Mengen und Mengenoperationen (Teil III)

Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengen und Mengenoperationen (Teil III)
Florian Fink
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS)
2. Juni 2014
Florian Fink
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Table of Contents
1
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
2
Multimengen
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
3
Fundiertheit von Mengen
4
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
5
Zusammenfassung
Florian Fink
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Vereinigung über Mengenfamilien
Definition Vereinigung
A sei eine Mengenfamilie. Die Menge
heißt Vereinigung von A.
Florian Fink
S
A := {x|∃B ∈ A : x ∈ B}
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Durchschnitt über Mengenfamilien
Definition Durchschnitt
Sei A 6= ∅ eine Mengenfamilie. Die Menge
T
A := {x|∀B ∈ A : x ∈ B} heißt Durchschnitt von A.
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie I
Lemma
Für beliebige Mengen gelten stets die folgenden Identitäten:
[
[
A ∩ i∈I Bi =
i∈I (A ∩ Bi )
A∪
\
\
i∈I (A ∪ Bi )
[
[
[
[
( i∈I Ai ) ∪ ( j∈J Bj ) =
i∈I (
j∈J (Ai
[
[
[
[
i∈I (
j∈J (Ai ∪ Bj )) =
j∈J (
i∈I (Ai
\
\
\
\
( i∈I Ai ) ∩ ( j∈J Bj ) =
i∈I (
j∈J (Ai
\
\
\
\
j∈J (Ai ∩ Bj )) =
j∈J (
i∈I (Ai
i∈I (
i∈I Bi
Florian Fink
=
(1)
(2)
∪ Bj ))
(3)
∪ Bj ))
(4)
∩ Bj ))
(5)
∩ Bj ))
(6)
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie II
Die Beweisführung für diese Identitäten sind allesamt ähnlich und
sollen hier für 9 vorgestellt werden.
Zum Beweisen der Äquivalenz zweier Mengen, reicht es aus zu
zeigen dass ein Element genau dann Element der linken Seite ist,
wenn es auch Element der rechten Regelseite ist.
x ∈ (A ∩
[
i∈I Bi )
[
⇔ x ∈ ( i∈I (A ∩ Bi ))
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie III
x ∈ (A ∩
[
i∈I Bi )
⇔ x ∈ A ∧ (∃i ∈ I : x ∈ Bi )
⇔ ∃i ∈ I : (x ∈ A ∧ x ∈ Bi )
⇔ ∃i ∈ I : x ∈ A ∩ Bi
[
⇔x ∈
i∈I (A ∩ Bi )
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(7)
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie IV
Lemma
Für beliebige Mengen gelten stets die folgenden Identitäten:
[
[
[
[
( i∈I Ai ) ∩ ( j∈J Bj ) =
i∈I (
j∈J (Ai ∩ Bj ))
[
\
[
\
( i∈I Ai ) ∩ ( j∈J Bj ) =
i∈I (
j∈J (Ai ∩ Bj ))
\
[
=
j∈J (
i∈I (Ai ∩ Bj ))
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(8)
(9)
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie V
Beweis von Formel
(9). T
S
Setze A∗ = i∈I Ai , B ∗ = j∈J Bj . Aus der Formel () folgt:
[
A∗ ∩ B ∗ = ( i∈I Ai ) ∩ B ∗
[
∗
=
i∈I (Ai ∩ B )
[
\
=
i∈I (
j∈J (Ai ∩ Bj ))
\
A∗ ∩ B ∗ = A∗ ∩ ( j∈J Bj )
\
∗
=
j∈J (A ∩ Bj )
\
[
=
j∈J (
i∈I (Ai ∩ Bj ))
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(10)
(11)
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie VI
Lemma (De Morgansche Regeln, allgemeine Form)
Es sei Ai ⊆ B für alle i ∈ I . Es bezeichne − die
Komplementbildung in B. Dann gilt:
[
\
− ( i∈I Ai ) =
i∈I − Ai
[
\
−( i∈I Ai ) =
i∈I − Ai
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(12)
(13)
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie VII
Der Beweis für Formel (12):
\
\
x ∈ −( i∈I Ai ) ⇔ x ∈ B ∧ x¬ ∈
i∈I Ai
⇔ x ∈ B ∧ (∃j ∈ I : x¬ ∈ Aj )
⇔ ∃j ∈ I : (x ∈ B ∧ x¬ ∈ Aj )
(14)
⇔ ∃j ∈ I : x ∈ −Aj
[
⇔ ∃j ∈
i∈I − Ai
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Table of Contents
1
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
2
Multimengen
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
3
Fundiertheit von Mengen
4
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
5
Zusammenfassung
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Multimengen I
Bei einfachen Mengen kann man nur fragen ob ein bestimmtes
Element Teil der Menge ist oder nicht. Eine naheliegende
Verallgemeinerung stellt jene dar, wo jedes Element endlich oft
auftreten kann und Mengen anhand der Vielfachheit des Auftretens
eines gegebenen Elements unterschieden werden können. Diese
Mengen sind unter dem Begriff Multimengen bekannt.
Zur Darstellung von Multimengen werden häufig eckige Klammern
[] verwendet. Z.B. ist [a, a, b, e, e, g , m, m, O, r , r , u] die
Multimenge der der Buchstaben des Wortes “Oberammergau”, und
[2, 2, 3, 3, 5, 11] ist die Multimenge der Primfaktoren der Zahl 1980.
Was ist die Menge der Buchstaben von “Oberammergau”?
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Definition Äquivalenz von Multimengen
Zwei Multimengen sind gleich genau dann, wenn sie die selben
Elemente in der selben Vielfachheit enthalten.
Definition Teilmultimenge
Eine Multimenge A ist Teilmultimenge einer Multimenge B,
A ⊆m B, wenn jedes Element von A auch in B mit mindestens
gleicher Häufigkeit vorkommt.
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Beispiele
Es gelten somit folgende Beziehungen:
[1, 1, 2, 2, 2, 5, 5] 6= [1, 2, 5]
[1, 2, 3] 6⊆m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5]
[1, 1, 2, 5] ⊆m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5]
[1, 1, 2, 5, 5] ⊆m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5]
[1, 1, 2, 5, 5, 5] 6⊆m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5]
[1, 1, 2, 3, 5, 5, ] 6⊆m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5]
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Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Definition Vereinigung von Multimengen
Die Vereinigung von zwei Multimengen A und B ist diejenige
Multimenge A ∪m B, die genau die Elemente enthält, die in einer
der beiden Mengen vorkommen und wo ein Element x mit der
Vielfachheit max(n, m) in A ∪m B auftaucht, wobei m und n die
Anzahl des Vorkommens des Elements X in A bzw. B ist.
Definition Durchschnitt von Multimengen
Der Durchschnitt von zwei Multimengen A und B ist diejenige
Multimenge A ∩m B, die genau die Elemente enthält, die in beiden
Multimengen vorkommen und wo ein Element x mit der
Vielfachheit min(n, m) vorkommt.
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Beispiele
Es gilt somit:
[1, 1, 2, 2, 2, 5] ∪m [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5]
[1, 1, 2, 2, 2, 5] ∩m [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 5]
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Fundiertheit von Mengen
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Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Definition Summe von Multimengen
Die Summe von zwei Multimengen A und B ist diejenige
Multimenge A + B, die genau die Elemente enthält, die in einer der
beiden Mengen vorkommen und wo ein Element x mit der
Vielfachheit m + n in A + B auftaucht.
Definition Differenz von Multimengen
Die Differenz von zwei Multimengen A und B ist diejenige
Multimenge A \m B, die genau die Elemente enthält, die in beiden
Multimengen vorkommen und wo ein Element x mit der
Vielfachheit m − n vorkommt.
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
Beispiele
Es gilt somit:
[1, 1, 2, 2, 2, 5] + [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5]
[1, 1, 2, 2, 2, 5] \m [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 2, 2, 2]
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Table of Contents
1
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
2
Multimengen
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
3
Fundiertheit von Mengen
4
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
5
Zusammenfassung
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Wohlfundiertheit
Zur genaueren Formalisierung des Mengenkonzepts wird in aller
Regel das Konzept der Wohlfundiertheit gefordert.
Definition Wohlfundiertheit
Eine nichtleere Menge M 6= ∅ ist wohlfundiert genau dann wenn,
M ein Element A ∈ M enthält für das gilt: M ∩ A = ∅.
Wenn gilt A ∈ M und A ∩ M = ∅, wird A auch -minimales
Element genannt. Das Prinzip der Wohlfundiertheit fordert also,
dass jede nichtleere Menge eine -minimales Element enthält. Dies
hat zur Folge, dass es keine unendlich absteigende Ketten von
Mengen git, die in einer Elemtschaftsbeziehung stehen.
· · · ∈ Mi+1 ∈ Mi ∈ · · · ∈ M2 ∈ M1 ∈ M0
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Nichtfundierte Mengen
In jüngerer Zeit wurde von verschiedener Stelle bemerkt, dass es
zur Modellierung von gewissen Problemen der Informatik und der
Linguistik angebrachter ist, auf die Wohlfundiertheit von Mengen
zu verzichten und auch nichtfundierte Mengen zuzulassen.
Solche nichtfundierte Mengen sind hilfreich bei der Formalisierung
zyklischer Datenstrukturen, oder auch in der Linguistik, etwa für
logische Modellierung von Selbstreflexionen.
Die Konzepte von Mengen bleiben aber von der Frage der
Fundiertheit von Mengen unbetroffen und wir werden nicht näher
auf nichtfundierte Mengen eingehen.
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Table of Contents
1
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Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
2
Multimengen
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
3
Fundiertheit von Mengen
4
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
5
Zusammenfassung
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Aussagenlogische Tautologien und Mengen I
Viele mengentheoretischen Identitäten können durch Verwendung
von aussagenlogischen Tautologien bewiesen werden.
Dieser Zusammenhang ist nicht verwunderlich, da die
mengentheoretischen Operationen ∪, ∩, − über die
aussagenlogischen Junktoren ∨, ∧, ¬ definiert werden.
Was ist die Definition der Vereinigung von zwei Mengen A, B?
Was ist die Definition des Durchschnitts von zwei Mengen A, B?
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Aussagenlogische Tautologien und Mengen II
Es seien A, B und C beliebige Teilmengen von M. Dann sind alle
mengentheoretischen Aussagen wahr, die wir aus den Tautologien
1-11 dadurch erhalten, dass wir jedes Vorkommen von
α, β und γ durch A, B bzw. C ersetzen.
∧ mit ∩
∨ mit ∪
¬ mit − (Komplementbildung in M)
⇔ mit =
ersetzen
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Aussagenlogische Tautologien und Mengen II
Es seien wiederum A, B und C beliebige Teilmengen von M.
Tautologie (1): α ∨ α ⇔ α
A∪A=A
Tautologie (7): (α ∧ (β ∨ γ)) ⇔ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ))
(A ∩ (B ∪ C )) = ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C ))
Tautologie (9): ¬(¬α) = α
−(−A) = A
Tautologie (11): ¬(α ∨ β) ⇔ (¬α¬β)
−(A ∪ B) = (−A ∩ −B)
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Aussagenlogische Tautologien und Mengen III
Ganz allgemein lassen sich sogar alle aussagenlogischen Tautologien
der Form α ⇔ β immer in mengentheoretische Identitäten
übersetzen, wenn sie nur die Junktoren ∧, ∨ und ¬ enthalten.
Auch andere aussagenlogische Tautologien lassen sich in
allgemeingültige Aussagen über Menge übersetzen.
Florian Fink
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Aussagenlogische Tautologien und Mengen IV
Aus den Tautologien 12 und 13 erhält man zum Beispiel folgende
Gesetzmäßigkeiten:
(A ⊆ B) ⇔ (A ∪ B = B)
(A ⊆ B) ⇔ (A ∩ B = A)
Wie lauten die entsprechenden aussagenlogischen Tautologien?
(Hinweis: Wie ist die Teilmengenbeziehung A ⊆ B definiert?)
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Russellsche Antinomie
Das sog. Russelsche Antinomie zeigt die Grenze der naiven
Mengentheorie auf.
Wenn man annimmt, dass man wirklich in beliebiger Weise
wohlunterschiedene Objekte zu einer Menge zusammenfassen kann
könnte man folgende Menge definieren:
M := {A|A ist Menge, A 6∈ A}
M soll die Menge aller Mengen sein, die sich nicht selbst enthalten.
Da M sich nicht selbst enthält, sollte M in M enthalten sein:
M ∈ M → M 6∈ M
M 6∈ M → M ∈ M
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Das Barbier-Paradoxon
Es gibt zahlreiche populäre Formulierungen der Russelsche
Antinomie. Eines davon ist das sog. Barbier-Paradoxon:
Barbier-Paradoxon
Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, nur nicht
die, die sich selbst rasieren. Wenn das so ist, rasiert der Barbier
von Sevilla sich dann selbst?
Wenn er sich also nicht selbst rasiert, dann rasiert er sich
selbst.
Wenn er sich selbst rasiert, dann rasiert er sich nicht selbst.
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Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
Table of Contents
1
Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien
Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien
Gesetze
2
Multimengen
Äquivalenz und Teilmengen von Multimengen
Durchschnitt und Vereinigung von Multimengen
Summe und Differenz von Multimengen
3
Fundiertheit von Mengen
4
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
5
Zusammenfassung
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Multimengen
Fundiertheit von Mengen
Aussagenlogischen Tautologien und Mengen
Zusammenfassung
tl;dr
Wie für die Vereinigung und den Durchschnitt von Mengen,
gibt es eine Reihe von Regelmäßigkeiten für die Vereinigung
und den Durchschnitt über Mengenfamilien.
Die allgemeinen De Morganschen Regeln sind die
Verallgemeinerung der Komplementbildung von
Mengenfamilien.
Multimengen sind Mengen die anhand der Vielfachheit ihrer
Elemente unterschieden werden.
Der Durchschnitt und die Vereinigung von Multimengen sind
analog zu den normalen Mengen definiert.
Alle aussagenlogischen Tautologien lassen sich in eine
mengetheoretische Identität überführen.
Die Russelsche Antinomie (“Barbier von Sevilla”) zeigt die
Grenzen der naiven Mengentheorie auf.
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