1D Plasmasimulation im Rahmen der Quanten-Vlasov

1-D Plasmasimulation im Rahmen
der Quanten-Vlasov-Gleichung
von
Ansgar Schmidt-Bleker
Diplomarbeit in Physik
vorgelegt der
Fakultät für Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften
der RWTH Aachen
im Februar 2010
angefertigt im
Institut für Theoretische Physik A
Lehr- und Forschungsgebiet Laserphysik
Prof. Dr. H.-J. Kull
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Einleitung
1.1
Motivation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Physikalisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Kinetische Theorie
6
2.1
Vom Liouville-Theorem zur Vlasov-Theorie . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Von der Von-Neumann-Gleichung zur Quanten-Vlasov-Gleichung
8
2.3
Plasmaschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Numerische Methoden
12
3.1
Atomare Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2
3.3
Numerische Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung . .
13
3.2.1
Crank-Nicolson-Algorithmus
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.2
Sherman-Morrison-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2.3
Matrixinversion durch LU-Zerlegung . . . . . . . . . . . .
17
3.2.4
Bewegung eines freien Wellenpaketes . . . . . . . . . . . .
18
3.2.5
Grundzustand des harmonischen Oszillators . . . . . . . .
20
3.2.6
Lokale Propagation lokalisierter Wellenfunktionen . . . .
21
Potentialberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3.1
3.4
3.5
4
3
Numerische Lösung der Poisson-Gleichung für N Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3.2
Eigenfeldkorrektur lokalisierter Wellenfunktionen . . . . .
27
3.3.3
Interpretation periodischer und lokalisierter Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.4
Eigenfeldkorrektur periodischer Wellenfunktionen . . . . .
31
3.3.5
Ordnung des Fehlers bei der Potentialberechnung . . . . .
31
Parallelisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4.1
OpenMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4.2
Parallelisierung des Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Ebene Wellen mit groÿem Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.5.1
Testprogramm für die Propagation schneller Teilchen . . .
35
3.5.2
Lösung der SGL in gleichförmig bewegten Bezugssystemen 38
Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
41
4.1
42
Zweiteilchen-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4.2
5
45
Quanten-Vlasov-Simulationen
46
5.1
Klassische Plasmasimulationen mit der particle-in-cell-Methode .
46
5.2
Modellbildung für Quanten-Vlasov-Simulationen . . . . . . . . .
49
5.2.1
Repräsentatives Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2.2
Störungsrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.2.3
Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Theoretische Vorhersagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.3
5.4
6
Skalierungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1
Kontinuierliche Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . .
52
5.3.2
Diskrete Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
53
Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.4.1
Kaltes Quantenplasma - 1 Ensemblezustand . . . . . . . .
57
5.4.2
Demonstration der Schwebungen- 5 Ensemblezustände . .
59
5.4.3
Fermiverteilung - 1001 Ensemblezustände . . . . . . . . .
59
5.4.4
Fermiverteilung - 201 Ensemblezustände . . . . . . . . . .
62
Zusammenfassung
A Integraltransformationen
62
65
A.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
A.2 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4
1 Einleitung
1
1.1
Einleitung
Motivation
Das Verständnis der Dynamik von Quantenplasmen ist für verschiedene physikalische Fragestellungen von Interesse. Darunter fallen beispielsweise die Dynamik
von Elektronen in Metallen und Halbleitern [1, 2], Laser-Materie-Wechselwirkung
[3] und astrophysikalische Materie unter extremen Bedingungen, wie man sie
in weiÿen Zwergen oder Neutronensternen ndet [4]. Für klassische Plasmen,
welche sich im Rahmen der Vlasov-Theorie beschreiben lassen, existieren bereits
hochentwickelte Algorithmen auf Basis der Particle-in-Cell-Methode [5, 6, 7].
Ziel dieser Arbeit ist es, basierend auf der Quanten-Vlasov-Theorie eine numerische Methode zu entwickeln, mit welcher die Dynamik von Quantenplasmen unter Vernachlässigung von Korrelations- und Austauscheekten korrekt
simuliert werden kann. Dazu wird ein eindimensionales, spinloses Elektronenplasma in einem periodischen System betrachtet, dessen Elektronen über ein
gemitteltes, elektrostatisches Potential miteinander wechselwirken. Die Ladungsneutralität wird durch einen homogenen Ionenhintergrund gewährleistet, was
aufgrund der unterschiedlichen Relaxationszeiten von Elektronen und Ionen,
τee τii , ein sinnvolles Modell darstellt [8].
1.2
Physikalisches Modell
Klassische Plasmen lassen sich über das Verhältnis von potentieller und kinetischer Energie, dem dimensionslosen Kopplungsparameter
ΓK =
Epot
e2
=
Ekin
r0 kB T
(1.1)
klassizieren, wobei e die Elementarladung, r0 den mittleren Teilchenabstand,
kB die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur bezeichnet [9]. Der Fall
ΓK 1 charakterisiert ideale Plasmen, in welchen die potentielle Energie zweier
Teilchen im Abstand r0 viel kleiner ist als die mittlere kinetische Energie. Der
Wechselwirkungsquerschnitt wird somit klein, weswegen solche Plasmen auch
als stoÿfrei bezeichnet werden. Für solche Plasmen ist die Zeitentwicklung der
Einteilchen-Verteilungsfunktion f (x, p) durch die Vlasov-Gleichung
∂f
+ {f, H} = 0,
∂t
(1.2)
5
1 Einleitung
gegeben. Dabei ist H die Hamilton-Funktion des Systems und
{a, b} =
X ∂a ∂b
∂b ∂a
(
−
)
∂x
∂p
∂x
i
i
i ∂pi
i
(1.3)
die Poisson-Klammer. Diese Gleichung wurde zuerst von A. A. Vlasov angegeben
[10]. Die Stoÿfreiheit des Plasmas äuÿert sich dadurch, dass im Gegensatz zur
Boltzmann-Gleichung, der Stoÿterm auf der rechten Seite entfällt [8].
In entarteten Quantensystemen ist die mittlere kinetische Energie durch die
1
Fermienergie EF gegeben, welche mit der Fermi-Wellenzahl kF = (3π 2 n0 ) 3 ∼
über EF =
2
~2 k F
2me
1
r0
zusammenhängt, wobei n0 die mittere Elektronendichte, me die
Elektronenmasse und ~ das Plancksche Wirkungsquantum bezeichnet. Damit
lautet der quantenmechanische Kopplungsparameter
ΓQM =
Epot
e2 me r0
.
=
EF
~2
(1.4)
Ideale Quantenplasmen mit ΓQM 1 sind somit extrem dichte Plasmen, während
es sich bei klassischen, idealen Plasmen um dünne, heiÿe Plasmen handelt [11].
Nach [12] ist Gleichung (1.4) äquivalent zur Bedingung
~ωp
1,
EF
mit der Plasmafrequenz ωp =
p
(1.5)
4πe2 n0 /me .
Die Quanten-Vlasov-Gleichung lässt sich in der Form
(1.6)
i~∂t ρ̂ + [ρ̂, Ĥ] = 0,
mit ρ̂(t) =
X
wi |ψi (t)ihψi (t)|,
i
und Ĥ =
X
wi = 1
(1.7)
i
p̂2
− eφ(x, t)
2me
(1.8)
angeben, wobei im Vergleich zur klassischen Vlasov-Gleichung (1.2) an die Stelle
der Poisson-Klammer der Kommutator [â, b̂] = âb̂ − b̂â der Operatoren â und b̂
tritt [12, 13]. Der Einteilchen-Dichteoperator ρ̂ und der Hamilton-Operator Ĥ
sind in den Gleichungen (1.7) und (1.8) deniert. Dabei bezeichnet p̂ = ~i ∇ den
Impulsoperator und wi die statistische Wahrscheinlichkeit des Einteilchenzustandes |ψi i. Der Erwartungswert hAi eines Einteilchen-Operators  lässt sich
6
1 Einleitung
durch Bildung der Spur wie folgt berechnen:
(1.9)
hA(t)i = T r(ρ̂Â).
Das elektrische Potential φ(x, t) wird selbstkonsistent mit der Poisson-Gleichung,
∆φ(x, t) = −4π ατ (x, t),
α=
N −1
,
N
(1.10)
berechnet. Der Faktor α nimmt dabei für groÿe Teilchenzahlen N den Wert
α ≈ 1 an. Dazu wird die Ladungsdichte τ aus der Elektronendichte ne und
der Ionendichte ni über τ = e(Zni − ne ) berechnet. Z bezeichnet dabei die
Kernladungszahl der als vollständig ionisiert angenommenen Ionen. Die Elektronendichte wiederum wird mit dem Operator n̂(x) = δ(x − x0 ) und Gleichung
(1.9) bestimmt. Damit ergibt sich die Elektronendichte zu
ˆ
ne = N hx|ρ̂δ(x − x0 )|x0 i = N
X
wi |ψi (x)|2 ,
dx |ψi (x)|2 = 1.
(1.11)
i
Die Quanten-Vlasov-Beschreibung hat eine gewisse Ähnlichkeit zum HartreeModell, in welchem jedes Elektron durch eine Einteilchen-Wellenfunktion |ψiH i
beschrieben wird, auf welche ein selbstkonsistentes Feld wirkt [14]. Der entscheidende Unterschied ist allerdings die Interpretation der Zustände |ψiH i im Hartreeund |ψi i im Vlasov-Modell. Während die |ψiH i jeweils ein Elektron beschreiben,
handelt es sich bei den |ψi i um Ensemblezustände, welche die statistischen
Wahrscheinlichkeiten wi besitzen. Die Fermi-Statistik des Elektronensystems
wird in dieser Näherung lediglich über die Wahrscheinlichkeiten wi berücksichtigt, während Korrelations- und Austauscheekte für kurze Zeiten (von der
Gröÿenordnung der Plasmaperiode Tp = 2π/ωp ) in idealen Plasmen vollkommen vernachlässigt werden können.
Die Zeitentwicklung der Dichtematrix direkt über die Quanten-Vlasov-Gleichung
(1.6) zu lösen wäre numerisch äuÿerst aufwendig. In jedem Zeitschritt muss ne
über Gleichung (1.11) in der Ortsdarstellung berechnet werden. In der Ortsdarstellung von Gleichung (1.6) steigt die Anzahl der Matrixelemente ρij (x) =
hxi |ρ|xj i jedoch quadratisch mit der Anzahl der notwendiger Weise diskretisierten
Ortseigenfunktionen |xi i. Wählt man hingegen eine Darstellung in der ρij Diagonalform besitzt, ist zur Dichteberechnung in jedem Zeitschritt ein Darstellungswechsel notwendig. In dieser Arbeit wird stattdessen ein repräsentatives
Ensemble von Einteilchen-Zuständen ψi (x) betrachtet, welche mit der Schrödinger-
7
2 Kinetische Theorie
Gleichung in der Orstdarstellung
i~∂t ψi (x) = Ĥψi (x)
(1.12)
propagiert werden. Ĥ ist dabei die Einteilchen-Hamilton-Funktion (1.8) und das
Potential wird selbstkonsistent über die Gleichungen (1.10) und (1.11) bestimmt.
1.3
Überblick
Kapitel 2 gibt eine Einführung in die Kinetik und zeigt die Analogien zwischen
den Gleichungen der klassischen Vlasov-Theorie und der Quanten-Vlasov-Theorie.
In Kapitel 3 werden die numerischen Methoden zur Lösung der SchrödingerGleichung und zur Potentialberechnung vorgestellt und deren Funktionalität an
einfachen Beispielen demonstriert. Die in Kapitel 4 vorgestellten Simulationsergebnisse stellen die Wechselwirkung lokalisierter Elektronen ohne Überlapp
dar. Bei diesen Simulationen wird eine exakte Eigenfeldkorrektur vorgenommen.
Die eigentlichen Quanten-Vlasov-Simulationen werden in Kapitel 5 vorgestellt.
Dort werden zunächst analytische Rechnungen durchgeführt, welche dann mit
Simulationsergebnissen verglichen werden.
2
2.1
Kinetische Theorie
Vom Liouville-Theorem zur Vlasov-Theorie
Liouville-Theorem
Gemäÿ dem Liouville-Theorem kann ein klassisches N-Teilchen-System durch
ein Ensemble von Zuständen im 6N -dimensionalen Phasenraum beschrieben
werden. Dazu wird die Liouville-Funktion,
fN (x, p)
mit x = (x1 . . . xN ), p = (p1 , . . . pN ),
(2.1)
als Wahrscheinlichkeitsdichte über dem Phasenraum deniert [15]. Diese Verteilungsfunktion genügt der Liouville-Gleichung
∂fN
+ {fN , H} = 0.
∂t
(2.2)
Der zeitabhängige makroskopische Erwartungswert hA(t)i einer Observablen
A(x, p), ist nach der Ergodenhypothese identisch zu der Mittelung der Ob-
8
2 Kinetische Theorie
servablen über die Liouvillefunktion [16]:
ˆ
hA(t)i =
dx dp fN (x, p, t) A(x, p).
(2.3)
Reduzierte Verteilungsfunktionen
Bei Ununterscheidbarkeit der Teilchen ist die Kenntnis der N -Teilchen-Verteilungsfunktion zum Berechnen makroskopischer Erwartungswerte nicht notwendig.
Hängt die zu mittelnde Observable nur von den Koordinaten x1 , . . . xS , p1 , . . . pS
ab, so kann über die Koordinaten xS+1 , . . . xN , pS+1 , . . . pN integriert werden
und man erhält unter Berücksichtung aller möglichen Permutationen die reduzierte S -Teilchen-Verteilungsfunktion,
N!
fS =
(N − S)!
ˆ
d3xS+1 . . . d3xN d3pS+1 . . . d3pN fN ,
(2.4)
mit welcher sich der Mittelwert einer S -Teilchen-Observalbe AS über
ˆ
hAS (t)i =
d3x1 . . . d3xS d3p1 . . . d3pS fS A(x1 , . . . xS , p1 , . . . pS )
berechnen lässt [8]. Allerdings hängt die Zeitentwicklung von fS (t) von fS+1 (t)
ab, fS+1 (t) wiederum von fS+2 (t), usw. Dies ist die BBGKY1 -Hierarchie [17],
die zur Folge hat, dass für die Berechnung der Zeitentwicklung der EinteilchenVerteilungsfunktion f (t) ≡ f1 (t) letztendlich selbst fN (t) benötigt wird.
Vlasov-Gleichung
In der Literatur wird die Vlasov-Gleichung meist von der BBGKY-Hierarchie
abgeleitet unter der Annahme, dass sich die Zweiteilchen-Verteilungsfunktion f2
bei Vernachlässigung von Korrelationen durch die Einteilchen-Verteilungsfunktion
ausdrücken lässt [8, 18]:
f2 (x1 , p1 , x2 , p2 ) = f (x1 , p1 ) f (x2 , p2 ).
(2.5)
Eine molekulare Herleitung der Vlasov-Gleichung ndet sich in [12]. Die dort
vorgestellte Methode bedient sich einer Diagrammtechnik, um ausgehend von
der Liouville-Gleichung eine formale Lösung für die Zeitentwicklung von fN (t)
aufzustellen. Anschlieÿend werden in der allgemeinen Lösung all jene Diagramme
1
nach Brillouin, Bogoliubov, Green, Kirkwood und Yvon
9
2 Kinetische Theorie
vernachlässigt, welche für Zeiten von der Gröÿenordnung der Plasmaperiode,
2π
Tp =
= 2π
ωp
r
me
,
4πe2 n0
(2.6)
vernachlässigbare Beiträge liefern. Schlieÿlich kann so durch Integration über
x2 , . . . xN , p2 , . . . pN die Vlasov-Gleichung,
∂t f +
p
· ∂x f − ∂p f · ∂x
m
ˆ
dx0 dp0 f (x0 , p0 )V (|x − x0 |) = 0,
(2.7)
aufgestellt werden. Die bereits in Gleichung (1.5) eingeführte Plasmafrequenz ωp
ist die charakteristische Frequenz elektrostatischer Schwingungen in Plasmen.
2.2
Von der Von-Neumann-Gleichung zur
Quanten-Vlasov-Gleichung
Von-Neumann-Gleichung und Quanten-Liouville-Funktion
Das Analogon zur Liouville-Gleichung (1.2) in der Quantenmechanik ist die
Von-Neumann-Gleichung
i~∂t ρ̂N + [ρ̂N , Ĥ] = 0,
(2.8)
wobei der Kommutator [â, b̂] = âb̂ − b̂â an die Stelle der Poisson-Klammern tritt
und ρ̂N die N -Teilchen-Dichtematrix
ρ̂N =
X
wn |ψn ihψn |
n
des Systems bezeichnet [2]. Der N -Teilchen-Ensemblezustand |ψn i besitzt damit
die statistische Wahrscheinlichkeit wn . Der Erwartungswert eines Operators Â
wird über die Spur
hA(t)i = T r(ρ̂Â)
(2.9)
berechnet. Allerdings ist es auch möglich, den Mittelwert (2.9) mit Hilfe der
Wignerfunktion2
W
fN
(x, p) =
2
1
2π
ˆ
∞
1
1
dξ exp (−ip · ξ) hx + ξ|ρ̂|x − ξi
2
2
−∞
In der Literatur teilweise auch als Quanten-Verteilungsfunktion bezeichnet.
(2.10)
10
2 Kinetische Theorie
analog zum klassischen Ausdruck (2.3) darzustellen [19, 20]:
ˆ
hA(t)i =
W
dx dp fN
(x, p, t) AW (x, p)
(2.11)
Hier ist AW die Weyl-Wigner-Transformierte
ˆ
∞
i
1
1
dξ exp − p · ξ hx + ξ|Â|x − ξi
~
2
2
−∞
AW (x, p) =
(2.12)
des Operators Â. Bei der Wignerfunktion handelt es sich um eine Quasiverteilungsfunktion, welche auf dem Phasenraum deniert ist. Im Gegensatz zur klassischen
Verteilungsfunktion kann die Wignerfunktion sowohl positive, als auch negative
reelle Werte annehmen. Hier ist zu betonen, dass die Integration über den Ort
oder den Impuls die nichtnegativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
ˆ
∞
W
dp fN
(x, p, t) = hx|ρ̂|xi ≡ f W (x)
(2.13)
W
dx fN
(x, p, t) = hp|ρ̂|pi ≡ f W (p)
(2.14)
−∞
ˆ
∞
−∞
liefert. Quantenmechanisch macht es aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation keinen Sinn, von einem Zustand an einem bestimmten Phasenraumpunkt
(x, p) zu sprechen. Dieser Umstand äuÿert sich dadurch, dass die Wignerfunktion eines Zustandes stets über ein Phasenraumvolumen ausgedehnt ist,
dessen Gröÿe mit der Heisenbergschen Unschärferelation vereinbar ist. Mit der
Wignerfunktion (2.10) kann die Von-Neumann-Gleichung (2.8) für ein System
mit Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂
+ V (x),
2m
V (x) =
X
i<j
e2
|xi − xj |
(2.15)
und ortsabhängigem Potential V (x) in der Form
W
∂ t fN
p
W
+
· ∂x fN
me
=
i
(2π)3N
ˆ 1
1
V (x − ~ξ) − V (x + ~ξ)
2
2
W
· fN
(ξ 0 , x) exp(iξ · (ξ 0 − p)) dξ dξ 0
(2.16)
angegeben werden [13]. Diese Gleichung wird auch als Quanten-Liouville-Gleichung
bezeichnet. Analog zu den klassischen reduzierten S -Teilchen-Funktionen (2.4)
kann die Wignerfunktion über N − S Orte und Impulse integriert werden,
11
2 Kinetische Theorie
um die reduzierte S -Teilchen-Wignerfunktion fSW zu erhalten. Insbesondere
führt auch hier der Versuch die Zeitentwicklung der Einteilchen-Wignerfunktion
anzugeben auf eine Hierarchie von Gleichungen, der so genannten QuantenBBGKY-Hierarchie [1].
Quanten-Vlasov-Gleichung
Die Herleitung der Quanten-Vlasov-Gleichung kann ebenso wie die Herleitung
der klassischen Vlasov-Gleichung durch Anwendung einer Diagrammtechnik beW
wältigt werden [12]. Die allgemeine Lösung für die Zeitentwicklung von fN
enthält dabei jedoch zusätzliche Diagrammtypen, welche rein quantenmechanischen Urspungs sind. Es zeigt sich jedoch, dass die zusätzlich auftretenden
Diagramme für Zeiten von der Gröÿenordnung Tp vernachlässigt werden können. Die Statistik des Quantenplasmas geht somit nicht in die Quanten-VlasovGleichung selbst ein, sondern äuÿert sich lediglich durch die zum Zeitpunkt t = 0
gewählte Impulsverteilung
ˆ
f W (p, t = 0) =
dx f W (x, p, t = 0).
(2.17)
Im Gleichgewichtsfall sollte f (p) für ein Fermionenplasma beispielsweise als
Fermi-Verteilung gewählt werden. Die Quanten-Vlasov-Gleichung kann einerseits über die Dichtematrix wie in Gleichung (1.2), oder über die EinteilchenWignerfunktion in der Form
ˆ
p
i 1
· ∂x f W +
dx0 dξ dp0 dp00 exp[iξ · (p00 − p)]
(2.18)
m
~ (2π)3
~ξ
~ξ
·f W (x, p00 )f W (x0 , p0 ) V (|x − x0 +
|) − V (|x − x0 −
|)
= 0
2
2
∂t f W +
dargestellt werden [13]. Im Grenzübergang ~ → 0 geht die Quanten-VlasovGleichung (2.18) in die klassische Vlasov-Gleichung (2.7) über.
2.3
Plasmaschwingungen
Ziel ist es nun, elektrostatische Schwingungen in Plasmen zu untersuchen. Das
Vorgehen für klassische Plasmen und Quantenplasmen ist dabei gleich und soll
hier anhand der Quanten-Vlasov-Gleichung demonstriert werden.
Das Gleichgewicht sei durch f0W (p), eine räumlich homogene und zeitunabhängige Einteilchen-Wignerfunktion gegeben. In einem unendlich ausgedehnten
12
2 Kinetische Theorie
Medium kann eine kleine Störung nun in der Form
f W = f0W + f1W
(2.19)
f1W (p) = χ(p)eik·x
angesetzt werden. Wird (2.19) in die Quanten-Vlasov-Gleichung (2.18) eingesetzt und Terme von quadratischer Ordnung in f1W vernachlässigt, erhält man
∂t χ + i
ˆ
~k
k·p
i 4πe2 W
~k
W
f
(p
+
χ+
)
−
f
(p
−
)
dp0 χ(p0 ) = 0. (2.20)
0
0
m
~ k2
2
2
Da nicht davon ausgegangen werden kann, dass die kollektiven Plasmaschwingungen ungedämpft bleiben, kann die Störung nicht als periodisch in der Zeit
angenommen werden. Stattdessen kann die zeitliche Entwicklung vom Anfangswert χ(p, t = 0) ≡ χ0 abhängen, weswegen die Laplace-Transformierte von (2.20)
betrachtet wird. Diese ergibt sich mit der Denition der Laplace-Transformation
(A.5) zu
χ̂(ω) = i
ˆ
mit S(ω, k) =
und D(ω, k) = 1 +
4πe2 1
k2 ~
S(ω, k)
D(ω, k)
dp
ˆ
dp
χ0
ω − k · p/me
W
f0W (p + ~k
2 ) − f0 (p −
ω − k · p/me
~k
2 )
.
(2.21)
Dabei ist ω = ωr − iγ ∈ C. S(ω, k) bezeichnet nun den Quellterm der Potentialstörung und D(ω, k) ist die nach Lindhard benannte Dispersionsfunktion [21].
Die Nullstellen der Gleichung D(ω, k) = 0 bestimmen sowohl die charakteristischen Frequenzen ωi als auch die Dämpfung γi der i-ten Mode. Auch hier
führt der Grenzübergang ~ → 0 auf die klassische Dispersionsfunktion
D =1+
4πe2
k2
ˆ
dp
k · ∂p f0 (p)
.
ω − k · p/me
(2.22)
Vernachlässigt man nun die Breite der Verteilungsfunktionen im Impulsraum
und gibt die Verteilungsfunktion
f0W (p) = f0 (p) = n0 δ(p)
(2.23)
vor, so erhält man mit (2.22) die von k unabhängige klassische Schwingungsfrequenz
ω(k) = ωp .
(2.24)
13
3 Numerische Methoden
Man erwartet im klassischen Fall also, unabhängig von der Wellenlänge der
Störung, Schwingungen mit der Plasmafrequenz ωp . Wird (2.23) hingegen in
die Lindhard-Dispersionsfunktion (2.21) eingesetzt, erhält man die Dispersionsrelation
s
ωp2 +
ω(k) =
~2 k 2
.
4m2e
(2.25)
Gleichung (2.25) ergibt sich auch als korrekte Lösung von (2.21) im kurzwelligen
Grenzfall. Für k → ∞ braucht die Verteilungsfunktion f (p) im Impulsraum
also nicht aufgelöst zu werden. Den langwelligen Grenzfall erhält man hingegen,
indem man in (2.21) lediglich Terme bis zur Ordnung O(k 2 ) berücksichtigt. Für
eine Fermiverteilung bei Temperatur T = 0 erhält man damit
ωp2
D =1− 2
ω
3 ~2 k 2 2
1+
k
5 m2 ω 2 F
!
= 0.
(2.26)
Aufgelöst nach ω ergibt (2.26) die Dispersionsrelation
1 3 vF2 k 2
ω 2 = ωp2 1 +
,
2 5 ωp2
mit der Fermi-Geschwindigkeit vF =
~kF
me
(2.27)
, was mit den Ergebnissen aus [22] in
Einklang steht. Dispersionsrelationen von Quantenplasmen bei endlichen Temperaturen nden sich in [23]. Untersuchungen zu den quantenmechanischen Dispersionsrelationen für eindimensionale Systeme werden im Rahmen der QuantenVlasov-Simulationen in Kapitel 5 angestellt.
3
3.1
Numerische Methoden
Atomare Einheiten
Um in den numerischen Rechnungen zusätzlichen Aufwand und unnötige Rundungsfehler durch die Multiplikation mit den Naturkonstanten me , e und ~
zu vermeiden, ist es sinnvoll
atomare Einheiten
(engl. atomic units, a.u.) zu
verwenden. Da me , e und ~ unabhängig voneinander sind, kann in atomaren
Einheiten
me,au = ~au = eau = 1
(3.1)
14
3 Numerische Methoden
gesetzt werden. In diesen Einheiten sind alle Gröÿen dimensionslos und die SGL
(1.12) mit Hamiltonoperator (1.8) lautet nun
i∂tau ψ(xau ) = −
1 2
∂
+ φ(xau ) ψ(xau ).
2 xau
(3.2)
Die Konvention (3.1) legt bereits die Einheiten der Länge und Zeit wie folgt
fest:
x
xau
t
tau
=
aB
=
∗
t
=
~2
m e e2
=
~3
me4
=
=
0.529 · 10−10 m
2.42 · 10
−17
(3.3)
s
Dabei bezeichnet aB den Bohrschen Radius. Im Folgenden werden stets atomare
Einheiten verwendet, wobei der Index au ab hier weggelassen wird. In einem
eindimensionalen System der Länge L folgt mit der mittleren Elektronendichte
n0 =
N
L
insbesondere für die Plasmaperiode (2.6) in atomaren Einheiten:
r
Tp =
Lπ
N
(3.4)
So ergibt sich beispielsweise für eine Dichte n0 = 1023 cm−3 in atomaren Einheiten Tp ≈ 15.
3.2
Numerische Lösung der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung
3.2.1
Crank-Nicolson-Algorithmus
Um die SGL numerisch behandeln zu können, müssen Zeit und Ort zunächst
diskretisiert werden. Dazu werden die Gitterpunkte
xk
= x0 + k∆x
tn
= t0 + n∆t
mit äquidistanten Schrittweiten ∆x =
L
K
(3.5)
k = 1...K
(3.6)
n = 1...T
für den Ort und ∆t =
TSim
T
für die Zeit
verwendet. TSim gibt dabei die Gesamtdauer der Simulation an. Ferner werden
die Abkürzungen
ψkn = ψ(xk , tn ),
φnk = φ(xk , tn )
(3.7)
15
3 Numerische Methoden
verwendet. Die wohl naheliegendste Diskretisierung der SGL (3.2) erhält man,
indem für die Zeitableitung Vorwärtsdierenzenquotienten [24]
ψkn+1 − ψkn
= ∂t ψ + O(∆t)
∆t
(3.8)
und für die Ortsableitung zentrierte nite Dierenzen
n
n
ψk+1
− 2ψkn + ψk−1
= ∂x2 ψ(x, t) + O((∆x)2 )
∆x2
(3.9)
ansetzt werden. Das so erhaltene explizite FTCS3 -Schema ist zwar für alle Werte
von ∆x und ∆t stabil, jedoch erhält es die Norm der Wellenfunktion nicht.
Um das Betragsquadrat der Wellenfunktion als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
interpretieren zu können, muss die Bedingung
X
X
2
ψ n+1 2 ∆x =
|ψkn | ∆x = 1
k
k
(3.10)
k
erfüllt sein. Dies leistet das im Folgenden beschriebene implizite Crank-NicolsonSchema. Die Schrödinger-Gleichung (3.2) kann mit Hilfe des Zeitentwicklungsoperators e−iĤt in der Form
(3.11)
ψ n+1 = e−iĤ∆t ψ n
geschrieben werden. Der Zeitentwicklungsoperator kann in der sogenannten CayleyForm
e−iĤ∆t ≈
1 − 2i Ĥ∆t
1+
i
2 Ĥ∆t
+ O (∆t)3
(3.12)
angegeben werden, deren Fehler in der Zeit von dritter Ordnung ist. Die Unitarität des durch (3.12) denierten Operators ist sofort klar, da man ihn als Cayley-
4
Transformierte des selbstadjungierten Operators −Ĥ ∆t
2 ausdrücken kann . Aus
(3.2) erhält man mit (3.12) das Crank-Nicolson-Schema [25]
(2i − ∆t Ĥ)ψkn+1
mit Ĥψkn
3
4
(2i + ∆t Ĥ)ψkn
n
1 ψ n − 2ψkn + ψk−1
= − ( k+1
) − φnk ψkn .
2
(∆x)2
=
(3.13)
(3.14)
FTCS=Forward Time Centered Space
Zur Cayley-Transformation: Sei a ∈ R , dann ist u = i−a
∈ C mit Betrag 1. Da Operatoren
i+a
vollständig durch ihre Eigenwerte deniert sind, gilt für einen selbstadjungierten Operator Â
Â
mit (reellen) Eigenwerten a: Û = i−
ist unitär.
i+Â
16
3 Numerische Methoden
Für die zweite Ortsableitung im Hamiltonoperator (3.14) wird dabei Gleichung
(3.9) verwendet. Durch Einsetzen von (3.14) in (3.13) und Multiplikation mit
(∆x)2
∆t
erhält man:
n+1
ψk+1
=
n
−ψk+1
(∆x)2
2
− 2 + 2φn+1
(∆x)
4i
k
∆t
{z
}
|
Bii
(∆x)2
+ 2 − 2φnk (∆x)2
+
4i
∆t
|
{z
}
ψkn+1
+
n+1
+ ψk−1
(3.15)
ψkn
−
n
ψk−1
Aii
Diese Gleichung kann oensichtlich in Matrixform geschrieben werden. Unter
Berücksichtigung zyklischer Randbedingungen ergibt sich mit den Matrizen A,
B ∈ CK×K :
X
Bij ψjn+1 =
X
j

B




= 




k
B11
1
1
..
.
..
.
..
A
A11
Bii
..
.

 −1


= 




..
.
..
.
1
−1
..
.
..
.
−1
1

1









.
1

(3.16)
Aij ψjn
BKK
−1
..
.
Aii
..
.
(3.17)
..
.
..
.
−1









−1 
(3.18)
AKK
Die Berechnungsvorschrift für ψ n+1 aus einem bekanntem ψ n besteht damit aus
drei Schritten:
1. Matrixmultiplikation: ψ̃ n = Aψ n
2. Zeiterhöhung: tn+1 = tn + ∆t, φn → φn+1
3. Matrixinversion: Bψ n+1 = ψ̃ n
17
3 Numerische Methoden
Die Matrizen (3.17) und (3.18) haben zyklische Tridiagonalform, was in puncto
Rechenaufwand und Speicherbedarf erhebliche Vorteile gegenüber allgemeinen
K × K -Matrizen mit sich bringt. Sowohl Matrixmultiplikation als auch Invertierung mittels LU-Zerlegung benötigen O(K) Schritte, während die Matrixmultiplikation für beliebige K × K -Matrizen O(K 2 ), die Invertierung sogar
O(K 3 ) Schritte benötigt. Um die LU-Zerlegung vornehmen zu können, muss die
zyklische Tridiagonalmatrix B zunächst mittels der Sherman-Morrison-Formel
auf gewöhnliche Tridiagonalform gebracht werden. Entsprechende Algorithmen,
wurden [26] entnommen und werden im Folgenden kurz beschrieben.
3.2.2
Sherman-Morrison-Formel
Es sei C eine beliebige K × K Matrix, deren Inverse C −1 bekannt ist. Ziel ist
nun, das Inverse der Matrix
(3.19)
D = (C + u ⊗ v)
zu bestimmen, wobei u ⊗ v = ui vj das dyadische Produkt der Vektoren u und v
bezeichnet. Durch die Addition von u ⊗ v kann eine kleine Änderung der Matrix
C dargestellt werden. Das Inverse von (3.19) kann über die Sherman-MorrisonFormel
D−1 = C −1 −
(C −1 · u) ⊗ (v · C −1 )
1+λ
(3.20)
mit λ ≡ v · A−1 · u
berechnet werden. Handelt es sich bei der Matrix D nun um eine zyklische
Tridiagonalmatrix der Form






D=




b1
c1
0
0
a2
..
.
b2
a3
0
0
c2
..
.
..
.
bK−1
cK−1
α
0
···
aK
bK
..
β
.






,




(3.21)
18
3 Numerische Methoden
lässt sich die Sherman-Morrison-Formel anwenden, indem man die Vektoren u,
v und damit das dyadische Produkt u ⊗ v als






u=




γ
0
..
.
0

















v=




α
1
0
..
.
0
β
γ

















u⊗v =




γ
0
0
..
.
0
0
0
α
···










0
..
.
.
···

β
0
..
0
0
0
0
0
αβ
γ
(3.22)
aufstellt, wobei γ ∈ C\0 zunächst beliebig sei. Nun lässt sich die Matrix (3.21)
in der Form






D = T +u⊗v = 




b01
c1
0
a2
b2
0
..
.
0
0
..
.
a3
..
.
c2
..
.
..
.
···
..
.
..
.
bK−1
cK−1
···
0
aK
b0K
mit b01 = b1 − γ und b0K = bK −
αβ
γ
0


 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
γ


 
 
 
 
 
⊗
 
 

0 
 
α
0
..
.
1






 (3.23)


0 

0
..
.
β
γ
schreiben. Im verwendeten Algorithmus
wird γ = −b1 gewählt, um beim Aufstellen von b01 keine Genauigkeit durch
die numerische Subtraktion zu verlieren. Die Invertierung der Matrix B besteht
damit nun aus folgenden Schritten:
• Invertierung der Matrix T
• zwei Matrixmultiplikationen z = D0−1 · u, w = (C −1 )T · v
• Skalarprodukt λ = v · z
• Anwenden der Sherman-Morrison-Formel D−1 = T −1 −
3.2.3
z⊗w
1+λ
Matrixinversion durch LU-Zerlegung
Nachdem im letzten Abschnitt gezeigt wurde, wie die Inversion einer zyklischen
Tridiagonalmatrix auf die Inversion einer Tridiagonalmatrix T reduziert werden
kann, muss nun die Gleichung
T ·x=b
(3.24)
19
3 Numerische Methoden
nach x aufgelöst werden. Dazu wird die LU -Zerlegung verwendet. Bei der LU Zerlegung wird die Matrix T als Produkt
(3.25)
T =L·U
einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U geschrieben.
Im verwendeten Crouts-Algorithmus werden die Diagonalelemente der Matrix
L gleich 1 gesetzt5 . Aufgrund der Tridiagonalform der Matrix T haben L und
U die einfache Gestalt






L=




1
0
L1
1
..
.
0
..
.
0
···
···
..
.
..
.
..
.
···
0
LK−1
..
.
1










0 






U =




0
..
.
..
.
1
R11
R0
0
..
.
..
.
R22
..
.
0
···
0
..
.
..
.
..
.
···
···
0

0
..
.
..
.
0
..
.
RK−1





.




RKK
(3.26)
Das Gleichungssystem (3.24) kann damit gelöst werden, indem zunächst die
Gleichung
(3.27)
L·y =b
nach y aufgelöst wird und anschlieÿend x in der Gleichung
(3.28)
U ·x=y
bestimmt wird. Der äuÿerst eziente Crouts-Algorithmus zum Aufstellen der
Matrizen L und U ist in [26] beschrieben.
3.2.4
Bewegung eines freien Wellenpaketes
Um die Implementierung des Crank-Nicolson-Verfahrens zu testen, wird die
zeitliche Entwicklung eines freien gauÿschen Wellenpaketes mit Anfangszustand
ψ(x, t = 0) ≡ ψ0 (x) =
2
πw2
14
e−
(x−x0 )2
w2
eik0 x ,
(3.29)
Ortserwartungswert x0 = −2.5, Impulserwartungswert k0 = 1 und Breite w = 2
über fünf atomare Zeiteinheiten auf einem periodischen Gitter x ∈ [−20, 20]
5
U
Dies ist allgemein möglich. Hat die Matrix T K 2 Einträge, so besitzen die Matrizen L und
zusammen K 2 + K Einträge. Daher können K Einträge aus L und U frei gesetzt werden.
20
3 Numerische Methoden
0,4
t=0
t=1,25
t=2.5
t=3,75
t=5
|ψ|
2
0,3
0,2
0,1
0
-20
-10
0
x
10
20
Abbildung 1: Bewegung eines Gauÿschen Wellenpaketes mit Anfangsimpuls
k0 = 1 und x0 = −2.5. Die Simulationszeit beträgt 5 atomare Zeiteinheiten, die
Anzahl der Gitterpunkte K = 4000 und die Anzahl der Zeitschritte T = 4000.
simuliert. Gemäÿ dem Ehrenfest-Theorem gilt für die Zeitentwicklung des Ortserwartungswertes in einem Kraftpotential V (x)
d
hxi = −h∇V (x)i.
dt
(3.30)
Insbesondere gilt sogar die Beziehung
d
hxi = −∇V (hxi),
dt
(3.31)
wenn V (x) von zweiter Ordnung in x ist. Nach (3.31) sollte der Ortserwartungswert des Wellenpaketes ohne äuÿeres Potential zur Zeit t = 5 den Wert hxi =
2.5 annehmen. Tatsächlich konvergiert der Erwartungswert bei Erhöhung der
Gitterpunkte K und Zeitschritte T gegen diesen Wert. Abbildung 1 zeigt die
Simulationsergebnisse für K = T = 4000. In diesem Fall ergibt die Simulation
den Erwartungswert hx(t = 5)i = 2.49985.
21
3 Numerische Methoden
2
-½ -x
|ψ| =π e
2
2
0,8
V=½ x
2
|ψ| , V
0,6
0,4
0,2
0
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
Abbildung 2: Der Grundzustand des harmonischen Oszillators mit ω = 1. Die
Anzahl der Gitterpunkte beträgt K = 4000 und die Anzahl der Zeitschritte N =
4000. Das Gitter erstreckt sich über das Intervall x ∈ [−20, 20]. Der Zustand
bleibt auch für lange Simulationszeiten T > 100 stationär.
3.2.5
Grundzustand des harmonischen Oszillators
Fügt man nun ein harmonisches Potential hinzu, lässt sich die korrekte Implementierung des Potentials leicht überprüfen. Bekanntermaÿen ist der Grundzustand des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik ebenfalls durch ein
Gauÿsches Wellenpaket gegeben. Abbildung 2 zeigt eine entsprechende Simulation mit Potential
V = −φ =
1 2 2
ω x .
2
(3.32)
Ein solches Potential ist zwar nicht mit den periodischen Randbedingungen in
Gleichung (3.16) vereinbar, jedoch spielt dies hier keine Rolle, da die Wellenfunktion an den Rändern verschwindet. Der Grundzustand des harmonischen
Oszillators im Potential (3.32) lautet
ψ0 (x) =
ω − 41
π
1
2
e− 2 ωx .
Die Simulation bestätigt, dass der Zustand (3.33) stationär ist.
(3.33)
22
3 Numerische Methoden
3.2.6
Lokale Propagation lokalisierter Wellenfunktionen
Wie in den Abbildungen 1 und 2 zu sehen ist, kann es durchaus vorkommen, dass eine Wellenfunktion auf dem gröÿten Teil des Gitters verschwindend
kleine Werte annimmt. Es macht daher Sinn, lokalisierte Wellenfunktionen ψ(x)
lediglich auf einem Intervall I n = [kln , krn ] mit K n K Gitterpunkten zu
propagieren, auf dem die Wellenfunktion nichtverschwindende Werte
|ψk |2 > ν
(3.34)
annimmt. Das Intervall I n wird bei jedem Zeitschritt neu ermittelt. Der Limiter
ν 1 muss so klein gewählt werden, dass keine physikalische Information verloren geht, jedoch so groÿ, dass numerisches Rauschen6 nicht propagiert wird.
Die Gitterpunkte an den linken und rechten Intervallgrenzen kl , kr ∈[1 . . . K]
werden wie folgt ermittelt:
Zunächst werden zum Zeitpunkt t = 0 die Betragsquadrate |ψk0 |2 , k = 1 . . . K
berechnet. Anschlieÿend wird ermittelt, an welchen Gitterpunkten die Bedin0
der Fall.
gung (3.34) erfüllt ist. Dies ist im Allgemeinen auf M Intervallen Im
Das Intervall I 0 = [kl0 , kr0 ] wird nun so gewählt, dass es das kleinste mögliche
0
enthalten sind. In aller Regel wird man
Intervall ist, in dem alle Intervalle Im
jedoch nur ein einziges zusammenhängendes Intervall nden, auf dem die Bedingung (3.34) erfüllt ist. Im n-ten Zeitschritt genügt es nun die Bedingung (3.34)
n
= [kln−1 − ∆, krn−1 + ∆] zu überprüfen. Der Wert ∆ ∈ N
auf einem Intervall I∆
muss dabei so groÿ gewählt werden, dass an den Intervallgrenzen |ψkl/r ±∆ |2 < ν
gilt. Andernfalls wird ∆ so lange erhöht, bis alle Gitterpunkte k mit |ψkn |2 > ν
n
liegen. Nun kann das kleinstmögliche Intervall I n ermittelt werim Intervall I∆
den.
Das Schema ist in Abbildung 4 veranschaulicht. Dieses Verfahren lohnt sich
allerdings nur, wenn K n K ist. Die Berechnung der |ψkn |2 stellt keinen zusätzlichen Aufwand dar, da diese auch für die Potentialberechnung benötigt werden,
welche im nächsten Abschnitt behandelt wird. Bei der lokalen Propagation ist es
nicht sinnvoll, weiterhin periodische Randbedingungen wie in Gleichung (3.16)
anzuwenden. Da die Randwerte ψkl und ψkr nach Voraussetzung vernachlässigbar klein sind, können sie festgehalten werden. Damit ergibt sich folgendes
6 Dieses numerische Rauschen entsteht durch die Matrixinversion beim Crank-NicolsonVerfahren. Wird ein Wellenpaket um einen beliebig kleinen Zeitschritt propagiert, nimmt die
Wellenfunktion im gesamten Simulationsintervall Werte |ψk |2 > 0 an. Diese sind jedoch auÿerhalb des Wellenpaketes um viele Gröÿenordnungen kleiner als im Bereich des Wellenpaketes.
23
3 Numerische Methoden
0,5
0,4
|ψ|
2
0,3
0,2
0,1
0
-20
-10
0
x
10
20
(a) Betragsquadrat eines Wellenpaktes, welches lokal im zeitabhängigen Intervall [kl , kr ]
mit Limiter ν = 10−6 propagiert wird.
5
4
kl
kr
n
Simulationsintervall I , tn=3,5
t
3
2
1
0
-20
n
Simulationsintervall I , tn=1
-10
0
z
10
20
(b) Die Grenzen kl und kr im zeitlichen Verlauf. Wie zur Zeit t ≈ 1.7 zu sehen ist,
können die Grenzen über den Rand des gesamten Simulationsintervalls hinausgehen.
Das lokale Simulationsintervall wird dann über die Ränder hinweg fortgesetzt.
Abbildung 3: Lokale Propagation eines freien Wellenpakets
24
3 Numerische Methoden
Initialisierung
Zeitschritte n = 0 . . . T − 1
Initialisieren der Wellenfunktion ψ
0
k
Berechnung von |ψ | auf I
n 2
k
↓
Berechnung von |ψ |
↓
0 2
k
Aunden der Intervalle I
n
m
↓
Aunden der Intervalle I
↓
0
m
Bestimmung von I mit I
n
↓
Bestimmung von I mit I
0
0
m
∈ I0 ∀ m
Propagation ψ
↓
Propagation ψ
0
k
n
∆
n
m
∈ In ∀ m
↓
n
k
→ ψkn+1 , k ∈ I n
→ ψk1 , k ∈ I 0
Abbildung 4: Schema zur lokalen Propagation lokalisierter Wellenfunktionen.
Beim n-ten Zeitschritt muss zunächst das Intervall In aus Kn Gitterpunkten
ermittelt werden, auf welchem die Wellenfunktion propagiert werden soll.
Gleichungssystem:
kr
X
Bij ψjn+1 =


B
0
Bl
..
.
1
..
.
..
1
Br









1 

1
.
0

A
 1

 −1


= 





(3.35)
Aij ψjn
k=kl
j=kl
 1

 1


= 





kr
X
Bl ≡ Bkl +1,kl +1
(3.36)
Br ≡ Bkr−1 ,kr−1

0
Al
..
.
−1
..
.
..
−1
Ar
.
0









−1 

1
Al ≡ Akl +1,kl +1
(3.37)
Ar ≡ Akr−1 ,kr−1
Die Matrix B hat bereits Tridiagonalform. Die Reduktion auf eine Tridiago-
25
3 Numerische Methoden
nalmatrix entfällt hier also, was zusätzlich Rechenzeit einspart. Abbildung 3(a)
zeigt ein freies Wellenpaket, welches über 5 Zeiteinheiten mit Limiter ν = 10−6
propagiert wird. Die entsprechenden zeitabhängigen Grenzen kl und kr sind in
Abbildung 3(b) angegeben. Erstreckt sich das Intervall über den linken oder
rechten Rand des gesamten Simulationsgebietes [1 . . . K], so ist kl > kr . Dieser
Fall ist in Abbildung 3(b) für Zeiten t > 1.7 zu beobachten. Die Diagonalelemente der Matrizen (3.36) und (3.37) werden dann in der Reihenfolge
1, Bkl+1 ,kl+1 , . . . , BK , B1 , . . . Bkr−1 ,kr−1 , 1
(3.38)
1, Akl+1 ,kl+1 , . . . , AK , A1 , . . . Akr−1 ,kr−1 , 1
(3.39)
angeordnet. Dehnt sich das Wellenpaket mit der Zeit über das gesamte Simulationsgebiet aus, also I m = [1 . . . K], so wird ab dem Zeitpunkt tm das periodische
Crank-Nicolson-Verfahren nach Vorschrift (3.16) verwendet.
3.3
3.3.1
Potentialberechnung
Numerische Lösung der Poisson-Gleichung für
N
Wellenfunktionen
Die Berechnung des Potentials erfolgt über die Poisson-Gleichung (1.10). In
einer Dimension lautet diese für ein neutrales Plasma aus N Elektronen pro
Flächeneinheit mit verschmiertem Ionenhintergrund
N
X
N
∂x2 φ = 4π(
|ψi |2 − ).
L
i=1
(3.40)
Ersetzt man die zweifache Ableitung durch zentrierte nite Dierenzen (3.9)
erhält man bei periodischen Randbedingungen das Gleichungssystem
K
X
Cij φj = di
(3.41)
j=1

 −2

 1


mit Cij = 





1

1
..
.
..
.
..
.
−2
..
.
..
.
..
.
1
1 




 und di = 4π(∆x)2 |ψi |2 − 1 .

L


1 

−2
26
3 Numerische Methoden
0,5
0,4
|ψ|
2
0,3
0,2
0,1
0
-20
-10
0
x
10
20
0
x
10
20
(a) Betragsquadrat
0
-10
φ
-20
-30
-40
-50
-60
-20
-10
(b) Potential
Abbildung 5: Betragsquadrat und erzeugtes Potential eines freien Wellenpaketes.
27
3 Numerische Methoden
Natürlich ist es möglich diese Gleichung mittels LU-Zerlegung wie beim CrankNicolson-Verfahren in Abschnitt 3.2.1 zu lösen. Wegen der einfachen Gestalt
der Matrix Cij kann jedoch auch ein schnelleres, direktes Verfahren nach [7]
verwendet werden, welches im Folgenden beschrieben wird.
Um periodische Lösungen erhalten zu können, wird Ladungsneutralität
K
X
di = 0
i=1
vorausgesetzt. Zudem muss ein Referenzpotential festgelegt werden. Dazu wird
φK = 0 gesetzt. Damit kann das Gleichungssystem (3.41) in der Form
−2φ1
φ1
+
φ2
− 2φ2
φ2
+
φ3
− 2φ3
+
..
φ4
=
d1
=
d2
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
=
.
=
..
.
=
..
.
=
..
φK−2
.
−
φ1
=
2φK−1
= dK−1
φK−1
=
(3.42)
dK
geschrieben werden. Multipliziert man in diesem Gleichungssystem nun die erste
Zeile mit eins, die zweite mit zwei usw. und addiert alle Zeilen zusammen, erhält
man
Kφ1 =
K
X
kdk ,
k=1
und damit eine Bestimmungsgleichung für φ1 . Nun dient die erste Zeile von
(3.42) zur Bestimmung von φ2 , die zweite zur Bestimmung von φ3 , usw., bis
man schlieÿlich φK−1 erhält. Die Berechnung von
φK = dK−1 + 2φK−1 − φK−2
28
3 Numerische Methoden
0,5
0,4
|ψ|
2
0,3
0,2
0,1
0
-20
-10
0
x
10
20
Abbildung 6: Unphysikalische Selbstwechselwirkung eines ruhenden Wellenpaketes über 1, 5 atomare Zeiteinheiten.
sollte Null ergeben und kann als Test dienen um die Ladungsneutralität zu überprüfen.
Abbildung 5 zeigt das mit diesem Algorithmus berechnete Potential eines freien
Wellenpaketes. Für ein einzelnes Teilchen ist es nicht sinnvoll, das von diesem
Wellenpaket erzeugte Potential auf das Wellenpaket selber wirken zu lassen. Ansonsten erhält man die in Abbildung 6 veranschaulichte Selbstwechselwirkung,
welche dazu führt, dass das Wellenpaket unphysikalisch schnell zerieÿt. Um
nun mehrere Wellenpakete vor einem verschmierten Ionenhintergrund miteinander wechselwirken lassen zu können, muss diese Selbstwechselwirkung für jedes
Teilchen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben, unterdrückt werden.
3.3.2
Eigenfeldkorrektur lokalisierter Wellenfunktionen
Um die Selbstwechselwirkung lokalisierter Wellenfunktionen in einem Quantenplasma verhindern zu können, muss das von einem einzelnen Elektron erzeugte
Potential von dem mittels der Poisson-Gleichung (3.40) berechneten Gesamtpotential abgezogen werden. Es ist jedoch nicht möglich dieses Eigenpotential φS
über die Poisson-Gleichung
∂x2 φS = 4π|ψ|2
(3.43)
29
3 Numerische Methoden
mit dem in Abschnitt 3.3.1 beschriebenen direkten Verfahren zu berechnen, da
das von einem einzelnen Teilchen erzeugte Potential natürlich nicht periodisch
ist. Um korrekte Randwerte φS,kl , φS,kr zu erhalten, kann man sich der Greenschen Funktion G des Operators ∂x2 bedienen, welche über die Gleichung
(3.44)
∂x2 G(x) = −4πδ(x)
deniert wird, wobei δ(x) die Dirac-Funktion bezeichnet. Betrachtet man die
Funktion
(3.45)
G(x) = −2π|x|,
so ist durch zweifache Dierentiation von (3.45) leicht einzusehen, dass es sich
bei G(x) um die gesuchte Greensche Funktion handelt. Durch Einsetzen von
G(x − x0 ) in (3.43) und Integration über x0 erhält man
ˆ
φS (x) = 2π
(3.46)
dx0 |x − x0 | |ψ(x0 )|2 .
Diese Formel kann verwendet werden, um die Randwerte φS,kl , φS,kr zu berechnen. Die Berechnungsvorschrift lautet
kr/l
X
φS,kl/r = 2π∆x
(3.47)
(kl/r − k)|ψk |2 .
k=kl/r
Die Werte φS,kl +1 , . . . , φS,kl −1 können mit der Poisson-Gleichung (3.43) bestimmt werden. Dies führt analog zu Abschnitt 3.3.1 auf das Gleichungssystem
kr−1
X
(3.48)
Cij φj = di
j=kl +1

 −2


 1


mit Cij = 






1

1
..
.
..
..
.
−2
..
.
..
..
.
.
.
1
1 









1 


−2
(3.49)
30
3 Numerische Methoden
0
Periodisches Potential
Potentialkorrektur
Effektives Potential
φ
-20
-40
-60
-80
-20
-10
0
x
Simulationsintervall
10
20
Abbildung 7: Eigenfeldkorrektur. Zu dem vom gesamten Plasma erzeugten, periodischen Potential wird die Potentialkorrektur addiert. Das resultierende effektive Potential ist in diesem Fall harmonisch.

2
2
 4π(∆x) |ψkl +1 | − φkl


2

4π(∆x)2 |ψkl +2 |


..
und di = 

.


2

4π(∆x)2 |ψkr −2 |


2
4π(∆x)2 |ψkr −1 | − φkr







.






(3.50)
Das so berechnete Korrekturpotential kann von dem periodischen Potential des
gesamten Quantenplasmas abgezogen werden. Diese Potentialkorrektur muss für
jedes Teilchen zu jedem Zeitschritt durchgeführt werden. Auch bei der Potentialkorrektur ist die Verwendung von lokalisierten Simulationsintervallen daher
ein groÿer Vorteil, da die Randwertberechnung (3.47) und die Lösung des Gleichungssystems (3.48) sonst auf dem vollen Gitter mit K Gitterpunkten durchgeführt werden müssten.
Als Testfall wird ein einzelnes, lokalisiertes Elektron am Ort x = 0 vor einem
31
3 Numerische Methoden
einfach negativ geladenem Ionenhintergrund betrachtet. Wie man leicht nachrechnet, ist dann
φef f = −
1 4π 2
x
2 L
(3.51)
das eektive Potential, welches auf dasqElektron wirkt. Dies entspricht dem
harmonischen Potential (3.32) mit ω = 4π
L . Der zugehörige Grundzustand ist
dann durch Gleichung (3.33) gegeben. Dies ist genau der Zustand, welcher in
Abbildung 6 zur Demonstration der Selbstwechselwirkung verwendet wird. In
einer Simulation wird das periodische Gesamtpotential, die Potentialkorrektur
und daraus schlieÿlich das eektive Potential für diesen Zustand berechnet. Wie
in Abbildung 7 zu sehen, erhält man das harmonische, eektive Potential gemäÿ
Gleichung (3.51). Da es sich um den Grundzustand des harmonischen Potentials
handelt, bleibt das Betragsquadrat für beliebig lange Simulationszeiten erhalten.
Das Verfahren ist also stabil.
3.3.3
Interpretation periodischer und lokalisierter Wellenfunktionen
Bisher wurden ausschlieÿlich Wellenpakete betrachtet, deren Ort auf einem
bestimmten Intervall lokalisiert ist. Bevor im nächsten Abschnitt periodische
Wellenfunktionen behandelt werden, soll hier zunächst der Unterschied zwischen lokalisierten Wellenfunktionen in einem periodischem Potential und periodischen Wellenfunktionen herausgestellt werden.
Eine lokalisierte Wellenfunktion im periodischen Potential beschreibt tatsächlich bereits unendlich viele Elektronen. Bendet sich ein Elektron im Intervall
[kl , kr ], so wirken auf dieses Teilchen im Grunde unendlich viele Klone dieses
Elektrons in den Intervallen [kl ± mL, kr ± mL], m ∈ N. Diese üben zwar keine
Kraft auf das betrachtete Elektron aus, sorgen jedoch dafür, dass es sich in
einem harmonischen Potential bendet (vgl. Abb. 7). In Abschnitt 3.2.6 wird
behauptet, man könne von lokaler Propagation auf periodische Propagation umschalten, sobald sich das Simulationsintervall I n über den gesamten Simulationsgebiet [1 . . . K] erstreckt. Das macht jedoch in diesem Bild keinen Sinn, da dann
an den Rändern des Simulationsgebietes tatsächlich je zwei verschiedene Elektronen aufeinander treen würden, welche fortan durch dieselbe EinteilchenSGL beschrieben würden. Ferner ist es natürlich auch nicht möglich auf diese
Weise ein sinnvolles eektives Potential aufzustellen, da das Korrekturpotential
nicht periodisch ist, die Wellenfunktion hingegen schon.
Es ist allerdings widerspruchslos möglich, eine solche lokalisierte Wellenfunk-
32
3 Numerische Methoden
tion als periodische Wellenfunktion aufzufassen, welche sich über den ganzen
Raumbereich erstreckt. Interpretiert man eine Wellenfunktion als periodische
Funktion, so muss allerdings auch das eektive Potential, welches auf diese
Wellenfunktion wirkt, periodisch sein.
3.3.4
Eigenfeldkorrektur periodischer Wellenfunktionen
In neutralen Quantenplasmen ist es prinzipiell nicht möglich, ein periodisches
Eigenpotential zu berechnen, da das von N −1 Elektronen und N verschmierten
Ionen erzeugte Potential nicht periodisch ist. Eine einfach zu verwirklichende Alternative ist, anstatt eines neutralen Plasmas ein einfach negativ geladenes Plasma zu betrachten, in welchem sich lediglich N − 1 Ionen pro Simulationsgebiet
benden. Dazu wird zunächst wie in Abschnitt 3.3.1 das periodische Potential
φges von N Ionen und N Elektronen berechnet. Anschlieÿend wird das periodische Potential φe− +I des zu propagierenden Elektrons zusammen mit einem
zusätzlichen verschmierten Ion berechnet. Das eektive Potential, welches auf
das i-te Elektron wirkt, ist dann
φe = φges − φe− +I .
(3.52)
Es stellt sich jedoch heraus, dass es sinnvoller ist, die Wellenfunktionen nicht
als tatsächliche Elektronen zu interpretieren, sondern als repräsentative Ensemblezustände. In diesem Fall ist es nicht sinnvoll das Eigenpotential abzuziehen,
da bereits ein einziger Ensemblezustand ein ganzes Quantenplasma repräsentieren kann (s. Abschnitt 5).
3.3.5
Ordnung des Fehlers bei der Potentialberechnung
Im Crank-Nicolson-Verfahren (3.15) wird nicht nur das Potential φn benötigt,
sondern ebenfalls φn+1 . Verwendet man φn anstatt von φn+1 , erzeugt dies einen
Fehler linearer Ordnung in der Zeit, wie an der Taylorentwicklung
φ
n+1
∂φ =φ +
∆t + O (∆t)2
∂t t=tn
n
(3.53)
zu sehen ist. Da φn+1 in der Propagationsvorschrift (3.15) mit dem Faktor
∆t multipliziert wird, besitzt das Crank-Nicolson-Verfahren damit einen Fehler
quadratischer Ordnung in der Zeit.
Um diesen Genauigkeitsverlust zu vermeiden, könnte man bei Abwesenheit von
33
3 Numerische Methoden
Magnetfeldern die Maxwell-Gleichung
∂t E = −4πj
(3.54)
lösen. Werden die Zeiten zu halben Zeitschritten ausgewertet, erhält man das
Schema
1
1
En+ 2 = En− 2 − 4π∆tjn .
(3.55)
Dieses Verfahren wurde im hier beschriebenen Algorithmus allerdings noch nicht
implementiert.
3.4
Parallelisierung
Um Simulationen mit groÿen Teilchenzahlen durchführen zu können, ist es unbedingt notwendig, dass der Algorithmus parallelisierbar ist. Grundsätzlich lassen
sich Systeme mit mehreren Prozessoren in zwei Klassen einteilen: Bei Systemen mit shared-memory-Architektur können alle Prozessoren auf einen gemeinsamen Arbeitsspeicher zugreifen. Systeme mit distributed-memory-Architektur
hingegen verfügen über keinen gemeinsamen Arbeitsspeicher. Hängen Berechnungen, welche auf unterschiedlichen Prozessoren ausgeführt werden, voneinander ab, muss daher ein Datenaustausch erfolgen, was zusätzlichen Zeitaufwand
bedeutet.
Bei dem hier vorgestellten Algorithmus muss nach jedem Zeitschritt die Ladungsdichte und das Potential berechnet werden. Dazu ist die Kenntnis aller Wellenfunktionen nötig, weswegen ein System mit shared-memory-Architektur hier
vorzuziehen ist.
3.4.1
OpenMP
OpenMP ist eine leistungsfähige und einfach zu implementierende Bibliothek,
welche die Parallelisierung auf shared-memory-Systemen erlaubt [27]. Dem zu
parallelisierenden Code werden spezielle Präprozessor-Direktiven, sogenannte
Pragmas,
ung von
vorangestellt. Im vorliegenden Programm ist lediglich die Parallelisier-
for
-Schleifen notwendig. Diese können mit OpenMP nach dem in Ab-
bildung 8 gezeigten Schema parallelisiert werden.
3 Numerische Methoden
34
1 #pragma omp p a r a l l e l f o r
2 f o r i = 1 . .N do
3 {
4
p a r a l l e l i s i e r t e r Code
5 }
Abbildung 8: Syntax zur Parallelisierung einer for-Schleife. OpenMP erstellt je
nach System bis zu N Threads, welche parallel abgearbeitet werden.
Abbildung 9: Parallelisierung des Algorithmus
35
3 Numerische Methoden
Seriell
Parallelisiert
Speedup
N = 24
11min 16s
4min 43s
2.39
N = 32
15min 49s
6min 49s
3.05
Tabelle 1: Rechenzeiten und Speedup mit und ohne Parallelisierung bei maximal 4 parallel ausgeführten Threads. Simuliert werden Systeme aus 24 und 32
Teilchen.
3.4.2
Parallelisierung des Codes
Der hier vorgestellte Algorithmus lässt sich hervorragend parallelisieren. Wie in
Abbildung 9 dargestellt, lassen sich tatsächlich alle Programmteile bis auf die
Potentialberechnung parallel ausführen. Testweise werden zwei Berechnungen
zum Skalierungsverhalten des Algorithmus, welche in Abschnitt 4.2 vorgestellt
werden, sowohl parallelisiert als auch unparallelisiert ausgeführt. Die Rechenzeiten und der durch Parallelisierung erreichte Speedup ist in Tabelle 1 aufgeführt. Bei der Verwendung von vier Prozessoren ergab sich durch Parallelisierung
ein Speedup von 2.32 bis 3.05. Ein höherer Speedup ist bei Simulationen mit
deutlich höheren Teilchenzahlen zu erwarten. Entsprechende Rechnungen mit
N ≈ 1000 Simulationsteilchen werden in Kapitel 5 ausgeführt. Der Algorithmus erreichte bei der Ausführung Prozessorauslastungen von über 98%. Da die
Rechnungen jedoch nicht unparallelisiert ausgeführt werden, kann kein genauer
Wert für den tatsächlich erreichten Speedup angegeben werden.
3.5
Ebene Wellen mit groÿem Impuls
In diesem Abschnitt geht es um ebene Wellen
1
ψ(t) = √ ei(pm x−ωt)
L
mit pm =
2π
m,
L
ωm =
p2m
.
2
(3.56)
Bei der Behandlung schneller Teilchen muss einerseits beachtet werden, dass
∆t klein genug gewählt wird, da im verwendeten Crank-Nicolson Verfahren das
Potential φn+1 durch φn approximiert wird (s. Gleichung (3.53)). Andererseits
tritt hier ein rein quantenmechanisches Problem auf, da Real- und Imaginärteil
von Wellenfunktionen mit groÿem Impuls schneller über den Ort variieren als
36
3 Numerische Methoden
0,4
m=3
m=40
Re(ψ(t=0))
0,2
0
-0,2
-0,4
-5
-3
-1
x
1
3
5
Abbildung 10: Realteil ebener Wellen mit m = 3 und m = 40. Aufgrund der
stärkeren Ortsabhängigkeit von Wellenfunktionen mit groÿem m steigt auch die
Anzahl der benötigten Gitterpunkte K .
solche mit kleinem Impuls. Für ebene Wellen (3.56) gilt der Zusammenhang
∂x ψ ∼ pm .
(3.57)
Daher muss auch die Schrittweite ∆x für groÿe Impulse verkleinert werden. In
Abbildung 10 ist der Realteil zweier ebener Wellen mit Impulsen p3 und p40
exemplarisch dargestellt.
3.5.1
Testprogramm für die Propagation schneller Teilchen
Für die Quanten-Vlasov-Simulationen, wie sie in Abschnitt 5 dargestellt sind,
werden ebene Wellen mit sehr groÿen Impulsen benötigt. Um feststellen zu können, wie viele Zeitschritte T und Gitterpunkte K verwendet werden müssen,
damit Teilchen mit groÿem Impuls korrekt propagiert werden, dient das im Folgenden beschriebene Testprogramm.
Für den Realteil einer ebenen Welle Re(ψ(x0 , t)) ist nach Gleichung (3.56) die
Zeitabhängigkeit
Re(ψ, t) ∼ cos(ωm t)
(3.58)
37
3 Numerische Methoden
0,4
Re(ψ)(x0)
0,2
0
-0,2
-0,4
0
0,2
0,4
t
0,8
0,6
(a) Das Potential an einer Stelle x0 wird bis zum zweiten Nulldurchgang aufgezeichnet. Der eingerahmte Bereich ist in Abb. (b) vergröÿert dargestellt.
0,01
Re(ψ)(x0)
Lineare Interpolation
0
-0,01
-0,02
0,73
0,74
0,75
0,76
t
(b) Die Periode der Schwingung wird bestimmt, indem der Zeitpunkt des zweiten Nulldurchlaufs ermittelt wird. Um diesen möglichst exakt berechnen zu können,
wird zwischen den letzten beiden aufgenommenen Punkten eine lineare Interpolation
durchgeführt.
Abbildung 11: Periodenbestimmung
38
3 Numerische Methoden
1,06
K=1100 ∆T=0.001
K=2200 ∆T=0.001
K=3300 ∆T=0.001
K=4400 ∆Τ=0.001
K=11000 ∆T=0.001
K=11000 ∆T=0.0005
K=11000 ∆T=0.00025
1,05
T/TTheorie
1,04
1,03
1,02
1,01
1
0
10
5
15
pn
20
25
30
Abbildung 12: Verhältnis der numerisch bestimmten Periode zur analytisch exakten Periode. Die Systemlänge beträgt L = 10.
zu erwarten. Die theoretische Periodendauer der Schwingung (3.58) beträgt
damit TTheorie =
2π
ωm
=
4π
k2 .
Je eine ebene Welle mit Impuls pm wird mit dem
Crank-Nicolson-Verfahren so lange propagiert, bis Re(ψkn0 , t) an einem beliebigen Gitterpunkt k0 zum zweiten Mal einen Nulldurchgang vollführt, und somit
die Bedingung
≶ 0 ∧ ψkn0 ≷ 0
ψkn+1
0
(3.59)
erfüllt ist. Die Aufzeichnung von Re(ψkn0 , t) ist in Abbildung 11 dargestellt. Der
Zeitpunkt T 0 des Nulldurchgangs wird durch lineare Interpolation zwischen den
Punkten ψkn+1
und ψkn0 möglichst exakt bestimmt. Die numerische Perioden0
dauer ist dementsprechend durch Tnum = 34 T 0 gegeben. In Abbildung 12 ist das
Verhältnis Tnum /TTheorie angegeben. Man erkennt, dass die exakte Propagation
von ebenen Wellen mit groÿen Impulsen pm die Verwendung von sehr kleinen
Orts- und Zeitschritten verlangt, welche zu langen Rechenzeiten führen. Dieses
Problem kann umgangen werden, indem man jede Wellenfunktion in ihrem eigenen, gleichförmig bewegten Bezugssystem rechnet.
39
3 Numerische Methoden
3.5.2
Lösung der SGL in gleichförmig bewegten Bezugssystemen
Anstatt einfacher ebener Wellen werden nun gestörte ebene Wellen mit Anfangszustand
ψ(x) = ψ (0) (x) (1 + χ(x))
betrachtet. Dabei ist
ψ (0) (x, t) = ei(px−
p2
2
t)
(3.60)
(3.61)
die ungestörte ebene Welle und χ(x) eine beliebige Störung. Tatsächlich lässt
sich jede beliebige Wellenfunktion in der Form (3.60) darstellen. Um eine Gleichung für die Zeitentwicklung von χ(x) zu erhalten, wird (3.60) in die SGL
i∂t ψ = Ĥψ
mit Ĥ =
p̂2
−φ
2
(3.62)
eingesetzt. Man erhält so die Gleichung
i∂t χ =
⇔ i(∂t + p∂x )χ =
p̂2
∂x
χ + p χ − φχ − φ
2
i
Ĥχ − φ.
(3.63)
(3.64)
In dieser Form geschrieben liegt es nahe, die Koordinatentransformation
x = x0 + pt0
t = t0
(3.65)
durchzuführen. Die Wirkung der Zeitableitung ∂t0 auf eine beliebige Testfunktion f (x(x0 , t0 ), t(t0 )) ist dann durch
∂f
∂f ∂t
∂f ∂x
=
+
= (∂t + p∂x ) f
∂t0
∂t ∂t0
∂x ∂t0
(3.66)
gegeben, während die Ortsableitung unter dieser Koordinatentransformation invariant ist. Es bezeichne nun BS das Ruhesystem und BS 0 das gleichförmig bewegte Bezugssystem, welches durch die Koordinatentransformation (3.65) aus
BS hervorgeht. Damit lautet (3.64) in BS 0
i∂t0 χ0 = Ĥ 0 χ0 − φ0 .
(3.67)
40
3 Numerische Methoden
Um diese Gleichung auf die Form der SGL zu bringen, muss der zusätzliche Term
φ0 auf der rechten Seite noch eliminiert werden. Dazu führt man die Substitution
(3.68)
χ̃0 = χ0 + 1
durch. Durch Einsetzen von (3.68) in (3.67) erhält man nun die Gleichung
(3.69)
i∂t χ̃0 = H 0 χ̃0 ,
welche mit dem Crank-Nicolson-Verfahren lösbar ist. Die Funktion χ̃0 (x0 ) wird
diskretisiert. Wie oben wird die Abkürzung
(3.70)
χ̃0nk0 = χ̃0 (x0k , tn )
verwendet. Für die Gitterpunkte von BS und BS 0 gilt mit der Wahl xk (t = 0) =
x0k (t = 0) gemäÿ (3.65) der Zusammenhang
(3.71)
xk = x0k + pt.
Es ist allerdings ungünstig, für das bewegte Bezugssystem ein eigenes Gitter
anzulegen. Zum Einen, da zur Anwendung des Crank-Nicolson-Verfahrens das
Wechselwirkungspotential auf den gleichen Gitterpunkten wie die Wellenfunktion bekannt sein muss. Zum Anderen, da die Simulation von N Wellenfunktionen das Anlegen von N zusätzlichen Gittern erfordern würde. Stattdessen setzt
man zunächst (3.71) in (3.70) ein und erhält
(3.72)
χ̃0nk0 = χ̃(xk − ptn , tn ).
Nach der Propagation χ̃nk0 → χ̃n+1
im Bezugssystem BS 0 folgt damit der Wechk0
sel ins System BS , indem die Werte χ̃n+1
um ∆l = p∆t verschoben werden.
k
An der Stelle xl = xk + ∆l bendet sich im Allgemeinen kein Gitterpunkt. Der
Wert χ̃(xl ) muss daher den beiden nahegelegensten Gitterpunkten xi und xi+1
zugeordnet werden. Die Zuordnung ndet gemäÿ der Regel
χ̃n+1
i+1
χ̃n+1
l
=
χ̃n+1
i
= χ̃n+1
l
xi+1 − xl
1−
∆x
xi+1 − xl
∆x
(3.73)
(3.74)
3 Numerische Methoden
41
Abbildung 13: Gleichförmig bewegte Bezugssysteme. Im ersten Schritt ndet
die Propagation χ̃0n → χ̃0n+1 in BS 0 nach (3.68) statt. Im zweiten Schritt wird
n+1
χ̃0
aus BS 0 den entsprechenden Werten χ̃n+1 aus BS zugeordnet. Im dritten Schritt werden die χ̃0 n+1
den jeweils benachbarten Gitterpunkten gemäÿ
k
(3.73), (3.74) zugeordnet, da sich an den Stellen xl = xk + ∆l keine Gitterpunkte benden. Im vierten Schritt werden die Werte χ̃n+1
mit χ̃n+1
identiziert.
0
k
kn+1
Im tatsächlichen Algorithmus können die Schritte 2 − 4 zu einem Schritt zusammengefasst werden.
4 Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
42
statt7 . Im System BS 0 führen die Zuordnungen (3.73), (3.74) dazu, dass die
Position der Gitterpunkte tatsächlich zeitabhängig wird. Es gilt dann
0
xkn+1
= xkn0 − ∆l.
(3.75)
Dies gewährleistet, dass die Identikation
≡ χ̃n+1
χ̃0n+1
k
k0
n+1
(3.76)
die Bewegung des Systems BS 0 relativ zu BS korrekt wiedergibt.
Bei der Berechnung des Betragsquadrates der Wellenfunktion ist zu beachten,
dass sich |ψ(x)|2 nun über
|ψ(x)|2
=
∼
|ψ (0) |2 1 + χ + χ∗ + |χ|2
−1 + χ̃ + χ̃∗ + |χ̃ − 1|2
(3.77)
berechnet. Der Algorithmus ist in Abbildung 13 dargestellt.
Es sei darauf hingewiesen, dass diese Transformationen nur zu besseren numerischen Resultaten führen, sofern sich χ(x) wesentlich langsamer mit x ändert
als ψ(x). Nur dann genügen entsprechend weniger Gitterpunkte K zur Lösung
der transformierten SGL (3.69).
4
Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
In diesem Abschnitt werden elektrostatische Schwingungen lokalisierter Wellenpakete ohne Überlapp untersucht. Die Wellenfunktion ψ (i) sei auf dem Intervall
I (i) lokalisiert. Wie sich mit (3.46) leicht nachrechnen lässt, entspricht das von
ψ (i) erzeugte Potential auÿerhalb von I (i) dem einer Punktladung im Schwerpunkt xS von ψ (i) :
ˆ
dx0 |x − x0 |δ(x − xs )
φ(i) (x) = −2π
(4.1)
I (i)
Zudem ist dieses Potential im Auÿenraum von I (i) höchstens von zweiter Ordnung. Da sich der Schwerpunkt eines Wellenpaketes gemäÿ dem EhrenfestTheorem (3.31) auf einer klassischen Bahn bewegt, ist also zu erwarten, dass
7 Diese Operation ist oensichtlich normerhaltend und entspricht einer linearen Interpolation der Werte χ̃(xi ) aus den verschobenen Werten χ̃(xl ) und χ̃(xl − ∆x).
43
4 Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
die Ortserwartungswerte, wie im klassischen Fall, Schwingungen mit der Plasmafrequenz ωp ausführen.
4.1
Zweiteilchen-Simulationen
Abbildung 14 zeigt den Anfangszustand und das erzeugte Potential zum Zeitpunkt t = 0 einer Zweiteilchen-Simulation. Nach Abzug des Eigenpotentials
benden sich die Teilchen in einem harmonischen Potential. Die Teilchen werden als Gauÿsche Wellenpakete initialisiert, deren Breite so gewählt wird, dass
sie dem Grundzustand des harmonischen Oszillators entsprechen (vgl. Abschnitt
3.3.2). In Abbildung 15 sind die Ortserwartungswerte gegen die Zeit aufgetragen. Wie erwartet führen die Elektronen Schwingungen mit der Plasmafrequenz
aus.
Ähnliche Simulationen wurden auch in der Diplomarbeit von Niels Gütler durchgeführt [28]. Der von ihm verwendete Algorithmus verwendet jedoch keine lokalisierte Propagation. Zudem wurde für den Abzug des Eigenfeldes ein anderes
Verfahren verwendet, welches ebenfalls die Verwendung des vollen Rechengitters benötigt. Zum Vergleich der Algorithmen werden Simulationen mit aus [28]
entnommenen Parametern durchgeführt und die Rechenzeiten ermittelt. Die
Rechnungen werden unparallelisiert durchgeführt. Die in Tabelle 2 angegeben
Algorithmus Gürtler
Lokale Propagation
K = 8000 T = 20000 N = 2
50min
36s
K = 10000 T = 60000 N = 10
26h 24min
8min 32s
Skalierungsfaktor
31.7
14.2
Tabelle 2: Vergleich der Rechenzeiten von Zwei- und Zehnteilchensimulationen
mit Rechnungen aus [28]. In der untersten Zeile ist der Faktor angegeben, um
den sich die Simulationszeit bei der Simulation von 2 zu 10 Teilchen mit den
angegebenen Parametern K und T vergröÿert.
Rechenzeiten sind jedoch nicht direkt vergleichbar, da die Simulationen auf ver-
schiedenen Rechnern ausgeführt wurden8 . Vergleicht man jedoch die Skalierung
der Rechenzeit zwischen den Rechnungen mit zwei und zehn Teilchen, stellt man
8 Die in dieser Arbeit vorgestellten Simulationen werden auf einem Rechner mit Intel
Core2Duo E8200-Prozessor ausgeführt. Die Simulationen in [28] wurden auf einem Sun Fire
E6900-Rechner des Rechenzentrums der RWTH Aachen ausgeführt.
44
4 Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
0,6
0,5
|ψ|
2
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-20
-10
0
x
10
20
10
20
(a) Aufenthaltswahrscheinlichkeit
0
φ
-10
-20
-30
-40
-20
-10
0
x
(b) Potential
Abbildung 14: Aufenthaltswahrscheinlichkeit und erzeugtes Potential zweier
Wellenfunktionen zum Zeitpunkt t = 0. Bei der Propagation wird das Eigenpotential (nicht im Bild) der Wellenfunktionen jeweils abgezogen.
4 Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
45
Abbildung 15: Ortserwartungswert zweier Wellenfunktionen im zeitlichen Verlauf. Die Zeit ist auf die Plasmaperiode Tp normiert. Der grau hervorgehobene
Bereich stellt das zeitabhängige Simulationsintervall I n in den Grenzen rl und
rr dar. Die Simulation wurde mit K = 8000 Gitterpunkten und T = 15000
Zeitschritten ausgeführt. Die Simulationszeit wird in Einheiten der erwarteten
Plasmaperiode angegeben und entspricht TSim = 2Tp ≈ 15.6au.
46
4 Simulationsergebnisse: Lokalisierte Wellenfunktionen
0,6
0,5
|ψ|
2
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-100
0
x
100
Abbildung 16: Anfangsverteilung einer 16-Teilchen-Simulation. Dieses System
entspricht dem 8-Fach vergröÿerten System aus Abbildung 14.
fest, dass sich die Rechenzeit bei dem von Niels Gürtler verwendeten Algorithmus um den Faktor 31.7 verlängert, während der hier vorgestellte Algorithmus
lediglich zu einer Verlängerung um den Faktor 14.2 führt.
4.2
Skalierungsverhalten
Um das Skalierungsverhalten des entwickelten Algorithmus genauer zu untersuchen, werden mehrere Rechnungen durchgeführt, welche eine physikalisch
äquivalente Situation simulieren. Dazu werden die Teilchenzahl, die Anzahl der
Gitterpunkte und die Systemlänge der simulierenden Systeme gemäÿ
N =S
K = 1000 · S
L = 20 · S
(4.2)
mit dem Skalierungsfaktor S vergröÿert. Benachbarte Teilchen erhalten jeweils
einen betragsmäÿig gleichen, entgegengesetzt gerichteten Startimpuls. In Abbildung 16 ist exemplarisch der Anfangszustand einer Simulation mit Skalierungsfaktor S = 16 gezeigt. In Abbildung 17 ist die Rechenzeit gegen den Skalierungsfaktor S aufgetragen. Wie zu sehen ist, steigt die Rechenzeit in etwa linear mit
S an. Bei der Simulation ohne lokale Propagation und lokale Eigenfeldkorrektur
47
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
1000
Simulationszeit [s]
800
600
400
200
0
0
10
20
Skalierungsfaktor S
30
40
Abbildung 17: Benötigte Simulationszeit bei Skalierung des Systems
wäre hingegen ein quadratischer Anstieg zu erwarten, was Simulationen groÿer
Systeme erheblich erschwert.
Die Simulation lokalisierter Wellenpakete kann mit der Methode der lokalen
Propagation sehr ezient behandelt werden. Die hier vorgestellten Ergebnisse
zeigen jedoch keinerlei Quanteneekte. Zur Simulation von Elektronenplasmen
mit quantisierten Energie- und Impulseigenwerten erscheint es sinnvoller zu periodischen Wellenfunktionen überzugehen. Eine entsprechende Methode und die
resultierenden Simulationsergebisse werden im folgenden Abschnitt vorgestellt.
5
5.1
Quanten-Vlasov-Simulationen
Klassische Plasmasimulationen mit der
particle-in-cell-Methode
Für klassische Plasmasimulationen werden die ersten Algorithmen, welche auf
der Bewegung repräsentativer Teilchen beruhen, bereits Ende der 50er Jahre
vorgeschlagen. Die Entwicklung der Particle-in-Cell-(PIC)-Methode beruht auf
Arbeiten von Dawson [5], Hockney und Eastwood [6], Birsdall und Langdon [7],
u.A. Grundsätzlich besteht bei Teilchensimulationen in der Plasmaphysik das
48
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
Problem, dass die Zahl der Teilchen, welche an kollektiven Plasmaschwingungen
teilnehmen, sehr groÿ ist. Eine einfache Abschätzung erreicht man, in dem man
die Zahl der Teilchen pro Debye-Volumen,
ND ≡ n0 λ3D
(5.1)
betrachtet. Die in (5.1) eingeführte Debye-Länge λD ist die charakteristische
Länge, auf der Ladungen in neutralen Plasmen abgeschirmt werden. Sie hängt
mit der Plasmafrequenz über
r
λD =
T 1
me ωp
zusammen. Die Bedingung ND 1 ist äquivalent zur Forderung Γ 1 und
beschreibt somit ideale, stoÿfreie Plasmen. In Fusionsexperimenten beispielsweise ist ND ≈ 106 . Zudem gilt für die relevanten Systemlängen L typischerweise L λD , da in Plasmen kollektive, langreichweitige Eekte von besonderer
Bedeutung sind. Dies führt dazu, dass die Teilchenzahl selbst für moderne Computer zu groÿ ist, um die Bewegung der Teilchen auf Grundlage der Newtonschen
Bewegungsgleichungen und der Maxwellgleichungen berechnen zu können. Eine
erste Näherung, die auch in den hier vorgestellten Quanten-Vlasov-Simulationen
verwendet wird, besteht darin, sich auf eindimensionale, elektrostatische Systeme zu beschränken. Darüber hinaus kann man ausnutzen, dass in idealen Plasmen Stoÿprozesse eine untergeordnete Rolle spielen. In PIC-Simulationen macht
man sich dies zunutze, in dem man anstatt von Punktladungen mit der Ladung
q ausgedehnte, sogenannte Cloudteilchen betrachtet, welche eine Ladung q 0 > q
tragen. In einer Dimension kann beispielsweise die Dichteverteilung S(x − xi )
eines Cloudteilchens, das sich an der Stelle xi bendet, als Rechteck- oder GauÿFunktion gewählt werden, deren Breite etwa der Debye-Länge entspricht. Wie
in Abbildung 18 für die Rechteckfunktion exemplarisch dargestellt, wird die
Wechselwirkung durch die Verschmierung des Teilchens derart regularisiert,
dass harte Stöÿe unterdrückt werden, während die langreichweitige Wechselwirkung durch die Verschmierung unverändert bleibt. Die PIC-Methode ist in
diesem Sinne das Pendant zur Vlasov-Theorie, welche für stoÿfreie Plasmen
angewendet wird. Formal entspricht nun ein N -Teilchensystem, welches durch
49
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
Abbildung 18: Regularisierung der Wechselwirkung in der PIC-Methode
I Cloudteilchen repräsentiert wird, der Verteilungsfunktion
f (x, p, t) =
NX
δ(x − xi (t))δ(p − pi (t))
I i
mit der Ladungsdichte
τ =q
I
NX
S(x − xi (t)).
I i=1
Damit repräsentiert ein Cloud Teilchen
die Ladung q =
0
q NI .
N
I
Punktteilchen und trägt entsprechend
Im Gegensatz zu der direkten numerischen Lösung der
Vlasov-Gleichung wird in der PIC-Methode nur der tatsächlich besetzte Teil
des Phasenraumvolumens für die Simulation benötigt. Eben dieser Vorteil soll
in den im Folgenden beschriebenen Quanten-Vlasov-Simulationen auch für die
numerische Behandlung von Quantenplasmen zugänglich gemacht werden.
50
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
5.2
5.2.1
Modellbildung für Quanten-Vlasov-Simulationen
Repräsentatives Ensemble
Genau wie bei den klassischen PIC-Simulationen ist auch bei den im Folgenden beschriebenen Quanten-Vlasov-Simulationen das Ziel, nicht die QuantenVlasov-Gleichung direkt zu lösen, sondern statt dessen lediglich den besetzten
Teil des Zustandsraumes zu betrachten und repräsenative Wellenfunktionen
zu propagieren. Um die Impulsverteilungsfunktion f (p0 ) an einer bestimmten
Stelle p0 darzustellen, genügt es, lediglich einen einzigen Zustand zu betrachten,
dessen Wellenfunktion auf K Gitterpunkten gegeben ist. Klassisch sind hingegen O(K) Simulationsteilchen notwendig, um zu einem gegebenen f (p0 ) die
Verteilungsfunktion f (x, p0 ) örtlich aufzulösen. Der numerische Aufwand für
die Simulationen ist daher in beiden Fällen vergleichbar.
Es wird nun ein repräsentatives Ensemble von Einteilchen-Wellenfunktionen
(5.2)
{|ψn i} n ∈ Z
betrachtet. Dabei ist wn die statistische Wahrscheinlichkeit für den Zustand
|ψn i. Die einzelnen Ensemblezustände gehorchen der Einteilchen-SGL
2
∂x
i~∂t ψn (x) = − − φ ψn (x)
2
(5.3)
!
mit
∂x2 φ
= 4πn0
X
2
wn |ψn (x)| − 1
n
X
wn = 1.
(5.4)
n
Die mittlere Dichte n0 des Elektronenplasmas kann dabei unabhängig von der
Anzahl der Ensemblezustände I gewählt werden. Wählt man speziell für alle
Ensemblezustände die gleiche statistische Wahrscheinlichkeit wn = I1 , so trägt
ein Ensemblezustand wie bei den PIC-Simulationen die Ladung q NI = − NI .
Wie an (5.3) und (5.4) zu sehen, darf das Eigenpotential hier nicht abgezogen
werden, da eine Wellenfunktion nicht ein einzelnes Elektron repräsentiert, sondern einen Ensemblezustand, welcher im Extremfall bereits ein ganzes Plasma
repräsentieren kann.
Die Ensemblezustände werden in der Form
ψn (x) ∼ ψn(0) (x)(1 + χ(1)
n (x))
(5.5)
51
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
(0)
(1)
angesetzt, wobei ψn (x) = eipn x eine Impulseigenfunktion und χn (x) = eikx
eine Störung mit Wellenzahl k von der Ordnung 1 darstellt. Im Folgenden
bezeichnet eine mit (r) indizierte Gröÿe eine Funktion von der Ordnung r .
Es wird nun gezeigt, dass ein Ensemble mit den Einteilchenwellenfunktionen
(5.5), das sich nach (5.3), (5.4) im selbstkonsistenten Potential zeitlich entwickelt, im Rahmen der linearen Störungstheorie auf die bekannte LindhardDispersionsfunktion führt. Das durch (5.3) bis (5.5) beschriebene Modell ist
jedoch allgemeiner, da die Zeitenwicklung beliebiger Störungen simuliert werden
kann.
5.2.2
Störungsrechnung
Poisson-Gleichung
Vernachlässigt man Terme der Ordnung 2 , erhält man mit (5.5) die Elektronendichte
ne (x) = n0
X
wn |ψn (x)|2 = n0
n
X
(1)∗
wn (1 + χ(1)
n + χn ).
(5.6)
n
Einsetzen von (5.6) in (5.4) und anschlieÿende Fourier-Transformation gemäÿ
(A.1), (A.2), (A.4) führt zu
φ̂(k) =
X
4π
q
n
wn (χ̂n (k) + χ̂∗n (−k)) .
e
0
k2
n
(5.7)
Schrödinger-Gleichung
Die SGL für einen Ensemblezustand |ψn i lautet
i∂t ψn (x) = Hψn (x)
(5.8)
Der Hamiltonoperator lässt sich zu H = H (0) + H (1) zerlegen. Dabei bezeichnet H (0) =
p̂2
2
den Hamiltonoperator eines freien Teilchens und H (1) = qe φ
beschreibt das Wechselwirkungspotential, welches gemäÿ vorigem Abschnitt in
linearer Ordnung vorliegt. Setzt man nun (5.5) in die SGL (5.8) ein, erhält man
in nullter Ordnung die Gleichung
i∂t ψn(0) (x) = H (0) ψn(0) (x)
52
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
(0)
und somit ψn (x) =
√1 ei(pn x−En t)
L
mit Energie En =
p2n
2 .
In linearer Ordnung
erhält man die Gleichung
(5.9)
+
(1)
i∂t χ(1)
n (k) = (En − En )χn (k) + qe φ(k),
wobei En± =
5.2.3
(pn ±k)2
2
bezeichnet.
Dispersionsrelation
Durch Fourier-Transformation von (5.9), anschlieÿende komplexe Konjugation
und Substitution von k durch −k erhält man mit (A.3):
(5.10)
−
(1)∗
− i∂t χ̂(1)∗
n (−k) = (En − En )χ̂n (−k) + qe φ̂(k)
Gleichungen (5.9) und (5.10) lassen sich mittels einer Laplace-Transformation
gemäÿ (A.5) nach χ̂(±k, ω) auösen:
χ̂(k, ω) =
χ̂∗n (−k, ω) =
iχ0,n (k) + qe φ̂(k)
ω − (En+ − En )
(5.11)
iχ∗0,n (−k) − qe φ̂(k)
(5.12)
ω + (En− − En )
Hierbei bezeichnet χ0,n die Anfangsbedingung χn (t = 0) gemäÿ (A.7). In dieser
Form können (5.11) und (5.12) nun in die Laplace-Transformierte der PoissonGleichung (5.7) eingesetzt werden. Löst man nach φ̂(k, ω) auf, so erhält man
den Ausdruck
φ̂(k, ω) = i
4π X
wn
S(k, ω) = 2 n0
k
n
D(k, ω)
=
S(k, ω)
D(k, ω)
χ∗0,n (−k)
χ0,n (k)
+
2
2
ω − ( k2 + pn k) ω + ( k2 − pn k)
ωp2 X
1− 2
k n
(5.13)
!
w(pn )
w(pn )
−
2
k2
ω − ( 2 + pn k) ω + ( k2 − pn k)
(5.14)
!
(5.15)
S(k, ω) bezeichnet den von χn,0 abhängigen Quellterm der Potentialstörung und
D(k, ω) die Dispersionsfunktion. Auf der rechten Seite von (5.15) wird mit ∆p =
2π
L
erweitert. Für groÿe Teilchenzahlen kann die diskrete Verteilungsfunktion
wn = w(pn ) durch eine kontinuierliche w(p) approximiert werden. Mit dem
53
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
Grenzübergang
L → ∞, n0 =
ˆ
N
= const
L
⇒
∆p → dp
X
→
(5.16)
erhält man aus (5.15)
ωp2
(
D(k, ω) = 1 − 2
k ∆p
ˆ
w(p0 )
dp
−
2
ω − ( k2 + p0 k)
ˆ
0
dp00
Führt man nun noch die Substitutionen p = p0 +
k
2
w(p00 )
)
2
ω + ( k2 − p00 k)
(5.17)
(links) und p = p00 −
k
2
(rechts) durch, so erhält man die Dispersionsfunktion in der üblichen Form
D(k, ω) = 1 +
ωp2
k 2 ∆p
ˆ
dp
w(p + k2 ) − w(p − k2 )
.
ω − pk
(5.18)
Dies ist die Lindhard-Dispersionsfunktion (2.21), nun angegeben in atomaren
Einheiten.
5.3
Theoretische Vorhersagen
Um die Gültigkeit des entwickelten Modells zu untersuchen werden Systeme mit
einfachen Verteilungsfunktionen betrachtet, welche zu analytisch berechenbaren
Dispersionsfunktionen führen. Prinzipiell ist dabei zu beachten, dass im Sinne
der Simulation die Dispersionsrelation (5.15) exakt ist, während die LindhardDispersionsfunktion (5.18) lediglich im Limes (5.16) mit der Simulation übereinstimmt.
5.3.1
Kontinuierliche Verteilungsfunktionen
Ein Ensemblezustand
Die Dispersionsrelation für einen einzelnen Ensemblezustand w(p) = δ(p) ist
bereits in Gleichung (2.25) angegeben und lautet in atomaren Einheiten
r
ω(k) =
ωp2 +
k4
.
4
(5.19)
54
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
Fermiverteilung
Nun wird eine Fermi-Verteilung mit Temperatur T = 0 betrachtet, was der
Verteilungsfunktion
w(p) =



1
I
für p ≤ kF



0
sonst
entspricht. Wählt man I = N , erhält man mit der Dispersionfunktion (5.18)
nach Integration
D(k, ω) = 1 −
k
2
2kp − 2ω − k 2 F !
= 0.
ln
k3
2kp − 2ω + k 2 −kF
Aufgelöst nach der Frequenz ω erhält man in Übereinstimmung mit [11] die
Dispersionsrelation
ω 2 = kF2 k 2 +
k4
k3
+ kF coth( )k 3 .
4
4
(5.20)
Analog zum dreidimensionalen Ergebnis (2.27) erhält man im langwelligen Grenzfall mit x coth(x) = 1 + O(x2 )
ω 2 = ωp2 +
k4
+ kF2 k 2 ,
4
(5.21)
wobei ausgenutzt wird, dass im Eindimensionalen 4kF = ωp2 gilt.
5.3.2
Diskrete Verteilungsfunktionen
Dispersionsfunktionen diskreter Verteilungsfunktionen besitzen im Allgemeinen
sehr viele Nullstellen. Wie im Folgenden gezeigt, lässt sich die Position dieser
Nullstellen und die Gewichtung der zur jeweiligen Nullstelle gehörenden Resonanzfrequenz näherungsweise angeben. Dazu wird zunächst die Dispersionsfunktion (5.15) auf eine besser handzuhabende Form gebracht.
Näherungsweise Lösung der Dispersionsfunktion
Betrachtet wird nun eine beliebiges Ensemble mit den statistischen Wahrscheinlichkeiten wn . Im Allgemeinen können hierbei unendlich viele Ensemblezustände
55
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
vorliegen, wobei natürlich nur für endlich viele wn > 0 gilt. Die Dispersionsfunktion (5.15) lässt sich zunächst in der Form
ωp2 X −wn
wn
D(k, ω) = 1 + 2
+
k n ω − ωn−
ω − ωn+
(5.22)
2
2
L
∈ N angeben.
mit ωn− = ( κ2 + nκ)∆p2 , ωn+ = (− κ2 + nκ)∆p2 und κ = k 2π
Die Funktion D(k, ω) divergiert an den Stellen ωn− und ωn+ . Wie man leicht
nachvollzieht, liegen die ωn± versetzt aufeinander, es gilt nämlich
(5.23)
+
ωn− = ωn+κ
.
Setzt man (5.23) in (5.22) ein, erhält man
!
−wn
wn
D(k, ω) =
+
+
ω − ωn+κ
ω − ωn+
ωp2 X wn − wn−κ
= 1+ 2
mit ωn ≡ ωn+ .
k n
ω − ωn
ωp2 X
1+ 2
k n
(5.24)
(5.25)
Im zweiten Schritt wird dabei eine Umbenennung n0 = n + κ vorgenommen.
Da über alle n0 summiert wird, kann der Strich weggelassen werden. Anhand
der Gleichung (5.25) ist die Form der Dispersionsfunktion gut zu erkennen:
Die Divergenzen an den Stellen ωn treten nur dann auf, wenn wn 6= wn−κ .
Das Verhalten der Dispersionsfunktion in der Nähe von ωn ist in Abbildung
19 dargestellt. In der Nähe von ωn bendet sich die Nullstelle ωn,0 . Dabei wird
angenommen, dass der Beitrag des Summanden n+1 aus (5.25) an der Nullstelle
ωn,0 verschwindend gering ist. In diesem Fall kann das Verhalten von D(k, ω)
in der Nähe von ωn durch
D(k, ω)|(ω−ωn )1 = 1 +
ωp2
k2
wn − wn−κ
ω − ωn
approximiert werden. In dieser Näherung lässt sich die Nullstelle ωn,0 zu
ωn,0 ≈ ωn −
ωp2
(wn − wn−κ )
k2
(5.26)
abschätzen.
Im nächsten Schritt soll nun die Gewichtung der einzelnen Resonanzfrequenzen,
56
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
3
2
D(k,ω)
1
0
Nullstelle
-1
-2
4
4,5
5
ω
5,5
6
Abbildung 19: Das Verhalten der Dispesionsfunktiuon in der Nähe von ωn = 5.
Wie man leicht erkennt, ist in der direkten Umgebung von ωn stets eine Nullstelle
der Dispersionsfunktion anzutreen, sofern wn − wn−κ 6= 0. Da in diesem Fall
wn − wn−κ < 0 gilt, ndet man die Nullstelle ωn,0 bei ωn,0 & ωn .
57
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
welche mit (5.26) näherungsweise bestimmt sind, ermittelt werden. Dazu wird
auf das in der Zeit Laplace-transformierte Potential (5.13) die inverse Laplace
Transformation (A.6) angewendet, was
ˆ
φ(k, t)
=
=
=
∞+is
dω −iωt S(k, ω)
e
i
D(k, ω)
−∞+is 2π

dω −iωt S(k, ω)
e
i
D(k, ω)
C 2π
X
S(k, ωn,0 )(ω − ωn,0 )
eiωn,0 t
D(k, ωn,0 )
n
(5.27)
(5.28)
(5.29)
liefert. Dabei wird s so gewählt, dass alle Polstellen in der komplexen Halbebene
Im(z) < s liegen. Der Integrationsweg C wird dann so gewählt, dass er alle Singularitäten von S(k, ω)/D(k, ω) umschlieÿt, jedoch nur für Im(z) = s nichtverschindende Beiträge liefert. So kann in (5.29) der Residuensatz zur Berechnung
der inversen Laplace-Transformation verwendet werden. Hierbei wird auÿerdem
angenommen, dass alle Nullstellen von D(k, ω) einfach sind, was bei Betrachtung von Abbildung 19 sofort klar ist. Wendet man nun noch auf (5.29) die
Regel von l'Hospital an, so erhält man das Resultat
φ(k, t) =
X
eiωn,0 t An =
X
n
eiωn,0 t
n
S(k, ωn,0 )
,
∂ω D(k, ωn,0 )
(5.30)
wobei An die Amplitude der n-ten Mode bezeichnet. Der Wert ∂ω D(k, ωn,0 )
kann nun durch Einsetzen der Näherung(5.26) in
∂ω D = −
ωp2 X wn − wn−κ
k 2 n (ω − ωn )2
(5.31)
approximiert werden, wodurch man
∂ω D(k, ωn,0 ) ≈ −
k2
1
2
ωp wn − wn−κ
(5.32)
erhält. Der Quellterm der Potentialstörung (5.14) kann wie D(k, ω) mit ωn
angegeben werden. Man erhält dann
S(k, ω) =
4π X χ0,n (−k)∗ wn + χ0,n−κ (−k)∗
.
n0
k2
ω − ωn
n
(5.33)
58
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
Beispiel für die Näherung
Als Beispiel für die gerade entwickelte Näherung wird nun ein einfaches Ensemble betrachtet, welches in Abschnitt (5.4) mit Simulationen verglichen wird. Das
Ensemble sei durch
w0 =
I = 5,
1
1
1
, w±1 = , w±2 =
, w|n|>2 = 0
3
4
12
N = 3,
L=2
⇒ ωp = 4, 342
gegeben. Die Störung wird dabei in der Form χn,0 = cos(k0 x) mit k0 = π angesetzt. Die Resonanzfrequenzen können nun näherungsweise mit (5.26) ermittelt
werden, was hier
ω1,0 = 1.24,
ω2,0 = 3.62 und ω3,0 = 5.79
liefert. Das Verhältnis der Amplituden An zueinander ergibt sich mit (5.30),
(5.32) und (5.33) zu
A1 : A2 : A3 =
ˆ
7.0 2.0 1.0
:
:
= 6.6 : 4.0 : 1.0.
2.1 1.0 2.1
Das Auftreten mehrerer Resonanzfrequenzen führt zu Schwebungen im zeitlichen
Verlauf des Potentials. Eine entsprechende Simulation wird in Kapitel 5.4.2
präsentiert. Die numerisch bestimten Resonanzfrequenzen und entsprechenden
Amplituden sind in Abbildung 21 dargestellt und stimmen oensichtlich gut mit
den Ergebnissen der hier vorgestellten Näherung überein.
5.4
Numerische Ergebnisse
Um die Ensemblezustände zu propagieren, werden die in Kapitel 3 vorgestellten numerischen Methoden verwendet. Insbesondere die Methode der bewegten
Bezugssysteme ndet hier Anwendung. Die Ensemblezustände werden gemäÿ
der SGL (5.3) und der zugehörigen Poisson-Gleichung (5.4) propagiert. Die Ensemblezustände werden dabei mit Störungen in der Form (5.5) initialisiert.
5.4.1
Kaltes Quantenplasma - 1 Ensemblezustand
Vernachlässigt man die Fermistatistik der Elektronen vollständig, kann das
Quantenplasma durch einen einzigen Zustand repräsentiert werden. Die entsprechende Dispersionsrelation ist bereits in (5.19) analytisch berechnet. In Abbildung
59
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
500
Simulation
Theorie
400
ω/ωp
300
200
100
0
0
10
20
k
30
40
Abbildung 20: Dispersionsrelation bei der Simulation mit einem Ensemblezustand. Die rote Kurve gibt die in (5.19) angegebene theroretisch erwartete Dispersionsrelation an. Die Simulation wird mit einer Systemlänge L = 4, Schrittweite
∆t = 3.545 · 10−5 und K = 11000 Gitterpunkten ausgeführt. Die angegebenen
Schwingungsfrequenzen sind auf die Plasmafrequenz ωp = 1.77 normiert.
60
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
20 sind die numerischen Ergebnisse zu sehen. Die Schwingungsfrequenz des Plasmas wird dabei ermittelt, indem das Potential φ(x0 , t) an einer festen Stelle x0
aufgezeichnet wird. Da φ(x0 , t) eine harmonische Schwingung ausführt, konnte
die genaue Periode der Schwingung analog zu der in Abbildung 11 beschriebenen
Methode ermittelt werden. Die Simulation wird für verschiedene Störungswellenlängen k durchgeführt, wodurch die Dispersionsrelation numerisch ermittelt werden konnte.
5.4.2
Demonstration der Schwebungen- 5 Ensemblezustände
Abbildung 21 zeigt die numerischen Ergebnisse des in Kapitel 5.3.2 analytisch
behandelten Plasmas mit fünf Ensemblezuständen. Bei der Simulation werden
K = 2200 Gitterpunkte und eine Schrittweite von ∆t = 9.6 · 10−5 verwendet.
Die Länge des Systems beträgt L = 2.
5.4.3
Fermiverteilung - 1001 Ensemblezustände
Abbildung 22(a) zeigt die Dispersionsrelation, welche man erhält, wenn man
die statistischen Wahrscheinlichen gemäÿ einer Fermiverteilung mit Temperatur
T = 0,
wn =




1
500
für |n| ≤ 500



0
sonst,
besetzt. Die Simulation wird einmal unter Verwendung bewegter Bezugssysteme
und einmal ohne diese durchgeführt. Der Vorteil der Propagation in bewegten
Bezugssystemen ist klar erkennbar. Exemplarisch ist in Abbildung 22(b) das
Potential an der Stelle x0 im zeitlichen Verlauf gezeigt. Bei dieser Simulation
ist die Störungswellenlänge k =
2π
L
gesetzt und damit κ = 1. Da auÿer an den
Rändern der Fermiverteilung wn − wn−1 = 0 gilt, sollte die Dispersionsfunktion (5.25) nur eine Resonanzfrequenz besitzen und damit keine Schwebungen
auftreten. Tatsächlich treten jedoch auch hier Schwebungen auf. Die in Abbildung (a) aufgetragenen Schwingungsfrequenzen werden ermittelt, in dem die
Schwingungsperiode in Abbildung (b) erst nach dem Abklingen des Peaks, bei
t/Tp > 3 ermittelt wird. Es handelt sich bei dem in (b) gezeigten Potentialverlauf nicht um eine Dämpfung. Für groÿe Simulationszeiten treten Peaks wie der
bei t/Tp = 0 erneut auf.
61
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
0,4
φ(x0)
0,2
0
-0,2
-0,4
0
10
5
t/Tp
(a) Potential an der Stelle x0 im zeitlichen Verlauf. Wie erwartet treten Schwebungen
auf.
10000
φ(ω,x0)
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
ω
4
5
6
(b) Diskrete Fourier-Transformierte des in (a) gezeigten Potentials. Die analytische
Rechnung in Kapitel 5.3.2 ergeben Resonanzfrequenzen ω1,0 = 1.24, ω2,0 = 3.62 und
ω3,0 = 5.79 mit dem Amplitudenverhältnis A1 : A2 : A3 =
ˆ 6.6 : 4.0 : 1.0, was gut
mit den numerischen Ergebnissen übereinstimmt.
Abbildung 21: Simulation mit fünf Ensemblezuständen
62
5 Quanten-Vlasov-Simulationen
50
Bewegte Bezugssysteme
Normale Propagation
Theorie
40
ω/ωp
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
k
(a) Dispersionsrelation eines Quantenplasmas, dessen Ensemblezustände
entsprechend einer Fermiverteilung mit Temperatur T = 0 initialisiert werden.
Die Simulation wird einmal mit und einmal ohne die Methode der Bewegten
Bezugssysteme ausgeführt. Beide Simulationen werden mit N = 1001 Teilchen,
K = 2200 Gitterpunkten und einer Schrittweite von ∆t = 1.2 · 10−5 in einem System
der Länge L = 10 ausgeführt. Die theoretische Kurve bezieht sich auf Gleichung
(5.20).
0
φ(x0)
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
0
1
2
3
4
5
t/Tp
(b) Das Potential an fester Stelle x0 im zeitlichen Verlauf. Die Störungswellenlänge
beträgt hierbei k = 2π
.
L
Abbildung 22: Simulation eines Quantenplasmas mit 1001 Ensemblezuständen.
63
6 Zusammenfassung
4
ω/ωp
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,8
0,6
1
1,2
1,4
k
Abbildung 23: Simulation mit 201 Ensemblemitgliedern.
5.4.4
Fermiverteilung - 201 Ensemblezustände
Wie in der vorherigen Simulation wird auch bei der in Abbildung 23 gezeigten
Simulation eine Fermi-Verteilung
wn =




1
200
für |n| ≤ 200



0
sonst
verwendet. Die Systemlänge beträgt hier L = 40, die Schrittweite ∆t = 5 · 10−4
und die Anzahl der Gitterpunkte K = 2000. Die Plasmafrequenz beträgt ωp =
7.93.
6
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wurde ein Verfahren entwickelt, mit welchem die Dynamik von Plasmen im Rahmen der Quanten-Vlasov-Theorie numerisch untersucht werden kann. Zunächst wurde ein molekulardynamischer Ansatz verfolgt,
bei welchem lokalisierte Elektronen betrachtet werden, die über ein Hartree-
6 Zusammenfassung
64
Potential miteinander wechselwirken. Es stellte sich jedoch als sinnvoller heraus, statt einzelner Elektronen repräsentative Ensemblezustände zu betrachten, welche als periodische Wellenfunktionen angesetzt wurden. Das entwickelte
Verfahren konnte mit analytischen Ergebnissen basierend auf der LindhardDispersionsfunktion bestätigt werden.
Nach einer Einführung in die klassische Vlasov-Theorie und die Quanten-VlasovTheorie wurde im zweiten Kapitel die Lindhard-Dispersionsfunktion vorgestellt,
welche sich aus der linearisierten Quanten-Vlasov-Gleichung herleiten lässt. Die
Lindhard-Dispersionsfunktion beschreibt das Verhalten von Quantenplasmen
bei kleinen Störungen eines Gleichgewichtszustandes für Zeiten von der Gröÿenordnung der Plasmaperiode.
Im dritten Kapitel wurden die verwendeten numerischen Methoden vorgestellt.
Neben dem etablierten Crank-Nicolson-Algorithmus zur numerischen Lösung
der Schrödinger-Gleichung und den impliziten Methoden zur Lösung der PoissonGleichung sind hier zwei selbst entwickelte Algorithmen hervorzuheben. Zum
Einen wurde für die Propagation lokalisierter Wellenfunktionen ein Verfahren
entwickelt, bei welchem die Schrödinger-Gleichung für jedes Teilchen auf dem
kleinstmöglichen Intervall gelöst wird. Zum Anderen wurde für periodische Wellenfunktionen ein Algorithmus erstellt, welcher es ermöglicht jede Wellenfunktion in ihrem eigenen, gleichförmig bewegten Bezugssystem zu propagieren. Das
Bezugssystem wird dabei so gewählt, dass die Wellenfunktion in diesem System
möglichst langsam über den Ort variiert und somit weniger Gitterpunkte zur
Propagation benötigt werden.
Die mit lokalisierten Wellenfunktionen durchgeführten Simulationen wurden im
vierten Kapitel vorgestellt. Bei den Simulationen wurde eine exakte Eigenfeldkorrektur vorgenommen. Dabei konnte die Funktionalität der verwendeten Verfahren bestätigt werden. Insbesondere bewährte sich die Methode der lokalen
Propagation für die Simulation lokalisierter Wellenfunktionen in groÿen Systemen.
Im fünften Kapitel wurde die Methode der Quanten-Vlasov-Simulationen entwickelt. Der Aufwand für diese Simulationen ist dabei mit dem klassischer
Particle-in-Cell-Verfahren vergleichbar. Zwar ist die Propagation eines repräsentativen Ensemblezustandes wesentlich aufwändiger als die Propagation in klassischen Systemen. Jedoch genügt es hier, für die Impulsverteilungsfunktion f (p0 )
an einer bestimmten Stelle p0 lediglich einen einzigen Zustand zu betrachten,
6 Zusammenfassung
65
dessen Wellenfunktion auf K Gitterpunkten gegeben ist. Klassisch sind hingegen O(K) Simulationsteilchen notwendig, um zu einem gegebenen f (p0 ) die
Verteilungsfunktion f (x, p0 ) örtlich aufzulösen. Weiterhin wurden in diesem
Kapitel Simulationsergebnisse vorgestellt, die mit dieser Methode erzeugt wurden. Diese bewiesen eine gute Übereinstimmung mit den theoretischen Vorhersagen auf Grundlage der Lindhard-Theorie. Die Methode der bewegten Bezugssysteme ermöglichte dabei, dass auch Plasmen mit breiten Impulsverteilungsfunktionen simuliert werden konnten.
Während die Lindhard-Theorie nur für die Untersuchung kleiner Störungen
geeignet ist, kann das hier entwickelte Verfahren auch für die Behandlung nichtlinearer Eekte angewendet werden. Durch Einbinden zeitabhängiger externer
Felder kann in weiterführenden Arbeiten beispielsweise die Wechselwirkung entarteter Plasmen mit starken Laserfeldern untersucht werden. Zudem könnte das
vorgestellte Verfahren auch für nicht-periodische Randbedingungen modiziert
werden, um die Dynamik dünner Plasmaschichten zu untersuchen. Schlieÿlich
wäre auch die Erweiterung auf zweidimensionale Systeme denkbar.
66
A Integraltransformationen
A
A.1
Integraltransformationen
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformierte fˆ(x) einer L-periodischen Funktion f (x) wird deniert
als
ˆ
1
fˆ(k) = √
2π
L
dx e−ikx f (x).
(A.1)
0
Für die Inverse Fourier-Transformation gilt entsprechend
f (x) = √
X
1
eikx fˆ(k),
2π∆k k
mit ∆k = 2π/L. Für das konjugiert Komplexe von fˆ(x) gilt dann
1
fˆ∗ (k) = √
2π
ˆ
L
eikx f ∗ (x) = fc∗ (−k).
(A.2)
0
Speziell wenn f reell ist, erhält man
fˆ(k)∗ = fˆ(−k).
(A.3)
Durch partielle Integration sieht man leicht, dass
ˆ
∂d
x f (k) = ik f (k).
A.2
(A.4)
Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformierte einer Funktion f (t) wird deniert als
ˆ
∞
dt f (t) eiωt , Im(ω) > 0.
f (ω) =
(A.5)
0
Für die Inverse Laplace-Transformierte erhält man dann
ˆ
∞+is
f (t) =
−∞+is
dω −iωt
e
f (ω) t > 0.
2π
(A.6)
Durch partielle Integration sieht man leicht, dass
ˆ
∞
dt
0
∂f (t) iωt
e = −f (0) − iω ĥ(ω).
∂t
(A.7)
A Integraltransformationen
67
Literatur
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68
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Solution of Partial Dierential Equations of the Heat-Conducted Type,
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[28] N. Gürtler, Simulation eines eindimensionalen idealen Quantenplasmas auf
Parallelrechnern, Diplomarbeit in Physik (2006)
Ich möchte mich bei den folgenden Personen besonders bedanken:
• Prof. Dr. H.-J. Kull für die hervorragende Betreuung und ein interessantes
Diplomarbeitsthema,
• Prof. Dr. H. Schoeller für die Übernahme des Zweitgutachtens,
• Sebastian, Hans, Evelin und Thomas für das Korrekturlesen,
• Annemarie ebenfalls für das Korrekturlesen und das Verständnis, dass man
sich für Sachen wie Quantenplasmen begeistern kann,
• meinem Vater für das Ermöglichen meines Studiums.
Hiermit bestätige ich, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig verfasst habe und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt, sowie eventuelle Zitate kenntlich gemacht habe.
Ansgar Schmidt-Bleker,
Aachen, den 12.2.2010