uni-texte - Discover Armenia

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Lehrbucher
G. M. Barrow, Physikalische Chemie I, II, III
W. L. Bontsch-Brujewitsch II. P. Swaigin II. W. Karpenko I A. G. Mironow,
Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik
W. Czech, Obungsaufgaben aus der Experimentalphysik
H. Dallmann I K.-H. Elster, Einfiihrung in die hohere Mathematik
M. J. S. Dewar, Einfiihrung in die moderne Chemie
N. W. Efimow, Hohere Geometrie I, II
A. P. French, Spezielle Relativitatstheorie
D. Geist, Halbleiterphysik I, II
P. Guillery, Werkstoffkunde fiir Elektroingenieure
E. Hilla I T. Boublik, Einfiihrung in die statistische Thermodynamik
J. G. Holbrook, Laplace-Transformationen
I. E. Irodov, Aufgaben zur Atom- und Kernphysik
S. G. Krein I V. N. Uschakowa, Vorstufe zur hoheren Mathematik
H. Lau I W. Hardt, Energieverteilung
R. Ludwig, Methoden der Fehler- und Ausgleichsrechnung
E. Meyer I E.-G. Neumann, Physikalische und technische Akustik
E. Meyer I R. Pottel, Physikalische Grundlagen der Hochfrequenztechnik
E. Poulsen Nautrup, Grundpraktikum der organischen Chemie
L. Prandtl I K. Oswatitsch I K. Wieghardt, Fuhrer durch die Stromungslehre
W. Rieder, Plasma und Lichtbogen
H. Seiffert, Einfiihrung in das wissenschaftliche Arbeiten
F. G. Taegen, Einfiihrung in die Theorie der elektrischen Maschinen I, II
W. Tutschke, Grundlagen der Funktionentheorie
W. Tutschke, Grundlagen der reellen Analysis I, II
H.-G. Unger, Elektromagnetische Wellen I, II
H.-G. Unger, Quantenelektronik
H.-G. Unger, Theorie der Leitungen
H.-G. Unger I W. Schultz, Elektronische Bauelemente und Netzwerke I, II
W. Wuest, Stromungsmelltechnik
Skripten
J. Behne I W. Muschik I M. Pasler,
Ringvorlesung zur Theoretischen Physik, Theorie der Elektrizitat
O. Hittmair I G. Adam,
Ringvorlesung zur Theoretischen Physik, Warmetheorie
H. Jordan I M. Weis, Asynchronmaschinen
H. Jordan I M. Weis, Synchronmaschinen I, II
G. Lamprecht, Einfiihrung in die Programmiersprache FORTRAN IV
E. Macherauch, Praktikum in Werkstoffkunde
W. Schultz, Einfiihrung in die Quantenmechanik
W. Schultz, Dielektrische und magnetische Eigenschaften der Werkstoffe
Manfred Toussaint / Klaus Rudolph
Programmierte Aufgaben zur
linearen Algebra und
analytischen Geometrie
Ubungsprogramm fUr
Mathematiker und Physiker
ab 1. Semester
Friedr. Vieweg
+ Sohn
. Braunschweig
Manfred Toussaint ist wissenschaftlicher Assistent am Mathematischen
Institut II der Universitat Karlsruhe, Klaus Rudolph ist Studienrat in Karlsruhe.
Verlagsredaktion: Michael Langfeld
ISBN-13: 978-3-528-03557-0
e-ISBN-13: 978-3-322-86164-1
001: 10.1007/978-3-322-86164-1
1972
Aile Rechte vorbehalten
Copyright © 1972 by Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Verlag, Braunschweig
Die Vervielfliltigung und Ubertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder,
auch flir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit
dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mu1\ iiber die Zahlung einer Gebiihr
flir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt flir die Vervielfliltigung durch aile Verfahren einschliefl>lich Speicherung und jede Ubertragung auf
Papier, Transparente, Filme, Blinder, Platten und andere Medien.
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
Buchbinder: W. Langeliiddecke, Braunschweig
Umschlagentwurf: Peter Morys, Wolfenbiittel
Vorwort
Die programmierten Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen
Geometrie sind als erganzendes Arbeitsmaterial fUr Studenten der
ersten Semester gedacht. Sie sollen einerseits zur selbstandigen
Bearbeitung von Aufgaben anregen und damit schnell zu einer
Vertrautheit mit den Grundbegriffen und Methoden der linearen
Algebra fOOren, sie sollen andererseits die Moglichkeit bieten, das
Verstandnis dieser Begriffe und Methoden ohne fremde Hilfe zu
iiberprufen.
Es handelt sich urn Standardaufgaben zu Begriffen und Problem en,
die nahezu in jeder Anfangervorlesung und in jedem Buch oder
Skriptum zu diesem Thema behandelt werden. Entwickelt wurden
die Aufgaben als Begleitmaterial zu den Vorlesungen von Prof.
Dr. H. Kunle und Prof. Dr. H. Karzel an der Universitat Karlsruhe.
Seit dem Wintersemester 1966/67 wurde die Aufgabensammlung
standig erweitert und iiberarbeitet.
In der vorliegenden Fassung sollen die Aufgaben einem gro~eren
Studentenkreis zuganglich gemacht werden, wovon sich die Verfasser
u. a. auch weitere Verbesserungsvorschlage versprechen. Nicht zuletzt
aber sollen die Aufgaben zeigen, wie auch auf Hochschulniveau
programmiertes Unterrichtsmaterial sinnvoll eingesetzt werden kann,
und somit dazu beitragen, allzu einseitige Vorurteile gegeniiber
dem programmierten Unterricht abzubauen.
Karlsruhe, 1971
M. Toussaint / K. Rudolph
Anleitung zur Bearbeitung ein~r programmierten Aufgabe
Eine programmierte Aufgabe unterscheidet sich dadurch von
einer Aufgabe mit Losung, da& zwischen der AufgabensteHung
und der endgiiltigen Losung Hilfen verschiedener Stu fen angeboten werden. Diese Hilfen werden nur im Bedarfsfall gelesen
und iibernehmen so die Rolle eines Tutors, der nur dann einen
Tip zur Losung der Aufgabe gibt, wenn er darum gebeten wird.
Die Hilfen sind nach dem Postleitzahlprinzip numeriert. Die Hilfen
erster Stufe mit den Nummern 1, 2, 3, ... findet man auf der
Seite mit der Dberschrift "Hilfen e", die Hilfen zweiter Stufe
entsprechend unter "Hilfen e e" usw. Durch das Programm leiten die folgenden Leseanweisungen:
W(n)
"Weiter bei Nummer (n)"
Unter der Nummer (n) findet man eine weitere
Teilaufgabe, die man losen soH.
H(n)
"Hilfe bei (n)"
Unter der Nummer (n) findet man eine Hilfe zur Losung
des Teilproblems, an dem man gerade arbeitet.
K(n)
"Kontrolle durch Vergleich mit Nummer (n)"
Unter der Nummer (n) fmdet man ein Zwischenergebnis,
womit man die eigene Losung vergleichen kann.
Das gegeniiberstehende Flu~diagramm zeigt, wie i. a. die Bearbeitung einer Aufgabe abUiuft.
Wenn es nicht gelingt, die gestellte Aufgabe ohne Anleitung zu
losen, dann beginnt man das Programm mit Hilfe (1). Unter den
Hilfen erster Stufe wird i. a. die gestellte Aufgabe in Teilaufgaben
zerlegt. Unter (1) wird also zur Losung einer ersten Teilaufgabe
aufgefordert. Hat man diese gelost, folgt man der Anweisung W(2)
und findet bei (2) eine weitere Teilaufgabe. Hilfen zu (1) stehen
unter (11) und Hilfen zu (11) unter (111) oder (112). In (111)
wird man aufgefordert, zur Kontrolle das Ergebnis mit (1121) zu
vergleichen. Sowohl von (11) als auch von (1121) kann man zu
(2) ubergehen.
Es sei betont, da~ man an jeder Stelle im Programm die Moglichkeit hat, ohne Hilfen selbstandig weiterzuarbeiten. Zum Abschlu~
sollte man jedoch die Aufgabe noch einmal mit allen Hilfen
durcharbeiten.
H(l1)
H(111)
H(112)
W(2)
W(2)
H(21)
W(3)
/
/
/
// W(3)
(1121)
Inhaltsverzeichnis
1
Beispiele von Ordnungsrelationen
1
2
Beispiel einer Aquivalenzrelation
6
3
Beispiel eines Verkniipfungsgebildes
10
4
Isomorphie von Gruppen
16
5
Lineare Abhangigkeit von Vektoren des IR4
21
6
Einfaches Kennzeichen linear unabhangiger Vektoren
25
7
Kriterium fUr die lineare Abhangigkeit von zwei Vektoren
30
8
Elementare Umformungen
36
9
Bestimmung der Dimension und einer Basis der linearen Hiille
von endlich vielen Vektoren
42
10
Basiswechsel im zweidimensionalen Vektorraum
47
11
Beispiel eines Basiswechsels im zweidimensionalen Vektorraum
52
12
Basiserganzung
57
13
Basen fUr Summen- und Durchschnittsraum eI).dlichdimensionaier
Untervektorraume
61
14
Nichtkollinearitat der Schnittpunkte von Gegenseitenpaaren
am Vierseit
67
15
Schnitt von zwei Ebenen
72
16
Mogiiche Lagen von zwei Geraden zueinander
77
17
Lineare Abbildungen
82
18
Struktur der Losungsrnenge eines linearen Gleichungssystems (LGS)
86
19
Produkt und Summe von linearen Abbildungen und Matrizen
92
20
Inverse Matrizen und Basiswechsel
97
21
Berechnung von Deterrninanten
102
22
Deterrninanten und homogene line are Gleichungssysteme
107
23
Losbarkeitskriterien fUr lineare Gleichungssysteme
114
24
Gau1\sches Eliminationsverfahren fUr lineare Gleichungssysteme
120
25
Berechnung der Inversen einer Matrix
125
26
Darstellung einer Ebene durch ein lineares Gleichungssntem
130
27
Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden und Ebenen
mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen
134
28
Darstellung einer affinen Abbildung
140
29
Fixelemente bei Affmitaten
145
30
Affiner Typ einer Quadrik
149
31
Hauptachsentransformation
154
32
Bestimmung von Achse und Winkel einer raumlichen Drehung
160
33
Bestimmung des Zentrums einer Ahnlichkeitsabbildung
165
34
Orthogonales Komplement eines Untervektorraumes
170
35
Beispiel einer speziellen Vektorraumisometrie: Hyperebenenspiegelung
175
Verzeichnis der wichtigsten Stichworte
181
1
Beispiele von Ordnungsrelationen
Vorbemerkung: Wir bezeichnen mit IN die Menge der natiirlichen Zahlen und mit INo
die Menge IN U (0),
Durch
Definition 1: a';;;; b
Definition 2: a T b
<==
<==
'es gibt ein n E INo mit a + n = b, "a kleiner oder gleich b"
es gibt ein m E IN mit a' m = b, "a teilt b"
sind in INo zwei Relationen gegeben, die Kleiner-Gleich-Relation und die Teilbarkeitsrelation,
Aufgabe: Zeigen Sie, daB T und .;;;; Ordnungsrelationen in INo sind! Geben Sie den
wichtigsten Unterschied der beiden Relationen an! Bestatigen Sie, daB jede Potenzabbildung h k : INo ~ INo mit n ~ k n flir festes k E IN die Eigenschaft hat: aus
a';;;; b folgt hk(a) T hk(b)!
(Man nennt solche Abbildungen ordnungserhaltend),
1 Toussaint
1
1
H1lfen.
Sind Ihnen die Eigenschaften bekannt, die fUr partielle und tot ale
Ordnungsrelationen nachzuweisen sind?
W(2),8(11)
2
Priifen Sie die Reflexivi ta t (r) zuerst fUr .,;;, dann fUr T!
W(3),8(21)
3
Priifen Sie die Antisymmetrie (as) zuerst fUr T, dann fur";;!
W(4), H(31)
4
Priifen Sie die Transitivitat (t) zuerst fUr";;, dann fUr T!
W(S),8(41)
5
Sind beide Relationen Totalordnungen (lineare Ordnungen)?
K(511),8(51)
6
Bestatigen Sie die Eigenschaft: a";; b
hk(a) T hk(b)
fUr k = 2 mit Hilfe der Definitionen 1 und 2!
2
==
K(6111),8(61)
1
11
Hilfen
••
Eine (partieile) Ordnungsrelation -< in der Menge Mist gekennzeichnet durch:
"Reflexivitat"
(r) a -< a fUr aile a EM
(as) aus a -< b und b <. a folgt a = b
"Antisymmetrie"
(t) aus a ...( b und b L.. c folgt a <. c "Transitivitat"
Fur eine Totalordnung muB dariiberhinaus noch gelten:
(v)
a -<. b oder b L.... a fUr aile a, b EM "Vergleichbarkeit"
W(2)
21
Benutzen Sie, dal.) 0 Neutralelement in (IN o , +) ist, und
zeigen Sie damit (r) fUr ~!
H(211)
31
Schreiben Sie auf, was aT b und b T a nach Def. 2 bedeutet!
SchlieBen Sie daraus (as) fUr T!
Verfahren Sie entsprechend mit ~!
H(311)
Was bedeutet a ~ b und b ~ c nach Def. I?
wie bei (3). Entsprechend fUr T!
H(411)
41
Schlie~en
Sie
51
Widerlegen Sie (v) fUr T mit einem Beispiel, etwa (2,3)!
W(6), H(511)
61
Nach Def. 1 he~t a ~ b: es gibt ein n E 1No mit a + n =b.
Fur k = 2 folgt h 2 (b) = 2b = ... SchlieBen Sie weiter auf
... = h 2 (a)' m!
H(611)
3
1
211
311
411
511
611
Hilfen
•••
Da 0 neutral in (IN o, +) ist, gilt a + 0 =a ftir aIle a E INo.
Nach Def. 1 ist a';;; a fur aIle a E IN o .
Beweisen Sie analog (r) fUr T!
Nach Def. 2 heilit aT b und b T a: es gibt lahlen m 1, m2 E IN
mit a·m1 =b und b·m2 =a.
Ersetzen Sie a in der ersten Gleichung durch b· m2, und
schlie~en Sie daraus (as) fUr T!
Verfahren Sie entsprechend bei .;;;!
8(3111)
Nach Def. 1 heilit a';;; b und b';;; c: es gibt lahlen nb n2 E 1No
mit a+n1=b und b+n2=c.
Folgern Sie daraus (t) fUr .;;;!
Gehen Sie entsprechend fUr T vor !
8(4111)
3 teilt nicht 2, und 2 teilt auch nicht 3. Dagegen gilt fUr zwei
nattirliche lahlen a, b immer wenigstens eine der Beziehungen
a .;;; b oder b';;; a. Somit ist nur .;;; eine Totalordnung.
W(6)
h2 (b)
= 2b = 2a + n = 2a . 2n =h2 (a) . m.
Wenden Sie jetzt Def. 2 an!
4
H(2111)
H(6111)
1
2111
3111
Hilfen
••••
Da 1 neutral in (lN o, .) ist, gilt a . 1 =a fUr alle a E INo.
Nach Def. 2 gilt also aTa fUr alle aE INo.
Ausa·ml=b und b·m2=a folgt (b·m2)·ml=b.
Dann mu~ m2· ml = 1 sein, und wegen ml> m2E IN m~
ml =m2 = 1 und somit a =b sein. Also gilt (as) fliT T.
Entsprechend schlie~t man mit Def. 1 zuerst auf
+ nl) + n2 =b, also nl + n2 =0, also nl =n2 =0, also a =b.
(b
4111
a + nl =b und b + n2 =c => (a + nd + n2
= a + n3 =c. Nach Def. 1 ist somit a ~ c.
a·ml =b und b ·m2
=c
h2 (b) =h2 (a) . m, mit m
h2 (a) Th2 (b).
W(4)
=a + (nl + n2) =
=> (a·ml)· m2 =a· (ml·m2) =a·m3 =c.
Nach Def. 2 gilt somit aT b.
6111
W(3)
=2n E IN
W(S)
he~t nach Def. 2:
Wie vereinfacht sich der Beweis fUr hl?
Fertig
5
2
Beispiel einer Aquivalenzrelation
Vorbemerlrung: Am Beispiel der Kongruenz modulo S solI der Begriff der Aquivalenzrelation wiederholt werden. In der Menge Z der ganzen Zahlen sei die Relation "'"' deftniert durch x"'"' y <=> STx-y (S teilt x-y).
Aufgabe: Zeigen Sie, d~ "'"' eine Aquivalenzrelation ist! Geben Sie ein Schaubild der
Relation in einem kartesischen Koordinatensystem an, und schreiben Sie alle Aquivalenzklassen auf!
6
2
1
2
Hilfen
•
Welche Eigenschaften sind fUr die Relation - nachzupriifen?
H(l1)
Eigenschaften gefunden und nachgepriift.
K(111,112,113)
Die ganzzahligen Gitterpunkte in einem kartesischen Koordinatensystem stellen die Menge Z. X Z. dar. Die Relation - kann
man veranschaulichen, indem man in diesem Koordinatengitter
die Punkte mit den Koordinaten (x, y) mit x - y markiert.
Markieren Sie alle Punkte, die zum Schaubild der Relation gehOren und fUr die gilt Ixl ~ 8 und Iyl ~ 8!
3
Die ganzen Zahlen x und y kann man in der Form darstellen
x = SZI +'bY = SZ2 +'2 mit Zh Z2EZ. und O~'I< S und
O~'2<
S.
Zeigen Sie, daf.) gilt x - Y <==>
4
K(211), H(21)
'1 ='2!
Geben Sie mit Hilfe von (3) die Aquivalenzklassen an!
W(4),8(31)
K(41)
7
2
11
Hilfen
••
Zu priifen: a) Reflexivitat: x
b) Symmetrie: x
~
~ y =>
c) Transitivitat: x
21
31
32
41
x flir aile x,
~
y
~
x,
y und y
~
H(I11)
H(112)
z
=>
x
~
z.
H(113), W(2)
Zum Schaubild der Relation ~ gehi:iren z. B. die Punkte mit den
Koordinatenpaaren (1,6), (O,S), (-1,4), ... (1,1), (2,2),
(3,3), ... (3,-2), (2,-3), (1,-4), ...
Vervoilstandigen Sie das Schaubild!
K(211)
Wir zeigen: x ~ y =*'1 ='2'
x ~ y = S T x-y nach Definition von~.
x-y = S(ZI-Z2)+'I-'2,alSO ST'I-'2'
Wegen 0 ~'1 < S und 0 ~'2 < S folgt '1-'Z = O.
Zeigen Sie jetzt umgekehrt '1 ='z => x ~ y!
K(32)
'1 ='2 =
W(4)
x-y
= S(ZI-ZZ),
also STx-y, also x ~ y.
In einer Aquivalenzklasse liegen aile ganzen ZaWen, die bei
Division durch S denselben Rest , lassen. Diese Klasse bezeichnet man gewi:ihnlich mit
Es gibt somit flinf Restklassen
modulo S:
r.
0' = Ixl x = Sz + O} = I ... ,-1O,-S,0,S,1O,1S, ... }
1 = (xl x = Sz + I) = I ... , -9,-4,1,6,11,16, ... )
- --
und analog 2, 3, 4.
8
Fertig
2
Hilfen
•••
111
Reflexivitat: x
112
Symmetrie: x ~ y
y
wegen y-x =- (x-y).
113
211
~
x, denn x-x = 0 und STO.
=
~x,
W(l1b)
denn aus STx-y folgt STy-x
W(l1c)
Transitivitat: x ~ y und y ~ z ==> x ~ z, denn aus sT x-y
und STy-z folgt STx-z wegen x-z = (x-y) + (y-z).
W(2)
Schaubild der Relation:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
··
•
·
•
·
•
•·
•
·
•
· •
· • ••
•
•
•·
•·
·
•
•·
.
•
•
•
•
•
•
•·
•
•
•
•
•
5
•
.-5
• 5
-5
W(3)
9
3
Beispiel eines Verkniipfungsgebildes
Vorbemerkung: FUr die Menge Ts = 18,4,2, I}
der Teller von 8 sei eine Operation 0 durch die
nebenstehende Tafel gegeben. Das Ergebnis a 0 b
ist in der Zelle von a und der Spalte von b
abzulesen.
Beispiel: 4 0 2 = 2
0
8
4
2
1
8
1
2
41
8
@- -~_J-11J
4
2
4
2
1
2
1
8
4
2
1
Aufgabe: a) Entscheiden Sie ohne Rechnung anhand der Tafel, ob Ts mit
0 ein Verknupfungsgebllde und daruberhinaus eine Gruppe ist! b) Untersuchen Sie (Ts, 0) im
einzelnen auf die Gilltigkeit der nachfolgenden Eigenschaften:
FUr alle a, b, c aus Ts gilt
(A) a o (boc) =(aob)oc (Assoziativgesetz),
(N) Es gibt ein Element nETs mit a 0 n = a = no a, (Existenz eines Neutralelementef
(I) Zu jedem a existiert genau ein E Ts mit: a 0 = n = 0 a (Existenz der
Inverselemente),
(L) Jede Gleichung a 0 x =b und y 0 a =b besitzt genau eine LOsung,
(K) a 0 b = boa (Kommutativgesetz).
a
10
a
a
3
1
2
Hilfen
•
Sind Ihnen die Begriffe Verkntipfung und Verkntipfungsgebilde
klar? 1st Ts mit 0 ein Verkntipfungsgebilde?
W(2), H(l1)
Glauben Sie unmittelbar an der Tafel sehen zu k6nnen,
a) dlillJ (Ts, 0) eine Gruppe ist?
K(21)
b) dlillJ (Ts, 0) keine Gruppe ist?
K(22)
3
Welche von den Eigenschaften (A), (N), (I), (L), (K) k6nnen
ohne weitere Rechnung aus der Tafel abgelesen werden?
K(311, 312,313 1,
3141) H(31)
4
Urn die Gtiltigkeit von (A) zu zeigen, mtissen im endlichen Fall
u. U. alle m6glichen Dreierprodukte nachgerechnet werden (vgl.
aber auch (6». Urn zu zeigen ,dlillJ (A) nicht gilt, gentigt ein
Gegenbeispiel mit a 0 (b 0 c) =1= (a 0 b) 0 c. Suchen Sie ein
solches Gegenbeispiel!
W(S), H(41)
5
Geben Sie zusarnmenfassend die Eigenschaften von (Ts, 0) an!
K(SI)
6
Bemerkung: 0 ist aus kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
und ggT (gr6~ter gemeinsamer Teiler) fUr nattirliche Zahlen
(a, b) S 11
. frur (T6,0 ) mIt
.
geb ildet: a 0 b = kgV
ggT(a,b).
te en S·Ie d amit
T6 = 11,2,3,6) die Verkntipfungstafel auf! Prtifen Sie, ob (T6' 0)
eine Gruppe ist, und vergleichen Sie mit PA 4!
Wenn Sie Isomorphie von (T6' 0) zu den beiden Gruppen festgestellt haben, brauchen Sie (A) fUr (T6' 0) nicht nachzuprtifen.
Sind zwei VG (M, 0) und (H, *) isomorph und ist etwa (H, *)
assoziativ, dann ist auch (M, 0) assoziativ. (A) bleibt bei
Isomorphie erhalten.
Fertig
11
3
11
21
22
Hilfen
••
Erne Verkntipfung 0 in Mist eine Abbildung M X M -- M.
Kriterium: a 0 b EM fUr aIle a, bE M. M zusammen mit der
Verkntipfung 0 he~t dann Verkntipfungsgebilde (M, 0).
Bestiitigen Sie damit (Ts, 0) als VG!
W(2)
Sie haben irgendetwas verwechselt. Geben Sie von den Eigenschaften (A) bis (K) solche an, die Gruppen kennzeichnen:
a) eine Moglichkeit ohne (L)
K(211)
b) weitere Moglichkeiten mit (L)
K(212)
Sie haben erkannt, d~ die Eigenschaft (L), die jede Gruppe
besitzt, in (Ts, 0) nicht gilt: 40 x = 2 hat z. B. zwei, 40 x = 8
keine Lasung.
Sind Ihnen verschiedene Kennzeichnungen fUr Gruppen bekannt?
K(212)
31
Aile Eigenschaften auf.\er (A). 1st klar wie?
W(4), H(311 bis
314)
41
Rechnen Sie 20 (4 0 8) und (2 0 4) 08 aus!
K(411)
51
(N): 1 ist Neutralelement; (I): aIle a E Ts sind selbstinvers;
(K): die Tafel ist symme~risch zur Diagonalen von links oben
nach rechts unten. (Ts, 0) ist keine Gruppe, da (A) und (L)
nicht gelten.
W(6)
12