Lösungsblatt 1 Informationsökonomik

Dr. Tone Arnold
Wintersemester 2007/08
Lösungsblatt 1
Informationsökonomik
Aufgabe 1 Ein Verkaufsleiter (P) beschäftigt einen Vertreter (A). Der
A kann zwischen zwei möglichen Leistungen wählen, eh
und el . Die möglichen Ergebnisse seiner Leistung sind x1 =
0, x2 = 100, x3 = 400. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind:
x1 = 0 x2 = 100 x3 = 400
phi
0.2
0.4
0.4
pli 0.4
0.4
0.2
Der P ist risikoneutral und möchte seinen erwarteten Gewinn maximieren. Der A hat die Nutzenfunktion u(w, e) =
√
w − v(e) mit v(eh) = 3 und v(el ) = 0. Sein Reservationsnutzen beträgt Ū = 7.
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a) Angenommen, der P kann die Leistung des A beobachten, und diese ist auch verifizierbar. Wie sieht der
optimale Vertrag (aus der Sicht des P) aus?
Antwort
Der P maximiert die erwartete Auszahlung minus Lohnzahlung: Ex − w. Bei vollständiger Information kann
der Vertrag eine Leistung vorschreiben. Welche Leistung soll P vorschreiben?
(a) Für e = el lautet die Teilnahmebedingung
√
√
w − v(el ) ≥ Ū ⇒ w − 0 ≥ 7 ⇒ w = 49.
(Die letzte Gleichung folgt, da bei symmetrischer Information die Teilnahmebedingungen immer bindend
sind.) Der erwartete Gewinn des P beträgt
0.4 · 100 + 0.2 · 400 − 49 = 71.
(b) Für e = eh ist die Teilnahmebedingung
√
√
w − v(eh) ≥ Ū ⇒ w − 3 ≥ 7 ⇒ w = 100.
Der erwartete Gewinn des P beträgt
0.4 · 100 + 0.4 · 400 − 100 = 100.
Der optimale Vertrag ist (e = eh, w = 100).
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b) Jetzt nehmen wir an, dass die Leistung des A nicht
verifizierbar ist. Formulieren Sie das Optimierungsproblem des P.
Antwort
max
e,w
3
X
[peixi − w(xi)]
i=1
unter den Nebenbedingungen
3
X
0
pei
p
w0(xi) − v(e0) ≥ 7,
i=1
3
X
e0
pi
p
w0(x
0
i )−v(e
i=1
)≥
3
X
pei
p
w(xi)−v(e) ∀e.
i=1
Dabei bezeichnen w0 und e0 den optimalen Lohn bzw.
das optimale Leistungsniveau, und pei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ergebnisses xi bei der Leistung e ∈ {eh, el }. Die erste Nebenbedingung ist die
Teilnahmebedingung, die zweite die Anreizkompatibilitätsbedingung.
c) Welchen Lohn muss der P dem A zahlen, wenn die
Leistung el implementiert werden soll?
Antwort
Soll die geringe Leistung el implementiert werden, so
ist keine Anreizbedingung notwendig, und der optimale Lohn ist konstant (unabhängig vom Ergebnis). In
diesem Fall ist der optimale Lohn w = 49 (siehe Aufgabenteil a)), und der resultierende Gewinn ist π = 71.
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d) Welchen Lohn muss der P dem A zahlen, wenn die
Leistung eh implementiert werden soll?
Antwort
p
Sei ai := w(xi), so dass w(xi) = a2i . Wir lösen das
Maximierungsproblem
max 0.4[100 + 400] − 0.2a21 − 0.4[a22 + a23]
a1 ,a2 ,a3
unter den Nebenbedingungen
0.2a1 + 0.4(a2 + a3) − 3 ≥ 7,
0.2a1 + 0.4(a2 + a3) − 3 ≥ 0.4a1 + 0.4a2 + 0.2a3.
Die erste Bedingung ist die Teilnahmebedingung (TB),
die zweite die Selbstselektionsbedingung bzw. Anreizkompatibilitätsbedingung (AB).
Wir vereinfachen zunächst die Nebenbedingungen. Aus
(TB) folgt
a1 + 2a2 + 2a3 ≥ 50.
Aus (AB) folgt
a3 − a1 ≥ 15.
Die Lagrange–Funktion kann geschrieben werden als:
L = 200 − 0.2a21 − 0.4a22 − 0.4a23
+λ [a1 + 2a2 + 2a3 − 50]
+µ [a3 − a1 − 15] .
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Die Bedingungen erster Ordnung sind
L1 : −0.4a1 + λ − µ = 0
L2 : −0.8a2 + 2λ = 0
⇒
L3 : −0.8a3 + 2λ + µ = 0
⇒
λ − µ = 0.4a1
λ = 0.4a2
⇒
2λ + µ = 0.8a3.
Einsetzen von L2 in L1 ergibt µ = 0.4(a2 − a1). Da λ
und µ beide positiv sind, sind beide Nebenbedingungen bindend. Einsetzen der Ausdrücke für λ und µ in
L3 ergibt
2 · 0.4a2 + 0.4a2 − 0.4a1 = 0.8a3.
Division durch 0.4 und Umformung ergibt
a2 = a1/3 + 2/3a3.
Aus (AB) folgt a3 = 15 + a1. Einsetzen in obigen
Ausdruck ergibt
a2 = 10 + a1.
Einsetzen der Ausdrücke für a2 und a3 in (TB) ergibt
a1 + 2(10 − a1) + 2(15 + a1) = 50
⇒ 4a1 + 50 = 50 ⇒ a1 = 0.
Demnach ist a1 = 0. Es folgt a2 = 10 und a3 = 15.
Die Löhne sind demnach w(x1) = 0, w(x2) = 100, und
w(x3) = 225.
Um die Leistung eh zu implementieren, bietet der P
den Vertrag an:
w(x1) = 0, w(x2) = 100, w(x3) = 225.
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e) Wie lautet der optimale Vertrag?
Antwort
Der erwartete Gewinn bei e = el beträgt 71. Der erwartete Gewinn bei e = eh beträgt
0.4(100 + 400) − 0.2 · 0 − 0.4(100 + 225) = 70.
Demnach lautet der optimale Vertrag w = 49 (konstanter Lohn).
Aufgabe 2 Erläutern Sie den Begriff der “Monotone Likelihood Ratio”. Was besagt die Monotone Likelihood Ratio Property?
Antwort
(a) Diskreter Fall: e ∈ {eh, el }. Der Begriff Likelihood
Ratio (LR) bezeichnet das Verhältnis pli/phi der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Ergebnisses xi bei
der Anstrengung el bzw. eh.
Bedingung erster Ordnung:
pli
1
=λ+µ 1− h
u0(w(xi))
pi
∀i.
Je kleiner die LR, desto kleiner ist pli im Verhältnis zu
phi, d. h. umso wahrscheinlicher ist es, dass das beobachtete
Ergebnis xi auf die hohe Leistung zurückzuführen ist.
Nimmt die LR in x monoton ab (je grösser x umso kleiner
LR), so spricht man von einer monotonen LR (“Monotone Likelihood Ratio”). Das bedeutet: Je besser das beobachtete Ergebnis, umso wahrscheinlicher ist es, dass dieses
Ergebnis durch eine hohe Anstrengung erreicht wurde. In
diesem Fall sollte auch der Lohn im Ergebnis zunehmen.
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Dies besagt die Monotone Likelihood Ratio Property: Ist
die LR monoton, so nimmt der optimale Lohn im Ergebnis
zu (grösseres w für besseres x).
(b) Stetiger Fall: e ∈ [0, ē]. Sei pi(e) die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis xi bei der Leistung e. Die Likelihood
Ratio (LR) ist das Verhältnis p0i(e)/pi(e). Im Nenner steht
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses xi bei der Leistung
e. Im Zähler steht die Grenzwahrscheinlichkeit, also die Änderung der Wahrscheinlichkeit, die aus einer geringfügigen Änderung der Leistung resultiert. Eine grosse LR bedeutet, dass eine geringe Erhöhung der Leistung
einen relativ grossen Anstieg in der Wahrscheinlichkeit für
das betreffende Ergebnis bewirkt.
Bedingung erster Ordnung:
p0i(e)
1
=λ+µ
∀i.
u0(w(xi))
pi(e)
Ist die LR monoton, so bedeutet das im stetigen Fall, dass
die LR im Ergebnis zunimmt (höhere Leistung erhöht die
Wahrscheinlichkeit für besseres Ergebnis). Das bedeutet:
Je besser das beobachtete Ergebnis, umso wahrscheinlicher
ist es, dass dieses Ergebnis durch eine hohe Anstrengung
erreicht wurde. In diesem Fall sollte auch der Lohn im Ergebnis zunehmen. Dies besagt die Monotone Likelihood
Ratio Property: Ist die LR monoton, so nimmt der optimale Lohn im Ergebnis zu (grösseres w für besseres x).
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