Statistik im Bachelor-Studium Vorlesungsunterlagen

Statistik im Bachelor-Studium
Vorlesungsunterlagen
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Goethe-Universität Frankfurt
Prof. Dr. Horst Entorf
Ökonometrie
Prof. Dr. Uwe Hassler
Statistik und Methoden der Ökonometrie
Überarbeitete Auflage: Wintersemester 2009/10
Prof. Dr. Michael Weba
Angewandte Stochastik
Vorwort
Diese Unterlagen zu der Veranstaltung Statistik enthalten erstens ein Kurzskript mit den wichtigsten
Definitionen, Eigenschaften und Formeln, zweitens eine Sammlung von Übungsaufgaben für die Tutorien
und das Selbststudium, und drittens einen Anhang mit statistischen Tabellen.
Das Kurzskript ist bewusst knapp gehalten. Es kann und soll daher nicht den regelmäßigen Besuch der
Vorlesung ersetzen. Vorkenntnisse auf dem Gebiet der Statistik werden nicht vorausgesetzt.
Aus Gründen der Lesbarkeit werden in diesem Skript bei Personenbezeichnungen ausschließlich männliche
oder neutrale Formen verwandt. Wenn wir beispielsweise “Studenten” schreiben, so meinen wir sowohl
Studentinnen als auch Studierende männlichen Geschlechts.
Als ergänzende und weiterführende Literatur wird u.a. empfohlen:
Bamberg, G., F. Baur, Statistik , Oldenbourg Verlag.
Fahrmeir, L., R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz, Statistik - der Weg zur Datenanalyse, Springer-Verlag.
Fahrmeir, L., R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz, A. Caputo, S. Lang, Arbeitsbuch Statistik, Springer-Verlag.
Schira, J., Statistische Methoden der VWL und BWL, Pearson Studium.
Schlittgen, R., Einführung in die Statistik: Analyse und Modellierung von Daten, Oldenbourg Verlag.
Einige Exemplare dieser Bücher werden im Semesterapparat zur Verfügung gestellt. Die Verwendung
der neuesten Auflage ist bei den meisten Statistikbüchern nicht unbedingt erforderlich. Ältere Auflagen
sind oft billiger zu haben und besser in den Bibliotheken verfügbar.
Warnung Notation und Sprachgebrauch sind über die verschiedenen Bücher hinweg nicht einheitlich
und unterscheiden sich daher zum Teil von der Konvention in diesem Skript. Auch lässt sich nicht immer
vermeiden, dass ein und dasselbe Symbol im Verlauf der Veranstaltung verschiedene Bedeutungen trägt.
Diese Unterlagen basieren auf Vorlesungsausarbeitungen, die an der Freien Universität Berlin (FUB)
entstanden und über Jahre an der Goethe-Universität Frankfurt eingesetzt wurden. Wir schulden unseren
ehemaligen Kollegen an der FUB und der Goethe-Universität Dank. Viele besonders hilfreiche Hinweise
stammen von Herbert Büning, Dieter Nautz, Sven Schreiber und Thorsten Thadewald.
Horst Entorf, Uwe Hassler & Michael Weba, Frankfurt a.M., August 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Beschreibende Methoden univariater Datenanalyse
2
2.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Häufigkeitsverteilungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.1
Diskrete Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.2
Stetige Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3.1
Lagemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3.2
Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.3
Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
3 Weiter führende Methoden und Zusammenhangsanalysen
6
3.1
Konzentrationsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2.1
Preisbereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2.2
Wachstumsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Bivariate Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.4
Streudiagramm und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.5
Lineare Regressionsrechnung
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
9
4.1
Zufallsvorgang und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.4
Unabhängigkeit zweier Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5 Zufallsvariablen und Verteilungen
11
5.1
Grundbegriffe und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.2
Diskrete Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.3
Stetige Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.4
Bivariate Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.5
Unabhängige Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.6
Theoretische Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.6.1
Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.6.2
Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5.6.3
Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5.6.4
Höhere Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Verteilungsmodelle
16
6.1
Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
6.2
Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
6.3
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
6.4
Bivariate Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
7 Summen und Mittel von Stichprobenvariablen
20
7.1
Unabhängig und identisch verteilte Stichprobenvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7.2
Arithmetisches Mittel und Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7.3
Asymptotische (approximative) Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
8 Parameterschätzung
22
8.1
Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8.2
Eigenschaften von Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8.2.1
Erwartungstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8.2.2
Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Konstruktion von Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
8.3.1
Momentenmethode (MM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
8.3.2
Maximum-Likelihood-Methode (ML) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.3
9 Konfidenzintervalle (KI)
25
9.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.2
Konfidenzintervalle für den Erwartungswert µ (bei Normalverteilung) . . . . . . . . . . . .
25
9.2.1
Bei bekannter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.2.2
Bei unbekannter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.2.3
Approximativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
9.3
Konfidenzintervalle für einen Anteilswert p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
9.4
Konfidenzintervall für die Varianz bei Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
10 Statistische Tests
28
10.1 Prinzipien des Testens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
10.2 Tests auf µ (bei Normalverteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
10.2.1 Bei bekannter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
10.2.2 Bei unbekannter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
10.2.3 Approximativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
10.3 P -Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
10.4 Test auf einen Anteilswert p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
10.5 Zweiseitige Tests und Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
10.6 Test auf σ bei Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
10.7 Gütefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
11 Weitere spezielle Testprobleme
11.1 Test auf Gleichheit zweier Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
11.1.1 Differenzen-t-Test für verbundene Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
11.1.2 2-Stichproben-t-Test für unabhängige Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
11.1.3 Asymptotischer Differenzen-Test für unabhängige Stichproben
. . . . . . . . . . .
34
11.2 Einfache Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
11.3 Tests auf Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
11.3.1 Normalverteilung (Schiefe und Kurtosis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2
11.3.2 χ -Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Zusammenhangsanalysen
36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
11.4.1 χ -Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
11.4.2 Test auf Unkorreliertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2
12 Das lineare Regressionsmodell
39
12.1 Einfachregression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
12.2 Parametertests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
12.3 Multiple Regression
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Tutoriumsaufgaben
43
14 Tabellensammlung
67
1
1
Einführung
Die Statistik hat einen schlechten Ruf: Glaube keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. Tatsache
aber ist, dass Statistik in vielen Bereichen des täglichen Lebens sowie der Wirtschaft und Wissenschaft
zur Anwendung kommt. Einige Beispiele sind:
• Mietspiegel
• Einschaltquote beim Fernsehen
• Wahlhochrechnungen
• Analyse von Finanzmärkten
• Marktforschung
• Prognose des Wirtschaftswachstums
• Wetter
Dabei gibt es den Begriff “Statistik” in einem doppelten Wortsinn. Er wird zum einen im Sinne der
Ansammlung quantitativer Informationen über bestimmte Sachverhalte verwendet, z.B. Arbeitslosenstatistik, zum anderen als Begriff für Methoden zur Darstellung und Analyse von Daten. Diesen Methoden
ist die Lehrveranstaltung gewidmet. Die nächsten beiden Kapitel beginnen mit der beschreibenden oder
deskriptiven Statistik, also der Darstellung von Daten und Zusammenhängen. Danach legen wir in den Kapitel 4 bis 7 die theoretischen Grundlagen für die schließende oder induktive Statistik, d.h. für statistische
Schlussfolgerungen auf der Basis von Modellen (ab Kapitel 8). Die Unterscheidung von beschreibender
und schließender Statistik erscheint in der Praxis oft künstlich, weil es von der Deskription zur Induktion
häufig nur ein (gewagter?) Schritt ist.
2
2 BESCHREIBENDE METHODEN UNIVARIATER DATENANALYSE
2
Beschreibende Methoden univariater Datenanalyse
2.1
Grundbegriffe
Grundgesamtheit: Menge aller Personen, Einheiten oder Objekte, die im Hinblick auf ein bestimmtes
Untersuchungsziel relevant sind.
Merkmalsträger: Einzelnes Element dieser Grundgesamtheit
Merkmale oder Variablen: die interessierenden Eigenschaften, häufig mit X notiert.
Merkmalsausprägung oder Realisation: konkreter Wert eines Merkmals.
Rohdaten: ungeordnete, in der Erhebungsreihenfolge gegebene Daten (oder Beobachtungen oder Stichprobe) x1 , . . . , xn .
Stichprobenumfang Die Anzahl der Daten n.
Geordneter Datensatz: der Größe nach sortiert, x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) .
Wir unterscheiden zwischen diskreten und stetigen Variablen:
•
diskret:
endlich bzw. abzählbar viele Ausprägungen,
•
stetig:
alle Werte eines Intervalls möglich.
Überdies ist das Skalenniveau eines Merkmals maßgeblich:
•
nominal:
reine Unterscheidung ohne Anordnung,
•
ordinal:
Ordnungsstruktur,
•
metrisch:
geordnet mit sinnvollen Abständen.
Schließlich können Merkmale eindimensional (oder univariat) oder mehrdimensional (oder multivariat)
sein.
2.2
2.2.1
Häufigkeitsverteilungen
Diskrete Merkmale
Diskretes Merkmal X mit den Ausprägungen a1 , . . . , ak . Normalerweise der Größe nach geordnet: a1 <
· · · < ak . Die Ausprägungen werden beobachtet für einen dazu gehörigen Datensatz (Stichprobe) vom
Umfang n.
absolute Häufigkeit: Anzahl, mit der die Ausprägung aj vorkommt: nj .
relative Häufigkeit: hj = nj /n mit graphischer Darstellung als Stabdiagramm
Pj
kumulierte relative Häufigkeit der ersten j Ausprägungen: H(X ≤ aj ) = i=1 hi .
Empirische Verteilungsfunktion für a1 < a2 < . . . < ak :


0
für x < a1



 P
j
F̂ (x) = H(X ≤ x) =
hi für aj ≤ x < aj+1 , j = 1, . . . , k − 1

i=1



 1
für x ≥ a
k
2.2.2
Stetige Merkmale
Stetiges Merkmal X mit Realisationen aus k Klassen:
(a∗0 , a∗1 ], (a∗1 , a∗2 ], (a∗2 , a∗3 ], . . . , (a∗k−1 , a∗k ].
(2.1)
2.3 Maßzahlen
3
absolute Häufigkeit nj : Anzahl der Realisationen aus j-ter Klasse (a∗j−1 , a∗j ]
relative Häufigkeit: hj = nj /n
kumulierte relative Häufigkeit: H(X ≤ a∗j ) =
a∗j
Klassenbreiten ∆j =
−
Häufigkeitsdichte fˆ:
Pj
i=1
hi
a∗j−1

 hj /∆j
fˆ(x) =

0
für a∗j−1 < x ≤ a∗j , j = 1, . . . , k
(2.2)
sonst
Histogramm: graphische Darstellung von fˆ
Häufigkeitstabelle:
j
a∗j−1 < X ≤ a∗j
nj
hj
∆j
fˆ(x)
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Pj
i=1
hi = F̂ (a∗j )
..
.
empirische Verteilungsfunktion bei klassierten Daten:



0
für x ≤ a∗0


Pj−1
∗
∗
∗
ˆ ∗
F̂ (x) = H(X ≤ x) =
i=1 hi + (x − aj−1 ) · f (aj ) für aj−1 < x ≤ aj , j = 1, . . . , k




1
für x > a∗k
wobei F̂ (a∗j ) =
Pj
i=1
hi . Alternativ:
F̂ (x) = F̂ (a∗j−1 ) + (x − a∗j−1 ) · fˆ(a∗j ) für a∗j−1 < x ≤ a∗j , j = 1, . . . , k.
2.3
(2.3)
(2.4)
Maßzahlen
2.3.1
Lagemaße
arithmetisches Mittel x (Mittelwert oder Durchschnitt) wird je nach Datengrundlage auf folgende Weise
berechnet:
n
x=
x=
k
X
aj · hj
1X
xi ,
n i=1
(2.5)
(aus Häufigkeitstabelle, diskret)
(2.6)
(aus Häufigkeitstabelle, stetig, approximativ) ,
(2.7)
j=1
x≈
k
X
a j · hj
j=1
wobei āj die Klassenmitte der j-ten Klasse ist: āj =
a∗j−1 + a∗j
.
2
Rechenregeln:
•
Lineartransformation der Daten yi = a + b xi , i = 1, . . . , n :
y = a + bx
•
Summe von Daten in der Form zi = xi + yi , i = 1, . . . , n :
Pn
Zentralität: i=1 (xi − x̄) = 0
z =x+y
•
4
2 BESCHREIBENDE METHODEN UNIVARIATER DATENANALYSE
Median oder 50%-Punkt, x0.50 , halbiert den geordneten Datensatz x(1) , . . . , x(n) :


x0.5 =

x((n+1)/2)
1
2 (x(n/2)
n ungerade
+ x(n/2+1) ) n gerade
Quartile: 25%-Punkt oder unteres Quartil, x0.25 , und 75%-Punkt oder oberes Quartil, x0.75 , halbieren die
je untere bzw. obere Hälfte der geordneten Stichprobe.
Prozentpunkte oder Quantile insbes. für klassierte Daten mit 0 < p ≤ 1. Für F̂ (a∗j−1 ) < p ≤ F̂ (a∗j ) ergibt
sich:
xp = a∗j−1 +
p − Fb(a∗j−1 )
.
fb(a∗ )
(2.8)
j
2.3.2
Streuungsmaße
mittlere quadratische Abweichung d2 : Maß für die Streuung der Daten, wird je nach Datengrundlage auf
folgende Weise berechnet:
n
d2 =
d2
=
k
X
1X
(xi − x)2 .
n i=1
(2.9)
(aj − x)2 · hj
(aus Häufigkeitstabelle, diskret)
(2.10)
(aj − x)2 · hj
(aus Häufigkeitstabelle, stetig, approximativ),
(2.11)
j=1
d2
≈
k
X
j=1
wobei āj wiederum die Klassenmitte der j-ten Klasse ist.
Rechenregeln:
Verschiebungssatz: d2 = x2 − x2 ,
Pn
wobei x2 = n1 i=1 x2i für die Rohdaten und analog für die Berechnung aus Häufigkeitstabellen.
•
•
Lineartransformation der Daten yi = a + b xi , i = 1, . . . , n :
d2y = b2 d2x .
Variationskoeffizient: Unabhängig von der Maßeinheit:
V Kx =
dx
,
|x̄|
x̄ 6= 0.
Interquartilsabstand:
IQA = x0.75 − x0.25 ,
2.3.3
Boxplot
Die grundlegende Form des Boxplots basiert auf fünf Kennzahlen eines Datensatzes, dem Minimum x(1) ,
dem unteren Quartil x0.25 , dem Median x0.50 , dem oberen Quartil x0.75 und dem Maximum x(n) . Diese
Werte sind aus einem geordneten Datensatz ohne große Rechnung leicht zu bestimmen:
2.3 Maßzahlen
x(1)
5
x0.25
x0.50
x0.75
x(n)
x
6
3
3.1
3 WEITER FÜHRENDE METHODEN UND ZUSAMMENHANGSANALYSEN
Weiter führende Methoden und Zusammenhangsanalysen
Konzentrationsmessung
Sei X diskret, metrisch mit 0 ≤ a1 < . . . < ak .
vi : Anteil an der gesamten Merkmalsumme, den die i kleinsten Merkmalausprägungen auf sich vereinigen,
Pi
j=1 aj nj
vi = P k
, i = 1, 2, . . . , k.
j=1 aj nj
ui : Anteil an allen n Beobachtungen, den die i kleinsten Ausprägungen ausmachen,
Pi
i
X
j=1 nj
ui =
=
hj , i = 1, 2, . . . , k.
n
j=1
Lorenz-Kurve: Verbindung von k +1 Punkten durch Geradenstücke in einem Koordinatensystem (v gegen
u)
(u0 , v0 ) = (0, 0), (u1 , v1 ), . . . , (uk , vk ) = (1, 1).
Konzentrationsfläche: Fläche zw. der Diagonalen (Winkelhalbierenden) und Lorenz-Kurve.
Sei X stetig mit
a∗j−1 < X ≤ a∗j , j = 1, 2, . . . , k mit a∗0 ≥ 0,
so gilt für vi gilt mit den Klassenmitten āj = (a∗j−1 + a∗j )/2:
Pi
j=1 āj nj
vi = P k
, i = 1, 2, . . . , k.
j=1 āj nj
Gini-Koeffizienten G: Maßzahl für Konzentration oder Ungleichheit, definiert als Quotient aus Konzentrationsfläche und Fläche unter der Diagonalen:
G=
k
X
Konzentrationsfläche
=1−
(uj − uj−1 ) (vj + vj−1 ).
Fläche unter Diagonale
j=1
Weil 0 ≤ G ≤ (n − 1)/n gilt, wird in praxi mitunter normiert:
G∗ =
3.2
n
G, 0 ≤ G∗ ≤ 1.
n−1
Zeitreihen
Zeitindex t (time):
xt , t = 1, 2, . . . , n.
3.2.1
Preisbereinigung
nominale Größe xt : ausgedrückt in Preisen zu der jeweiligen Zeiteinheit t
Preisindex P0,t zur Basisperiode 0, oft in Prozenten: Pe0,t = 100 P0,t
reale Größe xrt in Preisen der Basisperiode 0:
xrt =
xt
.
P0,t
(3.1)
3.3 Bivariate Häufigkeitsverteilungen
3.2.2
7
Wachstumsraten
Differenzen ∆xt einer Zeitreihe (gegeben einen Startwert x0 ),
∆xt = xt − xt−1 , t = 1, 2, . . . , n.
Wachstumsrate: Veränderung in der Zeit bezogen auf das Niveau (in der Vorperiode): rt = ∆xt /xt−1 .
Logarithmische Approximation:
rt =
∆xt
≈ ∆ ln(xt ) = ln(xt ) − ln(xt−1 ).
xt−1
Interpretation: Rendite oder Verzinsung.
Wachstumsfaktoren
qt = 1 + rt =
xt
.
xt−1
geometrisches Mittel für positive Wachstumsfaktoren
1
q̃ = (q1 q2 · · · qn ) n
mittlere Wachstumsrate
r̃ = q̃ − 1 .
3.3
Bivariate Häufigkeitsverteilungen
An jeweils einem (verbundenen Messung oder Stichprobe) Objekt werden zwei diskrete Merkmale X und
Y gemessen: n Beobachtungspaare (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ).
X hat die Ausprägungen a1 , . . . , ak und Y die Ausprägungen b1 , . . . , b` mit:
• absolute gemeinsame Häufigkeit für (X = ai , Y = bj ): nij
• relative gemeinsame Häufigkeit: hij = nij /n = H(X = ai , Y = bj )
• absolute Randhäufigkeit:
P`
für X = ai : ni• = j=1 nij
Pk
für Y = bj : n•j = i=1 nij
• relative Randhäufigkeit:
P`
hi• = H(X = ai ) = j=1 hij
Pk
h•j = H(Y = bj ) = i=1 hij
Bedingte relative Häufigkeiten:
nij
,
ni•
nij
.
H(X = ai | Y = bj ) =
n•j
H(Y = bj | X = ai ) =
3.4
Streudiagramm und Korrelation
Streudiagramm: (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) im Koordinatensystem
An jeweils einem Objekt (oder auch: zu jeweils einem Zeitpunkt) werden zwei metrische Merkmale X
und Y gemessen (viele verschiedenen Ausprägungen haben oder stetig)
8
3 WEITER FÜHRENDE METHODEN UND ZUSAMMENHANGSANALYSEN
empirische Kovarianz von n Datenpaaren:
n
dxy
1X
=
(xi − x)(yi − y) .
n i=1
(3.2)
Rechenregeln
1
n
Pn
•
Verschiebungssatz:
dxy = xy − x · y
mit xy =
•
Lineartransformation der Daten:
da+bx,α+βy = b β dxy
(Kovarianz von a + bxi und α + βyi )
i=1
xi · yi ,
Korrelationskoeffizient als eine Maßzahl für linearen Zusammenhang:
dxy
dxy
rxy = q
=
.
d
2
2
x dy
dx dy
3.5
(3.3)
Lineare Regressionsrechnung
Wenn sich x um eine Einheit erhöht, um wieviele Einheiten variiert dann y? Lege Gerade durch Streudiagramm mit Achsenabschnitt a und Steigung b.
Kleinste-Quadrate-Methode (KQ-Methode): Wähle die empirischen Werte b
a und bb als Lösungen des folgenden Minimierungsproblems:
min
a,b
Es ergeben sich:
n
X
(yi − a − bxi )2 .
i=1
bb = dxy
d2x
mit
und
b
a = y − bb x
(3.4)
n
dxy =
1X
(xi − x)(yi − y) = xy − x · y
n i=1
wobei
rxy =
n
mit
dxy
dx
= b̂
.
dx · dy
dy
xy =
1X
xi · yi ,
n i=1
(3.5)
empirische Regressionsgerade:
yb = b
a + bb x .
(3.6)
εbi = yi − ybi .
(3.7)
Residuen (unerklärte Restterme):
Bestimmtheitsmaß als Anteil der durch die Regression erklärten Varianz im Verhältnis zur Gesamtvarianz:
Pn
Pn 2
(ŷi − ŷ)2
ε̂
2
i=1
R = Pn
= 1 − Pn i=1 i 2 ,
2
(y
−
y)
(y
−
y)
i=1 i
i=1 i
2
wobei R2 = rxy
.
9
4
Wahrscheinlichkeitsrechnung
4.1
Zufallsvorgang und Ereignisse
Ein Zufallsvorgang führt zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen. Vor der
Durchführung ist ungewiss, welches Ergebnis tatsächlich eintreten wird. Von einem Zufallsexperiment
spricht man, wenn der Vorgang unter gleichen Randbedingungen wiederholbar ist. Die Ergebnismenge
Ω = {ω1 , ω2 , . . .} ist die Menge aller möglichen Ergebnisse ωi eines Zufallsvorgangs. Teilmengen von Ω
heißen Ereignisse und die speziellen Teilmengen {ωi } Elementarereignisse.
Leere Menge:
{ } oder ∅
„Unmögliches Ereignis“
Teilmenge:
A ⊆ B ⇔ [x ∈ A ⇒ x ∈ B]
„Wenn A eintritt, tritt auch B ein“
Komplementärmenge:
A = {x | x 6∈ A}
„A tritt nicht ein“
Schnittmenge:
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}
„A und B treten ein“
A∩B =∅
„A und B schließen sich gegenseitig aus“ bzw.
„A und B sind disjunkt“
Vereinigungsmenge:
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}
„Mindestens eines der Ereignisse A und B
tritt ein“
Differenzmenge:
A \ B = {x | x ∈ A und x 6∈ B}
„A tritt ein, aber nicht B“
Außerdem seien hier noch einmal kurz einige Rechenregeln für Mengen dargestellt:
Kommutativgesetz:
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
Assoziativgesetz:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributivgesetz:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Regel von de Morgan:
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
4.2
Wahrscheinlichkeiten
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A mit P(A).
Axiome von Kolmogorov1 :
1)
P(A) ≥ 0,
2)
P(Ω) = 1,
3)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B),
1 Genau
falls A ∩ B = ∅.
genommen muss das dritte Axiom für “abzählbar viele” Ereignisse gelten.
10
4 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Rechenregeln:
a) P(∅) = 0
b) P(A) = 1 − P(A)
c) P(A) ≤ P(B),
falls A ⊆ B
d) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
e) P(A ∩ B) = P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)
4.3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung des Eintretens des Ereignisses B,
mit P(B) > 0, ist
P(A |B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
(4.1)
Die Axiome von Kolmogorov gelten für bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A | B).
Multiplikationssatz :
P(A ∩ B) = P(A |B) P(B).
(4.2)
disjunkte Zerlegung von Ω, wenn Ω = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak , wobei Ai ∩ Aj = ∅ für alle i 6= j.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Mit einer disjunkten Zerlegung von Ω, A1 , . . . , Ak mit P(Ai ) > 0 gilt
für B ⊂ Ω:
P(B) =
k
X
P(B |Ai ) · P(Ai ).
(4.3)
P(B |A)P(A)
,
P(B)
(4.4)
i=1
Satz von Bayes Für P(B) > 0 gilt:
P(A |B) =
oder
4.4
P(B |Aj )P(Aj )
P(B |Aj )P(Aj )
P(Aj |B) = Pk
=
, j = 1, . . . , k .
P(B)
i=1 P(B |Ai )P(Ai )
Unabhängigkeit zweier Ereignisse
A und B mit P(A) > 0 und P(B) > 0 heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
P(A ∩ B)
= P(A) · P(B)
(4.5)
bzw. P(A |B)
= P(A)
(4.6)
bzw. P(B |A)
= P(B).
(4.7)
11
5
Zufallsvariablen und Verteilungen
5.1
Grundbegriffe und Beispiele
Zufallsvariable: Abbildung X, die jedem Ergebnis ω aus Ω genau eine Zahl x ∈ R zuordnet.
Ereignis „X nimmt den Wert x an“ bedeutet
{X = x} = {ω | ω ∈ Ω und X(ω) = x},
und analog Ereignisse wie {X ≤ x}
Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X: Abbildung, die jedem reellen x folgende Wahrscheinlichkeit
zuordnet:
F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R.
(5.1)
Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie nur endlich viele Werte oder Ausprägungen annehmen kann (genauer: höchstens so viele, wie es natürliche Zahlen gibt), a1 , a2 , . . .; stetig heißt sie, wenn sie alle Werte
aus einem reellen Intervall annehmen kann.
5.2
Diskrete Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Ausprägungen a1 , a2 , . . . für
x ∈ R:

 P(X = aj ) = pj ,
f (x) =

0,
x ∈ {a1 , a2 , . . .}
.
sonst
Verteilungsfunktion (für a1 < a2 < . . .):
X
F (x) = P(X ≤ x) =
f (aj ).
(5.2)
aj ≤x
5.3
Stetige Zufallsvariablen
(Wahrscheinlichkeits-)Dichte (oder Dichtefunktion) von X: stetige Funktion f (x) mit f (x) ≥ 0, so dass:
Z
a2
P(a1 < X ≤ a2 ) =
f (x) dx.
a1
Für eine stetige Zufallsvariable X gilt:
P(a1 ≤ X ≤ a2 ) = P(a1 < X ≤ a2 ) = P(a1 ≤ X < a2 ) = P(a1 < X < a2 )
weil
P(X = a) = 0
für jedes a ∈ R.
Verteilungsfunktion:
Z
x
F (x) = P(X ≤ x) =
f (a) da.
−∞
(5.3)
12
5
5.4
ZUFALLSVARIABLEN UND VERTEILUNGEN
Bivariate Zufallsvariablen
Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y mit der Größe nach sortierten Ausprägungen:
X ∈ {a1 , . . . , ak } ,
Y ∈ {b1 , . . . , b` } .
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit
pij = P(X = ai , Y = bj ),
i = 1, . . . , k,
j = 1, . . . , `.
Randwahrscheinlichkeiten
P(X = ai ) =
X̀
P(X = ai , Y = bj ) =
j=1
P(Y = bj ) =
k
X
pij ,
j=1
P(X = ai , Y = bj ) =
i=1
5.5
X̀
k
X
pij .
i=1
Unabhängige Zufallsvariablen
Wenn für beliebige reelle Zahlen a und b gilt, dass
P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a und Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b) ,
dann heißen die Zufallsvariablen X und Y (stochastisch) unabhängig. Im diskreten Fall gilt dann:
P(X = a, Y = b) = P(X = a und Y = b) = P(X = a) · P(Y = b) .
5.6
Theoretische Maßzahlen
5.6.1
Lage
Erwartungswert E(X) bzw. µx :
E(X) =
k
X
aj P(X = aj ) (diskret),
(5.4)
j=1
Z
∞
E(X) =
xf (x) dx (stetig),
−∞
wobei im diskreten Fall k = ∞ sein kann.
Rechenregeln:
•
Lineartransformation Y = a + b X : E(Y ) = E(a + b X) = a + b E(X),
•
Summe zweier Zufallsvariablen Z = X + Y : E(Z) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Quantile oder Prozentpunkte xp bei stetigen Zufallsvariablen:
Z
xp
F (xp ) =
f (a) da = p, 0 < p < 1.
−∞
(5.5)
5.6 Theoretische Maßzahlen
5.6.2
13
Streuung
Varianz Var(X) bzw. σx2 :
Var(X) =
k
X
(aj − E(X))2 P(X = aj ) (diskret),
(5.6)
j=1
Z
∞
(x − E(X))2 f (x) dx (stetig),
Var(X) =
(5.7)
−∞
wobei wieder k = ∞ zugelassen ist.
Verschiebungssatz:
• Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2
wobei:
E(X 2 ) =
k
X
a2j P(X = aj ) (diskret),
j=1
Z
2
∞
E(X ) =
x2 f (x) dx
(stetig).
−∞
Weitere Rechenregeln:
• Erwartungswert quadrierter Abweichungen:
Var(X) = E[(X − E(X))2 ],
(5.8)
• Lineartransformation einer Zufallsvariablen Y = a + b X : Var(Y ) = Var(a + b X) = b2 Var(X),
• Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen X und Y in der Form Z = X + Y :
Var(Z) = Var(X +Y ) = Var(X)+Var(Y ). (Genauer muss nur die Unkorreliertheit gefordert werden,
siehe unten.)
Standardabweichung σx als positive Quadratwurzel aus der Varianz:
σx =
p
Var(X).
zentrales Schwankungsintervall zum Niveau 1 − α, 0 < α < 1: jeweils mit Wahrscheinlichkeit α/2 treten
kleinere Werte als die untere Intervallgrenze und Werte oberhalb der oberen Intervallgrenze auf:
5.6.3
£
¤
ZSI1−α = xα/2 , x1−α/2
(5.9)
Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))].
(5.10)
Kovarianz
Theoretische Kovarianz
14
5
ZUFALLSVARIABLEN UND VERTEILUNGEN
Im Fall zweier diskreter Zufallsvariablen mit k und ` Ausprägungen:
Cov(X, Y ) =
k X̀
X
(ai − E(X))(bj − E(Y )) pij ,
i=1 j=1
Theoretischer Korrelationskoeffizient:
ρxy =
Cov(X, Y )
.
σx σy
(5.11)
X und Y heißen unkorreliert, wenn Cov(X, Y ) = 0 bzw. ρ = 0
Regeln und Eigenschaften:
a) Kovarianzzerlegung
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
(5.12)
b) Lineartransformationen: Mit Konstanten a und b bzw. α und β gilt:
Cov(a + bX, α + βY ) = bβCov(X, Y ).
c) Unabhängig vs. unkorreliert:
X und Y sind unabhängig =⇒ Cov(X, Y ) = ρxy = 0 ,
bzw.
Cov(X, Y ) 6= 0 , ρxy 6= 0 =⇒ X und Y sind abhängig .
d) Die Varianz einer Summe:
Var(aX + bY ) = a2 Var(X) + b2 Var(Y ) + 2abCov(X, Y ).
5.6.4
Höhere Momente
Schiefe und Wölbung:
E[(X − µ)3 ]
,
σ3
mit den k-ten zentrierten theoretischen Momenten,
γ1 =
γ2 =
E[(X − µ)4 ]
.
σ4
µk = E[(X − µ)k ],
(5.13)
(5.14)
hinter denen sich Integrale verbergen, die nicht notwendig endlich sein müssen (man sagt dann: die
entsprechenden Momenten existieren nicht).
Symmetrie:
|xp − x0.5 | = |x1−p − x0.5 |
und E(X) = x0.5
und γ1 = 0.
Bei einer linkssteilen (rechtsschiefen) Verteilung gilt mit 0.5 < p < 1:
xp − x0.5 > x0.5 − x1−p
und
E(X) > x0.5
und γ1 > 0,
und analog bei einer rechtssteilen (linksschiefen) Verteilung mit 0.5 < p < 1:
xp − x0.5 < x0.5 − x1−p
und
E(X) < x0.5
und γ1 < 0.
5.6 Theoretische Maßzahlen
15
Für die Wölbung kann man zeigen:
γ2 ≥ 1 .
Empirische Entsprechung zu µk ist durch
n
mk =
1X
(xi − x)k
n i=1
gegeben: Die theoretische Bildung von Erwartungswerten wird durch empirisches Mitteln ersetzt. Damit
γ
b1 =
m3
,
d3
(5.15)
γ
b2 =
m4
.
d4
(5.16)
16
6
6.1
6 VERTEILUNGSMODELLE
Verteilungsmodelle
Diskrete Verteilungen
a) Diskrete Gleichverteilung
X ∼ DG(k)
1
k
P(X = x) =
E(X) =
mit x = 1, 2, . . . k
k+1
k2 − 1
und Var(X) =
2
12
b) Bernoulli-Verteilung
X ∼ Be(p)
P(X = x) = px (1 − p)1−x
mit x = 0 oder 1 und 0 < p < 1
E(X) = p und Var(X) = p(1 − p)
1 − 2p
γ1 = p
p(1 − p)
und
γ2 = 3 +
1 − 6p(1 − p)
p(1 − p)
c) Binomialverteilung
Summe von n unabhängig, identisch verteilten Bernoullivariablen (Xi ∼ Be(p)):
X=
n
X
Xi ∼ Bi(n, p)
i=1
P(X = x) =
µ ¶
n x
p (1 − p)(n−x) , x = 0, 1, . . . , n
x
E(X) = np und Var(X) = np(1 − p)
1 − 2p
γ1 = p
np(1 − p)
d) Poissonverteilung
X ∼ P o(λ), λ > 0
P(X = x) = e−λ
λx
, x = 0, 1, . . .
x!
E(X) = λ und Var(X) = λ
1
γ1 = √
λ
und γ2 = 3 +
1
λ
e) Geometrische Verteilung
X ∼ Ge(p), 0 < p < 1 ,
P(X = x) = (1 − p)x p,
E(X) =
x = 0, 1, 2, . . . ,
1−p
1−p
und Var(X) =
,
p
p2
x+1
F (x) = 1 − (1 − p)
,
x = 0, 1, 2, . . . .
6.2 Stetige Verteilungen
6.2
17
Stetige Verteilungen
a) Stetige Gleichverteilung (auf dem Intervall [ a, b ])
X ∼ SG(a, b)
 1

a≤x≤b
b−a
f (x) =

0
sonst
a+b
(b − a)2
und Var(X) =
2
12


0
x≤a


 x−a
F (x) =
a≤x≤b

b−a



1
x≥b
E(X) =
γ1 = 0 und
γ2 = 1.8
b) Exponentialverteilung
X ∼ Ex(λ), λ > 0

 λe−λx x ≥ 0
f (x) =

0
sonst
E(X) =
1
1
und Var(X) = 2
λ
λ
F (x) = 1 − e−λx ,
γ1 = 2
x≥0
und γ2 = 9
c) Doppelexponentialverteilung
X ∼ DEx(λ), λ > 0

 λ eλx x ≤ 0
λ
2
f (x) = e−λ|x| =
 λ e−λx x ≥ 0
2
2
E(X) = 0 und Var(X) =
γ1 = 0
2
λ2
und γ2 = 6
d) Pareto-Verteilung
X ∼ P a(θ; x0 ), θ > 0, x0 > 0,

θ
 θx
0
x ≥ x0
xθ+1
f (x) =
 0
sonst
E(X) =
Var(X) =
θx0
für θ > 1,
θ−1
θx20
, θ > 2.
(θ − 1)2 (θ − 2)
18
6 VERTEILUNGSMODELLE
F (x) = 1 −
³ x ´θ
0
x
,
x ≥ x0 .
e) Normalverteilung (C.F. Gauß)
X ∼ N (µ, σ 2 ), σ > 0
Ã
µ
¶2 !
1
1 x−µ
f (x) = √
exp −
, x∈R
2
σ
2πσ
E(X) = µ und Var(X) = σ 2 .
γ1 = 0
6.3
und γ2 = 3
Normalverteilung
Standardnormalverteilung mit µ = 0 und σ = 1, Z ∼ N (0, 1). Es gilt
X ∼ N (µ, σ 2 )
⇒
Z=
X −µ
∼ N (0, 1).
σ
Die Verteilungsfunktion von Z hat die Bezeichnung Φ, vgl. Tabelle C:
Φ(z) = P(Z ≤ z), z ∈ R.
Symmetrieeigenschaft Es gilt für alle z ∈ R:
Φ(−z) = 1 − Φ(z) .
(6.1)
Prozentpunkte der Standardnormalverteilung zp , für die P (Z ≤ zp ) = Φ(zp ) = p sind in Tabelle D gelistet.
Für eine beliebige Normalverteilung erhält man die Quantile durch die „Umkehrung der Standardisierung“:
xp = µ + zp · σ.
6.4
Bivariate Normalverteilung
Es seien nun X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariablen,
X ∼ N (µx , σx2 ),
Y ∼ N (µy , σy2 ),
(X,Y )
die mit ρ = Cov
korreliert sind. Interessiert sind wir an gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsaussagen:
σx σy
P (X ≤ x, Y ≤ y) =?
Solche Wahrscheinlichkeiten lassen sich als Doppelintegral über eine gemeinsame Dichtefunktion f ,
f : R2 7→ [0, ∞),
berechnen:
Za Zb
P (X ≤ a, Y ≤ b) =
f (x, y)dydx.
−∞ −∞
6.4 Bivariate Normalverteilung
19
Wenn nun die gemeinsame Dichte folgende Gestalt hat,
(
"µ
¶2
¶µ
¶ µ
¶2 #)
µ
1
1
x − µx
y − µy
y − µy
x − µx
p
f (x, y) =
exp −
+
− 2ρ
,
2(1 − ρ2 )
σx
σx
σy
σy
2πσx σy 1 − ρ2
dann heißen X und Y bivariat normalverteilt. Symbolisch schreiben wir dann für den Vektor:


X

 ∼ N2 (µ, Σ),
Y
wobei µ ein Vektor und Σ eine symmetrische Matrix ist:




µx
σx2
Cov(X, Y )
.
, Σ = 
µ=
µy
Cov(X, Y )
σy2
Die Kovarianzmatrix ist allgemein wie folgt definiert:



X − E(X)
 (X − E(X), Y − E(Y )) .
Σ = E 
Y − E(Y )
20
7
7
SUMMEN UND MITTEL VON STICHPROBENVARIABLEN
Summen und Mittel von Stichprobenvariablen
7.1
Unabhängig und identisch verteilte Stichprobenvariablen
Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn mit Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn als Realisation.
Zufallsstichprobe bedeutet, dass Stichprobenvariablen stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind:
Xi ∼ i.i.d. für i = 1, . . . , n, („independently identically distributed“).
Für X1 , . . . , Xn i.i.d. mit E(Xi ) = µ und V ar(Xi ) = σ 2 gilt:
à n
!
à n
!
n
n
X
X
X
X
E
Xi =
E(Xi ) , Var
Xi =
Var(Xi ) .
i=1
i=1
i=1
(7.1)
i=1
Ohne die Annahme identischer Erwartungswerte und Varianzen bei Unabhängigkeit:
à n
!
à n
!
n
n
X
X
X
X
E
Xi =
E(Xi ) , V ar
Xi =
V ar(Xi ) .
i=1
7.2
i=1
i=1
i=1
Arithmetisches Mittel und Gesetz der großen Zahlen
Für eine Zufallsstichprobe mit E(Xi ) = µ und V ar(Xi ) = σ 2 folgt sofort:
E(X) = µ , Var(X) = σx2 =
σ2
σ
bzw. σx = √ .
n
n
Gesetz der großen Zahlen Lässt man den Stichprobenumfang n über alle Grenzen wachsen, n → ∞, so
gilt:
lim E(X) =
n→∞
µ,
lim Var(X) = 0.
n→∞
In diesem Sinne konvergiert2 X gegen µ:
n→∞
X −→ µ.
Standardisierung
Z=
7.3
X −µ
√ ∼ N (0, 1) .
σ/ n
Asymptotische (approximative) Normalverteilung
Zentraler Grenzwertsatz (ZGS) Für Zufallsstichprobe X1 , . . . , Xn mit E(Xi ) = µ und V ar(Xi ) = σ 2 , gilt
für die standardisierte Summe Zn mit
Pn
Zn =
Xi − nµ
X −µ
√
√ ,
=
nσ
σ/ n
i=1
dass sie mit wachsendem n gegen eine Standardnormalverteilung konvergiert:
a
Zn ∼ N (0, 1).
Man sagt „Zn ist asymptotisch oder approximativ standardnormalverteilt“.
2 Genauer
Kapitel.
sprechen Fachleute von Konvergenz im quadratischen Mittel; weitere Ausführungen dazu folgen im nächsten
7.3 Asymptotische (approximative) Normalverteilung
21
Berechnung von Binomialverteilungswahrscheinlichkeiten Speziell für
X=
n
X
Xi ∼ Bi(n, p),
i=1
gilt:
Ã
p
y − np
P (X ≤ y) ≈ Φ
!
.
n p(1 − p)
Stetigkeitskorrektur bei Binomialverteilung
Ã
P (X ≤ y) ≈ Φ
y + 0.5 − np
p
n p(1 − p)
!
.
22
8 PARAMETERSCHÄTZUNG
8
Parameterschätzung
8.1
Schätzfunktionen
(Unbekannter) Parameter θ, θ ∈ R.
Stichprobenfunktion oder Schätzfunktion g(X1 , . . . , Xn ) aufgrund von Zufallsstichprobe, g: Rn → R, ist
eine Zufallsvariable.
Schätzwert Aufgrund der Realisationen xi ∈ R erhält man g(x1 , . . . , xn ).
Schätzer für Parameter θ:
θ̂ = g(X1 , . . . , Xn ) oder
θ̂ = g(x1 , . . . , xn ).
Vorsicht: Kurzschreibweise θ̂ sowohl für Zufallsvariable g(X1 , . . . , Xn ) als auch für Schätzwert g(x1 , . . . , xn ).
8.2
Eigenschaften von Schätzfunktionen
Beispiele für Schätzfunktionen
Verteilung
Parameter
Schätzfunktion
Erwartungswert
Konsistenz
Normalverteilung
µ
µ
ja
Normalverteilung
σ2
µ̂ = X
Pn
1
n−1 2
n σ
ja
σ̂12 = D2 =
σ̂22
2
=S =
n
1
n−1
i=1 (Xi
Pn
− X)2
i=1 (Xi
− X)
2
σ
2
ja
Bernoulliverteilung
p
p̂ = X
p
ja
Poissonverteilung
λ
λ
ja
Exponentialverteilung
λ
λ̂ = X
1
λ̂1 =
X
n−1
λ̂2 = Pn
i=1 Xi
n
n−1 λ
ja
λ
ja
b̂1 = 2 · X
b
ja
b̂2 = max{X1 , . . . , Xn }
n
n+1 b
ja
k̂ = 2 · X − 1
k
ja
Stet. Gleichvtlg. auf [0, b]
Disk. Gleichverteilung
8.2.1
b
k
Erwartungstreue
Eine Schätzfunktion θ̂ für den Parameter θ wird erwartungstreu oder auch unverzerrt genannt, wenn gilt
E(θ̂) = θ.
Bias (Verzerrung) Differenz zwischen Erwartungswert der Schätzfunktion und Parameter
b = E(θ)
b − θ.
b(θ)
Asymptotische Erwartungstreue (Unverzerrtheit) falls
lim E(θ̂) = θ.
n→∞
(8.1)
8.3 Konstruktion von Schätzfunktionen
23
Verzerrung der mittleren quadratischen Abweichung
Ã
2
E(D ) = E
n
1X
(Xi − X)2
n i=1
!
n−1 2
=
σ =
n
µ
¶
1
1−
σ2 .
n
Stichprobenvarianz S 2 mit
n
S2 =
ist unverzerrt:
Ã
2
E(S ) = E
1 X
(Xi − X)2
n − 1 i=1
n
1 X
(Xi − X)2
n − 1 i=1
!
µ
=E
n
D2
n−1
(8.2)
¶
= σ2 .
Wollen wir zwei erwartungstreue Schätzfunktionen θ̂1 und θ̂2 miteinander vergleichen, so spricht man
davon, dass θ̂1 effizienter ist als θ̂2 , wenn gilt:
V ar(θ̂1 ) < V ar(θ̂2 ).
8.2.2
Konsistenz
Eine Schätzfunktion θ̂ für den Parameter θ wird konsistent genannt, wenn gilt
lim E(θ̂) = θ und lim V ar(θ̂) = 0.
n→∞
n→∞
Mittlerer quadratischer Fehler (MQF)
h
i
b = E (θb − θ)2
M QF (θ)
(8.3)
b = b(θ)
b 2 + Var(θ),
b
M QF (θ)
(8.4)
mit
Konsistenz (im quadratischen Mittel) liegt also vor wenn
lim M QF (θ̂) = 0.
n→∞
8.3
8.3.1
Konstruktion von Schätzfunktionen
Momentenmethode (MM)
Der Erwartungswert µ einer Verteilung hänge als (umkehrbare) Funktion h von dem unbekannten Parab und löse
meter θ ∈ R ab: µ = h(θ). Man setze das empirische Mittel dem theoretischen gleich, X = h(θ),
b Momentenschätzer:
diese Gleichung nach θ.
θ̂M M = h−1 (X) .
24
8.3.2
8 PARAMETERSCHÄTZUNG
Maximum-Likelihood-Methode (ML)
Man bestimmt θbM L anschaulich gesprochen so, dass das Auftreten der tatsächlich beobachteten Stichprobe maximal wahrscheinlich wird. Für diskrete Stichprobenvariablen definieren wir als Likelihoodfunktion:
L(θ)
= P (X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn ; θ)
= P (X1 = x1 ; θ) · . . . · P (Xn = xn ; θ).
Der ML-Schätzer ist das Argument, das L(θ) maximiert,
θbM L = arg max L(θ),
oder anders gesprochen: Für alle θ gilt: L(θ̂M L ) ≥ L(θ). Sind die Variablen stetig, so wird die Likelihoodfunktion in termini von Dichtefunktionen definiert – obwohl dann die oben gegebene Wahrscheinlichkeitsmotivation nicht mehr exakt ist:
L(θ) = f (x1 ; θ) · . . . · f (xn ; θ).
25
9
Konfidenzintervalle (KI)
9.1
Einführung
Konfindenzintervall [θbu , θbo ] überdeckt den unbekannten Parameter θ mit Konfidenzniveau 1 − α:
θbu = gu (X1 , . . . , Xn ) und
θbo = go (X1 , . . . , Xn ) mit
θbu < θbo ,
P (θbu ≤ θ ≤ θbo ) = 1 − α .
Zentrales KI, bei dem überdies gilt:
α
P (θbu ≥ θ) = P (θbo ≤ θ) = .
2
Realisiertes Konfindenzintervall [θbu , θbo ] für Stichprobe θu = gu (x1 , . . . , xn ) und θbo = go (x1 , . . . , xn )
9.2
9.2.1
Konfidenzintervalle für den Erwartungswert µ (bei Normalverteilung)
Bei bekannter Varianz
Wegen
µ
¶
µ
¶
X −µ
σ
σ
α
α
α
α
√ ≤ z1− 2 = 1 − α ⇒ P X − z1− 2 √ ≤ µ ≤ X + z1− 2 √
P −z1− 2 ≤
=1−α
σ/ n
n
n
(9.1)
lautet das KI für µ (σ 2 bekannt) zu einem Niveau von 1 − α:
¸
·
σ
σ
α
α
.
KI1−α = X − z1− 2 √ ; X + z1− 2 √
n
n
Die Länge des KI ist L = 2z1− α2 √σn . Damit ein KI eine vorgegebene Länge L nicht überschreitet muss
gelten
2
α
n ≥ 4z1−
2
9.2.2
σ2
.
L2
Bei unbekannter Varianz
Ersetze σ 2 durch die Stichprobenvarianz als erwartungstreuen Schätzer: S 2 =
1
n−1
Pn
i=1 (Xi
− X)2
t-Verteilung
Es seien X1 , . . . , Xn normalverteilte Zufallsvariablen einer Zufallsstichprobe mit Xi ∼ N (µ, σ 2 ). Dann
folgt
T =
√ X −µ
,
n
S
einer sogenannten t-Verteilung mit ν = n − 1 Freiheitsgraden:
T =
√ X −µ
n
∼ t(n − 1) .
S
Prinzipiell hat die t-Verteilung eine sehr ähnliche Gestalt wie die Standardnormalverteilung: die Dichte
ist symmetrisch um den Erwartungswert und Median Null3 , so dass für die Quantile (siehe Tabelle E)
gilt:
t(ν)1−p = −t(ν)p .
3 Damit
der Erwartungswert endlich existiert, muss allerdings ν > 1 gefordert werden.
26
9 KONFIDENZINTERVALLE (KI)
Zur Konstruktion eines Konfidenzintervalls für µ bei unbekanntem σ verwendet man also die Prozentpunkte t(n − 1)1− α2 der t-Verteilung:
·
¸
S
S
KI1−α = X − t(n − 1)1−α/2 √ , X + t(n − 1)1−α/2 √
.
n
n
9.2.3
(9.2)
Approximativ
Für jede konsistente Varianzschätzung σ
b2 gilt (ZGS) für großen Stichprobenumfang:
Z=
√ X −µ a
n
∼ N (0, 1) wobei σ
b konsistent für σ .
σ
b
Für großen Stichprobenumfang ist diese Statistik näherungsweise standardnormalverteilt, ohne Normalverteilung der Stichprobenvariablen. Daher ergibt sich als asymptotisches oder approximatives Konfidenzintervalls für µ bei unbekanntem σ:
·
¸
σ
b
σ
b
KI1−α ≈ X − z1−α/2 √ , X + z1−α/2 √
.
n
n
9.3
(9.3)
Konfidenzintervalle für einen Anteilswert p
Bei Bernoulli-verteilten Stichprobenvariablen, P (Xi = 1) = p, i = 1, . . . , n, schätzt man p durch die
relative Häufigkeit, p̂ = X. Damit ist das standardisierte p̂ näherungsweise standardnormalverteilt (ZGS):
p̂ − E(p̂)
p̂ − p a
p
∼ N (0, 1) .
=q
p(1−p)
Var(p̂)
n
Da p in der Varianz von p̂ allerdings nicht bekannt ist, wird es dort durch den konsistenten Schätzer p̂
ersetzt. Daher lautet das approximative Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α:
"
#
r
r
pb(1 − pb)
pb(1 − pb)
KI1−α ≈ pb − z1−α/2
, pb + z1−α/2
.
n
n
(9.4)
Soll die Länge einen Wert L nicht überschreiten, so ergibt sich der erforderliche Stichprobenumfang durch
Auflösen nach n:
2
α
n ≥ 4z1−
2
p̂(1 − p̂)
.
L2
Eine weitere Abschätzung wird durch p̂(1 − p̂) ≤ 0.25 möglich.
9.4
Konfidenzintervall für die Varianz bei Normalverteilung
Chi-Quadrat-(χ2 -)Verteilung
Wenn Zi eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, dann folgt das Quadrat einer sogenannten χ2 Verteilung mit einem Freiheitsgrad:
Zi2 ∼ χ2 (1) .
Liegen n unabhängige Standardnormalverteilungen vor, so gilt für deren Quadratsumme, dass sie einer
χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden folgt:
n
X
i=1
Zi2 =
n
X
(Xi − µ)2
i=1
σ2
∼ χ2 (n).
(9.5)
9.4 Konfidenzintervall für die Varianz bei Normalverteilung
27
Quantile der Verteilungen sind in Abhängigkeit des Freiheitsgradparameters in Tabelle F tabelliert. Wir
bezeichnen das p-Quantil bei ν Freiheitsgraden wie folgt: χ2p (ν).
In der Praxis ist µ nicht bekannt. Ersetzt man es durch seinen konsistenten und erwartungstreuen Schätzer, so reduziert sich der Freiheitsgrad um Eins, und es gilt:
n
X
(Xi − X)2
i=1
σ2
∼ χ2 (n − 1) .
(9.6)
Dieses Ergebnis kann man nutzen, um ein Konfidenzintervall für die Varianz basierend auf der erwartungstreuen Varianzschätzung wie folgt zu konstruieren:
"
#
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
KI1−α =
;
.
χ21−α/2 (n − 1) χ2α/2 (n − 1)
(9.7)
Für ν > 100 ist die χ2 -Verteilung nicht mehr tabelliert. Dann kann man sich mit einer Approximation
behelfen, die letztlich wieder auf dem ZGS beruht:
"
#
n S2
n S2
√ ;
√
KI1−α ≈
.
n + z1−α/2 2 n n − z1−α/2 2 n
(9.8)
28
10 STATISTISCHE TESTS
10
10.1
Statistische Tests
Prinzipien des Testens
Ausgangspunkt für das Testen ist eine Hypothese, oft auch als Nullhypothese, H0 , bezeichnet, und die zugehörige Alternativ- oder Gegenhypothese, H1 . Ein statistischer Test ist eine Entscheidungsregel, bei der
auf Basis einer Stichprobe unter bestimmten Verteilungsannahmen mit Hilfe einer Teststatistik bzw. Prüfgröße eine Entscheidung über eine Hypothese getroffen wird. Dabei können Fehlentscheidungen auftreten,
wie die folgende Übersicht zeigt:
Realität
Entscheidung
H0
ist richtig
H1
ist richtig
für
H0
richtige
Entscheidung
Fehler 2. Art
(β-Fehler)
gegen
H0
Fehler 1. Art
(α-Fehler)
richtige
Entscheidung
Auf Basis einer Stichprobe wird eine spezielle Stichprobenfunktion gebildet: die Teststatistik. Dabei gibt
es Werte, die für und andere die gegen die Nullhypothese H0 sprechen. Die Grenzen des Ablehnbereiches
oder auch kritischen Bereiches lassen sich auf Basis der Verteilung der Teststatistik und dem festgelegten
α bestimmen. Fällt der Wert der Teststatistik in diesen kritischen Bereich, wird die Nullhypothese H0
abgelehnt, ansonsten wird sie beibehalten. Damit ist α die Wahrscheinlichkeit, mit der der Fehler 1. Art
(Entscheidung gegen die Nullhypothese H0 , obwohl diese richtig ist) höchstens auftreten kann. Man nennt
α auch das sog. Signifikanzniveau des Tests.
Testet man aus einer Stichprobe auf einen unbekannten Parameter θ, so unterscheiden wir einfache
Nullhypothesen, die nur aus einem Wert θ0 bestehen von zusammen gesetzten Nullhypothesen, wo der
Parameter aus einem durch θ0 begrenzten Bereich ist (z.B. θ ∈ (−∞, θ0 ] oder θ ∈ [θ0 , ∞)). Formuliert man
die Alternativhypothese als logische Verneinung, so erhält man zweiseitige bzw. einseitige Testprobleme:
• H0 : θ = θ0 gegen H1 : θ 6= θ0 (zweiseitiges Testproblem),
• H0 : θ ≤ θ0 gegen H1 : θ > θ0 (einseitiges Testproblem) und
• H0 : θ ≥ θ0 gegen H1 : θ < θ0 (einseitiges Testproblem).
Die Einseitigkeit des Testproblems hängt genau an der Alternative und nicht an H0 . Schränkt man den
Parameterraum a priori auf θ ≥ θ0 ein (bzw. auf θ ≤ θ0 ), so erhält man bei einfacher Nullhypothese als
Hypothesenpaare im einseitigen Fall:
• H0 : θ = θ0 gegen H1 : θ > θ0 (einseitiges Testproblem) bzw.
• H0 : θ = θ0 gegen H1 : θ < θ0 (einseitiges Testproblem) .
Um das Signifikanzniveau α kontrollieren zu können, unterstellen wir für das folgende eine Zufallsstichprobe, d.h. X1 , . . . , Xn sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.).
10.2 Tests auf µ (bei Normalverteilung)
10.2
10.2.1
29
Tests auf µ (bei Normalverteilung)
Bei bekannter Varianz
Der Testablauf auf µ bei bekanntem σ wird in folgendem Schema zusammengefasst:
Test auf µ (σ bekannt)
Modell:
Xi ∼ N (µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n, σ bekannt
Hypothesen:
a) H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ 6= µ0
b) H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0
c) H0 : µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0
X − µ0
X − µ0
√
Z=
=
σx
σ/ n
Teststatistik:
Verteilung unter µ = µ0 :
Z ∼ N (0, 1)
Testentscheidung:
a) |Z| > z1−α/2
H0 ablehnen, wenn
b) Z > z1−α
c) Z < −z1−α
10.2.2
Bei unbekannter Varianz
Nach dem unrealistischen Fall, dass σ 2 bekannt ist, soll nun der Test auf µ für Fall eines unbekannten σ 2
unter der Annahme normalverteilter Daten vorgestellt werden. Dieser Test wird als (Einstichproben-)tTest bezeichnet. Dabei wird σ 2 analog zu den Konfidenzintervallen erwartungstreu durch S 2 geschätzt.
Testschema:
t-Test auf µ (σ unbekannt)
Modell:
Xi ∼ N (µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n, σ unbekannt
Hypothesen:
a) H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ 6= µ0
b) H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0
Teststatistik:
c) H0 : µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0
X − µ0
√
T =
S/ n
Verteilung unter µ = µ0 :
T ∼ t(ν) mit ν = n − 1
Testentscheidung:
a) |T | > t(n − 1)1−α/2
H0 ablehnen, wenn
b) T > t(n − 1)1−α
c) T < −t(n − 1)1−α
10.2.3
Approximativ
Ohne Annahme normalverteilter Stichprobenvariablen gilt für großes n wie oben ausgeführt, dass T unter
a
µ = µ0 approximativ standardnormalverteilt ist, T ∼ N (0, 1). Entsprechend kann die t-Statistik T für
einen approximativen Normalverteilungstest verwendet werden.
30
10 STATISTISCHE TESTS
10.3
P -Werte
Alternativ kann die Testentscheidung auch über den sog. P -Wert (in Englisch P -value für probability
value) erfolgen. Der P -Wert ist dabei die Wahrscheinlichkeit, unter der (Null-)Hypothese H0 den beobachteten Wert der Teststatistik oder einen in Richtung der Gegenhypothese H1 noch extremeren Wert zu
erhalten. Der P -Wert ist sozusagen das minimale Signifikanzniveau, zu dem H0 gerade noch verworfen
werden kann. Große P -Werte sprechen also dafür, dass die Empirie mit der Hypothese H0 vereinbar
ist, weshalb man diese nicht verwerfen sollte. Kleine P -Werte hingegen sagen, dass das Auftreten der
beobachteten Realisation der Teststatistik unwahrscheinlich ist, wenn die Hypothese H0 stimmt, weshalb
man dann dazu neigt, sie zu verwerfen. Die Entscheidungsregel lautet also bei vorgegebenem Niveau α:
Wenn P ≤ α, dann H0 ablehnen zum Niveau α .
Computerprogramme geben im allgemeinen beim Testen den P -Wert an, da auf diese Art und Weise kein
kritischer Wert in Abhängigkeit von α berechnet werden muss, sondern eine Entscheidung durch einen
einfachen Vergleich des P -Wertes mit α getroffen werden kann.
10.4
Test auf einen Anteilswert p
In Analogie zu den Konfidenzintervallen für p basiert auch der Test für p auf einer Approximation der
Teststatistik durch den zentralen Grenzwertsatz4 :
Z=
p̂ − p0
p̂ − p0
=q
.
σ̂p̂
p̂(1−p̂)
n
Testschema:
Test auf p
Modell:
Xi ∼ Be(p), i = 1, . . . , n
Hypothesen:
a) H0 : p = p0 gegen H1 : p 6= p0
b) H0 : p ≤ p0 gegen H1 : p > p0
c) H0 : p ≥ p0 gegen H1 : p < p0
p̂ − p0
p̂ − p0
=q
Z=
σ̂p̂
p̂(1−p̂)
Teststatistik:
n
a
Verteilung unter p = p0 :
Z ∼ N (0, 1)
Testentscheidung:
a) |Z| > z1−α/2
H0 ablehnen, wenn
b) Z > z1−α
c) Z < −z1−α
4 Eine
alternative Variante der Teststatistik verwendet im Einklang mit der Nullhypothese p0 statt p̂ bei der Varianz-
schätzung:
Z0 = q
p̂ − p0
p0 (1−p0 )
n
.
Wir ziehen die hier die Statistik Z vor, weil so der zweiseitige Test auf p direkt über das Konfidenzintervall ohne weitere
Rechenschritte durchgeführt werden kann.
10.5 Zweiseitige Tests und Konfidenzintervalle
10.5
31
Zweiseitige Tests und Konfidenzintervalle
Betrachten wir den Test auf µ bei unbekanntem σ, H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ 6= µ0 , mit der Prüfgröße T
und der Entscheidungsregel: Lehne H ab, wenn |T | > t(n−1)1−α/2 ist. Dieser Test zum Signifikanzniveau
α kann auch wie folgt durchgeführt werden. Sei KI1−α ein Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau
1 − α; lehne dann H0 (zum Signifikanzniveau α) ab, wenn KI1−α den hypothetischen Wert µ0 nicht
überdeckt. Die Regel mittels der Prüfgröße T und die Regel mittels des Konfidenzintervall führen, wie
man zeigen kann, zu identischen Entscheidungen.
Entsprechendes gilt auch bei dem zweiseitigen Testproblem über einen Anteilswert p: Es gilt
#
"
r
r
p̂(1 − p̂)
p̂(1 − p̂)
; p̂ + z1− α2
p0 ∈ p̂ − z1− α2
n
n
dann und nur dann, wenn
¯
¯
¯
¯
¯ p̂ − p0 ¯
¯
¯q
¯ p̂(1−p̂) ¯ ≤ z1− α2 .
¯
¯
n
10.6
Test auf σ bei Normalverteilung
Wie das KI basiert der Test auf der χ2 -Verteilung.
Test auf σ bei Normalverteilung
Modell:
Xi ∼ N (µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n
Hypothesen:
a) H0 : σ = σ0 gegen H1 : σ 6= σ0
b) H0 : σ ≤ σ0 gegen H1 : σ > σ0
c) H0 : σ ≥ σ0 gegen H1 : σ < σ0
(n − 1) S 2
Σ=
σ02
Teststatistik:
Verteilung unter σ = σ0 :
Σ ∼ χ2 (n − 1)
Testentscheidung:
a) Σ > χ21−α/2 (n − 1)
oder Σ < χ2α/2 (n − 1)
H0 ablehnen, wenn
b) Σ > χ21−α (n − 1)
c) Σ < χ2α (n − 1)
10.7
Gütefunktion
Als Güte eines Tests bezeichnet man oft die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn sie
falsch ist. Allgemein definieren wir jetzt als Gütefunktion G(θ) eines Tests über den Parameter θ die
Ablehnwahrscheinlichkeit:
G(θ) =
=
P(H0 wird abgelehnt || θ ist wahrer Wert)
Pθ (H0 wird abgelehnt) .
Man beachte, dass hierbei P(· || θ ist wahrer Wert) = Pθ (·) keine bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet,
sondern die Wahrscheinlichkeit bei wahrem Wert θ.
32
10 STATISTISCHE TESTS
Betrachten wir als Rechenbeispiel den Test auf µ bei Normalverteilung und bekannter Varianz. Die
Prüfgröße lautet bekanntlich
Z=
X − µ0 √
n.
σ
In Abhängigkeit der Hypothesen ergeben sich unterschiedliche Gütefunktionen.
1. Fall: In dem einseitigen Fall mit
H0 : µ ≤ µ0 ,
H1 : µ > µ 0 .
ergibt sich die Gütefunktion nach wenigen Schritten als
µ
¶
µ − µ0 √
G(µ) = P(Z > z1−α ||µ) = 1 − Φ z1−α −
n .
σ
(10.1)
2. Fall: Testet man umgekehrt auf
H0 : µ ≥ µ0 ,
H1 : µ < µ 0 ,
so erhält man
µ
G(µ) = P(Z < −z1−α ||µ) = Φ
¶
µ0 − µ √
n − z1−α .
σ
(10.2)
3. Fall: Beim zweiseitigen Test,
H0 : µ = µ0 ,
H1 : µ 6= µ0 ,
bestimmt man als Gütefunktion
µ
G(µ) = Pµ (|Z| > z1−α/2 ) = 1 + Φ
µ0 − µ √
n − z1−α/2
σ
¶
µ
−Φ
¶
µ0 − µ √
n + z1−α/2 .
σ
(10.3)
33
11
11.1
Weitere spezielle Testprobleme
Test auf Gleichheit zweier Erwartungswerte
Im Gegensatz zum univariaten Einstichprobenfall, bei dem Hypothesen über den Parameter der Verteilung eines Merkmals auf Basis einer Stichprobe getestet werden, richten wir nun das Augenmerk auf den
Vergleich zweier Erwartungswerte. Dabei sind jedoch zwei Situationen zu unterscheiden. Zum einen vergleichen wir die Erwartungswerte einer verbundenen Stichprobe (bivariate Zufallsvariablen), zum anderen
die Erwartungswerte zweier unabhängiger Stichproben.
11.1.1
Differenzen-t-Test für verbundene Stichproben
Betrachten wir zwei verbundene Stichprobenvariablen (Xi , Yi ), i = 1, . . . , n. Es handelt sich also um
bivariate Variablen aus einer Stichprobe, d.h. für jedes i gehören Xi und Yi beispielsweise zur gleichen
Person oder Firma oder zum gleichen Zeitpunkt. Aus diesem Grund trägt auch die Differenz ∆i = Xi −Yi
eine inhaltliche Bedeutung.
Im Grunde schlagen wir hier gar keinen neuen Test vor, sondern eine Rückführung auf den schon behandelten univariaten Fall. Dazu unterstellen wir, dass
Xi ∼ N (µx , σx2 ) und Yi ∼ N (µy , σy2 ), i = 1, . . . , n,
gilt. Sind die Variablen sogar bivariat normalverteilt, so ist auch die Normalität der Differenzen gewährleistet:
∆i = Xi − Yi ∼ N (µδ , σδ2 ) mit µδ = µx − µy .
Also kann als Prüfgröße wie gewohnt
T =
mit
∆−0
Sδ
√
n
n
∆=
1X
∆i ,
n i=1
=
√ ∆
n
Sδ
n
Sδ2 =
1 X
(∆i − ∆)2
n − 1 i=1
gewählt werden. Die Nullhypothesen können einfach oder zusammen gesetzt sein:
H0 : µx = µy oder µδ = 0,
H0 : µx ≤ µy oder µδ ≤ 0,
H0 : µx ≥ µy oder µδ ≥ 0.
Bei zusammen gesetzter Nullhypothese ist der Test naturgemäß einseitig. Ein einseitiger Test kann aber
auch bei Nullhypothesen durchgeführt werden, die nicht zusammen gesetzt, sondern einfach sind:
H0 : µx = µy gegen H1 : µx < µy ,
H0 : µx = µy gegen H1 : µx > µy .
Die Entscheidungsregel ist wie beim gewöhnlichen t-Test auf µ: Die Quantile stammen dabei wieder aus
der t(n − 1)-Verteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann auch wieder approximativ über die Standardnormalverteilung getestet werden, ohne dass wir die Annahme normalverteilter Stichprobenvariablen
benötigen, weil ∆ wegen des zentralen Grenzwertsatzes approximativ normalverteilt ist.
34
11 WEITERE SPEZIELLE TESTPROBLEME
11.1.2
2-Stichproben-t-Test für unabhängige Stichproben
Wieder betrachten wir zwei normalverteilte Variablen Xi und Yj , die jetzt aber aus einer unverbundenen
Messung, also aus zwei unabhängigen Stichproben stammen. Überdies wird Gleichheit der Varianzen
verlangt.
Zwei-Stichproben-t-Test (bei NV und gleicher Varianz)
Modell:
Xi ∼ N (µx , σx2 ), Yj ∼ N (µy , σy2 ), unabhängig
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, σx2 = σy2
Hypothesen:
a) H0 : µx = µy gegen H1 : µx 6= µy
b) H0 : µx ≤ µy gegen H1 : µx > µy
Teststatistik:
c) H0 : µx ≥ µy gegen H1 : µx < µy
X −Y
T = sµ
¶
1
1 (n − 1)Sx2 + (m − 1)Sy2
+
n m
m+n−2
Verteilung
unter µx = µy :
T ∼ t(ν) mit ν = m + n − 2
Testentscheidung:
a) |T | > t1−α/2 (m + n − 2)
H0 ablehnen, wenn
b) T > t1−α (m + n − 2)
c) T < −t1−α (m + n − 2)
11.1.3
Asymptotischer Differenzen-Test für unabhängige Stichproben
In der Praxis sind die Annahmen gleicher Varianzen und normalverteilter Daten nur in den seltensten
Fällen gerechtfertigt. Dann kann man sich approximativ wie beim Differenzen-t-Test helfen, vorausgesetzt,
dass der Stichprobenumfang “groß” ist. Wir unterstellen unabhängige Stichproben vom Umfang n und
m, Xi ∼ iid(µx , σx2 ), i = 1, . . . , n, Yj ∼ iid(µy , σy2 ), j = 1, . . . , m. Damit gilt unter µx = µy wegen des
zentralen Grenzwertsatzes bei konsistenter Varianzschätzung (σ̂x2 und σ̂y2 ):
X̄ − Ȳ
a
∼ N (0, 1).
Z=q
2
σ̂y2
σ̂x
n + m
Eine gute Näherung erfordert, dass beide Stichprobenumfänge n und m “groß” sind.
11.2
Einfache Varianzanalyse
Die einfache Varianzanalyse5 , oft auch als ANOVA (Analysis of Variance) bezeichnet, ist die Verallgemeinerung des Zweistichproben-t-Tests für den Mehrstichprobenfall. Im Zusammenhang mit der Varianzanalyse taucht eine neue Verteilung auf, die sog. F -Verteilung. Die F -Verteilung hängt nicht nur von einem,
sondern sogar von zwei Freiheitsgradparametern ab, siehe Tabelle G enthält 95%-Punkte in Abhängigkeit der Freiheitsgrade. In folgendem Testschema bezeichnet c die Anzahl der unabhängigen Stichproben,
5 “Einfach”
nicht in Abgrenzung zu „schwierig“, sondern im Unterschied zu einer hier nicht behandelten mehrfaktoriellen
Varianzanalyse.
11.3 Tests auf Verteilung
35
c ≥ 2, vom Umfang ni , i = 1, . . . , c. Die Gesamtzahl aller Beobachtungen wird mit n notiert. Vorausgesetzt wird genau wie beim 2-Stichproben-t-Test außer der Normalverteilung auch die Gleichheit der
Varianzen in allen Stichproben.
Varianzanalyse
Xij ∼ N (µi , σi2 ), i = 1, . . . , c und j = 1, . . . , ni , n =
Modell:
Pc
i=1
ni ,
Xij unabhängig, σ12 = σ22 = . . . = σc2
Hypothesen:
H0 : µ1 = µ2 = . . . = µc gegen
H1 : µi 6= µj für mindestens ein Paar (i, j), i 6= j
Pc
SSB = i=1 ni (X i − X)2
Pni
Pc Pni
mit X i = n1i j=1
Xij und X = n1 i=1 j=1
Xij
Pc Pni
2
SSW = i=1 j=1 (Xij − X i )
n − c SSB
F =
c − 1 SSW
Teststatistik:
Verteilung unter H0 :
F ∼ F (c − 1, n − c)
Testentscheidung:
H0 ablehnen, wenn
F > F (c − 1, n − c)1−α
In dieser schematischen Darstellung bezeichnet SSW die “sum of squares within”, d.h. die Quadratsumme
innerhalb der Stichproben. Als nächstes betrachten wir quadrierte Abweichungen der Stichprobenmittel
vom Gesamtmittel (X̄), genauer mit den Stichprobenumfängen gewichtet. Da hier quadrierte Abweichungen zwischen (”between”) den Stichproben aufsummiert werden, verwendet man die Abkürzung SSB für
“sum of squares between”:
SSB =
c
X
ni (X̄i − X̄)2 .
i=1
Die Varianzanalyse besteht dann einfach aus einer Evaluation folgender F-Statistik:
F
11.3
11.3.1
=
1
c−1 SSB
1
n−c SSW
=
n − c SSB
.
c − 1 SSW
Tests auf Verteilung
Normalverteilung (Schiefe und Kurtosis)
Die Nullhypothese der Normalverteilung impliziert
γ1 = 0 und
γ2 = 3.
Es ist bequem, mit den geschätzten Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten folgende Abkürzungen einzuführen:
√
√ (b
γ
b1
γ2 − 3)
n√
und Γ2 = n √
.
6
24
Der Test ist asymptotisch oder approximativ, denn es gilt mit wachsendem Stichprobenumfang für die
Γ1 =
Quadrate:
a
Γ21 ∼ χ2 (1) ,
a
Γ22 ∼ χ2 (1) und
a
JB = Γ21 + Γ22 ∼ χ2 (2).
36
11 WEITERE SPEZIELLE TESTPROBLEME
In der Ökonometrie wird die Summe der beiden Quadrate (JB) gern nach den Autoren Jarque und Bera
benannt. Abgelehnt zum Niveau α wird, falls die Prüfgrößen das entsprechende Quantil χ21−α überschreiten (mit 1 bzw. 2 Freiheitsgraden). Der Test lehnt also für zu große Werte ab.
11.3.2
χ2 -Anpassungstest
Diskrete Verteilungen lassen sich im Rahmen des χ2 -Anpassungstests direkt überprüfen, stetige Variablen
hingegen müssen klassiert werden. In der Klassierung steckt natürlich eine gewisse Willkür, die beim
Testen stetiger Verteilungen Schwierigkeiten mit sich bringt.
Testschema:
χ2 -Anpassungstest
Modell:
Xi , i = 1, . . . , n, i.i.d.,
aber keine spez. Verteilungsannahme
Hypothesen:
H0 : P (X = aj ) = pj bzw.
(0)
P (a∗j−1 < X ≤ a∗j ) = pj , j = 1, . . . , k gegen
(0)
H1 : Mindestens eine Wahrscheinlichkeit ist ungleich pj
2
Pk (nj − ñj )
(0)
χ2 = j=1
mit ñj = n · pj
ñj
Teststatistik:
(0)
nj = n(X = aj ) bzw. nj = n(a∗j−1 < X ≤ a∗j )
a
Verteilung unter H0 :
χ2 ∼ χ2 (ν) mit ν = k − 1 − `
H0 ablehnen, wenn
χ2 > χ2 (ν)1−α
Bemerkungen:
a) ñj ≥ 5 für Approximation, j = 1, . . . , k
b) ` ist die Anzahl der geschätzten Parameter
c) im Grunde gilt die Asymptotik nur für ` = 0
Die Prüfgröße beruht auf dem Vergleich von tatsächlich beobachteten Häufigkeiten mit den unter H0 zu
erwartenden Häufigkeiten. Da diese Abweichungen quadriert werden, führt die Teststatistik (approximativ) auf eine χ2 -Verteilung mit ν Freiheitsgraden.
Im Rahmen des χ2 -Anpassungstests werden überdies zwei Varianten unterschieden:
• vollspezifizierte Verteilungen in der Hypothese H0 (` = 0) und
• Verteilungen mit ` unter H0 unbekannten Parametern, die geschätzt werden müssen; in dem Fall
wird mit den Quantilen der χ2 (k − 1 − `)-Verteilung gearbeitet.
11.4
11.4.1
Zusammenhangsanalysen
χ2 -Unabhängigkeitstest
Der χ2 -Unabhängigkeitstest ist ein Test zur Überprüfung der Unabhängigkeit zweier Merkmale auf Basis
einer Kontingenztabelle oder Kreuztabelle, vgl. Kapitel 3.
11.4 Zusammenhangsanalysen
37
Testschema:
χ2 -Unabhängigkeitstest
Modell:
(Xi , Yi ) i.i.d., i = 1, . . . , n
gruppiert in (k × `)-Kontingenztabelle
Hypothesen:
H0 : X und Y unabhängig
H1 : X und Y abhängig
Pk P` (nij − ñij )2
χ2 = i=1 j=1
ñij
ni• · n•j
mit ñij =
n
und den Randhäufigkeiten ni• und n•j
Teststatistik:
11.4.2
a
Verteilung unter H0 :
χ2 ∼ χ2 (ν) mit ν = (k − 1) · (` − 1)
H0 ablehnen, wenn
χ2 > χ2 (ν)1−α
Bemerkungen:
ñij ≥ 5 für Approximation, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , `
Test auf Unkorreliertheit
Testschema:
Test auf Unkorreliertheit bei Normalverteilung
Modell:
(Xi , Yi ) i.i.d. normalverteilt, i = 1, . . . , n
Hypothesen:
a) H0 : ρxy = 0 gegen H1 : ρxy 6= 0
b) H0 : ρxy ≤ 0 gegen H1 : ρxy > 0
Teststatistik:
c) H0 : ρxy ≥ 0 gegen H1 : ρxy < 0
√
rxy
T =q
n−2
2
1 − rxy
Verteilung unter ρxy = 0:
T ∼ t(ν) mit ν = n − 2
Testentscheidung:
a) |T | > t(n − 2)1−α/2
H0 ablehnen, wenn
b) T > t(n − 2)1−α
c) T < −t(n − 2)1−α
38
11 WEITERE SPEZIELLE TESTPROBLEME
Testschema:
Approximativer Test auf Unkorreliertheit
Modell:
(Xi , Yi ) i.i.d., i = 1, . . . , n
Hypothesen:
a) H0 : ρxy = 0 gegen H1 : ρxy 6= 0
b) H0 : ρxy ≤ 0 gegen H1 : ρxy > 0
Teststatistik:
c) H0 : ρxy ≥ 0 gegen H1 : ρxy < 0
√
Z = rxy n
Verteilung unter ρxy = 0:
Z ∼ N (0, 1)
Testentscheidung:
a) |Z| > z1−α/2
H0 ablehnen, wenn
b) Z > z1−α
a
c) Z < −z1−α
39
12
Das lineare Regressionsmodell
In diesem Kapitel soll die Veränderung einer metrischen Variablen Y in Abhängigkeit der Variablen X
untersucht werden. Dabei beschränken wir uns auf lineare Abhängigkeiten.
12.1
Einfachregression
Das Modell der linearen Einfachregression lautet folgendermaßen:
Yi = a + b xi + εi , i = 1, . . . , n.
(12.1)
Dabei sind a und b die skalaren Parameter der Regressionsgeraden, die es auf der Basis einer bivariaten
Stichprobe (xi , yi ), i = 1, . . . , n, zu schätzen oder zu testen gilt. Die Regressoren xi sind fest gegeben und
εi sind die sog. Fehler- oder Störterme, d.h. nicht kontrollierbare Zufallsvariablen. Über diese Störterme
werden die folgenden Annahmen getroffen:
a) εi sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.),
b) E(εi ) = 0 und V ar(εi ) = σ 2 ,
c) εi sind normalverteilt, d.h. εi ∼ N (0, σ 2 ).
Die Gleichheit der Varianzen der Störterme bezeichnet man als Homoskedastizität. Ist diese Annahme
nicht erfüllt, spricht man von Heteroskedastizität. Die Annahme der Normalverteilung ist nur für das
Testen relevant; sie kann ersetzt werden durch die Annahme eines großen Stichprobenumfangs n, um
approximative Standardnormalverteilungs- an Stelle von t-Tests durchzuführen.
Die Schätzung der Parameter nach der Methode der Kleinsten Quadrate (KQ-Methode) ist schon bekannt.
Als Schätzer für a und b ergeben sich auf diese Weise:
b̂ =
dy
dxy
= rxy
d2x
dx
â = Y − b̂ · x
und
mit
n
dxy
=
1X
(xi − x)(Yi − Y ) = xY − x · Y
n i=1
d2x
=
1X
(xi − x)2 = x2 − x2
n i=1
=
1X
2
(Yi − Y )2 = Y 2 − Y
n i=1
n
mit
n
1X
xi · Yi ,
n i=1
n
mit
n
d2y
xY =
x2 =
1X 2
x
n i=1 i
und
n
mit
1X 2
Y =
Y .
n i=1 i
2
Daraus ergibt sich bekanntlich die geschätzte Regressionsgerade, ŷ = â + b̂ · x, mit den Residuen (geschätzten Störtermen): ε̂i = Yi − ŷi . Aus ihnen lässt sich die Varianz der Störterme schätzen:
n
σ̂ 2 =
1 X 2
ε̂ .
n − 2 i=1 i
Die Schätzfunktionen für die Parameter a, b und σ 2 sind erwartungstreu,
E(â) = a , E(b̂) = b und E(σ̂ 2 ) = σ 2 .
40
12 DAS LINEARE REGRESSIONSMODELL
Des weiteren sind die Schätzer konsistent, wenn ihre Varianz gegen Null strebt für n → ∞:
Var(â) = σa2 = σ 2 ·
x2
nd2x
und
Var(b̂) = σb2 = σ 2 ·
1
.
nd2x
Auch der Schätzer σ̂ 2 ist konsistent für die Residuenvarianz.
Wir erinnern uns überdies zur Modellbeurteilung an das sog. Bestimmtheitsmaß als Anteil der durch die
Regression erklärten Varianz im Verhältnis zur Gesamtvarianz:
Pn 2
Pn
2
ε̂
i=1 (ŷi − Ŷ )
R = Pn
= 1 − Pn i=1 i 2 .
2
i=1 (Yi − Y )
i=1 (Yi − Y )
2
Wegen ε̂ = 0 gilt übrigens: Ŷ = Y .
12.2
Parametertests
Es können auch Hypothesen über die Parameter der linearen Regression getestet werden. Die resultierenden Prüfgrößen sind bei Annahme der Normalverteilung wieder t-verteilt.
Testschema:
t-Test auf a und b
Modell:
Yi = a + bxi + εi ,
εi ∼ N (0, σ 2 ), i.i.d., i = 1, . . . , n
Hypothesen:
a) H0 : b = b0 gegen H1 : b 6= b0 bzw.
H0 : a = a0 gegen H1 : a 6= a0
b) H0 : b ≤ b0 gegen H1 : b > b0 bzw.
H0 : a ≤ a0 gegen H1 : a > a0
c) H0 : b ≥ b0 gegen H1 : b < b0 bzw.
H0 : a ≥ a0 gegen H1 : a < a0
Verteilung:
b̂ − b0
â − a0
bzw. Ta =
σ̂b
σ̂a
Tb ∼ t(n − 2) bzw. Ta ∼ t(n − 2)
Testentscheidung:
a) |Tb | > t(n − 2)1−α/2 bzw. |Ta | > t(n − 2)1−α/2
H0 ablehnen, wenn
b) Tb > t(n − 2)1−α bzw. Ta > t(n − 2)1−α
Teststatistiken:
Tb =
c) Tb < −t(n − 2)1−α bzw. Ta < −t(n − 2)1−α
Die in der Praxis wichtigste Hypothese ist H0 : b = 0, was inhaltlich mit der Frage verbunden ist, ob die
Variable X überhaupt einen signifikanten Einfluss auf Y hat. Man kann zeigen, dass für b0 = 0 gilt:
√
rxy
Tb = q
n − 2,
2
1 − rxy
d.h. der Test auf b = 0 (kein linearer Zusammenhang) entspricht gerade dem Test auf Unkorreliertheit aus
Abschnitt 11.4. Wie dort erläutert, lassen sich auch im linearen Regressionsmodell statt Tests auf Basis
der t-Verteilung auch Tests auf Basis approximativer Standardnormalverteilung für großes n durchführen.
12.3 Multiple Regression
12.3
41
Multiple Regression
Nunmehr soll yi nicht nur durch ein skalares xi und einen konstanten Achsenabschnitt, sondern durch
mehr Regressoren erklärt werden:
Yi = β1 + β2 xi,2 + . . . + βK xi,K + εi .
(12.2)
Über den Fehlerterm εi erhalten wir die obigen Annahmen aufrecht, insbesondere E(εi ) = 0. Dann lässt
sich der Erwartungswert von Yi mit den (Spalten)Vektoren

1


 xi,2
xi = 
 ..
 .

xi,K











 β2
β=
 ..
 .

βK
und

β1







der Länge K etwas flotter schreiben als
x0i β = β1 + β2 xi,2 + . . . + βK xi,K ,
(12.3)
wobei x0i die Transposition von xi bezeichnet. Noch kompakter lässt sich das Modell in Matrix-Schreibweise
notieren:
y =Xβ+ε
mit



y=


Y1
..
.







ε=

Yn
ε1
..
.
(12.4)








X=

x01
..
.



.

x0n
εn
Multipliziert man das Modell von links mit X 0 ,
X 0y = X 0X β + X 0ε ,
so suggeriert E(ε) = 0 die Vernachlässigung des zweiten Summanden der rechten Seite. Löst man nach β
auf (wobei wir unterstellen, dass X linear unabhängige Spalten hat),
βb = (X 0 X)−1 X 0 y ,
(12.5)
so erhält man gerade den KQ-Schätzer! (Dies ist eine Eselsbrücke, kein Beweis.) Wir vereinbaren nun,
das k-te Hauptdiagonalelement einer quadratischen Matrix A durch
[A]kk ,
k = 1, . . . , K ,
zu bezeichnen. Dann lässt sich für die Varianz der KQ-Schätzer zeigen:
£
¤
σk2 = Var(βbk ) = σ 2 (X 0 X)−1 kk ,
k = 1, . . . , K.
(12.6)
Die unbekannte Störtermvarianz σ 2 kann wieder konsistent aus den Residuen geschätzt werden durch
σ
b2 =
wobei εbi = Yi − x0i β̂ ist.
n
1 X 2
εb ,
n − K i=1 i
(12.7)
42
12 DAS LINEARE REGRESSIONSMODELL
(0)
Parametertests auf einen Wert βk
beruhen auf der t-Statistik,
Tk =
(0)
βbk − βk
,
σ
bk
k = 1, . . . K,
(12.8)
wobei in σ̂k2 die Varianz σ 2 durch die Schätzung σ̂ 2 ersetzt wird. Stimmt der wahre Parameterwert mit
(0)
βk
überein, so gilt bei Annahme normalverteilter Störterme :
Tk ∼ t(n − K),
k = 1, . . . , K.
Schließlich behält das Bestimmtheitsmaß seine übliche Definition und Interpretation. Es kann auch herangezogen werden, um formal zu testen, ob alle Regressoren (außer der Konstanten, d.h. x2 bis xK )
gemeinsam einen Einfluss auf Yi haben, d.h. signifikant zur Erklärung beitragen. Die Nullhypothese lautet, dass dies nicht der Fall ist,
H0 : β2 = · · · = βK = 0 .
Unter H0 passt sich also Yi nicht den Erklärenden xi,2 bis xi,K an. Die Gegenhypothese ist gerade die
logische Verneinung hiervon: mindestens einer der Regressoren hat einen Erklärungsbeitrag für Yi . Die
auf dem Bestimmtheitsmaß basierende Teststatistik lautet
F =
R2 n − K
.
1 − R2 K − 1
(12.9)
Unter H0 folgt sie bei Annahme normalverteilter Daten einer F -Verteilung mit den Freiheitsgradparametern (K − 1, n − K). Man nennt daher diesen Test auf die Güte der Anpassung auch Anpassungs-F -Test.
Statt mit Quantilen der F-Verteilungen aus Tabelle G, die von zwei Freiheitsgradparametern abhängen,
zu arbeiten, kann man auch asymptotisch mit der χ2 -Verteilung argumentieren:
a
χ2 = nR2 ∼ χ2 (K − 1).
(12.10)
Man beachte, dass die Anzahl der Freiheitsgrade (K −1) gerade mit der Anzahl der unter H0 restringierten
Parameter überein stimmt.
Tutoriumsaufgaben
13
43
Tutoriumsaufgaben
Mitunter bitten uns Studierende um mehr Übungsaufgaben. Wir verweisen da auf die angegebene Lehrbuchliteratur. Die genannten Titel enthalten viele weitere Aufgaben, zum großen Teil mit Lösungen.
Aufgabe 1
Welches Skalenniveau haben die Variablen des folgenden Fragebogens? Geben Sie an, ob sie diskret oder
stetig sind.
Fragebogen
1
Geburtsjahr
2
Geschlecht
3
Körpergröße
cm
4
Gewicht
kg
5
Studienfach
6
Im wievielten Fachsemester studieren Sie
o weiblich
o männlich
o BWL
o VWL
o Wipäd
am FB Wirtschaftswissenschaft?
7
Bei welchem Wert steht Ihrer Meinung der Euro/Dollar
Wechselkurs am 1. Dezember diesen Jahres?
8
$/e
Bei welchem Wert steht Ihrer Meinung der DAX
am 1. Dezember diesen Jahres?
Punkte
Aufgabe 2
In der folgenden Tabelle ist angegeben, wieviel Tore Eintracht Frankfurt in der Saison 2002/2003 geschossen hat.
4
2
2
2
0
2
2
0
2
4
3
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
3
2
2
1
2
1
3
0
0
2
4
2
6
Die Variable X bezeichne die Anzahl der Tore pro Spiel.
a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle für die 34 Beobachtungen.
b) Zeichnen Sie das zugehörige Stabdiagramm.
44
Tutoriumsaufgaben
c) Berechnen Sie folgende relative Häufigkeiten und interpretieren Sie sie inhaltlich:
H(X ≤ 1), H(X > 2), H(X < 2) und H(X ≤ 2.5).
d) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion F̂ .
Lösungshinweise: c) H(X≤1)=0.4706; H(X>2)=0.2059; H(X<2)=0.4706; H(X≤2.5)=0.7941
Aufgabe 3
Einer Tageszeitung sind jeweils 25 Anzeigen für 2-Zimmer-Wohnungen in A-Stadt und B-Dorf entnommen. Die Angaben beziehen sich auf die Warmmiete (in e) für die entsprechenden Wohnungen.
A-Stadt
Miete (X) für 2-Zimmer-Wohnungen (28 bis 62 m2 )
509
548
526
472
650
550
370
560
426
593
541
1280
661
586
645
600
595
638
649
695
632
580
1060
835
613
Klasseneinteilung: 350, 500, 550, 600, 800 und 1300
B-Dorf
Miete (Y ) für 2-Zimmer-Wohnungen (27 bis 50 m2 )
730
693
593
435
596
695
681
614
680
553
752
1100
1197
682
738
650
922
614
697
947
750
797
897
998
995
Klasseneinteilung: 400, 600, 650, 750, 950 und 1200
a) Erstellen Sie jeweils eine Häufigkeitstabelle für A-Stadt und B-Dorf mit den gegebenen Klasseneinteilungen.
b) Zeichnen Sie die zugehörigen Histogramme.
c) Stellen Sie die empirischen Verteilungsfunktionen F̂x und F̂y graphisch dar.
d) Bestimmen Sie F̂x (700) und F̂y (700) rechnerisch und zeichnerisch. Was bedeuten diese Werte inhaltlich?
e) Wie groß ist jeweils der Anteil der Wohnungen, bei dem die Miete zwischen 500 und 750 e liegt?
Lösungshinweise: d) F̂x (700)=72%; F̂y (700)=46% e) A-Stadt=68%; B-Dorf=56%
Tutoriumsaufgaben
45
Aufgabe 4
Berechnen Sie auf Basis der Häufigkeitstabelle die durchschnittliche Zahl der geschossenen Tore aus
Aufgabe 2.
Lösungshinweise: x̄=1.74
Aufgabe 5
Bestimmen Sie die Durchschnittsmieten für A-Stadt und B-Dorf anhand der Häufigkeitstabellen (siehe
Aufgabe 3). Geben Sie auch die Mediane an.
Lösungshinweise: x̄A =644; x̄B =749; M edianA =587.5; M edianB =711.1̄
Aufgabe 6
a) Bestimmen Sie die mittlere quadratische Abweichung d2x auf Basis der Rohdaten für die Zahl der
geschossenen Tore aus Aufgabe 2.
b) Wie würde sich die mittlere quadratische Abweichung ändern, wenn die Mannschaft doppelt so viele
Tore pro Spiel geschossen hätte?
c) Wie würde sich die mittlere quadratische Abweichung ändern, wenn die Mannschaft pro Spiel ein
Tor mehr geschossen hätte?
Lösungshinweise: a) d2x =1.84 b) d2x =7.37 c) d2x =1.84
Aufgabe 7
Betrachten wir nun das Datenbeispiel aus Aufgabe 3 (Warmmieten für 2-Zimmer-Wohnungen in AStadt und B-Dorf). Vergleichen Sie die beiden Orte hinsichtlich ihrer Lage- und Streuungsunterschiede
(arithmetisches Mittel, Median, mittlere quadratische Abweichung und Interquartilsabstand).
Lösungshinweise: A-Stadt/B-Dorf: x̄=644/749; d2x =30514/31674; Median=587.50/711.10(595/697);
IQA=186.25/222.50(101/247).
Aufgabe 8
Veranschaulichen Sie die Verteilungen der Warmmieten in A-Stadt und B-Dorf (siehe Aufgabe 3) mit
Hilfe von Boxplots.
Aufgabe 9
In einer achtköpfigen WG leben vier Berufstätige und vier Studenten. Zwei der Berufstätigen beziehen 3
(Tausend) e, und je einer bezieht 4 und 7 (Tausend) e Brutto-Monatseinkommen.
a) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten der vier Einkommensbezieher.
46
Tutoriumsaufgaben
b) Nehmen wir an, von den vier Studenten beziehen nach dem Eintritt ins Berufsleben ebenfalls zwei
3 (Tausend) e und je einer 4 und 7 (Tausend) e Brutto-Monatseinkommen. Wie lautet dann der
Gini-Koeffizient für alle acht WG-Bewohner (ohne Rechnung!)?
Lösungshinweise: a) G = 0.1912; b) G = 0.1912
Aufgabe 10
Eine Zeitreihe sei (idealer- oder näherungsweise) durch xt = a + b t gegeben. Bestimmen Sie die Wachstumsrate. Wie verhält sich diese mit wachsendem t?
b
a−b+bt
Lösungshinweise: rt =
→0
Aufgabe 11
Eine Zeitreihe sei (idealer- oder näherungsweise) durch xt = a e0.01 t gegeben. Bestimmen Sie die Wachstumsrate exakt und approximativ über die logarithmische Approximation.
Lösungshinweise: rt = e0.01 − 1 ≈ 0.01
Aufgabe 12
250 Studierende schrieben in einem Semester sowohl die Finanzenklausur (OFIN) als auch die MatheKlausur (OMAT). Die Durchfallquote in OFIN betrug 24%, in OMAT 32%. 30 Studierende bestanden
beide Klausuren nicht.
a) Stellen Sie die Kontingenztabelle auf.
b) Wie groß ist der Anteil der Studierenden, die OFIN bestanden haben, unter denen, die OMAT
bestanden haben?
c) Wie groß ist der Anteil der Studierenden, die durch OMAT durchgefallen sind, unter denen, die
OFIN nicht bestanden haben?
Lösungshinweise: b) 0.824 c) 0.5
Aufgabe 13
In der folgenden Tabelle sind die Prognosen X und das tatsächliche Wachstum Y des Bruttosozialprodukts der Jahre 1980 bis 1989 für die Bundesrepublik Deutschland aufgeführt:
Jahr
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
xi
2.5
0.0
1.0
0.0
2.0
2.0
3.0
3.0
2.0
2.0
yi
1.5
0.0
-1.0
1.9
3.3
1.9
2.3
1.6
3.7
3.9
Tutoriumsaufgaben
47
a) Stellen Sie die Daten in einem Streudiagramm dar.
b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösungshinweise: b) rxy =0.437
Aufgabe 14
Stellen Sie die folgenden Aussagen über die Ereignisse A, B und C in Venn-Diagrammen und in symbolischer Schreibweise dar:
a) Die Ereignisse A und B können nicht gleichzeitig eintreten.
b) Immer wenn A eintritt, tritt auch B ein.
c) B tritt nur ein, wenn auch A eintritt.
d) C tritt genau dann ein, wenn A und B eintreten.
e) C tritt genau dann ein, wenn zwar A, aber nicht B eintritt.
Lösungshinweise: a) A ∩ B = ∅ b) A ⊆ B c) B ⊆ A d) A ∩ B = C e) C = A \ B
Aufgabe 15
Wir betrachten die Studenten eines Fachbereichs. Sie müssen jeweils eine Klausur in Statistik und eine in
Mathematik bestehen. 80% der Studenten bestehen Statistik und 90% Mathe. 95% bestehen mindestens
eine der Klausuren.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Hörer beide Klausuren besteht?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hörer weder die Statistik- noch die Matheklausur
besteht?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hörer Statistik aber nicht Mathe besteht?
Lösungshinweise: a) 0.75 b) 0.05 c) 0.05
Aufgabe 16
Bei einer Analyse des Bekanntheitsgrades von zwei Markenartikeln ergab sich, dass 25% der Personen die
Marke A und 15% die Marke B kennen. 10% kennen beide Marken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass jemand
a) mindestens eine der beiden Marken kennt?
b) nur Marke A kennt?
48
Tutoriumsaufgaben
c) keine der beiden Marken kennt?
d) genau eine Marke kennt?
Lösungshinweise: a) 0.3 b) 0.15 c) 0.7 d) 0.2
Aufgabe 17
Betrachten wir noch einmal die Aufgabe 15:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hörer, der die Statistikklausur bestanden hat, auch
die Matheklausur besteht?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hörer, der mindestens eine der beiden Klausuren
bestanden hat, auch die andere besteht?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hörer, der die Matheklausur nicht bestanden hat, auch
die Statistikklausur nicht besteht?
Lösungshinweise: a) 0.9375 b) 0.7895 c) 0.5
Aufgabe 18
Von den am Montag produzierten Autos einer Marke weisen 4 Prozent innerhalb des ersten Jahres
erhebliche Mängel auf. Bei den am Freitag produzierten Autos sind es 3 Prozent und bei den an den
restlichen Werktagen produzierten Autos sind es 1 Prozent. An jedem Werktag wird die gleiche Zahl von
Autos produziert.
a) Ein zufällig aus der Produktion einer Woche ausgewählter Wagen sei nicht in Ordnung. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass er am Montag produziert wurde?
b) Welches Ergebnis erhalten Sie, wenn am Freitag 12 Prozent der Autos produziert werden, und die
restliche Produktion sich gleichmäßig auf die 4 übrigen Werktage verteilt?
Lösungshinweise: a) 0.4 b) 0.46
Aufgabe 19
Ein meteorologisches Institut sagt mit Wahrscheinlichkeit 0.5 das Wetter richtig voraus, ein anderes trifft
seine Voraussage unabhängig vom ersten mit der Wahrscheinlichkeit 0.6.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Institute das Wetter richtig voraussagen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Institute das Wetter richtig voraussagen, wenn man
weiß, dass mindestens eines der Institute das Wetter richtig vorausgessagt hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der beiden Institute das Wetter richtig voraussagt.
Tutoriumsaufgaben
49
Lösungshinweise: a) 0.3 b) 0.375 c) 0.5
Aufgabe 20
Man nehme an, dass Jungen- und Mädchengeburten gleichwahrscheinlich sind, und Unabhängigkeit zwischen verschiedenen Geburten bestehe. Sei X die Anzahl der Mädchen bei drei Geburten.
a) Welche Werte kann X annehmen?
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
c) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F .
d) Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
i)
P(X ≤ 1)
ii)
P(X > 2)
iii)
P(1 < X < 3)
iv)
P(X > 5)
1
3
1
1
3
Lösungshinweise: a) {0, 1, 2, 3} b) f(0)=f(3)= ; f(1)=f(2)= d) i) ii) iii) iv) 0
8
8
2
8
8
Aufgabe 21

 a·x
Die Zufallsvariable X besitze eine Dichtefunktion der Gestalt f (x) =
 0
für 0 ≤ x ≤ 1
.
sonst
a) Bestimmen Sie die Konstante a.
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion F an.
c) Zeichnen Sie Dichte- und Verteilungsfunktion.
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X Werte größer als 0.5 an?





0
a 2
Lösungshinweise: a) a=2 b) F(x)=
x

2



1
x<0
0 ≤ x ≤ 1 d) 0.75
x>1
Aufgabe 22
Ein Tankstellenbesitzer hat über die vergangenen 100 Monate den monatlichen Benzinverkauf X (in
Millionen Liter) beobachtet und in der folgenden Tabelle festgehalten:
50
Tutoriumsaufgaben
j
a∗j−1 < X ≤ a∗j
nj
1
0 - 0.1
40
2
0.1 - 0.2
25
3
0.2 - 0.3
15
4
0.3 - 0.4
8
5
0.4 - 0.5
5
6
0.5 - 0.6
2
7
0.6 - 0.7
2
8
0.7 - 0.8
1
9
0.8 - 0.9
1
10
0.9 - 1
1
hj
∆j
fˆ(x)
F̂ (a∗j )
a) Ergänzen Sie die Tabelle.
b) Zeichnen Sie das Histogramm und die empirische Verteilungsfunktion F̂ .
c) Wie groß ist der Anteil der Monate, bei dem der monatliche Benzinverkauf über 250 000 Liter liegt?
d) Berechnen Sie F̂ (0.5) − F̂ (0.3) und interpretieren Sie das Ergebnis inhaltlich.
Lösungshinweise: c) 0.275 d) 13%
Aufgabe 23
Gegeben sei die Funktion

 1 x für 0 ≤ x ≤ 2
2
f (x) =
.
 0
sonst
a) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F .
c) Stellen Sie die Dichte- und die Verteilungsfunktion graphisch dar.
d) Berechnen Sie P(X ≤ 1), P(X > 0.5), P(0.5 ≤ X ≤ 1) und P(1 < X ≤ 3).





Lösungshinweise: b) F(x)=




0
1 2
4x
1
x≤0
15
3
3
1
0 < x ≤ 2 d) P(X≤1)= ; P(X>0.5)= ; P(0.5≤X≤1)= ; P(1<X≤3)=
4
16
16
4
x>2
Aufgabe 24
Die Anzahl der in einer Werkstatt pro Stunde abgefertigten Autos X besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Tutoriumsaufgaben
51
X=x
P(X = x)
0
0.5
1
0.3
2
0.2
a) Wie groß ist die erwartete Zahl der pro Stunde reparierten Autos?
b) Bestimmen Sie die Varianz und die Standardabweichung der in einer Stunde reparierten Autos.
Lösungshinweise: a) E(X)= 0.7 b) Var(X)=0.61; σx =0.781
Aufgabe 25
a) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Mädchen bei drei Geburten (siehe Aufgabe
20).
b) Geben Sie die Varianz und Standardabweichung für die Anzahl der Mädchengeburten an.
Lösungshinweise: a) E(X)=1.5 b) Var(X)=0.75; σx =0.866
Aufgabe 26
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Zufallsvariable X aus Aufgabe 23.
b) Welche Werte ergeben sich für den Median und die Varianz?
Lösungshinweise: a) E(X)=
√
4
2
b) x0.5 = 2; σx2 =
3
9
Aufgabe 27
Berechnen Sie für den monatlichen Benzinverbrauch aus Aufgabe 22 das arithmetische Mittel, den Median,
die mittlere quadratische Abweichung und den Interquartilsabstand.
Lösungshinweise: x̄=0.195; x0.5 =0.14; d2x =0.0343; IQA=0.2042
Aufgabe 28
Für ein Skispringen wird die Reihenfolge ausgelost, in der die 80 gemeldeten Springer die Qualifikation
bestreiten. Die Zufallsvariable X bezeichne die ausgeloste Startnummer des Springers Fritz Weitflug.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fritz Weitflug als Erster springen muss?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Startnummer von 1 bis 10 zugelost bekommt?
c) Geben Sie die Standardabweichung von X an.
52
Tutoriumsaufgaben
Lösungshinweise: a)
1
1
b) c) 23.0922
80
8
Aufgabe 29
In einem Team mit 20 Personen fehlen durchschnittlich zwei Personen krankheitsbedingt. X sei die Anzahl
der fehlenden Personen im Team und die sei binomialverteilt.
a) Geben Sie n und p der Binomialverteilung an.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
i) mehr als vier Personen fehlen,
ii) höchstens fünf Personen fehlen bzw.
iii) mindestens eine, aber höchstens drei Personen fehlen?
c) Bestimmen Sie die Varianz von X.
Lösungshinweise: a) n=20; p=0.1 b) i) 0.0432 ii) 0.9887 iii) 0.7454 c) 1.8
Aufgabe 30
Aus Erfahrung weiß man, dass die Anzahl der täglichen Störfälle in einer technischen Anlage gut durch
eine Poissonverteilung mit λ = 0.4 modelliert werden kann.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
i) an einem Tag kein Störfall auftaucht,
ii) mehr als zwei Störfälle passieren bzw.
iii) mindestens eine, aber höchstens vier Störungen auftreten?
b) Wieviele Störungen kann man bei 10 Tagen erwarten?
Lösungshinweise: a) i) 0.6703 ii) 0.0079 iii) 0.3296 b) 4
Aufgabe 31
Eine U-Bahnlinie fahre im 6-Minuten-Takt. Die Wartezeit X (in Minuten) eines Studenten, der zur UBahn geht, ohne den Fahrplan zu kennen, ist gleichverteilt auf dem Intervall [ 0, 6 ], wenn man voraussetzt,
dass der Fahrplan tatsächlich eingehalten wird.
a) Geben Sie die Verteilungsfunktion F an.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als vier Minuten zu warten?
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert, den Median und die Standardabweichung von X.
Tutoriumsaufgaben
53


0

x<0


√
1
1
Lösungshinweise: a) F (x) =
x 0 ≤ x ≤ 6 b) c) E(X)=3; x0.5 = 3; σx = 3
 6
3



x>6
1
Aufgabe 32
Eine Autowerkstatt für Auspuffschnellreparaturen hat über einen längeren Zeitraum anhand betrieblicher
Aufzeichnungen ermittelt, dass die Reparaturzeiten in guter Annäherung exponentialverteilt sind. Die
Abfertigungsrate beträgt λ = 0.5 (Pkw/Std.).
a) Skizzieren Sie den Verlauf der Dichtefunktion f und der Verteilungsfunktion F .
b) Die Werkstatt wirbt mit dem Slogan „In einer Stunde haben Sie für Jahre Ruhe!“. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Reparatur länger als eine Stunde dauert?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss ein Kunde länger als eine Stunde, aber höchstens drei Stunden
auf seinen Wagen warten?
d) Welche Reparaturzeit wird in 50% aller Fälle nicht überschritten?
Lösungshinweise: b) 0.6065 c) 0.3834 d) 1.3863
Aufgabe 33
Intelligenztests sind i.d.R. so konstruiert, dass die IQ-Punkte angenähert normalverteilt sind. Bei einem
bestimmten Test sind die Parameter µ = 110 und σ = 10.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ von höchstens
120 hat?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ von mehr als
130 hat?
c) Welcher IQ wird von lediglich 25% der Personen überschritten?
Lösungshinweise: a) 0.8413 b) 0.0228 c) 116.745
Aufgabe 34
Der Feingoldgehalt von Goldkilobarren (X, in g) einer Goldschmelzerei beträgt im Mittel 990 Gramm. Aus
vielerlei Gründen gibt es immer Abweichungen des tatsächlichen Gewichtes an Feingold in den Barren.
Bei der Goldschmelzerei wird mit einer Standardabweichung von 1,5 Gramm gearbeitet. Erfahrungen
zeigen, dass der Feingehalt als normalverteilt angesehen werden kann.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Barren mindestens 987,5 Gramm Feingold enthält?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Barren mehr als 990, aber weniger als 992
Gramm Feingold befinden?
54
Tutoriumsaufgaben
c) Welche untere Grenze an Feingold wird von 33% der Barren nicht eingehalten?
d) Wie lauten die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls für den Feingehalt an Gold, in das
95% der Barren fallen?
Lösungshinweise: a) p=0.9525 b) p=0.4082 c) x0.33 =989.3402 d) ZSI=[987.06;992.94]
Aufgabe 35
Es sei angenommen, dass das Körpergewicht X der Studentinnen an einem Fachbereich normalverteilt ist
mit µx = 60 kg und σx = 7, 5 kg. Bei den männlichen Studierenden sei für das Gewicht Y eine Normalverteilung mit µy = 75 kg und σy = 10 kg unterstellt. Es treffen sich in einem Fahrstuhl des Fachbereichs
zufällig fünf Studentinnen, in einem anderen zufällig vier Studenten (d.h. männliche Studierende). Das
Gewicht von Kleidung und Taschen soll nicht mit in die Betrachtung einbezogen werden.
a) Für welchen der beiden Fahrstühle ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass ein Gesamtgewicht der
Personen von 300 kg überschritten wird?
b) Betrachten wir nun 320 kg als „Schwellenwert“. Wie sieht jetzt die Wahrscheinlichkeitskonstellation
aus?
Lösungshinweise: a) pw =0.5; pm =0.5 b) pw =0.117; pm =0.1587
Aufgabe 36
Für die Fertigungszeit Xi (in Sekunden) eines bestimmten Artikels in einer Produktionsserie sei eine
Normalverteilung mit µ = 12 und σ = 2 unterstellt.
a) Wie groß ist der Umfang n einer Zufallsstichprobe von Artikeln zu wählen, damit die Standardabweichung der durchschnittlichen Fertigungszeit bei 0.1 liegt?
b) Ab welchem Stichprobenumfang n ist die Länge des 95%-igen, zentralen Schwankungsintervalls der
durchschnittlichen Fertigungszeit höchstens 0.05?
Lösungshinweise: a) n=400 b) n=24587
Aufgabe 37
Ein Unternehmen des öffentlichen Personennahverkehrs geht davon aus, dass 5% der Fahrgäste Schwarzfahrer sind. Bei einer Kontrolle werden n = 100 Personen überprüft.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Kontrolle höchstens drei Personen schwarz fahren.
Rechnen Sie (i) approximativ über den zentralen Grenzwertsatz, mit und ohne Stetigkeitskorrektur, und
(ii) approximativ über die Poisson-Verteilung, und (iii) exakt.
Lösungshinweise: papproximativ =0.1788; pkorrigiert =0.2451; ppoisson =0.2650; pgenau =0.2578
Tutoriumsaufgaben
55
Aufgabe 38
Für den Parameter b einer auf dem Intervall [ 0, b ] gleichverteilten Zufallsvariablen werden folgende
Schätzfunktionen vorgeschlagen, wobei X1 , . . . , Xn unabhängig sind:
n
g1 (X1 , . . . , Xn ) =
2X
Xi ,
n i=1
g2 (X1 , . . . , Xn ) =
X1 + Xn ,
g3 (X1 , . . . , Xn ) =
Xn .
a) Welche der Schätzfunktionen sind erwartungstreu bzw. asymptotisch erwartungstreu?
b) Welche der Schätzfunktionen sind konsistent?
c) Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen hat die kleinste Varianz (d.h. ist die effizienteste)?
Lösungshinweise: g1 : e-treu, kons.; g2 : e-treu, inkons.; g3 : nicht e-treu, inkons. c) g1
Aufgabe 39
Die Ökonomen Dr. Utility und Dr. Surplus haben zwei verschiedene und statistisch unabhängige Schätzungen µ̂1 und µ̂2 für µ, das durchschnittliche Einkommen von Unterschichtfamilien in den USA, entwickelt. Beide Schätzfunktionen sind unverzerrt. Jedoch hat Dr. Surplus sorgfältiger gearbeitet, denn die
Standardabweichung von µ̂1 ist fünfmal so groß wie die Standardabweichung von µ̂2 . Eine Gruppe von
Statistikern hat vier Vorschläge erarbeitet, um µ̂1 und µ̂2 zu einer gemeinsamen Schätzung zu verbinden:
1)
µ̂1
2)
µ̂3 = 1/2 · (µ̂1 + µ̂2 )
3)
µ̂4 = 1/5 · µ̂1 + 4/5 · µ̂2
4)
µ̂5 = 1/6 · µ̂1 + 5/6 · µ̂2
a) Ordnen Sie die vier Vorschäge nach wachsender Effizienz.
b) Wie lautet die erwartungstreue Kombination von µ̂1 und µ̂2 mit der kleinsten Varianz?
Lösungshinweise: a) Var(µ̂5 )<Var(µ̂4 )<Var(µ̂3 )<Var(µ̂1 ) b) Var(µ̂∗ )=λ2 25σ 2 + (1 − λ)2 σ 2 ; λ =
1
26
Aufgabe 40
Für jemanden, der ohne Kenntnis der Fahrzeiten zufällig zum U-Bahnhof Bockenheimer Warte geht, kann
die Wartezeit X auf den Zug als stetig gleichverteilt auf dem Intervall [ 0, b ] angenommen werden, b > 0.
Ein zerstreuter Professor, der sich den Fahrplan nicht merken kann, wartet an fünf Tagen
4.5, 3.0, 8.2, 5.7 und 6.6 Minuten.
An weiteren fünf Tagen wartet er
7.8, 2.2, 4.3, 6.0 und 3.7 Minuten.
a) Bestimmen Sie den Momentenschätzer für b.
56
Tutoriumsaufgaben
b) Wie lautet der MM-Schätzwert für die ersten fünf Beobachtungen und wie für alle zehn?
c) Wie lautet der ML-Schätzwert für die ersten fünf Beobachtungen und wie für alle zehn?
Lösungshinweise: a) b̂ = 2X b) b̂x1 ...x5 =11.2; b̂x1 ...x10 =10.4 c) b̂x1 ...x5 = b̂x1 ...x10 = 8.2
Aufgabe 41
Gegeben sei die Dichte
f (x) = θxθ−1 , 0 ≤ x ≤ 1, θ > 0.
Bestimmen Sie den Momentenschätzer für θ. Welcher Schätzwert ergibt sich für die Beobachtungen
0.8, 0.2, 0.7, 0.5 und 0.2?
Lösungshinweise: θ̂ = X/(1 − X), θ̂=0.9231
Aufgabe 42
Ein Hersteller von Unterhaltungselektronik weiß aus Erfahrung, dass für die Nutzungsdauer X (in Stunden) der Batterie „Ultra-Energy“ in dem Walkman „Super-Sonic“ gilt: V ar(X) = 0.25. Es werde angenommen, dass X normalverteilt ist. Eine Stichprobe vom Umfang n = 16 ergab folgende Werte für die
Nutzungsdauer:
11.4
12.1
11.9
13.1
12.4
12.3
9.3
12.4
12.7
12.0
11.1
12.6
13.7
11.1
11.4
13.5
a) Berechnen Sie je ein Konfidenzintervall für µ bei Vorgabe folgender Konfidenzniveaus:
1 − α = 0.90,
1 − α = 0.95
und
1 − α = 0.99 .
b) Vergleichen Sie die Längen der drei Konfidenzintervalle und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösungshinweise: a) KI0.9 =[11.857;12.268]; KI0.95 =[11.8175;12.3075]; KI0.99 =[11.741;12.384]
b) L0.9 =0.411; L0.95 =0.49; L0.99 =0.644
Aufgabe 43
a) Betrachten Sie die Daten aus Aufgabe 42. Wie groß muss n gewählt werden, damit man für µ ein
Konfidenzintervall der Länge L = 0.2 erhält, und zwar jeweils für die verschiedenen Konfidenzniveaus:
1 − α = 0.90,
1 − α = 0.95
und
1 − α = 0.99 .
Tutoriumsaufgaben
57
b) Es sei X normalverteilt mit bekannter Varianz σ 2 . Die Länge L des Konfidenzintervalls für µ lautet:
2σ
L = √ z1−α/2
n
i) Wie ändert sich L bei festem 1 − α in Abhängigkeit von n?
ii) Wie ändert sich L bei festem n in Abhängigkeit von 1 − α?
Lösungshinweise: a) n1 =68; n2 =97; n3 = 166
Aufgabe 44
Es seien X1 , . . . , Xn normalverteilte Zufallsvariablen, d.h. Xi ∼ N (µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n. Bekanntlich gilt:
Z=
X −µ
√ ∼ N (0, 1) und
σ/ n
T =
X −µ
√ ∼ t(ν) mit ν = n − 1
S/ n
Bestimmen Sie:
a) P (Z ≤ 1.8595) und P (T ≤ 1.8595) für ν = 8 und vergleichen Sie die Ergebnisse.
b) P (Z > 2.1009) und P (T > 2.1009) für ν = 18 und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Lösungshinweise: a) P(Z≤1.8595)≈0.9686; P(T≤1.8595)=0.95 b) P(Z>2.1009)≈0.0179; P(T>2.1009)=0.025
Aufgabe 45
Wir legen nun die Daten aus Aufgabe 42 zugrunde, nehmen aber an, dass σ unbekannt ist. Bestimmen
Sie jetzt die drei Konfidenzintervalle für µ mit den drei angebenen Konfidenzniveaus und vergleichen Sie
die Ergebnisse.
Lösungshinweise: KI0.90 =[11.5932;12.5318]; KI0.95 =[11.49152;12.63305]; KI0.99 =[11.2737;12.8513]
Aufgabe 46
Vor der Bundestagswahl 2005 wurden n = 2000 repräsentativ ausgewählte Personen zu ihrem Wahlverhalten befragt. Dabei gaben 1650 Personen an, wählen zu wollen. p beschreibe die Wahlbeteiligung
(Anteil der Wähler an den Wahlberechtigten).
a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für p zum Niveau 1 − α = 0.99.
b) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzintervall
höchstens eine Länge von 0.02 hat, wenn keine Vorinfomation über p besteht?
c) Geht man davon aus, dass die Wahlbeteiligung bei einer Bundestagswahl nicht unter 70% liegt, wie
groß muss n dann mindestens sein, damit die Länge des Intervalls den Wert 0.02 nicht überschreitet?
Lösungshinweise: a) KI0.99 =[0.8031;0.8469] b) n=16587 c) n=13933
58
Tutoriumsaufgaben
Aufgabe 47
Für n = 31 Tage wurde die Varianz einer Rendite erwartungstreu durch σ12 = 0.2927 geschätzt. Eine
größere Stichprobe vom Umfang n = 314 lieferte σ22 = 0.3802
a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für σ 2 zum Niveau 1−α = 0.95 aufgrund der ersten Stichprobe
(bei unterstellter Normalverteilung).
b) Bestimmen Sie ein approximatives Konfidenzintervall für σ 2 zum Niveau 1 − α = 0.95 aufgrund der
zweiten Stichprobe.
Lösungshinweise: a) KI0.95 =[0.1869; 0.5230] b) KI0.95 ≈[0.3288; 0.4507]
Aufgabe 48
Ein Hauseigentümerverband behauptet, dass für Dreizimmerwohnungen in einer bestimmten Stadt die
Durchschnittsmiete µ höchstens 950 e ist. Es wird angenommen, dass die Miete X normalverteilt mit
σ = 200 ist. Eine Stichprobe mit n = 100 wurde erhoben und ergab x = 1010 e. Formulieren Sie die
Hypothese des Hauseigentümerverbandes. Ist sie aufgrund der Stichprobe abzulehnen, wenn α = 0.01
bzw. α = 0.10 gewählt wird?
Lösungshinweise: H0 :µ ≤ 950 H1 :µ >950; α=0.01 H0 verwerfen; α=0.1 H0 verwerfen
Aufgabe 49
In einer Verkehrskontrolle werden bei 12 Fahrzeugen folgende Geschwindigkeiten in km/h gemessen:
110
105
98
102
106
95
108
106
105
99
102
106
Es werde angenommen, dass die Messwerte X normalverteilt mit σ = 4 sind.
a) Testen Sie die Hypothese
H0 : µ ≤ 100 gegen H1 : µ > 100
mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.05 bzw. 0.01.
b) Testen Sie die Hypothese
H0 : µ = 100 gegen H1 : µ 6= 100
mit α = 0.05 bzw. 0.01.
c) Bestimmen Sie in a) und b) P-Werte aus den Tabellen C oder D.
Lösungshinweise: a) z=3.0311; α=0.05 & α=0.01 H0 ablehnen b) z=3.0311; α=0.05 & α=0.01
H0 ablehnen c) Tabelle D: 0.002 für a und 0.004 für b; Tabelle C: 0.0012 für a und 0.0024 für b
Tutoriumsaufgaben
59
Aufgabe 50
Betrachten wir noch einmal die Aufgabe 49 und nehmen aber nun an, dass σ unbekannt ist, was auch eher
den realen Gegebenheiten entsprechen dürfte. Geschätzt wurde die Standardabweichung durch s = 4.4004.
Testen Sie unter dieser Annahme die folgenden Hypothesen
a) H0 : µ ≤ 100 gegen H1 : µ > 100 und
b) H0 : µ = 100 gegen H1 : µ 6= 100
c) H0 : µ = 100 gegen H1 : µ > 100
jeweils mit den Irrtumswahrscheinlichkeiten α = 0.05 und 0.01.
Lösungshinweise: a) t=2.7553; α=0.05 & α=0.01 H0 ablehnen b) t=2.7553; α=0.05 H0 ablehnen; α=0.01
H0 nicht ablehnen c) t=2.7553; α=0.05 & α=0.01 H0 ablehnen
Aufgabe 51
Ein Unternehmen des öffentlichen Personennahverkehrs (ÖPNV) behauptet, seine Busse wären zu mindestens 95% pünktlich. Dabei gilt ein Bus noch als pünktlich, wenn er höchstens 5 Minuten Verspätung
gegenüber dem Fahrplan hat. Eine Stichprobe vom Umfang n = 1000 an diversen Haltestellen zu verschiedenen Tageszeiten über eine Woche hinweg ergab 66 Verspätungen. Die Wahrscheinlichkeit für keine
Verspätung sei mit p bezeichnet.
a) Testen Sie die Behauptung des ÖPNV-Unternehmens als Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau
von α = 0.10.
b) Bestimmen Sie den P-Wert aus Tabelle C oder D.
Lösungshinweise: a) H0 : p ≥ 0.95 H1 : p < 0.95; z=-2.0379: H0 ablehnen b) Tabelle C: P = 0.0212,
Tabelle D: P = 0.021
Aufgabe 52
Betrachten Sie nochmals die Daten aus Aufgabe 42 mit den zugehörigen Konfidenzintervallen aus 45 (σ
unbekannt). Testen Sie zweiseitig die Nullhypothese, dass die Nutzungsdauer im Mittel 11.5 Stunden
beträgt (H0 : µ = 11.5) zu den Niveaus α = 0.01, α = 0.05, α = 0.10.
Lösungshinweise: Signifikant zum Niveau α = 0.10, aber nicht zu α = 0.01, α = 0.05
Aufgabe 53
Für die Standardabweichung der Renditen aus Aufgabe 47 soll die Hypothese H0 : σ = 0.5 getestet werden.
a) Führen Sie einen zweiseitigen Test aufgrund der ersten Stichprobe (bei unterstellter Normalverteilung) durch.
b) Führen Sie einen zweiseitigen Test aufgrund der zweiten Stichprobe durch.
60
Tutoriumsaufgaben
Aufgabe 54
Betrachten Sie das Merkmal Geschwindigkeit für n = 12 Fahrzeuge aus Aufgabe 49 mit den dortigen
Annahmen. Getestet wird zum Niveau α = 5% einseitig und zweiseitig:
a) H0 : µ ≤ 100,
H1 : µ > 100,
b) H0 : µ = 100,
H1 : µ 6= 100.
Berechnen und vergleichen Sie den Wert der jeweiligen Gütefunktion für die wahre mittlere Geschwindigkeit von µ = 103.
Lösungshinweise: a) G(103)=0.8289 b) G(103)=0.7389
Aufgabe 55
Es soll untersucht werden, ob das Diätsystem „Super-Slim“ zu einer Gewichtsreduktion führt. Dazu wurde
eine Stichprobe von n = 16 Testpersonen ausgewählt und das Gewicht vor der Diät (X) und nach 8wöchiger Anwendung von „Super-Slim“ (Y ) festgestellt:
X
107
75
93
95
105
89
79
85
61
87
69
73
70
69
69
63
Y
99
73
92
87
97
88
75
83
58
82
66
66
63
70
65
63
Wir gehen davon aus, dass das Gewicht vor und nach der Diät normalverteilt ist. Damit ist auch die
Differenz ∆ = X − Y normalverteilt. Als Kennziffern für ∆ ergaben sich die Schätzwerte: δ = 3.8750 und
sδ = 3.0083.
Es soll statistisch signifikant zum Niveau α = 0.05 gezeigt werden, dass das Diätsystem zu einer Gewichtsreduktion führt. Gelingt Ihnen das?
Lösungshinweise: H0 : µδ ≤ 0 H1 : µδ > 0; t=5.1524 H0 ablehnen
Aufgabe 56
Ein Hersteller hat einen neuen Reifen für die Formel 1 entwickelt. Er möchte nun wissen, ob dieser neue
Reifen „Flash 2“ im Vergleich zum alten Reifen „Flash 1“ signifikant bessere Rundenzeiten liefert. Auf einer Teststrecke ergaben sich folgende Rundenzeiten (in Sekunden) für die Reifen. Die Hypothesen lauten
H0 : µx ≥ µy und H1 : µx < µy .
Flash 2 (X)
160.4
160.4
161
161.8
159.9
160.2
161.1
159.0
159.3
161.1
Flash 1 (Y )
161
163.2
161.2
162.3
162.8
161.2
162
162.5
162.5
162.8
159.3
162.4
Eine deskriptive Auswertung des Datensatzes ergab folgende Werte:
x = 160.4917 , y = 162.1500 , sx = 1.0388 , sy = 0.7721.
a) Führen Sie auf Basis dieser Werte den Zweistichproben-t-Test durch und treffen Sie eine Testentscheidung (α = 0.05).
b) Führen Sie einen asymptotischen Differenzen-Test durch (α = 0.05).
Tutoriumsaufgaben
61
Lösungshinweise: a) t=-4.176 H0 ablehnen b) z=-4.2827 H0 ablehnen
Aufgabe 57
Es soll untersucht werden, ob sich die durchschnittlichen Mieten für 2-Zimmer-Wohnungen im Gallusviertel von denen des Westends unterschieden. Der Frankfurter Rundschau wurden an einem Samstag jeweils
25 Anzeigen für 2-Zimmer-Wohnungen im Gallusviertel (Bezirk 1) und Westend (Bezirk 2) entnommen.
Die Angaben bezeichnen die Mieten (in Euro) für die entsprechenden Wohnungen.
Gallusviertel
Miete (X1 ) für 2-Zimmer-Wohnungen (35 bis 70 m2 )
509
548
526
472
650
550
370
560
426
593
541
1280
661
586
645
600
595
638
649
695
632
580
1060
835
613
Westend
Miete (X2 ) für 2-Zimmer-Wohnungen (30 bis 65 m2 )
730
693
593
435
596
695
681
614
680
553
752
1100
1197
682
738
650
922
614
697
947
750
797
897
998
995
Die deskriptive Auswertung ergab folgende Kennziffern:
x1 = 632.5600 , x2 = 760.2400 , s1 = 188.1159 , s2 = 181.5138 .
a) Wie lauten die Hypothesen, wenn Sie “beweisen” wollen, dass man im Gallusviertel billiger wohnt?
b) Welchen Wert erhalten Sie für die Teststatistik des asymptotischen Differenzentests? Und welcher
approximative P -Wert ergibt sich daraus?
Lösungshinweise: a) H0 : µ1 ≥ µ2 H1 : µ1 < µ2 b) z = −2.4422; P -Wert aus Tabelle D: 0.008; P -Wert
aus Tabelle C: 0.0073
Aufgabe 58
Auch in dieser Aufgabe geht es um den Vergleich von Mieten, allerdings nicht auf der Basis von zwei,
sondern von drei Gruppen. Das Ziel ist die Klärung der Frage, ob sich die durchschnittlichen Mieten pro
m2 für 3-Zimmer-Wohnungen in drei Städten signifikant unterscheiden. Die Zahlenwerte dieser Aufgabe
sind sehr einfach gehalten, um die einzelnen Rechenschritte nachvollziehbar zu machen.
Stadt 1
9
8
10
Stadt 2
7
9
8
12
Stadt 3
10
13
14
12
9
62
Tutoriumsaufgaben
Eine einfache, deskriptive Analyse ergab folgende Tabelle:
MIETE
STADT
ni
Mittel
Std. Abw.
1
3
9.0000
1.0000
2
5
9.0000
1.8708
3
4
12.2500
1.7078
Total
12
10.0833
2.1933
a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Wie lauten die Modellannahmen des F -Tests bei der einfachen Varianzanalyse?
c) Führen Sie den F -Test zum Niveau α = 0.05 durch.
Lösungshinweise: a) H0 : µ1 =µ2 =µ3 H1 : µi 6= µj c) SSB=28.1667; SSW=24.7493; F=5.1214
H0 ablehnen
Aufgabe 59
Ein Lotteriebetreiber behauptet, dass seine Lose zu 90% Gewinne (1) brächten und nur 10% Nieten (0)
seien. Über die Höhe der Gewinne in Bezug auf den Einsatz ist damit natürlich noch nichts gesagt. Zur
Überprüfung dieser Aussage wurden n = 200 Lose gezogen, von denen 30 Nieten waren.
a) Formulieren Sie die Hypothesen.
b) Testen Sie die Behauptung des Herstellers zu den Niveaus α = 0.10, α = 0.05 und α = 0.01.
Lösungshinweise: a) H0 : P(X=1)=0.9 H1 : P(X=1)6=0.9 b) χ2 = 5.5̄; χ2 > χ20.9 (1) → H0 ablehnen;
χ2 > χ20.95 (1) → H0 ablehnen; χ2 < χ20.99 (1) → H0 nicht ablehnen
Aufgabe 60
Es soll untersucht werden, ob die Anzahl der Einsätze X pro Stunde der Feuerwehr einer Frankfurter Wache poissonverteilt sind. Die folgende Häufigkeitstabelle enthält die Anzahl der Einsätze für alle Stunden
eines Monats.
aj
0
1
2
3
4
n
nj
328
269
110
30
7
744
Testen Sie die Hypothese zum Niveau α = 0.05 auf Basis dieser Tabelle für
a) λ = 1 bzw.
b) λ unbekannt.
Tutoriumsaufgaben
63
Lösungshinweise: a) χ2 =25.06; χ20.95 (4)=9.488 → H0 ablehnen b) λ̂ = x = 0.8159; χ2 =0.0147;
χ20.95 (3)=7.816 → H0 nicht ablehnen
Aufgabe 61
Eine Umfrage unter 188 Statistik-Hörern ergab (vor langer Zeit!) die folgende Kontingenztabelle für die
Merkmale „Geschlecht“ und „Handybesitz“:
Handybesitz
Geschlecht
Nein
Ja
Total
Männer
28
66
94
Frauen
45
49
94
73
115
188
Total
Testen Sie zum Niveau α = 0.05 die Hypothese, dass das Antwortverhalten unabhängig vom Geschlecht
sei.
Lösungshinweise: χ2 =6.472 > χ20.95 (1) =3.841 → H0 ablehnen
Aufgabe 62
Es soll untersucht werden, ob die Ergebnisse der BWL- und der VWL-Klausur unabhängig sind. 250
Studierende schrieben in einem Semester beide Klausuren. Die Durchfallquote in VWL betrug 24 % und
in BWL 32 %. 30 Studierende bestanden beide Klausuren nicht.
a) Erstellen Sie die zugehörige Kontingenztabelle.
b) Testen Sie auf Unabhängigkeit der Klausurergebnisse (α = 0.05).
Lösungshinweise: b) χ2 =11.755 > χ20.95 (1)=3.841 → H0 ablehnen
Aufgabe 63
Ein Lebensmittelkonzern hat eine neue, hochwertige 1-Liter-Eispackung mit dem Namen „Leccina“ auf
den Markt gebracht. Um den Zusammenhang zwischen Preis für diese Packung und abgesetzter Menge
studieren zu können, soll auf einem Testmarkt die Korrelation geschätzt werden. In der folgenden Tabelle
sind die zu Testzwecken gewählten Preise (X, in e) und der entsprechend hochgerechnete Absatz für den
Gesamtmarkt (Y , in 10000 Stück) dargestellt:
xi
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
10
yi
17
15
14
13
12.5
11.5
9
5
a) Stellen Sie die Daten in einem Streudiagramm dar.
64
Tutoriumsaufgaben
b) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten
c) Unterstellen Sie, dass die Daten normalverteilt sind und führen Sie zum 5%-Niveau einen formalen
Test durch, ob Preis und Absatz unkorreliert sind oder nicht.
Lösungshinweise: |t|=11.37 > t(6)0.975 =2.4469 → H0 ablehnen
Aufgabe 64
Anhand der folgenden Stichprobe soll der Zusammenhang zwischen dem Alter (X) in Jahren und der
Anzahl der Arztbesuche pro Jahr (Y ) untersucht werden:
xi
18
20
25
28
36
40
47
55
60
62
70
83
yi
2
4
3
3
5
6
5
7
7
8
10
12
a) Analysieren Sie das Streudiagramm (siehe Seite 66).
b) Schätzen Sie die Regressionsgerade und zeichnen Sie sie ins Streudiagramm ein.
c) Testen Sie, ob das Alter einen signifikanten Einfluss auf die Zahl der Arztbesuche hat (α = 0.05).
Lösungshinweise: b) ŷ=-0.2166+0.1371x c) Tb =11.3 > t(10)0.975 =2.2281 → H0 ablehnen
Aufgabe 65
An einer Messstation in München wurden an 14 Tagen neben anderen Luftschadstoffen auch die Schwefeldioxidkonzentration gemessen und Tagesmittelwerte gebildet. Untersuchen Sie den Einfluss der Tagesdurchschnittstemperatur in Grad Celsius (X2 ) auf die logarithmierten SO2 -Konzentrationen (Y ). Liegt
ein Wochenendeffekt vor? Die Variable X3 gibt an, ob an einem Samstag oder Sonntag gemessen wurde
(X3 = 1) oder nicht (X3 = 0). Es gilt
y
-3.15
-2.83
-3.02
-3.08
-3.54
-2.98
-2.78
x2
16.47
16.02
16.81
22.87
21.68
21.23
20.55
x3
0
0
0
1
1
0
0
y
-3.35
-2.76
-1.9
-2.12
-2.45
-1.97
-2.23
x2
18.32
15.96
15.36
12.47
12.46
11.77
11.72
x3
0
0
0
1
1
0
0


1.5488742


(X 0 X)−1 =  −0.0882330

−0.0162669
−0.0882330
0.0053732
−0.0050992
−0.0162669


−38.16486




0
−0.0050992  , X y =  −656.46618


0.3548391
−11.19324




Tutoriumsaufgaben
65
a) Schätzen Sie die Regressionskoeffizienten im zugehörigen multiplen linearen Modell und kommentieren Sie Ihr Ergebnis.
b) Als Bestimmtheitsmaß erhält man R2 = 0.5781. Tragen die Regressoren insgesamt zur Erklärung
der SO2 -Konzentration bei? Führen Sie den zugehörigen F-Test zum Niveau α = 0.05 durch.
c) Die geschätzten Standardabweichungen betragen σ̂2 = 0.0267 und σ̂3 = 0.2169. Testen Sie die
Hypothesen βi = 0 für i = 2, 3 zum Niveau α = 0.05. Entfernen Sie die Variable aus dem Modell,
die offenbar keinen Einfluss hat, und führen Sie eine lineare Einfachregression durch.
Lösungshinweise: a) βˆ1 =-1.008; βˆ2 = -0.103; βˆ3 = -0.004 b) H0 : β2 = β3 =0 H1 : βi 6= 0 für mindestens
ein i; F=7.536>F0.95 (2, 11)=3.98 → H0 ablehnen c) H0 : βi =0 H1 : βi 6=0 für i = 2, 3, Tβ2 =-3.858;
Tβ3 =-0.018, t(11)0.975 =2.201 für β2 H0 ablehnen; für β3 H0 nicht ablehnen; Regression Y , X2 : â=-1.007
und b̂=-0.103
66
Graphik zu Aufgabe 64
Tutoriumsaufgaben
Tabellensammlung
14
67
Tabellensammlung
Tabelle A:
Binomialverteilung
Tabelle B:
Poissonverteilung
Tabelle C:
Standardnormalverteilung
Tabelle D:
Prozentpunkte der Standardnormalverteilung
Tabelle E:
Prozentpunkte der t-Verteilung
Tabelle F:
Prozentpunkte der χ2 -Verteilung
Tabelle G: Prozentpunkte der F -Verteilung
68
Tabellensammlung
Tabelle A: Binomialverteilung
X ∼ Bi(n, p): Die Tabelle enthält die Werte der Verteilungsfunktion F , wobei die Unterteilung in Blöcke
durch verschiedene n erfolgt und innerhalb eines Blockes die Spalten verschiedene p und die Zeilen unterschiedliche x darstellen.
F (x) = P (X ≤ x) =
x µ ¶
X
n
i
i=0
pi (1 − p)n−i
p
x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0
1
n=2
0.9025
0.9975
1.0000
0.8100
0.9900
1.0000
0.7225
0.9775
1.0000
0.6400
0.9600
1.0000
0.5625
0.9375
1.0000
0.4900
0.9100
1.0000
0.4225
0.8775
1.0000
0.3600
0.8400
1.0000
0.3025
0.7975
1.0000
0.2500
0.7500
1.0000
0
1
2
n=3
0.8574
0.9927
0.9999
1.0000
0.7290
0.9720
0.9990
1.0000
0.6141
0.9392
0.9966
1.0000
0.5120
0.8960
0.9920
1.0000
0.4219
0.8438
0.9844
1.0000
0.3430
0.7840
0.9730
1.0000
0.2746
0.7182
0.9571
1.0000
0.2160
0.6480
0.9360
1.0000
0.1664
0.5748
0.9089
1.0000
0.1250
0.5000
0.8750
1.0000
0
1
2
3
n=4
0.8145
0.9860
0.9995
1.0000
0.6561
0.9477
0.9963
0.9999
1.0000
0.5220
0.8905
0.9880
0.9995
1.0000
0.4096
0.8192
0.9728
0.9984
1.0000
0.3164
0.7383
0.9492
0.9961
1.0000
0.2401
0.6517
0.9163
0.9919
1.0000
0.1785
0.5630
0.8735
0.9850
1.0000
0.1296
0.4752
0.8208
0.9744
1.0000
0.0915
0.3910
0.7585
0.9590
1.0000
0.0625
0.3125
0.6875
0.9375
1.0000
0
1
2
3
4
n=5
0.7738
0.9774
0.9988
1.0000
0.5905
0.9185
0.9914
0.9995
1.0000
0.4437
0.8352
0.9734
0.9978
0.9999
1.0000
0.3277
0.7373
0.9421
0.9933
0.9997
1.0000
0.2373
0.6328
0.8965
0.9844
0.9990
1.0000
0.1681
0.5282
0.8369
0.9692
0.9976
1.0000
0.1160
0.4284
0.7648
0.9460
0.9947
1.0000
0.0778
0.3370
0.6826
0.9130
0.9898
1.0000
0.0503
0.2562
0.5931
0.8688
0.9815
1.0000
0.0313
0.1875
0.5000
0.8125
0.9688
1.0000
0
1
2
3
4
5
n=6
0.7351
0.9672
0.9978
0.9999
1.0000
0.5314
0.8857
0.9842
0.9987
0.9999
1.0000
0.3771
0.7765
0.9527
0.9941
0.9996
1.0000
0.2621
0.6554
0.9011
0.9830
0.9984
0.9999
1.0000
0.1780
0.5339
0.8306
0.9624
0.9954
0.9998
1.0000
0.1176
0.4202
0.7443
0.9295
0.9891
0.9993
1.0000
0.0754
0.3191
0.6471
0.8826
0.9777
0.9982
1.0000
0.0467
0.2333
0.5443
0.8208
0.9590
0.9959
1.0000
0.0277
0.1636
0.4415
0.7447
0.9308
0.9917
1.0000
0.0156
0.1094
0.3438
0.6563
0.8906
0.9844
1.0000
0
1
2
3
4
5
6
n=7
0.6983
0.9556
0.9962
0.9998
1.0000
0.4783
0.8503
0.9743
0.9973
0.9998
1.0000
0.3206
0.7166
0.9262
0.9879
0.9988
0.9999
1.0000
0.2097
0.5767
0.8520
0.9667
0.9953
0.9996
1.0000
0.1335
0.4449
0.7564
0.9294
0.9871
0.9987
0.9999
1.0000
0.0824
0.3294
0.6471
0.8740
0.9712
0.9962
0.9998
1.0000
0.0490
0.2338
0.5323
0.8002
0.9444
0.9910
0.9994
1.0000
0.0280
0.1586
0.4199
0.7102
0.9037
0.9812
0.9984
1.0000
0.0152
0.1024
0.3164
0.6083
0.8471
0.9643
0.9963
1.0000
0.0078
0.0625
0.2266
0.5000
0.7734
0.9375
0.9922
1.0000
Tabellensammlung
69
Tabelle A: Binomialverteilung
p
x
0.05
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70
Tabellensammlung
Tabelle A: Binomialverteilung
p
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Tabellensammlung
71
Tabelle A: Binomialverteilung
p
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0.3518
0.5981
0.7982
0.9183
0.9733
0.9930
0.9985
0.9998
1.0000
0.0100
0.0635
0.1971
0.4050
0.6302
0.8103
0.9204
0.9729
0.9925
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0.9997
1.0000
0.0033
0.0261
0.0994
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0.8247
0.9256
0.9743
0.9929
0.9984
0.9997
1.0000
0.0010
0.0098
0.0451
0.1339
0.2892
0.4900
0.6881
0.8406
0.9329
0.9771
0.9938
0.9987
0.9998
1.0000
0.0003
0.0033
0.0183
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0.7161
0.8577
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1.0000
0.0001
0.0010
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0.9965
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1.0000
0.0000
0.0003
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0.7728
0.8949
0.9616
0.9894
0.9979
0.9997
1.0000
72
Tabellensammlung
Tabelle A: Binomialverteilung
p
x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
n = 17
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0.7922
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0.9988
0.9999
1.0000
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1.0000
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0.9997
1.0000
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1.0000
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1.0000
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0.8954
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1.0000
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1.0000
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1.0000
0.0000
0.0006
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1.0000
0.0000
0.0001
0.0012
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1.0000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
n = 18
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0.7735
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0.9891
0.9985
0.9998
1.0000
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0.9018
0.9718
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0.9998
1.0000
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0.9973
0.9995
0.9999
1.0000
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0.5010
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0.9991
0.9998
1.0000
0.0056
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0.3057
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0.7175
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0.9988
0.9998
1.0000
0.0016
0.0142
0.0600
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0.3327
0.5344
0.7217
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0.9790
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0.9997
1.0000
0.0004
0.0046
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0.1886
0.3550
0.5491
0.7283
0.8609
0.9403
0.9788
0.9938
0.9986
0.9997
1.0000
0.0001
0.0013
0.0082
0.0328
0.0942
0.2088
0.3743
0.5634
0.7368
0.8653
0.9424
0.9797
0.9942
0.9987
0.9998
1.0000
0.0000
0.0003
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0.0120
0.0411
0.1077
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0.7473
0.8720
0.9463
0.9817
0.9951
0.9990
0.9999
1.0000
0.0000
0.0001
0.0007
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0.4073
0.5927
0.7597
0.8811
0.9519
0.9846
0.9962
0.9993
0.9999
1.0000
Tabellensammlung
73
Tabelle A: Binomialverteilung
p
x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
n = 19
0.3774
0.7547
0.9335
0.9868
0.9980
0.9998
1.0000
0.1351
0.4203
0.7054
0.8850
0.9648
0.9914
0.9983
0.9997
1.0000
0.0456
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0.4413
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0.8556
0.9463
0.9837
0.9959
0.9992
0.9999
1.0000
0.0144
0.0829
0.2369
0.4551
0.6733
0.8369
0.9324
0.9767
0.9933
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1.0000
0.0042
0.0310
0.1113
0.2631
0.4654
0.6678
0.8251
0.9225
0.9713
0.9911
0.9977
0.9995
0.9999
1.0000
0.0011
0.0104
0.0462
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0.2822
0.4739
0.6655
0.8180
0.9161
0.9674
0.9895
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0.9999
1.0000
0.0003
0.0031
0.0170
0.0591
0.1500
0.2968
0.4812
0.6656
0.8145
0.9125
0.9653
0.9886
0.9969
0.9993
0.9999
1.0000
0.0001
0.0008
0.0055
0.0230
0.0696
0.1629
0.3081
0.4878
0.6675
0.8139
0.9115
0.9648
0.9884
0.9969
0.9994
0.9999
1.0000
0.0000
0.0002
0.0015
0.0077
0.0280
0.0777
0.1727
0.3169
0.4940
0.6710
0.8159
0.9129
0.9658
0.9891
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0.9995
0.9999
1.0000
0.0000
0.0000
0.0004
0.0022
0.0096
0.0318
0.0835
0.1796
0.3238
0.5000
0.6762
0.8204
0.9165
0.9682
0.9904
0.9978
0.9996
1.0000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
n = 20
0.3585
0.7358
0.9245
0.9841
0.9974
0.9997
1.0000
0.1216
0.3917
0.6769
0.8670
0.9568
0.9887
0.9976
0.9996
0.9999
1.0000
0.0388
0.1756
0.4049
0.6477
0.8298
0.9327
0.9781
0.9941
0.9987
0.9998
1.0000
0.0115
0.0692
0.2061
0.4114
0.6296
0.8042
0.9133
0.9679
0.9900
0.9974
0.9994
0.9999
1.0000
0.0032
0.0243
0.0913
0.2252
0.4148
0.6172
0.7858
0.8982
0.9591
0.9861
0.9961
0.9991
0.9998
1.0000
0.0008
0.0076
0.0355
0.1071
0.2375
0.4164
0.6080
0.7723
0.8867
0.9520
0.9829
0.9949
0.9987
0.9997
1.0000
0.0002
0.0021
0.0121
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0.1182
0.2454
0.4166
0.6010
0.7624
0.8782
0.9468
0.9804
0.9940
0.9985
0.9997
1.0000
0.0000
0.0005
0.0036
0.0160
0.0510
0.1256
0.2500
0.4159
0.5956
0.7553
0.8725
0.9435
0.9790
0.9935
0.9984
0.9997
1.0000
0.0000
0.0001
0.0009
0.0049
0.0189
0.0553
0.1299
0.2520
0.4143
0.5914
0.7507
0.8692
0.9420
0.9786
0.9936
0.9985
0.9997
1.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0013
0.0059
0.0207
0.0577
0.1316
0.2517
0.4119
0.5881
0.7483
0.8684
0.9423
0.9793
0.9941
0.9987
0.9998
1.0000
74
Tabellensammlung
Tabelle A: Binomialverteilung
p
x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
n = 25
0.2774
0.6424
0.8729
0.9659
0.9928
0.9988
0.9998
1.0000
0.0718
0.2712
0.5371
0.7636
0.9020
0.9666
0.9905
0.9977
0.9995
0.9999
1.0000
0.0172
0.0931
0.2537
0.4711
0.6821
0.8385
0.9305
0.9745
0.9920
0.9979
0.9995
0.9999
1.0000
0.0038
0.0274
0.0982
0.2340
0.4207
0.6167
0.7800
0.8909
0.9532
0.9827
0.9944
0.9985
0.9996
0.9999
1.0000
0.0008
0.0070
0.0321
0.0962
0.2137
0.3783
0.5611
0.7265
0.8506
0.9287
0.9703
0.9893
0.9966
0.9991
0.9998
1.0000
0.0001
0.0016
0.0090
0.0332
0.0905
0.1935
0.3407
0.5118
0.6769
0.8106
0.9022
0.9558
0.9825
0.9940
0.9982
0.9995
0.9999
1.0000
0.0000
0.0003
0.0021
0.0097
0.0320
0.0826
0.1734
0.3061
0.4668
0.6303
0.7712
0.8746
0.9396
0.9745
0.9907
0.9971
0.9992
0.9998
1.0000
0.0000
0.0001
0.0004
0.0024
0.0095
0.0294
0.0736
0.1536
0.2735
0.4246
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0.7323
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0.9222
0.9656
0.9868
0.9957
0.9988
0.9997
0.9999
1.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0005
0.0023
0.0086
0.0258
0.0639
0.1340
0.2424
0.3843
0.5426
0.6937
0.8173
0.9040
0.9560
0.9826
0.9942
0.9984
0.9996
0.9999
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0005
0.0020
0.0073
0.0216
0.0539
0.1148
0.2122
0.3450
0.5000
0.6550
0.7878
0.8852
0.9461
0.9784
0.9927
0.9980
0.9995
0.9999
1.0000
Tabellensammlung
75
Tabelle B: Poissonverteilung
X ∼ P o(λ): Die Tabelle enthält die Werte der Verteilungsfunktion F , wobei die Spalten verschiedene λ
und die Zeilen unterschiedliche x darstellen.
F (x) = P (X ≤ x) =
x
X
i=0
e−λ
λi
i!
λ
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.9048
0.9953
0.9998
1.0000
0.8187
0.9825
0.9989
0.9999
1.0000
0.7408
0.9631
0.9964
0.9997
1.0000
0.6703
0.9384
0.9921
0.9992
0.9999
1.0000
0.6065
0.9098
0.9856
0.9982
0.9998
1.0000
0.5488
0.8781
0.9769
0.9966
0.9996
1.0000
0.4966
0.8442
0.9659
0.9942
0.9992
0.9999
1.0000
0.4493
0.8088
0.9526
0.9909
0.9986
0.9998
1.0000
0.4066
0.7725
0.9371
0.9865
0.9977
0.9997
1.0000
0.3679
0.7358
0.9197
0.9810
0.9963
0.9994
0.9999
1.0000
λ
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.3329
0.6990
0.9004
0.9743
0.9946
0.9990
0.9999
1.0000
0.3012
0.6626
0.8795
0.9662
0.9923
0.9985
0.9997
1.0000
0.2725
0.6268
0.8571
0.9569
0.9893
0.9978
0.9996
0.9999
1.0000
0.2466
0.5918
0.8335
0.9463
0.9857
0.9968
0.9994
0.9999
1.0000
0.2231
0.5578
0.8088
0.9344
0.9814
0.9955
0.9991
0.9998
1.0000
0.2019
0.5249
0.7834
0.9212
0.9763
0.9940
0.9987
0.9997
1.0000
0.1653
0.4628
0.7306
0.8913
0.9636
0.9896
0.9974
0.9994
0.9999
1.0000
0.1353
0.4060
0.6767
0.8571
0.9473
0.9834
0.9955
0.9989
0.9998
1.0000
0.0821
0.2873
0.5438
0.7576
0.8912
0.9580
0.9858
0.9958
0.9989
0.9997
0.9999
1.0000
0.0498
0.1991
0.4232
0.6472
0.8153
0.9161
0.9665
0.9881
0.9962
0.9989
0.9997
0.9999
1.0000
76
Tabellensammlung
Tabelle B: Poissonverteilung
λ
x
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0.0302
0.1359
0.3208
0.5366
0.7254
0.8576
0.9347
0.9733
0.9901
0.9967
0.9990
0.9997
0.9999
1.0000
0.0183
0.0916
0.2381
0.4335
0.6288
0.7851
0.8893
0.9489
0.9786
0.9919
0.9972
0.9991
0.9997
0.9999
1.0000
0.0111
0.0611
0.1736
0.3423
0.5321
0.7029
0.8311
0.9134
0.9597
0.9829
0.9933
0.9976
0.9992
0.9997
0.9999
1.0000
0.0067
0.0404
0.1247
0.2650
0.4405
0.6160
0.7622
0.8666
0.9319
0.9682
0.9863
0.9945
0.9980
0.9993
0.9998
0.9999
1.0000
0.0041
0.0266
0.0884
0.2017
0.3575
0.5289
0.6860
0.8095
0.8944
0.9462
0.9747
0.9890
0.9955
0.9983
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
0.0025
0.0174
0.0620
0.1512
0.2851
0.4457
0.6063
0.7440
0.8472
0.9161
0.9574
0.9799
0.9912
0.9964
0.9986
0.9995
0.9998
0.9999
1.0000
0.0009
0.0073
0.0296
0.0818
0.1730
0.3007
0.4497
0.5987
0.7291
0.8305
0.9015
0.9467
0.9730
0.9872
0.9943
0.9976
0.9990
0.9996
0.9999
1.0000
0.0003
0.0030
0.0138
0.0424
0.0996
0.1912
0.3134
0.4530
0.5925
0.7166
0.8159
0.8881
0.9362
0.9658
0.9827
0.9918
0.9963
0.9984
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
0.0001
0.0012
0.0062
0.0212
0.0550
0.1157
0.2068
0.3239
0.4557
0.5874
0.7060
0.8030
0.8758
0.9261
0.9585
0.9780
0.9889
0.9947
0.9976
0.9989
0.9996
0.9998
0.9999
1.0000
0.0000
0.0005
0.0028
0.0103
0.0293
0.0671
0.1301
0.2202
0.3328
0.4579
0.5830
0.6968
0.7916
0.8645
0.9165
0.9513
0.9730
0.9857
0.9928
0.9965
0.9984
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
Tabellensammlung
77
Tabelle C: Standardnormalverteilung
Z ∼ N (0, 1): Die Tabelle enthält die Werte der Verteilungsfunktion Φ.
Z
z
Φ(z) = P (Z ≤ z) =
−∞
2
1
√ e−x /2 dx
2π
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
-0.00
-0.10
-0.20
-0.30
-0.40
-0.50
-0.60
-0.70
-0.80
-0.90
-1.00
-1.10
-1.20
-1.30
-1.40
-1.50
-1.60
-1.70
-1.80
-1.90
-2.00
-2.10
-2.20
-2.30
-2.40
-2.50
-2.60
-2.70
-2.80
-2.90
-3.00
-3.10
-3.20
-3.30
-3.40
0.5000
0.4602
0.4207
0.3821
0.3446
0.3085
0.2743
0.2420
0.2119
0.1841
0.1587
0.1357
0.1151
0.0968
0.0808
0.0668
0.0548
0.0446
0.0359
0.0287
0.0228
0.0179
0.0139
0.0107
0.0082
0.0062
0.0047
0.0035
0.0026
0.0019
0.0013
0.0010
0.0007
0.0005
0.0003
0.4960
0.4562
0.4168
0.3783
0.3409
0.3050
0.2709
0.2389
0.2090
0.1814
0.1562
0.1335
0.1131
0.0951
0.0793
0.0655
0.0537
0.0436
0.0351
0.0281
0.0222
0.0174
0.0136
0.0104
0.0080
0.0060
0.0045
0.0034
0.0025
0.0018
0.0013
0.0009
0.0007
0.0005
0.0003
0.4920
0.4522
0.4129
0.3745
0.3372
0.3015
0.2676
0.2358
0.2061
0.1788
0.1539
0.1314
0.1112
0.0934
0.0778
0.0643
0.0526
0.0427
0.0344
0.0274
0.0217
0.0170
0.0132
0.0102
0.0078
0.0059
0.0044
0.0033
0.0024
0.0018
0.0013
0.0009
0.0006
0.0005
0.0003
0.4880
0.4483
0.4090
0.3707
0.3336
0.2981
0.2643
0.2327
0.2033
0.1762
0.1515
0.1292
0.1093
0.0918
0.0764
0.0630
0.0516
0.0418
0.0336
0.0268
0.0212
0.0166
0.0129
0.0099
0.0075
0.0057
0.0043
0.0032
0.0023
0.0017
0.0012
0.0009
0.0006
0.0004
0.0003
0.4840
0.4443
0.4052
0.3669
0.3300
0.2946
0.2611
0.2296
0.2005
0.1736
0.1492
0.1271
0.1075
0.0901
0.0749
0.0618
0.0505
0.0409
0.0329
0.0262
0.0207
0.0162
0.0125
0.0096
0.0073
0.0055
0.0041
0.0031
0.0023
0.0016
0.0012
0.0008
0.0006
0.0004
0.0003
0.4801
0.4404
0.4013
0.3632
0.3264
0.2912
0.2578
0.2266
0.1977
0.1711
0.1469
0.1251
0.1056
0.0885
0.0735
0.0606
0.0495
0.0401
0.0322
0.0256
0.0202
0.0158
0.0122
0.0094
0.0071
0.0054
0.0040
0.0030
0.0022
0.0016
0.0011
0.0008
0.0006
0.0004
0.0003
0.4761
0.4364
0.3974
0.3594
0.3228
0.2877
0.2546
0.2236
0.1949
0.1685
0.1446
0.1230
0.1038
0.0869
0.0721
0.0594
0.0485
0.0392
0.0314
0.0250
0.0197
0.0154
0.0119
0.0091
0.0069
0.0052
0.0039
0.0029
0.0021
0.0015
0.0011
0.0008
0.0006
0.0004
0.0003
0.4721
0.4325
0.3936
0.3557
0.3192
0.2843
0.2514
0.2206
0.1922
0.1660
0.1423
0.1210
0.1020
0.0853
0.0708
0.0582
0.0475
0.0384
0.0307
0.0244
0.0192
0.0150
0.0116
0.0089
0.0068
0.0051
0.0038
0.0028
0.0021
0.0015
0.0011
0.0008
0.0005
0.0004
0.0003
0.4681
0.4286
0.3897
0.3520
0.3156
0.2810
0.2483
0.2177
0.1894
0.1635
0.1401
0.1190
0.1003
0.0838
0.0694
0.0571
0.0465
0.0375
0.0301
0.0239
0.0188
0.0146
0.0113
0.0087
0.0066
0.0049
0.0037
0.0027
0.0020
0.0014
0.0010
0.0007
0.0005
0.0004
0.0003
0.4641
0.4247
0.3859
0.3483
0.3121
0.2776
0.2451
0.2148
0.1867
0.1611
0.1379
0.1170
0.0985
0.0823
0.0681
0.0559
0.0455
0.0367
0.0294
0.0233
0.0183
0.0143
0.0110
0.0084
0.0064
0.0048
0.0036
0.0026
0.0019
0.0014
0.0010
0.0007
0.0005
0.0003
0.0002
78
Tabellensammlung
Tabelle C: Standardnormalverteilung
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
3.00
3.10
3.20
3.30
3.40
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
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0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
Tabellensammlung
79
Tabelle D: Prozentpunkte der Standardnormalverteilung
Z ∼ N (0, 1): Die Tabelle enthält die Prozentpunkte zp = Φ−1 (p) der Standardnormalverteilung.
p
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
0.100
0.110
0.120
0.130
0.140
0.150
0.160
0.170
0.180
0.190
0.200
0.210
0.220
0.230
0.240
0.250
0.260
0.270
0.280
0.290
0.300
0.310
0.320
0.330
0.340
0.350
0.360
0.370
0.380
0.390
0.400
0.410
0.420
0.430
0.440
0.450
0.460
0.470
0.480
0.490
−∞
-2.3263
-2.0537
-1.8808
-1.7507
-1.6449
-1.5548
-1.4758
-1.4051
-1.3408
-1.2816
-1.2265
-1.1750
-1.1264
-1.0803
-1.0364
-0.9945
-0.9542
-0.9154
-0.8779
-0.8416
-0.8064
-0.7722
-0.7388
-0.7063
-0.6745
-0.6433
-0.6128
-0.5828
-0.5534
-0.5244
-0.4959
-0.4677
-0.4399
-0.4125
-0.3853
-0.3585
-0.3319
-0.3055
-0.2793
-0.2533
-0.2275
-0.2019
-0.1764
-0.1510
-0.1257
-0.1004
-0.0753
-0.0502
-0.0251
-3.0902
-2.2904
-2.0335
-1.8663
-1.7392
-1.6352
-1.5464
-1.4684
-1.3984
-1.3346
-1.2759
-1.2212
-1.1700
-1.1217
-1.0758
-1.0322
-0.9904
-0.9502
-0.9116
-0.8742
-0.8381
-0.8030
-0.7688
-0.7356
-0.7031
-0.6713
-0.6403
-0.6098
-0.5799
-0.5505
-0.5215
-0.4930
-0.4649
-0.4372
-0.4097
-0.3826
-0.3558
-0.3292
-0.3029
-0.2767
-0.2508
-0.2250
-0.1993
-0.1738
-0.1484
-0.1231
-0.0979
-0.0728
-0.0476
-0.0226
-2.8782
-2.2571
-2.0141
-1.8522
-1.7279
-1.6258
-1.5382
-1.4611
-1.3917
-1.3285
-1.2702
-1.2160
-1.1650
-1.1170
-1.0714
-1.0279
-0.9863
-0.9463
-0.9078
-0.8705
-0.8345
-0.7995
-0.7655
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-0.6999
-0.6682
-0.6372
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-0.4344
-0.4070
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-0.3266
-0.3002
-0.2741
-0.2482
-0.2224
-0.1968
-0.1713
-0.1459
-0.1206
-0.0954
-0.0702
-0.0451
-0.0201
-2.7478
-2.2262
-1.9954
-1.8384
-1.7169
-1.6164
-1.5301
-1.4538
-1.3852
-1.3225
-1.2646
-1.2107
-1.1601
-1.1123
-1.0669
-1.0237
-0.9822
-0.9424
-0.9040
-0.8669
-0.8310
-0.7961
-0.7621
-0.7290
-0.6967
-0.6651
-0.6341
-0.6038
-0.5740
-0.5446
-0.5158
-0.4874
-0.4593
-0.4316
-0.4043
-0.3772
-0.3505
-0.3239
-0.2976
-0.2715
-0.2456
-0.2198
-0.1942
-0.1687
-0.1434
-0.1181
-0.0929
-0.0677
-0.0426
-0.0175
-2.6521
-2.1973
-1.9774
-1.8250
-1.7060
-1.6072
-1.5220
-1.4466
-1.3787
-1.3165
-1.2591
-1.2055
-1.1552
-1.1077
-1.0625
-1.0194
-0.9782
-0.9385
-0.9002
-0.8633
-0.8274
-0.7926
-0.7588
-0.7257
-0.6935
-0.6620
-0.6311
-0.6008
-0.5710
-0.5417
-0.5129
-0.4845
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-0.4289
-0.4016
-0.3745
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-0.3213
-0.2950
-0.2689
-0.2430
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-0.1917
-0.1662
-0.1408
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-0.0652
-0.0401
-0.0150
-2.5758
-2.1701
-1.9600
-1.8119
-1.6954
-1.5982
-1.5141
-1.4395
-1.3722
-1.3106
-1.2536
-1.2004
-1.1503
-1.1031
-1.0581
-1.0152
-0.9741
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-0.0376
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-2.5121
-2.1444
-1.9431
-1.7991
-1.6849
-1.5893
-1.5063
-1.4325
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-1.3047
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-0.0351
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-1.9110
-1.7744
-1.6646
-1.5718
-1.4909
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-0.0552
-0.0301
-0.0050
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-2.0749
-1.8957
-1.7624
-1.6546
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-1.4833
-1.4118
-1.3469
-1.2873
-1.2319
-1.1800
-1.1311
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-0.9581
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-0.1535
-0.1282
-0.1030
-0.0778
-0.0527
-0.0276
-0.0025
80
Tabellensammlung
Tabelle D: Prozentpunkte der Standardnormalverteilung
p
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.500
0.510
0.520
0.530
0.540
0.550
0.560
0.570
0.580
0.590
0.600
0.610
0.620
0.630
0.640
0.650
0.660
0.670
0.680
0.690
0.700
0.710
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0.790
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0.810
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0.860
0.870
0.880
0.890
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0.910
0.920
0.930
0.940
0.950
0.960
0.970
0.980
0.990
0.0000
0.0251
0.0502
0.0753
0.1004
0.1257
0.1510
0.1764
0.2019
0.2275
0.2533
0.2793
0.3055
0.3319
0.3585
0.3853
0.4125
0.4399
0.4677
0.4959
0.5244
0.5534
0.5828
0.6128
0.6433
0.6745
0.7063
0.7388
0.7722
0.8064
0.8416
0.8779
0.9154
0.9542
0.9945
1.0364
1.0803
1.1264
1.1750
1.2265
1.2816
1.3408
1.4051
1.4758
1.5548
1.6449
1.7507
1.8808
2.0537
2.3263
0.0025
0.0276
0.0527
0.0778
0.1030
0.1282
0.1535
0.1789
0.2045
0.2301
0.2559
0.2819
0.3081
0.3345
0.3611
0.3880
0.4152
0.4427
0.4705
0.4987
0.5273
0.5563
0.5858
0.6158
0.6464
0.6776
0.7095
0.7421
0.7756
0.8099
0.8452
0.8816
0.9192
0.9581
0.9986
1.0407
1.0848
1.1311
1.1800
1.2319
1.2873
1.3469
1.4118
1.4833
1.5632
1.6546
1.7624
1.8957
2.0749
2.3656
0.0050
0.0301
0.0552
0.0803
0.1055
0.1307
0.1560
0.1815
0.2070
0.2327
0.2585
0.2845
0.3107
0.3372
0.3638
0.3907
0.4179
0.4454
0.4733
0.5015
0.5302
0.5592
0.5888
0.6189
0.6495
0.6808
0.7128
0.7454
0.7790
0.8134
0.8488
0.8853
0.9230
0.9621
1.0027
1.0450
1.0893
1.1359
1.1850
1.2372
1.2930
1.3532
1.4187
1.4909
1.5718
1.6646
1.7744
1.9110
2.0969
2.4089
0.0075
0.0326
0.0577
0.0828
0.1080
0.1332
0.1586
0.1840
0.2096
0.2353
0.2611
0.2871
0.3134
0.3398
0.3665
0.3934
0.4207
0.4482
0.4761
0.5044
0.5330
0.5622
0.5918
0.6219
0.6526
0.6840
0.7160
0.7488
0.7824
0.8169
0.8524
0.8890
0.9269
0.9661
1.0069
1.0494
1.0939
1.1407
1.1901
1.2426
1.2988
1.3595
1.4255
1.4985
1.5805
1.6747
1.7866
1.9268
2.1201
2.4573
0.0100
0.0351
0.0602
0.0853
0.1105
0.1358
0.1611
0.1866
0.2121
0.2378
0.2637
0.2898
0.3160
0.3425
0.3692
0.3961
0.4234
0.4510
0.4789
0.5072
0.5359
0.5651
0.5948
0.6250
0.6557
0.6871
0.7192
0.7521
0.7858
0.8204
0.8560
0.8927
0.9307
0.9701
1.0110
1.0537
1.0985
1.1455
1.1952
1.2481
1.3047
1.3658
1.4325
1.5063
1.5893
1.6849
1.7991
1.9431
2.1444
2.5121
0.0125
0.0376
0.0627
0.0878
0.1130
0.1383
0.1637
0.1891
0.2147
0.2404
0.2663
0.2924
0.3186
0.3451
0.3719
0.3989
0.4261
0.4538
0.4817
0.5101
0.5388
0.5681
0.5978
0.6280
0.6588
0.6903
0.7225
0.7554
0.7892
0.8239
0.8596
0.8965
0.9346
0.9741
1.0152
1.0581
1.1031
1.1503
1.2004
1.2536
1.3106
1.3722
1.4395
1.5141
1.5982
1.6954
1.8119
1.9600
2.1701
2.5758
0.0150
0.0401
0.0652
0.0904
0.1156
0.1408
0.1662
0.1917
0.2173
0.2430
0.2689
0.2950
0.3213
0.3478
0.3745
0.4016
0.4289
0.4565
0.4845
0.5129
0.5417
0.5710
0.6008
0.6311
0.6620
0.6935
0.7257
0.7588
0.7926
0.8274
0.8633
0.9002
0.9385
0.9782
1.0194
1.0625
1.1077
1.1552
1.2055
1.2591
1.3165
1.3787
1.4466
1.5220
1.6072
1.7060
1.8250
1.9774
2.1973
2.6521
0.0175
0.0426
0.0677
0.0929
0.1181
0.1434
0.1687
0.1942
0.2198
0.2456
0.2715
0.2976
0.3239
0.3505
0.3772
0.4043
0.4316
0.4593
0.4874
0.5158
0.5446
0.5740
0.6038
0.6341
0.6651
0.6967
0.7290
0.7621
0.7961
0.8310
0.8669
0.9040
0.9424
0.9822
1.0237
1.0669
1.1123
1.1601
1.2107
1.2646
1.3225
1.3852
1.4538
1.5301
1.6164
1.7169
1.8384
1.9954
2.2262
2.7478
0.0201
0.0451
0.0702
0.0954
0.1206
0.1459
0.1713
0.1968
0.2224
0.2482
0.2741
0.3002
0.3266
0.3531
0.3799
0.4070
0.4344
0.4621
0.4902
0.5187
0.5476
0.5769
0.6068
0.6372
0.6682
0.6999
0.7323
0.7655
0.7995
0.8345
0.8705
0.9078
0.9463
0.9863
1.0279
1.0714
1.1170
1.1650
1.2160
1.2702
1.3285
1.3917
1.4611
1.5382
1.6258
1.7279
1.8522
2.0141
2.2571
2.8782
0.0226
0.0476
0.0728
0.0979
0.1231
0.1484
0.1738
0.1993
0.2250
0.2508
0.2767
0.3029
0.3292
0.3558
0.3826
0.4097
0.4372
0.4649
0.4930
0.5215
0.5505
0.5799
0.6098
0.6403
0.6713
0.7031
0.7356
0.7688
0.8030
0.8381
0.8742
0.9116
0.9502
0.9904
1.0322
1.0758
1.1217
1.1700
1.2212
1.2759
1.3346
1.3984
1.4684
1.5464
1.6352
1.7392
1.8663
2.0335
2.2904
3.0902
Tabellensammlung
81
Tabelle E: Prozentpunkte der t-Verteilung
T ∼ t(ν): Die Tabelle enthält die Prozentpunkte tp (ν) der t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden.
p
ν
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
0.975
0.99
0.995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
60
70
80
90
100
∞
1.0000
0.8165
0.7649
0.7407
0.7267
0.7176
0.7111
0.7064
0.7027
0.6998
0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912
0.6901
0.6892
0.6884
0.6876
0.6870
0.6864
0.6858
0.6853
0.6848
0.6844
0.6840
0.6837
0.6834
0.6830
0.6828
0.6825
0.6822
0.6820
0.6818
0.6816
0.6814
0.6812
0.6810
0.6808
0.6807
0.6794
0.6786
0.6780
0.6776
0.6772
0.6770
0.6745
1.3764
1.0607
0.9785
0.9410
0.9195
0.9057
0.8960
0.8889
0.8834
0.8791
0.8755
0.8726
0.8702
0.8681
0.8662
0.8647
0.8633
0.8620
0.8610
0.8600
0.8591
0.8583
0.8575
0.8569
0.8562
0.8557
0.8551
0.8546
0.8542
0.8538
0.8534
0.8530
0.8526
0.8523
0.8520
0.8517
0.8514
0.8512
0.8509
0.8507
0.8489
0.8477
0.8468
0.8461
0.8456
0.8452
0.8416
1.9626
1.3862
1.2498
1.1896
1.1558
1.1342
1.1192
1.1081
1.0997
1.0931
1.0877
1.0832
1.0795
1.0763
1.0735
1.0711
1.0690
1.0672
1.0655
1.0640
1.0627
1.0614
1.0603
1.0593
1.0584
1.0575
1.0567
1.0560
1.0553
1.0547
1.0541
1.0535
1.0530
1.0525
1.0520
1.0516
1.0512
1.0508
1.0504
1.0500
1.0473
1.0455
1.0442
1.0432
1.0424
1.0418
1.0364
3.0777
1.8856
1.6377
1.5332
1.4759
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
1.3634
1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.3368
1.3334
1.3304
1.3277
1.3253
1.3232
1.3212
1.3195
1.3178
1.3163
1.3150
1.3137
1.3125
1.3114
1.3104
1.3095
1.3086
1.3077
1.3070
1.3062
1.3055
1.3049
1.3042
1.3036
1.3031
1.2987
1.2958
1.2938
1.2922
1.2910
1.2901
1.2816
6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459
1.7396
1.7341
1.7291
1.7247
1.7207
1.7171
1.7139
1.7109
1.7081
1.7056
1.7033
1.7011
1.6991
1.6973
1.6955
1.6939
1.6924
1.6909
1.6896
1.6883
1.6871
1.6860
1.6849
1.6839
1.6759
1.6706
1.6669
1.6641
1.6620
1.6602
1.6449
12.7062
4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1314
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
2.0796
2.0739
2.0687
2.0639
2.0595
2.0555
2.0518
2.0484
2.0452
2.0423
2.0395
2.0369
2.0345
2.0322
2.0301
2.0281
2.0262
2.0244
2.0227
2.0211
2.0086
2.0003
1.9944
1.9901
1.9867
1.9840
1.9600
31.8205
6.9646
4.5407
3.7470
3.3649
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
2.5835
2.5669
2.5524
2.5395
2.5280
2.5176
2.5083
2.4999
2.4922
2.4851
2.4786
2.4727
2.4671
2.4620
2.4573
2.4528
2.4487
2.4448
2.4411
2.4377
2.4345
2.4314
2.4286
2.4258
2.4233
2.4033
2.3901
2.3808
2.3739
2.3685
2.3642
2.3263
63.6567
9.9248
5.8409
4.6041
4.0322
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
2.9208
2.8982
2.8784
2.8609
2.8453
2.8314
2.8188
2.8073
2.7969
2.7874
2.7787
2.7707
2.7633
2.7564
2.7500
2.7440
2.7385
2.7333
2.7284
2.7238
2.7195
2.7154
2.7116
2.7079
2.7045
2.6778
2.6603
2.6479
2.6387
2.6316
2.6259
2.5758
82
Tabellensammlung
Tabelle F: Prozentpunkte der χ2 -Verteilung
χ2 ∼ χ2 (ν): Die Tabelle enthält die Prozentpunkte χ2p (ν) der χ2 -Verteilung mit ν Freiheitsgraden.
p
ν
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
0.000
0.010
0.039
0.195
0.406
0.673
0.987
1.343
1.734
2.155
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
17.192
20.707
24.311
27.991
31.735
35.534
39.383
43.275
47.206
51.172
55.170
59.196
63.250
67.328
0.000
0.020
0.100
0.292
0.552
0.871
1.238
1.646
2.088
2.558
3.053
3.570
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
12.198
12.878
13.565
14.256
14.953
18.509
22.164
25.901
29.707
33.570
37.485
41.444
45.442
49.475
53.540
57.634
61.754
65.898
70.065
0.001
0.051
0.213
0.484
0.831
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
20.569
24.433
28.366
32.357
36.398
40.482
44.603
48.758
52.942
57.153
61.389
65.647
69.925
74.222
0.004
0.103
0.353
0.712
1.146
1.636
2.168
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
22.465
26.509
30.612
34.764
38.958
43.188
47.450
51.739
56.054
60.391
64.749
69.126
73.520
77.929
0.016
0.211
0.587
1.065
1.611
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
20.599
24.797
29.051
33.350
37.689
42.060
46.459
50.883
55.329
59.795
64.278
68.777
73.291
77.818
82.358
2.706
4.605
6.252
7.780
9.237
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
46.059
51.805
57.505
63.167
68.796
74.397
79.973
85.527
91.061
96.578
102.079
107.565
113.038
118.498
3.841
5.991
7.816
9.488
11.071
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
49.802
55.758
61.656
67.505
73.311
79.082
84.821
90.531
96.217
101.879
107.522
113.145
118.752
124.342
5.024
7.378
9.350
11.144
12.833
14.450
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
41.923
43.195
44.461
45.722
46.979
53.203
59.342
65.410
71.420
77.380
83.298
89.177
95.023
100.839
106.629
112.393
118.136
123.858
129.561
6.635
9.210
11.346
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
57.342
63.691
69.957
76.154
82.292
88.379
94.422
100.425
106.393
112.329
118.236
124.116
129.973
135.807
7.879
10.597
12.836
14.859
16.749
18.547
20.277
21.955
23.589
25.188
26.757
28.299
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.559
46.928
48.290
49.645
50.993
52.336
53.672
60.275
66.766
73.166
79.490
85.749
91.952
98.105
104.215
110.286
116.321
122.325
128.299
134.247
140.169
Tabellensammlung
83
Tabelle G: Prozentpunkte der F -Verteilung
F ∼ F (m, `): Die Tabelle enthält die Prozentpunkte Fp (m, `) der F -Vtlg. mit m und ` Freiheitsgraden.
p = 0.95
m
`
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
161.45
18.51
10.13
7.71
6.61
5.99
5.59
5.32
5.12
4.96
4.84
4.75
4.67
4.60
4.54
4.49
4.45
4.41
4.38
4.35
4.32
4.30
4.28
4.26
4.24
4.23
4.21
4.20
4.18
4.17
4.12
4.08
4.06
4.03
4.02
4.00
3.99
3.98
3.97
3.96
3.95
3.95
3.94
3.94
199.50
19.00
9.55
6.94
5.79
5.14
4.74
4.46
4.26
4.10
3.98
3.89
3.81
3.74
3.68
3.63
3.59
3.55
3.52
3.49
3.47
3.44
3.42
3.40
3.39
3.37
3.35
3.34
3.33
3.32
3.27
3.23
3.20
3.18
3.16
3.15
3.14
3.13
3.12
3.11
3.10
3.10
3.09
3.09
215.71
19.16
9.28
6.59
5.40
4.75
4.34
4.06
3.86
3.70
3.58
3.48
3.40
3.34
3.28
3.23
3.19
3.15
3.12
3.09
3.07
3.04
3.02
3.00
2.99
2.97
2.96
2.94
2.93
2.92
2.87
2.83
2.81
2.79
2.77
2.75
2.74
2.73
2.72
2.71
2.71
2.70
2.70
2.69
224.58
19.25
9.14
6.39
5.19
4.53
4.12
3.84
3.63
3.48
3.35
3.26
3.18
3.11
3.05
3.01
2.96
2.93
2.89
2.86
2.84
2.82
2.79
2.77
2.76
2.74
2.73
2.71
2.70
2.69
2.64
2.60
2.58
2.56
2.54
2.52
2.51
2.50
2.49
2.48
2.48
2.47
2.47
2.46
230.16
19.30
9.04
6.26
5.05
4.39
3.97
3.69
3.48
3.33
3.20
3.11
3.02
2.96
2.90
2.85
2.81
2.77
2.74
2.71
2.68
2.66
2.64
2.62
2.60
2.59
2.57
2.56
2.54
2.53
2.48
2.45
2.42
2.40
2.38
2.37
2.36
2.35
2.34
2.33
2.32
2.32
2.31
2.30
233.99
19.33
8.97
6.17
4.95
4.28
3.87
3.58
3.37
3.22
3.09
3.00
2.91
2.85
2.79
2.74
2.70
2.66
2.63
2.60
2.57
2.55
2.53
2.51
2.49
2.47
2.46
2.44
2.43
2.42
2.37
2.34
2.31
2.29
2.27
2.25
2.24
2.23
2.22
2.21
2.21
2.20
2.20
2.19
236.77
19.35
8.92
6.10
4.88
4.21
3.79
3.50
3.29
3.14
3.01
2.91
2.83
2.76
2.71
2.66
2.61
2.58
2.54
2.51
2.49
2.46
2.44
2.42
2.40
2.39
2.37
2.36
2.35
2.33
2.29
2.25
2.22
2.20
2.18
2.17
2.15
2.14
2.13
2.13
2.12
2.11
2.11
2.10
238.88
19.37
8.88
6.05
4.82
4.15
3.73
3.44
3.23
3.07
2.95
2.85
2.77
2.70
2.64
2.59
2.55
2.51
2.48
2.45
2.42
2.40
2.37
2.35
2.34
2.32
2.31
2.29
2.28
2.27
2.22
2.18
2.15
2.13
2.11
2.10
2.08
2.07
2.06
2.06
2.05
2.04
2.04
2.03
240.54
19.38
8.84
6.01
4.77
4.10
3.68
3.39
3.18
3.02
2.90
2.80
2.71
2.65
2.59
2.54
2.49
2.46
2.42
2.39
2.37
2.34
2.32
2.30
2.28
2.27
2.25
2.24
2.22
2.21
2.16
2.12
2.10
2.07
2.06
2.04
2.03
2.02
2.01
2.00
1.99
1.99
1.98
1.97
241.88
19.40
8.82
5.97
4.74
4.06
3.64
3.35
3.14
2.98
2.85
2.75
2.67
2.60
2.54
2.49
2.45
2.41
2.38
2.35
2.32
2.30
2.27
2.25
2.24
2.22
2.20
2.19
2.18
2.16
2.11
2.08
2.05
2.03
2.01
1.99
1.98
1.97
1.96
1.95
1.94
1.94
1.93
1.93
84
Tabellensammlung
Tabelle G: Prozentpunkte der F -Verteilung
p = 0.95
m
`
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
242.98
19.40
8.80
5.94
4.71
4.03
3.60
3.31
3.10
2.94
2.82
2.72
2.63
2.57
2.51
2.46
2.41
2.37
2.34
2.31
2.28
2.26
2.24
2.22
2.20
2.18
2.17
2.15
2.14
2.13
2.07
2.04
2.01
1.99
1.97
1.95
1.94
1.93
1.92
1.91
1.90
1.90
1.89
1.89
243.91
19.41
8.78
5.92
4.68
4.00
3.58
3.28
3.07
2.91
2.79
2.69
2.60
2.53
2.48
2.42
2.38
2.34
2.31
2.28
2.25
2.23
2.20
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2.13
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2.07
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1.70
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Tabellensammlung
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Tabelle G: Prozentpunkte der F -Verteilung
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2.21
2.20
2.19
2.19
2.18
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Tabellensammlung
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