Die Axiome der Arithmetik_.

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• ' 1:
Die Axiome der Arithmetik_.
mit besonderer Berücksichtigung
der Beziehungen zur Mengenlehre.
Inaugural-Dissertation
zur
Erlangung der DoktorwUrde
der
hohen philosophischen FakuJtät der Georg- Augnsts- Universität
zu Göttingen
vorgelegt von
\
Kurt Grelling
aus Berlin.
Göttingen
1~10.
Drnck der Dieterichschen Universitäts- Buehdrnckerei
(W. Fr. Kaestner).
..
Tag der mündlichen Prüfung: R. Juni 1910.
Referent: Herr Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. Hilbert.
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Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I. Einige Sätze a';ls der allgemeinen Mengenlehre
II. Einige Sätze aus der Lehre von den endlichen Mengen
III. Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . .
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1*
Einleitung.
Man kann in der Entwicklung der Mathematik deutlich zwei
Tendenzen unterscheiden; die eine geht darauf aus, immer neue
Sätze und Methoden zu finden und der Mathematik immer neue
Anwendungsgebiete zu erobern; die andere dagegen untersucht
das Vorhandene auf seinen Zusammenhang, übt Kritik an den
Beweisen, deckt in ihnen übersehene Voraussetzungen auf und
untersucht die Grundlagen der ganzen Wissenschaft.
Diese Untersuchungen haben im letzten Jahrhundert einen
bedeutenden Aufschwung genommen und haben dahin geführt', die
kritische Sonde an Begriffe und Sätze zu legen, die bis dahin nicht
nur die Wissenschaft, sondern auch · der Laie im täglichen Leben
ohne Bedenken und Zweifel angewandt hatte. Zu diesen Begriffen
gehörte schließlich auch die Zahl und zwar die natürliche, d. h.
vorzeichenlose rationale ganze Zahl.
Man fragte nach dem Wesen der Zahl. Der erste, der dies
tat, war Fr e g e 1). Aber er deutete nur an, was er meinte, die
Beweise fehlten größtenteils, und so fand er nur wenig Beachtung,
obwohl wir heute, wo sein zweihändiges leider in einer kaum verständlichen Begriffsschrift geschriebenes Werk 2) vorliegt und wo
durch andere Arbeiten mehr Klarheit über diese Frage verbreitet
ist, den Reichtum an fruchtbaren Gedanken bewundern müssen,
den diese erste Schrift barg.
Nach ihm- kam Dedekind 5). Ihm gelang es, unabhängig von
Fr e ge mit Hilfe des Begriffs der Kette den Ordnungstypus der
endlichen ganzen Zahlen und seine Gesetze aus einer kleinen Anzahl sehr einfacher Voraussetzungen mit mathematischer Strenge
abzuleiten. Dieses kleine aber inhaltreiche Werk hat allen wei1) Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau 1884.
2) Die Grundgesetze der Arithmetik. Jena 1893-1903.
3) Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1888.
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6 -
teren Forschungen auf diesem Gebiete zur Grundlage und zum
Vorbild gedient und der Kenner wird leicht auch in der vorliegenden Schrift die Spuren des Dedekindschen Einflusses finden.
Allerdings litt die Arbeit Dedekinds an einem,. wenn wir nicht
irren , von ihrem Autor selbst inzwischen erkannten Mangel: er
betrifft die Frage der Existenz eines unendlichen Systems, d. h. nach
D e d e k i nd eines Systems, das auf einen echten Teil seiner selbst
eineindeutig abgebildet werden kann. Der Beweis dieses Satzes,
wie er bei Dedekind steht und wie er sich übrigens in ähnlicher
Form schon bei B o lz an o 1) findet , kann nicht als streng angesehen werden. Wir kommen darauf noch zurück.
Vorerst gilt es der Mengenlehre zu gedenken. Zuerst ansgebildet als Hilfsmittel der Untersuchung bei gewissen Fragen der
Analysis 1 bat sie sich unter den Händen ihres Schöpfers Ge o r g
Canto r und seiner Schüler zu einer selbständigen mathematischen
Disziplin entwickelt, die heute die Grundlage der gesamten Mathematik bildet.
Schließlich müssen wir noch die neuere Entwicklung der Logik
an dieser Stelle erwähnen; sie hat in dem sogenannten Logikkalkül
ein Hilfsmittel der mathematischen Forschung ansgebildet, dessen
ganze Fruchtbarkeit sich heute noch nicht übersehen läßt.
Das Verdienst, die BeziehQ.Ilgen der drei erwähnten Forschungsgebiete zuerst einer eingehenden Kritik unterworfen zu haben,
gebührt unstreitig Be r t r an d Rn s s e 11 11). Bei diesem Versuch
stieß er auf den Widerspruch, der unter seinem Namen in der
Literatur bekannt ist und den zu beseitigen bisher weder ihm
selbst noch irgend einem anderen Forscher gelungen ist 8). Nur
soviel läßt sich bisher sagen, daß zu seiner Beseitigung eine tiefgehende Kritik der gesamten Logik notwendig sein wird und daß
speziell bei der Anwendung des Begriffs der Klasse größere Vorsicht als bisher üblich am Platze sein wird.
Die Zweifel, die sich hier gegen die Logik erheben, berühren
natürlich ebenso die Mengenlehre und die Begründungen der Arithmetik, wie sie Frege und Dedekind versucht haben. Unter
diesem Gesichtspunkt gewinnt d~s Problem Interesse, die !\lengenlehre von dem Russellschen Widerspruch zu befreien. Dieses
Problem ist ·von Zer m e 1o gelöst worden'). Zer m e 1o bat näm1) Die Paradoxien des Unendlichen. § 13.
2) The Princip1es of Mathematics, Cambridge 1903.
3) Vgl. G r e 11 i n g und Nelson, Bemerkungen über die Paradoxien von
R u s s e ll und B ur a l i • .F' o r t i. Abhandlungen d. Friessehen Schule, Bd. 2. VIII.
4) Die Grundlagen der Mengenlehre I; Math. Ann. Bd. 65.
7 lieh ein System von Axiomen aufgestellt, aus dem alle wesentliehen Sätze der klassischen Mengenlehre, nicht aber der Russefische
Widerspruch abgeleitet :werden können. Es soll hier nicht untersucht werden, ob dieses System ein endgültiges ist. Jedenfalls
bietet es zur Zeit die einzige Möglichkeit in der Mengenlehre
weiter zu arbeiten, ohne daß man befürchten müßte sich in unlösbare Widersprüche zu verwickeln. Unter den AxiomenZermelos
nehmen die beiden letzten, das Axiom der Auswahl und. das des
Unendlichen, eine ausgez~ichnete Stellung ein; während nämlich
die übrigen nur das wiedergeben, was bisher schon in der Mengenlehre allgemein angewandt und anerkannt war, ja teilweise hinter
dem noch zurückbleiben, sind die beiden letzten bisher in abstracto
nicht ausgesprochen, geschweige denn allgemein anerkannt worden,
wenn auch das Auswahlaxiom vielfach stillschweigend vorausgesetzt worden ist. Das Axiom des Unendlichen ist wesentlich
äquivalent mit dem Satze, auf den sich der oben erwähnte mißlungene Beweisversuch Dedekinds bezog.
Wie verhalten sieh nun hierzu die Grundlagen der Arithmetik?
.K önnen auch sie auf dem neuen Wege von dem Russellschen
Widerspruche befreit werden? Um dies zu entscheiden, ist folgendes Problem zu lösen: Die natürlichen Zahlen mit Hilfe der
in den Axiomen Zermelos vorkommenden Begriffe und Relationen so zu definieren , daß folgende Bedingungen erfüllt sind:
1) Die Zahlen müssen den endlichen Mengen so zugeordnet
werden können , daß jeder endlichen Menge gena.u eine Zahl
zugeordnet wird, daß ferner zwei äquivalenten Mengen dieselbe
und zwei nichtäquivalenten Mengen verschiedene Zahlen zugeordnet
werden.
2) Unter Voraussetzung ~er durch die beschriebene Zuordnung
definierten Ordnung der Zahlen müssen die Axiome der Arithmetik beweisbar sein.
Die so gestellte Aufgabe ist 1:1un sehr einfach zu erfüllen.
Z er m e I o hat nämlich bereits die Existenz einer Menge bewiesen,
die er "Zahlenreihe" nennt und die 1) die Nullmenge und mit
jedem ihrer Elemente die aus ihm bestehende Menge als Element
enthält nnd die 2) in jeder anderen so beschaffeneu Menge als
Untermenge enthalten ist 1) . Diese Zahlenreihe gehört nun wie man leicht sieht - zu den einfach unendlichen Systemen,
von denen D e d e k in d bewiesen hat , daß sie die angegebenen
1) A. a . 0 . S. 267.
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8
Bedingungen erfüllen 1). Es bliebe also höchstens noch zu zeigen,
daß die Beweise von D e d e k in d sieb so umformen lassen, daß
in ihnen nnr die Axiome Zer m e I o s zur Anwendung kommen.
Die Lösung dieser A11fgabe bietet also keine Schwierigkeit.
Es läßt sich nun aber zeigen, daß zur Begründung der Arithmetik
die beiden letzten Axiome Zer m e 1o s überflüssig sind 2). Dieser
Nachweis wird in der vorliegenden Arbeit geführt. Allerdings
hat sich dabei eine Erweiterung des dritten Zermelosehen Axioms
als notwendig herausgestellt , aber diese Erweiterung konnte nm
so unbedenklicher vorgenommen werden, als sie auch unter Hinzu. nahme der beiden letzten Axiome für die Theorie der transfiniten
Zahlen unentbehrlich zu sein scheint.
Es ist noch notwendig, ein Wort über die philosophische Bedeutung des Problems und seiner Lösung zu sagen.
In der Einleitung zu seiner oben erwähnten Arbeit spricht
D e d e k in d die Befürchtung aus, der Leser möchte in den schattenhaften Gebilden, die er ibm vorführt 1 seine alten Freunde, die
Zahlen nicht wiedererkennen. Wir möchten in bezug auf unsere
Arbeit dasselbe sagen; aber dies darf uns nicht zum Vorwurf
gemacht werden, denn es war garnicht unsere Absicht, das Wesen
der Zahl zu enthüllen , wir meinen vielmehr , daß diese spezifisch
philosophische Aufgabe nur durch eine Analyse des Zahlbegriffs,
wie sie Fr e g e versucht hat, gelöst werden kann. Unsere Aufgabe war, kurz gesagt, folgende : auf Grund der fünf ersten
Zermelosehen Axiome ein System von Dingen zu konstruieren, die
sich mathematisch genau so verhalten, wie die wirklichen Zahlen.
Aber so wenig man das Wesen des Raumes dadurch verstehen
lernt, daß man ihn auf ein dreidimensionales Zahlenkontinuum abbildet , ebensowenig kann man auf dem hier beschrittenen Wege
das Wesen der Zahl erkennen.
Ob und wie weit · etwa trotzdem die vorliegende Arbeit als
Hilfsmittel bei der Lösung jener philosophischen Aufgabe dienen
kann, das zu entscheiden, müssen wir den Philosophen überlassen.
Ich habe der eigentlichen Theorie der natürlichen Zahlen zwei
vorbereitende Abschnitte vorausgeschickt, in deren erstem fünf
Sätze aus der allgemeinen Mengenlehre und in deren zweitem
1) A. a. 0.
2) Dazu ist es allerdings notwendig, die Endlichkeit anders zu definieren,
als D e d e k in d dies tut. Ich benutze die von Zer m e 1o in folgenden Abhandlungen
publizierte Definition: Sur I es ensembles finis et le principe de l'induction complete. Acta mathema.tica Bd. 32; Ueber die Grundlagen der Arithmetik. Atti
del IV. Congr. int. d. "M:a.tematici Vol. TI Sect. I.
...
~ · ".
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9
sieben Sätze ans der Lehre von den endlichen Mengen bewiesen
werden. Obgleich diese Sätze in dem dritten Abschnitt nicht in
voller Allgemeinheit zur Anwendung kommen, schienen sie mir
doch an sich genügend mathematisches Interesse zn haben, um bei
ihrer Formulierung möglichst große Allgemeinheit anzustreben.
Im dritten Abschnitt werden zunächst die natürlichen Zahlen definiert; dann wird gezeigt, daß sie den endlichen Mengen in der
oben angegebenen Weise zugeordnet werden können. Darauf folgt
die Definition der Ordnung und der Nachweis, daß sie dem Typus
ro entspricht. Schließlich wird der Satz der vollständigen Induktion bewiesen; es werden die beiden Grundoperationen der
Addition und Multiplikation definiert und die auf sie bezüglichen
elementaren Gesetze bewiesen.
In der Wahl der Namen und Zeichen für die mengentheoretischen Begriffe habe ich mich in der Regel Z er m e 1o angeschlossen 1) . Nur, wo ich hiervon abgewichen bin, oder dort noch
nicht vorkommende Begriffe vewandt habe , habe ich besondere
Erklärungen für notwendig gehalten.
Ich möchte hier noch im vorans einem Einwand begegnen, der
gegen die Strenge meiner Beweise erhoben werden könnte. In
den beiden erwähnten Abhandlungen über die Theorie der· endlichen Mengen benutzt Zermelo mehrfach Sätze über die Wohlordnung, ohne daß bisher der Nachweis daflir geführt worden · ist,
daß diese Sätze aus seinen Axiomen abgeleitet werden können.
Trotzdem habe ich die Ergebnisse der Zermelosehen Abhandlungen in meinen Beweisen verwendet und zwar mit Rücksicht
einerseits darauf, daß eine Umschreibung des Wohlordnungsbegriffs
die betreffenden Beweise äußerst schwerfällig gemacht hätte und
andererseits darauf , daß, nachdem Zer m e 1o durch den Beweis
des Wohlordnungssatzes 2) gezeigt hat, daß der Begriff der Wohlordnung auf Grund seiner Axiome widerspruchsfrei definierbar
und anwendbar ist, ein Zweifel an der Möglichkeit, jene Sätze zu
beweisen, wohl kaum erhoben werden wird.
1) Vgl. die angeftihrteAbhandlung über die "Grundlagen der Mengenlehre".
2) Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Math. Ann. Bd. 65.
I.
Einige Sätze aus der allgemeinen Mengenlehre.
§ 1. Er k~ ä r u n g. Eine Menge, über deren Elemente nichts
vorausgesetzt ist 1 nenne ich mit Hessenberg 1) eine Menge
e r s t er S tu f e. Als Menge zweiter Stufe bezeichne ich eine
Menge von Mengen erster Stufe und als Menge dritter Stufe eine
solche von Mengen zweiter Stufe.
§ 2. Er k I ä r u n g. Zwei Mengen zweiter Stufe M und M'
heißen k o n g r u e n t (in Zeichen M ~ M') 1 wenn eine Abbildung
der Mengen aufeinander existiert, sodaß jedes Element seinem
Bilde .äquivalent ist. Eine Abbildung der bezeichneten Art heißt .
eine kongruente Abbildung.
. § 3. Er k I ä r u n g. Eine Menge zweiter Stufe heißt e xk I u. s i v, wenn je zwei ihrer Elemente elementenfremd sind 2).
§ 4. Lehrsatz. Ist M eine e x k 1u s i v e Menge und
M' ~ M, so ist SM nicht von klein er er Mächtigkeit
als <SM'.
Beweis: Nach M. 28, 30 8) genügt es, den Satz für den Fall
zu beweisen, daß <SM und SM' elementenfremd sind.
Wären nämlich @SM und <SM' nicht elementenfremd, so gibt
es nach M. 28 eine Menge M", die zu M' kongruent und deren
Vereinigungsmenge zu <SM elementenfremd ist. Nach M. 30 ist
aber <SM" rv <SM'; ist also der Satz für M und M" bewiesen, so
gilt er auch für M und M'.
Wir wollen jetzt zur Abkürzung <SM mit t1 und ~M' mit ti'
bezeichnen. Sei nun iP eine kongruente Abbildung von M auf
1) Kettentheorie und Woblordnung, Journal f. reine u. angew. Matb. Bd.
135. Heft 2. S. 84.
2) s. Wh i t ehe a d "On Cardinal numbers". America.n Journ. of Mathematics. Vol. XXIV. S. 383.
3) Die auf S. 6 zit. Arbeit von Zer m e I o wird im Folgenden immer durch
M. bezeichnet, die Ziffern sind die Nummern der Sätze.
.. - .....
.. ..
~
~
-
11 -
M', dann ist von jedem Element A von UU («1«1') de.finit, ob es in
tP ein Element ,,.", IL'l gibt, sodaß A die sämtlichen Abbildungen 1)
von I' auf /'' enthält; alle so beschafienen Elemente von UU (t1t1')
bilden eine Untermenge T von UU(t1o 1) und jedes Element von T
ist von 0 verschieden (wegen der Kongruenz von .P).
Da ferner T exklusiv ist, (weil zwei verschiedene Paare von
Mengen keine Abbildung gemein haben können), so ist nach dem
Axiom der Auswahl (M. 13) $T von 0 verschieden. Sei nun .1:
ein Element von $T und CSl: = S, dann hat S folgende Eigenschaften:
1) S ist eine Untermenge von t1t1',
2) Jedes Element von t1 + t1' kommt in mindestens einem Element von S vor.
~) Kein Element von t1 kommt in mehr als einem Element von
S vor.
Zum Beweise von 1) genügt folgende Ueberlegung: Aus
T =(= UU(t1t1') folgt CST =(= U(t1t1'); ferner aus l:e$T Z' =~ CST also
.1: =(= u (t16') und folglich
= (= t1tl.
'
Wir beweisen nunmehr 2) : Sei s ein Element von t1 + t1', dann
gibt es ein p.e (M + M'), sodass seI'· Da es ferner ein Fe.P gibt,
sodaß /LEF, so gibt es ein AsT, sodaß jede Abbildnng A von p.
auf p.' Element von A ist und demnach ein !.Al = i> (A, .1:), wo
A eine bestimmte Abbildung von IL auf ,.", ist, aus s eIL folgt daher,
daß es in A und folglich auch in S = ~.1: ein Element (! gibt,
sodaß SE(!.
Beweis von 3) : Angenommen, es gäbe in S zwei Elemente ·(!
und (! 1, die mit t1 dasselbe Element s gemein hätten, dann sind
zwei Fälle möglich :
a) es gibt ein Element R von .1:, das sowohl ~ als (! 1 enthält,
b) es gibt mindestens, zwei Elemente R und R' von .1:, sodaß
(!eR, (! 1 eR'.
·
Im Falle a) müßten (! und (! derselben Abbildung eines Elementes IL von M auf ein Element p.' von M' angehören. Dann
könnten sie aber kein Element gemein haben.
Im Falle b) müßte es zwei Elemente IL und 11 von M geben,
soda.ß (! einer Abbildung von IL auf p.' und (! 1 einer .solchen von 11
auf 11' angehörten. Würden in diesem Falle (! und (! 1 ein Element
von t1 gemein haben, so würde dasselbe .von p. und 11 gelten , was
der Exklusivität von M widerspräche.
rs.z;
1
1) Unter "Abbildungen" werden in dieser Arbeit stets eineindeutige Abbildungen verstanden.
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12 -
Sei nun s' ein Element von f1 1 dann gibt es wegen 2) eme
von 0 verschiedene Untermenge R von S, die alle Elemente von
S enthält, welche ihrerseits s' enthalten. Sei ferner P die Untermenge von US, welche alle Untermengen von S umfaßt, die zu einem
Element von t1' in der angegebenen Beziehung stehen; dann ist
P rv tJ'; denn es gibt zu jedem Element s' von tJ' eine und nur eine
Untermenge von S, die zu s' in der angegebenen Beziehung steht.
Andererseits folgt aus der Definition von daß es zu jedem Element
R von P ein Element s' von f1 1 gibt und daß es nur eines gibt,
. folgt daraus, daß jedes Element von S nur ein Element mit fl'
gemein hat. Ist nun R ein beliebiges Element von P, so bilden
diejenigen Elemente von tJ, die in lfbR vorkommen, eine bestinimte
Untermenge von t1 und alle Untermengen von f1, die zu irgend
einem Element von P in dieser Beziehung stehen, bilden wieder
eine Untermenge Q von llfl. Es ist nun offenbar Q rv P. Ferner
ist Q exklusiv wegen 3) und alle Elemente von Q sind von 0 verschieden wegen 1). Demnach ist auch $Q von 0 verschieden (M.
13) und da Q Untermenge von llfl ist, so ist jedes Element von
Q Untermenge von tJ. Andererseits ist jedes Element von $Q Q
äquivalent. Wenn daher " ein Element von $Q ist, so haben wir
a' rv P, P rv Q, Qrv "· Folglich a' rv " ' also ist " eine Untermenge von a, die a' äquivalent ist, d. h. f1 1 ist nicht von höherer
Mächtigkeit als tJ, was zu beweisen war.
§ 5. Das assoziative Gesetz der Multiplikation für
beliebige Mengen.
Ist M eine exklusive Menge 3. Stufe, deren Vereinigungsmenge gleichfalls exklusiv ist, so ist die
zur Vereinigungsmenge von M gehörige Verbindungsmenge dem Produkt aus den zu den Elementen von M
gehörigen Verbindungsmengen äquivalent.
Beweis: Wir wollen zur Abkürzung lfbM mit S, $€5M mit P
und das Produkt der zu den Elementen von M gehörigen Verbindungsmengen mit II bezeichnen. Ist dann NE II, so hat :N mit
jedem Element von S je genau ein Element gemein; denn ist a
ein Element von S, so gibt es genau ein Element A von M, sodaß
aEA, nun hat aber N mit $..A. genau ein Element 11 gemein und v
wiederum als Element von $..A. genau eines mit a, sei dies a;
dann folgt aus aE11, 11EN: aEifbN Wären ferner a, b zwei -.Elemente, die beide in a und in €5N enthalten wären, so sind zwei
Fälle zu unterscheiden :
1) Es gibt ein Element 11 von N, so daß sowohl a E 11 als
auch bE11.
r,
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13 -
2) Es gibt mindestens zwei Elemente,
p,, v
von N, sodaß
ltEf' 1 bEv.
Im Falle 1)I sei A dasjenige Element von M, das die Eigenschaft hat, daß vE$A (es gibt sicher nur eines). Dann kann. v
mit a nur ein Element gemein haben. Im Falle 2) müßte es zwei
Elemente A, B von M geben, sodaß p,E~A, vE$B. Es müßte des-halb anch zwei Elemente a E A und ßE B geben, sodaß a E a, b Eß
(wegen der Exklusivität von M). Wäre nun außerdem b E a, so
müßten a und ß ein Element gemein haben, was der Exklnsivität
von 8 widerspricht. Hat aber fiJN mit jedem Element von S genan ein Element gemein, so ist fi;N Element von P. Da jede
Menge eine und nur eine Vereinigungsmenge hat , so ist jedem
Element von II ein und nur ein Element von P zugeordnet. Wir
müssen jetzt, um die Aeqnivalenz von n und P herzustellen,
noch das Umgekehrte beweisen, nämlich daß jedem Element n von
P eines und nur eines N von II zugeordnet ist, sodaß n = fiJN
ist. Das wird folgendermaßen bewiesen: Ist n ein Element von
P, so hat es mit jedem Element von S genau ein Element gemein.
Ist nun M ein Element von M, also eine Untermenge von S, so
gibt es eine Untermenge n.M von n, sodaß n.M alle Elemente von n
enthält, die mit einem Element vonMein Element gemein haben.
Ist ferner f' EM, also auch p, ES, so gibt es ein und nur ein Element m von n11 , sodaß mEf'. Folglich hat n 11 mit jedem Element
von M ein Element gemein und auch nur eines; denn das Gegenteil würde entweder der Exklnsivität von M oder der von S
widersprechen. Also ist n 11 Element von $M. Nun gehört zu
jedem Element von M eine solche Untermenge von n, und alle
diese Untermengen bilden eine Untermenge N von Un. N ist
dann offenbar Element von II, also gibt es ein Element N von II,
sodaß fi;N =(= n. Andererseits gehört aber jedes Element p von n
einem Element f' von S und folglich einem Elemente eines Elementes von M an. Es gibt also eine Untermenge ttJt , der p angehört und die Element von $M und · folglich von N ist, · also
n =(= fiJN. Folglich n = fiJN. Gäbe es nun zwei Elemente von II : N
und M, sodaß n = ®N und n = fiJM ist, so müßte fiJN = ®M
sein. Nun muß es aber in M mindestens ein Element A geben,
sodaß 13A mit N ein anderes Element gemein hat, als mit M. Sei
v dasjenige, das ~A mit N und p, dasjenige , das ~A mit M gemein hat, dann kann p, mit keinem andern Element von N als mit
v ein Element gemein haben, weil sonst ein Element von .A. mit
einem Element eines anderen Elementes von M ein Element gemein hätte, was durch die Exklusivität von S ansgeschlossen ist.
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14 -
Ebensowenig kann aber p, mit 11 alle Elemente gemein haben, weil
von zwei Elementen einer V erbindungsmenge keines Teil des anderen sein kann. Folglich kann ~M nicht mit ~N identisch sein. Es
gibt also zu jedem Element n von P genau ein Element N von
II, sodaß " = ~N ist. Damit ist die Aequivalenz von P und II
bewiesen.
§ 6. Lehrsatz: Wenn v eine beliebige Menge und
Meine zu v elementenfremde exklusive Menge zweiter
Stufe ist, deren Elemente sämtlich zu v äquivalent
sind, so ist ~M rv Mv 1).
Beweis: Wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit
annehmen, daß auch ~M und v elementenfremd sind. Dann existiert das Produkt (~M). v und es ist, wenn p, ein Element von
M ist, von jeder Untermenge von (~M). v definit, ob sie eine Abbildung von p, auf v ist. Es gibt also zu jedem Element von M
eine gewisse Untermenge von U (®M). v, die alle Abbildungen
jenes Elementes auf v enthält. Alle diese Untermengen von
U (~M). v bilden eine exklusive Untermenge von UU (®M). v,
deren sämtliche Elemente von 0 verschieden sind. Nach dem Auswahlaxiom existiert also die Verbindungsmenge. Sei A. ein Element dieser V erbindungsmenge, dann stellt A. eine simultane Abbildung der Elemente von N auf v vor. Sei non !I', n l ein beliebiges Element von 111 • v, p,EM, nEv ; dann gibt es in A. genau
ein Element Im, nl, sodaß m Element von p. ist. Ist umgekehrt
m ein beliebiges Element von ~M, so gibt es in M genau ein
Element p,, sodaß mEtl, ferner in A. genau ein Element m, n!, sodaß nEv und folglich in M .v genau ein Element Ip., n l, sodaß
mEp,, mv und m und n in A. einander zugeordnet sind. Dadurch
ist jedem Element von M.v genau eines von ®M und umgekehrt
zugeordnet, d. h. ~M rv M.v, was zu beweisen war.
§ 7. Lehrsatz: Wenn T eine von 0 verschiedene
exklusive Menge zweiter Stufe ist, deren Elemente
sämtlich von 0 verschieden sind, und 't' eines ihrer Elemente, so gibt es eine Untermenge von~ T, die mit 't'
äquivalent ist; wenn nicht alle von -r v e r s chiedenen
Elemente von Taus einem einzigen Element bestehen,
so gibt es einen echten Teil von ~ T, der mit -r äquivalent ist.
Beweis: Sei 't'1 eine zu 't' äquivalente und zu ~T elementen-
!
1) Wenn man die Multiplikation als wiederholte Addition definiert, so folgt
aus diesem Satze die Kommutativität dieser Operation.
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15 -
'T
fremde Menge, t' ein Element von -r' und ßild des Elementes t
von -r. Dann ist von jedem Element p. von <t'.
definit, ob
1) t' 6p. und
2) ob t in dem Element von $T vorkommt, das in p. enthalten ist. Die Elemente, für die dies gilt, bilden daher eine
Untermenge Mt von <t'. '1' und M 1 ist von 0 verschieden. Von
jeder Untermenge U von <t'. $T ist definit, ob es in -r ein t gibt,
sodaß U = M,. Demnach bilden alle l!ntermengen von <t' . ,T,
für die es ein solches t gibt, eine Untermenge M von U-r'.$ T. M
ist exklusiv, da nicht zwei verschiedene Elemente von -r' in demselben Element von -r'. $T vorkommen können. Sei nun .Q ein
.Element von M. Dann kommt jedes Element von -r' in genau einem
Element von .Q vor, aus demselben Grunde , aus dem wir die
Exklusivität von M geschlossen haben. Andererseits kommt kein
Element von $T in zwei Elementen von .Q vor; denn zwei solche
Elemente müssen sich mindestens durch das Element unterscheiden,
das sie mit -r gemein haben. Alle Elemente von ~ T, die in
solchen von .Q vorkommen, bilden also eine Untermenge W von
$T, die durch .Q auf -r' abgebildet wird und folglich 't äquivalent
ist. Damit ist der erste Teil unseres Satzes bewiesen.
Um den zweiten zu beweisen, nehmen wir an, das Element ()
von T enthielte mehr als ein Element, sei dann r ein beliebiges
Element von W und r dasjenige Element von () das in r vorkommt. Es gibt dann nach Voraussetzung ein Element s von (),
das von ,. verschieden ist. Bezeichnen wir nun mit r' diejenige
Menge, die entsteht, wenn man in r r durch s ersetzt, so ist r'
Element von ~T, aber nicht von W, da, wie wir sahen, zwei Elemente von W nicht dasselbe Element von -r enthalten können, also
ist W echter Teil von $ T w. z. b. w.
§ 8. Lehrsatz: Jeder Teil einer Menge M · ist einer
Untermenge derjenigen Menge M' äquivalent, die aus
M durch Fortlass u n g des E 1e m e n t es m entsteht.
Beweis: Sei T ein solcher Teil , enthält dann T nicht das
Element m, so ist T selbst eine Untermenge von M'. Im anderen
Falle gibt es in M' mindestens ein Element m', das nicht in T ist.
Ist nun D der Durchschnitt von T und M', so enthält D alle
Elemente von T außer m. Ordnen wir nun jedes Element von D
sich selbst und das Element m von T dem nicht in D enthaltenen
Elemente m' von M' zu, so ist jedes Element ·von Teineindeutig
auf eines von M' abgebildet, folglich T einer Untermenge von
M' äquivalent, w. z. b. w.
II.
Einige Sätze aus der Lehre von den endlichen Mengen.
§ 9. Das Answahlpostulat für endliche Mengen 1).
Wenn T eine endliche exklusive Menge zweiter Stufe
von nicht verschwindenden Elementen ist, so gibt es
immer eine Menge -r, die mit jedem Element von T genau ein Element gemein hat.
· Beweis : Wir beweisen den Satz durch vollständige Induktion
(vgl. A. Satz ITI).
a) Wenn T ans einem einzigen Element .ft besteht, so sei t
ein Element von .ft, dann ist l t I eine Menge von der verlangten
Eigenschaft.
b) Wenn der Satz für jede Untermenge T' von T gilt, die
aus T durch Unterdrückung eines Elementes .ft entsteht, so gilt
er für T selbst. Sei nämlich -r' eine zu T gehörige Menge von
der im Satz verlangten Beschaffenheit, t ein Element von a-, dann
ist t wegen der Exklosivität von T nicht in @:>T'. Aus demselben
Grunde enthält 't 1 auch kein anderes Element von a-. Setzen wir
nun -r = 'f 1 +I t I, so hat -r mit jedem Element von T genau ein
Element gemein.
Aus a) und b) folgt nach A. III die Gültigkeit des Satzes
für jedes endliche :r, w. z. b. w.
§ 10. Lehrsatz: Ist p. eine Menge, m eines ihrer Elemente, und p.' diejenige Menge, die ans p. entsteht,
wenn man darin m unterdrückt, so ist p. endlich, wenn
IL' es ist.
1) Wegen der Definition der Endlichkeit vgl. die S. 8 zit. Abhandlung Zerm e I o s über die Grundlagen der Arithmetik. Diese Arbeit wird im Folgenden
mit A. be~eichnet. Die Befinition von Z er m e I o muß allerdings ergänzt werden,
weil sie die Nullmenge und Mengen, die aus einem Element bestehen, nicht umfaßt: Am einfachsten geschieht dies, indem man zu der Definition hinzufügt, daß
auch Mengen, die keine Teile haben, endlich sind.
._. .. .... .. ..
: ....... : :
~
17 -
Beweis : Wir nehmen an, daß f'' als endliche Kette (A. Definition) . dargestellt sei. Sei u das letzte Element von p/, dann erhalten wir eine Verschiebung von p., wenn wir jedes Element von
p.' auf das Element abbilden, auf das es in p.' abgebildet ist, und
tt auf m. Seien nämlich ~ und tJ zwei komplementäre Teile von
p.. Es sind dann zwei Fälle möglich : entweder enthalten beide
· Teile Elemente von p.', dann ist auch p.' in zwei komplementäre
Teile geteilt, und es muß wegen der Endlichkeit von p.' einer
von beiden ein Element enthalten, dessen Bild dem anderen angehört ; oder der eine von beiden Teilen etwa tJ enthält als einziges
Element m. Dann enthält Q das Element t' und dessen Bild m
ist in 6.
§ 11. Lehrsatz: Jede Untermenge einer endlichen
Menge ist endlich.
Beweis: Wir beweisen den Satz mitteist vollständiger Induktion:
a) :Per Satz gilt für alle Mengen, die aus einem einzigen
Element bestehen, wie unmittelbar einleuchtet.
b) Der Satz gilt jedesmal für eine Menge p., wenn er für
eine aus p. durch Fortlassang eines einzigen Elementes m entstehende Menge ,.",. gilt; denn jede Untermenge ~ von p. enthält.
entweder m oder nicht. Im ersten Falle entsteht aus Q durch
Fortlassung von m eine Untermenge <'' von p.'. Nach Voraussetzung ist aber ('1 endlich ; also ist nach 10 auch ~ endlich. Im.
zweiten Falle ist ~ selbst Untermenge_ von p.', also nach Voraussetzung endlich.
Aus a) und b) folgt unser Satz durch vollständige Induktion.
§ 12. Lehrsatz: Jede Menge, die einer endlichen
äquivalent ist, ist endlich.
Beweis : Sei p. eine endliche Menge und p.' rv p.. Es sei ferner
eine bestimmte Verschiebung von p. und eine bestimmte Abbildung
von p. auf p.' gegeben; dann .erhält man eine Verschiebung von p.'
durch folgende Vorschrift : Ist m ein Element von p., m1 sein Bild
in p,, m' das Element von p.', das durch die gegebene Abbildung
m zugeordnet, m! dasjenige, das m1 zugeordnet ist, so ist m~ das
Bild von m'. Aus der Eindeutigkeit der Abbildung von p. auf p,'
und aus der Endlichkeit von p. folgt dann ohne weiteres die Endlichkeit von p,', w. z. b. w.
§ 13. Lehrsatz: Sind a und {J endliehe Mengen, so
ist y = a+{J endlich.
Beweis: Wir nehmen zunächst an, daß a und fJ elementenfremd sind. Es sei nun eine bestimmte Verschiebung von a und
2
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18 -
eine solche von ß gegeben, u.. sei dabei letztes Element von a,
efl erstes von ß.
Dann erhalten wir eine Verschiebung von r
durch folgende Festsetzung: ist a ein Element von a und von u
verschieden und a' sein Bild in a bei der gewählten Verschiebung,
so sei a' auch in r Bild von a, ist b ein Element von ß und b'
bei der gewählten Verschiebung sein Bild, so sei auch in r b' Bild
von b ; e-t sei das Bild von u...
Seie~ nun h und 6 zwei komplementäre Teile von y, dann sind
zwei Fälle möglich :
1) a oder ß hat sowohl mit h als mit E mindestens ein Element gemein. Sei dies z. B. bei a der Fall. Dann zerfällt a in
zwei komplementäre Teilmengen 6' und 6 1 wo h' = i)(a, h),
1
E = i) {a, E) ist. Da nun a endlich ist, sind h' und E' kohärent 1)
und folglich auch h und E.
2) a fällt mit h oder mit 6 und folglich ß mit E bezw. mit 6
zusammen. Dann enthält h oder E das Element u.. und dessen
Bild efl ist in dem anderen Teil. 6 und E sind also auch in diesem
Falle kohärent.
Folglich ist r endlich, w. z. b. w.
§ 14. Lehrsatz: Die Vereinigungsmenge einer endlichen Menge zweiter Stufe, deren Elemente endlich
sind, ist endlich.
Beweis : Sei T eine Menge von der angegebenen Beschaffenheit. Wir führen den Beweis durch Induktion :
a) Der Satz gilt , wenn T nur ein Element I' enthält ; denn
dann ist @ST = I' und folglich nach Voraussetzung endlich.
b) Der Satz gilt fiir T, wenn er für eine Untermenge von T
gilt, die aus T durch Fortlassang eines Elementes entsteht. Sei
nämlich T' eine solche Menge und I' das fortgelassene Element.
Dann ist @S T = f8 T' + p,. Nun ist f8 T' nach Annahme und p,
nach V oraussetznng endlich, also ·ist nach § 13 auch f8 T endlich.
Aus a) und b) folgt unser Satz durch vollständige Induktion.
§ 15. Lehrsatz: Die Potenzmenge einer endlichen
Menge ist endlich.
Beweis : Der Beweis wird wieder durch vollständige Induktion
geführt :
a) Der Satz gilt für jede Menge, die aus einem einzigen Element besteht, wie unmittelbar einleuchtet. ·
1) Kohärent (in bezug auf eine Verschiebung) nennen wir zwei Teile, wenn
mindestens einer von ihnen ein Element enthält, dessen Bild in dem anderen ist.
Dann gilt offenbar der Satz, daß zwei Teile kohärent sind, wenn eine Untermenge
des einen mit einer des anderen kohärent ist.
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19 -
b) Ist I' eine endliche Menge und gilt der Satz für jede
Untermenge ,_", von "' die ans ,." durch Fortlassong eines ihrer
Elemente entsteht, so gilt er für I'· Es ist nämlich von jeder
Untermenge von I' definit, ob sie ein bestimmtes Element· m
enthält oder nicht. Die Mengen der ersten Art bilden die Untermenge u. von lll', die der zweiten die Menge U,. Nun ist
U, = u,...', wenn ,_", aus ,_" durch Fortlassung von m entsteht.
Also ist U, nach Voraussetzung endlich. Andererseits ist
rv U1,
denn jedem Element von U1 entspricht genau eines von
das
aus ihm durch Fortlassung von m entsteht. Ebenso entspricht
jedem Element von u. genau eines von U1 das aus ihm durch
Hinzufügung von m entsteht, also ist nach § 12 auch U, und da
u. und U1 komplementär sind, nach § 13 auch u,." selbst endlich.
Aus a) und b) folgt nun der Satz durch vollständige Induktion.
§ 16. Lehrsatz: Die zu einer endlichen exklusiven
Menge zweiter Stufe, deren Elemente endlich sind,
gehörige Verbindungsmenge ist endlich und von 0
verschieden.
Beweis: Wenn M eine Menge von der in dem Satze bezeichneten Art ist, so ist nach § 14 @SM endlich, folglich nach § 15
auch USM; nun ist aber ~M Untermenge von U®M7 also ist
nach § 11 auch $M endlich; daß es von 0 verschieden ist, folgt
aus § 9.
u.
u.,
III.
Die naturliehen Zahlen.
§ 16. Erklärung: Eine Menge zweiter Stufe Z heißt
eine natürliche Zahl, wenn folgendes stattfindet:
1) Zenthält die Nullmenge als Element,
2) es gibt in Z mindestens ein Element t, sodaß lt}
nicht in Z ist.
3) Wenn Z Teile hat, so enthält von zwei k o m p 1em e n t ä r e n T e i 1e n v o n Z m in d e s t e n s ein er ein EI e m e n t t,
sodaß \~} in dem anderen ist.'
Aus dieser Erklärung folgt sofort, daß die Menge I0 l eine
natürliche Zahl ist. Wir wollen sie mit 1 bezeichnen. Für "natürliche Zahl" wird im folgenden einfach Zahl gesagt werden. Die
Menge !~} soll mit t' bezeichnet werden.
§ 17. Lehrsatz: Jede Zahl ist eine endliche Menge.
Beweis: Ist Z eine Zahl, so ist entweder Z = 1, also endlich
(vgl. S. 18 Anm.) oderZenthält außer der Nullmenge noch andere
Elemente ; dann sei P die Untermenge von Z, die alle Elemente ~
enthält, zu denen in Z ein ~, enthalten ist. P kann nicht 0 sein
wegen der dritten Eigenschaft der Zahlen, und wegen der zweiten
muß P Teil von Z sein. Demnach gibt es auch einen Teil P'
von Z, der alle Elemente .& umfaßt, zu denen in Z ein ~ existiert,
sodaß .f}o = ~, ist. Bilden wir nun jedes Element t von P auf das
zu ihm gehörige ~, von P' ab, so erhalten wir eine Verschiebung
von Z, also ist Z endlich, w. z. b. w.
Aus A. Satz I folgt dann sofort, daß es nur ein Element
gibt, das nicht in P und eines, · das nicht in P' ist. Wir wollen
diese Elemente das letzte bezw. das erste der Zahl nennen.
§ 18. Lehrsatz: Jede endliche Menge ist einer Zahl
ä q u i v a 1e n t.
Beweis : Der Beweis wird wieder durch vollständige Induktion
geführt.
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21
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a) Jede aus eiriem einzigen Element bestehende Menge ist
einer Zahl, nämlich der Zahl 1 äquivalent.
b) Wenn jede Menge, die aus einer endlichen Menge I' durch
Fortlassang · eines Elementes entsteht, einer Zahl äquivalent ist,
so ist I' einer Zahl äquivalent. Sei nämlich m ein Element von 1'1
I'' die ans I' dor~h Fortlassong von m entstehende Menge, Z' eine
p/ äquivalente Zahl und u das letzte Element von Z', dann ist u'
nicht Element von Z' und folglich Z' + j u'} = Z äquivalent I'·
Denn ich erhalte eine Abbildung von Z auf p., indem ich zu einer
beliebigen Abbildung von p/ auf Z' das Element Im, u'} hinzufüge. Andererseits ist Z eine Zahl, denn Z enthält die 0. u" = lu' l
ist nicht in Z, weil sonst entweder u" mit u' identisch, also dieses
mit u identisch wäre, was der Annahme widerspricht, daß u letztes
Element von Z' ist, .oder u" in Z' wäre und dann entweder u'
auch in Z' wäre gegen die Annahme oder u" = 0 wäre, was seiner
Definition widerspricht. u' ist also letztes Element von Z. Daß
Z auch die Bedingung 3 erfüllt, läßt sich folgendermaßen beweisen:
Seien M' und M zwei komplementäre Teile von Z und M' derjenige von ihnen, welcher u/ enthält. Wenn dann M' ·außer u'
noch andere Elemente enthält, so bilden diese eine zu M komple·mentäre Teilmenge von Z', und da Z' nach Voraussetzung eine
Zahl ist, .so gibt es entweder in M oder in dem komplementären
Teil ein Element ~~ sodaß das zugehörige t' in dem anderen Teil
enthalten ist. Ist aber u' einziges Element von M', so ist u in 1~,
also enthält M' das Bild eines Elementes von M. Die Bedingung 3
ist also erfüllt.
Wenn nun die Aussage, daß zu einer gegebenen Menge im
Bereiche eine ihr äquivalente von gegebener Beschaffenheit existiert,
als definit anzusehen ist 1), so folgt unser Satz aus a) und b) durch
vollständige Induktion.
· § 19. Lehrsatz: Sind zwei Zahlen äquivalent, so
sind sie iden tis eh.
Beweis: Seien Z und Z' zwei äquivalente Zahlen, dann kann
keine·Teil der anderen sein, weil keine endliebe Menge einem ihrer
Teile äquivalent ist (A. Satz IV) 2). Es müßte also, wenn Z und Z'
1) Aus der Formulierung von Zer m e 1o s Axiom liI ist dies nicht abzuleiten. Die hier erforderliche Erweiterung des Begriffes der Definitheit läßt sich
folgendermaßen formulieren: Wenn i (x) eine definite Klassenaussage ist, so ist
die Aussage, daß die Klasse R Elemente enthält, für die ~ (x) wahr ist, definit
(vgl. die Einleitung).
2) Wir benutzen hier nur den ersten vom Auswahlaxiom unabhängigen Teil
dieses Satzes.
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22
nicht identisch wären, sowohl in Z als in Z' Elemente geben, die
nicht in dem Durchschnitt D von Z und Z' enthalten sind. D enthält sicher die 0. Wir wollen nun mit E den zu D komplementären Teil v:on Z und mit E' den entsprechenden Teil von Z' bezeichnen. Dann sei R der Durchschnitt aller Untermengen von Z,
die E umfassen, und mit jedem Elemente dess~n Bild enthalten.
Ferner A die zu R komplementäre Untermenge von Z. R' und A'
die entsprechenden Untermengen von Z'. Wenn dann R überhaupt
Elemente enthält, so gibt es unter ihnen eines, das Bild eines
Elementes von A ist; denn das Bild jedes Elementes von R ist
in R, also nicht in A. Sei nun a ein Element von A, dessen Bild
a' in R ist, dann ist a' auch in E, weil man sonst durch Unterdrückung von a' in R einen Teil von R erhielte, der E als Untermenge und mit jedem seiner Elemente dessen Bild enthielte. Non
ist A = (= D, daher a in D und folglich in Z'. Da aber a' in E,
also nicht in Z' ist, so ist a letztes Element von Z'; demnach
enthält D das letzte Element von Z', D enthält ferner mit jedem
Element x' das Element x von Z', weil dieses von Z gilt. Folglich
ist D nach A. Satz I mit Z' identisch. Wir haben also bewiesen,
daß von irgend zwei Zahlen eine Untermenge der anderen ist.
Da nun, wie wir sahen, in unserem Falle Z' nicht Teil von Z
sein kann, so ist Z' mit Z identisch, w. z. b. w.
§ 20. Aus §§ 18 und 19 folgt der Satz:
Jede endliche Menge ist genau einer Zahl und zwei
äquivalente endliche Mengen sind derselben Zahl
ä q u i v a 1e n t.
§ 21. Folgerungen: Jede Menge von Zahlen enthält
genau eine kleinste und jede endliche Menge von
Zahlen genau eine größte.
Von irgend zwei Zahlen ist genau eine größer 1)
als die andere.
Der Beweis des ersten Satzes ergibt sich aus Satz V der S. 8
zitierten Abhandlung Zer m e 1o s "Sur les ensembles finis et le
principe de l'induction complete".
§ 22. Lehrsatz: Zu jeder Zahl Z gibt es genau eine
unmittelbar folgende , d. h. eine Zahl, die größer ist
als Z und kleiner als jede andere Zahl, die selbst
größer al s Z ist.
1) Die Ausdrücke "größer" und "kleiner" sind im mengentheoretischen
Sinne als gleichbedeutend mit "von höherer bezw. kleinerer Mächtigkeit" zu verstehen.
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23 -
Beweis : Sei u das letzte Element von Z, dann ist Z' = Z + j u'l
eine Zahl , wie wir schon beim Beweise von § 18 gezeigt haben.
Z' ist aber größer als Z, anderseits folgt aus § 8, daß jede Zahl,
die kleiner als Z' ist, entweder auch klein'er als Z oder mit Z
identisch ist. Folglich ist Z' die auf Z unmittelbar folgende
Zahl 1) .
§ 23 : L eh r s a t z : Z u j e d e r Z a h 1 Z a u ß er d e r 1 gib t
es eine ihr u n mit t e I bar vorangehende, d. h. eine
Z a h 1 , d i e k 1 e i n e r i s t als Z und g r ö ß e r a ls j e d e andere, die kleiner als Z ist.
Beweis : Ist t ein Element von Z und Z' = Z - It I, so ist
Z' nach § 11 endlich und nach § 8 ist jeder andere Teil von Z
kleiner als Z', oder mit Z' äquivalent, also geht die zu Z' äquivalente Zahl Z unmittelbar voran.
§ 24. Satz der v o 11 s t ä n d i g e n In d u k t i o n : Wenn
eine definite Eigenschaft der Zahl 1 und jeder Zahl
dann zukommt, wenn sie der unmittelbar vorhergehenden zukommt, so kommt die Eigenschaft jeder
Zahl zu.
Beweis : In § 19 haben wir gezeigt, daß von irgend zwei
Zahlen, die eine Teil der anderen ist; demnach bilden die
· Zahlen , die nicht größer als Z sind, eine Untermenge A von UZ
und da von jeder Zahl definit ist, ob ihr die Eigenschaft E zukommt, so bilden diejenigen Elemente von A, bei denen das nicht
der Fall ist, eine Untermenge N von A, die die 1 nicht enthält.
Nach § 21 gibt es also in N, wenn dieses von 0 verschieden ist,
ein kleinstes von 1 verschiedenes Element K. Nach § 23 gibt es
also in A ein Element J, das K unmittelbar voraufgeht und nicht
in N vorkommt. Also müßte J die Eigenschaft E haben. Nach
Voraussetzung würde aber daraus folgen, daß auch K die Eigenschaft E hat, folglich haben alle Elemente von .A. diese Eigenschaft
somit auch Z, w. z. b. w.
§ 25. Erklärung: Ist T eine endliche exklusive Menge
zweiter Stufe, deren Elemente endlich sind, so heißt die zu Cfb T
äquivalente Zahl, die zu T gehörige arithmetische Summe.
§ 26. Nach §§ 13 und 20 gibt es zu jeder Menge T, von der
in § 25 angegebenen Beschaffenheit genau eine arithmetische Summe.
Da nach § 20 zwei Mengen T und T', zu deren Elementen die1) In diesem Beweise ist der Kürze halber von der Definition der Zahl
Gebrauch gemacht. Es sei aber bemerkt, daß der obige Satz aus § 20 allein folgt.
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24 -
selben Zahlen gehören, kongruent sind, und nach M. 30 1) die Vereinigungsmengen zweier exklusiven kongruenten Mengen äquivalent
sind, so hängt die arithmetische Summe nur von den Zahlen der
Elemente von T ab. Man kann sie also als die Summe dieser
Z a h 1 e n und diese selbst als ihre Summanden bezeichnen.
§ 27. Da in der Erklärung der arithmetischen Summe eine
Ordnung der Summanden nicht vorausgesetzt war, so ist die Summe
von einer solchen Ordnung unabhängig; diesen Sachverhalt bezeichnet man gewöhnlich als das kommutative Gesetz der
Addition.
§ 28. Das assoziative Gesetz der Addition.
IstMeine endliche exklusive Menge dritter Stufe
von endlichen Mengen und ist @>M gleichfalls exklusiv und hat lauter endliche Mengen zu Elementen,
so ist die zu ®M gehörige arithmetische Summe identisch mit der Su.mme der zu den Elementen von M gehörigen Summe.
·
2
)
Beweis: Nach Hessen b er g ist ®tEM identisch mit der
Vereinigungsmenge der Menge der Vereinigungsmengen der Elemente von .M. Die zu diesen Mengen gehörigen Zahlen sind aber
nach § 25 die Summen, von denen der Satz handelt. Damit ist
der Satz bewiesen.
§ 29. Lehrsatz: Wenn die Zahl der Summanden einer
Summe größer als 1 ist, so ist die Summe größer als
jeder der Summanden.
Der Beweis dieses Satzes folgt unmittelbar aus der Definition
der Summe.
§ 30. Er k 1ä r u n g: Ist T eine endliche exklusive Menge
zweiter Stufe, deren Elemente endlich und von 0 verschieden sind,
so heißt die zu ~T äquivalente Zahl, das zu T gehörige ari thmeti sc'fi e Produkt.
§ 31. Nach §§ 16 und 20 gibt es zu jeder Menge von der in
§ 80 geforderten Beschaffenheit genau ein von 0 verschiedenes
arithmetisches Produkt. Genau wie in § 26 folgt wieder, daß
dieses Produkt nur von den Zahlen der Elemente von T abhängt.
Man ist also berechtigt, dasselbe als das Pro d u k t dies er
Z a h I e n und diese als seine Fakt o r e n zu bezeichnen.
§ 32. Auch das arithmetische Produkt ist seiner Definition
gemäß von der Ordnung der Faktoren unabhängig. Hier kann
1) Dieser Satz folgt übrigens aus unserem § 4.
2) A. a. 0. S. 102, Satz XXVllla.
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25 -
man jedoch dem kommutativen Gesetz noch einen anderen, nicht
trivialen Sinn beilegen, der in dem folgenden Satz enthalten ist.
Lehrsatz: Erfüllt T dieselben Bedingungen wie in
§ 30 und sind außerdem alle Elemente von T unter
einander ä q u i v a 1e n t, s o i s t die z u T gehörige a r i t hmetische Summe identisch mit dem Produkt aus der
zu T gehörigen Zahl und der zu den Elementen von T
gehörigen.
Der Beweis dieses Satzes folgt unmittelbar aus § 6.
Durch diesen Satz ist die arithmetische Addition mit der Multiplikation verknüpft.
§ 33. Lehrsatz: Ist P ein arithmetisches Produkt
und Z einer seiner Faktoren, so ist Z = P, wenn
alle anderen Faktoren= 1 sind und Z<. P, wenn
m in d e s t e n s e i n e r d e r a n d e r e n F a k t o r e n v o n 1 v e rs c h i e d e n i s t.
Beweis: Sei T eine endliche exklusive Menge zweiter Stufe
und eines ihrer Elemente ~ rv Z, während alle übrigen aus je einem
einzigen Element bestehen; dann· können sich irgend zwei: Elemente von $T nur durch das Element nnterscheiden, das sie mit
~ gemein haben. Jedes Element von t kommt also in genau einem
Element von $T vor. Da andererseits jedes Element · vou $T
genau eines von t enthält, so ist t rv $T. Damit ist der erste
Teil unseres Satzes bewiesen.
Um den zweiten zu beweisen, nehmen wir an, daß mindestens
eines der von t verschiedenen Elemente von T aus mehr als
einem Element besteht. Dann haben wir den zweiten Fall von
§ 7, und es folgt aus § 7, daß t einem echten Teile von $T äquivalent ist, also gilt dasselbe von Z und P und folglich· ist Z
kleiner als P, w. z. b. w.
§ 34. Lehrsatz: Sind a, b, c drei Zahlen und b größer
als c, so ist a+b größer als a+c und a.d größer als
a · c 1).
Beweis : Seien die Mengen a, ß, r bezw. den Zahlen a, b, c
äquivalent und untereinander elementenfremd , dann ist nach Voraussetzung r einem Teile ß' von ß äquivalent. Folglich ist a + y
äquivalent a + ß' und da u. + ß' ein Teil von a + ß ist, so ist die
zu a + y äquivalente Zahl a + c kleiner als die zu a + ß äquivalente a+ b.
+
1) Die Zeichen
und . bedeuten in bekannter Weise die arithmetische
Summe und das arithmetische Produkt.
3
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Ferner hat a . ß eine Untermenge bestehend ans denjenigen
Elementen , die nur Elemente von ß' enthalten. Diese ist
also a . ß' und da Ja, y l ~ l a, ß' I ist, so sind die
diesen
Mengen gehörigen arithmetischen Produkte identisch, d. h. beide
= a. c. Nun ist aß' Teil von a. ß, also a. c kleiner als a : b,
w. z. b.w.
zu
.
.
Lebenslauf.
Ich, Kurt G r e 11 in g, evangelischer Konfession, wurde geboren am 2. März 1886 in Berlin als Sohn des Rechtsanwalts
Dr. jnr. Richard Grelling und seiner Frau Margarete, geh.
S i m o n. In den Jahren 1893 bis 1902 besuchte ich das französische Gymnasium in Berlin, darauf bis 1904 das Gymnasium
Ernestin um zu Gotha. In diesem Jahre bestand ich die Reifeprüfung. Ich studierte dann Mathematik, Physik und Philosophie
an den Universitäten Freiburg i. B., Berlin, Lausanne und Göttingen
und hörte Vorlesungen und nahm teil an U ebungen und Seminaren
bei folgenden Herren: Abraham, Born, Caratheodory,
G a b r i e 1 , H e r g I o t z , H i 1 b e r t , H i m s t e d t , H n s s e r I,
Klein, Lehm ann -Filhes, Lo ewy, Mink owsk i, G. E.
M ü 11 er, Ricke r t, R i e c k e, Ru n g e , S c human n, H. A.
S c h w a r z , T ö p l i t z , V o i g t, W a r b ur g, Wie c h er t , Z ermelo. Im Jahre 1910 bestand ich die Prüfung für das höhere
Lehramt und erwarb die Lehrbefähigung für alle Klassen in Mathematik, Physik und philosophischer Propädeutik.