Oszillator - Moodle ZHAW

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Oszillator
Wir betrachten 2 Atome die durch eine Bindung miteinander verbunden
sind. Die Bindung bewirkt eine Kraft F~1 resp. F~2 auf das Atom 1 resp. Atom
2. Um die Betrachtung zu vereinfachen beschränken wir uns nun auf den 1 dimensionalen Fall. Der mehrdimensionale Fall kann analog zu dem hier gezeigten
Fall behandelt werden.
Abbildung 1: Im oberen Teil ist die Gleichgewichtssituation mit der Bindungslänge r0 dargestellt. Im unteren Teil haben sich die beiden Atome voneinander entfernt und somit spüren sie eine Kraft nach Innen.
Die Situation ist in der Abbildung 1 dargestellt. Das Atom 1 mit der Masse m1 befinde sich an der Stelle r1 und das Atome 2 mit der Masse m2 an
der Stelle r2 . Mithilfe der Bindungslänge r0 kann das Taylorpolynom der Kraft
um die Bindungslänge r0 entwickelt werden. Da die Kraft rücktreibend ist und
um die Gleichgewichtslage entwickelt wird muss sie die folgenden Form besitzen.
F1 = −D(r0 − (r2 − r1 )) und F2 = D(r0 − (r2 − r1 ))
Damit kann man die Bewegungsgleichungen für die beiden Atome aufschreiben.
m1 · r̈1 = F1 und m2 · r̈2 = F2
Dies sind 2 gekoppelte DGL’s 2. Ordnung, welche ihr nicht direkt lösen könnt.
Um diese zu lösen werden wir eine Koordinatentransformation durchführen.
Betrachten wir einmal die beiden oberen DGL’s so bemerken wir, dass die
Summe der beiden Kräfte aufgrund von Actio=Reactio null sein muss. Daher gilt, dass m1 r̈1 + m2 r̈2 = 0 ist. Wegen der Summen- und der Produkt2
2 r2 )(t)
= 0 ist, oder
regel der
Ableitung bedeutet
dies auch, dass d (m1 r1 (t)+m
dt2
d2
m1 r1 (t)+m2 r2 (t)
m +m
(t)+m2 r2 (t)
1
2
dass
= 0 ist. Benennen wir einmal die Grösse m1 r1m
dt2
1 +m2
mit rM M P . Dann bedeutet die vorherige DGL, dass r̈M M P = 0 ist. Falls die
2. Ableitung einer Grösse 0 ist, so ist die Lösung der DGL gegeben durch
rM M P = v0 t + x0 . Damit haben wir eine Lösung des DGL- Systems gefunden.
Wir müssen nun noch die 2. Lösung finden, dazu betrachten wir einmal die
Differenz der beiden DGL’s, wobei wir zuerst noch durch die Masse dividieren.
2
Aus r̈1 =
F1
m1
und r̈2 =
r̈2 − r̈1 =
F2
m2
−
F2
m2
folgt:
F1
m1
Schreiben wir dies einmal aus und benutzen, wie vorhin, dass die Summe
von Ableitungen die Ableitung der Summe ist.
d2 (r2 −r1 )
1 −r2 ))
1 −r2 ))
− D(r0 −(r
=
= −D(r0 −(r
m2
m2
dt2
m1 +m2
1
1
−D m2 + m1 (r0 − (r1 − r2 )) = −D m2 ·m1 (r0
− (r1 − r2 ))
m2 ·m1
Nun wird die Grösse m
in der Physik als reduzierte Masse bezeichnet
1 +m2
und mit µ notiert. Führt man dies ein und ersetzt r2 − r1 + r0 durch u(t), so
erhalten wir, da die Ableitung der Konstanten r0 0 ergibt, die DGL einer an
einer Feder befestigten Masse (mit Masse µ).
ü = − D
µu
Die
q Lösung dieser DGL ist dann durch u(t) = A · cos (ωt + b) gegeben, wobei
ω= D
µ ist. Damit haben wir für die ursprünglichen Gleichungen die beiden
Lösungen rM M P = v0 t + x0 und u(t) = A · cos (ωt + b) erhalten. Dies bedeutet, dass sich die Bewegung der beiden Atome in eine Bewegung (konstante
Geschwindigkeit) des Massenmittelpunktes und eine Schwingung um den Massenmittelpunkt auseinander genommen werden kann.
Wollen wir nun die Bewegung der beiden Atome beschreiben, so müssen wir
die erhaltenen Lösungen für rM M P und u wieder zurück transformieren. Wir
müssen also die folgenden beiden Gleichungen nach r1 (t) und r2 (t) auflösen.
m1 r1 (t)+m2 r2 (t)
m1 +m2
= rM M P (t) = v0 t + x0 und r2 (t) − r1 (t) − r0 = u(t) =
A · cos (ωt + b)
Dazu lösen wir die 2. Gleichung nach r2 (t) auf und setzen diese in die ersten
1 (t)+r0 )
Gleichung ein. Wir erhalten dabei m1 r1 (t)+mm21(u(t)+r
= rM M P (t). Damit
+m2
2
(u(t)+r0 ).
berechnet sich die Position des Atoms 1 zu r1 (t) = rM M P (t)− m1m+m
2
In analoger Weise berechnet sich die Position des Atomes 2 zu r2 = rM M P (t) +
m1
m1 +m2 (u(t) + r0 )
Hinweis: In den höheren Semestern werdet ihr Schwingungsspektren von
Atomen betrachten und da werdet ihr immer wieder auf die letzte DGL treffen.