Stochastik I, HU Berlin, SS 2013
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Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. U. Horst
Stochastik I SS 2013
Übungsblatt 4
1.
[Kovarianz, Korrelation]
Definition: Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien X, Y ∈ L2 (Ω, A, P). Dann
heißt
• cov(X, Y ) := E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] die Kovarianz von X und Y ,
• %(X, Y ) := √
cov(X,Y )
√
Var(X)· Var(Y )
der Korrelationskoeffizient von X und Y
(falls Var(X), Var(Y ) > 0).
X und Y heißen unkorreliert, falls cov(X, Y ) = 0. Es gilt: cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ].
a) Zeigen Sie:
i) Var(aX + b) = a2 · Var(X) für alle a, b ∈ R.
ii) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 · cov(X, Y ).
p
p
iii) |cov(X, Y )| ≤ Var(X) · Var(Y ).
iv) |%(X, Y )| ≤ 1.
b) Herr Müller hat Geld in drei Anlagen investiert: 18% in die erste, 40% in die zweite und
42% in die dritte Anlage. Seien r1 , r2 und r3 die jährliche Rendite dieser drei Anlagen.
Für 1 ≤ i, j ≤ 3 sei cov(ri , rj ) der i-te Eintrag der j-ten Spalte der nachfolgenden
Tabelle (Hinweis: Var(ri ) = cov(ri , ri )):
r1
r2
r3
r1
0,064
0,03
0,015
r2
0,03
0,0144
0,021
r3
0,015
0,021
0,01
Berechnen Sie die Standardabweichung der jährlichen Rendite von Herrn Müllers gesamter Investition.
2.
[n-facher Münzwurf] Betrachten Sie das Modell eines n-fachen Münzwurfes zum Parameter
p ∈ (0, 1) aus der Vorlesung. Es sei Xi : Ω → {0, 1}, definiert durch Xi (ω) = ωi für 1 ≤ i ≤ n,
die i-te Projektionsabbildung.
Beweisen Sie: die Projektionsabbildungen sind paarweise unkorrelliert, P
d.h. cov(Xi , Xj ) = 0
für i 6= j. Berechnen Sie hiermit die Varianz der Zufallsvariablen Sn = ni=1 Xi .
3.
[Schwaches Gesetz der großen Zahlen] Es seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und
(Xi )i∈N eine Folge von Zufallsvariablen, wobei
Xi ∈ L2 (Ω, A, P) für alle i ∈ N. Weiter
P
Pn seien
n
1
die Xi unkorreliert und es gelte limn→∞ n2 i=1 Var(Xi ) = 0. Für n ∈ N sei Sn = i=1 Xi .
a) Zeigen Sie:
"
lim E
n→∞
Sn E[Sn ]
−
n
n
2 #
= 0
und folgern Sie daraus das folgende schwache Gesetz der großen Zahlen:
Gilt zusätzlich zu obigen Annahmen noch E[Xi ] = µ für alle i ∈ N, so gilt für alle ε > 0:
Sn
lim P − µ ≥ ε = 0.
n→∞
n
b) Was bedeutet das schwache Gesetz der großen Zahlen für die Anwendung aus Aufgabe
2? Begründen Sie.
4.
[Starkes Gesetz der großen Zahlen, Beispiel] Ein unsterblicher Affe tippe auf einer unzerstörbaren Schreibmaschine unendlich lange zufällig die Tasten 0 und 1. Dabei wähle er zu jedem
Zeitpunkt eine der beiden Tasten mit gleicher Wahrscheinlichkeit und unabhängig davon, was
bisher getippt wurde. Die gesammelten Werke von Shakespeare seien binär codiert und in
dieser Codierung insgesamt von Länge N ∈ N. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Affe irgendwann genau diese codierten Werke zusammenhängend ohne Fehler tippt?
