Ist die Welt supersymmetrisch? - Server der Fachgruppe Physik der

Ist die Welt supersymmetrisch?
Ausarbeitung des gleichnamigen Seminarvortrags aus der Reihe
„Hadron-Kollider-Experimente bei sehr hohen Energien“
im Wintersemester 2006/2007
von
Maurice Stephan
betreut durch
Prof. Dr. T. Hebbeker
RWTH Aachen
Das Standardmodell der Teilchenphysik (SM) macht bemerkenswerte Voraussagen für die von uns gemachten
Beobachtungen im Experiment.
Dennoch bleibt eine Vielzahl von Fragen unbeantwortet.
Offensichtlich gibt es Physik jenseits des Standardmodells.
Eine solcher Theorien, die diese Physik beschreibt, ist die
Supersymmetrie (SUSY).
Eine Supersymmetrie verknüpft bosonische Zustände mit
fermionischen, und umgekehrt.
Eine direkte Konsequenz daraus ist die Existenz neuer
fundamentaler Teilchen, die im Standardmodell nicht
auftreten.
Inhalt
1 Motivation
1.1 Große Vereinheitlichende Theorie (GUT)...................................................... 2
1.2 Dunkle Materie.............................................................................................. 3
1.3 Hierarchie-Problem........................................................................................ 4
2 Theorie
2.1 SUSY-Algebra ............................................................................................... 5
2.2 Supermultiplets.............................................................................................. 5
2.3 Superpartner, SM-Teilchen und SUSY-Teilchen........................................... 7
2.4 SUSY-Brechung, Lagrangedichte ................................................................. 9
2.5 Feynman-Diagramme.................................................................................... 9
2.6 SUSY-Modelle, SUSY-Parameter ................................................................. 10
2.7 SUSY-und Higgs-Teilchenmassen ................................................................ 12
3 Suche nach Supersymmetrie
3.1 Vorgehensweise............................................................................................ 14
3.2 Kosmologie ................................................................................................... 15
3.3 Indirekte SUSY-Einflüsse.............................................................................. 16
3.4 Beschleuniger-Experimente
3.4.1 LEP
3.4.1.1 Smyonen............................................................................. 17
3.4.1.2 Higgs-Bosonen ................................................................... 19
3.4.2 TeVatron
3.4.2.1 Gluinos................................................................................ 20
3.4.3 LHC-Möglichkeiten............................................................................... 21
3.5 Übersicht: Massengrenzen.......................................................................... 23
Literaturangaben............................................................................................................. 24
Bildernachweis................................................................................................................ 24
1
1 Motivation
1.1 Große Vereinheitlichende Theorie (GUT) (engl.: Grand Unified Theory)
Ähnlich wie es gelungen ist, die elektromagnetische und die schwache Kraft auf ein und
dieselbe Wechselwirkung zurückzuführen, möchte man es erreichen, die elektroschwache
mit der starken Wechselwirkung zu vereinen.
Betrachten wir zunächst die uns bekannten Kopplungskonstanten. Diese hängen von der
Energieskala ab, bei der wir sie betrachten. (1.1) zeigt dies am Beispiel der Quantenelektrodynamik (QED):
=
0 
mit 0=
2
1−0 0 ln 


02
1
∑ Q 2f  0
3 f
(1.1)
Hierbei erstreckt sich die Summe über alle Fermionsorten im Loop, deren Masse klein ist
im Vergleich zu  . Die Anzahl der virtuellen Teilchen beeinflusst also die Kopplungskonstanten.
Entsprechendes gilt nun auch für  S und die Kopplungen g 2 und g ' 2 der elektroschwachen Wechselwirkung.
Ziel ist es nun, diese drei Kopplungskonstanten zu höheren Energien zu extrapolieren, in
der Hoffnung, man findet einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Wir wollen die Kopplungen zunächst redefinieren:
1=c 1

g '2
=c 1
,
4
cos2 W
 2=c 2

g2
=c 2 2 , 3=c 3  S
4
sin W
(1.2)
Der nächste Schritt sieht vor, dass wir eine Gruppe G suchen, die die
SU 3C x SU 2L x U 1Y enthält.
Wir verlieren hierbei allerdings die Freiheit die Konstanten c 1, c 2, c 3 frei zu wählen. Eine
solche Gruppe G wäre zum Beispiel die SU 5 . Hier ist dann beispielsweise
c 1 = 5/3, c 2 = c 3 = 1
(1.3)
Abbildung (Abb.) 1.1 zeigt nun die extrapolierten Kopplungskonstanten.
Wir sehen, dass sie sich nicht wie gehofft in einem Punkt bei etwa 1015 GeV schneiden.
SUSY bringt uns nun neue Teilchen. Diese ändern die Kopplungskonstanten. Mit der
Annahme, dass die Massen dieser Teilchen
mSUSY = 100...10000 GeV
2
(1.4)
Abb. 1.1 – Die Kopplungskonstanten der drei
bezeichneten Eichgruppen wurden zu höheren
Energien extrapoliert. Sie schneiden sich nicht in
einem Punkt.
Abb. 1.2 – Unter Einbeziehung neuer
SUSY- Teilchen gelingt es einen
gemeinsamen Schnittpunkt zu finden.
betragen, gelingt es nun tatsächlich einen gemeinsamen Schnittpunkt bei etwa 1015 GeV
zu finden. Abb. 1.2 verdeutlicht dies.
Darüber hinaus gewinnen wir nun aus (1.2) das erste Mal eine theoretische Voraussage
für den Weinbergwinkel W , indem wir die Kopplungen gleichsetzten.
Es zeigt sich
*
sin 2 W =0.233...
(1.5)
Aus Experimenten ergibt sich der Wert
sin 2 W =0.231...
*
(1.6)
Allerdings gibt es keine weiteren Evidenzen für eine GUT. Weder hat man die zusätzlichen Eichbosonen gefunden, noch weiß man überhaupt, ob die SU 5 die richtige
Eichgruppe ist. Es tauchen innerhalb der GUT neue Probleme auf. Einige dieser
Probleme kann man durch die Wahl einer anderen Gruppe lösen, z. B. durch die
SO 10 , andere nicht.
1.2 Dunkle Materie
Falls (kalte) dunkle Materie aus Elementarteilchen besteht, so müssen diese massiv,
elektrisch neutral, farblos und stabil sein. Weiterhin müssen sie eine verschwindende
Baryonenzahl besitzen und in hinreichender Zahl beim Urknall erzeugt worden sein.
Wir wollen nun die Annahme machen, dass SUSY-Teilchen nur paarweise erzeugt
werden und nur in SUSY-Kaskaden zerfallen können. (Dies werden wir an späterer Stelle
als die sogenannte Erhaltung der R-Parität verstehen.)
Das heißt, dass das leichteste SUSY-Teilchen, das LSP (engl.: lightest supersymmetric
particle) stabil sein muss.
In vielen SUSY-Modellen ist das LSP das Neutralino 1 . Es stellt somit einen
aussichtsreichen Kandidaten für die (kalte) dunkle Materie dar.
*
Dies ist der Wert an der elektroschwachen Skala. An der GUT-Skala beträgt er 3/8. Hinzu kommen noch
die zugehörigen Fehler.
3
1.3 Hierarchie-Problem
Das Hierarchie-Problem (oder auch Higgs-Hierachie-Problem, naturalness problem) stellt
keine wirkliche Schwierigkeit innerhalb des SM dar, eher eine Sensitivität des HiggsPotentials gegenüber beinah jeder denkbaren Erweiterung des SM.
Betrachten wir Abb.1.3 (a). Hier koppelt ein Fermion an ein Higgs-Teilchen bzw. ein
fermionisches Feld an ein Higgs-Feld. Die Korrektur zur Higgsmasse ergibt sich in erster
Ordnung der Störungstheorie zu
2
∣ f∣ 2
2
 mH = −
 ...
(1.7)
8 2
Hierbei ist  f die Kopplung des Fermions an das Higgs und  die sogenannte cutoffSkala zur Regulierung des Schleifenintegrals.  sollte zumindest als die Energieskala
interpretiert werden, bei der neue Physik auftritt, die das Verhalten der Theorie hinsichtlich
hohen Energien verändert.
Das Problem stellt sich nun wie folgt dar: Bei hohen Energien, also großem  , wird die
Korrektur zur Higgsmasse viel größer als die Masse des Teilchens selbst. Der Begriff
„Hierarchie-Problem“ rührt also von den Effekten, durch die kleine Massen bei hohen
Energien beeinflusst werden.
Ist  beispielsweise gleich der Planck-Masse M P ≈ 2.4 1018 GeV, so ist  m H etwa
30 Größenordnungen größer als m H .
Störend ist also die quadratische Divergenz des Schleifenintegrals. Entgegen
beispielsweise logarithmischen Divergenzen, wächst die Korrektur erheblich schneller mit
 .
Direkt taucht das Problem nur bei Korrekturen zur Higgsmasse auf, da Korrekturen zu
Fermionen- und Eichbosonenmassen diese quadratische Divergenz nicht explizit
aufweisen.
Dennoch erhalten die Quarks, Leptonen und elektroschwachen Eichbosonen des SM ihre
Masse vom Vakuumserwartungswert des Higgsfeldes, so dass das gesamte
Massenspektrum des SM direkt oder indirekt von der Sensitivität zu  abhängt.
Betrachten wir nun Abb. 1.3 (b). Hier koppelt ein skalares Feld an das Higgsfeld. In
diesem Fall ergibt sich die Korrektur der Higgsmasse in erster Ordnung der
Störungsthoerie zu
S
(1.8)
 m2H = 
[ 2−2 m2s ln / m s ...]
2
16 
Abb.1.3 – (a) Ein Fermionisches Feld koppelt an ein Higgs-Feld. (b) Ein
skalares Feld koppelt an ein Higgs-Feld.
4
Hierbei ist S die Kopplung des skalaren Feldes an das Higgs und m S die Masse des
Bosons.
Die Idee, die die quadratischen Divergenzen (und somit das Hierarchie-Problem) nun
beseitigen soll, ist die, dass man eine Symmetrie sucht, die Bosonen und Fermionen
miteinander verknüpft (i.e. SUSY). Diese Idee erscheint offensichtlich, wenn man die
Vorzeichen von (1.7) und (1.8) miteinander vergleicht.
Glücklicherweise zeigt sich, dass die Beseitigung der quadratischen Divergenzen nicht nur
möglich ist, sondern sich erst gar nicht vermeiden lässt für den Fall, dass eine solche
(Super-)Symmetrie existiert. Dies trifft sogar in allen Ordnungen der Störungstheorie zu.
2 Theorie
2.1 SUSY-Algebra
Der Operator der SUSY sei Q . So gilt
Q |Boson> = |Fermion>, Q |Fermion> = |Boson>
(2.1)
Q ist ein Spinor.
Einschränkungen an die Symmetrie wurden vom Coleman-Mandula-Theorem und dessen
Erweiterung durch Haag-Lapuszanski-Sohnius gemacht.
Zusammenfassend wollen wir festhalten, dass SUSY eine Raum-Zeit-Symmetrie ist,
+
deren Operatoren Q , Q fermionisch sind, also Spin 1/2 tragen. Weiterhin müssen
die Operatoren der Algebra (2.2) gehorchen.
{Q ,Q + }=P 
{Q ,Q } = {Q + ,Q + }=0
[ P  , Q ] = [ P  ,Q + ]=0
*)
(2.2)

Hierbei ist P der Operator der Raum-Zeit-Symmetrie (i.e. Viererimpuls-Operator).
2.2 Supermultiplets
Einteilchenzustände fallen nun in sogenannte Supermultiplets.
Ein Supermultiplet enthält sowohl fermionische als auch bosonische Zustände, die man
als gegenseitige Superpartner bezeichnet. Hierzu ein Beispiel:
u L ⇒ u = f Q ,Q  ⋅ u
**)
L
L
(2.3)
uL

Hier befinden sich nun ein (linkshändiges) up-Quark u L und sein Superpartner das supQuark uL im selben Supermultiplet. Man erhält nun beispielsweise das sup-Quark,
+
indem man eine geeignete Kombination der Operatoren Q und Q auf u L wirken
*) In einer theoretisch konsistenten Beschreibung sieht die Algebra etwas anders aus. Wir begnügen uns
hier mit der einfacheren Variante.
**) Weiterhin kann eine Raumzeit-Translation oder -Rotation benötigt werden. Hier aber uninteressant.
5
lässt.
+
2
Nun ist es so, dass der Operator P mit Q und Q vertauscht. Dies bedeutet, dass
Teilchen im selben Supermultiplet die gleiche Masse besitzen müssen.
+
Weiterhin vertauschen Q und Q mit den Generatoren unserer Eichtransformationen.
Folglich haben Superpartner auch identische elektrische Ladungen, schwachen Isospin
und Farbfreiheitsgrad. Das heißt
Superpartner haben identische Kopplungen.
Darüberhinaus muß die Anzahl bosonischer und fermionischer Freiheitsgrade innerhalb
eines Supermultiplets gleich sein:
n B =n F
(2.4)
Wie konstruieren wir nun ein solches Supermultiplet?
Die einfachste Möglichkeit beginnt mit einem einzelnen Weyl-Fermion. Dies besitzt zwei
Spin Helizitätszustände, so dass n F = 2 ist. Hierzu gehören zwei reelle Skalare (je
n B = 1 ), die wir zu einem komplexen Skalarfeld zusammenfassen wollen.
Diese Kombination aus einem zwei-komponentigem Weyl-Fermion und einem komplexen
Skalarfeld bezeichnen wir als chirales, Materie-, oder skalares Supermultiplet.
Die nächst einfachere Möglichkeit eines Supermultiplets enthält ein Spin 1 Vektor-Boson.
Damit die Theorie renormierbar ist, muss es ein Eichboson mit verschwindender Masse
sein*).
Ein masseloses Spin 1 Boson besitzt zwei Helizitätszustände, so dass n B = 2 ist. Sein
Superpartner ist also ein masseloses Spin ½ Weyl-Fermion mit zwei
Helizitätszuständen,also n F = 2 . (Würde man stattdessen ein Spin 3/2 Fermion
nehmen, so wäre die Theorie nicht renormierbar.)
Eich-Bosonen müssen sich wie die adjungierte Repräsentation der Eichgruppe
transformieren, also müssen ihre fermionischen Partner, die wir Gauginos nennen wollen,
dies auch so tun. Da die adjungierte Repräsentation einer Eichgruppe stets ihr eigenes
Konjugiertes ist, müssen die Gauginos die gleichen Eichtransformations-Eigenschaften für
links- und rechtshändige Komponenten besitzen.**)
Die hier beschriebene Kombination eines Spin ½ Gauginos und eines Spin 1 EichBosons nennen wir Eich-, Gauge- oder Vektor-Supermultiplet.
Wir fassen zusammen: Jedes fundamentale Teilchen (des SM) muss in einem chiralen
oder Eich-Supermultiplet enthalten sein und einen Superpartner mit Spinunterschied ½
besitzen.
An dieser Stelle wollen wir die R-Parität definieren:
R = −13 B L2 S
R-Parität
(2.5)
Hierbei sind B und L Baryonen- und Leptonenzahl eines Teilchens, während S sein Spin
ist. R ist eine multiplikative Quantenzahl. Es lässt sich leicht überprüfen, dass unsere SMTeilchen R=1 und ihre Superpartner R=−1 besitzen.
*) Zumindest bis die Symmetrie gebrochen ist.
**) kurz: In dem hier betrachteten (Eich-)Supermultiplet wird keine Unterscheidung zwischen links- und
rechtshändigen Anteilen gemacht.
6
2.3 Superpartner, SM-Teilchen und SUSY-Teilchen
Wir wollen nun versuchen, die uns bekannten Teilchen des SM in die oben beschriebenen
Supermultiplets einzuordnen.
Wir haben festgestellt, das innerhalb der Eich-Supermultiplets keine Unterscheidung
zwischen links- und rechtshändigen Teilchen gemacht wird.
Da aber alle Fermionen des SM sehr wohl dieser Unterscheidung obliegen, müssen sie in
chiralen Supermultiplets vorkommen.
Die Namen ihrer Spin 0 Superpartner erhält man, indem man vor den Namen des SM
Teilchens ein „s“ für skalar setzt. So erhalten wir Squarks und Sleptonen oder auch
Sfermionen.
Innerhalb des SM sind links- und rechtshändige Anteile der Quarks und Leptonen
verschiedene
zwei-komponentige
Weyl-Fermionen
mit
unterschiedlichen
Eichtransformations-Eigenschaften. Deswegen muss jeder Anteil seinen eigenen
Superpartner erhalten.
Die Notation für ein SUSY-Teilchen ist die gleiche wie die seines SM-Partners, allerdings
erhält es eine Tilde (~).
Wie weiter oben schon kurz benannt, ist der Superpartner des u L das uL . Hierbei ist
zu beachten, dass sich die Händigkeit (Index L) nicht auf das Sfermion bezieht (, da es ein
Spin 0 Teilchen ist,) sondern auf die Helizität des SM-Teilchens.
Die Eich-Wechselwirkungen dieser Squark- und Sleptonenfelder sind dieselben wie die
ihrer zugehörigen Superpartner des SM, z.B. koppelt das uL an das W Boson, das
uR jedoch nicht.
Offensichtlich muss auch das Higgs-Boson in ein chirales Supermultiplet, da es ein Spin 0
Teilchen ist.
Es zeigt sich jedoch, dass nur ein chirales Supermultiplet nicht ausreichend ist. Ein Grund
hierfür ist, dass die elektroschwache Eichsymmetrie im Falle nur eines HiggsSupermultiplets sogenannte Eich-Anomalien erfahren würde, die sie als Quantentheorie
inkonsistent machen würde.
Tatsächlich benötigen wir also zwei Higgs-Supermultiplets. Bei diesen stellt sich heraus,
dass das eine Supermultiplet den +2/3 up-Typ Quarks (up, charm, top) Massen gibt,
während das andere den -1/3 down-Typ Quarks (down, strange, bottom) Massen gibt.
Daher bezeichnet man sie als H u und H d .
Die generelle Nomenklatur für Spin ½ SUSY-Teilchen hängt dem Namen des zugehörigen
SM-Teilchens ein „-ino“ an. Die Superpartner der Higgs-Teilchen (welche dies im
speziellen sind, behandeln wir weiter unten) heißen also Higgsinos.
Wir haben nun alle chiralen Supermultiplets einer brauchbaren minimalen Erweiterung
des SM gefunden. Tabelle (Tab.) 1.1 stellt sie noch einmal übersichtlich dar. Bei den
Squarks/Quarks und Sleptonen/Leptonen sind die entsprechenden weiteren Familien zu
beachten.
Weiterhin benutzen wir hier die Konvention, dass alle chiralen Supermultiplets bezüglich
linkshändiger Weyl-Fermionen definiert werden. Es tauchen also die Konjugierten der
rechtshändigen Quarks und Leptonen (und ihrer Superpartner) auf.
7
Tab. 1 – Chirale Supermultiplets in der minimalen supersymmetrischen
Erweiterung des Standardmodells. Die Spin 0 Felder sind komplexe
Skalare. Die Spin ½ Felder sind linkshändige zweikomponentige WeylFermionen.
Tab. 1 zeigt die Eicheigenzustände der fundamentalen Teilchen. Alle Zustände die
mischen können, tun dies natürlich auch, so dass wir die Massen-Eigenzustände erhalten.
Nehmen wir beispielsweise die Higgs-Teilchen: Sie treten in zwei komplexen Dubletts auf,
d.h. wir haben acht reelle Freiheitsgrade. Der Higgs-Mechanismus verlangt nun die drei
0,
±
Goldstone Bosonen G G . Es bleiben also 5 Higgs-Teilchen/Masseneigenzustände
±
übrig: h , H , A , H .
Kommen wir zu den Vektorbosonen des SM.
Als Spin 1 Teilchen müssen sie natürlich in Eich-Supermultiplets eingeordnet werden. Wie
schon erwähnt bezeichnet man ihre Superpartner als Gauginos.
Tab. 2 zeigt diese Eich-Supermultiplets.
Auch hier findet wieder Mischung statt. Und genauso, wie nach der elektroschwachen
0,
0
Symmetriebrechung die Eich-Eigenzustände W B zu den Massen-Eigenzuständen
0,
Z  mischen, mischen auch Wino W 0 , Bino B 0 und Higgsinos zu Zino Z 0 und
Photino  .
Die nun in Tab. 1 und Tab. 2 aufgeführten Supermultiplets und ihre Teilchen bilden die
sogenannte minimale supersymmetrische Erweiterung des Standardmodells (MSSM).
Tab.2 – Eich Supermultiplets in der minimalen supersymmetrischen
Erweiterung des Standardmodells
8
2.4 SUSY-Brechung, Lagrangedichte
Wie wir in 2.2 gesehen haben, haben Superpartner identische Kopplungen und auch
identische Massen. Dies hat zur Folge, dass es ein Selektron mit einer Masse von
0.511...MeV geben sollte. Weiterhin sollten beispielsweise Gluinos und Photinos mit
verschwindender Masse existieren. Diese Teilchen haben wir allerdings nicht gefunden.
SUSY muss also eine gebrochene Symmetrie sein.
SUSY soll eine weich gebrochene Symmetrie sein. Hierbei heißt „weich“, dass dimensionslose Größen, insbesondere Kopplungskonstanten, nicht verändert werden. In diesem
Bereich ist SUSY also eine exakte Symmetrie.
Wir erinnern uns: SUSY sollte das Hierarchie-Problem lösen. Würden die Kopplungen nun
verändert, so hätten wir Massenkorrekturterme der Form
2
Wir wollen allerdings
 m2H ~ S −∣ f∣  2...
(2.6)
2
S = ∣ f∣
(2.7)
erhalten.
Wie die eigentliche Brechung nun stattfindet, muss man nicht verstehen.*)
Wir stellen nur fest, dass sich die Lagrangedichte schreiben lässt als
L= L SUSY L soft
(2.8)
Hierbei enthält L SUSY alle Wechselwirkungsterme (einschließlich der des SM) und den
Higgs-Mechanismus.
L soft hingegen gibt den SUSY-Teilchen Massen und enthält die Sfermion-SfermionHiggs-Kopplung.
2.5 Feynman-Diagramme
Wir hatten in (2.5) die R-Parität definiert. Wir wollen nun annehmen, dass diese erhalten
ist.
Dies bedeutet, dass SUSY-Teilchen nur paarweise erzeugt werden können und nur in
SUSY-Kaskaden zerfallen. Daraus folgt, das das LSP stabil sein muss.
Wir können nun Feynman-Diagramme mit SUSY Teilchen konstruieren, indem wir einen
3- oder 4-Teilchen Vertex aus dem SM nehmen und hier Teilchen paarweise durch SUSYTeilchen ersetzten.
Abb. 2.1 gibt einige Beispiele.
Mit diesen Feynman-Diagrammen lässt sich nun genauso rechnen, wie mit denen des
SM.
Natürlich sind die SUSY-Teilchen nicht nur Endzustände. Solange es sich nicht um das
LSP handelt, zerfallen die Teilchen weiter (vgl. Abb. 2.2).
*) ...ist die SUSY-Brechung doch der noch unverstandenste Aspekt der gesamten Theorie.
9
Abb. 2.1 – Konstruktion einiger SUSY-Feynman-Diagramme (Typ: Eichboson-Sfermion-Sfermion)
aus bekannten SM-Feynman-Diagrammen
Abb. 2.2 – Feynman-Diagramme vom Typ GauginoSfermion-Fermion
2.6 SUSY-Modelle, SUSY-Parameter
Die MSSM bringt bereits über 100 weitere freie Parameter mit sich. Dies bedeutet für
unsere Theorie, dass sie wenig Aussagekraft besitzt, um sie experimentell prüfen zu
können. Wir sehen uns also gezwungen, Zusatzannahmen zu machen, um Modelle zu
entwickeln, deren Richtigkeit sich durch Experimente verifizieren lässt.
Wir greifen die Annahmen, die wir bisher gemacht haben, noch einmal auf:
-SUSY soll zu einer GUT führen
-SUSY soll das Hierarchieproblem lösen
-die R-Parität soll erhalten bleiben.
Als nächstes fordern wir, dass das LSP das Neutralino 1 ist und die dunkle Materie darstellt.
10
Wir hatten gesehen, dass es zwei Skalen von Massen/Energien gibt; die GUT-Skala bei
etwa 1016 GeV und die Skala der schwachen Wechselwirkung bei etwa 1/  G F =246
GeV.
Wir machen die Annahme, dass es zwei universelle Massen an der GUT-Skala - m0 für
Sfermionen und m1/2 für Gauginos gibt. Aus dem running ergibt sich ein breites
Massenspektrum der einzelnen Teilchen an der Skala der schwachen Wechselwirkung
und im Experiment (Abb. 2.3).
Weiterhin wollen wir annehmen, dass es keine CP-Verletzung (außer der des SM) und
keine Flavour Changing Neutral Currents gibt.*)
Mit diesen Annahmen können wir die Zahl der freien Parameter nun auf sechs begrenzen.
Das so enstandende Modell wollen wir demnach MSSM-6**) nennen. Tab. 3 zeigt die
sechs Parameter.
Die universelle trilineare Kopplung an der GUT-Skala A0 hat Einfluss darauf, wie die
Sfermionen miteinander mischen, dies werden wir hier allerdings nicht weiter betrachten.
Da wir nun nicht mehr wie im SM nur ein Higgs-Teichen haben, sondern zwei
Higgsdubletts, erhalten wir auch zwei Vakuumserwartungwerte v u , v d mit
v
tan  = u
(2.9)
vd
v u 2  v d 2 = 246 GeV 2
Abb. 2.3 – Durch das running haben Sfermionen und Gauginos trotz
gemeinsamer Massen an der GUT-Skala ein breites Massenspektrum
an der Skala der schwachen Wechselwirkung
*) Warum? Wir wollen die Theorie zunächst so handlich/einfach wie möglich gestalten.
**) Die Nomenklatur ist nicht in allen Lehrbüchern/Texten gleich. Häufig MSSM-6 nur MSSM.
11
(2.10)
m0
m1/ 2
mA

A0
Gemeinsame Skalare Masse aller Fermionen an GUT-Skala
Gemeinsame Gaugino-Masse an der GUT-Skala
Masse des dritten neutralen Higgs A
Higgsino-Massenparameter an elektro-schwacher Skala
Universelle trilineare Kopplung (Sfermion-Sfermion-Higgs)
an der GUT-Skala
Verhältnis der Higgs-Vakuums-Erwartungswerte
tan 
Tab. 3 – Die freien Parameter des MSSM-6
m0
m1/ 2
A0
tan 
Gemeinsame Skalare Masse aller Fermionen an GUT-Skala
Gemeinsame Gaugino-Masse an der GUT-Skala
Universelle trilineare Kopplung (Sfermion-Sfermion-Higgs)
an der GUT-Skala
Verhältnis der Higgs-Vakuums-Erwartungswerte
sgn 
Tab. 4 – Die freien Parameter des MSSM-4
Wenn SUSY nun das Hierarchie-Problem löst, so gilt
m0, m1/ 2 , m A , ∣A∣ , ∣∣ = 0...2 TeV
(2.11)
Dies führt natürlich zu einem beflügelnden Optimismus SUSY-Teilchen künftig an den
großen Teilchenbeschleunigern nachweisen zu können.
Zwei weitere Annahmen erlauben m A und 2 aus den übrigen Parametern zu
berechnen*):
- die Higgsmassen werden durch m0 gegeben
- die elektroschwache Symmetriebrechung ensteht automatisch durch
Strahlungskorrekturen die das Higgspotential beieinflussen**)
Es verbleiben vier Parameter und ein Vorzeichen von  . Wir wollen dieses Modell daher MSSM-4***) nennen. Tab.4 zeigt die Parameter.
2.7 SUSY- und Higgs-Teilchenmassen
Wir beschränken uns hier auf das MSSM-4. Wenn wir nun innerhalb dieses Modells die
vier Parameter vorgeben, so können wir aus ihnen die Massen der SUSY-und HiggsTeilchen berechnen.
Für die Gaugino-Massen gilt
SU 2: M 2 = 0.82 m1/2
5
2
U 1: M 1 = tan W⋅M 2 ≈ 0.4⋅m1/ 2
3

SU 3: M 3 = S sin 2 W⋅M 2 ≈ 3⋅m1/2

*) Die Wahl dieser Parameter ist nicht zwingend. Wir hätten auch andere wählen können.
**) D.h. realisiere mexican-hat-Potential.
***)Häufig wird das Modell MSSM-4 auch mSUGRA (für minimale SuperGravitation) genannt.
12
(2.12)
Für die Sfermion-Massen gilt
mit
m2  f −m2  f  = m02 gauge
(2.13)
 gauge =  SU 3   SU 2  U 1
(2.14)
Die drei Terme sind proportional zum Quadrat der zugehörigen Gaugino-Masse und zum
Quadrat der entsprechenden Sfermion-Gaugino-Kopplung:
 SU 3 = N C 2⋅0.91 M 22
 SU 2 = I 2⋅2.96 M 22
U 1 = Y 2⋅0.055 M 22
(2.15)
In (2.15) sollten eigentlich M 1, M 2, M 3 auftauchen, doch wir haben sofort die Relationen
(2.12) genutzt.
Da sich links- und rechtshändige Fermionen in I und Y unterscheiden, unterscheiden
sich auch die Massen von f L und f R .
Hier sind einige Beispiele für die Massen:
m2  uL  − m2 u = m02  8.95 M 22
2
2
2
2
m  uR  − m u = m0  8.30 M 2
...
2
2
m  eL  − m e = m02  0.80 M 22
...
(2.16)
Einige der bereits diskutierten Teilchenmassen finden sich in Abb. 2.3 wieder.
Um die Gaugino-Massen zu erhalten betrachtet man ihre Mischung. Die Eigenwerte der
diagonalisierten Massenmatrizen sind die Chargino- bzw Neutralinomassen.
Die Massenmatrizen tauchen in der Lagrangedichte auf. Für Charginos finden wir hier
einen Term proportional zu
− −
 W H d 

M2
 2 M W cos 
 2 M W sin 

 

W ,

Hu
(2.17)
wobei die Matrix in der Mitte die Massenmatrix ist.
Für Neutralinos lautet die Massenmatrx

M1
0
−M Z cos ⋅sin W M Z sin ⋅sin W
0
M2
M Z cos ⋅cos W −M Z sin ⋅cos W
−M Z cos ⋅sin W1 M Z cos ⋅cos W
0
−
M Z sin ⋅sin W −M Z sin ⋅cos W
−
0
zur Basis  B , W 0, H u0, H d 0  .
13

(2.18)
Für die Higgs-Massen gilt
mh2 , m H 2 =
1
[m 2  mZ 2 ∓  m A2  m Z 2 2 − 4 m Z 2 m A2 cos 2 2 ]
2 A
m H 2 = mW 2  m A 2
±
Aus (2.19) folgt für das leichteste Higgs-Teilchen
mh  m Z = 91GeV
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Die ist natürlich problematisch, hätte es bei dieser oberen Massengrenze doch schon
längst entdeckt werden müssen.
Berücksichtigt man allerdings Strahlungskorrekturen, so erhält man
mh  135GeV ,
(2.22)
so dass wir die hier angenommene SUSY mit Higgs-Formalismus nicht sofort ausschließen müssen.
3 Suche nach Supersymmetrie
3.1 Vorgehensweise
Wir haben im vorherigen Abschnitt gesehen, wie man die Massen der SUSY- und HiggsTeilchen berechnet, nachdem man die freien Parameter vorgegeben hat.
Wie geht man nun vor, um SUSY zu verifizieren bzw. auszuschließen?
Abb. 3.1 – Massen der SUSY- und Higgs Teilchen berechnet aus den
oben angegeben Parametern. Dieses Szenario wurde bereits von LEP
ausgeschlossen.
14
Abb. 3.2 – Ein weiterer Satz Parameter, der bereits von LEP
ausgeschlossen wurde.
Die Vorgehensweise ist im Grunde die, dass man zuerst die freien Parameter vorgibt,
dann berechnet man die Teilchenmassen und überprüft, ob diese mit den Experimenten
in Einklang zu bringen sind.
Abb. 3.1 und 3.2 sollen dies verdeutlichen. Oben ist die Wahl der Parameter angegeben.
In den Diagrammen finden sich die daraus berechneten Teilchenmassen.
Beide Szenarien (i.e. Satz der gewählten Parameter) sind mittlerweile von LEP
ausgeschlossen worden. Im ersten Fall gibt es eine Vielzahl von Sfermionen und
Gauginos, die entdeckt werden hätten müssen. Im zweiten Fall hätte man das HiggsTeilchen A finden müssen.
Darüberhinaus sollen die berechneten Massen natürlich auch mit der Theorie verträglich
sein (also dürfen z.B. nur reelle Massen auftauchen). In unserem Falle heißt das auch
konkret, dass wir nur an Szenarien interessiert sind, in denen das LSP das Neutralino
1 ist (vgl. Annahmen).
Im weiteren Verlauf werden wir exemplarisch einige Methoden zur SUSY-Suche näher
kennenlernen. Außerdem gibt es natürlich noch eine Vielzahl weiterer Untersuchungen
(und weiterer Modelle!).
3.2 Kosmologie
Aus den Daten der US-amerikanischen Raumsonde WMAP (Wilkinson Microwave
Anisotropy Probe) konnte unter anderem die Dichte der dunklen Materie berechnet
werden.
Wir können nun aber auch diese Dichte direkt aus den SUSY-Parametern berechnen.
Vergleicht man sie mit den Ergebnissen von WMAP, so ergibt sich ein kosmologisch
bevorzugtes Band im SUSY-Parameterraum (grünes Band in Abb. 3.3).
15
tan =35
A0 =0
0
Abb. 3.3 – (identisch Abb. 3.15) Das grüne Band zeigt den
kosmologisch bevorzugten Bereich im SUSY-Parameterraum.
Weitere Angaben der Abb. werden an späterer Stelle diskutiert.
3.3 Indirekte SUSY-Einflüsse
Indirekte SUSY-Einflüsse sind Einflüsse durch Strahlungskorrekturen.
Am Brookhaven National Laboratory wurde im Experiment E821 das anomale magnetische Moment des Myons
g−2
a=
(3.1)
2
sehr genau vermessen.
Es ist ein Maß für eine bestimmte Art der Photon-Myon-Wechselwirkung und kann durch
Feynman-Diagramme wie Abb. 3.4 verändert werden.
Die Messungen ergaben
a exp=11659208±610−10
(3.2)
16
Abb. 3.4 – Feynman-Graph
zur Veränderung des
anomalen magnetischen
Moments des Myons des SM
Ein Vergleich mit dem SM führt auf
a exp −a SM =23.0±10.010−10
(3.3)
Die Differenz ist klein, die Übereinstimmung zufriedenstellend.
Sehr leichte SUSY-Massen können nun ausgeschlossen werden.
Betrachten wir dazu den einfachen Fall, dass alle SUSY-Massen gleich groß sind
( = m
 ). Dann gilt
tan  sgn
*)
(3.4)
a SUSY −a SM =13⋅10−10
2
 m/100
GeV 

Nehmen wir z. B. m
 = 100 GeV . Mit Wahl von tan  = 35,   0 folgt
a SUSY −a SM ~450⋅10−10
(3.5)
Dies ist in keiner guten Übereinstimmung mit dem Experiment. Besser sieht es schon
beispielsweise für den Fall m
 = 1000 GeV aus.
3.4 Beschleuniger-Experimente
In der Regel laufen die Zerfälle wegen der hohen Teilchenmassen sehr schnell ab. Wir
finden in unseren Detektoren also nur Endzustände.
Bei allen hier betrachteten Suchen ist die wichtigste Signatur, die des nicht sichtbaren
Neutralinos 1 . Wir suchen also nach fehlender Energie bzw. fehlendem Impuls.
Wie bekannt lässt sich aufgrund des unbekannten boosts der Partonen in einem HadronKollider-Experiment nur Energie und Impuls transversal zur Strahlachse zur
Teilchenidentifikation gebrauchen.
3.4.1 LEP
3.4.1.1 Smyonen
Abb. 3.5 zeigt die Erzeugung und den Zerfall von Smyonen in einem e+e--Experiment.
Die Ergebnisse der vier Detektoren von LEP sind in Abb. 3.6 zusammengefasst.
*) Für verschiedene SUSY-Massen ergibt sich eine weitaus kompliziertere Formel. Für unsere Zwecke soll
der einfache Fall genügen.
17
mSmyon  94 GeV
Abb. 3.5 – Erzeugung und Zerfall von
Smyonen in einem e+e--Experiment
Abb. 3.6 – Ergebnis der vier LEP Detektoren bzgl.
der Smyon-Suche
Abb. 3.7 – Theoretisch und experimentell
ausgeschlossene Bereiche des SUSYParameterraums für festes m1/2
Abb. 3.8 – Histogramm der berechneten
Smyonmassen. mSmyon > 94 GeV
Die Kante rechts ergibt sich durch den abfallenden Wirkungsquerschnitt.
Der gelbe Bereich ist ausgeschlossen, da das Neutralino hier zu schwer ist, um erzeugt zu
werden. Das schmale Band zwischen diesem Bereich und der Kurve kommt daher, dass
die Myonen ein gewisses Maß an kinetischer Energie benötigen, um überhaupt im
Detektor nachgewiesen zu werden.
Wie erhalten wir hieraus nun eine Grenze für unsere Smyonmasse?*)
*) untere Grenze. Wir gehen davon aus, dass die Grenze für das
18
R gilt, da das L ja schwerer ist.
Wir stellen fest, dass die Smyonmasse nur von unseren Parametern m0, m1/ 2 , tan 
abhängt. Wir können nun einen dieser Parameter festhalten und die anderen beiden
variieren. In dieser Ebene markieren wir jetzt alle theoretisch und experimentell
ausgeschlossenen Punkte. Dies ist in Abb. 3.7 für ein festes m1/ 2 geschehen.
Aus den nicht-ausgeschlossenen Parametern berechnen wir die Smyonmasse und tragen
sie in ein Histogramm ein (Abb. 3.8). Die Form der Verteilung ist hierbei uninteressant.
Wichtig ist nur, wo die Verteilung beginnt.
Wir erhalten somit
m  94 GeV
(3.6)
3.4.1.2 Higgs-Bosonen
Abb. 3.9 zeigt die Erzeugung von Higgs-Bosonen in einem e+e--Experiment.
Die Massenzustände mischen sich entsprechend
 
h
H
mit
 
0
H
~ cos  −sin  ⋅ u 0
sin  cos 
Hd
2
(3.7)
2
m Am Z
sin 2 
=− 2
sin 2 
m H −m2h
(3.8)
Es zeigt sich, dass die Wirkungsquerschnitte für die Erzeugung von Zh und hA die des
SM zusätzlich eines Vorfaktors sind
2
 Zh = sin − SM
 hA = cos 2 − SM
(3.9)
Man kann nun die Grenzen des SM in Grenzen der SUSY-Theorie umrechnen. Das
Ergebnis zeigt Abb. 3.10.
Der blaue Bereich ist theoretisch ausgeschlossen. Rechts sehen wir die zuvor diskutierte
obere Grenze mit Strahlungskorrekturen (vgl. (2.21),(2.22)).
Der grüne Bereich ist experimentell am LEP ausgeschlossen worden.
Wir erhalten also als Grenzen
mh  91 GeV , m A  92GeV , tan   2.4
für alle
m0, m1/ 2 , A0 .
19
(3.10)
Abb. 3.9 – Erzeugung von Higgs-Bosonen in einem
e+e--Experiment
Abb. 3.10 – Ergebnisse der SUSY-Higgs-Suche
am LEP. Der erlaubte Bereich ist weiß.
Wir sehen in Abb. 3.10, dass es „eng“ für die SUSY wird (zumindest für die
angenommenen Modelle). Der erlaubte Bereich ist recht klein. Hätte LEP noch zu etwas
höheren Energien gehen können, hätte man bereits SUSY wie sie im MSSM-6*) auftaucht
verifizieren oder gar ausschließen können.
3.4.2 TeVatron
3.4.2.1 Gluinos
Am TeVatron hat man unter anderem nach Gluinos gesucht. Abb. 3.11 Erzeugung und
Zerfall. Die Neutralinos hier zerfallen weiter, solange sie nicht das leichteste Neutralino
sind.
Abb. 3.11 – Erzeugung und Zerfall von Gluinos in Proton-Antiproton-Reaktionen
*) Die Forschungsgruppe benutzte ein etwas anderes Modell, das dem MSSM-6 ähnlich ist.
20
Abb. 3.12 – Frühes Ergebnis der
Gluino/Squark-Suche am D0- Detektor. Der
Untergrund ist gelb. Das errechnete Signal
blau.
Abb. 3.13 – Zusammenfassung der Gluino-/SquarkSuche
Abb. 3.12 zeigt ein frühes Ergebnis der Gluino-Suche am D0-Detektor. Das (blaue) Signal
wurde unter der Annahme m g , mq = 200 GeV berechnet. Der Untergrund ist gelb
markiert.
Abb. 3.13 fasst den momentanen Stand der Suche zusammen.
Da im MSSM-4 die Squarks immer schwerer sind als die Gluinos, macht man hier einen
Modellwechsel und geht zum weniger restriktivem MSSM-6 über. Hierdurch ergibt sich die
Strukturkante bei CDF. Da D0 stets mit dem MSSM-6 rechnet, entfällt die Kante hier.
Die unteren Bereiche wurden von LEP ausgeschlossen bzw. ergeben nicht das Neutralino
1 als LSP.
Insgesamt ergeben sich also die folgenden Massengrenzen
m g  195GeV , m s  95GeV
(3.11)
3.4.3 LHC-Möglichkeiten
Eine geeignete Variable zur Identifizierung von Ereignissen wie in 3.4.2.1 ist
M eff =E Tmiss ∑ E Tj
jets j
(3.12)
E Tj ist die transversale Energie des Jets j, E Tmiss ist die fehlende transversale Energie
des Ereignisses. Abb. 3.14 zeigt eine Monte-Carlo-Studie für den ATLAS-Detektor, dabei
wurden folgende Selektionsschnitte angewandt:
E Tmiss 100 GeV
pTj 50 GeV , j=1...4100 GeV für j=1
21
(3.13)
tan =35
A0 =0
0
Abb. 3.14 – Monte-Carlo-Studie für die Gluino Suche am ATLAS-Detektor.
Wir sehen: Sollte SUSY mit den angenommenen Parametern auftauchen, so wird man sie
am LHC entdecken, da sich das Signal für Energien > 1 TeV deutlich vom Untergrund
abhebt.*)
Abb. 3.15 hatten wir in Zusammenhang mit der Kosmologie schon kennengelernt. Sie
zeigt den heutigen Stand der Dinge.
Der hellblaue Bereich ist theoretisch ausgeschlossen. Der dunkelblaue Bereich ist
experimentell nicht zulässig. Etwas darüber befindet sich die Kurve q 500 ; bis hier
dringt das TeVatron vor.
Die roten und dunkelblauen Kurven sind die des LHC für verschiedene Ereignisse:
fehlende Energie ohne Leptonen, fehlende Energie mit einem bzw. zwei Leptonen.
Die besten Ergebnisse erwarten wir also für fehlende Energie ohne Leptonen. Sämtliche
Kurven decken den Bereich des kosmologisch bevorzugten Bandes ab. Wir erreichen
sogar Gegenden von Squarks- und Gluinomassen größer 2.5 TeV.
*) Mittlerweile gibt es Studien, die leider nicht mehr so gut aussehen.
22
tan =35
A0=0
0
Abb. 3.15 – LHC-Potential
3.5 Übersicht: Massengrenzen
Tab. 5 fasst nochmal die hier diskutierten Massengrenzen zusammen.
Tab. 5 – Massengrenzen der behandelten Teilchen
23
Literaturangaben
•
Thomas Hebbeker, Elementarteichenphysik II
http://www.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/p2_45.html
•
Stephen P. Martin, A Supersymmetry Primer
arXiv:hep-ph/9709356 v4
•
John Ellis, Supersymmetry For Alphikers
arXiv:hep-ph/0203114 v1
•
H. V. Klapdor-Kleingrothaus / K. Zuber, Teilchenastrophysik
B:G: Teubner Stuttgart
•
M. Schmitt, Supersymmetry, Part II (Experiment)
http://pdg.lbl.gov/2004/reviews/susy2_s046.pdf
•
The LEP Working Group for Higgs Boson Search, Search for Neutral MSSM
Higgs Boson at LEP
http://lephiggs.web.cern.ch/LEPHIGGS/papers/July2005_MSSM/index.html
Bildernachweis
Abb. 1.1, 1.2:
Rolf Scheben, Supersymmetrie
http://www.physik.rwth-aachen.de/~hoepfner/Teaching/
Seminar_SS04/Scheben_paper.pdf
Abb. 1.3, 2.3, 3.1 – 3.3, 3.6 – 3.8, 3.10, 3.12, 3.13, 3.15
Thomas Hebbeker, Elementarteichenphysik II
http://www.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/p2_45.html
24