Morita-Äquivalenzen und Donovans Vermutung

Morita-Äquivalenzen und Donovans Vermutung
Sebastian Thomas
6., 13. und 20. Januar 2016
In diesem Vortrag werden wir keine Größenverhältnisse diskutieren und daher unpräzise in Bezug auf die Elemente gegebener Kategorien sein. Alle Kategorien haben eine Objektmenge und eine Morphismenmenge. Eine
geeignete Präzisierung lässt sich mit Hilfe sogenannter Grothendieck-Universen [1, exp. I, sec. 0] erreichen.
Donovan-Vermutung
(1) Vermutung (Donovan-Vermutung). Bis auf Morita-Äquivalenz gibt es nur endlich viele Blöcke mit gegebener Defektgruppe.
Präziser: Es seien eine Primzahl p und ein algebraisch abgeschlossener Körper K der Charakteristik p gegeben.
Die Fasern der von der Abbildung
{B | es gibt eine endl. Gruppe G so, dass B ein Block von KG ist} → {D | D ist eine endl. p-Gruppe},
B 7→ Defektgruppe von B
induzierten Abbildung
{B | es gibt eine endl. Gruppe G so, dass B ein Block von KG ist} → {D | D ist endl. p-Gruppe}/∼
=
liegen jeweils in einer Vereinigung aus endlich vielen Morita-Äquivalenzklassen.
Es ist nicht bekannt, ob Morita-äquivalente Blöcke bis auf Isomorphie dieselbe Defektgruppe haben (d.h. ob die
oben genannten Fasern Vereinigungen aus Morita-Äquivalenzklassen sind).
Morita-Äquivalenz von Ringen
Zunächst soll es darum gehen, den Begriff der Morita-Äquivalenz einzuführen.
(2) Bemerkung. Es seien Ringe R und S gegeben. Wenn R isomorph zu S ist, dann ist R-Mod isomorph
zu S-Mod.
Beweisskizze. Ein R-Modul kann aufgefasst werden als Paar (X, α), wobei X eine abelsche Gruppe und α : R →
End(X) ein Ringhomomorphismus ist. Ein R-Modulhomomorphismus f : (X, α) → (X 0 , α0 ) ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen f : X → X 0 derart, dass für a ∈ R stets f ◦ α(a) = α0 (a) ◦ f gilt. Jeder Ringisomorphismus ϕ : R → S induziert daher einen Isofunktor
R-Mod → S-Mod, (X, α) → (X, α ◦ ϕ−1 ), (f, α, α0 ) 7→ (f, α ◦ ϕ−1 , α0 ◦ ϕ−1 ).
Wir erinnern an die kategoriellen Konzepte einer Transformation und einer Äquivalenz.
Transformationen Es seien Funktoren F, G : C → D gegeben. Eine (natürliche) Transformation von F
nach G ist eine Familie α = (αX )X∈Ob C von Morphismen αX : F X → GX in D für X ∈ Ob C derart, dass für
jeden Morphismus f : X → X 0 in C stets
Gf ◦ αX = αX 0 ◦ F f
in D gilt.
FX
αX
Ff
F X0
GX
Gf
αX 0
GX 0
1
Für eine Transformation α von F nach G schreiben wir α : F → G. In einem Diagramm notieren wir eine solche
Transformation auch wie folgt:
F
C
D
α
G
Es seien Funktoren F, G, H : C → D und Transformationen α : F → G, β : G → H gegeben. Die Transformation β ◦ α : F → H gegeben durch
β ◦ α = (βX ◦ αX )X∈Ob C
heißt Kompositum (oder vertikales Kompositum oder Kompositum entlang Funktoren) von α und β.
F
α
C
G
D
β
H
Es sei ein Funktor F : C → D gegeben. Die Transformation 1F : F → F gegeben durch
1F = (1F X )X∈Ob C
heißt Identität von F .
Für Kategorien C und D liefern diese Daten eine Kategorie Cat (C, D), deren Objekte durch Funktoren von C
nach D und deren Morphismen durch Transformationen zwischen solchen Funktoren gegeben sind. Isomorphismen in dieser Kategorie werden Isotransformationen genannt. Eine Transformation ist genau dann eine
Isotransformation, wenn jede ihrer Komponenten ein Isomorphismus ist.
Äquivalenzen Es sei ein Funktor F : C → D gegeben. Ein Isomorphieinverses zu F ist ein Funktor G : D → C
derart, dass G ◦ F ∼
= idC in Cat (C, C) und F ◦ G ∼
= idD in Cat (D, D) ist.
G
∼
=
D
β
idD
F
∼
=
idC
C
C
α
G
D
Wir sagen, dass F eine Äquivalenz (von Kategorien) ist, falls es ein Isomorphieinverses zu F gibt.
Es seien Kategorien C und D gegeben. Wir sagen, dass C äquivalent zu D ist, geschrieben C ' D, falls eine
Äquivalenz von C nach D existiert.
Jede Äquivalenz ist verträglich mit Koprodukten und Produkten sowie mit Kokernen und Kernen. Insbesondere
ist jede Äquivalenz zwischen abelschen Kategorien exakt und damit auch verträglich mit der Addition von
Morphismen.
(3) Definition (Morita-Äquivalenz von Ringen). Es seien Ringe R und S gegeben. Wir sagen, dass R Moritaäquivalent zu S ist, wenn R-Mod äquivalent zu S-Mod ist.
(4) Bemerkung. Es seien ein Ring R und n ∈ N gegeben. Dann ist R Morita-äquivalent zu Rn×n .
Beweisskizze. Wir haben einen Funktor
F : R-Mod → Rn×n -Mod, X 7→ X n×1 ,
wobei X n×1 für X ∈ Ob R-Mod mit der Matrixmultiplikation als Operation zu einem Rn×n -Modul wird, sowie
einen Funktor
G : Rn×n -Mod → R-Mod, Y 7→ e1,1 Y ,
2
wobei e1,1 Y für Y ∈ Ob Rn×n -Mod mit der eingeschränkten Operation (entlang R → Rn×n , a 7→ aEn ) zu einem
R-Modul wird. Ferner haben wir eine Isotransformationen α : idR-Mod → G ◦ F gegeben durch
 
x
0
 
αX : X → e1,1 X n×1 , x 7→  . 
 .. 
0
für X ∈ Ob R-Mod sowie eine Isotransformationen β : F ◦ G → idRn×n -Mod gegeben durch
X
βY : (e1,1 Y )n×1 → Y , x0 7→
ej,1 x0j
j∈{1,...,n}
für Y ∈ Ob Rn×n -Mod.
Zentren
Wir wollen zeigen, dass Morita-äquivalente Ringe isomorphe Zentren haben. Hierzu zeigen wir, dass das Zentrum
eines Rings aus der Modulkategorie rekonstruiert werden kann.
(5) Definition (Zentrum). Es sei eine Kategorie C gegeben. Das Monoid
Z(C) = End(idC )
= {σ ∈ (Mor C)Ob C | für jedes Objekt X in C ist σX ein Endomorphismus von X in C
und für jeden Morphismus f : X → Y in C gilt f ◦ σX = σY ◦ f }.
wird Zentrum von C genannt.
Um das Zentrum zu einem Funktor zu machen, erinnern wir an einige weitere kategorielle Konzepte.
Kategorie der Isomorphismen und Kategorie der Äquivalenzen Für eine Kategorie C bezeichnen wir
mit Iso(C) die Unterkategorie von C mit Ob Iso(C) = Ob C und
Mor Iso(C) = {f ∈ Mor C | f ist ein Isomorphismus in C}.
Für die Kategorie der Kategorien Cat bezeichnen wir ferner mit Eq(Cat) die Unterkategorie von Cat mit
Ob Eq(Cat) = Ob Cat und
Mor Eq(Cat) = {F ∈ Mor Cat | F ist eine Äquivalenz von Kategorien},
sowie analog für die Kategorie der additiven Kategorien AddCat.
Horizontale Komposition Es seien Funktoren F, F 0 : C → D und G, G0 : D → E sowie Transformationen
α : F → F 0 , β : G → G0 gegeben. Die Transformation β ∗ α : G ◦ F → G0 ◦ F 0 gegeben durch
β ∗ α = (G0 αX ◦ βF X )X∈Ob C = (βF 0 X ◦ GαX )X∈Ob C
heißt Godement-Produkt (oder horizontales Kompositum oder Kompositum entlang Kategorien) von α und β.
G
F
C
α
F
D
0
β
G
E
0
Im Spezialfall α = 1F gilt F = F 0 , dann ist β ∗ F := β ∗ 1F gegeben durch
β ∗ F = (βF X )X∈Ob C .
Im Spezialfall β = 1G gilt G = G0 , dann ist G ∗ α := 1G ∗ α gegeben durch
G ∗ α = (GαX )X∈Ob C .
Vertikale und horizontale Komposition von Transformationen sind miteinander verträglich.
3
Dicht-voll-treu-Kriterium für Äquivalenzen Es sei ein Funktor F : C → D gegeben. Wir nennen F dicht,
falls es für jedes Objekt Y in D ein Objekt X in C mit Y ∼
= F X in D gibt. Wir nennen F voll, falls für alle
Objekte X und X 0 in C die Abbildung C (X, X 0 ) → D (F X, F X 0 ), f 7→ F f surjektiv ist, und treu, falls für alle
Objekte X und X 0 in C die Abbildung C (X, X 0 ) → D (F X, F X 0 ), f 7→ F f injektiv ist. Genau dann ist F : C → D
eine Äquivalenz, wenn F dicht, voll und treu ist.
Addition von Transformationen Es seien eine Kategoriee C und eine präadditive Kategorie B gegeben.
Dann wird Cat (C, B) eine präadditive Kategorie, wobei für Funktoren F, G : C → B und Transformationen
α : F → G, β : F → G die Summe α + β : F → G durch
α + β = (αX + βX )X∈Ob C
gegeben ist.
(6) Proposition.
(a) Wir haben einen Funktor
Z : Eq(Cat) → Iso(Mnd),
welcher auf den Objekten durch
Z(C) = End(idC )
für C ∈ Ob Eq(Cat) = Ob Cat und auf den Morphismen wie folgt gegeben ist. Es sei eine Äquivalenz F : C → D gegeben. Wir wählen einen Funktor G : D → C und eine Isotransformation β : F ◦G → idD .
Für jede solche Wahl ist
(Z(F ))(σ) = β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1
in Z(D) für σ ∈ Z(C).
∼
=
idD
D
G
β
idC
C
σ
C
F
D
idC
∼
=
β
idD
Für Äquivalenzen F, F 0 : C → D mit F ∼
= F 0 gilt
Z(F ) = Z(F 0 ).
(b) Der Funktor Z : Eq(Cat) → Iso(Mnd) induziert einen Funktor
Z : Eq(AddCat) → Iso(Rng).
Beweis.
(a) Es seien Funktoren G, G̃ : D → C und Isotransformationen β : F ◦G → idD , β̃ : F ◦ G̃ → idD gegeben. Ferner
sei ein Y ∈ Ob D gegeben. Dann ist β̃Y−1 ◦βY ein Isomorphismus von F GY nach F G̃Y in D. Als Äquivalenz
ist F insbesondere voll, es gibt also einen Morphismus f : GY → G̃Y in C mit β̃Y−1 ◦ βY = F f . (1 ) Die
Natürlichkeit von σ liefert f ◦ σGY = σG0 Y ◦ f und damit
βY ◦ F σGY ◦ βY−1 = βY0 ◦ F f ◦ F σGY ◦ βY−1 = βY0 ◦ F σG0 Y ◦ F f ◦ βY−1 = βY0 ◦ F σG0 Y ◦ βY0−1 .
1 Da F ◦ G ∼ id
= D und F eine Äquivalenz ist, ist G notwendigerweise ein Isomorphieinverses von F . Folglich gibt es eine
Isotransformation α : G ◦ F → idC . Der Morphismus f : GY → G̃Y ist gegeben durch f = αG̃Y ◦ G(β̃Y−1 ◦ βY ) ◦ α−1
GY .
4
Folglich gilt β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1 = β̃ ◦ (F ∗ σ ∗ G̃) ◦ β̃ −1 .
Y
βY
∼
=
F σGY
F GY
F GY
Ff
Y
0
βY
∼
=
∼
=
Y
Ff
F σG0 Y
F G0 Y
βY
F G0 Y
0
βY
∼
=
Y
Somit erhalten wir eine wohldefinierte Abbildung
Z(F ) : Z(C) → Z(D), σ 7→ β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1 ,
wobei G und β für σ ∈ Z(C) wie oben beschrieben gewählt seien.
Für σ, σ 0 ∈ Z(C) gilt
(Z(F ))(σ 0 ) ◦ (Z(F ))(σ) = β ◦ (F ∗ σ 0 ∗ G) ◦ β −1 ◦ β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1
= β ◦ (F ∗ σ 0 ∗ G) ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1 = β ◦ (F ∗ (σ 0 ◦ σ) ∗ G) ◦ β −1
= (Z(F ))(σ 0 ◦ σ).
Ferner gilt
(Z(F ))(1idC ) = β ◦ (F ∗ 1idC ∗ G) ◦ β −1 = β ◦ 1F ◦G ◦ β −1 = 1idD .
Folglich ist Z(F ) ein Monoidhomomorphismus.
Um Funktorialität zu zeigen, seien Äquivalenzen F : C → D und H : D → E gegeben. Dann gibt es
Funktoren G : D → C und K : E → D sowie Isotransformationen β : F ◦ G → idD und δ : H ◦ K → idE .
Für σ ∈ Z(C) erhalten wir
(Z(H) ◦ Z(F ))(σ) = (Z(H))((Z(F ))(σ)) = δ ◦ (H ∗ (β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1 ) ∗ K) ◦ δ −1
= δ ◦ (H ∗ β ∗ K) ◦ (H ∗ F ∗ σ ∗ G ∗ K) ◦ (H ∗ β −1 ∗ K) ◦ δ −1
= δ ◦ (H ∗ β ∗ K) ◦ (H ∗ F ∗ σ ∗ G ∗ K) ◦ (δ ◦ (H ∗ β ∗ K))−1 .
Da aber δ ◦ (H ∗ β ∗ K) eine Isotransformation von H ◦ F ◦ G ◦ K nach idE ist, gilt
Z(H ◦ F ))(σ) = δ ◦ (H ∗ β ∗ K) ◦ (H ∗ F ∗ σ ∗ G ∗ K) ◦ (δ ◦ (H ∗ β ∗ K))−1 = (Z(H) ◦ Z(F ))(σ)
für σ ∈ Z(C) und damit Z(H ◦ F ) = Z(H) ◦ Z(F ).
Für jede Kategorie C ist ferner 1idC eine Isotransformation von idC ◦ idC nach idC , es gilt also
Z(idC )(σ) = 1idC ◦ (idC ∗ σ ∗ idC ) ◦ 1−1
idC = σ = idZ(C) (σ)
für σ ∈ Z(C) und damit Z(idC ) = idZ(C) .
Folglich haben wir einen Funktor
Z : Eq(Cat) → Mnd.
Es seien Äquivalenzen F, F 0 : C → D mit F ∼
= F 0 gegeben, so dass es eine Isotransformation ρ : F → F 0 gibt.
0
Da F eine Äquivalenz ist, gibt es einen Funktor G : D → C und eine Isotransformation β 0 : F 0 ◦ G → idD .
Dann ist β := β 0 ◦ (ρ ∗ G) eine Isotransformation von F ◦ G nach idD .
F
G
∼
=
D
C
∼
=
β0
F
ρ
0
D
idD
5
Es sei σ ∈ Z(C) gegeben. Da ρ eine Transformation ist, gilt F 0 σGY ◦ ρGY = ρGY ◦ F σGY für Y ∈ Ob D
und damit (F 0 ∗ σ ∗ G) ◦ (ρ ∗ G) = (ρ ∗ G) ◦ (F ∗ σ ∗ G).
F GY
ρGY
∼
=
F 0 GY
F 0 σGY
F σGY
F GY
ρGY
∼
=
F 0 GY
Es folgt
(Z(F ))(σ) = β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1 = β 0 ◦ (ρ ∗ G) ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1
= β 0 ◦ (F 0 ∗ σ ∗ G) ◦ (ρ ∗ G) ◦ β −1 = β 0 ◦ (F 0 ∗ σ ∗ G) ◦ β 0−1 = Z(F 0 )(σ).
Folglich ist Z(F ) = Z(F 0 ).
Schließlich sei eine Äquivalenz F : C → D gegeben. Dann gibt es eine Äquivalenz G : D → C mit G◦F ∼
= idC
und F ◦ G ∼
= idD . Wegen
Z(G) ◦ Z(F ) = Z(G ◦ F ) = Z(idC ) = idZ(C) ,
Z(F ) ◦ Z(G) = Z(F ◦ G) = Z(idD ) = idZ(D)
ist Z(F ) invertierbar mit Z(F )−1 = Z(G).
(b) Es sei eine Äquivalenz F : C → D gegeben. Dann ist F insbesondere ein additiver Funktor. Ferner gibt es
einen Funktor G : D → C und eine Isotransformation β : F ◦ G → idD . Für σ, σ 0 ∈ Z(C) erhalten wir
(Z(F ))(σ + σ 0 ) = β ◦ (F ∗ (σ + σ 0 ) ∗ G) ◦ β −1 = β ◦ (F ∗ σ ∗ G + F ∗ σ 0 ∗ G) ◦ β −1
= β ◦ (F ∗ σ ∗ G) ◦ β −1 + β ◦ (F ∗ σ 0 ∗ G) ◦ β −1 = (Z(F ))(σ) + (Z(F ))(σ 0 ).
Folglich ist Z(F ) ein Ringhomomorphismus.
(7) Proposition. Es sei ein Ring R gegeben. Dann sind
Z(R) → Z(R-Mod), a 7→ (X → X, x 7→ ax)X∈Ob R-Mod ,
Z(R-Mod) → Z(R), σ 7→ σR (1)
wohldefinierte, sich gegenseitig invertierende Ringisomorphismen.
Beweis. Es sei a ∈ Z(R) gegeben und es sei λa = (λa,X )X∈Ob R-Mod gegeben durch λa,X : X → X, x 7→ ax
für X ∈ Ob R-Mod. Für jeden R-Modul X gilt dann
λa,X (x + x0 ) = a(x + x0 ) = ax + ax0 = λa,X (x) + λa,X (x0 )
für x, x0 ∈ X sowie
λa,X (bx) = abx = bax = b λa,X (x)
für b ∈ R, x ∈ X, d.h. λa,X : X → X ist ein R-Modulhomomorphismus. Für jeden R-Modulhomomorphismus f : X → Y gilt
(f ◦ λa,X )(x) = f (λa,X (x)) = f (ax) = a f (x) = λa,Y (f (x)) = (λa,Y ◦ f )(x)
für x ∈ X und damit f ◦ λa,X = λa,Y ◦ f . Folglich ist λa eine Transformation von idR-Mod nach idR-Mod , d.h. es
ist λa ∈ Z(R-Mod). Somit erhalten wir eine wohldefinierte Abbildung
λ : Z(R) → Z(R-Mod), a 7→ λa .
Für a, b ∈ Z(R) gilt
(λa,X + λb,X )(x) = λa,X (x) + λb,X (x) = ax + bx = (a + b)x = λa+b,X (x)
6
für x ∈ X, X ∈ Ob R-Mod, also
λa+b = (λa+b,X )X∈Ob R-Mod = (λa,X + λb,X )X∈Ob R-Mod = λa + λb .
Für a, b ∈ Z(R) gilt
(λa,X ◦ λb,X )(x) = λa,X (λb,X (x)) = abx = λab,X (x)
für x ∈ X, X ∈ Ob R-Mod, also
λab = (λab,X )X∈Ob R-Mod = (λa,X ◦ λb,X )X∈Ob R-Mod = λa ◦ λb .
Schließlich gilt
λ1,X (x) = 1x = x = idX (x)
für x ∈ X, X ∈ Ob R-Mod, also
λ1 = (λ1,X )X∈Ob R-Mod = (idX )X∈Ob R-Mod = 1idR-Mod .
Folglich ist λ : Z(R) → Z(R-Mod) ein Ringhomomorphismus.
Für X ∈ Ob R-Mod, x ∈ X sei ρx : R → X, a 7→ ax. Für σ ∈ Z(R-Mod) gilt dann ρx ◦ σR = σX ◦ ρx und damit
σR (1)x = ρx (σR (1)) = (ρx ◦ σR )(1) = (σX ◦ ρx )(1) = σX (ρx (1)) = σX (1 · x) = σX (x)
für x ∈ X, X ∈ Ob R-Mod.
R
σR
ρx
X
R
ρx
σX
X
Insbesondere gilt
σR (1)a = σR (a) = aσR (1)
für σ ∈ Z(R-Mod), a ∈ R, d.h. wir haben eine wohldefinierte Abbildung
µ : Z(R-Mod) → Z(R), σ 7→ σR (1).
Für a ∈ Z(R) gilt
(µ ◦ λ)(a) = µ(λa ) = λa (1) = a · 1 = a = idZ(R) (a),
es ist also µ ◦ λ = idZ(R) . Für σ ∈ Z(R-Mod) gilt
λσR (1),X (x) = σR (1)x = σX (x)
für x ∈ X, X ∈ Ob R-Mod, und damit
(λ ◦ µ)(σ) = λµ(σ) = λσR (1) = (λσR (1),X )X∈Ob R-Mod = (σX )X∈Ob R-Mod = σ,
es ist also λ ◦ µ = idZ(R-Mod) .
Insgesamt sind λ : Z(R) → Z(R-Mod) und µ : Z(R-Mod) → Z(R) sich gegenseitig invertierende Ringhomomorphismen.
∼ Z(S).
(8) Korollar. Es seien Ringe R und S gegeben. Wenn R Morita-äquivalent zu S ist, dann ist Z(R) =
Beweis. Es sei R Morita-äquivalent zu S. Dann gilt R-Mod ' S-Mod, also Z(R-Mod) ∼
= Z(S-Mod) nach
Proposition (7). Mit Proposition (6)(b) folgt
Z(R) ∼
= Z(R-Mod) ∼
= Z(S-Mod) ∼
= Z(S).
(9) Korollar. Es seien kommutative Ringe R und S gegeben. Genau dann ist R Morita-äquivalent zu S,
wenn R ∼
= S gilt.
Beweis. Wenn R Morita-äquivalent zu S ist, dann gilt
R = Z(R) ∼
= Z(S) = S
nach Korollar (8). Ist umgekehrt R ∼
= S, so ist R auch Morita-äquivalent zu S nach Bemerkung (2).
7
Generatoren
(10) Definition (Generator). Es sei ein Ring R gegeben. Ein R-Modul X heißt Generator (von R-Moduln),
falls der Homfunktor
HomR (X, −) : R-Mod → AbGrp, Y 7→ HomR (X, Y ), g 7→ (f 7→ g ◦ f )
treu ist, d.h. falls für jeden R-Modulhomomorphismus g : Y → Y 0 , welcher g ◦ f = 0 für jeden R-Modulhomomorphismus f : X → Y erfüllt, stets g = 0 folgt.
(11) Beispiel. Es sei ein Ring R gegeben. Der reguläre R-Modul R ist ein Generator.
Beweisskizze. Es ist HomR (R, −) : R-Mod → AbGrp isomorph zum Vergißfunktor U : R-Mod → AbGrp.
Wir erinnern an die kategorielle Definition von Epimorphismen:
Epimorphismen Es sei ein Ring R gegeben. Ein R-Modulepimorphismus ist ein R-Modulhomomorphismus
f : X → Y derart, dass für alle R-Modulhomomorphismen g, g 0 : Y → A mit g ◦ f = g 0 ◦ f stets g = g 0 gilt,
oder äquivalent, dass für jeden R-Modulhomomorphismus g : Y → A mit g ◦ f = 0 stets g = 0 gilt. Genau
dann ist ein R-Modulhomomorphismus f : X → Y ein R-Modulepimorphismus, wenn die Abbildung f : X → Y
surjektiv ist. (2 )
Es seien Ringe R und S, eine Äquivalenz F : R-Mod → S-Mod und ein Epimorphismus f : X → X 0 in R-Mod
gegeben. Dann ist auch F f : F X → F X 0 ein Epimorphismus in S-Mod.
(12) Proposition. Es seien ein Ring R und ein R-Modul X gegeben. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent.
(a) Es ist X ein Generator.
(b) Für jeden R-Modul Y ist
X
( f )f ∈HomR (X,Y ) : X (HomR (X,Y )) → Y , x 7→
f (xf )
f ∈HomR (X,Y )
ein R-Modulepimorphismus.
(c) Für jeden R-Modul Y gibt es eine Menge I und einen R-Modulepimorphismus von X (I) nach Y .
(d) Es ist
X
( f )f ∈HomR (X,R) : X (HomR (X,R)) → R, x 7→
f (xf )
f ∈HomR (X,Y )
ein R-Modulepimorphismus.
(e) Es gibt eine Menge I und einen R-Modulepimorphismus von X (I) nach R.
Beweis. Wir zeigen zuerst die Äquivalenz von Bedingung (a), Bedingung (b) und Bedingung (c), danach die
Äquivalenz von Bedingung (b), Bedingung (c), Bedingung (d) und Bedingung (e).
Zunächst gelte Bedingung (a), d.h. es sei X ein Generator. Um Bedingung (b) zu zeigen, sei ein R-Modul Y
gegeben. Für jeden R-Modulhomomorphismus g : Y → A mit g ◦ ( f )f ∈HomR (X,Y ) = 0 gilt dann g ◦ f = 0 für
jeden R-Modulhomomorphismus f : X → Y . Da X ein Generator ist, folgt g = 0. Folglich ist ( f )f ∈HomR (X,Y )
ein R-Modulepimorphismus, d.h. es gilt Bedingung (b).
Wenn Bedingung (b) gilt, dann gilt insbesondere auch Bedingung (c).
Es gelte Bedingung (c), d.h. für jeden R-Modul Y gebe es eine Menge I und einen R-Modulepimorphismus
von X (I) nach Y . Um zu zeigen, dass X ein Generator ist, sei ein R-Modulhomomorphismus g : Y → Y 0
derart gegeben, dass g ◦ f = 0 für jeden R-Modulhomomorphismus f : X → Y gilt. Nach Bedingung (c)
2 Für jeden R-Modulhomomorphismus g : Y → A mit g ◦ f = 0 gibt es (genau) einen R-Modulhomomorphismus ḡ : Coker f → A
mit g = ḡ ◦ quo, wobei quo : Y → Coker f den Quotientenhomomorphismus bezeichne. Folglich ist f : X → Y genau dann ein
R-Modulepimorphismus, wenn quo = 0 ist. Dies ist aber äquivalent zu Coker f = {0} und dies zur Surjektivität von f .
8
gibt es einen R-Modulepimorphismus p : X (I) → Y . Für i ∈ I ist dann g ◦ p ◦ embi = 0 : X → Y 0 , also
auch g ◦ p = 0 : X (I) → Y 0 . Da p ein Epimorphismus ist, folgt g = 0. Somit ist X ein Generator.
Somit sind Bedingung (a), Bedingung (b) und Bedingung (c) äquivalent.
Wir wissen bereits, dass Bedingung (c) zu Bedingung (b) äquivalent ist. Wenn Bedingung (b) gilt, dann gilt
insbesondere auch Bedingung (d). Wenn Bedingung (d) gilt, dann gilt insbesondere auch Bedingung (e). Um zu
zeigen, dass Bedingung (b), Bedingung (c), Bedingung (d) und Bedingung (e) äquivalent sind, genügt es also
zu zeigen, dass aus der Gültigkeit von Bedingung (e) die Gültigkeit von Bedingung (c) folgt.
Es gelte also Bedingung (e), d.h. es gebe eine Menge I und einen R-Modulepimorphismus p : X (I) → R.
Um zu zeigen, dass X ein Generator ist, sei ein beliebiger R-Modul Y gegeben. Da R nach Beispiel (11)
ein Generator ist und da Bedingung (a) zu Bedingung (c) äquivalent ist, gibt es eine Menge J und einen
R-Modulepimorphismus q : R(J) → Y . Dann ist aber q ◦ p(J) ◦ ( embj ◦embi )(i,j)∈I×J ein R-Modulepimorphismus
von X (I×J) nach Y .
( embj ◦embi )(i,j)∈I×J
X (I×J)
∼
=
(X (I) )(J)
p(J)
q
R(J)
Y
Folglich gilt Bedingung (c).
Damit sind auch Bedingung (c) und Bedingung (e) äquivalent.
Insgesamt sind Bedingung (a), Bedingung (b), Bedingung (c) und Bedingung (e) äquivalent.
(13) Korollar. Es seien ein Ring R und ein Generator X gegeben. Für jeden R-Modul Y gibt es Mengen I
und J und eine rechtsexakte Sequenz von R-Moduln
X (J)
f
p
X (I)
Y .
Beweis. Da X ein Generator ist, gibt es nach Proposition (12) eine Menge I und einen R-Modulepimorphismus p : X (I) → Y sowie eine Menge J und einen R-Modulepimorphismus q : X (J) → Ker p. Für f := inc ◦ q ist
die Sequenz von R-Moduln
X (J)
f
p
X (I)
Y
rechtsexakt.
(14) Proposition. Es seien Ringe R und S, eine Äquivalenz F : R-Mod → S-Mod und ein Generator X von
R-Moduln gegeben. Dann ist F X ein Generator von S-Moduln.
Beweis. Um zu zeigen, dass F X ein Generator von S-Moduln ist, sei ein S-Modulhomomorphismus g 0 : Y 0 → Y 00
derart gegeben, dass g 0 ◦ g = 0 für jeden S-Modulhomomorphismus g : F X → Y 0 gilt.
Da F eine Äquivalenz ist, gibt es eine Äquivalenz G : D → C und eine Isotransformation β : F ◦ G → idD . Dann
ist Gg 0 ein R-Modulhomomorphismus von GY 0 nach GY 00 .
Wir wollen zeigen, dass für jeden R-Modulhomomorphismus f : X → GY 0 bereits Gg 0 ◦ f = 0 gilt. Es sei
also ein R-Modulhomomorphismus f : X → GY 0 gegeben. Dann ist βY 0 ◦ F f ein S-Modulhomomorphismus
von F X nach Y 0 , nach Annahme an g 0 gilt also g 0 ◦ βY 0 ◦ F f = 0 in S-Mod. Da β eine Transformation ist, gilt
ferner g 0 ◦ βY 0 = βY 00 ◦ F Gg 0 und damit
0 = g 0 ◦ βY 0 ◦ F f = βY 00 ◦ F Gg 0 ◦ F f = βY 00 ◦ F (Gg 0 ◦ f )
in S-Mod.
FX
FX
βY 0 ◦ F f
Ff
F GY 0
βY 0
∼
=
F Gg 0
F GY 00
Y0
g0
βY 00
∼
=
Y 00
9
Nun ist aber βY 00 ein S-Modulisomorphismus, so dass F (Gg 0 ◦f ) = 0 in S-Mod folgt. Ferner ist F als Äquivalenz
treu, wir haben also in der Tat Gg 0 ◦ f = 0 in R-Mod.
Da X ein Generator von R-Moduln ist, folgt Gg 0 = 0. Da auch G als Äquivalenz treu ist, impliziert dies aber
bereits g 0 = 0.
Folglich ist F X ein Generator von S-Moduln.
Rechtsexaktheit von additiven Funktoren Es seien Ringe R und S gegeben. Ein Funktor F : R-Mod →
S-Mod heißt rechtsexakt, falls er additiv ist und rechtsexakte Sequenzen in R-Mod in rechtsexakte Sequenzen
in S-Mod überführt.
Für jeden (R, S)-Bimodul M ist M ⊗S − : S-Mod → R-Mod ein rechtsexakter Funktor.
Koprodukt erhaltende Funktoren Es seien Ringe R und S gegeben. Ein Funktor F : R-Mod → S-Mod
erhält Koprodukte, falls für jede Familie (Xi )i∈I von R-Moduln der S-Modulhomomorphismus
a
a
X
( F embi )i∈I :
F Xi → F ( Xj ), y 7→
(F embi )(yi )
i∈I
j∈I
i∈I
ein S-Modulisomorphismus ist.
Es seien Funktoren F, F 0 : R-Mod → S-Mod mit F ∼
= F 0 in Cat (R-Mod, S-Mod) gegeben. Genau dann erhält F
0
Koprodukte, wenn F Koprodukte erhält.
Für jeden (R, S)-Bimodul M erhält M ⊗S − : S-Mod → R-Mod Koprodukte.
Wir verwenden die Begriffe des rechtsexakten Funktors und des Koprodukt erhaltenden Funktors sinngemäß
auch für Funktoren der Form F : R-Mod → AbGrp, indem wir die Kategorie AbGrp mit der isomorphen Kategorie Z-Mod identifizieren. Diese Begriffe lassen sich jeweils auch kategorientheoretisch in einem allgemeineren
Rahmen definieren.
(15) Proposition. Es seien Ringe R und S, rechtsexakte Funktoren F, G : R-Mod → S-Mod, welche Koprodukte erhalten, sowie eine Transformation α : F → G gegeben. Ferner sei ein Generator X von R-Moduln
gegeben. Genau dann ist α : F → G eine Isotransformation, wenn αX : F X → GX ein S-Modulisomorphismus
ist.
Beweis. Wenn α eine Isotransformation ist, dann ist insbesondere αX ein S-Modulisomorphismus.
Umgekehrt sei αX ein S-Modulisomorphismus.
Zunächst sei eine Menge I gegeben. Da α eine Transformation ist, gilt Gembi ◦ αX = αX (I) ◦ F embi und damit
(I)
( Gembi )i∈I ◦ αX = ( Gembi ◦αX )i∈I = ( αX (I) ◦F embi )i∈I = αX (I) ◦ ( F embi )i∈I
in S-Mod.
FX
αX
∼
=
F X (I)
GX (I)
( F embi )i∈I
∼
=
F X (I)
(GX)(I)
∼
=
Gembi
αX (I)
(αX )(I)
∼
=
F embi
(F X)(I)
GX
αX (I)
( Gembi )i∈I
GX (I)
Da F und G Koprodukte erhalten, sind ( F embi )i∈I : (F X)(I) → F X (I) und ( Gembi )i∈I : (GX)(I) → GX (I)
beide S-Modulisomorphismen. Ferner ist mit αX auch (αX )(I) ein Isomorphismus. Folglich ist auch
αX (I) = ( Gembi )i∈I ◦ (αX )(I) ◦ (( F embi )i∈I )−1
ein S-Modulisomorphismus.
Nun sei ein beliebiger R-Modul X 0 gegeben. Nach Korollar (13) gibt es Mengen I und J und eine rechtsexakte
Sequenz von R-Moduln
X (J)
f
X (I)
p
X0 .
10
Da α eine Transformation ist, kommutiert das folgende Diagramm in S-Mod.
F X (J)
αX (J)
∼
=
GX (J)
Ff
Gf
F X (I)
αX (I)
∼
=
GX (I)
Fp
Gp
F X0
αX 0
GX 0
Da F und G rechtsexakt sind, sind die Spalten dieses Diagramms rechtsexakt. Wegen der Funktorialität des
(I)
(J)
Kokerns ist also mit αX und αX auch αX 0 ein S-Modulisomorphismus.
Projektivität
Projektivität Ein R-Modul P heißt projektiv, falls es für jeden R-Modulepimorphismus p : X → Y und jeden
R-Modulhomomorphismus g : P → Y einen R-Modulhomomorphismus f : P → X mit g = p ◦ f gibt.
X
f
p
g
P
Y
Genau dann ist ein R-Modul P projektiv, wenn der Homfunktor HomR (P, −) : R-Mod → AbGrp rechtsexakt (3 ) ist.
(16) Proposition. Es seien Ringe R und S, eine Äquivalenz F : R-Mod → S-Mod und ein projektiver R-Modul P gegeben. Dann ist F P ein projektiver S-Modul.
Beweis. Um zu zeigen, dass F P projektiv ist, sei ein S-Modulepimorphismus q : Y → F P gegeben.
Da F eine Äquivalenz ist, gibt es eine Äquivalenz G : D → C und Isotransformationen α : G ◦ F → idC
und β : F ◦ G → idD . Dann ist Gq : GY → GF P ein R-Modulepimorphismus und damit αP ◦ Gq : GY → P
ein R-Modulepimorphismus. Da P projektiv ist, gibt es also einen R-Modulhomomorphismus i : P → GY
mit αP ◦ Gq ◦ i = idP in R-Mod. Da β eine Isotransformation ist, gilt ferner q ◦ βY = βF P ◦ F Gq, also
−1
q ◦ βY ◦ F i = βF P ◦ F Gq ◦ F i = βF P ◦ F (Gq ◦ i) = βF P ◦ F αP
= βF P ◦ (F αP )−1
und damit q ◦ βY ◦ F i ◦ F αP ◦ βF−1P = idF P in S-Mod.
FP
FP
βY ◦ F i
Fi
F GY
βY
∼
=
q
F Gq
F GF P
βF P
∼
=
FP
∼
=
F αP
Y
FP
Folglich ist F P projektiv.
3 Da
HomR (P, −) stets linksexakt ist, bedeutet Rechtsexaktheit hier also sogar Exaktheit.
11
Kleine Moduln
(17) Definition (kleiner Modul). Es sei ein Ring R gegeben. Ein R-Modul X heißt klein, wenn der Homfunktor HomR (X, −) : R-Mod → AbGrp Koprodukte erhält.
(18) Bemerkung. Es seien ein Ring R und ein R-Modul X gegeben. Genau`dann ist X klein, wenn für jede
Familie (Yi )i∈I von R-Moduln und jeden R-Modulhomomorphismus g : X → j∈I die Menge
{i ∈ I | pri |`j∈I Yj ◦ g 6= 0}
endlich ist.
Beweisskizze. Es sei eine Familie (Yi )i∈I von R-Moduln gegeben. Der R-Modulhomomorphismus
a
a
( HomR (X,embi ) )i∈I :
HomR (X, Yi ) → HomR (X,
Yj )
i∈I
j∈I
ist gegeben durch
(( HomR (X,embi ) )i∈I )((fi )i∈I ) =
X
X
(HomR (X, embi ))(fi ) =
embi ◦ fi
i∈I
für (fi )i∈I ∈
i∈I
`
HomR (X, Yi ), also durch
X
X
embi ◦ fi )(x) =
embi (fi (x)) = (fj (x))j∈I
((( HomR (X,embi ) )i∈I )((fi )i∈I ))(x) = (
i∈I
i∈I
i∈I
für x ∈ X.
Dieser Homomorphismus
ist stets injektiv und genau dann surjektiv, wenn für jeden R-Modulhomomorphis`
mus g : X → j∈I die Menge {i ∈ I | pri |`j∈I Yj ◦ g 6= 0} endlich ist.
(19) Proposition. Es sei ein Ring R und ein projektiver R-Modul P gegeben. Genau dann ist P klein, wenn P
endlich erzeugt ist.
Beweisskizze. Zunächst sei P klein. Da P projektiv ist, gibt es eine Menge I und R-Modulhomomorphismen
p : R(I) → P und k : P → R(I) mit p ◦ k = idP . Nach der Bemerkung ist
J := {i ∈ I | pri |R(I) ◦ k 6= 0}
endlich. Folglich gibt es einen R-Modulhomomorphismus l : P → R(J) mit k = ( embj )j∈J ◦ l. Wegen
p ◦ ( embj )j∈J ◦ l = p ◦ k = idP
ist p ◦ ( embj )j∈J : R(J) → P ein R-Modulepimorphismus, d.h. P ist endlich erzeugt.
Umgekehrt, wenn P endlich erzeugt ist, etwa von s = (s1 , . . . , s`
n ) für ein n ∈ N0 , dann ist für jede Familie (Yi )i∈I
von R-Moduln und jeden R-Modulhomomorphismus g : X → j∈I die Menge
{i ∈ I | pri |`j∈I Yj ◦ g 6= 0} = {i ∈ I | es gibt ein k ∈ {1, . . . , n} mit pri (g(sk )) 6= 0}
[
=
{i ∈ I | pri (g(sk )) 6= 0}
k∈{1,...,n}
endlich, d.h. P ist klein.
(20) Proposition. Es seien Ringe R und S, eine Äquivalenz F : R-Mod → S-Mod und ein kleiner R-Modul X
gegeben. Dann ist F X ein kleiner S-Modul.
Beweis. Da F eine Äquivalenz ist, gibt es eine Äquivalenz G : D → C und eine Isotransformation α : G◦F → idC .
Da G treu ist, haben wir eine Isotransformationen GF X,− : HomS (F X, −) → HomR (GF X, G−). Ferner liefert
−1
die Isotransformation α eine Isotransformation HomR (αX
, G−) : HomR (GF X, G−) → HomR (X, G−). Folglich
ist
HomS (F X, −) ∼
= HomR (GF X, G−) ∼
= HomR (X, G−) = HomR (X, −) ◦ G
in Cat (S-Mod, AbGrp). Als Äquivalenz erhält G Koprodukte. Da X klein ist, erhält auch HomR (X, −) Koprodukte. Insgesamt erhält HomS (F X, −) ∼
= HomR (X, −) ◦ G Koprodukte.
12
Der Satz von Morita
Der Endomorphismenring eines Moduls Es seien ein Ring R und ein R-Modul X gegeben. Wir betrachten
EndR (X) als Ring mit ◦ als Multiplikation. Entsprechend ist EndR (X)op ein Ring mit Multiplikation gegeben
durch
op
f g = f ·EndR (X)
g = g ·EndR (X) f = g ◦ f
für f, g ∈ EndR (X)op .
Moduln als Bimoduln Es seien ein Ring R und ein R-Modul X gegeben. Dann wird X zu einem
(R, EndR (X)op )-Bimodul via
xf = f (x)
für x ∈ X, f ∈ EndR (X)op .
Tensor-Hom-Adjunktion Es seien Ringe R und S sowie ein (R, S)-Bimodul M gegeben. Für jeden R-Modul X wird HomR (M, X) zu einem S-Modul via
(bf )(m) = f (mb)
für m ∈ M , b ∈ S, f ∈ HomR (M, X). Für jeden S-Modul Y wird M ⊗S Y zu einem R-Modul via
a(m ⊗ y) = am ⊗ y
für a ∈ R, m ∈ M , y ∈ Y .
Es wird
M ⊗S − : S-Mod → R-Mod
ein zu
HomR (M, −) : R-Mod → S-Mod
linksadjungierter Funktor. Die Einheit η : idS-Mod → HomR (M, −) ◦ (M ⊗S −) einer Adjunktion ist gegeben
durch
ηY : Y → HomR (M, M ⊗S Y ), y 7→ (m 7→ m ⊗ y)
für Y ∈ Ob S-Mod. Die zugehörige Koeinheit ε : (M ⊗S −) ◦ HomR (M, −) → idR-Mod ist gegeben durch
εX : M ⊗S HomR (M, X) → X, m ⊗ f 7→ f (m)
für X ∈ Ob R-Mod.
(21) Satz. Es seien ein Ring R und ein endlich erzeugter, projektiver Generator P gegeben. Dann sind
HomR (P, −) : R-Mod → EndR (P )op -Mod,
P ⊗EndR (P )op − : EndR (P )op -Mod → R-Mod
zueinander isomorphieinverse Äquivalenzen.
Beweisskizze. Es sei S := EndR (P )op . Der Funktor P ⊗S − : S-Mod → R-Mod erhält Koprodukte und ist
rechtsexakt. Da P projektiv und nach Proposition (19) auch klein ist, erhält auch HomR (P, −) : R-Mod →
S-Mod Koprodukte und ist rechtsexakt. Folglich erhalten auch die Komposita (P ⊗S −)◦HomR (P, −) : R-Mod →
R-Mod und HomR (P, −) ◦ (P ⊗S −) : S-Mod → S-Mod Koprodukte und sind rechtsexakt.
Nun ist
εP : P ⊗S HomR (P, P ) → P , p ⊗ f 7→ f (p)
13
ein R-Modulisomorphismus mit Inverser
ε−1
P : P → P ⊗S HomR (P, P ), p 7→ p ⊗ idP .
Da P ein Generator von R-Moduln ist, impliziert dies nach Proposition (15) bereits, dass die Koeinheit ε : (P ⊗S
−) ◦ HomR (P, −) → idR-Mod eine Isotransformation ist.
Ferner ist
ηS : S → HomR (P, P ⊗S S), f 7→ (p 7→ p ⊗ f )
ist S-Modulisomorphismus mit Inverser
ηS−1 : HomR (P, P ⊗S S) → S, g 7→ (p 7→ g(p ⊗ idP )).
Da S nach Beispiel (11) ein Generator von S-Moduln ist, impliziert dies nach Proposition (15) bereits, dass die
Einheit η : idS-Mod → HomR (P, −) ◦ (P ⊗S −) eine Isotransformation ist.
Insgesamt sind HomR (P, −) und (P ⊗S −) zueinander isomorphieinverse Äquivalenzen.
Alternative Beweisskizze, dass HomR (P, −) eine Äquivalenz ist. Um zu zeigen, dass HomR (P, −) voll und treu
ist, ist für X, X 0 ∈ Ob R-Mod zu zeigen, dass
HomR (X, X 0 ) → HomS (HomR (P, X), HomR (P, X 0 )), f 7→ HomR (P, f ) = (h 7→ f ◦ h)
eine Bijektion ist. Dies liefert aber eine Transformation von
HomR (−, X 0 )op : R-Mod → AbGrpop
nach
HomS (HomR (P, −), HomR (P, X 0 ))op : R-Mod → AbGrpop ,
welche an der Stelle P eine Bijektion ist. Da beide Funktoren Koprodukte bewahren und rechtsexakt sind, findet
Proposition (15) wieder Anwendung.
Der zweite Ansatz lässt sich auf abelsche Kategorien, in denen es (beliebige) Koprodukte und Generatoren gibt,
übertragen.
(22) Satz (Satz von Morita, Progeneratorversion). Es seien Ringe R und S gegeben. Genau dann ist R Moritaäquivalent zu S, wenn es einen endlich erzeugten projektiven Generator P von R-Moduln mit
S∼
= EndR (P )op
gibt.
Beweisskizze. Zunächst sei R Morita-äquivalent zu S. Dann gibt es eine Äquivalenz G : S-Mod → R-Mod. Nach
Beispiel (11) ist S ein endlich erzeugter, projektiver Generator von S-Moduln, also ist GS nach Proposition (14),
Proposition (16), Proposition (20) und Proposition (19) ist dann GS ein endlich erzeugter projektiver Generator
von R-Moduln. Da G voll und treu ist, folgt S ∼
= EndS (S)op ∼
= EndR (P )op (es ist ρ : S → EndS (S)op , b 7→ (y 7→
yb) ein Ringisomorphismus).
Umgekehrt, wenn es einen Progenerator P von R-Moduln mit S ∼
= EndR (P )op gibt, dann ist R-Mod '
op
EndR (P ) -Mod ∼
= S-Mod nach Satz (21) und Bemerkung (2).
Wir geben noch einige Resultate ohne Beweis an.
In der Literatur sieht man oftmals eine Variante von Satz (21) mit Hilfe von zwei Tensor-Funktoren formuliert.
Diese Flexibilität liegt an folgender Tatsache:
Bemerkung. Es seien ein Ring R und ein endlich erzeugter projektiver R-Modul P gegeben und es sei P ∗ :=
HomR (P, R). Dann ist
HomR (P, −) ∼
= P ∗ ⊗R −
in
op
Cat (R-Mod, EndR (P ) -Mod).
14
Beweis. Siehe [9, rem. (18.25)].
Theorem. Es seien Ringe R und S sowie zueinander isomorphieinverse Äquivalenzen F : R-Mod → S-Mod
und G : S-Mod → R-Mod gegeben. Ferner sei P := GS. Dann ist
F ∼
= HomR (P, −)
in
Cat (R-Mod, S-Mod)
und
G∼
= P ⊗S −
in
Cat (S-Mod, R-Mod).
Beweis. Siehe [9, th. (18.26)].
Proposition. Es seien Ringe R und S gegeben. Genau dann ist R Morita-äquivalent zu S, wenn Rop Moritaäquivalent zu S op ist.
Beweis. Siehe [9, prop. (18.32)].
Idempotente
Idempotente Es seien ein Ring R und ein Idempotent e von R gegeben. Dann ist Re ein endlich erzeugter
projektiver R-Modul. (Endlich erzeugt durch e, Projektiv: R → Re, a 7→ ae ist Retraktion mit Inklusion als
Koretraktion.) Ferner ist eRe ein (im Allgemeinen nicht-unitärer) Unterring von R. Es wird eRe ein unitärer
Ring mit der Eins 1eRe = e.
Ein Idempotent e von R heißt voll, wenn R = ReR ist.
Proposition. Es seien ein Ring R, n ∈ N und ein Idempotent F von Rn×n gegeben. Dann ist
EndR (R1×n F )op ∼
= F Rn×n F.
Proposition. Es seien ein Ring R und ein Idempotent e von R gegeben. Das Bild des R-Modulhomomorphismus
X
( f )f ∈HomR (Re,R) : X (HomR (Re,R)) → R, x 7→
f (xf )
f ∈HomR (R,Re)
ist gegeben durch
Im ( f )f ∈HomR (Re,R) = ReR.
Bemerkung. Es seien ein Ring R und ein Idempotent e von R gegeben. Genau dann ist Re ein Generator,
wenn e voll ist.
Proposition. Es seien ein Ring R und ein endlich erzeugter projektiver Generator P gegeben. Dann gibt es
ein n ∈ N und ein volles Idempotent F von Rn×n mit
P ∼
= R1×n F.
Beweisskizze. Die Projektivität liefert R1×n → P → R1×n , die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasen ist
dann das Idempotent F .
Bemerkung. Es seien ein Ring R und ein volles Idempotent e gegeben. Dann ist R Morita-äquivalent zu eRe.
(23) Satz (Satz von Morita, Idempotentversion). Es seien Ringe R und S gegeben. Genau dann ist R Moritaäquivalent zu S, wenn es ein n ∈ N und ein volles Idempotent F in Rn×n gibt mit
S∼
= F Rn×n F.
15
Die Grundalgebra
Ab jetzt betrachten wir Algebren über einem Körper.
Lineare Funktoren Es seien ein Körper K und K-Algebren A und B gegeben. Ein Funktor F : A-Mod →
B-Mod heißt K-linear, falls für X, X 0 ∈ Ob A-Mod stets HomA (X, X 0 ) → HomB (F X, F X 0 ), f 7→ F f KVektorraumhomomorphismus ist. Wir sagen, dass A-Mod äquivalent zu B-Mod als K-lineare Kategorien ist,
falls es ein K-lineare Äquivalenz von A-Mod nach B-Mod gibt.
(24) Definition (Morita-Äquivalenz von Algebren). Es seien ein Körper K und K-Algebren A und B gegeben.
Wir sagen, dass A Morita-äquivalent zu B ist, wenn A-Mod linear äquivalent über K zu B-Mod ist.
Die für Ringe erhaltenen Resultate übertragen sich für K-Algebren. Das Analogon des Satzes von Morita macht
dann eine Aussage über eine Isomorphie von K-Algebren.
(25) Definition (Grundalgebra). Es seien ein Körper K und eine K-Algebra A derart gegeben, dass der Satz
von Krull/Schmidt gilt. Ferner sei eine Transversale der projektiven unzerlegbaren A-Moduln P gegeben. Die
K-Algebra
M
EndA (
P )op
P ∈P
wird Grundalgebra von A genannt.
(26) Bemerkung. Es seien ein Körper K und eine K-Algebra A derart gegeben, dass der Satz von Krull/
Schmidt gilt. Ferner sei eine Transversale der projektiven unzerlegbaren A-Moduln P gegeben. Dann ist
M
P
P ∈P
ein endlich erzeugter, projektiver Generator.
Beweis. Jedes P ∈ L
P ist isomorph zu AeP für ein Idempotent eP von A, also insbesondere endlich erzeugt.
4
Dann ist aber
auch
P ∈P P endlich erzeugt, denn es ist P endlich. ( )
L
Ferner ist P ∈P P projektiv als direkte Summe projektiver A-Moduln.
Da P eineLTransversale der projektiven unzerlegbaren A-Moduln ist, gibt es eine Familie (nP )P ∈P in N
nP
mit A ∼
. Wegen der Endlichkeit
vonL
P gibt es ein nL∈ N mit n ≥ nP für P ∈ P und damit
=
P ∈P P
L
nP ∼
n ∼
einen A-Modulepimorphismus von ( PL
P
)
= A. Nach dem Analogon von
= P ∈P P n nach
P ∈P P
∈P
Proposition (12) für Algebren ist daher P ∈P P ein Generator.
(27) Korollar. Es seien ein Körper K und eine K-Algebra A derart gegeben, dass der Satz von Krull/Schmidt
gilt. Ferner sei eine Grundalgebra A0 von A gegeben. Dann ist A Morita-äquivalent zu A0 .
Beweis. Da A0 eine
L Grundalgebra von A ist, gibt es eine Transversale
L der projektiven unzerlegbaren A-Moduln P
mit A0 ∼
= EndA ( P ∈P P )op . Nach Bemerkung (26) ist dann
P ∈P P ein endlich erzeugter, projektiver Generator.
Nach
dem
Analogon
des
Satzes
von
Morita
(22)
für
Algebren
ist folglich A Morita-äquivalent zu
L
EndA ( P ∈P P )op ∼
= A0 .
Bemerkung. Es seien ein Körper K und eine K-Algebra A derart gegeben, dass der Satz von Krull/
Schmidt gilt, und es sei A0 eine Grundalgebra von A. Dann ist A0 /Rad(A0 ) eine direkte Summe von paarweise nicht-isomorphen einfachen Moduln.
(28) Satz. Es seien ein Körper K und K-Algebren A und B derart gegeben, dass der Satz von Krull/Schmidt
gilt. Ferner sei A0 eine Grundalgebra von A und B 0 eine Grundalgebra von B. Genau dann ist A Moritaäquivalent zu B, wenn
A0 ∼
= B0
ist.
4 De
facto ist
L
P ∈P
P sogar ein zyklischer A-Modul, denn es ist
16
L
P ∈P
P
P ∼
= Ae mit e = P ∈P eP .
Beweis. Zunächst sei A Morita-äquivalent zu B, d.h. es gebe eine K-lineare Äquivalenz F : A → B. Ferner
sei eine Transversale der projektiven unzerlegbaren A-Moduln P gegeben. Dann ist Q := {F P | P ∈ P} eine
Transversale der projektiven unzerlegbaren B-Moduln. (5 ) Da F voll, treu und K-linear ist, folgt
M
M
M
A0 ∼
P )op ∼
P ))op ∼
F P )op ∼
= EndA (
= EndB (F (
= EndB (
= B0.
P ∈P
P ∈P
P ∈P
Es sei umgekehrt A0 ∼
= B 0 . Dann ist insbesondere A0 Morita-äquivalent zu B 0 . Da nach Korollar (27) ferner A
Morita-äquivalent zu A0 und B Morita-äquivalent zu B 0 ist, ist folglich A Morita-äquivalent zu B.
Cartan-Invarianten
(29) Definition (Cartan-Invarianten). Es seien ein Körper K und eine K-Algebra A derart gegeben, dass der
Satz von Krull/Schmidt gilt.
(a) Für projektive unzerlegbare A-Moduln P und P 0 heißt
dimK HomA (P, P 0 )
eine Cartan-Invariante von A.
(b) Wir setzen
c(A) := max {dimK HomA (P, P 0 ) | P und P 0 sind projektive unzerlegbare A-Moduln}.
(c) Wir setzen
`(A) := |{P | P ist projektiver unzerlegbarer A-Modul}/∼
=|.
(30) Proposition. Es seien ein Körper K und eine endlichdimensionale K-Algebra A derart gegeben, dass der
Satz von Krull/Schmidt gilt. Ferner sei A0 eine Grundalgebra von A. Dann ist
X
dimK A0 =
dimK HomA (P, P 0 ) ≤ c(A)`(A)2 .
[P ],[P 0 ]
P , P 0 projektive unzerlegbare A-Moduln
Beweisskizze. Es sei P eine Transversale der projektiv unzerlegbaren A-Moduln. Als K-Vektorräume ist dann
M
M
M
HomA (P, P 0 ).
A0 ∼
P,
P 0) ∼
=
= HomA (A, A) ∼
= HomA (
P ∈P 0
P 0 ∈P 0
P,P 0 ∈P
Vermutungen im Umkreis der Donovan-Vermutung
Ab jetzt seien eine Primzahl p und ein algebraisch abgeschlossener Körper K mit char K = p gegeben.
(31) Definition (Defekt). Es seien eine endliche Gruppe G und ein Block A von KG gegeben. Der Defekt
von A ist definiert als
d(A) := logp (D)
für eine Defektgruppe D von A.
(32) Bemerkung. Genau dann gilt die Donovan-Vermutung (1), wenn die Fasern der Abbildung
d : {A | es gibt eine endliche Gruppe G so, dass A ein Block von KG ist} → N
endlich sind.
5 Äquivalenzen
erhalten Projektivität, Unzerlegbarkeit und Isomorphismen.
17
(33) Vermutung (schwache Donovan-Vermutung). Für jede endliche p-Gruppe D sei
BD := {A | es gibt eine endliche Gruppe G so, dass A ein Block von KG mit Defektgruppe D ist}.
Für jede endliche p-Gruppe D ist
{dimK HomA (P, P 0 ) | A ∈ BD und P und P 0 sind projektive unzerlegbare A-Moduln}
endlich.
(34) Bemerkung. Genau dann gilt die schwache Donovan-Vermutung (33), wenn es eine Abbildung f : N → N
derart gibt, dass für jede endliche Gruppe G und jeden Block A von KG stets
c(A) ≤ f (d(A))
gilt.
(35) Definition (Frobenius). Es sei eine endliche Gruppe G gegeben. Der Ringautomorphismus
X
X
frob : KG → KG,
ag g 7→
apg g
g∈G
g∈G
heißt Frobenius.
(36) Vermutung. Für jede endliche p-Gruppe D sei
BD := {A | es gibt eine endliche Gruppe G so, dass A ein Block von KG mit Defektgruppe D ist}.
Für jede endliche p-Gruppe D gibt es ein m ∈ N derart, dass für jede endliche Gruppe G und jeden Block A
von KG stets
|{frobk (A) | k ∈ N0 }/Morita-Äquivalenz| ≤ m
ist.
(37) Satz (Charakterisierung der Donovan-Vermutung, Kessar). Genau dann gilt die Donovan-Vermutung (1),
wenn sowohl die schwache Donovan-Vermutung (33) als auch Vermutung (36) gelten.
(38) Notation. Es seien eine endliche Gruppe G und ein Block A von KG gegeben.
(a) Wir setzen
LL(A) := min {n ∈ N | Rad(A)n = {0}}.
(b) Wir setzen
e(A) := max {dimK Ext1A (S, S 0 ) | S und S 0 sind einfache A-Moduln}.
(39) Satz. Genau dann gilt die schwache Donovan-Vermutung (33), wenn folgende Bedingungen gelten.
(a) Es gibt eine Abbildung g : N → N derart, dass für jede endliche Gruppe G und jeden Block A von KG
stets
LL(A) ≤ g(d(A))
gilt.
(b) Es gibt eine Abbildung h : N → N derart, dass für jede endliche Gruppe G und jeden Block A von KG
stets
e(A) ≤ h(d(A))
gilt.
Düvels Reduktionssatz schränkt die zu betrachtenden Gruppen weiter ein (auf perfekte endliche Erweiterungen
einfacher Gruppen mit zyklischen Gruppen, deren Ordnung teilerfremd zu p ist).
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Abschwächungen der Donovan-Vermutung
(40) Definition (Donovan-Vermutung für gewisse Blöcke bzw. Gruppen).
(a) Es sei eine Teilmenge B von
{A | es gibt eine endliche Gruppe G so, dass A ein Block von KG ist}
gegeben. Wir sagen, dass die Donovan-Vermutung für B gilt, falls die Fasern der von der Abbildung
B → {D | D ist eine endliche p-Gruppe}, A 7→ Defektgruppe von A
induzierten Abbildung
B → {D | D ist eine endliche p-Gruppe}/∼
=
jeweils in einer Vereinigung aus endlich vielen Morita-Äquivalenzklassen liegen.
(b) Es sei eine Teilmenge G von
{G | G ist eine endliche Gruppe}
gegeben. Wir sagen, dass die Donovan-Vermutung für G gilt, falls die Donovan-Vermutung für
{A | es gibt ein G ∈ G so, dass A ein Block von KG ist}
gilt.
(c) Wir sagen, dass die Donovan-Vermutung gilt, wenn die Donovan-Vermutung für
{G | G ist eine endliche Gruppe}
gilt.
(41) Satz.
(a) (Scopes, 1991) Die Donovan-Vermutung gilt für
{Sn | n ∈ N0 }.
(b) (Jost, 1996) Die Donovan-Vermutung gilt für
{A | es gibt ein n ∈ N0 so, dass A ein unipotenter Block von KGLn ist}.
(c) (Kessar, 1996) Die Donovan-Vermutung gilt für
{An | n ∈ N0 }.
Die Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit
Reduktionen
(42) Satz (Külshammer). Für jede endliche p-Gruppe D sei
BD := {A | es gibt eine endliche Gruppe G so, dass A ein Block von KG mit Defektgruppe D ist,
und so, dass G = hDg | g ∈ Gi gilt}.
Die Donovan-Vermutung gilt genau dann, falls die Donovan-Vermutung für
[
{BD | D ist eine endliche p-Gruppe}
gilt.
19
(43) Satz (Hiß). Es seien eine Teilmenge B von
{A | es gibt eine endliche Gruppe G so, dass A ein Block von KG ist}
sowie d, c ∈ N und ein endlicher Unterkörper K0 von K derart gegeben, dass folgende Bedingungen gelten.
(a) Für A ∈ B gilt
d(A) ≤ d.
(b) Für A ∈ B gilt
c(A) ≤ c
(c) Für jedes A ∈ B gibt es eine split K0 -Algebra A0 mit
A∼
= K ⊗ K 0 A0 .
(D.h.: Für jeden projektiven unzerlegbaren A0 -Modul P0 ist K ⊗K0 P0 einer projektiver unzerlegbarer
A-Modul.)
Dann ist B/Morita-Äquivalenz endlich.
Beweisskizze. Es sei A ∈ B gegeben. Nach Bedingung (c) gibt es eine split K0 -Algebra A0 mit A ∼
K ⊗K0 A0 . Es
=L
sei eine Transversale der projektiven, unzerlegbaren A0 -Moduln P0 gegeben, so dass A00 := EndA0 ( P0 ∈P0 P0 )op
eine Grundalgebra von A0 ist. Nach Bedingung (c) ist K ⊗K0 P0 für jedes P0 ∈ P0 ein projektiver, unzerlegbarer
A-Modul und damit
P := {K ⊗K0 P0 | P0 ∈ P0 }
eine Transversale der projektiven, unzerlegbaren A-Moduln. Folglich ist
M
M
M
P0 )op ∼
A0 := K ⊗K0 A00 ∼
P0 )op ∼
K ⊗K0 P0 )op
= EndA0 (
= EndA0 (K ⊗K0
= K ⊗K0 EndA0 (
P0 ∈P0
P0 ∈P0
P0 ∈P0
eine Grundalgebra von A. Nach einem Satz von Brauer und Feit gilt `(A) ≤ 41 p2d(A) + 1. Mit Proposition (30)
und den Bedingungen (a) und (b) folgt
1
1
dimK0 A00 = dimK A0 ≤ c(A)`(A)2 ≤ c(A)( p2d(A) + 1)2 ≤ c( p2d + 1)2 .
4
4
Da K0 endlich ist, gibt es aber nur endlich viele Isomorphietypen von Grundalgebren beschränkter Dimension,
also auch nur endlich viele Morita-Äquivalenzklassen.
Literatur
[1] Artin, Michael; Grothendieck, Alexander; Verdier, Jean-Louis. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, vol. 269. Springer-Verlag,
Berlin-New York, 1972. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA4). With the
collaboration of N. Bourbaki, P. Deligne and B. Saint-Donat.
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[5] Hiß, Gerhard.
On a question of Brauer in modular representation theory of finite groups.
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20
[6] Kessar, Radha. A remark on Donovan’s conjecture. Archiv der Mathematik 82(5) (2004), pp. 391–394.
DOI: 10.1007/s00013-004-4880-8.
[7] Külshammer, Burkhard; Rosenbaum, Kurt. Darstellungstheorietage Jena 1996. Sitzungsberichte der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse, vol 7. Akademie Gemeinnütziger Wissenschaften zu Erfurt,
Erfurt, 1996.
[8] Lam, Tsit-Yuen. A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics, vol. 131.
Springer-Verlag, New York, 1991. DOI: 10.1007/978-1-4684-0406-7.
[9] Lam, Tsit-Yuen. Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, vol. 189. SpringerVerlag, New York, 1999. DOI: 10.1007/978-1-4612-0525-8.
[10] Schwede, Stefan. Morita theory in abelian, derived and stable model categories. Veröffentlicht in [2,
pp. 33–86], 2004. DOI: 10.1017/CBO9780511529955.005.
[11] Zerz, Eva. Kommutative Algebra. Vorlesungsnotizen, RWTH Aachen, 2006.
[12] Zimmermann, Alexander. Representation Theory. A Homological Algebra Point of View. Algebra and
Applications, vol. 19. Springer-Verlag, Cham, 2014. DOI: 10.1007/978-3-319-07968-4.
Sebastian Thomas
Lehrstuhl D für Mathematik
RWTH Aachen University
Pontdriesch 14/16
52062 Aachen
Germany
[email protected]
http://www.math.rwth-aachen.de/~Sebastian.Thomas/
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