UNGLEICHUNGEN

Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz
U NGLEICHUNGEN
Fortgeschrittene 1
Mittelwertungleichungen
Die folgenden Aufgaben lassen sich alle mithilfe der sogenannten Mittelwertungleichungen lösen:
Für a, b > 0 gilt
1
a
2
+
1
b
≤
√
a·b
≤
r
a+b
2
≤
a2 + b2
.
2
Gleichheit gilt jeweils genau dann, wenn a = b ist.
Aufgaben
Aufgabe 1. Beweise, dass für alle reellen Zahlen a ≥ −5 und b ≥ 5 gilt:
q
a+b ≥
(2a + 10)(2b − 10).
Für welche a und b gilt das Gleichheitszeichen?
Aufgabe 2. Zeige: Für a, b > 0 gilt
a2 + b2
a+b
≥
a+b
.
2
Aufgabe 3 (14093X). Beweise, dass für alle reellen Zahlen a, b und c gilt
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
Wann gilt Gleichheit?
Aufgabe 4. Für die beiden positiven reellen Zahlen a und b gilt, dass die Summe ihrer Kehrwerte kleiner
oder gleich ein Fünftel ist. Beweise, dass dann gilt: a2 + b2 ≥ 200.
Aufgabe 5. Es seien x und y positive reelle Zahlen. Beweise:
1
1
+
x + xy
y + xy
≥
4
.
x + 2xy + y
Aufgabe 6 (520934). S sei die Summe der Quadrate von zwei positiven ganzen Zahlen, deren Summe
gleich 2013 ist. Bestimme den kleinsten Wert, den S annehmen kann.
Aufgabe 7. Beweise, dass für alle positiven a, b und c gilt:
(2a + b + c)(2b + c + a)(2c + a + b) ≥ 8( a + b)(b + c)(c + a).
Aufgabe 8. Beweise, dass für alle positiven Zahlen a, b, c und d mit der Bedingung a + b + c + d ≤ 4 gilt
( ab + cd)( ac + bd) ≤ 4.
1
Mittelwertungleichungen für n Variablen
Die folgenden Aufgaben sind nicht unbedingt schwerer als√die Aufgaben auf der Vorderseite. Ihr müsst
√
4
aber mit höheren Wurzeln umgehen können (z.B. 3 8 = 2, a8 = a2 usw.). Die Mittelwertungleichungen
gelten nämlich nicht nur für zwei, sondern allgemein für n Variablen (n ∈ N):
Sind a1 , a2 , . . . , an positive reelle Zahlen, so gilt
1
a1
n
+...+
1
an
≤
√
n
a1 · . . . · an
a1 + . . . + an
n
≤
s
≤
a21 + . . . + a2n
.
n
Auch hier gilt Gleichheit weiterhin genau für a1 = a2 = . . . = an .
Aufgaben
Aufgabe 9 (06103X). Zeige, dass für beliebige positive reelle Zahlen a, b, c stets
1 1 1
+ +
a
b
c
9
a+b+c
≥
gilt.
Aufgabe 10. Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 gilt
n+1 n
n! <
.
2
Hinweis: n! = 1 · 2 · . . . · n.
Aufgabe 11 (03114X). Beweise, dass für alle positiven ganzen Zahlen a und b stets
a+b
2
√
a+b
≥
ab · b a
gilt.
Aufgabe 12. Es sei n eine natürliche Zahl, a1 , . . . , an seien positive reelle Zahlen und b1 , . . . , bn seien genau
dieselben Zahlen, nur in einer anderen Reihenfolge (eine sogenannte Permutation der Zahlen a1 , . . . , an ).
Zeige, dass dann gilt:
a1
a
an
+ 2 +...+
b1
b2
bn
≥ n.
Aufgabe 13. Beweise: Sind a, b, c nichtnegative reelle Zahlen mit abc < 1, so gilt
a3 + b3 + c3 ≥ 6abc − 3.
2