Die Multiple-Multipol- Methode (MMP) - Universität Duisburg

-1/46Einführung in die Computerorientierte Feldtheorie (CoFT-2)
Sommersemester
Die Multiple-MultipolMethode (MMP)
Daniel Erni
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE),
Fakultät für Ingenieurwissenschaften,
Universität Duisburg-Essen,
D-47048 Duisburg
-2/46-
Agenda
•• Kategorienbildungen der Feldberechnungsmethoden
•• Feldgleichungen und Multipolentwicklungen
(als allgemeinste Basislösungen).
•• Mathematische Abstützung
•• Kurze Einführung in die «Randmethoden»
•• Die MMP-Methode
•• Zum Streuproblem und dem Eigenwertproblem
•• Beispiel: «Plasmonische Partikel»
Ein MMP-Beispiel:
Aufsicht auf eine «neuartigen» Lichtführungsanordnung (Wellenleiterkanal in einem sog.
photonischen Kristall), welche die Realisierung
von sehr engen Kurven ermöglicht.
•• Weiterentwicklungen in MMP
Verknüpfungen (connections)
Scripting
Effiziente Parametersweeps
•• Kurze Zusammenfassung
1
Feldberechnungsmethoden I
-3/46-
Kategorienbildung nach der Raumdiskretisierung
(1) Gebietsmethoden (domain methods):
•• Feldvolumen G wird diskretisiert.
•• Die Feldwerte fijk (im Gitter) selbst
sind die Unbekannten.
•• Freiheitsgrade des numerischen
Verfahrens wirken lokal (cf. «Molekül»
und Voxel im Diskretisierungsgitter).
•• Konsequenz: Dünnbesetzte (sparse),
grosse Matrizen oder direktes
Updating (im Zeitbereich) möglich.
FEM:
FD:
FIT:
FV:
Finite-Elemente-Methode(n)
Finite-Differenzen-Methode(n)
Finite-Integrations-Methode(n)
Finite-Volumen-Methode(n)
Feldberechnungsmethoden II
-4/46-
Kategorienbildung nach der Raumdiskretisierung
(2) Randmethoden (boundary methods):
•• Der Rand G des Feldgebiets wird
diskretisiert.
•• Ansätze von Näherungsfunktionen für
die Felder f werden gesucht (cf. Ansatzmethoden).
•• Freiheitsgrade des Verfahrens sind
die Parameter der Näherungsfunktionen.
Diese wirken nicht- oder bedingt lokal.
•• Konsequenz: Kleine, vollbesetzte Matrizen.
MoM:
MoL:
BPM:
BEM:
Momentenmethode
Methods of Lines
Beam Propagation Method
Boundary Element Method
MMP:
CSM:
MMT:
SDA:
Multiple Multipole Method
Ersatzladungsverfahren
Mode Matching Technique
Spectral Domain Analysis, etc.
2
-5/46-
Feldberechnungsmethoden III
Kategorienbildung nach dem Approximationstypus
Qualität der Lösung und des zugehörigen Verfahrens:
Randbedingung Randbedingung
exakt
approximativ
erfüllt
erfüllt
Feldgleichungen analytisch
Sehr, sehr kleine
exakt
Lösungsmenge !
erfüllt
semianalytisch
Feldgleichungen seminumerisch
Gebietsmethoden
approximativ
FD, FEM, FV, FIT,...
erfüllt
vollnumerisch
Randmethoden
BEM, MoM, MoL,
MMP, CSM, SDA,……
Exoten
Cellular Automata
Monte-Carlo,……
Feldberechnungsmethoden IV
-6/46-
Kategorienbildung nach dem Lösungsbereich
der Felder
Zeitbereich
Frequenzbereich
•• FDTD
•• FDFD
•• FVTD
•• FE-FD
•• FE-TD
•• MMP
•• MoM-TD
•• CSM
•• SDA
•• MoL
•• MoM
•• Split-Step-Methoden: BPM,……
gemischte Verfahren
3
-7/46-
Feldberechnungsmethoden V
MMP-Methode
Die «Visitenkarte»
Die Multiple-Multipol-Methode (MMP) ist
eine semianalytische Randmethode im
Frequenzbereich.
Darstellung der Feldgleichungen I
-8/46-
Feldgleichungen in Operatorenschreibweise
(1) Maxwell-Gleichungen für die harmonische Zeitabhängigkeit :
× E = j µ H
× H = J 0 + j E
j µ E 0 ×
= j × H J 0 ˆÂ
(2) Homogene Gleichung:
ˆÂ f = q
0
(Felderzeugung)
q0
f
Inhomogenen ersten zwei MaxwellGleichungen in Operatorform mit
Maxwell-Operator Â.
j µ E 0 ×
= j × H 0 (Feldausbreitung)
×
j µ
2
det ˆÂ = ˆ0̂ det
= ( × × ) µ = ˆ0̂
j × 2
2 2
ˆÂ f = 0
( ) k =
Nulloperator
c
4
Darstellung der Feldgleichungen II
-9/46-
Feldgleichungen in Operatorenschreibweise
(2) Homogene Gleichung (keine Quellen):
×
det ˆÂ = ˆ0̂ det
j ˆ0̂ f = 0
mit :
(3) HelmholtzGleichung:
(entkoppelte,
homogene
Wellengleichung)
j µ
2
= ( × × ) µ = ˆ0̂
2 2 2
× ( ) 0
k =
c
( ) k 2
E 0 = 2 0
k
(
)
H 0 E = Q := 0 µ H 0
( )
( )
+ k2
0 E 0 = 0
+ k 2 H 0 ˆĜ
ˆĜ f = 0
f
Darstellung der Feldgleichungen III
-10/46-
Feldgleichungen in Operatorenschreibweise
(4) Zusammenstellung der Feldgleichungen:
0 : homogen
ˆÂ f = q0 : inhomogen
Maxwell-Gleichung
bzw.
0 : homogen
ˆĜ f = p0 : inhomogen
Helmholtz-Gleichung
(entkoppelte
Wellengleichung)
Feldoperator in G
(5) Allgemeine Schreibweise:
Stellvertretend für beide
Formulierungen schreiben
wir für die Feldgleichungen:
0 : homogen
ˆD̂ f = q0 : inhomogen
5
Darstellung der Feldgleichungen IV
-11/46-
Feldgleichungen in Operatorenschreibweise
(6) Rand- bzw. Grenzbedingungen:
n × E+ E
n × H+ H
n + E+ E
n µ+ H + µ H (
(
(
(
)
)
)
)
=0
G
= JF
G
G
G
=
=0
Randoperator in G
Die Rand- bzw. Grenzbedingungen
lassen sich in Operatorenschreibweise
wie folgt angeben:
ˆR̂ f = g
0
-12/46-
Lösung der Feldgleichungen
Homogene Lösungsansätze
(1) Erzeugung der Basisfunktionen:
(A) Formaler Zugang über die Greenschen Funktionen:
ˆD̂ G ( r,
r) = (r r)
Die Greenschen Funktionen G sind die «räumlichen
Stossantworten» des Feldsystems bzw. Feldraums,
entwickelt in den entsprechenden Koordinatensystemen.
Sie entsprechen somit den Basislösungen/-funktionen.
(B) Pragmatischer Zugang über den Separationsansatz:
ˆD̂ f = 0
homogene Lösungen = Basisfunktionen
Bernoullische
Produkteansätze
X ( x)
fh = R ( r ) ( )
R ( r ) ( ) ( )
:1D
: 2D
:3D
harmonische Dgl. :1D
ˆD̂ f = 0 Besselsche Dgl. : 2D
h
Legendresche Dgl. :3D
6
-13/46-
2D Basisfunktionen I
(1) Eindimensionale Geometrie:
sin ( x )
e = cos ( x ) + isin ( x )
ix
Exponentialfunktion (ebene Welle)
cos ( x )
(2) Zylindrische Geometrie:
Nm ( x)
H m ( x ) = J m ( x ) + i N m ( x )
Hankelfunktion
(Zylinderwelle)
J m : Besselfunktion
N m : Neumannfunktion
Jm ( x)
2D Basisfunktionen II
2D-Fall
Analogien:
m=0
-14/46-
R (r )
Zur radialen
Abhängigkeit R(r)
der Basisfunktion
Zur azimutalen
Abhängigkeit ()
der Basisfunktion
cos ( m ) ( ) = sin ( m ) 7
-15/46-
2D Basisfunktionen III
(3) Zum Abklingverhalten von Zylinderfunktionen:
1
Jm (r ) 1 cos ( r 2 [ m 2 ]) r
1
r
sin
r
m
[
]
(
)
N m ( r )
2
2
2D-Stehwellen
bzw.
2D-Strahlungsfelder
r0( m )
r
Im (r ) 1 e r
r e r K m ( r )
2D evaneszente
Felder
(4) Lösungen des statischen, zylindrischen Feldproblems (k 0):
2D statische
Felder;
Entspricht der
Umgebung
m
: m {0}
J m ( kr ) r
k 0
m
N m ( kr ) ln ( r ) : m = 0; r m r 0
-16/46-
3D Basisfunktionen
3D-Fall –– Sphärische Multipole (spherical harmonics):
(1)
1r H +1
2 ( kr ) R (r ) = (2)
1
r H +1 2 ( kr ) e i m ( ) = i m e
m
P ( cos ) ( ) = m
Q ( cos ) r = ( r, , )
z
Assoziierte Legendrefunktionen
1. Art (Pm) und 2. Art (Qm)
(Kugelflächenfunktionen)
8
-17/46-
Mathematische Abstützung I
Feldapproximation durch Multipolentwicklungen
Entwicklungsansätze:
Die Feldbeschreibung im Gebiet G
besteht aus örtlich angesetzten
Reihenentwicklungen mit Basisfunktionen, welche eine Ursprungssingularität aufweisen (p-Entwicklung in
den Löchern Li) und solchen ohne
Singularität (n-Entwicklung in G).
z.B. vom Hankel-Typ
Basisfunktion z.B.vom Bessel-Typ
M
n
f ( r ) = f0 ( r ) + Ai fi( n ) ( ri ) +
i=1
Anregung
Mp
Ni
A
i= M n +1 k =1
n: Normalentwicklungen
(ohne Singularitäten)
f ( p ) ( ri ) + ( r )
ik ik
p: Multipolentwicklungen
(mit Singularitäten)
ri steht für den
Ortsvektor, der
im lokalen i-ten
Koordinatensystem vermasst ist.
Fehler
Mathematische Abstützung II
-18/46-
Zum Approximationsvermögen in 2D
Das Theorem von Vekua:
In einem mehrfach zusammenhängenden 2D Gebiet G (mit Löchern
Li) sind Lösungen z.B. der Helmholtzgleichung durch Ansätze f (wie
unten angegeben) beliebig genau
approximierbar, wenn die obere
Grenze N der Summation genügend
gross gewählt wird. Der Ansatz über
n-Normalentwicklungen entfällt, falls
G Punkte im Unendlichen enthält.
N
M
i
f ( r ) = f0 ( r ) + Aik fik ( ri ) + ( r )
(kompakte Schreibweise)
i=1 k =1
Merke: Es werden keine Angaben über N, gemacht. Bei endlichen Reihenansätzen
definieren die Wahl von N und die Entwicklungsorte ein Optimierungsproblem.
9
Mathematische Abstützung III
-19/46-
«Konvergenzbeweis» in 2D (Beweisskizze)
(1) Komplexe Einbettung in einen Sobolev-Raum:
u
: E - Feld
v = ˆM̂ u : H - Feld
ˆR̂u = u + i u
1, 2
12
n
Sobolev-Norm:
u
= v
=
2
quadratintegrabler
Ausdruck (energieartig)
12
{
ˆF̂ u, ˆM̂ u, ˆR̂u
1,2
}
N d monoton
0
Sobolev-Norm verschwindet
monoton mit N, falls u von
N Punktquellen (Monopolen)
stammt: Konvergenz.
Mathematische Abstützung IV
-20/46-
«Konvergenzbeweis» in 2D (Beweisskizze)
(2) Relativierung des «Konvergenzbeweises»:
•• Der «Konvergenzbeweis» benutzt etwas seltsame Randbedingungen.
•• Der «Konvergenzbeweis» beruht auf einem skalaren Feld u.
•• Die Quellen von u bestehen aus sehr vielen, linienförmig verteilten
Monopolen (fictitious sources).
•• In Anlehnung an Vekua kann MMP aber zeigen, dass die Feldapproximationen mittels Multipolentwicklungen in der Praxis
viel, viel rascher konvergieren, als theoretisch mit Hilfe des
«Konvergenzbeweises» vorausgesagt wird.
•• Der «Konvergenzbeweis» gilt nur in 2D (und nicht für 3D).
•• In 3D zeigt MMP ein besseres Konvergenzverhalten als in 2D
(liegt am lokalen Verhalten der Ansatzfunktionen bzw. deren
rascheren Abklingverhalten).
•• Vertrauenswürdiger ist bei Randmethoden vielmehr die Information
über das Verhalten des Randfehlers (Residuum).
10
-21/46-
Prinzip der Randmethoden I
Die Ansatzfunktionen im Lichte des Feldoperators
(1) Feldgleichungen für das Feldgebiet G (ohne Rand):
N
ˆD̂ f = q
0
mit dem Ansatz :
M
i
f ( r ) := f0 ( r ) + Aik fik ( ri ) + ( r )
i=1 k =1
M
Ni
ˆD̂ f = ˆD̂ f + A ˆD̂ f + ˆD̂ = q
0
ik
ik
0
i=1 k =1
inhomogene PDG
ˆD̂ f = q
0
0
Anregung bzw.
Quellenterm
sind synonym
(cf. partikuläre
Lösung)
M
Ni
A
i=1 k =1
ik
Es braucht
mindestens
iMNi Gleichungen
für die Aik.
ˆD̂ f + ˆD̂ = 0
ik
homogene PDG
ˆD̂ f = 0
ik
Grösstmögliche
Freiheit der Wahl
von Aik falls die
homogene PDG
gilt: die Ansätze
fik sind gerade die
Basisfunktionen!
Konsequenz: Fehler ist vom Typ Feld !
ˆD̂ = 0
aber
0
Prinzip der Randmethoden II
-22/46-
Die Ansatzfunktionen im Lichte des Feldoperators
(2) Ein erstes Fazit:
•• Das Feld wird mit Reihenansätzen approximiert, wobei
jede zugrundeliegende Basisfunktion für sich genommen
die Feldgleichungen auch erfüllt.
•• Im Prinzip sind für die Feldapproximation alle Funktionen
zulässig, welche die Feldgleichungen erfüllen!
•• Tritt ein ein Approximationsfehler auf, z.B. wegen der
endlichen Summation oder von ungenügend gut erfüllten
Randbedingungen herrührt, so ist dieser Fehler stets
«feldartig».
•• Die partikuläre Lösung (Anregung durch ein gegebenes
Feld f0 bzw. durch eine Quelle q0) erfüllt die Randbedingungen im Allgemeinen nicht.
•• Die Lösung des Feldproblems erfordert daher noch
zusätzlich die Erfüllung der Randbedingung.
11
-23/46-
Prinzip der Randmethoden III
Die Ansatzfunktionen im Lichte des Randoperators
(1) Feldgleichungen auf dem Rand G :
N
ˆR̂ f = g
0
mit dem Ansatz :
M
i
f ( r ) := f0 ( r ) + Aik fik ( ri ) + ( r )
i=1 k =1
M
Ni
ˆR̂ f = ˆR̂ f + A ˆR̂ f + ˆR̂ = g 0
ik
ik
0
i=1 k =1
N p Punkte
auf dem Rand des Lochs :
ˆR̂ f ( r ) A
M
Ni
i =1 k =1
Basisfkt. #
i:
ik
p
ik
M ip k ( )
M
Ni
A
i=1 k =1
rp G
( )
ik
ˆR̂ f = g ˆR̂ f ˆR̂ ik
0
0
gesucht
bekannt
( )
= g0 rp ˆR̂ f0 rp ˆR̂ rp
h p M pi k [ Aik ] = h p + ep ep Gleichungssystem für
die Ni Koeffizienten
Aik der i-ten Reihenentwicklung in k.
Prinzip der Randmethoden IV
-24/46-
Die Ansatzfunktionen im Lichte des Randoperators
(2) Ein zweites Fazit:
•• Es braucht mindestens iMNi Gleichungen für die
Bestimmung aller Aik.
•• Sinngemäss sind deshalb mindestens Np = iMNi Randpunkte p erforderlich, in denen die Randbedingungen zu
erzwingen sind.
•• Werden im Randoperator z.B. K Feldkomponenten in
Betracht gezogen, so steigt die Anzahl erforderlicher
Gleichungen/Randpunkte entsprechend um den Faktor K.
M
N p = K Ni
i=1
•• Das Erzwingen der Randbedingungen in diskreten
Randpunkten wird auch «Kollokation» oder «point
matching» genannt.
•• Problem: Der Randoperator (Folie 11) verrechnet Feldkomponenten von E, H, B, D welche sich durch Grössenordnungen voneninader unterscheiden.
Numerisch besser
E, µ H , 1µ B, 1 D
erweisen sich:
12
Beispiel: Ersatzladungsverfahren I
Prinzip:
Symmetrie-
Achse
-25/46-
Beim Ersatzladungsverfahren (auch Bildladungsverfahren) wird das
(Potential-)Feld einer vorhandenen Oberflächenladung mit Hilfe des
Feldes fiktiver, diskreter Ersatzladungen Qj (wie z.B. Punkt-, Linienoder Ringladungen im Innern der Elektrode) nachgebildet.
•• Kn : Konturpunkte (Übereinstimmung des Potentials)
•• Qj : Ersatzladungen (nicht im Feldgebiet ansetzen)
•• VE : Elektrodenpotential (vorgegeben)
pij =
1
1
4 rKi rj
: Potentialkoeffizient
(Basisfunktion)
Ki = pi1 Q1 +…… + pin Qn := VE
n
K j = pij Q j := VE
j=1
Gleichungssystem
für unbekannte
Ersatzladungen Qj.
Beispiel: Ersatzladungsverfahren II
Vorgehen:
-26/46-
1. Vorgabe von j Ersatzladungen (nach Elektrodenform
und Symmetrien).
2. Wahl von n Konturpunkten Ki (n # Ersatzladungen)
3. Aufstellen des Gleichungssystems für Qj :
p11
p
21
pn1
p1n Q1 VE …… p2n Q2 VE = pnn Qn VE p12 ……
p22
pn2
4. Lösen
5. Potentialfeld:
6. Fehlerkontrolle im
Testpunkt T
n
( r ) = p j ( r ) Q j
j=1
13
Beispiel: Ersatzladungsverfahren III
Beispiel (in p.u.)
-27/46-
1
1 1
1 K1 = Q1 +
Q
2
2 2.5 2 + 2.5 23 2+3 1
1 1
1 K2 = Q1 + Q2 43 4+3 4 2.5 4 + 2.5 Q j =
Qj
4 K1 = Q1 0.80 + Q 2 1.78:= 1
Q1 1.130 Q = 0.053
K2 = Q1 0.86 + Q 2 0.51:= 1
2
im Testpunkt T
SpiegelLadungen
-Q2
1
1 1
1
T = Q1 2 2 + Q 2 = 0.98
2
2
6 +1 5.5 2 +12 1
0.5 +1
-Q1
Beispiel: Ersatzladungsverfahren IV
-28/46-
Lösung:
•• Ansatz mit zwei Ersatzladungen
ergibt lediglich 2% Fehler.
•• Wahl der Ersatzladungen, d.h.
Typ und Position ist «kritisch».
•• Das Feld auf dem Rand G der
Elektrode G soll in diskreten Punkten
die Randbedingungen möglichst
exakt erfüllen. Randmethode.
= 1V
•• Randmethoden sind semianalytisch:
= 0V
n
( r ) = p j ( r ) Q j
j=1
14
-29/46-
Die MMP-Methode I
Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden
(1) «Simples» Point-Matching:
•• Als Basisfunktionen werden Multipolentwicklungen
angenommen.
•• Die diskreten Randpunkte heissen Matching-Punkte.
•• Die Feldapproximation basiert auf multiplen
Multipolentwicklungen (MMP):
N
M
i
f ( r ) := f0 ( r ) + Aik fik ( r ) + ( r )
i=1 k =1
i:
M pi k [ Aik ] = h p + ep Rf = g0 r := rp
: point matching
: Gleichungssystem für die
Entwicklungskoeffizienten Aik.
Matching-Fehler Null setzen!
M
N p K Ni
: Bedingung für die Anzahl der Matching-Punkte
(„„>““ ergibt überbestimmtes Gleichungssystem).
i=1
-30/46-
Die MMP-Methode II
Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden
(2) Projektionsmethode:
f ( r ) f ( r ) ,t ( r )
mit :
ˆR̂ f ,t = g ,t r := r 0
p
f ,t = G
f t *dA
: Projektion auf
Testfunktion t
(a) Testfunktion erzeugt Matrixelemente der Matrixgleichung:
i:
M pi k [ Aik ] = h p + e p (b) Spezialfälle:
(
r rp
t (r ) = f ( r )
: «anderes» Gleichungssystem für
die Entwiklungskoeffizienten Aik.
wird Null gesetzt
)
:point matching
:Galerkin
15
-31/46-
Die MMP-Methode III
Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden
(3) Fehlermethode:
(b) Reale Situation:
(a) Idealfall:
0
Aik ˆR̂ fik g0 ˆR̂ f0 = ˆR̂ ˆR̂ f g = 0
0
(
Ni
M
i=1 k =1
M
Matching-Fehler
Ni
A
i=1 k =1
(c) Fehlerquadrat minimieren:
)
ik
ˆR̂ f = ik
0
gesucht
2
gegeben
unbestimmt, aber möglichst klein
M Ni
ˆR̂ f = 2 min 2 = 0 r := r A
ik
ik
0
p
Aik
i=1 k =1
M pi k [ Aik ] = p i:
( )
M
MMP löst überbestimmtes Gleichungssystem durch Fehlerminimierung !
N p > K Ni
i=1
-32/46-
Die MMP-Methode IV
Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden
(3) Fehlermethode:
Eigenwerte sind die Nullstellen
des Matrixelementes Dkk,
(d) Gleichungssystem lösen:
{ M
{ M
i
pk
i
pk
[ A ]
, p ik = [ 0 ]
[1] }
, p N k = K i Ni + 1
Np
D
0
D
0 …… 0
kk
}
vollbesetzte, kleine, im
: überbestimmten Fall
nichtquadratische Matrix
a1
=
aN k :=1
rückwärts
einsetzen
0
0
0
= [ 0 ]
p [ 0 ]
: Eigenwertproblem
: Streuproblem
•• Direktes Verfahren mittels
Givens-Rotation.
•• Ergibt rechte, obere
Dreiecksmatrix D.
•• Letzte Unbekannte enthält
Anregung bzw. Normierung.
•• Rückwärts einsetzen der
ak ergibt Lösung.
16
-33/46-
Die MMP-Methode V
Fazit
•• Ist das Gleichungssystem gelöst, verfügen wir bei MMP über eine
(komplizierte) analytische Funktion des Feldes für das gesamte
Feldgebiet !
M Ni
f ( r ) f0 ( r ) + Aik fik ( r )
Analytische Feldlösung
i=1 k =1
•• Die Lösungsfunktion könnte demnach auch als «Basisfunktion» eines
übergeordneten, noch komplexeren Feldproblems aufgefasst werden
(mehr darüber später).
•• MMP verfügt mit dem Matching-Fehler über ein explizites Fehlermass,
welches im Fall der Fehlermethode vom Typ «Energie» ist.
•• Die Orte der Multipolentwicklungen stellen einen weiteren Freiheitsgrad der Problemstellung dar, welcher zur Minimierung des MatchingFehlers (Randfehlers) mitberücksichtigt werden kann.
•• Wo sind die Multipolentwicklungen demnach am besten anzusetzen?
-34/46-
Die MMP-Methode VI
Zu den Entwicklungsorten
Die «Sehwinkel-Bedingung»:
MatchingFehler !
Das gegebene
Streuproblem
Matchingpunkte
MultipolEntwicklungen
•• Einflussgebiet des Multipols umfasst einen
Sehwinkel von maximal 90°.
•• Sampling-Theorem bezüglich der MatchingPunkte (Sehwinkel-Bedingung):
Ni ist die höchste MultipolOrdnung der MultipolEntwicklung i.
2
p 2N i + 1
pi+1
Dj
pi
p
17
-35/46-
Erstes Beispiel I
«Plasmonische Partikel»
(1) Metallisches Dimer-Partikel als Benchmark:
•• Silberpartikel
•• Anregung mittels (p-polarisierter)
ebener Welle bei = 340 nm.
3D-FEM
s
•• «Negative Ecken» sind extrem
kritisch: daher abgerundet.
-36/46-
Erstes Beispiel II
«Plasmonische Partikel»
(2) Metallisches Dreieck-Partikel:
Abgerundete Ecken
(keine Feldsingularität)
o : Green‘‘s Tensor Technique (Referenz)
–– : 2D-MMP
18
-37/46-
Weiterentwicklungen in MMP I
Verknüpfungen (Connections)
Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:
Folie 33: Lösungen sind stets vom Typ
Entwicklungssfunktion.
Connections erlauben den Einbau von
Lösungsfunktionen untergeordneter
Problemstellungen in ein komplexeres,
übergeordnetes Feldproblem.
Vereinfachte Problemstellung:
(der einzelne «Gitterzahn»)
Umgekehrt: Die Nahfeld-zu-FernfeldTransformation erlaubt die Lösung
eines komplexen Feldproblems im
Fernfeld mittels eines einzigen Multipolfeldes zu approximieren.
Weiterentwicklungen in MMP II
-38/46-
Verknüpfungen (Connections)
Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:
Connection für die
hinlaufende
(Anregung)
und reflektierte
Eigenmode.
Connection für
die transmittierte
Eigenmode.
Fiktive Grenzschicht
(bessere Problemaufteilung)
Matching-Kontur für die
Nahfeld-zu-Fernfeld-Transformation
19
Weiterentwicklungen in MMP III
-39/46-
Verknüpfungen (Connections)
Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:
Nichteriodische
Gitteranordnung
d1 = 10 nm
d2 = 150 nm
Einbettung und
Verknüpfung der
Einzellösungen
n1 = 1.33
n2 = 2.35
n3 = 1.57
Einzelner
Gitterzahn
Weiterentwicklungen in MMP IV
-40/46-
Verknüpfungen (Connections)
Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:
(a) Einzelner Gitterzahn:
= 785 nm
(b) Zwei «distanzierte» Gitterzähne:
Fernfeld
Poynting-Feld
20
Weiterentwicklungen in MMP V
-41/46-
Verknüpfungen
Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:
(c) Zwei nahestehende Gitterzähne:
Fiktive Grenzschicht
Poynting-Feld @ 785 nm
Weiterentwicklungen in MMP VI
-42/46-
Scripting und effiziente Parametersweeps
(1) Scripting:
•• Die MMP-Implementierung MaX-1 enthält eine Metasprache für das Scripting.
•• Automatisierter Ablauf eines Simulationsprotokolls möglich wie z.B. Parametersweeps
(Frequenzsspektren, kontinuierliche Formänderungen, Lageänderungen, usw.).
(2) Effiziente Parametersweeps:
•• Die MMP-Implementierung muss Gleichungssysteme mit kleinen, vollbesetzten Matrizen
direkt (mittels Givens-Rotation) lösen: sehr aufwändig vor allem bei Parametersweeps.
•• Trick: Zwei Arbeitspunkte durchrechnen. Matrixelemente dann mittels fortwährender
Parameterestimation (PET) abschätzen. Geschätzten Matrixelemente liegen jeweils nahe
bei vorhergehenden Parametern. Dadurch können schnelle iterative Gleichungslöser
wie z.B. Conjugated-Gradient Solver verwendet werden
•• Speedup: Bis zu zwei Grössenordnungen! Beispiel: Bei 100 Frequenzpunkten dauert die
Berechnung der beiden Startpunkte gleich lang wie die restlichen 98 Punkte.
21
Weiterentwicklungen in MMP VII
-43/46-
Scripting und effiziente Parametersweeps
Beispiel: «Photonic Crystal Bend»
Kleine Sensation im Jahr 2001: (a) Sehr kleines Rechengebiet (computational window)
(b) Erstes exaktes Transmissionsspektrum
Weiterentwicklungen in MMP VIII
-44/46-
Scripting und effiziente Parametersweeps
Beispiel: «Photonic Crystal Bend»
Transparent:
geht auch
via n 5%
Totalreflexion:
(r = –– 30%)
Kurve als Schalter
J. Smajic, Ch. Hafner, D. Erni, Opt. Express,
11(12), 1378-1384, June 16, 2003.
22
Zusammenfassung
-45/46-
MMP
•• MMP ist eine (semianalytische) Randmethode im
Frequenzbereich.
•• MMP lässt sich nur auf stückweise homogene, lineare
Feldprobleme anwenden.
•• Randmethoden sind inhärent schnell und sparsam
(keine Volumendiskretisierung, analytische Lösungen).
•• Aber: Die numerische Berechnung der Basislösungen
ist nicht trivial (z.B. Zylinderfunktionen für grosse Argumente).
•• Aber: Die Lösung von Gleichungssystemen mit (kleinen)
vollbesetzten Matrizen ist aufwändig (Abhilfe: PET).
•• Nähe zu analytischen Lösungen und das vorhandene
Fehlermass geben MMP den Status eines Referenzcodes.
•• MMP ist extrem flexibel (spezifische funktionen, connections)
Literatur
Bücher:
-46/46-
Christian Hafner, Numerische Berechnung elektromagnetischer
Felder; Berlin: Springer Verlag, 1987.
Christian Hafner, The generalized multipole technique for
computational electromagnetics; Boston: Artech House, 1990.
Christian Hafner, Lars Bomholt, The 3D electrodynamic wave
simulator: MMP code for personal computers; Chichester: John
Wiley & Sons, 1993.
Christian Hafner, Post-modern electromagnetics –– Using intelligent
Maxwell solvers; Chichester: John Wiley & Sons, 1999.
Christian Hafner, MaX-1: A visual electromagnetics platform;
Chichester: John Wiley & Sons, 1999.
SimulationsBeispiel:
E. Moreno, D. Erni, C. Hafner, and R. Vahldieck, «Multiple
multipole method with automatic multipole setting applied to the
simulation of surface plasmons in metallic nanostructures,»
J. Opt. Soc. Am. A, vol. 19, no. 1, pp. 101-111, January, 2002.
23