegeben sind.
I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2
I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2
Bei symmetrischen Zweitoren gilt Y 12 = Y 21 .
Bestimmen der Y -Parameter bei geg. Netzwerk durch rechnen, sonst durch Messung: Siehe Skript,
V-252.
Widerstandsform
[Skript, V-253f.] Spannungen berechnen, wenn die Ströme gegeben sind.
U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2
U 2 = U 21 I 1 + Z 22 I 2
Bei symmetrischen Zweitoren ist Z 12 = Z 2 1. Berechnung der Z-Parameter: Skript, V-254.
Hybridform
[Skript, V-255] U 2 und I 1 gegeben, andere beiden gesucht.
U 1 = H 11 I 1 + H 12 U 2
I2 = H21 I1 + H22 U2
Berechnung der H-Parameter und Ersatzschaltbild im Skript.
Kettenform
[Skript, V-256f.] U1 und I1 in Abhängigkeit von U2 und I2 (auch hier komplexe Grössen, aber das
weige underline“ nervt) angeben. Achtung: Kettenzählpfeilsystem!!!
”
U1 = A11 U2 + A12 I2
I1 = A21 U2 + A22 I2
29
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Zusammenfassung
Berechnung der Kettenparameter Amn im Skript, V-256.
2.6.2 Matrizendarstellung
Man kann die jeweils vier Parameter in einer Matrix schreiben, und dann Matrixgleichungen aufstellen, z. B.:
!
!
!
!
U1
A11 A12
U2
U2
=
=A
I1
A21 A22
I2
I2
Hintereinanderschalten von zwei Zweitoren
[Skript, V-259f.] Die Kettenmatrix A der Gesamtschaltung ergibt sich aus dem Produkt der Kettenmatrizen A0 und A00 der Teilzweitore.
2.6.3 Kopplungssymmetrie
[Skript, V-260f.] Alle passiven Zweitore sind reziprok oder kopplungssymmetrisch: Leerlaufspannung eines Klemmenpaares für beide Übertragungsrichtungen gleich, wenn dem jeweils anderen
Klemmenpaar der gleiche Quellenstrom eingeprägt wird.
Entsprechend: An einem Klemmenpaar gemessener Kurzschlusstrom der durch die jeweils gleiche
Spannung am anderen Klemmenpaar erzeugt wird ist für beide Richtungen gleich gross.
Z21 = Z12
Y12 = Y21
bzw.
2.6.4 Widerstandssymmetrie
[Skript, V-262ff.] Übertragungseigenschaften bleiben bei Vertauschen der Ein- und Ausgangsklemmen gleich. Daher sind zusätzlich auch die Leerlaufwiderstände und die Kurzschlussleitwerte an
beiden Klemmenpaaren gleich gross:
Z11 = Z22
und
Y11 = Y22
2.6.5 Ersatzschaltungen
[Skript, V-264ff.]
Links: T -Ersatzschaltung, rechts: Π-Ersatzschaltung.
T-Ersatzschaltung Zusammenhang zwischen Z-Parametern:
Z11 = ZI + ZII
Z21 = Z12 = ZII
Z22 = ZIII + ZII
Bei widerstandssymmetrischen Zweitoren ist zusätzlich ZI = ZIII .
30
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Zusammenfassung
Π-Ersatzschaltung Zusammenhang zwischen Y -Parametern:
Y11 = YII + YI
Y21 = Y12 = −YI
Y22 = YIII + YI
Bei widerstandssymmetrischen Zweitoren zusäzlich YII = YIII .
2.6.6 Beschaltete Zweitore
[Skript, V-268ff.] Quelle U q mit Innenwiderstand Z i , Last Z a . Man geht z. B. von der Widerstandsform aus und berücksichtigt, dass U2 = Za I2 und U1 = Uq − Zi I1 . Achtung: Ketten-Zählpfeile!
Komplexer Eingangswiderstand Das Zweitor transformiert den Lastwiderstand Za in den komZ21
plexen Eingangswiderstand Z1 = U1 /I1 , bei Z-Parametern gilt: Z1 = Z11 + ZZa12−Z
.
22
Komplexer Ausgangswiderstand Z2 = −U2 /I2 und mit Z-Parametern: Z2 =
Z21 Z12
Zi +Z11
− Z22
Komplexe Übertragungsfunktion
[Skript, V-270] Stromübertragungsfaktor: TI = I2 /I1 = Z21 /(Za − Z22 )
Spannungsübertragungsfaktor: TU = U2 /U1 = Z2 Za /(Z11 (Za − Z23 ) + Z12 Z21
Wellenwiderstand
[Skript, V-271f.] Der Wellenwiderstand ZL eines symmetrischen Zweitores ist derjenige Abschlusswiderstand Za , bei dem an den Eingangsklemmen der gleiche komplexe Eingangswiderstand auftritt:
Z1 = Za = ZL . Er ist das geometrische Mittel aus Leerlaufwiderstand Zl und Kurzschlusswiderstand Zk .
p
ZL = Zl Zk
Zl,1 = U1 /I1 fürI2 = 0 und Zk,1 = U1 /I1 für U2 = 0. Wenn das Zweitor symmetrisch ist sind
Leerlauf- und Kurzschlusswiderstände an den Eingangs- und Augangsklemmen gleich: Zl = Zl,1 =
Zl,2 = A11 /A21 = A22 /A21 und Zk = Zk,1 = Zk,2 = A12 /A22 = A12 /A11 .
Bei unsymmetrischen Zweitoren gibt es am Eingang und am Ausgang unterschiedliche Wellenwiderstände!
2.7 Fourier- und Laplacetransformation
2.7.1 Fourierreihen
Eine beliebige periodische Funktion kann durch eine Kombination von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden. Je mehr solche Terme verwendet werden, desto besser wird die Näherung.
Für ν −→ ∞ stellt die Reihe die Funktion exakt dar.
Reelle Fourierreihe
f (t) = a0 +
∞
X
aν cos(νωt) +
ν=1
∞
X
ν=0
31
bν sin(νωt)
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Zusammenfassung
Koeffizienten:
1
a0 =
T
Z t0 +T
f (t)dt
t0
2
aν =
T
Z t0 +T
f (t) cos(νωt)dt
t0
2
bν =
T
Z t0 +T
f (t) sin(νωt)
t0
Gerade Funktion f (t) = f (−t) ⇒ Nur Gleichanteil und Kosinusanteile, d. h. bν = 0 ∀ν.
Ungerade Funktion f (t) = −f (−t) ⇒ Nur Gleichanteil und Sinusanteile, d. h. aν = 0 ∀ν.
Alternierende Zeitfunktionen gν (t) = gν(t + T /2) Fkt., bei denen die negative Halbschwingung
bis auf das Vorzeichen mit der poitiven identisch ist ⇒ nur Anteile ungeradzaliger Ordnung,
d. h. a0 = 0, a2µ = b2µ = 0.
Komplexe Fourierreihe
f (t) = a0 +
∞
X
cν ejνωt
1
T
cν =
ν=−∞
Z t0 +T
f (t)e−jνωt , ν = 0, ±2, ±2, . . .
t0
Spektraldarstellung [Skript, V-232f.] Jedes Zeitsignal hat eine Repräsentation im Frequenzbereich. Der Teilfunktion f (t) = sin ω0 t entspricht eine Linie an der Stelle ±ω0 in der Spektraldarstellung; Betrag: |cν |. Reell: nur bei +ω0 , dafür zwei Darstellungen für die aν und bν .
Die Höhe“ einer Spektrallinie ist ein Mass dafür, wie viel der Gesamtenergie im Originalsignal
”
auf die betreffende Frequenz fällt.
Die Hüllkurve yH (f ) erhält man, indem man von der diskreten Frequenz νf bzw. νω auf eine
kontinuierliche Frequenz f übergeht.
Einige wichtige Fourierreihen Begriffe: Gleichglied y =
Effektivwert des Wechselanteils yef f ∼ =
qP
∞
2
ν=1 yν,ef f ;
F = yef f ∼ /|y|.
32
1
T
RT
0
y dt; Gleichrichtwert |y| =
1
T
RT
0
|y| dt;
Scheitelfaktor ξ = ŷ/yef f ∼ ; Formfaktor
NuS I, HS 2007 und NuS II, FS2008
Rechnen mit Fourierreihen
df (t) c
Differentiation:
dt
Jonas Huber
s jνω0 c
ν
Zusammenfassung
Z t
Integration:
0
f (µ)dµ c
s
1
c , (c0 = 0)
jνω0 ν
Kenngrössen
Schwingungsgehalt (für Mischgrössen) s =
I∼
I
Grundschwingungsgehalt (für reine Wechselgrössen) g =
Klirrfaktor (ebenfalls für Wechselgrössen) k =
I1
I
p
1 − g2
Leistung
∞
[Skript, V-243f.] Wirkleistung bei nichtlinearen Strömen und Spannungen: P = ∞
ν=1 Pν =
ν=1 Uν Iν cos ϕν ,
wobei ϕν die Phasenverschiebung ϕuν −ϕiν zwischen Strom und Spannung der Schwingung mit Ordnungszahl ν ist. Falls Strom und Spannung Mischgrössen: Zusätzlich P− = U− I− zu berücksichtigen.
P
P
Lineare Verzerrungen
[Skript, V-237ff.] Bei Kapazität und Induktivität, bei denen eine Differential/Integral-Beziehung
zwischen Strom und Spannung besteht, kommt es dadurch zu einer unterschiedlichen Gewichtung
der einzelnen harmonischen. Dies führt dazu, dass im allgemeinen der Kurvenverlauf der Ausgangsgrösse von jenem der Eingangsgrösse abweicht!
33
NuS I, HS 2007 und NuS II, FS2008
Jonas Huber
Zusammenfassung
Bei der Kapazität nimmt der kapazitative Blindwiderstand mit steigendem ν ab und daher treten
die Oberschwingungen in der Stomkurve viel stärker in Erscheinung als in der Spannungsschwingung.
Der induktive Blindwiderstand wächst hingegen mit der Ordnungszahl ν, die Stromkurve ist also
weniger verzerrt als die angelegte Spannung → Glättungsdrossel.
Nichtlineare Verzerrungen
[Skript, V-240f.] Enhält eine Schaltung nichtlineare Elemente, z. B.Gleichrichter, etc., so entstehen
beim Anlegen von Sinusgrössen Oberschwingungen, die man nichtlineare Verzerrungen nennt. Es
treten im Ausgangssignal zusätzliche Frequenzen auf, die im Eingangssignal noch nicht vorhanden
waren.
Gleichrichterschaltungen
[Skript, V-241ff.]
2.7.2 Übergangsverhalten
[Skript, V-274ff.] Bis jetzt wurden nur stationäre Situationen betrachtet. Nun sollen Einschaltvorgänge, sprunghafte Spannungsänderungen etc. betrachtet werden. Solche Übergangszuständen
münden nach einer bestimmten Zeit in einen stationären Endzustand.
Problem: Eine Sprunghafte Energieänderung ist nicht möglich, da dazu unendlich hohe Leistung
benötigt würde. Bsp.: Spannung an C kann nicht springen, ebenso kann Strom in L nicht springen.
Einige typische Eingangsfunktionen
(
Einheits-Sprungerregung (Heaviside, auch σ) xey (t) = (t) =
Einheits-Anstiegserregung r(t) =
R
0 t<0
, Sprungantwort: xay (t).
1 t≥0
(t)dt, Anstiegsantwort: v(t).
Impulsantwort
δ(t) = d(t)
dt Dirac-Impuls: überall 0 ausser bei 0, dort ist er ∞-hoch, so dass gilt
R
−∞ ∞δ(t)dt = 1, Impulsantwort: g(t).
stationäre Sinuserregung Muss für genaue Aussagen für alle Frequenzen f durchgeführt werden!
Frequenzgang! Ausgangs und Eingangsgrössen können sich durch Amplitudenverhältnis F
und Phasenwinkel ϕ unterscheiden.
Komplexer Frequenzgang
[Skript, V-277f.]
F = F ejϕ = F ∠ϕ =
xaω
xeω
Dabei sind xaω und xeω komplexe Augenblickswerte x = x̂ej(ωt+ϕ) von Ausgangs- und Eingangsgrösse dar.
Man erhält einen Amplitudengang F (ω) und einen Phasengang ϕ(ω).
34
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Jonas Huber
Zusammenfassung
2.7.3 Fouriertransformation
Z ∞
F (ω) =
f (t)e−jωt dt
(Hintrafo)
f (t) =
t=−∞
1
2π
Z ∞
F (ω)ejωt dω
(Rücktrafo)
ω=−∞
Eigenschaften
Linearität Die Fouriertrafo ist linear.
Verschiebungssatz f (t − t0 ) c
s e−jωt0 F (ω)
Differentiation der Zeitfunktion f˙(t) c
s jωF (ω)
Berechnen von QLZ-Netzwerken
Quellenlose, lineare, zeitinvariante Netzwerke können zum einen über die Elementgleichungen,
Knoten- und Maschenregel berechnet werden oder aber über den Umweg in den Frequenzbereich
und die (komplexe) Übertragungsfunktion. Aufgrund der Eigenschaften von Fourier- und Laplacetrafo bezüglich Differentiation kann so das mühsame Lösen von DGLs umgangen werden.
2.7.4 Laplacetransformation
Die Fouriertrafo versagt bei Funktionen, die erst ab einem bestimmten Einschaltzeitpunkt beginnen
und dann bis t −→ ∞ betrachtet werden. Dafür ist die Laplacetrafo besser geeignet.
Man führt die neue Variable s = σ + jω ein und dann gilt:
Z ∞
F (s) =
f (t)e−st dt
f (t) =
(Hintrafo)
0
1
2πj
Z σ+j∞
F (s)est ds ∀t > 0
(Rücktrafo)
σ−j∞
Eigenschaften
Addition f1 (t) + f2 (t) c
s F1 (s) + F2 (s)
Multiplikation mit Konstanten cf (t) c
s cF (s)
Ähnlichkeit f (at) für a > 0 c
s 1F(s)
a
a
Dämpfung f (t)e−δt (δ > 0) c
s F (s + δ)
Verschiebungssatz f (t − t0 ) c
Differentiation f (t) c
Integration
Rt
0
f (τ )dτ c
s e−st0 F (s) für t0 > 0.
s F (s), f 0 (t) c
s sF (s) − f (+0) und f 00 (t) c
s 1 F (s)
s
35
s s2 F (s) − sf (+0) − f 0 (+0)
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Jonas Huber
Zusammenfassung
Laplace Korrespondenztabelle
Zeitbereich
Frequenzbereich
δ(t)
R
r(t) = t = (t)dt
e−at
c
s
c
s
c
s
te−at
c
s
e−t/T
c
s
Zeitbereich
1
1
s2
1
s+a
1
(s+a)2
T
1+T s
1
s2
a
s2 +a2
a
s2 −a2
− 1s (ln as +
c s
t
c s
sin(at)
c s
sinh(at)
c s
ln(at)
γ)
Weitere Korrespondenzen siehe Skript, V-297.
(t)
R
= r(t)dt
1 − e−at
Frequenzbereich
c
s
c
s
c
s
tn e−at
c
s
1 − e−t/T
c
s
tn
cos(at)
cosh(at)
c
s
c
s
c
s
t2
2
1
s
1
s3
1
s(s+a)
n!
(s+a)n+1
1
s(1+T s)
n!
sn+1
s
s2 +a2
s
s2 −a2
2.7.5 Übertragungsfunktion
Ausgangszeitfunktion x2 (t) eines linearen Übertragungssystemes ist mittelbar durch die Übertragungsfunktion
F (s) mit der Eingangszeitfunktion x1 (t) verknüpft. F (s) stellt das Verhältnis der Spektraldichten
von Eingangs- zu Ausgangsgrösse dar:
F (s) =
X2 (s)
X1 (s)
X2 (s) = F (s)X1 (s)
wobei X1 (s) s c x1 (t) und X2 (s) s c x2 (t). Bei passiven RLC-Netzwerken ist die Übertragungsfunktion
immer eine gebrochen rationale Funktion.
Oft werden die Terme schöner, wenn man für RC etc. einfach T o. ä. schreibt, also Zeitkonstanten
abkürzt. Gerade bei Hoch- und Tiefpassgliedern sehen dann die Übertragungsfunktionen jeweils für
die Variante mit L und mit C gleich aus.
R, C und L im Bildbereich
[Skript, V-301f.] Für das Aufstellen der Übertragungsfunktion ist es hilfreich, eine ganze Schaltung
in den Bildbereich transformieren zu können, dann kann nämlich auf das Aufstellen der DGL
verzichtet werden.
Das Originalnetzwerk wird in ein Bildnetzwerk mit entsprechenden Bildströmen, -spannungen
und symbolischen Widerständen transformiert, in dem formal die normalen Gesetze (Kirchhoff,
etc.) gelten.
Für die Übertragungsfunktion gilt dann: F (s) = Ua (s)/Ue (s).
Anfangsspannung beim Kondensator: Spannungsquelle mit Wert
Induktivität: Stromquelle mit Wert Is0 parallel.
36
U0
s
in Serie; Anfangsstrom bei der
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Hoch- und Tiefpassglieder
Ordnung.
Jonas Huber
Zusammenfassung
[Skript, V-304ff.] Grenzfrequenz: ωG =
1
T
bei Hoch-/Tiefpass erster
Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion [Skript, V-309ff.]
2.7.6 Frequenzgang
[Skript, V-318ff.] Ersetzt man in der Übertragungsfunktion F (s) den Realteil von s gleich null,
betrachtet also F (jω), so erhält man direkt einen geschlossenen Ausdruck für den komplexen Frequenzgang F , einer Ortskurve für den Parameter ω.
2.7.7 Bode-Diagramm
[Skript, V-318ff.] Da die Darstellung von Ortskurven für kompliziertere Übertragungsfunktionen
schwierig ist, kann man Amplitude F = |F | (Betrag!) und Phasenwinkel ϕ getrennt als Frequenzkennlinien aufzeichnen.
Da die Üertragungsfunktion (hier) immer eine Rationale Funktion ist, lässt sich deren Zähler
und Nenner in eine Reihe von Faktoren zerlegen. Dies führt zur Multiplikation der einzelnen Amplituden und zur Additione der Phasenwinkel. Wenn man die Amplitude logarithmiert kann diese
Multiplikation in eine (grafische) Addition überführt werden.
Man stellt den Amplitudengang und den Phasengang über einer gemeinsamen Frequenzachse
dar, um grosse Frequenzbereiche darstellen zu können ist auch die Kreisfrequenz ω logarithmisch
zu nehmen.
Logarithmieren der Amplitude
F = 20 log10
F
[F ]
dB
Die Amplitude wird durch dividieren durch ihre Einheit dimensionslos gemacht. Nun kann man
auch für die Amplitude logarithmisches Papier verwenden.
Eckkreisfrequenz
1
Die Eckkreisfrequenz eines Übertragungsgliedes mit z. B. 1+sT
ist als ωE = T1 definiert, wobei T die
Zeitkonstante ist. Auch Durchtrittfsfrequenz im Zusammenhangmit elementaren Üertragungsglieder.
Jene Frequenz bei der eine Gerade etc. die 0 dB-Linie schneidet.
Frequenzverhalten elementarer Übertragungsglieder Tabelle im Skript, V-323f.
Differenzierglied (D-Glied) F (s) = KD s, KD : Differenzierbeiwert. Amplitudengang: Gerade mit
Steigung 20 dB pro Dekade, F = 1 bei ω = 1 s− 1. Durchtrittsfrequenzt: ωD = [F ]/KD .
Integrierglied (I-Glied) F (s) = KI /s, KI : Integrierbeiwert. Durchtrittskreisfrequenzt: ωD = KI /[F ].
1
Verzögerungsglied 1. Ordnung (T1 -Glied)F (s) = 1+T
s . Amplitudengang durch Asymptoten nähern:
0 dB-Linie sowie Gerade mit -20 dB pro Dekade und Durchtrittsfrequenzt (Eckkreisfrequenzt)
ωE = 1/T . Phasengang ebenfalls Asymptoten: 0 ◦ und -90 ◦ sowie die Wendetangente durch
die Punkte 0 ◦ , ωE /5 und -45 ◦ ,ωE geht.
Verzögerungsglied 2. Ordnung (T2 -Glied) Siehe Skript, V-328.
37
NuS I, HS 2007 und NuS II, FS2008
Jonas Huber
Zusammenfassung
2.8 Bauelemente der Elektronik
[Skript, V-332f.]
2.8.1 Dioden
Klemmschaltungen
[Skript, V-352f.] Zum Beispiel wird über den Kondensator eines Differenziergliede immer nur der
Wechselspannungsanteil einer Impuls-Mischspannung übertragen. Mit einer Klemmschaltung ist es
möglich, den negativen oder den positiven Spitzenwert über eine Diode an einen festen Bezugspegel
zu klemmen“. Dies entspricht einer vertikalen Verschiebung des reinen Wechselausgangssignals.
”
Spannungsstabilisierung mittels Z-Diode
[Skript, V-354f.] Einfache Variante: Z-Diode parallel zum Lastwiderstand schalten (Richtung beachte!).
2.9 Bipolare Transistoren
[Skript, V-356ff.]
2.9.1 Emittergrundschaltung
[Skript, V-359ff.]
Kollektor-Emitter-Spannung Sie entsteht aus der Differenz zwischen Versorgungsspannung UCC
und der Spannung, die über dem Kollektorwidertstand RC abfällt: UCE = UCC − IC · RC .
Arbeitspunkt Damit der Transistor als Analogverstärker arbeiten kann, muss die Basis-EmitterSpannung UBE ohne Eingangssignal so eingestellt werden, dass die Kollektorspannung UCE etwa
die Hälfte der Versorgungsspannung beträgt. So wird der Arbeitspunkt festgelegt, um den herum“
”
sich nun Spannungsänderungen am Eingang abbilden, allerdings invertiert.
Details: Skript, V-374ff.
Arbeitspunkteinstellung mit Spannungsteiler: Querstrom durch die beiden Widerstände muss ca.
UBE
5 bis 10 mal grösser als der Basisstrom sein. Für die Widerstände gilt dann: RV = m·I
, oben; und
B
UCC −UBE
RP = (m+1)·IB , unten.
IB lässt sich nach IB = IC /B berechnen und IC ergibt sich aus RC und UC E und UC C.
Verstärkungen [Skript, V-361] (Gleichstrom) Stromverstärkung: Vi =
Vu =
∆UCE
∆UBE
∆IC
∆IB ,
Spannungsverstärkung:
sowie Leistungsverstärkung als Produkt der beiden anderen: Vp = Vi · Vu .
Signalein- und auskopplung [Skirpt, V-362] Einkopplung erfolgt über einen Kondensator, der
Verhindert, das Gleichstrom aus dem Spannungsteiler zur Arbeitspunkteinspeisung über die Quelle
fliessen kann, ausserdem schneidet“ er allfällige Gleichanteile im Eingangssignal ab.
”
Durch den Basis-Spannungsteiler wird dem Eingangssignal eine Gleichspannung überlagert. Diese
Mischspannung wird vom Transistor verstärkt.
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Jonas Huber
Zusammenfassung
Am Kollektor wird über einen zweiten Koppelkondensator das Signal wieder ausgekoppelt. Der
Kondensator filtert den Gleichanteil des Arbeitspunktes wieder aus dem Signal, und am Ausgang
liegt die verstärkte und invertierte Eingangsspannung an.
Verstärkungsermittlung der Emitterschaltung [Skript, V-371f.] (Gleichstrom) Man trägt die ArCE
beitsgerade im Augangskennlinienfeld ein; Gleichung: IC = UCCR−U
.
C
Fliesst ein bestimmter Basisstrom IB so ist der entsprechende Schnittpunkt mit der Arbeitsgeraden der Arbeitspunkt. Dann lassen sich auch IC , UCE und URC direkt ablesen.
Nun können mit diesen Grössen und dem Kennlinienfeld (ev. auch dem kombinierten) die Verstärkungen
gemäss oben berechnet werden.
2.9.2 Kennwerte von Transistoren
[Skript, V-367] Man unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Kennwerten. Erstere beziehen sich auf Gleichgrössen, letzere auf Wechselgrössen, jeweils am Eingang.
Statische Kennwerte
Dynamische Kennwerte
Kollektorstromverhältnis:
C
, UCE = const.
B = IIB
Kurzschluss-Stromverstärkung:
∆IC
β = h21 = ∆I
, UCE = const.
B
Gleichstrom-Eingangswiderstand:
RBE = UIBE
, UCE = const.
B
Wechselstrom-Eingangswiderstand:
BE
rbe = h11 = ∆U
∆IB , UCE = const.
Gleichstrom-Ausgangswiderstand:
, IB = const.
RCE = UICE
C
Wechselstrom-Ausgangswiderstand:
CE
rce = h122 = ∆U
∆IC , IB = const.
Linearisiertes Grosssignalersatzschaltbild
Kennlinienfelder
[Skript, V-363ff.]
Wärmewiderstand [Skript, V-363ff.]
Transistor als Vierpol / Hybridgleichungen [Skript, V-368] Man kann den Transistor als Vierpol
betrachten und dann für Wechselgrössen folgende zwei Hybridgleichungen aufstellen:
∆UBE = h11 · ∆IB + h12 · ∆UCE
∆IC = h21 · ∆IB + h22 · ∆UCE
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Zusammenfassung
Diest gilt (nur?) für die Emitterschaltung. Paramter:
h11 = rbe
h21 = β
h22 =
1
rce
h12 =
∆UBE
, ∆IB = 0, const.
∆UCE
2.9.3 Kleinsignal-Ersatzschaltbild (Wechselstrom) und Verstärkungsberechnung
[Skritp, V-376ff.] (Emitterschaltung)
Da der Siebkondensator der Spannungsversorgung für Wechselstrom nahezu einen Kurzschluss darstellt, haben Plus- und Minuspol der Spannungsquelle dasselbe Potential und aus der Reihenschaltung von z. B. RV und RP wird eine Parallelschaltung.
Stufen-Eingangswiderstand rein = rbe ||Rv ||RP
Stufen-Ausgangswiderstand raus = rce ||RC =
rce RC
rce +RC
ce
Wechselstromverstärkung Vi = iicb = β · ( RCr+r
) ≈ β In der Praxis ist oft RC rce , ice kann
ce
vernachlässigt werden und dann ist β · iB ≈ iC .
Wechselspannungsverstärkung Vu =
uCE
uBE
≈
β
rbe
· RC ebenfalls für RC rce .
Leistungsverstärkung Vp = Vu · Vi
Bei Belastung mit Lastwiderstand RL sinken die Verstärkungen, weil ein Teil des Stromes über RL
fliesst: Vu0 = rβbe · (RC ||RL ).
Faustformel für die Spannungsverstärkung Die Spannungsverstärkung einer Stufe kann über den
URC
C ·RC
Kollektorgleichstrom abgeschätzt werden: Vu ≈ I26
mV = 26 mV wobei 26 mV die Temperaturspannung UT ist.
Bei Belastung der Stufe mit RL verringert sich die Verstärkung im Verhältnis des SpannungsteiL
lers: Vu0 = Vu · RLR+R
.
C
2.9.4 Arbeitspunktstabilisierung
[Skript, V-380ff.] Durch Exemplarstreuungen und Temperatureinflüsse kann sich der Arbeitspunkt
eines Transistors verschieben.
Eine einfache Art der Stabilisierung geschieht über den Emitterwiderstand RE . Da der Widerstand alleine auch die Verstärkung der Stufe herabsetzt wird meist ein Kondensator parallel geschaltet, so dass zwar der Widerstand den Arbeitspunkt (Gleichspannung) stabilisiert, sein Einfluss
für das zu verstärkende Wechselsignal aber durch den Kondensator aufgehoben wird.
Stabilisierung durch Kollektorspannungs-Gegenkopplung ist eine andere Variante.
2.9.5 Transistorgrundschaltungen
Eine Übersicht über Emitter-, Kollektor- und Basisschaltung ist im Skript, V-383f.
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Zusammenfassung
Basisschaltung [Skript, V-385ff.]
Kollektorschaltung [Skript, V-388ff.]
2.9.6 Gegenkopplung
[Skript, V-392ff.] Wird ein Teil des Ausgangssignals eines Verstärkers auf den Eingang zurückgeführt,
findet eine Rückkopplung statt. Man spricht von Mittkopplung, wenn rückgekopleter Teil des Ausgangssignals gleiche Phasenlage wie das Eingangssignal hat und von Gegenkopplung, wenn die
beiden Signale gegenphasig sind.
Gegenkopplung mit Emitterwiderstand [Skript, V-394ff.] Siehe auch Arbeitspunktstabilisierung!
Durch den Emitterwiderstand sinkt die Verstärkung. Dies verhindert man, indem man einen Kondensator CE parallel schaltet, der den Emitterwiderstand für hohe Frequenzen Kurzschliesst.
CE ≈
β
2π · fU · (Ri,Gen + rbe )
Dabei ist fU die untere Grenzfrequenz des Verstärkers, die man also über die Wahl von CE festlegen
kann.
2.9.7 Differenzverstärker
[Skript, V-402ff.] Bestehend aus zwei Transistoren und Beschaltung können sie Differenzen in den
Eingangsspannungen der beiden Transistoren verstärken.
2.10 Operationsverstärker
[Skript, V-408ff.]
2.10.1 Leerlaufverstärkung
Eine Spannungsdifferenz zwischen den Eingängen e1 und e2 bewirkt eine Ausgangsspannung ua ,
für Gleich- oder Wechselspannung.
Vu =
ua
u1
=
ue,D
ue2 − ue1
(Leerlaufverstärkung)
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Zusammenfassung
Die spannungsverstärkung ist mindestens ca. 10 000. Oft wird die Spannungsverstärkung in Dezibel
angegeben, das sogenannte Spannungsverstärkungsmass:
Vu,dB = 20 · log10
ua
= 20 · log10 Vu
ue,D
(Spannungsverstärkungsmass)
Sättigung Die Ausgangsspannung kann betragsmässig nicht grösser Werden als die Versorgungsspannung! Weitere Erhöhung der Eingangsspannungsdifferenzen resultiert ab diesem Punkt nicht
mehr in einer Erhöhung der Ausgangsspannung.
2.10.2 Gleichtaktverstärkung
Werden beide Eingänge parallel geschaltet, liefert der OPV fast keine Ausgangsspannung.
VgG =
ua
ue
g=
(Gleichtaktverstärkung)
Vu
VuG
(Gleichtaktunterdrückung)
Beide Grössen können auch in Dezibel angegeben werden.
VuG,dB = 20 log10
G = 20 log10
ua
ue
(Gleichtaktverstärkungsmass)
Vu
= Vu,dB − VuG,dB
VuG
(Gleichtaktunterdrückungsmass)
2.10.3 Schaltungen
Invertierender Verstärker
[Skript, V-417ff.] Siehe NuS I. Gegenkopplung über R auf den invertierenden Eingang. Die beiden
Eingänge bilden einenen sogenannte Virtuellen Nullpunkt“, man kann beim Rechnen also davon
”
ausgehen, dass sie Massepotential haben. Mit denselben Vereinfachungen wie in NuS I (Details
auch im NuS-II-Skript) erhält man:
VCL =
ua
Rr
=−
ue2
Rv
(Verstärkung)
2.10.4 Nichtinvertierender Verstärker
[Skript, V-419f.] Rückkopplung über Spannungsteiler (Rr und RP in dieser Reihenfolge vom Ausgang zur Masse, Abgriff dazwischen) auf den invertierenden Eingang!
VCL =
ua
Rr
=
+1
ue
Rp
2.10.5 Weitere Schaltungen siehe NuS I!
2.10.6 NF-Leistungsverstärker, etc.
[Skript, V-426ff.]
42
Index
Übergangsverhalten, 34
Überlagerungssatz, 13
Sinusstrom, 21
Übertrager, 22
Übertragungsfunktion, 36
äquivalente Schaltungen
bedingt, 21
Gegeninduktivität, 22
Gegenkopplung, 41
Gleichrichter, 34
Graph, 12
Grosssignalersatzschaltbild, 39
Hauptinduktivität, 22
Hochpass, 37
Arbeitspunkt, 7
Impedanz, 22
Induktionsgesetz, 22
Induktivität, 9, 19
Ersatzschaltung, 23
Basisschaltung, 41
Baum, 12
Blindleistung, 19
Blindstromkompensation, 20
Bode-Diagramm, 37
Brückenschaltung
Wechselstrom, 24
Kapazität, 9, 19
Ersatzschaltung, 24
Kleinsignal-Ersatzschaltbild, 40
Klemmschaltung, 38
Knotenpotentialverfahren, 15
Knotenregel, 3, 19
Kollektorschaltung, 8, 41
Kondensator, 9
Coulomb’sches Gesetz, 2
Dezibel, 17
Differenzverstärker, 41
Diode, 7
Drossel, 23
Laplacetransformation, 35
Tabelle, 36
Leistung, 19
Leistungsanpassung, 6
Leistungsfaktor, 19
Leitwert, 4
Lufttransformator, 23
Eckkreisfrequenz, 37
Effektivwert, 18
Eisenkerntransformator, 23
Elektrisches Feld, 2
Emitterschaltung, 8
Ersatzquellen, 21
Ersatzschaltung
Zweitore, 30
Maschenregel, 3, 19
Maschenstromverfahren, 13
Netzwerkanalyse, 12
Norton-Äquivalent, 13
Fourierreihe, 31
Rechnen mit, 33
Tabelle, 32
Fouriertransformation, 35
Frequenzgang, 34, 37
Transformator, 23
Ohm’sches Gesetz, 4
Operationsverstärker, 10, 41
Ortskurven, 20
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NuS I, HS 2007 und NuS II, FS2008
Jonas Huber
Parallelersatzschaaltung, 20
Phasenverschiebung, 17
Pol-Nullstellen-Diagramm, 37
Quellenumwandlung, 5
Reihenersatzschaltung, 20
Resonanztransformation, 26
Scheinleistung, 19
Scheitelwert, 18
Schwingkreis, 9, 24
Sinusstrom, drephasig, 26
Sinusstrom-Leitung, 23
Spannungsquelle, 4
Spannungsteiler, 6
Spule, 9
Stern-Dreieck-Umwandlung, 17
Stromdichte, 3
Stromquelle, 4
Stromteiler, 6
Tellegen-Theorem, 16
Thévenin-Äquivalent, 13
Tiefpass, 37
Transistor, 8
Transistoren, 38
Verbraucherzählpfeilsystem, 12
Verzerrung
lineare, 33
nichtlinear, 34
Wäremwiderstand (Transistor), 39
Wellenwiderstand, 31
Widerstand, 4
Wirkleistung, 19
Zener-Diode, 7
Zenerdiode, 38
Zweitore, 28
44
Zusammenfassung