Lösungshinweise zu Kapitel 1

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Fehlerteufel
Trotz aller Mühen und Anstrengungen beim Korrekturlesen kommt es wohl bei jedem Buch
(zumindest in der Erstauflage) vor, dass der Fehlerteufel dem sorgfältig arbeitenden Autor ins
Handwerk pfuscht. Fehler, die bisher von Leserinnen und Lesern gemeldet wurden oder die
mir selbst aufgefallen sind, finden Sie in den folgenden Zeilen.
Wenn Sie weitere Fehler finden oder Anmerkungen haben, so freue ich mich über jeden sachdienlichen Hinweis, aber natürlich auch über Kritik, Lob, Kommentare, Anregungen usw., die
Sie mir per E-Mail an
[email protected]
zukommen lassen können. Ich bemühe mich, jede Mail umgehend zu beantworten. Die folgenden Korrekturen und Bemerkungen sind in chronologische Folge geordnet, so dass Sie
sofort sehen können, was neu ist.
▪ S. 91, 3. Absatz v.o, 4. Zeile: Vorzeichenfehler, richtig ist sn  2  2  cos( )
▪ Die Aufgabennummer 4.7 kommt versehentlich doppelt vor (S. 113 und S. 118); es handelt
sich aber um zwei verschiedenen Aufgaben.
▪ S. 89, letzte Zeile: Es muss F‘(0|-0,25 – z) heißen (anstelle von F‘(0|-0,25 – z)); am Beweis
ändert sich nichts.
▪ S. 90, 4.Z. v.o.: Der zweite „Pythagoras“ wird auf das Dreieck OE’F‘ angewandt (nicht auf
OE’G‘).
▪ S. 272, Inhaltsverzeichnis: gleichmächtig 31, 218 (falsch ist 118)
▪ Klarstellung zu den Ausführungen auf S. 228 f. (Peano-Axiome):
 Es wird behauptet, dass die Peano-Axiome vollständig sind. Das ist in strengen
Sinne nicht korrekt, da Gödel gezeigt hat, dass kein Axiomensystem vollständig
und widerspruchsfrei ist? Außerdem kann man doch eine Mächtigkeit zwischen N
und R zu den Peano-Axiomen hinzunehmen oder auch nicht, was ebenso die Vollständigkeit widerlegt. Die Peano-Axiome sind natürlich widerspruchsfrei. Sie sind
aber nicht vollständig, weil man innerhalb (also nur durch Nutzung von aus den
Peano-Axiomen ableitbaren Begriffen) von ihnen unentscheidbare Sätze formulieren kann, wie die Kontinuumshypothese. Man kann die letztere zu den PeanoAxiomen hinzunehmen oder auch ihr Gegenteil. Genau das bedeutet aber „nicht
vollständig“.
 Im Buch wird jedoch eine „weichere“ Version des Begriffs benutzt, für die ich auf
das schöne Buch von Hans Wussing „6000 Jahre Mathematik“ (Band 2, Berlin:
Springer, 2009, S. 176, 4. Absatz v.u.) verweisen will. Es geht um Hilberts Forderungen an Axiomensysteme. Wussing schreibt: „Das Axiomensystem soll zweitens
vollständig sein. Es soll also in einem gewissen Sinne genügend umfangreich sein,
so, dass der Inhalt der dadurch begründeteten Theorie im Wesentlichen eindeutig
festgelegt ist. Dies gilt z.B. für die Hilbertschen Axiome der Geometrie.“ Wussing
verwendet hier das Wort „vollständig“ nicht im strengen Sinne sondern in einem
eher „umgangssprachlichen“ Sinn. In meinem Buch ist das analog zu sehen: Die
Peano -Axiome sind in dem Sinne vollständig, dass sie genau die natürlichen Zahlen beschreiben.
▪ An dieser Stelle soll noch eine didaktische Bemerkung eingefügt werden: Oft entstehen
Begriffe anschaulich durch Beispiele und Gegenbeispiele auf präformaler Ebene und müsStand: 7.10.2013
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sen dann formal definiert werden. Dabei können Probleme mit der anschaulichen Vorstellung entstehen. Zwei Beispiele:
 Tangenten: Schüler erfahren Tangenten zuerst (und in der Regel ausschließlich)
als Tangenten an Kreise. Dort sind es die speziellen Geraden, die einen Kreis genau
einmal schneiden, alle anderen Geraden schneiden zweimal oder gar nicht. Dieser
Aspekt ist aber nicht geeignet, um Tangenten an beliebige Kurven (in der Schule
Funktionsgraphen) zu definieren; der Aspekt führt leicht zu Fehlvorstellungen. Der
Aspekt der „optimalen Approximation“ dagegen ist verallgemeinerbar zur zunächst
anschaulichen lokalen Linearität mit Hilfe der Ableitung. Die formale Definition
einer Tangenten ist dann diejenige Gerade, die durch den Punkt P(a|f(a)) des Graphen geht und die Steigung f ‘(a) hat. Jetzt gibt es aber die bekannten merkwürdigen Beispiele von Funktionsgraphen mit Tangenten, die jeder Anschauung widersprechen.
 Gleichmächtig: Schon in der Grundschule wird für endliche Menge der Kardinalzahlaspekt angesprochen: Durch Abzählen kann man feststellen, ob zwei Mengen
gleich viele Elemente haben. Wird das nach Cantor auf unendliche Mengen verallgemeinert, so ist das eine normative Setzung, die zu Widersprüchen mit der Anschauung führt: Wie nur können die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge
der geraden Zahlen gleichviel Elemente haben, wo doch die zweite „nur halb so
viele Elemente“ hat?
▪ S. 163, Bild 4.111. Das Teilbild unten links ist falsch (es war schon in der ersten Auflage
falsch und wurde durch ein anderes falsches ersetzt). Richtig ist das folgende Bild:
▪ S. 173, 12 – 10. Zeile von unten: Das ist so falsch. Es muss wie folgt heißen:
Das einfache Anfangswertproblem y '  f mit y(a)  0 hat für eine stetige Funktion f
x
genau eine Lösung, nämlich F ( x)   f (t )dt .
a
▪ S. 219, 6. Zeile von unten, und S. 220, Unterschrift zu Bild 6.6: Der Name Cauchy ist
durch den Namen Cantor zu ersetzen.
▪ S. 221, Satz 6.3: Definitionsgemäß ist 1 die kleinste überabzählbare Mächtigkeit. Folglich ist die Mächtigkeit von
nur dann die gleich 1 , wenn man die Kontinuumshypothese voraussetzt. Sonst sagt der Beweis von Satz 6.3 nur aus, dass
eine größere Mächtigkeit als hat.
▪ S. 223, Bild 6.10, und S. 255, 4. Absatz, 5. Z.v.o., „Hausdorff“ statt „Haussdorff“.
▪ S. 246, 9. Z.v.u.: Der Hinweis auf die absolute Konvergenz ist überflüssig. Das Argument
funktioniert wegen der Konvergenz an sich.
▪ S. 247, 3.Z.v.u.: Hier wird verwendet (1)2  (12 ) , was gar nicht vorausgesetzt wird. Der
gewünschte Widerspruch folgt direkt durch Einsetzen von x = 1 und x = -1 in x = ( x 2 ) :
1 = (12 )  (1) und -1 = ((1)2 )  (1) .
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▪ S. S. 251, erste Zeile im Beweis zu Satz 6.6.c: In jeder Topologie ist das Maß des Intervalls definitionsgemäß gleich b  a .
▪ S. 252, 11.Z.v.u.: Die Definition von c ist unkorrekt: Die Zahlen der Cantormenge sind
genau diejenigen reellen Zahlen, die in der 3-adischen Darstellung nur die Ziffern 0 und 2
haben. Die einzige Ausnahme sind die 2er-Perioden, z.B. 0,202222… = 0, 202  0, 21 , die
auch als abbrechende Zahl mit einer 1 als der letzten Ziffer ungleich Null geschrieben werden können (dies entspricht den Neunerperioden im Dezimalsystem). Die in der genannten
Zeile definierte Zahl c lässt sich auch mit den Ziffern 0 und 2 schreiben, gehört also zur
Cantormenge. Die kleine Änderung
c : 0, x1...xn111
mit zwei Einsen tut aber dann das Gewünschte.
▪ S. 253,3.Z.v.o.: Hier ist analog z.B.
c : 0, x1...xn1110 und d : 0, x1...xn1111
zu setzen
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