Grundlagen der Elektrotechnik 3 - Nachrichtentechnische Systeme

Grundlagen der Elektrotechnik
3
Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms
und
Prof. Dr.-Ing. Adalbert Beyer
und basierend auf dem Script von
Prof. Dr.-Ing. Ingo Wolff
Prof. Dr.-Ing. I. Willms
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Nachrichtentechnische Systeme
S. 1
N T S
Grundlagen der Elektrotechnik 3
Inhalt
1
2
3
4
5
6
Einleitung
Grundlagen der Signaltheorie determinierter Signale
Schaltvorgänge
Ortskurven
Netzwerksätze
Fernleitungen
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Literatur
• Literatur zur Vorlesung:
R. Paul
Elektrotechnik 2, Grundlagenbuch Netzwerke
Springer-Verlag, Heidelberg 1994
I. Wolff
Grundlagen der Elektrotechnik Band 2
Verlag Dr. Wolff, Aachen 2005
• Weiterführende Literatur :
W. Ameling Grundlagen der Elektrotechnik II
G. Bosse
Grundlagen der Elektrotechnik IV
B.I. Wissenschaftverlag Mannheim, Wien Zürich 1996
R. Unbehauen Grundlagen der Elektrotechnik I
Springer-Verlag, Heidelberg 1994
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S. 3
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1 Einleitung
• GET3 enthält überwiegend theoretische Grundlagen zu
informationstechnischen Fragestellungen
• Informationstechnik: Entstanden aus Informatik (IVerarbeitungstechnik) und Nachrichtentechnik (IÜbermittlungstechnik)
• IT: Effiziente Datenverarbeitung, Speicherung und
Transport
• IT beinhaltet 4 Gruppen:
–
–
–
–
Grundlagen und Technologien (G1)
Strukturen, Verfahren, Programme (G2)
Geräte, Einrichtungen, Anlagen (G3)
Anwendungen (G4)
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S. 4
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2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter
Signale
Kapitelübersicht
• 2.1 Vorbemerkungen
– Signalklassen
• 2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer
Zeitvorgänge
– Approximation von Funktionen mit Fourier-Reihe
– Anwendungen auf Netzwerke
• 2.3 Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge
– Das Fourier-Integral in verschiedenen Formen
– Beispiele dazu
– Eigenschaften der Fourier-Transformation
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2.1 Vorbemerkungen
time-(space-) domain
continuous
discrete
s
s
0
0
t
k od. kt
Wertebereich
Analog signal
Analog signal sequence
s
s
0
0
t
signal with discrete values
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k od. kt
Digital signal
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2.1.1 Das Exponentialsignal
s (t )  e j t  cos  t  j sin  t
Für Spannungen gilt:


u (t )  uˆ  cos(t  u )  Re uˆ  e j (t u )  Re u  e jt  where u  uˆ  e ju
Für ansteigende/abfallende Signale gilt:
e(  j )t  e t  e jt  e pt
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2.1.2 Die Dirac Funktion
Definition:

 (t0 ) 
  (t  t )  (t )dt
0

Eigenschaften:
 (at ) 
1
  (t )
a
Für a  1 gilt:  (t )   (t )

s (t ) 
  (  t )  s( )d
Folgt aus der Definitionsgleichung.

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2.1.2 Die Dirac Funktion

  ( )d  s(0)  1
mit  ( )  0 für   0

1
t 
 (t )  lim rect  
T 0 T
T 
 ( )
0
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
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2.1.3 Die Sprungfunktion
0 for t  0
1 for t  0
 (t )  
 (t ) 
t
  ( )d
 (t )
1

0
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t
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2.1.4 Periodische Signale
Allgemeine Formel:
s (t )  s (t  nT ) where n  ,..., 1, 1,..., 
Beispiele:
s2 (t ) 
s2 ( t ) 

 s (t  nT )
n 
1
0

 c s ( t  nT )
n  
n 1
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0
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2.1.4 Periodische Signale
t
s1 (t )  rect  
T 

 t  nT0 
 s2 (t )   rect 

 T 
n 

n0
n 1
n2
s 2 (t )
T

T0 
t
rect
n




T
T
n 
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T0
2T0
t
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2.1.5 Impulsartige Signale
rect ( x)
1


1
for
x

2
rect ( x)  
0 for x  1

2
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1
1

1
2
0
1
2
1
x
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2.1.5 Impulsartige Signale
1 for t  0

s (t )  sign(t )  0 for t  0
1 for t  0

sign(t )
1
0
t
1
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2.1.5 Impulsartige Signale
t

1

t 
s (t )       T
T  
0
für
t T
sonst
1
T
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 t 
s (t )    
T 
T
t
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Fall1: Kompression & Dehnung
t
s2 (t )  a  s1  
b
Beispiel:
 t 
s2 (t )  u0  rect 

 2T 
Fall 2: Verschiebung
s2 (t )  s1 (t  T )
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Beispiel:
t 
s1 (t )  rect  
T 
t
s2 (t )  u0  s1  
2
t 2
 u0  rect 

 T 
rect ( x )
1
1

1
2
1
2
0
u0
x
s2 (t )
T
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1
T
t
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Fall 3: Spiegelung (b = -1)
s2 ( t )  s1 (  t )
Beispiel:
s1 (t )   (t )
s2 (t )  s1 (t )
s2 (t )
1
  (t )
0
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t
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
s3  t 
Dehnung & Verschiebung:
t 
s1 (t )  rect  
T 
 t 
s2 (t )  rect  
 3T 
 t  T 
s3 (t )  s2 (t  T )  rect 

 3T 
3T
1
Tv
t
Verschiebung & Dehnung:
s2 (t )  s1 (t  T )
t
s3 (t )  as2  
b
t

 as1   T 
b

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Ersetzung von t mit
t
in s1 (t )
b
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Beispiel:
t
s1 (t )  rect   ;
T 
a  u0 ; b  2
 t  T
s2 (t )  rect 
 T

 t T 

rect

  

T T 
 t T
s3 (t )  arect 

 bT T
s3 (t )
2T
u0

 t T 
u
rect

 
 0


 2T T 
2Tv
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t
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Spiegelung & Verschiebung:
s2 (t )  s1 (t )
s3 (t )  s2 (t  T )  s1 ((t  T ))  s1 (T  t )
Neue Abfolge: Verschiebung & Spiegelung:
s4 (t )  s1 (t  T )
s5 (t )  s4 (t )  s1 (t  T )  s3 (t )
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S. 21
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Beispiel mit der Rampenfunktion r(t):
t
r
T
 t
    (t )
 T
t
s1 (t )  r  
T 
 t 
s2 (t )  s1 (t )  r  
T 
s2 (t )
s1 (t )
t
s3 (t )
T t 
s3 (t )  s2 (t  T )  r  

T


Tv
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t
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
 t  T 
s4 (t )  s1 (t  T )  r 

 T 
 t  T 
s5 (t )  s4 (t )  r 

 T 
Es gibt 4 Fälle:
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s5  t 
Tv
s4  t 
Tv
t
t  Tv
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S. 23
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2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz
Functionen
Alle o.a. Methoden können auch auf
Frequenzfunktionen angewendet werden:
f1 ( x)  f 2 ( y ) mit y  f3 ( x)
 f1 ( x)  f 2 ( f3 ( x))
Beispiel:
   0 
f1 ( )  rect 




1
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S. 24
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2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer
Zeitvorgänge
2.2.1 Approximation von Funktionen
– Motivation: Kennfunktionen, Extraktion von Kenndaten
Datenkompression
– Ansatz: Gegeben sei f(t)
Gesucht ist g(t),die f(t) im Intervall approximiert mit
n
g (t )    i gi (t ) bei Vorgabe der gi (t )
i 1
g(t)
f(t)
t
0
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S. 25
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2.2.1 Approximation von Funktionen
- Anforderung: Möglichst kleiner Fehler der Approximation
- Definition Fehlerfunktion:
 (t )  f (t )  g (t )
- Mittlerer Fehler:
 mmin 
t2
1
 f (t )  g (t )dtmin
t2  t1 t1
t
- Mittlerer absoluter Fehler :
 mamin
- Mittlerer Quadratischer Fehler :
1 2

f (t )  g (t ) dtmin
t2  t1 t1
 mqmin 
t2
1
2
f
t

g
t
dtmin
(
)
(
)


t2  t1 t1
- Vorteile/Nachteile der Fehlermaße
• Aufheben der Fehler möglich bei mittlerem Fehler
• Absol. Fehler ergibt Unstetigkeiten (beim part. Differenzieren)
• Quadr. Fehler ist häufigste Anwendung
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S. 26
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2.2.1 Approximation von Funktionen
– Bestimmung der Koeffizienten 
– Hieraus folgen die unten angegebenen Schritte:

mq
i
 0 i  1, 2,..., n
2
n
t2 
 
  1

 f (t )    j g j (t )  dt   0

t
1
 i  t2  t1 
j 1
 

n
t2 

1

f
t


g
t
g i (t )dt  0
2
(
)
(
)



j j

t
t2  t1 1 
j 1


t2
t1
 n

f (t ) gi (t ) dt   gi (t )    j g j (t )  dt
 j 1

t1
t2
Dies entspricht einem Gleichungssystem, das nach den
Koeffizienten aufgelöst werden kann
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2.2.1 Approximation von Funktionen
t2
t2
 f (t ) g (t )dt    g
1
t1
2
1
1
t1
t2
 f (t ) g
2
t1
t2
t2
t2
t1
t1
t1
(t ) dt   2  g1 (t ) g 2 (t )dt  ...    g1 (t ) g (t ) dt  ...   n  g1 (t ) g n (t )dt
t2
t2
t2
t2
t1
t1
t1
t1
t2
t2
t2
t2
t1
t1
t1
t1
(t )dt  1  g1 (t ) g 2 (t ) dt   2  g 2 (t ) g 2 (t ) dt  ...    g 2 (t ) g (t )dt  ...   n  g 2 (t ) g n (t ) dt
.
.
.
t2
 f (t ) g
t1
n
(t )dt  1  g1 (t ) g n (t )dt   2  g 2 (t ) g n (t )dt  ...    g (t ) g n (t )dt  ...   n  g n (t ) g n (t ) dt
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S. 28
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2.2.2 Approximation mittels orthogonaler
Funktionensysteme
t2
•
•
Definition orthogonaler Funktionen in
Intervall ( t1 , t2 ) mittels reeller Funktionen
g(t) . Diese Funktionen sollen stetig im
Intervall sein.
Dabei wird Chronecker‘sche Deltafunktion
benutzt:
 g  (t ) g (t )dt     h
t1
und geeignetem h


   
für   
für   
n
•
Ansatz für die Approximation:
g (t )    i gi (t )
i 1
t2
•
Damit folgt für die Koeffizienten
(infolge Wegfalls aller Integrale
je Zeile bis auf zwei Integrale):
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 f (t ) g (t )dt
i
i 
t1
t2

gi 2 (t )dt
t1
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S. 29
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2.2.2 Approximation mittels orthogonaler
Funktionensysteme
Man erhält orthonormale Funktionensysteme mittels der Festlegungen
G1 (t ) 
g (t )
g (t )
g1 (t )
g (t )
, G2 (t )  2 ,..., G (t )   ,..., Gn (t )  n
h1
h2
h
hn

G
t
G
t
dt



(
)
(
)


t  

1
t2
Für diese gilt dann:
für   
für   
Damit lässt sich eine Funktion f(t) im Intervall mit Hilfe von geeigneten
Koeffizienten in eine Reihe von orthonormalen Funktionen entwickeln.
Das Ergebnis der Approximation ist dann eine Funktion G(t).
n
Zusammenfassend gilt:
f (t )  G (t )   Ai Gi (t )
i 1
Die Koeffizienten A sind
die sog. verallgemeinerten
Fourierkoeffizienten:
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t2
Ai   f (t )Gi (t )dt
t1
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2.2.3 Approximation von periodischen, nichtsinusförmigen Funktionen
Beispiel einer Funktion mit der Periodendauer T. Diese Funktion ist als nicht
endende Wiederholung einer Periode interpretierbar.
f(t)
0
T
2T
t
T
Für eine periodische Funktion gilt:
f (t )  f (t   T )   0,1, 2,...,
Nach Fourier kann eine beliebige Funktion, die die Dirichlet‘schen
Bedingungen erfüllt, u.a. in der folgenden trigonometrischen Form
dargestellt werden:
a0 
f (t )     a cos( t )  b sin( t ) 
2  1
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2.2.2 Approximation von periodischen, nichtsinusförmigen Funktionen (Fourier-Reihe)
• Dirichlet‘sche Bedingungen (in der Praxis erfüllt)
– Funktion f(t) ist im Intervall entweder stetig oder hat endlich viele
Unstetigkeitsstellen
– Endliche Grenzwerte von f(t) existieren, wenn t von rechts oder von links
gegen die Unstetigkeitsstelle strebt
– Das Intervall lässt sich derart in Teile zerlegen, so dass dort f(t) monoton ist
• Satz von Dirichlet
– Bei Erfüllung der Dirichlet‘schen Bedingungen konvergiert die Fourierreihe im gesamten Intervall
– Der Wert der Fourier-Reihe ist identisch mit Funktion f(t) an stetigen Stellen
– An Unstetigkeitsstellen ist der Wert gleich:
0.5  f (t  0)  f (t  0) 
– An Endpunkten des Intervalls ist der Wert gleich: 0.5  f (t1  0)  f (t2  0) 
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2.2.3 Fourier Reihe
Analogie zur Reihenentwicklung orthogonaler Funktionen
•
t2
Für die Reihenentwicklung gilt bei
orthogonalen Funktionen
 g  (t ) g (t )dt     h
t1
t2
g (t )    i gi (t )
mit
i 
i 1
•
t 2  t0  T
t 2  t0  T
t1
t2

gi 2 (t )dt
t1
Für die bei der Fourier-Reihe
T
t
t
dt
t
t
dt
sin(

)
sin(

)

cos(

)
cos(

)

 

benutzten Funktionen läßt sich t t
2
t t
die Orthogonalität zeigen:

a
0
Ansonsten gilt wie o.a. :
f (t )     a cos( t )  b sin( t ) 
2  1
Dadurch ist gesichert, dass FourierReihe die bestmögliche
Es sind 2 Koeffizientensätze nötig, damit
Approximation im quadratischen
gerade und ungerade Funktionsanteile
Mittel ist (auch bei abgebrochener
dargestellt werden können.
Reihe)
1
•
•
 f (t ) g (t )dt
i
n
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0
1
0
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2.2.3 Fourier Reihe
Damit gilt für die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten der trigonometrischen Form:
t 2  t0  T
a0

2

f (t ) 1dt
t1 t0
t 2  t0  T

12 dt
1

T
t 2  t0  T

f (t )dt
Dies ist der Gleichanteil (arithm.
Mittelwert)
t1 t0
t1 t0
t2 t0 T
av 

f (t ) cos(vt )dt
t1 t0
t 2  t0  T

cos 2 (vt ) dt
2

T
t2 t0 T

f (t ) cos(vt )dt
t1 t0
t1 t0
t 2  t0  T
bv 

f (t ) sin(vt )dt
t1 t0
t 2  t0  T

sin 2 (vt )dt
2

T
t 2  t0  T

f (t ) sin(vt )dt
t1  t0
t1 t0
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2.2.4 Die Polar-Form der Fourier Reihe
(Fourier-Cosinus-Reihe)
•
Mittels der Beziehung A cos( x )  B sin( x )  A2  B 2 cos( x  arctan( B / A))
lässt sich die trigon. Fourier-Reihe umschreiben von
a0 
f (t )    a cos(t )  b sin(t )  zu
2  1

f (t )  d 0   d cos(t   ) mit
 1
d 
d0 
a0
und
2
 b 
 (  /   für negative a )
a
 
a  b ;     arctan 
2
2
Darüber hinaus ist obige Formel auch in der Version der Fourier-SinusReihe bekannt:

f (t )  e0   e sin(t   ) mit e  d sowie    / 2  
 1
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S. 35
N T S
2.2.5 Beispiele zur Berechnung der FourierReihe mit symmetr. Funktionen
• B1: f(t) ist eine gerade Funktion mit f (t )  f (t ) und
a 
f(t)
-f(t)
f(t)
T
2
22
f (t ) cos(t )dt

T 0
t
-T/2
-t
t
T/2
b 
T
Die Fourier-Reihe hat damit die Form:
2
T
T
2

t0 
f (t ) sin( t )dt  0
T
2
a0 
f (t )    a cos(t )
2  1
Grund:
Darstellbarkeit gerader Funktionen nur durch
andere gerade Funktionen
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S. 36
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der FourierReihe mit symmetr. Funktionen
• B2: f(t) ist eine ungerade Funktion mit f (t )   f ( t )
und
f(t)
f(t)
-t
t
-T/2
-f(t)
T/2 t
a0
 a  0
2
b 
T
2
4
f (t ) sin( t )dt

T 0
Somit resultiert:

f (t )   b sin( t )
 1
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S. 37
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der
Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion
• B3: f(t) ist vollsymmetrische Funktion mit f(t)= - f(t + T/2)
f(t)
t+T/2
t
T
t
f(t+T/2)
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der
Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion
T
Es gilt dafür
:
2
a   f (t ) cos( t )dt
T 0
oder nach Aufteilung
des Intervalls:
 T2

T
2

a    f (t ) cos( t )dt   f (t ) cos( t )dt 
T o
T


2
für   2k gilt:
 T2

T
2

a2 k    f (t ) cos(2k t )dt   f (t ) cos(2k t )dt   0
T o
T


2
sowie für   2k  1 :
a2 k 1 
T
2
4
f (t ) cos  (2k  1) t dt
T 0
Grund: Geradzahlige k ergeben sich nach T/2 wiederholende cos-Funktionen.
Auslöschung der Terme wegen zu T/2 negativen und sich wiederholendem f(t) !
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S. 39
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der FourierReihe mit symmetr. Funktion
- Auf ähnlicher Weise läßt sich die Gültigkeit folgender Aussagen einsehen
(auch sin-Funktion wiederholt sich für gerade k nach T/2):
b2 k  0
und
b2 k 1 
T
2
4
f (t ) sin  (2k  1) t dt

T 0
- Es kommen daher in dieser Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Schwingungen vor,
für die   2k  1 gilt:

f (t )   a2 k 1 cos  (2k  1) t   b2 k 1 sin  (2k  1) t 
k 1
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S. 40
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe
mit symmetr. Funktion
• B4 : Funktion ist vollsymmetrisch mit f(t) = f(t + T/2 ) . Daraus folgt dann:
f(t)
8t
#
0
a2 k 
t
T/2 t+T/2
T
t
b2 k 
T
2
4
f (t ) cos(2k t )dt und
T 0
T
2
4
f (t ) sin(2k t )dt und

T 0
a2 k 1  0
b2 k 1  0
Grund: Nach T/2 erfolgt Wiederholung der cos/sin-Funktionen mit den Indizes 2k.
Cos/sin-Funktionen mit Indizes 2k+1 haben bei T/2 Abstand jeweils andere Halbwelle!
Die Fourier-Reihe von f(t) hat dann eine Form mit allein geradzahligen Koeffizienten:
a0 
f (t )    a2 k cos  (2k )t   b2 k sin  (2k )t 
2 k 1
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der FourierReihe mit symmetr. Funktion
• B5 :
f(t) ist gerade und vollsymmetrisch [ f(t) = - f(t + T/2) ] :
Resultat: Nur ungeradzahlige Kosinusschwingungen kommen vor
f(t)
a0
 a2 k  0
2
T/2
T
0
t
a2 k 1 
8
T
und
b  0
T
4
 f (t ) cos[(2k  1) t ]dt
0
Somit lautet die entsprechende Fourier-Reihe hier:

f (t )   a2 k 1 cos  2k  1  t 
k 0
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der FourierReihe mit symmetr. Funktion
•
B6 :
f(t) ist ungerade und vollsymmetrisch [ f(t) = -f(t + T/2) ] :
Hier treten in der Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Sinuschwingungen auf
f(t)
a0
 a  0
2
T/2
t
0
T
b2 k 1 
8
T
und
b2 k  0
T
4
 f (t ) sin[(2k  1) t ]dt
0
Für die Fourier-Reihe läßt sich hier schreiben :

f (t )   b2 k 1 sin  2k  1  t 
k 0
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S. 43
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2.2.5 Beispiele zur Berechnung der FourierReihe mit symmetr. Funktion
•
B7: f(t) wird auf der Zeitachse
verschoben :
Beträgt die Verschiebung
t dann gilt mit t '  t  t
a0 
g (t ')  f (t  t )    a cos[ (t  t )]  b sin[ (t  t )]
2  1
Ein einfacherer Ausdruck resultiert für die
kompl. Koeffizienten:
f (t  t ) ergibt cv  e  jvt 
Dieser Ausdruck ermöglicht es, die Fourier-Reihenentwicklung für
den neuen Koordinatenursprung zu ermitteln.
Es ist oft von Vorteil, den Koordinatenursprung zu verschieben, z.B. wenn sich
damit symmetrische Eigenschaften der Funktion ergeben.
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2.2.6 Fourier-Analyse
•
Es besteht die Möglichkeit , eine periodische nicht-sinusförmige Funktion
hinsichtlich ihres “Informationsgehaltes” auf zwei Arten darstellen:
1 ) Im Zeitbereich ( s. folgendes Bild)
f(t)
d
T
T/2
-T/4
T/4
0
3T/4
t
-A
2 ) Im Spektralbereich (Frequenzbereich): Darstellung der Amplituden
bzw. der cos-Amplitude d
und der Phase   in
a , b
Abhängigkeit von der Frequenz.
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2.2.6 Fourier-Analyse
Weitere Beispiele
Beispiel: Fourier-Analyse der Trapezfunktion
Diese ist gerade und vollsymmetrisch (s. B5) mit
a0
 a2 k  0, b  0
2
und
a2 k 1 
8
T
T
4
 f (t ) cos[(2k  1) t ]dt
0
Für f(t) gilt in der ersten Viertelperiode:

T





A
const
für
t
d
0




4

f (t )  
 A  T  t  für  T  d   t   T  d 




 d  4 
4

4

T
T4 d

4
8
A T








a
A
cos[(2
k
1)
t
]
dt
(
t
)cos[(2
k
1)
t
]
dt


Damit resultiert: 2k 1
d 4
T  0
T

d


4
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S. 46
N T S
2.2.6 Fourier-Analyse
Als Endergebnis ergibt sich (nach part. Integration etc.):
a2 k 1 
4A
T
cos[(2
k
1)
(


 d )]
4
 (2k  1) 2  d
bzw. nach Auflösung des Arguments im cos in zwei Ausdrücke und
Umschreiben des damit resultierenden Terms cos (x-y) in cos und sin
Produktterme:
a2 k 1 
4 A sin[(2k  1) d ]

sin[(2
k
1)
]

2
2
 (2k  1)  d
Die Fourier-Reihe der Trapezfunktion lautet damit:
f (t ) 
4A
1
1
[sin( d ) cos( t )  sin(3 d ) cos(3 t )  sin(5 d ) cos(5 t )...  ...)
 d
9
25
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S. 47
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2.2.6 Fourier-Analyse
• Sonderfall 1 der Trapezfunktion : Die Dreiecksfunktion (d = T/4) :
f(t)
d
A
0
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T
T/2
-T/4
T/4
t
3T/4
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 /2
2.2.6 Fourier-Analyse
•
Dafür ergibt sich das folgende Amplituden und Phasenspektrum:
v
dv 
8A
 ²v ²

2

0
1
2
3
7
0

1
3
5
7


2
  2k  1
Koeffizienten der Sinus-Reihe erfordern
Endergebnisse :
Phase von:
a2 k 1 
8A
,
 2 (2k  1) 2
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bk  0,
d 2 k 1 

2

8A


,
,
2 k 1
 2 (2k  1) 2
2
 2 k 1  0
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S. 49
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2.2.6 Fourier-Analyse
• Sonderfall 2 der Trapezfunktion : Rechteckfunktion mit d  0
d
f(t)
A
T
-T/4
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0
T/4
T/2
t
3T/4
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2.2.6 Fourier-Analyse
• Bildung des Grenzüberganges mittels der Regel von BernoulliL’Hospital:
v
c

v
cv 
4A
v
2
3
0
0
1
3
5
7
9
sin[(2 k  1) d ]
 lim
d 0
d 0
(2 k  1) d
lim
v
1
7
v
5
-

2
'
sin[(2 k  1) d ]
(2 k  1) d 
'
 lim si ((2 k  1) d )  si (0)  1
d 0
4A

a
sin[(2
k
1)
], b k  0


Damit folgt: 2 k 1  (2 k  1)
2


4A
d 2 k 1 
,  2 k  1   sin[(2 k  1) ]
 (2 k  1)
2
2
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,  2 k 1  0
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2.2.7 Die komplexe Form der FourierReihe
•
Allgemein gilt für die
Fourierreihen-Darstellung
a0 
f (t )     a cos( t )  b sin( t ) 
2  1
e j  t  e  j  t
Ausserdem gilt: co s(  t ) 
2
e jt  e  jt
sin(t ) 
2j
und damit :
a0   e jt  e jt
e j t  e j t 
f (t )     a
 b

2  1 
2
2j

bzw.
a0   a  jb  j t a  jb j t 
f (t )    
e
e 

2  1  2
2

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2.2.7 Die komplexe Form der FourierReihe
• Nunmehr werden auch negative Werte für  einbezogen.
Mit den Abkürzungen
a0
,
2
a  jb
c  
für positive 
2
a  jb
c  
für negative 
2
c0 
Also: c  c*
erhält man Paare von Koeffizienten.
Dies lassen sich in der sehr kompakten
Darstellung der Fourier-Reihe in ihrer
komplexen Form schreiben:
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
f (t ) 
j t
c
e
 
 
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2.2.7 Die komplexe Form der FourierReihe
a  2(c ) b  2(c )   0
Es gilt außerdem:
• Für die komplexen Koeffizienten resultieren damit die
Bestimmungsgleichungen:
a
1
c0  0 
2 T
t0  T

f (t )dt ,
t0
a  jb 1
c  

T
2
t0  T

t0
1
f (t )[cos(t )  j sin(t )]dt 
T
c 
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1
T
t0 T

t0  T

f (t )e  jt dt ,
t0
f (t )e jt ,   0,1, 2,...
t0
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2.2.8 Interpretation der
Fourier-Koeffizienten
Es werden damit folgende Darstellungen der Fourier-Reihe benutzt:
a0 
f (t )     a cos( t )  b sin( t ) 
2  1
oder
f (t ) 

c e 


j
t

oder

f (t )  d 0   d cos(t   )
 1
Verabredung ab hier:
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c statt c
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2.2.8 Interpretation der
Fourier-Koeffizienten
- Gleichanteil des Signals :
a0
 c0  d 0
2
- Scheitelwerte oder Amplituden der Fourier-Komponenten:
a , b , c und d
- Nullphasenwinkel (Phase) der cosinusförmigen Schwingungen: 
- Grundschwingung:
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d1  cos(t   1 )
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2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
• Bei cosinus-förmiger Spannung u (t )  uˆ cos(t  u )
wird üblicherweise ein
uˆ  uˆ e j u mit u (t )  Re{uˆ e j t }
komplexer Scheitelwert
zugeordnet.
Nun kann man für jede
periodische Funktion
ansetzen:
u (t ) 

jt
u
e
 v
 


mit u v  


1 uˆ * , für   1
2 v
u0
für   0
1 uˆ für   1
2 v

Auch bei elektrische Netzwerken nutzt
man die Darstellung (der Spannungen
und Ströme) in Kosinusform:
u (t )  u0   uˆv cos(t  u )
 1

i (t )  i0   iˆv cos(t  i )
 1
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S. 57
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2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
Beispiel-Netzwerk:
Reihen-Schwingkreis
u0 (t )
i(t)
R
û
uL (t )
u0 (t )
C
0
T/2
t
T
Hier ist gegeben : u0 (t )  uˆ sin(t ) mit  = 2 /T
Daraus folgt:
u0 (t ) 
2 uˆ


4 uˆ
cos(2k t )
2
k

(4
1)

k 1

Zu berechnen sind : i (t ) und u L (t )
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2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
•
Lösungsansatz :
- Verwendung der Impedanz für jede Frequenz k :
Zk 
uˆk
iˆk
4 uˆ
ˆ
u


- Angabe der Fourier-Reihe zu u0 (t ) in komplexer Form mit: k
 (4k 2  1)

2uˆ
j 2 kt
u0 (t )   
e
2
k   (4k  1)
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S. 59
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2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
• Impedanz bzw. Strom des Reihen-Schwingkreises für eine
bestimmte Frequenz k :
Z k  R  jX k
mit
X k  k L 
1
k C
und
ik  uk / Z k
Dann gilt für den Strom :

i (t ) 

2uˆ
1
j 2 k t
.
e
2
k   (4k  1) R  jX 2 k
 ik   
k 
Mit der Euler’schen Formel resultiert:

2uˆ
1
.
.[cos(2kt )  j sin(2kt )]
2
k   (4k  1) R  jX 2 k
i (t )   
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2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
•
Nach einer Umformung (per konjugiert komplexer Erweiterung des Nenners)
ergibt sich :
 R cos(2kt )  X 2 k sin(2kt )
R sin(2kt )  X 2k cos(2kt ) 
2uˆ
j



2
R2  X 22k
R 2  X 22k
k   (4k  1) 


i(t )   
Werden die Eigenschaften der Funktionen ( cos , sin ) für +/- k ausgenutzt, so gilt
mit X  k   X k (mit Wegfall der Imaginärteils!):
R cos(2k t )  X 2 k sin(2k t )
4uˆ
2
R 2  X 22k
k  0  (4k  1)

i (t )  
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2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
• Die Spannung an der Spule erhält
man über:
u L (t )  L
di (t )
dt
2k L[ R sin(2k t )  X 2 k cos(2k t )]
4uˆ
2
R 2  X 22k
k  0  (4k  1)

uL (t )  
Die Ergebnisse lassen sich auch in Polarform darstellen:
R
4uˆ
2k L
k

t

.
cos[(2
)
arctan(
)]
2
2
2
X 2k
k  0  (2k  1)
R  X 2k

uL (t )  

X 2k
4uˆ
1


.
cos[(2
)
arctan(
)]
i (t )  
k
t
2
2
2


(2
1)
k
R
k 0
R  X 2k
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2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
Gleichung
-
Betrachtet werden zwei im allgemeinen nicht-sinusförmige periodische
f 2 (t )
Funktionen f1 (t ) und
mit gleicher Periodendauer T:
- Die entsprechenden Fourier-Reihen lauten:
f1 (t ) 

C e


jt

1
mit C 
T
t0 T

f1 (t )e  jt dt
t0
und
f 2 (t ) 

 D e

j t
1
D 
T
mit

t0 T

t0
- Für das Produkt beider Funktionen gilt :
und zugleich
da periodisch :
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f1 (t )  f 2 (t ) 

Ee
k 
k
f 2 (t )e  j t dt
jk t
f1 (t )  f 2 (t ) 
mit

C e


jt

1
Ek 
T
t0  T


.  D e j t
 
f1 (t ) f 2 (t )e  jkt dt
t0
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S. 63
N T S
2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
Gleichung
• Weiterhin gilt:
1
Ek 
T
t0 T

t0

 
j t
j  t   jk t
dt
  C e .  D e e
 
 

t T
 

1 0
j (    k )t
Ek   C   D
e
dt 

T t0
 
  

bzw.

Ek 

C I




mit
1
I   D
T
 
t0 T

e j (    k )t dt
t0
• Man kann zeigen, dass I verschieden von Null ist nur bei:     k  0
(wg. Orthogonalität von cos(nx) und sin(nx) )
Damit wird der Integrand I   D 1  T   D
  T 
 
identisch mit 1 und es gilt:

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2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
Gleichung
die Fourier-Koeffizienten des Produktes f1 (t ) f 2 (t )
Ek 





C



D 




C Dk 
infolge     k  0
bzw.   k  v
Bestimmung des Gleichanteils (zeitl. Mittelwert) E0
des Produktes f1 (t ) f 2 (t ) über k  0 :
1
E0 
T
t0  T

t0
f1 (t ). f 2 (t )dt 

C .D 




Es gibt diverse Anwendungen dieser Beziehung (Bestimmung des
Integrals im Zeit- oder Frequenzbereich)!
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2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
Gleichung
• Alle komplexen Fourier-Koeffizienten besitzen die Eigenschaft :
C  C *
und
D  D*
Damit läßt sich die folgende Formel umschreiben von
1
E0 
T
t0  T

f1 (t ) f 2 (t )dt 
t0


1
0
1




0
0
1
v


C  D  C D   C D



0

C D    C D   C D   C D






1
v
 C0 D0   (C Dv  C*v Dv* ) 
 1


 C0 D0   (C Dv  (C v Dv ) )  C0 D0   2 Re C Dv 
*
 1
E0 
zu:
 1




Re C  D  
*




Re C  D* 
Dies ist die Parseval’sche Gleichung
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2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
Die elektrische Energie pro Periode (Wirkleistung) an einem
ohmschen Widerstand beträgt:
1
PW 
T
t0  T

t0
1 1
u (t )i (t )dt 
RT
t0  T

t0
1
u 2 (t )dt  R
T
t0  T

i 2 (t )dt
t0
Anwendung der Parseval’schen Gleichung für diesen Sonderfall:
f1 (t )  f 2 (t )  f (t )
1
E

ergibt: 0
T

t0  T

f (t ) dt 
2

 
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



t0

C
2
f1 (t ) f 2 (t )  f 2 (t )
und damit
Re C C  

 C  2 C
2
0
*





Re C e j (Cv Cv )
2

2
 1
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2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
a0
a  jb
• Mit c0   C0 , c  C 
2
2
1
T
t0 T


f 2 (t )dt  c02  2 c
t0
 1
 1
folgt:


av2  bv2  a0 
av2  bv2
 a0 
    2
   
4
 2
 2   1 2
 1
2
2
2
Wenn f(t) Spannungs- oder Stromcharakter hat, werden die entsprechenden
Spektralgrößen a , b und c die Wirkleistungsverhältnisse des
entsprechenden Netzwerkelementes beschreiben.
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S. 68
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2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
Betrachtet wird nun ein Eintor (nicht nur ohmsch) mit nichtsinusförmigen periodischen Netzwerkgrößen u(t) und i(t):
i(t)
1
U(t)
u ( t )  f1 ( t ) 
Eintor



 
C e
j  t
und
1’
i (t )  f 2 (t ) 
Für die Wirkleistung gilt:
1
PW 
T
t0 T

t0
1
u (t )i (t )dt 
T
t0  T

t0


  
De
jv  t

f1 (t ) f 2 (t )dt  C0 D0  2 Re C * D 
 1

 C0 D0  2 Re C D* 
 1
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S. 69
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2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
Unter Berücksichtigung der Zusammenhänge entsprechend S. 40
C0  U 0
, D0  I 0
, C 
1
uˆ
2
, D 
1 ˆ
i
2
folgt :
1 
1 
* ˆ
PW  U 0 I 0   Re uˆ v  i v  U 0 I 0   Re uˆ v  iˆv*
2  1
2  1




Damit ist die Gesamtleistung über die Summe aller
Einzelleistungen jeder Spektrallinie zu bestimmen!
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2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
Definition des Effektivwerts einer periodischen Funktion:
f ( t ) eff 
1
T
t0  T

f 2 ( t ) dt
t0
Die Parseval’sche Gleichung gestattet die Bestimmung des Effektivwerts
über die Fourier-Koeffizienten (bzw. über die zugehörigen Effektivwerte):
f (t )eff 
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

 
c
2
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S. 71
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2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
- Der Effektivwert für eine periodische Spannung u(t) beträgt:
U eff
2
 uˆ 
2
 U0   
 
 1  2 


2
U
 eff 
 0
U 0 : Gleichanteil von u(t)
û
: Scheitelwert
U eff   uˆ / 2 : Effektivwert der  -ten Teilspannung (Frequenz: )
- Der Effektivwert für einen periodischen Strom beträgt sinngemäß:
I  I eff
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2
 iˆ 
2
 I0   
 
 1  2 


2
I
 eff 
 0
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S. 72
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2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
Bei reinen Wechselgrössen, also ohne Gleichanteil gilt:
a0  0
Ansonsten ist f(t) eine Mischgrösse
(Gleichanteil und Wechselanteil der nicht-periodischen Funktion f(t)
ist zugleich vorhanden).
a0
0
2
Also gilt für Mischgrößen:
Dafür ist der Schwingungsgehalt s definiert (Anteil AC am Gesamtsignal):

s
U
 1

2
eff 
U eff

2
U
 eff 
 1

U


0
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2
eff 
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2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
Die Abweichung vom sinusförmigen Ablauf kann durch den
Grundschwingungsgehalt g beschrieben werden:
g 
U
e ff 1
U
e ff 
U

e ff 1

U


2
1
e ff 
Der Oberschwingungsgehalt k ( Klirrfaktor ) beträgt:

k 
U


2
2
U eff 
eff 

U

2
eff 

U
 1
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2
2
eff 
g2  k2 1
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S. 74
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2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom sinusförmigen
Verlauf periodischer Funktionen
Zusätzlich gibt es weitere Definitionen mit Formfaktor und Scheitelfaktor:

Formfaktor :
k
f



U
 0
1
T
2
e ff 
T

u (t ) d t
0
Scheitelfaktor für Signale ohne Gleichanteil:
ka 
u (t ) max

U


1
2
eff 
Bei rein sinusförmigen Verlauf erhält man:

kf 
 1,11 und ka  2  1, 41
2 2
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S. 75
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2.2.13 Zusätzliche Eigenschaftern der Fourier-Reihe
· Linearität
· Zeitverschiebung
· Spiegelung
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k  s (t ) ergibt Reihe mit k  cv
a  s1 (t )  b  s2 (t) ergibt Reihe mit a  cv1  b  cv 2
s (t  t1 ) ergibt Reihe mit cv  e  jvt1
s (t ) ergibt Reihe mit cv*
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S. 76
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Grundlagen der
Elektrotechnik 3
Kapitel 2.3
Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge
mittels der Fourier-Transformation
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S. 77
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2.3.1 Vorbemerkungen
Ansatz: Entwicklung der Fourier-Transformation aus der Fourier-Reihe
durch Überführung periodischer Funktion in aperiodischen Impuls
Beispiel : Betrachtet wird ein periodischer Rechteckimpuls
u(t) sei hier eine gerade Funktion
f(t)

U
u (t )   0

ti
t
t  i
2
2
sonst
für 
0
0

t
2
t
2
T-
t
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2
t
Es soll eine Fourier-Analyse dieses
Signals durchgeführt werden
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S. 78
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2.3.1 Vorbemerkungen
•
Lösung :
t 
1
T
c0 
c 

t 
ti
2
U 0 dt 
ti
2
a  jb
2
U 0ti
T
t

b 0
a 1

2 T
ti
2

t 
ti
2
U 0 cos(t )dt 
ti
2
U 0 sin(t )
T
  ti
2
2
T
 2 v  ti  
 2 v ti 
 ti 


sin 
sin
sin



 T
 Ut
 
2
U0
 T 2



 0i
 T
c 
t
T
T

 i
T
mit  
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S. 79
N T S
2.3.1 Vorbemerkungen
bzw:
 t 
sin  i 
Ut
 T   2 U 0ti si ( ti )
a  2 c   2 0 i
t
T
T
T
 i
T
C1
C2
C3
C0
0
0.
5
U 0ti    ti
u (t ) 
si 

T    T
 jt
e

sin( x)
x
C4
C5  0
Damit
gilt:
C10  0
1,
0
C15  0

ti
Skizze des Spektrums von u(t) für den Fall T  0, 2
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2.3.2 Das Fourier-Integral
• Im folgenden wird weiter die Fourier-Reihe einer
periodischen Funktion f(t) untersucht. Die Periode sei hier:
T0 
f(t)
j0t
c
e
 
 
t
0
0

f (t ) 
-To/2
2
T/2
Dabei sollen die nachstehenden Voraussetzungen gemacht werden :
1 ) f(t) sei stetig
. ) In jeder endlichen Periodendauer  T0 2  t  T0 2 möge die Funktion
2
den Dirichlet’schen Bedingungen genügen
3 ) Bei beliebiger Periodendauer sei f(t) absolut integrierbar
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S. 81
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2.3.2 Das Fourier-Integral
Die folgende Darstellung geht aus von einem periodischem
Signal welches in ein nicht-periodisches Signals überführt
wird. Ansatz: Vergrößerung der Periodendauer - also per: Tlim

0
Jeder Term in komplexer Fourier-Reihe entspricht einer Linie im
Spektrum. Die Linienabstände betragen: 0  2 / T0
In einem Intervall  um einen beliebigen Frequenzpunkt  liegen m
 T0
Linien mit der Anzahl:
m


0 2
Bei genügend kleinem Intervall resultiert dann nur geringer Unterschied
der m einzelnen Terme der komplexer Fourier-Reihe zueinander.
Konsequenz: Zusammenfassung dieser Terme ist erlaubt!
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S. 82
N T S
2.3.2 Das Fourier-Integral
• In jedem Intervall mit m Linien gilt damit für dessen Beitrag zur Reihe:
T
m  c v e jv0t  0   c v e jv0t
2
Für T 0   kann man dann die Intervalle infinitesimal klein wählen
(wenn m unverändert bleiben soll)
Damit ergibt sich für den Beitrag jedes Intervalls zur Reihe:
T0
T
d   c v e jv0t mit v0   daher: 0 c v e j t d 
2
2
Außerdem läßt sich abkürzend schreiben:
Insgesamt resultiert damit:
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T 0 c v  F ( )
1
f (t ) 
2


F ( )e jt d 

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S. 83
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2.3.2 Das Fourier-Integral
Es gilt also:
1
f (t ) 
2


F ( )e jt d  mit

1
c 
T0
t t0 T0

f (t )e  jt dt
t  t0
Nunmehr folgt wegen T0 c v  F ( ) und lim :
T0 
Das Fourierspektrum bzw. die Fourier Transformierte der Funktion f(t)
kann auch dargestellt werden über:
F t )  F ( ) 


Das Symbol dazu:
f (t )e  jt dt
F ( )
f (t )

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2.3.3 Die Fourier-Rücktransformation
Die Funktion f(t) läßt sich also mittels ihres Fourierspektrums darstellen über:
1
f (t ) 
2


F ( )e jt d 

Die (Rück)Transformation zwischen Bildbereich und
Originalbereich kennzeichnet man so:
F ( )
f (t )
F (  ) hat nicht Amplitudencharakter (wie bei F.-Reihe), sondern
es ist eine Amplitudendichte mit der Dimension :
Amplitude
Frequenz
Die Existenz des Fourier-Integrals ist dann 
 f (t ) dt  S  const
gesichert wenn f(t) absolut integrierbar ist:
Amplitude x Zeit oder

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S. 85
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2.3.4 Interpretation und
Zusammenfassung
Betrachtung eines Signals s(t) aus dem per idealer BP-Filterung nur Anteile
innerhalb eines bestimmten Frequenzbandes extrahiert werden. Die Filterung
erfolge so schmalbandig, dass sich darin das Spektrum (und die
Exponentialfunktion) nur unwesentlich ändert. Für diesen extrahierten Anteil
g(t) folgt:
1
g (t ) 
2

1
jt
(
)
S

e
d



2
0
1
jt
(
)
S

e
d



2


S ( )e jt d 
0

( S (0 )e  j0t  S (0 )e j0t )
2

Re{S (0 )e j0t } wegen S (0 )  S * (0 )





jS ( ) j t
Re{ S (0 ) e

e } 
S (0 ) cos(0t  S (0 ))


0
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0
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2.3.4 Zusammenfassung und
Interpretation
•
Die Fouriertransformation ist (unter gegebenen Vorr.) also unter Bezug auf die
betrachtete Bandbreite und bei der betrachteten Frequenz ein Maß für die
Amplitude und die Phasenlage einer Signalanteils (Signalkomponente).
•
Die Anwendung der Fouriertransformation erlaubt:
1 ) Ein im Zeitbereich bekanntes Signal gleichwertig im Frequenzbereich
über die zugeordnete Fouriertransformation zu beschreiben
2 ) Aus einer bekannten Fourier-Transformierten die Zeitfunktion
zurückzugewinnen
Die Fouriertransformation ist ein wichtiges Werkzeug der Elektrotechnik,
Regelungstechnik, Physik ( Optik, Mechanik , …).
Zugleich bildet diese die Grundlage der Laplace-Transformation, ZTransformation und der diskreten Fouriertransformation incl. der FFT.
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