Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen

Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen
Gabriele Link
11.11.2013
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Erinnerung: Verknüpfung
Gegeben sei eine Menge M.
Eine (innere) Verknüpfung ∗ auf M ist eine Abbildung
∗ : M × M → M,
(x, y ) 7→ x ∗ y .
Eine Verknüpfung ∗ heißt assoziativ, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c),
und kommutativ, wenn für alle a, b ∈ M gilt
a ∗ b = b ∗ a.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Neutrales und inverses Element
Ist ∗ eine Verknüpfung auf M und gibt es ein Element e ∈ M mit
∀a ∈ M : e ∗ a = a = a ∗ e,
so heißt e neutrales Element bezüglich ∗.
Ist ∗ eine Verknüpfung auf M mit neutralem Element e und gibt
es zu einem Element a ∈ M ein a−1 ∈ M mit
a−1 ∗ a = e = a ∗ a−1 ,
so heißt a−1 inverses Element von a.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Zwei Bemerkungen
Es gibt höchstens ein neutrales Element für eine Verknüpfung
∗ auf M.
Falls ∗ assoziativ ist, gibt es zu einem a ∈ M höchstens ein
Inverses a−1 .
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Gruppe: die Definition
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ∗) bestehend aus einer (nichtleeren)
Menge G und einer Verknüpfung ∗ auf G mit:
(1)
∀a, b, c ∈ G :
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
(2)
∃e ∈ G ∀a ∈ G :
e ∗a=a=a∗e
(3)
(assoziativ)
(neutrales Element)
∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G :
a−1 ∗ a = e = a ∗ a−1
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(inverses Element)
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Abelsche Gruppe
Gilt zusätzlich
∀a, b ∈ G : a ∗ b = b ∗ a,
so heißt die Gruppe G kommutativ oder auch abelsch.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Beispiele
1
(Z, +), (Q, +), (R, +), (R\{0}, ·) sind abelsche Gruppen.
(Z, ·) und (Q, ·) sind keine Gruppen.
2
(Z/nZ, +) ist eine abelsche Gruppe. [0] ist das neutrale
Element und [n − r ] ist das zu [r ] inverse Element
(0 ≤ r < n).
3
Die Menge Bij(M) ⊆ Abb(M, M) der bijektiven
Selbstabbildungen einer Menge M 6= ∅ ist bezüglich der
Komposition ◦ eine Gruppe; die Identität idM ist das neutrale
Element.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Symmetrische Gruppe, Permutationen
Ist M = {1, 2, . . . , n}, so heißt die Menge der bijektiven
Selbstabbildungen Bij(M, M) von M die symmetrische Gruppe
von n Elementen und wird bezeichnet mit Sn statt Bij(M).
Ihre Elemente nennt man Permutationen.
Es gibt 1 · 2 · 3 · · · · · n = n! Permutationen der Menge
{1, 2, . . . , n}; die Gruppe Sn hat also n! Elemente.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Produkt, erzeugende Menge, zyklische Gruppe
Es sei (G .∗) eine Gruppe.
Für endlich viele Elemente a1 , a2 , . . . an ∈ G schreibt man das
Produkt dieser Elemente abkürzend in der Form
n
Y
ai := a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ an .
i=1
Man sagt, eine Teilmenge M ⊆ G erzeugt die Gruppe G (und
schreibt G = hMi), falls jedes Element von G als Produkt von
(endlich vielen) Elementen in M ∪ M −1 geschrieben werden kann.
Dabei ist M −1 := {a−1 | a ∈ M}.
Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls a ∈ G existiert mit G = h{a}i.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Strukturerhaltende Abbildungen zwischen Gruppen
Seien (G , ∗) und (H, ◦) zwei Gruppen und Φ : G → H eine
Abbildung.
Φ heißt (Gruppen-)Homomorphismus, wenn gilt
∀x, y ∈ G : Φ(x ∗ y ) = Φ(x) ◦ Φ(y ).
Stimmen die beiden Gruppen (G , ∗) und (H, ◦) überein (ist Φ also
eine Selbstabbildung), so heißt Φ Endomorphismus.
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus, einen
bijektiven Endomorphismus nennt man Automorphismus.
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Beispiele
Φ1 : Z → Q, x 7→ x 2 ist kein Homomorphismus.
Φ2 : Z → Q, x 7→ 3x ist ein injektiver Homomorphismus der
Gruppe (Z, +) in die Gruppe (Q, +), aber kein Isomorphismus.
Φ3 : Z → Z, x 7→ 3x ist ein Endomorphismus der Gruppe
(Z, +), aber kein Automorphismus.
Die Abbildung Φ4 : R → R, x 7→ 3x ist ein Endomorphismus
der Gruppe (R, +), der sogar ein Automorphismus ist.
Die Exponentialabbildung exp : R → R>0 , x 7→ ex ist ein Isomorphismus der additiven Gruppe der reellen Zahlen (R, +) in
die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen (R>0 , ·).
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Untergruppen
Sei (G , ∗) eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G . Dann
heißt H Untergruppe von G , falls H bezüglich der von G
induzierten Verknüpfung ∗ ebenfalls eine Gruppe ist.
Satz: Untergruppen-Kriterium
Sei (G , ∗) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊆ G ist genau dann
Untergruppe von G , wenn gilt
(1)
e∈H
(2)
∀h ∈ H :
h−1 ∈ H
(3)
∀ g, h ∈ H :
g ∗h ∈H
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Definition einer Gruppe
Gruppenhomomorphismen
Untergruppen
Beispiele
1
(Z, +) ist eine Untergruppe von (Q, +).
2
Jede Gruppe (G , ∗) hat mindestens zwei Untergruppen:
({e}, ∗) und (G , ∗).
3
Für n ∈ N0 ist die Menge nZ := {nk | k ∈ Z} eine
Untergruppe von (Z, +).
4
Die Teilmenge Aut(G ) der Automorphismen einer Gruppe G
ist eine Untergruppe von Bij(G ).
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