Differentialgeometrie WS 10/11 Lösungsvorschlag zu Blatt 10

Differentialgeometrie WS 10/11
Lösungsvorschlag zu Blatt 10
Aufgabe 1. Es seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten und φ : M → N ein Diffeomorphismus. Es seien
X ∈ Γ(T M ) und Y ∈ Γ(T N ) glatte Vektorfelder mit der Eigenschaft
Tp φ (X(p)) = Y (φ(p))
(1)
für alle p ∈ M . Wir sagen dann auch, X ist φ-kompatibel zu Y.
(a) Man zeige, dass diese Bedingung äquivalent ist zu
X(f ◦ φ) = (Y f ) ◦ φ
(2)
für alle glatten Funktionen f ∈ C ∞ (N ).
(b) Wir betrachten nun Vektorfelder X1 , X2 ∈ Γ(T M ) und Y1 , Y2 ∈ Γ(T N ), so dass X1 zu Y1 und X2 zu Y2
φ-kompatibel ist. Man zeige, dass dann auch [X1 , X2 ] zu [Y1 , Y2 ] φ-kompatibel ist.
Lösung. ad (a): Sei p ∈ M. Nach der Kettenregel gilt für jedes f ∈ C ∞ (N ):
X(f ◦ φ)(p) = DX(p) (f ◦ φ) = (Tp (f ◦ φ)) (X(p)) = Tφ(p) f ((Tp φ)(X(p))) = D(Tp φ)(X(p)) f
(siehe Skript Satz 3.15). Andererseits erhalten wir
((Y f ) ◦ φ)(p) = (Y f )(φ(p)) = DY (φ(p)) f.
Zwei Vektorfelder sind gleich, wenn sie in jedem Punkt gleich sind, und zwei Tangentialvektoren sind gleich,
wenn die dazugehörigen Derivationen auf allen Funktionskeimen übereinstimmen. Da es für jedes p ∈ M und
∞
jeden Funktionskeim fˆ ∈ Cφ(p)
N eine (natürlich nicht eindeutige) Funktion f ∈ C ∞ N gibt, die fˆ repräsentiert
(d.h. [f ] = fˆ) folgt, dass die Bedingungen (1) und (2) äquivalent sind.
ad (b): Sei f : N → R eine beliebige glatte Funktion, dann erhalten wir mit Teil (a):
[X1 , X2 ](f ◦ φ) = X1 (X2 (f ◦ φ)) − X2 (X1 (f ◦ φ))
(a)
=
(Y1 (Y2 f )) ◦ φ − (Y2 (Y1 f )) ◦ φ
(a)
= X1 ((Y2 f ) ◦ φ) − X2 ((Y1 f ) ◦ φ)
= ([Y1 , Y2 ]f ) ◦ φ.
Nach Teil (a) ist damit auch [X1 , X2 ] zu [Y1 , Y2 ] φ-kompatibel.
Aufgabe 2. (Veronese-Einbettung) Wir betrachten die Abbildung
f : R3
→
(x, y, z) 7→
R4
(xy, xz, y 2 − z 2 , 2yz)
Man zeige, dass f eine Immersion S 2 → R4 induziert, welche die Eigenschaft hat, dass f (p) = f (q) genau dann
gilt, falls p = ±q. Man folgere, dass f eine glatte Einbettung
RP 2 ,→ R4
induziert.
Für den letzten Schritt dürfen Sie ohne Beweis die folgende Tatsache verwenden: Die kanonische Projektion
π : S 2 → (S 2 /(x ∼ −x)) = RP 2 ist ein lokaler Diffeomorphismus, d.h. für jeden Punkt p ∈ S 2 existiert eine
offene Umgebung U ⊂ S 2 von p und eine offene Umgebung V ⊂ RP 2 von π(p), so dass π : U → V ein
Diffeomorphismus ist. Dies folgt aus der Konstruktion der glatten Struktur auf RP 2 (vgl. Aufgabe 4 auf Blatt
7).
Lösung. Für einen Punkt 0 6= (x, y, z) ∈ R3 verschwinden die beiden letzten Spaltenvektoren w2 und w3 der
Jacobimatrix


y x
0
z 0
x 

D(x,y,z) f = 
0 2y −2z 
0 2z 2y
nicht und stehen aufeinander senkrecht. Wenn nicht gerade y = z = 0 gilt, liegt der erste Spaltenvektor w1
von D(x,y,z) f nicht in der linearen Hülle von w2 und w3 . Damit ist der Rang von D(x,y,z) f gleich 3 und somit
D(x,y,z) f injektiv, wenn entweder y 6= 0 oder z 6= 0.
Betrachten wir nun
f˜ = f |S 2 .
Da f glatt und S 2 ⊂ R3 eine Untermannigfaltigkeit ist, ist auch f˜ glatt.
Das Differential Tp f˜ von f˜ in p ∈ S 2 ist die Einschränkung des Differentials Dp f von f in p auf Tp S 2 = {v ∈
R3 ; v ⊥ p}. Also wissen wir schon, dass Tp f˜ injektiv ist für alle p ∈ S 2 außer p = ±e1 .
Aus
 


 
 
0
0 1 0  
y
0
0
0 0 1 0
z 
  = D±e1 f y  = ± 
   
0
0 0 0 y = 0
z
z
0
0 0 0
0
folgt y = z = 0. Damit ist zudem T±e1 f˜ injektiv und f˜ somit eine Immersion.
Sei p = (p1 , p2 , p3 ) und q = (q1 , q2 , q3 ) aus S 2 und es gelte f˜(p) = f˜(q), also f (p) = f (q). Daraus erhalten wir
die Gleichungen
p22
p1 p2
=
q1 q2
(3)
p1 p3
=
q1 q3
(4)
p2 p3
=
q2 q3
=
q22
−
p23
−
(5)
q32
(6)
Desweiteren betrachtet man (Idee: S. Führing) ||f (x, y, z)||2 = (y 2 + z 2 )(x2 + y 2 + z 2 ). Da p, q ∈ S 2 , ergibt sich
||f (p)||2 = 1 − p21 = ||f (q)||2 = 1 − q12
und somit p1 = ±q1 . Wir unterscheiden nun einige Fälle:
1. Wenn p1 = q1 6= 0, dann folgt aus (3) und (4) sofort p2 = q2 und p3 = q3 , also p = q.
2. Wenn p1 = −q1 6= 0, dann folgt aus (3) und (4) sofort p2 = −q2 und p3 = −q3 , also p = −q.
3. Annahme p1 = q1 = 0 : Dann folgt mit p, q ∈ S 2 sofort p22 + p23 = q22 + q32 und zusammen mit Gleichung
(6) erhalten wir p2 = ±q2 und p3 = ±q3 . Wir unterscheiden nun folgende Unterfälle:
(a) Wenn p2 = 0, dann ist p = ±e3 und auch q = ±e3 , also p = ±q.
(b) Wenn p3 = 0, dann ist p = ±e2 und auch q = ±e2 , also p = ±q.
(c) Wenn p2 6= 0 und p3 6= 0, dann sind wegen (5) nur die Fälle
i. p2 = q2 und p3 = q3 oder
ii. p2 = −q2 und p3 = −q3
möglich, also gilt wieder p = ±q.
Damit folgt p = ±q aus f˜(p) = f˜(q). Umgekehrt sieht man sofort, dass f (−p) = f (p) gilt.
Damit ist die Abbildung
fˆ : RP 2 = S 2 /(p ∼ −p) → R4 , [p] 7→ f˜(p)
wohldefiniert und injektiv.
Wir zeigen nun, dass fˆ eine Immersion ist. Sei p ein Punkt in S 2 und Up ⊂ S 2 eine offene Umgebung von p, sodass
π|Up ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist. Dann gilt fˆ|π(Up ) = f˜|Up ◦ π −1 , wobei π −1 die Umkehrabbildung
des Diffeomorphismus π : Up → π(Up ) ist. Damit ist fˆ im Punkt [p] differenzierbar. Da das Differential von f˜
in p injektiv und das Differential von π −1 in [p] ein linearer Isomorphismus ist, ist das Differential von fˆ in [p]
nach der Kettenregel injektiv.
Damit ist fˆ eine injektive Immersion der kompakten Mannigfaltigkeit RP 2 in den R4 und somit eine Einbettung
(vgl. S. 44 Skript).
Aufgabe 3. Es sei M ⊂ Rn eine abgeschlossene glatte Untermannigfaltigkeit und f : M → R eine glatte
Abbildung. Zeigen Sie, dass es eine glatte Abbildung F : Rn → R gibt mit F |M = f .
Anleitung: Überdecken Sie M mit offenen Mengen U ⊂ Rn , die Definitionsbereiche von lokalen Flachmachern
von M sind. Setzen Sie zunächst f auf diese Mengen U fort. Diese bilden zusammen mit Rn \ M eine offene
Überdeckung von Rn . Wählen Sie nun eine dieser Überdeckung untergeordnete Teilung der 1 auf Rn .
Lösung. Sei d die Dimension von M und {Ui ; i ∈ I} eine Überdeckung von M , die aus offenen Mengen Ui
von Rn besteht, welche Definitionsbereiche von lokalen Flachmachern (Ui , Ψi ) von M sind, d.h. Ψi (Ui ∩ M ) =
Ψi (Ui ) ∩ Rd . Sei p : Rn → Rn , (x1 , ..., xd , ..., xn ) 7→ (x1 , ..., xd , 0, ..., 0), dann ist
hi := f ◦ Ψ−1
i ◦ p ◦ Ψi : Ui → R
eine glatte Fortsetzung von f auf Ui , d.h. hi (x) = f (x) für alle x ∈ Ui ∩ M.
Die Menge {Ui ; i ∈ I} ∪ {Rn \ M } ist eine offene Überdeckung von Rn . Sei {φj ; j ∈ J} eine dieser Überdeckung
von Rn untergeordnete Teilung der Eins.
Aus der Definition einer Teilung der Eins folgt, dass sich die Indexmenge J in J = J0 ∪ J1 zerlegt, wobei
J0 = {j ∈ J; supp(φj ) ⊂ Rn \ M } und J1 = {j ∈ J; supp(φj ) 6⊂ Rn \ M }. Wenn j ∈ J1 , dann gibt es ein ij ∈ I,
sodass supp(φj ) ⊂ Uij . Für jedes j ∈ J1 wählen wir nun fest ein solches ij ∈ I. Dann ist
φj (x) · hij (x), x ∈ supp(φj )
fj : Rn → R, x 7→
0, x ∈
/ supp(φj )
P
P
eine glatte Abbildung. Zudem gilt 1 = j∈J φj (x) = j∈J1 φj (x) für jedes x ∈ M.
Die Abbildung
X
fj (x)
F : Rn → R, x 7→
j∈J1
ist dann ebenso eine glatte Abbildung, denn die Summe ist in einer Umgebung eines jeden Punktes endlich.
Betrachten wir für alle x ∈ M die Menge Jx := {j ∈ J; x ∈ supp(φj )} ⊂ J1 , so erhalten wir
X
X
X
X
X
φj (x) = f (x)
φj (x) = f (x).
F (x) =
fj (x) =
fj (x) =
φj (x) · hij (x) = f (x)
| {z }
j∈Jx
j∈J
j∈J1
j∈Jx
j∈Jx
=f (x)
| {z }
=1
für alle x ∈ M.
Bemerkung: Ohne die Annahme, dass M abgeschlossen ist, ist die Aussage dieser Aufgabe falsch. Wir betrachten
dazu folgendes Beispiel: M = (0, 1) × {0} ist eine Untermannigfaltigkeit von R2 und die Abbildung f : M →
R, (x, 0) 7→ x1 ist glatt, aber bereits in (0, 0) nicht stetig fortsetzbar.
Aufgabe 4. Betrachten Sie die Kleeblattschlinge
aufgefasst als eindimensionale glatte Untermannigfaltigkeit M ⊂ R3 . Konstruieren Sie eine glatte Abbildung
f : R3 → R3 , so dass f einen Diffeomorphismus
M ≈ S1
induziert, wobei wir S 1 mit der Teilmenge {(x, y, 0) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1} identifizieren.
Lösung. Die Menge S 1 := {(x, y, 0) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1} ist eine Untermannigfaltigkeit1 des R3 .
Sei γ : S 1 → M ⊂ R3 eine reguläre injektive Parametrisierung2 der Kleeblattschlinge. Wir betrachten nun die
Projektionen pj : R3 → R, x = (x1 , x2 , x3 ) 7→ xj für j = 1, 2, 3.
Dann sind gj := pj ◦ γ −1 : M → R, j = 1, 2, 3, glatte Abbildungen. Die Abbildung g3 ist dabei konstant Null
und kann durch G3 = 0 auf ganz R3 fortgesetzt werden. Für j = 1, 2 wenden wir Aufgabe 3 auf diesem Blatt
an: Da die Kleeblattschlinge kompakt und damit abgeschlossen ist, gibt es glatte Abbildungen Gj : R3 → R mit
der Eigenschaft Gj |S 1 = gj für j = 1, 2.
Damit ist f : R3 → R3 , x 7→ (G1 (x), G2 (x), 0) eine glatte Abbildung mit f |M = γ −1 .
1 Wir wissen bereits, dass N := {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 1} als reguläres Urbild eine Untermannigfaltigkeit des R2 ist. Sei (U, Ψ)
ein lokaler Flachmacher von N, dann ist (Ũ , Ψ̃) definiert durch Ũ = U × R = {(u, z) ∈ R3 ; u ∈ U, z ∈ R} und Ψ̃(u, z) = (φ(u), z) ein
lokaler Flachmacher von S 1 . So können wir eine Überdeckung von S 1 durch Definitionsbereiche lokaler Flachmacher konstruieren.
2 Damit ist γ ein Diffeomorphismus von S 1 nach M.