Gleichstrom Version vom 29. November 2016

PW9
Gleichstrom
Version vom 29. November 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Solarzellen als Gleichstromquelle
1.1
Grundlagen
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Begrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3
Funktionsweise einer Solarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Aufgaben
1.3
Versuchsaufbau und Durchführung
1.4
Literaturangaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Begrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2
Prinzip einer realen Spannungsquelle
. . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
Aufgaben
2.3
Versuchsaufbau und Durchführung
2.4
Hinweise für das Protokoll
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3 Widerstandsbestimmung mittels Wheatstone-Brücke
Grundlagen
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.1
Begrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.2
Messprinzip einer Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Aufgaben
3.3
Versuchsaufbau und Durchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Belasteter Spannungsteiler
4.1
12
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
3.1
4
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Reale Spannungsquelle
2.1
3
1.1.1
Grundlagen
17
17
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Begrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2
Messprinzip eines belasteten Spannungsteilers
19
19
. . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.2
Aufgaben
4.3
Versuchsaufbau und Durchführung
4.4
Hinweise für das Protokoll
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
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1 Solarzellen als Gleichstromquelle
Lehr/Lernziele
•
Weiter entwickelte Methoden der Widerstandsmessung kennenlernen.
•
Aufbauen einfacher Schaltungen üben.
•
Wiederholung der wichtigsten Regeln und Gesetze, welche elektrische Schaltungen
bestimmen.
•
Messdaten und Diagramme auswerten und interpretieren können.
•
Fehlerrechnung praxisnah durchführen.
•
Wissenschaftliche Texte schreiben lernen.
1 Solarzellen als Gleichstromquelle
1.1 Grundlagen
1.1.1 Begrie
Stromquelle, Spannungsquelle, Photovoltaik, Solarzelle, p-n-Übergang, Strom-SpannungsKennlinie.
1.1.2 Einleitung
Jeder Stromkreis setzt sich aus einem oder mehreren
Verbrauchern
Erzeugern
und einem oder mehreren
elektrischer Energie zusammen. Im strengen physikalischen Sinne sind bei-
des Energiewandler. So gilt etwa die Umwandlung von mechanischer Energie in elektrische
Energie mittels Generator als Erzeugung. Die Umwandlung von elektrischer Energie in
mechanische Energie mittels Elektromotoren ist ein Beispiel für einen Verbraucher. In der
Elektrotechnik und Elektronik werden diese beiden Elemente sehr oft als
und
Senke
(Verbraucher) bezeichnet. Bei (idealen)
Quelle (Erzeuger)
Gleichstromquellen bleibt die abgegeWechselstromquellen
bene Spannung und der entnommene Strom konstant in der Zeit. Bei
ändern sich Strom und Spannung mit der Zeit.
Die Bezeichnung Stromquelle wurde oben für
jeden
Erzeuger elektrischer Energie ver-
wendet. Allerdings kann man eine Quelle auch anhand ihres Verhaltens im geschlossenen
Stromkreis bewerten. Eine
Spannungsquelle, z.B. eine Batterie, behält im Idealfall die
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1 Solarzellen als Gleichstromquelle
abgegebene Spannung bei, und zwar unabhängig von der Belastung. Das heiÿt: der Strom
stellt sich entsprechend dem angeschlossenen Verbraucher ein. Eine unangenehme Folge
dieses Verhaltens kann dann auftreten, wenn die Batterie kurzgeschlossen wird. Das würde
im Idealfall bedeuten, dass ein unendlich grosser Strom iessen müsste; in der Praxis kann
das eine Explosion zur Folge haben.
Die
Stromquelle im engeren Sinn zeigt ein umgekehrtes Verhalten. Sie hält den Strom
im Stromkreis unabhängig vom Verbraucher konstant. Als Konsequenz muss sich die Ausgangsspannung zwischen den Kontakten der Quelle ändern, wenn sich die Belastung durch
den Verbraucher ändert. Auch für eine ideale Stromquelle ist der Fall einer
Katastrophe
denkbar: wenn der elektrische Widerstand des Verbrauchers unendlich groÿ wird (Leerlauf ). Dann müsste die Spannung gegen unendlich gehen. In der Praxis tritt dieser Fall nie
ein, da die Stromquelle ab einer gewissen Spannung nicht mehr ideal ist.
Eine
photovoltaische Zelle (Solarzelle)
oder ein Modul, gebildet aus der Zusammenschal-
tung mehrerer Zellen, ist eine Gleichstromquelle. Die Bestimmung deren elektrotechnischer Eigenschaften ist Gegenstand dieses Experiments. In Abb. 1 sehen Sie die genormten
Schaltsymbole für eine Spannungsquelle und eine Stromquelle.
Abbildung 1: Schaltsymbole für eine Spannungsquelle (links) und eine Stromquelle
(rechts) nach DIN und IEC.
1.1.3 Funktionsweise einer Solarzelle
Eine Solarzelle ermöglicht die Umwandlung von (Tages-)Licht in elektrische Energie. Heute
übliche Zellen beruhen auf dem
inneren Photoeekt, der auf der Struktur der Energiebänder
in Halbleitern beruht, in denen sich die Elektronen benden. Im Grundzustand (T
=
K) gibt es zwischen dem vollbesetzten Valenzband und dem leeren Leitungsband eine
Energielücke, εG von etwa 1 eV (ElektronVolt 1 eV = 1,6.10(−19 ) Ws). Damit der Halbleiter
0
elektrisch leitend wird, müssen die Elektronen diese Lücke überwinden, entweder durch
thermische Aktivierung oder durch optische Anregung (innerer Photoeekt).
hν , wobei h das Planck'sche
ν die Frequenz des Lichtes sind. Im Vakuum gilt c = λν , wobei c die
und λ die Wellenlänge des Lichtes sind. Treen Photonen mit Ener-
Licht besteht im Teilchenbild aus Photonen mit der Energie
Wirkungsquantum und
Lichtgeschwindigkeit
gien
hν ≥εG
auf einen Halbleiter auf, so werden Elektronen aus dem gebundenen Zustand
im Valenzband ins Leitungsband angeregt, wo sie ähnlich wie in Metallen frei beweglich
sind. Auch die Elektronen-Leerstellen (Löcher) im Valenzband tragen zur Leitfähigkeit
bei. Man spricht von
Ladungsträgergeneration. Die Anzahl der angeregten Ladungsträger
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1 Solarzellen als Gleichstromquelle
ist gleich der Anzahl der absorbierten Photonen. Das heiÿt, ob und wieviele Ladungsträger
erzeugt werden, hängt von Intensität und spektraler Verteilung des Lichts ab, also von
Wellenlänge und Photonen-Energie.
Dotie-
Halbleiter haben die besondere Eigenschaft, dass sie durch gezieltes Verunreinigen (
ren ) mit anderen Substanzen in ihren elektrischen Eigenschaften in weiten Grenzen verändert werden können. Dotieren kann im selben Halbleiter sowohl freie Elektronen, als auch
positive, bewegliche Löcher freisetzen. Man spricht von n-Dotierung und p-Dotierung. Fügt
man einen n-Halbleiter und einen p-Halbleiter zusammen, so entsteht ein
p-n-Übergang.
An der Grenzäche entsteht durch Diusion und Rekombination der Ladungsträger eine
Sperrschicht, die fast frei von freien Ladungsträgern ist. Die elektrisch geladenenen Dotieratome werden hier nicht durch freie Ladungsträger neutralisiert (wie in den anderen
Bereichen der beiden Halbleiter). Die Folge ist ein eingebautes elektrisches Feld und
damit verbunden eine Potentialbarriere. Wegen der kleinen Dicke der Sperrschicht (Gröÿenordnung
eine
Diode
µm)
ist die Feldstärke sehr hoch. Elektrisch gesehen, stellt ein p-n-Übergang
dar, ein Element, das Strom nur in einer Richtung leitet und das erst ab einer
gewissen Schwellspannung
US
(auch:
Diusionsspannung ).
Wird diese überschritten, so
steigt der Strom durch die Diode exponentiell an. Hier eine dringende Empfehlung:
Das Video P-N-Übergan g auf der eLearning-Seite zu PW 9 erklärt die
Entstehung des p-n-Überganges sehr anschaulich!
Die Potentialbarriere spielt beim inneren Photoeekt die entscheidende Rolle. Gelangen
lichtgenerierte Elektronen in die Sperrschicht, dann werden sie im Feld beschleunigt und
damit von den Löchern getrennt (welche in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt
werden). Die kinetische Energie der Ladungsträger kann in einem äuÿeren Stromkreis als
Nutzenergie verwendet werden. Ohne Bestrahlung ist die Solarzelle einfach eine Diode, im
bestrahlten Zustand kommt eine Stromquelle als parallel geschaltetes Element dazu; somit
kann das elektrische Verhalten einer Solarzelle durch eine Stromquelle beschrieben werden,
der eine Diode als interner Verbraucher (= Verlust) parallel geschaltet ist (Abb. 2).
Abbildung 2: Elektrisches Ersatzschaltbild einer Solarzelle (links) und eines durch einen
Widerstand symbolisierten Verbrauchers (rechts).
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1 Solarzellen als Gleichstromquelle
Die Stromquelle erzeugt einen, der nutzbaren Lichtintensität proportionalen Strom iL , der
unabhängig von der angeschlossenen elektrischen Last (Verbraucher) ist.
spannung
Uext
stellt sich als Folge des elektrischen Widerstands
RL
1
Die Klemmen-
des Verbrauchers ein:
Uext = RL · iext
Innerhalb der Solarzelle ieÿt ein Strom
iD ,
(1)
der den lichtgenerierten Strom
so dass der im äuÿeren Stromkreis ieÿende Strom
iext
iL
verringert,
gegeben ist durch:
iext = iL − iD
(2)
Aus der Sicht der Erzeugung elektrischer Energie ist das ein unerwünschter interner Verlust.
Vom elektrotechnischen Standpunkt aus gesehen, ist diese Eigenschaft der Solarzelle allerdings eine wirkungsvolle Sicherung, die die oben erwähnte Möglichkeit einer unendlichen
Spannung im Fall des oenen Stromkreises (Leerlauf ) verhindert. Solange die Spannung
an der Diode in Abb. 2 unterhalb der Schwellspannung
US
liegt, ieÿt nahezu kein Strom
durch die Diode und der gesamte Strom der Stromquelle gelangt in den äuÿeren Stromkreis
(iext
≈ iL ).
Wenn die Spannung bei groÿen Lastwiderständen die Schwelle
US
überschrei-
tet, ieÿt Strom durch die Diode und iext geht rasch gegen Null. Dieses Verhalten führt zu
Strom-Spannungs-Kennlinien, wie sie in Abb. 3 für 2 Lichtintensitäten gezeigt sind.
Abbildung 3: Strom-Spannungskennlinien einer Solarzelle bei 2 Beleuchtungsstärken.
Für
RL = 10 Ω
sind die resultierenden (Iext , Uext )-Paare (sog.
punkte ) eingezeichnet. Graue Rechtecke: elektrische Leistungen.
Arbeits-
1 In diesem Teil von PW 9 werden Ströme oft mit kleinem i bezeichnet, wie in der Elektronik üblich.
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PW9
1 Solarzellen als Gleichstromquelle
Der von der Solarzelle abgegebene Strom ist für kleine Spannungen
Uext
nahezu konstant,
die Solarzelle arbeitet also als Stromquelle. Ab einer gewissen Spannung geht der Strom
rasch gegen Null - die innere Diode macht auf . Zwei wichtige Kenngröÿen bestimmen
Kurzschlussstrom IKS und die Leerlaufspannung ULL . Für den Fall
RL = 0 (idealer elektrischer Kurzschluss der Solarzelle) ist Uext = 0. Für diesen Fall wird
iext als Kurzschlussstrom IKS bezeichnet. Ist der äuÿere Stromkreis oen, so entspricht das
RL = ∞ (Leerlauf der Solarzelle). Der gesamte lichtgenerierte Strom ieÿt als interner Verluststrom über die Diode und iext = 0. Die Spannung Uext wird als Leerlaufspannung ULL
bezeichnet. IKS und ULL sind als ideale Gröÿen nicht experimentell zugänglich, sondern
werden durch die Extrapolation der Kennlinie nach RL = 0 bzw. RL = ∞ bestimmt.
die Kennlinie: der
Die Rechtecksächen im Strom-Spannungsdiagramm entsprechen den elektrischen Leistungen
Pext ,
die am jeweiligen Lastwiderstand
RL
erbracht werden. Aus der Kennlinie kann
daher ein Diagramm rechnerisch ermittelt werden, welches die Leistung
als Funktion von
RL = Uext /iext
Abbildung 4: Aus Abb. 3 berechnete Leistung
Pext
als Funktion des Lastwiderstands
für beide Beleuchtungsstärken. Das Maximum
Die gröÿtmögliche, der Solarzelle entnehmbare Leistung
widerstand
RL,max
Der Übergang von
Pext = Uext · iext
zeigt (Abb. 4).
Pmax
Pmax
tritt bei
RL,max
RL
auf.
sowie der zugehörige Last-
können aus Abb. 4 direkt abgelesen werden.
Uext < ULL
nach
Uext > ULL
erfolgt, wie Abb. 3 zeigt, nicht abrupt
(Stufenfunktion), sondern kontinuierlich. Wie gut die Kennlinie sich einer idealen Stufenfunktion annähert, wird durch den
Kurvenfüllfaktor CF F
CF F =
Pmax
IKS · ULL
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beschrieben, deniert durch:
(3)
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1 Solarzellen als Gleichstromquelle
also den Quotienten aus der Fläche des Rechteckes, das vom Arbeitspunkt mit der gröÿten
Leistung deniert wird und der Fläche des Rechteckes mit den Seitenlängen
(sozusagen der idealen Kennlinie).
CF F = 1
IKS
und
ULL
würde bedeuten: die Kennlinie ist eine
Stufenfunktion und der Arbeitspunkt bendet sich in der Ecke der Stufe. Gute Solarzellen
erreichen derzeit Werte von
CF F
Der optimale Lastwiderstand
zwischen 0,8 und 0,9.
RL,max
eines Verbrauchers ist für den Einsatz von Photo-
voltaikmodulen zur groÿtechnischen Erzeugung elektrischer Energie aus Sonnenlicht von
groÿer Bedeutung. Nur wenn die an eine Solaranlage angeschlossenen Verbraucher in Summe den optimalen Widerstands (annähernd) erreichen, kann sie ezient betrieben werden.
Die Kennzahl dafür ist der
Wirkungsgrad,
deniert als Quotient von abgegebener elek-
trischer Energie zu einfallender Solarenergie. Dieser bezieht sich immer auf die optimale
Anpassung des oder der Verbraucher an die Solarmodule. In der Praxis verwendet man
einen elektrischen Impedanzwandler. Auf dessen Eingangsseite wird der Widerstand (des
Wandlers) elektronisch den Erfordernissen der Solarmodule nachgeführt. Die Ausgangsseite (des Wandlers) zum Verbraucher hin ist vom Eingangsstromkreis unabhängig und wird
den Bedürfnissen des Verbrauchers angepasst. Damit wird der Wirkungsgrad des gesamten
Systems unabhängig von den angeschlossenen und eingeschalteten Verbrauchern.
1.2 Aufgaben
Im Beispiel PW 9 gibt es für jede Arbeitsgruppe
unterschiedliche Angaben für den Abstand
zwischen Solarzelle und Lampe. Den für Sie zutreenden Wert nden Sie in Tabelle 1.
1. Für zwei Beleuchtungsstärken bestimmen Sie durch Veränderung des Lastwiderstands die Strom-Spannungskennlinie I(U) (kurz Kennlinie).
2. Tragen Sie die Kennlinie grasch auf, wie in Abb. 3 gezeigt. Durch Extrapolation zu
den Achsen ermitteln Sie Kurzschlussstrom
IKS
und Leerlaufspannung
ULL .
3. Aus den Strom- und Spannungswerten berechnen Sie die entsprechenden Leistungswerte und die zugehörigen Lastwiderstände und tragen diese in ein Diagramm ähnlich
Abb. 4 ein.
4. Aus letzterem Diagramm bestimmen Sie den Punkt maximaler Leistung
dem zugehörigen Lastwiderstand
IKS
,
samt
RL,max .
5. Berechnen Sie den Kurvenfüllfaktor
6. Stellen Sie alle Kenndaten
Pmax
CF F
für beide Beleuchtungsstärken.
ULL , CF F ,
und
RL
für beide Beleuchtungsstärken
in einer Tabelle zusammen.
Wählen Sie entsprechend Ihrer Gruppennummer die beiden Abstände zwischen Lampe
und Solarmodul aus Tabelle 1.
- 8 -
PW9
1 Solarzellen als Gleichstromquelle
Tabelle 1: Abstände zwischen Lichtquelle und Solarzelle
Gruppe
1. Abstand in cm
2. Abstand in cm
1
21,5
15,0
2
20,0
14,0
3
19,0
13,0
4
21,0
16,0
5
18,5
13,5
6
20,5
12,5
7
17,5
13,0
8
21,5
14,5
9
19,5
15,5
10
21,0
13,5
11
18,0
14,0
12
20,5
14,5
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Für diesen Versuch benötigen Sie:
•
Ein kleines Solarzellenmodul montiert in einem Gehäuse mit Lampe.
•
Einen zwischen 0
•
Einen Widerstand
Ω
und 1 kΩ variablen Widerstand
RI = 0, 514 Ω (± 0, 2%
RL
der als Verbraucher dient.
o
bei 22 C und
RI · I 2 ≤ 5
mW) zur
Strombestimmung.
•
Zwei Gleichspannungsmessgeräte (z.B. Fluke 183).
Anhand des Schaltplans in Abb. 5 wird der Versuch aufgebaut.
Abbildung 5: Schaltung zur Messung der Strom-Spannungskennlinie einer Solarzelle.
- 9 -
PW9
1 Solarzellen als Gleichstromquelle
Das Solarzellenmodul ist auf einer Hebebühne montiert, sodass sein Abstand zur Lampe geändert werden kann. Dadurch lassen sich verschiedene Beleuchtungsintensitäten einstellen.
Der Abstand wird zwischen Solarzelle und der inneren, oberen Kante der Box gemessen.
Wie oben erklärt, ist der Bereich der kleinen Lastwiderstände
RL ≈ 0
für die Auswertung
der Daten wichtig. Aus diesem Grund wird der Strom nicht mittels eines Amperemeters
gemessen (wegen des Innewiderstands des Messgerätes). Anstelle dessen wird ein Messwi-
RI verwendet und die Spannung UI an diesem registriert. Der Strom ergibt sich
aus I = UI /RI (Ohm'sches Gesetz). Mit dem zweiten Voltmeter messen Sie die Klemmenderstand
spannung an der Stromquelle. Der Messaufbau ist in Abb. 6 zu sehen.
Abbildung 6: Aufgebautes Experiment zur Bestimmung der Strom-Spannungskennlinie
eines Solarmoduls.
Vor der Messung wird der Abstand zwischen Solarzellenmodul und Lampe eingestellt. Beginnen Sie dabei mit dem gröÿeren der beiden in Tabelle 1 enthaltenen Abstände. Dann
schalten Sie die Lampe ein und warten, bis Lampe und Solarmodul eine stabile Temperatur
erreicht haben. Das wird etwa 10-15 Minuten nach dem Einschalten der Lampe der Fall
sein. Nun können Sie mit der Messung beginnen. Drehen Sie dazu den variablen Widerstand
RL
bis zu einem der beiden Anschläge (0
Ω
oder 1 kΩ). Der tatsächliche Wert des
Widerstands ist belanglos, da Sie sowohl Strom als auch Spannung direkt messen. Notieren Sie die Werte der Spannung (Klemmenspannung) und des Stromes. Ändern Sie danach
schrittweise den Lastwiderstand und zeichnen Sie damit die Kennlinie auf. Orientieren Sie
sich an den Kennlinien in Abb. 3, um die Anzahl der Messpunkte zu bestimmen, die für
die verschiedenen Bereiche der Kennlinie notwendig sind. Empfehlenswert ist auch, die
Kennlinie schon während der Messung mittels QTIPlot zu zeichnen.
- 10 -
PW9
1 Solarzellen als Gleichstromquelle
Messen Sie, bis Sie den Anschlag des variablen Widerstands erreicht haben. Nahe der Leerlaufspannung ändert sich der Strom stark und die Klemmenspannung nur wenig. Nahe des
Kurzschluss-Stroms ändert sich die Klemmenspannung stark und der Strom nur wenig. Es
empehlt sich ein zügiges Arbeiten, soweit es der sorgfältigen Durchführung der Messungen nicht entgegensteht. Zu langes Messen könnten zu deutlichen Temperaturänderungen
führen, welche sich in einer Verformung der Kennlinie zeigen würden.
Auf der eLearning-Seite zu PW 9 nden Sie folgende Hilfsmittel:
→
das Lernvideo Grundlagen des Schaltungsbaus (Aufbauen elektri-
scher Schaltungen),
→
→
das bereits erwähnte Video p-n-Übergang,
eine vorbereitete Tabelle zum Eintragen ihrer Messdaten (auch als
Vorlage für eine Tabelle in QTIPlot geeignet),
→
→
ein Glossar elektrischer Begrie,
eine Tabelle der wichtigsten Schaltsymbole.
Wenn Sie das Programm QTI-Plot verwenden (empfohlen), können Sie mathematische
Operationen
spaltenweise
durchführen, etwa zur Bestimmung des Stroms und zur Be-
rechnung der Widerstands- und Leistungswerte. Die Erstellung eines Diagrammes ist in
QTI-Plot sehr einfach. Auÿerdem kann das Programm lineare Kurvents berechnen, welche Sie benutzen können, um die beiden Achsenschnittpunkte
IKS
und
ULL
zu ermitteln
(siehe Leitfaden).
1.4 Literaturangaben
•
Bergmann Schaefer, "Elektrizität und Magnetismus", Band 2, 7. Auage, Walter de
Gruyter, New York 1987, p.668 und p.762
•
Demtröder, "Experimentalphysik 3", 2. Auage, Springer, New York, p468.
•
Stichworte in der online Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/ Photovoltaik, Stromquelle
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PW9
2 Reale Spannungsquelle
2 Reale Spannungsquelle
2.1 Grundlagen
2.1.1 Begrie
Quellenspannung, Klemmenspannung, Innenwiderstand, Ohmsches Gesetz, Kirchhosche
Regeln.
2.1.2 Prinzip einer realen Spannungsquelle
Die
ideale
Spannungsquelle ändert ihre Spannung nicht, unabhängig von der entnomme-
nen Stromstärke.
Reale
Spannungsquellen zeigen jedoch eine Abnahme der Spannung als
Funktion des Stromes, welche nur für kleine Ströme vernachlässigbar ist. Diesen Eekt
kann man beschreiben, indem man der Spannungsquelle einen
Innenwiderstand Ri zuord-
net, an welchem im Falle der Belastung (= Stromuss) eine Spannung entsteht, welche die
externe Spannung (=
Klemmenspannung ) reduziert.
Im Ersatzschaltbild liegt eine ideale
Spannungsquelle (Innenwiderstand = 0) in Serie mit dem Widerstand
dem Lastwiderstand
Ri
(Abb. 7) und mit
RL .
Abbildung 7: Einfacher Stromkreis mit einer Batterie als Spannungsquelle.
Die Spannung
U0
der idealen Batterie heiÿt
und B messbare Spannung
Quellenspannung,
UKL Klemmenspannung.
- 12 -
die an den Kontakten A
Alles, was in Abb. 7 innerhalb des
PW9
2 Reale Spannungsquelle
gestrichtelten Kästchens liegt, ist in der realen Batterie eingebaut - nur die beiden Kontakte (Klemmen) an der Batterie sind zu sehen. Der Strom in der Schaltung ist nach
dem Ohmschen Gesetz gleich
Spannungsabfall von
IRi ,
I = U0 /(Ri + RL ).
Er bewirkt am Innenwiderstand einen
daher ist die Klemmenspannung:
UKL = U0 − IRi .
(4)
Gleichung 4 zeigt, dass die Klemmenspannung durch die Belastung (= Stromuss)
wird als die Quellenspannung und zwar ist die Abnahme
(entspricht
RL = ∞,
also oenen Klemmen) gilt
Weg zur Bestimmung von
UKL (I),
Ri :
linear
UKL = U0 .
in
I.
Nur im Fall
kleiner
I =0
Gleichung 4 zeigt auch einen
misst man die Klemmenspannung als Funktion des Stromes
dann erhält man eine (fallende) Gerade, deren Steigung gleich
Ri
ist. Eine solche
Bestimmung ist der Inhalt dieses Experimentes.
2.2 Aufgaben
1. Nehmen Sie die Strom-Spannungskennlinie
UKL (I)
einer Batterie auf.
2. Bestimmen Sie aus der Kennlinie den Innenwiderstand der Batterie
lenspannung
Ri
und die Quel-
U0 .
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abb. 8 zeigt ein Foto des Messaufbaues. Die Batterie, ein Taster und die wichtigsten
Verbindungsleitungen sind auf einem Plastikbrett montiert. Als Volt- und Amperemeter
dienen 2 Digitalvoltmeter (z.B. Fluke 183), als Lastwiderstand eine
Widerstandsdekade 2 .
Die notwendigen Stromleitungen sind in Abb. 8 als rote Linien angedeutet. Beachten Sie
in Abb. 8, wie die Widerstanddekade eingebaut werden muss. Die Batterie kann eine gewöhnliche Batterie oder auch eine auadbare RAM-Zelle sein. Das Voltmeter misst direkt
die Klemmenspannung der Batterie. Der Strom ieÿt nur, wenn der Taster gedrückt wird.
2 In einer Widerstandsdekade sind zahlreiche Ohmsche Widerstände eingebaut, die mittels der Schalter
auf verschiedene Weise kombiniert werden können. Der Gesamtwiderstand der Dekade ändert sich
dadurch in diskreten Stufen und ist gleich der Summe der Zahlen über den eingestellten Schaltern.
- 13 -
PW9
2 Reale Spannungsquelle
Abbildung 8: Messaufbau zur Bestimmung des Innenwiderstandes.
Den Taster
nur solange drücken, wie es zum Ablesen der Messgeräte notwendig ist.
Dieses Vorgehen ist notwendig, weil die Batterie als galvanische Zelle ihre Eigenschaften
durch Stromabgabe verändert. Vor allem bei kleinen Lastwiderständen (= groÿen Strömen)
würde die Batterie ihre Eigenschaften während der Messung ändern.
Vorgangsweise zur Aufnahme und Auswertung der Strom-Spannungskennlinie:
•
Messen Sie zunächst die Leerlaufspannung (Taster oen!).
•
Beginnen Sie mit einem Lastwiderstand von ca. 200
derstand sukzessive bis ca. 10
Ω.
Ω
Widerstände < 10
und verkleinern Sie den Wi-
Ω
sollten NICHT verwendet
werden, da sie die Batterie zu hoch belasten! Notieren Sie für jeden Lastwiderstand
die Klemmenspannung
•
UKL
und den Strom
I.
Nach jeder Ablesung warten Sie, bis sich die Leerlaufspannung stabilisiert hat (Taster
oen!). Der Anfangswert wird allerdings meist nicht mehr erreicht.
- 14 -
PW9
•
2 Reale Spannungsquelle
Tragen Sie dann die Messwerte grasch auf und bestimmen Sie aus der Steigung der
Geraden den Innenwiderstand der Batterie (siehe Gleichung 4). Für die Auswertung
bestens geeignet ist das Programm QTI-Plot, das Ihnen auch gleich den Fehler des
Anstieges errechnet (siehe
Leitfaden ).
Vor allem bei kleinen Strömen kann die Kennlinie beträchtlich vom linearen Verlauf abweichen. Die Auswertung darf dann nur mit dem linearen Teil durchgeführt
werden!
In Gleichung 4 wird der Innenwiderstand als konstant, also unabhängig vom Strom, vorausgesetzt. Die Messergebnisse zeigen, dass dies nur in einem Teilbereich der Fall ist. In
QTI-Plot kann man den Datenbereich für Kurvenanpassungen einschränken.
3
2.4 Hinweise für das Protokoll
Stellen Sie die
UKL (I)-Kennlinie in einem Diagramm dar (bzw. in zwei Diagrammen, wenn
Sie zur Auswertung ein eigenes verwenden, siehe Versuchsdurchführung). Anzugeben ist der
Innenwiderstand
und die
Quellenspannung
und deren
Fehler (im Text ! Ein bloÿer Verweis
auf das Diagramm genügt nicht!) Wenn die Kennlinie bei kleinen
I
stark vom linearen
Verlauf abweicht, dann ist die Quellenspannung nicht nur aus der linearen Extrapolation
auf
I = 0, sondern auch aus dem Verlauf der Kennlinie abzuschätzen (Augenmaÿ genügt!)
und mit der gemessenen Leerlaufspannung zu vergleichen. Wenn Sie die Auswertung mit
QTI-Plot durchführen, dann erhalten Sie aus der linearen Regression direkt die Fehler der
beiden Gröÿen.
4
Beim Fehler des Anstieges können Sie z.B. so vorgehen:
1) Suchen Sie 2 Punkte der Kennlinie aus, die möglichst genau auf der Ausgleichsgerade
liegen. Die Steigung der Geraden ist dann
k = (U2 − U1 )/(I2 − I1 ).
2) Bestimmen Sie die
Fehler jeder Gröÿe in diesem Quotienten (Betriebsanleitung). 3) Berechnen Sie mit dem
Gauÿ'schen Fehlerfortpanzungsgesetz sukzessive die Fehler des Zählers und des Nenners,
sowie des Quotienten. Für Summen/Dierenzen und für Quotienten gibt es vereinfachte
Formeln (siehe
Leitfaden ).
Der Fehler der Quellenspannung ist annähernd gleich dem Fehler der Spannung beim
kleinsten gemessenen Strom.
3 Andere Möglichkeit: in einem 2. Diagramm nur die Messwerte eintragen, die einen linearen Verlauf zeigen
und die lineare Regression in diesem Diagramm durchführen. Das 1. Diagramm mit
sollte jedoch ebenfalls im Protokoll enthalten sein!
allen
Messwerten
4 Falls Sie ein anderes Programm verwenden (nicht empfohlen!), müssen Sie den Fehler aus den Gerätegenauigkeiten abschätzen und die Fehlerfortpanzung anwenden.
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PW9
3 Widerstandsbestimmung mittels Wheatstone-Brücke
3 Widerstandsbestimmung mittels Wheatstone-Brücke
3.1 Grundlagen
3.1.1 Begrie
Ohm'scher Widerstand, Spannungsteiler(Schleifdrahtwiderstand), Brückenschaltung, Nullabgleich, Serien- bzw. Reihenschaltung, Parallelschaltung.
3.1.2 Messprinzip einer Brückenschaltung
Das Messverfahren der Wheatstonebrücke dient im Allgemeinen der Berechnung eines unbekannten Widerstandes. Dabei werden vier Widerstände in einem Schaltkreis zusammengeschlossen, wobei zwei zueinander parallel geschaltete Zweige jeweils zwei in Serie
geschaltete Widerstände enthalten. Die Schaltskizze einer Wheatstonebrücke zeigt Abb. 9.
Abbildung 9: Schaltskizze einer Wheatstonebrücke
Für die Messung eines unbekannten Widerstandes
derstand
R0 .
Von zwei weiteren Widerständen
Ra
nis kennen. Ist dieses Verhältnis gleich groÿ wie
Rx
benötigt man einen bekannten Wi-
und Rb muss man lediglich
Rx :R0 so bendet sich die
das VerhältBrücke (der
Verbindungsast zwischen den beiden Widerständen) im ausgeglichenen Zustand. An beiden Zweigen der Parallelschaltung liegt dieselbe Spannung an. Da die seriell geschalteten
Widerstände im selben Verhältnis stehen, fällt an
Rx
und
Ra
bzw.
R0
und
Rb
dieselbe
Spannung ab. Somit bendet sich an der Brücke kein Potentialunterschied. Es liegt also keine Spannung an und ieÿt kein Strom. In Abb. 9 erkennt man den ausgeglichenen
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3 Widerstandsbestimmung mittels Wheatstone-Brücke
Zustand
∆U = 0
an der schwarzen Verbindung (mittlere Stellung der Pfeile) der beiden
Teilstrecken. Hier ist das Verhältnis der Widerstände gleich groÿ und der Potentialunterschied an der Brücke gleich Null. Ist das Verhältnis der Widerstände nicht ident, herrscht
ein Potentialunterschied, dargestellt durch die blaue bzw. rote (rechte
Stellung
∆U > 0)
∆U < 0
bzw. linke
Verbindung. Für den ausgeglichenen Zustand gilt:
I1 · Ra = I2 · Rx
(5)
I1 · Rb = I2 · R0
(6)
Ra
Rx
=
Rb
R0
(7)
und
Durch Dividieren ergibt sich:
und somit
Rx = R0 ·
Ra
Rb
(8)
Wie schon erwähnt, ieÿt weder Strom noch liegt eine Spannung am Messgerät an. Daher
ist es nicht relevant, ob man ein Ampere- oder Voltmeter verwendet. Man braucht lediglich
ein Messgerät, dessen Nullpunkt kalibiert ist, um den ausgeglichenen Zustand zu nden.
Somit ieÿt auch der Messfehler des Messgerätes nicht in die Berechnung mit ein.
In PW 9 werden
Ra
und
Rb
durch die beiden Teile des Schleifdrahtwiderstandes realisiert.
Da der Draht über seine gesamte Länge konstanten Querschnitt und konstanten spezischen Widerstand besitzt, stehen die Teilwiderstände im selben Verhältnis wie ihre Längen
a und b. Somit gilt
Ra : Rb = a : b,
wodurch nur die Längen gemessen werden müssen.
3.2 Aufgaben
1. Messen Sie mit Hilfe der Brückenschaltung drei unbekannte Widerstände
2. Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung aus
RF ,RG ,RM .
RG
und
RM
und
RG
und
RM
und
vergleichen Sie das Messergebnis mit der Berechnung.
3. Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung aus
verlgeichen Sie das Messergebnis mit der Berechnung.
3.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abb. 10 zeigt die Geräte welche bei dem Versuch verwendet werden. Diese Geräte werden
nach Abb. 9 miteinander verbunden.
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3 Widerstandsbestimmung mittels Wheatstone-Brücke
Abbildung 10: Geräte zum Aufbau der Wheatstonebrücke: 2,3-V-Spannungsnetzgerät
(1), Schleifdrahtwiderstand (2), Widerstandsdekade (bekannter Widerstand, 3), Zeigeramperemeter (4), unbekannter Widerstand (5).
Bei Verwendung der Widerstandsdekade ist es wichtig, dass
R0 immer gröÿer null ist, damit
das Amperemeter im Stromkreis nicht kurzgeschlossen wird. Achten Sie also stets darauf,
zuerst einen zusätzlichen Widerstand dazu zu schalten, bevor Sie einen anderen entfernen.
Beginnen Sie mit dem Widerstand
von
R0 = 100 Ω
RG .
Stellen Sie bei der Widerstandsdekade einen Wert
ein. Verschieben Sie den Schleifdrahtwiderstand so lange, bis das Am-
peremeter Null anzeigt. Zur Feinabstimmung drücken Sie die rote Taste und optimieren
Sie das Ergebnis. Lesen Sie die Längen am Spannungsteiler ab und bestimmen Sie das
Verhältnis
Ra /Rb = a/b.
Berechnen Sie daraus und mit
R0
den unbekannten Widerstand.
Führen Sie auch eine Fehlerrechnung durch. Warum ist diese Messung jedoch nicht ideal?
- Argumentieren Sie die Frage hinsichtlich der Messgenauigkeit.
Führen Sie die Messung ein zweites Mal mit
RG
durch, wobei Sie nun sowohl den Schie-
beregler als auch die Widerstandsdekade verändern dürfen. Das Ergebnis wird genauer,
wenn sich der Schieberegler in der Mitte der Widerstandsleiste bendet. Verändern Sie
R0
dementsprechend und bestimmen Sie noch einmal das Verhältnis. Berechnen Sie wieder den
unbekannten Widerstand mit seinem Fehler. Warum hat sich der Fehler nun verringert?
Führen Sie eine optimierte Messung mit den anderen beiden Widerständen durch.
Bauen Sie eine
Serienschaltung
aus
RG
und
RM
auf. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand
dieser Schaltung und überlegen Sie, welcher Widerstand an der Widerstandsdekade eingestellt werden muss, damit die Messung optimiert wird (wie man den Gesamtwiderstand
einer Serien- bzw. Parallelschaltung berechnet, sollte nach dem Beispiel PW 1 bekannt
sein). Führen Sie die Messung durch und vergleichen die Resultate.
Dieser Versuch wird mit einer
Parallelschaltung
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aus
RG
und
RM
iederholt.
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4 Belasteter Spannungsteiler
4 Belasteter Spannungsteiler
4.1 Grundlagen
4.1.1 Begrie
Spannungsteiler, Ohmsches Gesetz, Kirchhosche Regeln, Potentiometer.
4.1.2 Messprinzip eines belasteten Spannungsteilers
Nach den Kirchhoschen Regeln gilt für die beiden Teilspannungen in einem
unbelasteten
Spannungsteiler [siehe Abb. 11 a)]:
UB
RB
=
.
Uges
RA + RB
(9)
Abbildung 11: Spannungsteiler. a)unbelastet, b)belastet.
Wird zu
RB
ein Lastwiderstand
RL
parallel geschaltet [siehe Abb: 11 b)], so hat diese
Parallelschaltung nach den Kirchhoschen Regeln den Widerstand
R3 =
Für das Verhältnis
UB /Uges
R3 :
RB RL
.
RB + RL
erhalten wir in diesem Fall:
UB
R3
RB RL
=
=
.
Uges
RA + R3
RL (RA + RB ) + RA RB
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(10)
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4 Belasteter Spannungsteiler
Abbildung 13: Spannung am Lastwiderstand in einem belasteten Spannungsteiler als
Funktion von
r1
für einige Werte von
rL .
Abbildung 12: Spannungsteiler mittels eines Potentiometers.
In der Praxis wird ein Spannungsteiler oft durch einen regelbaren Widerstand (Potentiometer ) realisiert. Mit einem Potentiometer kann aus einer Gesamtspannung U ein variabler
Teil
UL
entnommen werden, um einen Verbraucher mit Spannung zu versorgen. Der Ge-
samtwiderstand des Potentiometers sei
R
und der abgegriene Teilwiderstand
R1
(siehe
Abb.12). Nach Gleichung 10 erhält man in diesem Fall folgende äquivalente Form:
R1 RL
UL
=
.
U
RL R + R1 (R − R1 )
Diese Gleichung kann noch durch Einführen der dimensionslosen Gröÿen
R1 /R, rL = RL /R
(11)
u = UL /U, r1 =
(reduzierte Widerstände bzw. Spannungen) verallgemeinert werden.
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4 Belasteter Spannungsteiler
Kürzen von Gleichung 11 durch
R2
und Einführen der reduzierten Gröÿen ergibt:
u=
r1 rL
.
rL + r1 (1 − r1 )
(12)
Gleichung 12 ist frei von dimensionsbehafteten Gröÿen und beschreibt das
halten des belasteten Spannungsteilers. Abb. 13 zeigt
u(r1 )
allgemeine Ver-
für mehrere Werte von
rL .
Sämtliche Kurven in Abb. 13 haben die Punkte (0,0) und (1,1) gemeinsam (warum?). Für
rL → ∞
nähert sich die Kurve (Kennlinie) der 1. Mediane an, die den unbelasteten Span-
nungsteiler beschreibt (wieso?). Für
rL → 0 biegt sich die Kurve immer weiter nach unten,
d.h. die vom Potentiometer abgegriene Spannung wird immer kleiner. Diese Abweichung
vom linearen Verlauf ist oenbar
her benutzt werden um
R
rL
ein Maÿ für die Gröÿe des Lastwiderstandes und kann daRL
und somit auch
zu bestimmen, wenn der Gesamtwiderstand
des Potentiometers bekannt ist. Genau das ist in diesem Experiment durchzuführen.
Bei wachsendem Lastwiderstand muss diese Gleichung 12 in die Gleichung 9 (unbelasteter
Spannungsteiler) übergehen. Und in der Tat erhalten wir für
Ausdruck:
u=
rL r1 > r1 (1 − r1 )
den
R1
UL
= r1 =
,
U
R
der sich von Gleichung 9 nur durch die geänderten Variablenbezeichnungen unterscheidet.
4.2 Aufgaben
1. Messen Sie für 3 Lastwiderstände
UL /U
RA ,RB
und
RC
die relative Lastspannung
als Funktion des reduzierten Teilwiderstandes
r1 = R1 /R
u =
und stellen Sie die
Ergebnisse in einem Diagramm analog zu Abb. 13 dar.
2. Bestimmen Sie aus den Kennlinien die Gröÿe der Lastwiderstände
RA ,RB ,RC
4.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abb. 14 zeigt ein Foto der Messanordnung. Er besteht aus 2 Digitalvoltmetern (Fluke 183),
einem Netzgerät, einem Potentiometer und einem Lastwiderstand. Die Widerstände sind
auf ein Schaltbrett gesteckt. Die Linien auf dem Schaltbrett kennzeichnen elektrische Verbindungen. Leitungen zwischen den Kontakten (Löcher) können durch Steckverbindungen
oder auch durch Kabel hergestellt werden.
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4 Belasteter Spannungsteiler
Abbildung 14: Messaufbau zur Untersuchung des belasteten Spannungsteilers.
Auf den richtigen Einbau des Potentiometers ist besonders zu achten. In Abb. 15 ist eine
vergröÿerte Aufnahme zu sehen. Das Schaltschema auf dem Potentiometer zeigt, wie die
Kontakte zu schalten sind. Zwischen den Kontakten 1 und 2 wird die Teilspannung für den
Lastwiderstand abgegrien, zwischen 1 und 3 liegt der Gesamtwiderstand
R; dort muss also
das Netzgerät angeschlossen werden. In dem Schaltschema ist auch der Gesamtwiderstand
des Potentiometers angegeben. Bei dem Potentiometer in Abb. 15 ist das 10 kΩ.
Die Trommel auf dem Potentiometer zeigt den Bruchteil des Gesamtwiderstandes an, der
zwischen 1 und 2 abgegrien wird. Die Zahl in dem kleinen Sichtfenster ist als erste Nachkommastelle zu interpretieren (Anzeige springt nach jeder vollen Umdrehung um 1 weiter),
die Zahlen auf der drehbaren Skala bedeuten die weiteren Stellen. Diese Ablesung entspricht
also genau der Denition des reduzierten Teilwiderstandes
werden. In Abb. 15 ist beispielsweise gerade
r1 = 0.766
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r1 , d.h. r1
eingestellt.
kann
direkt abgelesen
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4 Belasteter Spannungsteiler
Abbildung 15: Vergröÿerte Abbildung des Potentiometers.
Zur Messung der Kennlinie
u(r1 )
und ihrer Auswertung sei folgende Vorgangsweise emp-
fohlen:
•
Messen Sie die Spannungen
U
und
UL
für
r1 = 0, 0.1, 0.2, ..., 1,
jeweils für die 3
Lastwiderstände.
•
Tragen Sie
•
Bestimmen Sie mit Hilfe der Gleichung 12 die Lastwiderstände
u = UL /U
für den Wert von
r1 ,
gegen
r1
grasch auf.
RA ,RB
und
RC
jeweils
bei dem die gröÿte Abweichung vom linearen Verlauf (der 1.
Mediane) auftritt (Bestimmung nach Augenmaÿ genügt).
4.4 Hinweise für das Protokoll
Die Diagramme der Kennlinien
u(r1 )
für die 3 Lastwiderstände sind ins Protokoll aufzu-
nehmen. Sie können die 3 Kennlinien auch in 1 Diagramm zeichnen.
Weiters sind die 3 Widerstandswerte inklusive Fehler anzugeben. Für die Fehlerabschätzung kann der Gesamtwiderstand des Potentiometes
R
als fehlerfrei betrachtet werden.
Die verbleibenden Fehlerquellen sind dann die beiden gemessenen Spannungen (→ Fehler
u) und der abgegriene Widerstand R1 (→ Fehler von r1 ). Als Fehler der Spannungen
dienen wieder die Gerätegenauigkeiten, der Fehler von r1 kann als kleinster abzulesender
von
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4 Belasteter Spannungsteiler
Skalenteil (= 0.001) abgeschätzt werden. Aus diesen Einzelfehlern ist dann der Fehler des
Resultates zu ermitteln.
Die Behandlung der Gleichung 12 mit dem Fehlerfortpanzungsgesetz ist nicht ganz einfach
(aber durchführbar!). Sie können ersatzweise auch eine Abschätzung des
Maximalfehlers
durchführen (einfacher). Der Maximalfehler ist die gröÿtmögliche Änderung des Resultates
aufgrund der Einzelfehler, wobei die Einzelfehler so zusammenwirken, dass sie in die
selbe
Richtung wirken.
Vorgangsweise: errechnen Sie zunächst den Widerstandswert wie in der Versuchsdurchführung beschrieben aus den 2 Werten
r1
u
und
r1 .
Hierauf addieren/subtrahieren Sie zu
u
und
deren Fehler so, dass die Änderungen in die selbe Richtung wirken, also das Resultat
vergröÿern bzw. verkleinern und errechnen so 2 weitere Werte des Widerstandes. Die gröÿte
Abweichung vom ursprünglichen Resultat geben Sie dann als Maximalfehler an.
Ein kleines Beispiel zur Erläuterung:
Angenommen Sie berechnen eine Gröÿe z = y/(1+x) aus den Messwerten x±∆x und
y ± ∆y . x und y seien beide positiv.
Eine untere Schranke z1 für z ergibt sich, wenn Sie in der Formel y durch y −
∆y und x durch x + ∆x ersetzen (beides macht z kleiner!).
Eine obere Schranke z2 für z ergibt sich, wenn Sie in der Formel y durch y +
∆y und x durch x − ∆x ersetzen (beides macht z gröÿer!).
Wenn Sie die gröÿere der beiden Abweichungen (z−z1 , z2 −z) als Fehler angeben,
dann beschreibt diese die gröÿtmögliche Abweichung vom Resultat z aufgrund der
Messfehler ∆x, ∆y ..
Der Maximalfehler beruht auf einer worst-case-Annahme, weil es unwahrscheinlich ist,
dass die tatsächlichen Fehler der Messung so zusammenwirken, dass sie in die gleiche
Richtung wirken. Der Fehler nach der Gauÿ'schen Fehlerfortpanzung ist immer kleiner!
Die Art der Fehlerabschätzung ist im Protokoll zu beschreiben.
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