Elektromagnetische Felder I Lösung zur Klausur vom 02. März 2016

Elektromagnetische Felder I
Q
1 für |z| ≤
· δ(r − a) ·
1. a) ρ =
0 sonst
2πaL
b) A/m3 , div J~ + ρ̇ = 0


2x
c) grad Φ(x, y, z) =  cos(y) 
−1/z 2
Lösung zur Klausur vom 02. März 2016
L
2
mit r =
p
x2 + y 2

π 2 /4
d) Der Wert des Vektorfelds am gegebenen Punkt ist  1 . Dieser wird nun
0
mit Hilfe der beigelegten Formelsammlung in Kugelkoordinaten überführt. Für den
angegebenen Punkt ist ϕ = 45◦ und ϑ = 90◦ , also√ sinϑ = 1 , cos ϑ = 0 und
√
2
sin ϕ = cos ϕ = 2/2. Damit ergibt sich Vr = 22 · 1 + π4 , Vϑ = 0 und
i
h
√
√
2
2
2
Vϕ = 22 · 1 − π4 . Also: V~ (π/2, π/2, 0) = 22 · 1 + π4 · ~er + 1 − π4 · ~eϕ

e) ε0 : 10−11 As/(Vm) und µ0 : 10−6 Vs/(Am)
1
1
f) statische Punktladung: 2 und statischer Dipol: 3
r
r
2. a) Permittivität ε oder relative Permittivität εr oder dielektrische Suszeptibilität χe
~ = ε0 E
~ + P~ und D
~ = εE
~ oder P~ = ε0 χe E
~
b) D
c) Die Permittivität oder dielektrische Suszeptibilität kann mit der Ausstattung bestimmt werden.
• Mit der Gleichspannungsquelle lässt sich der Kondensator auf eine Spannung U
laden.
• Über den vom Amperemeter aufgezeichneten Stromverlauf des Ladevorgangs
kann Rdie auf den Kondensatorplatten befindliche Ladung Q bestimmt werden:
Q = I(t) dt.
• Der Kondensator wird einmal mit Vakuum und einmal mit dem zu untersuchenden Material zwischen den Platten auf die Spannung U aufgeladen.
• Aus dem Quotienten der beiden ermittelten Ladungen ergibt sich:
Qmat
ε0 εr A/d
Qmat
Cmat U
=
= εr bzw. χe = εr − 1 =
=
−1
Qvac
Cvac U
ε0 A/d
Qvac
• (Bei nichtlinearem Verhalten, also z.B. E-Feldstärke-abhängiger Permittivität,
ist der Aufladevorgang für alle interessierenden Werte der beeinflussenden Größen durchzuführen.)
d) Es besteht die Möglichkeit, dass die Materialeigenschaften anisotrop sind. Folglich
sollte die Probe in verschiedenen Orientierungen im Kondensator vermessen werden. Liegt anisotropes Verhalten vor, wird der Materialparameter mit einem Tensor
anstelle eines Skalars beschrieben.
I
µ
Id~l × (~r0 − ~r )
~
3. a) B(~r0 ) =
4π
|~r0 − ~r |3
b) Bei der Integration in Abschnitt A ist: d~l = ~ey dy , ~r = y · ~ey , I = I1
Die Integration erfolgt auf der y-Achse von −a/2 bis +a/2.
Elektromagnetische Felder I
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Somit folgt:

 
x0
0
 1  ×  y0 − y 
Z +a/2
0
0
~ r0 ) = µI1
B(~
dy
4π −a/2
[x20 + (y0 − y)2 ]3/2


0
 0 
Z +a/2
−x0
µI1
dy
=
2
4π −a/2 [x0 + (y0 − y)2 ]3/2
Z +a/2
µI1 x0
1
=−
· ~ez ·
dy
2
2 3/2
4π
−a/2 [x0 + (y0 − y) ]
a/2
y − y0
µI1 x0
· ~ez · 2 p 2
=−
4π
x0 x0 + (y − y0 )2 y=−a/2


a
a
− y0
+ y0
µI1 
 · ~ez
=−
+q 2
· q 2
4πx0
a
a
2
2
2
2
x0 + ( 2 − y0 )
x0 + ( 2 + y0 )

c) Für x0 ≫ a und x0 ≫ |y0 | gehen die Argumente der Wurzeln gegen x20 und die
Nenner der entsprechenden Brüche werden zu |x0 |. Da a die Länge von Abschnitt
A und damit größer Null ist, ist auch x0 > 0 und es folgt als Näherung für die
~ r0 ) ≈ − µI1 a · ~ez
magnetische Flussdichte: B(~
4πx20
d) Da in den Abschnitten B und C der Strom nur in ± z-Richtung fließt liegen die von
diesen Abschnitten erzeugten Beiträge zur magnetischen Flussdichte parallel zur xy-Ebene und haben damit keine Komponente die die Fläche der Leiterschleife 2
durchsetzt. (Die Beiträge von B und C heben sich jedoch nicht auf!)
e) T · m2 oder auch Vs
f)
Φ(t) =
ZZ
~ dA
~=
B
= K ·a·
Z
d+a
d
d+a
a/2
K
dy dx
2
d
−a/2 x
d+a
−1 K · a2
1
dx = K · a ·
=
x2
x d
d · (d + a)
Z
Z
Jetzt wird noch die Zeitabhängigkeit von d berücksichtigt: d(t) = d0 + v · t
Es folgt:
K · a2
Φ(t) =
(d0 + vt) · (d0 + vt + a)
g)
−v
−v
+
U = −Φ̇(t) = −K · a ·
2
(d0 + vt) · (d0 + vt + a) (d0 + vt) · (d0 + vt + a)2
K · a2 · v
1
1
=
·
+
(d0 + vt) · (d0 + vt + a)
d0 + vt d0 + vt + a
K · a2 · v · [2d0 + 2vt + a]
=
(d0 + vt)2 · (d0 + vt + a)2
2
Elektromagnetische Felder I
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h)
I2 =
U
K · a2 · v · [2d0 + 2vt + a]
=
R
R · (d0 + vt)2 · (d0 + vt + a)2
~ lässt sich darstellen als Gradient einer Skalarfunktion.
• Das Kraftfeld E
• Die Arbeit die das Kraftfeld an einem Teilchen leistet ist auf jedem geschlossenen
Weg Null.
• Die Arbeit die das Kraftfeld an einem Teilchen leistet welches von einem Punkt
A zu einem Punkt B bewegt wird ist unabhängig von der Wahl des Weges
zwischen A und B.
~ ist wirbelfrei, also rot E
~ = ~0 im gesamten Raum.
• Das Kraftfeld E
J
. Das elekb) Die Einheit des elektrostatischen Potentials lässt sich darstellen als
C
trostatische Potential gibt die potentielle Energie pro Ladungsmenge einer Ladung
in dem elektrischen Feld an.
4. a)
c) Die elektrische Feldstärke steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen bzw. -linien.
~ = K · ~eϑ ist nicht das Feld eines elektrostatischen Potentials, denn:
d) E
r2
1
K
∂
∂
K
K
1
~ = ~er ·
+ ~eϕ · ·
· −
r · 2 = − 3 · ~eϕ 6= ~0
rot E
2
r sin ϑ
∂ϕ r
r ∂r
r
r
Alternativ könnten z.B. auch geschlossene Wege angegeben werden für die gezeigt
wird, dass die Arbeit nicht verschwindet.
~ = 0 und rot H
~ = J~ + D
~˙
5. a) div B
~2 − B
~ 1 ) · ~n = 0 und (H
~2 − H
~ 1 ) × ~n = K
~
b) (B
~
c) In Medium 1 gilt für die Normal- und Tangentialkomponente des B-Feldes:
B1n = B1 · cos α1 und B1t = B1 · sin α1 .
Entsprechendes gilt in Medium 2. Die Randbedingungen liefern:
B1n = B2n und H1t = H2t ⇒ B1t /µ1 = B2t /µ2 .
Also: B1 · cos α1 = B2 · cos α2 und B1 · sin α1 /µ1 = B2 · sin α2 /µ2 .
Und somit: tan α1 /µ1 = tan α2 /µ2 bzw. tan α1 / tan α2 = µ1 /µ2
∂2
1 ∂2
F
(x,
t)
−
F (x, t) = 0
∂x2
v 2 ∂t2
b) f1 (x + vt) und f2 (x − vt)
6. a)
7. a)
Zeitpunkt maximaler
destruktiver Interferenz
Z = 50 Ω
gesamt
Z=∞
Zeitpunkt maximaler
konstruktiver Interferenz
Z = 50 Ω
Z=∞
gesamt
b) Die Energie befindet sich zu diesem Zeitpunkt im Magnetfeld.
Elektromagnetische Felder II
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8. a)
~+
div S
b)
~=E
~ ×H
~
S
,
∂w ~ ~
+ J ·E = 0
∂t
1
1
w = εE 2 + µH 2
2
2
~ und D
~ sowie B
~ und H
~ sind jeweils proportional zueinander, d.h. die Materialpac) E
rameter sind nicht feldstärkeabhängig.
d)
1
Wm = L · I 2
2
e)
Wm =
Mit H =
I
folgt:
2πr
ZZZ
b
1
1
µH 2 dV = µ
2
2
Z sZ bZ
0
a
H 2 r dϕ dr dz
0
b
µ · s · I2
b
1
dr =
· ln
4π
a
a
a r
Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus d) folgt für die Induktivität: L = µ2π· s · ln ab
µ
Wm = · s ·
2
Z
µ · s · I2
I2
· r · 2π dr =
·
4π 2 r2
4π
2π
Z
f) Die Induktivität des Kabels wird im Vergleich zum Fall der im Inneren feldfreien
Leiter zunehmen, denn: Das Magnetfeld zwischen Innen- und Außenleiter bleibt bei
gleicher Stromstärke I unverändert. Hinzu kommen jedoch Raumbereiche innerhalb
der Leiter in denen jetzt ebenfalls ein Magnetfeld vorhanden ist, also eine von Null
verschiedene, positive Energiedichte. Dies führt zu einer Erhöhung von Wm und
damit von der Induktivität L.
I0 · δ(x) · δ(y) · e jωt · ~ez für |z| ≤ l/2
9. a) J~ =
0
sonst
r
I0 l
µ 1
j
b) Eϑ =
· sin ϑ · e j(ωt−kr)
·
−
2
4π
ε r
ωεr3
c) • Retardierung ist die Folge der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Strahlung und bedeutet anschaulich, dass die von den Quellen
erzeugten Felder erst mit zeitlicher Verzögerung an entfernten Orten ankommen
bzw. wirken.
|~r − r~′ |
• retardierte Zeit: t −
v
• e −jkr
d) Das Nahfeld wird entlang der z-Achse auch bei großen Abständen dominieren, weil
die Fernfeldterme proportional zu sin ϑ sind und damit entlang der z-Achse Null
werden.
e)
• Die ebene Welle ist dadurch gekennzeichnet, dass die Feldstärken in den Ebenen
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung überall gleiche Amplitude und gleiche Phase
haben und nur entlang der Ausbreitungsrichtung variieren.
• Bei der Herleitung der ebenen Wellenfelder wird nur die Ausbreitung im quellenfreien Raum betrachtet, während beim Hertzschen Dipol die Ausbreitung
elektromagnetischer Strahlung von einer Quelle (Stromdichteverteilung) weg untersucht wird.
Oder kurz: homogene partielle DGL vs inhomogene.
Elektromagnetische Felder II
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f) Auch beim Hertzschen Dipol treten in Näherung ebene Wellenfelder auf, wenn man
sich auf hinreichend kleine Winkelbereiche für ϑ und ϕ beschränkt, die zudem nicht
die z-Achse enthalten.
10. a) Wenn keine Verluste auftreten ist εr rein reell, besitzt also keinen Imaginärteil und
das Gleiche gilt damit auch für Z sowie die Reflexions- und Transmissionsfaktoren.
r
µ0 · µr
b) Z =
ε0 · εr
Zx − Z0
und T12 = 1 + R12
Zx + Z0
d) Die Phasendrehung die die Welle bei einem einfachen Durchlauf in Medium II erfährt
2πf
2π
2πf
√
=
= εr,x ·
. Der entsprechende
ist k2 d, mit der Wellenzahl k2 =
√
λ2
c0 / εr,x
c0
Term für die Multiplikation mit dem Feld ist Γ := e −jk2 d . Ferner sei E0 die Feldstärke
der einlaufenden Welle. Damit ergibt sich:
c) R12 =
Eges = E0 · {R12 + T12 · Γ · R23 · Γ · T21 + T12 · Γ · R23 · Γ · R21 · Γ · R23 · Γ · T21 + . . .}
)
(
∞
X
i
2
2
= E0 · R12 + T12 · T21 · R23 · Γ ·
Γ · R23 · R21
i=0
2
T12 · T21 · R23 · Γ
= E0 · R12 +
1 − Γ2 · R23 · R21
e)
• Damit die zweite Teilwelle den Gesamtreflexionsfaktor reduziert sollte ein Phasenversatz von π zur ersten Teilwelle bestehen.
• Die erste Teilwelle, die von Medium I kommend direkt an Medium II reflektiert
wird, erfährt eine Phasendrehung von π da R12 < 0 wegen Z0 > Zx . Die zweite
Teilwelle, welche einmal Medium II durchläuft, an Medium III reflektiert wird,
dann nochmal Medium II durchläuft und zurück ins Medium I transmittiert
wird, erfährt eine Phasendrehung von π für die Reflexion an Medium III (R23 < 0
wegen Zx > Zp ) sowie zusätzlich die Phasendrehungen für das zweimalige Durchlaufen von Medium II. Bei den Transmissionen treten keine Phasendrehungen
auf, da T12 > 0 und T21 > 0. Damit also ein Phasenversatz von π zwischen
erster und zweiter Teilwelle auftritt muss die Phasendrehung beim zweimaligen
c0
.
Durchlaufen von Medium II genau π sein, also: 2 · k2 d = π ⇒ d =
√
4 · f · εr,x
T12 · T21 · R23
• Mit k2 d = π/2 folgt Γ = −j und somit: Eges = E0 · R12 −
1 + R23 · R21
Zx − Z0
Zp − Zx
f) R12 = R23 ⇒
=
⇒ (Zx − Z0 ) · (Zp + Zx ) = (Zp − Zx ) · (Zx + Z0 ) ⇒
Z
+
Z
Z
+
Z
x
0
p
x
√
p
Zx = Z0 · Zp somit ist Zx = 360 Ω · 10 Ω = 60 Ω
Elektromagnetische Felder II
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11. a)
...
y
usw. alle 2a abwechselnd −τ und +τ
4a +τ
2a
−τ
a
τ
x
−a
−τ
−4a
+τ
usw. alle 2a abwechselnd −τ und +τ
...
−2a
b) Die Felder der beiden Spiegelladungen ergeben sich durch die Koordinatentransformation y 7→ y ± 2a aus dem angegebenen Feld von τ inklusive Vorzeichentausch der
Ladung. Das Gesamtfeld ist somit:
~ ges (a, 0, 0) = E
~ 0 (a, 0, 0) + E
~ −2a (a, 0, 0) + E
~ +2a (a, 0, 0)
E
 


a
a
1
1
−τ
τ
·
·  0 +
·
·  0 + 2a 
=
2πε a2 + 02
2πε a2 + (0 + 2a)2
0
0


a
−τ
1
 0 − 2a 
+
· 2
·
2πε a + (0 − 2a)2
0
3τ
=
· ~ex
10πεa
c) Eine konforme Abbildung ist hier anwendbar, da das Problem in der dritten Dimension invariant ist.
d)
e)
• Linienladung bei z = 0: w = e0 = 1 , also u = 1 und v = 0
jπa
π
πx
πx
• Obere Platte bei z = x + ja: w = e 2a · (x+ja) = e 2a · e 2a = j · e 2a , also u = 0
πx
und v = e 2a , das ist der positive Teil der v-Achse
jπa
πx
πx
π
• Untere Platte bei z = x − ja: w = e 2a · (x−ja) = e 2a · e − 2a = −j · e 2a , also
πx
u = 0 und v = −e 2a , das ist der negative Teil der v-Achse
v
obere Platte
τ
u
1
untere Platte
f) Spiegelladungsmethode
12. a)
• Der nutzbare Frequenzbereich wird im Allgemeinen durch die Ausbreitungsfähigkeit der nächsthöheren Mode beschränkt.
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• Die cut-off-Frequenz einer Mode ist die niedrigste Frequenz ab der die elektromagnetischen Wellen in dieser Mode ausbreitungsfähig sind.
b)
• Zuerst tritt die Grundmode im Koaxialkabel auf.
• Im Koaxialkabel ist dies die TEM-Mode welche ab 0 Hz ausbreitungsfähig ist.
• Die TEM-Mode (TransversalElektroMagnetische Mode) ist dadurch gekennzeichnet, dass sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld nur Komponenten senkrecht (transversal) zur Ausbreitungsrichtung besitzen.
c)
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen ist bei einer Frequenz in verschiedenen Moden im Allgemeinen unterschiedlich. Ein eingespeistes
Signal welches sich (aufgrund kleiner geometrischer Unregelmäßigkeiten in der
Hohlleitergeometrie) unvorhersehbar auf die ausbreitungsfähigen Moden verteilt
würde auf dem Weg zwischen Sender und Empfänger seine ursprüngliche Form
verlieren und ggf. nicht mehr nutzbar sein.
• Die Grundmode des Koaxialkabels hat den Vorteil dispersionsfrei zu sein, aber
auch bereits ab 0 Hz ausbreitungsfähig zu sein. Auch Breitbandigkeit könnte als
Vorteil genannt werden.
GHz
= 12 GHz
d) 15 GHz = 1,25 · fc ⇒ fc = 155/4
q c0
c0
1
3 · 108 m/s
0 2
1 2
fc,10 = √
+
⇒
a
=
·
=
m = 6,25 mm
≈
a
b
4 · fc,10
4 · 12 GHz
160
2· 4·1
e) Êx = 0
Êy ∝ − sin
y
2π
a
·x
a/2
0
a/2
a
x
c0
= 6 GHz
2a
c0
= 12 GHz
=
a
c0
=
= 15 GHz
2b
≈ 16,2 GHz laut Aufgabenstellung
f) fc,10 =
fc,20
fc,01
fc,11
Der Frequenzbereich in dem nur die Grundmode ausbreitungsfähig ist erstreckt sich
also von 6 GHz bis 12 GHz. Dieser Hohlleiter kann somit nicht für die Untersuchungen bei 15 GHz verwendet werden.