2005_06 Vorl Kombinatorik - informatik.uni

Vorlesung über Kombinatorik und multiplikative
Zahlentheorie
Dieter Denneberg, Universität Bremen
13. September 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Abzählfunktionen
3
1.1
Cartesische Produkte und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5
Äquivalenzrelationen und Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2 Rekursionen und erzeugende Funktionen
15
2.1
Fibonacci Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2
Lineare Rekursion mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . .
18
2.3
Derangements, Involutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4
Catalansche Zahlen, Bellsche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3 Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip (EAP)
28
3.1
Das abstrakte EAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2
Elementare Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3
Die Stirlingschen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4
Gerade und ungerade Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4 Geordnete Mengen und Verbände
42
4.1
Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2
Verbände, submodulare Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.3
Distributive Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.4
Kombinationen von Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.5
Ketten in distributiven Verbänden . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5 Umkehrsätze
60
5.1
Die Inzidenzalgebra eines lokal endlichen Verbandes . . . . . . .
60
5.2
Die Möbius Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1
INHALTSVERZEICHNIS
2
5.3
Die Möbiusfunktion von Verbänden . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.4
Die Möbiusfunktion von submodularen Verbänden . . . . . . . .
73
5.5
Das Zeta Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Kapitel 1
Elementare
Abzählfunktionen
1.1
Cartesische Produkte und Abbildungen
Im folgenden seien alle betrachteten Mengen endlich. 1 (Wir vertrauen hier auf
die naive Vorstellung des Begriffes endlich. Also keine formale Definition!)
Als bekannt vorausgesetzt werden des weiteren die Begriffe n-tupel, Funktion
(oder Abbildung), injektiv, surjektiv, bijektiv.
Mit X1 ⊗ X2 . . . ⊗ Xn , definiert durch
X1 ⊗ X2 . . . ⊗ Xn := { (x1 , . . . xn ) | xi ∈ Xi f ür alle i = 1, . . . , n}
wird das cartesische Produkt der Mengen X1 , . . . , Xn bezeichnet.
Für endliches X sei X n durch X n := X ⊗ X ⊗ · · · ⊗ X definiert.
|
{z
}
n F aktoren
X n ist also die Menge aller n–tupel über X.
Ist X eine endliche Menge, so bezeichne |X| die Anzahl der Elemente in X
(auch Kardinalität von X genannt). Wir nennen kurz X eine n-Menge, wenn
|X| = n.
Es gilt:
Satz 1.1.1. Sind X1 , . . . , Xn endliche Mengen, so gilt:
|X1 ⊗ X2 ⊗ · · · ⊗ Xn | = |X1 | · . . . · |Xn |.
(1.1)
Folgerung 1.1.2. Für endliches X gilt:
|X n | = |X|n
(1.2)
Betrachtet man X als ein Alphabet, so kann man X n als die Menge aller Wörter
der Länge n über X auffassen.
1 Viele der folgenden Begriffsbildungen ließen sich auch für beliebige Mengen durchführen,
aber wir benötigen sie nur für endliche Mengen.
3
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
4
Eine Abbildung f : X → Y (X, Y endl. Mengen) kann man auf folgende zwei
Weisen interpretieren:
Interpretation 1: f verteilt die Elemente von X auf Schubladen (die Elemente
von Y ).
2
Interpretation 2:
Indem wir die Elemente von X durchnummerieren, können wir o.E. X auffassen
als die Menge der ersten n natürlichen Zahlen: X = {1, . . . , n}. Unter dieser
Interpretation können wir f mit dem n–tupel (f (1), . . . , f (n)) ∈ Y n über Y
identifizieren.
2
Bemerkung 1.1.3. f : X → Y ist bijektiv ⇒ |X| = |Y | .
Anzahlen kann man als Äquivalenzklassen von Mengen auffassen:
X ∼ Y ⇔ ∃f : X → Y
bijektiv
(1.3)
2
Bezeichne Y X die Menge aller Abbildungen von X in Y , also
Y X := {f |f : X → Y Abb.} ∼ Y |X| .
Dann gilt:
Satz 1.1.4.
|Y X | = |Y ||X|
(1.4)
Def.: Eine Permutation von X ist eine bijektive Abbildung f : X → X . 2
Sei X = {1, . . . , n} und f : X → X eine Permutation. Der Abbildung f
entspricht dann (siehe oben) ein n–tupel (f (1), . . . , f (n)) ∈ X n , in dem die
f (i), i = 1, . . . , n paarweise verschieden sind.
Häufige Schreibweise:
f=
1
2
···
f (1) f (2) · · ·
n
f (n)
.
Alle Permutationen einer n–elementigen Menge X (also z.B. X = {1, . . . , n})
bilden bzgl. der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe.
Def.: Diese Gruppe nennt man die symmetrische Gruppe der Ordnung n.
Sie wird mit Sn bezeichnet.
2
Jede endliche Gruppe ist Untergruppe einer symmetrischen Gruppe!
Es gilt nun:
Satz 1.1.5.
|Sn | = n!
(1.5)
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
5
Zur Erinnerung:
n! =
n(n − 1) · · · · · 2 · 1
1
n>0
n=0
(Sprechweise für n!: Fakultät von n oder einfach n–Fakultät.)
(Für negative ganze Zahlen und für nicht–ganze Zahlen n ist n! zunächst nicht
definiert. (Siehe jedoch die Γ–Funktion.))
Beweis. Sei oBdA X = {1, . . . , n}. Für f (1) gibt es n Möglichkeiten, für f (2)
dann noch n − 1 . . .
2
Ebenso sieht man ein:
Satz 1.1.6. Sei |X| = n. Die Anzahl der k–tupel aus X ohne Wiederholungen
ist n(n − 1) · · · (n − k + 1) .
1.2
Teilmengen
Sei X eine endliche Menge.
Def.: P(X) := {A|A ⊂ X} heißt Potenzmenge von X.
X
Neben P(X) ist auch die Schreibweise 2
2
gebräuchlich.
Begründung:
Fasst man 2 als die 2–elementige Menge {0, 1} auf, so besteht 2X aus allen
Abbildungen von X in diese Menge, d.h. eine Abbildung aus 2X wird dadurch
festgelegt, dass man jedem Element von X entweder 0 oder 1 zuweist. Wir
ordnen einer solchen Abbildung die Menge aller Elemente von X zu, die auf 1
abgebildet werden. Diese Zuordnung von 2X in P(X) ist offensichtlich bijektiv.
Nebenbei haben wir damit:
Satz 1.2.1.
|P(X)| = 2|X|
(1.6)
Aufgrund unserer obigen Überlegung gehört zu jeder Teilmenge A von X eine
Funktion fA : X → {0, 1}. Man nennt fA die charakteristische Funktion
oder auch Indikatorfunktion von A.
Insbesondere gilt also für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer Menge
immer echt größer ist als die Menge selbst. G. Cantor hat bewiesen, dass diese
Aussage für beliebige (nicht nur endliche) Mengen gilt.
Darstellung von P(X) als Binärzahl.
Sei wieder X eine endliche Menge, die wir mit 0 beginnend durchnummerieren:
X = {0, 1, . . . , n − 1}
Wir definieren nun eine Abbildung von P(X) in die Menge {0, 1, . . . , 2n − 1}:
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
6
P(X) → {0, 1, . . . , 2n − 1}
A 7→
n−1
X
fA (k)2k =: nA
k=0
Diese Abbildung ist (offensichtlich) bijektiv. Die Umkehrabbildung erhält man
so:
Ist k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}, so besitzt k eine eindeutige Darstellung der Form
k=
n−1
X
ak 2k ,
ak ∈ {0, 1}
k=0
Ak ∈ P(X) sei nun definiert durch
Ak := {x ∈ X | ax = 1}
Es gelten dann:
nAk = k und
AnA = A
Wird X “nach oben” vergrößert, so bleiben diese Zuordnungen offensichtlich
unverändert.
2
Geometrische Darstellung von P(X).
Sei X = {1, 2, . . . , n}. Dann haben wir, wie oben gesehen:
P(X) ' {0, 1}X ' {0, 1}n ⊂ Rn
Also entspricht jeder Teilmenge von X ein Eckpunkt des n-dimensionalen Einheitswürfels im Rn .
Beispiel für n = 3:
2
???
Def.: Für x ∈ R, k ∈ Z ist “x über k” definiert durch:
(
x(x−1)···(x−k+1)
x
k≥0
k(k−1)···1
:=
k
0
k < 0.
2
Speziell für n, k ∈ N0 und k ≤ n haben wir:
n
n!
=
k
k!(n − k)!
Insbesondere gilt:
n
n
=
=1
0
n
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
7
n
Def.:
Ck :=| {A ⊂ X| | A |= k} |, 0 ≤ k ≤ n,
bezeichnet die Anzahl der k–Mengen in der n–Menge X.
Satz 1.2.2.
n
Ck =
n
k
Beweis. Sei Mk die Menge aller k-tupel ohne Wiederholungen von Elementen
aus X:
Mk := {(x1 , . . . , xk ) | xi ∈ X, xi 6= xj für i 6= j}
Nach Satz 1.1.6 gilt | Mk |= n(n − 1) · · · (n − k + 1).
Die Abbildung v : Mk → P(X) sei definiert durch:
v((x1 , . . . , xk )) := {x1 , . . . , xk } (“vergiss die Anordnung”)
Nun gilt v((x1 , . . . , xk )) = v((y1 , . . . , yk )) gdw. (x1 , . . . , xk ) eine Permutation
von (y1 , . . . , yk ) ist.
Also hat jede k–Menge {x1 , . . . , xk } ∈ P(X) genau k! Urbilder unter v (Satz
1.1.5). Damit ergibt sich unmittelbar die Behauptung.
2
n
:
Eigenschaften von
k
Satz 1.2.3. Seien k, n ∈ N0 , k ≤ n. Dann gelten:
n
n
(i)
=
k
n−k
(ii)
n
k
k
(iii)
(iv)
n+1
k
n X
n
k=0
(v)
k
n 2
X
n
k=0
k
n−1
= n
k−1
=
=
für k > 0
2n
=
n
n
+
k−1
k
für k > 0
2n
n
Beweis. Grundsätzlich bieten sich zwei Beweismethoden an, um die Formeln
zu beweisen:
1. algebraisch
2. mit Mengenbetrachtungen (siehe Satz 1.2.2)
Wir wählen hier die (anschaulichere) 2. Methode.
(i) Ein Team von k Schülern aus einer Klasse von n Schülern auswählen ist
dasselbe wie die n − k nicht zum Team gehörigen Schüler auszuwählen.
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
8
(ii) Ein Team von k auswählen und dann einen Kapitän bestimmen ist dasselbe
wie zuerst einen Kapitän zu wählen und dann den Rest des Teams.
(iii) Die Klasse bestehe aus n “normalen” und einem “besonderen” Schüler.
n
Nun gibt es k−1
Teams aus k Schülern, die den “Besonderen” enthalten und
n
k Teams, die ihn nicht enthalten.
(iv) siehe Satz 1.2.2
(v) Die Klasse bestehe aus n Jungen und n Mädchen. Jede n-elementige Auswahl aus diesen 2n Schülern besteht aus k Mädchen und n − k Jungen für
ein k zwischen 0 und n. Für ein festes solches k gibt es dafür offensichtlich
n (i) n2
n
Möglichkeiten. Summation über alle k ergibt die Behauptung.
k n−k = k
2
n
Die Rekursionsformel (iii) liefert das Pascalsche Dreieck k :
0
1
2
3
4
5
···
n
0
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| ···
| 1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
···
...
···
k
1
Zeilensumme
1
2
4
8
16
32
···
2n
n läuft hier von oben nach unten, k von links nach rechts.
Ist ∆ definiert durch:
(∆f )(n) := f (n + 1) − f (n) für f : N0 → R
so haben wir also
n
n
∆
=
k
k−1
Das hat eine Analogie im kontinuierlichen Falle in der Potenzreihenentwicklung
von ex :
x2
x3
xn
ex = 1 + x +
+
+ ... +
+ ...
2!
3!
n!
(Jede Teilfunktion ist Ableitung der folgenden Funktion.)
1.3
Der Binomische Lehrsatz
Als Verallgemeinerung von Satz 1.2.3 (iv) zeigen wir:
Satz 1.3.1.
n
(1 + t) =
n X
n
k=0
k
tk ,
Beweis. (1)
Für n = 0 ist nichts zu zeigen. Sei also n > 0:
n ∈ N0
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
9
Dann haben wir (1 + t)n = (1 + t)(1 + t) · · · (1 + t) mit n Faktoren. Multipliziert
man dieses Produkt nach den Regeln des
aus, so sieht man,
Distributivgesetzes
dass der Faktor von tk gerade gleich nk ist (da es nk Möglichkeiten gibt, den
Faktor t aus den n Faktoren k mal zu wählen).
2
Beweis. (2)
Wir benutzen Induktion nach n. Der Fall n = 0 ist trivial. Die Behauptung gelte
also für n. Wir zeigen nun, dass die Formel auch für n + 1 gilt:
(1 + t)n+1
(1 + t)n (1 + t)
!
n X
n k
t (1 + t)
k
k=0
n n+1 X
n k X
n
t +
tj
k
j
−
1
j=1
k=0
n
X n
n
1+
(
+
)tj + tn+1
j
j
−
1
j=1
=
=
=
=
n+1
X
=
1.2.3 (iii)
j=0
n+1 j
t
j
2
Neuer Beweis von Satz 1.2.3 (ii):
Zunächst haben wir:
n(1 + t)n−1 =
n
X
d
n k−1
(1 + t)n =
k
t
dt
k
k=1
Andererseits:
n−1
n(1 + t)
=n
n−1
X
j=0
n X
n−1 j
n − 1 k−1
t =n
t
j
k−1
k=1
2
Ein Koeffizientenvergleich ergibt dann die Beh.
Folgerung 1.3.2. Gelte X 6= ∅. Dann gilt:
| {A ⊂ X | | A | ungerade} | = | {A ⊂ X | | A | gerade} | =(1.2.1) 2|X|−1
Beweis. Satz 1.3.1 für t = −1 ergibt:
0 = (1 − 1)n =
n X
n
k=0
k
(−1)k
Es folgt:
n
X
k=0
kungerade
n
X
n
n
=
k
k
k=0
kgerade
Mit Satz 1.2.2 folgt die Beh.
2
2. Beweis. Sei zunächst |X| ungerade.
Jede Teilmenge von X mit ungerader Elementeanzahl entspricht genau einer
Teilmenge mit gerader Elementeanzahl und umgekehrt (Komplementbildung).
Der Fall n := |X| gerade lässt sich auf den ungeraden Fall n−1 zurückführen.
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
1.4
10
Stichproben
Wir beschäftigen uns hier mit folgender Frage: auf wieviele Weisen kann man k
Objekte aus n Objekten auswählen?
Wir unterscheiden folgende Varianten:
1.
2.
mit/ohne Zurücklegen
Reihenfolge relevant/irrelevant
Beispiel 1.4.1. Ein Beispiel aus dem täglichen Leben ist die Lottoziehung (6
aus 49). Hier ist also k = 6 und n = 49, es wird nicht zurückgelegt und die Reihenfolge ist ohne Bedeutung. Die Anzahl der Möglichkeiten ist 49
6 = 13983816.
Satz 1.4.1. Die Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus n Objekten auszuwählen ist in der folgenden Tabelle enthalten:
Reihenfolge relevant
mit Zurücklegen
a)
nk
ohne Zurücklegen
c)
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
Reihenfolge irrelevant
n+k−1
b)
k
n
d)
k
Beweis.
a) trivial.
c) trivial oder Satz 1.1.6.
d) mit Satz 1.2.2.
b) siehe die folgenden Hilfssätze.
2
Hilfssatz 1.4.2. Die Anzahl der Stichproben mit Zurücklegen und irrelevanter
Reihenfolge
(Fall b)) ist gleich der Anzahl der n-tupel (x1 , . . . , xn ) aus Nn0 mit
Pn
i=1 xi = k.
Beweis. In der Stichprobe vom Umfang kPsei i ∈ X = {1, . . . , n} mit Häufigkeit
n
xi ∈ N0 gewählt, dann gilt offensichtlich i=1 xi = k.
2
Hilfssatz 1.4.3.
n
X
n+k−1
n+k−1
n
xi = k} =
=
{(x1 , . . . , xn ) ∈ N0 |
n−1
k
i=1
Beweis. (1)
Sei Y die Menge {1, 2, . . . , n + k − 1}. Jedem n-tupel (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn0 mit
P
n
ordnen wir folgende n − 1-Auswahl in Y zu: für j = 1, . . . , n − 1 sei
i=1 = kP
j
yj := j + i=1 xi .
Man überlegt sich leicht, dass auf diese Weise eine 1-1-Beziehung hergestellt
wird. (Illustration!)
2
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
11
Beweis. (2)
Bezeichne Pkn die Anzahl der n-tupel aus Nn0 mit Elementsumme k. Dann gilt
n−1
offensichtlich: Pkn = Pkn−1 + Pk−1
+ · · · + 1. Eine geeignete Induktion lefert dann
die Behauptung.
2
Satz 1.4.4. Sei f (n) die Anzahl der geordneten Stichproben beliebiger Länge
aus einer Menge von n Objekten ohne Zurücklegen. Dann gilt:
f (n) = ben!c
Anmerkung. Es soll eine Stichprobe der Länge 0 geben.
Im Satz wird von folgender Definition Gebrauch gemacht:
Def. Für reelles x bezeichne bxc die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x
ist. Entsprechend bezeichne dxe die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich
x ist.
Genau für ganze x gilt bxc = x = dxe.
Beweis. Es gilt mit Satz 1.4.1 b)
f (n) =
n
X
i=0
n
X 1
n!
= n!
(n − i)!
k!
(Partialsumme von n!e)
k=0
Nun schätzen wir die Differenz von f (n) und en! unter Benutzung der geometrischen Reihe ab:
0 < en! − f (n)
1
1
+
+ ···
n + 1 (n + 1)(n + 2)
1
1
<
+
+ ···
n + 1 (n + 1)2
1
=
n
≤ 1
=
Es folgt die Behauptung.
1.5
2
Äquivalenzrelationen und Ordnungen
Sei X eine beliebige (nicht notwendig endliche) Menge.
Def.: Eine (zweistellige) Relation auf X ist eine Teilmenge R von X 2 .
Beispiel 1.5.1. Relationen gehören zu den Grundstrukturen der Mathematik.
Hier ein paar Beispiele:
1. Die leere Relation: ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈
/ R, m.a.W.: R ist die leere Menge.
2. Die Allrelation: ∀x, y ∈ X : (x, y) ∈ R, m.a.W.: R = X 2 .
3. Die Kleiner-Relation auf R: ∀x, y ∈ R : (x, y) ∈ R ⇔ x < y.
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
12
4. Die Teilmengenrelation auf P(X): ∀x, y ⊂ X : (x, y) ∈ R ⇔ x ⊂ y
5. Die Relation auf Z, zu der ein Paar (x, y) genau dann gehört, wenn x = y
mod n für ein festes n ∈ N gilt.
Def.: Eine Relation R auf X heißt:
reflexiv
irreflexiv
symmetrisch
antisymmetrisch
transitiv
trichotom
Äquivalenzrelation
(partielle) Ordnung
totale (oder lineare) Ordnung
gdw
∀x ∈ X
∀x ∈ X
∀x, y ∈ X
∀x, y ∈ X
∀x, y, z ∈ X
∀x, y ∈ X
(x, x) ∈ R
(x, x) ∈
/R
(x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
(x, y) ∈ R ∨ x = y ∨ (y, x) ∈ R
R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv
R ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
R ist eine trichotome partielle Ordnung
2
Ist R eine Relation auf X, so schreibt man statt (x, y) ∈ R häufig xRy.
Sei nun R eine Äquivalenzrelation auf X, x ∈ X. Dann nennt man
R(x) := {y ∈ X|xRy}
die Äquivalenzklasse von x.
Je zwei Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder sind disjunkt. Für x, y ∈ X
gilt R(x) = R(y) ⇔ xRy.
Mit X/R wird die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnet. Wir haben dann
eine natürliche Projektion:
X → X/R
x 7→ R(x)
Beispiel 1.5.2. Sei n eine positive ganze Zahl. Dann wird eine Äquivalenzrelation Rn auf Z definiert durch:
∀x, y ∈ Z : (x, y) ∈ Rn ⇔ x − y ∈ nZ
(nZ sei die Menge aller Vielfachen von n: nZ = {0, n, −n, 2n, −2n, . . .}.)
In diesem Falle bilden die Rn (0), . . . , Rn (n−1) sämtliche (n) Äquivalenzklassen
von Rn . Statt Z/Rn schreibt man in diesem Falle gern Z/nZ.
Def.: Eine Partition (Zerlegung, Unterteilung) von X ist ein System S ⊂ P(X)
mit:
(P1) ∀A ∈ S : A 6= ∅
(P2) ∀A,
S B ∈ S : A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅
(P3)
A∈S A = X.
2
Im Grunde ist eine Äquivalenzrelation auf X nichts anderes als eine Partition
von X:
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
13
Satz 1.5.1. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Dann ist X/R eine Partition
von X.
Sei umgekehrt S eine Partition von X. Dann definiert
R := {(x, y) ∈ X 2 |∃A ∈ S : x, y ∈ A}
eine Äquivalenzrelation auf X und es gilt X/R = S.
2
Beweis. Alles trivial.
Def.: Die Bellsche Zahl Bn ist die Anzahl der Partitionen (und damit also
der Äquivalenzrelationen) auf einer n-Menge X. (siehe Wikipedia)
2
Beispiel 1.5.3. Die ersten Werte sind: B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5: Sei
X = {1, 2, 3}. Die 5 Partitionen sind:
{X}
{{1, 2}, {3}}
{{1, 3}, {2}}
{{2, 3}, {1}}
{{1}, {2}, {3}}
Satz 1.5.2.
Bn =
n X
n−1
k=1
k−1
Bn−k ,
n≥1
(Rekursionsf ormel)
Beweis. Sei X = {1, 2, . . . , n} und Mn ⊂ P(X) die Menge der Teilmengen von
X, die das Element n enthalten. Zu jeder Partition S von X gehört ein Element
von Mn , nämlich das Element von S, das n enthält. Eine Menge M aus Mn
mit k Elementen
hat bei dieser Zuordnung genau Bn−k Urbilder. Andererseits
gibt es n−1
k-Mengen
in Mn . Daraus folgt die Beh.
2
k−1
Beispiel 1.5.4.
B4 =
3
3
3
3
B3 +
B2 +
B1 +
B0 = 15
0
1
2
3
Satz 1.5.3. Sei R eine totale Ordnung auf der n-Menge X.
Dann gibt es genau eine Nummerierung X = {x1 , . . . , xn }, so dass (xi , xj ) ∈ R
mit i ≤ j äquivalent ist.
Folgerung 1.5.4. Auf einer n-Menge gibt es genau n! totale Ordnungen.
Beweis. (Satz 1.5.3)
Wir zeigen zunächst: es gibt genau ein letztes Element x in X, d.h. ein Element
x, so dass aus (x, y) ∈ R notwendig x = y folgt.
Existenz.
Angenommen, es gäbe kein letztes Element. Dann gäbe es zu jedem x ein y mit
x 6= y und (x, y) ∈ R.
KAPITEL 1. ELEMENTARE ABZÄHLFUNKTIONEN
14
Wähle nun x1 beliebig und, wenn xi schon gewählt ist, xi+1 so, dass xi+1 6= xi
und (xi , xi+1 ) ∈ R gilt. Aufgrund der Transitivität von R gilt dann (xi , xj ) ∈ R
für alle i, j mit i < j.
Da X endlich ist, können nicht alle xi verschieden sein. Also gibt es i, j mit
i 6= j und xi = xj . Sei oBdA i < j. Dann muss nach Konstruktion der xi
auch i + 1 < j gelten. Aus (xi , xi+1 ) ∈ R und (xi+1 , xj ) ∈ R folgt dann aber
xi = xi+1 . Widerspruch!
Eindeutigkeit.
Seien x und x0 letzte Elemente. Aus x 6= x0 würde wegen der Trichotomie
(x, x0 ) ∈ R oder (x0 , x) ∈ R folgen. In beiden Fällen folgte wiederum x = x0 .
Also muss x = x0 gelten. Der Rest des Beweises ist nun klar.
2
Kapitel 2
Rekursionen und
erzeugende Funktionen
Wir betrachten im folgenden Elemente des Raumes RN0 , also Funktionen F :
N0 → R.
Def.: F wird durch eine k-gliedrige Rekursion definiert, wenn zum einen
Anfangsbedingungen gegeben sind, d.h. die Werte
F (0), F (1), . . . , F (k − 1)
(AB)
und zum zweiten eine Vorschrift, die es gestattet F (n) aus den letzten k Werten
zu berechnen:
F (n) = V (F (n − 1), . . . , F (n − k))
(RF)
2
Def.: Eine k-gliedrige Rekursion heißt linear, wenn gilt
F (n) = a1 (n)F (n − 1) + a2 (n)F (n − 2) + · · · + ak (n)F (n − k))
(RF)
und linear mit konstanten Koeffizienten, wenn die ai von n unabhängig
sind.
2
Anmerkung
Offensichtlich bilden alle Funktionen, die einer bestimmten durch die ai gegebenen k-gliedrigen Rekursionsvorschrift genügen, einen k-dimensionalen Vektorraum.
Def.: Die Potenzreihe
ϕ(t) :=
∞
X
F (n)tn
n=0
nennt man die erzeugende Funktion von F .
15
2
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
16
Beispiel 2.0.1. Sei F : N0 → R eine Funktion, die 1-gliedrig rekursiv definiert
sei:
F (0) = 1, F (n) = 2F (n − 1)
ϕ(t) sei die erzeugende Funktion von F . Dann gilt:
2tϕ(t)
=
=
=
∞
X
n=0
∞
X
2F (n)tn+1
F (n + 1)tn+1
n=0
∞
X
F (m)tm
m=1
= ϕ(t) − 1
Es folgt:
ϕ(t)
=
=
∞
X
1
=
(2t)n
1 − 2t n=0
∞
X
(konvergent f ür t <
1
)
2
2 n tn
n=0
Mit Koeffizientenvergleich ergibt sich dann F (n) = 2n .
(In diesem Falle hätte man das natürlich auch einfacher sehen können.)
Beispiel
2.0.2. Nach Satz 1.3.1 ist (1+t)n die erzeugende Funktion für F (k) =
n
k .
2.1
Fibonacci Zahlen
Fibonacci = “Sohn von Bonacci” = Leonardo von Pisa.
Definition der Fibonacci-Zahlen Fn :
Fn = Anzahl der Möglichkeiten, n ∈ N0 als Summe von 1en und 2en zu schreiben
unter Beachtung der Reihenfolge.
Die ersten Werte sind: F0 = 1(leere Folge von 1en und 2en), F1 = 1, F2 =
2, F3 = 3, F4 = 5.
Herleitung für F4 = 5:
4
= 1+1+1+1
= 2+1+1=1+2+1=1+1+2
= 2+2
Es gilt die folgende Rekursionsformel:
Fn = Fn−1 + Fn−2
n≥2
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
17
Denn: eine Summenzerlegung von n mit 1en und 2en endet entweder mit einer
1 oder mit einer 2 und jede Zerlegung, die mit 1 endet ist verschieden von jeder
Zerlegung, die mit 2 endet. Nun gibt es aber offensichtlich Fn−1 Zerlegungen,
die mit einer 1 enden und Fn−2 , die mit einer 2 enden.
Satz 2.1.1.
√
Fn =
5+1
√
2 5
√ !n √
1+ 5
5−1
+ √
2
2 5
√ !n
1− 5
2
√ n (Der zweite Summand strebt mit n → ∞ gegen 0, da 1−2 5 < 1 gilt. Das
Ansteigen von Fn wird also schließlich vom ersten Summanden bestimmt und
ist damit i.w. exponentiell.)
Beweis. Alle Funktionen f : N0 → R, die ab n ≥ 2 die Rekursionsformel
fn = fn−1 + fn−2 erfüllen, bilden einen 2-dimensionalen R-Vektorraum. Wenn
es uns gelingt, zwei linear unabhängige (und möglichst einfache) Lösungen zu
finden, so können wir damit Fn linear kombinieren.
Wir machen den Ansatz: f (n) = xn . Es müsste dann also gelten: xn = xn−1 +
xn−2 und damit, da wir x = 0 ausschließen können: x2 − x − 1 = 0.
Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen:
√
√
1+ 5
1− 5
α=
, β=
2
2
Gn = αn und Hn = β n erfüllen die Rekursionsformel und sind linear unabhängig. Daher existieren a, b ∈ R mit Fn = aGn + bHn . Es genügt, dass
diese Gleichung für n = 0, 1 erfüllt ist. Wir bekommen damit die Gleichungen:
1
1
= a+b
√
√
1+ 5
1− 5
= a
+b
2
2
Das ergibt schließlich:
√
5+1
√
2 5
√
5−1
√
2 5
a =
b
=
2
Beweis. (2. mit erzeugender Funktion)
Gelte
ϕ(t) =
X
Fn tn
n≥0
Dann haben wir:
P
tϕ(t) =
F tn+1
Pn≥0 n n+2
2
t ϕ(t) =
n≥0 Fn t
P
=
F
tm
Pm≥1 m−1 m
=
m≥2 Fm−2 t
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
18
Mit der Rekursionsformel ergibt das:
ϕ(t) = tϕ(t) + t2 ϕ(t)
und also:
1
1 − t − t2
Wir benutzen nun eine Partialbruchzerlegung:
ϕ(t) =
1 − t − t2 = (1 − αt)(1 − βt)
1
1
1
1
− − 1 = ( − α)( − β)
2
t
t
t
t
x2 − x − 1 = (x − α)(x − β)
α und β ergeben sich dann genau so, wie im ersten Beweis. Wir suchen nun
a, b ∈ R mit
1
a
b
ϕ(t) =
=
+
(1 − αt)(1 − βt)
1 − αt 1 − βt
Wir multiplizieren mit (1 − αt)(1 − βt):
1 = a(1 − αt) + b(1 − βt)
Koeffizientenvergleich ergibt:
a+b
aβ + bα
= 1
= 0
a, b ergeben sich dann genau wie im ersten Beweis. Es gilt jetzt also:
ϕ(t) = a(1 + αt + α2 t2 + . . .) + b(1 + βt + β 2 t2 + . . .)
(geometrische Reihe)
Schließlich liefert ein Koeffizientenvergleich:
Fn = aαn + bβ n
2
2.2
Lineare Rekursion mit konstanten Koeffizienten
Der im vorigen Abschnitt gemachte Beweis für die Darstellung der FibonacciZahlen Fn legt eine Verallgemeinerung nahe, um die wir uns jetzt kümmern
werden.
Sei dazu F : N0 → C eine Funktion, die einer Rekursionsgleichung mit konstanten Koeffizienten genügt:
F (n) = a1 F (n − 1) + · · · + ak F (n − k),
n≥k
(2.1)
Um Funktionen F zu finden, die (2.1) erfüllen, machen wir nun den gleichen
Ansatz wie im ersten Beweis des letzten Abschnitts:
F (n) = αn
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
19
Es folgt, dass für α genau die Nullstellen des sogenannten charakteristischen
Polynoms
xk − a1 xk−1 − · · · − ak
(2.2)
in Frage kommen.
Wir unterscheiden zwei Fälle:
1. Die Gleichung (2.2) hat k, also lauter verschiedene, Lösungen
2. Die Gleichung (2.2) hat mehrfache Lösungen
1. Fall:
(2.2) habe also die k verschiedenen Lösungen α1 , . . . , αk . Die dazugehörenden
Lsungen der Rekursionsformel (2.1) seien F1 , . . . , Fk , d.h. Fi (n) = αin . Erfüllt
F ebenfalls (2.1), so gibt es a1 , . . . , ak ∈ C mit
F = a1 F1 + · · · + ak Fk
(2.3)
(Die Fi sind, wie man sich leicht überlegen kann, linear unabhängig)
Um die ai in (2.3) zu bestimmen, genügt es, die Funktionswerte an den Stellen
0, 1, . . . , k − 1 zu betrachten. Damit erhält man n lineare Gleichungen mit der
Matrix:

α10
α11
..
.




α1k−1
α20
α21
···
···
..
.
α2k−1
···

αk0
1 
αk 


αkk−1
(Transponierte der Vandermonde-Matrix)
Q
Es ist bekannt, dass die Determinante dieser Matrix den Wert i<j (αi −αj ) hat.
Da die αi nach Voraussetzung verschieden sind, ist die Determinante ungleich 0
und die Matrix also regulär. Die ai in (2.3) lassen sich also eindeutig bestimmen.
2. Fall:
Die Gleichung (2.2) habe weniger als k Lösungen. Sei α eine Lösung mit der
Vielfachheit d > 1. Zu α gehören dann die d Lösungen αn , nαn . . . , nd−1 αn der
Rekursionsgleichung (2.1).
2.3
Derangements, Involutionen
Es gibt keine allgemeine Lösungsmethode für nichtlineare oder lineare Rekursionen mit nicht-konstanten Koeffizienten.
In Einzelfällen gibt es aber dennoch Ergebnisse.
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit speziellen Abbildungen einer endlichen Menge in sich, den sogenannten Derangements und den Involutionen.
Def.: Ein Derangement einer n-Menge X ist eine Bijektion f : X → X ohne
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
20
Fixpunkte, d.h.
f (x) 6= x, ∀x ∈ X.
Wir definieren dann
d(n) := |{f | f ist ein Derangement von X}| ,
Xeine n − Menge.
Es gilt
Satz 2.3.1.
d(0) = 1, d(1) = 0
(AB)
d(n) = (n − 1)(d(n − 1) + d(n − 2))
(RF )
Beweis. d(0) = 1 und d(1) = 0 ist klar. (Es gibt genau eine Abbildung von
∅ → ∅ und die erfüllt die Bedingung für ein Derangement.)
Sei nun X = {1, 2, . . . , n},
n ≥ 2. Für jedes i ∈ X mit i 6= n gilt offenbar:
d(n) = (n − 1) |{f | f ist Derangement von X mit f (n) = i}|
Bleibt also, den Wert |{f | f ist Derangement von X mit f (n) = i}| zu bestimmen.
Wir unterscheiden nun zwei Fälle: f (n) = i und f (i) = n bzw. f (n) = i und
f (i) 6= n
1. Es gelte also f (n) = i und f (i) = n.
In diesem Fall gilt offensichtlich
|{ f | f ist Derangement von X mit f (n) = i und f (i) = n}| = d(n − 2)
2. Es gelte nun f (n) = i und f (i) 6= n.
Sei Y = {1, 2, . . . , n − 1} und j ∈ Y , j 6= i, mit f (j) = n.
Der Abbildung f ordnen wir die Abbildung g : Y → Y zu, die folgendermaßen
definiert wird:
f (k) für k 6= j
g(k) :=
i
für k = j
Diese Zuordnung
{ f | f ist Derangement von X mit f (n) = i und f (i) 6= n} → { g | g ist Derangement von Y }
ist, wie man sich leicht überlegt, bijektiv. Damit ist alles bewiesen.
Satz 2.3.2.
d(n) = n!
n
X
(−1)k
k=0
k!
d(n) − n! < 1
e n+1
2
(2.4)
(2.5)
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
21
Beweis. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die erste der beiden im Satz enthaltenen
Aussagen zu beweisen. Wir zeigen, dass
F (n) := n!
n
X
(−1)k
k=0
k!
die Rekursion von Satz 2.3.1 erfüllt:
Zunächst sind, wie man leicht nachrechnet, die Anfangsbedingungen (AB) erfüllt.
Bleibt zu zeigen, dass die Rekursionsformel (RF) erfüllt ist:
Das aber ist eine einfache Umformung und wird dem Leser überlassen.
Zur zweiten Aussage des Satzes:
n!
− d(n)
e
∞
n
X
(−1)k X (−1)k = n! −
k!
k! k=0
k=0
(−1)n+1 < n! (n + 1)! 1
=
n+1
2
Anmerkung: Übrigens gilt auch noch folgende leicht zu beweisende Rekursion:
d(n) = nd(n − 1) + (−1)n ,
was wiederum plausibel macht, dass d(n) wie n! wächst.
Def.: Eine Abbildung f : X → X heißt Involution, wenn
f ◦ f = idX
(⇔ f = f −1 )
gilt.
Wir setzen
=(n) := |{ p ∈ Sn | p ist Involution}|
Die ersten Werte sind:
=(0) = 1, =(1) = 1, =(2) = 2, =(3) = 4
Satz 2.3.3.
=(n) = =(n − 1) + (n − 1)=(n − 2)
Beweis. Sei f eine Involution der Menge X = {1, 2, . . . , n}. Für f (n) gibt es
zwei Möglichkeiten:
i) f (n) = n
ii) f (n) = i, i 6= n
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
22
Die Anzahl der Involutionen f , die i) erfüllen, ist offensichtlich =(n − 1).
Gilt f (n) = i, i 6= n, so muss auch, da f eine Involution ist, f (i) = n gelten. Es
gibt also für jedes i 6= n gerade =(n − 2) Involutionen mit f (n) = i. Nun gibt
es aber gerade n − 1 solche i.
2
Einige Werte von =(n):
n
=(n)
0
1
1
1
2
2
3
4
4
10
5
26
6
76
Satz 2.3.4.
(i) =(n) gerade für n > 1
√
(ii) =(n) > n! für n > 1
Beweis.
(i) mit Induktion:
=(2), =)3) sind gerade (Ind.-Anfang)
⇒
=(n − 1), =(n − 2) gerade 2.3.3
=(n) gerade (Ind.-Schluss)
(ii) ebenfalls mit Induktion:
√
√
Ind.-Anf.: =(2) = 2 > 2!, =(3) = 4 > 3!
Gelte nun =(n − 1) >
p
=(n)
(n − 1)! , =(n − 2) >
p
(n − 2)! . Dann:
= =(n − 1) + (n − 1)=(n − 2)
p
p
(n − 1)! + (n − 1) (n − 2)!
>
p
√
=
(n − 1)!(1 + n − 1)
p
√
(n − 1)! n
>
√
=
n!
2
2.4
Catalansche Zahlen, Bellsche Zahlen
Def: Die Anzahl Cn der Möglichkeiten, eine Summe aus n Summanden (bei
fester Reihenfolge) so zu klammern, dass immer nur 2 Summanden zu addieren
sind, heißt n-te Catalansche Zahl.
(Anders ausgedrückt: die n-te Catalansche Zahl bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten, einen aus n Operanden bestehenden Ausdruck vollständig zu klammern.
Oder auch: die n-te Catalansche Zahl bezeichnet die Anzahl der binären Bäume
mit n Blättern.) (siehe Wikipedia (das dortige Cn entspricht unserem Cn+1 ))
Beispiel: Die ersten Werte sind: C0 = 0, C1 = 1, C2 = 1, C3 = 2, C4 = 5, C5 =
14.
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
23
C4 = 5 :
((a + b) + c) + d
(a + (b + c)) + d
a + ((b + c) + d)
a + (b + (c + d))
(a + b) + (c + d)
Satz 2.4.1.
Cn =
n−1
X
Ck Cn−k ,
n>1
(nichtlineare Rekursionsformel)
k=1
Beweis. Die Anzahl binärer Bäume, deren linker Teilbaum k und deren rechter
Teilbaum n − k Blätter enthalten, ist offensichtlich Ck Cn−k . Daraus folgt aber
schon die Behauptung.
2
Satz 2.4.2. Die erzeugende Funktion ϕ der Catalanschen Zahlen lautet:
ϕ(t) =
√
1
1 − 1 − 4t
2
Folgerung 2.4.3.
Cn =
1 2n − 2
n n−1
Beweis. von 2.4.2
Die im Satz 2.4.1 enthaltene Rekursionsformel entspricht genau der Formel, mit
der bei der Multiplikation zweier (gleicher) Potenzreihen der Koeffizient von xn
berechnet wird. Man sieht daher leicht:
ϕ(t)2 = ϕ(t) − t
Löst man diese Gleichung, so ergibt sich zunächst:
ϕ(t) =
√
1
(1 ± 1 − 4t)
2
Da ϕ(0) = C0 = 0 gelten soll, ergibt sich die Behauptung.
2
Beweis. von 2.4.3
Aus
1
1
(1 − (1 − 4t) 2 )
2
folgt mit dem folgenden Satz 2.4.4:
ϕ(t) =
∞ 1
X
1
2 (−4t)n )
ϕ(t) = (1 −
2
n
n=0
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
24
Mit Koeffizientenvergleich haben wir dann:
1 12
Cn = −
(−4)n , n ≥ 1
2 n
1 1 −1 −3
−(2n − 3) 1
= −
···
(−4)n
2 2 2 2
2
n!
1
1
(1 · 3 · · · (2n − 3)) 22n
=
n+1
2
n!
1 n−1
= (1 · 3 · · · (2n − 3)) 2
n!
1 · 2 · 3 · · · · (2n − 2)
1 n−1
=
2
(1 · 2)(2 · 2)(3 · 2) · · · ((n − 1) · 2 n!
(2n − 2)!
=
(n − 1)!n!
1 2n − 2
=
n n−1
2
Satz 2.4.4. (Newton, Euler, Abel)
Die binomische Reihe zum Parameter s ∈ R
∞ X
s k
bs (t) :=
t
k
k=0
konvergiert für
alle t
|t| < 1
falls bs Polynom (Satz 1.3.1)
sonst
(a)
und es gilt
(b)
bs (t) = (1 + t)s ,
|t| < 1
Beweis.
a)
Sei bs kein Polynom (also s ∈
/ N0 ). Zur Bestimmung des Konvergenzradius R
von bs benutzen wir das Quotientenkriterium: (siehe WWW)
R = lim
k→∞
|ak |
|ak+1 |
Es gilt:
ak
s(s − 1) · · · (s − k + 1)(k + 1)!
k+1
1 + 1/k
=
=
=−
,
ak+1
k!s(s − 1) · · · (s − k)
s−k
1 − s/k
Also:
lim
k→∞
b)
|ak |
=1
|ak+1 |
k≥1
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
25
Zunächst gilt:
(1 + t)bs−1 (t) =
P∞
k=0
(1 + t)bs−1 (t) = bs (t)
P∞ s−1 k P∞
s−1 k
k=1 k−1 t =
k=0
k t +
(1)
s
k
tk = bs (t).
Hier wurde Satz 1.2.3 (iii) benutzt, der auch für s ∈
/ N0 gilt. (Für einen Beweis
siehe das folgende Lemma.)
Weiter gilt:
b0s (t) =
s
bs (t),
1+t
(2)
denn
b0s (t) =
∞ ∞ X
X
s k−1
s−1 k
s
bs (t)
k
t
=s
t = sbs−1 (t) =
1+t
k
k
k=1
k=0
Hier wurde für die letzte Gleichung (1) benutzt.
Wir zeigen nun, dass bs (t)(1 + t)−s = 1 gilt (was die zu beweisende Behauptung
ergibt) und benutzen (1 + t)s = es ln(1+t) .
Es gilt unter Benutzung von (2)
1
)=0
1+t
ist konstant. Aus bs (0) = 1 folgt schließlich:
(bs (t)e−s ln(1+t) )0 = (b0s (t) − bs (t)s
Es folgt: bs (t)(1 + t)−s
bs (t) = (1 + t)s
2
Um die Teilaussage (iii) von Satz 1.2.3 einzusehen, benutzen wir:
Lemma zu Satz 2.4.4 Die Aussagen (ii) und (iii) von Satz 1.2.3 bleiben gültig,
wenn man n ∈ N0 durch s ∈ C ersetzt.
Beweis. Da ein Polynom vom echten Grade n genau n Nullstellen besitzt (Vielfachheiten mitgezählt), muss ein Polynom, das für alle k ∈ N0 verschwindet,
identisch 0 sein.
s−1
s
Betrachte z.B. für (iii) das Polynom k−1
+ s−1
− k+1
. Nach Satz 1.2.3 (iii)
k
verschwindet dieses Polynom für alle s ∈ N0 , also für alle s.
2
Sei F : N0 → R eine Zahlenfolge.
Def:
ψ(t) = ψF (t) :=
∞
X
F (n)
n=0
tn
n!
heißt die exponentiell erzeugende Funktion von F.
(Name wegen: F ≡ 1 ⇒ ψ(t) = et )
Unter der Links-Verschiebung von F verstehen wir die durch
F 0 (n) := F (n + 1)
definierte Funktion.
Dann gilt:
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
Satz 2.4.5.
ψF 0 =
26
∂
ψF
∂t
Beweis.
d
ψF (t)
dt
=
∞
X
F (n) n−1
nt
n!
n=1
=
∞
X
F (n) n−1
t
(n − 1)!
n=1
=
∞
X
F (m + 1) m
t
m!
m=0
= ψF 0 (t)
2
Satz 2.4.6. Für die Bellschen Zahlen Bn lautet die exponentiell erzeugende
Funktion:
∞
X
t
tn
ψ(t) =
Bn = ee − 1
n!
n=0
Beweis. [1. Beweis]
Sei ψ die exponentiell erzeugende Funktion der Bellschen Zahlen.
Wir leiten zunächst die Formel
ψ 0 (t) = et ψ(t)
ab:
et ψB (t) =
∞ k X
∞
X
t
Bj j
t
k! j=0 j!
k=0
∞
X
Bj n
t
k!j!
n=0 k+j=n
∞ X
n X
n
tn
Bn−k
=
k
n!
n=0 k=0
!
∞
n+1
X
X n tn
=
Bn−k+1
k−1
n!
n=0
=
X
k=1
=
∞
X
Bn+1
n=0
= ψB 0 (t)
0
= ψB
(t)
tn
n!
(mit 2.4.5)
KAPITEL 2. REKURSIONEN UND ERZEUGENDE FUNKTIONEN
27
Es folgt weiter:
t
t
t
(e−e ψ(t))0 = −et e−e ψ(t) + e−e ψ 0 (t) = 0
Somit:
t
e−e ψ(t) = c konstant
Mit ψ(0) = B0 = 1 ergibt sich c = e−1 und damit die Behauptung.
P∞
n
t
Beweis. [2. Beweis (skizziert)] Sei f (t) = ee . Mit f (t) = n=0 αn tn! gilt
2
αi = f (i) (0)
Für die Ableitungen f (i) (t) gilt:
f 0 (t) = et f (t)
f (2) (t) = (et + e2t )f (t)
f (3) (t) = (et + 3e2t + e3t )f (t)
f (4) (t) = (et + 7e2t + 6e3t + e4t )f (t)
allgemein:
f (n) (t) = (β1n et + β2n e2t + β3n e3t + · · · + βnn )f (t)ent )f (t)
Die βin erfüllen offensichtlich die Rekursionsformel:
n−1
βin = iβin−1 + βi−1
Das ist aber genau die Rekursionsformel, die von den Größen Bin erfüllt wird,
wobei Bin definiert ist als die Anzahl der Partitionen einer n-Menge in i Teilmengen. (Der einfache Beweis wird hier ausgelassen. (Siehe den Abschnitt ”Stirlingsche Zahlen” – dort heißen die Bkn S(n, k)))
Es ergibt sich dann: βin = Bin und
f (n) (t) = (B1n et + B2n e2t + B3n e3t + · · · + Bnn ent )f (t)
und wegen Bn =
Pn
i=1
Bin :
f (n) (0) = Bn e
2
Daraus folgt die Behauptung.
Anmerkung:
Für festes k haben die Bkn die exponentiell erzeugende Funktion
(− ln(1−t))k
.
k!
Kapitel 3
Das Einschluss-AusschlussPrinzip
(EAP)
3.1
Das abstrakte EAP
Die allgemeinste Form der Einschluss-Ausschluss-Gleichung lautet:
Satz 3.1.1. Sei X eine beliebige Menge, k ∈ N und A1 , A2 , . . . , Ak ∈ P(X).
Dann gilt:
X
1 S k Ai +
(−1)|I| 1Ti∈I Ai = 0
i=1
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
( 1A bezeichne die Indikatorfunktion für A ∈ P(X).)
Beweis. [1. Beweis] Induktion nach k:
Start:
k=1:
1A + (−1)1 1A = 0
k=2:
1A1 ∪A2 − 1A1 − 1A2 + 1A1 ∩A2 = 0
ok
Induktionsschluss k → k + 1:
Sk
Sei B1 := i=1 Ai , B2 := Ak+1 .
Dann unter Anwendung des Satzes für k = 2:
0 = 1Sk+1 Ai − 1Sk
i=1
i=1
Ai
− 1Ak+1 + 1B1 ∩Ak+1
28
ok
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
mit 1A∩B = 1A 1B und der Induktionsannahme:
X
= 1Sk+1 Ai +
(−1)|I| 1Ti∈I Ai − 1Ak+1 −
X
i=1
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
= 1Sk+1 Ai +
X
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
X
= 1Sk+1 Ai +
(−1)|I| 1Ti∈I Ai 1Ak+1
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
X
(−1)|I| 1Ti∈I Ai − 1Ak+1 +
i=1
29
(−1)j 1Ti∈J Ai
J⊂{1, ... ,k+1}
k+1∈J
|J|≥2
(−1)|K| 1Ti∈K Ai
i=1
K⊂{1, ... ,k+1}
K6=∅
2
Beweis. [2. Beweis]
(aus Krengel, Vieweg Studium)
Mit
1A1 ∩
···
1Ac = 1 − 1A
∩Ak = 1A1 1A2 · · · 1Ak
können wir schreiben:
1Sk
i=1
Ai
= 1 − 1Tk
i=1
Aci
= 1 − 1Ac1 1Ac2 · · · 1Ack
= 1 − (1 − 1A1 )(1 − 1A2 ) · · · (1 − 1Ak )
durch ausmultiplizieren (vgl. 1. Beweis von Satz 1.3.1):
=1−
X
(−1)|I|
I⊂{1, ... ,k}
X
=−
Y
1 Ai
i∈I
(−1)|I| 1Ti∈I Ai
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
2
Folgerung 3.1.2. µ sei ein signiertes Maß auf X, A1 , . . . , Ak µ-messbar.
Dann gilt:
µ(
k
[
i=1
Ai ) +
X
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
(−1)|I| µ(
\
Ai ) = 0.
i∈I
Beweis. Folgt aus Satz 3.1.1 und allgemeiner Integrationstheorie.
R
R
(Denn: µ(A) = 1A dµ und die Abbildung f 7→ f dµ ist linear.)
2
Wählt man als Maß das sogenannte Zählmaß auf einer endlichen Menge X
(µ(A) = |A|), so ergibt sich als Spezialfall:
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
30
Satz 3.1.3. X endlich, k ∈ N, A1 , . . . , Ak ∈ P(X).
Dann gilt:
k
[
Ai +
i=1
X
|I|
(−1)
\ Ai = 0
i∈I
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
Folgerung 3.1.4. Unter den Voraussetzungen des letzten Satzes gilt:
k
\ X
[
(−1)|I| Ai .
Ai = |X| +
X \
i=1
Beweis. Addiere |X \
Satz 3.1.3.
3.2
S
i∈I
I⊂{1, ... ,k}
I6=∅
Ai | = |X| − |
S
Ai | auf beiden Seiten der Gleichung in
2
Elementare Anwendungen
3.2.1. Beweis von Satz 1.3.2:
|{A ⊂ X | |A| gerade}| = |{A ⊂ X | |A| ungerade}|
für X 6= ∅
Wir zeigen:
X
(−1)|A| = 0
:
A⊂X
Seien dazu k = |X|, Ai = X für i = 1, . . . , k. Anwendung von Satz 3.1.1 ergibt:
1X +
X
(−1)|I| 1X = 0
I⊂X
I6=∅
Daraus folgt das Gewünschte.
3.2.2. Beweis der ersten Formel von Satz 2.3.2
d(n) = n!
n
X
(−1)k
k=0
k!
.
Sei dazu X = Sn = p : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | p bijektiv gesetzt und
für i = 1, . . . , n sei Ai = {p ∈ Sn | p(i) = i}. Wir haben sofort:
|Ai | = (n − 1)! und
T
| i∈I Ai | = (n − |I|)! für I ⊂ {1, . . . , n}
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
31
Die Folgerung 3.1.4 liefert uns dann:
n
X
[
(−1)|I| (n − |I|)!
d(n) = X \
Ai = n! +
i=1
I6=∅
n
X
i n
=
(−1)
(n − i)!
i
i=0
(da es
n
i
Teilmengen von {1, . . . , n} mit i Elementen gibt.)
= n!
n
X
(−1)i
i=0
i!
3.2.3. Seien X eine n-Menge, Y eine k-Menge und S := {f : X → Y | f surjektiv} ⊂
Y X . Dann gilt:
k−1
X
k
|S| =
(−1)i
(k − i)n .
i
i=0
Beweis. Mit Y = {1, . . . , k} sei Ai := {f ∈ Y X | i ∈
/ Bild(f )}. Es gilt dann
Sk
also S = Y X \ i=1 Ai .
Folgerung 3.1.4 liefert:
|S| = k n +
X
\ (−1)|I| Aj I6=∅
j∈I
k
X
k
(k − i)n
(−1)i
=
i
i=0
(denn:
T
j∈I
Aj = (Y \ I)X .)
2
Satz 3.2.4. Die Teilmengen einer n-Menge seien durchnummeriert:
2{1, ... ,n} = {A1 , . . . , A2n }.
Die Matrizen Z und M seien definiert durch:
(
1 Ai ⊂ Aj
Z(i, j) :=
0 sonst
(
(−1)|Aj \Ai | Ai ⊂ Aj
M (i, j) :=
0
sonst
Dann gilt:
Z und M sind invertierbar mit M = Z −1 .
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
32
Beweis.
n
M Z(i, k) =
2
X
M (i, j)Z(j, k)
j=1
X
=
(−1)|Aj \Ai |
n
j∈{1, ... ,2 }
Ai ⊂Aj ⊂Ak
(
1 Ai = Ak
=
0 sonst (Folgerung 1.3.2)
2
3.2.5.
Sei n ∈ N.
Die Eulersche ϕ-Funktion ist definiert durch:
(→Euler)
ϕ(n) := |{k ∈ {1, . . . , n} | (k, n) = 1}|
Dabei bezeichne (n, k) den größten gemeinsamen Teiler (GGT) von n und k.
Es gilt: n prim ⇔ ϕ(n) = n − 1.
Sei n = pa1 1 pa2 2 · · · par r die Primfaktorzerlegung von n.
Die Möbius Funktion µ ist dann definiert durch:
(→ Möbius)


r gerade und ai = 1 für i = 1, . . . , r
1
µ(n) = −1 r ungerade und ai = 1 für i = 1, . . . , r


0
∃j : aj > 1
Tabelle der ersten Werte von ϕ und µ:
n
ϕ(n)
µ(n)
1
1
1
2
1
-1
3
2
-1
4
2
0
5
4
-1
6
2
1
7
6
-1
(1 −
1
)
pi
8
4
0
9
6
0
10
4
1
11
10
-1
12
4
0
13
12
-1
Satz.
(i)
ϕ(n)
=
n
r
Y
i=1
(ii)
(iii)
ϕ(n)
n
X
ϕ(d)
=
X µ(d)
d|n
=
d
n
d|n
Beweis. (i) Sei X = {1, . . . , n} , Aj := {k ∈ X | pj |k}. Es gilt X \
{k | (n, k) = 1} und |Aj | = pnj .
Sr
j=1
Aj =
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
33
Wir können nun schreiben:
r
[
ϕ(n) = |X \
Aj |
=
3.1.4
n+
X
j=1
=n
(−1)|I|
I⊂{1, ... ,r}
=n
(1 −
j=1
1
)
pj
\
Aj |
j∈I
I6=∅
X
r
Y
(−1)|I| |
Y 1
pj
j∈I
(Ausmultiplizieren).
Für die mittlere Gleichung wurde die einfach einzusehende Tatsache
\
n
|
Aj | = Q
j∈I pj
j∈I
benutzt.
(ii) In (i) haben wir gezeigt:
ϕ(n)
=
n
X
(−1)|I| Q
I⊂{1, ... ,r}
1
j∈I
pj
Genau die Teiler d von n, für die µ(d) 6= 0 ist, treten hier im Nenner auf! Auch
liefert (−1)|I| das “richtige” Vorzeichen. Also:
ϕ(n) X
1
=
µ(d) .
n
d
d|n
(iii) Sei X = {1, . . . , n} und Vd := {m ∈ X | (m, n) = d}, d ein Teiler von n.
Man überlegt sich leicht, dass folgendes gilt:
n
|Vd | = ϕ( )
d
•
[
X = Vd
(disjunkte Vereinigung)
d|n
(Übrigens ist natürlich ϕ(n) = |V1 |)
Somit:
X n
n=
ϕ( )
d
d|n
und, da mit d auch
n
genau einmal über alle Teiler von n läuft:
d
X
n=
ϕ(d)
d|n
2
Zum Schluss dieses Abschnitts ein paar erste Anmerkungen zur Riemannschen
Zetafunktion. Der Kehrwert des Produktes im folgenden Satz kam für s = 1
schon in Formel (i) fr die Eulersche φ-Funtkion vor.
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
34
Satz 3.2.6 (Euler Produkt). Sei {pi | i = 1, 2, . . .} eine endliche oder unendliche Menge von Primzahlen. Dann gilt
Y
X
1
n−s
=
−s
1
−
p
a
a
i
1
2
i
n=p1 p2 ...
ai =0
fast alle
im endlichen Fall für s > 0, im unendlichen Fall konvergieren die Ausdrcke für
s > 1.
Erinnert sei an den Konvergenzbegriff für Produkte:
Def. Seien bi ∈ C \ {0}, i ∈ N. Das unendliche Produkt
Q∞
Qk
wenn i=1 bi := limk→∞ i=1 bi existiert.
Q∞
i=1 bi
konvergiert,
Beweis. a) endlicher Fall, i = 1, . . . , r.
Zunächst gilt für alle i, da s > 0:
∞
N
X
X
1
−s
−s ai
=
p
=
lim
(pai i )
i
−s
N
→∞
1 − pi
a =0
a =0
i
i
Wir können daher schreiben:
N
r X
Y
1
−s
(pai i )
=
lim
−s
N
1
−
p
i
i=1 a =0
i=1
r
Y
i
= lim
N
(a1 ,...,ar )
ai ≤N
X
=
r
Y
X
!−s
pai i
i=1
n−s .
a
r
n=p1 1 ···pa
r
ai ∈N0
b) unendlicher Fall, i ∈ N.
Mit dem unter a) bewiesenen haben wir:
∞
Y
k
Y
1
1
=
lim
−s
k→∞
1
−
p
1
−
p−s
i
i
i=1
i=1
X
= lim
n−s
k→∞
=
a
a
n=p1 1 ···pkk
X
n−s .
a
n=p1 1 ···
fast alle ai =0
Die letzte Reihe konvergiert für s > 1, denn sie wird durch 1 +
oben abgeschätzt.
R∞
1
x−s dx nach
2
Ist die im Satz erwähnte Menge von Primzahlen die Menge aller Primzahlen, so
haben wir die
Folgerung 3.2.7 (Riemannsche Zetafunktion). Es gilt
Y
p
prim
∞
X
1
=
n−s =: ζ(s)
1 − p−s
n=1
für s > 1.
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
35
Bemerkung 1.
Die Aussagen des Satzes und insbesondere der Folgerung gelten auch für komplexe Zahlen s mit Re(s)> 1. Das ist noch in ganz elementarer Weise zu zeigen
(mit n−s = e−s ln(n) ). Mit weitergehenden Mitteln aus der Funktionentheorie
kann man zeigen, dass diese Funktion holomorph ist (für Re(s) > 1) und sich
holomorph fortsetzen lässt auf C \ {1}. In der berühmten Riemannschen Vermutung geht es um die Lage der Nullstellen dieser Funktion.
Bemerkung 2.
Für s = 1 haben wir die sogenannte harmonische Reihe 1 + 21 + 13 + · · · , die
bekanntlich divergent ist. Für viele größere s hat schon Euler Grenzwerte angegeben. Der vielleicht bekannteste:
1+
3.3
1 1
π2
+ · · · = ζ(2) =
.
4 9
6
Die Stirlingschen Zahlen
Def. c(n, k) bezeichne die Anzahl der Permutationen aus Sn mit genau k Zykeln.
Für n ≤ 0 oder k ≤ 0 setzen wir c(n, k) = 0.
Als die Stirlingschen Zahlen 1. Art bezeichnen wir nun:
s(n, k) := (−1)(n−k) c(n, k),
n, k ∈ Z .
P (n, k) sei die Menge der Partitionen einer n-Menge in genau k Teilmengen
(6= ∅) (k-Partition).
Die Stirlingschen Zahlen 2. Art sind dann definiert durch:
(
|P (n, k)| n, k ≥ 0
S(n, k) :=
.
0
sonst
Satz 3.3.1. Trivialerweise gelten:
n
X
(i)
c(n, k) = n!
k=1
(ii)
n
X
S(n, k)
=
Bn (Bellsche Zahl)
k=1
Satz 3.3.2. Es gelten die folgenden Rekursionsformeln:
(i)
s(n, 0) = 0, s(n, n) = 1
s(n + 1, k) = −n s(n, k) + s(n, k − 1)
(ii)
S(n, 0) = 0, S(n, n) = 1
S(n + 1, k) = k S(n, k) + S(n, k − 1)
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
36
Beweis. Sei X = {1, . . . , n} und X 0 = {1, . . . , n + 1}.
(ii) Jede (k − 1)-Partition von X ergänzen wir um die Menge {n + 1} und
erhalten so eine k-Partition von X 0 . Diese Zuordnung ist offensichtlich injektiv.
Jede k-Partition von X ergibt k k-Partitionen von X 0 , indem man das Element
n + 1 einer der k Mengen zuschlägt. Das ergibt k S(n, k) k-Partitionen von X 0 .
Zusammen also: S(n + 1, k) = k S(n, k) + S(n, k − 1).
(i) Sei p eine k-Permutation (Permutation mit genau k Zykeln) von X 0 . Gilt
nun p(n+1) = n+1, so ist p|X eine k −1 Permutation von X. Umgekehrt erhält
man durch Setzen von p(n + 1) = n + 1 aus jeder k − 1-Permutation p von X
eine k-Permutation von X 0 . Von dieser Art sind also c(n, k − 1) Permutationen
von X 0 .
Gilt hingegen p(n + 1) = j ∈ X, so ist q : X → X, definiert durch
(
p(i)
i 6= p−1 (n + 1)
q(i) =
p(n + 1) i = p−1 (n + 1)
eine k-Permutation von X. Man überlegt sich leicht, dass auf diese Weise n
k-Permutationen von X 0 zu derselben k-Permutation von X führen.
Insgesamt haben wir damit:
c(n + 1, k) = n c(n, k) + c(n, k − 1) .
2
Daraus folgt aber sofort die Behauptung.
Def.:
(t)n := t(t − 1) · · · (t − n + 1)
(t)n := t(t + 1) · · · (t + n − 1)
(lower factorial)
(upper factorial)
(t)n und (t)n sind also Polynome in t vom Grade n.
Damit können wir formulieren:
Satz 3.3.3. Sei n ≥ 1.
n
X
(i)
s(n, k)tk
=
(t)n
k=1
(ii)
n
X
S(n, k)(t)k
=
tn
k=1
Beweis. (i) Induktion nach n:
n = 1: klar
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
37
n → n + 1:
(t)n+1 = (t)n (t − n)
=
Ind.V.
n
X
s(n, k)tk (t − n)
k=1
=−
n
X
n s(n, k)tk +
=
s(n, k 0 − 1)tk
0
k0 =2
k=1
n+1
X
n+1
X
s(n + 1, k)tk
(wg. 3.3.2).
k=1
(ii) Induktion nach n:
n = 1: klar
n → n + 1:
tn+1 = tn · t =
n
X
S(n, k)(t)k ((t − k) + k)
k=1
=
n
X
S(n, k)(t)k+1 +
k=1
=
n+1
X
n
X
k S(n, k)(t)k
k=1
(S(n, k − 1) + k S(n, k))(t)k
k=1
=
n+1
X
S(n + 1, k)(t)k
(wg. 3.3.2)
k=1
2
Folgerung 3.3.4.
(s(i, j))−1
i,j≤n = (S(i, j))i,j≤n .
Beweis. Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad n ohne konstantes
Glied.
Die Polynome
t, t2 , . . . , tn
bilden eine Basis für V , ebenso die Polynome
(t)1 , (t)2 , . . . , (t)n .
Satz 3.3.3 besagt nun gerade, dass (s(i, j)) die erste Bsis in die zweite transformiert und (S(i, j)) die zweite in die erste.
2
Satz 3.3.5.
k
1 X
k−j k
S(n, k) =
(−1)
jn .
k! j=1
j
Pk
Beweis. Nach 3.2.3 ist j=1 (−1)k−j kj j n die Anzahl der Surjektionen einer
n-Menge auf eine k-Menge. Zwei solche Surjektionen ergeben genau dann die
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
38
gleiche Partition der n-Menge, wenn sie durch eine Permutation der k-Menge
1
.
2
auseinander hervorgehen. Daher der Faktor k!
Satz 3.3.6. Für k ≥ 1 gilt:
∞
X
S(n, k) n
1
t = (et − 1)k
n!
k!
n=1
Beweis.
k X 1 X
X S(n, k)
k
tn
n
t =
(−1)k−j j n
n!
k! j=1 j
n!
(mit 3.3.5)
n≥0
n≥0
k X (jt)n
1 X k
=
(−1)k−j
k! j=1 j
n!
n≥0
| {z }
=(et )j
=
1 t
(e − 1)k
k!
(Binomische Formel)
2
Weiterer Beweis von Satz 2.4.6:
∞
X
t
Bn n
t = ee −1
n!
n=0
Beweis.
n
XX
X Bn
S(n, k) n
tn =
t
n!
n!
n≥0
=
=
(mit 3.3.1)
n≥0 k=0
∞ X
∞
X
k=0
∞
X
k=0
t
= ee
S(n, k) n
t
n!
n=0
1 t
(e − 1)k
k!
(mit 3.3.6)
−1
2
Satz 3.3.7. F, G seien exp. erz. Fkt. von (fn ), (gn ).
Dann sind äquivalent:
(i)
gn =
n
X
S(n, k)fk ,
k=1
(ii)
G(t) = F (et − 1)
g0 = f0
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
39
Beweis. (i) ⇒ (ii):
G(t) = f0 +
X
n
X
n≥1
k=1
!
S(n, k)fk
∞
∞
X
X
tn
tn
= f0 +
fk
S(n, k)
n!
n!
n=1
k=1
|
{z
}
(et −1)k
k!
=
X
t
fk
k≥0
(3.3.6)
k
(e − 1)
k!
= F (et − q) .
(ii) ⇒ (i):
2
mit derselben Umformung und Koeffizientenvergleich.
Fasst man S als (unendliche) Matrix auf (mit S(i, j) = 0, wenn entweder i = 0
oder j = 0, S(0, 0) = 1 , i, j ≥ 0.), so definiert die in (i) benutzte Operation die
Multiplikation dieser Matrix mit Elementen des R (bzw. C)–Vektorraumes NR
(bzw. NC ) und damit eine lineare Abbildung.
Der Satz sagt also aus, dass diese lineare Abbildung in der Ebene der exp. erz.
Fkt. dem Einsetzen von et − 1 für t entspricht.
Nun hat die Matrix S eine Inverse, nämlich s (siehe Folgerung 3.3.4).
Wir bekommen damit:
Folgerung 3.3.8. F, G, (fn ), (gn ) wie oben. Dann sind äquivalent:
(i)
fn =
n
X
s(n, k)gk ,
f0 = g0
k=1
(ii)
F (t) = G(ln(1 + t))
Beweis. Ersetze t in Satz 3.3.7 durch ln(1 + t).
2
Folgerung 3.3.9. Für k ≥ 1 gilt:
∞
X
s(n, k) n
1
t = (ln(1 + t))k .
n!
k!
n=0
(
1 n=k
Beweis. Man setze in Folgerung 3.3.8 gn :=
(k-ter Einheitsvektor).
0 n=
6 k
tk
und f (n) = s(n, k).
k!
1
Mit (3.3.8) folgt: F (t) = (ln(1 + t))k , und damit die Beh.
k!
Dann gilt G(t) =
3.4
Gerade und ungerade Permutationen
Sei p ∈ Sn eine Permutation, c(p) die Anzahl der Zykeln von p.
2
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
40
Def.
sign p := (−1)n−c(p) .


sign p = 1
gerade
p heißt ungerade
sign p = −1 .


Transposition c(p) = n − 1
Eine Transposition besteht aus einem Zyklus der Länge 2 und n − 2 Zykeln der
Länge 1. M.a.W.: eine Transposition vertauscht zwei Elemente miteinander und
lässt die anderen Elemente “in Ruhe”. Jede Transposition ist ungerade. Und:
sign id = 1, die Identität ist also eine gerade P.
Satz 3.4.1. Die symmetrische Gruppe Sn , n ≥ 2, enthält ebensoviele gerade wie
ungerade Permutationen.
Beweis. Folgerung 3.3.4 ergibt für n ≥ 2 insbesondere:
n
X
s(n, i) = 0
i=1
denn das Skalarprodukt der n–ten Zeile von (s(i, j))i,j≥1 mit der ersten Spalte
von (S(i, j))i,j≥1 ist 0 und die erste Spalte von (S(i, j))i,j≥1 besteht aus lauter
1en.
2
Satz 3.4.2. Seien p, q ∈ Sn Permutationen, q eine Transposition. Dann gilt:
c(q ◦ p) = c(p ◦ q) = c(p) ± 1
sign(q ◦ p) = sign(p ◦ q) = − sign p .
(Dabei bezeichne ◦ die Operation der Hintereinanderausführung von Permutationen (allgemein von Abbildungen): (p ◦ q)(x) = p(q(x)).)
Beweis. q vertausche die Elemente i, j, i 6= j.Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1) i, j liegen im gleichen Zyklus von p.
2) i, j liegen in verschiedenen Zykeln von p.
Man überlegt sich dann leicht (die Details seien dem Leser überlassen):
Alle Zykeln, die weder i, noch j enthalten, ändern sich nicht, sind also auch
Zykeln von q ◦ p.
Im ersten Fall zerfällt der Zyklus von p, der i, j enthält, in zwei Zykeln (wobei
i in dem einen und j in dem anderen Zyklus “landet”). In diesem Falle ist also
c(q ◦ p) = c(p) + 1.
Im zweiten Fall, verschmelzen die beiden Zykeln zu einem Zyklus. Es gilt in
diesem Falle also c(q ◦ p) = c(p) − 1.
Für p ◦ q ergibt sich alles aus p ◦ q = (q −1 ◦ p−1 )−1 . Denn trivialerweise gilt
c(p) = c(p−1 ) für alle Permutationen und mit q ist auch q −1 eine Transposition.
2
KAPITEL 3. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP (EAP)
41
Jede Permutation p ist ein Produkt von Transpositionen:
p = q1 ◦ q2 ◦ · · · ◦ qr ,
qi Transposition.
(Der Beweis ist einfach und wird hier ausgelassen.)
Die Anzahl der Transpositionen r ist nicht eindeutig bestimmt, wohl aber, wie
der vorstehende Satz zeigt, der Ausdruck r mod 2.
Es ergibt sich sofort:
Satz 3.4.3. Die Abbildung
sign : Sn → {1, −1}
der symmetrischen Gruppe Sn auf die multiplikative Gruppe der Ordnung 2 ist
ein Gruppenhomomorphismus.
Def.
An := sign−1 (1) = {p ∈ Sn | p gerade}
heißt alternierende Gruppe der Ordnung (?) n.
Folgerung 3.4.4.
|An | =
n!
.
2
Kapitel 4
Geordnete Mengen und
Verbände
Ziel dieses Kapitels ist eine Verallgemeinerung des Einschluss-Ausschluss-Prinzips
(EAP)(siehe Kap. 3).
4.1
Posets
Def. Eine (partiell) geordnete Menge oder Poset ist eine Menge mit einer
partiellen () Ordnung (= reflexive, antisymmetrische, transitive Relation).
Einige wenige Beispiele:
a) n := {1, . . . , n} mit der natürlichen (linearen/totalen) Ordnung
b) Bn := P({1, . . . , n}) mit der Teilmengenrelation ⊂
c) Dn := {i | i|n (i teilt n) } mit i j :⇐⇒ i|j
d) Πn := {Partitionen von {1, . . . , n}} mit π σ :⇔ ∀A ∈ π ∃B ∈ σ : A ⊂
B. (π ist eine Verfeinerung von σ)
e) Sei Fq der Körper mit q Elementen (⇒ q = pn , p prim). Ln (q) := {U ⊂
Fnq | U lin. Unterraum} mit der Teilmengenrelation ⊂.
(Siehe Abbildung 4.1 für Diagramme.)
P, Q seien Posets.1
Def. Eine Abbildung ϕ : P → Q heißt
isoton
monoton
,
ordungserhaltend
wenn gilt:
∀x, y ∈ P : x y ⇒ ϕ(x) ϕ(y)
1 Wir bezeichnen mit z.B. P , eine gewisse Ungenauigkeit in Kauf nehmend, sowohl ein
Poset (ein Paar (P, ), bestehend aus einer Menge P und einer Ordnung ) wie auch die
zugrundeliegende Menge.
42
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
{1,2,3}
• n
{2,3}
{1,3}
LL
LL
LL
LL
rr
rr
r
r
LL rr
LL rr
Lr
Lr
rr LLL
rr LLL
r
r
LL
L
r
r
LL
r
r
L
rr
rr
{2}
{3}
LLL
rr
LLL
r
r
LLL
rr
LLL
rrr
r
r
LLL rrr
r
{1,2}
• n−1
• 3
{1}
• 2
• 1
n
LLL
LLL
LLL
LLL
L
r
rrr
r
r
r
rrr
rrr
∅
B3
4
2
43
12
 ???

??

??

??


?

6
o
oo
o
o
oo
ooo
o
o
ooo
ooo
3
??
??


??

??

?? 

1
D12
{{1,2,3,4}}
oo  ??O?OOOO
?? OOO
ooo 
o
o
??
O
oo 
o
?? OOOOO
o
o

o
OOO
o
?

o
??
OOO

ooo
?

o
OO
o
?

oo

{{1,2},{3,4}} Y {{1,2,3},{4}}
{{1,2,4},{3}}
{{1,3},{2,4}}
{{1,3,4},{2}}
{{2,3,4},{1}}
{{1,4},{2,3}}
YYYYYY / RRR
//
JJ
JJ
ltt
t // hhhlhlhll
t // RRRRR tt
l
/
Y
R
Y
l
t
t
J
J
Y
Y
R
l
tR
JJ tt hhh/h/lll
//
// YYYtYtRYRYRY //
lJ t
RYRYRYY/YYtttt RRRRlRllllttJtJtJJ
ttJhJhJhhh lll/
//
// ttt
t
RR/Rt YYYYYlYll RRRt
h
t
t
J
h
t//RRRlll YYYYtYtYRRR JJhhhhtht hlllJlJlJl ///
t//
//
t
t
t
t YYYRhYRhYRhYh JJtt lll JJ
lR
// tttt //
tt ll/l RRR tt
J /
h RYYtYJ l
/ ttt
/ ttltltllll // tttRthRhRhRhRhhhh ttltlRtlRlRlRYJlRYJYJYYYYYYYY JJJ //
{{1,2},{3},{4}} {{1,3},{2},{4}} {{1,4},{2},{3}} {{1},{2,3},{4}} {{1},{3},{2,4}} {{1},{2},{3,4}}
RRR
//
JJ
RRR
lll
tt
JJ
//
RRR
lll
tt
JJ
l
t
l
RRR
J
//
ll
tt
RRR JJJ
tt llllll
//
RRR JJ
t
t
l
RRR JJ /
l
RRR JJ // tttltllll
RR J ttlll
{{1},{2},{3},{4}}
Π4
Abbildung 4.1: Poset-Beispiele
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
44
ϕ heißt (Poset–)Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv und ϕ, ϕ−1 monoton sind.
Sei P ein Poset.
Def.
[x, y] := {z ∈ P | x z y},
x, y ∈ P, x y
heißt abgeschlossenes Intervall.
]x, y[ := {z ∈ P | x < z < y},
x, y ∈ P
heißt offenes Intervall.
P heißt lokal endlich, wenn [x, y] endlich ist für alle x, y ∈ P mit x y.
Ein Unterposet Q ⊂ P (mit der induzierten Ordnungsrel.) heißt konvex, wenn
∀x, y : x, y ∈ Q und x y ⇒ [x, y] ⊂ Q .
y ∈ P heißt Nachfolger von x ∈ P , wenn
x < y und ]x, y[= ∅ .
x heißt dann auch Vorgänger von y.
Achtung: zu einem Element von P kann es mehrere Vorgänger/Nachfolger geben.
0̂ ∈ P heißt kleinstes Element (Null) von P , wenn ∀x ∈ P : 0̂ x.
1̂ ∈ P heißt größtes Element (Eins) von P , wenn ∀x ∈ P : x 1̂.
Aufgrund der Antisymmetrie kann ein Poset jeweils höchstens eine Null/Eins
besitzen.
Jedes Poset P kann so erweitert werden, dass es eine Null und eine Eins enthält.
Wir definieren:
P̂ := P
·
∪
{0̂, 1̂} auch wenn P schon eine Null oder Eins enthält
Die Relation wird dabei in der einzig naheliegenden Weise erweitert.
Eine Kette ist ein totalgeordnetes Poset (z.B. n).
Eine Kette C ⊂ P heißt saturiert oder nicht verfeinerbar, wenn gilt: @z ∈
P, x, y ∈ C : x < z < y und C ∪ {z} ist Kette.
Eine Kette C ⊂ P ist maximal in P , wenn es keine echt umfassende Kette ⊂ P
gibt. Jede maximale Kette ist saturiert. Jede Kette ist in (mindestens) einer
maximalen Kette enthalten (Beweis mit dem Zornschen Lemma).
Sei P ein lokal endliches Poset.
x1 ≺ x2 ≺ · · · ≺ xn ist genau dann eine saturierte Kette, wenn xi Nachfolger
von xi−1 ist für i = 2, . . . , n.
l(C) := |C| − 1 heißt Länge der Kette C.
l(P ) := sup{l(C) | C ⊂ P Kette} heißt Länge (oder Rang) von P.
P heißt graduiert vom Rang n, wenn alle maximalen Ketten in P die gleiche
Länge n haben.
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
45
Satz 4.1.1. Ist P graduiert vom Rang n, so gibt es eine eindeutig bestimmte
Funktion
% : P → {0, 1, . . . , n}
x 7→ %(x)
mit der Eigenschaft:
∀x, y ∈ P, x y : l[x, y] = %(y) − %(x)
Man nennt % die Rangfunktion von P und %(x) den Rang von x.
Beweis. Sei x ein Element von P und K = x0 , x1 , . . . , xn (n = Rang von P )
eine maximale Kette, die x enthält. Gilt x = xi für ein i aus {0, 1, . . . , n}, so
setzen wir %(x) = i.
Ist x00 , x01 , . . . , x0n eine weitere max. Kette “durch” x, so muss x = x0i gelten. Sei
nämlich j aus {0, 1, . . . , n} so gewählt, dass x = x0j gilt. Wäre nun j < i, so hätte
man mit x0 , . . . , xi , x0j+1 , . . . , x0n eine max. Kette mit mehr als n Elementen.
Widerspruch! (P ist graduiert.) Genauso ist j > i unmöglich.
Also ist % wohldefiniert.
Gilt x y für ein y ∈ P , so wähle man, um % für x bzw. y zu bestimmen, eine
max. Kette K “durch” x und y. Der Teil von K, der x mit y “verbindet”, ist
max. in [x, y], und längere max. kann es nicht geben, denn sonst wäre K nicht
max. Daraus folgt sofort: l[x, y] = %(y) − %(x).
2
Alle oben aufgeführten Beispiel–Posets sind graduiert. Die folgende Tabelle
enthält Rangaussagen über diese Posets:
P
n
%(x)
x−1
Rang P
n−1
Bn
|x|
n
Dn
Anzahl der
Primf. von x
Anzahl der
Primf. von n
Πn
n − |x|
n−1
Ln (q)
dim x
n = dim Fnq
(mehrfache Faktoren
mitgezählt)
Es folgen weitere Definitionen und Schreibweisen.
A ⊂ P heißt Antikette (oder Sperner Familie), wenn je zwei verschiedene
Elemente von A unvergleichbar sind.
I ⊂ P heißt Ordnungsideal (down set), oder auch nur Ideal, wenn mit jedem
Element auch jedes kleinere zu I gehört.
I ⊂ P heißt Ordnungsfilter (up set, duales Ordnungsideal), oder auch nur
Filter, wenn mit jedem Element auch jedes größere zu I gehört.
(Man beachte, dass die leere Menge ∅ zu den Idealen/Filtern gezählt wird!)
Jede Antikette A bestimmt durch I = {x ∈ P | ∃y ∈ A : x y} ein Ideal
I, das genau die Elemente von A als maximale Elemente enthält. Daher ist
diese Zuordnung von Antiketten zu Idealen injektiv. Für endliches P gibt es
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
46
eine Umkehrabbildung: man ordne einem Ideal die Menge seiner maximalen
Elemente, die offensichtlich eine Antikette bildet, zu.
Gilt A = {x1 , . . . , xn }, so bezeichne < x1 , . . . , xn >:= I das von A erzeugte
Ideal.
Insbesondere nennt man das von einem Element x erzeugte Ideal < x > das von
x erzeugte Hauptideal.
Die Menge {y ∈ P | x y} ist das von x erzeugte duale Hauptideal.
Das zu P duale Poset P ∗ ist die Menge P mit der Relation:
x y in P ∗ ⇔ y x in P
Dadurch werden Ideale zu Filtern und umgekehrt (während Antiketten Antiketten bleiben!) und es erklären sich die obigen Sprechweisen, in denen das
Wörtchen dual auftritt.
4.2
Verbände, submodulare Verbände
Seien P ein Poset, x, y ∈ P und A ⊂ P .
z ∈ P heißtV{obere Schranke von x, y (bzw. A), wenn x, y ∈
(bzw. A ⊂ z ).
V
z ∈ P heißt untere
Schranke von x, y (bzw. A), wenn x, y ∈
W
gilt (bzw. A ⊂ z ).
W
z
z
:=< z > gilt
:= {u|z u}
z heißt kleinste obere Schranke von x, y (bzw. A), wenn z obere Schranke
ist und für alle oberen Schranken w gilt: z w.
Entsprechend wird größte untere Schranke definiert.
Eine kleinste obere Schranke (größte untere Schranke) muss nicht existieren, ist
aber, wie man an der Definition sieht, wenn sie existiert, eindeutig und wird
dann mit x ∨ y (join von x und y) bzw. x ∧ y (meet von
bezeichnet.
W x und y) V
Im Falle einer Teilmenge A lauten die Bezeichnungen x∈A x bzw. x∈A x.
Def. Ein Verband L (engl. lattice) ist ein Poset mit der Eigenschaft
x, y ∈ L ⇒ x ∨ y, x ∧ y existieren .
L ist ein ∨–Semiverband (bzw. ∧–Semiverband), wenn ∨ (bzw. ∧) für alle
x, y definiert ist.
W
V
L heißt vollständig, wenn für alle Teilmengen A von L x∈A x und x∈A x
existieren.
Satz 4.2.1. In einem Verband L gelten die folgenden Aussagen:
(i)
die Operationen ∨, ∧ sind assoziativ, kommutativ und idempotent .
(x ∨ x = x z.B.)
(ii)
x ∧ (x ∨ y) = x und x ∨ (x ∧ y) = x . (Absorptionsregel)
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
(iii)
x∧y =x⇔x∨y =y ⇔xy .
(iv)
L endl. ⇒ L besitzt 0̂, 1̂ .
(v)
L∗ ist ein Verband mit x ∨∗ y = x ∧ y, x ∧∗ y = x ∨ y .
(vi)
L endlich ⇒ L vollständig.
47
Beweis. Alles sehr einfach.
Stellvertretend für die anderen Aussagen beweisen wir: ∨ ist assoziativ:
v = (x ∨ y) ∨ z ⇒ (x ∨ y) v und z v
⇒ x v und y v und z v
⇒ x v und (y ∨ z) v
⇒ x ∨ (y ∨ z) (x ∨ y) ∨ z
Die andere “Ungleichung” x ∨ (y ∨ z) (x ∨ y) ∨ z zeigt man genau so. Aus der
Antisymmetrie folgt dann die Gleichheit.
2
Satz 4.2.2. Ist P ein endlicher ∨–(bzw. ∧–)Semiverband mit 0̂ (bzw. 1̂), so ist
P ein Verband.
Beweis. Seien P ein ∨–Semiverband mit 0̂ und x, y ∈ P . DieWMenge A := {v ∈
P | v x und v y} ist wegen 0̂ ∈ A nicht leer. Sei w = x∈P x. Man sieht
sofort: w = x ∧ y.
Der Fall: P ein ∧–Semiverband mit 1̂ wird analog behandelt (oder man argumentiert mit der Dualität).
2
Def. Sei L ein Verband und f : L → R eine Abbildung. f heißt submodular
(bzw. supermodular), wenn für alle x, y ∈ L gilt:
f (x ∨ y) + f (x ∧ y) f (x) + f (y) .
bzw.:
f (x ∨ y) + f (x ∧ y) ≥ f (x) + f (y) .
Def. Ein Verband L heißt submodular (supermodular), wenn L graduiert
ist und die Rangfunktion % submodular (supermodular) ist.
Satz 4.2.3. Sei L ein endlicher Verband. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
(i) L ist submodular .
(ii) ∀x, y : x, y Nachfolger von x ∧ y ⇒ x ∨ y Nachfolger von x, y .
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
48
Beweis.
(i) ⇒ (ii):
Seien x, y ∈ L. Dann gilt:
x, y Nachfolger von x ∧ y ⇒ %(x) = %(y) = %(x ∧ y) + 1, %(x) < %(x ∨ y)
⇒ %(x ∨ y)
(i)
%(x) + %(y) − %(x ∧ y)
= %(x) + 1 = %(y) + 1 %(x ∨ y)
⇒ x ∨ y Nachfolger von x und y .
(ii) ⇒ (i):
1) L ist graduiert: Angenommen, L sei nicht graduiert.
Sei [u, v] ein nicht graduiertes Intervall in L von minimaler Länge (ein solches
Intervall existiert, da ja L = [0̂, 1̂] gilt). Dann folgt:
∃x1 , x2 Nachfolger von u : l[x1 , v] 6= l[x2 , v]. Mit (ii) folgt:
∃ saturierte Ketten xi ≺ x1 ∨ x2 ≺ · · · ≺ v – Widerspruch zur vorherigen
Ungleichung!
Also ist L graduiert.
2) L ist submodular: Ang., es sei nicht so, d.h. es gäbe Elemente x, y ∈ L mit
%(x ∨ y) + %(x ∧ y) > %(x) + %(y)
(*)
Von den Paaren x, y, die (*) erfüllen, wählen wir nun eines so, dass
a) l[x ∧ y, x ∨ y] minimal ist und
b) unter denen, die a) erfüllen, %(x) + %(y) minimal ist.
Der Fall, dass x, y beide Nachfolger von x ∧ y sind, ergibt mit (ii) sofort einen
Widerspruch zu (*). Nehmen wir also ohne E.d.A. an, dass l[x ∧ y, x] > 1 gilt
und wählen x0 so, dass gilt: x0 ist Nachfolger von x ∧ y und x0 < x.
Zunächst gilt: x0 ∧ y = x ∧ y.
Denn: x0 ∧y x∧y folgt aus x0 ≺ x (die Abbildung ·∧y : L → L ist monoton).
Andererseits ist x ∧ y ≺ x0 und x ∧ y y und somit x ∧ y x0 ∧ y.
Wegen x0 ∨ y x ∨ y gilt weiter:
l[x0 ∧ y, x0 ∨ y] l[x ∧ y, x ∨ y] und %(x0 ) + %(y) < %(x) + %(y) .
Wegen der Wahl von x, y (siehe a),b)) kann (*) nicht erfüllt sein, also:
%(x0 ∨ y) + %(x0 ∧ y) %(x0 ) + %(y).
(**)
(*) aufgelöst nach %(x) und (**) aufgelöst nach %(x0 ∨ y) ergibt:
%(x) + %(x0 ∨ y) < %(x ∨ y) + %(x ∧ y) − %(y) + %(x0 ) + %(y) − %(x0 ∧ y)
= %(x0 ) + %(x ∨ y)
%(x ∧ y 0 ) + %(x ∨ y 0 )
mit y 0 := x0 ∨ y
Hier wurden benutzt: %(x0 ) %(x ∧ y 0 ) und %(x ∨ y) = %(x ∨ y 0 ). Das erste folgt
aus x0 x ∧ y 0 , das zweite aus x ∨ y = (x ∨ x0 ) ∨ y = x ∨ (x0 ∨ y) = x ∨ y 0 .
Mit l[x ∧ y 0 , x ∨ y 0 ] < l[x ∧ y, x ∨ y] haben wir damit einen Widerspruch!
2
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
49
Folgerung 4.2.4. L sei ein endlicher Verband. Dann sind äquivalent:
(i) L ist supermodular
(ii) ∀x, y ∈ L : x ∨ y Nachfolger von x, y ⇒ x, y Nachfolger von x ∧ y
Beweis. Beweis durch Übergang zum dualen Verband L∗ . (Die Details bleiben
dem Leser überlassen.)
2
Beisp.: Bn ist modular. Denn, sind A, B ∈ Bn , so gilt offensichtlich %(A) = |A|
und Satz 3.1.3 mit k = 2 liefert:
%(A ∨ B) + %(A ∧ B) = |A ∪ B| + |A ∩ B|
= |A| + |B|
= %(A) + %(B) .
Beisp.: Im folgenden das Hasse–Diagramm des kleinsten Verbandes, der submodular, aber nicht supermodular ist:
x∨y
r • LLL
LL
rr
r
LL
rr
L
rr
x•:
•:
•y
::
:
:
:: :: •:
•
::
:: •
x∧y
Def. Sei L ein Verband mit 0̂, 1̂ (bei endlichen Verbänden immer erfüllt).
Gilt für zwei Elemente x, y ∈ L sowohl x∧y = 0̂ und x∨y = 1̂, so sagt man, x und
y seien komplementär zueinander, y sei ein Komplement von x (in welchem
Falle, wegen der Kommutativität von ∨ und ∧, auch x ein Komplement von y
ist).
Nicht jedes Element muss ein Komplement haben und wenn, müssen diese nicht
eindeutig sein. In jedem Falle haben 0̂ und 1̂ ein Komplement (welches?).
L besitzt Komplemente (is complemented), wenn alle Elemente von L ein
Komplement besitzen.
L besitzt relative Komplemente (is relatively complemented), wenn jedes
Intervall [x, y] ⊂ L (als Teil-Verband) selbst Komplemente besitzt.
Beisp.:
1. n besitzt keine Komplemente für n ≥ 2
2. Bn besitzt eindeutige Komplemente, auch relative Komplemente
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
50
3. Ln (q) besitzt relative Komplemente, nicht eindeutig
4. Dn besitzt Komplemente, wenn n quadratfrei ist (jeder Exponent in der
Primfaktorzerlegung ist 1), dann auch relative Komplemente (Folgt aus
der Tatsache, dass Dn in diesem Falle isomorph zu Br ist, r = Anzahl der
Primfaktoren.)
Def. Sei L ein Verband mit 0̂.
a ∈ L heißt Atom, wenn a Nachfolger von 0̂ ist.
L heißt atomar oder Punkt-Verband, wenn
∀x ∈ L : x 6= 0̂ ⇒ ∃ Atome a1 , . . . , ar ∈ L : x = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ ar .
In einem Verband mit 1̂ heißt ein c ∈ L Coatom, wenn es Vorgänger von 1̂ ist.
L heißt coatomar, wenn L∗ atomar ist.
Satz 4.2.5. Sei L ein endl. submodularer Verband. Dann sind äquivalent:
(i) L besitzt relative Komplemente
(ii) L ist atomar .
Beweis. Ohne Beweis.
2
Beisp.:
1. n ist nicht atomar für n > 1
2. Bn ist atomar und coatomar
3. Dn atomar, wenn n quadratfrei
4.3
Distributive Verbände
Def. Ein beliebiger Verband L heißt distributiv, wenn:
∀x, y, z ∈ L : x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
(Distr)
(Man hätte auch die Gültigkeit des anderen Distributivgesetzes verlangen können,
denn ein Verband erfüllt entweder beide oder beide nicht. Der einfache Beweis
für diese überraschende Tatsache wird hier ausgelassen. Wir gehen also im folgenden davon aus, dass in einem distributiven Verband beide Distributivgesetze
gelten.)
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
51
L heißt modular, wenn gilt:
∀x, y, z ∈ L : x z ⇒ x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ z
Wegen x z ⇒ x ∧ z = z folgt diese Bedingung aus dem Distributivgesetz, d.h.
L distributiv ⇒ L modular.
Beisp.:
1. Für eine beliebige Menge X ist der Potenzmengenverband P(X) (= 2X )
distributiv. Insbesondere gilt das also für alle Bn .
2. N mit Teilbarkeitsrelation ist distributiv, insbesondere auch alle Dn .
3. Πn ist für n > 2, Ln (q) für n > 1 nicht distributiv:
123
•
Π3 :
1
 ???
??


?

•3
23 • ? 2 13 •
??

??

? 
12
•
1 2 3
Wir notieren ohne Beweis:
Satz 4.3.1. Sei L ein endlicher Verband. Dann gilt:
L modular ⇔ L submodular und supermodular .
Def. Sei P ein Poset. Dann wird definiert:
I(P ) := {I | I Ordnungsideal von P } ⊂ 2P .
I(P ) ist gegen ∩ und ∪ abgeschlossen und bildet daher einen distributiven
Verband.
Beisp.:
Ein Poset P und das zugehörende I(P ) als Hasse-Diagramm:
{1,2,3,4}=<3,4>
3
•
P:
1
•
•
??
??
??
??
??
??
•
4
I(P):
2
◦:
:::
::
◦ {1,2,4}=<1,4>
<3>={1,2,3} • :
::
:::
::
::
: :
• {2,4}=<4>
<1,2>={1,2} ◦ :
:::
:: • {2}=<2>
<1>={1} • :
::
::
: ◦
∅
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
52
(Die Hauptideale von I(P ) sind durch •’s gekennzeichnet.)
Beisp.: Für P = n ist I(P ) = n + 1.
Beisp.: Sei Mn ein Poset mit n Elementen und leerer ≺–Relation. Dann gilt
I(Mn ) ' Bn .
Satz 4.3.2 (Darstellungssatz). Sei L ein endlicher Verband. Dann gilt:
L ist distributiv ⇔ ∃ endliches Poset P : L ' I(P ) .
P ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
2
Beweis. Später! (siehe hier)
Def. Sei P ein Poset. x ∈ P heißt ∨–irreduzibel, wenn
@ y, z ≺ x : x = y ∨ z .
Charakterisierung der Hauptideale in I(P ):
Satz 4.3.3. P, Q seien endliche Posets. Es gelten:
(i) I 6= ∅ ∨–irreduzibel in I(P ) ⇔ I = <x> für ein x ∈ P
(ii) <x> ⊂ <y> ⇔ x y
(iii) I(P ) ' I(Q) ⇔ P ' Q .
Beweis. (i)
“⇒”:
Sei I =<x1 , . . . , xk >. Aus k > 1 würde der Widerspruch
| {z }
Antikette
I =<x1 > ∪ <x2 , . . . , xk > folgen.
“⇐”: Angenommen, es gelte I = J ∪ K, J; K ∈ I(P ). Sei o.E.d.A. x ∈ J.
Dann: I ⊂ J und wegen I = J ∪ K I = J. Also ist I ∨–irreduzibel.
(ii) trivial.
(iii) “⇐”: trivial
“⇒”: (i), (ii) besagen:
P → {I ∈ I(P ) | I ∨ –irreduzibel}
x 7→ < x >
ist ein Isomorphismus.
2
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
53
Lemma (zu 4.3.2). Sei L ein endlicher Verband, x ∈ L, x 6= 0̂. Dann gilt:
_
x=
y.
(*)
yx
y ∨–irreduzibel
Beweis. Angenommen, es gäbe Elemente, die keine Darstellung (*) besitzen.
Unter diesen sei x minimal. x ist dann selbst nicht ∨–irreduzibel, besitzt also
eine Darstellung x = x1 ∨ x2 mit x1 , x2 ≺ x. Da x1 , x2 kleiner als x sind,
besitzen sie eine Darstellung (*). Führt man sie beide zusammen, hat man eine
Darstellung von x. Widerspruch!
2
Wir kommen nun zu dem noch ausstehenden Beweis des Darstellungssatzes:
Beweis. (von 4.3.2)
Sei P := {x ∈ L | x 6= 0̂ und x ∨–irreduzibel}.
Beh.: L ' I(P ).
Bew.: Sei Φ definiert durch:
Φ : L → I(P )
x 7→ Ix := {y ∈ P | y x}
Das vorangehende Lemma zeigt:
∀x ∈ L : x =
_
y.
y∈Ix
Also ist Φ injektiv.
Sei I ∈ I(P ) und x =
W
y∈I
y. Wir zeigen: I = Ix :
Sei
W dazu z ∈ Ix beliebig. Mit der Distributivität von L ergibt sich: z = z ∧ x =
y∈I z ∧ y. Da z ∨–irreduzibel ist, muss für ein y ∈ I gelten : z = z ∧ y. Daraus
folgt z y und damit z ∈ I. Also gilt Ix ⊂ I und also, da I ⊂ Ix trivial ist,
auch I = Ix .
Also ist Φ surjektiv und damit insgesamt bijektiv.
Schließlich ist noch leicht zu zeigen (die Details seien dem Leser überlassen),
dass Φ die Verbandsoperationen erhält.
Damit ist gezeigt: Φ ist ein Verbandsisomorphismus.
Die Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) von P folgt aus Satz 4.3.3.
2
Satz 4.3.4. Sei P ein Poset, |P | = n. Dann ist I(P ) graduiert vom Rang n
und für alle I ∈ I(P ) gilt %(I) = |I|, I aufgefasst als Teilmenge von P .
Folgerung 4.3.5. Jeder endliche distributive Verband ist graduiert.
Bew.: 4.3.2 und 4.3.4. (Oder: distributiv ⇒ modular ⇒ submodular ⇒ graduiert.)
Beweis. (von 4.3.4)
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
54
Sei I ein Ideal in P . Entfernt man aus I ein maximales Element, so bleibt ein
Ideal übrig. Daraus folgt aber alles unmittelbar.
2
Folgerung 4.3.6.
|{I | I Ordnungsideal in P, |I| = k}| = |{z ∈ I(P ) | %(z) = k}|
Zum Schluss dieses Abschnitts definieren wir einen Begriff, der später eine Rolle
spielen wird. Ist P ein graduiertes Poset (z.B. ein distributiver Verband), so
nennt man die für k ∈ N0 definierten Zahlen:
Wk := |{x ∈ P | %(x) = k}|
die Whitney-Zahlen 2. Art.
Die mit den Wk als Koeffizienten gebildete Potenzreihe:
F (t) :=
X
W k tk
k≥0
heißt die rangerzeugende Funktion von P .
Beispielsweise hat Bn als rangerzeugende Funktion die Funktion (1 + t)n .
4.4
Kombinationen von Posets
In diesem Abschnitt werden gewisse naheliegende Kombinationen von Posets zu
neuen Posets eingeführt. Es handelt sich um die direkte Vereinigung/direkte
Summe, die Ordnungssumme, das direkte Produkt und das Ordnungsprodukt.
Seien P, Q Posets.
Die direkte Vereinigung (oder direkte Summe) P + Q von P und Q wird
folgendermaßen definiert:
Die Grundmenge von P + Q sei P ∪˙ Q, die disjunkte Vereinigung von P und Q.
Sind x, y zwei Elemente in P ∪˙ Q, so gelte x y genau dann, wenn entweder
x, y ∈ P und x y in P gilt, oder x, y ∈ Q und x y in Q gilt.
P heißt zusammenhängend, wenn es nicht direkte Summe von 2 nichtleeren
Posets ist.
Mit nP werde dir die n–fache direkte Summe von P mit sich selbst bezeichnet:
nP := P + P + . . . + P .
{z
}
|
n Summanden
Die Ordnungssumme P ⊕ Q von P, Q hat als Trägermenge wieder die disjunkte Vereinigung von P, Q. Die –Relation besteht hier aus den Paaren, die
auch zur –Relation in P + Q gehören, zusätzlich aber auch alle Paare x, y mit
x ∈ P und y ∈ Q.
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
55
(Anmerkung: während immer P +Q ' Q+P ist, gilt die entsprechende Aussage
nicht für die ⊕–Verknüpfung.)
Das direkte Produkt P × Q hat als Trägermenge das direkte Produkt der
Mengen P, Q. Für x, x0 ∈ P, y, y 0 ∈ Q gelte:
(x, y) (x0 , y 0 ) :⇔ x P x0 und y Q y 0 .
Leicht einzusehen ist: Sind P, Q graduierte Posets mit rangerzeugenden Funktionen FP , FQ , so ist auch F × Q graduiert mit der erzeugenden Funktion
FP ×Q = FP · FQ .
Das Ordnungsprodukt P ⊗ Q hat die gleiche Trägermenge wie P × Q mit
(x, y) (x0 , y 0 ) ⇔ x ≺P x0 oder x = x0 und y Q y 0 .
Beisp.: Ist P = {a, b, c, . . .} ein linear geordnetes Alphabet, so repräsentiert
P ⊗ P alle zweibuchstabigen Wörter mit der lexikographischen Ordnung.
Beisp.:
•??
 ???

•
•
⊗
•??
•
?? 
? 
•
=
•?i
•
h
o
n
mk
l
?? j
?? 

qq•7M7M7MMM
q
q
q 77 MMM
qqq 77 MMM
q
q
q
MMM
77
q
q
q
M
•?qi
•
•
•
?
o
h
n
m
j
l
k
o
h
n
i
m
j
l
??
??

k
?? 
?? 
•
•
Schließlich setzen wir:
QP := {f : P → Q | f monoton }
mit
f g :⇔ ∀x ∈ P : f (x) g(x) .
Einige Eigenschaften und Zusammenhänge der soeben eingeführten Poset-Kombinationen
fasst der folgende Satz zusammen:
Satz 4.4.1. Für Posets P, Q, R gilt:
(i) +, × sind assoziativ und kommutativ
(ii) P × (Q + R) ' (P × Q) + (P × R)
(iii) R(P +Q) ' RP × RQ
(iv) (RQ )P ' RQ×P
(v) I(P + Q) ' I(P ) × I(Q) .
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
4.5
56
Ketten in distributiven Verbänden
Sei P ein endliches Poset. Einige kombinatorische Eigenschaften von P besitzen
einfache Interpretationen in I(P ). (siehe z.B. Folgerung 4.3.6).
Satz 4.5.1. Seien m ∈ N und P ein endliches Poset. Die folgenden Zahlen
sind gleich:
a) |{σ : P → m | σ monoton }|
b) Anzahl der Ketten mit Wiederholungen 0̂ = I0 ⊆ I1 ⊆ . . . ⊆ Im = 1̂ der
Länge m in I(P )
c) |I(P × m − 1)| .
Beweis. Sei σ : P → m monoton. Diesem σ ordnen wir die Kette
0̂ ⊆ σ −1 (1) ⊆ . . . ⊆ σ −1 (m) = 1̂ (Urbilder der Ideale vom m in I(P ).) zu.
Sei 0̂ = I0 ⊆ I1 ⊆ . . . ⊆ Im = 1̂ eine Kette (mit Wdh.) in I(P ). Dieser Kette
ordnen wir zu:
{(x, j) ∈ P × m − 1 | x ∈ Im−j } Ordnungsideal in P × m − 1 .
Hat man schließlich ein Ordnungsideal I von P × m − 1 gegeben, so definiert
σ : P →m
(
min{(m − j) | (x, j) ∈ I}
x 7→
m
falls die Menge nicht leer
sonst
eine monotone Funktion.
Man überlegt sich leicht, dass all diese Zuordnungen bijektiv sind.
2
Analog zeigt man:
Satz 4.5.2. Seien m ∈ N und P ein endliches Poset. Dann sind folgende Zahlen
gleich:
a) |{σ : P → m | σ surjektiv und monoton }|
b) Anzahl der Ketten ohne Wiederholungen 0̂ = I0 $ I1 $ . . . $ Im = 1̂ der
Länge m in I(P ) .
Sei wieder P ein endliches Poset, |P | = n.
Def.: Ein bijektives monotones σ : P → n heißt Fortsetzung von (P, ) zu
einer totalen (oder linearen) Ordnung.
Mit e(P ) wird die Anzahl solcher Fortsetzungen bezeichnet (e von extension).
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
57
Folgerung 4.5.3. Jedes endliche Poset P besitzt eine Fortsetzung zu einer
totalen Ordnung, d.h. es ist e(P ) ≥ 1 .
Beweis. I(P ) ist graduiert vom Rang n (4.3.4)
⇒ ∃ Kette der Länge n in I(P )
⇒ ∃σ : P → n surjektiv und monoton (4.5.2)
⇒ ∃σ : P → n bijektiv und monoton
⇒ e(P ) ≥ 1 .
2
Der Beweis zeigt auch:
Satz 4.5.4. e(P ) ist die Anzahl der maximalen Ketten in I(P ).
Folgerung 4.5.5. Seien P ein endliches Poset und I ⊂ P ein Ordnungsideal.
Dann gilt die folgende Rekursionsformel:
(RF) e(I) =
P
I 0 Vorgänger
von I in I(P )
e(I 0 )
(AB) e(∅) = 1 .
Die Tatsache, dass in einem endlichen total geordneten Poset ein Ordnungsideal
allein schon durch die Anzahl seiner Elemente vollständig bestimmt ist, führt
zu der folgenden Konstruktion:
Sei P = C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ Ck eine Partition von P in Ketten Ci . Jedes
Ordnungsideal von P ergibt per Schnitt ein Ordnungsideal in jedem Ci , das, da
die Ci total geordnet sind, durch die Anzahl seiner Elemente bestimmt ist.
Diese Beobachtung liegt dem folgenden Satz zugrunde:
Satz 4.5.6. P, Ci wie oben.
Die Abbildung:
δ : I(P ) → Nk0 mit der Produktordnung
I 7→ (|I ∩ C1 |, |I ∩ C2 |, . . . , |I ∩ Ck |)
ist injektiv, monoton, Nachfolger erhaltend (⇒ rangerhaltend).
Jede max. Kette in I(P ) ist ein Pfad im Gitter δ(I(P )) ⊂ Nk0 von δ(0̂) = 0 ∈ Nk0
nach δ(1̂) mit Schritten der Länge 1 in Richtung der Achsen von Nk0 .
Beweis. Alles mehr oder weniger trivial.
Allg. Beisp. n = 5, k = 2:
2
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
•
P :
•???
•
??
??
??
•
•
C1
C2
e(P ) = 9
58
δ(1̂) = (2, 3)
?
• ???

??

??

??

? x2
?

•(2,
δ(I(P )) :
2)
?? 3)
 ???
•(1,
??


?


??
??


?? 
??

?
?


•(2,
?? 1)
?? 2)
•(1,

•(0, 3)
??
??


??
?


?? 
?? 
?
?

x1 _
•(1,
1)
 ???
•(0, 2)


??


?? 

?



•??
• (0, 1)

(1, 0) ???
??

?? 
•
δ(0̂) = (0, 0)
Beisp. Sei P = C1 + C2 , |Ci | = ni , Ci Ketten.
Ein bijektives monotones σ : P → n1 + n2 ist offensichtlich eindeutig bestimmt
durch die Bildmenge σ(C1 ). Auch ist jede n1 –elementige Teilmenge möglich.
2
Somit: e(P ) = n1n+n
.
1
δ(I(P )) ist das gesamte n1 × n2 –Rechteck.
Beisp.
KAPITEL 4. GEORDNETE MENGEN UND VERBÄNDE
59
2×3
ooo◦
•oo
ooo◦
•oo
ooo◦
•oo
P =2×n
C2 = {(1, j) | j ∈ n}
C1 = {(2, j) | j ∈ n}
C2 C1
δ(I(P )) = {(i, j) | 0 i j n}
e(P ) = Anzahl der aufsteigenden
Gitterpfade
von
(0, 0) nach (n, n), welche die Diagonale nicht
überschreiten.
= Cn+1 Catalansche Zahl
(Beweis über Rekursion (2.4.1))
(siehe auch die folgende Anmerkung)
2n
1
=
(2.4.3)
n+1 n
i_
(3, 3)
I(2 × 3)
◦???
??
??
· ???

??

?j
◦???
·??

??  ???
?
??
•
· ??


 ??  (0, 3)

?


◦???
•
??  (0, 2)
?
•

 (0, 1)

·
(0, 0)
(Anm. Die Catalanschen Zahlen wurden als Anzahl möglicher Klammerungen
eines Ausdrucks definiert (siehe hier). Jeder Weg in I(2×3) von (0, 0) nach (n, n)
entspricht aber in eindeutiger Weise einer gültigen Klammerstruktur: ein Schritt
in die j–Richtung entspricht einer öffnenden, ein Schritt in die i–Richtung einer
schließenden Klammer. Die Forderung, dass auf diesem Weg niemals die Diagonale überschritten werden darf, entspricht der Forderung, dass ein gültiger
Klammerausdruck an keinem Punkt mehr schließende als öffnende Klammern
haben darf.
Kapitel 5
Umkehrsätze
5.1
Die Inzidenzalgebra eines lokal endlichen Verbandes
Sei P ein Poset. Mit Int(P ) wird die Menge aller abgeschlossenen Intervalle von
P bezeichnet:
Int(P ) := {[x, y] | x, y ∈ P, x y}
Durch die Zuordnung [x, y] 7→ (x, y) wird Int(P ) injektiv in P 2 abgebildet. Das
Bild von Int(P ) bei dieser Abbildung ist gerade die definierende Menge der
Relation .
Sei P lokal endlich (d.h. ∀[x, y] ∈ Int(P ) ist [x, y] endlich). Mit IA(P ) wird die
Menge aller komplexwertigen Funktionen auf Int(P ) bezeichnet:
IA(P ) := {f : Int(P ) → C} .
Zunächst ist IA(P ) in natürlicher Weise ein C–Vektorraum. Durch Einführung
einer Multiplikation wird IA(P ) zu einer C–Algebra. Seien dazu f, g ∈ IA(P ).
Wir definieren:
X
f ∗ g(x, y) :=
f (x, z)g(z, y) 1 .
z∈[x,y]
Satz 5.1.1. IA(P ) ist mit der üblichen Vektorraumstruktur von Funktionen
und Multiplikation ∗ eine (nicht kommutative) C–Algebra. Diese Algebra besitzt
als Einselement die Funktion:
(
1 x=y
δ(x, y) =
.
0 sonst
IA(P ) heißt die Inzidenzalgebra von P .
Beisp. Gelte |P | = n. Die Elemente seien mit n nummeriert, so dass also
xi ≺ xj ⇒ i < j gilt. Jedes f aus IA(P ) kann dann durch eine obere n × n
Dreiecksmatrix dargestellt werden:
1 Wir
identifizieren hier [x, y] mit (x, y)
60
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
?x5
• ???

??

?x
x3•??
 ??
• 4


?? 

?

•
•
x1
x2
P :
61


∗ 0 ∗ 0 ∗
0 ∗ ∗ ∗ ∗ mit beliebigen Ein


f =
0 0 ∗ 0 ∗ trägen ∈ C an den
0 0 0 ∗ ∗ Stellen ∗ .
0 0 0 0 ∗
Die Multiplikation in IA(P ) entspricht dann der Matrizenmultiplikation.
Satz 5.1.2. Sei P ein lokal endliches Poset, f ∈ IA(P ). Dann sind äquivalent:
a) f besitzt eine Links-Inverse
b)
Rechts-Inverse
c)
zweiseitige Inverse
d) ∀x ∈ P : f (x, x) 6= 0.
Unter diesen Bedingungen stimmen alle Inversen von f überein (bezeichnet mit
f ∗−1 ) und berechnen sich rekursiv aus
1
f (x, x)
X
1
f (x, z)f ∗−1 (z, y)
f ∗−1 (x, y) = −
f (x, x)
f ∗−1 (x, x) =
,x ∈ P
(1)
, x, y ∈ P, x < y
(2)
z∈[x,y]
z6=x
bzw.
= −
X
1
f ∗−1 (x, z)f (z, y) .
f (y, y)
(2’)
z∈[x,y]
z6=y
Beweis. Sei g ∈ IA(P ). Dann ist f ∗ g = δ äquivalent mit der Gültigkeit
von (1) und (2) (mit g für f ∗−1 ). Das folgt aus der Definition von δ und der
Multiplikation in IA(P ). Offensichtlich lässt sich ein g, das (1) und (2) erfüllt,
finden, wenn nur schon (1) erfüllt ist. D.h. f ∗ g = δ ist äquivalent mit d).
Das zeigt: b) ⇔ d). Analog: a) ⇔ d) mit dem Ansatz h ∗ f = δ und mit (2’).
Gilt f ∗ g = δ und h ∗ f = δ, so gilt h = g.
Bew.:
h ∗ (f ∗ g) = h ∗ δ = h
(h ∗ f ) ∗ g = δ ∗ g = g
2
Anmerkung: Stimmen f, f 0 ∈ IA(P ) sowie g, g 0 ∈ IA(P ) auf dem Intervall [x, y]
jeweils überein, so auch f ∗ g und f 0 ∗ g 0 , ebenso f ∗−1 und f 0∗−1 .
Eine wichtige Funktion in IA(P ) ist die Zeta–Funktion ζ : IA(P ) → C:
ζ≡1.
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
62
ζ enthält wie Int(P ) sämtliche Informationen über die Ordnungsrelation von
P.
Satz 5.1.3. Sei P ein lokal endliches Poset, x, y ∈ P mit x y. Dann gilt:
(i)
ζ ∗k (x, y)
ist die Anzahl der Multiketten (Ketten mit Wiederholungen)
der Länge k von x nach y
insbesondere ist
ζ ∗2 (x, y) = |[x, y]|
(ii)
(ζ − δ)∗k (x, y)
(iii) (2δ − ζ)∗−1 (x, y)
ist die Anzahl der Ketten der Länge k von x nach y
ist die Anzahl sämtlicher Ketten von x nach y
Beweis. (i)
ζ ∗k (x, y) =
X
xz1 y
ζ ∗k−1 (x, z1 ) ζ(z1 , y)
| {z }
=1
X
=induktiv
1
x zk−1 . . . z1 y
|
{z
}
Multikette der Länge k
(ii)
X
(ζ − δ)∗k (x, y) =
1
x ≺ zk−1 ≺ . . . ≺ z1 ≺ y
|
{z
}
Kette der Länge k
(iii)
(2δ − ζ)∗−1 (x, y) = (δ − (ζ − δ))∗−1 (x, y) =
X
(ζ − δ)∗k (x, y)
k≥0
|
{z
}
Geometrische Reihe.
Sie hat wegen (ii) nur
endlich viele Glieder.
=
X
|{Ketten der Länge k von x nach y}|
k≥0
= |{Ketten von x nach y}|
2
5.2
Die Möbius Funktion
P sei ein lokal endliches Poset.
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
63
Def. Die Inverse der Zetafunktion ζ in IA(P ) heißt Möbiusfunktion (oder
Möbiusoperator). Üblicherweise wird die Möbiusfunktion mit µ (oder genauer mit µP ) bezeichnet.
Satz 5.1.2 liefert eine Rekursion zur Berechnung von µ:
,x ∈ P
X
µ(x, z)
µ(x, y) = −
µ(x, x) = 1
(RA)
, x, y ∈ P, x < y
(1.RF)
xz≺y
=−
X
µ(z, y)
(2.RF)
x≺zy
Insbesondere hat man
X
µ(x, z) = δ(x, y)
, x, y ∈ P, x y .
µ(z, y) = δ(x, y)
, x, y ∈ P, x y .
xzy
bzw.
X
xzy
Jedem lokal endlichen Poset P sind zwei C–Vektorräume zugeordnet:
VP := {f : P → C | ∀x ∈ P ist f (z) 6= 0 für höchstens endlich viele z x}
P V := {f : P → C | ∀x ∈ P ist f (z) 6= 0 für höchstens endlich viele z x}
Die Algebra IA(P ) operiert von rechts auf VP . Seien f ∈ VP und α ∈ IA(P ).
f ∗ α wird dann definiert durch
X
f ∗ α(x) =
f (z)α(z, x)
,x ∈ P
zx
Entsprechend operiert IA(P ) von links auf P V :
X
α ∗ f (x) =
α(x, z)f (z)
,x ∈ P
zx
Wird P so nummeriert, dass man die Elemente von IA(P ) als obere Dreiecksmatrizen auffassen kann, entspricht die eben beschriebene Operation der Multiplikation von Matrizen und Vektoren ( bzw. Vektoren und Matrizen).
Siehe Beispiel (Seite 60)
Satz 5.2.1 (Möbius Umkehrformel). Sei P lokal endliches Poset und f, g ∈ VP .
Dann gilt:
X
X
∀x ∈ P : g(x) =
f (y) ⇔ ∀x ∈ P : f (x) =
g(y)µ(y, x) .
yx
yx
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
64
Beweis.
g =f ∗ζ
f = g ∗ ζ −1 = g ∗ µ
⇔
2
Satz 5.2.2 (Duale Formulierung von Möbius Umkehrformel). Sei P lokal endliches Poset und f, g ∈ VP . Dann gilt:
X
X
µ(x, y)g(y) .
f (y) ⇔ ∀x ∈ P : f (x) =
∀x ∈ P : g(x) =
yx
yx
Beispiel 5.2.1. Sei X eine endliche Menge und P ⊂ 2X eine Menge aus 5
Teilmengen A, B, C, D, X, die bzgl. der enthaltensein–Relation ⊂ das folgende
Poset P darstellt:
X•???
??

??

??



?
A • ?? B •
C•
??

??


?? 
D •
Die Funktion µ ∈ IA(P ) wird dann durch folgende Matrix dargestellt (P sei in
der Reihenfolge D, A, B, C, X nummeriert):


1 −1 −1 −1 2
0 1
0
0 −1


0 0
1
0 −1


0 0
0
1 −1
0 0
0
0
1
f, g : P → C seien folgendermaßen definiert:
[
f (T ) := |T \
| , g(T ) := |T |
für T ∈ P
S∈P
S6=T
Es gilt
X
g(T ) =
f (S) .
S⊂T
Aus Satz 5.2.1 folgt dann
f (S) =
X
g(T )µ(T, S) .
T ⊂S
Insbesondere:
X
X
0 = f (X) =
g(T )µ(T, X) und g(X) = −
|T |µ(T, X) = |A|+|B|+|C|−2|D| .
T ∈P
T ∈P
T 6=X
Wendet man das Einschluss–Ausschluss–Prinzip an, so erhält man:
∩ C}| − |B
∩ C}| + |A
B ∩ C}|
|X| = |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A
∩ B}| − |A
| {z
| {z
| ∩ {z
| {z
D
= |A| + |B| + |C| − 2|D| .
D
D
D
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
65
Beispiel 5.2.2. Sei P = N0 mit der ≤–Ordnung. Dann gilt für µ:


i=j
1
µ(i, j) = −1 i = j − 1


0
i<j−1
Sei f : N0 → C eine beliebige Funktion. Die Möbius Umkehrformel liefert dann:
∀n : g(n) =
n
X
f (i)
⇔
∀n > 0 : f (n) = g(n) − g(n − 1) und f (0) = g(0) .
i=0
Man kann also g als “Stammfunktion” von f und f als “Ableitung” von g auffassen.
Satz 5.2.3 (Produktsatz). P, Q seien lokal endliche Posets. Dann gilt:
µP ×Q ((x, y), (x0 , y 0 )) = µP (x, x0 )µQ (y, y 0 ) für (x, y) P ×Q (x0 , y 0 ) .
Beweis.
X
X
µP (x, u)µQ (y, v) =
(x,y)(u,v)(x0 ,y 0 )
X
µP (x, u)
xux0
µQ (y, v)
yvy 0
= δ(x, x0 )δ(y, y 0 )
= δ((x, y), (x0 , y 0 ))
2
Beispiel 5.2.3. Sei P = Bn = 2{1, ... ,n} . Es gilt Bn ' 2n (vgl. 5.4 Ende).
Für die Möbiusfunktionen von 2 bzw. Bn gilt dann:
µ2 (1, 1) = µ2 (2, 2) = 1,
µ2 (1, 2) = −1, µ2 (2, 1) = 0
und mit Satz 5.2.3:
µBn (A, B) = (−1)|B\A|
für A ⊂ B .
Bemerkung: |B \ A| = l(A, B) max. Länge der Ketten von A nach B.
Beispiel 5.2.4. Seien a1 , . . . , ak ∈ N0 und P = a1 + 1 × a2 + 1 × . . . × ak + 1
(' I(a1 + a2 + . . . + ak ) (siehe 4.4.1(v))).
Wir können schreiben:
P = {(n1 , . . . , nk ) ∈ Nk0 | ni ≤ ai , i = 1, . . . , k} komponentenweise geordnet .
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
66
Jedes Intervall in P ist wiederum ein Produkt der gleichen Art:
[(m1 , . . . , mk ), (n1 , . . . , nk )] ' n1 − m1 + 1 × · · · × nk − mk + 1
' [m1 , n1 ] × · · · × [mk , nk ] .
Der Produktsatz (5.2.3) und Beispiel 5.2.2 ergeben:
µ((m1 , . . . , mk ), (n1 , . . . , nk )) =
k
Y
µni −mi +1 (1, ni − mi + 1)
i=1
(
P
(−1) i (ni −mi )
=
0
falls ∀i : ni − mi = 0 oder 1
sonst .
Anders ausgedrückt:
(
(−1)l[x,y]
µ(x, y) =
0
falls [x, y] ' Bl[x,y]
sonst
Denn: Genau dann ist [(m1 , . . . , mk ), (n1 , . . . , nk )] isomorph zu 2l , wenn für
alle i ni − mi = 0 oder 1 ist.
Es gibt eine weitere interessante Interpretation von P , die uns zur klassischen
Definition der µ–Funktion zurückführt:
Sei N = pa1 1 pa2 2 · · · pakk mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pk .
Dann:
P ' DN , (n1 , . . . , nk ) 7→ pn1 1 · · · pnk k
(
(−1)l xy ist Produkt von l verschiedenen Primzahlen
µ(x, y) =
0
sonst
y
= µ̃
µ̃ := µklassisch (siehe hier (Seite 32))
x
Die Umkehrformel 5.2.1 gibt uns: (f, g : DN → C)
n
X
X
∀n ∈ DN : g(n) =
f (d) ⇔ ∀n ∈ DN : f (n) =
g(d)µ̃
d
d|n
d|n
Ist speziell g(n) = n, so ist f = ϕ (Eulersche ϕ–Funktion), denn mit dem Satz
auf Seite 32 (iii) gilt:
X
n=
ϕ(d) .
d|n
Die Umkehrformel liefert:
ϕ(n) =
X
de
µ
d|n
=
Xn
d|n
d
n
d
µ
e(d)
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
67
Das ist ein neuer Beweis von (ii) des Satzes auf Seite 32.
Für eine spätere Anwendung beweisen wir:
Satz 5.2.4 (Philip Hall). Sei P ein endliches Poset und P̂ = P ∪˙ {0̂, 1̂}. Für
i ∈ N0 sei ci = |{ Ketten der Länge i von 0̂ nach 1̂}|.
Dann gilt:
0, b
1) =
µPb (b
∞
X
(→Hall)
(−1)i ci .
i=0
Wir geben für diesen Satz zwei Beweise: Beweis. [1. Beweis]
µ(0̂, 1̂) = ζ ∗−1 (0̂, 1̂) = (δ + (ζ − δ))∗−1 (0̂, 1̂)
X
=
(−1)k (ζ − δ)∗k (0̂, 1̂)
vgl. Bew. 5.1.3 (iii)
|
{z
}
k≥0
=ck
(Satz 5.1.3 (ii))
2
Der Satz 5.1.3 ist hier anwendbar, da ja das Poset [x, y] isomorph zu ]x, y[ ∪˙ {0̂, 1̂}
ist.
2
Beweis. [2. Beweis] ... später ...
Interpretation als Euler–Charakteristik.
Def.
Sei V eine Menge von “Ecken” (engl. vertex).
4 ⊂ 2V heißt (abstrakter) simplizialer Komplex, wenn gilt:
(SK1) x ∈ V ⇒ {x} ∈ 4
(SK2) S ∈ 4, T ⊂ S ⇒ T ∈ 4
(Ideal bzgl. ⊂)
Ein S ∈ 4 heißt Seite von 4.
dim S := |S| − 1 heißt Dimension von S.
dim ∅ = −1.
dim 4 = supS∈4 dim S .
fi := |{S ∈ 4 | dim S = i}|
χ
e(4) :=
i
i≥−1 (−1) fi
P
χ(4) := χ
e(4) + 1 =
, f−1 = 1.
= −f−1 +f0 −f1 +f2 ∓ · · · heißt reduzierte Euler Charakteristik.
P
i≥0
fi heißt Euler Charakteristik.
Beisp. |V | = 4, 4 := 2V \ {V } (“abstrakter Tetraeder”):
?
 ???

 ???
??
 
4:
EE
q
q
EE EE qqqqq
Eq q
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
68
Es gilt: χ(4) = f0 − f1 + f2 = 4 − 6 + 4 = 2.
Wir ordnen nun jedem Poset einen abstrakten simplizialen Komplex zu:
Def. Sei P ein beliebiger Poset. 4(P ) sei der abstrakte simpliziale Komplex,
der P als Eckenmenge hat und als Seiten alle Ketten von P .
4(P ) heißt der Ordnungskomplex von P .
Satz 5.2.5. Sei P ein endlicher Poset, Pb = P ∪˙ {0̂, 1̂}. Dann gilt:
µPb (0̂, 1̂) = χ
e(4(P )) .
Beweis. Mit Satz 5.2.4 nahezu trivial. Denn für i ≥ −1 gilt offensichtlich ci+2 =
fi .
2
5.3
Die Möbiusfunktion von Verbänden
Sei K ein Körper und V ein K–Vektorraum mit der Basis {vi | i ∈ I}, I eine
Indexmenge. Definiert man für alle i, j ∈ I ein Produkt vi vj in V , das nach
bilinearer Fortsetzung auf V × V assoziativ ist, so wird V zu einer K–Algebra.
Gilt für alle i, j ∈ I vi vj = vj vi , so ist diese Algebra kommutativ.
Wird speziell definiert vi vi = vi für alle
` i ∈ I und vi vj = 0 für alle i, j ∈
I mit i 6= j, so erhält man die oft mit x∈I K bezeichnete direkte Summe von
K mit Indexmenge I.
Ist speziell
` I = L, L ein Verband, so bezeichnen wir die eben konstruierte K–
Algebra x∈L K auch mit A0K (L).
In diesem Fall, wenn also die Indexmenge ein Verband L ist, bietet sich eine
zweite Möglichkeit an, in V eine Multiplikation zu definieren: vi vj = vi∧j . Die
aufgrund dieser Definition entstehende Algebra bezeichnen wir mit AK (L). Diese Algebra ist kommutativ (ebenso wie A0K (L)) mit dem 1–Element v1̂ , falls
1̂ ∈ L.
Def. Die Algebra AK (L) nennt man die Möbius–Algebra von L über K.
Wir werden sehen, dass für endliche L beide Algebren isomorph sind (siehe Satz
...).
Hinweis. Die im vorauf gehenden Abschnitt gegebenen Definitionen und Sätze
(µ–Funktion, Möbius–Umkehrformeln) werden wir im folgenden in einer verallgemeinerten Form benutzen. Es ist leicht einzusehen, dass die Definition der
Möbius–Funktion auch mit K statt C gelingt und dass die Möbius–Umkehrformeln
auch gelten, wenn man auch hier statt C den Körper K benutzt und wenn f, g
Funktionen von L in einen K–Vektorraum sind. Die Details seien dem Leser
überlassen.
Zunächst ein
Lemma 5.3.1. Sei L ein endlicher Verband. Dann bilden die Elemente
X
εx :=
µ(y, x)vy , x ∈ L
y≤x
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
69
eine Basis von AK (L).
Die ursprünglichen Basisvektoren berechnen sich aus diesen neuen Basisvektoren mit
X
vx =
εy , x ∈ L .
y≤x
Beweis. Einfach, mit Satz 5.2.1 (in der oben angedeuteten modifizierten Form).
2
Es gilt die bemerkenswerte Tatsache: εx εx = εx für alle x ∈ L und εx εy = 0 für
x, y ∈ L, x 6= y.
Wir formulieren diese Tatsache in folgendem Satz:
Satz 5.3.2. Sei L ein endlicher Verband. Die Abbildung φ sei folgendermaßen
definiert:
φ : AK (L) → A0K (L)
εx 7→ vx , x ∈ L .
Dann gilt:
φ ist ein Algebraisomorphismus, welcher die Eins auf die Eins abbildet.
Beweis. {εx | x ∈ L}, {vx | x ∈ L} sind Basen von AK (L) bzw. A0K (L). Daher
ist φ schon mal ein K–Vektorraumisomorphismus.
Um nun zu zeigen, dass φ sogar ein K–Algebraisomorphismus ist, reicht es, zu
zeigen, dass
∀x, y ∈ L : φ(x ∧ y) = φ(x)φ(y)
gilt:
Es gilt x =
P
i≤x εi
und x =
P
j≤y
εj .
Wir haben damit:
φ(x)φ(y) =
X
vi
i≤x
X
=
X
vj
j≤y
vi
i≤x∧y
= φ(x ∧ y) .
Schließlich haben wir:
φ(1̂) =
X
vy = Eins von A0 K(L) .
y∈L
2
Eine wichtige Folgerung ist
Satz 5.3.3 (L. Weisner 1935). Sei L ein endlicher Verband, |L| > 2, a ∈ L, a 6=
1̂. Dann gilt:
X
∀y ∈ L :
µ(x, 1̂) = 0 .
x
x∧a=y
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
70
Beweis. Es genügt, den Fall K = C zu betrachten. In AC (L) gilt:


X
εb  ε1̂ = 0 (mit Satz 5.3.2, da a 6= 1̂)
va ε1̂ = 
ba
Andererseits haben wir:
X
X
µ(x, 1̂)vx =
µ(x, 1̂)va∧x
va ε1̂ = a
x
x∈L

=

X X

µ(x, 1̂) vy .

y∈L
x
x∧a=y
Daraus folgt aber die Behauptung.
2
Eine etwas andere und allgemeinere Formulierung des Weisnerschen Satzes lautet:
Sind a, b Elemente eines endlichen Verbandes, so gilt:
εb , b a;
va εb =
0, sonst.
Beispiel. Sei L = D12 :
12 = 1̂
?
• ???

??

??

?


•
4
oo• 6
o
o
ooo
ooo
o
o
o
2 •?o??
• 3
??


??

?? 
•
1 = 0̂
1) a = 3, y = 0̂. Dann ist x ∧ a = 0̂, gdw. x = 1, 2, 4. Wie der Satz behauptet,
gilt:
µ(4, 1̂) + µ(2, 1̂) + µ(1, 1̂) = −1 + 1 + 0 = 0.
2)
P a = 2, y = 2. Dann: x ∧ a = y = 2 gdw. x = 2, 4, 612. Wir haben:
2|x|12 µ(x, 1̂) = 0. (1. Rekursion für Intervall [2, 12] in D12 .)
Duale Fassung von Weisners Satz:
Folgerung 5.3.4. Sei L ein endlicher Verband, a ∈ L, a 6= 0̂. Dann gilt:
X
µ(0̂, x) = 0 .
x
x∨a=1̂
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
71
Folgerung 5.3.5. Ln (q) hat die Möbius–Funktion
k k
µ(U, V) = (−1) q (2) ,
U ⊂ V mit dim V − dim U = k .
|
{z
}
=l[U ,V]
Beweis. Vor dem eigentlichen Beweis ein paar Vorbemerkungen und Schreibweisen.
Def.
n
:= |{U ∈ Ln (q) | dim U = k}|
k q
bezeichne die Anzahl der Untervektorräume von Ln (q) von der Dimension k.
(auch Gauss’sche Koeffizienten genannt.)
Wir notieren ohne (den nicht schweren) Beweis:
Für festes k ≥ 0 gilt die Identität:
∞ X
n
xn−k = (1 − x)−1 (1 − qx)−1 · · · (1 − q k x)−1 .
k q
n=k
Speziell für k = 1 (der Fall, der beim Beweis benötigt wird) ergibt sich daraus:
n−1
X
n
qn − 1
=
qi =
.
1 q
q−1
i=0
Diese Formel für k = 1 lässt sich auch leicht direkt einsehen. Es gibt in Ln (q)
q n − 1 Vektoren ungleich 0. Je q − 1 (Anzahl der Einheiten im Körper Fq ) dieser
Vektoren
erzeugen den gleichen 1-dimensionalen Untervektorraum. Das ergibt
n
−1
genau qq−1
Untervektorräume der Dimension 1.
Außerdem gilt die Formel
n
n
=
.
k q
n−k q
(Bijektion durch orthogonales Komplement)
Seien E ⊂ V Untervektorräume von Ln (q) mit dim E = 1 und dim V = k.
Beim folgenden Beweis benötigen wir noch die Antwort auf die folgende Frage:
wie viele Untervektorräume F =
6 V gibt es in V mit E ∨ F = E + F = V ?
Offensichtlich erfüllen alle F mit dim F = k − 1 und E * F diese Bedingung.
Ihre Anzahl ist somit
k
k−1
k
k−1
−
=
−
= q k−1
(K)
k−1 q
k−2 q
1 q
1 q
Damit zum eigentlichen Beweis:
Der Verband [U, V] ist isomorph zum Verband [U/U, V/U]. Wir können daher
annehmen, dass U = 0 der Nullraum ist und dim V = k gilt.
Wir beweisen durch Induktion nach k. Für k = 0 gilt µ(0̂, 0̂) = 1 = (−1)0 q 0 .
Sei k > 0 und die Behauptung bewiesen für k − 1. Sei E ⊂ V beliebig mit
dim E = 1. Dann gilt mit 5.3.4, der Induktionsannahme und der Formel (K):
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
µ(0̂, V) = −
X
72
X
µ(0̂, F) =Ind.Ann. −
k−1
2
(−1)k−1 q (
)
F 6=V
F ∨E=V
F 6=V
F ∨E=V
k−1
2
=(K) (−1)k q k−1 q (
)
k
= (−1)k q (2) .
2
Satz 5.3.6. Sei L ein endlicher Verband, X ⊂ L mit
a)
b)
1̂ ∈
/X
L \ {1̂} = hx | x ∈ Xi (von X erzeugtes Ordnungsideal)
(m.a.W.: X enthält alle Coatome.)
Für k ≥ 0 sei
Nk := |{Z ⊂ X | |Z| = k,
^
z = 0̂}|
z∈Z
die Anzahl der k–Mengen in X, deren Schnitt 0̂ ist.
V
(Konvention: z∈∅ z = 1̂. Damit ist also N0 = δ(0̂, 1̂).)
Dann gilt:
µ(0̂, 1̂) =
X
k
(−1) Nk .
k≥0
Q
Beweis. Man betrachte das Produkt (in AC (L)) x∈X (1̂ − x) (Anmerkung: der
Kürze halber schreiben wir hier und im folgenden statt vx einfach nur x, um die
Basiselemente in AC (L) zu bezeichnen).
P
Für alle x ∈ X gilt: 1̂ − x = yx εy . Mit εx εy = δ(x, y)εx folgt:
Y
(1̂ − x) = ε1̂ .
x∈X
Andererseits erhält man durch “Ausmultiplizieren”:
Y
X
X Y
(1̂ − x) =
(−1)k
y.
x∈X
k≥0
Y ⊂X y∈Y
|Y |=k
Koeffizientenvergleich (für den Vektor 0̂) ergibt die Behauptung.
2
Der Wert von µ(0̂, 1̂) lässt sich also bestimmen allein aus dem “Schnittverhalten”
der Coatome.
SatzV5.3.7. Sei L ein endlicher
W Verband.
Gilt x Coatom x 6= 0̂ (dual: x Atom x 6= 1̂), so ist µ(0̂, 1̂) = 0 .
Beweis. Mit Satz 5.3.6, da alle Nk = 0 sind.
2
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
73
Folgerung 5.3.8. Sei L ein endlicher distributiver Verband. Dann gilt
(
l(x,y)
(−1)
wenn [x, y] ' Bl(x,y)
µ(x, y) =
0
sonst .
Beweis. Nach dem Darstellungssatz 4.3.2 gibt es ein Poset P mit L ' I(P ).
Wir benutzen das folgende Lemma:
Lemma 5.3.9. Sind I, J Ordnungsideale in I(P ), so gilt
[I, J] ' Bl(I,J) ⇔ J \ I Antikette in P .
2
Beweis. trivial.
Nun zum eigentlichen Beweis. Gilt [I, J] ' Bl(I,J) , so folgt aus Beispiel 5.2.3 das
Gewünschte. Um nun zu zeigen, dass µ(I, J) = 0 gilt, wenn nicht [I, J] ' Bl(I,J)
ist, wollen wir die duale Fassung von Satz 5.3.7 anwenden. Dafür müssen wir
noch zeigen:
[
J=
A ⇔ [I, J] ' Bl(I,J)
A Atom in [I,J]
bzw. wegen des Lemmas
[
J=
A ⇔ J \ I Antikette in P .
A Atom in [I,J]
Bew. Ist J \ I Antikette in P , so ist für jedes x ∈ J \ I die Menge I ∪ {x} ein
Atom in [I, J], was sofort “⇐” beweist. Ist J \ I keine Antikette in P , so gibt es
x, y ∈ J \ I mit x ≺ y. In diesem Fall ist y in keinem Atom von [I, J] enthalten,
was “⇒” beweist.
2
5.4
Die Möbiusfunktion von submodularen Verbänden
Zur Erinnerung: ein endlicher submodularer Verband L ist ein graduierter Verband L mit submodularer Rangfunktion % : L → N0 ,
%(x ∨ y) + %(x ∧ y) ≤ %(x) + %(y) .
Zunächst eine Folgerung aus der dualen Fassung des Weisnerschen Satzes (5.3.4):
Satz 5.4.1. Sei L ein endlicher submodularer Verband, a ∈ L ein Atom. Dann
gilt
X
µ(0̂, 1̂) = −
µ(0̂, x) .
x Coatom
ax
Beweis. Nach 5.3.4 gilt
X
x
x∨a=1̂
µ(0̂, x) = 0.
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
74
Wir müssen jetzt nur noch zeigen:
x 6= 1̂ und x ∨ a = 1̂ ⇔ x Coatom mit a x .
“⇐”: trivial
“⇒”: Gelte also x 6= 1̂ und x ∨ a = 1̂. Daraus ergibt sich schon mal a x. Mit
der Submodularität von L:
%(x) ≥ %(x ∨ a) + %(x ∧ a) − %(a) = %(1̂) − 1 .
2
haben wir dann noch: x Coatom .
→ G.C.Rota
Folgerung 5.4.2 (G.C.Rota). Sei L ein endlicher submodularer Verband. Dann
gilt:
l(x,y)
∀x, y ∈ L mit x y : (−1)
µ(x, y) ≥ 0 .
M.a.W.: µ wechselt beim Übergang von einer (Rang-)Stufe zur nächsten das
Vorzeichen.
Beweis. Mit L ist auch [x, y] submodular. Sei daher x = 0̂ und y = 1̂. Wir
benutzen Induktion nach dem Rang n von L.
a) n = 0: 0̂ = 1̂, also (−1)0 µ(0̂, 1̂) = 1 > 0.
b) Schluss von n − 1 auf n: für jedes Coatom z ist [0̂, z] submodular vom Rang
n − 1. Alles Weitere folgt nun direkt aus Satz 5.4.1.
2
Def. Ein endlicher submodularer und atomarer Verband heißt geometrischer Verband.
Beispiel.
Sei S eine endliche Teilmenge eines affinen Raums V über einem Körper K.
Dann sei
L(S) := {T ⊂ S | ∃ affinen Unterraum W ⊂ V : T = S ∩ W }
(*)
mit ⊂ als Ordnungsrelation der Verband aller Teilmengen von S, die sich als
Schnitt von S mit einem affinen Unterraum von V ergeben.
Es gilt für ein T ∈ L(S): %(T ) = dim W + 1, wenn W in (*) minimal gewählt
wird. (dim ∅ = −1)
L(S) ist ein geometrischer Verband.
Konkretes Beispiel:
•
a
•
b
•
d
•
c
S ⊂ R2
1̂ =/J S
t• J
tt // JJ
tt // JJJ
t
// JJJ
tt J
tt
abc •O?t?O?OOad•O OOObd•??? cd•
O
?
??OOO


O
? OO  OOO ??
 ??? OOOOO OOO?O?O?

a •JJJ b •//
c •
t•
JJ // tttd
JJ / tt
JJ / tt
JJ/ tt
•t
0̂ = ∅
L(S)
L(S) ist nicht distributiv: a ∧ (b ∨ c) = a ∧ abc = a 6= 0̂ = 0̂ ∨ 0̂ = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
75
Def. Sei P ein graduiertes Poset mit 0̂ vom Rang n.
X
χP (t) :=
µ(0̂, x)tn−%(x)
x∈P
=
n
X
wk tn−k
k=0
heißt charakteristisches Polynom von P .
Die Koeffizienten wk von χP heißen Whitney Zahlen 1. Art von P:
X
wk =
µ(0̂, x) .
x∈P
%(x)=k
Die Koeffizienten Wk =
P
x∈P
%(x)=k
1 der rangerzeugenden Funktion
FP (t) =
=
X
x∈P
n
X
t%(x)
W k tk
k=0
heißen Whitney Zahlen 2. Art von P .
Beispiel (Partitionen).
Sei S eine endliche Menge. Mit Π(S) bezeichnen wir das Poset aller Partitionen
von S. Die Halbordnung ist dabei folgendermaßen erklärt: Sind π, σ Partitionen von S, so gilt π σ genau dann, wenn jeder Block von π (jedes Element
einer Partition nennt man auch einen Block dieser Partition) in einem Block
von σ enthalten ist. Man sagt in diesem Falle auch, π sei eine Verfeinerung von
σ.
Interpretiert man π, σ als Äquivalenzrelationen auf S, so ist π σ gleichbedeutend mit: ∀x, y ∈ S : x =π y ⇒ x =σ y.
Π(S) besitzt 0̂ und 1̂: 0̂ ist die Partition, deren sämtliche Blöcke aus genau einem
Element bestehen, 1̂ ist die Partition, die nur aus einem Block besteht.
Π(S) ist graduiert: für π ∈ Π(S) gilt %(π) = |S| − |π|. Der Rang von Π(S) ist
|S| − 1.
Für S = {1, 2, . . . n} schreiben wir statt Π(S) auch Πn .
Weiter gilt:
|{π ∈ Πn | %(π) = k}| = S(n, n − k)
Stirlingsche Zahl 2. Art
= WΠn (k)
Whitney Zahlen 2. Art von Πn .
F (t) bezeichne die rangerzeugende Funktion von Πn :
X
F (t) =
S(n, n − k)tk .
k≥0
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
76
Π(S) ist ein Verband.
Bew. Sind π, σ zwei Partitionen, so ist {B ∩ C | B ∈ π, C ∈ σ, B ∩ C 6= ∅}
offensichtlich die größte gemeinsame Verfeinerung von π und σ. Da Π(S) eine 1̂
enthält, ist nach einem früheren Satze (4.2.2) Π(S) ein Verband.
Π(S) ist submodular.
Bew. Nach Satz 4.2.3 reicht es, zu zeigen, dass gilt: π, σ Nachfolger von π ∧ σ ⇒
π ∨ σ Nachfolger von π, σ.
Ist π eine Partition, so erhält man einen beliebigen Nachfolger von π, indem
man zwei Blöcke von π zu einem Block zusammenfasst. (Daher hat π genau
|π|
Nachfolger.)
2
Von den Blöcken, die π ∧ σ ausmachen, werden also zwei zusammengefasst, um
π zu erhalten und zwei, um σ zu erhalten. Es können nicht die gleichen beiden
Blöcke sein, da sonst π = σ gelten würde (womit π bzw. σ keine Nachfolger von
π ∧ σ = π = σ wären). Es sind also entweder 3 oder 4 Blöcke von π ∧ σ beteiligt.
Die übrigen nicht beteiligten Blöcke können außer Acht gelassen werden.
Nehmen wir zunächst den Fall von 3 Blöcken.
Sei also π ∧ σ = B1 ∪ B2 ∪ B3 (disjunkt) und π = (B1 ∪ B2 ) ∪ B3 und σ =
(B1 ∪ B3 ) ∪ B2 . Dann besteht aber π ∨ σ aus genau einem Block.
Nehmen wir nun den Fall von 4 Blöcken.
Sei also π ∧ σ = B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4 (disjunkt) und π = (B1 ∪ B2 ) ∪ B3 ∪ B4 und
σ = (B3 ∪ B4 ) ∪ B1 ∪ B2 . Dann besteht π ∨ σ aus den beiden Blöcken B1 ∪ B2
und B3 ∪ B4 .
Damit ist die Submodularität von Π(S) bewiesen.
Π(S) ist ein geometrischer Verband.
Bew. Es fehlt noch der Nachweis, dass Π(S) atomar ist, d.h. dass jede Partition
π eine Vereinigung von Atomen ist. Eine Partition ist ein Atom, wenn sie genau
einen Block mit 2 Elementen
enthält und alle anderen Blöcke genau ein Element
enthalten. (Es gibt also n2 Atome.) Ist Z eine zweielementige Teilmenge von
S, so sei σZ das entsprechende Atom. Sei π eine beliebige Partition. Dann gilt
(offensichtlich):
_
π=
σZ .
Z⊂S 2 Menge
∃B∈π:Z⊂B
Intervalle in Π(S).
Wie man leicht sieht, ist [π, 1̂] isomorph zu Π|π| . Wie ist die Struktur allgemeiner Intervalle? Seien dazu π σ zwei beliebige Partitionen. Es gilt dann
(offensichtlich):
O
[π, σ] '
Π{C ∈ π | C ⊂ B}
B∈σ
'
O
B∈σ
Π(S) und die µ–Funktion.
ΠnB
, nB = |{C ∈ π | C ⊂ B}|
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
77
Um µ(π, σ) zu bestimmen, genügt es wegen des letzen Resultats und des Produktsatzes (5.2.3), sich um µ(0̂, 1̂) zu kümmern.
Weisners Satz (5.3.3) mit a = {{1, . . . , n − 1}, {n}} liefert:
X
µΠn (x, 1̂) = 0 .
x∈Πn
x∧a=0̂
Also:
X
µn := µΠn (0̂, 1̂) = −
µΠn (x, 1̂).
x6=0̂
x∧a=0̂
Welche x erfüllen nun die Bedingung unter dem Summensymbol? Es sind offensichtlich alle Atome σZ (siehe oben) mit Z = {i, n} mit einem i ∈ {1, 2, . . . , n −
1}.
Nun gilt, wie oben bewiesen, [x, 1̂] ' Πn−1 . Also haben wir:
X
µn = −
µn−1 = −(n − 1)µn−1 .
x6=0̂
x∧a=0̂
Mit µ1 = 1 ergibt sich schließlich induktiv:
n−1
µn = (−1)
(n − 1)! .
In einem Satze:
Satz 5.4.3. Πn ist ein geometrischer Verband mit Möbiusfunktion
Y
µ(π, σ) = (−1)|π|−|σ|
(nB − 1)!
, π σ,
B∈σ
wobei
nB := |{C ∈ π | C ⊂ B}|
,B ∈ σ .
Beweis. Zum Exponenten der -1 (alles andere ist aufgrund der zuvor gemachten
überlegungen ohnehin klar):
X
X
(nB − 1) =
nB − |σ| = |π| − |σ| .
B∈σ
B∈σ
2
Zum Abschluss dieses Abschnitts eine kombinatorische Interpretation der µ–
Funktion auf Πn :
Satz 5.4.4. Sei π ∈ Πn mit k = |π|. Dann gilt:
µΠn (0̂, π) = (−1)n−k |{Permutation von {1, . . . , n} mit π als Menge der Zyklenträger}|
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
78
und
X
µΠn (0̂, π) = s(n, k)
Stirlingsche Zahl 1. Art
|π|=k
= wΠn (n − k)
Whitney Zahl 1. Art
(= t(t − 1) · · · (t − (n − 1)))
χΠn (t) = (t)n
Beweis. Zur Definition von c(n, k) und s(n, k) siehe Seite 35.
Es gelten die folgenden Gleichungen:
c(n, 1) = |{ Permutation von {1, . . . , n} mit genau einem Zykel}|
= (n − 1)!
c(n, k) =
X
(Beweis als Übung)
|{ Perm. von {1, . . . , n} mit π als Zykelträger}|
|π|=k
=
X Y
(nB − 1)!
|π|=k B∈π
X
s(n, k) = (−1)n−k c(n, k) =5.4.3
µ(0̂, π) = wΠn (n − k)
|π|=k
χΠn (t) =
n
X
wΠn (n − k)tk =
k=0
n
X
s(n, k)tk
k=0
=3.3.3 (t)n .
2
Und damit ist das Partitionen-Beispiel beendet!
5.5
Das Zeta Polynom
Sei P ein endliches Poset.
Def.
ZP (n) := |{x1 x2 · · · xn−1 Multikette in P der Länge n − 2}| , n ≥ 2
heißt das Zeta-Polynom von P (warum “Zeta” und warum “Polynom” wird sich
noch zeigen) ;
ΩP (n) := |{σ : P → n | σ monoton}| , n ≥ 1
heißt das Ordnungs-Polynom von P .
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
79
Satz 4.5.1 liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Polynomen:
ΩP (n) = ZI(P ) (n) .
Der Name “Zeta” erklärt sich aus folgendem Satz:
Satz 5.5.1. Sei P ein endliches Poset mit 0̂, 1̂. Dann gilt:
ZP (n) = ζ ∗n (0̂, 1̂)
,n ≥ 2 .
Beweis. Der Beweis ergibt sich direkt aus Satz 5.1.3, da die Anzahl der n − 2–
Multiketten in P mit beliebigem Anfang und Ende gleich ist der Anzahl der
n–Multiketten in P von 0̂ nach 1̂.
2
Insbesondere gilt also ZP (2) = |P |.
Beispiel. Sei P = Bd = 2S , S = {1, . . . , d}. Dann gilt:
ZBd (n) = nd .
1. Bew.:
Bd ' I(d1) ⇒ ZBd (n) = Ωd1 (n) = |{σ : d1 → n}| = nd .
2. Bew.: Jeder Multikette ∅ = S0 ⊂ S1 ⊂ · · · ⊂ Sn−1 ⊂ Sn = S ordnen wir eine
Abbildung σ : S → n zu durch die Definition σ(s) := inf{i ∈ n | s ∈ Si }. Diese
Zuordnung von Multiketten zu Abbildungen ist bijektiv.
Jede Multikette wird, indem man die mehrfachen Einträge streicht, zu einer
Kette, dem Träger der Multikette. Die Anzahl der Multiketten mit dem gleichen
Träger lässt sich leicht bestimmen. Sei K eine Kette der Länge i. Wie viele
Multiketten
der Länge n gibt es, die K als Träger haben? Offensichtlich sind es
gerade ni .
Diese einfache Erkenntnis fließt ein in den folgenden Satz, der auch den Namen
“Polynom” erklärt.
Satz 5.5.2. Sei P ein endliches Poset.
a) Für i ≥ 2 sei
bi := |{x1 ≺ x2 ≺ · · · ≺ xi−1 Kette in P }|
die Anzahl der Ketten der Länge i − 2 in P . Dann gilt:
X n − 2
ZP (n) =
bi
,n ≥ 2 .
i−2
i≥2
Insbesondere ist ZP ein Polynom in n, dessen Grad gleich der Länge l von
P ist, so dass
ZP (n) =
bl+2 l
n + . . . (niedrigere Potenzen).
l!
ZP lässt sich also fortsetzen zu einer Funktion
ZP : Z → C .
KAPITEL 5. UMKEHRSÄTZE
80
b)
ZP (1) = χ(∆P )
= 1 + µPb (0̂, 1̂) .
c) P besitze 0̂, 1̂:
ZP (n) = ζ ∗n (0̂, 1̂)
,n ∈ Z .
Insbesondere
ZP (−1) = µ(0̂, 1̂),
ZP (0) = δ(0̂, 1̂),
ZP (1) = 1 .
Index
Bellsche Zahl, Rekursionsformel, 13
Binomische-Reihe, 24
gerade, 40
Transposition, 40
ungerade, 40
Poset
Fortsetzung zu einer totalen Ordnung, 56
Posets
Inzidenzalgebra, 60
Catalansche Zahlen
Def., 22
Erzeugende Funktion, 23
Rekursionsformel, 23
Darstellungssatz f. distr. Verb., 52
Derangement
Def., 19
Rekursionsformel, 20
Rekursion
k-gliedrige, 15
lineare, 15
Relationen, 11
antisymmetrisch, 12
Aquivalenz-, 12
irreflexiv, 12
Ordnung
partiell, 12
total(linear), 12
reflexiv, 12
symmetrisch, 12
transitiv, 12
trichotom, 12
Rota, 74
EAP, 28
Einschluss-Ausschluss-Prinzip, 28
Allgemeine Gleichung, 28
Erzeugende Funktion, 15
exponentiell, 25
Fibonacci-Zahlen, 16
Formel, 17
Rekursionsformel, 16
Involution
Abschatzung, 22
Def., 21
Rekursionsformel, 21
Inzidenzalgebra, 60
Satz von Rota, 74
Stirlingsche Zahlen, 35
1. Art , 35
2. Art , 35
Rekursionsformeln, 35
Symmetrische Gruppe, 4
Links-Verschiebung, 25
Mobius Umkehrformel, 63
Transposition, 40
Ordnung
partiell, 12
total(linear), 12
Verband
Darstellungssatz, 52
Komplement, 49
Verbande
distributive
Darstellungssatz, 52
Partition, 12
Pascalsches Dreieck, 8
Permutation
Anzahl, 4
Def., 4
81