Die Logik der Sprache AL Erinnerung Formale Logik 4. Sitzung Prof. Dr. Ansgar Beckermann Sommersemester 2005 Universität Bielefeld Ein Satz ist genau dann logisch wahr, wenn er – unabhängig davon, was die in ihm vorkommenden deskriptiven Zeichen bedeuten – allein aufgrund der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen Ausdrücke wahr ist. Ein Argument ist logisch gültig, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen Ausdrücke ergibt, dass in allen Argumenten, die dieselbe logische Form besitzen, die Konklusion wahr ist, wenn alle Prämissen wahr sind. Universität Bielefeld Die Logik der Sprache AL Dass ein Satz A von AL unabhängig davon wahr ist, was die in ihm vorkommenden deskriptiven Zeichen bedeuten, können wir mit Hilfe der im letzten Kapitel eingeführten Terminologie so ausdrücken: A ist wahr bzgl. aller Bewertungen V. Und dass für ein Argument A1, …, An, Also: A aus Sätzen von AL gilt: Jedes strukturgleiche Argument mit wahren Prämissen hat auch eine wahre Konklusion, können wir so ausdrücken: Für alle Bewertungen V gilt: Wenn die Sätze A1, …, An alle wahr sind bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Universität Bielefeld Die Logik der Sprache AL Definition 11.1 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden Junktoren ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr ist. Definition 11.2 Sind A1, …, An und A Sätze von AL, dann ist das Argument A1, …, An, Also: A genau dann logisch gültig, wenn sich allein aus der Bedeutung der in den Sätzen A1, …, An und A vorkommenden Junktoren ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A1, …, An alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Universität Bielefeld 1 Die Logik der Sprache AL Frage Die Logik der Sprache AL Definition 10.3 Woher kennen wir eigentlich die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL? Die Bedeutung eines sprachlichen Ausdrucks ist sein Beitrag zu den Wahrheitsbedingungen der Sätze, in denen er vorkommt. Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist ein Satzbuchstabe, und die Wahrheitsbedingung, die V A zuordnet, ist erfüllt; (ii) A ist eine Negation, d.h. A = ¬B, und B ist falsch bzgl. V; (iii) A ist eine Konjunktion, d.h. A = (B ∧ C), und B und C sind beide wahr bzgl. V; Universität Bielefeld Universität Bielefeld Die Logik der Sprache AL Definition 10.3 Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (iv) A ist eine Adjunktion, d.h. A = (B ∨ C), und von den Sätzen B und C ist mindestens einer wahr bzgl. V; (v) A ist eine Subjunktion, d.h. A = (B → C), und B ist falsch bzgl. V oder C ist wahr bzgl. V oder beides; Die Logik der Sprache AL Frage Woher kennen wir eigentlich die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL? Antwort Die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL (der Junktoren) ergibt sich aus den Bedingungen der Definition 10.3. (vi) A ist eine Bisubjunktion, d.h. A = (B ↔ C), und die Sätze B und C sind beide wahr oder beide falsch bzgl. V. Universität Bielefeld Universität Bielefeld 2 Die Logik der Sprache AL Definition 11.1 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden Junktoren ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr ist. Definition 11.3 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr (symbolisch: gAL A), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr ist. Universität Bielefeld Die Logik der Sprache AL Definition 11.2 Sind A1, …, An und A Sätze von AL, dann ist das Argument A1, …, An, Also: A genau dann logisch gültig, wenn sich allein aus der Bedeutung der in den Sätzen A1, …, An und A vorkommenden Junktoren ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A1, …, An alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Definition 11.4 Sind A1, …, An und A Sätze von AL, dann ist das Argument A1, …, An, Also: A genau dann logisch gültig (symbolisch: A1, …, An gAL A), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A1, …, An alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Universität Bielefeld Die Logik der Sprache AL Sprachliche Verabredung 1. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine Tautologie heißen, wenn er logisch wahr ist. 2. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine Kontradiktion (‘logisch falsch’) heißen, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden Junktoren – d.h., allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 – ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL falsch ist. Universität Bielefeld Die Logik der Sprache AL Definition 11.5 Zwei Sätze A und B der Sprache AL heißen genau dann logisch äquivalent (symbolisch: A gjAL B), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V von AL gilt: A ist genau dann wahr bzgl. V, wenn B wahr ist bzgl. V. Universität Bielefeld 3 Die Logik der Sprache AL Frage Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode Wie kann man feststellen, ob die Bedingungen der Definitionen 11.3, 11.4 und 11.5? Antwort Z.B. durch die Wahrheitstafelmethode und durch die Wahrheitsbaummethode. Universität Bielefeld Betrachten wir z.B. den Satz p ∧ q → p. (1) Wie kann man herausbekommen, ob sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass dieser Satz wahr ist bzgl. aller Bewertungen von AL? Universität Bielefeld Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode Es gibt nur 4 Arten von Bewertungen: Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ und ‚q‘ beide wahr sind. p q p ∧ q Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ wahr und ‚q‘ falsch ist. W W F W F W F F Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ falsch und ‚q‘ wahr ist. Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ und ‚q‘ beide falsch sind. Wenn für jede dieser 4 Arten gezeigt werden kann, dass aus der Definition 10.3 folgt, dass der Satz (1) p∧q→p q W F W F W F Wahrheitswertverlauf wahr ist bzgl. aller Bewertungen dieser Art, dann ist damit gezeigt, dass (1) wahr ist bzgl. aller Bewertungen von AL. Universität Bielefeld W F F → W W W Universität Bielefeld 4 Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode Man kann mit der Wahrheitstafelmethode nicht nur für einzelne Sätze von AL, sondern für alle Sätze einer bestimmten Form überprüfen, ob sie logisch wahr sind. Ein zweites Beispiel (p → q) ∧ ¬p → ¬q (2) p q (p → q) ¬ W F W ∧ F F W W W W F F F W F p → ¬ F W F W W F W W F F W W F F W W W W W W F q F Denn auch für beliebige Sätze A und B von AL z.B. gilt, dass es nur 4 Arten von Bewertungen gibt: Bewertungen, bzgl. deren A und B beide wahr sind. Bewertungen, bzgl. deren A wahr und B falsch ist. Bewertungen, bzgl. deren A falsch und B wahr ist. Bewertungen, bzgl. deren A und B beide falsch sind. Universität Bielefeld Universität Bielefeld Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode Beispiel (A → B) → (¬B → ¬A) A B W W W F F F W F Universität Bielefeld (A → B) F → (¬ W W W W B → ¬ F W W F W F W F W F W W F W W A) F Mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode kann man außerdem auch prüfen, ob ein Satz von AL eine Kontradiktion ist bzw. ob alle Sätze einer bestimmten Form Kontradiktionen sind. Beispiel (A → B) ↔ (¬B ∧ A) A B (A → B) ↔ (¬ W W W F F F W F W F W F F F W F B ∧ A) F W W F F W F W W F F F Universität Bielefeld 5 Die Wahrheitstafelmethode Satz 12.1 Die Wahrheitstafelmethode Satz 12.1 Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt: 1. gAL A → A (Satz der Identität) Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt: 8. gAL A ∧ B → (A → B) 2. gAL A ∨ ¬A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten) 9. 3. gAL ¬(A ∧ ¬A) (Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch) 4. gAL (A → ¬A) → ¬A (Satz des Clavius) 10a. g AL (A → B) → (¬B → ¬A) (Kontraposition) 10b. gAL (¬B → ¬A) → (A → B) (Kontraposition) 5. gAL ¬A → (A → B) 6. gAL A ∧ B → A (Satz des Duns Scotus) (Satz des Petrus Hispanus) 7. gAL A → A ∨ B Universität Bielefeld gAL A → (B → A) 11.a. gAL (A → B ∧ ¬B) → ¬A 11.b. gAL (¬A → B ∧ ¬B) → A 12. gAL (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) Universität Bielefeld Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein Satz A aus den Sätzen A1, ..., An folgt, kann man die Wahrheitstafelmethode anwenden. Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein Satz A aus den Sätzen A1, ..., An folgt, kann man die Wahrheitstafelmethode anwenden. Vorgehensweise I Vorgehensweise II Bei der ersten Vorgehensweise zieht man die Wahrheitstafeln für die Prämissen A1, ..., An und die Konklusion A in eine Wahrheitstafel zusammen, damit man die Wahrheitswertverläufe dieser Sätze direkt vergleichen kann. Universität Bielefeld Bei der zweiten Vorgehensweise prüft man, ob die Subjunktion wahr ist, deren Vorderglied aus der Konjunktion der Prämissen und deren Hinterglied aus der Konklusion besteht. D.h., wenn man prüfen will, ob der Satz A aus den Sätzen A1, ..., An logisch folgt, überprüft man, ob der Satz A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An → A logisch wahr ist. Universität Bielefeld 6 Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode p ∨ q, ¬p gAL q ? Frage Folgt ‚q‘ logisch aus den Sätzen ‚p ∨ q‘ und ‚¬p‘ ? D.h., gilt: p ∨ q, ¬p gAL q ? Universität Bielefeld q p∨q W W W F F F W F W W W F ¬ p q F W F W W F W F W F W F Universität Bielefeld Die Wahrheitstafelmethode Die Wahrheitstafelmethode p ∨ q, ¬p gAL q ? Universität Bielefeld p p q W W W F F F W F Satz 12.2 (p ∨ q) ∧ F F F ¬ Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt: p → q F W W W W W F W 3. A ∨ B, ¬B g AL A W F 4. W F 1. A → B, A g AL B 2. A → B, B → C g AL A → C A → B, ¬B g AL ¬A (Modus ponens) (Kettenschluss) (Modus tollens) Universität Bielefeld 7 Die Wahrheitstafelmethode Satz Die Wahrheitstafelmethode Satz 11.6 Zwei Sätze A und B der Sprache AL sind genau dann logisch äquivalent, wenn die Bisubjunktion A ↔ B logisch wahr ist. Satz 11.8 Ist A ein Satz der Sprache AL, der den Satz B als Teilsatz enthält, und A′ der Satz, den man aus A erhält, indem man in A den Teilsatz B durch den Satz C ersetzt, dann gilt: Wenn B gj AL C, dann auch A gj AL A′. Universität Bielefeld Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten die folgenden Äquivalenzen: 1. A gjAL ¬¬A (Gesetz der doppelten Negation) 2.a A ∧ B gj AL ¬(¬A ∨ ¬B) 2.b ¬(A ∧ B) gj AL ¬A ∨ ¬B (Erstes Gesetz von De Morgan) 3.a A ∨ B gj AL ¬(¬A ∧ ¬B) 3.b ¬(A ∨ B) gj AL ¬A ∧ ¬B (Zweites Gesetz von De Morgan) Universität Bielefeld Die Wahrheitstafelmethode Satz 11.6 Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten die folgenden Äquivalenzen: 4. A → B gj AL ¬B → ¬A (Gesetz der Kontraposition) 5. A → B gj AL ¬A ∨ B 6. A → B gj AL ¬(A ∧ ¬B) 7. A ↔ B gj AL ¬A ↔ ¬B 8. ¬(A ↔ B) gj AL ¬A ↔ B 9. A ↔ B gj AL (A → B) ∧ (B → A) Universität Bielefeld 8