Supraleitung und Suprafluidität SS 2006

Supraleitung und Suprafluidität
SS 2006
Dietrich Einzel
July 27, 2006, 15:00
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1
Inhalt
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.1 Historische Fakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.2 Literaturempfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.2.1 Einführende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.2.2 Theorie der Supraleitung und der Suprafluidität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2. Experimentelle Befunde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1 Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
Das Eindringen von magnetischem Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Spinsuszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Magnetfeldeindringtiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Das Widerstandsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2 Superfluides Helium–4 und Helium–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
Die spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Spinsuszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Das Viskositätsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
Erscheinungsformen von Suprafluidität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Rotation und Vortizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Schälle im superfluiden Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3. Theorie des Normalzustands
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.1 Normalmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.1.1 Maxwell–Gleichungen und Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.1.2 Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.1.3 Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.2 Die Hydrodynamik neutraler Quantenflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.2.1 Die Navier–Stokes–Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.2.2 Hagen–Poiseuille–Strömung und Scherviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4. Supraleitung und Suprafluidität: phänomenologische Theorie
2
. . XX
4.1 Verallgemeinerte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.1.6
4.1.7
4.1.8
4.1.9
Analogie zur Schrödinger–Madelung–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die London–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Quantisierung des Fluxoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Verdienste der London-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Klassifizierung von London-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Zur Eichinvarianz der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Mängel der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Das London–Energiefunktional und die London– (Euler–Lagrange–) Gleichungen . . . . . . . . . . XX
4.2 Die Ginzburg–Landau–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.3 Die Gross–Pitaevskii–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5. Mikroskopische Theorie der Supraleitung und Suprafluidität
. . . XX
5.1 Kondensierte Bose–Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.5
5.1.6
Der Normalzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Bose–Einstein–Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Kritische Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
Schwache WW; Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Starke WW: Phononen und Rotonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.2 Paarkorrelierte Fermisysteme nach BCS und Leggett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
Der Normalzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Singulett– und Triplett–Paarkorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Nebendiagonale langreichweitige Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Bogoliubov–Valatin–Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Energielückengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Eigenschaften thermischer Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.3 Response von Kondensaten und QT–Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.3.6
5.3.7
Vereinheitlichung von Bose–Einstein und Fermi–Dirac–Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Das Konzept des lokalen Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
Spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
Zweiflüssigkeitsbeschreibung für Bose– und Fermi–Supraflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Normalfluide Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Superfluide Dichte und Magnetfeld-Eindringtiefe in metallischen Supraleitern . . . . . . . . . . . . . XX
Spinsuszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3
6. Anhänge
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6.1 Normale Bose– und Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
6.1.5
6.1.6
6.1.7
6.1.8
Gegenüberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Fermisysteme in d Raumdimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die Hydrodynamik neutraler Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Wechselwirkende Fermisysteme: Fermiflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Paar–Attraktion durch Spin–Fluktuations–Austausch: ein einfaches Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Zur Eichtransformation der Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Bose-Integrale oberhalb der Entartungstemoperatur (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Bose-Integrale oberhalb der Entartungstemoperatur (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
6.2 Supraleitende und superfluide Bose– und Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.2.6
6.2.7
Zur Madelung–Transformation der makroskopischen Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Zur Äquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Bose–Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Gapgleichung für konventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Gapgleichung für unkonventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Stromdichte in Bose–und Fermi– Supraflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7. Weitere Konzepte (Steinbruch)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1 Quantenflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.1 Methoden zur Messung der Scherviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.2 Normale Fermiflüssigkeiten: Response und Transport
7.1.3 Normales 3 He: nichthydrodynamischer Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.4 Phonon und Roton Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.6 Zweiflüssigkeitsbeschreibung von He–II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.7 Phononen: Response und Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.8 Rotonen: Response und Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.9 He–II: nichthydrodynamischer Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.10 Superfluides 3 He: Response und Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.1.11 Superfluides 3 He: nichthydrodynamischer Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.2 Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
Das London–Energiefunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Ginzburg–Landau–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Nambu–BCS-Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Response eines BCS–Supraleiters auf A und B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Response eines BCS–Supraleiters auf ein skalares Potential ∝ φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4
1
Einleitung
1.1
Historische Entwicklung
Erste Verflüssigung von 4 He: Beginn der Tieftemperaturphysik
Heike Kamerlingh-Onnes, 1908
Entdeckung der Supraleitung in Hg (Tc = 4.2K)
Heike Kamerlingh Onnes, 1911
• Dauerstrom in supraleitendem Bleiring bei 4 K: über 1 Jahr!
• Nobelpreis 1913
Fig.1: ρ(T ) vs T für Hg
Entdeckung von Supraleitung in Sn (Tc = 3.7K) und Pb (Tc = 7.2K)
Heike Kamerlingh Onnes, 1913
Entdeckung des kritischen magnetischen Feldes Bc (T )
Heike Kamerlingh Onnes, 1914
Fig. 2: Skizze von Bc (T ) vs T
Messungen der spezifischen Wärme von flüssigem 4 He: Diskontinuität bei Tλ = 2.2K
Dana und Kamerlingh–Onnes, 1923
Fig. 3: Zur spezifischen Wärme von He–II
Vorhersage der (Bose–Einstein) Kondensation eines Vielteilchen–Bosesystems in den tiefsten Quantenzustand p = 0
Satyendra Nath Bose und Albert Einstein, 1925.
Entdeckung der Supraleitung von Nb (Tc = 9.3K)
Glads, Meser, 1930
Entdeckung der Magnetfeldverdrängung in Supraleitern
Walther Meißner und Robert Ochsenfeld, 1933
• B = 0, T < Tc , B 6= 0: Feld dringt nicht ein (bis auf Schicht der Dicke λL )
→ Abschirmeffekt
5
• T > Tc , B 6= 0, T < Tc , Feld wird aus dem Supraleiter verdrängt
→ Feldverdrängungseffekt
Fig. 4: Skizze zur Magnetfeldverdrängung
Erste phänomenologische quantenmechanische Theorie der Supraleitung
Fritz und Heinz London, 1935, Max von Laue, 1938
Diese Theorie erklärt
•
•
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•
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•
•
Verschwinden des elektrischen Widerstands
Dauerströme
Magnetfeld–Abschirmeffekt
Vorhersage: Fluxoidquantisierung (”2e or not 2e”)
Josephson–Effekte
korrekte lokale eichinvariante Elektrodynamik des SL
keine Temperaturabhängigkeiten
Entdeckung der Suprafluidität von flüssigem 4 He (He–II) bei Tλ = 2.17 K
Kamerlingh–Onnes, Allen, Miesener und Kapitza, 1924 – 1938
•
•
•
•
•
•
•
Erste terrestrische neutrale Bose Supraflüssigkeit
Bose–Einstein–Kondensation
Dauerströme
Fließen durch “Superlecks”
Reibungsfreies Kriechen entlang Wänden
Suprafluidität als makroskopisches Quantenphänomen
Phononen und Rotonen (elementare thermische Anregungen) beobachtet in Torsionspendel–
(Andronikashvili–) Experimenten.
• Viskositätsparadoxon
• Nobelpreis für Kapitza 1978
Fig. 5: Phasendiagramm von flüssigem Helium
Fig. 6: Zur Scherviskosität von flüssigem 4 He
Phänomenologische quantenmechanische Theorie für Bose–Einstein–Kondensate
Fritz London, 1938.
Formulierung eines Zweiflüssigkeitsmodells für die Quantenflüssigkeit 4 He
Tisza, 1940.
6
Zweite phänomenologische (Ginzburg–Landau–) Theorie der Supraleitung
V. L. Ginzburg, L. D. Landau, 1950
•
•
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•
•
•
•
•
•
•
Gilt nur knapp unterhalb Tc
Beschreibt räumliche Inhomogenitäten des Supraleiters
Unterscheidung Typ–I/Typ–II (Shubnikov–Phase)
Vorhersage eines hexagonales Wirbelliniengitters (Abrikosov)
Temperaturabhängigkeiten nahe Tc
beliebige Randbedingungen
Aussagen zur Symmetrie des SL Grundzustands
Bislang tausende Male zitiert
Humboldt–Forschungspreis 2000 für Ginzburg
Nobelpreis 2003 für Ginzburg
Entdeckung von Supraleitung in intermetallischen (A15–)Verbindungen
• Nb3 Sn, Tc = 18.1K
Bernd Matthias, 1954
• Nb3 Ge, Tc = 23.2K
J. R. Gavaler, 1973
Vorhersage der Typ–II–Supraleitung mithilfe der GL–Theorie
A. A. Abrikosov, 1957
• SL Mischzustand (Shubnikov–Phase) mit hexagonalem Gitter aus Flußschläuchen (Vortices)
• Nobelpreis für A. A. Abrikosov 2003
Theorie der Fermiflüssigkeiten
Lev Landau, 1956 – 58
• 1:1–Abbildung freie Fermionen ↔ wechselwirkende Fermionen
• Nobelpreis für Landau 1962
Mikroskopische Theorie der Supraleitung
John Bardeen, Leon Cooper und Bob Schrieffer, 1957
• Anziehende Wechselwirkung (Gitter–Phononen) für Elektronenpaare
• Paar–Kondensation im k–Raum: sog. Cooperpaare im S–Wellen Spin–Singulett–Zustand
(k ↑,−k ↓)
• Supraleitung als makroskopisches Quantenphänomen
• Bogoliubov–Quasiteilchen als elementare Anregungen des Supraleiters mit Energielücke
• Thermisch aktiviertes Tieftemperaturverhalten von C(T ), χs (T ), λL (T )
• Nobelpreis für BCS 1972
7
Theoretische Vorhersage der Suprafluidität in Kernmaterie (offene N– oder P– Schalen
A. Bohr, B. R. Mottelson, D. Pines, 1957; L. N. Cooper, R. L. Mills und A. M. Sessler, 1959
Dynamische Theorie für Bose–Einstein–Kondensate
Gross und Pitaevskii, 1961.
Entdeckung der Flußquantisierung am Walther–Meißner–Institut
Robert Doll und Martin Näbauer, (1962)
Deaver und Fairbanks, (1962)
• Magnetischer Fluss in SL Hohlzylinder quantisiert in Einheiten des Flussquants
φ0 =
h
ke
• Bestätigung der BCS–Vorhersage: Existenz von Cooper–Paaren (k=2)
Fig. 7: Zur Quantisierung des magnetischen Flusses in Pb
Entdeckung des Josephson–Effekts
Brian Josephson, 1962
• Cooper–Paare können zwischen zwei Supraleitern, die durch eine isolierende Schicht getrennt sind, tunneln → Suprastrom, der ohne äußere Spannung fließen kann
• Nobelpreis für Brian Josephson 1973
Theoretische Vorhersage von Hoch–Tc –Supraleitung organischen Molekülen
W. Little, 1964
Entdeckung der Supraleitung in Graphit–Alkalimetall–Einlagerungsverbindungen bei Tc <
0.15 K
Klaus Andres et al., 1965
• Erster Schicht–Supraleiter
Entdeckung von Pulsaren (rotierende Neutronensterne)
Hewish und Bell, 1968; Gold, 1968
• Sehr hohe Dichte → Entartungstemperatur TF = 1012 K
• Suprafluidität im Neutronenstern bei Tc = 108 K.
• Tieftemperaturphysik bei 100 Millionen K !!!
8
Entdeckung der Suprafluidität von flüssigem 3 He
Dave Lee, Doug Osheroff und Bob Richardson, 1971; Theorie: Anthony J. Leggett, 1972
He ist ein Spin– 12 –Fermion
Erste terrestrische neutrale Fermi–Supraflüssigkeit
Mehrere superfluide Phasen (A, B, . . .)
Elektrisch neutrale Cooperpaare im relativen p–Wellen Spin–Triplett–Zustand (kσ1 ,−kσ2 )
Nichtphononischer Mechanismus
Erstmals von “unkonventioneller Supraleitung” die Rede
Bogoliubov–Quasiteilchen (Bogolonen, elementare Anregungen) beobachtet in Torsionspendel–
Experimenten.
• Nobelpreis für LOR 1996, A. J. Leggett, 2003
•
•
•
•
•
•
•
3
Fig. 8: Die Helium–Supraflüssigkeiten
Fig. 9: Zur Scherviskosität der Bogoliubov–Quasiteilchen
Entdeckung von SL in Schweren–Fermionen–Verbindungen (11.05.06, 9:00–10:30)
• CeCu2 Si2 , Tc = 0.6K
Frank Steglich et al, 1979
• Be13 , Tc = 0.9K
Hans–Rüdiger Ott et al, 1983
• UPt3 , Tc = 0.5K TN = 5.0K
Gregory Stewart et al, 1984
• URu2 Si2 , Tc = 1.5K, TN = 17.5K
Schlabitz et al, 1985
• CeRu2 Si2 , Tc = X.XK
Brian Maple et al, 198X
• Intermetallische Verbindungen mit
Seltenen– Erd– (Ce–) Ionen (4f–Momente)
Actinid– (U–) Ionen (5f–Momente)
• Hohe Temperaturen: Lokale Momente + Leitungselektronen
• Tiefe Temperatiuren: Starke (Kondo–) Kopplung von f– und Leitungselektronen
→ schwere oder auch langsame Elektronen an der Fermikante → “Schwere Fermionen”
• Potenzgesetze in T anstelle von aktiviertem Tieftemperaturverhalten
• “Unkonventionelle Supraleitung
Synthese des ersten organischen Supraleiters (TMTSF)2 PF6 mit Tc = 0.9 K (9k Bar)
K. Bechgaard, D. Jerome, A. Mazaud und M Ribault, 1980
Entdeckung der Supraleitung in Fulleriden (“Buckyballs”) K3 C60 bei Tc = 18 K
R. F. Curl, R. E. Smalley, 1985
9
• Fußballförmige C60 –Moleküle mit Alkalimetall–Verbindungsbrücken auf einem regulären
Metallgitter werden supraleitend
Entdeckung der Hoch–Tc – Supraleitung in Kupraten
• La2−x Srx CuO4 , Tc ≤ 37K
Bednorz und Müller, 1986, (Nobelpreis 1987)
• Nd2−x Cex CuO4 , Tc ≤ 30K
Tokura et al, 1989
• YBa2 Cu3 O7−δ , Tc ≤ 95K
Chu et al, 1986
• Bi2 Sr2 Can−1 Cun O2n+4+δ , Tc ≤ 10, 85, 100K, n = 1, 2, 3
Maeda et al, 1988
• Tl2 Ba2 Can−1 Cun O2n+4+δ , Tc ≤ 20, 108, 125K, n = 1, 2, 3
Hermann et al., 1988
• Hg0.8 Tl0.2 Ba2 Ca2 Cu3 O8.33
Tc = 138K (Gegenwärtiger Weltrekord!)
• Gemeinsamkeiten:
– Dotierungs–Phasendiagramm
– Cu–O–Ebenen
– Hohes Tc
– Niedrige Dimensionalität (quasi–2D)
– Nichtaktiviertes Tieftemperaturverhalten für C(T ), χs (T ), λL (T )
– Cooperpaare im relativen d–Wellen Spin–Singulett Paarzustand (unkonventionelle
SL)
Fig.
Fig.
Fig.
Fig.
10 a,b: %(t) vs. T
11: Dotierungs Phasendiagramme
12: Cu–O Ebenen
13: Zur d–Wellen–Kontroverse
Entdeckung von Supraleitung in Borokarbiden bei Tc = 7.2 K
R. Cava et al., 1993
• “re–entrant” Supraleitung
Fig. 14: Zur Supraleitung von HoNi2 B2 C
Entdeckung von Supraleitung in Sr2 RuO4 bei Tc = 0.93K
Maeno et al., 1994
•
•
•
•
Ruddlesden–Popper Serie Srn+1 Run O3n+1
niedrige Dimensionaltät (quasi–2D)
relativer p– oder f – Wellen Spin–Triplett–Paarzustand
Erstes metallisches Analogon zu superfluidem 3 He
Fig. 15: Eigenschaften der Ruddlesden–Popper–Systeme Srn+1 Run O3n+1
10
Entdeckung der Suprafluidität von flüssigem 3 He im Verunreinigungssystem SiO2 –Aerogel
Porto und Parpia, 1994
Entdeckung von Bose–Einstein–Kondensation in atomaren Gasen mit niedriger Dichte
87
Rb, TBEC ≈ 2µK:
C. E. Wiemann und E. A. Cornell, 1995 (JILA, Boulder, Colorado)
Na, TBEC ≈ 2µK
W. Ketterle et al., 1995 (MIT), Nobelpreis für Cornell, Ketterle und Wiemann, 2001
Li, TBEC ≈ 2µK
R. Hulet et al., 1995 (Rice University, Houston Texas)
Spinpolarisierter Wasserstoff, TBEC = 50µK
Kleppner, Greytak et al., 1998
• Bose–Kondensat ist Materiewelle aus 2000 Atomen
• → Super–Atom, Super–Gas
Entdeckung der Hoch–Tc –Supraleitung in loch–dotierten Fulleriden bei Tc = 52 K
J. H. Schön, Ch. Koc und B. Batlogg, 2000.
Entdeckung der Supraleitung in MgB2 bei Tc = 38 K
J. Akimitsu et al., 2001
• Höheres Tc als bei den “Zürich–Oxiden”
• Konventionelle s–Wellen–Supraleitung
Fig. 16: Einige Sprungtemperatur–Rekorde
11
Supraleiter
Tc [K]
Jahr
Entdecker
Nobelpreis
Hg
Nb
4.20
9.30
1911
1930
Kamerlingh Onnes
Kamerlingh Onnes
1913
Nb3 Sn
Nb3 Ge
18.10
23.20
1954
1973
Matthias
Gavaler
He–A
3
He–B
2.5 · 10−3
< 2.0 · 10−3
1971
1971
Lee, Osheroff und Richardson
CeCu2 Si2
UBe13
UPt3
0.60
0.87
0.48
1979
1983
1984
Steglich et al.
Ott et al.
Stewart et al.
K3 C60
Cs3 C60
18
40
1985
1985
Curl, Smalley, Kroto
La2−x Srx CuO4
Nd2−x Cex CuO4
YBa2 Cu3 O7−δ
Bi2 Sr2 Can−1 Cun O2n+4+δ
1986
1989
1986
1988
Bednorz und Müller
Tokura et al
Chu et al.
Maeda et al.
1988
Hermann et al.
Hg0.8 Tl0.2 Ba2 Ca2 Cu3 O8.33
< 37
< 30
< 95
10, 85, 100
n = 1, 2, 3
20, 108, 125
n = 1, 2, 3
138
198X
HoNi2 B2 C
LuNi2 B2 C
YNi2 B2 C
7.5
16.6
23
1993
1993
1993
3
Tl2 Ba2 Can−1 Cun O2n+4+δ
Cava et al.
Tabelle 2: Einige Sprungtemperaturrekorde
12
1996
1987
1.2
1.2.1
Literaturempfehlungen
Einführende Literatur
R. D. Parks (Ed.)
Superconductivity, Volume 1
Marcel Dekker, Inc., New York, 1969
R. D. Parks (Ed.)
Superconductivity, Volume 2
Marcel Dekker, Inc., New York, 1969
D. R. Tilley and J. Tilley,
Superfluidity and Superconductivity
Adam Hilger, Ltd., Bristol, Boston, 1986
M. R. J. Hoch und R. H. Lemmer (Eds.),
Low Temperature Physics
Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991
W. Buckel,
Supraleitung
VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim, 1994
P. Müller, A. V. Ustinov (Eds.),
V. V. Schmidt,
The Physics of Superconductors
Springer, 1997
C. Enss und S. Hunklinger,
Tieftemperaturphysik
Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2000
1.2.2
Theorie der Supraleitung
J. R. Schrieffer,
Theory of Superconductivity
W. A. Benjamin, Inc., Publishers, New York, Amsterdam, 1964
G. Rickayzen,
Theory of Superconductivity
John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, 1965
P. G. deGennes,
Superconductivity of Metals and Alloys
13
Perseus Books, Reading Massachusetts, 1999
M. Tinkham,
Introduction to Superconductivity
McGraw Hill, Inc. New York, 1996
J. R. Waldram,
Superconductivity of Metals and Cuprates
IOP Publishing Ltd., Bristol and Philadelphia, 1996
J. B. Ketterson und S. N. Song,
Superconductivity
Cambridge University Press, 1999
J. F. Annett
Superfluids and Condensates
Oxford University Press, 2004
D. Einzel,
Supraleitung und Suprafluidität,
Lexikon der Physik,
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2000,
Seiten 228 – 235
D. Einzel
Superfluids
Encyclopedia of Mathematical Physics (Eds. J-P Francoise, G L Naber and S T Oxford)
Elsevier, 2006, page 115
2
Experimentelle Befunde
2.1
2.1.1
Supraleiter
Das Eindringen von magnetischem Fluß
Unterscheidung zweier Klassen von Supraleitern
Kriterium: das unterschiedliche Eindringen von magnetischem Fluß:
Zwei Beispiele: Quecksilber (engl.: mercury) und Nb3 Sn
Fig. 17: Flußeindringen in Typ–1 und Typ–2 –Supraleitern
Typ–I–Supraleiter: Es gibt ein (thermodynamisches) kritisches Feld Hc (T ) unterhalb dem
sich der Supraleiter im sog. Meißner–Zustand befindet in der jeglicher magnetischer Fluß entweder abgeschirmt oder verdrängt wird.
14
Typ–II–Supraleiter: Es gibt es zwei kritische Felder Hc1 (T ) und Hc2 (T ). Unterhalb von
Hc1 (T ) befindet sich der Supraleiter im Meißner–Zustand. Für Hc1 (T ) < H < Hc2 (T ) befindet
sich der Supraleiter im sog. Shubnikov–Zustand, welcher durch die Existenz von magnetischem
Fluß in Form von Flußschläuchen oder Vortizes im Inneren des Supraleiters gekennzeichnet ist.
Die Flußschläuche bilden ein zweidimensionales Gitter, das sog. Abrikosov–Gitter.
Fig. 18: Flußliniengitter in Typ–II–Supraleitern
Experimentelle Beobachtung des Flußlinien–Gitters
Fig. 19: Zur experimentellen Beobachtung des Flußliniengitters
Magnetische Induktion B und Magnetisierung M
B = µ0 (H + M)
;
M = χH
Fig. 20: B und M in Typ–I–Supraleitern
Fig. 21: B und M in Typ–II–Supraleitern
2.1.2
Die spezifische Wärme
Die spezifische Wärme (Wärmekapazität) eines Supraleiters C(T ) beschreibt die Änderung der
Entropie δσ (bzw. der inneren Energie) als Folge einer Temperaturänderung δT :
T δσ = C(T )δT
Fig. 22: Zur spezifischen Wärme von Aluminium
Nota bene:
Diskontinuität in der spezifischen Wärme bei Tc
Thermisch aktiviertes Verhalten bei tiefen Temperaturen.
2.1.3
Die Spinsuszeptibilität
Die Spinsuszeptibilität χ(T ) eines Supraleiters beschreibt die Spinmagnetisierung M als Folge
eines Magnetfeldes H
M = χH
Fig. 23: Zur Spinsuszeptibilität von Aluminium
Nota bene:
Die Spinsuszeptibilität des Supraleiters geht für T > Tc in die Pauli–Spinsuszeptibilität des Normalzustands über. Sie verschwindet nur für wenige Supraleiter bei den tiefsten Temperaturen
(z. B. Aluminium, YBCO, . . .).
15
2.1.4
Die Magnetfeldeindringtiefe
Die Magnetfeldeindringtiefe λ(T ) beschreibt den supraleitenden (Abschirm–) Strom jse als Folge
eines äußeren Vektorpotentials A (→ London–Gleichung)
jse = −
1
(A + ∇χ)
µ0 λ2 (T )
Fig. 24: Zur Magnetfeldeindringtiefe von Quecksilber
Nota bene:
Die Magnetfeldeindringtiefe divergiert im Limes T → Tc .
Die Magnetfeldeindringtiefe besitzt einen endlichen Tieftemperaturlimes λ(0).
2.1.5
2.2
2.2.1
Das Widerstandsparadoxon
Superfluides Helium
Die spezifische Wärme
Spezifische Wärme von He–II und 3 He–A
Fig. 25: Zur spezifischen Wärme von He–II und 3 He–A
Nota bene:
Die spezifische Wärme von He–II und YBCO zeigt Singularität (λ–Anomalie) bei Tλ (Fluktuationen wichtig!)
Die spezifische Wärme von 3 He–A und 3 He–B zeigt Diskontinuität bei Tc , ähnlich wie bei den
klassischen Supraleitern (Mean–Field–Verhalten).
2.2.2
Die Spinsuszeptibilität
Spinsuszeptibilität von 3 He–B und 3 He–A
Fig. 26: Zur Spinsuszeptibilität von 3 He–A und 3 He–B
Nota bene:
Die Spinsuszeptibilität von 3 He–B ist bei tiefen Temperaturen nur teilweise reduziert. In 3 He–
A behält die Spinsuszeptibilität unterhalb von Tc ihren Pauli–Wert bei. Dies hängt mir der
Triplett–Paarstruktur des Ordnungsparameters zusammen (vgl. Abschnitt XX).
2.2.3
Das Viskositätsparadoxon
Fragestellung: ist Suprafluidität gleichbedeutend mit verschwindender Viskosität?
Superleck: He–II verläßt den Behälter durch ein sehr enges Puder
16
Fig. 27: Zum Superleck
U–Rohr–Schwingungen: (Robinson, 1951)
Fig. 28: U–Rohr–Schwingungen
Frequenz
s
ω0 =
2
g a %s (T )
LA %
→ Strömung mit verschwindender Viskosität!
Aber:
(i) Oberflächenimpedanz
(ii) Torsionspendeldämpfung
→ endliche Dämpfung →Viskositäts–Paradoxon
Fig. 29: Zum Viskositätsparadoxon
2.2.4
Erscheinungsformen von Suprafluidität
Superfluide Filme (Becherglas in He–II):
Dicke ≈ 300 nm (100 Atomlagen): Kapillarströmung
Gravitationspotentialdifferenz als treibende Kraft
Fig. 30: Zum Becherglasexperiment
Thermomechanische Effekte:
A. U–Rohr
Einseitiges Erhitzen führt zu Druckunterschied
Fig. 31: Thermomechanischer Effekt im U–Rohr
B. Springbrunneneffekt (Allen und Jones, 1938)
Supraströmung durch Puder führt zu Fontäne (bis zu 30 cm!)
Fig. 32: Zum Springbrunneneffekt
Dauerströme:
Beginn einer Rotation oberhalb von Tλ
Abkühlen unterhalb Tλ
Rotation stoppen → Dauerstrom!
17
Fig. 33: Zum Dauerstromexperiment
2.2.5
Rotation und Vortizes
Wirbelfäden
Fig. 34: Rotation und Wirbel
2.2.6
Schälle im superfluiden Helium
Zweiter Schall
Vierter Schall
..
.
3
Theorie des Normalzustands
3.1
3.1.1
Normalmetalle
Maxwell–Gleichungen und Eichinvarianz
Maxwell–Gleichungen der Elektrodynamik in SI–Einheiten:
Ã
∇×B =
∇×E =
∇·B =
∇·D =
∂D
µ0 j +
∂t
∂B
−
∂t
0
%
!
Ampere
Faraday
Quellfreiheit von B
Gauß
Definitionen
D = ²0 E + P
B = µ0 [H + M]
Quellfreiheit von B →
B=∇×A
Nota bene: A ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase χ.
Eichtransformation des Vektorpotentials:
A0 = A + ∇χ
Faraday →
∇×E = −
18
∂
∇×A
∂t
"
∂A
∇× E+
∂t
|
{z
#
= 0
}
≡−∇·φ
E = −∇φ −
∂A
∂t
E kann durch die elektromagnetischen Potentiale φ und A dargestellt werden.
Eichtransformation des skalaren Potentials
∂(A + ∇χ)
∂t
Ã
!
∂χ
∂A
0
= −∇ φ +
−
≡E
∂t
∂t
E0 = −∇φ0 −
|
{z
}
≡φ
φ0 = φ −
∂χ
∂t
Kontinuitätsgleichung (TZ bzw. Ladungserhaltung) (vgl. Übungsblatt 1):
∂%
+∇·j=0
∂t
Abschirmung eines magnetischen Wechselfeldes (vgl. Übungsblatt 1)
[B(r, t) = B0 (r)e−iωt ]
Ã
!
ω2
2
∇ + 2 B = −µ0 ∇ × j
c
3.1.2
Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell
Relaxationsgleichung
"
#
∂
ne2
+ Γtr j =
E
∂t
m
1
Γtr =
τtr
Konstitutive Relation
j = σ(ω)E
ne2
1
σ(ω) =
m −iω + Γtr
Elektrischer Gleichstromwiderstand:
R=
m
1
= 2 Γtr
σ(ω = 0)
ne
19
Supraleitung:
R=0 ;
Γtr ≡ 0
→ Verschwinden der Impulsrelaxation der Ladungsträger.
Spezialfall: transversales E–Feld [A(r, t) = A0 (r) · exp(−iωt), E = −iωA]:
ne2 −iωτtr
j = −
A
m 1 − iωτtr
=


 σ(ω → 0) E
;ω→0
Drude

 − ne2 A
m
; ω À Γtr
stosslos
Nota bene: kein Stromresponse auf elektromagnetische Potentiale für ∇ → 0, ω → 0
j ∝ O(vF τtr · ∇) · φ + O(ωτtr ) · A
3.1.3
Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen
Normaler Skin-Effekt (Übungsblatt 1, Aufgabe 2):
Ã
!
ω2
µ0 ne2 −iωτtr
∇ + 2 B =
B
c
| m
{z } 1 − iωτtr
2
|
λ−2
0
{z
}
≡δ −2 (ω)
Elektromagnetische Abschirmlänge (Skintiefe)
s
δ(ω) = λ0
(
1 − iωτtr
−iωτtr
λ0 √1+i
ω→0
2ωτtr
λ0
ω À Γtr
s
m
c
=
=
µ0 ne2
ωp
=
λ0
hydrodynamisch
stosslos, “London”
Plasmafrequenz
ne2
=
²0 m
Beitrag vom Verschiebungsstrom vernachlässigbar:
ωp2
Ã
!
ωp2 −iωτtr
ω2
∇ + 2 B= 2
B
c
c 1 − iωτtr
2
20
3.2
3.2.1
Die Hydrodynamik neutraler Quantenflüssigkeiten
Die Navier–Stokes-Gleichung
Eine Flüssigkeit (Gas) sei durch die Massendichte
nm (r, t) ≡ %(r, t) = mn(r, t)
spezifiziert. Die Erhaltung der Masse (Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitätsgleichung
beschrieben:
∂%
+ ∇ · jm = 0
∂t
Massenstromdichte oder Impulsdichte:
jm = %v
v ist das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit.
Verallgemeinerung der Newtonschen Beschleunigungsgleichung:
%
dv
= −∇P + %g
dt
P ist der Druck auf die Flüssigkeit und g ist die Gravitationsbeschleunigung.
Eulergleichung der Hydodynamik [d/dt = ∂/∂t + (v · ∇)]:
∂v
dv
1
+ (v · ∇)v ≡
= − ∇P + g
∂t
dt
%
Alternative Form der Eulergleichung: Erhaltungssatz für die Impulsdichte
∂jmµ ∂Πµν
+
= ρg
∂t
∂xν
Πµν : Tensor der Impulsstromdichte (Spannungstensor).
Resultat für die Impulsstromdichte (Spannungstensor)
Πµν = P δµν + %vµ vν
Zähe Flüssigkeiten: Impulsstromrelaxation:
Πµν = P δµν + %vµ vν + Π0µν
Dissipativer Anteil des Impulsstroms (vgl. Landau/Lifshitz, Vol. 6):
)
(
Π0µν
∂vν
2
∂vµ
+
− δµν (∇ · v) − ζδµν (∇ · v)
= −η
∂xν ∂xµ 3
21
Transportparameter: η = Scherviskosität, ζ = Volumenviskosität.
Navier–Stokes–Gleichung für zähe Flüssigkeiten und Gase
µ
¶
∂v
dv
1
η
1
η
+ (v · ∇)v ≡
= − ∇P + g + ∇2 v +
ζ+
∇(∇ · v)
∂t
dt
%
%
%
3
Spezialfall: inkompressible Flüssigkeiten:
∂%(r, t)
=0
∂t
→
∇ · v(r, t) = 0
Navier–Stokes–Gleichung für inkompressible Flüssigkeiten
(
)
(
)
∂v
η
dv η 2
%
+ (v · ∇)v − ∇2 v = %
− ∇ v = −∇P + %g
∂t
%
dt
%
3.2.2
Hagen–Poiseuille-Strömung und Scherviskosität
Vereinfachung: Linearisierung ((v · ∇)v → 0) , stationärer Limes (∂/∂t → 0), Strömung zwischen parallelen Platten bei z = ±d/2
d2 vx (z)
1 dP
=
2
dz
η dx
Ã
!
d2
1 dP
2
z −
vx (z) =
2η dx
4
Fig. 35: Zur Hagen–Poiseuille–Strömung zwischen parallelen Platten
Querschnittsgemittelte Massenstromdichte: Hagen–Poiseuille–Gesetz
1Z 2
ρd2 dP
hjmx i = ρhvx i =
dzj
(z)
=
−
mx
d − d2
12η dx
= σm Fx
d
”Leitfähigkeit” Fx = −dP/dx:
σm =
ρd2
12η
Hagen–Poiseuille–Strömungswiderstand:
Rm =
1
12η
= 2
σm
ρd
Suprafluidität: Rm = 0, → Verschwinden der Scherviskosität.
22
4
Supraleitung und Suprafluidität: phänomenologische Theorie
4.1
Verallgemeinerte London–Theorie
Ziel: moderne Version der London/Laue-Theorie.
[Fritz und Heinz London, 1935, Max von Laue, 1938]
Anwendung auf
• paarkorrelierte Fermisysteme
→ Supraleiter,
→ superfluides 3 He
→ Materie in Atomkernen
→ Neutronensterne
• superfluide Bose–Systeme
→ superfluides 4 He (He–II)
→ atomares Gase (Rb, Cs, Na, etc.)
4.1.1
Analogie zur Schrödinger–Madelung–Theorie
Ausgangspunkt: makroskopische Zahl von (einzelnen oder zusammengesetzten) Teilchen der
Teilchendichte ns , Ladung Q = ke und Masse M = km. Diese Teilchen bilden das sog. Kondensat des SL oder der SF.
→ Neutrale (Q = 0) oder geladene (Q = e) Bosonen: k = 1
→ Neutrale (Q = 0) oder geladene (Q = 2e) Fermionen–Paare: k = 2
Zentrale Annahme von London/von Laue:
Kondensat wird beschrieben durch makroskopische Wellenfunktion ψ(r, t) mit der Eigenschaft
ψ(r, t)ψ(r, t)∗ =
1 s
n (r, t)
k
→ Wahrscheinlichkeitsdichte np (r, t) wird ersetzt durch reale Teilchendichte ns (r, t).
(Elektro–) Dynamik: Schrödinger–Gleichung in Gegenwart der elektromagnetischen Potentiale
φ(r, t) (skalar) und A(r, t) (Vektor) und des chemischen Potentials µ(r, t):
i
h
i2

 −i h̄ ∇ − eA
h̄ ∂ψ
=

k ∂t

k
2m



+ eφ + µ ψ


Bewegungsgleichungen für das Kondensat: Madelung–Transformation der SGL (Erwin Madelung,
1926):
ψ(r, t) = a(r, t)eiϕ(r,t) ; a2 =
23
ns
k
4.1.2
Die London–Gleichungen
Einsetzen in die SGL → hydrodynamische Gleichungen:
gewöhnliche Quantenmechanik → ”Madelung–Flüssigkeit”
London/von Laue–Theorie: → SL bzw. SF
Erste Gleichung:
∂ns
+ ∇ · js = 0
∂t
js = ns vs
Ã
!
1 h̄
s
v =
∇ϕ − eA
m k
→ Kontinuitätsgleichung für die Kondensat–Dichte ns (r, t).
→ Interpretation von js als Stromdichte des Kondensats.
Zweite Gleichung;
−
h̄ ∂ϕ
1
=
mvs2 + eφ + µ + Uqm
k ∂t
2
h̄2 ∇2 a
Uqm = − 2
2k ma
→ gewöhnliche Quantenmechanik: Bohm–Potential Uqm
→ quasiklassischer Limes (h̄2 → 0): Hamilton–Jakobi–Gleichung für das Wirkungsfeld h̄ϕ(r, t).
Wichtige Eigenschaft:
∇ × vs = −
e
B
m
mit B = ∇ × A der magnetischen Induktion.
Chemisches Potential: Gleichgewicht (µ0 ) und Nicht–Gleichgewicht (δµ).
→ Beschleinigungsgleichung für das Kondensat
∂vs
dv
e
1
+ (vs · ∇)vs ≡
=
{E + v × B} − ∇δµ
∂t
dt
m
m
→ Euler–Gleichung der klassischen Hydrodynamik für vs (r, t) (vgl. Übungsblatt 4, Aufgabe 1).
Geladene Systeme: Lorentz–Kraft
Neutrale Systeme: Gradient im chemischen Potential. Gibbs–Duhem–Relation
nδµ = δP − σ0 δT
24
σ0 : Gleichgewichts–Entropie.
London–Gleichungen für geladene Kondensate
(
)
ns e h̄
= ej = en v =
∇ϕ − eA
m k
∂jse
ns e2
=
E
Dauerstroeme
∂t
m
ns e2
∇ × jse = −
B
Abschirmung
m
London–Gleichungen für ungeladene Kondensate
h̄
jsm = mjs = ns ∇ϕ
k
∂jsm
ns
= −ns ∇δµ = − ∇ (δP − σ0 δT )
∂t
n
∇ × jsm = 0
jse
s
s s
Gegenüberstellung Drude ↔ London
Normalmetall (Drude)
“longitudinal”
“transversal”
−iωτtr
je = − ne
eA
m 1−iωτtr
2
∇ × je = − ne
m
Supraleiter (London)
jse =
−iωτtr
B
1−iωτtr
ns e
m
(∇S/k − eA)
Tabelle 1: Gegenüberstellung Drude ↔ London
4.1.3
Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie
Ampere →
∇ × B = µ0 jse
∇ × (∇ × B) = µ0 ∇ × jse
µ0 n s e 2
B
∇2 B =
| m
{z }
λ−2
L
London–Eindringtiefe
s
λL =
m
µ0 ns e2
25
s 2
∇ × jse = − nme B
4.1.4
Die Fluxoidquantisierung
Ausgangspunkt: London–Suprastrom:
Ã
jse
=
1
µ0 λ2L
h̄
∇ϕ
ke
=
A + µ0 λ2L jse
I
h̄ I
dr · ∇ϕ
ke | {z }
h̄
∇ϕ − A
ke
!
³
dr · A + µ0 λ2L jse
=
=2πn
Z
Stokes
³
´
dS · B + µ0 λ2L ∇ × jse
=
|
{z
´
}
Fluxoid φ0
Fluxoid
φ0 =
h̄
2πn = n
ke
h
ke
|{z}
= nφ0
;
n = 0, 1, 2, 3 . . .
Flußquant φ0
Fig. 36 a,b: Zur Fluxoidquantisierung
Zusammenfassung: Resultate der London–Theorie für geladene/neutrale Systeme.
geladene Systeme
vs =
Geschwindigkeit
³
s
jse = e nm
Stromdichte
dvs
dt
Beschleunigung
=
e
m
∂jse
∂t
1. Londongleichung
h̄
∇ϕ
k
³
h̄∇ϕ
k
− eA
´
vs =
´
{E + vs × B}
=
ns e2
E
m
s 2
λ2L =
London–Eindringtiefe
R
dvs
dt
= − m1 ∇δµ
∂jsm
∂t
= −ns ∇δµ
∇ × jsm = 0
m
µ0 ns e2
dS · (B + µ0 λ2L ∇ × jse ) =
h̄
∇ϕ
km
jsm = ns h̄∇ϕ
k
− eA
∇ × jse = − nme B
2. Londongleichung
Fluxoid-Quantisierung
1
m
neutrale Systeme
−
h
ke
−
Tabelle X: Gegenüberstellung geladene ↔ neutrale Systeme
26
4.1.5
Verdienste der London–Theorie
• Supraleitung als quantenmechanisches Phänomen (im quasiklassischen Limes!) auf makroskopischer Skala erkannt.
• Response des Kondensats auf äußere elektromagnetische Potentiale verstanden:
–
–
–
–
Dauerströme
Magnetfeldabschirmung
Fluxoidquantisierung (”2e or not 2e”)
Josephson–Effekt
lassen sich im Rahmen der London– Theorie verstehen.
4.1.6
Klassifizierung der London–Theorien
Die alte London–Theorie
Annahme: k = 1, m = me .
Kommentar: Alle Resultate bis auf das Fluxoid–Quant sind dennoch korrekt.
Die London–BCS–Theorie für Supraleiter
Annahme: k = 2, m = me .
Kommentar: Alle Resultate sind konsistent mit denen der BCS–Theorie. Die Größe ns stellt
jedoch einen unbekannten phänomenologischen Parameter dar.
Die London–BCS–Leggett–Theorie für superfluides 3 He
Annahmen: k = 2, e = 0 und m = mHe−3 .
Kommentar: Alle Resultate für spinunabhängige Größen sind formal konsistent mit denen der
BCS–Leggett–Theorie und ns ist ein phänomenologischer Parameter.
Die London–Theorie für neutrale Bose–Supraflüssigkeiten
Annahmen: k = 1, e = 0 und m = mHe−4 .
Kommentar: Alle Resultate sind formal konsistent mit denen der Theorie der Bose–Supraflüssigkeiten
und ns ist ein phänomenologischer Parameter.
Die London–Theorie für geladene Bose–Supraflüssigkeiten
Annahmen: k = 1, und m = mBoson .
4.1.7
Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie
Verallgemeinerung für realistische Supraleiter (vgl. Übungsblatt X):
Ks =
ns
→ Ks
m
d. h. die Stromresponsefunktion Ks ist i. A. eine Tensorgröße
27
Die London–BCS–Gleichungen
∂jse (r, t)
= e2 Ks · E(r, t)
longitudinaler Strom
∂t
µ0 ∇ × jse (r, t) = −e2 Ks · B(r, t) transversaler Strom
sind eichinvariant, denn sie enthalten nur die eichinvarianten physikalischen Felder E(r, t) und
H(r, t).
Die London–BCS–Gleichung für den Ladungs–Suprastrom:
(
)
h̄
jse (r, t) = eKs ·
∇ϕ(r, t) − A(r, t)
2
ist nur dann invarint bezüglich der Eichtransformation
A0 (r, t) = A(r, t) + ∇χ(r, t)
wenn man annimmt, daß der Phasenterm ∝ ∇ϕ(r, t) aus einer Eichtransformation hervorgegangen ist. Dies führt zur Identifikation
χ(r, t) ≡ −
h̄
Φ0
ϕ(r, t) = − ϕ(r, t)
2e
2π
Konsequenz aus der Eichinvarianz: Suprastrom ist im stationären Limes divergenzfrei, es gilt
Ladungserhaltung:
∂%e (r, t)
stationaer
+ ∇ · jse (r, t) → ∇ · jse (r, t) = 0
∂t
Für die weiteren Rechnungen nehmen wir an, daß die räumliche Variation des Vektorpotentials
von der Form ist
A(r, t) = A(t)eiq·r
Dies führt zur Ersetzung
∇ → iq
Dann lautet der London–BCS–Suprastrom
jse = −e2 Ks · {A + iqχ}
Die Bedingung iq · jse = 0 legt Λ fest (vgl. Übungsblatt 5, Aufgabe 1)
χ=
iq · Ks · A
q · Ks · q
Resultat für den eichinvarianten London–BCS–Strom:
(
jse
2
= −e
q̂ =
Ks · q : q · Ks
K −
q · Ks · q
s
∇
|∇|
28
)
·A
Spezialfall: Ks = K s 1 (vgl. Übungsblatt 4, Aufgabe 2)
jse = −e2 K s {1 − q̂ : q̂} · A
ns e2
{A − q̂(q̂ · A}
= −
m
ns e2
= −
q̂ × (A × q̂)
m
4.1.8
Mängel der London Theorie
• Die Theorie ist lokal, eine Kohärenzlänge taucht nicht auf, d. h. sie beschreibt nur Supraleiter,
in denen die Kohärenzlänge die kleinste relevante Länge darstellt (→ Typ–II–SL). Verbesserung
durch die Arbeit von Ginzburg und Landau 1950.
• Dichte ns (T ) der Supraelektronen (sowie die Temperaturabhängigkeit derselben) ist nicht
bekannt (phänomenologischer Ansatz!).
4.2
Ginzburg–Landau–Theorie
4.3
Gross–Pitaevskii–Theorie
29
5
Mikroskopische Theorie der Supraleitung und Suprafluidität
5.1
5.1.1
Kondensierte Bose–Systeme
Der Normalzustand
Wir betrachten N À 1 freie Bosonen der Masse m in einem Volumen V . Das Energiespektrum
ist dann gegeben durch
h̄2 k2
=
2m
²k
Statistische Beschreibung durch die Bose–Einstein–Verteilung
1
nk =
e
²k −µ(T )
kB T
−1
Hier bedeutet µ(T ) das chemische Potential des Bose–Gases. Eigenschaften von µ(T ):
• µ ist immer negativ (µ = −|µ|)
• |µ| ist sehr groß für T → ∞
• |µ| steigt monoton an mit sinkender Temperatur
Globales thermodynamisches Gleichgewicht: relevante Größen
(i) Teilchenzahldichte
n =
N
1 X
nk
=
V
V k
(ii) Dichte der Inneren Energie:
u(T ) =
U (T )
1 X
²k nk
=
V
V k
Verallgemeinerung: makroskopische Dichten a0 = n, a1 = u(T )
an (T ) =
1 X n
² nk
V k k
Allgemeine Behandlung von Impulssummen in Bose–Systemen:
1 X n
² nk
V k k
1 Z 3 n
=
d k ²k nk
(2π)3
Z
1 Z
dΩ n
2
=
dkk
² nk
2
2π
4π k
*
+
Z ∞
m √
n
=
d²k 2 3 2m²k ²k nk
0
|2π h̄ {z
}
an =
N (²k )
30
Ω
mit
Z
dΩ
...
4π
h. . .iΩ =
Definition: thermische DeBroglie–Wellenlänge:
λT =
v
u
u 2πh̄2
t
=√
mkB T
h
2πmkB T
Umschreibung der Zustandsdichte:
2 1 1
N (²k ) = √ 3
π λT kB T
s
²k
kB T
Definition:
|µ(T )|
kB T
α(T ) =
Umschreibung von an :
an
=
²k =kB T y
=
=
*
+
µ
¶s
²k
²k
1 2 Z∞
²nk
√
d
λ3T π 0
kB T
kB T e ²kkB+|µ|
T
−1 Ω
*Z
+
√
∞
dy y
1 2
√
(kB T y)n
3
y+α
λT π 0 e
−1
Ω
1
(kB T )n 2 Z ∞ dyy n+ 2
√
λ3T
π 0 ey+α − 1
Definition: Bose–Integrale:
Bn+ 3 (α) =
2
³
1
Γ n+
3
2
´
1
Z ∞
dyy n+ 2
0
ey+α − 1
Unter Benutzung von
µ ¶
1
2
µ ¶
3
Γ
2
µ ¶
5
Γ
2
µ ¶
7
Γ
2
..
.
Γ
=
√
π
µ ¶
1
1
=
Γ
2
2
µ ¶
1·3
3
=
Γ
1
2
2
µ ¶
1·3·5
3
=
Γ
2
2
2
31
kann man an umschreiben als:
³
´
3
(kB T )n Γ n + 2
³ ´ Bn+ 3 (α)
=
2
λ3T
Γ 3
an
2
Weitere Behandlung der Bn+ 3 –Funktion
2
Bn+ 3 (α) =
1
³
Γ n+
2
=
3
2
1
³
Γ n+
3
2
´
3
Z ∞
dyy n+ 2 e−(y+α)
1 − e−(y+α)
0
´
∞
X
e−να
ν=1
Z ∞
|0
1
dyy n+ 2 e−νy
{z
(
Γ n+ 3
2
n+ 3
2
ν
}
)
∞
X
e−να
=
1
ν=1
ν n+ 2
Kommentar: die Funktionen Bn+ 3 (α) wachsen mit fallendem α monoton an und haben für
2
α → 0 die Grenzwerte
Bn+ 3 (0) =
2
µ
∞
X
1
ν=1
ν n+ 2
1
3
=ζ n+
2
¶
mit ζ der Riemannschen ζ–Funktion.
Fig. 37: Die Bose–Integrale Bn+ 3 (α)
2
Spezialfälle:
• Teilchenzahldichte (a0 = n)
n ≡
X
k
=
nk =
1
B 3 (α) ;
λ3T 2
N 3
N 3
λT =
λ =
V
N a3 T
Ã
nλ3T = B 3 (α)
2
λT
a
!3
= B 3 (α)
2
• Innere Energie (a1 = u = U/V )
³ ´
5
U
kB T Γ 2
³ ´ B 5 (α)
u =
= a1 = 3
2
V
λT Γ 3
2
| {z }
= 32
=
B 5 (α)
3
nkB T 2
2
B 3 (α)
2
32
Bestimmung des chemischen Potentials:
(i) hohe Temperaturen
T →∞
nλ3T = B 5 (α) → e−α
2
|µ(T )|
= − ln nλ3T
kB T
µ
¶
a 3
1
|µ(T )| = kB T ln 3 = kB T ln
nλT
λT
α =
(ii) tiefe Temperaturen
Damit n konstant bleibt, muß B 3 (α) im gleichen Maße anwachsen wie λ3T . B 3 (α) erreicht seine
2
2
obere Schranke B 3 (0) = ζ(3/2) jedoch bei einer endlichen Temperatur, der Entartungstemper2
atur TB , die durch
µ ¶
nλ3TB
3
= 2.612375 . . .
2
= ζ
definiert ist. Daraus berechnet sich TB zu
2

TB
2πh̄2  n 
³ ´
=
m
ζ 32
3
Umschreiben von nλ3T = B 3 (α) liefert die Gleichung
2
µ
TB
T
¶ 32
=
B 3 (α)
2
B 3 (0)
2
zur Bestimmung des chemischen Potentials.
Fig. 38: Das chemische Potential eines Bose–Gases
5.1.2
Bose–Einstein–Kondensation
Aufteilung der Energie–Eigenzustände in ²k=0 = ²0 = 0 mit mittlerer Besetzungszahl
n0 =
N0
1 1
=
V
V eα − 1
und ²k > 0 mit mittlerer Besetzungszahl
nex =
=
1 X0
1 X0
Nex
1
=
nk =
²k
+α
V
V k
V k e kB T − 1
B 3 (α)
2
λ3T
B 3 (α) µ T ¶ 32
=n 2
B 3 (0) TB
2
33
Gesamte Teilchendichte:
n =
N
= nex + n0
V
Normalzustand des Bosegases: α(T ) > 0 → N0 = O(1), Nex = O(N ) = N .
Wie wir im vergangenen Abschnitt gesehen haben, läßt sich die Bedingung nex = n nur erfüllen
für Temperaturen T ≥ TB mit

TB
2
2πh̄2  n 
³ ´
=
mkB ζ 3
2
3
Bei TB verschwindet das chemische Potential. Dies bedeutet für die Besetzung des Zustands
²0 , daß
lim N0 = lim
α→0
α→0
1
1+α+
α2
2!
1
→∞
α→0 α
= lim
+ ... − 1
Bei der Temperatur TB erfolgt somit eine makroskopische Besetzung des Zustands ²0 = 0. Man
nennt dieses Phänomen Bose–Einstein–Kondensation (BEC).
Für T ≤ TB ist α = 0 und man findet für die Besetzung nex der angeregten Zustände:
nex (T ) =
B 3 (0)
2
λ3T
µ
T
=n
TB
¶ 32
Dann erhält man die mittlere Besetzung des Zustands ²0 in der Form

µ
T
n0 (T ) = n − nex (T ) = n 1 −
TB
¶ 32


Fig. 39: Kondensat–Dichte n0 und Dichte der Anregungen nex eines Bose Gases
Innere Energie des Bose–Gases für T ≤ TB :
³ ´
ζ 52 µ T ¶ 2
U (T )
3
u(T ) =
= nkB TB ³ 3 ´
V
2
TB
ζ
5
2
Spezifische Wärme des Bose–Gases für T ≤ TB :
ζ
³ ´
5
µ
∂u(T )
15
T
2
CV (T ) =
= nkB ³ 3 ´
∂T
4
TB
ζ
2
Fig. 40, a,b: Spezifische Wärmekapazität eines Bose Gases
34
¶ 32
5.1.3
Kritische Geschwindigkeit
Bisherige Annahme: Angeregte Zustände repräsentieren freie Bose Teilchen mit Dispersionrelation ²k = h̄2 k2 /2m.
Ziel: zeigen daß die Struktur des Anregungspektrums von zentraler Bedeutung für das Auftreten
des Phänomens der Suprafluidität ist.
Betrachte ein makroskopisches Object der Masse M welches sich durch die Supraflüssigkeit
bewegt. Frage: bei welcher Geschwindigkeit erzeugt dieses Objekt bei seiner Bewegung durch
die Supraflüssigkeit eine Anregung mit der Energie ²k und dem Impuls p. Die Bedingung kann
durch die Geschwindigkeitsdifferenz vi − vf formuliert werden
1
1
M vi2 =
M vf2 + Ep
2
2
M vi = M vf + p
Eliminieren von vf
vf = vi −
p
M
liefert die Bedingung
E p = p · vi −
p2
2M
M →∞
→ p · vi
für die Erzeugung einer Anregung, ausgedrückt durch die sog. Landau kritische Geschwindigkeit
vc = min
Ep
>0
|p|
Diskussion:
Freie Bosonen haben vc = 0, d. h. selbst bei einer Bewegung mit beliebig kleiner Geschwindigkeit
werden Anregungen erzeugt und Dissipation setzt ein, die die SF zunichte macht.
5.1.4
Schwache Wechselwirkung: Phononen im Bose–Gas
Wechselwirkungseffekte: drastische Modifikation der Natur der elementaren Anregungen (freie
Teilchen → kollektive Anregungen).
Nikolai N. Bogoliubov (1947): Annahme einer schwachen repulsiven Wechselwirkung Vk →
Anregungsspektrum wird Phononen–artig:
s
Ek =
²2k +
s
c =
nVk 2 2 k→0
h̄ k = ch̄|k|
m
nV0
m
mit c der Schallgeschwindigkeit.
35
5.1.5
Starke Wechselwirkung: Phononen und Rotonen in He–II
Lev D. Landau (1947): Untersuchung der Situation für superfluides 4 He. Hier sind Wechselwirkungs–
Effekte sind alles andere als schwach.
Postulat der Form eines Anregungsspektrums, welches später von Richard P. Feynman im
Jahr 1953. mit Variationsmethoden verifiziert wurde.
Kleine Impulse: das Anregungsspektrum ist Phononen–artig , d. h. linear in |p|
lim Ep = Epphon = c|p|
p→0
(1)
Größere Impulse: das Anregungsspektrum erinnert an das Spektrum von Kristall–Phononen:
²p durchläuft ein Maximum (Maxon–Region, Zonenengrenze), und nähert sich dann, bei einem
charakteristischen Impuls p0 dem nächsten Minimum, welches jedoch bei einer endlichen Energie(–
Lücke) ∆ liegt. Für diesen Teil des Spektrums wurde der Begriff ”Roton”eingeführt. Grund:
Analogie (Richard P. Feynman) zu einem ”Rauch-Ring” in dem sich ein Teil der Rauch–Teilchen
rückwärts bewegen muß damit der gesamte Ring eine effektive Vorwärtsbewegung durchführen
kann.
lim Ep = Eprot = ∆ +
|p|→p0
(|p| − p0 )2
2mr
Fig. 41: Zum Phonon–Roton–Spektrum in He–II
Experimentelle Parameter für das Phonon–Roton Spektrum:
c
p0 /h̄
∆/kB
mr
=
= 1.9Å−1
= 8.6K
= 0.15mHe
Die Landau kritische Geschwindigkeit für das Phonon–Roton Spektrum ist charakterisiert
durch das Roton–Minimum:
vc =
5.2
5.2.1
∆
p0
Paarkorrelierte Fermisysteme nach BCS und Leggett
Normalzustand
Wir betrachten N À 1 freie Fermionen der Masse m in einem Volumen V . Das Energiespektrum
ist dann gegeben durch
²k =
36
h̄2 k2
2m
Statistische Beschreibung durch die Fermi–Dirac–Verteilung
1
nk =
e
²k −µ(T )
kB T
+1
Fig. 42: Die Bose–Einstein– und Fermi–Dirac–Verteilung
Hier bedeutet µ(T ) das chemische Potential des Bose–Gases. Eigenschaften von µ(T )
• µ ist immer positiv (µ = |µ|)
• µ(0) = EF
• µ fällt monoton ab mit steigender Temperatur
Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht kann man makroskopische Dichten an (T ) allgemein wie folgt definieren:
an (T ) =
1 X n
² nk
V kσ k
Spezialfälle
• Teilchenzahldichte (a0 = n)
n =
N
1 X
nk
=
V
V kσ
• Innere Energie (a1 = u(T ) = U (T )/V )
u(T ) =
U (T )
1 X
²k nk
=
V
V kσ
Allgemeine Behandlung von Impulssummen in Fermi–Systemen
an =
=
1 X n
² nk
V kσ k
*Z
∞
0
m √
d²k 2 2 3 2m²k ²nk nk
}
| 2π h̄ {z
N (²k )
Ω
Umschreibung der Zustandsdichte
2 1 1
N (²k ) = |{z}
2 √ 3
π λT kB T
Spin
37
+
s
²k
kB T
Definition:
µ(T )
kB T
α(T ) =
Umschreibung von an (T )
an
1
(kB T )n 2 Z ∞ dyy n+ 2
√
= |{z}
2
λ3T
π 0 ey−α + 1
Spin
Definition: Fermi–Integrale
Fn+ 3 (α) =
2
1
³
Γ n+
3
2
´
1
Z ∞
dyy n+ 2
ey−α + 1
0
Umschreibung von an :
³
an
´
3
(kB T )n Γ n + 2
³ ´ Fn+ 3 (α)
= 2
2
λ3T
Γ 3
2
Spezialfälle:
(i) Dichte
a0 = 2
1
F 3 (α)
λ3T 2
(i) Dichte der inneren Energie
³ ´
a1
5
kB T Γ 2
U (T )
´ F 5 (α)
³
=2 3
= u(T ) =
V
λT Γ 3 2
2
Asymptotisches Verhalten von Fn+ 3 (α) (Sommerfeld-Entwicklung, vgl. Übungsblatt 7):
2
³


´

5

π Γ n + 2 n + 12
α
³
´
³
´
3 (α)
1
+
lim
F
=
+
.
.
.
n+

α→∞
2
6 Γ n + 3 α2
Γ n + 52 
2
n+ 32
2
Bestimmung des chemischen Potentials im Limes α → ∞
Ã
nλ3T
2πh̄2
= n
mkB T
liefert das bekannte Resultat
µ(T )
T →0
=
!3
2
8
= √
3 π

h̄2 ³ 2 ´ 23 
1
3π n 1 −
12
}
|2m {z
µ(0)≡EF
38
Ã
µ
πkB T
µ(0)
µ
kB T
!2
¶3
2
1
−
80
+ ...
Ã
πkB T
µ(0)
!4


. . .
Innere Energie:

2
1
3
u(T ) =
NF EF2 + NF (πkB T )2 1 −
5
6
20
Ã
πkB T
µ(0)

!2
+ . . .
Spezifische Wärme:
∂u(T )
π2
= NF kB2 T = γ0 T
∂T
3
cV (T ) =
Sommerfeld-Konstante
γ0 =
π2
NF kB2
3
Entropiedichte des Fermigases
σ 0 (T ) = −
5.2.2
kB X
{nk ln nk + (1 − nk ) ln(1 − nk )}
V kσ
Singulett– und Triplett–Paarkorrelationen
Gewöhnliche BCS–Theorie: beschreibt
• elektronische Paarkorrelationen im k–Raum
• Formationen von Spin–Singulett Pseudo–Bosonen (|k ↑i, | − k ↓i)
• vermittelt durch (an der Fermifläche) anziehende El.–El.–Wechselwirkung durch Austausch eines virtuellen Phonons
• Schwache Kopplung (BCS–Modell) vs. starke Kopplung (Eliashberg)
Ziel: Erweiterung der (schwach koppelnden) BCS–Theorie auf
• BCS–Modell mit allgemeiner anziehender Wechselwirkung (Phononen, fm/afm Spinfluktuationen)
• Spin–Singulett–Paarung mit endlichem Bahndrehimpuls (orbitale Anisotropie, d–wellen–
Paarung)
• Spin–Triplett–Paarung (|kσ1 i, |−kσ2 i) mit endlichem Bahndrehimpuls (orbitale Anisotropie,
p–Wellen–Paarung, BCS–Leggett–Theorie, A. J. Leggett, Physik–Nobelpreis 2003)
Generelle Annahmen und Kriterien der verallgemeinerten BCS–(Leggett–) Theorie:
• In der Nähe der Fermifläche gibt es eine (beliebig kleine) Wechselwirkung
(s)

(s)

 Γ0 h(s) (k̂ · p̂)
Γkp = 

0
; |ξk |, |ξp | < ²c
; sonst
die für Paare mit Gesamtspin s = 0 (Singulett) oder s = 1 (Triplett) anziehend ist
(s)
Γ0 < 0.
39
• spontane Paarformation im k–Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischen
Gleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die sog. Paaramplitude
gkσ1 σ2 ≡ hĉ−kσ1 ĉkσ2 i 6= 0 ; k ≡ k1 − k2 ; T ≤ Tc
• Pauliprizip: totale Antisymmetrie von gkσ1 σ2 beim Vertauschen der Spins σ1 , σ2 und der
Impulse k1 , k2
g−kσ2 σ1 = −gkσ1 σ2
• Spinstruktur von gkσ1 σ2 :
Kopplung der Paar–Spins s1 = s2 = 12 und deren Projektionen σ1 , σ2 zum Gesamtspin s
und der magnetischen Quantenzahl ms führt zur Fallunterscheidung

 0 ; ms = 0
s=
; Singulett–Paarung
1 ; ms = −1, 0, 1 ; Triplett–Paarung
• Kopplung beschrieben durch Clebsch–Gordon–Koeffizienten
Ã
gkσ1 σ2 ∝
1
2
σ1
1
2
σ2
| s
| ms

!
=
√1 δm ,0
s
2
δs,1 δms ,1
s+1
(−1)
√
δms ,0
2
δs,1 δms ,−1


σ1 σ2
Vollständiges System von Pauli–Spinmatrizen
(Ã
0
{τ , τ } =
1 0
0 1
! Ã
0 1
1 0
,
! Ã
,
0 −i
i 0
! Ã
,
1 0
0 −1
!)
• Spin–Singulett–Paarung
Ã
gkσ1 σ2 =
0 gk
−gk 0
!
= gk (iτ 2 )σ1 σ2
σ1 σ2
1
[gk↓↑ − gk↑↓ ]
gk =
2
Pauliprinzip: gk hat gerade Parität bezüglich k → −k (englisch: even parity pairing):
g−k = gk
Klassifizierung der k–Abhängikeit von gk durch gerade orbitale Quantenzahl l:
s–Wellen–Paarung (l = 0), d–Wellen–Paarung (l = 2), u.s.w..
• Spin–Triplett–Paarung:
Ã
ms = 0
;
Ã
ms = 1
;
Ã
ms = −1 ;
40
0 1
1 0
1 0
0 0
0 0
0 1
!
= τ1
!
= τ0 + τ3
!
= τ0 − τ3
Konsequenz für die Triplett–Paaramplitude:
Ã
gkσ1 σ2 =
1
[g
2 k↓↑
gk↑↑
1
[g
+ gk↑↓ ]
2 k↓↑
+ gk↑↓ ]
gk↓↓
!
= gk · (τ iτ 2 )σ1 σ2
σ1 σ2
g–Vektor beschreibt die Komponenten des Tripletts
1
(gk↓↓ − gk↑↑ )
2
1
=
(gk↑↑ + gk↓↓ )
2i
1
=
(gk↓↑ + gk↑↓ )
2
gkx =
gky
gkz
Pauliprinzip: gk hat ungerade Parität bezüglich k → −k (englisch: odd parity pairing):
g−k = −gk .
Klassifizierung der k–Abhängikeit von gk durch ungerade orbitale Quantenzahl l:
p–Wellen–Paarung (l = 1), f –Wellen–Paarung (l = 3), u.s.w..
• gk und gk : Ordnungsparameter der BCS–Leggett–Theorie.
Die Definition anderer Ordnungsparameter ist möglich, sog. Paarpotentiale
∆k =
X (0)
p
dk =
Γkp gp
X (1)
p
Γkp gp
;
Singulett
;
Triplett
• Spontan gebrochene Eich–Symmetrie am supraleitendem Phasenübergang: lokale Eichtransformation
ϕ
ĉkσ → ĉkσ ei 2
Transformationsverhalten von gk und ∆k :
gkσ1 σ2 → gkσ1 σ2 eiϕ
∆kσ1 σ2 → ∆kσ1 σ2 eiϕ
Dynamik des Ordnungsparameters entspricht Dynamik der Phase δϕ
δ∆k = iδϕ ∆eq
k
δdk = iδϕ deq
k
41
• Spontan gebrochene Spin–Bahn– Symmetrie am supraleitendem Phasenübergang
(SBSOS, Leggett, 1972). Infinitesimale relative Drehung von Spin–und Bahnkoordinaten
um Drehachse n und Winkel δθ. Transformationsverhalten von dk :
dk = R(n̂, θ) · deq
k
Dynamik des dk –Vektors entspricht Dynamik des Drehwinkels δθ
δdk = deq
k × nδθ
• Klassifizierung der orbitalen Struktur der Paarpotentiale:
Faktorisierung in
(i) temperaturabhängigen Maximalwert ∆0 (T )
(ii) k–abhängige orbitale Anisotropiefunktionen f (k̂), f (k̂)
∆k = ∆0 (T )f (k)
dk = ∆0 (T )f (k)
Konventionelle Paarung
h∆kσ1 σ2 iFS > 0
Symmetrie des Paarpotentials = Symmetrie der Fermifläche
Nur Eichsymmetrie ist gebrochen
Unkonventionelle Paarung
h∆kσ1 σ2 iFS = 0
Symmetrie des Paarpotentials ist niedriger als die Symmetrie der Fermifläche
Neben Eichsymmetrie sind noch andere Symmetrien gebrochen (z. B. SBSOS)
Fig. 43: Zur konventionellen und unkonventionellen Paarung
Fig. 44 a,b: Einige unkonventionelle Paarzustände
5.2.3
Nebendiagonale langreichweitige Ordnung
– Zur Wiederholung: Paarpotential in der BCS–Leggett–Theorie
∆kσ1 σ2 =
X
Γkp gpσ1 σ2 6= 0 ;
p
→ neue Energieskala!
– Aufteilung der Energievariable ξk = ²k − µ in
42
T ≤ Tc
Teilchen mit ξk > 0 und
Löcher mit ξ−k < 0
– Anordnung in einer 4 × 4–Matrix im Teilchen–Loch–Raum [Y. Nambu, 1960]
Ã
ξ 0k
=
ξk 1
∆k
∆†k −ξ−k 1
!
– Nebendiagonale langreichweitige Ordnung (engl.: off–diagonal long range order, ODLRO)
Fig. 45: Nambu-Raum gesehen an einer Deutschen Hochschule
– BCS–Hamiltonoperator
ĤBCS − µN̂ =
X
k
†
Ĉ k · ξ 0k · Ĉ k
–Nambu– 4 × 4–Spionor



= 


Ĉ k
†
Ĉ k =
5.2.4
³

ĉk↑
ĉk↓
ĉ†−k↑
ĉ†−k↓





ĉ†k↑ ĉ†k↓ ĉ−k↑ ĉ−k↓
´
Bogoliubov–Valatin–Diagonalisierung
– Diagonalisierung der Energiematrix (N. N. Bogoliubov, X. Valatin, 1957)
Ĉ k = U k · α̂k

α̂k↑

 α̂k↓
α̂k = 
 α̂†
 −k↑
†
α̂−k↓
Ã
Uk =






uk 1 v k
−vk† uk 1
!
Eigenschaft von U k
Ã
U †k
·
u2k
1
ξk
=
1+
2
Ek
ξ 0k
· Uk =
Ek
0
0 −Ek
!
– BCS–Kohärenzfaktoren
Ã
43
!
= 1 − vk vk†
Fig. 46: Die BCS–Kohärenzfaktoren uk und vk
–Transformierter BCS–Leggett–Hamiltonoperator
ĤBCS − µN̂ = UBCS (0) +
|
{z
}
X
†
Ek α̂kσ
α̂kσ
kσ
|
T =0
{z
}
T >0
–Energiedispersion der thermischen Anregungen (Bogoliubov–Quasiteilchen, Bogolons)
q
q
Ek ≡
ξk2 + ∆k ∆†k
ξ 0k · ξ 0k =
– Beschränkung auf ”unitäre” Paarungszustände
∆k ∆†k = ∆2k 1
Fig. 47: Die Bogolon–Energiedispersion Ek vs. k
– ∆k hat die Bedeutung einer Energielücke
– Landau kritische Geschwindigkeit
vL =
∆0
pF
– Verhalten von Ek in der Nähe des Fermi–Impulses pF (isotrope Supraleiter mit ∆k ≡ ∆)
h̄2 (|k|2 − kF2 )
2MB
∆
= m
2EF
Ek = ∆ +
MB
→ vgl. Rotonen in He–II (siehe Übungsblatt 9).
– Fermi–Dirac Verteilungsfunktion der Bogoliubov–Quasiteilchen
†
νk = ν(Ek ) = hα̂kσ
α̂kσ i =
exp
³
1
Ek
kB T
´
+1
– Diagonale Verteilungsfunktion
nk = u2k νk + vk vk† (1 − νk ) = vk vk† + (u2k − vk vk† )νk
– Paar– (Gorkov–) Amplitude
gk = uk vk (1 − 2νk ) = −
44
∆k
Ek
tanh
2Ek
2kB T
5.2.5
Die Energielückengleichung
– Ausgangspunkt: Selbstkonsistenzgleichung
∆k = −
X (s)
p
Γkp ∆p θp = ∆0 (T )fk
∆0 (T ): temperaturabhängiges Maximum von δk
fk : beschreibt orbitale Anisotropie der Paarung
– Annahme 1: schwache Kopplung
(s)
|NF Γkp | ¿ 1
(s)
–Annahme 2: Γkp ist in der Nähe der Fermikante attraktiv. Separabler Ansatz für die Paarwechselwirkung
(
(s)
Γkp
fk fp
fk · fp
= −Γ(s) Θ(|ξk | − ²c )Θ(|ξp | − ²c )
δs,0 + 2
δs,1
2
hf iFS
h|f |iFS
)
• Die Sprungtemperatur Tc
Tc =
µ
2eγ
π
|{z}
exp −
1
NF V0
¶
(2)
=1.13338...
mit γ = 0.577 . . . der der Euler–Konstante.
• Der Sprung in der spezifischen Wärme
∆C
3 8 hfp2 i2FS
=
CN
2 7ζ(3) hfp4 iFS
(3)
mit ζ(3) = 1.2020569 . . . der Riemannschen ζ–Function.
• Die Energielücke in der Nähe der Sprungtemperatur
v
u
µ
¶
T
∆0 (T ) u
8 hfp2 iFS
1
−
=t
πkB Tc
7ζ(3) hfp4 iFS
Tc
(4)
• Die Energielücke bei T = 0
1
∆0 (0)
µ
¶ ≡ δsc
=
hf 2 ln fp iFS
πkB Tc
exp γ + phf 2 iFS
p
45
(5)
• Sehr akkurate Interpolationsformel für die Energielücke für 0 < T < Tc :

v
u
 1 u 2∆C
∆0 (T )
1
= tanh  t
2
∆0 (0)
δsc 3CN hfp iFS
µ

¶
Tc
−1 
T
Einige BCS–Mühlschlegel–Parameter für paarkorrelierte Fermisysteme.
∆C
CN
∆0 (0)
kB Tc
isotrop
axial
E1g
E2u
dx2 −y2
12
7ζ(3)
10
7ζ(3)
6
5ζ(3)
286
245ζ(3)
8
7ζ(3)
1.426
1.188
0.998
0.971
0.951
π
eγ
πe5/6
2eγ
πe47/30
4eγ
1.764
2.029
2.112
√
3πe177/70
18eγ
2π
2.128
2.140
Fig. 48: Zur Temperaturabhängigkeit der BCS–Energielücke
5.2.6
Eigenschaften thermischer Anregungen
• Impulsverteilung
†
νk = ν(Ek ) = hα̂kσ
α̂kσ i =
exp
³
1
Ek
kB T
´
+1
Fig. 49: Zur Bogolon–Impuslverteilungsfunktion
Fig. 50: Zur thermischen Aktivierung
• Energieableitung der Impulsverteilung (Yosida–Kern)
yk = −
1
∂νk
1
³
´
=
∂Ek
4kB T cosh2 Ek
2kB T
• Anregungsdichte
nex =
X
νp
kB T
µ
T →Tc
3 ln 2n
T →0
NF kB T Y (T )
=
pσ
=
46
1
eγ+ 2
(6)
• Yosida–Funktion
¿Z ∞
Y (T ) =
−∞
À
dξp yp
FS
Fig. 51: Bild Y (T ) vs. T
• Entropiedichte des Quasiteilchensystems
σ(T ) = −
kB X
{νp ln νp + (1 − νp ) ln(1 − νp )}
V pσ
kann umgeschrieben werden in
σ(T ) =
1 X ξp2
yp
V pσ T
Variation der Entropie mit lokaler Temperaturänderung δT :
T δσ(T ) =
1 X
Ep δνp ≡ CV δT
V pσ
δνp : BQP–Fermi-Verteilung verschoben durch δT
δνp =
exp
³
Ã
= yp
1
Ep +(∂Ep /∂T )δT
kB (T +δT )
´
!
+1
− νp
Ep ∂Ep
−
δT
T
∂T
• Spezifische–Wärme–Kapazität
Ã
Ep2
δσ
1 X
1 ∂∆2p
CV (T ) = T
=
yp
−
δT
V pσ
T
2 ∂T
5.3
5.3.1
!
Response von Kondensaten und Quasiteilchen–Gasen
Vereinheitlichung von Bose–Einstein und Fermi–Dirac–Statistik
Ziel: Allgemeine Behandlung von Quasiteilchen–Gasen aus
Bosonen (Phononen, Rotonen)
Fermionen (Landau–QT, Bogolonen)
47
Energiedispersion

c|p|







(|p|2 −p20 )



 ∆ + 2mr
;
Ep = 


ξp = vF (|p| − pF )





q


 E = ξ 2 + ∆ ∆†
p
p p
p
Phononen
;
Rotonen
;
Landau Quasiteilchen
;
Bogolonen
Beschreibung durch Impulsverteilungsfunktion
1
nθ (Ep ) =
exp
Ep
kB T
−θ
Statistik: beschrieben durch die Größe θ
½
θ=
1 ;
−1 ;
Bose
Fermi
Spin der Anregungen
1−θ
=
s =
4
½
0 ; Bose
1
; Fermi
2
Energieableitung der Verteilungsfunktion (”Yosida–Kern”):
yp,θ = −
∂nθ (Ep )
1
1
=
Ep
∂Ep
2kB T cosh 2k T − θ
B
1
=
4kB T
·

1


 sinh2 2kEpT
; Bose (θ = 1)
1


 cosh2 Ep
2k T
; Fermi (θ = −1)
B
B
5.3.2
Das Konzept des lokalen Gleichgewichts
Äußere Störungen: beschrieben durch Energieverschiebungen
δEpσ = −
p
∂Ep
γh̄
· eA − p · vn −
δT −
σB
m
∂T
2
Eichtransformation (vgl. Konzept der makroskopischen Wellenfunktion):
h̄
∇ϕ ≡ −mvs
2s + 1
h̄
eA
∇ϕ −
(2s + 1)m
m
eA → eA −
vs =
48
führt auf
δEpσ = p · (vs − vn ) −
∂Ep
γh̄
δT −
σB
∂T
2
Lokales Gleichgewicht:
½
nθ
Ep
kB T
(
¾
→ nθ
Ep + δEpσ
kB [T + δT ]
)
Observable
• Stromdichte (Quantenmechanik 1)
(
)
p̂
|ψ|2
1
j = < ψ ψ −
eA = < {ψ ∗ (p̂ − eA) ψ}
m
m
m
h̄
p̂ =
∇
i
∗
• Stromdichte (Vielteilchensysteme
jis =
2s + 1 X pi
nθ {Ep + p · (vs − vn )} + nvis
V
p m
”para”
”dia”
• Entropiedichte


(
)
 E + ∂Ep 
2s + 1 X
p
∂T
T δσ =
Ep nθ 
V
k
(T
+
δT ) 
B
p
• Magnetisierungsdichte (nur Fermionen, θ = −1)
Ã
M =
5.3.3
γh̄
2
!
1 X
γh̄
σn−1 Ep −
σB
V pσ
2
Spezifische Wärmekapazität
Taylor–Entwicklung in der Entropiedichte–Änderung nach δT ergibt
(
"
∂nθ (Ep ) Ep ∂Ep
2s + 1 X
Ep nθ (Ep ) −
−
T δσ =
V
∂Ep
T
∂T
p
"
#
{z
}
Ep2
2s + 1 X
∂Ep
=
yp,θ
− Ep
δT
V
T
∂T
p
|
CV (T )
= CV (T )δT
49
#)
δT
Spezifische Wärmekapazität
"
Ep2
2s + 1 X
∂Ep
CV (T ) =
yp,θ
− Ep
V
T
∂T
p
#
Fig. 52: Spezifische Wärme der Bogoliubov–Quasiteilchen
Fig. 53: Spezifische Wärme von Vanadium, Zinn, und UBe13
Fig. 54: Spezifische Wärme YBa2 CuO7 und Sr2 RuO4
5.3.4
Zweiflüssigkeitsbeschreibung für Bose– und Fermi–Supraflüssigkeiten
Berechnung der Stromdichte: Term ”para”
(
∂nθ (Ep )
2s + 1 X pi
”para” =
nθ (Ep ) +
pj (vjs − vjn )
V
∂Ep
p m
2s + 1 X
pi pj s
= −
yp,θ
(vj − vjn )
V
m
p
{z
|
)
}
nn
ij
= −nnij (vjs − vjn )
Definition: normalfluide Dichte
nnij =
pi pj
2s + 1 X
yp,θ
V
m
p
Term ”dia”
”dia” = nvjs
Totale Stromdichte
js = nvs − nn · (vs − vn )
= [n1 − nn ] ·vs + nn · vn
|
{z
}
=ns
Definition: superfluide Dichte
ns = n1 − nn
Zweiflüssigkeitsbeschreibung
j = ns · v s + nn · v n
Nota bene: im Normalzustand von der Bose– und Fermi–Vielteilchensysteme gilt
ns = 0
nn = n1
50
Der Suprastrom verschwindet oberhalb Tc .
Wichtig: Ursache für ns 6= 0 unterhalb Tc : Energielücke im Spektrum der elementaren Anregungen:
→ Rotonen
→ Bogoliubov–Quasiteichen
5.3.5
Normalfluide Dichte
Normalfluide Dichte für Phononen
nnij = n
2π 2 (kB T )4
δij
45 mc2 h̄3 c3 n
Normalfluide Dichte für Rotonen
nnij
=
s
1
3
3π 2
p20
p30 mr −∆/kB T
e
δij
2mr kB T h̄3 m
Fig. 55: Normalfluide Dichte von He–II
Normalfluide Dichte für Bogoliubov–Quasiteilchen [(pseudo–) isotrope Paarung]
nnij = nY (T )δij
Normalfluide Dichte für Bogoliubov–Quasiteilchen bei uniaxialer Gap–Anisotropie
nnij (T ) = nnk (T )l̂i l̂j + nn⊥ (T )(δij − l̂i l̂j )
nnk (T )
nn⊥ (T )
= 3
= 3
Z 1
0
Z 1
0
dxx
dx
2
1
Z ∞
dξp yp,−1
−∞
− x2 Z ∞
2
−∞
dξp yp,−1
Fig. 56: Normalfluide Dichte von 3 He–A,B
5.3.6
Superfluide Dichte und Magnetfeld-Eindringtiefe in metallischen Supraleitern
In metallischen Supraleitern ist die Normalkomponente gepinnt durch Fehlstellen, Impurities,
etc., d. h. es gilt vn = 0. Dann erhält man ein Resultat für die elektronische Stromdichte in der
eichinvarianten London-Form
jse
ns
= en v = e
m
s s
51
Ã
h̄
∇ϕ − eA
2
!
Spezialfall: ns = ns 1
Magnetfeld–Eindringtiefe
λ2L (T ) =
m
µ0 ns e2
Fig. 57: Magnetfeld–Eindringtiefe für verschiedene unkonventionelle Supraleiter
Fig. 58: Magnetfeld–Eindringtiefe Quecksilber und UBe13
Fig. 59: Magnetfeld–Eindringtiefe UPt3 und YBa2 CuO7
5.3.7
Spinsuszeptibilität
Wir betrachten lediglich den Quasiteilchenbeitrag (ms = 0–Komponente)
(
Mms =0
γh̄ 1 X
γh̄
∂n−1 (Ep )
=
σ n−1 (Ep ) −
σB
2 V pσ
2
∂Ep
Ã
=
|
γh̄
2
!2
1 X
yp,−1 B
V pσ
{z
}
χms =0
Quasiteilchen Spinsuszeptibilität
Ã
χms =0 =
Ã
=
γh̄
2
γh̄
2
!2
!2
1 X
yp,−1
V pσ
NF Y (T )
Totale Spinsuszeptibilität
χtot = χms =0 + χms =1 + χms =−1
| {z }
{z
|
Bogolons
}
Kondensat
Fig. 60: Zur Spinsuszeptibilität der Bogoliubov–Quasiteilchen
Fig. 61: Zur Spinsuszeptibilität von Aluminium und GdBa2 CuO7
Fig. 62: Zur Spinsuszeptibilität von 3 He–A,B
52
)
6
Anhänge
6.1
6.1.1
Normale Bose–und Fermisysteme
Gegenüberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI
GRÖSSE
CGS
SI
Lichtgeschwindigkeit
c2
1
µ0 ²0
Elektrisches Feld
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
E = −∇Φ −
∂A
∂t
Magnetfeld
H
H
Elektrische Verschiebung
D = E + 4πP
D = ²0 E + P
Magnetische Induktion
B = H + 4πM
B = µ0 H + M
Ampere–Gesetz
∇×H=
4π
c
³
je +
1 ∂D
4π ∂t
´
³
∇ × B = µ0 j e +
Faraday–Gesetz
∇ × E = − 1c ∂B
∂t
∇ × E = − ∂B
∂t
Coulomb–Gesetz
∇ · D = 4πne
∇ · D = ne
4πne2
m
ωp2 =
e2
|r|
V (r) =
Plasmafrequenz
ωp2 =
Coulomb–WW
V (r) =
Coulomb–WW
V (q) =
London-Eindringtiefe
Fluxoid–Quant
λ2L =
4πe2
q2
mc2
4πns e2
φ0 =
53
=
hc
Q
ne2
²0 m
e2
4π²0 |r|
V (q) =
c2
ωp2
λ2L =
∂D
∂t
e2
²0 q2
m
µ0 ns e2
=
φ0 =
h
Q
1
µ0 ²0 ωp2
´
6.1.2
Fermisysteme in d Raumdimensionen
Ausgangspunkt: d–dimensionaler Hyperkubus der Länge L und des Volumens Ld
Erlaubte Quantenzustände, charakterisiert durch diskrete Wellenzahlen (periodische Randbedingungen):
µ
¶
2π
ki =
ni ; i = 1, 2, . . . d
L
Auswertung von Impulssummen S{f }:
S{f } ≡
XX
σ
f (k)
k
X
µ
X
2π
f
=
n
L
σ n1 ,n2 ,...nd
µ
¶
XZ
2π
d
=
d nf
n
L
σ
=
=
X µ L ¶d Z
σ
2π
σ
L
2π
Xµ
dd kf (k)
¶d Z ∞
|
¶
Z
dkk d−1
0
dd−1 Ωk f (k)
{z
}|
{z
=
X µ L ¶d
2π
σ
Sd
Z ∞
0
Z
dkk d−1
Oberfläche Sd der d–dimensionalen Einheitskugel:
Z
Sd =
d
d−1
d
Ω=
2π 2
Γ
³ ´
d
2
Volumen Vd der d–dimensionalen Einheitskugel:
d
Sd
2π 2
³ ´
Vd =
=
d
d Γ d2
Spezialfälle:
d
Sd
Vd
1
2
2
2
2π
π
3
4π
4
π
3
4
2π 2
π2
2
54
}
angle
magnitude
dd−1 Ωk
f (k)
Sd
Tabelle A1: Sd und Vd verschiedenen Raumdimensionen
Fig. A1: Die Abhängigkeit von Sd und Vd von d
Annahme: Spektrum freier Fermionen:
h̄2 k2
²k =
= ξk + µ
2m
Umwandlung von Impulssummen in Integrale über Energieen ²k , ξk :
d
S{f } = L
Z ∞
0
d²k Sd
|
d
X m(2m²k ) 2 −1 Z dd−1 Ωk
σ
(2πh̄)d
{z
Sd
}
f (k)
Nd (²k )
d
= L
Z ∞
−µ
dξk Sd
|
d
X m[2m(µ + ξk )] 2 −1 Z dd−1 Ωk
(2πh̄)d
σ
{z
}
Sd
f (k)
Nd (µ+ξk )
Definition: Zustandsdichte (DOS) in d Dimensionen (2 Spinprojektionen)
d
m[2m(µ + ξk )] 2 −1
Nd (µ + ξk ) = 2Sd
(2πh̄)d
Spezialfall: DOS an der Fermienergie:
d
NFd
m[2m(µ)] 2 −1
≡ Nd (µ) = 2Sd
(2πh̄)d
Umschreibung der Impulssummen (s = S/Ld )
s{f } ≡
Z d−1
S{f } Z ∞
d Ω
=
dξ
N
(µ
+
ξ
)
f (k)
k d
k
d
L
Sd
−µ
Beispiele für Nd (µ + ξk )
d
Nd (µ + ξk )
1
1
2m √
πh̄
2m(µ+ξk )
2
m
πh̄2
√
3
m
2m(µ+ξk )
π 2 h̄3
Tabelle A2: Nd (µ + ξk ) in verschiedenen Raumdimensionen
55
Einige wichtige Beziehungen:
Teilchenzahldichte in d Dimensionen:
N
Ld
nd =
Fermi–Wellenzahl kFd in d Dimensionen:
Ã
nd
1 X
kFd
=
Θ(k − kFd ) = 2
d
L kσ
2π
(
kFd =
1 (2π)d
nd
2 Vd
!d
Vd
→
)1
d
Fermigeschwindigkeit vFd in d Dimensionen:
vFd =
h̄kFd
m
EFd =
2
h̄2 kFd
2m
Fermienergie EFd in d Dimensionen:
Eigenschaften:
nd
m
d
=
nd
2
2
NFd vFd
= d
NFd EFd
6.1.3
Die Hydrodynamik neutraler Flüssigkeiten
Eine Flüssigkeit (Gas) sei durch die Massendichte
nm (r, t) ≡ %(r, t) = mn(r, t)
spezifiziert. Die Erhaltung der Masse (Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitätsgleichung
beschrieben:
∂%(r, t)
+ ∇ · jm (r, t) = 0
∂t
Massenstromdichte oder Impulsdichte:
jm (r, t) = %(r, t)v(r, t)
v(r, t) ist das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit.
56
Verallgemeinerung der Newtonschen Beschleunigungsgleichung:
%
dv
= −∇P + %g
dt
P (r, t) ist der Druck auf die Flüssigkeit und g ist die Gravitationsbeschleunigung.
Berechnung der totalen Ableitung:
3
X
∂vµ ∂xi
dvµ
=
dt
i=1 ∂xi ∂t
3
X
∂
vµ
∂xi
i=1
= (v · ∇)vµ
=
vi
Resultat: Eulergleichung der Hydodynamik
∂v
dv
1
+ (v · ∇)v ≡
= − ∇P + g
∂t
dt
%
Spezialfall: Hydrostatik
∇P (r, t) = %(r, t)g
Alternative Form der Eulergleichung: Erhaltungssatz für die Impulsdichte
∂jmµ (r, t) ∂Πµν (r, t)
+
=0
∂t
∂xν
Πµν : Tensor der Impulsstromdichte (Spannungstensor).
Identifikation der Form von Πµν :
∂
∂%
∂vµ
(%vµ ) = vµ
+%
∂t
∂t
∂t Ã
!
∂vµ 1 ∂P
∂(%vν )
= −vµ
+ % −vν
−
∂xν
∂xν
% ∂xµ
∂(%vν )
∂vµ
∂P
= −
− vµ
− %vν
∂xµ
∂xν
∂xν
∂P
∂
= −
−
(%vν vµ )
∂xµ ∂xν
∂
= −
{P δµν + %vµ vν }
∂xν
Resultat: Impulsstromdichte (Spannungstensor)
Πµν = P δµν + %vµ vν
57
Zähe Flüssigkeiten: Impulsstromrelaxation:
Πµν = P δµν + %vµ vν + Π0µν
Dissipativer Anteil des Impulsstroms:
(
Π0µν
)
∂vµ
∂vν
2
= −η
+
− δµν (∇ · v) − ζδµν (∇ · v)
∂xν ∂xµ 3
Transportparameter: η = Scherviskosität, ζ = Volumenviskosität.
Einsetzen in den Erhaltungssatz für die Impulsdichte
∂Π0
− µν
∂xν
(
)
∂
∂vµ
∂vν
2
∂
= η
+
− δµν (∇ · v) + ζ
(∇ · v)
∂xν ∂xν ∂xµ 3
∂xµ
(
)
∂ 2 vµ
2 ∂
∂
∂
= η
+
(∇
·
v)
−
(∇
·
v)
+
ζ
(∇ · v)
∂x2ν
∂xµ
3 ∂xµ
∂xµ
µ
¶
η
∂
2
= η∇ vµ + ζ +
(∇ · v)
3 ∂xµ
Navier–Stokes–Gleichung für zähe Flüssigkeiten und Gase
µ
¶
∂v
dv
1
η
1
η
+ (v · ∇)v ≡
= − ∇P + g + ∇2 v +
ζ+
∇(∇ · v)
∂t
dt
%
%
%
3
Spezialfall: inkompressible Flüssigkeiten:
∂%(r, t)
=0
∂t
→
∇ · v(r, t) = 0
Navier–Stokes–Gleichung für inkompressible Flüssigkeiten
(
)
(
)
dv η 2
∂v
η
%
− ∇ v =%
+ (v · ∇)v − ∇2 v = −∇P + %g
dt
%
∂t
%
6.1.4
Wechselwirkende Fermisysteme: Fermiflüssigkeiten
Theorie der WW–Effekte in Fermisystemen: [Landau, 1956]:
Störpotentiale
δξk = Ukext + δξkmol
γh̄
H·τ
2
n
o
X
s
a
=
fkp
δnp + fkp
δnp
Ukext = eφ − vk · eA −
δξkmol
pσ
58
s,a
fkp
: kurzreichweitige spin–symmetrische (s) und spin–antisymmetrische (a) WW der Fermionen.
s,a
Entwicklung von fkp
auf der Fermifläche nach Legendre–Polynomen
s,a
fkp
=
∞
X
F`s P` (k̂ · p̂)
`=0
Philosophie: diese Legendre–Entwicklung konvergiert rasch und die Beschreibung des wechselwirkenden Fermisystems ist durch wenige dimensionslose druckabhängige Parameter F0s , F0a ,
F1s , etc. möglich.
Die Molekularpotentiale zu ` = 0 lauten
δξkmol = f0s δn + f0a
2
M·τ
γh̄
Resultat: Renormierung von
A. Masse (“Schwere Fermionen):
µ
Fs
m→m =m 1+ 1
3
¶
∗
B. Spezifische Wärme
DRUCK[BAR]
m∗ /m
0
10
20
30
34.39
2.80
3.77
4.78
5.50
5.85
µ
m∗
Fs
γ=γ ·
= γ0 1 + 1
m
3
¶
0
C. Kompressibilität
κ=
κ0
NF 1
=
s
1 + F0
n 1 + F0s
D. Pauli–Spinsuszeptibilität
χ0s
χs =
=
1 + F0a
Ã
59
γh̄
2
!2
NF
1 + F0a
6.1.5
Paar–Attraktion durch Spin–Fluktuations–Austausch: ein einfaches Bild
Ausgangspunkt: Energieverschiebung verursacht durch die Zeeman–Kopplung an ein äußeres
Magnetfeld (vgl. Gl. (XX))
γh̄
H · τ (∗)
2
hier bedeutet γ das gyromagnetische Verhältnis des 3 He–Kerns. Nun werde dem Vielteilchen–
System ein Quasiteilcchen mit Spin S hinzugefügt. Dieser Spin polarisiert das System, was sich
durch ein Landau–Molekularpotential δξ mol
beschreiben läßt:
k
δξ k = −
2
2
δξ mol
= f0a S · τ = f0a M · τ
k
h̄
γh̄
Hier ist f0a der ` = 0–Austausch–Landau–Parameter und M = γS ist die Magnetisierung. Mit
(*) kann man das Molekularfeld
γh̄ mol
H ·τ
2
!2
Ã
2
a
M
= −f0
γh̄
δξ mol
= −
k
Hmol
identifizieren. Das Molekularfeld Hmol induziert die Polarisation M0 eines weiteren Quasiteilchens:
M0 = χHmol
χ0
χ =
1 + F0a χ0
F0a = NF f0a
Die Polarisation M0 verursacht die Energieverschiebung
2
δξmol0
= f0a M0 · τ
k
γh̄
2
= f0a χHmol · τ
γh̄
Ã
=
−(f0a )2 χ
|
{z
2
γh̄
!2
}
2
M
γh̄
a
feff
a
= feff
2
M
γh̄
An diesem Ausdruck kann man die effektive attraktive Wechselwirkung der beiden Quasiteilchen
ablesen
Ã
a
feff
=
−(f0a )2 χ
2
γh̄
(f0a )2 χ0
= −
1 + F0a χ0
60
Ã
!2
2
γh̄
!2
6.1.6
Zur Eichtransformation der Schrödingergleichung
Die Elektrodynamik für ein Teilchen der Ladung Q und der Masse M wird durch die SchrödingerGleichung
)
(
(p̂ − QA)2
+ QΦ Ψ ; Ψ = aeiφ
2M
ih̄Ψ̇ =
beschrieben, in der Φ und A die elektromagnetischen Potentiale bedeuten und p̂ = −ih̄∇ der
Impulsoperator ist.
Ziel: zu zeigen, daß die Eichtransformation der Wellenfunktion
Ψ = ψeiϕ
äquivalent ist zur Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale
∂χ
∂t
= A + ∇χ
Φ0 = φ −
A0
mit χ ≡ −(h̄/Q)ϕ.
Ausgangspunkt: Schrödingergleichung
(
ih̄Ψ̇ =
)
(p̂ − QA)2
+ QΦ Ψ ; Ψ = ψeiϕ
2M
a) Behandlung der linken Gleichungsseite
h
ih̄Ψ̇ = eiϕ ih̄ψ̇ − h̄ϕ̇ψ
i
Einsetzen in die Schrödinger–Gleichung liefert
e
iϕ
h
ih̄ψ̇ − h̄ϕ̇ψ
i
(
=
)
(p̂ − QA)2
+ QΦ ψeiϕ
2M


 (p̂ − QA)2
ih̄eiϕ ψ̇ = 

2M
+ (QΦ + h̄ϕ̇) ψeiϕ
|
{z
QΦ0
Man kann daher identifizieren
Φ0 = Φ +
h̄
h̄
ϕ̇ = Φ − χ̇ ; χ = − ϕ
Q
Q
Behandlung der rechten Gleichungsseite: Definition
(p̂ − QA)2 iϕ
ψe
T =
2M
61



}
Auswertung von T:
T =
=
´
1 ³ 2
p̂ − Qp̂ · A − QA · p̂ + Q2 A2 ψeiϕ
2M 

1  2
iϕ
2 2
 p̂ − Q(p̂ · A) − 2QA · p̂ + Q A  ψe
|{z}
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
2M
1
3
2
4
(p̂ · A) (Term 2) bedeutet, dass der Operator nur auf die in der Klammer stehende Variable
wirkt. Gleiches gilt im folgenden.
Term 1
p̂ψeiϕ = eiϕ [ps + (p̂ψ)]
h
i
p̂2 ψeiϕ = eiϕ p2s ψ + 2ps · (p̂ψ) + (p̂ · ps )ψ + (p̂2 ψ)
ps = ip̂ϕ = h̄∇ϕ
N.B. ps ist hier eine Variable und kein Operator
Term 2
Q(p̂ · A)ψeiϕ
Term 3
eiϕ 2QA · [ps ψ + (p̂ψ)]
Term 4
Q2 A2 ψeiϕ
Nach Addieren aller Terme ergibt sich
o
eiϕ n 2
ps ψ + 2ps · (p̂ψ) + (p̂ · ps )ψ + (p̂2 ψ) − Q(p̂ · A)ψ − 2Q(A · ps )ψ − 2QA · (p̂ψ) + Q2 vA2 ψ
2M
o
eiϕ n
=
(ps − QA)2 ψ + 2(ps − QA)(p̂ψ) + (p̂2 ψ) + [p̂ · (ps − QA)]ψ
2M
eiϕ
=
(p̂ + ps − QA)2 ψ
2M
eiϕ
=
(p̂ + h̄∇ϕ − QA)2 ψ
{z
}
|
2M
T =
QA0
Transformierte Schrödingergleichung
ih̄ψ̇ =
o
1 n
(p̂ + QA0 )2 + QΦ0 ψ
2M
Man kann daher identifizieren:
A0 = A −
h̄
h̄
∇ϕ = A + ∇χ ; χ = − ϕ
Q
Q
62
Die Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet nach der Eichtransformation
a2
M
a2
=
M
a2
=
M
jp =
[h̄∇φ − QA0 ]
"
Ã
!#
h̄
h̄∇φ − Q A − ∇ϕ
Q
[h̄∇(φ + ϕ) − QA]
Die Gleichung für die Dynamik der Phase φ lautet nach der Eichtransformation:
∂φ
[h̄∇φ − QA0 ]2
h̄2 ∇2 a
=
+ QΦ0 +
∂t
2M
2M a
Ã
!
2
∂φ
[h̄∇(φ + ϕ) − QA]
h̄ ∂ϕ
h̄2 ∇2 a
−h̄
=
+Q Φ+
+
∂t
2M
Q ∂t
2M a
−h̄
−h̄
∂(φ + ϕ)
[h̄∇(φ + ϕ) − QA]2
h̄2 ∇2 a
=
+ QΦ +
∂t
2M
2M a
Das heißt, die Eichtransformation ist äquivalent zu der Ersetzung der Phase φ der q.m. Wellenfunktion durch φ0 , mit
φ0 = φ + ϕ
Das bedeutet insbesondere, dass die quantenmechanische Struktur der Schrödinger–Madelung
Gleichungen die Eichinvarianz automatisch enthält.
6.1.7
Bose–Integrale oberhalb der Entartungstemperatur (I)
Die Berechnung von allgemeinen Impulssummen in Bose–Gasen
X
An :=
²nk nk
k
mit der Bose–Einstein–Impulsverteilung
nk =
1
e(²k −µ)/kB T
−1
(chemisches Potential: µ(T ) = −kB T α(T ), Teilchenzahl: A0 ≡ N , innere Energie: A1 = U )
führt auf die Bose–Integrale (vgl. Vorlesung):
Z ∞
1
dyy n+ 2
Bn+ 3 (α) =
2
Γ(n + 32 ) 0 ey+α − 1
1
in denen Γ die Eulersche Γ–Funktion ist
Γ(σ) =
Z ∞
0
63
dyy σ−1 e−y
Ziele:
a) zu zeigen, dass Bσ (α) die folgende Summendarstellung besitzt
Bσ (α) =
∞ −να
X
e
ν=1
νσ
b) die Berechnung von Bσ (0).
Zu a) Multiplikation des Integranden mit e−(y+α) liefert
1 Z ∞ dyy σ−1 e−(y+α)
Bσ (α) =
Γ(σ) 0
1 − e−(y+α)
Z
∞
∞
1 X
=
dyy σ−1 e−(y+α) e−ν(y+α)
Γ(σ) ν=0 0
Z ∞
∞
1 X
=
dyy σ−1 e−νy
e−να
Γ(σ) ν=1
|0
{z
}
Γ(σ)/ν σ
∞
X
−να
e
σ
ν=1 ν
=
Zu b) Berechnung von Bσ (0):
Bσ (0) =
µ ¶
ζ
3
2
∞
X
1
ν=1
νσ
=: ζ(σ)
= 2.6123753 . . .
π2
ζ(2) =
6
µ ¶
5
ζ
= 1.3414872 . . .
2
π4
ζ(4) =
90
..
.
6.1.8
Bose–Integrale oberhalb der Entartungstemperatur (II)
Das chemische Potential eines Bose–Gases µ = −kB T α ist durch die Gleichung festgelegt
µ ¶µ
3
TB
B 3 (α) = ζ
2
2
T
∞ −να
X
e
Bσ (α) =
,
σ
ν=1 ν
64
¶ 32 T →∞
¿1
in der ζ die Riemannsche ζ–Funktion und TB die Entartungstemperatur bedeutet (vgl. Vorlesung).
Ziele:
a) die Bestimmung von µ(T ) durch eine (Hochtemperatur–) Entwicklung von B3/2 (α) bis zur
zweiten Ordnung in e−α .
b) die Berechnung der inneren Energie
µ
B 5 (α) T
3
U (T ) =
N kB T 2³ 3 ´
2
TB
ζ
¶ 32
2
des Bosegases in derselben Näherung.
c) die Ableitung (aus dem Resultat von b)) einer Näherung für die spezifische Wärme
"
CV (T ) =
∂U (T )
∂T
#
V
Zu a) Zur Lösung dieses Problems ist es wesentlich, zu erkennen, daß bei hohen Temperaturen
die Größe ζ(3/2)(TB /T )3/2 sehr klein wird. Wir definieren daher
µ ¶µ
3
² = ζ
2
TB
T
¶ 23
und können entwickeln
z = e−α = z1 ² + z2 ²2 + z3 ²3 + . . .
Die Bedingung zur Bestimmung des chemischen Potentials lautet dann
B 3 (α) = e−α +
2
= z+
z2
3
22
e−2α
3
22
+
+
z3
3
32
e−3α
3
32
+ ...
...
= (z1 ² + z2 ²2 + . . .) +
(z1 ² + z2 ²2 + . . .)2
3
22
Vergleich der Koeffizienten von ²n liefert dann
z1 = 1
z2 = −
z3 =
..
.
1
3
22
1
1
− 3
4 32
65
+
(z1 ² + z2 ²2 + . . .)3
3
32
+ ... ≡ ²
und man kann die Hochtemperaturentwicklung von e−α in der Form schreiben
z = e−α = ² −
µ ¶µ
3
² = ζ
2
²2
3
22
TB
T
+ ...
¶ 32
Dann ergibt sich das chemische Potential in der Form
α =
|µ|
1
¶
= ln µ
kB T
² 1 − ²3 + . . .
22
µ ¶µ
² = ζ
3
2
TB
T
¶ 23
Zu b) Die innere Energie kann in der folgenden Form geschrieben werden
³
T
´3 (
2
3
T
U =
N kB T ³B 3 ´
2
ζ 2
−α
e
+
e−2α
| {z }
≡²−1
(
=
=
=
=
² =
5
22
+
e−3α
5
32
)
+ ...
)
z2
3
1
z3
z + 5 + 5 + ...
N kB T
2
²
22
32
(
)
3
(z1 ² + z2 ²2 + . . .)2 (z1 ² + z2 ²2 + . . .)3
1
2
(z1 ² + z2 ² + . . .) +
N kB T
+
+ ...
5
5
2
²
22
32
(
)
3
1
²2
N kB T
² − 5 + ...
2
²
22
½
¾
3
²
N kB T 1 − 5 + . . .
2
22
µ ¶µ
¶ 32
3
TB
ζ
2
T
Damit lautet das Resultat für U
³ ´


3


ζ 23 µ TB ¶ 2
3
U =
N k B T 1 −
+ . . .
5
2
T
22
Der Term ∝ O(1) repräsentiert das klassischen Resultat für ein Maxwell–Boltzmann–Gas,
wohingegen der Term ∝ (TB /T )3/2 die erste nichttriviale, von der Bose–Einstein–Statistik
herrührende Korrektur darstellt.
Zu c) Berechnung der spezifischen Wärme:
"
CV
r=T /TB
=
1 ∂U
TB ∂r
#
V
66
³ ´

=

6.2.1
1ζ
³ ´

3
3
3
2
N kB 1 +
r− 2 + . . .
5
2
2 22
=
6.2

ζ 32 − 1
3
∂ 
N kB
r−
r 2 + . . .
5
2
∂r
22
V
Supraleitende und superfluide Bose– und Fermisystem
Zur Madelung–Transformation der makroskopischen Wellenfunktion
Ein quantenmechanisches Teilchen der Ladung Q und der Masse M , welches sich in Gegenwart
der elektromagnetischen Potentiale Φ(r, t) und A(r, t) bewegt, werde durch eine quantenmechanische Wellenfunktion der Form ψ(r, t) = a(r, t) exp(iS(r, t)/h̄) (Madelung-Transformation)
beschrieben.
Man kann zeigen, dass sich aus der Schrödinger–Gleichung für dieses Teilchen
"
#
∂
(−ih̄∇ − QA)2
ih̄ ψ(r, t) =
+ QΦ ψ(r, t)
∂t
2M
die folgenden Bewegungsgleichungen ergeben:
∂S M 2
h̄2 ∇2 a
+ V + QΦ =
∂t
2
2M a
∂a
1 ³ 2 ´
+ ∇ aV = 0
∂t 2a
1
V(r, t) =
[∇S(r, t) − QA(r, t)] .
M
Ausgangspunkt: Schrödinger–Gleichung (vgl. Vorlesung)


 (−ih̄∇ − QA)2

∂
ψ(r, t) = 
+QΦ

 ψ(r, t)


2M
| ∂t {z
}
|
{z
}
ih̄
A
B
Definition
S ≡ h̄ϕ
Linke Gleichungsseite
A = ih̄
´
∂ψ ³
≡ ih̄ȧ − aṠ eiS/h̄
∂t
Definition:
PA ≡ QA
Rechte Gleichungsseite
1
B ≡
2M
Ã
h̄∇
− PA
i
!2


1  2 2
ψ=
∇} +ih̄(∇ · PA + PA · ∇) + P2A 
−h̄
ψ
|
{z
| {z } | {z }
|{z}
2M
1
67
2
3
4
´
h̄2 ∇2
1 ³ 2 2
ψ=
−h̄ ∇ a + a(∇S)2 − 2ih̄∇a(∇S) − iah̄∇2 S eiS/h̄
2M
2M
1
ih̄a(∇ · PA )eiS/h̄ + Term 3
2M
1
[iPA · h̄(∇a) − aPA (∇S)] eiS/h̄
2M
1
[ih̄a(∇ · PA ) + 2iPA · h̄(∇a) − 2aPA (∇S)] eiS/h̄
2M
1
aP2 eiS/h̄
2M A
1 ≡ −
2 ≡
3 ≡
2+3 ≡
4 ≡
Resultat für B
B






2
2
 (∇S − P )

h̄ ∇2
i
A
= a
−
a−
(2h̄∇a + ah̄∇) (∇S − PA ) eiS/h̄
{z
}
2M
2M
2M |



h̄
=
≡ M a ∇a2 (∇S−PA )
"
(
#)
h̄
a2
(∇S − PA )2 h̄2 ∇2
−
a−i ∇
(∇S − PA )
a
2M
2M
2a
M
eiS/h̄
Gleichung für den Realteil
( Ã
!
)
(∇S − Pa )2
h̄2 ∇2 a iS/h̄
a
e
= −aṠeiS/h̄
+ QΦ −
2M
2M
∂S (∇S − QA)2
h̄2 ∇2 a
+
+ QΦ =
∂t
2M
2M a
Gleichung für den Imaginärteil
(
h̄
ih̄ȧe
= −i ∇
2a
(
a2
2aȧ = −∇
M
(
2
∂a
a2
= −∇
∂t
M
iS/h̄
→
q.e.d.
)
a2
(∇S − PA ) eiS/h̄
M
→
)
→
(∇S − PA )
)
(∇S − QA)
q.e.d.
Interpretation von Gleichung (1):
Wirkungs–Feld
S(r, t) ≡ h̄ϕ(r, t)
quasiklassischer Limes h̄ → 0: Hamilton–Jakobi–Gleichung der klassischen Mechanik für S(r, t).
∂
S(r, t) = −H(r, t)
∂t
Interpretation von Gleichung (2):
Identifiziere als Wahrscheinlichkeits–Dichte
n(r, t) = a2 (r, t)
68
und als Wahrscheinlichkeits–Stromdichte
j(r, t) =
a2 (r, t)
[∇S(r, t) − QA(r, t)]
M
Bedeutung von (2): Kontinuitätsgleichung für n(r, t) und j(r, t)
∂
n(r, t) + ∇ · j(r, t) = 0
∂t
→ Erhaltungssatz für die Wahrscheinlichkeitsdichte!
6.2.2
Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht
Ausgangspunkt: Phänomenologische London–Wellenfunktion
ψ(r, t) = a(r, t)eiφ(r,t)
q
=
N s (r, t)eiφ(r,t)
s
=
ns iϕ(r,t)/2
e
2
Ziel: Verknüpfung der Amplitude a(r, t) der phänomenologischen London–Wellenfunktion mit
dem Ordnungsparameter der BCS–Theorie.
BCS–Resultat für die superfluide Dichte (isotrope Supraleiter):
ns (T ) = n[1 − Y (T )]
Yosida–Funktion in der Nähe der Sprungtemperatur:
µ
lim Y (T ) = 1 − 7ζ(3)
T →Tc
∆
2πkB T
¶2
Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:
"
2
a
Ã
µ
∆
n
=
1 − 1 − 7ζ(3)
2
2πkB T
µ
¶2
7
∆
=
nζ(3)
2
2πkB T
Resultat:
s
lim a(r, t) =
T →Tc
¶2 !#
∆
7n
ζ(3)
2
2πkB Tc
Yosidafunktion für T → 0:
s
lim Y (T ) = Y0 (T ) =
T →0
69
µ
∆
2π∆
exp −
kB T
kB T
¶
Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:
"
n
a2 =
1−
2
Resultat:
r
lim a(r, t) =
T →0
s
µ
2π∆
∆
exp −
kB T
kB T
"
n
1−
2
s
¶#
µ
π∆
∆
exp −
2kB T
kB T
¶#
Interpretation: In der Nähe der Sprungtemperatur ist die Amplitude a der London–Wellenfunktion
direkt mit dem Ordnungsparameter ∆ der BCS–Theorie verknüpft.
Bei T = 0 ist die Amplitude a mit der Gesamt–Teilchenzahldichte n des Supraleiters verknüpft.
6.2.3
Zur Äquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum
Ausgangspunkt:
Bogolon–Energiespektrum (konstante Energielücke ∆)
Ep =
q
ξp2 + ∆2
Verhalten von Ep in der Nähe des Fermiimpulses pF :
ξp = ²p − µ = vF (p − pF )
Ep =
q
q
ξp2 + ∆2 =
s
∆2 + vF2 (p − pF )2
vF2
(p − pF )2
∆2
(p − pF )2
= ∆ 1+
≈ ∆+
µ
2
¶
∆
2
vF
Resultat:
Ep = ∆ +
(p − pF )2
2MB
Masse eines Bogoliubov–Quasiteilchens:
∆
vF2
1
∆
´ m
³
=
2 2 1 mvF2
MB =
2
∆
m
=
2µ(T )
70
6.2.4
Gapgleichung für konventionelle Supraleiter
Ausgangspunkt: isotrope (s–Wellen–Singulett–) Paarwechselwirkung
(s)
Γkp = −Γ0 Θ(²c − |ξk |)Θ(²c − |ξp |)
Gapgleichung mit diese Modell-Wechselwirkung:
µ
Z ²c
∆k = N (0)Γ0
−²c
∆p
Ep
tanh
2Ep
2kB T
dξp
¶
Umschreibung:
Z ²c
1
=
N (0)Γ0
−²c
Z ²c
=
−²c
tanh
dξp
³
Ep
2kB T
´
2Ep
³
´

 tanh ξp
dξp 
Definition:
P (T ) ≡
−²c
−
2ξp

Z ²c

2kB T
dξp 
tanh
³
tanh
ξp
2kB T
³
ξp
2kB T
´
2ξp
´
−
2ξp
tanh
³
−
tanh
Ep
2kB T
|
³
ln
{z
2eγ ²c
πkB Tc
µ
ln
T
Tc
=
}
´
Z ²c
|
−²c
tanh
dξp
³
ln
¶
{z
2eγ ²c
πkB T
³
ξp
2kB T
2ξp
´
´
2Ep

´
−P (T )
}
= −P (T )
Gleichung für die Sprungtemperatur:
k B Tc =
eγ
− 1
2²c e N (0)Γ0
{z
}
π |
≡∆(0)
Eulersche Konstante:
− ln m = .57772156649 . . .
n
= 1.78107241799 . . .
γ =
eγ
)
( m
X 1
lim
m→∞
n=1
Energielücke bei T = 0:
∆(0) =
π
kB Tc = 1.76387698886 . . . kB Tc
eγ
71
Ep
2kB T
2Ep
Energielückengleichung hat dann die Form:
1
N (0)Γ0
³
´ 



Eliminierung von ²c bei Tc :
µ
T
ln
Tc
¶
µ
¶
µ
T
1
T
= − 1−
−
1−
Tc
2
Tc
T →Tc
¶2
− . . . = −P (T )
Trick (Residuensatz):
tanh
³
Ep
2kB T
2Ep
´
X
≡ kB T
n
X
1
1
=
k
T
B
2
2 2
2
2
(2n + 1) (πkB T ) +Ep
n h̄ ωn + Ep
2
|
{z
}
2
h̄2 ωn
Berechnung von P (T ) in der Nähe von Tc :
P (T )
∆2 kB T
=
X
(h̄
n
∆→0
2∆2 kB T
=
1
2
XZ
n
ωn2
²c
0
+
ξp2 )(h̄2 ωn2
+ Ep2 )
dξp
+ O(∆4 )
2
2
2
(h̄ ωn + ξp )
2
Berechnung des ξp –Integrals:
Z ∞
0
dξp
π
= 3 3
2
2
2
(h̄ ωn + ξp )
4h̄ |ωn |
2
Damit ist:
X
1
1
πkB T ∆2
3
3
2
n |(2n + 1)| (πkB T )
µ
¶
∞
∆ 2 X
1
1
=
2
3
2 πkB T
n=0 (2n + 1)
P (T ) =
|
{z
}
≡7ζ(3)/8
µ
7ζ(3)
∆
=
8
πkB T
¶2
Riemannsche ζ–Funktion:
ζ(z) =
∞
X
1
k=1
kz
;
ζ(3) = 1.2020569031 . . .
Resultat für die Energielücke in der Nähe der Sprungtemperatur:
Ã
∂
T
∂T
Ã
∆(T )
πkB Tc
∆(T )
πkB Tc
!2
µ
=
!2
T →Tc
=
72
8
T
1−
7ζ(3)
Tc
−
8
7ζ(3)
¶
Interpolationsformel für die Temperaturabhängigkeit der Energielücke:
s
"
πkB Tc
∆(T ) = ∆(0) tanh
∆(0)
¶#
µ
8
Tc
−1
7ζ(3) T
Spezifische Wärme CBCS (T ) (vgl. Abschnitt 4.7.1):
CBCS (T ) = 2
X
Ã
ϕk
k
Ek2 1 ∂∆2 (T )
−
T
2 ∂T
!
Spezifische Wärme an der Sprungtemperatur:
CBCS (T )
T →Tc−
=
2
|
X
k
CN (Tc+ )=
{z
ξk2
T
− NF
|
}
1 ∂∆2 (T )
2 {z∂T }
8
− 7ζ(3)
NF (πkB Tc )2
3
Tc
Ã
CN (Tc+ )
=
ϕk
3 8
· 1+
2 7ζ(3)
(πkB Tc )2
Tc
!
Diskontinuität der spezifischen Wärme bei Tc :
∆C
CBCS (Tc− ) − CN (Tc+ )
3 8
≡
= 1.426...
=
+
CN
CN (Tc )
2 7ζ(3)
Triviale “Strong–Coupling–Korrekturen”:
Wir wissen:
1 ∂∆2 (T )
∆C = C(Tc− ) − C(Tc+ ) = − NF
|T →Tc−
2
∂T
Selbstkonsistenzgleichung liefert bei Tc :
µ
2
∆ (T )
=
strong coupling
=
8
T
(πkB Tc )
1−
7ζ(3)
Tc
µ
¶
T
2
(πkB Tc ) asc 1 −
Tc
¶
2
Temperaturableitung:
NF
3
1 ∂∆2 (T )
(πkB Tc )2
|T →Tc− = − asc NF
2 ∂T
2
3Tc
|
{z
CN (Tc+ )
3
= − asc CN (Tc+ )
2
Resultat für den “Strong–Coupling–Parameter” asc :
asc =
2 ∆C
3 CN
73
}
• Weiterer “Strong–Coupling–Parameter”:
δsc ≡
∆(0)
k B Tc
Interpolationsformel für die Energielücke mit trivialen “Strong–Coupling–Korrekturen”:

∆(T ) = δsc kB Tc tanh 
6.2.5
s
µ
¶

π
Tc
asc
−1 
δsc
T
Gapgleichung für unkonventionelle Supraleiter
Allgemeine Paarwechselwirkung für anisotrope Singulett– und Triplett–Supraleiter (vgl. Vorlesung, Abschnitt 4.4.6) führt auf die Energielückengleichung:
D
E
D
E

Z ²c
Θp ∆20p
Θp d2p
1
FS
FS
=
dξp 
δs,0 +
δs,1 
λs
h∆20k iFS
hd2k iFS
−²c
Z ²c
=
−²c
dξp
Θp ∆2p
E
FS
h∆2k iFS
µ
¶
X
Ek
1
tanh
≡ kB T
2
2
2kB T
ωn ωn + Ep
1
2Ep
1
=
(2n + 1)πkB T
h̄
Θp =
ωn
D
Matsubara − Frequenzen
Energielückengleichung in der Nähe von Tc
Z ²c
D
E
1
1
2
=
dξ
∆
Θ
p
p
p
FS
λs
h∆2k iFS −²c
Z ²c
D
h
iE
1
2
0
0
=
dξ
∆
Θ
+
(Θ
−
Θ
)
Θ0p ≡ lim Θp
p
p
p
p
p
FS
∆0 →0
h∆2k iFS −²c
Z ²c
Z ²c
D
E
1
=
dξp Θ0p − 2
dξp ∆2p (Θ0p − Θp )
FS
h∆
i
−²c
−²
c
k FS
|
{z
}
³
ln
2γ ²c
π kB T
µ
{z
|
´
P ( TT
c
¶
µ
¶
}
)
2γ ²c
T
−P
π kB T
Tc
µ ¶
Z ²c
D
E
1
T
2
0
∆
(Θ
−
Θ
)
P
=
dξ
p
p
p
p
FS
Tc
h∆2k iFS −²c
+
*
Z
∆4p
2kB T X ∞
=
dξp
h∆2k iFS n 0
(ωn2 + ξp2 )(ωn2 + ξp2 + ∆2p ) FS
= ln
74
Hier bedeutet γ = exp(0.57721...) = 1.78106... die Euler–Konstante.
Bedingung für die Sprungtemperatur Tc
P (1) ≡ 0
→
Ã
!
1
2γ ²c
= ln
λs
π kB Tcs
µ
¶
2γ
1
s
k B Tc =
²c exp − s
π
λ
Energielückengleichung bei beliebigen Temperaturen
µ
Tc
ln
T
¶
µ
=P
T
Tc
¶
A. Energielückengleichung bei Tc :
∞
X
(−1)µ ∆2µ
1
p
=
2 + ξ 2 )1+µ
ωn2 + ξp2 + ∆2p
(ω
n
p
µ=0
µ
P
T
Tc
¶
=
Z ∞
∞
2kB T X X
dξp
µ
4+2µ
(−1)
<
∆
>
FS
p
2
2
< ∆k >FS ωn µ=0
(ωn + ξp2 )2+µ
0
{z
|
}
∗
Berechnung von *
Z ∞
(ωn2
0
dξp
1
(2µ + 1)!!
π
=
3+2µ
2
2+µ
2 |ωn |
(2µ + 2)!!
+ ξp )
µ
P
T
Tc
¶
=
∞
X
(−1)µ < ∆4+2µ
>FS (2µ + 1)!! X
p
1
<
∆2k
>FS
(πkB T )2+2µ
µ=0
(2µ + 2)!!
|
n
1
|2n + 1|3+2µ
{z
}
∗∗
Berechnung von **
X
n
1
23+2µ − 1
=
2λ(3
+
2µ)
=
2
ζ(3 + 2µ)
|2n + 1|3+2µ
23+2µ
λ(z) und ζ(z) bedeuten hier die λ–Function und die Riemannsche ζ–Funktion.
µ
P
T
Tc
¶
∆p =∆0 fp
=
∞
X
µ=0
4+2µ
>FS
(2µ + 1)!! 23+2µ − 1
µ < fp
2
ζ(3
+
2µ)
(−1)
3+2µ
2
(2µ + 2)!! 2
< fp >FS
|
Ã
=
a1
a2
=
=
{z
!2
∆0 (T )
a1
+ a2
πkB T
< fp4 >FS
7
ζ(3)
8
< fp2 >FS
Ã
}
aµ+1
∆0 (T )
πkB T
< fp6 >FS
1 · 3 31
−2
ζ(5)
2 · 4 32
< fp2 >FS
75
!4
+ ...
Ã
∆0 (T )
πkB T
!2+2µ
Struktur der Energielückengleichung:
T
Tc
T = Tc (1 − x)
x = 1−
∞
X
xν
Tc
ln( ) = − ln(1 − x) =
T
ν=1 ν
∆0 (x)
D(x) =
πkB Tc
Ã
!2
Ã
!4
D(x)
D(x)
P (x) = a1
+ a2
+ ...
1−x
1−x
Taylorentwicklung von D2 (x)
D2 (x) =
∞
X
b ` x`
`=1
Koeffizientenvergleich liefert:
1
1
2
1
3
1
4
= a 1 b1
= 2a1 b1 + a2 b21 + a1 b2
= 3a1 b1 + 2a1 b2 + 4a2 b21 + 2a2 b1 b2 + a1 b3
= ...
In führender Ordnung in [∆0 (T )/kB T ]2 lautet das Resultat für die maximale Energielücke
∆0 (T ):
µ
¶
x
8 < fp2 >FS
T
∆20 (T ) = (πkB Tc )2
= (πkB Tc )2
1
−
a1
7ζ(3) < fp4 >FS
Tc
Mithilfe des experimentell zugänglichen Sprungs in der Wärmekapazität
∆C
= − lim−
CN
T →Tc
*
∆p ∂∆p
kB T kB ∂T
+
=
FS
3 8 < f 2 >2FS
2 7ζ(3) < f 4 >FS
kann man das Resultat für ∆0 (T ) in der Nähe von Tc schreiben als:
s
∆0 (T ) = πkB Tc
µ
2 ∆C
1
T
1−
2
3 CN < f >FS
Tc
B. Energielückengleichung bei T = 0:
1
λs
µ
=
=
¶
2γ ²c
ln
π kB Tc
* 2+
Z ²c
∆p
1
dξp
2
< ∆p >FS 0
Ep FS
76
¶
=
1
Z ²c
< ∆2p >FS
0
<
∆2p
< ∆2p >FS
1
∆p ¿²c
=
<
D
ln

*
Ã
∆2p ln
Ã
*
< fp2 >FS
=
ln ξp +
∆2p ln 
>FS
1
∆p =∆0 fp
=
∆2p
q
h
*
1
=
ξp2 + ∆2p
∆2p
>FS
+
∆2p
dξp q
D
1
=
*
²c +
ξp2 + ∆2p
q
²2c + ∆2p
∆p
2²c
∆p
iE
|²c
FS 0
+

FS
!+
2²c
fp2 ln
∆ 0 fp
!+FS
FS
E
fp2
FS
ln fp
2²c
FS
−
∆0
< fp2 >FS
Zusammenfassung:
µ
2γ ²c
ln
π kB Tc
¶
D
µ
E
¶
fp2 ln fp
2²c
FS
= ln
−
∆0
< fp2 >FS
Endresultat:

D
E

fp2 ln fp
π
FS 
∆0 (T ) =
kB Tc exp −
γ
< fp2 >FS
Ã
δsc
< ∆2p ln(∆p /∆0 ) >FS
π
∆0 (0)
= exp −
≡
kB Tc
γ
< ∆2p >FS
!
C. Interpolationsformel für die Temperaturabhängigkeit des Maximums ∆0 (T ) der Energielücke
∆0 (T ) = δsc
= δsc
6.2.6

v

v
u

u
¶
µ
πu
8 < fp2 >FS Tc
t

kB Tc tanh
−1 
δsc 7ζ(3) < fp4 >FS T
π u 2 ∆C
1
kB Tc tanh  t
2
δsc 3 CN < fp >FS
µ

¶
Tc
−1 
T
Stromdichte in Bose– und Fermi–Supraflüssigkeiten
Die eichinvariante Form für die Supra-Stromdichte js lautet (vgl. Vorlesung):
js =
v
s
2s + 1 X p
nθ {Ep + p · vs } + nvs
V
m
p
1
=
m
Ã
!
h̄∇ϕ
− eA
2s + 1
77
1
nθ {Ep } =
eEp /kB T
−θ
Hier bedeutet s = 0(1/2) und θ = 1(−1) für Bosonen (Fermionen).
Ziel: Berechnung der Stromdichte js
a) für freie Bosonen oberhalb TB
Hinweis: Bose–Integraleigenschaft (vgl. Vorlesung)
Z ∞
0
dyy σ
³
sinh2 y +
α
2
´
=
2σ
Γ (σ) Bσ (α)
2σ
1 Z ∞ dyy σ−1
Bσ (α) =
Γ(σ) 0 ey+α − 1
b) für freie Bosonen unterhalb TB
c) für Phononen mit der Energiedisperion Ek = ch̄|k|
d) für Rotonen mit der Energiedispersion Ek = ∆ + (h̄|k| − p0 )2 /2mr im Limes T → 0
e) für freie Fermionen oberhalb Tc
q
f) für Bogoliubov–Quasiteilchen mit der Energiedispersion Ek = ξk2 + ∆2
Die Stromdichte besteht aus den beiden Termen
jis =
2s + 1 X pi
nθ {Ep + p · vs } + nvis
|{z}
V
p m
{z
|
}
2
1
Allgemeine Auswertung des Terms 1: Taylorentwicklung nach der kleinen Energieverschiebung
p · vs führt zu
(
∂nθ {Ep } s
2s + 1 X pi
nθ {Ep } +
1 =
p j vj
V
∂Ep
p m
= −nnij vjs
)
Definition: normalfluide Dichte
nnij =
2s + 1 X
pi pj
yp,θ
V
m
p
yp,θ = −
1
∂nθ {Ep }
1
=
∂Ep
2kB T [cosh(Ek /kB T ) − θ]
Die Suprastromdichte hat dann die London–Form
jis = 1 + 2 = nsij vjs
78
mit der superfluiden Dichte
nsij = nδij − nnij
die es jetzt für die Fälle a) – f) auszuwerten gilt.
a) Freie Bosonen oberhalb der Entartungstemperatur TB .
Man hat
nnij
¿Z ∞
À
pi pj
=
d²k N (²k )yk,+1
m Ω
0
*Z
+
3
3
∞
2
1 2 2
dyy 2 p̂i p̂j
³
´
√
=
3
3 π λ3T
0
sinh2 y + α2
Ω
Man kann nun folgende Ausdrücke für die thermische DeBroglie–Wellenlänge verwenden (vgl.
Vorlesung!)
 ³ ´  13
3
2
ζ
µ
λT
= 
1
λ3T
T
³ ´
=
3
TB
ζ 2
n
=
B 3 (α)

n
µ
n
TB
T
¶ 12
¶ 23
2
Einsetzen ergibt
µ
3
nnij
T
1 2 22
= n √ ³3´
3 πζ
TB
¶ 32 Z ∞
0
2
3
2
1 2 2
= nδij √
3 π B 3 (α)
2
Z ∞
0
3
dyy 2
³
sinh2 y +
dyy
sinh
2
³
3
2
y+
α
2
α
2
´ 3 hp̂i p̂j i
| {z Ω}
δij
´
Benutzung des Hinweises in der Aufgabenstellung liefert die Identität
1 2 22 Z ∞
dyy 2
³
´ ≡ 1
√
3 π B 3 (α) 0 sinh2 y + α
2
2
3
3
deshalb gilt für freie Bosonen bei T > TB
nnij = nδij
nsij = nδij − nnij ≡ 0
79
b) Freie Bosonen unterhalb TB
Für T < TB ist α = 0 und man kann schreiben
µ
3
1 2 22
T
= n √ ³3´
3 πζ
TB
nnij
3
¶ 32 Z ∞
dyy 2
|
2
∗ =
3
3
22
√
3 hp̂i p̂j i
sinh2 y | {z Ω}
0
{z
∗
µ ¶
}
δij
π
3
ζ
2
2
Das Resultat lautet damit
µ
nnij
T
= n
TB
¶ 23
δij
Die superfluide Dichte für das freie Bosegas lautet deshalb

nsij
µ
T
= n 1 −
TB
¶ 32

 δij
c) Phononen mit der Energiedispersion Ep = c|p|
nnij =
pi pj /m
1 X
V k 4kB T sinh2 (Ek /kB T )
*
+
1 Z∞
pi pj /m
=
dkk 2
2
2π
0
4kB T sinh2 (Ek /kB T ) Ω
Z ∞
dpp4
1
3 hp̂i p̂j i
=
6π 2 h̄3 m 0 4kB T sinh2 (Ek /kB T ) | {z Ω}
δij
Substitution
dEk
c
Ek2
=
c2
dp =
p2
Einsetzen liefert:
1 (2kB T )4 Z ∞ dEp (Ep /2kB T )4
12π 2 m (h̄c)3 c2 0 2kB T sinh2 (Ep /2kB T )
1 (2kB T )4 Z ∞ dyy 4
=
12π 2 (h̄c)3 mc2 0 sinh2 y
nnij =
|
{z
≡π 4 /30
80
}
2π 2 (kB T )4
45 mc2 h̄3 c3
2π 2 (kB T )4
= n
45 mc2 h̄3 c3 n
=
d) Rotonen mit Energiedispersion Ep = ∆ + (p − p0 )2 /2mr
Hier ist
nnij
=
=
=
s=p−p0
=
√
s= 2mr kB T ·x
=
T →0
=
=
Z ∞
1
dpp4
3 hp̂i p̂j i
6π 2 h̄3 m 0 kB T [eEp /2kB T − e−Ep /2kB T ]2 | {z Ω}
1
6π 2 h̄3 mkB T
−∆/kB T
δij
Z ∞
0
δij
E
− k pT
B
dpp4 e
Z ∞
(p−p0 )2
e
4 − 2mr kB T
δ
dpp
e
ij
0
6π 2 h̄3 mkB T
Z ∞
−∆/kB T
s2
e
4 − 2mr kB T
δ
ds(p
+
s)
e
ij
0
−p0
6π 2 h̄3 mkB T
Z ∞
q
q
−∆/kB T
e
2
2m
k
T
δ
2mr kB T x)4 e−x
dx(p
+
r
B
ij
0
√
3
2
−p0 / 2mr kB T
6π h̄ mkB T
Z ∞
q
−∆/kB T
e
2
4
2m
k
T
δ
p
dxe−x
r B
ij 0
3
2
−∞
6π h̄ mkB T
|
{z
}
s
1
3
3π 2
√
π
p30 mr −∆/kB T
p20
e
δij
2mr kB T h̄3 m
e) Freie Fermionen oberhalb der Sprungtemperatur Tc
Hier ist
pi pj
2 X
yk,−1
nnij
=
V k
m
Blatt6, Aufg.1
=
nδij
Das Resultat lautet somit (Übungsblatt 10)
ns = nδij − nnij = 0
f) Freie Fermionen unterhalb der Sprungtemperatur Tc
Hier gilt
2 X
pi pj
yk,−1
V k
m
Z ∞
NF
dξk
3 hpi pj i
=
3m −µ 4kB T cosh2 (Ek /2kB T ) | {z FS}
nnij =
p2F δij
81
=
Z ∞
dξk
NF p2F
δij
2
−µ 4kB T cosh (Ek /2kB T )
| 3m
{z }
{z
|
n
}
≡Y0 (T ) (Vorlesung!)
= nY0 (T )δij
Das Resultat lautet somit
nsij = n [1 − Y0 (T )] δij
g) Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe
s
λL (T ) = q
λL (0)
1 − Y0 (T )
; λL (0) =
m
c
=
2
µ0 ne
ωp
Verhalten von Y0 (T ) in der Nähe der Sprungtemperatur
7ζ(3)
lim Y0 (T ) = 1 −
T →Tc
4π 2
Ã
∆(T )
kB T
!2
Verhalten der Energielücke in der Nähe von Tc :
µ
2 ∆C
T
lim ∆ (T ) = (πkB Tc )
1−
T →Tc
3 Cn
Tc
2
¶
2
| {z }
8/7ζ(3)
Daraus folgt
lim λL (T ) = r
T →Tc
= r
λL (0)
7ζ(3) ∆2 (T )
4π 2 (kB T )2
λL (0)
7ζ(3) (πkB Tc )2 8
4π 2 (kB T )2 7ζ(3)
³
1−
λL (0)
= r ³
´
2 1 − TTc
Zusatzbemerkung:
Verhalten von Y0 (T ) im Limes T → 0
s
lim Y0 (T ) =
T →0
82
2π∆ −∆/kB T
e
kB T
T
Tc
´
7
Weitere Kapitel (Steinbruch)
7.1
7.1.1
Quantenflüssigkeiten
Methoden zur Messung der Scherviskosität η(T )
A. Oberflächenimpedanz Z⊥ (ω): ebene oszillierende Wand
Fig. A2: Zur Oberflächenimpedanz einer Quantenflüssigkeit
Z⊥ (ω) =
VISKOSE SCHERKRAFT
η(T )
(WAND) = (1 − i)
GESCHWINDIGKEIT
δ(T )
Viskose Eindring– (Skin–) Tiefe
s
δ(T ) =
2η(T )
ρω
Verwirklichung: Torsionspendel
Fig. A3: Das einscheibige Torsionspendel
Frequenzverschiebung
2
ω − ω0
πR4
=
=Z⊥ (ω)
ω0
ωIs
Dämpfung
Q−1 =
πR4
<Z⊥ (ω)
ωIs
B. Strömung durch Kapillare (Hagen–Poiseuille–Strömung)
Fig. A4: Zur Kapillarströmung
Hagen–Poiseuille–Gesetz
∂ 2 vx
∂z 2
2
R dP
hvx i =
8η(T ) dx
∂P
∂x
= η(T )
Verwirklichungen:
(i) Torsionspendel (δ ¿ d)
83
Fig. A5: Das zweischeibige Torsionspendel
Frequenzverschiebung
2
ω − ω0
If
=
ω0
Is
Dämpfung
Q−1 =
If ρωd2
Is 12η(T )
(ii) U–Rohr–Relaxation
Fig. A6: Das U–Rohr
Relaxationsrate
1
a ρR2
=2
τ
A 8Lη(T )
C. Strömung entlang gleichförmig bewegter Wände (Couette–Strömung)
Fig. A7: Zur Couette–Strömung
Reibungskraft auf ruhende Wand
∂vx (z)
∂z
Verwirklichung: rotierende konzentrische Zylinder
F ∝ η(T )
Fig. A8: Rotierende Zylinder
Drehmoment auf äußeren Zylinder
M=
7.1.2
πωd21 d22
η(T )
d22 − d21
Normale Fermiflüssigkeiten: Response und Transport
Anregungsspektrum von Landau–Quasiteilchen
²k = µ + vF∗ h̄(k − kF ) = ξk + µ
84
Hier bedeutet µ das chemische Potential, kF ist die Fermi– Wellenzahl, vF∗ = h̄kF /m∗ die Fermi–
Geschwindigkeit und m∗ die (druckabhängige) effektive Masse der Landau–Quasiteilchen.
Gleichgewichts–Impulsverteilung (Fermi–Dirac–Funktion)
n0k = n0 (ξk ) =
Totale Teilchenzahldichte
n=
1
exp(ξk /kB T ) + 1
1 X 0
n
V kσ k
Dichte nq (T ) thermischer Anregungen bei T > 0 durch Betrachtung der Fermifunktion n0 (|ξ|):
nq (T ) =
1 X 0
kB T
n (|ξk |) = 3n ln 2
V kσ
µ
Die Quasiteilchen–Stoßrate:
1
1
< W >a ξk2 + (πkB T )2
=
=
τk
τN (ξk , T )
32h̄
µ
verschwindet an der Fermikante für T → 0. Hier ist < W >a das Fermiflächenmittel des dimensionslosen Streuquerschnitts W für Zweiteilchen–Streuung.
Mittlere freie Weglänge λ(T ) der Landau–Quasiteilchen:
1
3
1 = τN (0, T )
4
−∞ dξk yk τk
λ(T ) = vF∗ τ̄ (T ) ;
τ̄ = R ∞
Hier ist yk = −∂n0k /∂ξk die Energieableitung der Fermiverteilung und τ̄ ∝ T −2 ist die energiegemittelte Quasiteilchen–Lebensdauer.
Scherviskosität von normalflüssigem 3 He:
µ
¶
1 m∗ ∗
1
η=
ρ
vF λη (T ) = npF λη (T )
5
m
5
Hier bedeutet λη (T ) die viskose Transport– freie Weglänge.
Fig. 41: Zur Scherviskosität von normalem 3 He
7.1.3
Normales 3 He: nichthydrodynamischer Transport
Charakteristische Längen:
85
mittlere freie Weglänge: λ
Abmessung der Messzelle: d
Knudsen–Zahl: Kn= λ/d
A. Sehr kleine Knudsenzahlen (Kn→ 0):
Hagen–Poiseuille–Strömung
< vx >∝
1
∝ T2
η(T )
B. Endliche Knudsenzahlen (Kn< 1):
Hagen–Poiseuille–Strömung mit Geschwindigkeitsschlupf
Ã
!
1
ζ
< vx >∝
1 + a ) ∝ const + T 2
η(T )
d
Fig. 42: Zur Strömung von verdünnten QT–Gasen
Schlupflänge
ζ = const · λ ∝ T −2
U–Rohr–Relaxationsrate τ −1 in normalflüssigem 3 He
"
#
1
1
ζ(T )
aζ(T )
1
=
1+a
=
+
τ
η(T )
d
dη(T ) η(T )
| {z }
| {z }
OFFSET
∝T 2
Fig. 43: U–Rohr–Relaxationsrate in normalem 3 He
7.1.4
Phonon and Roton response
In this section I would like to give the results for the excitation densities nex , unternal energy
u(T ), specific heat CV (T ) and current response functions ρs (T ) and ρn (T ) for the phonon–roton
spectrum. The phonons have a Bose–Einstein momentum distribution
=
nphon
p
1
phon
e²p /kB T
−1
(7)
Due to the finiteness of ∆ the momentum distribution for Rotons can be well approximated
by a Maxwell–Boltzmann form
nrot
p
²rot
= e
− kp T
B
(8)
The results of the calculations for the phonon–roton spectrum are summarized in Table 2.
86
phonons
nex (T )
cV (T )
ρn (T )
48π
5
³
rotons
´
kB T 3
2πh̄c1
16π 5
k
15 B
³
´3
kB T
2πh̄
2p20
3
(2π) 2
√
∆
mr kB T − kB T
e
h̄3
kB nrot
ex
³
∆
kB T
+
3
2
´
2
2 p0 /2mr rot
nex
3 kB T
π 4 kB T phon
nex
27 c21
Table 2: Thermodynamic and response functions for the phonon–roton spectrum
Note that at temperatures not too close to the transition temperature Tλ , the contributions
from phonons and rotons to the various quantities of interest may simply summed up as follows:
rot
nex (T ) = nphon
ex (T ) + nex (T )
CV (T ) = CVphon (T ) + CVrot (T )
ρn (T ) = ρphon
(T ) + ρrot
n
n (T )
7.1.5
Zweifüssigkeitsbeschreibung von He–II
SUPERFLUIDE KOMPONENTE: KONDENSAT
Dichte
ns (r, t) = ψ0† (r, t)ψ0 (r, t)
Geschwindigkeit
vs (r, t) =
Entropie
Viskosität
h̄
∇φ(r, t)
m
σ s (T ) = 0
η s (T ) = 0
Dynamik des Kondensats: Euler–Gleichung
1
∂vs (r, t)
= − ∇µ(r, t)
∂t
m
87
(9)
Chemisches Potential (Gibbs–Duhem–Relation)
1
1
∇µ(r, t) = ∇P (r, t) − σ n ∇T (r, t)
m
ρ
→ thermomechanische Effekte!
NORMALFLUIDE KOMPONENTE: THERMISCHE ANREGUNGEN
Dichte
nn (r, t)
Geschwindigkeit
vn (r, t)
Entropie
σ n (T )
Viskosität
η n (T )
Dynamik der thermischen Anregungen: Navier–Stokes–Gleichung
∂vn (r, t)
1
ηn
= − ∇P (r, t) + n ∇2 vn (r, t) + . . .
∂t
ρ
ρ
Fig. 92: Zusammenfassung wechselwirkende Bose-Systeme
7.1.6
Phononen: Response und Transport
Ek = c1 h̄|k|
Hier bedeutet c1 die Geschwindigkeit des ersten Schalls.
Bose–Einstein Statistik für Phononen: Planck–Verteilung
n0ph (Ek ) =
1
exp (Ek /kB T ) − 1
Teilchenzahldichte der Phononen Nph :
48π
1 X0 0
Nph (T )
(E
)
=
=
n
nph (T ) =
k
ph
k
V
V
5
Ã
kB T
2πh̄c1
!3
Beitrag der Phononen zum Massenstrom gn = ρn vn : normalfluide Dichte
ρnph (T ) =
π 4 kB T
nph
27 c21
88
Mittlere freie Weglänge der Phononen:
λph = c1 τph
;
τph =
1
τpr
1
+
1
τpp
Hier bedeuten τpr und τpp die charakteristischen Streuzeiten für Phonon–Roton und Phonon–
Phonon Stoßprozesse.
Phononenbeitrag zur Scherviskosität: gas–kinetischer Ausdruck
1
π4
ηph = c1 ρnph λph =
kB T Nph τph
5
135
Die Phononen spielen unterhalb von 0.6 K eine dominante Rolle. Für Temperaturen T > 1 K
hingegen kommt die zweite Art von Anregungen ins Spiel, die sog. Rotonen.
7.1.7
Rotonen: Response und Transport
Anregungsspektrum der Rotonen
h̄2 (|k| − k0 )2
Ek = ∆ +
2mr
mit mr der effectiven Rotonenmasse, ∆ der Rotonenenergielücke und p0 = h̄k0 der Wellenzahl
der Rotonenminimus.
Gleichgewichtsimpulsverteilung n0r (Ek ) ist eine Planck–Verteilung mit dem Rotonen–Energiespektrum.
Teilchenzahldichte der Rotonen Nr (T ) im thermischen Gleichgewicht:
√
2p20
Nr (T )
1 X 0
mr kB T −∆/kB T
nr (Ek ) =
nr (T ) =
=
e
V
V k
(2π)3/2
h̄3
Rotonen–Massenstromdichte: normalfluide Dichte
ρnr (T ) =
2 p20 /2mr
mr nr (T )
3 kB T
Mittlere freie Weglänge λr der Rotonen
s
λr = v̄r τr
;
v̄r =
kB T
mr
;
1
1 |V0 |2
=
nr (T )k03
τr
h̄ p20 /2mr
Hier bedeutet v̄r die thermisch gemittelte Rotonengeschwindigkeit und τr−1 ist eine Stroßrate
für elastische Roton–Roton–Stöße mit Amplitude V0 , welche die Roton–Roton–WW spezifiziert.
Die Rotonen liefern einen konstanten Beitrag in der Temperatur zur Scherviskosität, da sich die
Exponentialfaktoren in der Teilchenzahldichte und der Lebensdauer der Rotonen exakt kompensieren.
89
Rotonen–Scherviskosität
1
2 p20
2 h̄
ηr = ρnr v̄r λr =
nr τr =
5
15 2mr
15 k03
Ã
p20 /2mr
|V0 |
!2
Gesamte Scherviskosität ηntot des Systems thermischer Anregungen (Normalkomponente) von
He–II ist die Summe aus Phononen– und Rotonen–Beiträgen
ηntot = ηph + ηr
Somit sind in 4 He zwei Sorten verdünnter Gase für den Impulstransport verantwortlich. Der
Rotonenbeitrag ist unterhalb von 0.8Tc im Wesentlichen konstant, da die Rotonenzahl exponentiell mit der Temperatur abnimmt während ihre freie Weglänge exponentiell ansteigt, sodaß
sich diese Temperaturabhängigkeiten exakt kompensieren. Deshalb liefern die Rotonen einen
konstanten Beitrag zur Scherviskosität bei tiefen Temperaturen.
Die Phononen liefern einen näherungsweise exponentiell ansteigenden Beitrag zur Scherviskosität
bei tiefen Temperaturen. Der Grund ist daß die Phononen im Wesentlichen durch die viel schwereren Rotonen gesteut werden. Da die Zahl der Phononen mit einem Potenzgesetz variiert und
die mittlere freie Weglänge der Rotonen exponentiell ansteigt, steigt auch die Scherviskosität
exponentiell mit der Temperatur an. Das kombinierte Verhalten der Phonon– und Roton–
Beiträge zur Viskosität ist in Fig. 93 gezeigt, in der ηntot gegen die Temperatur aufgetragen ist.
Fig. 93: Zur Viskosität von He–II
7.1.8
He–II: nichthydrodynamischer Transport
Schlupfkorrektur zur transversalen Oberflächenimpedanz (vgl. Anhang 4.2)
Z⊥ (ω)(T ) =
(1 − i)η(T )
δ(T ) + (1 − i)ζ(T )
Hier bedeuten η(T ) die Scherviskosität, δ(T ) die viskose Eindringtiefe und ζ(T ) die Schlupflänge
der elementaren Anregungen der Supraflüssigkeit. Zerlegung des Ausdrucks für Z⊥ (ω) in Real–
und Imaginärteil führt auf zwei verschiedene effektive Viskositäten η1eff (T ) und η2eff (T )
s
Z⊥ (ω, T ) =
¾
½
q
ρn (T )ω q eff
eff
η1 (T ) − i η2 (T )
2
h
η1eff (T ) = η(T ) ·
1+
1 + 2 ζδ
2 ζδ
+2
1
η2eff (T ) = η(T ) ·
1+
2 ζδ
90
+2
i2
³ ´2 ¸ 2
ζ
δ
³ ´2 ¸ 2
ζ
δ
Fig. 94: Die Viskositäten η2eff und η2eff in He–II
7.1.9
Superfluides 3 He–B: Response und Transport
Anregungsspektrum der Bogoliubov–Quasiteilchen:
q
ξk2 + ∆k ∆†k
Ek =
Energielückenmatrix:
↔
∆kσ1 σ2 = ∆(T ) {~τ iτ y }σ1 σ2 · R [n̂, θ] · k̂
↔
Hier beschreibt R [n̂, θ] die relative Orientierung von Spin– und Bahnfreiheitsgraden und
~τ ≡ {τ x , τ y , τ z } ist der Vektor der Paulischen Spinmatrizen. Es gilt
∆k ∆†k = ∆2 (T )1
Die zweite superfluide Phase des flüssigen 3 He, die sog. A–Phase, hat eine Energielücke mit
axialer Symmetrie, d. h. mit zwei Punktnoden auf der Fermifläche. Dieser Paarungszustand
wird hier nicht weiter diskutiert.
Nota bene: Es gibt eine Äquivalenz zwischen dem Spektrum der Bogoliubov–Quasiteilchen
und dem der Rotonen (vgl. Anhang 5.6):
Ek
MB
h̄2 (|k| − kF )2
= ∆+
2MB
∆
= m
2µ(T )
Gleichgewichtsverteilung der Bogoliubov–Quasiteichen
νk0 = ν 0 (Ek ) =
Anregungsdichte nq :
nq (T ) =
X
1
exp(Ek /kB T ) + 1
T →0
νk0 = 3n ln 2
kσ
kB T
lim Y0 (T )
µ T →0
mit Y0 (T ) der Quasiteilchen–Yosida–Funktion
Yn (T ) =
Z ∞
−∞
Ã
dξk
∂ν 0
− k
∂Ek
¯
!¯
¯ ξ ¯n
¯ k¯
¯
¯
¯ Ek ¯
Massenstromdichte gn = ρn vn der Bogoliubov– Quasiteilchen: normalfluide Dichte
n
ρ (T ) = ρ
1+
1+
F1s
3
F1s
Y (T )
3 0
91
Y0 (T )
Hier ist F1s der Landau–WW Parameter der die effektive Masse m∗ /m = 1 + F1s /3 der Fermiflüssigkeit beschreibt.
Quasiteilchen Lebensdauer im Limes tiefer Temperaturen:
v
u
µ
1
1
6w0 u kB T ∆3
∆
lim
=
·√ t
exp
−
T →0 τ (Ek , T )
τN (Tc )
kB T
8π (kB Tc )4
1 3kB T ∆
=
lim Y0 (T )
τN (Tc ) (kB Tc )2 T →0
¶
Hier ist w0 = O(1) ein (nur schwach druckabhängiger) dimensionsloser Streuparameter für
superfluides 3 He–B.
Aus der thermisch gemittelten Geschwindigkeit V̄
v
µ
¶
uR
∂ν 0
ξ2
u ∞
u −∞ dξk − ∂Ek Ek2 vk2
k
u
µ
¶k
V̄ = u
t R∞
∂νk0
−∞
dξk − ∂Ek
und der gemittelten Stoßzeit τ̄ der Quasiteilchen
Y0 (T )
τ̄ = R
∞
µ
∂ν 0
k
−∞ dξk − ∂Ek
¶
1
τ (Ek )
ergibt sich die mittlere freie Weglänge der Bogoliubov–Quasiteilchen:
λ(T ) = V̄ τ̄
Scherviskosität der Bogoliubov–Quasiteilchen
η(T ) =
1
1 n
ρ0 V̄ λη = npF Y2 (T )λη (T )
5
5
∗
Hier ist ρn0 = ρ mm Y0 und λη ist die viskose (Transport–) freie Weglänge in der superfluiden
B–phase.
Fig. 95: Die viskose freie Wegläge λη (T ) in 3 He–B
Wie die Rotonenviskosität weist auch die Viskosität eines Gases aus Bogoliubov–Quasiteilchen
eine konstante Temperaturabhängigkeit auf, wiederum durch eine Kompensation von temperaturabhängigen Faktoren
ρn0 ∝ T −1/2 exp(−∆/kB T )
V̄ ∝ T 1/2
λη ∝ exp(∆/kB T )
92
Tieftemperaturlimes der Scherviskosität von Bogoliubov–Quasiteilchen
1
lim η(T ) = npF vF∗ τS
T →0
5
2π
τS =
3w0
;
Ã
k B Tc
∆(0)
!2
τN (0, Tc )
Die Scherviskosität von 3 He–B ist in Fig. 96 als Funktion der reduzierten Temperatur gezeigt.
Fig. 96: Zur Scherviskosität von 3 He–B
q
Die gemessene Viskosität zeigt unterhalb von Tc einen Abfall ∝ ∆(T ) ∝ 1 − T /Tc , der sich
aus dem nichtanalytischen Verhalten der thermisch gemittelten Geschwindigkeit
V̄ 2
ξk2 2
v
Ek2 k
→
Ã
T →Tc
→
=
!
∆
1 − ∆(T ) lim 2
vk2
∆→0 ξ + ∆2
k
[1 − π∆(T )δ(ξk )] vk2
unterhalb der Sprungtemperatur ergibt.
7.1.10
Superfluides 3 He–B: nichthydrodynamischer Transport
Bei tieferen Temperaturen weicht die Scherviskosität von dem konstanten Verhalten ab, welches
man erwartet, wenn die typische Abmessung der Messzelle d die größte Länge in dem Problem
darstellt. Wie man aus Fig. 96 ersieht, kann die freie Weglänge λη (T ) bei tiefen Temperaturen
durchaus mit d vergleichbar werden und man kann die Abweichungen verstehen, wenn man die
Ersetzung
d
λη
λη → λη
=
d + λη
1 + Kn
vornimmt. Hier wurde die sog. Knudsenzahl Kn = λη /d als das Verhältnis von freier Wegl änge
und Dimension der Messzelle eingeführt. Tiefe Temperaturen bedeuten somit große mittlere
freie Weglängen und die Scherviskosität von 3 He–B muß für endliche Knudsenzahlen ausgewertet werden. Ein qualitatives Verständnis der Viskositätsverkleinerung wird durch die folgende
einfache Formel ermöglicht:
η(T ) ≈
1 n
1
ρ (T ) V̄ (T ) λη (T ) ·
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
5
1 + Kn
√
1
√ ∆/k T
B
Te
T
e∆/kB T
Genauere Rechnungen erlauben den folgenden Vergleich mit dem Experiment (Einzel & Parpia,
1987)
Fig. 97: Scherviskosität von 3 He–B im Knudsen–Bereich
93
Die Scherviskosität der Bogoliubov–Quasiteilchen in 3 He–B ist somit bei tiefen Temperaturen
durch die Effekte großer mittlerer freier Weglängen stark reduziert. Fig. 97 zeigt, dass Theorie
und Experiment in quantitativer Weise übereinstimmen.
7.2
7.2.1
Supraleiter
Das London–Energiefunktional
Alternative Ableitung der London–Gleichungen:
Ausgangspunkt: makroskopische Wellenfunktion [a(r) → ψ0 (r)]:
ψ(r) = ψ0 (r)eiϕ(r)
London Energiefunktional:
Z
FL =
fL (r) =
d3 rfL (r)
i
h̄2
1 h 2
(∇ψ0 )2 +
B (r) + λ2L (∇ × B)2
2km
2µ0
Nota bene: Es gilt
h̄
∇ϕ − A
ke
λ2L (∇ × B) =
Alternative Form des London–Funktionals
Ã
!2
h̄2
(∇ × A)2 e2 kψ02
h̄
fL =
(∇ψ02 )2 +
+
A − ∇ϕ
2km
2µ0
2m
ke
Ableitung der Abschirmgleichung (∇ψ0 = 0):
2B · δB + 2λ2L (∇ × δB) · (∇ × B) = 2B · δB + 2λ2L δB · ∇ × C
|
{z
}
≡C
= 2B · δB + 2λ2L δB · ∇ × (∇ × B)
h
i
= 2δB B − λ2L ∇2 B = 0
1
∇2 B =
B
λ2L
7.2.2
Ginzburg–Landau–Theorie
Ausgangspunkt: Ginzburg–Landau Funktional
fGL = fN + fL + αψ02 +
Weitere Argumente aus der Vorlesung ESLWS0405:
94
β 4
ψ
2 0
Homogene Supraleiter
Ausgangspunkt: Makroskopische Wellenfunktion ψ, die eine makroskopische Zahl kondensierter
Teilchen, das sog. Kondensat, beschreiben soll.
Freie Energie für homogene Systeme (fs = Fs /V )
fs = fn + α|ψ|2 +
β 4
|ψ|
2
Interpretation von |ψ|2 wie in der London–Theorie
ns = 2|ψ|2
Extremum von fs :
δfs
= 0
δψ
2αψ̄ + 2β ψ̄ 3 = 0
ψ̄ 2 = −
|α|
α
=
β
β
Minimum der freien Energie: α < 0 →
α = −a(Tc − T ) + . . .
β = b + . . . = β(Tc ) + . . .
Kondensationsenergie
fs {ψ̄} = fn −
α2
a2
= fn − (Tc − T )2
2β
2b
Entropie
σs = −
∂fs
a2
= σn + (T − Tc )
∂T
b
Spezifische Wärmekapazität
CV s = T
∂σ
a2
= CV n + T
∂T
b
Diskontinuität in der spezifischen Wärmekapazität
CV s − CV n
T →Tc
=
Tc
a2
b
Zusammenhang mit der mikroskopischen BCS–Theorie
ns = 2|ψ|2 = n[1 − Y (T )]
95
Yosida–Funktion im Ginzburg–Landau–Bereich
Y
7ζ(3)
= 1−
4π 2
Ã
∆(T )
kB T
!2
liefert Zusammenhang zwischen ψ und ∆:
|ψ| =
√
s
n
7ζ(3) ∆(T )
8π 2 kB T
Spezifische-Wärme–Diskontinuität in der GL–Theorie
T →Tc
CV s − CV n
=
Tc
a2
b
Spezifische-Wärme–Diskontinuität in der GL–Theorie
CV s − CV n
T →Tc
=
CV n
=
n
=
3 8
= 1.426 . . . CV n
2 7ζ(3)
π2 n 2
k T
2 µ B
p3F
3π 2 h̄3
CV n
Vergleich liefert
a2
4mpF kB2
=
b
7ζ(3)h̄3
Kondensat–Dichte in der GL–Theorie
µ
ns
aTc
T
= 2
1−
n
bn
Tc
¶
Kondensat–Dichte in der BCS–Theorie
µ
ns
T
= 2 1−
n
Tc
¶
erlaubt die Identifikation
aTc
= 1
bn
und somit die beiden Resultate
6π 2 kB Tc
k B Tc
7ζ(3) µ
bn = aTc
aTc =
96
Inhomogene Supraleiter
Freie–Energie–Dichte für inhomogene Systeme
β
h̄2
fs = fn +
|∇ψ|2 + α|ψ|2 + |ψ|4
4m
2
Totale freie Energie für inhomogene Systeme
Z
d3 rfs (r, T )
Fs =
Variation
δFs = = 0
liefert die Euler–Lagrange–Gleichungen
∂fs
∂fs
−∇·
= 0
∂ψ
∂∇ψ
∂fs
∂fs
−∇·
= 0
∗
∂ψ
∂∇ψ ∗
die äquivalent sind zur Ginzburg–Landau–Gleichung
∂ψ
h̄2 ∇2
ih̄
= −
ψ + αψ + β|ψ|2 ψ
∂t
4m
bei der der Term ∝ ψ̇ auf der linken Gleichungsseite hinzugefügt wurde, damit die Ähnlichkeit
zur London-Theorie sichtbar wird. In den meisten Fällen der Anwendung der GL–Theorie
(stationäre Magnetfelder) verschwindet die linke Gleichungsseite.
Die GL–Theorie enthält im Gegensatz zur London–Theorie eine neue Längenskala
β 2
h̄2
ψ + |ψ| ψ −
∇2 ψ = 0
α
| 4mα
{z }
≡ξ 2
GL–Kohärenzläge
ξ(T ) =
v
u
u
t
2
h̄
4m|α|
v
u
u
=u
t
h̄2
³
4maTc 1 −
T
Tc
´
Inhomogene Supraleiter mit äußeren Potentialen
Die GL–Gleichungen in Gegenwart der elektromagnetischen Potentiale (Φ, A): Umkehrung des
Arguments mit der Eichinvarianz:
2e
A
h̄
2e
ϕ̇ → ϕ̇ + Φ
h̄
∇ϕ → ∇ϕ −
97
Diese Ersetzungen sind äquivalent zu (SI–Einheiten!)
h̄
h̄
∇ →
∇ − 2eA
i
i
∂
∂
→ ih̄ − 2eΦ
ih̄
∂t
∂t
Somit lautet die zeitabhängige GL–Gleichung in Gegenwart der elektromagnetischen Potentiale
ih̄
∂ψ
(−ih̄∇ − 2eA)2
− 2eΦψ =
ψ + αψ + β|ψ|2 ψ
∂t
4m
Diskussion:
Diese Gleichung ist bis auf die Terme ∝ α, β identisch mit der London–Schrödinger–Gleichung.
Daher kann man alle Argumente von früher übernehmen, bezüglich der Madelung–Transformation
ψ = ψ0 eiϕ . Die modifizierten Gleichungen lauten
2
∂ψ02
+ ∇ · js = 0
∂t
js = 2ψ02 vs
1 h̄
vs =
( ∇ϕ − eA)
m 2
h̄2 ∇2 ψ0
∂ϕ 2m s2
= h̄
+
v + 2eΦ + α + βψ02
4mψ0
∂t
2
Für zeitunabhängige Felder verschwindet die linke Gleichungsseite, d. h. die Terme ∝ ψ̇ und
∝ 2eΦ tauchen nicht mehr auf. Dies entspricht der Standard– Darstellung der GL–Theorie in
den meisten Lehrbüchern in der die GL–Glechung in der Form
(−ih̄∇ − 2eA)2
ψ + αψ + β|ψ|2 ψ = 0
4m
angegeben wird.
Dem entspricht die folgende Form für die Dichte der freien Energie:
¯2
h̄2 ¯¯
(∇ × A)2
β
¯
¯D̂ψ ¯ + α|ψ|2 + |ψ|4 +
4m
2
2µ0
2ie
D̂ = ∇ −
A
h̄
µ
¶
1 ∆C (kB Tc )2 T
−1
α(T ) =
2 CN
µ
Tc
fs (r, T ) = fn +
Nochmals: α(T ) wechselt unterhalb von Tc sein Vorzeichen!
Die zugehörige freie Energie ist das Volumenintegral von fs :
Z
d3 rfs (r, T )
Fs (T ) =
98
Die Variation
δFs (T ) = 0
führt auf die drei linar unabhängigen Euler–Lagrange–Gleichungen
∂fs
∂fs
−∇·
= 0
∂ψ
∂∇ψ
∂fs
∂fs
−∇·
= 0
∗
∂ψ
∂∇ψ ∗
∂fs
= 0
∂∇A
Aus der zweiten dieser Gleichungen folgt die erste GL-Gleichung. Aus der dritten folgt die
Magnetfeld-Abschirmungs-Gleichung.
Die Magnetfeld–Eindringtiefe wird berechnet wie in der London–Theorie
2ψ02 e2
ns e 2
B
∇ B = µ0
B = µ0
B= 2
m
m
λL
2
Magnetfeld–Eindringtiefe in der GL–Theorie
s
λL =
m
=
µ0 2ψ02 e2
v
s
u
m
mb
u
³
t
=
s
2
µ0 n e
µ0 2aTc 1 −
T
Tc
Daher kann man als superfluide Dichte der GL–Theorie identifizieren
µ
n
s
=
2ψ02
aTc
T
=2
1−
b
Tc
Definition: der GL–Parameter κ
λL (T )
κ =
=
ξ(T )
s
2b m
µ0 h̄|e|
Mithilfe der Plasmafrequenz
ne2
ne2
=
µ0 c 2
²0 m
m
ωp2 =
und dem Resultat (X) läßt sich das umschreiben in
v
u
u 24π 2 kB Tc c
κ = t
|
7ζ(3) h̄ωp vF
{z
}
=5.3057...
99
¶
´
e2
Fallunterscheidung:
1
κ < √
2
1
κ > √
2
;
Typ − I
;
Typ − II
Man kann zeigen, daß die ”kovariante Ableitung” D̂ die Eigenschaft hat (→ Madelung–Transformation)
³
D̂ψ = D̂ ψ0 eiϕ
´
· µ
=
¸
¶
2e
i ∇ϕ − A ψ0 + ∇ψ0 eiϕ
h̄
Man erkennt, daß man die Phasenvariable ϕ durch die lokale Eichtransformation
h̄
∇ϕ
2e
h̄
= A − ∇ϕ
2e
A = A0 +
A0
aus dem GL–Funktional eliminieren kann, denn es gilt:
¯µ
¶ ¯2
¯
¯
2ie
¯ ∇−
A ψ ¯¯
¯
h̄
¯
¯
¯2
¯
4e2 ψ02 A02
h̄2
= ¯D̂ψ ¯ = (∇ψ0 )2 +
Damit lautet die Dichte der Freien Energie
fs
h̄2
β 4 (∇ × A)2 2ψ02 e2 A02
2
2
= fn +
(∇ψ0 ) + αψ0 + ψ0 +
+
4m
2
2µ0
| 2m
{z
}
A0
h̄
= A − ∇ϕ
2e
Term 1
Die Größe ”Term 1”
Term 1 =
2ψ02 e2 A02
ns e2 A02
=
2m
2m
wird in der Literatur als ”Meißner–Higgs–Term” bezeichnet. Ihm kommt folgende physikalische
Bedeutung zu:
• Der Meißner–Higgs–Term gibt Anlaß zu einer endlichen London–Magnetfeldeindringtiefe
λ2L =
m
m
=
2 2
µ0 2ψ0 e
µ0 2ns e2
³
02
Term 1 =
A
=
2µ0 λ2L
´
h̄∇ϕ 2
2e
2µ0 λ2L
A−
100
→
ns e2
1
=
m
µ0 λ2L
• Der Meißner–Higgs–Term beschreibt die Ankopplung an die Ladungsstromdichte des Supraleiters:
e2 2ψ02 A0
e2 ns A0
=−
m
m
1 s
0
Term 1 = − je · A
2
• Der Meißner–Higgs–Term führt zu einer einfachen Form des Funktionals für die Dichte
der freien Energie
jse = −
³
2
fs = fn +
2
h̄
β
(∇ × A)
+
(∇ψ0 )2 + αψ02 + ψ04 +
4m
2
2µ0

³
A
h̄
1 
2
(∇ψ0 )2 + V (ψ0 ) +
(∇ × A) +
4m
2µ0
2
= fn +
2ψ02 e2 A −
2m
´
h̄∇ϕ 2
2e

´2
− h̄∇ϕ
2e


λ2L
β 4
ψ
2 0
Das Ginzburg–Landau–Funktional ist jetzt von der Form
V (ψ0 ) = αψ02 +
Fs = Fs {ψ0 , ϕ, A}
Die Variation
δFs = 0
führt auf die drei Euler–Lagrange-Gleichungen
∂fs
∂fs
−∇·
= 0
∂ψ0
∂∇ψ0
∂fs
∂fs
−∇·
= 0
∂ϕ
∂∇ϕ
∂fs
= 0
∂A
Die erste dieser Euler–Lagrange–Gleichungen lautet explizit
³
α+
βψ02
+
e2 2ψ0 A −
´
h̄∇ϕ 2
2e
m
h̄2 ∇2 ψ0
=
4mψ0
Interpretation: Dies ist diejenige London–Madelung–Gleichung, die sich im quasiklassischen
Limes h̄2 → 0 auf die Euler–Jakobi–Gleichung reduziert. Allerdings fehlen hier die beiden Terme
∝ ϕ̇, ∝ Φ wegen der angenommenen Zeitunabhängigkeit des GL–Funktionals.
Die zweite der Euler–Lagrange–Gleichungen hat die explizite Form
Ã
h̄∇ϕ
e2 2ψ0
A−
∇·
m
2e
|
{z
≡−jse
101
!
= 0
}
Interpretation: dies is die Kontinuitätsglechung in Abwesenheit der Zeitableitung der superfluiden Dichte. Man kann aus ihr den Ladungs–Suprastrom identifizieren:
Ã
jse
e2 2ψ0
h̄∇ϕ
= −
A−
m
2e
!
Die dritte der Euler–Lagrange–Gleichungen lautet explizit
Ã
!
δA · (∇ × B) e2 2ψ0
h̄∇ϕ
+
A−
δA = 0
µ0
m
2e
|
{z
}
≡−jse
∇ × B = µ0 jse
Interpretation: Diese Gleichung beschreibt die Magnetfeldabschirmung in der GL–Theorie in
völliger Analogie zur London–Beschreibung.
7.2.3
Nambu–BCS-Hamiltonoperator
Allgemeine Form des Wechselwirkungsoperators in II. Quantisierung:
X
Ĥint =
Γ1234 ĉ†1 ĉ†2 ĉ3 ĉ4
1234
BCS–Faktorisierung:
Ĥint =
X
1234
=
X
i
h
∗
∗
) [g34 + (ĉ3 ĉ4 − g34 )]
Γ1234 g12
+ (ĉ†1 ĉ†2 − g12
i
h
n
∗
∗
∗
[ĉ3 ĉ4 − g34 ] − g12
g34
Γ1234 g12
ĉ3 ĉ4 + ĉ†1 ĉ†2 g34 + ĉ†1 ĉ†2 − g12
1234
=
=




Ã
 X
X

12 
34



|
Xn
Ã
!
ĉ†1 ĉ†2
Γ1234 g34
{z
+
X
34
|
}
≡∆12
!
∗
Γ1234 g34
ĉ1 ĉ2
{z
}
≡∆∗12
o













o
+ ...
∆12 ĉ†1 ĉ†2 + ∆∗12 ĉ1 ĉ2 + . . .
12
Bemerkung: Die folgenden Ausführungen beschränken sich der Übersichtlichkeit halber auf
den Fall der Spin–Singulett–Paarung.
Zur Erinnerung: Paarpotential
∆k =
X
Γkp gp =
X
Γkp hĉ−k↓ ĉk↑ i
p
p
Der BCS–Hamiltonoperator lautet
ĤBCS − µN̂ =




X
k
ξ
 k








X †
|
σ
ĉkσ ĉkσ +∆k ĉ†k↑ ĉ†−k↓ + ∆∗k ĉ−k↓ ĉk↑ 
{z
}
∗
102



Berechnung von “*”:
∗ = ĉ†k↑ ĉk↑ − ĉ−k↓ ĉ†−k↓ + 1
Aufgliederung in Beiträge von Teilchen und Löchern
ĤBCS − µN̂ =



X
†
†
†




†
ξk ĉk↑ ĉk↑ + (−ξ−k )ĉ−k↓ ĉ−k↓ + ∆k ĉk↑ ĉ−k↓ + ∆∗k ĉ−k↓ ĉk↑ 

{z
} |
{z
}
| {z } |

k 
Teilchen
Loecher
Mischung
Umschreibung (Nambu, 1962)
ĤBCS − µN̂ =
X ³
k
|
ĉ†k↑
ĉ−k↓
{z
´
}
Ã
·
C †k
|
! Ã
ξk
∆k
∗
∆k −ξ−k
·
{z
ξ
} |
ĉk↑
ĉ†−k↓
{z
!
=
}
X
k
†
Ĉ k · ξ k · Ĉ k
Ck
k
Definition: Spinor–Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren im Teichen–Loch–Raum
Ã
Ĉ k =
†
Ĉ k =
³
ĉk↑
ĉ†−k↓
!
ĉ†k↑ ĉ−k↓
´
Struktur der BCS–Theorie: Nambu–Matrizen:
(i) Energiematrix im Teilchen– Loch– oder Nambu– Raum
Ã
ξk =
∆k
ξk
∗
∆k −ξ−k
!
(ii) Impulsverteilung
Ã
nk =
< ĉ†k↑ ĉk↑ > < ĉ−k↓ ĉk↑ >
< ĉ†k↑ ĉ†−k↓ > < ĉ−k↓ ĉ†−k↓ >
!
Ã
=
gk
nk
gk∗ 1 − n−k
!
→ Sog. nebendiagonale langreichweitige Ordnung, Ordnungsparameter gk bzw. ∆k , (engl.:
“off–diagonal long range order, ODLRO”)
7.2.4
BCS–Supraleiter in den äußeren Potentialen ∝ A, B
Ausgangspunkt: diagonale Verteilungsfunktion
nk = u2k ν(Ek ) + vk2 ν(−Ek ) = vk2 + (u2k − vk2 )νk
Energieverschiebungen (ξk → ξk +?, Ek → Ek +?) bei allgemeiner Form der Störpotentiale
e
γh̄
Ukσ = −vk · A −
σ B
c
2 |{z}
=±1
103
Nambu–Darstellung: Aufteilung in Beiträge von
Teilchen: k, σ
Löchern: −k, −σ
Störpotentiale im Nambu–Raum

Uk↑
Uk =

0
|{z}

 Teilchen


0
−U−k↓
| {z }

Uk↑ − U−k↓

=

2
|
{z
}
Ã
1 0
0 1
!
(−)
Loecher
Uk
Zu diagionalisieren
Ã
ξk + U k = ξk +
(−)
Ek + Uk
0
B.T.
(−)
Uk 1 →
0
(−)
−Ek + Uk
!
Lineare Antwort im lokalen Gleichgewicht
³
(−)
nk (U ) = u2k ν Ek + Uk
´
"
³
(−)
+ vk2 ν −Ek + Uk
#
´
"
#
∂νk (−)
∂νk (−)
=
+
ν(Ek ) +
Uk
− vk2 ν(Ek ) −
U
∂Ek
∂Ek k
∂νk (−)
∂νk (−)
= vk2 + (u2k − vk2 )ν(Ek ) + (u2k + vk2 )
Uk = nk +
U
|
{z
} | {z } ∂Ek
∂Ek k
vk2
u2k
≡nk
≡1
Resultat für die lokale Gleichgewichtsverteilung
(
δnkσ = nk (Ukσ ) − nk = −ϕk
Ã
!
γh̄
evk · A +
σB
2
• Spinsuszeptibilität
Spin–Magnetisierung:
M =
1 X γh̄
σδnpσ
V pσ 2
Ã
=
γh̄
2
!2
1 X
ϕp B
V pσ
= χB (T )B
Spinsuszeptibilität der Bogoliubov–Quasiteilchen:
Ã
χB (T ) =
γh̄
2
!2
1 X
ϕp =
V pσ
104
Ã
γh̄
2
!2
NF Y (T )
)
Das Tieftemperaturverhalten der lokalen Responsefunktionen für isotrope Energielücken ∆k =
∆ ist thermisch aktiviert,
µ
2π∆
lim Y (T ) = Y0 (T ) =
T →0
kB T
¶ 12
µ
exp −
∆
kB T
¶
und damit qualitativ unterschiedlich von dem für Energielücken mit Nodenstruktur. Im letzteren Fall existieren thermische Anregungen bei tiefen Temperaturen kB T ≤ ∆0 besonders in
der Umgebung der Noden, was zu Potenzgesetzen für die Responsefunktionen führt.
• London–BCS–Suprastrom für isotrope Supraleiter
Elektronische (Ladungs–) Stromdichte:
jse = e
= e
X
vp δnpσ −
pσ
X
ne2
A
m
ϕp vp : vp eA −
pσ
|
{z
}
ne2
A
m
n
≡m
Y (T )
= −
ne2
[1 − Y (T )] A
m
Superfluide Dichte
ns (T ) = n [1 − Y (T )]
Resultat für den Suprastrom
jse
ns e2
= −
A
m
Nota bene: Der Ausdruck für den BCS–Suprastrom jse ist nicht eichinvariant!
Eichtransformation des Vektorpotentials
A → A + ∇χ
h̄
= A − ∇ϕ
2e
Definition: Kondensat-Geschwindigkeit
v
s
1
≡
m
Ã
!
h̄
∇ϕ − eA
2
Eichinvariante Form des BCS–Suprastroms
jse = ens vs
105
London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe
m
λ2L (T ) =
µ0
ns (T )e2
• London–BCS–Suprastrom für anisotrope Supraleiter
Elektronische (Ladungs–) Stromdichte:
jse = e
= e
X
vp δnpσ −
pσ
X
ne2
A
m
ϕp vp : vp eA − e
pσ
2
X
Φp vp : vp eA
pσ
= −e Ks · A
Suprastromresponse–Tensor
Ks =
X
[Φp − ϕp ]vp : vp
pσ
Nota bene: Der Ausdruck für den BCS–Suprastrom jse ist nicht eichinvariant!
Eichtransformation des Vektorpotentials führt auf
Ã
jse
= eK
s
!
h̄
∇ϕ − eA
2
Nota bene: Eichinvarianz des London–BCS–Suprastroms und Ladungserhaltung im stationären
Limes (∇ · jse ) legt ∇ϕ fest und der Strom hat die transversale Form
(
jse = −e2
q̂ =
Ks · q : q · Ks
Ks −
q · Ks · q
)
·A
∇
|∇|
London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe
Annahmen:
(i) uniaxiale Anisotropie (Achse n̂) der Fermifläche (n̂ = â, b̂, ĉ, mit a, b, c den Kristallachsen)
oder
ˆ
(ii) uniaxiale Anisotropie (Achse n̂) der Energielücke (n̂ = `).
Der Tensor Ks hat dann zwei Eigenwerte
Kijs = Kks n̂i n̂j + K⊥s [δij − n̂i n̂j ] .
106
Konsequenz: zwei verschiedene London–BCS–Eindringtiefen
λ2Lk,⊥ (T ) =
7.2.5
1
s
µ0 Kk,⊥
(T )e2
Response eines BCS–Supraleiters auf eine skalares Potential ∝ φ
Störpotential
Ukσ = eφ
Störpotential im Nambu–Raum

Uk =
Uk↑
0

 |{z}
 Teilchen


0
−U−k↓
| {z }

Uk↑ + U−k↓

=

2
|
{z
}
Ã
1 0
0 −1
!
(+)
Loecher
Uk
Zu diagionalisieren

(+)
ξk + Uk
 |


{z
}
≡ξ̄k
∆∗k
−(ξk +
(+)
Uk )

 q

∆k
 B.T. 
 → 



ξ¯k2 + ∆2k
0
0

q
2
2 
¯
− ξ +∆ 
|
k
{z
Ēk
Lineare Antwort im lokalen Gleichgewicht
nk (U ) = u2 (ξ¯k )ν(Ēk ) + v 2 (ξ¯k )ν(−Ēk ) = n(ξ¯k )
Taylor–Entwicklung ergibt
nk (Ukσ ) = nk +
∂nk (+)
U
∂ξk k
| {z }
≡−Φk
Lokale Gleichgewichtsverteilung
δnkσ = nk (Ukσ ) − nk = −Φk eφ
• Dichteresponse eines BCS–Supraleiters
Dichteänderung
δn =
X
δnpσ
pσ
=
X
Φp (−eφ)
pσ
= NF (−eφ)
107
} 
k
Nota bene: Dieses Resultat ist nicht eichinvariant!
Eichtransformation des skalaren Potentials ergibt (vgl. Übungsblatt 6, Aufgabe 1)
φ → φ − χ̇
h̄
h̄
= φ + ϕ̇ ; χ = − ϕ
2e
2e
s
Definition: chemisches Potential δµ des Kondensats
h̄
δµs ≡ − ϕ̇
2
Eichinvariante Form des Dichteresponse
δn = NF (δµs − eφ)
Nota bene: elektrochemisches Potential δµ = δµs − eφ
• Ableitung der London–Gleichungen aus der BCS–Theorie
Die Größe δµs kann durch physikalische Observable ausgedrückt werden (verallgemeinerte
Gibbs–Duhem–Relation)
δn σ0
− δT
NF n
Zusammenhang zwischen Dichte- und Druckänderung
δn
δP = c2 δρ = mc2 δn = n
NF
2
v
c2 = F
3
s
ergibt für δµ
δP σ0
δµ = δµs − eφ =
− δT
n n
Linearisierte Beschleunigungsgleichung des Kondensats
δµ = δµs − eφ =

v̇s =


1 
 h̄

 ∇ϕ̇ −eȦ

m  |2 {z }
≡−∇δµs
"
Ã
!
#
δP −σ0 δT
1
∇ eφ +
+ eȦ
= −
m
n
δP −σ0 δT
eE
−∇
=
m
ρ
Die restlichen Argumente, die zur ersten und zweiten London–Gleichung führen, sind identisch
mit denen in Kapitel X.Y.
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