DIFFERENTIALGEOMETRIE

DIFFERENTIALGEOMETRIE
VORLESUNG IM WINTERSEMESTER 1996/97
an der Eberhard-Karls-Universität Tübingen
Richard Bödi
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Flächen I, Die erste Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Flächen II, Die zweite Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Flächen III, Struktur der zweiten Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exponentialabbildung und Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Kapitel 1: Kurven
1
KAPITEL 1
Kurven
Alle differenzierbaren Abbildungen sollen, sofern nichts Gegenteiliges vorausgesetzt wird,
stets unendlich oft differenzierbar sein. Als Synonym für ”unendlich oft differenzierbar”
werden wir auch glatt verwenden.
(1.1) Definition. Eine Abbildung c : [a, b] → Rn heißt glatt, wenn es eine glatte Fortsetzung c̃ : (a − ε, b + ε) → Rn von c gibt. Eine glatte Abbildung c : [a, b] → Rn heißt
(parametrisierte) Kurve. Der Punkt c(a) heißt Anfangspunkt, der Punkt c(b) heißt Endpunkt der Kurve c. Die Kurve c heißt geschlossen, falls c(n) (a) = c(n) (b) für alle n ≥ 0 gilt.
Die Kurve c heißt einfach, falls c injektiv ist. Die Menge S(c) = {c(t) | t ∈ [a, b]} heißt
Spur der Kurve c.
Ist c : [a, b] → Rn eine parametrisierte Kurve, so gibt es zu jedem t0 ∈ [a, b] eine
lineare Abbildung Lt0 : R → Rn , die Ableitung von c im Punkt t0 . Lineare Abbildungen
von R nach Rn haben stets die Form t 7→ t · v0 mit v0 ∈ Rn . Wir nennen den Vektor
c0 (t0 ) := v0 den Tangentialvektor von c im Punkt t0 . Dieser repräsentiert die Ableitung
Lt0 von c im Punkt t0 .
(1.2) Definition. Eine parametrisierte Kurve c : [a, b] → Rn heißt regulär, falls c0 (t) 6= 0
für alle t ∈ (a, b) gilt.
(1.3) Beispiele. (a) Die Kurve c1 : [0, 1] → R2 : t 7→ 2t(1, 0) + t(0, 1) ist einfach und
regulär. Die Spur von c1 ist ein Geradenstück.
(ã) Die Kurve c̃1 : [0, 2] → R2 : t 7→ t(1, 0) + 21 t(0, 1) hat dieselbe Spur wie die Kurve c1 .
(b) Die Kurve c2 : [0, 2π] → R2 : t 7→ cos t(1, 0) + sin t(0, 1) ist regulär und geschlossen,
aber nicht einfach. Die Spur von c2 ist der Einheitskreis in R2 .
(c) Die Kurve c3 : [−1, 1] → R2 : t 7→ t2 (1, 0) ist weder einfach noch regulär.
(d) Die Kurve c4 : [−2π, 2π] → R3 : t 7→ cos t(1, 0, 0) + sin t(0, 1, 0) + t(0, 0, 1) ist einfach
und regulär. Die Spur von c4 ist eine Schraubenlinie.
Die Kurven aus Beispiel (a) und (ã) sind bis auf die ”Durchlaufgeschwindigkeit” gleich.
Wir definieren deshalb:
2
Kapitel 1: Kurven
(1.4) Definition. Zwei parametrisierte Kurven c1 : [a1 , b1 ] → Rn und c2 : [a2 , b2 ] → Rn
heißen äquivalent, in Zeichen c1 ∼ c2 , falls es eine glatte Funktion ϕ : [a2 , b2 ] → [a1 , b1 ]
gibt mit ϕ(a2 ) = a1 , ϕ(b2 ) = b1 und ϕ0 (t) > 0 für alle t ∈ [a2 , b2 ], so daß c2 = c1 ◦ ϕ gilt.
Die Abbildung ϕ wird Parameterwechsel genannt.
Wegen (ϕ−1 )0 (t) =
1
ϕ0 (ϕ−1 (t))
> 0 ist die Relation ∼ symmetrisch; sie ist sogar eine
Äquivalenzrelation auf der Menge aller parametrisierten Kurven in Rn . Bei Parameterwechsel bleibt die Regularität erhalten, denn es ist c02 (t) = c01 (ϕ(t)) · ϕ0 (t) 6= 0. Ebenso
bleiben Spur, Einfachheit und Geschlossenheit einer Kurve invariant. Die Tangentialvektoren von c1 bzw. von c2 in den Punkten t bzw. ϕ(t) unterscheiden sich nur um ein skalares
positives Vielfaches (nämlich um ϕ0 (t)), d.h. sie unterscheiden sich nur in der Länge, nicht
aber in der Richtung.
(1.5) Definition. Eine Äquivalenzklasse γ von regulären Kurven heißt (unparametrisierte) Kurve. Die Elemente der Klasse γ werden Parametrisierungen von γ genannt.
(1.6) Definition. Sei c : [a, b] → Rn eine reguläre Kurve. Die Länge von c wird definiert
Rb
als l(c) := a |c0 (t)| dt.
(1.7) Lemma. Zwei äquivalente reguläre Kurven haben die gleiche Kurvenlänge. Deshalb
setzt man l(γ) = l(c) für eine Kurve γ, wobei c ∈ γ beliebig ist.
Beweis. Sei γ eine Kurve in Rn und seien c1 : [a1 , b1 ] → Rn , c2 : [a2 , b2 ] → Rn Parametrisierungen von γ. Sei ϕ : [a2 , b2 ] → [a1 , b1 ] mit c2 = c1 ◦ ϕ. Dann ist wegen ϕ0 (t) > 0 für
alle t ∈ (a2 , b2 ) nach dem Transformationssatz für Integrale (siehe Spivak, [15], 3-13)
Z b2
Z b2
Z b2
Z b1
0
0
0
0
0
|c2 (t)| dt =
|ϕ (t) · c1 (ϕ(t))| dt =
ϕ (t) · |c1 (ϕ(t))| dt =
|c01 (t)| dt.
a2
a2
a2
a1
(1.8) Beispiel. Bogenlänge eines Kreises vom Radius r.
Die Kurve c : [0, 2π] → R2 : t 7→ r · cos t(1, 0) + r · sin t(0, 1) hat als Spur den Kreis um den
Ursprung 0 mit Radius r. Dann ist
Z 2π
Z 2π
Z 2π p
2
0
2
2
2
r sin t + r cos t dt =
r dt = 2πr.
l(c) =
|c (t)| dt =
0
0
0
∗
Sei γ eine (reguläre) Kurve mit Parametrisierung c : [a, b] → Rn . Setze
Z s
sc : [a, b] → R : s 7→
|c0 (t)| dt.
a
Kapitel 1: Kurven
3
Dann ist sc : [a, b] → [0, l(γ)] ein Parameterwechsel, denn es ist s0c (t) = |c0 (t)| > 0 aufn
grund der Regularität von c. Die parametrisierte Kurve b = c ◦ s−1
c : [0, l(γ)] → R heißt
Parametrisierung von γ nach der Bogenlänge. Eine Charakterisierung dieser Parametrisierung gibt das folgende Lemma.
(1.9) Lemma. Sei γ eine Kurve in Rn . Eine Parametrisierung c : [0, l] → Rn von γ ist
genau dann die Parametrisierung nach der Bogenlänge, wenn |c0 (t)| = 1 für alle t ∈ [0, l]
gilt.
Beweis. Für eine Parametrisierung c nach der Bogenlänge ist c = d ◦ s−1
mit einer
d
n
0
0
Parametrisierung d : [a, b] → R . Also gilt wegen |d (t)| = sd (t)
0
0 −1
|c0 (t)| = |(s−1
d ) (t) · d (sd (t))| = |
1
s0d (s−1
d (t))
· d0 (s−1
d (t))| =
1
|d0 (s−1
d (t))|
· |d0 (s−1
d (t))| = 1.
Gilt umgekehrt |c0 (t)| = 1 für alle t ∈ [0, l], so folgt wegen sc (0) = 0 und s0c (t) > 0
Z
sc (t) =
t
Z
0
c (s)ds =
0
t
|c0 (s)|ds = t
0
d.h. die Kurve c ist eine Parametrisierung von γ nach der Bogenlänge.
(1.10) Definition. Sei b ∈ γ eine Parametrisierung von γ nach der Bogenlänge. Dann
heißt der Vektor b00 (t) ∈ Rn der Krümmungsvektor der Kurve γ im Punkt b(t). Wir
schreiben dafür κ(t). Die reelle Zahl k(t) := |κ(t)| heißt die Krümmung von γ im Punkt
b(t).
Bemerkung. Der Krümmungsvektor κ(t) beschreibt, wie ”schnell” und in welche Richtung sich der Einheitstangentenvektor an die Kurve γ im Punkt b(t) ändert.
(1.11) Beispiel. Es ist
t
t
b : [0, 2πr] → R : t 7→ r cos (1, 0) + sin (0, 1)
r
r
2
die Parametrisierung nach der Bogenlänge für den Kreis γ im Ursprung mit Radius r, denn
für t ∈ [0, 2πr] ist
t
t
b0 (t) = − sin (1, 0) + cos (0, 1),
r
r
also |b0 (t)| = 1. Außerdem ist
1
b (t) =
r
00
t
t
1
− cos (1, 0) − sin (0, 1) = − 2 b(t),
r
r
r
4
Kapitel 1: Kurven
d.h. wir haben
k(t) =
1
.
r
(1.12) Lemma. Eine Kurve γ ist genau dann eine Gerade, wenn κ(t) = 0 für alle
t ∈ [0, l(γ)] gilt.
Beweis. Sei γ eine Kurve in Rn von u nach v. Ist γ eine Gerade, so ist nach (1.9) die
v−u
Abbildung b : [0, l(γ)] → Rn : t 7→ u + t |v−u|
eine Parametrisierung von γ nach der
v−u
0
Bogenlänge, denn es ist |b (t)| = | |v−u| | = 1 für alle t. Außerdem gilt κ(t) = b00 (t) = 0.
Umgekehrt folgt aus b00 ≡ 0, daß die Abbildung b0 auf [0, l(γ)] konstant ist. Integration
liefert nun b(t) = b(0) + t · b0 (0), d.h. die Kurve γ ist eine Gerade.
(1.13) Lemma. Für eine Kurve γ stehen κ(t) und b0 (t) stets senkrecht aufeinander.
Beweis. Aus 1 = |b0 (t)|2 = hb0 (t), b0 (t)i folgt mit Hilfe der Produktregel (Skalarprodukt
ausschreiben!) folgt
d 0
0=
hb (t), b0 (t)i = 2 hb00 (t), b0 (t)i ,
dt
was zu beweisen war.
n
(1.14) Definition. Sei γ eine Kurve in Rn . Eine Familie {ei (t)}i=1 von glatten Abbildungen ei : [a, b] → Rn heißt Frenet-n-Bein von γ, wenn hei (t), ej (t)i = δij für alle t ∈ [a, b]
gilt, und für alle 1 ≤ k ≤ n die k-te Ableitung b(k) (t) im Unterraum he1 (t), . . . , ek (t)i liegt.
(1.15) Satz. Sei γ eine Kurve mit Parametrisierung c : [a, b] → Rn . Sind die Vektoren
c0 (t), . . . , c(n) (t) für alle t ∈ [a, b] linear unabhängig, so existiert genau ein Frenet-n-Bein
k
n
k
{ei (t)}i=1 , so daß {ei (t)}i=1 und c(i) (t) i=1 für alle 1 ≤ k ≤ n gleich orientiert sind.
Beweis (mittels Gram-Schmidt-Verfahren).
0
(t)
Existenz: Setze e1 (t) := |cc0 (t)|
. Sind e1 , . . . , ek−1 für k < n schon definiert, so setze
(k)
fk (t) := c
(t) −
k−1
XD
j=1
(k)
c
E
fk (t)
(t), ej (t) · ej (t) und ek (t) =
|fk (t)|
(♠).
Natürlich erfüllt die so definierte Abbildung ek die geforderten Eigenschaften.
n
Eindeutigkeit: Sei {e∗i (t)}i=1 ein weiteres Frenet-n-Bein mit den im Satz angegebenen
0
∗
Eigenschaften. Dann ist e∗1 (t) = |cc0 (t)
(t)| = e1 (t) aufgrund der Normiertheit von e1 und der
Tatsache, daß e1 (t) und e∗1 (t) gleich orientiert sind nach Voraussetzung. Da e1 (t) = e∗1 (t)
und e∗2 (t) nach Voraussetzung den gleichen Unterraum aufspannen wie e1 (t) und e2 (t) und
beide Paare orthonormal sind und die gleiche Orientierung haben, folgt e∗2 (t) = e2 (t) für
alle t. Via Induktion gilt dies nun für alle 1 ≤ k ≤ n.
Kapitel 1: Kurven
5
(1.16) Satz. Sei γ eine Kurve in Rn mit Parametrisierung b nach der Bogenlänge. Es seien
n
die Vektoren b0 (t), . . . , b(n) (t) für alle t ∈ [0, l(γ)] linear unabhängig, und es sei {ei (t)}i=1
ein Frenet-n-Bein zu γ. Dann gibt es Funktionen ωij : R → R mit ωij = −ωji und
e0i (t)
=
i+1
X
ωij (t) · ej (t)
j=1
für alle 1 ≤ i < n. Dabei verschwinden alle Funktionen ωij mit Ausnahme der Funktionen
ωi,i+1 = −ωi+1,i . Die reellen Zahlen ki (t) := ωi,i+1 (t) werden i-te Krümmungen von γ im
Punkt b(t) genannt.
Beweis. Sei b ∈ γ eine Parametrisierung nach der Bogenlänge. Dann ist
b0 (t)
e1 (t) = 0
= b0 (t),
|b (t)|
und nach (1.10) und (1.13), sowie Gleichung (♠) ist
e01 (t) = b00 (t) = b00 (t) − hb00 (t), b0 (t)i · b0 (t) = e2 (t) · |b00 (t)| = k(t) · e2 (t).
Also ist ω11 = 0 und ω12 (t) = k(t). Induktiv rechnet man nun die Formeln für e0i nach:
Aus
i−1 D
E
X
(i)
ei (t)|fi (t)| = fi (t) = b (t) −
b(i) (t), ej (t) · ej (t)
j=1
folgt
fi0 (t)
=b
(i+1)
(t) −
i−1 D
X
E D
E
D
E
b(i+1) (t), ej (t) + b(i) (t), e0j (t) ej (t) + b(i) (t), ej (t) e0j (t) .
j=1
Nach Definition eines Frenet-n-Beines und Induktionsvoraussetzung liegt die rechte Seite
in he1 (t), . . . , ei+1 (t)i. Das gleiche gilt auch für e0i (t). Dabei ist
he0i (t), ek (t)i
=
* i+1
X
+
ωij (t) · ej (t), ek (t)
j=1
=
i+1
X
ωij (t)δjk = ωik (t).
j=1
Aus der Konstanz von hei (t), ej (t)i folgt
0=
d
hei (t), ej (t)i = he0i (t), ej (t)i + ei (t), e0j (t) = ωij + ωji .
dt
Insbesondere ist also ωij = 0 für j 6= i − 1, i + 1.
6
Kapitel 1: Kurven
(1.17) Satz. Seien ϕi : [0, l] → R, 1 ≤ i ≤ n − 1 glatte Funktionen mit ϕi > 0. Dann
existiert eine Kurve γ in Rn mit Krümmungen ki = ϕi für 1 ≤ i ≤ n − 1.
Beweis. Setze
ϕi
falls i = k und j = k + 1
−ϕi falls i = k + 1 und j = k
0
sonst
Betrachte die homogene lineare Differentialgleichung
(
ωij :=
x0i (t)
=
n
X
ωij (t)xj (t)
j=1
zu den Anfangswerten xi (0) = (δi1 , . . . , δin ). Nach der Theorie homogener linearer Differentialgleichungen existieren glatte Lösungen bi : [0, l] → Rn obiger Gleichungen. Die
Kurve
Z
t
b : [0, l] → Rn : t 7→
b1 (s) ds
0
ist parametrisiert nach der Bogenlänge: Mit sij (t) := hbi (t), bj (t)i erhalten wir die homogene lineare Differentialgleichung
s0ij (t)
=
hb0i (t), bj (t)i
+
bi (t), b0j (t)
=
n
X
(ωik (t)skj (t) + ωjk (t)sik (t))
k=1
zu den Anfangswerten sij (0) = δij . Die eindeutige Lösung dieser Gleichung ist gegeben
durch sij = δij wegen ωij = −ωji . Insbesondere folgt hieraus |b0 (t)| = |b1 (t)| = 1 für alle
n
t ∈ [0, l]. Schließlich ist nach Konstruktion die Familie {bi (t)}i=1 ein Frenet-n-Bein für die
Kurve b und daher ist ki = ϕi für 1 ≤ i < n.
(1.18) Definition. Eine Bewegung von Rn ist eine Abbildung der Form τ ◦ β0 : Rn → Rn ,
wobei β0 ∈ SOn R = {f : Rn → Rn | f linear, det f > 0, hf (x), f (y)i = hx, yi ∀ x, y ∈ Rn }
und τ = τv : Rn → Rn : x 7→ x + v ist. Statt τ ◦ β0 schreiben wir auch kurz τ β0 .
n
(1.19) Satz. Seien γ, γ̃ Kurven in Rn mit zugehörigen Frenet-n-Beinen {ei (t)}i=1 und
n
{ẽi (t)}i=1 . Es gibt genau dann eine (eindeutig bestimmte) Bewegung β = τ β0 von Rn mit
b̃ = β ◦ b, wenn k̃i = ki gilt. Es gilt dann ẽi = β0 ◦ ei .
Beweis. Sei β = τv β0 eine Bewegung mit b̃ = β ◦ b. Dann ist wegen Dβ0 (x) = β0 und
Dτv (x) = 1l
b̃0 (t) = (τv β0 b)0 (t) = Dτv (β0 b(t)) · (β0 b)0 (t) = Dβ0 (b(t)) · b0 (t) = β0 b0 (t)
und ebenso
b̃(k) (t) = β0 b(k) (t)
für k = 1, . . . , n.
Kapitel 1: Kurven
7
Nach Konstruktion eines Frenet-n-Beines folgt somit ẽi = β ◦ ei für 1 ≤ k ≤ n und nach
(1.16) ist
ωij (t) = he0i (t), ej (t)i = hβ0 e0i (t), β0 ej (t)i = h(β0 ei )0 (t), β0 ej (t)i = hẽ0i (t), ẽj (t)i = ω̃ij (t).
Insbesondere ist k̃i = ki .
Umgekehrt gibt es genau eine Bewegung β = τ β0 von Rn mit β0 ei (0) = ẽi (0) und βb(0) =
b̃(0) (wähle dazu die Translation τ entsprechend). Aus ω̃ij (t) = ωij (t) folgt
ẽ0i (t)
=
n
X
ωij (t)ẽj (t).
j=1
Andererseits ist
0
(β0 ei ) (t) =
β0 e0i (t)
n
n
X
X
= β0 (
ωij (t)ej (t)) =
ωij (t)β0 ej (t),
j=1
n
j=1
n
d.h. {ẽi (t)}i=1 und {β0 ei (t)}i=1 genügen denselben Differentialgleichungen und erfüllen
dieselbe Anfangsbedingung. Also sind beide Frenet-n-Beine identisch. Schließlich folgt
aus
β0 b0 (t) = β0 e1 (t) = ẽ1 (t) = b̃0 (t)
die Gleichung
Z
βb(t) − βb(0) = β0 b(t) − β0 b(0) =
0
Z
β0 b (s) ds =
0
und wegen βb(0) = b̃(0) ist somit βb = b̃.
t
t
b̃0 (s) ds = b̃(t) − b̃(0)
0
Die bisherigen Lemmata und Sätze behandelten durchweg lokale Probleme. Die nächsten Sätze zeigen, wie die Krümmung einer geschlossenen Kurve das globale Aussehen einer
Kurve bestimmt. Sei γ eine einfache geschlossene Kurve in R2 . Nach dem Jordanschen
Kurvensatz zerlegt (die Spur von) γ den Raum R2 in zwei Zusammenhangskomponenten,
wovon genau eine beschränkt ist. Der Flächeninhalt (Lebesgue-Maß) der beschränkten
Komponente C sei mit A bezeichnet. Für welche einfachen geschlossenen Kurven γ der
festen Länge l hat die beschränkte Komponente C den größten Flächeninhalt A? Die
l
Antwort ist seit dem Altertum bekannt und lautet: genau für Kreise vom Radius 2π
.
Allgemeiner gilt der folgende Satz.
(1.20) Satz (Isoperimetrische Ungleichung). Es ist l(γ)2 ≥ 4πA. Gleichheit gilt in
dieser Ungleichung genau dann, wenn γ ein Kreis ist.
8
Kapitel 1: Kurven
Beweis. Sei l = l(γ) und sei b : [0, l] → R2 : t 7→ (b1 (t), b2 (t)) eine Parametrisierung von γ
nach der Bogenlänge.
(1) Für den Flächeninhalt A gilt nach dem Greenschen Integralsatz (siehe Heuser, Lehrbuch
der Analysis II, 207.2 oder Apostol, Mathematical Analysis)
Z
A=
C
1
dx dy =
2
l
Z
(b1 (t)b02 (t)
−
l
Z
b2 (t)b01 (t)) dt
b2 (t)b01 (t) dt
=−
0
Z
=
0
l
b1 (t)b02 (t) dt.
0
Die Gleichheit der letzten drei Integrale folgt aus b(0) = b(l) unter Anwendung partieller
Integration.
(2) Sei nun 2r der Durchmesser von γ in x-Richtung und seien t0 , t1 ∈ [0, l] mit t0 < t1
und |b(t0 ) − b(t1 )| = 2r. Durch Anwendung einer Translation können wir o.E. c1 (t0 ) = −r
und c1 (t1 ) = r erreichen. Dadurch parametrisieren wir einen Kreis mit Radius r durch
p
(b1 (t), p
r2 − b1 (t)2 )
für t ∈ [t0 , t1 ]
d(t) = (d1 (t), d2 (t)) =
2
2
(b1 (t), − r − b1 (t) ) für t ∈ [0, t0 ] ∪ [t1 , l]
Beachte, daß d i.a. keine reguläre Parametrisierung ist. Nach (1) ist
Z
l
A=
b1 (t)b02 (t) dt
2
Z
und πr = −
0
l
d2 (t)d01 (t) dt
0
und es folgt
Z
2
l
(b1 (t)b02 (t) − d2 (t)d01 (t)) dt
A + πr =
0
Z
l
(b1 (t)b02 (t) − d2 (t)b01 (t)) dt
=
0
≤
Z lq
(b1 (t)b02 (t) − d2 (t)b01 (t))2 dt
0
≤
Z lq
(b1 (t)b02 (t) − d2 (t)b01 (t))2 + (b1 (t)b01 (t) + d2 (t)b02 (t))2 dt
0
=
Z lp
b1
(t)2
+ d2
(t)2
q
b01 (t)2 + b02 (t)2 dt
0
Z
l
r · 1 dt
=
0
= rl.
Für a, b > 0 ist
√
ab ≤ 12 (a + b) mit Gleichheit genau für a = b. Damit erhalten wir
Aπr2 ≤
1
1
(A + πr2 )2 ≤ r2 l2
4
4
Kapitel 1: Kurven
9
und es folgt die Behauptung des Satzes.
(3) Ist γ ein Kreis vom Radius r, so gilt natürlich 4πA = 4π 2 r2 = l(γ)2 .
(4) Umgekehrt folgt bei l(γ)2 = 4πA aus (2) die Gleichheit A = πr2 und in der Abschätzung
aus (2) gilt überall die Gleichheit. Insbesondere ist b1 (t)b01 (t) + d2 (t)b02 (t) = 0, woraus
b1 (t)2 b01 (t)2 + b1 (t)2 b02 (t)2 = d2 (t)2 b02 (t)2 + b1 (t)2 b02 (t)2 und
q
p
b1 (t) = b1 (t) b01 (t)2 + b02 (t)2 = ±b02 (t) b1 (t)2 + d2 (t)2 = ±b02 (t) · r
folgt. Aus A = πr2 folgt überdies, daß r unabhängig vom gewählten Koordinatensystem
ist. Also dürfen x- und y-Koordinate vertauscht werden und man erhält
b2 (t) = ±b01 (t) · r.
Damit haben wir wegen |b0 (t)| = 1
b1 (t)2 + b2 (t)2 = r2 (b01 (t)2 + b02 (t)2 ) = r2 |b0 (t)|2 = r2 ,
d.h. die Spur von c ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt 0.
(1.21) Definition. Eine reguläre Kurve c : [a, b] → R2 heißt konvex, falls die Spur von c
für alle t ∈ (a, b) ganz auf einer Seite der Tangente durch c(t) liegt, d.h. das Skalarprodukt
hc(s) − c(t), e2 (t)i hat für alle s ∈ (a, b) dasselbe Vorzeichen.
(1.22) Definition. Eine geschlossene Kurve c : [a, b] → Rn heißt periodisch, wenn alle
Ableitungen im Punkt a mit denen im Punkt b übereinstimmen, d.h. es gibt eine glatte
= c und c̃(t + w) = c̃(t) für alle t ∈ R und w = b − a.
Funktion c̃ : R → Rn mit c̃
[a, b]
Ein Beweis des nachstehenden Fenchelschen Satzes findet man z.B. in C. Hsiung, [10],
3.1.4, p.140–142.
(1.23) Satz (Fenchel 1929). Für eine einfache, periodische Kurve γ in Rn ist die
R l(γ)
Gesamtkrümmung kγ := 0 k(s) ds mindestens 2π. Genau dann ist kγ = 2π, wenn γ in
einer Ebene liegt und konvex ist.
(1.24) Vierscheitelsatz. Sei γ ein konvexe, periodische Kurve im R2 . Dann gibt es
mindestens vier Punkte auf γ, an denen k 0 (t) verschwindet.
Beweis. Da γ geschlossen ist, läßt sich k als periodische Funktion von R nach R mit Periode
l(γ) deuten. Auf jedem Intervall der Länge l(γ) hat k genauso viele lokale Maxima wie
Minima. Somit gibt es stets eine gerade Anzahl von Punkten in [0, l(γ)] an denen k 0
10
Kapitel 1: Kurven
verschwindet. Sei b : [0, γ(l)] → R : t 7→ (b1 (t), b2 (t)) eine Parametrisierung von γ nach der
Bogenlänge. Für ein Frenet-2-Bein {e1 , e2 } gilt nach (1.16) und (1.13)
e1 (t) = b0 (t) = (b01 (t), b02 (t))
und e2 (t) = (−b02 (t), b01 (t)).
Die Frenet-Formeln lauten im Zweidimensionalen e01 (t) = k(t)e2 (t). Einsetzen liefert nun
b001 (t) = −k(t)b02 (t) und b002 (t) = k(t)b01 (t).
Da γ geschlossen ist, ist
Z
l(γ)
k 0 (t) dt = 0
0
und mit Hilfe der obigen Gleichungen und partieller Integration folgt ebenso
Z l(γ)
Z l(γ)
0
b1 (t)k (t) dt =
(k(t)b1 (t) − b02 (t))0 dt = 0
0
und
Z
0
l(γ)
0
Z
b2 (t)k (t) dt =
0
l(γ)
(k(t)b2 (t) + b01 (t))0 dt = 0.
0
Somit gilt für alle a0 , a1 , a2 ∈ R
Z l(γ)
(a0 + a1 b1 (t) + a2 b2 (t))k 0 (t) dt = 0
(♣)
0
Wir nehmen nun o.E. an, daß k(t) nicht konstant ist; andernfalls ist der Satz trivial. Dann
gibt es t0 , t1 ∈ [0, γ(l)], so daß k an diesen Punkten globale Extrema besitzt. Sei g eine
Gerade in R2 durch die Punkte A = b(t0 ) und B = b(t1 ). Die Gerade g zerlegt die Spur von
γ in zwei Teile C1 = b([0, t0 ]) ∪ ([t1 , l(γ)]) und C2 = b([t0 , t1 )]. Angenommen, ein weiterer
Punkt P von γ liegt auf g. Sei etwa P auf g zwischen A und B gelegen. Da γ konvex ist,
muß die Tangente an γ durch P mit g übereinstimmen (andernfalls lägen A und B auf
verschiedenen Seiten der Tangente). Aber dann ist g auch Tangente an den Punkten A
und B. Hieraus folgt, daß die Kurve zwischen A und B ganz in g verläuft. Insbesondere
ist k(t0 ) = 0 = k(t1 ), d.h. es ist k ≡ 0, ein Widerspruch. Außerdem sieht man nun, daß
die Reihenfolge der Punkte A, B, und P auf g irrelevant ist. Also liegt außer A und B
kein weiterer Punkt auf g.
Sei die Gerade g durch die Gleichung a0 + a1 x1 + a2 x2 = 0 gegeben. Angenommen,
die Funktion k hat nur die zwei lokalen Extrema t0 und t1 . Dann ist etwa k 0 > 0 auf
C1 und k 0 < 0 auf C2 . Da C1 und C2 auf verschiedenen Seiten von g liegen, gilt etwa
a0 + a1 x1 + a2 x2 > 0 für Punkte auf C1 und a0 + a1 x1 + a2 x2 < 0 für Punkte auf
C2 . Jedenfalls hat der Integrand in der Gleichung (♣) stets gleiches Vorzeichen. Dies
widerspricht aber Gleichung (♣). Damit ist der Satz bewiesen.
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
11
KAPITEL 2
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
(2.1) Definition. Eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit M n ist ein topologischer Hausdorff-Raum mit einer abzählbaren Basis, der lokal homöomorph zu Rn ist, d.h.
zu jedem Punkt p ∈ M gibt es eine offene Umgebung U von p und einen Homöomorphismus h : U → U 0 ⊆ Rn , wobei U 0 offen in Rn ist. Die Homöomorphismen h werden Karten,
lokale Koordinatensysteme oder lokale Koordinaten genannt, die zugehörigen Umgebungen
U heißen Kartengebiete. Eine Familie {(hi , Ui )}i∈I von Karten-Kartengebiet-Paaren heißt
S
Atlas von M , falls M = i∈I Ui gilt. Oft wird auch ein Paar (h, U ) eine Karte genannt.
(2.2) Beispiele topologischer Mannigfaltigkeiten.
(a) Jede offene Teilmenge U des Rn mit (x 7→ x, U ) als einzige Karte.
(b) Die n-Sphäre Sn = x ∈ Rn+1 |x| = 1 . Ein Atlas wird etwa durch die Mengen der
Form Uik = x ∈ Sn (−1)k xi > 0 gegeben, wobei xi die i-te Komponente von x ist. Die
zugehörigen Karten sind hik : Uik → {x ∈ Rn | |x| < 1} : x 7→ (x0 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ).
Da die n-Sphäre homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung Rn ∪ {∞} ist, können wir
z.B. auch (h1 , U1 ) = (x 7→ x, Rn ) und (h2 , U2 ) = (x 7→ |x|x 2 , Rn ∪ {∞} \ 0) als Atlas wählen.
(c) Der n-dimensionale projektive Raum RPn = Sn ∼ mit der Quotiententopologie, wobei
∼ bedeutet, daß Antipodenpunkte identifiziert werden. Als Kartengebiete kann man etwa
Uk = {[x]∼ ∈ RPn | xk 6= 0} wählen. Die zugehörigen Karten können wir definieren als
hk : Uk → {x ∈ Rn | |x| < 1} : [x1 , . . . , xn ] 7→ |xxkk | (x0 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ).
(2.3) Definition. Sei M n eine topologische Mannigfaltigkeit und seien (hα , Uα ) und
(hβ , Uβ ) zwei Karten von M mit Uαβ := Uα ∩ Uβ 6= ∅. Die Abbildung
hαβ = hβ ◦ h−1
α : hα (Uαβ ) → hβ (Uαβ ))
ist ein Homöomorpismus und wird Kartenwechsel genannt.
(2.4) Definition. Eine topologische n-Mannigfaltigkeit M n heißt differenzierbar oder
glatt, falls alle Kartenwechsel eines Atlas von M unendlich oft differenzierbar sind.
Bemerkung. (a) Alle Beispiele von (2.2) sind glatte Mannigfaltigkeiten.
12
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
(b) Ist A ein Atlas einer glatten Mannigfaltigkeit M , so sei D die Menge aller Karten
auf M , für die jeder Kartenwechsel mit einer Karte aus A glatt ist. Dann ist auch D ein
glatter Atlas für M , der nach Konstruktion der größte glatte Atlas auf M ist, d.h. jeder
Atlas A einer glatten Mannigfaltigkeit M bestimmt eindeutig einen größten Atlas D auf
M , der von A erzeugt heißt. Der Atlas D wird auch glatte Struktur auf M genannt. Im
weiteren werden wir jedoch nicht streng unterscheiden zwischen den Atlanten A und D.
Wir werden stets davon ausgehen, daß wir einen maximalen Atlas vor uns haben, auch
wenn wir wie in den Beispielen (2.2) nur erzeugende Atlanten angegeben haben. Dies wird
z.B. bei der Definition einer Untermannigfaltigkeit eine Rolle spielen.
(2.5) Definition. Eine stetige Abbildung f : M → N zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten heißt differenzierbar im Punkt p ∈ M , wenn es Karten h : U → U 0 ⊆ Rm mit p ∈ U
und g : V → V 0 ⊆ Rn mit f (p) ∈ V gibt, so daß die Komposition f˜ := g◦f ◦h−1 : Rm → Rn
glatt ist. Die Abbildung f heißt differenzierbar oder glatt, falls f in jedem Punkt von
M differenzierbar ist. Man sagt, die Abbildung f˜ ist eine Darstellung von f in lokalen
Koordinaten. Die Abbildung f heißt ein Diffeomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl
f als auch f −1 glatt sind.
Bemerkung. (a) Ein differenzierbarer Homöomorphismus muß nicht unbedingt ein Diffeomorphismus sein. Als Beispiel betrachte die Abbildung f : R → R : x 7→ x3 . Hier ist
f −1 im Punkt 0 nicht differenzierbar.
(b) Alle Kartenwechsel eines glatten Atlanten sind Diffeomorphismen.
(2.6) Definition. Eine Teilmenge N einer n + k-dimensionalen Mannigfaltigkeit M heißt
n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M , falls es zu jedem Punkt p ∈ N eine Karte
h : U → U 0 ⊆ Rn × Rk mit p ∈ U gibt, so daß h(N ∩ U ) = U 0 ∩ (Rn × {0}) gilt. Die Zahl
k heißt Kodimension von N in M .
Eine glatte Abbildung f : N → M heißt eine Einbettung, falls f (N ) ⊆ M eine Untermannigfaltigkeit von M ist, und f : N → f (N ) ein Diffeomorphismus ist.
(2.7) Beispiele. (a) Der Äquator N := {(x0 , . . . , xn ) ∈ Sn | xn = 0} der n-Sphäre Sn ist
eine Untermannigfaltigkeit von Sn der Kodimension 1. Die Inklusionsabbildung N ,→ Sn :
x 7→ x ist eine Einbettung.
(b) Das Paraboloid (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 x21 + x22 = x23 , x3 > 0 ist eine Untermannigfaltigkeit
von R3 der Kodimension 1.
(c) Die Kurve c : R → R3 : t 7→ cos t(1, 0, 0) + sin t(0, 1, 0) + t(0, 0, 1) ist eine Untermannigfaltigkeit von R3 der Kodimension 2 und c ist eine Einbettung.
(d) Die Menge (x, 0) ∈ R2 x ∈ R ∪ (0, y) ∈ R2 y ∈ R ist keine Untermannigfaltigkeit
von R2 .
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
13
Als nächstes soll der wichtige Begriff des Tangentialraumes eingeführt werden. Betrachtet man z.B. die 2-Sphäre S2 in R3 , so ist intuitiv klar, was die Tangentialebene von S2 in
einem Punkt p ∈ Sn sein soll. Bei dieser Vorstellung hängt aber die Tangentialebene nicht
nur von S2 ab, sondern auch vom umgebenden Raum R3 . Deshalb werden wir den Begriff des Tangentialraumes abstrakt einführen. Welche Zusammenhänge zwischen diesem
abstrakten Begriff und der zuvor angesprochenen intuitiven Vorstellung bestehen, wird im
nächsten Kapitel näher beleuchtet.
(2.8) Definition. Sei A eine Algebra über einem Körper K, d.h. A ist ein K-Vektorraum
mit einer assoziativen Multiplikation A × A → A : (a, b) 7→ ab, die beide Distributivgesetze
erfüllt. Eine lineare Abbildung D : A → A heißt eine Derivation von A, falls
D(f · g) = f (Dg) + g(Df )
für alle f, g ∈ A gilt.
Bemerkung. Besitzt A ein Einslement e, so folgt aus der Produktregel D(e) = D(e) +
D(e), also ist D(e) = 0. Aus der Linearität von D folgt D(λ · e) = λ · D(e) = 0 für alle
λ ∈ K.
(2.9) Lemma. Sei A eine K-Algebra. Die Menge Der (A) aller Derivationen von A ist
ein Modul über dem Ring A bezüglich punktweiser Verknüpfungen.
Beweis. Durch
X + Y : A → A : g 7→ Xg + Y g
für alle X, Y ∈ Der (A) wird Der (A) zur kommutativen Gruppe. Schließlich wird Der (A)
durch die wie folgt definierte Skalarmultiplikation
A × Der (A) → Der (A) : (f, X) 7→ f X = (g 7→ f (Xg))
ein Modul über dem Ring A.
(2.10) Definition. Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit und sei p ∈ M . Wir bezeichnen
mit C ∞ (p) die Menge aller Abbildungen f : M → R, die im Punkt p unendlich oft
differenzierbar (also glatt) sind. Für U ⊆ M sei
C ∞ (U ) =
\
C ∞ (p)
p∈U
die Menge aller Abbildungen f : M → R, die in allen Punkten aus U glatt sind.
14
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
(2.11) Lemma. Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit und sei U ⊆ M . Dann ist C ∞ (U )
eine kommutative R-Algebra bezüglich punktweiser Verknüpfungen. Insbesondere ist also
C ∞ (U ) ein kommutativer Ring mit Einselement f ≡ 1.
Beweis. Für f, g ∈ C ∞ (U ) und λ ∈ R setzen wir
f + g : M → R : x 7→ f (x) + g(x)
und analog
f · g : M → R : x 7→ f (x) · g(x),
sowie
λf : M → R : x 7→ λ · f (x).
Es ist klar, daß f + g, f · g, λf wieder glatt sind auf U . Ebenso ist klar, daß C ∞ (U )
bezüglich der oben definierten Operationen eine kommutative R-Algebra ist.
(2.12) Notation. Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit und sei U ⊆ M . Dann setzen wir
Der (U ) := Der (C ∞ (U )).
(2.13) Definition. Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit und sei p ∈ M . Die Menge
linearer Abbildungen
Tp M := {Xp : C ∞ (p) → R : f 7→ (Xf )(p) | X ∈ Der (p)}
heißt der Tangentialraum von M an p. Die Elemente aus Tp M werden Tangentialvektoren
in p genannt.
(2.14) Lemma. Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit und sei p ∈ M . Bezüglich punktweiser Addition und Skalarmultiplikation ist Tp M ein reeller Vektorraum.
Jede glatte Abbildung f zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten M nach N induziert
für jedes p ∈ M durch
f ∗ : C ∞ (f (p)) → C ∞ (p) : ϕ 7→ ϕ ◦ f
einen R-Algebren-Homomorphismus. Dabei gelten die Relationen
(g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗
und
(idM )∗ = idC ∞ (p)
im Falle M = N .
Desweiteren induziert f eine lineare Abbildung
Tp f : Tp M → Tf (p) N : Xp 7→ Xp ◦ f ∗ .
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
15
Die Abbildung Tp f heißt Tangentialabbildung oder Differential von f in p.
Ist p ∈ M , so gibt es eine Karte h : U → Rn mit h(p) = 0. Verstehen wir Rn ebenfalls
als glatte Mannigfaltigkeit, so folgt aus h ◦ h−1 = idRn die Relation
(h−1 )∗ ◦ h∗ = idC ∞ (0) ,
d.h. die Abbildung h∗ : C ∞ (0) → C ∞ (p) ist ein Isomorphismus zwischen R-Algebren.
Somit genügt es, die Algebren C ∞ (0) aller in 0 glatten Funktionen f von Rn zu untersuchen. Außerdem induziert h∗ einen Vektorraum-Isomorphismus Tp h : Tp M → T0 Rn .
Als nächstes wollen wir die Dimension von Tp M bestimmen. Nach der intuitiven
Vorstellung wie vor (2.10) beschrieben erwarten wir, daß dim Tp M = n ist. Nach dem
zuvor Gesagten genügt es, dim T0 Rn auszurechnen. Um dies zu tun, benötigen wir das
folgende Lemma.
(2.15) Lemma. Sei Br (p) ⊆ Rn die offene Kugel um p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn mit Radius
r, wobei r = ∞ zugelassen ist und B∞ (p) = Rn bedeute. Sei f : Br (p) → R eine glatte
Funktion. Dann gibt es glatte Funktionen f1 , . . . , fn : Br (p) → R mit
f (x) = f (p) +
n
X
(xi − pi ) · fi (x)
i=1
für alle x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Br (p), und fi (p) =
i-ten Komponente im Punkt p.
∂f
∂xi (p)
ist die Ableitung von f nach der
Beweis. Setzt man
Z
fi (x) :=
0
1
∂f
(p1 + t(x1 − p1 ), . . . , pn + t(xn − pn )) dt,
∂xi
so gilt
Z
1
d
f (p1 + t(x1 − p1 ), . . . , pn + t(xn − pn )) dt
0 dt
Z 1
n
X
∂f
=
(xi − pi )
(p1 + t(x1 − p1 ), . . . , pn + t(xn − pn )) dt
∂x
i
0
i=1
f (x) − f (p) =
=
n
X
(xi − pi ) · fi (x).
i=1
Außerdem ist
Z
fi (p) =
0
1
∂f
∂f
(p1 , . . . , pn )dt =
(p).
∂xi
∂xi
16
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
(2.16) Satz. Die partiellen Ableitungen
∂
∂
: C ∞ (0) → R : f 7→
f (0),
∂xi
∂xi
ausgewertet an der Stelle 0, bilden eine Basis von T0 Rn . Insbesondere ist dim Tp M =
dim T0 Rn = n.
Beweis. Aus der Gleichung
n
X
ai
i=1
∂
=0
∂xi
folgt für die k-te Koordinatenfunktion xk
ak =
n
X
ai
i=1
∂
xk = 0,
∂xi
d.h. die partiellen Ableitungen an der Stelle 0 sind linear unabhängig. Wir wollen nun
zeigen, daß diese auch den Vektorraum T0 Rn erzeugen. Sei dazu D ∈ Der (0) und ak :=
D0 xk . Betrachtet man die partiellen Ableitungen als Elemente von Der (0), so ist die
Abbildung
n
X
∂
C := D −
ai
∂xi
i=1
eine Derivation von C ∞ (p), und es gilt C0 xk = 0 nach Konstruktion. Eine Funktion
f ∈ C ∞ (0) läßt sich nach Lemma (2.15) schreiben als
f = f (0) +
n
X
xi · fi
i=1
und wir erhalten hieraus
Cf = C(f (0)) +
n
X
Cxi · fi +
i=1
n
X
Cfi · xi ,
i=1
wobei wir f (0) als konstante Abbildung von M nach R mit Wert f (0) auffassen. Wegen
X0 (gh) = X(gh)(0) = (g · Xh + h · Xg)(0) = g(0) · X0 h + h(0) · X0 g
für alle X ∈ Der (0) und alle f, g ∈ C ∞ (0) folgt
C0 f = C0 (f (0)) +
n
X
C0 xi · fi (0) +
i=1
|
{z
=0
}
|
n
X
C0 fi · xi (0) = 0,
i=1
{z
=0
}
| {z }
=0
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
d.h. wir haben
D=
n
X
i=1
ai
17
∂
∂xi
wie gewünscht.
Bemerkung. (a) Der obige Beweis funktioniert immer noch, wenn man anstelle von
D ∈ Der (0) nur voraussetzt, daß D : C ∞ (0) → R eine lineare Abbildung mit D(f g) =
f (0)Dg + g(0)Df für alle f, g ∈ C ∞ (0) ist.
(b) Ist h : U → Rn eine Karte von M um p mit h(p) = 0, so ist die Menge
n
n
∂
−1 ∂
−1 ∗
Tp h (
=
)
◦h
∂xi i=1
∂xi
i=1
eine Basis von Tp M . Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht, schreiben wir für für
∂
∂
−1 ∗
wieder kurz ∂x
.
∂xi ◦ h
i
(2.17) Satz. Sei f : M m → N n eine glatte Abbildung in p ∈ M und seienn hM obzw. hN
m
∂
lokale Koordinaten um p bzw. um f (p). Dann wird bezüglich der Basen ∂x
und
i
i=1
n on
∂
von Tp M bzw. von Tf (p) N die Tangentialabbildung T0 f˜ von f˜ = hN ◦ f ◦ h−1
M
∂yj
j=1
beschrieben durch die Jacobi-Matrix Df˜(0) von f˜ = (f˜1 , . . . , f˜n ) im Punkt 0 via
!
˜j
∂
f
(0) · x.
Df˜(0) : Rm → Rn : x 7→
∂xi
ji
Beweis. Durch die Einführung lokaler Koordinaten haben wir folgendes kommutative
Diagramm
M
hM
hN
?
R
f N
m
f˜ - ?
Rn
wobei f˜(0) = 0 ist. Für ϕ ∈ C ∞ (0) folgt aus der Definition des Differentials
T0 f˜(X0 )(ϕ) = X0 ◦ f˜∗ (ϕ) = X0 (ϕ ◦ f˜)
für alle X0 ∈ T0 Rm . Mit Hilfe der Kettenregel gilt daher
n
X ∂ϕ
∂
∂
∂ f˜j
T0 f˜(
)(ϕ) =
(ϕ ◦ f˜)(0) =
(0) ·
(0)
∂xi
∂xi
∂yj
∂xi
j=1
18
und somit ist
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
n
X
∂
∂ f˜j
∂
˜
T0 f (
)=
(0) ·
∂xi
∂xi
∂yj
j=1
wie behauptet.
Da wir schon wissen, daß die Kettenregel für glatte reelle Funktionen gilt, folgt aus
dem letzten Satz die Kettenregel für Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten.
(2.18) Korollar. Seien f : K k → M m und g : M m → N n glatte Abbildungen und sei
p ∈ K. Dann gilt die Kettenregel
Tp (g ◦ f ) = Tf (p) g ◦ Tp f.
(2.19) Satz. Sei M n eine Mannigfaltigkeit und sei (h, U ) eine Karte von M . Sei X eine
Derivation von C ∞ (U ). Dann gibt es Abbildungen γi ∈ C ∞ (U ) mit
X=
n
X
γi
i=1
Insbesondere ist
∂
.
∂xi
∂
∂
,...,
∂x1
∂xn
eine Basis von Der (U ).
Beweis. Sei p ∈ U und h(q) = (h1 (q), . . . , hn (q)) für alle q ∈ U . Für f ∈ C ∞ (U ) setzen
wir f˜ = f ◦ h−1 . Sei V ⊆ M eine Umgebung von p, so daß W = h(V ) eine Kugel um h(p)
mit Radius r ist. Nach (2.15) können wir die Funktion f˜ auf W schreiben als
f˜(x) = f˜(h(p)) +
n
X
(xi − hi (p))f˜i (x)
i=1
mit f˜i ∈ C ∞ (W ) und
∂ f˜
f˜i (h(p)) =
(h(p)).
∂xi
Damit gilt für alle q ∈ V
f (q) = f (p) +
n
X
i=1
(hi (q) − hi (p))fi (x)
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
19
mit fi (q) = f˜i (h(q)) ∈ C ∞ (V ). Damit ist
fi (p) =
∂ f˜
(h(p)).
∂xi
Analog wie im Beweis von (2.16) ergibt die Anwendung der Derivation X mit anschließender Auswertung im Punkt q = p
n
X
∂ f˜
(h(p))(Xhi )(p).
(Xf )(p) =
∂x
i
i=1
Bezeichnen wir die Derivation
C ∞ (U ) → C ∞ (U ) : f 7→
erneut mit
∂ f˜
∂xi
!
◦h
∂
,
∂xi
so folgt mit γi = Xhi die erste Behauptung. Die zweite Behauptung folgt aus (2.16).
(2.20) Satz. Seien M m und N n glatte Mannigfaltigkeiten und sei f : U ⊆ M → N
glatt auf einer offenen Teilmenge U . Ist die Tangentialabbildung Tp f : Tp M → Tf (p) N
ein Vektorraum-Isomorphismus, so ist f ein lokaler Diffeomorphismus um p, d.h. es gibt
Umgebungen V ⊆ U von p und W ⊆ N von f (p), so daß die Einschränkung f
:V →W
V
ein Diffeomorphismus ist.
Beweis. Seien hM : V 0 → Rm und hN : W 0 → Rn Karten um p bzw. um f (p). Wir
schreiben g = hN ◦ f ◦ h−1
M mit g(0) = 0. Nach (2.17) wird T0 g beschrieben durch
Dg(0) : R
m
n
→ R : x 7→
∂gi
∂xj
(0) · x.
ij
Nach Voraussetzung und dem Satz über die inverse Abbildung ist die Abbildung g lokal
diffeomorph in einer Umgebung von 0. Da die Karten hM und hN Diffeomorphismen sind,
−1
ist auch h−1
N ◦ g ◦ hM = f ein lokaler Diffeomorphismus um hM (0) = p.
(2.21) Definition. Es sei f : M m → N n ein glatte Abbildung. Die Abbildung heißt
Immersion, falls die lineare Abbildung Tp f für alle p ∈ M den Rang m hat. Sie heißt Submersion, wenn Tp f für alle p ∈ M den Rang n hat. Die Abbildung f heißt eine Einbettung,
wenn f (M ) eine Untermannigfaltigkeit von M und f : M → f (M ) ein Diffeomorphismus
ist. Hat Tp f einen Rang kleiner als m, so heißt p ein singulärer oder kritischer Punkt von
20
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
f und f (p) heißt ein singulärer oder kritischer Wert von f . Nicht singuläre Punkte und
Werte werden regulär genannt.
(2.22) Der Tangentialraum (alternative Definition). Sei Wp die Menge aller glatten
Abbildungen (Kurven) c : [−ε, ε] → M mit c(0) = p ∈ M . Wir definieren zwei solche Wege
c und d als äquivalent, in Zeichen c ∼p d, falls für jede Funktion f ∈ C ∞ (p)
(f ◦ c)0 (0) = (f ◦ d)0 (0)
gilt, d.h. wenn sie die gleiche ,,Ableitung von Funktionen in Richtung der Kurve” definieren.
Die zugehörigen Äquivalenzklassen werden mit [c]p bezeichnet. Durch die lineare Abbildung
Dc : C ∞ (p) → R : f 7→ (f ◦ c)0 (0)
wird ein Tangentialvektor von Tp M definiert, denn nach der Bemerkung von (2.16) folgt
aus (2.16) und (2.19), daß eine lineare Abbildung Xp : C ∞ (p) → R genau dann ein
Tangentialvektor ist, wenn Xp (f g) = f (p)Xp g + g(p)Xp f für alle f, g ∈ C ∞ (p) gilt. Die
Derivation Dc wird die Richtungsableitung in Richtung [c]p genannt. Die Zuordnung
Wp ∼p → Tp M : [c]p 7→ Dc
Pn
∂
ist D = Dh−1 ◦c
ist injektiv nach Definition. Sie ist auch surjektiv, denn für D = i=1 ai ∂x
i
m
m
mit c : R → R : t 7→ p + (ta1 , . . . , tan ), wobei h : U → R eine Karte mit h(p) = 0
ist. Die Tangentialabbildung Tp f einer glatten Abbildung f : M → N läßt sich wie folgt
beschreiben. Die Abbildung f induziert die Abbildung
Wp ∼p → Wf (p) ∼
: [c]p 7→ [f ◦ c]f (p) ,
f (p)
und man erhält
Tp f : Dc 7→ Df ◦c .
Diese Definition stimmt mit der usprünglichen Definition aus (2.13) überein, denn es gilt
Df ◦c (ϕ) = (ϕ ◦ f ◦ c)0 (0) = Dc (ϕ ◦ f ) = Tp f (Dc )(ϕ).
(2.23) Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Eine Familie {ϕi }i∈I von glatten
Funktionen ϕi : M → [0, 1] heißt eine (glatte) Zerlegung der Eins, wenn es zu jedem Punkt
x ∈ M eine Umgebung Ux von x gibt, so daß nur endlich viele Funktionen ϕi auf Ux nicht
verschwinden und
X
ϕi (u) = 1
i∈I
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
21
für alle u ∈ M gilt. Eine Zerlegung der Eins {ϕi }i∈I heißt einer Überdeckung {Vj }j∈J von
M aus offenen Mengen Vj untergeordnet, falls für jedes i ∈ I der Träger
supp ϕi := {x ∈ M | ϕi (x) 6= 0}
in einer der Mengen Vj enthalten ist.
(2.24) Lemma. Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit und sei U = {Ui }i∈I eine offene
Überdeckung von M . Dann gibt es einen Atlas AU = {(hk , Vk )}k∈N von M mit folgenden
Eigenschaften:
(AT1)
(AT2)
(AT3)
(AT4)
Zu jedem Vk gibt es ein Ui mit Vk ⊆ Ui .
Jeder Punkt x ∈ M liegt nur in endlich vielen Mengen Vk .
Für alle k ∈ N ist hk (Vk ) = {x ∈ Rn | |x| < 3}.
n
Die Urbilder Wk := h−1
k ({x ∈ R | |x| < 1}) überdecken M .
Beweis. Da M eine abzählbare Basis besitzt, können wir o.E. voraussetzen, daß U abzählbar ist. Als lokalkompakter Raum mit abzählbarer Basis besitzt M eine Familie {Km }m∈N
S
kompakter Mengen Km ⊆ M mit Km ⊆ (Km+1 )◦ und M = m∈N Km , siehe etwa Querenburg, Mengentheoretische Topologie, Satz 8.22b. Zu jedem m ∈ N gibt es aufgrund der
Kompaktheit der Mengen Km endlich viele Karten hk : Vk → {x ∈ Rn | |x| < 3} mit
◦
Vk ⊆ Km+2
\ Km−1 und Vk ⊆ Ui für ein i ∈ I, so daß die Urbilder Wk die Menge
◦
Km+1 \ Km überdecken. Dies ergibt insgesamt abzählbar viele Karten, die (AT1) bis
(AT4) erfüllen.
(2.25) Lemma. Zu jedem Paar (r, R) positiver reeller Zahlen mit R > r gibt es eine
glatte Funktion ψ : Rn → [0, 1] mit
ψ −1 (1) = {x ∈ Rn | |x| ≤ r}
und ψ −1 (0) = {x ∈ Rn | |x| ≥ R} .
Eine solche Funktion wird Glockenfunktion genannt.
Beweis. Die Funktion
α : R → R : x 7→
0
falls x ≤ 0
exp(−x−2 ) falls x > 0
ist glatt und es gilt α−1 (0) = {x ∈ R | x ≤ 0}. Deshalb ist auch
β : R → R : x 7→
α(x)
α(x) + α(R − x)
glatt und es ist β −1 (0) = {x ∈ R | x ≤ 0}, sowie β −1 (1) = {x ∈ R | x ≥ R}. Die Funktion
ψ : Rn → R : x 7→ 1 − β(|x| − r)
22
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
ist glatt und erfüllt die Aussagen des Lemmas. Beachte dabei, daß die Betragsfunktion
bei x = 0 nicht differenzierbar ist. In einer Umgebung von −r ist jedoch β konstant, d.h.
ψ ist in einer Umgebung von 0 konstant und daher glatt.
(2.26) Folgerung. Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit und sei U = {Ui }i∈I eine offene
Überdeckung von M . Dann gibt es eine zu U untergeordnete glatte Zerlegung der Eins.
Beweis. Sei AU = {hk : Vk → Rn }k∈N der nach Lemma (2.24) zu U assoziierte Atlas.
Wähle nach (2.25) eine Glockenfunktion ψ : Rn → R mit ψ −1 (1) = {x ∈ Rn | |x| ≤ 1} und
ψ −1 (0) = {x ∈ Rn | |x| ≥ 2}. Dann ist für k ∈ N die Abbildung
ψk : M → R : x 7→
n
ψ ◦ hk (x) falls x ∈ Vk
0
sonst
glatt nach (AT3). Nach (AT2) ist
s=
∞
X
ψk
k=1
wohldefiniert und glatt. Wegen (AT4) und wegen ψ ≥ 0 ist s(x) 6= 0 für alle x ∈ M . Also
bildet die Familie s−1 · ψk k∈N eine zu U untergeordnete glatte Zerlegung der Eins. (2.27) Folgerung. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und seien A und B zwei nichtleere,
abgeschlossene, disjunkte Mengen aus M . Dann gibt es eine glatte Funktion ϕ : M → R
mit ϕ(A) = {0} und ϕ(B) = {1}. Die Abbildung ϕ wird eine (glatte) Urysohn-Funktion
auf M genannt.
Beweis. Sei {ϕn }n∈N eine {M \ A, M \ B} untergeordnete glatte Zerlegung der Eins. Setzt
man J = {n ∈ N | supp ϕn ⊆ M \ A}, so ist
ϕ=
X
ϕj
j∈J
die gesuchte Abbildung, denn für a ∈ A ist ϕ(a) = 0 nach Definition von J. Für b ∈ B
mit ϕn (b) 6= 0 ist b ∈ supp ϕn , also supp ϕn 6⊆ M \ B. Da {ϕn }n∈N der Überdeckung
{M \ A, M \ B} untergeordnet ist, folgt supp ϕn ⊆ M \ A, also n ∈ J. Damit ist 1 =
P
P
n∈N ϕn (b) =
j∈J ϕj (b) = ϕ(b).
(2.28) Folgerung. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei c : R → M eine einfache
reguläre Kurve. Sei g : R → R glatt und sei [a, b] ⊆ R, so daß eine Karte (h, U ) existiert
mit c([a, b]) ⊆ U . Dann gibt es eine glatte Funktion G : M → R mit G(c(t)) = g(t) für
alle t ∈ [a, b].
Kapitel 2: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
23
Beweis. Sei t0 ∈ [a, b] und sei h : U → Rn : q 7→ (h1 (q), . . . , hn (q)) eine Karte um
c(t0 ). Da c regulär ist, gibt es ein i ∈ {1, . . . , n} so daß die Abbildung [a, b] → R : t 7→
(hi ◦ c)(t)) eine nichtverschwindende Ableitung im Punkt t0 besitzt. Nach dem Satz über
die Umkehrfunktion gibt es eine glatte Funktion yi : (c, d) → R mit (yi ◦ hi ◦ c)(t) = t.
Außerdem gibt es eine offene Umgebung V ⊆ U um c(t0 ), so daß g̃ := g◦yi ◦xi : V → R glatt
ist. Da M lokalkompakt ist, ist M regulär. Also gibt es offene Umgebungen W, W 0 ⊆ V
um c(t0 ) mit W ⊆ W 0 ⊆ W 0 ⊆ V . Wegen W ∩ M \ W 0 = ∅ gibt es nach (2.27) eine glatte
Urysohn-Funktion ϕ : M → R mit ϕ(W ) = {1} und ϕ(M \ W 0 ) = {0}. Dann läßt sich die
Abbildung ϕ · g̃ durch die Nullfunktion zu einer glatten Abbildung G̃ : M → R fortsetzen.
Insbesondere ist G̃(c(t)) = g(t) in einer Umgebung von t0 in [a, b]. Das folgende Diagramm
zeigt die bisherige Situation.
R
I
@
@ yi
c
@
@
g̃
@
?
- R
R
- M
h
i
G
g
Da [a, b] kompakt ist, ist auch c([a, b]) kompakt. Daher gibt es endlich viele offene Mengen
U1 , . . . , Un ⊆ U und glatte Abbildungen G̃i : Mn→oR mit G̃i (c(t)) = g(t) für alle t ∈ [a, b]
mit c(t) ∈ Ui . Wähle eine offene Überdeckung Ũi
von M \ c([a, b]). Dann ist
i∈I
n o
U = {U1 , . . . , Un } ∪ Ũi
i∈I
eine Überdeckung von M . Nach (2.26) gibt es eine U untergeordnete Zerlegung der Eins
{sk }k∈N . Setze J1 := {i ∈ N | supp si ⊆ U1 }, sowie Jk := {i ∈ N | supp si ⊆ Uk } \ (J1 ∪ . . . ∪
Jk−1 ) für 1 < k ≤ n. Die Funktion


n
X
X
G̃i (q)
G : M → R : q 7→
sj (q)
i=1
j∈Ji
ist glatt und es gilt für t ∈ [a, b]


n
n X
X
X
X


G(c(t)) =
G̃i (c(t))
sj (c(t)) = g(t)
sj (c(t)) = g(t).
i=1
j∈Ji
i=1 j∈Ji
|
{z
=1
}
24
Kapitel 3: Flächen I, Die erste Fundamentalform
KAPITEL 3
Flächen I, Die erste Fundamentalform
(3.1) Definition. Eine Teilmenge S ⊆ Rn heißt (reguläre) m-Fläche, falls es zu jedem
Punkt p ∈ S eine offene Umgebung V ⊆ Rn , eine offene Menge U ⊆ Rm , und einen glatten
regulären (d.h. das Differential DF (x) ist für alle x ∈ U injektiv) Homöomorphismus
F : U → V ∩ S gibt. Die Abbildung F heißt eine Parametrisierung von S um p.
(3.2) Beispiele. (a) Ist g : U ⊆ Rm → Rn−m eine glatte Funktion, so ist die Abbildung
F : U → Rn : x 7→ (x, g(x)) eine Parametrisierung der m-Fläche S = {(x, g(x)) | x ∈ U },
genannt der Graph von g.
(b) Sei f : U ⊆ Rn → Rn−m eine glatte Funktion und sei a ∈ Rm ein regulärer Wert
von f , d.h. es hat Df (p) Rang n − m für alle p ∈ U mit f (p) = a. Dann folgt aus dem
Satz über implizite Funktionen (siehe Spivak [15], 2-12), daß die Menge S = f −1 (a) =
{x ∈ U | f (x) = a} eine m-Fläche ist, die Niveaufläche genannt wird.
Bemerkung. Eine Fläche S ⊆ Rn ist stets eine glatte Mannigfaltigkeit im Sinne von Definition (2.4), denn S ist bzgl. der Spurtopologie von Rn ein Hausdorff-Raum mit abzählbarer
Basis und die Menge der Inversen aller Parametrisierungen von S ergibt einen glatten Atlas
von S, da alle Kartenwechsel glatt sind aufgrund der Injektivität der Differentiale (Satz
über die Umkehrfunktion, siehe [15], 2-11). Deshalb ist eine Fläche S im wesentlichen
unabhängig von der Wahl der Parametrisierung, d.h. zwei Parametrisierungen F : U → S,
G : V → S mit F (U ) ∩ G(V ) 6= ∅ unterscheiden sich nur durch einen Diffeomorphismus
G−1 ◦ F .
(3.3) Satz. Sei S ⊆ Rn eine m-Fläche. Dann gibt es zu jedem p ∈ S eine offene Umgebung
W von p in S, so daß W der Graph einer glatten Funktion H : Rm → Rn−m ist.
Beweis. Nach Definition gibt es zu p ∈ S eine Parametrisierung F : U → W := V ∩ S
von S, wobei U ⊆ Rm offen ist. Sei a ∈ U mit F (a) = p. Das Differential DF (a) von
F in a ist bzgl. der kanonischen Basen durch eine n × m-Matrix A beschrieben. Da nach
Voraussetzung der Kern der linearen Abbildung λ : x 7→ Ax : Rm → Rn trivial ist, hat
A den Rang m, d.h. es existieren m linear unabhängige Zeilen in A. Durch etwaiges
Permutieren der kanonischen Basis können wir annehmen, daß die ersten m Zeilen von A
Kapitel 3: Flächen I, Die erste Fundamentalform
25
n
linear unabhängig sind. Sei πm
: Rn → Rm : (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xm ) die entsprechende
n
Projektion. Dann ist die Komposition G := πm
◦ F : U → Rm regulär im Punkt F −1 (p).
Nach dem Satz über die Umkehrfunktion ist G−1 in einer Umgebung von p differenzierbar
und regulär. Ohne Einschränkung können wir annehmen, daß diese Umgebung gerade
n
n
: Rn → Rn−m : (x1 , . . . , xn ) 7→ (xm+1 , . . . , xn ) ist dann
πm
(W ) ist. Mit πn−m
n
n
n
F (x) = (πm
(F (x)), πn−m
(F (x))) = (G(x), πn−m
(F (x)))
für alle x ∈ U . Damit ist
n
n
W = (u, πn−m
◦ F ◦ G−1 (u)) u ∈ πm
(W )
n
der Graph der glatten Funktion H := πn−m
◦ F ◦ G−1 : Rm → Rn−m .
(3.4) Korollar. Sei S ⊆ Rn eine m-Fläche. Dann gibt es zu jedem p ∈ S eine offene
Umgebung W von p in S, so daß W = g −1 (0) Niveaufläche einer glatten Funktion g :
Rn → Rn−m ist, die in p regulär ist.
Beweis. Zu p ∈ S gibt es nach (3.3) eine offene Umgebung V ⊆ Rn , so daß W = V ∩ S der
Graph einer glatten Funktion f : U ⊆ Rm → Rn−m ist, also p = (x, f (x)) für ein x ∈ U .
Setzt man
g : U × Rn−m → Rn−m : (x, a) 7→ a − f (x),
so ist W = {(x, a) ∈ U × Rn−m | g(x, a) = 0} und g ist regulär in p, d.h. der Rang von
Dg(p) ist n − m.
(3.5) Beispiele. Sei f : R3 → R : x 7→ a1 x21 + a2 x22 + a3 x23 mit a = (a1 , a2 , a3 ) 6= 0. Dann
ist 1 ein regulärer Wert von f , denn für x ∈ R3 mit f (x) = 1 gibt es ein i ∈ {1, 2, 3} mit
∂f
ai x2i 6= 0, und daher ist ∂x
(x) = 2ai xi 6= 0. Also ist nach Beispiel (3.2)(b) die Niveaufläche
i
−1
Q := f (1) eine Fläche in R3 . Wir betrachten einige Spezialfälle:
(a) a = (1, 1, 1). Dann ist Q die Einheitssphäre in R3 .
(b) Sind alle ai positiv, so ist Q ein Ellipsoid.
(c) Für a = (−1, −1, 1) ergibt sich die Gleichung x21 + x22 = x23 − 1 eines zweischaligen
Hyperboloids. Diese Fläche ist unzusammenhängend.
(d) Ist a = (1, 1, −1), so erhält man ein einschaliges Hyperboloid.
(e) Für a = (1, 1, 0) bekommt man den Zylinder.
(3.6) Definition. Sei S ⊆ Rn eine m-Fläche und sei p ∈ S. Ein Vektor v ∈ Rn heißt
Tangentialvektor an S in p, wenn es eine glatte parametrisierte Kurve c : [−ε, ε] → S
gibt, so daß c(0) = p und c0 (0) = v gilt. Die Menge aller Tangentialvektoren an S in p
bezeichnen wir wieder mit Tp S.
26
Kapitel 3: Flächen I, Die erste Fundamentalform
(3.7) Satz. Sei F : U → S ⊆ Rn eine Parametrisierung der m-Fläche S. Dann ist die
Menge aller Tangentialvektoren in b = F (a) ein m-dimensionaler Untervektorraum von
Rn , der gegeben ist durch DF (a)(Rm ).
Beweis. Sei v ein Tangentialvektor an S in b. Dann gibt es eine glatte Kurve c : [−1, 1] → S
mit c(0) = b und c0 (0) = v. Dann ist die Komposition d : F −1 ◦ c : [−1, 1] → U eine glatte
Kurve in U mit d(0) = a. Außerdem ist
v = c0 (0) = DF (d(0)) · d0 (0) = DF (a) · d0 (0) ∈ DF (a)(Rm ).
Ist umgekehrt v ∈ DF (a)(Rm ), so gibt es w ∈ Rm mit v = DF (a)(w). Betrachte die glatte
Kurve d : [−1, 1] → Rm : t 7→ a + tw. Die Kurve c = F ◦ d : [−ε, ε] → S ist für ε > 0
hinreichend klein ebenfalls glatt und es ist c(0) = F (a) = b und c0 (0) = DF (d(0)) · d0 (0) =
DF (a)(w) = v.
(3.8) Satz. Sei S ⊆ Rn eine Niveaumenge einer glatten Funktion f : Rn → Rn−m vom
Rang n − m, d.h. es ist S = f −1 (b). Dann ist die Menge aller Tangentialvektoren in a ∈ S
gegeben durch ker Df (a).
Beweis. Sei v ein Tangentialvektor an S in a. Dann gibt es eine glatte Kurve c : [−1, 1] → S
mit c(0) = a und c0 (0) = v. Außerdem ist f (c(t)) = b für alle t ∈ [−1, 1]. Somit folgt
0 = Df (a)(c0 (0)) = Df (a)(v), also v ∈ ker Df (a). Die Dimensionsformel für lineare
Abbildungen liefert dim ker Df (a) + dim Df (a)(Rn ) = n, also ist dim ker Df (a) = m.
Wegen dim Ta S = m folgt damit ker Df (a) = Ta S.
Bemerkung. Nach der alternativen Beschreibung des Tangentialraumes in Kapitel 2 ist
klar, daß Tangentialvektoren auch im Sinne von (2.22) interpretiert werden können, wenn
wir S als glatte Mannigfaltigkeit auffassen. Deshalb können die Resultate aus Kapitel 2
im Rahmen der jetzigen Definitionen interpretiert werden. Ein wichtiges Ergebnis dabei
ist:
(3.9) Satz. Seien S1 ⊆ Rm und S2 ⊆ Rn zwei Flächen und sei f : S1 → S2 glatt
0
im Punkt p, d.h. es gibt Parametrisierungen F1 : U1 ⊆ Rm → S1 mit F1 (0) = p und
0
F2 : U2 ⊆ Rn → S2 mit F2 (0) = f (p), so daß F2−1 ◦ f ◦ F1 : U1 → U2 glatt ist im Punkt 0.
Dann ist die Tangentialabbildung Tp f gegeben durch
Tp f : Tp S1 → Tf (p) S2 : c0 (0) 7→ (f ◦ c)0 (0),
wobei c : [−1, 1] → S1 eine Kurve ist mit c(0) = p.
(3.10) Erinnerung an Bilinearformen. Eine Bilinearform f : Rn × Rn → R auf
dem Rn ist eine in beiden Argumenten lineare Abbildung f , d.h. es ist f (ax + bx0 , y) =
Kapitel 3: Flächen I, Die erste Fundamentalform
27
af (x, y) + bf (x0 , y) und f (x, ay + by 0 ) = af (x, y) + bf (x, y 0 ) für alle x, x0 , y, y 0 ∈ Rn und
alle a, b ∈ R.
Die zu f gehörige quadratische Form q : Rn → R ist definiert durch q(x) := f (x, x).
Insbesondere gilt q(ax) = a2 q(x). Dies rechtfertigt die Bezeichnung quadratisch. Falls f
symmetrisch ist (also falls f (x, y) = f (y, x) für alle x, y ∈ Rn gilt), so ist f durch q via
f (x, y) = 12 (q(x + y) − q(x) − q(y)) eindeutig bestimmt. Ist {b1 , . . . , bn } eine Basis von Rn ,
P
P
so gilt mit fij = f (bi , bj ), x = xi bi und y = yi bi die Darstellung
f (x, y) =
n
X
fij xi yj .
i,j=1
Wählt man speziell für {b1 , . . . , bn } die kanonische Basis, so ist
f (x, y) = xt F y
mit F = (fij )i,j .
Ist f symmetrisch, so ist die Matrix F ebenfalls symmetrisch. Die Umkehrung gilt natürlich
ebenso. Eine symmetrische Bilinearform f heißt Skalarprodukt, falls sie positiv definit ist,
d.h. es ist q(x) > 0 für alle x 6= 0. Das gewöhnliche Skalarprodukt f (x, y) = hx, yi = xt y ist
ein Skalarprodukt in diesem Sinne und besitzt die Einheitsmatrix F = En als zugehörige
Matrix.
Ist α : Rm → Rn eine lineare Abbildung, so ist durch g(x, y) := f (α(x), α(y)) eine Bilinearform auf Rm definiert. Diese heißt die von f und α induzierte Bilinearform. Hat α die
Matrixdarstllung A bzgl. gewisser Basen B1 und B2 von Rn und Rm , und hat f bzgl. B1
die Matrix F , so hat g bzgl. B2 die Matrixdarstellung G = At F A.
Sind {e1 , . . . , en } und {ẽ1 , . . . , ẽn } zwei Basen von Rn und sind F bzw. F̃ die zugehörigen
Matrixdarstellungen von f , so ist F̃ = At F A, wobei A die Transformationsmatrix zum
Basiswechsel ist.
Ist f eine symmetrische Bilinearform auf Rn und ist α : Rn → Rn linear mit f (α(x), y) =
f (x, α(y)) für alle x, y ∈ Rn , so heißt α selbstadjungiert bzgl. f . Bezüglich einer Orthonormalbasis wird α durch eine symmetrische Matrix beschrieben.
(3.11) Die erste Fundamentalform. Sei S ⊆ Rn eine m-Fläche und sei p ∈ S. Das
Skalarprodukt
gp : Tp S × Tp S → R : (x, y) 7→ hx, yi ,
heißt die erste Fundamentalform von S in p, d.h. gp ist die Einschränkung des gewöhnlichen
Skalarproduktes h , i von Rn auf den m-dimensionalen Unterraum Tp S. Die erste Fundamentalform ist ein Spezialfall einer Riemannschen Metrik, siehe dazu das folgende Kapitel.
(3.12) Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform. Sei F : U ⊆ Rm → S eine
Parametrisierung der Fläche S bei y = F (x). Nach (3.7) ist dann DF (x) : Rm → Ty S ein
28
Kapitel 3: Flächen I, Die erste Fundamentalform
linearer Isomorphismus zwischen Rm und Ty S. Die vom euklidischen Skalarprodukt h , i
k
auf Rm und DF (x) = ( ∂F
∂xl (x))kl induzierte Bilinearform gy auf Ty S ist bzgl. der Basis
n
om
∂F
gegeben durch die Matrix
∂xi (x)
i=1
G(x) =
(gij (x))m
i,j=1 ,
wobei gij (x) =
∂F
∂F
(x),
(x) .
∂xi
∂xj
In dieser Schreibweise ist dann gy (u, v) = ut G(x)v für alle u, v ∈ Ty S. Wendet man das
∂F
∂F
, . . . , ∂x
)
Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die kanonische Basis ( ∂x
1
m
von Tp S an, so kann man stets erreichen, daß G(p) die Einheitsmatrix ist.
(3.13) Lemma. Es sei S ⊆ Rn eine m-Fläche mit Parametrisierungen F : U ⊆ Rm → S
und F̃ : Ũ ⊆ Rm → S. Ist y = F (x) = F̃ (x̃), so gilt für die Matrixdarstellungen G und G̃
der zugehörigen ersten Fundamentalformen G̃ = At GA, wobei A = A(x̃) die Jacobi-Matrix
des Parameterwechsels h = F −1 ◦ F̃ an der Stelle x̃ ist.
Beweis. Wegen F̃ = F ◦ h ist nach der Kettenregel
m
X ∂F
∂ F̃
∂hj
(x̃) =
(x) ·
(x̃).
∂ x̃i
∂x
∂
x̃
j
i
j=1
om
n
∂F
(x)
und
Damit folgt die Behauptung aus (3.10) und (3.12), da die beiden Basen ∂x
i
i=1
n
om
∂ F̃
nach obiger Gleichung durch die Jacobi-Matrix von h ineinander übergeführt
∂ x̃i (x̃)
i=1
werden.
(3.14) Beispiele.
(a) Die Hyperebene H = a0 + t1 a1 + . . . + tn an ∈ Rn+1 (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn ⊆ Rn+1 mit
a1 , . . . , an ∈ Rn+1 linear unabhängig. Dann ist
F : Rn → Rn+1 : (t1 , . . . , tn ) 7→ a0 + t1 a1 + . . . + tn an
eine globale Parametrisierung von H und es gilt
∂F
(t1 , . . . , tn ) = ai
∂ti
und
gij (t1 , . . . , tn ) = hai , aj i .
(b) Die Sphäre Sr = x ∈ R3 |x| = r in R3 . Die Sphäre Sr läßt sich parametrisieren
durch F : (0, π) × (0, 2π) → R3 : (s, t) 7→ (r sin s cos t, r sin s sin t, r cos s). Damit folgt
∂F
(s, t) = (r cos s cos t, r cos s sin t, −r sin s),
∂s
∂F
(s, t) = (−r sin s sin t, r sin s cos t, 0),
∂t
Kapitel 3: Flächen I, Die erste Fundamentalform
29
und
g11 (s, t) = r2 , g12 (s, t) = 0, g22 (s, t) = r2 sin2 s.
(c) Der Zylinder Zr = {(r cos t, r sin t, s) | s ∈ R, t ∈ (0, 2π)}. Es ist
∂F
(s, t) = (0, 0, 1),
∂s
∂F
(s, t) = (−r sin t, r cos t, 0),
∂t
woraus
g11 (s, t) = 1, g12 (s, t) = 0, g22 (s, t) = r2
folgt.
(d) Der Torus Tr = {((r1 + r2 cos s) cos t, (r1 + r2 cos s) sin t, r2 sin s) | s, t ∈ (0, 2π)}. Es
ist
∂F
(s, t) = (−r2 sin s cos t, −r2 sin s sin t, r2 cos s),
∂s
∂F
(s, t) = (−(r1 + r2 cos s) sin t, (r1 + r2 cos s) cos t, 0),
∂t
und
g11 (s, t) = r22 , g12 (s, t) = 0, g22 (s, t) = (r1 + r2 cos s)2 .
(e) Die Sattelfläche A = (s, t, s2 − t2 ) ∈ R3 s, t ∈ (−1, 1) . Es ist
∂F
(s, t) = (1, 0, 2s),
∂s
∂F
(s, t) = (0, 1, −2t),
∂t
und
g11 (s, t) = 4s2 + 1, g12 (s, t) = −4st, g22 (s, t) = 4t2 + 1.
30
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
KAPITEL 4
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Die Idee der Riemannschen Mannigfaltigkeit beruht auf dem Begriff des Tangentialbündels. Um letzteres zu definieren, beginnen wir etwas allgemeiner mit Vektorraumbündeln. In diesem Kapitel sei M stets ein glatte Mannigfaltigkeit.
(4.1) Definition. Ein Tripel ξ = (E, π, B) heißt n-dimensionales reelles Vektorraumbündel, wenn E und B topologische Räume sind und π : E → B eine stetige surjektive
Abbildung ist, so daß folgende Axiome gelten:
(VB1) Jede Faser Eb := π −1 (b) ⊆ E ist ein n-dimensionaler reeller Vektorraum.
(VB2) Zu jedem Punkt b ∈ B gibt es eine Umgebung U ⊆ B und einen Homöomorphismus h : π −1 (U ) → U × Rn , so daß die Einschränkung hb := h
: Eb → {b} × Rn
Eb
für jedes b ∈ U ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
Der Raum E heißt der Totalraum, der Raum B heißt die Basis und die Abbildung π die
Projektion des Bündels ξ. Die Abbildung (h, U ) aus Axiom (VB2) wird eine Bündelkarte
genannt. Das Bündel ξ heißt trivial, wenn eine Bündelkarte h : E → B × Rn existiert.
Deshalb wird Axiom (VB2) auch Axiom der lokalen Trivialität genannt.
Eine stetige Abbildung s : B → E heißt Schnitt des Bündels ξ, falls s(b) ∈ Eb ist für
alle b ∈ B. Die Abbildung s0 : B → E : b 7→ 0 ∈ Eb ist ein Schnitt von ξ, genannt der
Nullschnitt.
Bemerkung. Ist s : B → E ein Schnitt eines Vektorraumbündels ξ = (E, π, B), so ist
s : B → s(B) ⊆ E eine Homöomorphismus, denn die Umkehrabbildung s−1 ist gerade die
Einschränkung π
.
s(B)
(4.2) Beispiele. (a) Der Zylinder Z = S1 × R läßt sich als ein triviales 1-dimensionales
Vektorraumbündel (Z, π, S1 ) ansehen, wobei π : Z → S1 die Projektion auf die zweite
Komponente ist.
(b) Das offene Moebiusband läßt sich ebenfalls als ein 1-dimensionales Vektorraumbündel
deuten. Dieses ist aber nicht trivial.
(4.3) Definition. Sei ξ = (E, π, B) ein n-dimensionales Vektorbündel und sei A ⊆
B ein topologischer Unterraum von B. Dann ist ξA := (π −1 (A), π −1
, A) ein nπ (A)
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
31
dimensionales Vektorbündel über A, welches die Einschränkung von ξ auf A genannt wird.
Gibt es eine Teilmenge F ⊆ E, so daß es um jeden Punkt aus B eine Bündelkarte (h, U )
mit
h(π −1 (U ) ∩ F ) = U × Rk ⊆ U × Rn
gibt, so ist ξ F = (F, π , B) ein k-dimensionales Vektorbündel über B, welches ein kF
dimensionales Teilbündel von ξ genannt wird.
(4.4) Definition. Sei ξ = (E, π, B) ein n-dimensionales reelles Vektorraumbündel. Eine
S
Menge {(hi , Ui )}i∈I von Bündelkarten heißt Bündelatlas von ξ, falls i∈I Ui = B ist. Ist
Ui ∩ Uj 6= ∅, so heißen die Abbildungen
2
Ui ∩ Uj → GLn R ⊆ Rn : x 7→ (hj )x ◦ (hi )−1
x
Übergangsfunktionen des Atlanten.
(4.5) Definition. Sei ξ = (E, π, B) ein n-dimensionales reelles Vektorraumbündel über
einer glatten Mannigfaltigkeit B. Das Bündel ξ mit Bündelatlas A heißt glatt, falls alle
Übergangsfunktionen bzgl. A glatt sind.
Bemerkung. (a) Wie in der Bemerkung zu Definition (2.4) läßt sich der Bündelatlas
eines glatten Vektorraumbündels stets zu einem maximalen glatten Bündelatlas erweitern.
(b) Ist ξ = (E, π, B) ein glattes n-dimensionales reelles Vektorraumbündel über der kdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit B, so ist der Totalraum eine (n + k)-dimensionale
glatte Mannigfaltigkeit, denn die Bündelkarten von ξ definieren einen glatten Atlas auf E.
Um das Tangentialbündel ξ = (E, π, M ) einer glatten Mannigfaltigkeit M zu definieren, wird es notwendig sein, anstatt von einem topologischen Raum E nur von einer
Menge E auszugehen. In diesem Falle wird π nur als surjektiv und die Bündelkarten (h, U )
als bijektiv vorausgesetzt, so daß die Abbildungen hb : Eb → {b} × Rn lineare VektorraumIsomorphismen sind und alle Übergangsfunktionen glatt sein sollen. Man nennt ξ dann ein
Prä-Vektorbündel. Von dieser Situation ausgehend wollen wir der Menge E eine HausdorffTopologie mit abzählbarer Basis verpassen. Dazu wählen wir eine abzählbare Basis B von
M . Zu jedem Punkt p ∈ M gibt es eine Bündelkarte (hp , Up ), wobei Up eine offene
Umgebung von p in M ist. Wähle zu jedem p ∈ M eine Umgebung Bp ∈ B um p mit
Bp ⊆ Up . Zu jedem B ∈ B, welches in einer Bündelkartenumgebung UB liegt, sei hB
die Einschränkung der zu UB gehörigen Bündelkarte auf B. Da B abzählbar ist, ist auch
die Menge aller so definierten Paare (B, hB ) abzählbar. Nun definieren wir die Topologie
auf E als die Initialtopologie OE bzgl. aller Abbildungen hB : E → B × Rn . Diese hat
nach Konstruktion ebenfalls eine abzählbare Basis. Da die Abbildungen hB injektiv sind,
32
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
werden die Abbildungen hB : π −1 (B) → B × Rn bzgl. OE zu Homöomorphismen. Die
Hausdorff-Eigenschaft folgt aus dem Axiom der lokalen Trivialität.
(4.6) Satz. Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit mit Atlas A. Dann ist durch
TM :=
[
Tp M,
p∈M
π : TM → M : x 7→ b,
falls x ∈ Tb M ,
{hf | (f, U ) ∈ A} ,
wobei
hf : π −1 (U ) → U × Rn : D 7→ {p} × (Df1 , . . . , Dfn ),
falls D ∈ Tp M und f = (fi )ni=1 ist, ein glattes n-dimensionales Vektorraum-Bündel
TM = (TM, π, M )
definiert. Das Bündel TM wird das Tangentialbündel von M genannt. Nach obiger Bemerkung ist TM eine 2n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit.
Beweis. Sei (f, U ) eine Karte von M . Nachn (2.17)
on läßt sich
n die
on Tangentialabbildung
∂
Tp f als Jacobi-Matrix Df (0) bzgl. der Basen ∂x
und ∂y∂ j
schreiben. Da die
i
i=1
j=1
Abbildung f : U → f (U ) ⊆ Rn ein Diffeomorphismus ist, ist
Df (0) =
∂fi
∂xj
(0)
eine reguläre Matrix. Sei D ∈ Tb M = π −1 (b) für ein b ∈ M . Dann ist in lokalen
Koordinaten nach (2.16)
n
X
∂
D=
ai
∂xi
i=1
für gewisse a1 , . . . , an ∈ R. Wegen
(Df1 , . . . , Dfn ) = (a1 , . . . , an )Df (0)
folgt aus der Regularität von Df (0), daß die Abbildung hf
Tp M
bijektiv ist. Damit ist
auch hf eine Bijektion. Die Übergangsfunktionen
2
−1
Uf ∩ Ug → GLn R ⊆ Rn : x 7→ (hf )x ◦ (hg )x
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
33
lassen sich lokal wie oben als Produkt von Jacobi-Matrizen darstellen. Deshalb sind die
Übergangsfunktionen glatt.
(4.7) Definition. Sei f : M → N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Durch die Tangentialabbildungen Tp f : Tp M → Tf (p) N wird nach (2.17)
eine glatte Abbildung Tf : TM → TN , das Differential von f , definiert.
(4.8) Definition. Ein (glattes) Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist ein
(glatter) Schnitt X : M → TM des Tangentialbündels. Anstelle des Funktionswertes X(p)
schreiben wir auch häufig Xp .
(4.9) Lemma. Die Menge Vec(M ) (oder auch T 1 (M )) aller Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit M n ist bezüglich punktweiser Addition und (f, X) 7→ f X = (p 7→ f (p) · Xp )
als Skalarmultiplikation ein Modul über dem Ring C∞ (M ).
Bemerkung. Ein glattes Vektorfeld X auf M läßt sich via
C ∞ (M ) → C ∞ (M ) : f 7→ (p 7→ (Xp (f )))
als Derivation der R-Algebra C ∞ (M ) auffassen. Umgekehrt induziert jede Derivation X
von C ∞ (M ) via
p 7→ Xp = (f 7→ (Xf )(p)) : M → TM
ein Vektorfeld auf M , welches nach (2.19) glatt ist.
(4.10) Lemma. Sei X ∈ Vec (M ). Sei p ∈ M und sei h : U → Rn eine Karte um p mit
lokalen Koordinaten (x1 , . . . , xn ). Dann gibt es Funktionen fi ∈ C ∞ (U ) mit
X=
n
X
i=1
fi
∂
.
∂xi
Beweis. Folgt aus der obigen Bemerkung wie im Beweis von (2.19).
(4.11) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei U ⊆ M eine offene Teilmenge von M . Sei p ∈ U . Dann gibt es eine offene Umgebung V von p in U , so daß zu
jedem Vektorfeld X̃ ∈ Vec (U ) ein Vektorfeld X ∈ Vec (M ) gibt, welches auf V mit X̃
übereinstimmt.
Beweis. Sei p ∈ U . Da M lokalkompakt und damit regulär ist, gibt es eine offene Umgebungen V, W von p in U mit V ⊆ W ⊆ W ⊆ U . Dann ist V ∩ (M \ W ) = ∅. Somit gibt es
nach (2.27) eine glatte Urysohn-Funktion ϕ : M → R mit ϕ(V ) = {1} und ϕ(M \W ) ⊆ {0}.
34
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Damit läßt sich ϕX̃ außerhalb von U durch den Nullschnitt zu einem glatten Vektorfeld
X ∈ Vec (M ) fortsetzen, welches auf V mit X̃ übereinstimmt.
(4.12) Definition. Sei T1 (M ) der zu Vec (M ) = T 1 (M ) duale C ∞ (M )-Modul. Wir
nennen die Elemente von T1 (M ) Differential-1-Formen oder einfach 1-Formen.
(4.13) Lemma. Seien X ∈ T 1 (M ) und ω ∈ T1 (M ). Verschwindet X auf einer Umgebung
U von p, so verschwindet auch ω(X) auf U .
Beweis. Sei p ∈ U . Da M lokalkompakt ist, gibt es offene Umgebungen V, W von p mit
V ⊆ W ⊆ W ⊆ U . Nach (2.27) gibt es eine glatte Funktion ϕ : M → R mit ϕ(V ) = {0}
und ϕ(M \ W ) ⊆ {1}. Dann ist ϕX = X und aus der Linearität von ω folgt
ω(X)(p) = ω(ϕX)(p) = ϕ(p)ω(X)(p) = 0.
(4.14) Lemma. Sei U ⊆ M eine offene Teilmenge von M . Dann induziert jede 1-Form ω
auf M eine 1-Form auf U .
Beweis. Sei X̃ ∈ Vec (U ) und sei p ∈ U . Dann gibt es nach (4.11) eine offene Umgebung
V ⊆ U um p und ein Vektorfeld X ∈ Vec (M ), welches mit X̃ auf V übereinstimmt. Setze
nun
ωU (X̃) (p) = ω(X)(p).
Nach (4.13) ist ωU (X) unabhängig von der Wahl des Vektorfeldes X, d.h. die Abbildung
ωU ist wohldefiniert. Da ωU linear ist, ist ωU eine 1-Form auf U .
(4.15) Darstellung einer 1-Form in lokalen Koordinaten. Sei ω ∈ T1 (M ). Sei
h : U → Rn : q 7→ (x1 (q), . . . , xn (q)) eine Karte von M . Betrachte auf U die Vektorfelder
∂
∂xi . Dann sind auf U durch
∂
j
ω
= δij
∂xi
n verschiedene 1-Formen ω j auf U definiert. Sei X ∈ T 1 (M ). Nach (4.10) läßt sich X auf
U schreiben als
n
X
∂
X=
fi
.
∂xi
i=1
Setzen wir
j
u := ωU
∂
∂xj
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
und
ω̃ :=
n
X
35
uj ω j ,
j=1
so folgt aus der Linearität von ωU
ωU (X) =
n
X
i=1
fi ωU
∂
∂xi
=
n
X
i
fi u =
i=1
d.h. es ist
ωU =
n
X
n
X
fi ω̃
i=1
∂
∂xi
= ω̃(X),
uj ω j ,
j=1
(4.16) Lemma. Seien X ∈ T 1 (M ) und ω ∈ T1 (M ). Ist Xp = 0 für ein p ∈ M , so ist
ω(X)(p) = 0.
Beweis. Sei h : U → Rn : q 7→ (x1 (q), . . . , xn (q)) eine Karte um den Punkt p. Auf U läßt
sich X nach (4.10) darstellen als
n
X
∂
X=
fk
∂xk
k=1
mit glatten Funktionen fk : U → R. Wegen Xp = 0 folgt fk (p) = 0 für alle 1 ≤ k ≤ n.
Dann ist nach (4.14) und (4.13)
ω(X)(p) = ωU (X)(p) =
n
X
fk (p)ωU
k=1
∂
∂xi
(p) = 0.
Ist ω ∈ T1 (M ), so ist die Abbildung
ωp : Tp M → R : Xp 7→ ω(X)(p)
wohldefiniert, denn sind X, Y ∈ T 1 (M ) mit Xp = Yp , so folgt aus (4.16) sofort
ω(X − Y )(p) = 0,
also ωp (Xp ) = ωp (Yp ). Somit können wir folgende Definition angeben.
(4.17) Definition. Sei p ∈ M . Die Menge linearer Abbildungen
T∗p M := {ωp : Tp M → R | ω ∈ T1 (M )}
36
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
heißt der Cotangentialraum von M an p. Die Elemente aus T∗p M werden Cotangentialvektoren in p genannt.
Bemerkung. Es ist T∗p M = (Tp M )∗ , siehe Helgason, Lemma 2.2, p.12.
(4.18) Lemma. Bezüglich punktweiser Addition und Skalarmultiplikation ist T∗p M ein
reeller Vektorraum.
(4.19) Tensoren. Sei V ein Modul über einem kommutativen Ring R und sei V ∗ der zu
V duale R-Modul. Dann bildet die Menge aller Multilinearformen
T : V ∗ × ... × V ∗ ×V × ... × V → R
|
{z
} |
{z
}
r
s
via punktweiser Addition und Skalarmultiplikation einen R-Modul Tsr (V ): für f, g ∈ Tsr (V )
und λ ∈ R setzen wir
(f + g)(x1 , . . . , xr+s ) = f (x1 , . . . , xr+s ) + g(x1 , . . . , xr+s )
und
(λf )(x1 , . . . , xr+s ) = λ · f (x1 , . . . , xr+s ).
Die Elemente von Tsr (V ) werden auch Tensoren vom Typ (r, s) oder kurz (r, s)-Tensoren
genannt. Ein Tensor vom Typ (r, s) heißt kontravariant vom Grad r und kovariant vom
Grad s. Wie setzen zusätzlich T00 (V ) = R.
r+k
Für f ∈ Tsr (V ) und g ∈ Tlk (V ) definieren wir das Tensorprodukt f ⊗ g ∈ Ts+l
(V ) von f
und g durch
(f ⊗ g)(u1 , . . . , ur+k , v1 , . . . , vs+l ) :=
f (u1 , . . . , vr , v1 , . . . , vs ) · g(ur+1 , . . . , ur+k , vs+1 , . . . , vs+l ).
Es ist klar, daß im allgemeinen f ⊗ g und g ⊗ f verschieden sind. Es gelten die folgenden
leicht nachzuweisenden Rechenregeln:
(TR1)
(TR2)
(TR3)
(TR4)
(f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h
h ⊗ (f + g) = h ⊗ f + h ⊗ g
(λf ) ⊗ g = f ⊗ (λg) = λ(f ⊗ g)
(f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h)
(4.20) Lemma. Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum mit Basis B = {e1 , . . . , en }.
Sei B∗ = {ω1 , . . . , ωn } ⊆ V ∗ die zu B duale Basis, d.h. es ist ωi (ej ) = δij . Dann bilden die
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
37
Elemente der Form ωi1 ⊗ . . . ⊗ ωis mit 1 ≤ ij ≤ n eine Basis von Ts0 (V ). Insbesondere ist
Ts0 (V ) ein ns -dimensionaler reeller Vektorraum.
Beweis. Es ist
ωi1 ⊗ . . . ⊗ ωis (ej1 , . . . , ejs ) = δi1 j1 . . . δis js =
Für f ∈ Ts0 (V ) und v1 , . . . , vs ∈ V mit vi =
linearität von f
f (v1 , . . . , vs ) =
=
n
X
Pn
n
j=1
1 falls i1 = j1 , . . . , is = js
0 sonst
aij ej gilt dann aufgrund der Multi-
a1,j1 · . . . · ar,js f (ej1 , . . . , ejs )
j1 ,...,js =1
n
X
(ωj1 ⊗ . . . ⊗ ωjs )(v1 , . . . , vs )f (ej1 , . . . , ejs ),
j1 ,...,js =1
d.h. wir haben
f=
n
X
f (ej1 , . . . , ejs ) · (ωj1 ⊗ . . . ⊗ ωjs ).
j1 ,...,js =1
Also spannen die im Lemma genannten Elemente den Vektorraum Ts0 (V ) auf. Diese sind
aber auch linear unabhängig, denn aus
n
X
aj1 ,...,js · (ωj1 ⊗ . . . ⊗ ωjs ) = 0
j1 ,...,js
folgt nach Anwendung der linken Seite dieser Gleichung auf (ek1 , . . . , eks )
ak1 ,...,ks = 0
für alle 1 ≤ ki ≤ n.
(4.21) Definition. Sei p ∈ M . Wir setzen Tsr (p) := Tsr (Tp M ) und Tsr (M ) := Tsr (Vec (M )).
(4.22) Folgerung. Sei p ∈ M . Der R-Vektorraum Tsr (p) ist isomorph zum Tensorprodukt
T∗p M ⊗ . . . ⊗ T∗p M ⊗ Tp M ⊗ . . . ⊗ Tp M .
{z
}
|
{z
} |
r
s
(4.23) Darstellung eines (r, s)-Tensors in lokalen Koordinaten. Sei T ∈ Tsr (M )
und sei h : U → Rn : q 7→ (x1 (q), . . . , xn (q)) eine Karte von M . Seien γ 1 , . . . , γ r ∈ T1 (M )
und Z1 , . . . , Zs ∈ T 1 (M ). Betrachte auf U die Vektorfelder
Xi =
∂
∂xi
und ω j
38
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
wie in (4.15). Dann gibt es Funktionen fik , gjl ∈ C ∞ (U ) mit
j
γ =
n
X
gjl ω
l
und Zi =
l=1
n
X
fik Xk
k=1
auf U . Damit ist auf U
1
r
T (γ , . . . , γ , Z1 , . . . , Zs ) =
n
X
g1l1 . . . grlr f1k1 . . . fsks T (ω l1 , . . . , ω lr , Xk1 , . . . , Xks ),
lj ,ki =1
vergleiche den Beweis von (4.20).
(4.24) Definition. Sei ξ = (E, π, B) ein n-dimensionales Vektorraumbündel mit Bündelatlas A. Seien r, s ∈ N und sei k = r + s. Durch
Esr =
[
Tsr (Ex ),
x∈B
πsr : Esr → B : v 7→ x,
falls v ∈ Tsr (Ex ),
und
Ars = {hrs | (h, U ) ∈ A} ,
k
wobei hrs : (πsr )−1 (U ) → U × Rn gegeben ist durch
k
(hrs )x : Tsr (Ex ) → {x} × Rn : f 7→ (x, fsr )
und
−1
fsr (u1 , . . . , ur , v1 , . . . , vs ) := f (h∗x (x, u1 ), . . . , h∗x (x, ur ), h−1
x (x, v1 ), . . . , hx (x, vs ))
mit
h∗x : {x} × Rn → Ex∗ : (x, λ) 7→ λ ◦ hx ,
ist ein nk -dimensionales Prä-Vektorraumbündel mit Bündelatlas Ars gegeben. Das zugehörige Vektorraumbündel ξsr = (Esr , πsr , B) wird das zu ξ gehörige Tensorbündel vom Typ
(r, s) genannt. Klar: Ist ξ ein glattes Vektorraumbündel, so ist auch ξsr glatt.
(4.25) Lemma. Sei ξ = (E, π, B) ein triviales Vektorraumbündel, so ist ξsr für alle r, s ≥ 0
ebenfalls ein triviales Vektorraumbündel.
Beweis. Dies folgt sofort aus der Definition von ξsr , denn mit der globalen Bündelkarte
(h, B) von ξ gibt es auch eine globale Bündelkarte (hrs , B) von ξsr , d.h. das Bündel ξsr ist
trivial.
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
39
(4.26) Definition. Ein (glattes) Tensorfeld vom Typ (r, s) auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist ein (glatter) Schnitt X : M → (TM )rs des Tensorbündels (TM )rs bzgl. des
Tangentialbündels TM .
Eine (glatte) Riemannsche Metrik ist ein (glattes) Tensorfeld g ∈ (TM )02 auf M mit
gp symmetrisch und gp (u, u) > 0 für alle p ∈ M und alle u ∈ Tp M mit u 6= 0 und
gp (u, v) = gp (v, u) für alle u, v ∈ Tp M . Eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit
einer glatten Riemannschen Metrik g wird Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) genannt.
Das von g induzierte Skalarprodukt gp in Tp M wird auch mit h , ip bezeichnet.
Bemerkung. Ein Tensorfeld X vom Typ (r, s) auf M läßt sich via
X = (p 7→ X(p))
als Element von Tsr (M ) auffassen. Umgekehrt induziert jedes Element X ∈ Tsr (M ) durch
p 7→ Xp = ((γ 1 , . . . , γ r , Z1 , . . . , Zs ) 7→ X(γ 1 , . . . , γ r , Z1 , . . . , Zs )(p)) : M → (TM )rs
ein Tensorfeld auf M , welches nach (4.23) glatt ist, denn es gilt das folgende Lemma (vgl.
(4.16)):
Lemma. Seien γ 1 , . . . , γ r ∈ T1 (M ) und X1 , . . . , Xs ∈ T 1 (M ). Sei p ∈ M . Ist γ j (p) = 0
oder Xi (p) = 0 für ein i oder ein j, so ist T (γ 1 , . . . , γ r , X1 , . . . , Xs )(p) = 0 für alle T ∈
Tsr (M )
Tensoren aus T00 (M ) sind nach Definition gerade die glatten Funktionen von M nach R.
Die Elemente aus T10 (M ) sind gerade die 1-Formen. Da die C ∞ (M )-Module T1 (M ) und
T 1 (M ) dual zueinander sind, sind die Tensoren aus T01 (M ) die Vektorfelder auf M , d.h.
wir haben
T10 (M ) = T1 (M ) und T01 (M ) = Vec (M ) = T 1 (M ).
(4.27) Die Tensoralgebra. Sei p ∈ M . Dann setzen wir
T(M ) =
∞
X
Tsr (M )
und T(p) =
r,s=0
∞
X
Tsr (p).
r,s=0
Dann ist T(M ) ein Modul über C ∞ (M ) und T(p) ist ein R-Vektorraum. Mittels des
Tensorproduktes wird T(p) soger zu einer R-Algebra. Wir wollen nun T(M ) ebenfalls mit
Hilfe des Tensorproduktes zu einer Algebra machen, allerdings zu einer Algebra über dem
Ring C ∞ (M ). Dies wird durch
(S ⊗ T )p = Sp ⊗ Tp
40
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
für S, T ∈ T(M ) und alle p ∈ M erreicht. Die Algebren T(p) bzw. T(M ) heißen die
Tensoralgebren über Tp M bzw. über M .
(4.28) Definition. Betrachte die R-lineare Abbildung
r−1
Cji : Tsr (p) → Ts−1
(p)
e1 ⊗ . . . ⊗ er ⊗ f1 ⊗ . . . ⊗ fs 7→ ei (fj )(e1 ⊗ . . . êi . . . ⊗ er ⊗ f1 ⊗ . . . fˆj . . . ⊗ fs ),
wobei ˆ bedeutet, daß dieses Element fehlt. Durch
(Cji (T ))p := Cji (Tp )
bekommen wir auch eine R-lineare Abbildung
r−1
Cji : Tsr (M ) → Ts−1
(M ),
die eine Kontraktion genannt wird.
(4.29) Definition. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und sei N ⊆ M eine
Untermannigfaltigkeit von M . Die Einschränkung des Tangentialbündels TM auf N sei
bezeichnet. Das Tangentialbündel TN von N läßt sich als Unterbündel von
mit TM
N
TM
verstehen. Für jedes x ∈ N läßt sich deshalb ein Unterbündel νN = (F, π , N )
N
N
S
auf N durch Fx = {u ∈ Tx M | ∀ v ∈ Tx M : hu, vix = 0} und F = x∈N Fx definieren,
welches als Normalenbündel von N in M bezeichnet wird.
(4.30) Definition. Eine glatte Abbildung f : M m → M̃ n zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) und (M̃ , g̃) heißt Isometrie, falls für alle p ∈ M und alle u, v ∈ Tp M
gilt
gp (u, v) = g̃f (p) (Tp f (u), Tp f (v)).
(4.31) Proposition. Sei M n eine glatte Mannigfaltigkeit mit trivialem Tangentialbündel
TM . Dann gibt es auf M eine Riemannsche Metrik.
Beweis. Da TM trivial ist, ist nach (4.25) auch das Bündel (TM )02 trivial, d.h. es gibt
2
eine globale Bündelkarte f : (TM )02 → M × Rn . Sei h , i das euklidische Skalarprodukt
2
auf Rn , welches durch die Einheitsmatrix E ∈ Rn gegeben ist. Dann ist
g : M → (TM )02 : x 7→ f −1 (x, E)
eine Riemannsche Metrik auf M , da f −1 eine glatte Abbildung ist.
Kapitel 4: Riemannsche Mannigfaltigkeiten
41
Wir wollen nun zeigen, daß auf jeder glatten Mannigfaltigkeit M eine Riemannsche
Metrik g existiert. Dazu werden wir wieder eine Zerlegung der Eins verwenden.
(4.32) Satz. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann gibt es eine Riemannsche Metrik
g auf M .
Beweis. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei T = {(hi , Ui )}i∈I ein Bündelatlas von
TM . Nach (2.26) gibt es eine zu {Ui }i∈I untergeordnete glatte Zerlegung der Eins {τk }k∈N .
Zu jedem k ∈ N wähle eine Karte (hik , Uik ) mit supp τk ⊆ Uik , sowie eine Riemannsche
Metrik sk auf Uik gemäß (4.31). Dann ist
τk · sk : Uik → (TM )02
ein glatter Schnitt, der sich wegen supp τk ⊆ Uik außerhalb von Uik durch den Nullschnitt
glatt fortsetzen läßt. Bezeichnen wir mit Sk diese Fortsetzung, so ist
g=
∞
X
Sk
k=1
eine Riemannsche Metrik auf M .
42
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
KAPITEL 5
Flächen II, Die zweite Fundamentalform
(5.1) Die erste Fundamentalform als Riemannsche Metrik. Sei F : U ⊆ Rm → S
eine Parametrisierung der Fläche S um y = F (x). Betrachte in jedem Punkt y von S die
erste Fundamentalform gy . Faßt man S als glatte Mannigfaltigkeit auf, so ist die Abbildung
g : S → T02 (S) : u → gu nach der Darstellung aus (3.12) glatt in einer Umgebung von y. Da
sich zwei Parametrisierungen von S nur durch einen Diffeomorphismus unterscheiden, ist
S → T02 (S) : u → gu auf ganz S glatt, d.h. die Abbildung g ist eine Riemannsche Metrik.
Eine der wichtigsten Eigenschaften eines Skalarproduktes ist, Begriffe wie Länge von
Kurven und Winkel zwischen Kurven zu definieren. Wir benützen dazu die erste Fundamentalform.
(5.2) Definition. Sei S ⊆ Rn eine m-Fläche mit Parametrisierung F : U ⊆ Rm →
S um y = F (x) und sei c : [−1, 1] → S eine Kurve durch den Punkt y = c(0) mit
c(] − 1, 1]) ⊆ F (U ). Dann ist c1 := F −1 ◦ c : [−1, 1] → U eine Kurve durch x = F −1 (y).
Mit c2 := F
können wir die Kurve c somit schreiben als c = c2 ◦ c1 . In (1.6) wurde
im(c1 )
die Bogenlänge einer Kurve d : [a, b] → Rn definiert als
Z
b
Z
0
|d (t)| dt =
l(d) :=
a
b
p
hd0 (t), d0 (t)i dt.
a
Nach (3.12) und der Kettenregel ist
Z
1
Z
0
1
|c (t)| dt =
l(c) :=
−1
|Dc2 (c1 (t)) · c01 (t)| dt
−1
1
Z
=
−1
1
Z
=
−1
1
Z
=
−1
|DF (c1 (t)) · c01 (t)| dt
q
hDF (c1 (t)) · c01 (t), DF (c1 (t)) · c01 (t)i dt
q
gc1 (t) (c01 (t), c01 (t)) dt
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
43
die Bogenlänge der Kurve c. Ist b : [−1, 1] → S eine zweite Kurve mit b(0) = y = c(0), so
definieren wir den Winkel ϕ = ϕ(b, c, y) zwischen den Kurven b und c im Punkt y durch
gy (b01 (t), c01 (t))
p
cos ϕ(b, c, y) = p
.
gy (b01 (t), b01 (t)) · gy (c01 (t), c01 (t))
Für eine beschränkte, abgeschlossene Menge B = F (A) definieren wir
Z
|B| :=
dµ :=
B
Z p
det G(F (x))dx
A
als den Flächeninhalt der Menge B, wobei G(F (x)) die zur ersten Fundamentalform
gehörige Matrix im Punkt F (x) gemäß (3.12) ist.
(5.3) Lemma. Der Flächeninhalt einer beschränkten, abgeschlossenen Menge B = F (A)
ist unabhängig von der Parametrisierung.
Beweis. Es sei S ⊆ Rn eine m-Fläche mit Parametrisierungen F : U ⊆ Rm → S und
F̃ : Ũ ⊆ Rm → S. Es sei A(u) die Jacobimatrix des Parameterwechsel h = F̃ −1 ◦ F an
der Stelle u. Sei F (A) = B = F̃ (Ã) eine beschränkte, abgeschlossene Menge. Dann ist
h(K) = Ã, und nach (3.13) und dem Transformationssatz für Integrale ([15], 3-13) gilt
Z q
Z q
det G̃(F̃ (x̃)) dx̃ =
det At GA(F̃ (x)) dx̃
Ã
Ã
Z q
=
det A(x̃) det G(F̃ (x̃)) det A(x̃) dx̃
ZÃ q
=
det G(F̃ (x̃)) · | det A(x̃)| dx̃
ZÃ p
=
det G(F (x)) dx,
A
was zu beweisen war.
(5.4) Beispiel. Der Torus T ⊆ R3 mit den Radien r1 und r2 wird (bis auf eine Nullmenge)
parametrisiert von der Abbildung
F : (0, 2π) × (0, 2π) : (s, t) 7→ ((r1 + r2 cos s) cos t, (r1 + r2 cos s) sin t, r2 sin s).
Die Matrix G(s, t) der zugehörigen ersten Fundamentalform gF (s,t) bzgl. der Basis
∂F
∂F
(s, t),
(s, t)
∂s
∂t
44
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
wird nach (3.12) durch die Elemente
gij =
∂F
∂F
(s, t),
(s, t)
∂s
∂t
bestimmt. Wegen
∂F
(s, t) = (−r2 sin s cos t, −r2 sin s sin t, r2 cos s),
∂s
∂F
(s, t) = (−(r1 + r2 cos s) sin t, (r1 + r2 cos s) cos t, 0)
∂t
folgt
g11 = r22 ,
g12 = g21 = 0,
g22 = (r1 + r2 cos s)2 .
Damit ist
p
det G(F (s, t)) = r2 (r1 + r2 cos s)
und wir erhalten
Z
|T | =
v
Z
v
lim
u→0,v→2π
u
= 4π 2 r1 r2 + r22
u
r2 (r1 + r2 cos s) ds dt
Z vZ v
lim
cos s ds dt
u→0,v→2π
u
u
2
= 4π r1 r2 .
Als nächstes soll das Konzept der Krümmung, welches bisher nur für Kurven definiert
wurde, auf Flächen ausgedehnt werden. Im darauffolgenden Kapitel werden wir dann den
Krümmungsbegriff auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Wie bei Kurven
soll eine Fläche lokal durch ihre Krümmung bis auf eine Bewegung eindeutig festgelegt sein,
vgl. Satz (1.19). Um möglichst einfach argumentieren zu können, beschränken wir uns im
Rest dieses Kapitels auf Hyperflächen H n ⊆ Rn+1 , d.h. auf Flächen der Codimension 1.
Es sei außerdem stets Sn = x ∈ Rn+1 |x| = 1 die Einheitssphäre in Rn+1 .
(5.5) Die zweite Fundamentalform. Sei y ∈ H und sei F : U → H eine Parametrisierung von H mit F (x) = y für ein x ∈ U . Nach (3.7) ist der Tangentialraum Ty H
gegeben durch DF (x)(Rn ) ⊆ Rn+1 . Wähle einen Normalenvektor ν(y) ∈ Rn+1 zu Ty H
der Länge 1 (wegen dim H = n hat man für ν(y) genau zwei Möglichkeiten, nämlich bis auf
das Vorzeichen). Durch geeignete Wahl des Einheitsnormalenvektors wird die Abbildung
ν : F (U ) → Sn : p 7→ ν(p)
eine glatte Abbildung, die die Gauß-Abbildung genannt wird. Deren Differential
Dν(p) : Tp H → Tν(p) Sn
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
45
heißt Weingarten-Abbildung. Da beide Tangentialräume Tp H und Tν(p) Sn isomorph zu
Rn sind, werden wir stets Tν(p) Sn mit Tp H identifizieren, so daß wir Dν(p) als Abbildung
von Tp H in Tp H verstehen werden. Mit Hilfe der Weingarten-Abbildung definieren wir
eine weitere Bilinearform
ap : Tp H × Tp H → R : (u, v) 7→ gp (Dν(p)(u), v) ,
die zweite Fundamentalform von H genannt wird.
(5.6) Lemma. Die zweite Fundamentalform ap ist symmetrisch.
Beweis. Sei p ∈ H und sei F : U → H eine Parametrisierung von H mit F (x) = p für ein
x ∈ U . Betrachte die Abbildung
ν̃ = ν ◦ F : U → Rn+1 .
Aus Dν̃(x) = Dν(F (x)) · DF (x) folgt
∂F
∂ ν̃
(x) = Dν(p) ·
(x).
∂xi
∂xi
∂F
∂F
Da die Vektoren ∂x
(x), . . . , ∂x
(x) den Tangentialraum Tp H aufspannen, gilt nach De1
n
finition eines Normalenvektors
∂F
(x) = 0
ν̃(x),
∂xi
für alle 1 ≤ i ≤ n, alle x ∈ U und p = F (x). Partielle Differentiation nach xj liefert hieraus
∂ ν̃
∂F
∂2F
(x),
(x) + ν̃(x),
(x)
0=
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
∂F
∂F
∂2F
= Dν(p) ·
(x),
(x) + ν̃(x),
(x)
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
∂F
∂F
∂2F
= gp Dν(p) ·
(x),
(x) + ν̃(x),
(x)
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
∂F
∂F
∂2F
= ap
(x),
(x) + ν̃(x),
(x)
(♣)
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
für alle i, j. Nach dem Schwarzschen Vertauschungssatz ist der rechte Term der letzten
Gleichung symmetrisch in i und j. Also ist auch ap symmetrisch.
(5.7) Definition. Setze für F (x) = p und i, j = 1, . . . , n
∂F
∂F
hij := ap
(x),
(x) .
∂xi
∂xj
46
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
Die aus obiger Gleichung (♣) gewonnene Beziehung
∂2F
∂ ν̃
∂F
hij = − ν(p),
(x) = gp
(x),
(x)
∂xi ∂xj
∂xj
∂xi
heißen die Weingarten-Gleichungen.
Aus der Symmetrie der ersten Fundamentalform gp und der Gleichung (♣) folgt sofort:
(5.8) Korollar. Die Weingartenabbildung Dν(p) ist selbstadjungiert.
(5.9) Definition. Als selbstadjungierte lineare Abbildung kann die Weingartenabbildung
Dν(p) nach (3.10) durch eine symmetrische Matrix dargestellt werden. Da solche Matrizen
stets diagonalisierbar sind, besitzt Dν(p) folglich n reelle Eigenwerte λ1 , . . . , λn . Diese
Eigenwerte werden die Hauptkrümmungen der Fläche M an der Stelle p genannt. Die
zugehörigen Eigenvektoren werden Hauptkrümmungsrichtungen genannt.
(5.10) Bemerkung. Sei p ∈ H und sei e1 , . . . , en eine Orthonormalbasis von Tp H bzgl.
Pn
Pn
gp . Für X = i=1 fi ei und Y = i=1 gi ei aus Tp H ist dann
ap (X, Y ) =
n X
n
X
hij fi gj
i=1 j=1
und mit ν = (ν1 , . . . , νn ) ist
gp (Dν(p)X, Y ) =
n X
n
X
gij (Dν(p)X)i gj =
i=1 j=1
n X
n
X
i=1 j=1
gij
n X
∂νi
k=1
∂xk
!
(p)fk
gj .
Damit folgt aus der Weingarten-Gleichung für alle i, j
hij =
n
X
k=1
gki
∂νk
.
∂xj
Ist X eine Hauptkrümmungsrichtung zur Krümmung λ, so folgt
n
X
hij fi gj = gp (Dν(p) X, Y ) = gp (λX, Y ) = λgp (X, Y ) = λ
i,j=1
n
X
gij fi gj .
i,j=1
Nach (3.12) können wir eine Basis von Tp H stets so wählen, daß G(p) die Einheitsmatrix
ist. Da die zweite Fundamentalform ap symmetrisch ist, kann man desweiteren eine orthogonale Abbildung auf Tp M finden, welche die zu a gehörige Matrix A diagonalisiert.
Da dieser Basiswechsel die Einheitsmatrix G(p) invariant läßt, gilt somit in dieser Basis
hij = λi δij .
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
47
Das nächste Lemma zeigt, daß der bisher nur für Kurven definierte Begriff der Krümmung in der zweiten Fundamentalform enthalten ist.
(5.11) Lemma. Sei M ⊆ Rn+1 eine Hyperfläche und sei γ eine Kurve auf M durch einen
Punkt p ∈ M . Sei b : [0, l(γ)] → M die Parametrisierung nach der Bogenlänge von γ. Sei
t0 ∈ (0, l(γ)) mit b(t0 ) = p. Dann ist
hb00 (t0 ), ν(p)i = −ap (b0 (t0 ), b0 (t0 )),
d.h. −ap (b0 (t0 ), b0 (t0 )) ist die Krümmung k(t0 ) der Kurve γ̃ im Punkt p = b(t0 ), die als
Schnitt von M mit der Ebene p + hν(p), b0 (t0 )i entsteht.
Beweis. Da b0 (t) für alle t in Tb(t) M liegt, ist hb0 (t), ν(b(t))i = 0 für alle t. Wegen
d
ν(b(t)) = Dν(b(t)) · b0 (t)
dt
folgt via Differentiation
0 = hb00 (t), ν(b(t))i + hb0 (t), Dν(b(t)) · b0 (t)i
= hb00 (t), ν(b(t))i + gb(t) (b0 (t), Dν(b(t)) · b0 (t))
= hb00 (t), ν(b(t))i + ab(t) (b0 (t), b0 (t))
woraus die Behauptung für t = t0 folgt.
Bemerkung. Eine Kurve γ auf einer Hyperfläche M heißt Krümmungslinie, wenn γ = γ̃
ist. Krümmungslinien können dazu benutzt werden, um die zweite Fundamentalform zu
bestimmen, siehe Beispiel b) unten.
(5.12) Beispiele.
(a) Die Hyperebene H = a0 + t1 a1 + . . . + tn an ∈ Rn+1 (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn ⊆ Rn+1 mit
a1 , . . . , an ∈ Rn+1 linear unabhängig besitzt als Gauß-Abbildung die konstante Abbildung
auf einen Einheitsvektor des orthogonalen Komplements von ha1 , . . . , an i in Rn+1 . Somit
ist die Weingarten-Abbildung Dν konstant Null. Somit ist auch die zweite Fundamentalform identisch Null, d.h. die Hyperebene H ist nicht gekrümmt. Umgekehrt wird eine
Hyperebene durch die Eigenschaft Dν ≡ 0 charakterisiert.
(b) Sphäre Sr = x ∈ Rn+1 |x| = r in Rn+1 . Die Gauß-Abbildung ist die Abbildung
Sr → Sn : x 7→ r−1 x und somit ist die Weingarten-Abbildung Dν(x) : u 7→ r−1 u. Um
die zweite Fundamentalform zu bestimmen, verwenden wir Lemma (5.11). Betrachte den
Nordpol N = (0, . . . , 0, r) ∈ Sr und sei e1 , . . . , en+1 die kanonische Basis von Rn+1 . Der
Schnitt der Ebene Ei = hei , en+1 i für 1 ≤ i ≤ n ergibt einen Großkreis γi durch N .
48
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
Betrachte die Parametrisierung bi : [0, 2πr] → Sr nach Bogenlänge von γi mit bi (πr) =
N . Dann ist in N der Vektor en+1 ein normierter Normalenvektor an Sr und es ist
b0 (πr) = ei (wobei der Umlaufsinn von γi entsprechend gewählt sei). Nach (1.11) ist
b00 (πr) = −r−2 b(πr) = −r−1 en+1 und es folgt
1
1
0
0
00
−aN (b (πr), b (πr)) = −aN (ei , ei ) = hb (πr), ν(N )i = − en+1 , en+1 = − .
r
r
Mit Hilfe der Polarisierung
aN (ei , ej ) = aN (ei + ej , ei + ej ) − aN (ei , ei ) − aN (ej , ej )
läßt sich nun aN vollständig bestimmen. Wegen gN (ei , ej ) = δij folgt damit
aN (ei , ej ) =
1
δij .
r
(c) Zylinder Zr = {(r cos t, r sin t, s) | r, s ∈ R}. Es ist
ν : Zr → S2 : (r cos t, r sin t, s) 7→ (− sin t, cos t, o)
eine Gauß-Abbildung. Wie in (b) berechnen wir für einen Punkt p ∈ Zr
ap (e1 , e1 ) =
1
,
r
ap (e2 , e2 ) = 0,
ap (e1 , e2 ) = ap (e2 , e1 ) = 0.
Bezüglich der kanonischen Basis folgt damit aus den Weingarten-Gleichungen
−1
r
0
Dν(s, t) =
.
0
0
(5.13) Definition. Sei F : U → M ⊆ Rn+1 eine Hyperfläche und sei p ∈ M . Seien
λ1 , . . . , λn die n Hauptkrümmungen von M in p. Die Spur der Weingartenabbildung ist
gerade die Summe
H = H(p) = λ1 + . . . + λn
und wird als mittlere Krümmung von M in p bezeichnet. Die Determinante der Weingartenabbildung ist das Produkt
K = K(p) = λ1 · . . . · λn
und wird als die Gauß-Kronecker-Krümmung von M in p bezeichnet. Das zweite elementarsymmetrische Polynom
R = R(p) = 2(λ1 λ2 + λ1 λ3 + . . . + λ1 λn + λ2 λ3 + . . . + λn−1 λn )
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
49
in den Hauptkrümmungen wird die skalare Krümmung von M in p bezeichnet. Eine
Hyperfläche M mit mittlerer Krümmung 0 in allen Punkten wird als Minimalfläche bezeichnet.
Bemerkung. (a) Alle oben definierten Ausdrücke sind unabhängig von der Parametrisierung F und werden Krümmungsinvarianten von M in p genannt. Für n = 2 heißt K(p) =
λ1 λ2 die Gauß-Krümmung der Fläche im Punkt p, und in diesem Falle ist R(p) = 2K(p).
(b) Alle Hauptkrümmungen, sowie die oben definierten Krümmungsbegriffe hängen a priori
vom umgebenden Raum ab. So ist der Zylinder zwar lokal isometrisch zu R2 , aber die
Hauptkrümmungen, sowie die mittlere Krümmung des Zylinders stimmen nicht mit denen
von R2 überein. Jedoch sind die Gauß-Krümmungen von Zylinder und euklidischer Ebene
beide Null. Es zeigt sich (siehe Satz (7.7), Theorema Egregium von C.F. Gauß), daß die
Gauß-Krümmung tatsächlich nicht vom umgebenden Raum abhängt und damit ein Begriff
der inneren Geometrie einer Fläche ist.
(c) Lokal isometrische Flächen besitzen nach (b) die gleiche Gauß-Krümmung. Deshalb
können die n-Sphäre (Gauß-Krümmung in jedem Punkt positiv) und der Rn (GaußKrümmung in jedem Punkt Null) nicht lokal isometrisch sein. Die Umkehrung dieses
Sachverhaltes ist falsch: Es gibt nicht lokal isometrische Flöchen mit gleicher GaußKrümmung.
Als nächstes sollen Berechnungsverfahren für die zweite Fundamentalform im Falle
von Niveauflächen und Graphen angegeben werden.
(5.14) Satz. Sei M ⊆ Rn+1 eine Hyperfläche, die in einer Umgebung von p ∈ M als
Niveaufläche gegeben sein soll, also M ∩ V = f −1 (0) für eine Funktion f : Rn+1 → R mit
0 als regulärem Wert. Setze
B(q) =
n+1
∂2f
(q)
∂xi ∂xj
i,j=1
und betrachte die Bilinearform
b(q) : Rn+1 × Rn+1 → R : (u, v) 7→ ut B(q)v.
Dann gilt:
(i) Die Gauß-Abbildung ist gegeben durch
ν : M ∩ V → Sn ⊆ Rn+1 : x 7→
1
grad f (x)
|gradf (x)|
50
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
(ii) Die Weingarten-Abbildung in q ist gegeben durch
1
Dν(q) : Tq M → Tq M : v →
7
|grad f (q)|
b(q)(grad f (q), v)
B(q)v −
grad f (q)
|grad f (q)|2
(iii) Die zweite Fundamentalform in q ist gegeben durch
aq : Tq M × Tq M → R : (v, w) 7→
1
b(q)(v, w).
|grad f (q)|
(iv) Die mittlere Krümmung H in q ist gegeben durch
1
H=
|grad f (q)|
b(q)(grad f (q), grad f (q))
∆f (q) −
|grad f (q)|2
mit
∆f (q) =
n+1
X
i=1
∂2f
(q)
∂x2i
(v) Die Gauß-Kronecker-Krümmung K in q ist gegeben durch
K=
1
hB(q)∗ grad f (q), grad f (q)i
n+2
|grad f (q)|
wobei B(q)∗ die zu B(q) adjunkte Matrix ist.
Beweis. (i): Nach (3.8) ist für y = f (x)
Tp M = ker Df (x) = ker grad f (x)
= u ∈ Rn+1 grad f (x) · u = 0
= u ∈ Rn+1 hgrad f (x), ui = 0 ,
d.h. der Vektor grad f (x) steht senkrecht auf Tp M . Da die Abbildung
ν : M ∩ V → Sn ⊆ Rn+1 : x 7→
1
grad f (x).
|gradf (x)|
glatt ist, ist diese eine Gauß-Abbildung.
(ii): Es ist
D(grad f )(q) =
n+1
∂2f
(q)
(q) = B(q)
∂xi ∂xj
i,j=1
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
und
51
hgrad f, grad f i (q)

s
2
2
∂f
∂f
 (q)
= D
+ ... +
∂x1
∂xn+1
D(|grad f |)(q) = D
p
2
2 !
1
∂f
∂f
D
+ ... +
(q)
2 |grad f (q)|
∂x1
∂xn+1
2
n+1
1
∂ f
=
(q)
(q) · 2 grad f (q)
2 |grad f (q)| ∂xi ∂xj
i,j=1
=
=
b(q)(grad f (q), . )
.
|grad f (q)|2
Damit folgt die behauptete Formel aus der Quotientenregel.
(iii): Es ist aq (v, w) = hDν(p)v, wi und wegen hw, grad f (q)i = 0 für alle w ∈ Tq M folgt
die angegebene Formel aus (ii).
(iv): Die Summe der Eigenwerte von Dν(q) ist gerade die Summe der Diagonalelemente
(bzgl. einer beliebigen Matrixdarstellung). Außerdem ist die lineare Abbildung
Aq : Tq M → Tq M : v 7→ b(q)(grad f (q), v)grad f (q)
durch die Matrix (αij (q))n+1
i,j=1 gegeben, wobei
αij (q) =
n+1
X
k=1
∂ 2 f ∂f
∂xk ∂xi ∂xk
!
∂f
∂xj
ist. Damit folgt die Behauptung aus (ii) durch Aufsummieren der Diagonalelemente.
(v): Das Produkt der Eigenwerte von Dν(q) ist gerade die Determinante von Dν(q). Dies
ergibt die Formel für K.
(5.15) Satz. Sei M ⊆ Rn+1 eine Hyperfläche, die in einer Umgebung von p ∈ M als
Graph gegeben sein soll, also M ∩ V = {(x, g(x)) | x ∈ U ⊆ Rn } für eine glatte Abbildung
g : U → R. Setze
B̃(q) =
n
∂2g
(q)
∂xi ∂xj
i,j=1
und B(q) =
B̃(q) 0
0
0
und betrachte die zugehörigen Bilinearformen
b̃(q) : Rn × Rn → R : (u, v) 7→ ut B̃(q)v.
52
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
und
b(q) : Rn+1 × Rn+1 → R : (u, v) 7→ ut B(q)v.
p
Für q = (x, g(x)) ∈ M ∩ V und N (q) := 1 + |grad g(x)|2 gilt:
(i) Die Gauß-Abbildung in q ist gegeben durch
ν : M ∩ V → Rn+1 : q 7→
1
(−grad g(x), 1).
N (q)
(ii) Die Weingarten-Abbildung in q ist gegeben durch
Dν(q) : Tq M → Tq M
1
v→
7
N (q)
b(q)((−grad g(x), 1), v)
B(q)v −
(−grad g(x), 1)
N (q)2
(iii) Die zweite Fundamentalform in q ist gegeben durch
aq : Tq M × Tq M → R : (v, w) 7→
1
b(q)(v, w)
N (q)
(iv) Die mittlere Krümmung H in q ist gegeben durch
1
H=
N (q)
b̃(q)(grad g(x), grad g(x))
∆g(q) −
N (q)2
!
(v) Die Gauß-Kronecker-Krümmung K in q ist gegeben durch
K=
1
det B̃(q).
N (q)n+2
Beweis. Betrachte die Abbildung
f : Rn+1 → R : (x1 , . . . , xn , xn+1 ) 7→ g(x1 , . . . , xn ) − xn+1 .
Damit läßt sich M ∩ V als Niveaufläche f −1 (0) ∩ V schreiben, denn f hat 0 als regulären
Wert: Ist x ∈ Rn+1 mit f (x) = 0, so ist grad f (x) = (grad g(x), 1) 6= 0. Die Aussagen
folgen nun aus dem vorhergehenden Satz.
(5.16) Beispiel. Sattelfläche A = (s, t, s2 − t2 ) ∈ R3 s, t ∈ (−1, 1) . Die Sattelfläche
A ist Graph der Abbildung g : R2 → R : (s, t) 7→ s2 − t2 . Für q = (s, t) ∈ R2 ist
√
grad f (q) = (2s, 2t). Damit haben wir N (q) = 1 + 4s2 + 4t2 und
ν(q) = √
1
(−2s, 2t, 1).
1 + 4s2 + 4t2
Kapitel 5: Flächen II, Die zweite Fundamentalform
53
Für q = (0, 0) ist Tq A = he1 , e2 i, wobei e1 , e2 , e3 die kanonische Basis von R3 ist. Somit
ist b(q)((−grad g(x), 1), v) = 0 für alle v ∈ Tq A, und es folgt

Dν(q) = B(q) = 

2
−2
.
0
Für die Koeffizienten hij der zweiten Fundamentalform gilt
a11 = 2,
a22 = −2,
a12 = a21 = 0.
Daraus errechnet man H(0, 0) = 0 und K(0, 0) = −4.
54
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
KAPITEL 6
Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
(6.1) Der kanonische Zusammenhang auf Rn . Um den Begriff der Krümmung auf
Riemannsche Mannigfaltigkeiten zu übertragen, ist es zweckmäßig, Richtungsableitungen
von Vektorfeldern zu definieren. Dies wird in Analogie zur Richtungsableitung von Funktionen getan, siehe (2.22). Als Motivation für den allgemeinen Fall studieren wir zunächst die
Situation im Rn . In (4.8) haben wir Vektorfelder auf glatten Mannigfaltigkeiten definiert.
Dies waren glatte Abbildungen X : M → TM . Sei nun U ⊆ Rn offen. Ein (glattes) Vektorfeld auf U ist in diesem Fall nichts anderes als eine (glatte) Abbildung V : U → Rn . Ist
c : [−1, 1] → U ein Weg, so heißt die Komposition Vc = V ◦ c : [−1, 1] → Rn ein Vektorfeld
entlang des Weges c. Die Ableitung Vc0 : [−1, 1] → Rn heißt Ableitung des Vektorfeldes Vc
längs c. Diese Ableitung kann natürlich wieder als ein Vektorfeld entlang c angesehen werden, und der Funktionswert Vc0 (0) hängt nach der Kettenregel nur von p = c(0) und c0 (0),
also vom Keim [c] ab. Ist Wp ∈ Tp Rn mit Wp = c0 (0), so setzen wir ∇Wp (V ) = Vc0 (0). Für
ein gegebenes Vektorfeld W auf U haben wir also eine R-lineare Abbildung
∇W : Vec (U ) → Vec (U ) : V 7→ ∇W V = (p 7→ ∇Wp (V )).
Die daraus gewonnene Abbildung
∇ : Vec (U ) → HomR (Vec (U ), Vec (U )) : W 7→ ∇W
heißt der kanonische Zusammenhang von Rn . Außerdem können wir die Richtungsableitungen Dc f einer glatten Funktion f : U → R zu einer neuen Funktion wie folgt zusammenfassen: Für f : U → R glatt und V ∈ Vec (U ) definieren wir die Richtungsableitung
von f längs des Vektorfeldes V als
DV f : U → R : p 7→ DV f (p) := (DV (p) f ).
Für f, g : U → R glatt und V, W ∈ Vec (U ) gilt dann
(KAZ1) ∇f V +gW = f ∇V + g∇W ,
(KAZ2) ∇V (f W ) = f ∇V (W ) + (DV f )W .
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
55
Beweis von (KAZ1). Seien V, W ∈ Vec (U ) und sei p ∈ U . Seien c, d : [−1, 1] → Rn Wege
mit c0 (0) = Vp und d0 (0) = Wp . Betrachte außerdem die Wege
∗
t
Z
n
((f ◦ c) · c)0 (s) − (f ◦ c)0 (s) · c(s)ds
c : [−1, 1] → R : t 7→ p +
0
und
∗
Z
n
d : [−1, 1] → R : t 7→ p +
t
((g ◦ d) · d)0 (s) − (g ◦ d)0 (s) · d(s)ds,
0
sowie
e∗ (t) = c∗ (t) + d∗ (t) − p.
Dann ist c∗ (0) = d∗ (0) = e∗ (0) = p und nach der Produktregel gilt
c∗ 0 (0) = (f ◦ c) · c)0 (0) − (f ◦ c)0 (0) · c(0) = (f ◦ c)0 (0) · c0 (0) = f (p)Vp ,
und ebenso
d∗ 0 (0) = g(p)Wp
und e∗ 0 (0) = c∗ 0 (0) + d∗ 0 (0).
Damit ist für X ∈ Vec (U )
∇f V +gW (X)p = ∇f (p)Vp +g(p)Wp (X)
= Xe0 ∗ (0)
= (X ◦ e∗ )0 (0)
= DX(e∗ (0)) · e∗ 0 (0)
= DX(p)(c∗ 0 (0) + d∗ 0 (0))
= DX(p)c∗ 0 (0) + DX(p)d∗ 0 (0)
= f (p)DX(p)c0 (0) + g(p)DX(p)d0 (0)
= f (p)(X ◦ c)0 (0) + g(p)(X ◦ d)0 (0)
= f (p)∇Vp (X) + g(p)∇Wp (X)
= (f ∇V (X) + g∇W (X))p .
Beweis von (KAZ2). Es ist
∇V (f W )(p) = (f W ◦ c)0 (0)
0
= ((f ◦ c)(W ◦ c)) (0)
= (f ◦ c)(0)(W ◦ c)0 (0) + (f ◦ c)0 (0)(W ◦ c)(0)
= f (p)(W ◦ c)0 (0) + (f ◦ c)0 (0)d0 (0)
= (DV f ) Wp + f (p)∇V (W )p .
da DX linear
56
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
In Anlehnung an den kanonischen Zusammenhang auf Rn wollen wir nun entsprechende Abbildungen auf einer glatten Mannigfaltigkeit M definieren. Wir werden uns
dabei von den Axiomen (KAZ1) und (KAZ2) leiten lassen.
(6.2) Definition. Ein affiner Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist
eine Abbildung
∇ : Vec (M ) → HomR (Vec (M ), Vec (M )) : X 7→ ∇X ,
die folgende Axiome erfüllt:
(AZ1) ∇f X+gY = f ∇X + g∇Y
(AZ2) ∇X (f Y ) = f ∇X (Y ) + (Xf )Y
für alle f, g : M → R glatt und alle X, Y ∈ Vec (M ). Die lineare Abbildung ∇X heißt
kovariante Ableitung bezüglich X.
(6.3) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei ∇ ein affiner Zusammenhang
auf M . Verschwindet eines der Vektorfelder X, Y auf einer offenen Teilmenge U ⊆ M , so
verschwindet auch ∇X (Y ) auf U .
Beweis. Sei zunächst Yx = 0 für alle x ∈ U . Sei p ∈ U . Nach (2.27) gibt es eine UrysohnFunktion ϕ auf M mit ϕ(p) = 0 und ϕ(M \ U ) = {1}. Dann gilt ϕY = Y und für
g : M → R glatt haben wir nach (AZ2)
∇X (Y ) = ∇X (ϕY ) = ϕ∇X (Y ) + (Xϕ)Y.
Wegen Yp = 0 haben wir (Xϕ)(p)Yp = 0. Außerdem ist
(ϕ∇X (Y ))p = ϕ(p)∇X (Y )p = 0,
d.h. es gilt ∇X (Y )p = 0. Ist Xp = 0 für alle p ∈ U , so folgt die Behauptung wie eben aus
(AZ1).
(6.4) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei U ⊆ M eine offene Untermannigfaltigkeit von M . Dann induziert jeder affine Zusammenhang ∇ auf M einen affinen
Zusammenhang ∇U auf U .
Beweis. Seien X̃, Ỹ ∈ Vec (U ) und sei p ∈ U . Dann gibt es nach (4.11) eine offene
Umgebung V ⊆ U um p und Vektorfelder X, Y ∈ Vec (M ), die mit X̃ bzw. mit Ỹ auf V
übereinstimmen. Setze nun
(∇U )X̃ (Ỹ )p := ∇X (Y )p .
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
57
Nach (6.3) ist (∇U )X̃ (Ỹ ) unabhängig von der Wahl der Vektorfelder X und Y , d.h. ∇U ist
wohldefiniert. Da ∇U natürlich (AZ1) und (AZ2) erfüllt, ist ∇U ein affiner Zusammenhang
auf U .
(6.5) Darstellung eines affinen Zusammenhangs in lokalen Koordinaten. Sei M
n
eine glatte Mannigfaltigkeit
und
sei h : U → R : q 7→ (h1 (q), . . . , hn (q)) eine Karte. Nach
∂
(2.16) läßt sich (∇U ) ∂ ∂x
in lokalen Koordinaten schreiben als
j
∂xi
(∇U )
∂
∂xi
∂
∂xj
=
n
X
Γkij
k=1
∂
∂xk
mit glatten Funktionen Γkij : U → R. Die Funktionen Γkij werden Christoffel-Symbole von
∇U genannt. Der affine Zusammenhang ∇U ist durch die Christoffel-Symbole eindeutig
bestimmt. Mit Hilfe von (AZ1) und (AZ2) können wir (∇U )X (Y ) für X, Y ∈ Vec (M ) mit
n
X
∂
X=
fi
∂xi
i=1
durch
(∇U )X (Y ) =
n
X


k=1
n
X
und Y =
n
X
gi
i=1
n
X
∂
∂xi

n
X
∂gk
∂
∂
fi
+
fi gj Γkij 
=
uk
∂xi i,j=1
∂xk
∂xk
i=1
(♥)
k=1
darstellen.
(6.6) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei ∇ ein affiner Zusammenhang
auf M . Verschwindet das Vektorfeld X im Punkt p ∈ M , so gilt ∇X (Y )p = 0.
Beweis. Sei h : U → Rn : q 7→ (h1 (q), . . . , hn (q)) eine Karte um den Punkt p. Auf U läßt
sich X nach (4.10) darstellen als
n
X
∂
X=
fk
∂xk
k=1
mit glatten Funktionen fk : U → R. Wegen Xp = 0 folgt fk (p) = 0 für alle 1 ≤ k ≤ n.
Dann ist nach (6.5)
∇X (Y )p = ((∇U )X (Y ))p =
n
X
k=1
wegen uk (p) = 0 für alle 1 ≤ k ≤ n.
uk (p)
∂
∂xk
=0
p
Als nächstes wollen wir den Begriff des Parallelismus einführen. Dies wird mit Hilfe
eines affinen Zusammenhanges geschehen. Wir benötigen dazu ein paar Vorbereitungen.
58
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
(6.7) Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei c : R → M eine Kurve. Eine
glatte Abbildung X : R → TM mit X(t) ∈ Tc(t) M heißt Vektorfeld entlang der Kurve c.
Die Menge Vec c (M ) aller Vektorfelder entlang c bilden bezüglich der punktweisen Addition
und der Verknüpfung
C ∞ (R) × Vec c (M ) → Vec c (M ) : (f, X) 7→ f X = (t 7→ f (t)X(t))
als Skalarmultiplikation einen kommutativen Modul über C ∞ (R).
(6.8) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei c : R → M eine einfache
Kurve. Liegt c([a, b]) in einer Koordinatenumgebung U , so besitzt jedes glatte Vektorfeld
X̃ : [a, b] → TM entlang c ein Vektorfeld X auf M als Fortsetzung, d.h. es ist X̃(t) =
X(c(t)) für alle t ∈ [a, b].
Beweis. Da c eine einfache Kurve ist, ist c([a, b]) eine Untermannigfaltigkeit von U . Nach
(4.10) läßt sich X̃ darstellen als
n
X
∂
X̃(t) =
gi (t)
∂xi c(t)
i=1
mit gi : [a, b] → R glatt. Nach (2.28) gibt es glatte Abbildungen Gi : M → R mit
Gi (c(t)) = gi (t) für alle t ∈ [a, b] und alle i ∈ {1, . . . , n}. Definieren wir nun X auf einer
beliebigen Karte von M durch
n
X
∂
X=
Gi
,
∂xi
i=1
so ist X ein wohldefiniertes Vektorfeld auf M , welches die im Lemma angegeben Eigenschaften nach Konstruktion besitzt.
Nach (2.16) ist die gewöhnliche Ableitung
d
∂
=
: C ∞ (p) → R : f 7→ f 0 (p)
dt p
∂x1 p
eine Basis des Tangentialraumes Tp R und es ist
d
: R → TR : p 7→
dt
d
dt
p
ein Vektorfeld auf R, welches das kanonische Vektorfeld auf R genannt wird.
(6.9) Definition. Sei c : (a, b) → M eine einfache Kurve. Das Vektorfeld
d
0
Xc : R → TM : s 7→ c (s) := Ts c
dt s
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
59
entlang der Kurve c heißt das Geschwindigkeitsvektorfeld der Kurve c. Ist umgekehrt
X ∈ Vec (M ), so heißt eine nichtkonstante Kurve c : (a, b) → M eine Integralkurve von X,
falls
Xc(t) = c0 (t)
für alle t ∈ R gilt.
Bemerkung. Man beachte, daß die obige Definition von Xc mit der Definition einer
Richtungsableitung Dc wie in (2.22) definiert zusammenpaßt, denn für f ∈ C ∞ (M ) ist
Xc (0)f = T0 c
d
dt
(f ) =
0
d
dt
∗
◦ c (f ) =
0
d
dt
(f ◦ c) = (f ◦ c)0 (0) = Dc (f )
0
(6.10) Darstellung eines Geschwindigkeitsvektorfeldes in lokalen Koordinaten.
Sei [a, b] ⊆ R so, daß c([a, b]) in einer Koordinatenumgebung U liegt. Sei Xc : R → TM
das Geschwindigkeitsvektorfeld längs c und sei X ∈ Vec (M ) eine Fortsetzung von Xc .
Dann gilt nach (2.19) bezüglich der lokalen Koordinaten (x1 , . . . , xn ) auf U
X=
n
X
Xxi
i=1
∂
.
∂xi
Somit haben wir für t ∈ [a, b] und x̃i (t) = xi (c(t))
Xc (t) = Xc(t) =
n
X
i=1
(Xxi )c(t)
∂
∂xi
=
c(t)
n
X
Xc (t)xi
i=1
∂
∂xi
=
c(t)
n
X
i=1
x̃0i (t)
∂
∂ x̃i
.
t
(6.11) Definition. Sei c : R → M eine einfache Kurve. Sei Xc : R → TM das
Geschwindigkeitsvektorfeld von c und sei Ỹ : R → TM ein Vektorfeld entlang c. Seien X
und Y Fortsetzungen von Xc und Ỹ gemäß (6.8). Das Vektorfeld
∇Xc (Ỹ ) : R → TM : t 7→ ∇X (Y )c(t)
entlang c wird die kovariante Ableitung von Ỹ entlang der Kurve c genannt. In der Literatur wird für ∇Xc (Ỹ ) auch häufig das Symbol
d
Ỹ
dt
oder
DỸ
dt
verwendet. Das Vektorfeld Ỹ heißt parallel entlang c, wenn für alle t ∈ R
∇Xc (Ỹ )t = 0
60
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
gilt.
Bemerkung. Damit sich obige Definition als sinnvoll erweist, müssen wir nachweisen,
daß ∇Xc (Y )t unabhängig von den Fortsetzungen X und Y ist. Sei dazu U eine Koordinatenumgebung mit Koordinaten (x1 , . . . , xn ). Nach (4.10) gibt es fi , gi ∈ C ∞ (U ) mit
X=
n
X
fi
i=1
∂
∂xi
und Y =
n
X
gi
i=1
∂
.
∂xi
Setzen wir auf [a, b]
x̃i (t) = xi (c(t)),
f˜i (t) = fi (c(t))
und g̃i (t) = gi (c(t)),
so ist nach der Bemerkung vor (6.11)
g̃k0 (t)
0
= (gk ◦ c) (t) = Xc (t)gk = X(c(t))gk =
n
X
fi (c(t))
i=1
∂gk
∂xi
=
c(t)
n
X
i=1
f˜i (t)
∂g̃k
∂ x̃i
.
t
Nach Wahl des Vektorfeldes X ist f˜i (t) = x̃0i (t). Aus der Darstellung (♥) in (6.5) folgt
für die Koeffizienten uk von ∇Xc (Ỹ )t = ∇X (Y )c(t) = ((∇U )X (Y ))c(t)
uk (c(t)) =
n
X
f˜i (t)
i=1
= g̃k0 (t) +
= g̃k0 (t) +
∂g̃k
∂ x̃i
n
X
i,j=1
n
X
+
t
n
X
f˜i (t)g̃j (t)Γkij (c(t))
i,j=1
f˜i (t)g̃j (t)Γkij (c(t))
(♦)
x̃0i (t)g̃j (t)Γkij (c(t)).
i,j=1
Der rechte Ausdruck hängt nur von den Werten von X und Y auf der Kurve c ab, d.h.
∇Xc (Ỹ ) ist unabhängig von den Fortsetzungen X und Y .
(6.12) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei c : R → M eine einfache
Kurve. Es gilt für alle Vektorfelder Ỹ , Z̃ ∈ Vec c (M ) und für alle glatten Funktionen
f˜ : R → R
d
d
d
(a)
(Ỹ + Z̃) = Ỹ + Z̃
dt
dt
dt
d
d
d ˜
(b)
(f Ỹ ) = f˜ Ỹ +
f˜ Ỹ
dt
dt
dt
Beweis. Teil (a) folgt sofort aus der Linearität von ∇Xc . Nach (2.28) gibt es eine Abbildung
f ∈ C ∞ (M ) mit f (c(t)) = f˜(t) für alle t ∈ [a, b] eines geeigneten Intervalles [a, b]. Seien
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
61
X, Y ∈ Vec (M ) Fortsetzungen von Xc und Ỹ gemäß (6.8). Teil (b) der Aussage folgt nun
aus dem Axiom (AZ2): Nach (2.22) ist
d ˜
f (s) = (f ◦ c)0 (s) = Xc (s)f = X(c(s))f
dt
und wir bekommen hieraus mittels (AZ2)
d ˜
(f Ỹ )(s) = ∇X (f Y )c(s)
dt
= f (c(s))∇X (Y )c(s) + (Xc(s) f )Yc(s)
d
d ˜
˜
= f (s)
Ỹ (s) +
f (s) · Ỹ (s).
dt
dt
(6.13) Definition. Sei c : R → M eine einfache reguläre Kurve in M . Die Kurve c heißt
eine Geodäte in M , wenn das Geschwindigkeitsvektorfeld Xc parallel entlang der Kurve
c ist, d.h. wenn ∇Xc (Xc )t = 0 für alle t ∈ R ist. Eine Geodäte heißt maximal, wenn sie
keine echte Einschränkung einer anderen Geodäte ist.
(6.14) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang ∇
und sei c : R → M eine einfache reguläre Kurve mit c(a) = p und c(b) = q. Dann induziert
der Parallelismus entlang c, d.h. die Gleichung ∇Xc (Y ) = 0, einen Isomorphismus Φc
zwischen den Tangentialräumen Tp M und Tq M , der Parallelverschiebung von p nach q
längs c genannt wird. Die Menge
Φt : Tp M → Tc(t) M t ∈ R
heißt die Parallelverschiebung längs der Kurve c.
Beweis. Seien zunächst p, q in einer Koordinatenumgebung U enthalten. Seien (x1 , . . . , xn )
die Koordinaten auf U . Aus ∇Xc (Y ) = 0 und den Gleichungen (♥) und (♦) erhält man
das folgende System gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung in den
Funktion g̃k :
n
X
0
g̃k = −
f˜i g̃i Γkij ◦ c
(♠)
i,j=1
Es gibt n eindeutig bestimmte glatte Funktionen ϕi : [a, b] × Rn → R, so daß für jedes
(y1 , . . . , yn ) ∈ Rn die Abbildungen ϕi (t, y1 , . . . , yn ) Lösungen dieses Systems sind, welche
die Anfangsbedingung ϕi (a, y1 , . . . , yn ) = yi erfüllen und linear in den yi sind. Somit ist
das Vektorfeld
n
X
∂
Ỹ : [a, b] → TM : t 7→
ϕi (t, y1 , . . . , yn )
∂xi c(t)
i=1
62
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
entlang der Kurve c : [a, b] → M parallel entlang c und es gilt
Y (a) =
n
X
i=1
yi
∂
∂xi
.
p
Da die Abbildungen ϕi in den Variablen y1 , . . . , yn linear sind, ist die Abbildung
Φc : Tp M → Tq M : Y (a) 7→ Y (b)
eine lineare Abbildung. Da die Abbildungen ϕi eindeutig sind, ist Φc injektiv. Da beide
Vektorräume Tp M und Tq M die gleiche Dimension haben, ist Φc auch surjektiv.
Sind p, q ∈ M beliebig, so gibt es aufgrund der Kompaktheit von c([a, b]) endlich viele
Punkte p1 , . . . , pm ∈ c([a, b]) mit p0 = p, und pm = q, so daß pi , pi+1 für alle i immer in
einer Koordinatenumgebung liegen. Damit erhält man Φc als Komposition der Parallelverschiebungen zwischen den Punkten pi , pi+1 .
Ist c : [a, b] → M die Einschränkung einer Geodäten, so gilt in einer Koordinatenumgebung bezüglich der Koordinaten (x1 , . . . , xn ) in den Bezeichnungen von oben
f˜i (t) = x̃0i (t)
und g̃i (t) = x̃0i (t).
Die erste Gleichung gilt nach der Bemerkung vor (6.11), da Xc ein Geschwindigkeitsvektorfeld ist. Die zweite Gleichung folgt aus der Eigenschaft, daß c eine Geodäte ist. Somit
bekommt die Gleichung (♠) folgende Gestalt
x̃00k (t)
+
n
X
x̃0i (t)x0j (t)Γkij (c(t)) = 0.
i,j=1
Mit ähnlichen Methoden (Existenz- und Eindeutigkeit der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen) wie sie im Beweis des letzten Lemmas verwendet wurden
beweist man damit den folgenden Satz.
(6.15) Satz. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang ∇. Sei
p ∈ M und X ∈ Tp M \ {0}. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte maximale Geodäte
cX : R → M mit cX (0) = p und (cX )0 (0) = X.
Wir wollen nun den Begriff der kovarianten Ableitung auf Tensorfelder beliebiger Stufe
erweitern. Dazu benötigen wir folgendes Lemma.
(6.16) Satz. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang ∇. Sei
p ∈ M und seien X, Y ∈ Vec (M ) mit Xp 6= 0. Dann existiert eine (einfache und reguläre)
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
63
Integralkurve c : R → M durch p = c(0). Ist {Φt }t∈R die Parallelverschiebung längs c, so
ist
1 −1
(∇X (Y ))p = lim
Φt Yc(t) − Yp .
t→0 t
Beweis. Sei U eine Koordinatenumgebung um p mit den Koordinaten h = (x1 , . . . , xn ).
Wir schreiben X auf U als
n
X
∂
X=
fi
∂xi
i=1
mit fi ∈ C ∞ (U ). Bezeichnen wir wieder x̃i (t) = xi (c(t)) für t ∈ [a, b] und f˜i = fi ◦ c für
eine Kurve c : [a, b] → U mit 0 ∈ [a, b] und c(0) = p, so ist Xc(t) = c0 (t) äquivalent zu
x̃0i (t)
0
= (xi ◦ c) (t) = Xc (t)xi = Xc(t) xi =
n
X
fi (c(t))
j=1
∂xi
∂xj
= f˜i (t).
c(t)
Dies ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, welches eine
Lösung ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) mit ϕi (0) = 0 besitzt. Wegen Xp 6= 0 verschwinden nicht alle
Funktion f˜i im Punkt 0, woraus folgt, daß die Lösung ϕ nichtkonstant ist. Somit existiert
eine Integralkurve c : R → M durch p = c(0). Sei nun t ∈ [0, b]. Nach dem Beweis von
(6.14) existiert ein paralleles Vektorfeld Z entlang c([0, t]) mit Z(0) = Φ−1
t Yc(t) . Mit
Z(s) =
n
X
ki (s)
i=1
∂
∂xj
Yc(s) =
c(s)
n
X
gi (s)
i=1
∂
∂xj
folgt
Z(t) = Φt (Z(0)) = Yc(t) ,
da Z parallel entlang c ist und wir bekommen nach Gleichung (♦)
kl0 (s)
+
n
X
x̃0i (s)kj (s)Γlij (c(s)) = 0.
i,j=1
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein ξ ∈ (0, t) mit
kl (t) = kl (0) + tkl0 (ξ).
Damit die l-te Komponente von
1
1 −1
Φt Yc(t) − Yp = (Z(0) − Yp )
t
t
c(s)
64
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
gerade
1
1
(kl (0) − gl (0)) = (kl (t) − tkl0 (ξ) − gl (0))
t
t
n
X
1
=
x̃0i (ξ)kj (ξ)Γlij (c(ξ)) + (gl (t) − gl (0)) .
t
i,j=1
Für t → 0 wird nach (♦) die rechte Seite dieser Gleichung wegen f˜i (t) = x̃0i (t)
gl0 (0)
+
n
X
f˜i (0)kj (0)Γlij (c(0)) = ul (p).
i,j=1
Dies beweist nach (♥) die Gleichung.
(6.17) Kovariante Ableitung eines Tensorfeldes. Seien p, q zwei Punkte einer glatten
Mannigfaltigkeit M und sei c : [a, b] → M eine einfache Kurve zwischen p und q. Sei Φc die
Parallelverschiebung entlang von p nach q längs c. Für einen Cotangentialvektor γ ∈ T∗p M
definieren wir Φt γ ∈ T∗q M durch
Φt γ : Tq M → R : D 7→ γ(Φ−1
t D).
Für einen Tensor T ∈ Tsr (M ) definieren wir Φt T ∈ Tsr (M ) durch
Φt Tp :T∗q M × . . . × T∗q M × Tq M × . . . × Tq M → R
−1 r
−1
−1
1
(γ 1 , . . . , γ r , D1 , . . . , Ds ) 7→ Tp (Φ−1
t γ , . . . , Φt γ , Φt D1 , . . . , Φt Ds ).
Für X ∈ Vec (M ) mit Xp 6= 0 setzen wir
1 −1
Φt Tc(s) − Tp .
t→0 t
(∇X T )p := lim
Ist Xp = 0, so setzen wir
(∇X T )p := 0,
vergleiche hierzu (6.6). Für eine Abbildung f ∈ C ∞ (M ) setzen wir überdies
(∇X f )p := lim t−1 (f (c(t)) − f (0)) ,
t→0
falls Xp 6= 0 und
(∇X f )p := 0
sonst. Damit gilt
∇X f = Xf.
Die Abbildungen ∇X : Tsr (M ) → Tsr (M ) sind R-linear und lassen sich auf kanonische
Weise zu einer R-linearen Abbildung ∇X : T(M ) → T(M ) zusammensetzen (beachte, daß
die Tensoralgebra T(M ) eine direkte Summe der Räume Tsr (M ) ist).
Kapitel 6: Affiner Zusammenhang und kovariante Ableitung
65
(6.18) Lemma. Die Abbildung ∇X hat die folgenden Eigenschaften:
(a) ∇X ist eine Derivation der Tensoralgebra T(M ).
(b) ∇X erhält den Typ der Tensoren.
(c) ∇X kommutiert mit allen Kontraktionen.
Beweis. (a) Seien X, Y ∈ T(M ) Tensoren vom Typ (r, s) bzw. (k, l). Sei Z ∈ Vec (M )
und p ∈ M . Sei zunächst Zp 6= 0 und sei c : [−1, 1] → M eine Integralkurve von Z
mit c(0) = p ∈ M . Es sei {Φt | t ∈ [−1, 1]} die Parallelverschiebung entlang c. Für
γ 1 , . . . , γ r+k ∈ T(M ) und D1 , . . . , Ds+1 ∈ T 1 (M ) setze
1
r
f : [−1, 1] → R : t 7→ Φ−1
t Xc(t) (γ , . . . , γ , D1 , . . . , Ds )
und
r+1
g : [−1, 1] → R : t 7→ Φ−1
, . . . , γ r+s , Ds+1 , . . . , Dr+s ),
t Yc(t) (γ
wobei wir der Einfachheit halber anstelle von (γ i )c(t) und (Dj )c(t) wieder γ i und Dj
schreiben. Dann ist
−1 1
−1
1
Φ−1
t (X ⊗ Y )c(t) (γ , . . . , Ds+l ) = (X ⊗ Y )p (Φt γ , . . . , Φt Ds+l )
−1
−1 r+1
1
= Xp (Φ−1
, . . . , Φ−1
t γ , . . . , Φt Ds ) · Yp (Φt γ
t Ds+l )
−1
1
r+1
= Φ−1
, . . . , Dr+s )
t Xc(t) (γ , . . . , Ds ) · Φt Yc(t) (γ
= f (t)g(t)
und wir erhalten nach der Produktformel für Ableitungen
∇Z (X ⊗ Y )p (γ 1 , . . . , γ r+k , D1 , . . . , Ds+l )
1
1
r+k
= lim (Φ−1
, D1 , . . . , Ds+l )
t (X ⊗ Y )c(t) − (X ⊗ Y )p )(γ , . . . , γ
t→0 t
1
= lim (f (t)g(t) − f (0)g(0))
t→0 t
= (f g)0 (0)
= f 0 (0)g(0) + f (0)g 0 (0)
1
1
= lim (f (t) − f (0)) g(0) + f (0) lim (g(t) − g(0))
t→0 t
t→0 t
= (∇Z (X))p (γ 1 , . . . , γ r , D1 , . . . , Ds )Yp (γ r+1 , . . . , γ r+s , Ds+1 , . . . , Dr+s )
+ Xp (γ 1 , . . . , γ r , D1 , . . . , Ds (∇Z (Y ))p (γ r+1 , . . . , γ r+s , Ds+1 , . . . , Dr+s )
= (∇Z (X))p ⊗ Yp + Xp ⊗ (∇Z (Y ))p (γ 1 , . . . , γ r+k , D1 , . . . , Ds+l ).
Dies beweist
∇Z (X ⊗ Y ) = ∇Z (X) ⊗ Y + X ⊗ ∇Z (Y ),
d.h. ∇Z ist eine Derivation der Tensoralgebra T(M ). Teil (b) folgt sofort aus der Konstruktion von ∇X . Teil (c) ist eine Übungsaufgabe.
66
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
KAPITEL 7
Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
Sei M ⊆ Rn+1 eine reguläre
mit einer Parametrisierung F : U ⊆ Rn → M .
Hyperfläche
∂F
Nach (3.12) ist Bp :=
eine Basis des Tangentialraumes Tp M für alle
∂xi
p
i=1,...,n
p ∈ U . Sei ν : F (U ) → Sn eine Gauß-Abbildung und sei ν̃ = ν ◦ F . Wir erinnern, daß
gij bzw. hij die Koeffizienten der zur ersten bzw. der zweiten Fundamentalform gehörigen
Matrix G bzw. H sind. Desweiteren sei G−1 = g ij .
(7.1) Lemma. Es gelten die folgenden Ableitungsregeln:
n
X
∂2F
∂F
=
Γkij ·
− hij · ν
(a)
∂xi ∂xj
∂xk
k=1
n
1 X kl
∂
∂
∂
k
g
gjl +
gil −
gij ist.
wobei Γij =
2
∂xi
∂xj
∂xl
(b)
∂
ν̃ =
∂xi
n
X
k=1
n
X
hik
k=1
l=1
g kl
∂F
∂xl
Beweis. Da Bp ∪ {ν̃(p)} eine Basis von Tp Rn+1 bildet, gibt es reelle Funktionen Γkij und
aij mit
n
X
∂2F
∂F
=
Γkij ·
− aij · ν̃.
∂xi ∂xj
∂xk
k=1
Nach den Weingartengleichungen (5.7) gilt
hij = −
2
∂ F
, ν̃
∂xi ∂xj
*
=−
n
X
Γkij ·
k=1
∂F
, ν̃
∂xk
+
− aij hν̃, ν̃i = −aij .
Außerdem bekommen wir aus der gleichen Rechnung
Γijl =
∂ 2 F ∂F
,
∂xi ∂xj ∂xl
=
n
X
k=1
gkl Γkij .
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
67
Damit erhalten wir
2
∂
∂
∂F ∂F
∂ F ∂F
∂F ∂ 2 F
gil =
,
=
,
+
,
∂xj
∂xj ∂xi ∂xl
∂xj ∂xi ∂xl
∂xi ∂xj ∂xl
n
n
X
X
k
=
gkl Γij +
gki Γkjl = Γijl + Γjli .
k=1
k=1
Analog ist
∂
gjl = Γilj + Γijl
∂xi
∂
gij = Γjli + Γilj
∂xl
und
und wir bekommen
n
X
∂
∂
∂
gjl +
gil −
gij = 2Γijl = 2
gkl Γkij .
∂xi
∂xj
∂xl
k=1
Dies beweist Teil (a).
Seien wieder bij und c1 , . . . , cn reelle Funktion auf U mit
n
X
∂
∂F
ν̃ =
bik
+ ci ν.
∂xi
∂xk
k=1
Dann ist
0=
∂
ν̃, ν̃
∂xi
=
n
X
bik
k=1
und
hij = hji =
∂
∂F
ν̃,
∂xi ∂xj
d.h. es ist H = BG mit B =
n
(bij )i,j=1 ,
=
∂F
, ν̃
∂xk
n
X
k=1
+ ci hν̃, ν̃i = 0 + ci = ci
bik
∂F ∂F
,
∂xk ∂xj
also B = HG−1 .
=
n
X
bik gkj ,
k=1
Bemerkung. (1) Die Koeffizienten Γkij und Γijk hängen nur von der ersten Fundamentalform ab und werden als Christoffel-Symbole erster bzw. zweiter Art bezeichnet.
(2) Im Falle n = 1 reduzieren sich die obigen Gleichungen zu den Frenetschen Ableitungsregeln für eine Kurve im R2 , vgl. (1.16).
(7.2) Normaldarstellung der Metrik. Für p ∈ M kann eine Parametrisierung F :
U → M von M um p immer so gewählt werden, daß gij (p) = δij und ∂x∂ k gij (p) = 0 für
alle i, j ist: Schreibe dazu M in einer Umgebung von p als Graph einer Funktion u mit
u(0) = p und Du(0) = 0. Dann ist
gij (u(x)) = δij + Di u(x)Dj u(x)
68
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
und damit sowohl
gij (p) = δij
als auch
∂
gij (p) = Dk Di u(0) · Dj u(0) + Di u(0) · Dk Dj u(0) = 0.
∂xk
Die Abbildung F (x) := (x, u(x)) für alle x ∈ U ist dann die gesuchte Parametrisierung.
Insbesondere verschwinden bzgl. F alle Christoffel-Symbole Γkij und Γijk in p und die
Ableitung der Tangentialvektoren in p hat ausschließlich eine Normalkomponente.
(7.3) Satz. Bezüglich der Normaldarstellung der Metrik gelten die folgenden Gleichungen
im Punkt p:
n
n
n
∂ m X l m X l m X
∂ m
Γij −
Γik +
Γij Γlk −
Γik Γlj =
(hij hkl − hik hjl ) g lm
(Gauß)
(a)
∂xk
∂xj
l=1
(b)
∂
hij −
∂xk
n
X
l=1
Γlij hlk =
∂
hik −
∂xj
l=1
n
X
l=1
Γlik hlj
(Codazzi-Mainardi)
l=1
Beweis. Differenzieren der Ableitungsgleichungen aus (7.1) liefert
n
n
X ∂Γlij ∂F
X
∂3F
∂2F
∂hij
∂ ν̃
=
·
+
Γlij ·
−
· ν̃ − hij ·
∂xk ∂xi ∂xj
∂xk ∂xl
∂xk ∂xl
∂xk
∂xk
=
l=1
n
X ∂Γlij
l=1
∂xk
·
l=1
n
X
∂F
∂F
+
Γlij Γm
kl
∂xl
∂xm
l,m=1
−
n
X
n
Γlij hkl ν̃ −
l=1
X
∂hij
∂F
· ν̃ −
hij hkl g lm
.
∂xk
∂xm
l,m=1
Nach (7.2) ist gij (p) = δij (p) und wir erhalten damit in p
∂3F
∂F
,
∂xk ∂xj ∂xi ∂xm
n
n
l=1
l=1
∂ m X l m X
=
Γij +
Γij Γlk −
hij hkl g lm .
∂xk
Nach dem Vertauschungssatz von Schwarz ist
∂3F
∂3F
=
,
∂xk ∂xj ∂xi
∂xj ∂xk ∂xi
d.h. wir haben ebenso
∂3F
∂F
,
∂xj ∂xk ∂xi ∂xm
n
n
l=1
l=1
∂ m X l m X
=
Γ +
Γlk Γlj −
hik hjl g lm ,
∂xj ik
woraus die Gauß-Gleichung folgt. Die Codazzi-Meinardi-Gleichung wird analog bewiesen
durch Ausrechnen von
∂3F
,ν .
∂xk ∂xj ∂xi
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
69
Aus dem letzten Satz folgt, daß die Koeffizienten gij und hij der ersten und zweiten
Fundamentalform nicht beliebig vorgegeben werden können, so daß sich eine Fläche aus
diesen Daten konstruieren ließe. Die beiden untenstehenden Gleichungen werden auch
Integrabilitätsbedingungen genannt. Andererseits sind die oben genannten Gleichungen
auch die einzigen Bedingungen, die für eine Fläche erfüllt sein müssen. Es gilt nämlich der
folgende Satz.
(7.4) Satz. Sei U ⊆ Rn offen und einfach zusammenhängend. Für alle x ∈ U seien
symmetrische Bilinearformen G(x) = (gij (x))ij und H(x) = (hij (x))ij gegeben, wobei G
positiv definit ist auf U und die Abbildungen gij , hij : U → R glatt sind. Erfüllen die
Koeffizienten gij und hij die Integrabilitätsbedingungen, so existiert eine reguläre Fläche
M ⊆ Rn+1 und eine globale Parametrisierung F : U → M , deren erste und zweite Fundamentalform durch G bzw. H gegeben ist. Je zwei solche Flächen unterscheiden sich durch
eine Bewegung des Rn+1 .
Beweis. Betrachte die Ableitungsgleichungen als ein System partieller Differentialgleichun∂F
gen in den n + 1 Variablen ei = ∂x
und ν. Die Integrabilitätsbedingungen für dieses
i
DGL-System entsperchen genau den Integrabilitätsbedingungen aus Satz (7.3), siehe etwa
Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Kapitel IX. Somit gibt es genau eine
Lösung e1 , . . . , en , ν mit hei (0), ej (0)i = gij (0), hei , νi = 0 und hν, νi = 1. Damit ist
n Z x
X
F : U → M : X 7→
ei (x)dxi + a
i=1
0
eine Parametrisierung der gesuchten Fläche M . Man rechnet nun leicht nach, daß diese
Fläche G und H als erste bzw. als zweite Fundamentalform besitzen. Dies ist klar im Punkt
0 nach Konstruktion. Da die Fundamentalformen von M aber das gleiche Anfangswertproblem erfüllen wie G und H und die Lösung eindeutig ist, gilt die Übereinstimmung in
allen Punkten von U . Die Eindeutigkeit der Fläche bis auf eine Bewegung wird wie im
Fall von Kurven, siehe Satz (1.19), bewiesen.
(7.5) Satz. Sei M n ⊆ Rn+1 eine zusammenhängende reguläre Fläche. Für die Hauptkrümmungen gelte λ1 (p) = . . . = λn (p) = λ(p) für alle p ∈ M . Ist n ≥ 2, so ist λ konstant
und M ist entweder eine Ebene (und dann ist λ ≡ 0) oder M ist in einer Sphäre vom
Radius |λ|−1 enthalten.
Beweis. Für die mittlere Krümmung H gilt H(p) = nλ(p) für alle p ∈ M . Sei p ∈ M fest.
Wir wählen nach (7.2) eine Parametrisierung F : U → M um p, für die gij (p) = δij und
Γkij (p) = 0 gilt. Nach den Codazzi-Meinardi-Gleichungen ist dann in p
∂
∂
hij =
hjk .
∂xk
∂xi
70
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
Damit folgt nach (7.2) in p
n
n
n
X ∂
X ∂
X ∂
∂
∂
∂
1 ∂
λi =
hii =
hik =
hkk =
λ=
H.
H=
∂xk
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
n
∂x
k
k
i
k
k
k
i=1
i=1
i=1
Wegen n ≥ 2 folgt hieraus für alle k = 1, . . . , n
∂
H(p) = 0,
∂xk
d.h. es ist DH(p) = 0. Da p ∈ M beliebig war und M zusammenhängend ist, ist H auf
M konstant c. Nach (5.10) ist damit hij = cgij . Für c = 0 ist M eine Hyperebene nach
(5.12). Andernfalls betrachte die Abbildung
1
a : U → Rn+1 : x 7→ F (x) − ν(x).
c
Dann ist nach (7.1) auf U
n
n
∂
∂F
1XX
∂F
a=
−
hkl g lm
∂xk
∂xk
c
∂xm
m=1
l=1
n
X
∂F
1
−
=
∂xk
c
n
X
cgkl g lm
l=1 m=1
∂F
∂xm
∂F
∂F
− GG−1
∂xk
∂xk
= 0,
=
d.h. a ist konstant auf U . Damit ist
1
F (x) = a + ν(x),
c
und M ist damit in einer Sphäre vom Radius c−1 enthalten.
(7.6) Satz. Sei p = F (x) ∈ M mit K(p) 6= 0. Für n ∈ N sei Kn die Kugel um x mit
Radius n1 . Sei Mn = F (Kn ) und Ln = ν̃(Kn ). Seien An und Bn die Flächeninhalte von
Ln und Mn . Dann ist
An
K(p) = lim
.
n→∞ Bn
Beweis. Es ist
Z
Bn =
Z
dµ =
Mn
p
det G(F (x))dx.
Kn
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
Setzen wir
aij :=
71
∂ ν̃ ∂ ν̃
,
∂xi ∂xj
,
so ist für A(x) = (aij (x)) ebenso
Z
Z
An =
Ln
Nun ist
∂ ν̃ ∂ ν̃
,
∂xi ∂xj
*
=
=
=
p
dµ =
det A(x)dx.
Kn
n
X
hik
k=1
n
X
n
X
l=1
n
n
k=1
l=1
X
∂F X
∂F
g kl
,
hjk
g kl
∂xl
∂xl
+
hik g kl glr g rs hjs
k,l,r,s=1
n
X
hik g kl hlj .
k,l=1
Pn
∂F
Ist X = k=1 fk ∂x
in der Normaldarstellung der Metrik eine Hauptkrümmungsrichtung
k
in q zur Hauptkrümmung λ, so gilt nach Bemerkung (5.10)
n
X
i,j=1
n
X
hij fi fj = λ
gij fi fj .
i,j=1
Damit ist AX = λ2 GX in p und es folgt det A(p) = det G(p)H(p)2 = K(p)2 det G(p). Aus
der Stetigkeit der Abbildung K in p folgt nun die Behauptung.
(7.7) Definition. Für jeden Punkt p ∈ M n setzen wir
m
m
Rijk
(p) = Rijk
=
n
n
l=1
l=1
∂ m
∂ m X l m X l m
Γij −
Γ +
Γij Γlk −
Γik Γlj
∂xk
∂xj ik
und
Riljk (p) = Riljk =
n
X
m
glm Rijk
.
m=1
Wir nennen
n
{Riljk }i,l,j,k=1
den Riemannschen Krümmungstensor von M an der Stelle p.
Bemerkung. Der Riemannsche Krümmungstensor hängt nach Definition von den gij und
deren ersten und zweiten Ableitungen ab. Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt
also den Anteil der Krümmung, der nur von der Metrik g abhängt. Mit Hilfe der Gaußn
Gleichungen läßt sich jedoch {Riljk }i,l,j,k=1 durch die zweite Fundamentalform allein via
Rijkl = hik hjl − hil hjk bestimmen.
72
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
(7.8) Theorema Egregium (C.F. Gauß). Sei M 2 ⊆ R3 eine reguläre Fläche. Dann
hängt die Gauß-Krümmung K nur von der ersten Fundamentalform und deren ersten und
zweiten Ableitungen ab. Sie ist gegeben durch
K(p) =
R1212
.
det(gij (p))
Beweis. Wähle eine Parametrisierung F wie im Beweis von (7.5). Dann ist Rijkl =
hik hjl − hil hjk und es folgt dann
Rijkl = −Rjikl = −Rijlk = Rklij
und Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0.
Damit sind die einzigen nicht verschwindenden Terme
R1212 = R2121 = −R1221 = −R2112
und es gilt nach (5.10)
R1212 = h11 h22 − h12 h21 = det(hij ) = K · det(gij ).
Bemerkung. Bezüglich der Normaldarstellung der Metrik ist Rijkl = 0 außer für
Rijij = λi λj ,
falls i 6= j. Die Werte σij = Rijij heißen Schnittkrümmungen von M in p. Für n-Flächen
mit n ≥ 2 ist die Gauß-Kronecker-Krümmung keine Invariante der inneren Geometrie,
wohl aber die Schnittkrümmungen.
(7.9) Satz. Sei M n ⊆ Rn+1 eine reguläre Fläche. Sei p ∈ M . Die Fläche M ist
genau dann im Punkt p lokal isometrisch zu Rn (dies wird lokal flach in p genannt),
falls für eine Parametrisierung F : U → M um p alle Komponenten des Riemannschen
Krümmungstensors in einer Umgebung von p verschwinden.
Beweis. Es ist zu zeigen, daß M in p genau dann lokal flach ist, wenn es eine Parametrisierung E : V → M um p gibt, bzgl. der gij (q) = δij für alle q ∈ E(V ) gilt. Gibt es eine
solche Parametrisierung, so ist diese natürlich eine lokale Isometrie zwischen Rn und M .
Sei umgekehrt F : U → M eine beliebige Parametrisierung
um pEfür die der Riemannsche
D
∂F
∂F
Krümmungstensor verschwindet und sei gij (q) = ∂xi (q), ∂xj (q) .
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
73
(1) Eine Parametrisierung E : V → M um p ist genau dann eine lokale Isometrie, wenn
∂Y
∂Y
∂Y ∂Y
DE
, DE
=
,
∂xi
∂xj
∂xi ∂xj
−1
auf
D U fürEalle i, j gilt, wobei Y := E ◦ F ist. Da die linke Seite obiger Gleichung gerade
∂F ∂F
= gij ist, ist diese Bedingung äquivalent zu
∂xi , ∂xj
n
X
∂yk
gij (u) =
k=1
Setzen wir
X=
∂yi
∂xj
∂xi
(u)
∂yk
(u).
∂xj
und G = (gij )i,j ,
i,j
so ist obige Bedingung gleichwertig zu
G = At A bzw. zu AG−1 At = E,
also zu
δij =
n
X
g kl (u)
k,l=1
∂yi
∂yj
(u)
(u)
∂xk
∂xl
(∗)
für alle u ∈ U und alle i, j.
(2) Das Differentialgleichungssystem
n
X
∂hj
=
Γijk hi
∂xk
i=1
besitzt genau dann eine Lösung (h1 , . . . , hn ) zu beliebig vorgegebenen Anfangsbedingunm
gen (h1 (0), . . . , hn (0)), wenn die Integrabilitätsbedingung Rijk
(x) = 0 für alle x ∈ U
erfüllt ist (vgl. (7.1) und (7.3)). Dies ist äquivalent zum Verschwinden des Riemannschen
Krümmungstensors auf U . Ist also {e1 , . . . , en } eine Orthonormalbasis von T0 Rn , so gibt
m
es für jedes m ∈ {1, . . . , n} Lösungen (hm
1 , . . . , hn ) obigen DGL-Systems mit
m
(hm
1 (0), . . . , hn (0)) = em .
(3) Betrachte das DGL-System
hj =
∂y
.
∂xj
Dieses hat genau dann eine Lösung y = (y1 , . . . , yn ), wenn
∂hj
∂hk
=
∂xk
∂xj
74
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
für alle j, k gilt, siehe etwa Spivak, I.7-15. Wegen Γijk = Γikj ist diese Bedingung erfüllt.
Damit gilt auf U
n
X
∂ 2 yi
∂yi
=
Γm
jk
∂xj ∂xk
∂xm
m=1
i
∂y
mit Y ∗ = ( ∂x
(0))ij = (e1 , . . . , en ). Insbesondere ist die Matrix Y ∗ regulär und (y1 , . . . , yn )
j
ist daher ein Koordinatensystem um 0.
(4) Wir zeigen, daß y = (y1 , . . . , yn ) die Gleichung (∗) auf U erfüllt. Dies gilt nach Wahl
von y im Punkt 0. Somit genügt es nachzuweisen, daß alle partiellen Ableitungen der
rechten Seite von (∗) auf U verschwinden. Wie im Beweis von (7.1) zeigt man
n
X
∂g ij
il j
lj i
=−
g Γlm + g Γlm .
∂xm
l=1
Dies ergibt
n
n
n
n
2
X
X
X
∂ X kl ∂yi ∂yj
∂g kl ∂yi ∂yj
∂yj
∂yi ∂ 2 yj
kl ∂ yi
g
=
+
g
+
g kl
∂xm
∂xk ∂xl
∂xm ∂xk ∂xl
∂xk ∂xm ∂xl
∂xk ∂xl xm
k,l=1
k,l=1
=
n
X
k,l=1
=
∂g kl ∂yi ∂yj
+
∂xm ∂xk ∂xl
n
X
∂yi ∂yj
∂xk ∂xl
k,l=1
n
X
k,l=1
g kl
k,l=1
n
X
Γrkm
r=0
n
n
X
k,l=1
n
X
kl
∂yi ∂yj
+
g
∂xr ∂xl
k,l=1
!
Γrlm
r=0
∂yi ∂yj
∂xk ∂xr
∂g kl X rl k
+
g Γrm + g kr Γlrm
∂xm r=1
=0
nach der ersten Gleichung von (4). Damit ist die Behauptung bewiesen.
(7.10) Beispiele. (a) Die n-Sphäre vom Radius r hat alle Hauptkrümmungen konstant
r−1 , d.h. es ist Rijij = r−2 für i 6= j. Deshalb ist die n-Sphäre nicht lokal isometrisch zum
Rn .
(b) Für den Zylinder Zn−m,m = Sn−m × Rm ist
n
λi λj falls 1 ≤ i, j ≤ n − m, i 6= j
Rijij =
0
sonst.
Damit ist der Zylinder Zn−m,m nur für n − m = 1 lokal isometrisch zum Rn .
(7.11) Definition. Sei p ∈ M n und sei (e1 , . . . , en ) eine Basis von Tp M . Dann wird
durch
n
X
Ric : (X, Y ) 7→
Rij fi gi
i,j=1
Kapitel 7: Flächen Teil III, Struktur der zweiten Fundamentalform
eine Bilinearform auf Tp M definiert, wobei X =
Rij =
n
X
Pn
i=1
fi ei , Y =
Pn
i=1 gi ei
75
und
g lk Riljk
l,k=1
ist. Diese Bilinearform wird die Ricci-Krümmung vom M in p genannt. Die Spur der
Ricci-Krümmung heißt skalare Krümmung.
76
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
KAPITEL 8
Exponentialabbildung und Krümmungstensor
Das vor (6.15) angebene System gewöhnlicher Differentialgleichungen
x̃00k (t) +
n
X
x̃0i (t)x̃0j (t)Γkij (c(t)) = 0
i,j=1
läßt sich umschreiben zu
x0i = zi
zk0
=−
n
X
Γkij (x1 , . . . , xn )zi zj
(♣)
i,j=1
Wir betrachten dieses System auf dem Würfel W = {(x1 , . . . , xn ) | |xi | < c}, wobei wir
annehmen, daß W im Bild h(U ) einer Karte h : U → Rn liegt und h(p) = 0 gelte. Aus der
Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen (siehe etwa [13], p. 64) wissen wir dann:
Es gibt Konstanten b ∈ (0, c) und M > 0, sowie eindeutig bestimmte glatte Abbildungen
ϕi : [−2b, 2b] × [−b, b]2n → R : (t, u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn ) 7→ ϕi (t, u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn ),
so daß für alle (u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn ) ∈ [−b, b]2n die Abbildungen
xi (t) = ϕi (t, u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn )
zi (t) = D1 ϕi (t, u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn )
das System (♣) lösen, |xi (t)| < 21 , |zi (t)| < M gilt, und die Anfangswerte xi (0) = ui
und zi (0) = vi erfüllt sind. Dabei bezeichnen Di die partielle Ableitung nach dem i-ten
Argument.
Setzen wir
ψi : [−2b, 2b] × [−b, b]n → R : (t, v1 , . . . , vn ) 7→ ϕi (t, 0, . . . , 0, v1 , . . . , vn ),
so gilt
ψ(0, v1 , . . . , vn ) = 0
D1 ψi (0, v1 , . . . , vn ) = vi .
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
77
Sei nun X ∈ Tp M \ {0}. Die maximale Geodäte cX mit cX (0) = p und (cX )0 (0) = X
existiert und ist eindeutig nach (6.15). Der Tangentialvektor X läßt sich nach (2.16)
schreiben als
n
X
∂
X=
ai
∂xi p
i=1
mit ai ∈ R. Wir betrachten nun speziell die Anfangswertbedingung
(x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ) = (0, . . . , 0, a1 , . . . , an ).
Für s ∈ R ist die Kurve dX : t 7→ s · cX (t) ebenfalls eine maximale Geodäte mit dX (0) = p
und (dX )0 (0) = sX. Andererseits ist auch d˜X : t 7→ cX (st) eine maximale Geodäte mit
d˜X (0) = p und (d˜X )0 (0) = s · (cX )0 (0) = sX. Aus der Eindeutigkeit der Geodäten folgt
damit
cX (st) = csX (t)
für alle s, t ∈ R. Aus der Eindeutigkeit der Abbildungen ϕi folgt somit
ψi (st, a1 , . . . , an ) = ψi (t, sa1 , . . . , san )
für alle s ∈ (−1, 1), t ∈ [−2, 2b] und ai ∈ [−b, b]. Damit folgt aus obiger Gleichung durch
Differentiation nach s
t · D1 ψi (st, a1 , . . . , an ) =
t2 · D12 ψi (st, a1 , . . . , an ) =
n
X
aj · Dj+1 ψi (t, sa1 , . . . , san )
j=1
n
X
aj ak · Dj+1 Dk+1 ψi (t, sa1 , . . . , san ).
j,k=1
Nach der Taylorschen Formel ist
1
ψi (b, a1 , . . . , an ) = ψi (0, a1 , . . . , an ) + D1 ψi (0, a1 , . . . , an )b + D21 ψi (ξ, a1 , . . . , an )b2
2
für ein ξ ∈ [0, b]. Obige Gleichung für die zweite Ableitung eingesetzt ergibt
n
1 X
ξ
ξ
aj ak · Dj+1 Dk+1 ψi (b, a1 , . . . , an ).
ψi (b, a1 , . . . , an ) = 0 + ai b +
2
b
b
j,k=1
Somit besitzt die Abbildung
Ψ : [−b, b]n → R : (v1 , . . . , vn ) 7→ (ψ1 (b, v1 , . . . , vn ), . . . , ψn (b, v1 , . . . , vn ))
im Ursprung die Jacobi-Matrix
DΨ(0) = bEn ,
78
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
wobei En die Einheits-n × n-Matrix ist. Insbesondere ist die Jacobi-Matrix im Ursprung
regulär und nach dem Satz über die Umkehrfunktion ist Ψ ein lokaler Diffeomorphismus
um 0. Nun ist Ψ die Abbildung X 7→ cX (b), dargestellt in den lokalen Koordinaten
(x1 , . . . , xn ), da die Abbildungen ψi gerade die Lösungen von Gleichung (♣) sind. Wegen
cbX (1) = cX (b) haben wir also den folgenden Satz bewiesen.
(8.1) Satz. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang ∇ und
sei p ∈ M . Dann gibt es eine offene Umgebung V von 0 in Tp M , so daß die Abbildung
expp : V → M : X 7→ cX (1) ein Diffeomorphismus zwischen V und expp (V ) ist. Die
Abbildung exp = expp wird die Exponentialabbildung im Punkt p genannt. Die Geodäten
durch p haben die Form t 7→ exp(tX) für X ∈ Vec (M ).
(8.2) Definition. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit affinem Zusammenhang ∇.
Sei p ∈ M . Eine Umgebung N0 des Ursprungs in Tp M heißt normal, falls die Exponentialabbildung exp = expp : N0 → Np = exp(N0 ) ein Diffeomorphismus auf eine offene
Umgebung Np von p ist und N0 sternförmig ist, d.h. es ist tX ∈ N0 ist für alle X ∈ N0 und
alle t ∈ [0, 1]. Die Umgebung Np heißt eine normale Umgebung von p. Ist (X1 , . . . , Xn )
eine Basis von Tp M , so heißt die Umkehrabbildung
logp : Np → N0 ⊆ Rn : expp (a1 X1 + . . . + an Xn ) → (a1 , . . . , an )
von exp = expp ein Normalkoordinatensystem in p.
Da die ε-Kugeln eine Basis der euklidischen Topologie des Rn bilden, folgt aus (8.1)
sofort, daß jeder Punkt p ein Normalkoordinatensystem besitzt. Es gilt sogar der folgende
Satz. Für einen Beweis siehe etwa Helgason, [8], p. 34-35.
(8.3) Definition. Eine Umgebung U von p heißt konvex, falls zu je zwei Punkten q1 , q2
aus U eine Geodäte zwischen q1 und q2 gibt, die ganz in U enthalten ist. Die Umgebung
U heißt einfach, wenn es zu je zwei Punkten q1 , q2 ∈ U höchstens eine Geodäte gibt, die
q1 und q2 verbindet.
(8.4) Satz. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit affinem Zusammenhang ∇. Dann
besitzt jeder Punkt p ∈ M eine normale Umgebung Np , welche eine normale Umgebung
für jede ihrer Punkte ist. Insbesondere ist Np einfach und konvex.
Sei p ∈ M und X ∈ Tp M . Wie in Kapitel 6 gezeigt, gilt für eine Geodäte c : [a, b] → M
mit c(a) = p in lokalen Koordinaten (x1 , . . . , xn ) die Beziehung
x̃00k (t)
+
n
X
i,j=1
x̃0i (t)x̃0j (t)Γkij (c(t)) = 0.
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
79
Da nach dem Beweis von (6.14) die Lösung ϕ(b) dieser Gleichung lediglich von c(a), c0 (a)
und vom Endpunkt c(b) (differenzierbar) abhängt, ist die Abbildung Φ∗ : q 7→ Φpq X glatt,
wobei Φpq die Parallelverschiebung von p nach q ist. Betrachtet man die Abbildung Φ∗
auf einer normalen, einfachen, konvexen Umgebung Np , so ist Φ∗ auf der ganzen Menge
Np definiert und dort wohldefiniert.
(8.5) Definition. Sei p ∈ M , X ∈ Tp M , und sei Np eine normale, einfache, konvexe
Umgebung von p. Dann heißt das durch
Xp∗ := Φpq X
definierte glatte Vektorfeld auf Np das durch X bestimmte Parallelfeld.
Als nächstes wollen wir untersuchen, welche Verbindungen zwischen einer Riemannschen Metrik und einem affinen Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit bestehen
können.
(8.6) Definition. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemann-Metrik g. Ein
affiner Zusammenhang ∇ auf M heißt ein Riemannscher Zusammenhang oder auch kompatibel zur Riemannschen Metrik g, falls zu jeder regulären Kurve c : [a, b] → M und zu je
zwei parallelen Vektorfeldern X und Y entlang c das Skalarprodukt gc(t) (X(t), Y (t)) für
alle t ∈ [a, b] konstant ist.
Bemerkung. Durch die Skalarprodukte gp werden die Tangentialräume Tp M zu euklidischen Vektorräumen. Nach (6.14) induziert jede Kurve c : [a, b] → M mit p = c(a)
und q = c(b) einen Vektorraum-Isomorphismus Φc : Tp M → Tq M . Ist der affine Zusammenhang kompatibel zur Riemannschen Metrik g, so ist Φc sogar eine orthogonale lineare
Abbildung.
(8.7) Satz. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g. Dann
sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) Der affine Zusammenhang ∇ auf M ist ein Riemannscher Zusammenhang.
(b) Für jede reguläre Kurve c und Vektorfelder V, W entlang c ist
d
hV, W i =
dt
DV
,W
dt
DW
+ V,
.
dt
(c) Für alle X, Y, Z ∈ Vec (M ) ist Zg(X, Y ) = g(∇Z (X), Y ) + g(X, ∇Z (Y )).
(d) Für alle Z ∈ Vec (M ) ist ∇Z g = 0.
Die Gleichung (c) wird die Ricci-Identität genannt.
80
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
Beweis. (c) ⇐⇒ (d) : Für X, Y, Z ∈ Vec (M ) gilt nach (6.18)
∇Z (X ⊗ Y ⊗ g) = ∇Z (X ⊗ Y ) ⊗ g + (X ⊗ Y ) ⊗ ∇Z (g)
= (∇Z (X) ⊗ Y ) ⊗ g + (X ⊗ ∇Z (Y )) ⊗ g + (X ⊗ Y ) ⊗ ∇Z (g).
Kontrahieren wir obige Gleichung, so bekommen wir
∇Z (g(X, Y )) = Zg(X, Y ) = g(∇Z (X), Y ) + g(X, ∇Z (Y )) + (∇Z (g))(X, Y ),
woraus die Äquivalenz von (c) und (d) folgt.
(c) =⇒ (b) : Sei c : [−1, 1] → M eine reguläre Kurve mit c(0) = p. Sei Zc das
Geschwindigkeitsvektorfeld von c und sei Z ∈ Vec (M ) eine Fortsetzung von Zc . Seien
V, W Vektorfelder entlang c mit Fortsetzungen X, Y ∈ Vec (M ). Dann ist
d
d
hV, W i (s) = (g(V (s), W (s))) = ∇Zc (s) (g(Xc(s) , Yc(s) )) = Zc(s) (g(Xc(s) , Yc(s) ))
dt
dt
= g(∇Zc (s) X, Yc(s) ) + g(Xc(s) , ∇Zc (s) Y )
DV
DW
=g
(s), W (s) + g V (s),
(s) ,
dt
dt
woraus (b) folgt.
(b) =⇒ (a) : Sei c : [a, b] → M eine reguläre Kurve und seien V, W parallele Vektorfelder
entlang c. Dann ist
DW
DV
=0=
,
dt
dt
und es folgt aus (b)
d
hV, W i =
dt
DV
,W
dt
DW
+ V,
= 0 + 0 = 0.
dt
Also ist g(V (s), W (s)) auf [a, b] konstant, d.h. ∇ ist kompatibel zur Riemannschen Metrik
g.
(a) =⇒ (c) : Sei Np eine normale Umgebung von p und (X1 , . . . , Xn ) eine Basis von Tp M .
Wir wählen die durch (X1 , . . . , Xn ) bestimmten Parallelfelder X1∗ , . . . , Xn∗ auf Np . Auf Np
können wir X, Y ∈ Vec (M ) darstellen als
X=
n
X
i=1
fi Xi∗
und Y =
n
X
gi Xi∗
i=1
mit fi , gi ∈ C ∞ (Np ). Seien ci : Ui → M Geodäten durch p mit c0i (0) = Xi , siehe (6.15).
Nach Definition ist ci eine Integralkurve des Geschwindigkeitsvektorfeldes Xci . Durch die
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
81
Gleichung ∇Xci V = 0 ist ein Vektorfeld V durch Vp auf ci eindeutig bestimmt. Da ci eine
Geodäte ist, haben wir ∇Xci Xci = 0. Andererseits ist für alle i, j
∇Xcj (Xi∗ )p
1 −1 ∗
1
∗
Φt (Xi )cj (t) − (Xi )p = lim (Xi − Xi ) = 0.
= lim
t→0 t
t→0 t
Wegen (Xi∗ )p = Xi = c0i (0) = Xci (0) ist daher aufgrund der Eindeutigkeit c0i (t) = Xci (t) =
(Xi∗ )ci (t) , d.h. ci ist auch eine Integralkurve von Xi∗ . Nach (6.16) und der Definition von
Xi∗ ist somit
1 −1 ∗
1
∇Xj∗ (Xi∗ )p = lim
Φt (Xi )cj (t) − (Xi∗ )p = lim
(Xi )p − (Xi )p = 0,
t→0 t
t→0 t
also ist ∇Z (Xi∗ )p = 0 für alle Z ∈ Vec (M ) wegen Axiom (AZ1). Da nach Voraussetzung
gp ((Xi∗ )p , (Xj∗ )p ) = gij konstant ist auf Np , haben wir nach (4.23)
Zp (g(X, Y )) =
n
X
Zp (fi gj )gij
i,j=1
∇Z (X)p =
n
X
!
fi ∇Z (Xi∗ )
+
∇Z (fi )Xi∗
i=1
gp (∇Z (X), Y ) =
n
X
=
p
n
X
(Zfi )(p)Xi
i=1
Z(fi )(p)gj (p)gij .
i,j=1
Da Zp eine Derivation von C ∞ (p) ist. folgt (c).
(8.8) Definition. Ein affiner Zusammenhang auf einer glatten Mannigfaltigkeit M heißt
symmetrisch oder torsionsfrei, wenn
[X, Y ] := XY − Y X = ∇X (Y ) − ∇Y (X)
für alle X, Y ∈ Vec (M ) gilt. Dabei heißt [X, Y ] die Lie-Klammer oder die Lie-Ableitung
von X und Y und XY ist definiert durch f 7→ X(Y f ). Ein symmetrischer Riemannscher
Zusammenhang auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M wird ein Levi-Civita-Zusammenhang genannt.
Bemerkung. Auf einer Koordinatenumgebung U ist ein affiner Zusammenhang ∇ durch
die Christoffel-Symbole Γkij eindeutig bestimmt. Auf U setzen wir
∇i := ∇
∂
∂xi
.
Ist ∇ symmetrisch, so ist nach dem Vertauschungssatz von Schwarz
∂
∂
∂
∂
∂2f
∂2f
∇i
− ∇j
=
,
=
−
= 0.
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
82
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
Andererseits ist nach (6.5)
X
n
∂
∂
∂
∇i
− ∇j
=
Γkij − Γkji
,
∂xj
∂xi
∂xk
k=1
und damit folgt
Γkij = Γkji
für alle i, j, k. Dies rechtfertigt die Bezeichnung symmetrisch.
Der kanonische Zusammenhang des Rn aus (6.1) ist symmetrisch. Dies wurde in den Aufg.
54 und 55 gezeigt.
(8.9) Satz. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g. Dann
gibt es stets einen eindeutig bestimmten zu g kompatiblen Levi-Civita-Zusammenhang ∇
auf M .
˜ zu g kompatible Levi-CivitaBeweis. Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Seien ∇ und ∇
Zusammenhänge. Dann gilt nach (8.7) und (8.8) für alle X, Y, Z ∈ Vec (M )
Zg(X, Y ) = g(∇Z (X), Y ) + g(X, ∇Z (Y )) = g(∇X (Z), Y ) + g([Z, X], Y ) + g(X, ∇Z (Y )).
Zyklisches Vertauschen der Vektorfelder X, Y, Z liefert zwei weitere Gleichungen. Aus den
so gewonnenen drei Gleichungen bekommen wir nach Elimination von ∇X und ∇Y
2g(X, ∇Z (Y )) = Zg(X, Y ) + Y g(X, Z) − Xg(Y, Z)
+ g(Z, [X, Y ]) + g(Y, [X, Z]) − g(X, [Y, Z]).
(♠)
˜ Sei p ∈ M und sei (X1 , . . . , Xn ) eine OrDie gleiche Relation gilt natürlich auch für ∇.
Pn
thonormalbasis von Tp M bzgl. des Skalarproduktes h , ip . Dann ist für Y = i=1 ai Xi ∈
Vec (M )
hXi , Y ip = ai ,
d.h. durch Kenntnis von hXi , Y ip für alle i ∈ {1, . . . , n} läßt sich Y zurückgewinnen.
˜ Umgekehrt
Da die rechte Seite von (♠) nur von X, Y, Z abhängt, folgt damit ∇ = ∇.
wird ∇Z durch die Gleichung (♠) definiert und man erhält die Eigenschaften Zg(X, Y ) =
g(∇Z (X), Y ) + g(X, ∇Z (Y )) sowie [X, Y ] = ∇X (Y ) − ∇Y (X) zurück. Durch elementare
(aber langwierige) Rechnung zeigt man überdies, daß das so definierte ∇ ein affiner Zusammenhang auf M darstellt.
(8.10) Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit kompatiblem Levi-CivitaZusammenhang ∇. Sei p ∈ M und sei h = (x1 , . . . , xn ) ein Normalkoordinatensystem um
p bzgl. eine Orthonormalbasis (X1 , . . . , Xn ) von Tp M . Dann gilt
Γkij (p) = 0
für alle i, j, k.
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
83
Deshalb ist nach (♥) aus (6.5)
n
X
∂fk
∂
∇ ∂ (Y )p =
(p) ·
∂xi
∂xk
∂xk p
k=1
Pn
für Y = k=1 fk ∂x∂ k , d.h. die Koeffizienten der kovarianten Ableitung im Punkt p sind
gerade die Koordinatenableitungen von fk nach ∂x∂ k in p.
Beweis. Die erste Gleichung folgt sofort aus der Tatsache, daß (X1 , . . . , Xn ) eine Orthonormalbasis von Tp M ist. Nach (8.1) haben die Geodäten durch p die Form t 7→ exp(tX) für
X ∈ Vec (M ) \ {0}, d.h. in Normalkoordinaten h = (x1 , . . . , xn ) um p sind die Geodäten
gerade die eindimensionalen Untervektorräume geschnitten mit N0 . Ist c : (a, b) → M also
eine Geodäte durch p, so ist bzgl. h
c0 (t) = (a1 , . . . , an )
und c00 (t) = 0.
Also ist nach der Geodätengleichung
n
X
Γkij (c(t))ai aj = 0.
i,j=1
Insbesondere gilt in p = c(0) für beliebige a1 , . . . , an ∈ R
n
X
Γkij (p)ai aj = 0.
i,j=1
Für ai = 1 und aj = 0 für i 6= j folgt daraus Γkii (p) = 0 für alle i, k. Für ai = aj = 1 und
sonst al = 0 folgt
0 = Γkii (p) + Γkjj (p) + Γkij (p) + Γkji (p) = 2Γkij (p).
Damit verschwinden alle Christoffel-Symbole in p.
(8.11) Vertauschung kovarianter Ableitungen. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit kompatiblem Levi-Civita-Zusammenhang ∇. Wir setzen wieder
∇i := ∇
∂
∂xi
auf einer Koordinatenumgebung U von M . Für eine Funktion f ∈ C ∞ (M ) ist nach der
letzten Bemerkung
∂f
∂2f
∂2f
∇i ∇j (f ) = ∇i
=
=
= ∇j ∇i (f ),
∂xj
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
84
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
d.h. die zweiten kovarianten Ableitungen einer Funktion sind symmetrisch. Sei nun X ∈
Vec (M ) mit
n
X
∂
X=
fi
∂xi
i=1
auf U . Dann gilt nach (♥) von Kapitel 6
∇j (X) =
n
X
ujk
k=1
n
∂
∂xk
mit
l=1
und
∇i
∂
∂xk
∂fk X
=
+
fl Γkjl
∂xj
ujk
=
n
X
Γlik
l=1
∂
.
∂xk
Nun ist
∇i
∂
ujk
∂xk
=
=
n
X
k=1
n
X
ujk ∇i
ujk
k=1
n
X
∂ujk ∂
+
∂xi ∂xk
!
∂ujk ∂
∂
+
∂xl
∂xi ∂xk
!
∂
∂xk
Γlik
l=1
.
Aus
n
X
k=1
ujk
n
X
l=1
n
n
n
n
X
X
X
X
∂
∂
j
l
l
Γik
=
uk
Γik
=
∂xl
∂xl
k=1
l=1
k=1
l=1
n
X
∂fl
+
fm Γljm
∂xj m=1
!
!
Γkil
∂
∂xk
und
n
X
∂ujk
∂fk
=
+
∂xi
∂xj ∂xi
l=1
∂Γkjl
∂fl k
Γjl + fl
∂xi
∂xi
!
folgt für die k-te Komponente von ∇i ∇j (X) − ∇j ∇i (X) die Relation
n
∂ujk X j k
+
ul Γil
∂xi
!
n
∂uik X i k
+
ul Γjl
∂xj
−
l=1
!
l=1
=
=
n
X
l=1
n
X
:=
fl
fl
l=1
n
X
l=1
∂Γkjl
∂Γk
− il
∂xi
∂xj
!
+
n
X
!
fm Γljm Γkil
−
Γlim Γkjl
m=1
n
X
∂Γkjl
∂Γkil
k
m k
−
+
Γm
jl Γim − Γil Γjm
∂xi
∂xj
m=1
k
fl Rlij
.
!
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
85
Die letzte Gleichheit/Definition wird durch (7.7) angeregt. Somit wäre eine Möglichkeit,
einen Krümmungstensor in Analogie zu (7.7) zu definieren, die folgende: Mit
R(X, Y ) := ∇X ∇Y − ∇Y ∇X
sei
R : T1 (M ) × T 1 (M ) × T 1 (M ) × T 1 (M ) → C ∞ (M ) : (ω, X, Y, Z) 7→ ω(R(X, Y )Z)
der Riemannsche Krümmungs”tensor”. Ist das so definierte R auch ein Tensor, d.h. eine
Multilinearform? Dies ist klar für die Argumente ω, X und Y nach (AZ1). Wie sieht es
für Z aus? In Z ist R zumindest additiv. Aber es gilt für f ∈ C ∞ (M )
R(X, Y )(f Z) = ∇X ∇Y (f Z) − ∇Y ∇X (f Z)
= ∇X (f ∇Y (Z) + (Y f )Z) − ∇Y (f ∇X (Z) + (Xf )Z)
= f (∇X ∇Y (Z)) + (Xf )∇Y (Z) + (Y f )∇X (Z) + X(Y f )Z
− f (∇Y ∇X (Z)) − (Y f )∇X (Z) − (Xf )∇Y (Z) − Y (Xf )Z
= f (R(X, Y )Z) + ([X, Y ]f )Z,
d.h. das so definierte R ist nicht linear in Z. Deshalb muß der letzte Term korrigiert
werden. Wegen
∇[X,Y ] (f Z) = f ∇[X,Y ] (Z) + ([X, Y ]f )Z
definieren wir also:
(8.12) Definition. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang ∇. Für X, Y ∈ Vec (M ) setze
R(X, Y ) = ∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] .
Die C ∞ (M )-lineare Abbildung
R : T1 (M ) × T 1 (M ) × T 1 (M ) × T 1 (M ) → C ∞ (M ) : (ω, X, Y, Z) 7→ ω(R(X, Y )Z)
heißt das Krümmungstensorfeld von M . Dies ist also ein Tensor der Stufe (1,3).
Bemerkung. (a) Der Krümmungstensor R mißt also den Grad der Symmetrie der zweiten
∂
kovarianten Ableitung, denn es ist wegen [ ∂x
, ∂ ]=0
i ∂xj
R(
∂
∂
,
) = ∇i ∇j − ∇j ∇i .
∂xi ∂xj
86
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
(b) Der kanonische affine Zusammenhang auf Rn ist ein Levi-Civita-Zusammenhang von Rn
bzgl. der gewöhnlichen Riemannschen Metrik. Nach (7.9) ist der zugehörige Riemannsche
Krümmungstensor identisch Null.
(8.13) Lemma. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigflatigkeit. Für den Krümmungstensor R gelten die folgenden Aussagen:
(a)
(b)
(c)
(b)
R(X, Y ) = −R(Y, X)
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z)
g(R(X, Y )Z, W ) = g(R(Z, W )X, Y )
für alle W, X, Y, Z ∈ Vec (M ).
Beweis. (a) Folgt sofort aus [X, Y ] = −[Y, X].
∂
(b) Wegen [ ∂x
, ∂ ] = 0 genügt es aufgrund der Trilinearität von (X, Y, Z) 7→ R(X, Y )Z,
i ∂xj
die Relation für Vektorfelder X, Y, Z mit [X, Y ] = [Y, Z] = [X, Z] = 0 nachzuweisen. Dann
ist
∇X ∇Y (Z) − ∇Y ∇X (Z) + ∇Y ∇Z (X) − ∇Z ∇Y (X) + ∇Z ∇X (Y ) − ∇X ∇Z (Y ) = 0
zu prüfen. Da ∇ symmetrisch ist, gilt
∇Y (Z) − ∇Z (Y ) = [Y, Z] = 0
und entsprechend für die anderen Kombinationen. Dies beweist obige Gleichung.
(c) Wie in (a) können wir wieder [X, Y ] = 0 annehmen. Es genügt, die Relation
g(R(X, Y )Z, Z) = 0
nachzuweisen. Wir haben
g(R(X, Y )Z, Z) = g(∇X ∇Y (Z), Z) − g(∇Y ∇X (Z), Z).
Aus der Gleichung (8.7)(c) und der Symmetrie von ∇ folgt
Xg(Z, Z) = 2g(∇X (Z), Z)
und erneute Anwendung von (8.7)(c) liefert
Y Xg(Z, Z) = 2 (g(∇Y ∇X (Z), Z) + g(∇X (Z), ∇Y (Z))) .
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
87
Wegen [X, Y ] = 0 ist die linke Seite obiger Gleichung symmetrisch in X und Y . Da der
rechte Term der rechten Seite ebenfalls in X und Y symmetrisch ist, gilt dasselbe auch für
den mittleren Term. Dies liefert die Behauptung.
(d) Folgt durch Anwenden von (a), (b) und (c).
Als nächstes soll die geometrische Bedeutung der Lie-Klammer untersucht werden. Dazu
benötigen wir das folgende Lemma, dessen Beweis etwa in Lang, Analysis II, 126–138 zu
finden ist.
(8.14) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, sei X ∈ Vec (M ) und sei p ∈ M .
Dann gibt es ein ε > 0, eine offene Umgebung U von p, sowie eine Familie Φ = {ϕt }|t|<ε
von Diffeomorphismen ϕt : U → ϕt (U ) ⊆ M , für die gilt:
(a) Die Abbildung Φ : (−ε, ε) × M → M : (t, q) 7→ ϕt (q) ist glatt.
(b) Für alle s, t ∈ (−ε, ε) mit s + t ∈ (−ε, ε) und für alle q ∈ U mit ϕt (q) ∈ U gilt
ϕs+t (q) = ϕs (ϕt (q)).
(c) Für alle q ∈ U ist die Kurve cq : (−ε, ε) → M : t 7→ ϕt (q) eine Integralkurve von
X mit cq (0) = q.
Die Familie Φ heißt die von X erzeugte (lokale) Einparametergruppe.
(8.15) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und sei f : M → M eine glatte
bijektive Abbildung. Sei X ∈ Vec (M ) mit Φ als die von X erzeugte Einparametergruppe.
Es ist Tf (X) = X genau dann, wenn ϕt ◦ f = f ◦ ϕt für alle t ∈ (−ε, ε) gilt.
Beweis. Für g ∈ C ∞ (M ) ist nach Eigenschaft (c)
(Tf X)p (g) = Tf −1 (p) Xf −1 (p) (g)
= Xf −1 (p) (g ◦ f )
= (g ◦ f ◦ cf −1 (p) )0 (0)
1
= lim (g ◦ f ◦ cf −1 (p) (t) − g ◦ f (f −1 (p)))
t→0 t
1
= lim (g ◦ f ◦ ϕt ◦ f −1 (p) − g(p)).
t→0 t
Nun ist f ◦ ϕt ◦ f −1 = ϕt genau dann, wenn
1
(Tf X)p (g) = lim (g(ϕt (p)) − g(p)) = Xp (g)
t→0 t
für alle g ∈ C ∞ (M ) gilt. Dies beweist das Lemma.
88
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
(8.16) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und seien X, Y ∈ Vec (M ) mit Φ und
Ψ als die von X bzw. von Y erzeugten Einparametergruppen. Dann ist für alle p ∈ M
1
(Yp − (Tϕt Y )p ) .
t→0 t
[X, Y ]p = lim
Beweis. Die Abbildungen aus Φ seien auf (−ε, ε) definiert. Für f ∈ C ∞ (M ) und U wie in
(8.14) setze
h : (−ε, ε) × U → M : (t, p) 7→ f (ϕt (p)) − f (p),
sowie
Z
g : (−ε, ε) × U → M : (t, p) 7→
0
Dann ist
1
∂
h(st, p)ds.
∂s
∂h
(0, p) = Xp f
∂t
und
Z
h(t, p) = h(1 · t, p) − h(0, p) =
1
t
0
∂
h(st, p)ds = tg(t, p),
∂s
woraus mittels Produktableitung
Xp f =
∂h
(0, p) = g(0, p)
∂t
folgt. Wir erhalten somit wegen ϕ−1
t = ϕ−t
(Tϕt Y )p (f ) = Tϕ−t (p) ϕt Yϕ−t (p) (f ) = Yϕ−t (p) (f ◦ ϕt ) = Yϕ−t (p) (f + tg(t, .)).
Insgesamt bekommen wir
[X, Y ]p (f ) = Xp (Y f ) − Yp (Xf )
1
= lim ((Y f ) ◦ ϕt (p) − (Y f )(p)) − (Y g(0, .))p
t→0 t
1
= lim ((Y f )(p) − (Y f ) ◦ ϕ−t (p)) − lim (Y g(t, .))ϕ−t (p)
t→0 t
t→0
1
= lim
(Y f )(p) − (Y f ) ◦ ϕ−t (p) − t(Y g(t, .))ϕ−t (p)
t→0 t
1
= lim (Yp − (Tϕt Y )p ) .
t→0 t
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
89
(8.17) Lemma. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und seien X, Y ∈ Vec (M ) mit Φ und
Ψ als die von X bzw. von Y erzeugten Einparametergruppen. Es ist [X, Y ] = 0 genau
dann, wenn ϕt ◦ ψs = ψs ◦ ϕt für alle s, t gilt.
Beweis. Vertauschen ϕt und ψs für alle s, t, so ist Tϕt Y = Y nach (8.15) und es folgt
[X, Y ] = 0 nach der Darstellung der Lieklammer aus (8.16). Sei umgekehrt [X, Y ] = 0 und
p ∈ M . Betrachte die Kurve c : (−ε, ε) → Tp M : t 7→ (Tϕt Y )p . Wegen
1
c0p (s) = lim (c(s + t) − c(s))
t→0 t
1
= lim ((Tϕs+t Y )p − (Tϕs Y )p )
t→0 t
1
= lim (Tϕ−s (p) ϕs (Tϕt Y )ϕ−s (p) − Tϕ−s (p) ϕs Yϕ−s (p) )
t→0 t
1
= Tϕ−s (p) ϕs lim ((Tϕt Y )ϕ−s (p) − Yϕ−s (p)
t→0 t
= Tϕ−s (p) ϕs (0) = 0,
wobei die letzte Gleichung wieder aus (8.16) folgt, gilt cp (s) = cp (0) für alle s. Also ist
Tϕt Y = Y , da p ∈ M beliebig war. Nach (8.15) folgt nun die Behauptung.
(8.18) Satz. Sei M n eine glatte Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Seien X1 , . . . , Xn ∈ Vec (M )
in einer Umgebung W von p linear unabhängig. Genau dann gilt [Xi , Xj ] = 0 für alle i, j,
∂
auf U gibt.
wenn es eine Karte (h, U ) um p mit Xi = ∂x
i
Beweis. Wir können annehmen, daß die Umgebung W von p bereits in einer Koordinatenumgebung mit Koordinaten k = (y1 , .. . , yn ) liegt und die Xi auf k(W ) definiert sind.
∂
Dort können wir außerdem (Xi )0 = ∂y
annehmen. Sei Φi = ϕit die von Xi erzeugte
i
0
lokale Einparametergruppe. Setze
j(u1 , . . . , un ) := ϕ1u1 (ϕ2u2 (. . . (ϕnun (0, . . . , 0) . . .).
Dann ist j(v1 + u1 , u2 , . . . , un ) = ϕ1v1 (j(u1 , . . . , un )) und für u = (u1 , . . . , un ) ∈ k(W ) und
f ∈ C ∞ (k(W )) gilt
T0 j
∂
∂y1
∂
(f ) =
(f ◦ j)
∂y1 u
u
1
= lim (f (j(u1 + t, u2 , . . . , un )) − f (j(u)))
t→0 t
1
= lim
f (ϕ1t (j(u1 , u2 , . . . , un ))) − f (j(u))
t→0 t
= (X1 f )j(u) .
90
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
Setzen wir h = (x1 , . . . , xn ) = j −1 , so folgt aus der eben erhaltenen Gleichung
X1 =
∂
.
∂x1
Da nach Voraussetzung und (8.17) die Reihenfolge der Abbildungen ϕit in der Definition
von j keine Rolle spielt, folgt ebenso für alle i
Xi =
∂
.
∂xi
Die Umkehrung ist klar.
(8.19) Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang ∇ und Riemannschem Krümmungstensor R. Sei p ∈ M . Die Mannigfaltigkeit M
ist genau dann im Punkt p lokal isometrisch zu Rn , falls R auf einer Umgebung von p
verschwindet.
Beweis. Sei p ∈ M und sei (h, Np ) ein normales Koordinatensystem um p mit log =
(y1 , . . . , yn ), so daß der Riemannsche Krümmungstensor auf Np verschwindet. Im folgenden
werden wir stets auf N0 = log(Np ) argumentieren. Sei Φcpq der zum Zusammenhang ∇
gehörige Paralleltransport auf N0 längs einer Kurve c von p = c(a) nach q = c(b). Setze
wieder ∇i := ∇ ∂ . Sei D ∈ T0 Rn .
∂yi
(1) Es gibt ein Vektorfeld X ∈ Vec (N0 ) mit ∇i X = 0 und X0 = D.
Auf der Kurve c1 : U1 → N0 : t 7→ (t, 0, . . . , 0) setzen wir Xq := Φc0q1 D. Dann ist X parallel
entlang c1 mit X0 = D. Für t1 ∈ U1 fest sei ct21 : U2t1 → N0 : t 7→ (t1 , t, 0, . . . , 0). Auf
t1
c
ct21 definieren wir wieder Xq := Φ0q2 . Dann ist X parallel zu allen Kurven ct21 , d.h. es ist
∇2 (X) = 0 auf V2 = {(t1 , . . . , tn ) ∈ N0 | t3 = . . . = tn = 0}. Wegen
∇2 ∇1 (X) − ∇1 ∇2 (X) = R(
∂
∂
,
)X = 0
∂y1 ∂y2
auf V2 , folgt daher
∇2 ∇1 (X) = 0
auf V2 , d.h. ∇1 (X) ist parallel entlang der Kurven ct21 . Wegen ∇1 (X)(t1 ,0,...,0) = 0 folgt
daher ∇1 (X) = 0 auf V2 . Durch Iteration dieses Verfahrens erhält man schließlich ein
Vektorfeld X auf N0 mit ∇i X = 0 und X0 = D.
(2) Nach (1) und (AZ1) ist also ∇Z X = 0 für jedes Vektorfeld Z ∈ Vec (N0 ). Wähle
nun eine Orthonormalbasis (D1 , . . . , Dn ) in T0 M bzgl. g0 . Nach (1) gibt es Vektorfelder
X1 , . . . , Xn auf N0 mit ∇Z Xi = 0 für alle Z ∈ Vec (N0 ) und (Xi )0 = Di . Sei U ⊆ N0
Kapitel 8: Exponentialabbildung und Krümmungstensor
91
eine Umgebung von p, so daß die Vektorfelder Xi auf U linear unabhängig sind. Da ∇
symmetrisch ist, haben wir
[Xi , Xj ] = ∇Xi Xj − ∇Xj Xi = 0.
Nach (8.18) gibt es also ein Koordinatensystem (h, V ) um p mit h = (x1 , . . . , xn ) und
∂
Xi = ∂x
. Nach Konstruktion sind die Vektorfelder Xi orthonormal im Punkt 0. Da die Xi
i
parallel entlang jeder Kurve sind und der Paralleltransport eine ortogonale Abbildung ist,
sind die Vektorfelder Xi auf ganz V orthonormal, d.h. h ist eine Isometrie. Die Umkehrung
folgt nach der zweiten Bemerkung nach (8.12).
92
Literatur
Literatur
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
Berger, M., Geometry I, II, Berlin: Springer 1987
Bishop, R.L., Crittenden, J., Geometry of Manifolds, New York-London 1964
Blaschke, W., Leichtweiß, K., Elementare Differentialgeometrie, Berlin: Springer 1973
Bröcker, T., Jänich, K., Einführung in die Differentialtopologie, Berlin: Springer 1973
Chavel, I., Riemannian Geometry: A modern Introduction, Cambridge University Press 1993
do Carmo, M., Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Stuttgart: Vieweg ???
Gallot, S., Hulin, S., Lafontaine, J., Riemannian geometry, Berlin: Springer 1990
Helgason, S., Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Boston: Academic Press 1978
Hilbert, C., Cohn-Vossen, S., Anschauliche Geometrie, Berlin: Springer 1932, 1996
Hsiung, C.C., A first course in differential geometry, New York: Wiley 1981
Klingenberg, W., Eine Vorlesung über Differentialgeometrie, Berlin: Springer 1973
Laugwitz, D., Differentialgeometrie, Stuttgart: Vieweg 1977
Miller, K.S., Murray, F.J., Existence Theorems for Ordinary Equations, New York 1954
O’Neill, B., Elementary differential geometry, New York 1966
Spivak, M., Calculus on Manifolds, Menlo Park 1965
Spivak, M., A comprehensive introduction in differential geometry I–V, Boston 1970–1975
Thorpe, J., Elementary topics in differential geometry, New York 1979
Walter, R., Differentialgeometrie, BI 1978