K O N T I N U I E R L I C H E S I G N A L E U N D S Y S T E M E

Berner Fachhochschule
Hochschule für Technik und Informatik HTI
Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik
KONTINUIERLICHE
SIGNALE UND SYSTEME
Dozenten:
A. Kaufmann
M. Moser
Autor:
A. Kaufmann
Version:
Datum:
2.0
September 2004
ii
Inhaltsverzeichnis
1 SIGNALE UND IHRE EIGENSCHAFTEN .....................................................................
1.1 Dämpfung und Verstärkung, Pegel ...........................................................................
1.2 Signale im Zeitbereich ...............................................................................................
1.3 Frequenzband und Spektrum .....................................................................................
1
1
6
8
2 VERZERRUNGEN UND STÖRUNGEN .........................................................................
2.1 Informationsminderung .............................................................................................
2.2 Lineare Verzerrungen ................................................................................................
2.2.1 Komplexer Frequenzgang ................................................................................
2.2.2 Amplitudenverzerrungen ..................................................................................
2.2.3 Phasenverzerrungen ..........................................................................................
2.3 Nichtlineare Verzerrungen ........................................................................................
2.3.1 Aussteuerungskennlinie ....................................................................................
2.3.2 Klirrfaktor .........................................................................................................
2.3.3 Intermodulation ................................................................................................
2.4 Rauschen ...................................................................................................................
2.4.1 Allgemeines ......................................................................................................
2.4.2 Rauschsignale ...................................................................................................
2.4.2.1 Einführung ...............................................................................................
2.4.2.2 Theoretische Grundlagen zur Beschreibung stochastischer Signale ......
2.4.3 Rauschquellen ..................................................................................................
2.4.3.1 Innere Rauschquellen ..............................................................................
2.4.3.2 Äussere Rauschquellen ............................................................................
2.4.4 Rauschkenngrössen ..........................................................................................
2.4.4.1 Rauschbandbreite ....................................................................................
2.4.4.2 Rauschabstand, Rauschzahl, Rauschmass, Rauschtemperatur ................
2.4.4.3 Rauschen mehrstufiger Systeme: ............................................................
13
13
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19
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20
20
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24
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26
26
28
30
3 ZWEITOR-THEORIE ........................................................................................................
3.1 Allgemeines ...............................................................................................................
3.2 Eintore (Zweipole) ....................................................................................................
3.2.1 Passive Eintore .................................................................................................
3.2.2 Aktive Eintore ..................................................................................................
3.2.3 Leistungsanpassung ..........................................................................................
3.3 Zweitore (Vierpole) ...................................................................................................
3.3.1 Grundgleichungen linearer Zweitore ................................................................
3.3.2 Zweitorparameter .............................................................................................
3.3.2.1 Allgemeines .............................................................................................
3.3.2.2 z-Parameter (Impedanz-Parameter) .........................................................
3.3.2.3 y-Parameter (Admittanz-Parameter) .......................................................
3.3.2.4 h-Parameter (Hybrid-Parameter) .............................................................
3.3.2.5 a-Parameter (Ketten-Parameter) ..............................................................
3.3.2.6 Weitere Parameter ...................................................................................
3.3.3 Umrechnungen .................................................................................................
3.3.4 Zusammenschaltung von Zweitoren ................................................................
3.3.5 Betriebsverhalten ..............................................................................................
31
31
31
31
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4 FILTERTHEORIE .............................................................................................................
4.1 Einführung .................................................................................................................
4.1.1 Allgemeines ......................................................................................................
4.1.2 Grundbegriffe für die Filtertheorie ...................................................................
4.1.3 Vorgehensweise für den Filterentwurf .............................................................
47
47
47
47
51
HTI Biel, Signalübertragung
Inhaltsverzeichnis
iii
4.2 Approximation im Frequenzbereich ..........................................................................
4.2.1 Grundsätzliches ................................................................................................
4.2.2 Die Tiefpass-Approximation ............................................................................
4.2.3 Vergleich der Tiefpass-Standardapproximationen ...........................................
4.2.4 Übergang zu beliebigen Filtern durch Frequenztransformation .......................
4.3 Realisierung von Filtern ............................................................................................
4.3.1 Überblick ..........................................................................................................
4.3.2 Entwurf passiver RLC Filter ............................................................................
4.3.3 Entwurf aktiver RC Filter .................................................................................
5 LEITUNGSTHEORIE .......................................................................................................
5.1 Einführung .................................................................................................................
5.1.1 Übersicht ..........................................................................................................
5.1.2 Einführung in die Maxwellschen Gleichungen ................................................
5.1.3 Ausblick ............................................................................................................
5.2 Anschauliche Beschreibung der Ausbreitungsvorgänge auf TEM-Leitungen ..........
5.2.1 Definition der zu untersuchenden Leitung .......................................................
5.2.2 Der Ausbreitungsvorgang auf einer verlustlosen Leitung ................................
5.2.3 Differentialgleichungen der Leitung ................................................................
5.2.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenwiderstand .....................................
5.2.5 Gleichspannungs-Schaltvorgänge, Reflexionsfaktor .......................................
5.3 Leitungsgleichungen bei sinusförmiger Anregung ...................................................
5.3.1 Beliebige TEM-Leitungen ................................................................................
5.3.2 Die Leitung als Zweitor ....................................................................................
5.3.3 Nachweis der Wellenausbreitung .....................................................................
5.3.4 Reflexionsfaktor und Stehwellen .....................................................................
5.3.5 Eingangsimpedanz ............................................................................................
5.3.6 Transformationseigenschaften und Smith-Diagramm ......................................
5.4 Eigenschaften konkreter Leitungen ...........................................................................
5.4.1 Zweidrahtleitungen ...........................................................................................
5.4.2 Koaxialkabel .....................................................................................................
5.4.3 Hohlleiter ..........................................................................................................
5.4.4 Streifenleiter .....................................................................................................
5.4.5 Lichtwellenleiter ...............................................................................................
HTI Biel, Signalübertragung
52
52
52
60
62
65
65
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101
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Inhaltsverzeichnis
1
1 SIGNALE UND IHRE EIGENSCHAFTEN
1.1 Dämpfung und Verstärkung, Pegel
Übertragungstechnische Systeme werden für die weitere Behandlung in einzelne Blöcke unterteilt.
Diese haben ein oder mehrere Zugänge oder Tore. Ein Tor besteht meistens aus zwei Anschlussklemmen (Pole), doch gibt es Fälle, bei denen diese Vorstellung nicht passt, etwa bei einem Lichtwellenleiter.
Am häufigsten kommen nun Blöcke mit zwei Zugängen (Eingang, Ausgang) vor, sogenannte Zweitore.
Der dazu oft verwendete Ausdruck "Vierpol" vermag nach dem oben Gesagten nicht ganz zu befriedigen.
Am Bild 1.1 sollen nun zwei wichtige Eigenschaften von Zweitoren untersucht werden: Dämpfung
und Verstärkung.
Bild 1.1
Zweitor zwischen Generator und Last
Da in der Nachrichtentechnik nur zeitlich veränderliche Signale verarbeitet werden, ist ein komplexer
Ansatz (sinusförmige Grössen) sinnvoll.
Eingangsgrössen werden mit Index 1, Ausgangsgrössen mit Index 2 bezeichnet. Allgemein gilt:
Verstärkung
V
=
Ausgangsgrösse
Eingangsgrösse
Spannungsverstärkung:
Dämpfung
A
=
Eingangsgrösse
Ausgangsgrösse
Vu
=
U2
U1
(1.1)
Au
=
U1
U2
(1.2)
Spannungsdämpfung:
Analog dazu Stromverstärkung bzw. -dämpfung:
Vi
HTI Biel, Signalübertragung
=
I2
I1
bzw.
Ai
=
I1
I2
(1.3) (1.4)
1.1
2
Dabei muss beachtet werden, dass per Definition alle Ströme in das Zweitor hinein definiert sind.
Spannungs- und Stromverstärkungen bzw. -dämpfungen sind komplexe Grössen, für die die exponentielle Schreibweise gebräuchlich ist:
V
= V ⋅ e jΦ
bzw.
A
= A ⋅ e jB
Dämpfung und Verstärkung sind reziprok zueinander:
V
(1.5)
=
1
A
(1.6)
(1.7)
Damit gilt für die Beträge und Phasenwinkel:
V
=
1
A
Φ = −B
und
(1.8)
(1.9)
Unter Leistungsverstärkung oder Gewinn (Gain) versteht man das Verhältnis von Ausgangswirkleistung P2 zu Eingangswirkleistung P1.
Vp
P2
P1
=
(1.10)
während die Leistungsdämpfung (Loss) definiert ist als
Ap
P1
P2
=
(1.11)
Da bei der Leistungsverstärkung und -dämpfung nur die Wirkleistungen verglichen werden, handelt
es sich bei Vp und Ap somit um reelle Grössen.
Logarithmische Verhältnisgrössen:
In der Übertragungstechnik werden Verhältnisse gleichartiger Grössen sehr oft logarithmisch dargestellt. Diese Verhältniszahlen eignen sich sehr gut zur Darstellung von Verstärkungen oder Dämpfungen.
Je nach verwendetem Logarithmus (lg oder ln) werden die gebildeten Werte mit den "Einheiten"
Dezibel (dB) oder Neper (Np) versehen.
Grundsätzlich ist das "dB" mit Leistungen und dem Zehnerlogarithmus definiert. Eine Dämpfung in
dB lautet demnach:
Ap [dB] = 10 ⋅ lg
P1
P2
[dB]
(1.12)
Das "Neper" wird vorallem in der Übertragungstechnik im Zusammenhang mit Leitungen verwendet.
Es ist mit Spannungen und dem natürlichen Logarithmus definiert:
Au [Np] = ln
HTI Biel, Signalübertragung
U1
U2
[Np]
(1.13)
1.1
3
Die Umrechnung zwischen dB und Np ist einfach:
1Np = 8, 686dB
oder
1dB = 0, 115Np
(1.14)
Bei diesen "logarithmischen Einheiten" ist folgendes besonders zu beachten:
•
Es können keine Verhältnisse zwischen komplexen Grössen gebildet werden. Gemäss Norm
werden nur die Beträge verrechnet.
•
Obschon das "dB" an sich mit Leistungen definiert ist, wird es häufig auch für Spannungsverhältnisse eingesetzt.
Zwischen Leistungs- und Spannungsverhältnissen gilt der Zusammenhang:
P1
P2
=
U12 ⋅ R2
 U1  2 R2
=   ⋅
 U2  R1
U22 ⋅ R1
Ap [dB] = 20 ⋅ lg
U1
U2
+ 10 ⋅ lg
R2
R1
(1.15)
[dB]
(1.16)
Sind R1 und R2 gleich gross, oder werden nur Spannungen betrachtet, so kann für Au auch
geschrieben werden:
Au [dB] = 20 ⋅ lg
U1
U2
[dB]
(1.17)
Falls die Bedingung R1 = R2 jedoch nicht erfüllt ist, so weicht Au [dB] von Ap [dB] ab. Die Werte
müssen in diesem Fall eindeutig als Spannungs- oder Leistungsverhältnisse bezeichnet werden!
Die Reziprozität zwischen Verstärkung und Dämpfung wirkt sich bei den logarithmischen Grössen
als Vorzeichenwechsel aus.
V[dB] = − A[dB]
(1.18)
Eine Dämpfung von -20 dB entspricht somit einer Verstärkung von 20 dB.
Für die praktische Arbeit mit dB’s ist es sehr nützlich, sich einige Werte zu merken. Zusammen mit
den Rechenregeln für logarithmische Zahlen ist man dann in der Lage, Zahlenwerte im Kopf umzurechnen. Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten "Merkwerte":
HTI Biel, Signalübertragung
1.1
4
Bild 1.2
Leistungsverhältnis
Px/Py:
Spannungsverhältnis
Ux/Uy:
20 dB
100
10
10 dB
10
3,16
6 dB
4
2
3 dB
2
1,41
0 dB
1
1
-3 dB
0,5
0,707
-6 dB
0,25
0,5
-10 dB
0,1
0,316
-20 dB
0,01
0,1
Merkwerte für Spannungs- und Leistungsverhältnisse in dB. Die Indizes x und y bezeichnen beliebige
Grössen.
Pegel:
Oft werden Spannungen U bzw. Leistungen P mit Bezugsgrössen U0 bzw. P0 verglichen. Die entstehenden logarithmischen Verhältnisse nennt man Pegel (Level) L.
Spannungspegel:
Leistungspegel:
Lu
= 20 ⋅ lg
U
U0
[dB]
(1.19)
Lp
= 10 ⋅ lg
P
P0
[dB]
(1.20)
Bei diesen "relativen Pegeln" können die Bezugsgrössen P0 bzw. U0 beliebig gewählt werden. Damit
die Pegel jedoch eindeutig definiert sind, müssen diese Bezugsgrössen festgehalten werden.
→
z.B. U0 = ..... V oder 0 dB = ..... V .
HTI Biel, Signalübertragung
1.1
5
Als "absolute Pegel" bezeichnet man Pegel , die sich auf einen festgelegten Normalwert beziehen.
Gebräuchlich sind folgende "absolute Pegel":
dBm
P0 = 1 mW
→
0 dBm entsprechen 1 mW
dBW
P0 = 1 W
→
0 dBW entsprechen 1 W
dBV
U0 = 1 V
→
0 dBV entsprechen 1 V
dBµV
U0 = 1 µV
→
0 dBµV entsprechen 1 µV
Viele Voltmeter haben zusätzlich zu den linearen Skalen auch eine "dB-Skala", - entweder "dBV"
oder "dBm". Währenddem dBV eindeutig eine Spannung (bezogen auf 1 V) bezeichnet, bedeutet dBm
jedoch eine Leistung (bezogen auf 1 mW)!
Gemeint ist damit die Leistung, die an einem äusseren Widerstand die gemessene Spannung erzeugt.
Dabei muss beachtet werden, dass die Umrechnung zwischen Leistung und Spannung vom Widerstand
abhängig ist.
"dBm"-Skalen sind daher immer mit einem Bezugswiderstand versehen:
dBm(600 Ω)
1 mW (0 dBm) entspricht einer
Spannung von 0,775 V an 600
Ω.
Der Bezugswiderstand 600 Ω entspricht
einem üblichen Abschlusswiderstand bei
Übertragungsleitungen in der Telefonie.
dBm(50 Ω)
1 mW (0 dBm) entspricht einer
Spannung von 224 mV an 50Ω.
Der Bezugswiderstand 50 Ω wird vorwiegend in der Hochfrequenztechnik verwendet. Er entspricht dem Wellen- und
Abschlusswiderstand der gebräuchlichen
Koaxialleitungen.
Da "absolute Pegel" gleichbedeutend mit Spannungs- oder Leistungswerten sind, werden anstelle von
Lp bzw. Lu oft einfach die Symbole P bzw. U verwendet.
Beispiele: U = -60 dBV entsprechen U = 1 mV; P = 13 dBm entsprechen P = 20 mW.
Der Zusammenhang zwischen Pegel und Dämpfung bzw. Verstärkung kann einfach im Kopf berechnet
werden, da durch die logarithmischen Grössen die Division in eine Subtraktion reduziert wird:
Ap
= Lp1 − Lp2
[dB]
(1.21)
Währenddem die Pegel Lp1 und Lp2 durchaus beispielsweise die Einheit "dBm" aufweisen können, so
haben Dämpfung und Verstärkung immer die Einheit "dB"!
HTI Biel, Signalübertragung
1.1
6
1.2 Signale im Zeitbereich
Signale stellen meist eine Nachricht dar. Diese können in verschiedenen Formen (Töne, Bilder, Daten)
vorliegen. Nachrichten sind demnach Funktionen oder Zeichen, die zum Zweck der Weitergabe
Informationen darstellen. Die physikalische Darstellung einer Nachricht nennt man Nachrichtensignal.
Das Nutzsignal - oft auch nur Signal genannt - setzt sich aus dem Nachrichtensignal und dem zur
Übertragung allenfalls notwendigen Hilfssignal zusammen. Die von der Nachricht abhängigen
Merkmale des Nutzsignals heissen Signalparameter.
Praktische Signale werden in der Regel auch Merkmale enthalten, welche die Übertragung stören
können. Man nennt diese Signalanteile daher Störsignale.
Der zeitliche Verlauf einer physikalischen Grösse lässt sich durch ihre Zeitfunktion beschreiben. Die
in Bild 1.3a gezeigte Sinusschwingung wird zwar sehr oft eingesetzt, entspricht jedoch kaum den
praktisch vorkommenden Nachrichten. Sobald Amplitude und Frequenz der Sinuschwingung einmal
bekannt sind, kann die Zeitfunktion problemlos weiterberechnet werden. Sie enthält dann im Sinne
der Informationstheorie keine Informationen mehr. Nur unvorhersehbare Zustandsänderungen, wie
sie z.B. in Bild 1.3b auftreten, sind als Nachrichten zu interpretieren.
Bild 1.3
Zeitfunktionen:
a)
b)
Vorhersehbare Zeitfunktion (ohne Nachricht)
Unvorhersehbare Zeitfunktion, die eine Nachricht enthalten kann.
Signale lassen sich weiter in kontinuierliche und diskrete Funktionen unterteilen:
•
Analogsignale stellen einen kontinuierlichen Vorgang kontinuierlich dar. Zu jedem Zeitpunkt ist
also ein beliebiger Signalwert möglich.
•
Zeitdiskrete (abgetastete) Signale zeigen die Nachricht nur in bestimmten Zeitpunkten in wertkontinuierlicher (analoger) Form.
•
Digitalsignale zeigen dagegen eine wertdiskrete (quantisierte) oder eine wert- und zeitdiskrete
Form der Nachricht. Bei wertdiskreten Signalen sind nur bestimmte Amplitudenwerte (Stufen)
zulässig.
In Bild 1.47 ist jeweils die gleiche Funktion in analoger, wertdiskreter, zeitdiskreter, sowie wert- und
zeitdiskreter Form dargestellt.
HTI Biel, Signalübertragung
1.2
7
Bild 1.4
Einteilung in kontinuierliche (analoge) und diskrete (digitale) Signale.
Zeitfunktionen werden im Labor mit dem Oszilloskop gemessen, wobei auch hier analoge und digitale
Geräte gebräuchlich sind.
Bild 1.5 zeigt einige in der Nachrichtentechnik gebräuchliche Signale mit ihrer Zeitfunktion.
Bild 1.5
Zeitfunktionen in der Nachrichtentechnik.
HTI Biel, Signalübertragung
1.2
8
1.3 Frequenzband und Spektrum
Damit übertragungstechnische Systeme richtig dimensioniert werden können, ist es wichtig, den
Frequenzinhalt (Spektrum) eines Signals angeben zu können. In diesem Kapitel soll daher der
Zusammenhang zwischen Zeitfunktion und Spektrum genauer untersucht werden.
Ein reines Sinussignal besteht aus einer periodischen Schwingung mit fester Frequenz f = 1/T , der
Amplitude Û und allenfalls dem Nullphasenwinkel ϕ.
Es lässt sich mit folgender Gleichung beschreiben:
u (t) = Û ⋅ sin (ωt + ϕ)
(1.22)
Dabei gilt: ω = 2πf
Die Kreisfrequenz ω hat die Einheit "s-1" oder "rad/s"; die Frequenz f dagegen die Einheit "Hz". Eine
Frequenz mit der Einheit "s-1" zu bezeichnen, ist falsch und führt oft zu Verwechslungen mit ω.
Die gleiche Information kann auch im Spektrum dargestellt werden (Bild 1.6). Das Amplitudenspektrum
enthält eine Spektrallinie mit der Amplitude Û bei der Frequenz f. Diese Darstellungsart wird etwa
auch Linienspektrum genannt. Da sich die Phaseninformation nicht im gleichen Diagramm einbauen
lässt, wird ein zusätzliches Diagramm nötig, das Phasenspektrum.
Bild 1.6
Darstellung einer Sinusschwingung als Zeitfunktion und als Spektrum.
Die Spektraldarstellung, bestehend aus Amplituden- und Phasenspektrum, enthält somit die gleiche
Information wie die Zeitfunktion.
HTI Biel, Signalübertragung
1.3
9
Spektrum periodischer Signale (Fourier-Reihe):
Ist ein Signal zwar periodisch, aber nicht sinusförmig, so treten zusätzlich zur Grundschwingung
sogenannte Oberschwingungen auf.
Nach dem französischen Mathematiker Fourier kann jedes periodische Signal durch eine
Reihe harmonischer Schwingungen approximiert werden. Harmonische sind ganzzahlige
Vielfache der Grundfrequenz.
Zwischen Grundschwingung, Oberschwingungen und Harmonischen gelten die folgenden Zusammenhänge:
f1 = f = 1/T
f2 = 2·f
f3 = 3·f
...
fn = n·f
1. Harmonische oder Grundschwingung
2. Harmonische oder 1. Oberschwingung
3. Harmonische oder 2. Oberschwingung
...
n. Harmonische oder (n-1). Oberschwingung
Bild 1.7 zeigt die Zeitfunktion und das Spektrum eines allgemeinen, periodischen Signals.
Bild 1.7
Zeitfunktion und Spektrum eines allgemeinen, periodischen Signals.
Die Fourier-Reihe findet man im Mathematikbuch in der folgenden Form:
f(x)
=
∞
∑ (an cos nx + bn sin nx)
n =0
= a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + … + an cos nx + …
(1.23)
+b1 sin x + b2 sin 2x + … + bn sin nx + …
HTI Biel, Signalübertragung
1.3
10
Zur Bestimmung der Koeffizienten a0, an und bn muss die Zeitfunktion jeweils über eine Periode von
0 ... 2π integriert werden:
2π
a0
1 ⌠
=
f(x) dx
2π ⌡
0
2π
an
1⌠
=
f(x) cos nx dx
π⌡
(1.24)
0
2π
bn
1⌠
=
f(x) sin nx dx
π⌡
0
Der Zeitpunkt 0 kann beliebig gewählt werden. Wichtig ist nur, dass über eine ganze Periode integriert
wird.
Für die Anwendung der Fourier-Reihe in der Elektrotechnik soll nun über eine Zeitperiode 0 ... T
integriert werden. Aus der Veränderliche x wird nun ωt, wobei nur die Zeit t eine Variable ist.
Für ω gilt:
ω=
2π
T
.
Damit wird die Fourier-Reihe:
f(t)
=
∞
∑ (an cos n ωt + bn sin nωt)
n =0
= a0 + a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + … + an cos nωt + …
(1.25)
+b1 sin ωt + b2 sin 2ωt + … + bn sin nωt + …
und die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten:
T
a0
1⌠
=
f(t) dt
T⌡
0
T
an
2⌠
=
f(t) cos nωt dt
T⌡
(1.26)
0
T
bn
2⌠
=
f(t) sin nωt dt
T⌡
0
HTI Biel, Signalübertragung
1.3
11
Jede Harmonische wird in der Fourier-Reihe durch zwei Komponenten dargestellt: eine cosinusförmige
mit der Amplitude an und eine sinusförmige mit der Amplitude bn. Da die beiden Komponenten die
gleiche Frequenz aufweisen, können sie in eine resultierende Amplitude Ûn (→ Amplitudenspektrum)
und eine Phase ϕn (→ Phasenspektrum) zusammengefasst werden. Wir erhalten damit eine weitere
Darstellung der Fourier-Reihe:
∞
f(t) = Û 0 + ∑ Û n ⋅ sin(nωt + ϕn )
(1.27)
n =1
Dabei bedeuten:
Û 0
= U0
= a0
Û n
=
ϕn
= arctan
an
bn
ϕn
= arctan
an
+ π
bn
an2 + bn2
√

→ Gleichspannungskomponente
→ Amplitudenspektrum
→ Phasenspektrum für bn > 0 , bzw.
für bn < 0
(1.28)
Spektrum von nichtperiodischen Signalen (Fourier-Integral):
Fourier-Reihen geben die Möglichkeit, periodische Funktionen durch eine Summe von Sinus- und
Cosinusfunktionen darzustellen und ein sogenanntes Linienspektrum zu entwickeln. In der Praxis
treten jedoch viele Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen,
z.B. einmaliger Impulse, führt zu einem Spektrum, das alle Frequenzen zwischen Null und Unendlich
enthält.
Anstelle der Fourier-Reihe tritt das Fourier-Integral, das sich über alle Frequenzen von Null bis
Unendlich erstreckt.
Auf eine Ableitung des Fourier-Integrals soll hier verzichtet werden [1]. Hingegen kann der Übergang
von einem Linienspektrum zu einem kontinuierlichen Spektrum anschaulich gezeigt werden.
HTI Biel, Signalübertragung
1.3
12
Als Ausgangsbasis dient das Spektrum von kurzen periodischen Impulsen:
Bild 1.8
Zeitfunktion und Spektrum von periodischen Impulsen der Länge τ und der Periode T, 5T und T → ∞.
Wird nun die Periodendauer T vergrössert, so nimmt die Grundfrequenz f = 1/T ab, die Spektrallinien
kommen näher zueinander zu liegen und werden immer kleiner. Beim Übergang T → ∞ schliesslich
geht f → 0 und die Linien "verschmelzen" ineinander, - das Spektrum wird kontinuierlich. Gleichzeitig
gehen die Amplituden der Spektrallinien gegen Null. Um zu erreichen, dass die kontinuierliche
Spektralfunktion nicht verschwindende Werte besitzt, muss eine neue Grösse - die Amplitudendichtefunktion - eingeführt werden. Hierzu bezieht man die Spannung auf ein Frequenzintervall ∆f.
Der Quotient Û/∆f hat auch im Grenzfall ∆f→0 einen endlichen Wert. Diesen Grenzwert bezeichnet
man als Spektralfunktion U(f):
U(f) =
HTI Biel, Signalübertragung
 Û 
lim  
∆f → 0 ∆f 
(1.29)
1.3
13
2 VERZERRUNGEN UND STÖRUNGEN
2.1 Informationsminderung
Ein Signal wird in einem Übertragungssystem auf verschiedene Weise beeinflusst. An den verschiedensten Stellen können Störungen ins System eindringen und sich dem Nutzsignal (Nachrichtensignal)
überlagern.
Beispiele von Störungen:
a) auf dem Übertragungsweg
- Rauschen (verschiedene Ursachen)
- Einstreuung von Schalttransienten (Schalter, Relais, Elektromotoren, etc.),
- Netzeinstreuungen (50 Hz oder Oberwellen)
- Übersprechen, Nebensprechen (unerwünschte Sprache, Musik oder andere
Signale von benachbarten Leitungen oder Kanälen)
b) in Geräten (Sender, Empfänger, Geräte auf dem Übertragungsweg)
- Widerstands- und/oder Halbleiterrauschen
- Einstreuung (induktiv, kapazitiv oder via Netz)
- Quantisierungsrauschen
Verschiedene Übertragungsverfahren und -systeme weisen gegenüber verschiedenen Störungen
unterschiedliche Störfestigkeit auf.
Das Nachrichtensignal ist im Übertragungssystem, insbesonders auf dem Übertragungsweg, verschiedenen Verzerrungen unterworfen. Dadurch wird die Form des Signals verändert. Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen.
Soll ein Signal möglichst formgetreu übertragen werden, so wirken sich alle Arten der Verzerrungen
in starkem Masse aus. Formtreue ist bei allen Signalen nötig, die nicht direkt ein Sinnesorgan des
Menschen ansprechen, besonders bei Impulsen. Demgegenüber sind die Sinnesorgane Auge und Ohr
nicht allen Arten von Verzerrungen gegenüber gleich empfindlich, wie die folgende Übersicht zeigt:
Sinnesorgan
Lineare Verzerrungen
Amplitudenverzerrungen
Phasenverzerrungen
Nichtlineare Verzerrungen
Ohr
1
0
2
Auge
1
2
0
2 = sehr empfindlich, 1 = empfindlich, 0 = wenig empfindlich
Bild 2.1
Verzerrungsempfindlichkeit der menschlichen Organe Auge und Ohr.
HTI Biel, Signalübertragung
2.1
14
Eine der Grundaufgaben der Übertragungstechnik ist die Übertragung von Information mit genügend
grosser Qualität. Störungen und Verzerrungen jeder Art wirken sich informationsmindernd aus. Aus
diesem Grund ist die Kenntnis und die quantitative Erfassung dieser Effekte von grosser Bedeutung
für die Beurteilung der Qualität eines Übertragungssystem.
2.2 Lineare Verzerrungen
Verformung durch ein lineares System.
Merkmal: Das verzerrte Signal enthält keine neuen Frequenzkomponenten, die nicht schon im
ursprünglichen, unverzerrten Signal vorhanden waren. Nur die Amplituden und Phasen
der bereits vorhandenen Komponenten werden verändert.
Die Eigenschaften eines linearen Systems sind nicht von der Aussteuerung abhängig, das Überlagerungsprinzip ist gültig.
2.2.1 Komplexer Frequenzgang
Die Darstellung der komplexen Ausgangsspannung bezogen auf die komplexe Eingangsspannung in
Funktion der (Kreis-)Frequenz heisst Frequenzgang.
Die allgemeine Darstellung lautet:
H(ω) = K(ω) ⋅ e jϕ(ω)
(2.1)
Der Betrag des Frequenzgangs |H(ω)| = K(ω) heisst Amplitudengang, die Phase ϕ(ω) von H(ω)
entsprechend Phasengang.
2.2.2 Amplitudenverzerrungen
Der Frequenzgang eines verzerrungsfreien Systems kann folgendermassen dargestellt werden:
H(ω) = K ⋅ e
−jtp ω
(2.2)
Gemäss Gl. (2.2) gilt für den Amplitudengang im verzerrungsfreien Fall:
| H(ω) |
= K
= konstant
(2.3)
Merkmal: Die Verstärkung des Eingangssignals ist unabhängig von der Frequenz.
HTI Biel, Signalübertragung
2.2
15
Bei Amplitudenverzerrungen (Verstärkungsverzerrungen) gilt: | H(ω) |
Bild 2.2
≠ konstant
Lineare Verzerrungen im Amplituden- und Phasengang.
2.2.3 Phasenverzerrungen
Gemäss Gl. (2.2) gilt für den Phasengang im verzerrungsfreien Fall:
ϕ(ω) = arg
H(ω) = − tp ⋅ ω = linear
(2.4)
Merkmal: tp = Phasenlaufzeit (Verzögerungszeit des Signals) ist unabhängig von der Frequenz.
Bei Phasenverzerrungen (Laufzeitverzerrungen) gilt:
ϕ(ω) = arg H(ω) ≠ Konst. ⋅ ω = nichtlinear
In praktischen Systemen ist es meist nicht nötig, im gesamten Frequenzbereich f = 0 ... ∞ eine konstante
Phasenlaufzeit zu erreichen. Es genügt für ein phasenverzerrungsfreies System, wenn im interessierenden Frequenzbereich die Gruppenlaufzeit tg konstant ist:
tg
= −
d ϕ(ω)
= konst.
dω
⇒ keine Phasenverzerrung
(2.5)
Ist die Gruppenlaufzeit nicht konstant, so sind Phasenverzerrungen vorhanden.
Bild 2.3
HTI Biel, Signalübertragung
Phasengang mit teilweise konstanter
Gruppenlaufzeit.
2.2
16
Lineare Verzerrungen treten in Leitungen (Freileitungen, Kabel etc.) auf, entstehen aber auch als
Folge von Reflexionen bzw. Mehrwegempfang (Multipath). Auch Filter in Geräten auf dem
Übertragungsweg (auch im Sender und Empfänger) können lineare Verzerrungen erzeugen.
2.3 Nichtlineare Verzerrungen
Unter nichtlinearen Verzerrungen versteht man die Signalverformung in nichtlinearen Systemen bzw.
an nichtlinearen Kennlinien.
Merkmal: Es treten neue Frequenzkomponenten auf, die im ursprünglichen, unverzerrten Signal noch
nicht vorhanden waren.
Nichtlineare Verzerrungen können zum Beispiel in aktiven Elementen (Verstärker etc.) und in
Übertragern bzw. Induktivitäten (magnetischer Kreis mit Eisen) entstehen (Begrenzung, Sättigung).
Die Eigenschaften eines nichtlinearen Systems sind von der Aussteuerung abhängig, das Überlagerungsprinzip ist nicht mehr gültig.
2.3.1 Aussteuerungskennlinie
Bei mehrstufigen Verstärkern beispielsweise ist häufig in den letzten Stufen und in der Ausgangsstufe
die Verstärkung nicht mehr linear, d.h. nicht mehr amplitudenunabhängig. Das Ausgangssignal weist
dann nichtlineare Verzerrungen auf, weil die Signalamplitude in den letzten Stufen so gross geworden
ist, dass die Kennlinien bis in ihre nichtlinearen Bereiche ausgesteuert werden.
Bild 2.4
Lineare und nichtlineare Aussteuerungskennlinien.
Zur Berechnung der durch gekrümmte Kennlinien entstehenden Verzerrungen, benötigt man eine
mathematische Beschreibung der Nichtlinearitäten.
HTI Biel, Signalübertragung
2.3
17
Der Zusammenhang zwischen den Momentanwerten der Ausgangsspannung u2 und der Eingangsspannung u1 eines Systems (= Kennlinie) werde durch ein Potenzpolynom approximiert (als Approximationsausdrücke werden auch Exponentialpolynome, trigonometrische Reihen und transzendente
Funktionen benützt):
⇒
u2
= C0 + C1 ⋅ u1 + C2 ⋅ u12 + C3 ⋅ u13 + …
(2.6)
u1
= Û 1 ⋅ sin ωt
(2.7)
= C0 + C1 ⋅ Û 1 ⋅ sin ωt + C2 ⋅ Û 21 ⋅ sin2 ωt + C3 ⋅ Û 31 ⋅ sin3 ωt + …
u2
Nach einigen trigonometrischen Umformungen erhält man die Frequenzkomponenten der Ausgangsspannung:
⇒
u2
= C0
1
+ C2 ⋅ ⋅ Û 21
2
+ …
+

 C1 ⋅ Û 1

−

1 2
 C2 ⋅ ⋅ Û 1
2

+ …



cos 2ωt
−

1 3
 C3 ⋅ ⋅ Û 1
4

+ …



sin 3ωt



3
+ C3 ⋅ ⋅ Û 31 + …
4
sin ωt
(2.8)
+− …
2.3.2 Klirrfaktor
Oft ist es umständlich und unnötig das beim Auftreten von nichtlinearen Verzerrungen entstehende
Signalspektrum darzustellen. Es interessiert vielfach nur ein Mass, das die Abweichungen eines
periodischen Signals von der reinen Sinusschwingung angibt. Dieses Mass kann durch den Klirrfaktor
k ausgedrückt werden.
Der Gesamtklirrfaktor k ist folgendermassen definiert:
k
U1 ... Um:
=
U22 + U32 + … +Um2
√
U12 + U22 + U32 + … +Um2

√
(2.9)
Spannungen (Effektivwerte) aller Harmonischen.
HTI Biel, Signalübertragung
2.3
18
Es ist üblich, den Klirrfaktor in % oder auch in dB anzugeben:
k[%] = k ⋅ 100%
[%]
(2.10)
k[dB] = 20 ⋅ lg k
[dB]
(2.11)
Man unterscheidet noch weiter Klirrfaktoren 2., 3., ...n-ter Ordnung.
Der Klirrfaktor n-ter Ordnung kn ist folgendermassen definiert:
kn
=
Un
U12 + U22 + … +Um2
√
(2.12)
Es ist zu beachten, dass der Klirrfaktor keine systeminhärente Grösse darstellt, da er vorallem von
der Amplitude, aber auch von der Frequenz des Eingangssignals abhängig ist.
Zur Messung des Klirrfaktors benützt man ein Effektivwert-Voltmeter. Damit misst man das Ausgangssignal mit und ohne Grundwelle, wobei ein allfällig vorhandener Gleichspannungsanteil vorgängig der Messung eliminiert werden muss. Der Quotient der so erhaltenen Messwerte ist gemäss
Gl.(2.9) der gesuchte Klirrfaktor. Die Unterdrückung der Grundwelle erfolgt mit einem
Serieresonanzkreis. Geräte, bestehend aus einem Effektivwert-Voltmeter, einem abstimmbaren
Serieresonanzkreis und einem Quotientenbildner, werden als Klirrfaktor-Messbrücken bezeichnet.
2.3.3 Intermodulation
Liegt am Eingang eines Systems mit einer nichtlinearen Kennlinie ein Signal, das aus zwei harmonischen Schwingungen (u1 = Û 11 sin ω1t + Û 12 sin ω2t ) besteht, entstehen am Ausgang Frequenzkomponenten, die nicht nur bei ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen liegen,
sondern
auch
bei
linearen
Kombinationen
dieser
Frequenzen
(ω1 ± ω2 , 2ω1 ± ω2 , ω1 ± 2ω2 , … ). Dieser Effekt wird als Intermodulation bezeichnet.
Intermodulationsverzerrungen spielen vor allem bei der Modulation eine Rolle.
HTI Biel, Signalübertragung
2.3
19
2.4 Rauschen
2.4.1 Allgemeines
Bei einer Signalübertragung treten oft sehr kleine Signale auf. Ihr Pegel muss durch starkes Verstärken
heraufgesetzt werden. Dabei ist nun zu beachten, dass in jedem Teil des Übertragungssystems dem
informationstragenden Signal (= Nutzsignal) Störsignale überlagert werden, die sich informationsmindernd auswirken (→ 2.1). Die Beeinträchtigung der Übertragung hängt natürlich von der Intensität
(in bezug auf die Nutzsignalintensität) und der Art der Störung ab.
Bei der Übertragung analoger Signale hat sich als Mass für die Qualität der Störabstand S/N (in dB)
eingebürgert, wobei S die Signalleistung und N die Störleistung darstellt. Handelt es sich bei der
Störung um Rauschsignale, so spricht man auch vom Signal-Rauschleistungsverhältnis.
Ein Rauschsignal ist ein stochastisches (zufälliges) Signal, dessen Verlauf nicht deterministisch ist,
d.h. nicht zum voraus analytisch beschrieben werden kann. Von einem Rauschsignal können dafür
statistische Angaben gemacht werden.
Bei digitalen Signalen spielen störungsbedingte Verformungen solange keine Rolle, als die Entscheidung für einen bestimmten diskreten Zustand mit hoher Sicherheit möglich ist. Überschreiten
die Störungen jedoch eine gewisse Intensitätsschwelle, so wird die Signalerkennung unsicher, und es
entstehen Fehler. Als Qualitätsmass bietet sich hier die Fehlerwahrscheinlichkeit Pe an.
Die durch periodische Störungen hervorgerufene Beeinträchtigung einer Signalübertragung lässt sich
ohne weiteres quantitativ erfassen, da ja periodische Signale sowohl im Zeitbereich, als auch im
Frequenzbereich (mit Hilfe von Fourierreihen), beschrieben werden können.
Entsprechende Berechnungen für Übersprechen oder Büschelstörungen sind dagegen sehr schwierig
da die zugehörigen Zufallsprozesse nichtstationär sind (d.h. statistische Eigenschaften des Störsignals
sind zeitvariant), was zur Folge hat dass Störabstände oder Fehlerwahrscheinlichkeiten selber nicht
mehr deterministisch sind.
Da es sich bei Rauschsignalen in der Regel um stationäre Signale handelt (d.h. statistische Eigenschaften sind zeitinvariant) kann die Störung einer Nachrichtenübertragung durch Rauschen in
befriedigender Weise ermittelt werden. Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf diese
Störungsart, die bei praktischen Übertragungssystemen auch tatsächlich sehr häufig auftritt.
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
20
2.4.2 Rauschsignale
2.4.2.1 Einführung
Bild 2.5
Beim Rauschen handelt es sich um ein
In Bild 2.5 ist der mögliche Verlauf eines Rauschsignals
dargestellt. Wie in der Einleitung erklärt wurde, handelt
es sich hier um ein nicht voraussagbares, stochastisches
(zufälliges) Signal. Wir benötigen geeignete Beschreibungsmethoden für solche Signale. Im Vordergrund
stehen dabei die Beziehungen zwischen stochastischen
Signalen und verschiedenen statistischen Kenngrössen.
stochastisches Signal.
Zum besseren Verständnis sollen an dieser Stelle die wichtigsten theoretischen Grundlagen zur
Beschreibung stochastischer Signale aufgeführt werden.
2.4.2.2 Theoretische Grundlagen zur Beschreibung stochastischer Signale
Wir gehen aus von einem zufälligen Experiment:
Bild 2.6
ω ist das Ergebnis eines zufälligen
Experimentes.
Bei jedem Versuch eines zufälligen Experimentes tritt genau ein Ergebnis ein. Die Menge der möglichen, einander
ausschliessenden Ergebnisse wird Ergebnisraum Ω genannt. Als Ereignis bezeichnet man eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des zufälligen Experimentes mit einem Ereignis Ai übereinstimmt,
wird folgendermassen definiert:
P (Ai ) =
n(Ai )
ZahldergünstigenVersuche
=
N
GesamtzahlderVersuche
(2.13)
Eine Zufallsgrösse X ist eine Funktion, die den Ergebnisraum Ω auf die Menge der reellen Zahlen R abbildet: X: Ω → R
{ω:X(ω) < r} ein Ereignis.
Damit wird für jedes r ∈ R
In anderen Worten ausgedrückt: Bei vielen Zufallsexperimenten können die eintretenden Ergebnisse durch Zahlen (z.B.
durch die Augenzahlen eines Würfels) gekennzeichnet werden.
Bild 2.7
HTI Biel, Signalübertragung
Die Funktion X bildet den
Ergebnisraum Ω auf die
Menge der reellen Zahlen R ab.
2.4
21
Unter der Verteilungsfunktion FX(r) der Zufallsgrösse X versteht man nun die Wahrscheinlichkeit, dass X(ω)<r:
FX (r) = P({ω:X(ω) < r}) = P(X < r)
(2.14)
Eigenschaften der Verteilungsfunktion:
lim FX (r) = 0
1.)
r → −∞
lim FX (r) = 1
2.)
r →∞
r1 < r2 ⇒ FX (r1) ≤ FX (r2)
3.)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgrösse X zwischen den Werten r und r + ∆r liegt, kann mit der Verteilungsfunktion
folgendermassen berechnet werden:
P(r < X < (r + ∆r)) = FX (r + ∆r) − FX (r) = ∆FX (r)
(2.15)
Wenn nun ∆r immer kleiner wird und schliesslich verschwindet, wird diese Wahrscheinlichkeit Null. Man definiert daher
die Verteilungsdichte pX(r):
pX (r) =
FX (r + ∆r) − FX (r)
d
=
FX (r)
∆r
dr
∆r → 0
lim
(2.16)
Eigenschaften:
1.)
pX (r) ≥ 0
+∞
2.)
⌠ p (r) dr
⌡ X
= 1
−∞
r2
3.)
P(r1 ≤ X ≤ r2) = ⌠ pX (r) dr
⌡
r1
Ist ein zufälliges Experiment nun so beschaffen, dass die Zufallsgrössen Funktionen eines Parameters, z.B. der Zeit sind,
dann spricht man von einem Zufallsprozess (resp. stochastischen Prozess). So ist zum Beispiel die Ausgangsspannung
eines Rauschgenerators eine Musterfunktion eines Zufallsprozesses.
Häufig werden stochastische Prozesse nicht durch die Verteilungsdichte beschrieben, sondern man kennzeichnet sie durch
die Angabe einiger Kennwerte. Die wichtigsten sind:
•
∞
Arithmetischer Mittelwert (= Erwartungswert):
⌠ r p (r) dr
X
⌡
=
X
−∞
•
∞
Quadratischer Mittelwert:
X
2
=
⌠ r 2 p (r) dr
X
⌡
−∞
•
Effektivwert:
•
Streuung (= Varianz):
Xeff
=
√X 2
∞
σ2 =
⌠(r − X)2 p (r) dr
X
⌡
= X 2 − (X)
2
−∞
•
Standardabweichung:
HTI Biel, Signalübertragung
σ =
σ2
√
2.4
22
Man erkennt, dass die hier betrachteten statistischen Kennwerte alle bestimmt werden können, falls die Verteilungsdichte
pX(r) bekannt ist.
Viele stochastische Prozesse haben die Eigenschaft, dass sich zwar im einzelnen keine erkennbare Gesetzmässigkeit zeigt,
aber dafür sich im prinzipiellen Verhalten hinsichtlich der Zeit nichts ändert. Man denke etwa an das thermische Rauschen
einer Verstärkerstufe. Bei gleichbleibendem physikalischen Hintergrund ändern sich die physikalischen Kennwerte nicht
und wir sprechen von einem stationären Prozess. Unter einem stationären stochastischen Prozess verstehen wir also einen
Prozess, dessen statistischen Kenngrössen unabhängig von der Zeit sind. In der Mehrzahl nachrichtentechnischer
Anwendungen können die obigen statistischen Kennwerte durch eine zeitliche Mittelung einer Musterfunktion des
betrachteten Prozesses, also ohne explizite Kenntnis der Verteilungsdichte pX(r) bestimmt werden.
Als Beispiel für die Musterfunktion eines stochastischen Prozesses diene eine Spannung u(t). Die
Berechnung der betrachteten statistischen Kennwerte als zeitliche Mittelwerte lautet:
1.) Arithmetischer Mittelwert (= Erwartungswert):
+T
u(t) =
lim
T →∞
1 ⌠
u(t) dt
2T ⌡
(2.17)
−T
Der arithmetische Mittelwert entspricht somit dem DC-Anteil des stochastischen Signals. Handelt
es sich bei u(t) um ein Rauschsignal, so ist dieser Wert 0.
2.) Quadratischer Mittelwert:
+T
u (t) =
2
lim
T →∞
1 ⌠ 2
u (t) dt
2T ⌡
(2.18)
−T
Der quadratische Mittelwert entspricht der an 1Ω auftretenden mittleren Leistung.
3.) Effektivwert (RMS: "root mean square"):
Ueff
= U
=
u 2(t)

√
(2.19)
4.) Streuung (= Varianz):
+T
δ
2
=
lim
T →∞
1 ⌠
2
(u(t) − u(t)) dt
2T ⌡
⇒ δ2
= u 2(t) − (u(t))
2
(2.20)
−T
Die Streuung entspricht der an 1 Ω auftretenden mittleren AC-Leistung.
5.) Standardabweichung:
δ =
HTI Biel, Signalübertragung
δ2
√
(2.21)
2.4
23
Ein stochastisches Signal (z.B. Rauschspannung ur(t)) ist jedoch durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung allein noch nicht hinreichend charakterisiert. Sein Leistungsdichtespektrum Ls(f) ist ein weiteres
wichtiges Charakteristikum, das als Kennfunktion im Frequenzbereich dient:
6.) Leistungsdichte:
Ls (f) =
lim
∆f → 0
∆P(f)
∆f
(2.22)
Daraus lässt sich die Leistung innerhalb eines gegebenen Frequenzbandes (0 ... f1) berechnen:
f1
P(f1) = ⌠ Ls (f) df
⌡
(2.23)
0
Bild 2.8
Beispiele für Leistungsdichtespektren Ls(f) von Rauschsignalen. Bei "weissem Rauschen" ist die Leistungsdichte frequenzunabhängig.
Bemerkung:
Das Leistungsdichtespektrum tritt bei stochastischen Signalen an die Stelle des
Amplitudendichtespektrums nichtperiodischer deterministischer Signale. Bei stochastischen Signalen kann keine Amplitudendichte angegeben werden, da der Zeitverlauf
u(t) nicht bekannt ist.
Das Leistungsdichtespektrum ist das Fourierintegral der Autokorrelationsfunktion (WienerKhintchine-Theorem). Diese ist ein Mass für die Übereinstimmung einer Zeitfunktion (= Musterfunktion eines stochastischen Prozesses) mit einer anderen, die sich nur um eine zeitliche Verschiebung
von der ersteren unterscheidet.
Die Definition der Autokorrelationsfunktion lautet:
+T
Rss (τ) =
lim
T →∞
1 ⌠
s(t) ⋅ s(t + τ) dt
2T ⌡
(2.24)
−T
Dadurch wird der Grad der inneren Vewandtschaft einer Zeitfunktion gekennzeichnet.
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
24
In vielen Fällen kann das Rauschen als sogenannt weisses, gauss- (= normal-) verteiltes Rauschen
angesehen werden:

−
1
pu (u ) =
⋅ e
2π ⋅δ
√
Bild 2.9
2
(u − u) 

2
2δ 
(2.25)
Eigenschaften von weissem, gaussverteilten Rauschen.
Voraussetzungen:
- Weisses Rauschen liegt vor, wenn die spektrale Leistungsdichte des Rauschsignals innerhalb des
Frequenzbereichs des betrachteten Systems konstant ist.
- Rauschvorgänge sind immer die Summe von Elementar-Ergebnissen mit beliebiger Verteilung.
Auf Grund des zentralen Grenzwertsatzes ist die Summe im allgemeinen normalverteilt.
2.4.3 Rauschquellen
Bei der Nachrichtenübertragung wird bezüglich der Störerscheinungen unterschieden zwischen der
bereits am Empfängereingang auftretenden, von äusseren Quellen hervorgerufenen Rauschleistung
und der im Empfänger selbst von inneren Quellen hervorgerufenen Rauschleistung.
2.4.3.1 Innere Rauschquellen
a) Thermisches Rauschen:
Jeder ohmsche Widerstand erzeugt ein Rauschen, bedingt durch die ungeordnete Wärmebewegung
der Ladungsträger (Brownsche Bewegung). Reine Reaktanzen rauschen nicht, wohl aber die Verlustwiderstände praktischer L und C. Thermisches Rauschen wird deshalb oft auch Widerstandsrauschen genannt.
Experimentelle und theoretische Untersuchungen von Johnson und Nyquist ergaben 1928:
(2.26)
ur2(t) = 4 k T B R
wobei:
k = 1,38.10-23 [Ws/K]
(Boltzmann-Konstante)
HTI Biel, Signalübertragung
T = abs. Temperatur [K]
B = Bandbreite [Hz]
R = Widerstand [Ω]
2.4
25
Der quadratische Mittelwert ist nicht abhängig von der Lage des Frequenzintervalls. Es handelt sich
also um weisses Rauschen. Weiter ist das thermische Rauschen gaussverteilt.
Bild 2.10
Ersatzschemas eines rauschenden Widerstandes.
Der rauschende Widerstand R kann an einen Lastwiderstand RL mit gleicher Grösse (R = RL , d.h.
leistungsmäsige Anpassung) die maximale Leistung abgeben. Diese beträgt:
Pr max = k ⋅ T ⋅ B
Bei Raumtemperatur (T=290K) wird mit dem folgenden Wert gerechnet:
k ⋅ T0 = 4 ⋅ 10−21 W/Hz =ˆ −174 dBm/Hz
⇒ Pr max = 4 ⋅ 10−21 ⋅ B
b)
(2.27)
[W]
Stromrauschen
Stromrauschen tritt in Halbleitern und Röhren, die von Gleichströmen durchflossen werden, auf Grund
der Quantennatur des elektrischen Stromes auf. Es handelt sich auch hier um weisses, gaussverteiltes
Rauschen, das dem Gleichstrom I0 überlagert ist.
Der quadratische Mittelwert beträgt:
ir2(t) = 2 ⋅ e ⋅ I0 ⋅ B
e
(2.28)
= 1, 6 ⋅ 10−19 As (Elementarladung)
c)
Weitere innere Rauschquellen:
-
Stromverteilungsrauschen (Transistoren, Röhren) = weisses Rauschen
-
Funkelrauschen oder 1/f-Rauschen = farbiges Rauschen.
Tritt durch Oberflächeneffekte bei Halbleitern und Röhren auf.
Äquivalenter Rauschwiderstand:
Die Wirkung der verschiedensten Rauschquellen kann auch durch einen äquivalenten Rauschwiderstand modelliert werden (= Rauschwiderstand, der gleich viel thermisches Rauschen liefert, wie die
zu ersetzende Rauschquelle):
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
26
Räq
=
4 k T0 B
ir2(t)
=
ur2(t)
4 k T0 B
(2.29)
Das betrachtete Element kann nach der Einführung dieses äquivalenten Rauschwiderstandes Räq als
rauschfrei angenommen werden. Räq "vertritt" also die effektive Rauschquelle, hat aber auf das
Nutzsignal keinerlei Einfluss.
2.4.3.2 Äussere Rauschquellen
a)
Kosmisches Rauschen:
Stammt vorallem von den Fixsternen der Galaxien. Das kosmische Rauschen nimmt umgekehrt zur dritten Potenz der Frequenz
ab. Dies ist auch ein Grund, weshalb der Satellitenfunk im
Frequenzbereich zwischen 1GHz und 10GHz liegt.
b)
Atmosphärisches Rauschen:
Verursacht durch Blitzentladungen und Wärmerauschen.
c)
Man-Made-Rauschen:
Elektromotoren, Zündfunken, Schaltvorgänge, etc. Die Intensität
hängt stark von der Örtlichkeit ab.
2.4.4 Rauschkenngrössen
2.4.4.1 Rauschbandbreite
Der Frequenzgang eines Systems beeinflusst sowohl das Nutzsignal, als auch das Rauschsignal.
Gegeben sei die folgende Anordnung:
Bild 2.11
Ideale Rauschquelle mit der Rauschleistungsdichte Lin(f) am Eingang eines Systems mit dem Frequenzgang H(f).
2
Gesucht ist die Rauschleistung uout
am Ausgang.
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
27
Für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des Systems gilt (ohne Beweis):
Lout (f) = | H(f) |2 ⋅Lin (f)
(2.30)
Gemäss Gl.(2.23) gilt:
∞
= ⌠ Lout (f) df
⌡
u (t) = Pout
2
out
0
∞
= ⌠ Lin (f) ⋅ | H(f) |2 df
⌡
(2.31)
0
Handelt es sich beim Eingangsrauschen um weisses Rauschen, so gilt:
∞
u (t) = Lin ⋅ ⌠ | H(f) |2 df
⌡
(2.32)
2
out
0
In diesem Fall (d.h. bei weissem Rauschen) kann die sogenannte Rauschbandbreite eingeführt werden, die diejenige
Bandbreite darstellt, bei der - bei gegebenem weissem Eingangsrauschen und idealer Rechteck-Übertragungsfunktion mit
dem Wert | H(f) |2max - dieselbe Rauschleistung am Ausgang erscheint, wie beim ursprünglichen System. Diese Rauschbandbreite Br berechnet sich wie folgt:
∞
Br
⇒
=
⌠ | H(f) |2 df
⌡
(2.33)
0
| H(f) |2max
ur2 out (t) = Lin ⋅ | H(f) |2max ⋅Br
(2.34)
Eine anschauliche Darstellung von Br findet man in Bild 2.12.
Bild 2.12 Weisses Rauschen mit der Rauschbandbreite Br
ergibt - bei gleichem | H(f) |2max - die gleiche
Leistung wie das gefärbte Rauschen am Ausgang
des Systems.
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
28
2.4.4.2 Rauschabstand, Rauschzahl, Rauschmass, Rauschtemperatur
Wie oben erwähnt, ist einem übertragenen Signal mit der Signalleistung Ps stets ein Rauschsignal mit
der Leistung Pr überlagert. Das Leistungsverhältnis Ps/Pr wird Signal-/Rauschverhältnis, bei Angabe
in logarithmischem Mass Rauschabstand genannt. Durch innerhalb der Übertragungsstrecke auftretende Rauschquellen ist der Rauschabstand örtlich unterschiedlich, beispielsweise zwischen Eingang und Ausgang eines Verstärkers. Um ein allgemeines Mass für das hinzukommende Rauschen
zu erhalten, bildet man das als Rauschzahl F (manchmal auch als Rauschfaktor) bezeichnete Verhältnis
der Signal-/Rauschverhältnisse auf Eingangs- und Ausgangsseite.
Ps1
Rauschzahl:
F
=
Pra1
Ps2
S
 N  in
=
S
 N  out
Pr2
(2.35)
Voraussetzungen für die Definition der Rauschzahl: thermisches Rauschen (kT0B) und Leistungsanpassung (R = Re) am Eingang!
Zur Bestimmung der Rauschzahl F betrachten wir den in Bild 2.13 dargestellten Verstärker mit der
Leistungsverstärkung Vp :
Bild 2.13
Anordnung zur Definition der Rauschzahl eines Zweitors (z.B. Verstärker). Bei Pra1 muss es sich um
thermisches Rauschen (kT0B) handeln.
Am Eingang dieses Verstärkers tritt zusätzlich zur Signalleistung Ps1 die äussere Rauschleistung Pra1
(thermisches Rauschen) auf. Am Eingang des Verstärkers beträgt das Signal-/Rauschverhältnis somit
Ps1/Pra1. Auf Grund der Leistungsverstärkung Vp treten beide Leistungen als Ps2 und Pra2 verstärkt am
Ausgang auf. Dazu addiert sich noch die im Verstärker selbst entstehende, innere Rauschleistung Pri2.
Am Ausgang erscheint deshalb das folgende Signal-/Rauschverhältnis:
S
 
 N  out
=
Ps2
Pra2 + Pri2
=
Vp ⋅ Ps1
Vp ⋅ Pra1 + Pri2
(2.36)
Der Quotient der beiden Signal-/Rauschverhältnisse an Ein- und Ausgang ergibt so, mit der
Randbedingung Pra1 = kT0B , die gesuchte Rauschzahl F:
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
29
F
Der zweite Summand
=
Pri2
Ps1 /Pra1
= 1 +
Vp ⋅ Ps1 /(Vp ⋅ Pra1 + Pri2 )
Vp ⋅ Pra1
Pri2
Vp ⋅ Pra1
(2.37)
wird Zusatzrauschzahl Fz genannt.
Die Zusatzrauschzahl Fz bezeichnet das durch den Verstärker zusätzlich erzeugte Rauschen, bezogen
auf die verstärkte Eingangs- Rauschleistung Vp.Pra1 .
Ein nichtrauschender Verstärker hat eine Zusatzrauschzahl Fz = 0 und die Rauschzahl F = 1.
Die Rauschzahl (noise figure) wird vielfach logarithmisch angegeben. Man spricht dann etwa auch
vom Rauschmass:
F[dB] = 10 ⋅ lg F
(2.38)
Das Rauschen eines Zweitors kann alternativ auch mit einer zusätzlichen Rauschquelle am Eingang
(statt am Ausgang) beschrieben werden. Es gilt dann für das Ausgangs-Rauschsignal:
Pr2
= Vp ⋅ Pr1
= Vp ⋅ (Pra1 + Pri1 )
(2.39)
Pra1 ist wie in Bild 2.13 das thermische Rauschen der Quelle. Pri1 ist das auf den Eingang umgerechnete,
zusätzliche Rauschen des Zweitors. Durch das Einführen dieser zusätzlichen Rauschquelle am Eingang
wird das Zweitor "rauschfrei".
Es ist üblich, das zusätzliche Rauschen am Eingang Pri1 mit der äquivalenten Rauschtemperatur Tä
auszudrücken:
Tä
=
Pri1
k ⋅B
=
Pri2
Vp ⋅ k ⋅ B
(2.40)
Der Zusammenhang zwischen der äquivalenten Rauschtemperatur Tä und dem Rauschfaktor F lautet:
F
= 1 +
Tä
T0
(2.41)
Das Arbeiten mit Rauschtemperaturen (anstelle von Rauschfaktoren) ist vorallem dann zweckmässig,
wenn die äussere Eingangs-Rauschquelle Pra1 nicht thermischem Rauschen bei Raumtemperatur kT0B
entspricht. Dies ist beispielsweise bei Satellitenbodenstationen der Fall, deren Richtantennen das
Rauschen des "kalten" Himmels (z.B. T = 20 K) empfangen.
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
30
2.4.4.3 Rauschen mehrstufiger Systeme:
Bei der Zusammenschaltung mehrerer Zweitore trägt jede Stufe zum Gesamtrauschen bei. Für den
in Bild 2.14 dargestellten Fall mit 2 Stufen, ergibt sich eine Gesamtrauschzahl Ftot .
Bild 2.14
Die Zusammenschaltung mehrerer rauschender Stufen ergibt einen Gesamtrauschfaktor Ftot, der von
den Rauschfaktoren und den Leistungsverstärkungen Vp abhängt.
Die Gesamtrauschzahl für beliebig viele Stufen kann nach folgender Formel berechnet werden:
Ftot
= F1
+
F2 − 1
Vp1
+
F3 − 1
Vp1 ⋅ Vp2
+ …
(2.42)
Während also die erste Stufe voll mit ihrer Rauschzahl F1 eingeht, liefert die 2. Stufe nur noch einen
relativ geringen Anteil, der sich aus ihrer zusätzlichen Rauschzahl Fz2 = F2-1 dividiert durch die
Verstärkung der ersten Stufe Vp1 ergibt. Das bedeutet einerseits, dass die Eingangsstufe in einem
mehrstufigen System immer besonders rauscharm sein muss. Andererseits sollte die erste Stufe eine
möglichst grosse Verstärkung besitzen. Dadurch wird der Beitrag der folgenden Stufen gering.
Die einzelnen Rauschzahlen und auch die Gesamtrauschzahl Ftot sind mit thermischem Rauschen kT0B
am Eingang definiert. In der Zusammenschaltung wird z.B. am Ausgang der ersten Stufe ein bedeutend
grösseres Rauschen auftreten, vorallem wenn diese eine grosse Verstärkung aufweist. Das Eigenrauschen der nachfolgenden Stufen hat nun bei verstärktem Eingangsrauschen einen geringeren
Einfluss auf den Rauschabstand, als wenn nur thermisches Rauschen an ihren Eingängen anliegen
würde. Die obige Formel berücksichtigt dieses Verhalten.
HTI Biel, Signalübertragung
2.4
31
3 ZWEITOR-THEORIE
3.1 Allgemeines
Die Unterteilung von übertragungstechnischen Systemen in Teilschaltungen führt zu Blöcken mit 1,
2 oder mehreren Toren, bzw. Klemmenpaaren (Bild 3-1). Am häufigsten sind dabei Zweitore (Verstärker, Filter). An den Ein- und Ausgängen des Systems findet man Eintore (Quellen, Belastungen).
Schaltungen mit mehr als 2 Toren (Mischer, Weichen) sind seltener anzutreffen.
Bild 3.1
Unterteilung eines Systems in n-Tore.
Enthält ein n-Tor Quellen, so wird es als aktives n-Tor bezeichnet. Passive n-Tore enthalten dagegen
keine Quellen, also nur passive Bauelemente.
Weiter werden lineare und nichtlineare n-Tore unterschieden. Lineare Schaltungen zeigen ein aussteuerungsunabhängiges Verhalten. Der Überlagerungssatz gilt. Ihr Verhalten lässt sich mit linearen
Gleichungen und der komplexen Wechselstromrechnung beschreiben.
In den nächsten Kapiteln geht es nun darum, die Eigenschaften von linearen Ein- und Zweitoren "von
aussen" zu beschreiben. Der innere Aufbau der Blöcke muss dabei nicht bekannt sein (black box), nur
seine Kenngrössen. Oft werden auch einzelne bekannte Teilblöcke zu einem neuen Gesamtblock
kombiniert, dessen resultierende Kenngrössen dann berechnet werden soll.
3.2 Eintore (Zweipole)
3.2.1 Passive Eintore
Passive Schaltungen enthalten keine Quellen, sie können daher keine Wirkleistung abgeben.
Zur Beschreibung der Eigenschaften genügt es, Spannung und Strom an den Klemmen zu definieren.
Als Kenngrössen können daraus Impedanz Z oder Admittanz Y berechnet werden.
HTI Biel, Signalübertragung
3.1
32
Bild 3.2
Impedanz:
Z
=
U
I
(3.1)
Admittanz:
Y
=
I
U
(3.2)
Es gilt somit:
Z
=
1
Y
(3.3)
Die Kenngrösse eines linearen, passiven Eintors ist seine Impedanz oder Admittanz
Bei Eintoren ohne Klemmenpaar tritt der Reflexionsfaktor r an die Stelle der Impedanz oder Admittanz.
3.2.2 Aktive Eintore
Aktive Eintore enthalten Quellen und können damit Wirkleistung abgeben. Nach Helmholtz kann
jedes lineare Eintor, auch wenn es mehrere Quellen enthält, entweder als Ersatz-Spannungsquelle mit
Spannungsquelle U0 und Innenimpedanz Zi oder als Ersatz-Stromquelle mit Stromquelle I0 und
Innenadmittanz Yi dargestellt werden.
Bild 3.3
Ersatzschaltungen für aktive Eintore.
Die Ersatzelemente dieser Quellen berechnen sich aus der Leerlaufspannung UL = U0 und dem
Kurzschlussstrom IK = I0:
Zi
=
1
Yi
=
UL
IK
(3.4)
Praktische Spannungsquellen haben eine niederohmige Innenimpedanz, im Idealfall wird Zi = 0.
Praktische Stromquellen sind hochohmig, d.h. Yi ist klein. Im Idealfall wird Yi = 0.
Als Spezialfälle gehören auch die negativen Widerstände zu den aktiven Eintoren, da zu deren Realisierung Verstärkerschaltungen benötigt werden.
HTI Biel, Signalübertragung
3.2
33
3.2.3 Leistungsanpassung
Es soll nun der Leistungsabtausch zwischen einem aktiven und einem passiven Eintor untersucht
werden.
Bild 3.4 Ein aktives Eintor gibt die Wirkleistung PL
an die Last ZL ab.
Als einfachsten Fall können sowohl Zi = Ri als auch ZL = RL reell angenommen werden. Damit ist die
von RL aufgenommene Wirkleistung
PL
= | U 0 |2
RL
(Ri + RL )2
(3.5)
Die abgegebene Leistung PL wird maximal, wenn RL = Ri. Dieser Fall wird Leistungsanpassung
genannt. Die maximal abgebbare Leistung wird somit:
PL max
| U 0 |2
=
4 ⋅ Ri
(3.6)
Aus Bild 3.4 ist ersichtlich, dass der durch die Last fliessende Strom auch durch den Quellenwiderstand
Ri fliesst. Somit wird auch im aktiven Eintor Wirkleistung (= Wärme) erzeugt. Im Fall der
Leistungsanpassung ist die Leistung in der Quelle gleich gross wie die Leistung in der Last. Der
Wirkungsgrad η = Abgegebene Leistung/Gesamtleistung beträgt hier 50%.
Hier zeigt sich ein grosser Unterschied zwischen Signalübertragung und Energietechnik:
In der Signalübertragung treten meistens sehr kleine Leistungen auf, und es muss auf einen genügenden
Abstand zum thermischen Grundrauschen geachtet werden. Aus diesem Grunde muss eine maximale
Leistungsabgabe, also Leistungsanpassung, angestrebt werden. Der Wirkungsgrad spielt kaum eine
Rolle.
In der Energietechnik wäre Leistungsanpassung viel zu teuer und unnötig. Es muss hingegen auf einen
guten Wirkungsgrad geachtet werden.
HTI Biel, Signalübertragung
3.2
34
Bild 3.5 Leistungsabgabe PL /PLmax und
Wirkungsgrad PL /Ptot als
Funktion des Widerstandsverhältnisses RL /Ri.
Es soll nun noch der allgemeine Fall mit komplexem Zi und ZL betrachtet werden.
Zi = Ri + jXi
ZL = RL + jXL
Bild 3.6
Quelle und Last mit komplexen Impedanzen (allgemeiner Fall).
Die abgegebene Wirkleistung PL entsteht im Wirkwiderstand RL:
PL
= | I |2 ⋅RL
I
→
PL
U0
(Ri + RL ) + j(Xi + XL )
=
=
| U 0 |2 ⋅RL
(3.7)
(Ri + RL ) + (Xi + XL )
2
2
Diese Leistung wird maximal, wenn sich die Blindkomponenten Xi und XL aufheben und die
Wirkwiderstände Ri und RL gleich gross sind.
Die allgemeine Bedingung für Leistungsanpassung lautet demnach:
ZL
ZL
→
RL
| ZL |
=
Ri
= | Zi |
HTI Biel, Signalübertragung
und
und
= Z *i
(konjugiert komplex)
= RL + jXL
XL
ϕL
(3.8)
= Ri − jXi
= −Xi
= − ϕi
für die Komponenten, resp.
für die Zeiger.
3.2
35
Im Zusammenhang mit Leitungen, wenn sich das Signal quasi von der Quelle gelöst hat, muss der
Begriff "Anpassung" anders formuliert werden:
Für Anpassung, resp. maximale Leistungsabgabe, muss eine Leitung mit ihrer Wellenimpedanz Zw
abgeschlossen sein (reflexionsfreier Abschluss) (→ 5.3.4).
3.3 Zweitore (Vierpole)
3.3.1 Grundgleichungen linearer Zweitore
Lineare, passive Eintore konnten durch eine einzige Grösse Z oder Y vollständig beschrieben werden.
Bei Zweitoren ist jedoch im allgemeinen die Eingangsimpedanz des einen Tors von der Beschaltung
des anderen Tors abhängig. Zur Beschreibung eines Zweitors werden daher weitere Messungen
benötigt, in welche auch die Grösse der aussenliegenden Abschlüsse eingeht.
Es ist nun zweckmässig, wenn aus den Ergebnissen solcher Messungen Kenngrössen gewonnen
werden, die das Zweitor für sich allein charakterisieren: sog. Zweitorparameter.
Zur Beschreibung eines allgemeinen Vierpols wären an sich vier Gleichungen mit je vier Koeffizienten
notwendig. Beschränkt man sich jedoch auf Zweitore, so genügen zwei Gleichungen mit jeweils zwei
Parameter. Der durch die eine Klemme des Tors hineinfliessende Strom muss durch die andere Klemme
des gleichen Tors wieder hinausfliessen. Die Potentialdifferenzen zwischen den Eingangs- und den
Ausgangsklemmen interessieren zudem in der Regel nicht.
Bild 3.7
Definition der Spannungen und Ströme bei einem Zweitor.
Unter den erläuterten Voraussetzungen wird das elektrische Verhalten eines linearen Zweitors durch
zwei lineare unabhängige Gleichungen zwischen den beiden Torspannungen U1, U2 und den beiden
Torströmen I1, I2 beschrieben. Die Torströme sind generell in das Zweitor hinein definiert.
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
36
3.3.2 Zweitorparameter
3.3.2.1 Allgemeines
Mit den erwähnten Spannungen und Strömen können total 6 verschiedene Gleichungssysteme definiert
werden. Aus der Leitungstheorie abgeleitet, sind noch zwei weitere Beschreibungen gebräuchlich.
Alle Parameter der Gleichungssysteme sind generell komplex. Sie sollen in der Regel mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden, wobei der "Komplexstrich" weggelassen wird.
Bei den meisten Zweitorparameter bedeutet Index "11" eine Eingangseigenschaft, Index "12" eine
Rückwärtseigenschaft, Index "21" eine Vorwärtseigenschaft und Index "22" ein Ausgangseigenschaft.
3.3.2.2 z-Parameter (Impedanz-Parameter)
Gleichungssystem:
U1
= z11I 1 + z12I 2
U2
= z21I 1 + z22I 2
(3.9)
Neben diesem Gleichungssystem sind auch folgende Schreibweisen gebräuchlich:
Matrixschreibweise:
 U 1
 
 U 2
Impedanzmatrix:
 z11
(Z) = 
 z21
Abgekürzte
Matrixschreibweise:
 z11
= 
 z21
z12  I 1
 
z22  I 2
z12

z22
(U) = (Z) (I)
Zu jedem Gleichungssystem kann ein Ersatzschema angegeben werden, welches unabhängig von der
tatsächlichen Schaltung im Zweitor ist. Für die Impedanzparameter gilt folgendes Schema:
Bild 3.8
HTI Biel, Signalübertragung
Ersatzschema für z-Parameter.
3.3
37
Zum Bestimmen der einzelnen Zweitorparameter wird jeweils der eine Summand in der Gleichung
durch äussere Beschaltung Null gesetzt und die Gleichung nach dem verbleibenden Parameter
umgestellt. Daraus ergeben sich folgende Definitionsgleichungen für die z-Parameter:
z11
z12
z21
z22
=
=
=
=
U1 
I 1  I
U1 
I 2  I
U2 
I 1  I
U2 
I 2  I
Eingangsimpedanz
bei Leerlauf am Ausgang
2=0
Rückwärts-Übertragungsimpedanz
bei Leerlauf am Eingang
1=0
Vorwärts-Übertragungsimpedanz
bei Leerlauf am Ausgang
2=0
Ausgangsimpedanz
bei Leerlauf am Eingang
1=0
Anwendungsgebiet der z-Parameter:
(3.10)
• Serieschaltung von Zweitoren (→ 3.3.4).
3.3.2.3 y-Parameter (Admittanz-Parameter)
Gleichungssystem:
Matrixschreibweise:
I1
=
y11U 1 + y12U 2
I2
=
y21U 1 + y22U 2
 I 1
 
 I 2
 y11
= 
 y21
(3.11)
y12  U 1
 
y22  U 2
Bild 3.9
 y11
(Y) = 
 y21
y12

y22
Ersatzschema für y-Parameter.
Definitionsgleichungen für die y-Parameter:
y11
=
I1 
U 1  U
2=0
HTI Biel, Signalübertragung
Eingangsadmittanz
bei Kurzschluss am Ausgang
3.3
38
y12
y21
y22
=
=
=
I1 
U 2  U
I2 
U 1  U
I2 
U 2  U
Rückwärts-Übertragungsadmittanz
bei Kurzschluss am Eingang
1=0
Vorwärts-Übertragungsadmittanz
bei Kurzschluss am Ausgang
2=0
Ausgangsadmittanz
bei Kurzschluss am Eingang
1=0
Anwendungsgebiete der y-Parameter:
(3.12)
• Parallelschaltung von Zweitoren (→ 3.3.4)
• Beschreibung von Feldeffekt-Transistoren
• Hochfrequenzverhalten von Bipolar-Transistoren
(bis ≈200 MHz)
3.3.2.4 h-Parameter (Hybrid-Parameter)
Gleichungssystem:
I2
Matrixschreibweise:
= h11I 1 + h12U 2
U1
(3.13)
= h21I 1 + h22U 2
 U 1
 
 I2 
 h11
= 
 h21
h12  I 1 
 
h22  U 2
Bild 3.10
 h11
(H) = 
 h21
h12

h22
Ersatzschema für h-Parameter.
Definitionsgleichungen für die h-Parameter:
h11
h12
=
=
U1 
I 1  U
U1 
U 2  I
2=0
1=0
HTI Biel, Signalübertragung
Eingangsimpedanz
bei Kurzschluss am Ausgang
Spannungsrückwirkung
bei Leerlauf am Eingang
3.3
39
h21
h22
=
=
I2 
I 1  U
Stromverstärkung
bei Kurzschluss am Ausgang
2=0
I2 
U 2  I
Ausgangsadmittanz
bei Leerlauf am Eingang
1=0
Anwendungsgebiete der h-Parameter:
(3.14)
• Serie-Parallel-Schaltung von Zweitoren (→ 3.3.4)
• Niederfrequenzverhalten von Bipolar-Transistoren
3.3.2.5 a-Parameter (Ketten-Parameter)
Gleichungssystem:
U1
I1
= a11U 2 + a12(−I 2)
= a21U 2 + a22(−I 2)
(3.15)
Bei den a-Parameter werden jeweils die Eingangsgrössen U1 und I1 in Funktion der Ausgangsgrössen
U2 und -I2 dargestellt. Sie unterscheiden sich darin von den bisher betrachteten z-, y- und h-Parameter.
Definitionsgleichungen für die a-Parameter:
a11
a12
a21
a22
=
=
=
=
U1 
U 2  I
2=0
U1 
−I 2  U
I1 
U 2  I
2=0
2=0
I1 
−I 2  U
2=0
Spannungsdämpfung
bei Leerlauf am Ausgang
"Übertragungsimpedanz"
bei Kurzschluss am Ausgang
"Übertragungsadmittanz"
bei Leerlauf am Ausgang
"Stromdämpfung"
bei Kurzschluss am Ausgang
(3.16)
Es kann kein sinnvolles Ersatzschema angegeben werden.
Anwendungsgebiet der a-Parameter:
HTI Biel, Signalübertragung
• Kettenschaltung von Zweitoren (→ 3.3.4).
3.3
40
3.3.2.6 Weitere Parameter
Die folgenden Zweitorparameter werden entweder nur in Spezialgebieten eingesetzt, oder sie sind
weniger gebräuchlich. Der Vollständigkeit halber sind sie hier mit minimalen Kommentaren aufgeführt.
•
b-Parameter (reziproke a-Parameter)
Gleichungssystem:
U2
= b11U 1 + b12(−I 1)
= b21U 1 + b22(−I 1)
I2
(3.17)
−1
(B) = (A)
•
k-Parameter (reziproke h-Parameter)
Gleichungssystem:
= k11U 1 + k12I 2
I1
U2
= k21U 1 + k22I 2
(3.18)
−1
(K) = (H)
Anwendungsgebiet der k-Parameter:
•
• Parallel-Serie-Schaltung von Zweitoren (→ 3.3.4)
Wellenparameter (Betriebsparameter)
Wellenparameter sind aus der Leitungstheorie (→ 5.3.2) abgeleitet und besonders für symmetrische
Zweitore geeignet. Bei einem symmetrischen Zweitor können Eingang und Ausgang vertauscht
werden, ohne dass sich an seinem äusseren Verhalten etwas ändert.
Zur Beschreibung eines Zweitors mit Wellenparameter werden zwei Wellenwiderstände ZW1 und ZW2,
sowie zwei komplexe Wellenübertragungsmasse Γ1 und Γ2 benötigt. Die physikalischen Bedeutungen
dieser Parameter sind nachfolgend erläutert:
Wellenwiderstände:
Der Wellenwiderstand ist die Eingangsimpedanz des einen Tors, wenn das
andere Tor mit seinem Wellenwiderstand abgeschlossen ist:
Z W1
Komplexe Wellenübertragungsmasse:
Z W2
= Z OUT | Z 1 = Z W1
(3.19)
Das komplexe Wellenübertragungsmass ist definiert als der natürliche
Logarithmus des Verhältnisses der Eingangs- zur Ausgangsspannung (oder
der entsprechenden Ströme) des mit seinem Wellenwiderstandes abgeschlossenen Zweitors. Es muss in beiden Richtungen definiert werden:
Γ1
HTI Biel, Signalübertragung
= Z IN | Z 2 = Z W2
= ln
U1 
U 2  Z
Γ2 = ln
2 = Z W2
U2 
U 1  Z
(3.20)
1 = Z W1
3.3
41
Es ist üblich, Γ in Komponentenform auszudrücken. Der Realteil a entspricht
dem Dämpfungsmass in [Np], der Imaginärteil b dem Phasenmass in [rad]:
Γ = a
+
(3.21)
jb
Die Wellenparameter können mit folgenden Formeln aus den Kettenparameter berechnet werden:
Z W1
Γ1
=

√
a11a12
a21a22
Z W2
= ln(√
a11a22 +√
a12a21)


Anwendungsgebiete der Wellenparameter:
•
Γ2
=

√
a22a12
a21a11
(3.22)

1

= ln

a11a22 −√
a12a21 
√


• Leitung als Zweitor
• Wellenparameter-Filter
s-Parameter (Streuparameter)
Wie die Wellenparameter sind auch die Streuparameter aus der Leitungstheorie abgeleitet. Sie eignen
sich besonders für Frequenzen > 100 MHz, bei denen keine exakten Strom- und Spannungsmessungen
an den Toren mehr möglich sind. Zudem ist bei diesen Frequenzen das Realisieren von Kurzschluss
und Leerlauf als Messbedingung zunehmend problematisch.
Anstelle von Spannung und Strom werden bei den s-Parameter in das Zweitor einfallende Spannungswellen a1 und a2, bzw. vom Zweitor reflektierte Spannungswellen b1 und b2 zueinander in
Beziehung gesetzt. Das Zweitor ist beidseitig über Leitungsstücke mit reflexionsfreiem Abschluss an
die Last bzw. den Generator angeschlossen.
Gleichungssystem:
Bedeutung der
s-Parameter:
b1
= s11a 1 + s12a 2
b2
= s21a 1 + s22a 2
s11:
s12:
s21:
s22:
(3.23)
Eingangsreflexionsfaktor
Rückwärts-Betriebsübertragungsfaktor
Vorwärts-Betriebsübertragungsfaktor
Ausgangsreflexionsfaktor
Anwendungsgebiete der s-Parameter: • Beschreibung beliebiger Zweitore (Transistoren, Filter)
bei hohen Frequenzen (> 100 MHz bis Mikrowellen).
• Messtechnik bei hohen Frequenzen.
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
42
3.3.3 Umrechnungen
Da jede Zweitormatrix ein Zweitor vollständig beschreibt, können die Parameter beliebig ineinander
umgerechnet werden:
(Z)
(Y)
z11
z12
z21
z22
(Z)
(Y)
y22
det Y
−y12
det Y
a11
a21
det A
a21
−y21
det Y
y11
det Y
1
a21
a22
a21
y11
y12
a22
a12
−1
a12
(K)
det H
h22
h12
h22
1
k11
−k12
k11
−h21
h22
1
h22
k21
k11
det K
k11
−detA
a12
1
h11
−h12
h11
det K
k22
k12
k22
a11
a12
h21
h11
det h
h11
−k21
k22
1
k22
a11
a12
−det H
h21
−h11
h21
1
k21
k22
k21
−1
h21
k11
k21
det K
k21
h11
h12
k22
det K
−k12
det K
h21
h22
−k21
det K
k11
det K
−z12
det Z
−z21
det Z
z11
det Z
y21
y22
z11
z21
det Z
z21
−y22
y21
−1
y21
1
z21
z22
z21
−det Y
y21
−y11
y21
a21
a22
det Z
z22
z12
z22
1
y11
−y12
y11
a12
a22
det A
a22
−z21
z22
1
z22
y21
y11
det Y
y11
−1
a22
a21
a22
1
z11
−z12
z11
det Y
y22
y12
y22
a21
a11
−det A
a11
h22
det H
−h12
det H
z21
z11
det Z
z11
−y21
y22
1
y22
1
a11
a12
a11
−h21
det H
h11
det H
(K)
Allgemein gilt:
Bild 3.11
(H)
z22
det Z
(A)
(H)
(A)
−h22
h21
k11
k12
k21
k22
det X = x11 x22 - x12 x21.
Umrechnungstabelle für gebräuchliche Zweitor-Parameter.
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
43
3.3.4 Zusammenschaltung von Zweitoren
•
Serieschaltung
Bei der Serieschaltung gelten für die einzelnen
Spannungen und Ströme folgende Beziehungen:
U1
= U’1 + U"1
I 1 = I’1
= I"1
U 2 = U’2 + U"2
I 2 = I’2 = I"2
Damit wird das Gleichungssystem für das
Gesamtzweitor:
Bild 3.12
Serieschaltung von Zweitoren
U1
= (z’11 + z"11)I 1 + (z’12 + z"12)I 2
U2
= (z’21 + z"21)I 1 + (z’22 + z"22)I 2
Die z-Parameter des Gesamtzweitors entsprechen somit der Summe der einzelnen z-Parameter der
beiden in Serie geschalteten Zweitore:
 z’11 + z"11
(Z) = 
 z’21 + z"21
z’12 + z"12

z’22 + z"22
(Z) = (Z’) + (Z")
(3.24)
Eine Serieschaltung von Zweitoren nach der obigen Formel ist nur dann zulässig, wenn die Potentialdifferenz zwischen
e’ und a’ gleich derjenigen zwischen e" und a" ist.
•
Parallelschaltung
•
Serie-Parallelschaltung
•
Parallel-Serieschaltung
Bild 3.13
Bild 3.14
Bild 3.15
(Y) = (Y’) + (Y")
(H) = (H’) + (H")
(K) = (K’) + (K")
(3.27)
(3.25)
(3.26)
Wie bei den z-Parameter, können auch hier die einzelnen Parameter der Gesamtschaltung als Summe
der entsprechenden Teilschaltungsparameter ausgedrückt werden: z.B. h11 = h’11 + h"11.
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
44
•
Kettenschaltung
Die bisher betrachteten Zusammenschaltungen konnten immer durch die Addition bestimmter
Matrizen gelöst werden. Bei der Kettenschaltung mit a-Parameter muss jedoch anders vorgegangen
werden.
Bild 3.16
Kettenschaltung oder Kaskadenschaltung von Zweitoren.
Gemäss Bild 3.16 kann das Gleichungssystem wie folgt geschrieben werden:
U1
= U’1
I1
= I’1
= a ’11U’2 + a’12(−I’2) = a’11U"1 + a’12I"1
= a ’21U’2 + a’22(−I’2) = a’21U"1 + a’22I"1
= a"11U 2 + a"12(−I 2)
wobei
U"1
und
I"1 = a"21U 2 + a"22(−I 2)
Durch Einsetzen ergibt sich:
U1
= (a ’11a"11 + a’12a"21)U 2 + (a’11a"12 + a’12a"22) (−I 2)
Für die zweite Gleichung folgt analog:
I1
= (a ’21a"11 + a’22a"21)U 2
+ (a’21a"12 + a’22a"22) (−I 2)
Die Kettenmatrix des resultierenden Zweitors entspricht somit dem Produkt der Kettenmatrizen der
Einzelzweitore:
 a ’11a"11 + a’12a"21 a’11a"12 + a’12a"22
(A) = (A’) (A") = 

 a’21a"11 + a’22a"21 a’21a"12 + a’22a"22
(3.28)
Achtung! Die Reihenfolge der Matrizen muss der Reihenschaltung der Zweitore in der Schaltung
entsprechen, da bei der Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetz nicht gilt!
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
45
3.3.5 Betriebsverhalten
Die Betriebseigenschaften eines Zweitors berücksichtigen die äusseren Beschaltungen am Eingang
(ZG) und am Ausgang (ZL).
Für die Umrechnung
zwischen Impedanz Z
und Admittanz Y gilt
allgemein:
1
Y =
Z
Bild 3.17
•
•
•
•
•
•
Zum Betriebsverhalten eines Zweitors gehören neben den Verstärkungen
noch die Eingangs- und die Ausgangsimpedanzen ZIN und ZOUT.
Eingangsimpedanz
Ausgangsimpedanz
Stromverstärkung
Leistungsverstärkung
Betriebsspannungsverstärkung
(3.29)
U2
I2
=
Z OUT
Spannungsverstärkung
U1
I1
=
Z IN
(3.30)
Vu
=
U2
U1
(3.31)
Vi
=
I2
I1
(3.32)
Vp
=
P2
P1
(3.33)
VB
=
U2
U G /2
(3.34)
Die Betriebsspannungsverstärkung bezieht die Ausgangsspannung des Zweitors U2 auf diejenige
Eingangsspannung, die bei Leistungsanpassung mit vernachlässigten Blindanteilen am Eingang
auftreten würde (U1 = UG/2). Eine schlechte Eingangsanpassung wirkt sich daher auf VB aus, nicht
aber auf Vu.
Weiter gebräuchlich ist die Betriebsleistungsverstärkung (Transducer Gain) VT, die aus VB berechnet
werden kann:
VT
=
P2
=
P1 max
P2
UG2
= | V 2B | ⋅
GL
GG
(3.35)
4RG
Die Formeln zur Berechnung der Betriebseigenschaften eines allgemeinen Zweitors aus seinen
Parametern sind auf der folgenden Seite zusammengestellt.
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
46
(Z)
(Y)
(A)
(H)
(K)
ZIN
z11 −
z12z21
z22 + Z L
y22 + Y L
det Y + y11Y L
a11Z L + a12
a21Z L + a22
h11 −
ZOUT
z22 −
z12z21
z11 + Z G
y11 + Y G
det Y + y22Y G
a12 + a22Z G
a11 + a21Z G
h11 + Z G
det H + h22Z G
Vu
z21Z L
det Z + z11Z L
−y21
y22 + Y L
ZL
a11Z L + a12
−h21
det H + h11Y L
k21Z L
k22 + Z L
Vi
−z21
z22 + Z L
y21Y L
det Y + y11Y L
−1
a21Z L + a22
h21
1 + h22Z L
−k21
det K + k11Z L
| z21 |2 RL
| y21 |2 GL
RL
| h21 |2 RL
| k21 |2 RL
Vp
h12h21
h22 + Y L
k22 + Z L
det K + k11Z L
k22 −
k12k21
k11 + Y G
2
| z22 + ZL |2 RIN | y22 + Y L |2 GIN | a22 + a21Z L | RIN | 1 + h22Z L |2 RIN | detK + k11Z L |2 RIN
Dabei gelten:
Bild 3.18
ZG = RG + jXG
ZIN = RIN + jXIN
YG = GG + jBG
YIN = GIN + jBIN
ZL = RL + jXL
YL = GL + jBL
Zusammenstellung der wichtigsten Betriebseigenschaften eines Zweitors.
Für die Betriebsspannungsverstärkungen gelten folgende Formeln:
VB
=
U2
U G /2
=
2z21Z L
(z11 + Z G ) (z22 + Z L ) − z12z21
(3.36)
=
−2y21Y G
(y11 + Y G ) (y22 + Y L ) − y12 y21
(3.37)
=
2Z L
a11Z L + a12 + (a21Z L + a22)Z G
(3.38)
=
=
−2h21
(h11 + Z G ) (h22 + Y L ) − h12h21
(3.39)
2k21Y G Z L
(k11 + Y G ) (k22 + Z L ) − k12k21
(3.40)
HTI Biel, Signalübertragung
3.3
47
4 FILTERTHEORIE
4.1 Einführung
4.1.1 Allgemeines
Ein elektrisches Filter ist ein Netzwerk, das ein Eingangssignal in gewünschter Art und Weise in ein
Ausgangssignal verwandelt. Die Signale können im Zeit- oder Frequenzbereich betrachtet werden,
dementsprechend können auch die Anforderungen im Zeit- oder Frequenzbereich definiert sein. Filter
sind mehrheitlich frequenzselektive, lineare Netzwerke, welche gewisse Frequenzbereiche übertragen
und andere dämpfen. Elektrische Filter sind grundlegend für die moderne Elektrotechnik. Telephon,
TV, Radio, Radar und Datenübertragung sind nur einige Beispiele aus dem Gebiet der Nachrichtentechnik, in denen Filter eine wesentliche Rolle spielen.
Die frequenzselektiven Filter, mit denen wir uns im weiteren beschäftigen wollen, lassen sich in die
fünf bekannten Grundtypen unterteilen:
•
•
Tiefpass (TP)
Hochpass (HP)
•
•
Bandpass (BP)
Bandsperre (BS)
•
Allpass (AP)
4.1.2 Grundbegriffe für die Filtertheorie
Für die Behandlung der Filtertheorie sollen vorerst die Begriffe Übertragungsfunktion, Frequenzgang,
Amplituden- und Phasengang betrachtet werden.
Übertragungsfunktion (UTF):
Wir betrachten das in Bild 4.1 dargestellte, allgemeine, lineare, zeitinvariante Netzwerk mit konzentrierten Elementen (R,L,C).
Bild 4.1
Netzwerk zur Definition der Übertragungsfunktion UTF.
HTI Biel, Signalübertragung
4.1
48
Die Übertragungsfunktion H(s) ergibt sich aus dem Verhältnis der Laplace-Transformierten der
Ausgangs- und Eingangsspannung:
H(s) =
L{u2(t)}
L{u1(t)}
=
U 2(s)
U 1(s)
(4.1)
Die UTF hat als Argument somit die komplexe (Kreis-)Frequenzvariable s = σ + jω, die im
Gegensatz zu jω auch zeitlich an- oder abklingende Sinusschwingungen darzustellen erlaubt.
Für die Übertragungsfunktion des in Bild 4.1 abgebildeten Netzwerks ergibt sich eine gebrochen
rationale Funktion der komplexen Frequenzvariablen s:
H(s) =
bm s m + bm − 1s m − 1 + … + b1s + b0
an s + an − 1s
n
n −1
+ … + a1s + a0
=
N(s)
D(s)
(4.2)
Dabei gilt:
• H(s) ist eine gebrochen rationale Funktion in s.
• Die Ordnung der UTF beträgt n (= höchste Potenz des Nenners).
• n ≥ m.
• Zähler- und Nennerpolynom der UTF sind Polynome mit reellen und konstanten Koeffizienten.
• Die Koeffizienten sind unabhängig vom Eingangssignal.
• H(s) ist die Laplace-Transformierte der Stossantwort h(t) des betrachteten Systems.
Pol-Nullstellen-Darstellung:
Die Wurzeln (= Lösungen) der Gleichung N(s) = 0 ergeben die m endlichen Nullstellen, die Wurzeln
der Gleichung D(s) = 0 die n Pole des Netzwerkes. H(s) ist 0 bei den Nullstellen und ∞ bei den Polen.
Damit lässt sich H(s) auch in folgender Darstellung angeben:
(s − z1) (s − z2)…(s − zm )
∏mi = 1(s − zi )
= K⋅ n
H(s) = K ⋅
,
(s − p1) (s − p2)…(s − pn )
∏ j = 1(s − p j )
wobei K =
bm
an
(4.3)
Die UTF H(s) ist also vollständig durch ihre Pole und Nullstellen, sowie durch eine multiplikative
Konstante K bestimmt.
Die Wurzeln von Polynomen mit reellen Koeffizienten sind entweder reell oder treten als konjugiert
komplexe Paare auf. Zähler und Nenner von H(s) können somit als Produkt von Polynomen 1. und
2. Ordnung mit reellen Koeffizienten dargestellt werden:
H(s) = K ⋅
HTI Biel, Signalübertragung
∏ri = 1(s 2 + 2σzi s + ω2zi ) ⋅ ∏mi = 2r + 1(s − zi )
∏tj = 1(s 2 + 2σ pj s + ω2pj ) ⋅ ∏nj = 2t + 1(s − p j )
(4.4)
4.1
49
Pole und Nullstellen können in der (komplexen) s-Ebene graphisch dargestellt werden. Ein Beispiel
einer UTF mit 4 Polen und Nullstellen ist in Bild 4.2 abgebildet.
Bild 4.2
Pol-/Nullstellen-Diagramm.
Aus praktischen Gründen - damit ein Netzwerk stabil ist - müssen alle Pole in der linken Halbebene
liegen.
Praktisch bedeutsam ist der Zusammenhang zwischen der UTF H(s) und dem einfach messbaren
Frequenzgang H(jω) (→ 2.2.1).
Der Frequenzgang:
Um das Verhalten eines linearen Netzwerkes im eingeschwungenen Zustand zu ermitteln, ersetzen
wir in der UTF H(s) s durch jω und erhalten so den (komplexen) Frequenzgang H(jω). H(jω) gibt das
Verhältnis des eingeschwungenen Ausgangssignal zum anregenden harmonischen (sinusförmigen)
Eingangssignal der Frequenz ω an:
H(s)| s = jω = H(jω)
(4.5)
H(jω) kann auch in Polarform angegeben werden:
H(jω) = | H(jω)| ⋅ e jϕ(ω)
(4.6)
Amplituden- und Phasengang:
Wie schon in Abschnitt 2.2.1 beschrieben wurde, heisst der Betrag des Frequenzgangs |H(jω)| = K(ω)
Amplitudengang und der Winkel ϕ(ω) Phasengang. Es ist zweckmässig, den Amplitudengang in einer
logarithmischen Darstellung
G(jω) = 20 ⋅ lg| H(jω)|
(4.7)
anzugeben, damit der (logarithmische) Amplitudengang der Kaskade entkoppelter Teilnetzwerke
durch Addition der logarithmischen Teilamplitudengänge berechnet werden kann. Die graphische
Darstellung von 20 ⋅ lg| H(jω)| und ϕ je in Funktion von log ω bezeichnet man als Bode-Diagramm.
Eine für die Filtertheorie wichtige Grösse ist die schon in Abschnitt 2.2.3 definierte Gruppenlaufzeit
HTI Biel, Signalübertragung
4.1
50
τg
= −
dϕ(ω)
dω
(4.8)
Konstante Gruppenlaufzeit bedeutet einen linearen Phasengang!
Eine anschauliche Betrachtung findet man in Bild 4.3, wo der Betrag der UTF |H(s)| in einer 3-DDarstellung abgebildet ist.
Bild 4.3
Dreidimensionale Darstellung der Betragsfunktion einer Übertragungsfunktion UTF.
Dabei entspricht der Schnitt längs der jω-Achse dem Amplitudengang des Netzwerkes. In Bild 4.4
sind je ein Beispiel eines Amplitudengangs für ein TP-, HP- und BP-Filters angegeben.
Bild 4.4
Übertragungsfunktion und Amplitudengang eines TP, HP und BP 2. Ordnung.
HTI Biel, Signalübertragung
4.1
51
4.1.3 Vorgehensweise für den Filterentwurf
Eine der wichtigsten Aufgaben der Filtertheorie ist die Bestimmung einer Schaltung, die einen vorgegebenen Amplitudengang aufweist. In der modernen Filtertheorie wird dieses Problem in 3 Schritten
gelöst:
Schritt 1: Formulieren der Filterspezifikation
Die technischen Anforderungen an die Übetragungseigenschaften eines Filters werden häufig im
Frequenzbereich mit Hilfe eines Toleranzschemas beschrieben. Ein Beispiel eines solchen Toleranzschemas ist in Bild 4.5 dargestellt.
Bild 4.5
Filterspezifikation mittels Toleranzschema (Stempel/Matrize-Schema).
Im Toleranzschema ist der Dämpfungsverlauf (in dB) in Funktion der Frequenz spezifiziert. Die
Dämpfungsfunktion A(ω) entspricht dabei dem reziproken Verlauf des Amplitudengangs:
A[dB](ω) = 20 ⋅ lg
1
| H(jω)|
(4.9)
Im Durchlassbereich bestimmt der Stempel die maximal zulässige Dämpfung Amax. Im Sperrbereich
bestimmt die Matrize die minimal zulässige Dämpfung Amin.
Schritt 2: Lösen des Approximationsproblems
Nach der Festlegung des Toleranzschemas muss das sogenannte Approximationsproblem gelöst
werden. Darunter versteht man die Bestimmung einer UTF H(s), deren Amplitudengang das in Schritt
1 spezifizierte Toleranzschema erfüllt. Als zweite Bedingung muss diese UTF zu einem realisierbaren
Netzwerk gehören.
Schritt 3: Realisierung der UTF
Zuletzt muss eine Schaltung gefunden werden, deren UTF der in Schritt 2 gefundenen UTF H(s)
entspricht.
HTI Biel, Signalübertragung
4.1
52
4.2 Approximation im Frequenzbereich
4.2.1 Grundsätzliches
Die am weitesten verbreiteten Approximationsarten sind die vier Standardapproximationen nach
Butterworth, Tschebyscheff, Cauer und Bessel. Wie wir in Abschnitt 4.2.4 sehen werden, lassen sich
die UTF von HP-, BP- und BS-Filtern durch entsprechende Frequenztransformationen aus einer TPUTF ableiten. Es genügt somit, wenn wir nur die Standardapproximationen für TP-Filter betrachten.
4.2.2 Die Tiefpass-Approximation
Die Frequenznormierung:
Um das Rechnen mit unhandlichen Zahlen zu umgehen und die Approximation zu vereinheitlichen,
führen wir normierte Frequenzen ein. Betrachten wir dazu das in Bild 4.6 angegebene TPToleranzschema:
Normierung:
=
s
ωr
(4.10)
Ω =
ω
ωr
(4.11)
S
Bild 4.6
Normierung der Frequenzachse.
Bei TP und HP ist die Normierung bezüglich der Durchlass-Grenzfrequenz ωD (→ ωr = ωD), oder
bezüglich der 3dB-Grenzfrequenz ω3dB (→ ωr = ω3dB), zweckmässig. Bei BP und BS wählen wir zur
Normierung die Mittenfrequenz ωm.
Zur Entnormierung wird in der normierten Funktion S durch s/ωr ersetzt.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
53
Allgemeiner Ansatz der Approximationen:
Ziel dieses Abschnittes ist es also zu zeigen, wie die Koeffizienten ci der allgemeinen, normierten
TP-UTF
A0
H TP (S) =
1 + c1S + c2S 2 + … + cn S n
(4.12)
bestimmt werden müssen, damit der daraus resultierende Amplitudengang eine gewünschte Spezifikation erfüllt. A0 entspricht dabei einer konstanten Verstärkung (für alle Frequenzen gleich) und hat
für die Filterung keine Bedeutung. Meistens wird A0 = 1 gewählt.
Da die Amplitudenfunktion |H(jω)| eine gerade Funktion, also eine Funktion von Ω2 ist, wird für alle
TP-Standardapproximationen der folgende Ansatz gemacht:
| H(jΩ)| 2
=
1
1 + K(Ω2)
(4.13)
K(Ω2) wird charakteristische Funktion genannt. Für den TP muss gelten:
K(Ω2)
1
für Ω
K(Ω2)
1
für 0 ≤ Ω < 1
1
(Sperrbereich)
(Durchlassbereich)
(4.14)
In der Folge sollen die vier Tiefpass-Standardapproximationen kurz beschrieben und einander
gegenübergestellt werden. Weiter soll gezeigt werden, wie mit Hilfe von Tabellenwerken das
Approximationsproblem für den Entwurf konkreter Filter einfach gelöst werden kann.
Approximation nach Butterworth:
Bei der Approximation nach Butterworth geht man vom folgenden Potenzansatz für die charakteristische Funktion K(Ω2) aus:
n
K(Ω2) = (Ω2)
(4.15)
Dabei ist n die Ordnung des Filters und Ω die normierte Frequenz. Der Amplidudengang lautet somit:
| H(jΩ) | =
1
1 + Ω2n

√
(4.16)
Der Amplitudengang nimmt also - wie bei TP gefordert - mit zunehmendem Ω ab. Der nächste Schritt
ist die Bestimmung der UTF H(S) aus dem Amplitudengang |H(jΩ)|:
| H(jΩ) | → H(S)
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
54
In der Literatur (z.B. Tietze/Schenk [2]) sind Methoden beschrieben, wie dieser Übergang durchgeführt
wird. Es soll hier nicht detailliert auf diese Berechnung eingegangen werden, da die resultierenden
UTF für beliebige Ordnungen n - sowohl für den Butterworth-Ansatz, wie auch für andere
Standardapproximationen - in Form von Koeffizienten-Tabellen in manchen Büchern zu finden sind.
Eine Handrechnung der Koeffizienten muss daher gar nie durchgeführt werden.
Beispiel:
Der Ansatz für ein Butterworth TP Filter 2.Ordnung (n = 2) lautet nach Gl. 4.16:
| H(jΩ) |
=
1
1 +Ω4

√
(4.17)
In Tietze/Schenk findet man die Butterworth-Koeffizienten für die normierte UTF 2. Ordnung:
H(S) =
A0
1 + c1S + c2S 2
(4.18)
Sie lauten: c1 = 1,4142 und c2 = 1,000.
Zur Kontrolle können diese Koeffizienten in der UTF (Gl. 4.18) eingesetzt werden und dann der Amplitudengang berechnet werden. Die Rechnung zeigt, dass der so berechnete Amplitudengang genau dem
Butterworth-Ansatz in Gl. 4.17 entspricht.
Für eine beliebige Ordnung n beziehen sich die tabellierten Koeffizienten auf die allgemeine normierte
UTF n-ter Ordnung gemäss Gl. 4.12. Da es für die Realisierung von Filtern vielfach günstig ist, wenn
der Nenner der UTF in Faktoren zerlegt ist, sind in vielen Tabellenwerken oft die Koeffizienten des
in Faktoren zerlegten Nenners der UTF angegeben. In Tietze/Schenk beispielsweise findet man die
folgende Darstellung:
H(S) =
A0
∏i (1 + ai S + bi S 2)
(4.19)
Eigenschaften der Butterworth Approximation:
In Bild 4.7 sind Amplitudengänge von Butterworth-TP-Filtern für verschiedene Ordnungen n und
A0 = 1 dargestellt.
Bild 4.7 Amplitudengänge von
Butterworth-TP-Filtern für
verschiedene Ordnungen n.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
55
Dabei gilt:
• |H(jΩ)| ist maximal für Ω = 0 (für alle n) und weist keine Welligkeit auf, da alle
Nullstellen der charakteristischen Funktion K(Ω2) im Frequenzursprung liegen.
• | H(jΩ) |Ω = 1 =
1
1+1

√
2n
=
. Man beachte, dass dadurch der Butterworth-Ansatz
1
√2
automatisch zur Frequenznormierung auf die 3dB-Grenzfrequenz ω3dB führt.
• Im Sperrbereich Ω > 1 weisen die Amplitudengänge eine asymptotische Steilheit von
−n ⋅ 20dB/Dekade auf.
• Die Anforderungen an ein Filter sind durch das Toleranzschema gegeben. Die dort
gegebenen Werte Amax und Amin (beide in dB), sowie ωD und ωS bestimmen die minimal
benötigte Ordnung n, die ein Butterworth-TP-Filter aufweisen muss. Diese minimale
Ordnung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
0, 1 ⋅ A
lg
n
≥
10
min
0, 1 ⋅ Amax
10
−1
−1
(4.20)
ωS
2 ⋅ lg  ω 
D
• Der Zusammenhang zwischen der 3dB-Grenzfrequenz ω3dB und ωD lautet:
ω3dB
= ωD ⋅ 2n
1
0, 1 ⋅ A
10
−1

√
max
(4.21)
Die UTF eines Butterworth-TP-Filters bei gegebenem Toleranzschema kann nun nach folgendem
Rezept einfach mit Hilfe von Tabellen bestimmt werden:
1.
Mit Gl. 4.20 bestimmt man die benötigte Ordnung des Filters.
2.
Mit Gl. 4.21 bestimmt man die 3dB-Grenzfrequenz ω3dB. ω3dB entspricht dabei gerade der
Referenzfrequenz ωr der Frequenznormierung.
3.
Mit der Kenntnis der Ordnung n können in Tabellenwerken (z.B. Tietze/Schenk) die Koeffizienten
der normierten UTF gefunden werden.
4.
Mit der Kenntnis der Referenzfrequenz ωr = ω3dB kann aus der normierten UTF die tatsächliche
UTF durch die folgende Substitution (gemäss Gl. 4.10) bestimmt werden:
s
s
S =
=
ωr
ω3dB
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
56
Beispiel:
Gegeben sei die folgende Filterspezifikation (gemäss Bild 4.5):
• Amax = 0,7 dB
• Amin = 30 dB
• fD = 2 kHz
• fS = 4 kHz
Gesucht ist die mit dem Butterworth-Ansatz approximierte UTF minimaler Ordnung, deren Amplitudengang
das gegebene Toleranzschema erfüllt.
Lösung:
1.
Mit Gl. 4.20 ergibt sich für n: n ≥ 6,24. Die benötigte Filterordnung beträgt somit n = 7.
2.
Mit Gl. 4.21 ergibt sich für die 3dB-Grenzfrequenz:
3.
In Tietze/Schenk findet man die Koeffizienten der normierten UTF des Butterworth-TP 7. Ordnung.
Diese UTF lautet:
1
(1 + S) ⋅ (1 + 1, 8019S + S 2) ⋅ (1 + 1, 247S + S 2) ⋅ (1 + 0, 445S + S 2)
4.
Die entnormierte UTF erhält man nun einfach durch die Substitution S
ω3dB = 1, 13 ⋅ ωD = 2 ⋅ π ⋅ 2, 27kHz.
→
s
ω3dB
= s ⋅ 70, 26µs.
In Bild 4.8 ist der Amplitudengang sowie das Pol-Nullstellen-Diagramm dieses Filters angegeben.
a)
c)
b)
Bild 4.8 a)
Amplitudengang
2 kHz (fD) ... 2,27 kHz (f3dB)
b) Amplitudengang
0,4 kHz ... 4 kHz (fS)
c) Pol-Nullstellen-Diagramm
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
57
Approximation nach Tschebyscheff:
Bei der Butterworth-Approximation sind alle Nullstellen der charakteristischen Funktion K(Ω2) im
Frequenzursprung, was zu einem Amplitudengang ohne Welligkeit führt. Durch eine Verteilung der
Nullstellen von K(Ω2) im Durchlassbereich erreicht man einen steileren Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich und damit ein selektiveres Filter. Dies geschieht mit dem Ansatz von
Tschebyscheff, der hier nicht explizit angegeben werden soll. An dieser Stelle sollen nur die
wichtigsten Eigenschaften dieser Standardapproximation angegeben werden.
Eigenschaften der Tschebyscheff Approximation:
• Im Durchlassbereich Ω < 1 verläuft der Amplitudengang nicht monoton, sondern besitzt eine
Welligkeit mit konstanter Amplitude. Unter der Welligkeit versteht man das Verhältnis von
maximaler zu minimaler Amplitude im Durchlassbereich. Sie wird meistens in dB angegeben.
Diese Welligkeit kann mit der Wahl des sogenannten Rippelfaktors e bestimmt werden. Dabei
gilt für den Durchlassbereich:
| H(jΩ) |min
=
| H(jΩ) |max
1
1 + e 2

√
(4.22)
Die Welligkeit wird natürlich durch die maximale Dämpfung im Durchlassbereich Amax [dB]
bestimmt. Der Zusammenhang lautet:
0, 1 ⋅ Amax
(4.23)
e = √
10
− 1

• Im Sperrbereich hat der Amplitudengang - gleich wie beim Butterworth-TP-Filter - eine
asymptotische Steilheit von −n ⋅ 20dB/Dekade. Im Gegensatz zum Butterworth-TP-Filter ist aber
der Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich steiler. Dieser Übergang wird umso
steiler, je grösser die Welligkeit im Durchlassbereich ist.
• Analog zum Butterworth-Filter kann aus den Anforderungen des Toleranzschemas die benötigte
Filterordnung berechnet werden. Der Zusammenhang lautet:

√
0, 1 ⋅ Amin
arcosh
n
≥
10
0, 1 ⋅ A
10
max
−1
−1
(4.24)
ωS
arcosh ω 
D
Dabei kann die arcosh-Funktion mit dem folgenden Ausdruck ausgewertet werden:
arcosh x
•
= ln(x +
x 2 − 1)

√
(4.25)
Der Zusammenhang zwischen der 3dB-Grenzfrequenz ω3dB und ωD lautet:
ω3dB
1
1
= ωD ⋅ cosh ⋅ arcosh 
e
n
(4.26)
Zur Illustration sind in Bild 4.9 die Amplitudengänge von Tschebyscheff-TP-Filtern 4. Ordnung bei
verschiedenen Welligkeiten abgebildet.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
58
Welligkeit:
1
2
3
4
5
Bild 4.9
→
→
→
→
→
3 dB
2 dB
1 dB
0,5 dB
0 dB (Butterworth)
Tschebyscheff-Tiefpass-Filter 4. Ordnung mit verschieden grossen Welligkeiten.
Man erkennt gut, dass bei grösserer Welligkeit ein steilerer Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich erfolgt. Die asymptotische Steilheit ist jedoch in allen Fällen gleich.
Beispiel:
Gegeben sei wiederum die folgende Filterspezifikation (gemäss Fig. 4.5):
• Amax = 0,7 dB
• Amin = 30 dB
• fD = 2 kHz
Mit Gleichung 4.24 erhält man:
• fS = 4 kHz
n ≥ 3,81
Obiges Toleranzschema wird somit mit einem Tschebyscheff-TP-Filter 4. Ordnung erfüllt. Der Aufwand im
Vergleich zum Butterworth-Filter - es muss bei gleicher Spezifikation 7. Ordnung aufweisen - ist also kleiner.
Approximation nach Cauer:
Der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich lässt sich noch weiter versteilern, indem im
Sperrbereich Nullstellen im Amplitudengang eingebaut werden. Dabei entsteht im Sperrbereich
ebenfalls eine (gleichmässige) Welligkeit des Amplitudengangs. Solche Filter haben in der Literatur
vielfach auch die folgenden Bezeichnungen: Komplette Tschebyscheff-Filter, Tschebyscheff-CauerFilter oder Elliptische Filter. Der Amplitudengang eines Cauer-Filters ist in Bild 4.10 dargestellt.
Bild 4.10
Cauer-Tiefpass-Filter weisen
im Sperrbereich ebenfalls eine
Welligkeit auf.
Die wichtigsten Eigenschaften der Cauer-Approximation sind:
• Im Durchlassbereich existiert eine Welligkeit des Amplitudengangs, die gleich ist wie bei den
Tschebyscheff-TP-Filtern.
• Im Sperrbereich existiert ebenfalls eine Welligkeit des Amplitudengangs, respektive des
Dämpfungsverlaufs. Die Dämpfung schwankt dabei zwischen Amin und ∞.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
59
• Für die Bestimmung des minimal benötigten Filtergrades und des Zusammenhangs zwischen der
3dB-Grenzfrequenz ω3dB und ωD gibt es hier keine analytischen Formeln. Die zur Erfüllung eines
gegebenen Toleranzschemas benötigte minimale Filterordnung kann z.B. mit Hilfe von Nomogrammen (= Grafische Darstellung der Filterordnung in Funktion der Parameterwerte des
Toleranzschemas) bestimmt werden.
In unserem Beispiel (Amax = 0,7 dB; Amin = 30 dB; fD = 2 kHz; fS = 4 kHz) kann aus einem solchen
Nomogramm die minimale Filterordnung n = 3 herausgelesen werden. Dies bedeutet, dass der
Aufwand - bezüglich der Filterordnung - im Vergleich zu den bisher betrachteten Approximationsarten noch einmal reduziert wurde.
• Im Gegensatz zu den Butterworth- und Tschebyscheff-Filtern handelt es sich bei den Cauer-Filtern
um keine Allpolfilter (nur Pole in der UTF) mehr, da auch Nullstellen der UTF vorkommen. Die
UTF eines Cauer-Filters unterscheidet sich somit von der gewöhnlichen TP-UTF gemäss Gl. 4.12
dadurch, dass statt der Konstante A0 im Zähler ein Polynom in s auftritt.
Approximation nach Bessel:
Bei den bisher betrachteten Approximationen wurde versucht, den Amplitudengang eines idealen
TP-Filters (d.h. Amax = 0; Amin = ∞; fD = fS) möglichst gut nachzubilden. An den Phasengang wurden
hingegen keine Anforderungen gestellt. Bei der Approximation nach Bessel sind TP-Filter mit möglichst linearer Phase, d.h. konstanter Gruppenlaufzeit zu realisieren. Die Approximation besteht darin,
die Koeffizienten so zu wählen, dass die Gruppenlaufzeit unterhalb der Grenzfrequenz ΩD möglichst
wenig von Ω abhängt. Bild 4.11 zeigt die Amplitudengänge von Bessel-TP verschiedener Ordnungen
n.
Bild 4.11
Amplitudengänge von
Bessel-TP-Filtern für
verschiedene Ordnungen n.
Weitere Approximationen:
Neben den eben beschriebenen vier Standardapproximationen, die alle auf der Approximation im
Frequenzbereich (Dämpfung, Gruppenlaufzeit) beruhen, existieren noch andere Approximationsarten.
Als Beispiel sei hier noch die Approximation nach Gauss erwähnt, bei der die Filterkoeffizienten so
gewählt werden, dass die Filter-Stossantwort näherungsweise normalverteilt ist (→ Approximation
im Zeitbereich). Der Vorteil dieser Approximationsart liegt in einem guten Einschwingverhalten.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
60
4.2.3 Vergleich der Tiefpass-Standardapproximationen
In diesem Abschnitt werden die Vor- und Nachteile der vorgestellten TP-Approximationsarten
zusammengefasst. Dabei soll das Verhalten der verschieden approximierten Filter sowohl im Frequenzals auch Zeitbereich betrachtet werden. Während im Frequenzbereich eine möglichst gute Approximation des Amplitudengangs des idealen TP-Filters (= Rechteck) erwünscht ist, wird im Zeitbereich
ein möglichst gutes Einschwingverhalten des Filters gefordert.
Zur Beurteilung des Einschwingverhaltens eines Netzwerkes wird vielfach die Schrittantwort, also
der Verlauf des Ausgangssignals beim Anlegen eines Spannungsschrittes am Eingang, betrachtet. In
Bild 4.12a sind die Amplitudengänge von je einem Bessel-, Butterworth- und Tschebyscheff-TP Filter
4.Ordnung (alle mit gleicher 3dB-Frequenz) dargestellt. In Bild 4.12b findet man die entsprechenden
Schrittantworten solcher Filter.
a)
b)
Bild 4.12
Vergleich der TP-Standardapproximationen 4. Ordnung: a) im Frequenzbereich, und
Zeitbereich (Schrittantwort).
1: Bessel
3: Tschebyscheff mit 0,5 dB Welligkeit
2: Butterworth
4: Tschebyscheff mit 3 dB Welligkeit
b) im
Wenn wir die Amplitudengänge sowie die Schrittantworten der vier betrachteten TP-Approximationen
miteinander vergleichen, stellen wir die folgenden Unterschiede fest:
• Das Bessel-Filter weist den flachsten Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich auf. Es
stellt somit die schlechteste Näherung an den idealen Tiefpassamplitudengang (Rechteck) dar.
Dafür besitzt das Bessel-Filter eine sehr lineare Phase (konstante Gruppenlaufzeit) und daraus
abgeleitet ein vergleichsweise gutes Einschwingverhalten, was zu einem optimalen Rechteckübertragungsverhalten führt.
• Das Butterworth-Filter zeigt im Vergleich zum Besselfilter einen merklich steileren Übergang
zwischen Durchlass- und Sperrbereich. Das Einschwingverhalten ist jedoch gegenüber dem
Besselfilter schlechter (langsamerer Anstieg, Überschwingen).
• Das Tschebyscheff-Filter erfüllt unsere Wünsche bezüglich Amplitudengang noch besser.
Erkauft wird dies allerdings mit einem noch schlechteren Einschwingverhalten.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
61
Lassen wir beim Tschebyscheff-Filter im Durchlassbereich eine noch grössere Welligkeit zu, so
verläuft der Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich noch steiler. Das Einschwingverhalten verschlechtert sich jedoch abermals erheblich.
• Beim Cauer-Filter (in Bild 4.12 nicht dargestellt) resultiert ein noch steilerer Übergang vom
Durchlass- in den Sperrbereich. Das Einschwingverhalten wird dadurch jedoch noch schlechter
als bei den Tschebyschefffiltern.
Die Gegenüberstellung der Frequenzgänge und der Gruppenlaufzeiten bei verschiedenen Ordnungen
n ist für drei der vier betrachteten Approximationsarten in Bild 4.13 dargestellt.
Bild 4.13
Gegenüberstellung der Amplitudengänge (oben) und Gruppenlaufzeiten (unten) von Butterworth-,
Tschebyscheff- und Bessel-Tiefpässen verschiedener Ordnung mit der 3dB-Grenzfrequenz 1Hz.
Es lässt sich also feststellen, dass Approximationen mit besserem Amplitudenverhalten jeweils ein
schlechteres zeitliches Verhalten aufweisen. Die Frage, welches Filter das beste ist, lässt sich somit
nicht generell beantworten. Es hängt davon ab, ob gutes Frequenz- und/oder gutes Zeitverhalten
erwünscht ist.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
62
4.2.4 Übergang zu beliebigen Filtern durch Frequenztransformation
Wie schon im vorangehenden Abschnitt erwähnt wurde, lassen sich die HP-, BP-, und BS-UTF aus
einer TP-Approximation gewinnen.
Die Approximation eines HP-, BP-, oder BS-Filters wird in drei Schritten durchgeführt:
1. Transformation eines vorgeschriebenen Toleranzschemas in ein entsprechendes TPToleranzschema.
2. Approximation des TP-Toleranzschemas in bekannter Weise.
3. Rücktransformation der gefundenen TP-UTF in die UTF des gewünschten Filtertyps.
Die Tiefpass-Hochpass-Transformation:
Die normierte HP-UTF kann durch die Frequenztransformation
S
(TP) → (HP)
1
S
(4.27)
aus der normierten TP-UTF gewonnen werden. Damit wird:
 1
H HP (S) = H TP  
S
(4.28)
Transformation des Toleranzschemas:
Es gilt:
ΩSTP
Bild 4.14
=
1
ΩSHP
(4.29)
Hochpass → Tiefpass-Transformation.
TP→HP-Transformation durch direkte Substitution:
Durch Substitution von S durch 1/S ergibt sich aus der allgemeinen TP-UTF
H TP (S) =
die allgemeine HP-UTF:
HTI Biel, Signalübertragung
H HP (S) =
A0
1 + c1S + c2S 2 + … + cn S n
(4.30)
A0 ⋅ S n
S n + c1S n − 1 + c2S n − 2 + … + cn
(4.31)
4.2
63
Die Tiefpass-Bandpass-Transformation:
Die normierte BP-UTF eines in logarithmischer Darstellung symmetrischen BP-Filters
(ωr =
ωB ⋅ωB
√

1
=
2
ωS ⋅ωS )
√
1
2
kann durch folgende Frequenztransformation aus der normierten
TP-UTF gewonnen werden:
S
S2 + 1
B ⋅S
(TP) → (BP)
(4.32)
wobei B der normierten BP-Bandbreite entspricht:
ωB2 − ωB1
= ΩB2 − ΩB1
B =
ωr
(4.33)
ωr entspricht der Bandpass-Mittenfrequenz. Damit wird:
 S2 + 1 
H BP (S) = H TP 

 B ⋅S 
(4.34)
Transformation des Toleranzschemas:
Es gilt:
ΩSTP
Bild 4.15
=
ΩS2 − ΩS1
ΩB2 − ΩB1
(4.35)
Bandpass → Tiefpass-Transformation.
TP→BP-Transformation durch direkte Substitution:
2
Durch direkte Substitution von S durch
S + 1
B ⋅S
ergibt sich aus der TP-UTF die gewünschte BP-UTF.
Beispiel für ein Term 1.Ordnung:
H TP (S) =
→
H BP (S) =
1
2
S +1
B ⋅S
+ a
1
S + a
=
(4.36)
B ⋅S
S + a ⋅B ⋅S + 1
2
(4.37)
Wie man sieht, erhöht sich durch die Transformation die Filterordnung um den Faktor 2.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
64
Die Tiefpass-Bandsperre-Transformation:
Die normierte BS-UTF eines in logarithmischer Darstellung symmetrischen BS-Filters
(ωr =
ωB ⋅ωB
√

1
2
=
ωS ⋅ωS )
√
1
2
kann durch folgende Frequenztransformation aus der normierten
TP-UTF gewonnen werden:
S
(TP) → (BS)
B ⋅S
S2 + 1
Dabei entspricht B wiederum der normierten BS-Bandbreite B =
(4.38)
ωB − ωB
2
1
ωr
= ΩB2 − ΩB1, und ωr der
BS-Mittenfrequenz. Somit wird:
 B ⋅S 
H BS (S) = H TP  2

 S + 1
(4.39)
Transformation des Toleranzschemas:
Es gilt:
ΩSTP
Bild 4.16
=
ΩB2 − ΩB1
ΩS2 − ΩS1
(4.40)
Bandsperre → Tiefpass-Transformation.
TP→BS-Transformation durch direkte Substitution:
Durch direkte Substitution von S durch
B ⋅S
S2 + 1
ergibt sich aus der TP-UTF die gewünschte BP-UTF.
Auch hier wird die Filterordnung um den Faktor 2 erhöht.
HTI Biel, Signalübertragung
4.2
65
4.3 Realisierung von Filtern
4.3.1 Überblick
Mit der in 4.2 vorgestellten Theorie haben wir nun die Möglichkeit, die UTF eines beliebigen
Filter-Grundtyps zu berechnen. Noch offen steht die technische Realisierung dieser UTF. Mit diesem
Thema wollen wir uns im vorliegenden Abschnitt befassen.
Ein Überblick über die wichtigsten heute vorhandenen Filterbauarten ist in Bild 4.17 gegeben.
Bild 4.17
Übersicht über die wichtigsten Filterbauarten.
Je nach Anforderungen bezüglich Frequenzbereich, notwendiger Genauigkeit und Selektivität, Leistungsbedarf, Abmessungen, Kosten, benötigte Stückzahlen etc., stellt die eine oder andere Bauart die
beste Lösung dar. Die heute am weitesten verbreiteten Filtertechnologien sind die Passiv-RLC-, die
Aktiv-(RC-), die Switched-Capacitor-(SC-) und die Digital-Filter. Diese vier Realisierungstechniken
sollen in der Folge kurz diskutiert und einander gegenübergestellt werden.
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
66
Als zu Beginn dieses Jahrhunderts erstmals elektrische Filter eingesetzt wurden, handelte es sich dabei
ausschliesslich um passive RLC-Filter. Diese Bauart wird auch heute noch verwendet, - vorallem bei
höheren Frequenzen. Im Niederfrequenzbereich werden jedoch meist grosse und teure Induktivitäten
nötig. Eine Alternative zu den passiven RLC-Filter sind die aktiven RC-Filter, bestehend aus
Widerständen, Kondensatoren und Operationsverstärkern (Opamp). Das aktive Element (Opamp) ist
dabei nötig, weil mit passiven RC-Netzwerken nur Pole auf der negativ reellen Achse realisiert werden
können.
Verglichen mit den passiven RLC-Filtern besitzen die aktiven RC-Filter folgende Vorteile:
• Niedrige Kosten: Die Bauteilkosten aktiver Filter sind gewöhnlich geringer, besonders bei
sehr tiefen Frequenzen, bei denen die Spulen gross und teuer werden.
• Kleine Abmessungen und geringes Gewicht: Durch das Einsparen der Spulen werden die
aktiven Filter (vor allem bei tieferen Frequenzen) kleiner und leichter als die RLC-Filter.
• Entkopplung der einzelnen Filterstufen: Die Eingangsimpedanz eines aktiven RC-Filters ist
im allgemeinen hoch und die Ausgangsimpedanz sehr klein. Aus diesem Grund lassen sich leicht
mehrere Filter hintereinanderschalten (kaskadieren). Dies wiederum vereinfacht den Entwurf,
da ein Filter hoher Ordnung aus mehreren Filterstufen zusammengesetzt werden kann.
• Verstärkung: Zusätzlich zur Filterfunktion können mit einem aktiven Filter die Signale verstärkt oder abgeschwächt werden.
• Abstimmung: Es gibt geeignete Verfahren, mit denen aktive RC-Filter einfach abgestimmt
werden können.
Diesen Vorteilen stehen die folgenden Nachteile gegenüber:
• Stromverbrauch: Die aktiven Filter benötigen eine Stromversorgung und verbrauchen daher
Energie.
• Frequenzbereich: Bedingt durch die endliche Bandbreite der Opamp liegt der obere Frequenzbereich der heute realisierbaren aktiven RC-Filter bei typischerweise einigen 100 kHz bis
maximal einigen MHz.
• Rauschen/Dynamikbereich: Der Dynamikbereich eines aktiven RC-Filters wird einerseits
durch den Aussteuerungsbereich der Verstärker und andererseits durch das Rauschen der
Widerstände und Verstärker eingeschränkt. Er ist deutlich kleiner als bei den RLC-Filtern.
• Sensitivität: Aktive RC-Filter reagieren im allgemeinen empfindlicher (sensitiver) auf
Änderungen der Bauteilwerte als RLC-Filter.
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
67
Die zunehmende Miniaturisierung der elektronischen Schaltungen liess vor einiger Zeit den Wunsch
aufkommen, vollintegrierte Filter herzustellen. Weder passive RLC- noch aktive RC-Filter sind jedoch
dazu geeignet, da sich Spulen und Widerstände nur sehr ungenau und mit sehr hohem Platzbedarf
integrieren lassen. Schon seit Maxwell ist bekannt, dass man unter gewissen Voraussetzungen
Widerstände durch Kombinationen von Schaltern und Kondensatoren nachbilden kann, - beides
Elemente, welche sich hervorragend für die Integration in der heute weit verbreiteten MOSTechnologie eignen. Die Widerstände in den aktiven RC-Filtern können auf diese Weise durch
geschaltete
Kondensatoren
ersetzt
werden.
Dies
führt
zu
sogenannten
Switched-Capacitor-(SC)-Filtern, die nur noch aus Schaltern, Kondensatoren und Opamps zusammengesetzt sind und sich demnach gut integrieren lassen. SC-Filter gehören zu den sogenannt analog
abgetasteten Netzwerken (wertkontinuierliche, zeitdiskrete Signale) und haben die folgenden
Eigenschaften:
• Genauigkeit: Die UTF eines SC-Filters hängt nur von Kapazitätsverhältnissen und der Taktfrequenz ab. Da die Genauigkeit sowohl der Verhältnisse integrierter Kapazitäten, wie auch der
(quarzgesteuerten) Taktfrequenz sehr hoch ist, können mit dieser Technik hochgenaue Filter
realisiert werden, die nicht abgestimmt werden müssen.
• Kleine Temperaturabhängigkeit: Die UTF ist praktisch temperaturunabhängig.
• Intergrierbarkeit: Wie schon erwähnt, sind SC-Filter für die Vollintegration hervorragend
geeignet.
• Aliasing: SC-Filter sind zeitdiskrete Filter, d.h., es werden abgetastete Signale verarbeitet.
Wegen dem dabei entstehenden Aliasing muss dem SC-Filter ein Antialiasing-Filter (zeitkontinuierliches Filter mit geringen Anforderungen an die Genauigkeit) vorgeschaltet werden.
• Rauschen/Dynamikbereich: Das Rauschen bei einem SC-Filter wird durch das Rauschen der
Opamp und der Schalter verursacht. Es ist im allgemeinen grösser als bei aktiven RC-Filtern
und verringert deshalb die Dynamik. Während mit aktiven RC-Filtern eine Dynamik von 80 ...
120 dB erreicht werden kann, liegt sie bei SC-Filtern im Bereich 50 ... 90 dB.
• Leistungsbedarf: Durch die Integration in MOS-Technik ergibt sich ein sehr geringer Leistungsbedarf.
• Frequenzbereich: Die Grenzfrequenzen von SC-Filtern liegen typischerweise im Bereich von
0,1 Hz ... 100 kHz. Mit Hilfe der Gallium-Arsenid-Technik (GaAs) können SC-Filter mit
Grenzfrequenzen im Bereich einiger MHz realisiert werden.
• Aufwand: Für die Integration eines SC-Filters wird weniger Chipfläche benötigt als für aktive
RC-Filter, da Widerstände einiges mehr an Platz benötigen als Kondensatoren und Schalter.
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
68
Neben diesen drei analogen (resp. analog abgetasteten) Filtertechniken finden heute und in Zukunft,
dank den enormen technologischen Fortschritten, die digitalen Filter eine immer grössere Verbreitung.
Bei den digitalen Filtern wird das zu filternde Signal periodisch zu diskreten Zeitpunkten abgetastet
und die so entstehenden Abtastwerte in digitale (binäre) Zahlen gewandelt (AD-Wandlung). Die
Verarbeitung der so entstehenden Zahlen erfolgt dann in einem digitalen Rechenwerk (z.B. Signalprozessor). Zur Beschreibung von zeitdiskreten Filtern (SC, Digital) wird die Z-Transformation
verwendet. Die Z-Transformation ermöglicht - analog zur Laplace-Transformation bei
zeitkontinuierlichen Systemen - eine Beschreibung zeitdiskreter Signale und Systeme im Frequenzbereich. Entsprechend wird ein zeitdiskretes Filter mit einer Z-UTF beschrieben, aus der analog zur
UTF in s der Frequenzgang ermittelt werden kann. Es gibt nun Methoden, die die Transformation einer
gegebenen UTF in s in eine entsprechende Z-UTF (bei gleichbleibendem Amplitudengang) erlauben.
Somit ist es möglich, die hier beschriebenen Approximationsverfahren, die eine UTF in s liefern, auch
für den Entwurf von zeitdiskreten Filtern (SC und Digital) zu verwenden. Die Vorteile der digitalen
Realisierung liegen in der sehr hohen Genauigkeit und der hohen Flexibilität, während als Nachteile
gegenüber den analogen Filtern der eingeschränkte Frequenzbereich, sowie der meist höhere Stromverbrauch und Aufwand zu nennen sind.
Im nächsten Abschnitt soll auf die RLC- und aktive RC-Filter-Realisierung noch näher eingegangen
werden.
4.3.2 Entwurf passiver RLC Filter
Beim Entwurf von passiven RLC-Filtern (auch Reaktanzfilter genannt), gehen wir von folgendem
Grundschema aus:
Bild 4.18
Grundschema für den Entwurf passiver RLC-Filter.
In der Folge soll der Entwurf passiver RLC-Filter nach der Betriebsparameter-Theorie kurz skizziert
werden. Bei diesem Entwurfsverfahren denkt man sich die von der Quelle maximal verfügbare Leistung
Pmax aufgeteilt in die übertragene Leistung P2 und die reflektierte Leistung Pr (Bild 4.19).
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
69
Bild 4.19
Schematische Darstellung des Leistungsflusses bei passiven Filtern.
Da das LC-Zweitor im Idealfall verlustlos ist (realisitische Annahme bei Spulen und Kondensatoren
mit hohen Güten), gilt:
P2 = P1
Pr
= Pmax − P2
(4.41)
(4.42)
Mit der Eingangsimpedanz ZIN(s) (Bild 4.19) kann Pr berechnet werden. Nach längerer Rechnung
erhält man:
Pr
wobei
= Pmax − P2
r(s) =
= Pmax ⋅ | r(s) |2
Z IN (s) − RG
Z IN (s) + RG
(4.43)
(4.44)
dem Reflexionsfaktor entspricht. Das Vorgehen für den Entwurf ist nun folgendermassen:
1. Der Reflexionsfaktor r(s) kann eindeutig aus der gegebenen UTF H(s) bestimmt werden (über
die sogenannte Feldtkellergleichung).
2. Aus r(s) kann die Eingangsimpedanz ZIN(s) bestimmt werden (→ Gl. 4.44).
3. Mit der sogenannten Kettenbruchzerlegung (= Syntheseverfahren für den Entwurf einer passiven Schaltung aus einer gegebenen Eingangsimpedanz) erhalten wir aus ZIN(s) das
gewünschte LC-Zweitor.
Dieser recht mühsame Weg für den Entwurf passiver RLC-Filter kann in der Praxis umgangen werden,
indem man entweder auf schon berechnete und katalogisierte Filter zurückgreift (z.B. in [3], [4] oder
[5]) oder Computerprogramme benützt. In beiden Fällen kann man direkt - ohne die explizite
Ermittlung der UTF - aus dem Toleranzschema (Amax, Amin, ωD, ωS) und der Angabe der gewünschten
Approximationsart (Butterworth, Tschebyscheff, Cauer, Bessel) die passive RLC-Schaltung erhalten.
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
70
4.3.3 Entwurf aktiver RC Filter
Es gibt mehrere Schaltungskonzepte für den Entwurf von aktiven RC-Filtern. Die zwei wichtigsten
sind:
1. Kaskaden-Filter: Die Filter basieren auf entkoppelten Baublöcken 1., 2. oder (selten) 3.
Ordnung, die zur Realisierung von Filtern höherer Ordnung kaskadiert werden.
2. LC-Filter-Simulation: Bei dieser Entwurfsmethode wird von der LC-Filterstruktur ausgegangen, da diese die kleinstmögliche Empfindlichkeit gegenüber Bauteiltoleranzen aufweist.
Durch Simulation von Spulen mit aktiven Elementen und Kapazitäten (z.B. Gyrator) ergeben
sich daraus aktive RC-Filter.
Wir wollen uns hier auf Kaskadenfilter beschränken.
Ein Filter beliebiger Ordnung mit einer gegebenen UTF H(s) lässt sich durch die Kaskadierung von
Sektionen 1. und 2. Ordnung realisieren. Dazu stellen wir H(s) als Produkt von Termen 1. und 2.
Ordnung auf:
K
H(s) = H 1(s) ⋅ ∏ H i (s)
(4.45)
i =2
Dabei entspricht H1(s) einem Term 1. Ordnung (vorhanden bei ungerader Ordnung des gesamten
Filters) und Hi(s) sind Terme 2. Ordnung. In der Folge werden je eine TP-Sektion 1. und 2. Ordnung
genauer betrachtet. Am Schluss sind dann noch je eine Schaltung 2. Ordnung für die Realisierung
eines HP und BP sowie einer BS angegeben.
TP-Sektion 1. Ordnung:
Ein TP-Filter 1. Ordnung, dessen UTF nicht von
der nachfolgenden Sektion abhängig ist, lässt
sich z.B. mit der nebenstehenden Schaltung
realisieren. Die UTF lautet:
1
H(s) = −
Bild 4.20
Aktiver Tiefpass 1. Ordnung.
R1C
s + RC
2
Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen TP-UTF 1. Ordnung
K ⋅ ωp
H(s) = −
s + ωp
1
lassen sich die zur Berechnung der Komponenten notwendigen Beziehungen bestimmen:
1
1
C : wählbar
R1 =
R2 =
K ⋅ C ⋅ ωp
C ⋅ ωp
HTI Biel, Signalübertragung
(4.46)
(4.47)
(4.48)
4.3
71
TP-Sektion 2. Ordnung:
Ein TP-Filter 2. Ordnung, dessen UTF ebenfalls nicht von der nachfolgenden Sektion abhängig ist,
lässt sich z.B. mit der folgenden Schaltung realisieren:
Bild 4.21
Die zugehörige UTF lautet:
Dabei gilt:
Aktiver Tiefpass 2. Ordnung.
1
β ⋅ R2
R 2C 2
H(s) =
⋅
R1 + R2 s 2 + s ⋅ (3 − β) +
RC
β = 1 +
R4
R3
und
1
2 2
R C
= R1//R2
R
(4.49)
(4.50)
Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen TP-UTF 2. Ordnung
H(s) = K ⋅
ω2p
(4.51)
s 2 + s ⋅ 2 ⋅ σ p + ω2p
erhalten wir die folgenden Dimensionierungsgleichungen:
ωp
=
1
RC
2σ p
=
3 − β
RC
K
=
βR2
R1 + R2
R
=
R1R2
R1 + R2
(4.52)
Die 4 Gleichungen enthalten die 5 Unbekannten R, C, β, R1 und R2, so dass wir eine Grösse frei wählen
können. Legen wir C fest, so sind die restlichen Grössen durch die nachstehenden Gleichungen
gegeben:
2σ p
C : wählbar
β = 3 −
ωp
(4.53)
⋅
R
R
1
R
1
R =
R1 = β ⋅
R2 =
C ⋅ ωp
K
R1 − R
Die Widerstände R3 und R4 können bis auf ihr Verhältnis frei gewählt werden. Es zeigt sich jedoch,
dass der DC-Offset minimal wird, wenn beide Opamp-Eingänge mit demselben DC-Widerstand
abgeschlossen sind. Damit wird:
2⋅β
R3 =
⋅R
R4 = 2 ⋅ β ⋅ R
(4.54)
β − 1
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
72
HP-, BP- und BS-Sektionen 2.Ordnung:
Für die HP-, BP-, und BS-Realisierungen sollen in der Folge noch je eine Sektion 2.Ordnung angegeben
werden Best [5]:
Hochpass:
Die UTF dieses HP-Filters 2.Ordnung
lautet:
Bild 4.22
H(s) = −K ⋅
Aktiver Hochpass 2. Ordnung.
s2
s 2 + s ⋅ 2 ⋅ σ p + ω2p
(4.55)
Die Dimensionierung der Schaltung in Bild 4.22 erfolgt mit den folgenden Gleichungen:
= K ⋅ C2
C1
R2
=
2 ⋅ σp
R1
ω (C1 + C2 + C3)
2
p
=
1
ω R2C2C3
2
p
(4.56)
Bandpass:
Die UTF dieses BP-Filters 2.Ordnung
lautet:
s ⋅ 2 ⋅ σp
H(s) = −K ⋅ 2
s + s ⋅ 2 ⋅ σ p + ω2p
Bild 4.23
(4.57)
Aktiver Bandpass 2. Ordnung.
Die Dimensionierung der Schaltung in Bild 4.23 erfolgt mit den folgenden Gleichungen:
R1
=
1
2Kσ p C
HTI Biel, Signalübertragung
R2
=
1
σp C
R3
=
σp
C(ω2p − 2Kσ2p )
(4.58)
4.3
73
Bandsperre:
Die UTF dieses BS-Filters 2.Ordnung
lautet:
H(s) = K ⋅
Bild 4.24
s 2 + ω2p
s 2 + s ⋅ 2 ⋅ σ p + ω2p
(4.59)
Aktive Bandsperre 2. Ordnung.
Die Dimensionierung der Schaltung in Bild 4.24 erfolgt mit den folgenden Gleichungen:
R ⋅C
=
1
ωp
K
= 2 −
σp
ωp
K
=
R1 + R2
R1
(4.60)
Beim Entwurf solcher Filter müssen noch weitere Punkte einbezogen werden, die hier aus Platzgründen
nur noch kurz erwähnt werden können:
• Dynamik (Aussteuerung der einzelnen Sektionen).
• Sensitivität (Empfindlichkeit) gegenüber Bauteil-Toleranzen.
• Nichtideale Effekte der Bauelemente.
Weitere Schaltungsvarianten für die Realisierung von Filtersektionen 1. und 2.Ordnung findet man in
Tietze/Schenk [2] und Best [5].
HTI Biel, Signalübertragung
4.3
74
5 LEITUNGSTHEORIE
5.1 Einführung
5.1.1 Übersicht
Die im Kapitel 1.1 definierten Blöcke (Zweitore) müssen oft über länger Distanzen miteinander
verbunden werden. Dadurch entsteht ein weiterer Block der eine räumliche Ausdehnung aufweist. Er
besteht bei drahtgebundener Signalübertragung aus einer Leitung und bei drahtloser Signalübertragung
aus dem freien Raum.
Die zu übertragenden elektrischen Signale breiten sich immer als elektromagnetische Wellen aus. Je
nach Frequenz können sie sich nicht nur im freien Raum oder von Leitungen geführt ausbreiten, sondern
auch Materie durchdringen.
Bei einer Ausbreitung im
freien Raum lautet der
Zusammenhang zwischen
der Wellenlänge λ und der
Frequenz f:
λ =
Bild 5.1
c
f
=
300
f[MHz]
[m]
(5.1)
Das Spektrum der elektromagnetischen Wellen.
Je nach Frequenz dienen elektromagnetische Wellen den verschiedensten Aufgaben:
• 50 Hz und 60 Hz sind die Frequenzen des technischen Wechselstroms zur Energieübertragung.
Aber auch mit Gleichstrom und mit Wechselströmen bis 400 Hz wird Energie übertragen.
• Ton- und Sprachfrequenzen erstrecken sich über den Frequenzbereich akustischer Schwingungen
von etwa 20 Hz bis 20 kHz (NF).
• Frequenzen bis > 100 GHz dienen zur Signalübertragung. Dabei können die Wellen bei all diesen
Frequenzen durch Leitungen geführt werden. Sie lassen sich oberhalb etwa 30 kHz aber auch als
Funkwellen durch den Raum übertragen.
HTI Biel, Signalübertragung
5.1
75
• Im optischen Bereich erfolgt die Übertragung entweder im freien Raum oder in Lichtwellenleitern.
Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen erfolgt maximal mit der "Lichtgeschwindigkeit" (c ≈
300 000 km/s bei Luft oder Vakuum), was zur Folge hat, das neben den zeitlichen Signalschwankungen
auch räumliche Signalschwankungen auftreten.
In Bild 5.2 sind einige gebräuchliche physikalische Formen von Übertragungskanälen zusammengestellt.
Bild 5.2
Übertragungskanäle für elektromagnetische Wellen (Beispiele).
Im Folgenden soll zwischen verschiedenen Ausbreitungsarten unterschieden werden:
• TEM-Leitungen (transversal elektromagnetisch): z.B. Zweidrahtleitungen, Koaxialleitungen,
Streifenleitungen. Bei TEM-Leitungen stehen die Feldlinien des elektrischen und des magnetischen Feldes senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Bei diesen Leitungen ist eine Ausbreitung von
Gleichstrom an möglich. Hin- und Rückleiter sind klar definierbar (→ 5.2).
• Nicht-TEM-Leitungen: z.B. Hohlleiter, Lichtwellenleiter (→ 5.5). Eine Ausbreitung ist erst ab
einer bestimmten Frequenz möglich. Hin- und Rückleiter sind bei diesen Leitungen nicht mehr
definierbar.
• Ausbreitung im freien Raum. Die elektromagnetischen Wellen werden hier nicht von einer
Leitung geführt, sondern breiten sich mehr oder weniger frei aus (Funkverbindungen, Richtstrahl).
Grundlage zu den elektromagnetischen Wellen sind die Maxwellschen Gleichungen, auf die im
nächsten Kapitel kurz eingegangen werden soll.
HTI Biel, Signalübertragung
5.1
76
5.1.2 Einführung in die Maxwellschen Gleichungen
Obwohl die Maxwellschen Gleichungen zum Verständnis der weiteren Kapitel nicht nötig sind, sollen
sie hier kurz zusammengestellt werden. Einige auch nur oberflächliche Kenntnisse über Felder und
Wellen können bereits einiges zum Verständnis der nachfolgenden Theorie beitragen. Die folgenden
Ausführungen stützen sich auf Kap 5.1.3 in [6].
Vektordarstellung von Feldgrössen
Mit der Wahl der Formelzeichen haben wir bereits den Fall
eines elektrischen Strömungsfeldes vorbereitet. Die in Bild
5.3 gezeichneten Begrenzungsflächen A seien unendlich
leitfähige Platten, zwischen denen sich ein Material mit
endlicher Leitfähigkeit befindet. Eine elektrische Urspannung Ue wird einen Strom (Fluss)
Ein stromdurchflossener Leiter ist bekanntlich von einem
Magnetfeld umgeben. Eine bildliche Darstellung der
Feldlinien ist zwar anschaulich, aber für Berechnungszwecke nicht ausreichend. Man möchte für jeden Punkt in
der Umgebung die Grösse und die Richtung der
magnetischen Feldstärke angeben können. Zweckmässigerweise verwendet man dazu Vektoren, die hier durch
Fettdruck gekennzeichnet werden (Beispiel: Z). Als
Koordinatensystem könnten kartesische Koordinaten (x, y,
z) verwendet werden. Sinnvoller ist jedoch, die Koordinaten eines Feldpunktes durch den allgemeinen Ortsvektor
r darzustellen. Damit wird z.B. die magnetische Feldstärke
H(r). Diese Darstellung soll gemeint sein, wenn auch
künftig das Argument weggelassen wird: H.
Der Faktor Gd/A ist die spezifische Leitfähigkeit κ (Einheit
A/Vm). Man kann verallgemeinern und erhält für das
elektrische Strömungsfeld
Fluss, Flussdichte und Feldstärke
J = κE
Durch gedachte Flächen A kann man sich aus einem
Strömungsfeld einen Ausschnitt abgegrenzt denken, den
wir zunächst entsprechend Bild 5.3 annehmen wollen und
bei dem wir Randeffekte vernachlässigen. Nennt man den
Fluss I, so wird die Flussdichte J = I/A.
Die Flussdichte J und die elektrische Feldstärke E sind also
an jeder Stelle proportional und gleich gerichtet, vorausgesetzt, dass κ reell ist.
Bild 5.3 Ausschnitt aus einem Feld.
Wir wollen den Ausdruck "Flussdichte" (statt Verschiebungsstromdichte) D benutzen und erhalten
Im allgemeinen Fall kann man die Flussdichte für jedes
infinitesimale Flächenelement angeben. Die Flussdichte ist
J = dI/dA. Durch Integration über die Gesamtfläche kann
man wieder auf den Fluss I kommen:
I
= ⌠ J dA
⌡
A
HTI Biel, Signalübertragung
(5.2)
I
= GUe
(5.3)
verursachen. Wir führen statt Ue die elektrische Feldstärke
E = Ue/d ein und dividieren durch die Fläche A:
I
A
=
Gd
E
A
= κE
(5.4)
(5.5)
Von der Behandlung des Kondensators in den Grundlagen
her kennen wir den Begriff des Verschiebungsstroms, der
vielleicht als Fortsetzung des Leitungsstroms im Dielektrikum eingeführt wurde. In Bild 5.3 sei das Material
zwischen den Platten nichtleitend und habe die
Dielektrizitätskonstante ε = εrε0. Während bei einem
Nichtleiter κ = 0 ist, gibt es keine Stoffe mit ε = 0, da εr ≥
1 ist. Auch im Vakuum (ε = ε0) ergibt sich deshalb bei einer
zeitlichen Änderung der elektrischen Feldstärke E ein
Verschiebungsstrom.
D = εE
(5.6)
Schliesslich können wir uns in Bild 5.3 als Flächen A die
Endflächen der Polschuhe eines Hufeisenmagneten vorstellen, zwischen denen ein Material mit der Permeabilität
µ = µrµ0 liegen soll. Wieder sind (magnetische) Flussdichte
B und (magnetische) Feldstärke H verknüpft:
5.1
77
B = µH
(5.7)
und der Zusammenhang mit dem (magnetischen) Fluss ist
B =
(5.8)
dΦ
dA
Φ = ⌠ B dA
⌡
(5.9)
A
Induktions- und Durchflutungsgesetz
Wir betrachten die schematische Darstellung in Bild 5.4.
Im Zentrum steht jeweils ein Ausschnitt aus einer "Flussröhre", in der der gesamte Fluss vereinigt ist. Im Grenzfall
wird es sich um eine einzige Flusslinie handeln. Solche
linienförmige Gebilde, die von den Feldlinien "umwirbelt"
werden, bezeichnet man als Wirbel eines Feldes.
Wir haben in Bild 5.4 jeweils einen Ausschnitt einer
Flussröhre gezeigt und fragen uns, wie sich dieselbe fortsetzt. Dabei genügt es, eine Flusslinie stellvertretend für
alle anderen zu betrachten. Bekanntlich kann man einen
Magneten beliebig oft unterteilen, ohne dass es gelingt,
einen magnetischen "Mono-Pol" zu separieren. Man kann
deshalb im Magnetfeld eine geschlossene Hülle, nennen
wir sie ebenfalls A, an beliebiger Stelle anbringen; stets wird
der in die Hülle eintretende Fluss gleich dem aus der Hülle
austretenden Fluss sein. Dagegen ist es beim elektrischen
Feld nicht zwingend, dass die Flusslinien geschlossene
Gebilde sind, da es separierbare Ladungen gibt. Bild 5.5
veranschaulicht diese Gegebenheiten.
Bild 5.5 Geschlossene Hülle (A) im Magnetfeld und elektrisches Quellenfeld.
Sie führen auf die Beziehungen
Bild 5.4 Induktionsgesetz (a) und Durchflutungsgesetz (b), mit wirbelbehaftetem (C) und wirbelfreiem (C’) Integrationsweg.
An Stelle einer der kreisförmigen Feldlinien in Bild 5.4a
können wir uns einen Drahtring vorstellen, der an einer
Stelle offen ist. Dort kann man bei zeitlichen Änderungen
des Flusses Φ eine Spannung messen. Wir können aber auch
rechnerisch diese Spannung bestimmen. Dabei gehen wir
in kleinen Schritten vor, bei denen sich der Ortsvektor
jeweils um dr ändert, bilden jeweils das Skalarprodukt E
dr und erhalten dadurch einen kleinen Spannungsbeitrag
du. Das Aufsummieren dieser Beträge gibt die gesuchte
Spannung. Damit können wir das Induktionsgesetz
anschreiben:
⌠ E dr = − dΦ = − d ⌠ B dA
⌡
dt
dt ⌡
C
(5.10)
⌠ B dA = 0
⌡
(5.12)
⌠ D dA = Q
⌡
(5.13)
A
A
Mit dieser Wiederholung einiger Grundlagen haben wir
bereits eine vollständige Form der Maxwellschen Gleichungen behandelt.
Formen der Maxwellschen Gleichungen
Fassen wir die Gleichungen 5.10 bis 5.13 zusammen und
ergänzen sie mit den auch für die anderen Formen gültigen
"Materialgleichungen" 5.5 bis 5.7, so haben wir damit die
Integralform der Maxwellschen Gleichungen vor uns.
A
⌠ E dr = − d ⌠ B dA
⌡
dt ⌡
Ein Integrationsweg, der keinen Wirbel einschliesst (Beispiel C’), wird stets die Spannung 0 ergeben.
In Bild 5.4b müssen wir als "Fluss" den wahren Strom I,
der also die Beiträge von Leitungs- und Verschiebungsstrom berücksichtigt, einsetzen. Damit wird das Durchflutungsgesetz:
C
A
⌠ H dr = ⌠ J + dD  dA
⌡
⌡
dt 
C
A
⌠ D dA = Q
⌡
⌠ B dA = 0
⌡
A
⌠ H dr = ⌠ J + dD  dA
⌡
⌡
dt 
C
A
HTI Biel, Signalübertragung
(5.11)
B = µH
A
J = κE
D = εE
Bild 5.6 Integralform der Maxwellschen Gleichungen.
5.1
78
Besonders zu beachten ist die durch Gl. 5.10 und 5.11
gegebene Verknüpfung der Felder: Ein veränderliches
magnetisches Feld ruft ein veränderliches elektrisches Feld
wach, dessen Feldlinien wiederum die Flusslinien eines
neuen magnetischen Feldes bilden usw. Es ergibt sich aus
den Maxwellschen Gleichungen explizit, dass rasch veränderliche elektromagnetische Felder gar nicht ortsfest sein
können. Es muss somit eine Wellenausbreitung in Gang
kommen.
Die Gleichungen 5.10 und 5.11 beinhalten jeweils Ausdrücke der Form
⌠ X dr = Wirbelstärke
⌡
(5.14)
Wie kann man nun die Bedeutung von rot und div veranschaulichen und eine eventuelle Berechnung ermöglichen?
Dazu definieren wir zuvor noch im kartesischen
Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren i, j und k den
sogenannten "Nabla-Operator":
∇ =
δ
δ
δ
i +
j +
k
δx
δy
δz
(5.16)
Allgemein ist in einem Vektorfeld X die Wirbeldichte
(Rotation)
rot X = ∇
X
(5.17)
und die Quellendichte (Divergenz)
C
div X = ∇
Die Gleichungen 5.12 und 5.13 sind vom Typ
Wir müssen also im einen Fall das Vektorprodukt, im
anderen das Skalarprodukt bilden.
⌠ X dA = Quellenstärke
⌡
X
(5.18)
(5.15)
A
In beiden Fällen ist der Wert auch vom Integrationsweg
abhängig. Bezieht man aber die Wirbelstärken auf eine
Fläche und die Quellenstärken auf ein Volumen, so erhält
man Dichten, die eine Exklusivaussage über das Feld
erlauben. Lässt man weiter die Flächen bzw. Volumina
gegen Null streben, so erhält man Aussagen über einzelne
Feldpunkte: Differentialform.
rot E = −
δB
δt
rot H = − J +
div D = ρ
B = µH
δD
δt
div B = 0
J = κE
D = εE
Bild 5.7 Differentialform der Maxwellschen Gleichungen (ρ ist die
Raumladungsdichte).
Der Ansatz mit den Differentialoperatoren (rot, div) bietet
vergleichbare Vorteile wie der Ansatz der vom Koordinatensystem unabhängigen Integrale mit dem allgemeinen
Ortsvektor r: man kann physikalische Sachverhalte in
knapper Form charakterisieren, mit den Operatoren in
allgemeiner Form rechnen und bei Bedarf an Zahlenrechnungen jederzeit in ein geeignetes spezielles Koordinatensystem umsteigen.
HTI Biel, Signalübertragung
5.1
79
5.1.3 Ausblick
Im Rahmen dieses Kapitels wird die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf physikalischen
Übertragungskanälen behandelt. Dabei ist eine relativ grosse Längenausdehnung l selbstverständlich.
Andere Schaltungsteile wie Verstärker, Filter, Leiterplatten, etc., werden hingegen zunächst nicht mit
der Wellenausbreitung in Verbindung gesetzt, da ihre Abmessungen gering sind.
Der Übergang zu immer höheren Betriebsfrequenzen führt jedoch zu immer kleineren Wellenlängen
λ. Die Auswirkungen der Wellenausbreitung müssen nun beachtet werden, sobald die Längenausdehnung l nicht mehr gegenüber der Wellenlänge λ vernachlässigt werden kann.
Die Wellenausbreitung muss aus diesem Grund heute oft bereits auf Leiterplatten, ja sogar in integrierten Schaltungen berücksichtigt werden.
In der Hochfrequenztechnik ist die Wellenlänge oft so klein, dass Leitungen als Bauelemente eingesetzt
werden können. Inhomogenitäten in Wellenleitern führen zu interessanten und komplexen Aufgabenstellungen: Übergänge zwischen verschiedenen Wellenleitertypen (z.B. symmetrisch/koaxial),
Steckverbindungen. Antennen bilden Übergänge zwischen geführter Ausbreitung (Leitungen) und
Freiraumausbreitung. [7]
Kopplungen zwischen verschiedenen Wellenausbreitungen müssen im Gebiet der Elektromagnetischen Verträglichkeit EMV untersucht werden (Abschirmungen, etc.).
5.2 Anschauliche Beschreibung der Ausbreitungsvorgänge auf TEM-Leitungen
5.2.1 Definition der zu untersuchenden Leitung
Anhand der auch in den Labors meistverbreiteten Leitungstypen - Koaxialleitung und Paralleldrahtleitung - sollen die Ausbreitungsvorgänge möglichst anschaulich dargelegt werden.
Koaxialleitungen haben gegenüber "Erde" einen unsymmetrischen Aufbau. Ihr Vorteil liegt in der
Abschirmung des Innenleiters. Am häufigsten sind die 50-Ω-Koaxialkabel, wobei sich 50 Ω nicht
etwa auf einen ohmschen Widerstand beziehen, sondern den Wellenwiderstand Zw - eine wichtige
Kenngrösse einer Leitung - bezeichnen.
Die Paralleldrahtleitung, die auch Zweidrahtleitung, symmetrische Doppelleitung, oder nur symmetrische Leitung genannt wird, ist oft als verdrillte Leitung ausgeführt. Das Verdrillen vermindert einige
Kopplungseffekte, hat aber auf die folgenden Überlegungen keinen Einfluss.
HTI Biel, Signalübertragung
5.2
80
Beim Betrieb dieser Leitungen liegt eine Spannung zwischen den beiden Leitern, und es fliesst ein
Strom. Die Feldlinien der dabei entstehenden elektrischen und magnetischen Felder sind in Bild 5.8
dargestellt. Alle Feldlinien stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Beide Leitungsarten sind daher
vom TEM-Typ (transversal elektromagnetisch).
Bild 5.8
Querschnitte und Feldlinien (elektrisches Feld E und magnetisches Feld H) der wichtigsten Leitungstypen.
Die Querschnitte der betrachteten Leitungen sollen über die ganze Leitungslänge l konstant bleiben,
d.h. es handelt sich um homogene Leitungen.
Die Eigenschaften einer Leitung sind nicht an einem Punkt konzentriert, sondern über die ganze
Leitungslänge verteilt. Man spricht dabei von den Leitungsbelägen, die auf eine Längeneinheit (m
oder km) bezogen sind:
• Der Induktivitätsbelag L’ [H/km] stellt die Längsinduktivitäten der Leiter dar.
• Der Kapazitätsbelag C’ [F/km] wird durch die Kapazität zwischen den beiden Leitern gebildet.
• Der Widerstandsbelag R’ [Ω/km] stellt die ohmschen Verluste der Leiter dar.
• Der Ableitungsbelag oder Leitwertbelag G’ [S/km] wird durch die Verluste im Dielektrikum
zwischen den Leitern gebildet.
Das Ersatzschema einer Leitung wird aus unendlich vielen, differentiell kleinen Leitungselementen
gemäss Bild 5.9 gebildet. Die gezeigte asymmetrische Form kann für alle Leitungstypen verwendet
werden.
Bild 5.9
Ersatzschema mit differentiell kleinen Leitungsstücken dx.
Die Elemente dieser Ersatzschaltung berechnen sich aus den Leitungsbelägen:
dL
= L’ ⋅ dx
HTI Biel, Signalübertragung
dC
= C’ ⋅ dx
dR
= R’ ⋅ dx
dG
= G’ ⋅ dx
(5.19)
5.2
81
Durch die vier Leitungsbeläge ist eine homogene Leitung vollständig definiert. Es ist jedoch zu
beachten, dass die einzelnen Beläge mehr oder weniger frequenzabhängig sind.
Für den einfachsten Fall der verlustlosen Leitung (R’ = 0; G’ = 0) können die Induktivitäts- und
Kapazitätsbeläge einfach angegeben werden. Die Leitungen können in Luft verlaufen oder in ein
Medium mit εr > 1, selten auch µr > 1 eingebettet sein.
Paralleldrahtleitung mit a » r:
L’ =
C’ =
µr µ0
a
ln
π
r
(5.20)
εr ε0π
a
(5.21)
ln r
Koaxialleitung bei ausreichend hohen Frequenzen (MHz):
L’ =
µr µ0
D
ln
2π
d
C’ = 2 π εr ε0
HTI Biel, Signalübertragung
(5.22)
1
ln
D
d
(5.23)
5.2
82
5.2.2 Der Ausbreitungsvorgang auf einer verlustlosen Leitung
Der Ausbreitungsvorgang soll nun anhand der gemäss Bild 5.10 beschalteten verlustlosen Leitung
diskutiert werden.
Bild 5.10
Einschalten einer Gleichspannung auf eine verlustlose Leitung.
Beim Einschalten zur Zeit t = 0 sind alle Kondensatoren dC auf der Leitung noch entladen, die Spannung
am Abschlusswiderstand ist demnach u2 = 0. Da der Energietransport höchstens mit Lichtgeschwindigkeit stattfinden kann, hat der Abschluss R2 im Zeitraum t < c/l noch keinen Einfluss. Man könnte
demnach R2 abschalten oder kurzschliessen, ohne dass sich am Ablauf etwas ändern würde.
Die Laufzeit kann man sich leicht anhand von Bild 5.10 vorstellen: Es dauert eine gewisse Zeit bis all
die Energiespeicher (dL und dC) auf der Leitung aufgeladen sind. Wäre der Kettenleiter unendlich
lang, so käme dieser Vorgang nie zu einem Ende, und der Generator müsste immer eine gleichbleibende
Leistung abgeben.
Berechnet man den Eingangswiderstand eines unendlich langen Kettenleiters gemäss Bild 5.10, so
erhält man den Wert √
L’/C’. Der Generator sieht also einen ohmschen Widerstand und gibt eine

Wirkleistung ab, obschon die verlustlose Leitung ausschliesslich aus Blindwiderständen besteht. Im
Fall der Anpassung (R1 = √
L’/C’) wird die abgegebene Leistung maximal.

Nach einer gewissen Laufzeit kommt nun die sich ausbreitende Welle am Abschlusswiderstand an.
Es kommt nun entscheidend darauf an, welcher Abschluss R2 vorliegt. Bei Anpassung
(R2 = √
L’/C’) kann die gesamte Welle im Abschluss aufgenommen werden. Es gibt Spezialfälle

von R2, die keine Wirkleistung aufnehmen können: Kurzschluss und Leerlauf. In anderen, von
Anpassung abweichenden Fällen, kann R2 nur einen Teil der Leistung verbrauchen. Da die verlustlose
Leitung selbst keine Wirkleistung verbrauchen kann, gibt es in allen Fällen der Fehlanpassung am
Leitungsende nur die Möglichkeit, mit einer "rücklaufenden Welle" Energie zum Generator zurückzuliefern.
Frühestens nach der zweifachen Laufzeit kommt die rücklaufende Welle wieder am Generator an, und
die Auswirkungen einer Fehlanpassung am Leitungsende werden am Leitungsanfang spürbar.
Diese Gleichspannungs-Schaltvorgänge werden in Kap. 5.2.5 noch genauer behandelt.
HTI Biel, Signalübertragung
5.2
83
5.2.3 Differentialgleichungen der Leitung
Im letzten Kapitel wurde deutlich gezeigt, dass die Vorgänge auf Leitungen Funktionen des Ortes und
der Zeit sind. Ausgehend vom differentiell kleinen Leitungsstück aus Bild 5.9 können wir nun die
Spannungs- und Stromänderungen über dx durch die folgenden partiellen Differentialgleichungen
angeben:
δi
δt
−
δu
δx
= R’ i + L’
−
δi
δx
= G’ u + C’
(5.24)
δu
δt
(5.25)
Um nun beispielsweise den Strom zu eliminieren, leiten wir die eine Gleichung partiell nach t, die
andere partiell nach x ab. Durch Einsetzen erhält man anschliessend :
δ2u
δx 2
= L’C’
δ2u
δt 2
+ (R’C’ + L’G’)
δu
δt
+ R’G’u
(5.26)
Diese partielle Differentialgleichung bezeichnet man als Telegrafengleichung für die Spannung u.
Wird anstelle des Stroms die Spannung eliminiert, so resultiert eine wie Gl. 5.26 aufgebaute Gleichung
für den Strom; man muss dort nur u durch i ersetzen. Dies zeigt einmal mehr die Verkettung zwischen
elektrischem und magnetischem Feld bei der Wellenausbreitung.
5.2.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenwiderstand
Um die in Kap. 5.2.2 erklärte Wellenausbreitung nachzuweisen, ist es möglich, die Leitung wieder
verlustlos anzunehmen, also R’ = 0 und G’ = 0 zu setzen. Damit vereinfacht sich die Telegrafengleichung 5.26 zu
δ2u
δx 2
= L’C’
δ2u
δt 2
(5.27)
Die Lösung dieser Differentialgleichung wird besonders einfach, da wir bereits wissen, dass sich auf
der Leitung im allgemeinen Fall eine "hinlaufende" und eine "rücklaufende" Welle mit gleicher
Geschwindigkeit vp ausbreiten. Wir setzen daher
für die hinlaufende Spannungswelle
uh (x, t) = uh (x − v p t)
(5.28)
und für die rücklaufende Spannungswelle
ur (x, t) = ur (x + v p t)
(5.29)
HTI Biel, Signalübertragung
5.2
84
Die Spannung an irgend einer Stelle x auf der Leitung muss sich nun aus der hinlaufenden und der
rücklaufenden Spannungswelle zusammensetzen:
u(x, t) = uh (x − v p t) + ur (x + v p t)
(5.30)
Diesen Lösungsansatz erfüllt Gl. 5.27 für
folgende Ausbreitungsgeschwindigkeit:
vp
=
1
L’C’

√

(5.31)
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
Für die homogene zylindrische Anordnung ergibt sich bei εr = µr = 1, d.h. in Luft oder Vakuum, als
grösstmögliche Ausbreitungsgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c:
v p max =
In anderen Medien verläuft
die Ausbreitung langsamer:
vp
=
1
√ε0µ0

= c
(5.32)
c
√εr µr

(5.33)
Wellenwiderstand:
Bereits früher wurde erwähnt, dass bei elektromagnetischen Wellen das magnetische und das elektrische Feld miteinander verknüpft sind. Man kann sich nun bei Leitungen vom TEM-Typ mit der
Betrachtung der Spannung begnügen, weil nach Maxwell die beiden Feldgrössen an irgendeiner Stelle
in einem festen Verhältnis zueinander stehen, welches durch den Wellenwiderstand Zw (auch ZL oder
Z0) gegeben ist.
Bei verlustlosen Leitungen gilt für die hinlaufende Welle, bzw. für die rücklaufende Welle:
uh
ih
ur
−ir
= Zw
= Zw
(5.34)
Das negative Vorzeichen beim Strom der rücklaufenden Welle kommt von der umgekehrten Richtung
des Energietransports.
Im allgemeinen Fall wird der Wellenwiderstand einer Leitung komplex und frequenzabhängig. Für
das in Bild 5.9 gezeigte Ersatzschema einer Leitung gilt:
Zw
=

√
R’ + jωL’
G’ + jωC’
(5.35)
Ohne Verluste, bzw. bei einer genügend hohen Betriebsfrequenz wird der Wellenwiderstand reell und
praktisch frequenzunabhängig. Dies vereinfacht die Leitungstheorie bei höheren Frequenzen:
Zw
HTI Biel, Signalübertragung
= Zw
=

√
L’
C’
(5.36)
5.2
85
5.2.5 Gleichspannungs-Schaltvorgänge, Reflexionsfaktor
Die bereits in Kap. 5.2.2 kurz diskutierten Einschaltvorgänge sollen nun für eine verlustlose Leitung
noch genauer untersucht werden. Bei der Anordnung nach Bild 5.11 bestehen auf beiden Seiten der
verlustlosen Leitung Stossstellen.
Bild 5.11
Einschaltvorgang an einer verlustlosen Leitung mit beidseitigen Stossstellen.
Im Moment des Einschaltens t0 sieht der Generator am Leitungseingang den Wellenwiderstand Zw.
Die Spannung am Eingang ergibt sich aus der Spannungsteilung R1 und Zw, und es breitet sich eine
erste hinlaufende Welle uh1 über die Leitung aus.
Bild 5.12
Grafischer Wellenfahrplan bei einer
Leitung mit beidseitigen Stossstellen.
Nach der Laufzeit l/vp erreicht die Welle das
Leitungsende und wird dort infolge der Fehlanpassung zu einem Teil reflektiert. Diese rücklaufende Welle ur1 erreicht nach einer weiteren
Laufzeit l/vp die Stossstelle am Leitungsanfang,
wo ebenfalls ein Teil reflektiert wird und sich als
zweite hinlaufende Welle wieder zum Leitungsende hin ausbreitet. Dieser Vorgang wiederholt
sich unendlich oft, wobei allerdings die
Amplituden der Wellen immer kleiner werden und
sich die Spannung auf der Leitung rasch ihrem
Endwert nähert. Gleiches passiert auch mit den
Stromwellen. Grafisch kann das Hin- und Herlaufen der Wellen mit einem "Wellenfahrplan"
gemäss Bild 5.12 dargestellt werden.
Da die Leitung keine Verluste hat, sind die folgenden Endwerte von Spannung und Strom zu erwarten:
u1(t = ∞) = u2(t = ∞) = U0
i1(t = ∞) = i2(t = ∞) =
HTI Biel, Signalübertragung
R2
R1 + R2
U0
R1 + R2
(5.37)
5.2
86
Damit man nun den Spannungs- oder den Stromverlauf quantisieren kann, muss man den Anteil der
Welle kennen, der von einer Stossstelle reflektiert wird.
Reflexionsfaktor:
Der Reflexionsfaktor r ist das komplexe Verhältnis zwischen der von der Stossstelle reflektierten Welle
zu der in die Stossstelle hineinlaufenden Welle. Die Spannungs- und Stromreflexionsfaktoren können
an beiden Stossstellen berechnet werden.
Sie betragen für das Leitungsende (Index 2):
r u2
=
R2 − Zw
R2 + Zw
r i2
=
Zw − R2
Zw + R2
(5.38)
r i1
=
Zw − R1
Zw + R1
(5.39)
und für den Leitungseingang (Index 1):
r u1
=
R1 − Zw
R1 + Zw
Mit diesen Kenntnissen ist es nun möglich, Einschaltvorgänge an verlustlosen Leitungen bei ohmschen
Abschlüssen grafisch aufzuzeichnen.
Der beim untersuchten Einschaltvorgang erzeugte Gleichspannunssprung enthält gemäss Fourier
Anteile aller Frequenzen. Diese breiten sich auf einer verlustlosen Leitung alle gleich schnell aus, so
dass die Form der einzelnen Teilwellen erhalten bleibt.
Ist die untersuchte Leitung kurz, so sind die Einschaltvorgänge wegen der grossen Ausbreitungsgeschwindigkeit kaum feststellbar. Da jedoch z.B. moderne Digitalschaltungen ebenfalls sehr kleine
Schaltzeiten aufweisen, können unkontrollierte Einschaltvorgänge - verursacht durch Fehlabschlüsse
- bald einmal zu Fehlfunktionen führen.
Es ist jedenfalls empfehlenswert, sich stets vor Augen zu halten, dass Einschaltvorgänge bei Leitungen
immer gemäss Bild 5.12 ablaufen!
Die Ein- und Ausgänge digitaler Schaltungen zeigen meistens ein nichtlineares Verhalten. Mit dem
sogenannten Bergeron-Verfahren können auch bei nichtlinearen Abschlüssen die Spannungsverläufe
grafisch ermittelt werden.
HTI Biel, Signalübertragung
5.2
87
Beispiel zum Bergeron-Verfahren:
Anhand eines Beispiels soll das Bergeron-Verfahren rezeptartig und ohne Ableitung erklärt werden.
Details dazu sind in [8] zu finden. Zur Vereinfachung werden lineare Abschlüsse angenommen, wobei
sich das Vorgehen bei nichtlinearen Abschlüssen nicht ändert.
1. In ein Strom-/Spannungsdiagramm sind Generatorkennlinie und Lastkennlinie einzuzeichnen.
2. Im "Startpunkt" (t = 0) sind Spannung und Strom bei der Last gleich Null.
3. Vom "Startpunkt" aus ist nun eine Linie mit der Steigung +Zw zu ziehen. Der Schnittpunkt mit der
Generatorkennlinie A(0) ergibt die Spannung am Leitungsanfang bei t = 0.
4. Vom Schnittpunkt A(0) muss nun eine Gerade mit der negativen Steigung -Zw gezeichnet werden.
Der Schnittpunkt mit der Lastkennlinie B(τ) ergibt nun die Spannung an der Last nach der einfachen
Laufzeit τ =
l
vp
.
5. Von B(τ) führt wiederum eine Gerade mit der Steigung +Zw zum Schnittpunkt A(2τ), der Spannung
am Leitungsanfang nach der zweifachen Laufzeit.
6. Dieses Vorgehen ist solange zu wiederholen, bis der Schnittpunkt zwischen Generator- und
Lastkennlinie erreicht wird. Dies entspricht der Spannung bei abgeschlossenem Einschaltvorgang
(t →∞).
Bild 5.13
Beispiel zum Bergeron-Verfahren mit linearen Abschlüssen (R2 > R1 > Zw).
In Bild 5.13 ist besonders zu beachten:
• Die erste Stufe von U1 (bei t = 0) ist unabhängig vom Leitungsabschluss.
• Die Spannungswerte von U1 und U2 ändern jeweils alle 2τ.
HTI Biel, Signalübertragung
5.2
88
5.3 Leitungsgleichungen bei sinusförmiger Anregung
5.3.1 Beliebige TEM-Leitungen
Die Telegrafengleichung (5.26) gilt bei TEM-Leitungen für beliebige Spannungen u und Ströme i.
Diese Differentialgleichung lässt sich nun für den sehr wichtigen Fall der sinusförmigen Erregung im
eingeschwungenen (stationären) Zustand in eine komplexe Gleichung umformen.
Wir betrachten wiederum ein differentiell kurzes Leitungstück an der Stelle x:
Bild 5.14
Spannungen und Ströme am differentiellen Leitungsstück.
Im eingeschwungenen Zustand gilt für jeden beliebigen Punkt x auf der Leitung:
jωt
u(x, t) = √
 2 ⋅U(x) ⋅ e
i(x, t) = 
√2 ⋅I(x) ⋅ e jωt
(5.40)
oder in der vereinfachten komplexen Schreibweise U(x) und I(x).
Gemäss Bild 5.14 gilt für Spannungs- und Stromänderungen über dem Leitungsstück dx der Zusammenhang:
−d U(x)
= R’ ⋅ I(x) + jωL’ ⋅ I(x)
dx
−d I(x)
= G’ ⋅ U(x) + jωC’ ⋅ U(x)
dx
(5.41)
Durch Ableiten der einen Beziehung in 5.41 und Einsetzen der anderen Beziehung aus 5.41 erhält man
die Telegrafengleichungen in komplexer Form:
d 2U(x)
= U(x) ⋅ (R’ + jωL’) (G’ + jωC’)
dx 2
(5.42)
2
d I(x)
= I(x) ⋅ (R’ + jωL’) (G’ + jωC’)
dx 2
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
89
Zur Lösung dieser Differentialgleichungen wählen wir einen Ansatz mit hinlaufenden Wellen Uh, bzw.
Ih, und rücklaufenden Wellen Ur, bzw. Ir.
U(x) = U h (x) + U r (x)
Es gilt allgemein:
(5.43)
I(x) = I h (x) + I r (x)
Für die Spannungswellen lautet nun die Lösung:
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx
(5.44)
Dabei sind Uh1 und Ur1 Konstanten, die später aus den Randbedingungen definiert werden. Die Grösse
γ lässt sich durch zweimaliges Ableiten von Gl. 5.44 und anschliessendem Vergleich mit Gl. 5.42
einfach bestimmen:
γ = 
(R’ + jωL’) (G’ + jωC’)
√
(Ausbreitungskoeffizient)
Eine Lösung für den Strom I(x) erhält man, wenn die erste der Gleichungen 5.41 nach I(x) aufgelöst
und die Ableitung der Gl. 5.44 eingesetzt wird:
I(x) = −
1
dU(x)
γ
⋅
=
⋅ (U h1 ⋅ e −γx − U r1 ⋅ e +γx )
R’ + jωL’ dx
R’ + jωL’
Mit
γ
R’ + jωL’
=

√
G’ + jωC’
R’ + jωL’
und der Abkürzung
Zw
=

√
R’ + jωL’
G’ + jωC’
(Wellenimpedanz)
erhält man für den Strom:
I(x) =
HTI Biel, Signalübertragung
1
⋅ (U h1 ⋅ e −γx − U r1 ⋅ e +γx )
Zw
(5.45)
5.3
90
Leitungskenngrössen:
Die beiden Grössen Ausbreitungskoeffizient γ und Wellenwiderstand bzw. Wellenimpedanz Zw
beschreiben vollständig die Eigenschaften einer Leitung und werden daher als Leitungskenngrössen
bezeichnet. Sie sind in der Regel komplex und frequenzabhängig.
Der komplexe Ausbreitungskoeffizient ist die Wurzel aus dem Produkt von Längsimpedanz (R’ + jωL’)
und Queradmittanz (G’ + j ωC’):
(R’ + jωL’) (G’ + jωC’)
γ = 
√
(5.46)
γ wird immer in Komponentenform geschrieben:
γ = α + jβ
(5.47)
α = Dämpfungskoeffizient oder Dämpfungsbelag [Np/km]
β = Phasenkoeffizient oder Phasenbelag [rad/km]
Dabei bedeuten:
Der Dämpfungskoeffizient α beschreibt die Dämpfung einer Welle auf der Leitung, der Phasenkoeffizient β die Phasendrehung einer Welle auf der Leitung.
Der Wellenwiderstand bzw. die Wellenimpedanz Zw ist die Wurzel aus dem Quotienten von Längsimpedanz und Queradmittanz:
Zw
=

√
R’ + jωL’
G’ + jωC’
(5.48)
Aus den Spannungskomponenten von Gl. 5.44 und den Stromkomponenten von Gl. 5.45
U h (x) = U h1 ⋅ e −γx
I h (x) =
U r (x) = U r1 ⋅ e +γx
1
⋅ U h1 ⋅ e −γx
Zw
I r (x) = −
1
⋅ U r1 ⋅ e +γx
Zw
findet man für die Wellenimpedanz Zw:
Zw
=
U h (x)
I h (x)
und
Zw
= −
U r (x)
I r (x)
(5.49)
Zw beschreibt damit - wie bereits in Kap. 5.2.4 erwähnt - das Verhältnis von Spannung und Strom einer
Welle auf der Leitung. Der Begriff "Wellenimpedanz" mit der Dimension einer Impedanz wird aus
obiger Beziehung einleuchtend. Da Zw bei hohen Frequenzen oder verlustarmen Leitungen praktisch
reell wird, spricht man oft nur vom "Wellenwiderstand" Zw.
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
91
Spannung und Strom am Leitungsanfang:
Im ersten Abschnitt wurden Ausdrücke für Spannung und Strom an einem beliebigen Ort x (= Abstand
vom Leitungsanfang) abgeleitet:
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx
I(x) =
1
⋅ (U h1 ⋅ e −γx − U r1 ⋅ e +γx )
Zw
Beide Grössen lassen sich demzufolge aus den Leitungskenngrössen Zw und γ, sowie den noch
undefinierten Konstanten Uh1 und Ur1 bestimmen.
Betrachtet man nun den Leitungsanfang (Index 1) mit x = 0, dann gilt für die Spannung U1:
U1
= U h1 ⋅ e −γ0 + U r1 ⋅ e +γ0 = U h1 + U r1
(5.50)
und analog dazu für den Strom I1:
I1
1
⋅ (U h1 − U r1 ) = I h1 + I r1
Zw
=
(5.51)
Aus Gl 5.50 wird nun auch die Bedeutung der bisher undefinierten Konstanten klar: Uh1 ist die Spannung
der hinlaufenden Welle am Leitungsanfang, Ur1 die Spannung der rücklaufenden Welle am
Leitungsanfang.
Zur Bestimmung der beiden Teilspannungen bildet man die Summe und die Differenz der Gleichungen
5.50 und 5.51:
2 ⋅ U h1 = U 1 + I 1 ⋅ Z w
2 ⋅ U r1
oder umgeformt:
= U1 − I1 ⋅ Zw
1
⋅ (U 1 + I 1 ⋅ Z w )
2
U h1
=
U r1
1
=
⋅ (U 1 − I 1 ⋅ Z w )
2
(5.52)
Die beiden Teilspannungen Uh1 und Ur1 können somit aus Eingangsspannung U1, Eingangsstrom I1
und Zw berechnet werden.
Durch Einsetzen von I 1 = U 1/Z IN und Ausklammern von U1 erhält man die praktischen Beziehungen:
HTI Biel, Signalübertragung
U1 
Zw 
⋅ 1 +

2 
Z IN 
U h1
=
U r1
U1 
Zw 
=
⋅ 1 −

2 
Z IN 
(5.53)
5.3
92
Spannung und Strom am Leitungsende:
Setzt man die Ortsvariable x gleich der Leitungslänge l, so erhält man aus Gl 5.44 und 5.45 die Spannung
U2 und den Strom I2 am Leitungsende (Index 2):
U2
I2
= U h1 ⋅ e −γl + U r1 ⋅ e +γl
(5.54)
1
=
⋅ (U h1 ⋅ e −γl − U r1 ⋅ e +γl )
Zw
Durch Addition und Subtraktion dieser beiden Beziehungen, lässt sich analog zum Leitungsanfang
finden:
U 2 +γl 
Zw 
1 +γl
⋅ e ⋅ (U 2 + I 2 ⋅ Z w ) =
⋅ e ⋅ 1 +

U h1 =
2
2
Z2 

(5.55)

U 2 −γl
Zw 
1 −γl
U r1 =
⋅ e ⋅ (U 2 − I 2 ⋅ Z w ) =
⋅ e ⋅ 1 −

2
2
Z2 

Leitungsgleichungen mit Hyperbelfunktionen:
Ersetzt man nun die Werte für Uh1 und Ur1 in Gl. 5.44 durch die Grössen am Leitungsanfang, also
U h1
eingesetzt in
=
1
⋅ (U 1 + I 1 ⋅ Z w )
2
und
U r1
=
1
⋅ (U 1 − I 1 ⋅ Z w )
2
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx , so erhält man für die Spannung U(x):
1
1
U(x) = U 1 ⋅ ⋅ (e +γx + e −γx ) − Z w ⋅ I 1 ⋅ ⋅ (e +γx − e −γx )
2
2
Unter der Verwendung der Identitäten cosh(x) =
1
2
⋅ (e x + e −x ) und sinh(x) =
1
2
⋅ (e x − e −x ) können
nun Spannung und Strom (aus Gl. 5.45) am Ort x auf der Leitung auch mit Hyperbelfunktionen
ausgedrückt werden:
U(x) = U 1 ⋅ cosh(γx) − Z w ⋅ I 1 ⋅ sinh(γx)
(5.56)
U1
I(x) = −
⋅ sinh(γx) + I 1 ⋅ cosh(γx)
Zw
Ersetzt man x durch (l - x), so lassen sich Spannung und Strom am Ort x auch durch die Grössen am
Leitungsende angeben:
U(x) = U 2 ⋅ cosh[γ(l − x)] + Z w ⋅ I 2 ⋅ sinh[γ(l − x)]
(5.57)
U2
I(x) =
⋅ sinh[γ(l − x)] + I 2 ⋅ cosh[γ(l − x)]
Zw
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
93
5.3.2 Die Leitung als Zweitor
In vielen Fällen ist es nicht von Bedeutung, Spannung und Strom an einem beliebigen Ort auf der
Leitung zu kennen. Vielmehr interessieren nur die Grössen am Leitungsanfang und am Leitungsende,
- die Leitung wird als Zweitor betrachtet. Damit kann die Ortsvariable x gleich der Leitungslänge l
gesetzt werden.
Aus dem Ausbreitungskoeffizienten γ ergibt sich für x = l das Wellenübertragungsmass Γ:
Γ = γ⋅l
= a + jb
(5.58)
Dabei bedeuten:
a
= α⋅l
= Dämpfungsmass [Np]
b
= β⋅l
= Phasenmass [rad]
Bei der Betrachtung der Leitung als
Zweitor muss beachtet werden, dass
der in Bild 5.14 definierte Ausgangsstrom I2 der bei Zweitoren üblichen
Definition entgegen fliesst. Es muss
daher "I2 = - I2" gesetzt werden.
Bild 5.15
Die Leitung als Zweitor.
Aus Gl. 5.57 ergeben sich somit für x = 0 (Leitungsanfang) die Leitungsgleichungen in Kettenform
zu:
U1
= U 2 ⋅ cosh Γ + (−I 2) ⋅ Z w ⋅ sinh Γ
(5.59)
I1
U2
=
⋅ sinh Γ + (−I 2) ⋅ cosh Γ
Zw
Die Wellenparameterform der A-Matrix lautet demzufolge:
 cosh Γ
Z w ⋅ sinh Γ


(A) =  1
⋅ sinh Γ
cosh Γ 
 Zw

HTI Biel, Signalübertragung
(5.60)
5.3
94
5.3.3 Nachweis der Wellenausbreitung
In diesem Abschnitt soll die Gleichung für die Spannungswellen (5.44) interpretiert und damit die
Ausbreitung auf der Leitung diskutiert werden.
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx
Aus
folgt für den komplexen Momentanwert:
u(x, t) = 
√2 ⋅(U h1 ⋅ e −γx ⋅ e jωt + U r1 ⋅ e γx ⋅ e jωt )
(5.61)
Wird nun der Ausbreitungskoeffizient in der Form γ = α + jβ eingesetzt, so ergibt sich nach der
Beziehung u = Re[ u ] für den tatsächlichen Momentanwert (= mit dem Oszilloskop messbarer
Momentanwert):
−αx
−jβx
jωt
αx
jβx
jωt
u(x, t) = 
√2 ⋅Re[U h1 ⋅ e ⋅ e ⋅ e + U r1 ⋅ e ⋅ e ⋅ e ]
(5.62)
Die komplexen Spannungen Uh1 und Ur1 können durch die Amplituden und die Phasenwinkel ersetzt
werden:
 2 ⋅U h1 = Û h1 ⋅ e
√
jψh1
und
 2 ⋅U r1 = Û r1 ⋅ e
√
jψr1
Für die Bildung des Realteils gilt allgemein:
Re[e ±αx ] = e ±αx
und
Re[e ±jϕ] = Re[cos ϕ ± j ⋅ sin ϕ] = cos ϕ
Damit ergibt sich endgültig aus Gl. 5.62 für den Momentanwert der Spannung auf der Leitung u(x,t):
u (x, t) = Û h1 ⋅ e −αx ⋅ cos(ωt + ψh1 − βx) + Û r1 ⋅ e αx ⋅ cos(ωt + ψr1 + βx)
(5.63)
Die beiden Spannungskomponenten uh(x) (= hinlaufende Welle) und ur(x) (= reflektierte Welle) können
nun in Funktion des Ortes x - zu einem bestimmten Zeitpunkt t = konst. - aufgezeichnet werden.
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
95
Bild 5.16
Darstellung der hinlaufenden und der reflektierten Welle auf der Leitung zu einer bestimmten Zeit t.
Wird die gleiche Figur für einen etwas späteren Zeitpunkt t1 = t + ∆t erneut gezeichnet, so erscheinen
die beiden Wellen leicht in Richtung Ausgang (uh), bzw. in Richtung Eingang (ur) verschoben, womit
die Wellenausbreitung nachgewiesen ist.
Weiter ist deutlich ersichtlich, dass der Dämpfungsbelag α ein Abnehmen der Amplituden in Ausbreitungsrichtung verursacht.
Zudem kann aus Bild 5.16 auch die Wellenlänge auf der Leitung herausgelesen werden. Über eine
Wellenlänge verursacht der Phasenbelag β die Phasendrehung β ⋅ λ = 2π. Damit ergibt sich für die
Wellenlänge λ:
λ =
2π
β
(5.64)
Die Wellenlänge kann ebenfalls aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit berechnet werden:
λ =
vp
f
=
v p ⋅ 2π
ω
Diese Beziehung, eingesetzt in Gl. 5.64, führt zu einem praktischen Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit vp:
vp
HTI Biel, Signalübertragung
=
ω
β
(5.65)
5.3
96
5.3.4 Reflexionsfaktor und Stehwellen
Analog zu Kap. 5.2.5 lässt sich auch für den eingeschwungenen Zustand der Reflexionsfaktor als
Verhältnis von rücklaufender zu hinlaufender Welle definieren. Da Spannung und Strom jeder Welle
über den Wellenwiderstand Zw miteinander verknüpft sind, genügt es, die Spannungen zu betrachten.
Es ist üblich, den Index u wegzulassen.
r u (x) = r(x) =
U r (x)
= | r | ⋅e jδ
U h (x)
(5.66)
Für die Verhältnisse am Leitungsende x = l, ergibt sich aus Gl. 5.54 und 5.55 somit der Reflexionsfaktor
r2
=
U 2r
U 2h
=
Z2 − Zw
Z2 + Zw
(5.67)
Dabei bedeuten U2h und U2r die hin- und rücklaufenden Spannungswellen am Leitungsende (Index 2)
und Z 2 = U 2/I 2 die Lastimpedanz am Leitungsende.
Wie schon in früheren Kapiteln beschrieben, setzt sich die Spannung an jedem Ort der Leitung aus
der Spannung der hinlaufenden und der rücklaufenden Welle zusammen.
Aus Gl. 5.63:
u (x, t) = uh (x, t) + ur (x, t) = Û h1 ⋅ e −αx ⋅ cos(ωt + ψh1 − βx) + Û r1 ⋅ e αx ⋅ cos(ωt + ψr1 + βx)
ist ersichtlich, dass sich die Argumente der beiden Spannungskomponenten entgegengesetzt gleich
verhalten (+ βx, bzw. - βx). Die Phasenverschiebung zwischen den beiden Komponenten ist demzufolge ortsabhängig!
Es gibt nun Orte auf der Leitung, bei denen die beiden Spannungen gerade gleichphasig sind. Die
Resultierende wird dadurch maximal. Analog dazu führen gegenphasige Spannungskomponenten zu
einem Spannungsminimum.
Umax(x) = | U h (x) | + | U r (x) |
Umin(x) = | U h (x) | − | U r (x) |
(5.68)
Bild 5.17 Amplitudenverlauf (Stehwelle)
bei Leerlauf am Leitungsende.
Der Ortsunterschied zwischen Maxima und Minima beträgt genau λ/4, zwei gleichartige Extremstellen
liegen λ/2 auseinander.
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
97
Das Verhältnis zwischen Umax und Umin ist durch die Fehlanpassung am Leitungsende und der Leitungsdämpfung bestimmt. Es wird als Stehwellenverhältnis VSWR (Voltage Standing Wave Ratio)
bezeichnet und als Mass für die Anpassung einer Last an eine Leitung verwendet:
VSWR (x) =
Umax(x)
1 + | r(x) |
=
Umin(x)
1 − | r(x) |
(5.69)
Ohne Reflexion wird das VSWR = 1, bei 100% Reflexion ergibt sich ein VSWR = ∞.
Verlustlose Leitungen (z.B. die Messleitung) zeigen ein ortsunabhängiges Stehwellenverhältnis, da ja
die Amplituden der beiden Spannungskomponenten ebenfalls ortsunabhängig sind.
Neben dem Stehwellenverhältnis und dem Reflexionsfaktor ist auch noch die Rückflussdämpfung
(return loss) Ar als Mass für den Fehlabschluss, bzw. für die Reflexionen auf einer Leitung
gebräuchlich:
Ar
= 20 ⋅ lg
1
|r |
[dB]
(5.70)
In Bild 5.18 sind die verschiedenen Masse für Fehlabschluss, bzw. Reflexion einander gegenübergestellt:
Bild 5.18
Ar
VSWR
|r|
∞ dB
1
0
40 dB
1,02
0,01
30 dB
1.07
0,03
20 dB
1,22
0,10
10 dB
1.92
0,32
6 dB
3,00
0,50
3 dB
5,83
0,71
1 dB
17,4
0,89
0 dB
∞
1,00
Gegenüberstellung der Masse für Fehlabschluss und Reflexion, Rückflussdämpfung Ar, Stehwellenverhältnis VSWR und Reflexionsfaktor |r| (Betrag).
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
98
5.3.5 Eingangsimpedanz
Die Eingangsimpedanz Z IN =
U1
I1
Z IN =
kann durch die Gleichungen 5.57 für x = 0 ausgedrückt werden:
U1
I1
=
U 2 ⋅ cosh(γl) + Z w ⋅ I 2 ⋅ sinh(γl)
U2
Zw
Mit Z 2 =
U2
I2
und tanh(γl) =
sinh(γl)
cosh(γl)
⋅ sinh(γl) + I 2 ⋅ cosh(γl)
ergibt sich daraus eine praktische Formel für die Eingangsimpedanz
einer Leitung:
Z IN = Z w ⋅
Z 2 + Z w ⋅ tanh(γl)
Z 2 ⋅ tanh(γl) + Z w
(5.71)
Aus dieser Beziehung können nun einige Spezialfälle diskutiert werden:
•
Für Z2 = Zw wird die Eingangsimpedanz gleich dem Wellenwiderstand:
Z IN| Z = Z = Z w
2
w
Dies entspricht gleichzeitig einem reflexionsfreien Abschluss (= Anpassung) der Leitung.
•
Bei einer unendlich langen Leitung (l → ∞) wird tanh(γ ⋅ ∞) = 1.
Damit wird die Eingangsimpedanz:
Z IN| l → ∞ = Z w
Die Eingangsimpedanz einer unendlich langen Leitung ist gleich der Wellenimpedanz, unabhängig
von der Last Z2.
•
Eine Leitung endlicher Länge mit grosser
tanh(γl) = tanh(αl + jβl) ≈ 1. Damit wird:
Z IN| αl 1 = Z w
Dämpfung
(αl
»
1)
ergibt
für
Die Eingangsimpedanz einer Leitung mit grosser Dämpfung entspricht ebenfalls der Wellenimpedanz. Grund: Die reflektierte Welle tritt wegen der starken Dämpfung am Eingang nicht mehr
in Erscheinung.
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
99
5.3.6 Transformationseigenschaften und Smith-Diagramm
Die Transformationseigenschaften einer Leitung können mit Gl. 5.71 untersucht werden, indem die
Gesamtlänge l durch den Abstand vom Leitungsende (l - x) = z ersetzt wird. Die Impedanz auf der
Leitung am Ort z lautet somit:
Z(z) = Z w ⋅
Z 2 + Z w ⋅ tanh(γz)
Z 2 ⋅ tanh(γz) + Z w
(5.72)
Eine besonders anschauliche Darstellung der Transformationseigenschaften erhält man, wenn anstelle
der Impedanzen die Reflexionsfaktoren untersucht werden. Nach den Beziehungen
Z(z) − Z w
Z2 − Zw
und
r2 =
(5.73)
Z(z) + Z w
Z2 + Zw
können Reflexionsfaktoren jederzeit in die entsprechenden Impedanzen umgerechnet werden.
rz
=
Bild 5.19
Die Transformationseigenschaften einer
Leitung werden sinnvollerweise in Funktion des Abstandes vom Leitungsende z
ausgedrückt.
Die Impedanz auf der Leitung Z(z) kann nun mit r2 statt Z2 ausgedrückt werden. Nach einigem Umstellen
erhält man:
Z(z) = Z w ⋅
1 + r 2 ⋅ e −2γz
(5.74)
1 − r 2 ⋅ e −2γz
Wird nun Z(z) ebenfalls durch den Reflexionsfaktor rz ersetzt, so ergibt sich die einfache Beziehung:
rz
= r 2 ⋅ e −2γz
= r 2 ⋅ e −2αz ⋅ e −j2βz
(5.75)
Mit dem Reflexionsfaktor in Polarform r = | r | ⋅e jδ lassen sich die Veränderungen von Betrag und
Winkel des Reflexionsfaktors in Funktion des Abstandes vom Leitungsende z getrennt formulieren:
| rz |
δz
HTI Biel, Signalübertragung
= | r 2 | ⋅e −2αz
= δ2 − 2βz
= δ2 − 4π ⋅
z
λ
(5.76)
5.3
100
Diese Beziehungen werden nun sinnvollerweise in einem Polardiagramm
diskutiert:
- Veränderungen des Ortes x bewirken eine Drehung des Reflexionsfaktors im Polardiagramm.
- Die Leitungsdämpfung αz verursacht eine Radiusänderung im
Polardiagramm.
- Ist eine Leitung verlustfrei (α = 0),
so bleibt der Radius (= |r|) im
Polardiagramm konstant.
Bild 5.20
Transformationseigenschaften
Diagramm.
im
Reflexionsfaktor-
Um den Übergang von Reflexionsfaktor zu Impedanz und umgekehrt zu vereinfachen, hat P.H. Smith
die Impedanzebene auf das Polardiagramm des Reflexionsfaktors abgebildet und damit das SmithDiagramm (Bild 5.21) erfunden. Es erlaubt ein direktes Arbeiten mit Impedanzen auf Leitungen mit
reellem Wellenwiderstand Zw, was bei dämpfungsarmen Leitungen oder bei hohen Frequenzen der
Fall ist.
- Im Smith-Diagramm ist die
gesamte komplexe Halbebene der
Impedanz oder der Admittanz mit
positivem Realteil dargestellt.
- Das Smith-Diagramm ist auf den
Wellenwiderstand normiert (Zw =
Zentrum).
- Am äusseren Rand des Diagramms
sind Skalen für den Winkel des
Reflexionsfaktors und die Ortsdifferenz in "Wellenlängen" angebracht. Eine Drehung um 360o
entspricht λ/2.
- Konzentrische Kreise bedeuten
einen konstanten Betrag des Reflexionsfaktors.
Bild 5.21
Das Smith-Diagramm entspricht der Abbildung der
Impedanz- oder Admittanzebene auf die Reflexionsfaktorebene.
Mit dem Smith-Diagramm können viele Leitungsprobleme elegant und vorallem anschaulich gelöst
werden. Die Darstellung der Impedanz bzw. des Reflexionsfaktors hat sich in der Messtechnik und
bei Computersimulationen - vorallem bei hohen Frequenzen - durchgesetzt.
HTI Biel, Signalübertragung
5.3
101
5.4 Eigenschaften konkreter Leitungen
5.4.1 Zweidrahtleitungen
Im Telefon-Orts- und -Bezirksnetz ist die Zweidrahtleitung heute noch der häufigste Leitungstyp. Es
lassen sich grob die folgenden Arten unterscheiden:
Freileitungen gelten als verlustarme Leitungen, weil nämlich G’ vernachlässigbar und R’ sehr klein
ist. Der Wellenwiderstand ist nur wenig frequenzabhängig. Er beträgt wegen dem geringen Kapazitätsbelag ca. 500 ... 700 Ω. Da Freileitungen der Witterung ausgesetzt sind, schwanken ihre
Dämpfungseigenschaften beträchtlich.
Verdrillte Zweidrahtleitungen mit Papier- oder Kunststoffisolation werden oft in grosser Zahl zu einem
Fernsprechkabel "verseilt". Ihre Wellenimpedanz ist bei NF stark frequenzabhängig. Bei 800 Hz liegt
der Betrag in der Grössenordnung von 500 ... 1000 Ω. Der Dämpfungsbelag α hängt vom Leiterdurchmesser ab. Er beträgt bei 800 Hz ca. 1 dB/km, bzw. ca. 120 mNp/km (für 0,6 mm Leiterdurchmesser).
Pupinisierte Zweidrahtleitungen haben in regelmässigen Abständen (meist 1,7 km) Spulen eingebaut,
mit dem Ziel, den Induktivitätsbelag L’ zu vergrössern. Der Amerikaner M. Pupin konnte anfangs
dieses Jahrhunderts zeigen, dass durch einen erhöhten Induktivitätsbelag die Dämpfung bei NF
wesentlich reduziert wird, d.h. die Reichweite steigt entsprechend an. Allerdings hat die Pupinisierung
eine starke Tiefpasswirkung zur Folge: oberhalb 4 kHz sind diese Leitungen für eine Übertragung
nicht mehr zu gebrauchen.
Bild 5.22
HTI Biel, Signalübertragung
Frequenzabhängiger
Dämpfungsverlauf
verschiedener Leitungstypen in mNp/km.
5.4
102
5.4.2 Koaxialkabel
Im Frequenzbereich 100 kHz ... ca. 3 GHz werden in der Nachrichtenübertragung oft Koaxialkabel
eingesetzt, weil dieser Kabeltyp bei kleinen Abmessungen geringe Dämpfungswerte aufweist. Zudem
bringt die koaxiale Anordnung eine Abschirmung gegen äussere Störeinflüsse.
In der Fernmeldetechnik ist man an einem möglichst kleinen Kapazitätsbelag und wenig Verlusten
interessiert. Das ideale Dielektrikum wäre somit Luft. Aus diesem Grunde werden oft nur scheibenförmige Distanzstücke, bzw. eine Kunststoffwendel zum Festhalten des Innenleiters, oder geschäumte
Kunststoffe als Dielektrikum eingesetzt.
Bild 5.23
Koaxialkabel in der Nachrichtentechnik:
a) "CCITT-Tube 2,6/9,5" [mm], b) Senderkoaxialkabel, z.B. 155 mm Aussendurchmesser.
Die Dämpfung von Koaxialkabeln steigt näherungsweise proportional zu √
 f an. Haupteinfluss hat
dabei der Skineffekt und der Aussendurchmesser.
Bild 5.24
Einfluss der Frequenz und des
Aussendurchmessers eines Koaxialkabels mit Zw = 60 Ω auf den
Dämpfungsbelag.
Die häufig im Labor eingesetzten 50Ω-Kabel vom Typ RG-58C/U haben als Dielektrikum Polyäthylen.
Typische Eigenschaften dieses Kabels sind bei 100 MHz:
L’= 252 nH/m
C’ = 101 pF/m
α = 16 dB/100m
β = 3,16 rad/m
HTI Biel, Signalübertragung
vp =198’600 km/s
5.4
103
5.4.3 Hohlleiter
Die Verluste in Koaxialleitungen steigen mit zunehmenden Frequenzen so stark an, dass auch kurze
Distanzen kaum mehr wirtschaftlich überbrückt werden können. Bei nicht allzu grossen Strecken, z.B.
bei Antennenzuleitungen, ist der Einsatz von Hohlleitern zweckmässig.
Hohlleiter bestehen aus mit Luft gefüllten, gestreckten metallischen Hohlkörpern mit rundem, rechteckigem oder elliptischem Querschnitt. Ein Hohlleiter bewirkt die geführte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Luft durch Reflexion an seinen Innenwänden.
Bild 5.25
Hohlleiter: Grundformen und Prinzip der Wellenausbreitung.
Die Wellenausbreitung im Hohlleiter ist abhängig von den mechanischen Abmessungen. Im Gegensatz
zu den bisher betrachteten Leitungen handelt es sich beim Hohlleiter um eine Nicht-TEM-Leitung.
Eine Ausbreitung ist erst oberhalb einer kritischen Frequenz fc möglich (HP-Charakter):
Rechteckhohlleiter:
c
fc =
2⋅a
Rundhohlleiter:
c
fc = 0, 383 ⋅
r
(5.77)
Hohlleiter werden in der Praxis aus mechanischen Gründen erst oberhalb 1 GHz eingesetzt. Sie bieten
eine verlustarme Übertragung im ganzen Mikrowellenbereich (z.B. ca. 0,2 dB/m bei 10 GHz).
5.4.4 Streifenleiter
Streifenleitungen werden vorallem bei Mikrowellenschaltungen eingesetzt. Bei schnellen Digitalschaltungen werden auch kritische Leitungen auf Leiterplatten als Streifenleiter für einen bestimmten
Wellenwiderstand dimensioniert.
Bild 5.26
Querschnitte der Microstrip-Leitung (a)
und der Triplate-Leitung (b).
Die Berechnung der Eigenschaften von Streifenleitungen ist kompliziert, da es sich in den meisten
Fällen nicht um reine TEM-Leitungen handelt. In der Literatur (z.B. [9]) sind jedoch empirische
Formeln und Diagramme zur Dimensionierung von Streifenleitungen zu finden.
HTI Biel, Signalübertragung
5.4
104
5.4.5 Lichtwellenleiter
Lichtwellenleiter (LWL) haben in der Nachrichtentechnik eine ausserordentliche Bedeutung erlangt,
da sie im Vergleich zu Cu-Leitungen leichter, billiger, breitbandiger und dämpfungsärmer sind.
Allerdings benötigen sie an beiden Enden optoelektrische Wandler, die einen oft beträchtlichen
Zusatzaufwand darstellen.
LWL können aus Quarz oder speziellem Quarzglas, für geringere Anforderungen auch aus normalem
Glas oder aus geeignetem Kunststoff bestehen. Bei einer solchen "Lichtleitfaser" (Aussendurchmesser
z.B. 125 µm) erreicht man durch verschiedenartige Dotierung mit Fremdatomen, dass im "Kern" der
Faser eine etwas grössere Brechzahl n als im umgebenden "Mantel" besteht.
Das verwendete Licht liegt vorzugsweise im Infrarotbereich (800 ... 1600 nm Wellenlänge). Schon
minimale Verunreinigungen in der Faser ergeben grosse Dämpfungserhöhungen bei bestimmten
Wellenlängen. Zusammen mit den realisierbaren optoelektronischen Bauelementen ergeben sich drei
optische "Fenster" (I, II und III in Bild 5.27), die für Nachrichtenübertragungssysteme genutzt werden.
Bild 5.27
Dämpfungsverlauf einer Quarzfaser mit den drei "Fenstern" und verschiedene Bauformen von LWL:
a) Stufenprofilfaser, b) Einmodenfaser, c) Gradientenfaser.
Je nach innerem Aufbau unterscheidet man bei LWL verschiedene Bauformen:
• Bei den Mehrmodenfasern können sich die Lichtwellen in verschiedenen Wellentypen (Moden)
ausbreiten.
Die Stufenprofilfaser ergibt unterschiedlich lange Übertragungswege für die einzelnen Moden, was
zu einer starken Dispersion und damit zu einer reduzierten Bandbreite führt.
Bei der Gradientenfaser weist der Kern eine sich kontinuierlich ändernde Brechzahl auf. Wellen
im äusseren Bereich des Kerns erfahren dort wegen der kleineren Brechzahl eine grössere Ausbreitungsgeschwindigkeit, so dass sich für alle Wellen etwa die gleiche Laufzeit ergibt. Die Dispersion bleibt somit klein.
• Die Einmodenfasern erlauben nur die Ausbreitung eines einzigen Wellentyps. Ihr Einsatz ist
allerdings sehr anspruchsvoll, da sie einen sehr kleinen Kerndurchmesser aufweisen (ca. 5 µm).
HTI Biel, Signalübertragung
5.4
105
Bild 5.28 zeigt eine Gegenüberstellung des Dämpfungsverlaufs verschiedener Cu- und LWL-Kabel.
Bild 5.28
Dämpfungsverlauf als Funktion der Modulationsfrequenz für verschiedene Kabeltypen.
HTI Biel, Signalübertragung
5.4
106
Literatur
[1]
O. Greuel: Mathematische Ergänzungen und Aufgaben für Elektrotechniker; Carl Hanser Verlag, München, 1976.
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U. Tietze, Ch. Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik; Springer-Verlag Berlin, 1990, 9. Auflage.
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[4]
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[5]
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[6]
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[7]
H. Schumny: Signalübertragung; Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1987.
[8]
G.-H. Schildt: Grundlagen der Impulstechnik, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 1987.
[9]
E.C. Jordan: Reference Data for Engineers: Radio, Electronics, Computer and Communications; Howard W. Sams & Co., Indianapolis, 1985.
HTI Biel, Signalübertragung
107
Index
a-Parameter, 39
abgetastete Signale, 6
absolute Pegel, 5
Admittanz, 31
Admittanz-Parameter
siehe y-Parameter
Aktive RC-Filter, 70
Amplitudendichtefunktion, 12
Amplitudengang, 14, 49
Amplitudenspektrum, 8
Amplitudenverzerrungen, 14
Analogsignale, 6
Anpassung
siehe Leistungsanpassung
Approximationen, 52
- allg. Ansatz, 53
- Bessel, 59
- Cauer, 58
- Gauss, 59
- im Zeitbereich, 59
- Tiefpass, 52
- Tschebyscheff, 57
äquivalente Rauschtemperatur, 29
äquivalenter Rauschwiderstand, 25
Arithmetischer Mittelwert, 21, 22
Atmosphärisches Rauschen, 26
Ausbreitungsgeschwindigkeit, 84
Ausbreitungskoeffizient, 89, 90
Aussteuerungskennlinie, 16
Autokorrelationsfunktion, 23
Bergeron-Verfahren, 86
Bessel-Approximation, 59
Betriebseigenschaften, 46
Betriebsparameter
siehe Wellenparameter
Betriebsverhalten, 45
Bode-Diagramm, 49
Brechzahl, 104
Butterworth-Approximation, 53
Cauer-Approximation, 58
charakteristische Funktion, 53
Dämpfung, 1
Dämpfungskoeffizient, -belag, 90
Dämpfungsmass, 93
dB-Skalen, 5
dBm, 5
dBV, 5
Dezibel, 2
Digitalsignale, 6
Dispersion, 104
Durchlassbereich, 51
Effektivwert, 21, 22
Einmodenfaser, 104
Eintore, 31
- aktive, 32
- passive, 31
Elektromagnetische Wellen, 74
Elliptische Filter
siehe Cauer-Approx.
HTA Biel, Signalübertragung
EMV, 79
Ersatz-Spannungsquelle, 32
Ersatz-Stromquelle, 32
Erwartungswert, 21, 22
Gradientenfaser, 104
Grundschwingung, 9
Gruppenlaufzeit, 15, 50
Gyrator, 70
farbiges Rauschen, 25
Fehlerwahrscheinlichkeit, 19
Filter, 47
h-Parameter, 38
Harmonische, 9, 17
Helmholtz, 32
Hilfssignal, 6
Hochfrequenztechnik, 79
Hohlleiter, 103
- aktive RC-Filter, 66, 70
- Amplitudengang, 49
- Approximationen, 52
- Bauarten, 65
- beliebige Filterarten, 62
- Bessel, 59
- Bode-Diagramm, 49
- BP 2. Ordnung (aktiv), 72
- BS 2. Ordnung (aktiv), 73
- Butterworth, 53
- Cauer, 58
- charakeristische Funktion, 53
- digitale Filter, 68
- Durchlassbereich, 51
- Dynamik, 66, 73
- Einschwingverhalten, 59
- Entkopplung, 66
- Entwurf, 51
- Frequenzgang, 49
- Frequenztransformation, 62
- Gruppenlaufzeit, 50
- HP 2. Ordnung (aktiv), 72
- Kaskaden-Filter, 70
- LC-Filter-Simulation, 70
- mit linearer Phase, 59
- normierte Frequenz, 52
- Ordnung, 48
- P-/N-Diagramm, 49
- passive RLC-Filter, 66, 68
- Phasengang, 49
- Reaktanzfilter, 68
- Realisierung, 65
- SC-Filter, 67
- Schrittantwort, 60
- Sensitivität, 66, 73
- Sperrbereich, 51
- Steilheit, 55, 57
- Stempel/Matrize-Schema, 51
- Tiefpass-Approximation, 52
- Toleranzschema, 51
- TP-BP-Transformation, 63
- TP-BS-Transformation, 64
- TP-HP-Transformation, 62
- TP 1. Ordnung (aktiv), 70
- TP 2. Ordnung (aktiv), 71
- Tschebyscheff, 57
- Übertragungsfunktion, 47
- Vergleich, 60
- Welligkeit, 57
Fourier-Integral, 11
Fourier-Reihe, 9
Freileitungen, 101
Freiraumausbreitung, 75
Frequenzgang, 14, 49
Frequenzinhalt
siehe Spektrum
Frequenznormierung, 52
Funkelrauschen, 25
Funkwellen, 74
Gain
siehe Leistungsverstärkung
Gesamtrauschzahl, 30
Gewinn
siehe Leistungsverstärkung
- kritische Frequenz, 103
- Rechteckhohlleiter, 103
- Rundhohlleiter, 103
Hybrid-Parameter
siehe h-Parameter
Impedanz, 31
Impedanz-Parameter
siehe z-Parameter
Informationsminderung, 13
Intermodulation, 18
Kaskadenschaltung
siehe Kettenschaltung
Ketten-Parameter
siehe a-Parameter
Kettenschaltung, 44
Klirrfaktor, 17
- Messung des, 18
- n-ter Ordnung, 18
Koaxialkabel, 102
- Dämpfungsverlauf, 102
- RG-58C/U, 102
komplexe Frequenz, 48
konjugiert komplex, 34
Kosmisches Rauschen, 26
Kreisfrequenz, 8
kritische Frequenz, 103
Kurzschlussstrom, 32
Laplace-Transformierte, 48
LC-Filter-Simulation, 70
Leerlaufspannung, 32
Leistungsanpassung, 33
- bei komplexen Impedanzen, 34
- bei Leitungen, 35
- in der Energietechnik, 33
- in der Nachrichtentechnik, 33
- konjugiert komplexe, 34
Leistungsdämpfung, 2
Leistungsdichte, 23
Leistungsdichtespektrum, 23
Leistungspegel, 4
Leistungsverstärkung, 2
Leitungen
- als Zweitore, 93
- asymmetrische, 79
- Ausbreitungsgeschwindigkeit, 84, 95
- Dämpfungsbelag, 95
- Eingangsimpedanz, 98
- Ersatzschema, 80
- Freileitungen, 101
- homogene, 80
- Kettenparameter, 93
- koaxiale, 102
- Laufzeit, 82
- Nachweis der Wellenausbreitung, 94
- Phasenbelag, 95
Index
108
- pupinisierte, 101
- Reflexionsfaktor, 86, 96
- rücklaufende Welle, 82
- Schaltvorgänge, 85
- Smith-Diagramm, 100
- Stehwelle, 96
- Stehwellenverhältnis, 97
- Stossstellen, 85
- symmetrische, 79
- TEM-Typ, 80
- Transformationseigenschaften, 99
- U und I am Leitungsanfang, 91
- U und I am Leitungsende, 92
- verdrillte, 101
- verlustlos, 82
- Wellenfahrplan, 85
- Wellenlänge, 95
- Wellenwiderstand, 84, 98
- Zweidrahtleitungen, 101
Leitungsbeläge, 80
- der Koaxialleitung, 81
- der Paralleldrahtleitung, 81
Leitungsgleichungen
- eingeschwungene TEM-Leitung, 88
- in Kettenform, 93
- mit Hyperbelfunktionen, 92
- sinusförmige Ansteuerung, 88
Leitungskenngrössen, 90
Lichtgeschwindigkeit, 84
Lichtleitfaser, 104
Lichtwellenleiter, 104
normierte Frequenz, 52
normierte Frequenzen, 52
Nullstellen, 48
Nutzsignal, 6, 13
Oberschwingung, 9
optische Fenster, 104
Ordnung der UTF, 48
Parallel-Serieschaltung, 43
Parallelschaltung, 43
Passive RLC-Filter, 68
Pegel, 4
- absolute, 5
- relative, 4
Phasengang, 14, 49
Phasenkoeffizient, -belag, 90
Phasenlaufzeit, 15
Phasenmass, 93
Phasenspektrum, 8
Phasenverzerrungen, 15
Pol-/Nullstellendarstellung, 48
Pole, 48
Polynome, 48
Pupinisierung, 101
- Bauformen, 104
- Dämpfungsverlauf, 105
Quadratischer Mittelwert, 21, 22
quantisiert, 6
lineare Systeme, 14
lineare Verzerrungen, 14
Linienspektrum, 8
Loss
siehe Leistungsdämpfung
Rauschabstand, 28
Rauschbandbreite, 26
Rauschen, 19
Man-Made-Rauschen, 26
max. abgebbare Leistung, 33
Maxwellsche Gleichungen, 76
Mehrmodenfaser, 104
Microstrip-Leitung, 103
Monomodefaser
siehe Einmodenfaser
Multimodefaser
siehe Mehrmodenfaser
n-Tore, 31
- aktive, 31
- lineare, 31
- nichtlineare, 31
- passive, 31
Nachrichten, 6
Nachrichtensignal, 6
negative Widerstände, 32
Neper, 2
Nicht-TEM-Leitung, 103
Nicht-TEM-Leitungen, 75
nichtlineare Kennlinie, 17
Nichtlineare Verzerrungen, 16
Noise
siehe Rauschen
Noise Figure
siehe Rauschzahl
HTA Biel, Signalübertragung
- 1/f-Rauschen, 25
- äquivalente Rauschtemperatur, 29
- atmosphärisches Rauschen, 26
- farbiges Rauschen, 25
- Funkelrauschen, 25
- gaussverteiltes, 24
- kosmisches Rauschen, 26
- Man-Made-Rauschen, 26
- maximale Leistung, 25
- mehrstufiger Systeme, 30
- Stromrauschen, 25
- Stromverteilungsrauschen, 25
- Thermisches, 24
- weisses, 24
- Widerstands-, 24
rauschender Widerstand, 25
Rauschfaktor
siehe Rauschzahl
Rauschkenngrössen, 26
Rauschmass, 29
Rauschquellen, 24
- äussere, 26
- innere, 24
Rauschsignale, 20
Rückflussdämpfung, 97
s-Parameter, 41
S/N
siehe Störabstand
Serie-Parallelschaltung, 43
Signal-/Rauschverhältnis, 28
Signal-Rauschleistungsverhältnis
siehe Störabstand
Signale, 6
- abgetastete, 6
- analoge, 6
- digitale, 6
- diskrete, 6
- Hilfssignal, 6
- im Zeitbereich, 6
- kontinuierliche, 6
- Nutzsignal, 6
- quantisierte, 6
- Störsignal, 6
- wertdiskrete, 6
- zeitdiskrete, 6
Signalparameter, 6
Sinussignal, 8
Smith-Diagramm, 100
Spannungsdämpfung, 1
Spannungspegel, 4
Spannungsverstärkung, 1
Spektralfunktion, 12
Spektrum, 8
- Amplitudenspektrum, 8
- kontinuierliches, 11
- Linienspektrum, 8
- nichtperiodische Signale, 11
- periodischer Signale, 9
- Phasenspektrum, 8
Sperrbereich, 51
Standardabweichung, 21, 22
Stehwelle, 96
Stehwellenverhältnis, 97
stochastische Prozesse, 21
- Kennwerte, 21
stochastische Signale, 19, 20
Störabstand, 19
Störsignal, 6
Störungen, 13
Stossantwort, 48
Streifenleiter, 103
Streuparameter
siehe s-Parameter
Streuung, 21, 22
Stromdämpfung, 1
Stromrauschen, 25
Stromverstärkung, 1
Stromverteilungsrauschen, 25
Stufenprofilfaser, 104
- Grundlagen stochastischer Signale, 20
Rauschtemperatur, 29
Rauschwiderstand, 25
Rauschzahl, 28
Reaktanzfilter, 68
Reflexionsfaktor, 32, 69, 86, 96
Reflexionsfaktor-Diagramm, 100
relative Pegel, 4
return loss
siehe Rückflussdämpfung
Rippelfaktor, 57
RMS
siehe Effektivwert
technischer Wechselstrom, 74
Telegrafengleichung, 83
- komplexe Form, 88
TEM-Leitungen, 75
Thermisches Rauschen, 24
Toleranzschema, 51
Tonfrequenzbereich, 74
Transducer Gain, 45
Triplate-Leitung, 103
Tschebyscheff-Approximation, 57
Übertragungsfunktion, 47
Übertragungskanäle, 75
Index
109
UTF
siehe Übertragungsfunktion
Varianz, 21, 22
Verstärkung, 1
Verteilungsdichte, 21
Verteilungsfunktion, 21
Verzerrungen, 13
- der Amplitude, 14
- der Phase, 15
- Intermodulation, 18
- lineare, 14
- nichtlineare, 16
Vierpole
siehe Zweitore
VSWR
siehe Stehwellenverhältnis
Wellenimpedanz, 35
siehe Wellenwiderstand
Wellenlänge, 74
Wellenparameter, 40
Wellentypen (Moden), 104
Wellenübertragungsmass, 40, 93
Wellenwiderstand, 40, 84, 89, 90, 98
Welligkeit, 57
wertdiskret, 6
wertkontinuierlich, 6
Widerstandsrauschen, 24
Wirkungsgrad, 33
y-Parameter, 37
z-Parameter, 36
Zeitdiskrete Signale, 6
Zeitfunktion, 6
zufälliges Experiment, 20
Zufallsgrösse, 20
Zusatzrauschzahl, 29
Zweidrahtleitungen, 101
Zweitor-Parameter
- b-Parameter, 40
- k-Parameter, 40
- s-Parameter, 41
- Wellenparameter, 40
Zweitore, 1, 31
- Ausgangsimpedanz, 45
- Betriebseigenschaften, 45, 46
- Betriebsleistungsverstärkung, 45
- Betriebsspannungsverstärkung, 45
- Eingangsimpedanz, 45
- Grundgleichungen, 35
- Kettenschaltung, 44
- Leistungsverstärkung, 45
- lineare, 35
- Parallel-Serieschaltung, 43
- Parallelschaltung, 43
- Serie-Parallelschaltung, 43
- Serieschaltung, 43
- Spannungsverstärkung, 45
- Stromverstärkung, 45
- Transducer Gain, 45
Zweitorparameter, 35
- a-Parameter, 39
- h-Parameter, 38
- Umrechnungen, 42
- y-Parameter, 37
- z-Parameter, 36
HTA Biel, Signalübertragung
Index