Digitale Signalübertragung – 3. Übung

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Nachrichtentechnik
Vodafone Stiftungslehrstuhl für
Mobile Nachrichtensysteme
Prof. Dr.-Ing. G. Fettweis
Digitale Signalübertragung – 3. Übung
3.1
Optimaler Empfang von NRZ-Impulsen (1)
Für den optimalen Empfang von NRZ-Impulsen (NRZ: No Return to Zero) wird anstelle
eines Kurzzeitintegrators (Integrate and Dump, I&D) mit Impulsantwort
(
1/τ 0 ≤ t ≤ T
hKZI (t) =
0
sonst
ein RC-Glied benutzt:
S1
R1
S2
C
w(t)
τ = R1 C ≫ R2 C
y(t)
R2
a) Erläutern Sie die Funktionsweise der angegebenen Schaltung!
b) Berechnen Sie allgemein den Verlust an Signal/Rauschverhältnis
 
dB
SNRloss
|y[kT ]|
σ

= 20 lg  |y[kT ]|
σ
RC-Glied
Kurzzeitintegrator

,
der durch die unvollkommene Integration eintritt, wobei y(kT ) die Amplitude des
Nutzsignals zu den Abtastzeitpunkten t = kT und σ der Effektivwert der vorausgesetzten AWGR-Störung mit der Rauschleistungsdichte N0 /2 ist.
c) Berechnen Sie den Verlust, wenn für die Impulsdauer T = 0, 7τ gilt.
d) Bei welchem Verhältnis T /τ ergibt sich der geringste Verlust an Signal/ Rauschabstand?
Lösung:
dB
b) SNRloss
= 20 lg
1 − e−t/τ
q 2τ T
,
dB
c) SNRloss
= −1, 40 dB,
1
d) T /τ = 1, 256
1.6
u(t)/A
1.4
w(t)
yKZI (t)
yRC (t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.5
0
0.5
1.5 t/T
1
2
Abbildung 1: Vergleich Kurzzeitintegrator und RC-Glied
Lösungsweg:
Allgemein gehen wir davon aus, dass zum Zeitpunkt t am Eingang des Kurzzeitintegrators
oder des RC-Glieds das Rechtecksignal
(
A 0≤t≤T
w(t) =
0 sonst
anliegt. Abbildung 1 zeigt dieses Signal. Das Signal kann durch zwei Sprungsignale 1(t),
1(t − T ) dargestellt werden: w(t) = A · 1(t) − A · 1(t − T ).
a) Für t < 0 ist der Kondensator entladen und beide Schalter sind geöffnet. Ab t = 0
wird der Kondensator C über den Widerstand R1 aufgeladen. Dabei nähert sich
die Spannung yRC (t) entsprechend der Exponentialfunktion A(1 − et/τ ) der Spannung A an. Abbildung 1 zeigt diesen Aufladevorgang. Zum Zeitpunkt t = T wird
die Aufladung beendet. Durch Schließen des Schalters S1 zum Zeitpunkt T wird der
Signalwert y[1 · T ] ausgelesen.
Bevor der Wert des nächste Impulswert ermittelt werden kann, wird der Kondensator C bei geschlossenen Schalter S2 über den Widerstand R2 sehr schnell entladen.
b)
• Kurzzeitintegrator
|y[kT ]| =
Z
T
0
hKZI (t) · w(t − u) du =
2
Z
T
0
1
1
A du = AT
τ
τ
N0
σ =
2
2
Z
∞
N0
|HKZI (f )| df =
2
−∞
|
2
Z
∞
N0 1
T
h2KZI (t) dt =
2 τ2
−∞
{z
}
nach Satz von Parseval
s
AT
|y[kT ]|
=
σ
τ
τ2
2
=
N0 T 1
s
2A2 T
=
N0
r
2E
N0
E = A2 T ist die Energie des Signals
• RC-Glied
hRC (t) = L
|y[kT ]| =
Z
−1
1
1
τ 1/τ + s
=
1 −t/τ
e
τ
T
0
hRC (t) · w(t − u) du =
Z
T
0
1 −t/τ
e
A du = A(1 − e−T /τ )
τ
Z
N0 ∞
|HRC (f )|2 df
σ =
2 −∞
Z
Z
2
1
N0 ∞ N0 ∞
1
df
=
df =
2 −∞ j2πf τ + 1
2 −∞ (2πf τ )2 + 1
2
mit 2πf τ = x und df =
N0 1
=
2
2 2πτ
Z
∞
|0
dx
2πτ
folgt
N0
N0 1 π
1
dx
=
=
x2 + 1
2 πτ 2
4τ
{z
}
arctan(x)|∞
0
|y[kT ]|
= A(1 − e−T /τ )
σ
dB
SNRloss

|y[kT ]|
σ

= 20 lg  |y[kT ]|
σ
r
4τ
N0

RC-Glied
Kurzzeitintegrator
= 20 lg (1 − e−T /τ )
r
2τ
T
!

 = 20 lg
dB
Abbildung 2 zeigt die Funktion SNRloss
.
c) Für T = 0, 7τ folgt:
dB
SNRloss
= 20 lg (1 − e
−0,7
)
r
2
0, 7
3
= −1, 4 dB
A(1 −
e−T /τ
q
2T
A N
0
)
q
4τ
N0
0
dB
SNRloss
−1
−2
−3
−4
−5
0
1
2
3
4
5 T /τ
6
Abbildung 2: Verlust an Signal/Rauschverhältnis
d) Ableitung von SNRloss und Bestimmung des Maximalwerts, siehe Abbildung 2 mitloss
tels d SNR
= 0, mit x = T /τ .
dx
r
√
2
d
− 2(ex −2x − 1) e−x !
d SNRloss
−x
q
=
A(1 − e )
=
=0
dx
dx
x
1 2
2
x
x
Erfüllt, wenn gilt:
0 = ex −2x − 1 →
ex
1
x
=
2
−1
gültig für x =
T
= 1, 256.
τ
dB
Daraus folgt SNRloss,max
= −0, 89094 dB
3.2
Signalangepasstes Empfangsfilter (1)
In dem in Abbildung 3 gegebenen Datenübertragungssystem werden Impulse empfangen,
die das 1. und 2. Nyquistkriterium erfüllen. Die Impulsrate beträgt r = 1/T . Gehen Sie
zunächst davon aus, dass die Datenquelle DQ Dirac-Impulse ausgibt.
a) Welches Spektrum H(f ) müssen die Impulse am Ausgang des Empfangsfilters H2 (f )
besitzen?
b) Wie lautet die Übertragungsfunktion des Empfangsfilters H2 (f ), wenn ein optimaler
Empfang mit einem signalangepassten Filter realisiert werden soll?
c) Wie lautet die Übertragungsfunktion des Sendefilters H1 (f ), wenn die Datenquelle DQ NRZ-Impulse ausgibt?
4
n(t)
DQ
H1 (f )
|
y(t)
H2 (f )
u(t)
{z
H(f )
}
Abbildung 3: Datenübertragungssystem
Lösungsweg:
P
k
a) 1. Nyquistkriterium ∞
k=−∞ |H(f − T )| = 1 (maximale vertikale Augenöffnung bei
t = kT )
P∞
k
k
2. Nyquistkriterium
k=−∞ (−1) |H(f − T )| = cos(πf T ) (maximale horizontale
Augenöffnung bei H(f ) = 0)
Für bandbegrenzte Signale, die beiden Filter verursachen die Bandbegrenzung, werden beide Nyquistkriterien nur durch den RC-Impuls mit α = 1 erfüllt:
(
2 π f
H0 cos 4 BN , |f | ≤ 2BN
|H(f )| =
0
sonst.
b) Für signalangepasste Filter (matched filter) gilt:
h2 (t) = h∗1 (t0 − t) → H2 (f ) = H1∗ (f ) e−j 2πf t0
|H(f )| = |H1 (f ) · H2 (f )| = |H2 (f )2 | da gilt:|H1 (f )| = |H2 (f )|
(√
π f
p
H0 cos 4 BN , |f | ≤ 2BN
somit folgt: |H2 (f )| = |H(f )| =
0
sonst.
Diese Funktion wird als Root-Raise-Cosine-Funktion (RRC-Funktion) bezeichnet.
Abbildung 4 zeigt das Amplitudenspektrum des RRC-Impulses (Sende- und Empfangsfilter) als auch des RC-Impulses (Gesamtsystem).
c) Für eine Datenquelle mit NRZ-Impulsen (Impulsbreite T =
Übung „Reale Eingangsimpulse und Nyquistkriterium“
HDQ (f ) =
A · T · sinc(πf T )
|
{z
}
·
e|−j{zπf T}
1
)
2BN
gilt entsprechend
,
symmetrischer Rechteckimpuls Verschiebung um T /2
somit ergibt sich für die Übertragungsfunktion H(f ) = HDQ (f ) · H1 (f ) · H2 (f ). Für
ein signalangepasstes Empfangsfilter gilt nun: |HDQ (f )||H1 (f )| = |H2 (f )|. Damit
folgt:

 ′ cos π4 BfN
|H2 (f )|
|H1 (f )| =
= H0 sinc(πf T ) , |f | ≤ 2BN
|HDQ (f )| 0,
sonst
mit H0′ =
√
H0
.
T ·A
Abbildung 4 ist dieses Amplitudenspektrum für H0′ = 0, 6 dargestellt.
5
RC-Impuls (|H(f )|)
RRC-Impuls (|H2 (f )|, |H1 (f )| ideal)
|H1 (f )| für NRZ-Impulse der Datenquelle
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−2
−1
0
1
2
f /BN
Abbildung 4: Beträge der Übertragungsfunktionen (H0 = 1, H0′ = 0, 5)
3.3
Bitfehlerwahrscheinlichkeit (1)
Gegeben ist das folgende Modell einer Datenübertragung im Basisband:
n(t)
u(t)
TP
y(t)
u(t) =
ˆ
d(k)
∞
X
k=−∞
d(k)hs (t − kT ),
y(t) = x(t) + n
e(t),
d(k) ∈ {0, 1}.
Das Sendesignal u(t) ist ein gleichverteiltes, unipolares Binärsignal und wird durch additives, weißes, gaußsches Rauschen (englisch: additive white gaussian noise, AWGN) mit
der Leistungsdichte N0 /2 gestört. Der Empfangstiefpass besitzt die Übertragungsfunktion
HE (f ) und gewährleistet ISI-Freiheit. Zu den Abtastzeitpunkten gilt für das unverrauschte Signal x(t), x(t0 + kT ) ∈ {0, A0 }. Die Entscheidungsschwelle γ des Komparators liegt
bei A0 /2.
a) Berechnen Sie allgemein die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb als Funktion des Verhältnisses A0 /σ (σ = Effektivwert des Rauschsignals am Tiefpassausgang).
b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einer Datenübertragung mit gleichverteilten, polaren Impulsen (d(k) ∈ {−1, 1}, γ = 0) und
stellen Sie die Funktion Pb = f (A0 /σ) für beide Fälle graphisch dar.
6
Lösung:
a) Pb = 1/2 1 − erf
2
A0
√
2σn
b) Pb = 1/2 1 − erf √A0
,
2σn
Lösungsweg:
Für die Verteilungsfuntion eines mit additiven weißen gaußchen Rauschen (AWGN) gestörten Signals gilt:
2
(y−E(y|dk ))
1
−
2
2σn
e
p(y|dk ) = √
.
2πσn
a) Abbildung 5(a) zeigt die Verteilungsfunktionen für die beiden Signale, sowie die
Fläche des zu berechnenden Integrals.
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb eine unipolren Binärsignals mit dem Schwellwert
γ = A0 /2 berechnet sich mit
Z
A0 /2
p(y|d1 ) dy + P (d0 )
Pb = P (d1 )
−∞
Z ∞
p(y|d0 ) dy,
=
Z
∞
p(y|d0 ) dy
A0 /2
A0 /2
1
wenn gilt: P (d0 ) = P (d
R 1∞) = 2 .
Unter der Bedingung −∞ p(y|dk ) dy = 1 folgt
Pb = 1 −
Z
|
0
−∞
p(y|d0 ) dy −
{z
}
1/2
1
= 1/2 − √
2πσn
mit der Substitution u =
Z
Z
A0 /2
e
A0 /2
p(y|d0 ) dy
0
−
y2
2
2σn
dy,
mit E(y|d0 ) = 0
0
√y
2σn
und dy =
√
2σn du erhalten wir
Z √A0
2 2σn
1
2
e−u du
Pb = 1/2 − √
π 0
A0
= 1/2 1 − erf √
2 2σn
b) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb eine polaren Binärsignals mit dem Schwellwert
γ = 0 berechnet sich mit
Z 0
Z ∞
Pb = P (d1 )
p(y|d1 ) dy + P (d−1 )
p(y|d−1 ) dy
−∞
0
7
PSfrag
1
p
p(y|d0 )
0.8
p(y|d1 )
Schwellwert
0.6
0.4
0.2
0
−2A0
1
p
0.8
0
−A0
A0
2A0
y
A0
2A0
y
(a) d0 und d1
p(y|d−1 )
p(y|d0 )
Schwellwert
p(y|d1 )
0.6
0.4
0.2
0
−2A0
0
−A0
(b) d−1 und d1
Abbildung 5: Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten
8
1
Pb
0.1
0.01
0.001
0.0001
10−5
10−6
Pb,unipolar
Pb,polar
−5
5
0
10
15
20
20lg(A0 /σn )
Abbildung 6: Bitfehlerwahrscheinlichkeiten
mit P (d1 ) = P (d−1 ) = 1/2 folgt
=
Z
∞
0
p(y|d−1 ) dy =
Z
∞
p(y|d0 ) dy,
A0
denn p(y|d0 ) entspricht dem um A0 verschobenen p(y|d−1 ), wie in Abbildung 5(b)
zu sehen ist. Somit erhalten wir
Z 0
Z A0
Pb = 1 −
p(y|d0 ) dy −
p(y|d0 ) dy
−∞
0
Z A0
2
1
− y2
2σ
e n dy
= 1/2 − √
2πσn 0
A0
= 1/2 1 − erf √
2σn
Abschließend sind in Abbildung 6 die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der beiden Übertragungsvarianten dargestellt. Der Abstand zwischen den Funktionen beträgt im mittleren
Bereich ca. 6 dB.
9