P21 Statistischen Physik WS 15/16 Prof. Jan Plefka

P21 Statistischen Physik
WS 15/16
Prof. Jan Plefka
Präsenzbungsblatt
Behandlung am Freitag 16.10 bzw. Montag 19.10
P1 - Die Γ-Funktion
Die Γ-Funktion ist definiert durch
Z
Γ(n + 1) :=
∞
dttn e−t
0
a) Zeigen Sie Γ(n + 1) = n! .
R∞
Hinweis: Führen Γ(n + 1) durch geeignetes partielles Integrieren auf 0 dt e−t zurück.
b) Zeigen Sie, dass für große n gilt (Stirlingsche Formel)
√
n! ∼ 2πn nn e−n
Hinweis: Benutzen Sie die Sattelpunktsmethode, d.h. zeigen Sie, dass der Integrand von Γ(n +
1) ein scharfes Maximum hat und passen Sie dann den Integranden bis zur zweiten Ordnung
an eine Gauß-Funktion an.
P2 - Wahrscheinlichkeitsverteilung und erzeugendes Funktional
Ein Tellerwäscher spült ununterscheidbare Teller, die dabei mit der Wahrscheinlichkeit p < 1
zebrechen. Nachdem k Teller zerbrochen sind, wird er entlassen.
a) Begründen Sie kurz, dass die Wahrscheinlichkeit Pn insgesamt n Teller während des Arbeitsverhältnisses zu spülen (und dabei potentiell auch zu zerbrechen) gegeben ist durch
n−1
Pn =
pk (1 − p)n−k für n ≥ k und Pn = 0 für n < k .
k−1
P∞
n
b) Berechnen Sie daserzeugende Funktional F (x) = hxn i :=
n=0 Pn x unter Verwendung
P
l+m
von ∞
y m = (1 − y)−l−1 für |y| < 1. Ableitungen des Funktionals an der Stelle
m=0
l
x =? p
liefern Ihnen dann den Mittelwert hni der gespülten Teller, sowie die Schwankung
∆n = hn2 i − hni2 um diesen Wert.
Was ergibt sich für ∆n/hni im Limes k → ∞?
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