Quantenmechanik Prof. Wipf 2013

Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
Prof. Wipf 2013
(V, K) heißt Vektorraum ⇔ ∀a, ∀b ∈ V ; ∀λ, ∀µ ∈ K : a + b ∈ V , ∃0 ∈ V ∶ a + 0 = a, ∃[−a] ∈ V ∶ a + [−a] = 0,
[a + b] + c = a + [b + c], a + b = b + a, λ[a + b] = λa + λb, a[λ + µ] = aλ + aµ.
a1 , a2 , a3 ∈ V ∶ (a1 , a2 , a3 ) heißt Basis ⇔ a1 , a2 , a3 sind linear unabhängig (λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 = 0 ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = 0)
und erzeugend (span(a1 , a2 , a3 ) = V ).
∥ ⋅ ∥ heißt Norm ⇔
∥a∥ ≥ 0, ∥a∥ = 0 ⇔ a = 0, ∥λa∥ = ∣λ∣ ∥a∥, ∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥ .
l2 = {{ck }k∈N ∣ ∑ ∣ck ∣2 < ∞}
k
⟨⋅ , ⋅⟩ heißt Skalarprodukt ⇔ ⟨a , a⟩ ≥ 0, ⟨a , a⟩ = 0 ⇔ a = 0,
⟨a , λb + µc⟩ = λ ⟨a , b⟩ + µ ⟨a , c⟩ .
⟨a , b⟩ = ⟨b , a⟩ ,
∗
n
∥a∥p = [∑ ∣ai ∣ ]
Standardskalarprodukt im C : ⟨a , b⟩ =
Fourier: Φ̂(k) = ∫
∞
−∞
f ∈ L2 ⇔ ∫
Rn
∥f ∣L2 ∥ = [∫
∣f ∣2 dn x]
1
2
∗
⟨a , Ab⟩ = ⟨A† b , a⟩
∗ i
∑ ai b
i=1
∞
′
1
e− i k[x − x ] dk = δ(x − x′ )
∫
2π −∞
∞
2
√
e−x dx = π
∫
∞ dk
dx
√ e− i kx Φ(x) , Φ(x) = ∫
√ ei kx Φ̂(k) .
−∞
2π
2π
8πν 2
Planck’sches Strahlungsgesetz über Energiedichte im Hohlraum: ρ(T, ν) = 3
c
Wien’sches Verschiebungsgesetz: νmax = dT
, d = 2,8221 khB
Energiedichte im Hohlraum:
π 2 k4
̵ 3
15 [hc]
Photoeffekt:
,p≥1
∣f ∣2 dn x < ∞
Rn
n
u = aT 4 , a =
1
p
i=1
Gilt die Parallelogrammgleichung (∥a + b∥2 + ∥a − b∥2 = 2 [∥a∥2 + ∥b∥2 ]),
so kann die Norm durch ein Skalarprodukt definiert werden.
n
p
−∞
hν
⟨a∣† = ∣a⟩
−1 [⟨a∣AB∣b⟩] = ⟨b∣B † A† ∣a⟩
unitär: U † = U −1
selbstadjungiert: U † = U
∗
hermitesch: ⟨b∣U ∣a⟩ = [⟨a∣U ∣b⟩]
hν
e kB T
∗
hν = Ekin,e− − Waustritt .
Compton-Streuung:
λ′ − λ =
h
m0 c
[1 − cos(θ)] mit der Compton-Wellenlänge λC =
Σ in x-Richtung relativ bewegt zum ruhenden Σ0 : t = γ1 t0 +
̵ k⃗ , E = hω
̵
De Broglie: p⃗ = h
, λ=
h
2m0 Ekin
vx
c2
h
.
m0 c
, x = γ1 x0 + vt , y0 = y , z0 = z , γ =
.
√ 1
2
1− vc2
.
Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante:
e2
1
α = hc
̵ ≈ 137,036
Elektronen-Ruhemasse:
Bohr’sche Postulate:
E0 = me c2 ≈ 0,51 MeV
1. Für jedes Atom existieren stationäre Zustände, in denen das Atom nicht strahlt.
Änderung der Energie eines Atoms sind nur durch einen Übergang zwischen stationären Zuständen möglich.
2. Die Frequenz der beim Übergang zwischen zwei stationären Zuständen ausgestrahlten bzw. absorbierten Wellen
genügt der bedingung hν = Em − En .
Bohrscher Radius:
Einstein-Koeffizienten:
Atom mit Zuständen k und l (El > Ek ), Anzahl Nl/k =
- Abosrption:
- induzierte Emission:
- spontane Emission:
0,529 Å
2
E
− l/k
e kB T
Rydberg-Energie: −Ry = − α2 me c2 ≈ −13,6 eV
, in einem Strahlungsfeld der Dichte ρ(ν, T ); dann
absorp
Ṅkl
= Bkl Nk ρ(T, ν),
ind
Ṅlk = Blk Nl ρ(T, ν),
spont
Ṅlk
= Alk Nl .
Über Rayleigh-Jeans, Taylor in 1. Ordnung bzgl.
ν
T
und Grenzwertbetrachtungen folgt: Blk = Bkl ,
Alk
ν3
= 8πh 3 .
Bkl
c
Grundannahmen (der nicht-relativistischen Quantenphysik):
⃗) d3 x [w̃(t, p⃗) d3 p]
Für jeden Zustand eines Teilchens kann man zu jedem Zeitpunkt [∆t = 0] eine Wahrscheinlichkeit w(t, x
dafür angeben, bei einer Messung des Teilchenortes [Teilchenimpulses] diesen innerhalb einer kleinen Umgebung des
⃗ [Impulses p⃗] im Volumen d3 x [d3 p] zu finden. Zu jedem Zeitpunkt muss die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen
Ortes x
irgendwo [mit irgendeinem Impuls] zu finden, gleich Eins sein: ∫
1
R3
⃗) d3 x = 1
w(t, x
[∫
R3
w̃(t, p⃗) d3 p = 1]
∀t.
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⃗) d3 x
⟨f (⃗
x)⟩t = ∫ f (⃗
x) w(t, x
Mittelwerte:
Materiewellen:
⃗) = κ ∫
Ψ(t, x
Umkehrtransformation:
Rd
⟨f (⃗
p)⟩t = ∫ f (⃗
p) w̃(t, p⃗) d3 p .
,
Et
, mit Ψ̃(t, p⃗) = ψ̃( hp̵⃗ ) e− i h̵
⃗x
p⃗
ψ̃(t, p⃗) ei h̵ dd p
⃗x
p⃗
⃗) e− i h̵ dd x
Ψ̃(t, p⃗) = κ′ ∫Rd ψ(t, x
,
w̃(t, p⃗) = ∣ψ̃(t, p⃗)∣2 ;
⃗)∣2 d3 x = 1 = ∫ ∣ψ̃(t, p⃗)∣2 d3 p .
∫ ∣ψ(t, x
mit der Normierungsbedingung:
⟨⃗
x⟩t =
d
d Konvention
und κκ′ = [ 2π1h̵ ] ÐÐÐÐÐÐ→ κ = κ′ = [ 2π1h̵ ] 2
⃗) = ∣ψ(t, x
⃗)∣2
w(t, x
Wahrscheinlichkeitsinterpretation:
;
Plancherel: ∫R3 f ∗ (⃗
x) g(⃗
x) d3 x = ∫R3 f˜∗ (⃗
p) g̃(⃗
p) d3 p
F(ϕ ⋅ ψ) = F(ϕ) ∗ F(ψ)
1
⟨⃗
p⟩t=0 t + ⟨⃗
x⟩t=0
m
Schrödinger-Gleichung für ein freies, nicht-relativistisches Teilchen:
̵
ih
Es gilt:
̵2
∂
h
⃗) = −
⃗)
Ψ(t, x
∆Ψ(t, x
∂t
2m
⃗) ∀⃗
⃗0 ) ∀t bekannt → Ψ(t, x
⃗) ∀t, ∀⃗
1. Ψ(t0 , x
x oder Ψ(t, x
x determiniert.
⃗) Lösung ⇒ auch ΨT (t, x
⃗) = Ψ∗ (−t, x
⃗) Lösung der Schrödinger-Gleichung.
2. Ψ(t, x
⃗′ = x
⃗ + v⃗t, t′ = t, Ψ′ (t′ , x
⃗′ ) Lösung in I ′ ⇒
3. Galilei-Kovarianz der Schrödinger-Gleichung: x
⃗) Ψ′ (t′ , x
⃗
vx
⃗′ )
⃗) = Et−m⃗
, ist Lösung in I.
Ψ(t, x) = e− i Φ(t, x
, mit Φ(t, x
̵
h
⃗ − y⃗) heißt „Propagator“/„Kern“):
Die allgemeine Lösung (aufgrund der Linearität der Schrödingergleichung; K0 (t, x
2
d
⃗) = ∫
Ψ(t, x
Rd
⃗ − y⃗) Ψ0 (y) dd y
K0 (t, x
β
⃗) ≤ d
⇒ w(t, x
t
Korrespondenzregeln:
mit
⃗ − y⃗) = [
K0 (t, x
m[⃗
x−⃗
y]
2
m
̵
.
] ei 2ht
̵
2π i ht
K(t + t′ ) = K(t) ∗ K(t′ )
, β = const. .
⃗) Ô Ψ(t, x
⃗) dd x
⟨O⟩ = ∫Rd Ψ∗ (t, x
Observable
Ort
Impuls
Energie
q(t)
klassisch
⃗
x
p⃗
E
Klassisch galt: S(t, q, t0 , q0 ) = ∫q(t0 ) L(s, q(s), q̇(s)) ds; mit der Hamilton-Jacobi-Gleichung:
⇓
Ortsraum
ˆ⃗ = x
⃗
x
̵
ˆ
p⃗ = hi ∇x
̵ t
Ê = i h∂
∂S
∂t
Impulsraum
̵ p
ˆ⃗ = i h∇
x
ˆ
p⃗ = p⃗
̵ t
Ê = i h∂
+ H(t, q, ∇q S) = 0.
Wellengleichung für ein nicht-reletivistisches Teilchen in Potential V :
Seien V ein schwach variierendes Potential [F⃗ (⃗
x) = −∇V (⃗
x) , mit ∇p̂ ≈ 0], q̂ generalisierte Koordinaten, p̂ generalisiserte
p̂ 2
Impulse und H die Hamilton-Funktion H(q̂, p̂) =
+ V (q̂), dann:
2m
̵ t Ψ(t, q̂) = H(t, q̂, p̂)Ψ(t, q̂)
i h∂
Et
Ist Ĥ = H(p, q) zeitunabhängig (stationär), E die Energie des Systems und Ψ(t, q) = Ψ(q) e− i h̵ , so erhält man die
zeitunabhängige Schrödingergleichung:
EΨ(q) = H(q̂, p̂)Ψ(q)
2
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2
mω 2 2
q
2
⃗
S(t,⃗
x,y)
̵
h
p
+
Harmonischer Oszillator: H(p, q) = − 2m
d
2
⃗, y⃗) = [ 2π i h̵mω
K(t, x
] ei
sin(ωt)
Mehrteilchensysteme:
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⃗) = ∫ dd y K(t, x
⃗, y⃗) Ψ0 (⃗
⇒ Ψ(t, x
y)
S=
und
mω
2 sin(ωt)
mit:
[[⃗
x2 + y⃗2 ] cos(ωt) + 2⃗
xy⃗] .
̵ t Ψ = ĤΨ
ih∂
⃗1 , . . . , x
⃗n )
Ψ = Ψ(t, x
⃗ Φ Potentiale): Ĥ = ∑k [ −
Elektromagnetische äußere Felder (A,
̵2
h
2mk
2
Qk ⃗
[∇k − i hc
⃗k )] + V (⃗
⃗n ) .
⃗k )] +Qk Φ(t, x
x1 , ..., x
̵ A(t, x
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⃗ („kovariante Ableitung“)
D
Selbstwechselwirkungspotential
Wahrscheinlichkeitskontinuitätsgleichung (sofern Potential in SG V ∈ R; ⃗ Wahrscheinlichkeitsstromdichte):
∂w
+ ∇⃗
=0
∂t
tE
̵
̵2
h
h
∆ + V ergibt sich ⃗ = m
Im (Ψ∗ ∇Ψ) und somit Ψ ∈ R ⇒ ⃗ = 0 bzw. Ψ = Ψ(⃗
x) e− i h̵ ⇒ ∇⃗
[Für Ĥ = − 2m
 = 0.
̵2 ⃗ 2
̵
h
h
∗ ⃗
(Ψ
⃗
Im
Für Ĥ = − ∑k 2m
D
+
V
ergibt
sich

=
D
Ψ)]
∑k m k
k
k
k
Das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren:
w1 , . . . , wn seien linear unabhängige Vektoren, dann konstruiert folgende Vorschrift n orthogonale Vektoren v1 , . . . , vn :
⟨vj , wi ⟩
vj
j=1 ⟨vj , vj ⟩
i−1
∀i = 1, . . . , n
vi = wi − ∑
Schwarz’sche Ungleichung: ∣ ⟨Φ , Ψ⟩ ∣ ≤ ∥Φ∥ ∥Ψ∥ .
Dreiecks-Ungleichung: ∥Φ + Ψ∥ ≤ ∥Φ∥ + ∥Ψ∥ .
Ein Prähilbertraum ist ein Vektorraum H mit einem Skalarprodukt ⟨⋅ , ⋅⟩.
Konvergiert zudem jede Cauchy-Folge in H [→ H ist „vollständig“ bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten
Norm], so heißt H Hilbertraum.
2
∥Ψ∥ = ∫C Ψ∗ Ψ dd x ist Norm bezüglich Äquivalenzklassen.
H heißt separabel: ∃ eine abzählbare Basis {Ψn }.
⇒
Φ=
cn
dim(H) ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
dim(H)
2
∑ ⟨Φ , Ψn ⟩ Ψn
, Φ ∈ H ; ∥Φ∥ =
n=1
2
∑ ∣cn ∣ .
n=1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
lineare, isometrische [längenerhaltende, umkehrbare] Abbildung
Satz: Jeder separable Hilbertraum ist isomorph zu Cdim(H) [dim(H) < ∞] oder l2 [dim(H) = ∞].
2
2
[Für allgemeine Mehrteilchensysteme in beliebigen Koordinatensystemen gilt: ∥Ψ∥ = ∫C df q µ(q) ∣Ψ(q)∣
µ(q) > 0 Gewichtsfunktion.]
Direkte Summe von Hilberträumen:
H, K Unterräume von H̃; H + K = {Φ + Ψ ∣Φ ∈ H, Ψ ∈ K} heißt Summe; gilt H ∩ K = {0} , so schreibt man
H ⊕ K - direkte Summe.
Skalarprodukt: ⟨(Φ, Ψ) , (Φ′ , Ψ′ )⟩H⊕K = ⟨Φ , Φ′ ⟩H + ⟨Ψ , Ψ′ ⟩K
{en } Basis von H, {fm } Basis von K ⇒ {en } ∪ {fm } ist Basis von H ⊕ K.
Tensorprodukt von Hilberträumen:
{en } Basis von H, {fm } Basis von K ⇒ en ⊗ fm Basis in H ⊗ K ; dim(H ⊗ K) = dim(H) dim(K).
Φ = ∑ cn en ∈ H, Ψ = ∑ dm fm ∈ K, Φ ⊗ Ψ = ∑n,m cn dm [en ⊗ fm ] ∈ H ⊗ K
n
m
Skalarprodukt: ⟨Φ ⊗ Ψ , Φ′ ⊗ Ψ′ ⟩H⊗K = ⟨Φ , Φ′ ⟩H ⟨Ψ , Ψ′ ⟩K
Ψ̃ ∈ H ⊗ K, Ψ ∈ H, Φ ∈ K ∶ Ψ̃ = Ψ ⊗ Φ ⇔ Ψ̃ „separabel“
3
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Lineare Operatoren:
 heißt linear, wenn für beliebige α, β ∈ C und Vektoren Φ, Ψ in einem Definitionsbereich DA ⊂ H von  gilt:
Â[αΦ + βΨ] = αÂΦ + β ÂΨ
Sei nun (Ψn ) eine orthonormale Basis in H, so gilt: A = (amn ), mit amn = ⟨Ψm , ÂΨn ⟩ ←→ Â.
Dies ist äquivalent zu: Ψ′ = ∑m c′m Ψm = ÂΨ = Â ∑n cn Ψn = ∑nm cn Ψm amn ⇒ c′m = ∑n amn cn .
⇔ c⃗′ = (amn )⃗
c
Ist dim H = ∞ , so kann ÂΨ ∉ H liegen; Â heißt dann unbeschränkt.
⇒ DA ⊂ H entsprechend wählen, so dass  darauf beschränkt ist!
Die Menge der linearen, beschränkten Operatoren bildet eine normierte Algebra über C.
[[ + B̂]Ψ = ÂΨ + B̂Ψ, [αÂ]Ψ = α[ÂΨ] [→ Vektorraum], ∥ÂΨ∥ ≤ CA ∥Ψ∥
∀Ψ ∈ DA ⊂ H [→ beschränkt],∥Â∥ ∶= sup
∥ÂΨ∥
∥Ψ∥
[→
Norm],∥ + B̂∥ ≤ ∥A∥ + ∥B∥ , [ÂB̂]Ψ = Â[B̂Ψ], [ + B̂]Ĉ = ÂĈ + B̂ Ĉ, Â[B̂ + Ĉ] = ÂB̂ + ÂĈ, α[ÂB̂] = [αÂ]B̂ = Â[αB̂] [→ Algebra],
∥ÂB̂∥ ≤ ∥Â∥ ∥B̂∥]
Kommutator von Operatoren:
Er ist antisymmetrisch:
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
[Â, B̂] = − [B̂, Â],
erfüllt die Jacobi-Identität:
[Â, [B̂, Ĉ]] + [Ĉ, [Â, B̂]] + [B̂, [Ĉ, Â]] = 0,
und es gilt die Derivations-/ :
[Â, B̂ Ĉ] = B̂ [Â, Ĉ] + [Â, B̂] Ĉ
Produktregel
[ÂB̂, Ĉ] = Â [B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ] B̂
̵ ∂ Â(x̂, p̂)
[x̂i , Â(x̂, p̂)] = i h
∂ p̂i
̵ ∂ Â(x̂, p̂)
[p̂i , Â(x̂, p̂)] = − i h
∂ x̂i
Dirac-Notation:
Ψ ∈ H über C Ð→ ∣Ψ⟩ „Ket“
H′ dualer Raum (der Vektorraum der linearen Abbildungen von H nach C) zu H Ð→ ⟨Ψ∣ „Bra“
Skalarprodukt: ⟨Φ , Ψ⟩ Ð→ ⟨Φ ∣ Ψ⟩
H und H′ sind isomorph:
∣Ψ⟩
F
→
→
FΨ
∣ΨF ⟩
„⟨bra∣c∣ket⟩“
FΨ (Φ) = ⟨Ψ ∣ Φ⟩ ∶ ∀Φ ∈ H
⟨ΨF ∣ Φ⟩ = F (Φ) ∶ ∀Φ ∈ H
∥FΨ ∥ = sup ∣FΨ (Φ)∣ = ∥Ψ∥ [längenerhaltend] , FΦ+Ψ = FΦ + FΨ , FαΨ = α∗ FΨ [antilinear] , ⟨Ψ ∣ Φ⟩ = FΨ (Φ) = ⟨Ψ , Φ⟩.
∥Ψ∥=1
Tensorprodukt von Operatoren:
H = U ⊗ V , Â ∶ U → U , B̂ ∶ V → V : [Â ⊗ B̂][∣Φ⟩ ⊗ ∣Ψ⟩] = [Â ∣Φ⟩] ⊗ [B̂ ∣Ψ⟩]
⎛a11 B
⎜a B
 ⊗ B̂ ⇔ (apm bqn ) ⇔ „⎜ 21
⎜ ⋮
⎝
a12 B
⋱
...
Projektion: P̂Ψ = ∣Ψ⟩⟨Ψ∣
⟨Φ + Ψ∣ = ⟨Φ∣ + ⟨Ψ∣
∣Φ⟩ = Â∣Ψ⟩ ⇒ ⟨Φ∣ = ⟨Ψ∣†
⟨αΨ∣ = α∗ ⟨Ψ∣
⎞
⎟
⎟“
⎟
⎠
Addition: Â + B̂ = Â ⊗ 1V + 1U ⊗ B̂
Der zu  adjungierte Operator A† ist definiert durch: ⟨Φ, ÂΨ⟩ = ⟨† Φ, Ψ⟩ .
Rechenregeln: [ + B̂]† = † + B̂ † , [αÂ]† = α∗ † , [† ]† =  , [ÂB̂]† = B̂ † † .
Hermitesche Operatoren [„selbstadjungiert“]:  = †
; diese können diagonalisiert werden, Eigenfunktionen bilden [vollständige] orthogonale [orthonormierbare] Basis im H,
Eigenwerte sind reell.
Kommutierende Operatoren: Â, B̂ selbstadjungiert und [Â, B̂] = 0 .
Â, B̂ diagonalisiserbar, haben gleiche Eigenvektoren und somit eine gemeinsame Eigenbasis in H.
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Spektralzerlegung von selbstadjungierten Operatoren:
Diskret:
EV
ª ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
Eigenvektoren von Â: Â ∣an , ξ⟩ = an ∣an , ξ ⟩
®
EW
bei Entartung⇔mehreren EV zu einem EW
⇒ P̂n ∣Ψ⟩ = ∑ξ ⟨an , ξ∣Ψ⟩ ∣an , ξ⟩
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
; P̂n = ∑ξ ∣an , ξ⟩⟨an , ξ∣ projeziert auf Unterraum P̂n H
aufgespannt von EVen zu EW an .
; Eigenschaften: P̂n† = P̂n , P̂n2 = P̂n , P̂n P̂m = δnm P̂n = P̂m P̂n , 1 = ∑n P̂n .
cn,ξ
f (Â)P̂n = f (an )P̂n
Kontinuierlich:
Eigenvektoren von Â: Â ∣a⟩ = a ∣a⟩
[ ∣a⟩ ∉ H ]
; P̂ (a) = ∣a⟩⟨a∣
⇒ P̂ (a) ∣Ψ⟩ = ⟨a∣Ψ⟩ ∣a⟩
²
c(a)
Damit gilt:
∣Ψ⟩ = ∑n cn ∣an ⟩ + ∫ da c(a) ∣a⟩
⟨Ψ∣ = ∑n ⟨an ∣ c∗n + ∫ da ⟨a∣ c∗ (a) ;
wobei: ⟨an ∣am ⟩ = δnm , ⟨a∣b⟩ = δ(a − b) , ⟨an ∣b⟩ = 0 .
1 = ∑n ∣an ⟩⟨an ∣+∫ da ∣a⟩⟨a∣
2
∥Ψ∥ = ⟨Ψ∣Ψ⟩ = ∑n ∣cn ∣2 + ∫ da ∣c(a)∣2
Û heißt isometrisch ⇔ ⟨Û Φ, Û Ψ⟩ = ⟨Φ, Ψ⟩ = ⟨Û † Û Φ, Ψ⟩
 ist invertierbar, wenn  bijektiv ist.
Unitäre Operatoren:
Satz:
Û = ei Â
[ Û † = Û −1 , ∣EW∣ = 1 ]
Û ist isometrisch und invertierbar.
[Â hermitesch, Û unitär] .
 = ∑n P̂n , ei  = ∑n ei an P̂n
 und Û sind dann gleichzeitig diagonalisierbar [∃ÛA ∶ ÛA ÂÛA−1 = D̂A , ÛA Û ÛA−1 = D̂U ] und kommutieren [[Û , Â] = 0].
Ähnlichkeitstransformation: Â selbstadjungiert, Û ,V̂ unitär ⇒ V̂ ÂV̂ −1 auch hermitesch, V̂ Û V̂ −1 auch unitär.
Die Postulate der Quantenmechanik - Kopenhagener Deutung:
1. Der Messaparatur für eine Observable entspricht ein linearer selbstadjungierter Operator.
2. Einem reinen Zustand des Systems entspricht ein Strahl im Hilbertraum H:
RΨ = {λ∣Ψ⟩ ∣ λ ∈ R/{0}} .
3. Eine Messung entspricht einer Wechselwirkung zwischen System und Apparatur.
4. Die möglichen Messergebnisse sind die Eigenwerte des der Observablen entsprechenden selbstadjungierten
Operators.
5. Die Warhscheinlichkeit dafür, für ein System im Zustand ∣Ψ⟩ für eine Observable  ein Messresultat im Intervall
∆ ⊂ R zu finden, ist:
wÂ,Ψ (∆) = ⟨Ψ∣P̂∆ ∣Ψ⟩
P̂an [Â], P̂bm [B̂] heißen „verträgliche Observablen“ ⇔ [∣Ψ⟩ beliebiger Anfangszustand, ∀an , bm ∶]
P̂an P̂bm P̂an ∣Ψ⟩ = P̂bm P̂an ∣Ψ⟩
oder
P̂an P̂bm = P̂bm P̂an
oder
[Â, B̂] = 0.
Präparation eines reinen Zustands:
an
bm
co
kw
∣Ψ⟩ Ð→ P̂an ∣Ψ⟩ Ð→ P̂bm P̂an ∣Ψ⟩ Ð→ . . . Ð→ P̂kw . . . P̂bm P̂an ∣Ψ⟩ = ∣kw . . . bm an ⟩
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
bis Zustand des Systems eindeutig [bis
Quantenzahlen
auf komplexen Vorfaktor]; die Opperatoren müssen dabei paarweise kommutieren.
Mittelwert: ⟨Â⟩Ψ = ⟨Ψ∣Â∣Ψ⟩
Abweichung: ∆ =  − ⟨Â⟩Ψ 1
5
Varianz: ⟨[∆Â]2 ⟩Ψ = ∥∆Â∣Ψ⟩∥
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Eine Observable  heißt scharf : ⟨[∆Â]2 ⟩Ψ = 0
Allgemeine Unschärferelation:
[Â hermitesch ⇒
Â∣Ψ⟩ = ⟨Â⟩Ψ ∣Ψ⟩ [⇒ EW,EV]].
Â,B̂ hermitesch
2
i
⟨[∆Â]2 ⟩Ψ ⟨[∆B̂]2 ⟩Ψ ≥ ⟨ [Â, B̂]⟩Ψ
2
⇒ ⟨[∆x̂i ]2 ⟩Ψ ⟨[∆p̂j ]2 ⟩Ψ ≥
̵2
h
δ
4 ij
tr (Â) = ∑n ⟨n∣Â∣n⟩
[für alle Orthonormalbasen {∣n⟩}]
tr (α + β B̂) = α tr (Â) + β tr (B̂)
Gemischte Zustände:
⟨Â⟩Ψ = tr (ÂPΨ )
Mischen von N Gesamtheiten [identische Kopien von Etwas] mit relativen Häufigkeiten λn , dann heißt „Gemisch“/„StaN
tistischer Operator“/„Dichtematrix“:
ρ̂ = ∑ λn P̂n .
n=1
Mit tr (ρ̂) = 1 , ρ̂ = ρ̂ , ρ̂ ≥ 0 .
†
Die Wahrscheinlichkeit, einen Zustand zu Eigenwerten in ∆ zu finden, beträgt dann: wA,ρ (∆) = tr (P̂A ρ̂) .
ρ̂ heißt rein ⇔ tr (ρ̂2 ) = 1 ⇔ ρ̂2 = ρ̂ ⇔ ∃j ∈ {1, 2, . . . , N } ∶ ∀i ∈ {1, 2, . . . , N } ∧ i ≠ j ∶ λi = 0 ∧ λj = 1.
ρ̂ nicht rein ⇔ tr (ρ̂2 ) < 1
Zeitentwicklung abgeschlossener Systeme:
̵ d ∣Ψ(t)⟩ = Ĥ∣Ψ(t)⟩ .
Präparation zu t0 : ∣Ψ(t0 )⟩ ; danach als abgeschlossenes System: i h
dt
⇒ ∣Ψ(t)⟩ = Û (t, t0 ) ∣Ψ(t0 )⟩
Û heißt „Zeitentwicklungsoperator“/„Propagator“/„Evolutionsoperator“; er ist [nach Wahrscheinlichkeitserhaltung!] unitär.
Û (t, t0 ) = Û (t, t1 ) Û (t1 , t0 )
Basen:
System mit N Zuständen, H, Basis { ∣n⟩ }n=1,...,N , ∣Ψ(t)⟩ = ∑N
n=1 cn (t) ∣n⟩ , dann wird die Schrödinger-Gleichung zu:
d
̵ c(t) = H c(t)
ih
dt
t − t0
− i Ĥ ̵
h c(t0 ) = Û (t − t0 ) c(t0 )
Lösung [Ĥ zeitunabhängig]:
c(t) = e
̵ d Û = Ĥ Û ].
Auch Û (t) erfüllt dann die Schrödingergleichung [i h
dt
Basiswechsel:
∣n⟩ = ∑n smn ∣m⟩ ′ , c′ = Sc , H ′ = SHS −1 [S = (smn )].
t−t0
In Eigenbasis { ∣En ⟩ } [Ĥ ∣En ⟩ = En ∣En ⟩ ] folgt: cn (t) = e− i En h̵ cn (t0 ) = Û (t − t0 )∣n En
[Caley-Hamilton]
Satz:
M ∈ Mat(n, n, C), PM (λ) = det(λ 1 − M ) = λn − tr (M ) λn−1 + . . . + [−1]n det(M ) wobei PM (M ) = 0
⇒
∀n ∶ M n = f (1, M, . . . , M n−1 )
; somit im Endeffekt M n darstellbar ist als Linearkombination von M und 1.
Ist Ĥ nicht zeitunabhängig, so entwickelt man Û in eine Potenzreihe bezüglich der Eigenbasis von Ĥ:
∞
Û (t, t0 ) = ∑ Û (n) (t, t0 )
, Û (n) ∈ O(Ĥ n+1 )
[Dyson’sche Reihe]
n=0
t
t
1 ∞
1
Aus der SG für Û ergibt sich: U (t, t0 ) = 1 + ̵ ∫ dt′ Ĥ(t′ ) Û (t′ , t0 ) = 1 + ̵ ∑ ∫ dt′ Ĥ(t′ ) Û (n) (t′ , t0 ) .
i h t0
i h n=0 t0
6
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
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t
1
Aus dem Vergleich der Glieder mit Potenzen in Ĥ folgt: Û (n) (t, t0 ) = ̵ ∫ dt′ Ĥ(t′ ) Û (n−1) (t′ , t0 )
i h t0
mit Û (0) = 1.
t
t1
tn−1
1 n t
1 1 n t
⇒ U (n) (t, t0 ) = [ ̵ ] ∫ dt1 ∫ dt2 . . . ∫
dtn Ĥ(t1 )Ĥ(t2 ) . . . Ĥ(tn ) =
[ ̵ ] ∫ dt1 . . . ∫ dtn T (Ĥ(t1 ) . . . Ĥ(tn ))
ih
n! i h
t0
t0
t0
t0
t0
t
dt′ Ĥ(t′ )
−i
).
Die Dyson’sche Reihe lässt sich daher wie folgt formulieren: Û (t, t0 ) = T (e h̵ ∫t0
Â(t1 ) B̂(t2 )
B̂(t2 ) Â(t1 )
Zeitordnungsoperator: T (Â(t1 ) B̂(t2 )) = {
, t1 > t2
, t1 < t2
; er ist linear.
Bilder der Quantenmechanik:
- Schrödinger-Bild:
• Â ohne äußere Einflüsse zeitunabhängig, ∣Ψ⟩ i.A. zeitabhängig.
̵ d ∣Ψ(t)⟩ = Ĥ ∣Ψ(t)⟩ .
• Schrödinger-Gleichung: i h
dt
- Heisenberg-Bild:
•
AH (t) = Û −1 (t, t0 ) Â Û (t, t0 )
• ⟨Â⟩t = ⟨ΨH ∣ Â ∣ΨH ⟩
,
,
∣ΨH ⟩ = ∣Ψ(t0 )⟩ = Û −1 (t, t0 ) ∣Ψ(t)⟩ .
[Ân ]H = [ÂH ]n
,
[f (Â)]H = f (ÂH ) .
[⇒ [Â, B̂] = 0 ⇔ [ÂH , B̂H ] = 0]
̵ d ÂH = [ÂH (t), ĤH (t)] + i h[
̵ ∂ Â]H
• Heisenberg’sche-Bewegungsgleichung: i h
dt
∂t
• Ehrenfest-Gleichung:
̵ d Â⟩
i h⟨
dt
=
̵ ∂ Â]⟩
⟨[Â(t), Ĥ(t)]⟩ + i h⟨[
∂t
.
.
Beispiele:
d
dt
⟨q̂i ⟩ = ⟨ ∂∂ p̂Ĥ ⟩t
,
i
d
dt
⟨p̂i ⟩ = − ⟨ ∂∂ q̂Ĥ ⟩t .
i
⇒ Ist Ĥ höchstens quadratisch in q̂ bzw. p̂, so sind die Ehrenfest-Gleichungen mit den klassischen gleich.
[ ⟨â⟩ 1 = ⟨â1 ⟩ ]
- Wechselwirkungs-Bild:
i
!
, Ĥ0 ≫ V (t) ∶ ∀t
Ĥ(t) = H0 + V (t) , Û0 (t, t0 ) = e−Ĥ0 h̵ [t − t0 ]
AW (t) = Û0−1 (t, t0 ) Â Û0 (t, t0 )
,
∣ΨW (t)⟩ = Û0−1 (t, t0 ) ∣Ψ(t)⟩ .
̵ d ∣ΨW ⟩ = V̂W (t) ∣ΨW (t)⟩
̵ d ∣ÂW (t)⟩ = [ÂW , Ĥ0W ] + i h[
̵ ∂ Â]W .
• 1. & 2. Diracgleichung: i h
,
ih
dt
dt
∂t
•
• Streuprozess: Ŝ:
t
−i
dt′ V̂W (t′ )
∣ΨW (t)⟩ = S(t, t0 ) ∣ΨW (t0 )⟩ = T (e h̵ ∫t0
);
Streumatrix / Streuoperator: Ŝ = limt→∞,t0 →−∞ Ŝ(t, t0 )
0=
; Ŝ † = Ŝ −1 .
d
[Û −1 Û ]
dt
d
d
= [ dt
Û −1 ]Û + Û −1 [ dt
Û ]
⟨Â(t)⟩t = const. ∀t ⇒ Â heißt „Erhaltungsgröße“ / „Konstante der Bewegung“.
Linearkombination, Produkt und Kommutator von Erhaltungsgrößen ist wieder eine Erhaltungsgröße.
Eindimensionale Quantensysteme:
̵2
!
′∗
b !
h
Potential V ∈ R [EW der SG reell] , hermitesche Randbedingungen: ⟨Φ ∣ HΨ⟩ − ⟨HΦ ∣ Ψ⟩ = − 2m
[Φ∗ Ψ − Φ Ψ]∣ = 0
a
, auf Intervall [a, b].
′
Realität: alle Lösungen der SG können reell gewählt werden [Ĥ ∣Ψ⟩ = E ∣Ψ⟩ mit E ∈ R → Ψ in Real- und Imaginärteil
separabel].
Regularität: V (x) stetig ⇒ Ψ(x) stetig.
Parität: ΨP (x) ∶= Ψ(−x) ist nun V (x) zusätzlich gerade und b = −a, so: ΨP erfüllt die gleiche SG wie Ψ.
⇒ Ψ kann gerade [Ψ + ΨP ] oder ungerade [Ψ − ΨP ] gewählt werden; ist E nicht entartet, so gilt dies automatisch.
7
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
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Wronski-Determinante: W (Φ, Ψ) = det( ΦΦ′
Knotensatz:
Ψ
)
Ψ′
1. Φ, Ψ seien Lösungen der SG mit EΨ > EΦ , dann liegt zwischen zwei Knoten von Φ mindestens ein Knoten von Ψ.
2. Nimmt die Energie eines Zustandes zu, so wandern dessen Knoten enger zusammen.
Der n-te angeregte Zustand hat genau n Knoten im Intervall [und u.U. 2 an den Randpunkten].
E
Bewegen sich die Flächen konstanter Phase nach rechts/links, so heißt die Welle [z.B.: e− i[ h̵ t − /+kx] ] „nach rechts/links
laufende Welle“.
Eindimensionale Potentialstufe [a → ∞]:
E>V
Ψ(t, x) = e− i
E<V
E
Ψ(t, x) = e− i h̵ t ∫
E
̵ t
h
∞
∫
0
∞
0
⎧
⎪
⎪
⎪
√dk f (k) ⎨
2π
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
dk
√ f (k) ⎨
2π
⎪
⎪
⎪
⎩
V
ei kx + k−k
e− i kx
k+k′
′
,x < 0
ei k x
V0
Ψin
′
2k
k+k′
,x > 0
ei kx + e− i kx − 2 i δ
e−κ x
x
a
0
,x < 0
′
2k
k+i κ′
mit der Energie der einfallenden Welle: E =
,x > 0
̵ 2 k2
h
2m
=
̵ 2 k′
h
2m
2
+V
mit κ′ = − i k ′ und
k−i κ′ !
=
k+i κ′
e− i 2δ .
Für E < V [Totalreflexion] gibt es einen Zeitversatz zwischen Ankommen und Reflexion des Wellenpakets [
2
̵
0
, T0 = p2m
] und einen evaneszenten Verlauf in die Stufe.
t0 = √ h
T0 [V −T0 ]
Potentialwall: [a < ∞]
′
′
⎧
⎪
ei k x +R e− i k x
⎪
⎪
⎪
⎪
Hier gilt der Ansatz: Ψ(x) = ⎨ C e−κx +D eκx
⎪
⎪
⎪
⎪
i k ′ [x − a]
⎪
⎩ T e
,x < 0
,0 ≤ x ≤ a
, wobei Ψ, Ψ′ stetig an Übergängen.
⇒ ∣T ∣2 = [1 +
,a < x
−a
′
′
⎧
⎪
ei k x +R e− i k x
⎪
⎪
⎪
⎪
Ψ(x) = ⎨ C ei kx +D e− i kx
⎪
⎪
⎪
i k ′ [x − a]
⎪
⎪
⎩ T e
2
Es gilt dann ∣T ∣ =
V0 2
E>0
1+ 4E[V
, x < −a
1
0 +E]
Absteigeoperator: â =
̵
h
u
mω
a
′
′
⎧
⎧
⎪
⎪
B e−κ x
B ′ e−κ x
,x > a
⎪
⎪
x
Ψin
⎪
⎪
⎪
⎪
Ψ(x) = ⎨ B eκ′ x
+ ⎨ −B ′ eκ′ x
,
x
<
−a
−V0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
′
⎪
⎪
, −a ≤ x ≤ a
⎩ A cos(kx)
⎩ A sin(kx)
Es gibt immer mindestens eine [gerade] Lösung; vergrößert man ak0 [→ V0 ] , so gibt es immer
′
′
mehr gebundene Zustände. [Bedingung: tan(ka) = κk bzw. − cot(ka) = κk .]
0 > E > −V0
[x =
−1
sinh2 (κa)] .
V
Eindimensionaler Potentialtopf [a ∈ R]:
√
V2
4E[V −E]
√1 [u + ∂u ]
2
, −a ≤ x ≤ a
,x > a
⇒ Transmission für 2ka = 0 [⇔ En =
2
sin (2ka)
, Aufsteigeoperator: ↠=
√1 [u − ∂u ]
2
m
m
h 2 n2
32ma2
− V0 ].
, Besetzungszahloperator: N̂ = ↠â
m
m
m
[N̂ , â ] = −mâ , [N̂ , ↠] = m ↠, [â, ↠] = m â†
= lu]
√
∶= n+1 ∣n+1⟩
√
∶= n ∣n−1⟩
m−1
­
¬
Da [ ∣n⟩ Eigenvektor, an Eigenwert] N̂ ↠∣n⟩ = [an + 1] ↠∣n⟩
und N̂ â ∣n⟩ = [an − 1] â ∣n⟩ und die Eigenwerte
dieser Gleichung nur positiv reell sein dürfen [N̂ † = N̂ , ⟨Ψ ∣ N̂ ∣Ψ⟩ ≥ 0], muss ein am = 0 sein. Mit Hilfe des Aufsteigeoperators sieht man dann, dass an ∈ N0 ∶ ∀n ∈ N0 .
n
∣n⟩ = √1n! ↠∣0⟩
8
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
Mit l ∶=
√
̵
h
,
mω
u ∶=
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x
ergibt sich für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator:
l
̵
̵ 2 ∂2
mω 2
hω
∂2
h
̵ N̂ + 1 ]Ψ(lu)
+
x ]Ψ(x) =
[ 2 + u2 ]Ψ(lu) = hω[
Ĥ = [−
2
2m ∂x
2
2 ∂u
2
̵
⇒ Ĥ ∣n⟩ = En ∣n⟩ = hω[n
+ 21 ] ∣n⟩
, mit der Nullpunktsenergie E0 =
̵
hω
.
2
2
⇒ Normiert man nun Ψ0 (u) =
1
π 1/4
u
e− 2
2
, so ergibt sich: Ψn (u) =
π 1/4
1
√
n! 2n
u
Hn (u) e− 2
mit den Hermite-Polynomen: Hn (u) = e
†
√
Man kann nun x̂ = l â+â
2
, p̂ =
̵ â−â†
h
√
il
2
schreiben und damit zeigen: [∆x]n [∆p]n = h2 [2n + 1]
̵
u2
2
[u −
̵
hω
2
.
[> h2 ] .
[ ⟨n ∣ x̂∣n⟩ = 0, ⟨n ∣ x̂2 ∣n⟩ = l2 [n + 21 ], ⟨n ∣ p̂∣n⟩ = 0, ⟨n ∣ p̂2 ∣n⟩ =
Nullpunktsfluktuationen: ⟨Ĥ⟩ ≥
u2
∂ n − 2
]
e
∂u
̵
̵2
h
[n
l2
+ 12 ] ]
.
Symmetrie:
1. Ist eine 1-zu-1-Abbildung zwischen den [physikalisch realisierbaren] reinen Zuständen; dargestellt durch Strahlen in
H.
2
2
2. Sie erhält die Übergangswahrscheinlichkeiten: ∣⟨Φ ∣ Ψ⟩∣ = ∣⟨Φ′ ∣ Ψ′ ⟩∣
Wigner-Theorem:
Û ∣Φ⟩ = ∣Φ′ ⟩
Û Â Û −1 = Â′
.
; Û ist dann
- entweder linear & unitär [Û [c1 ∣Ψ⟩ + c2 ∣Φ⟩ ] = c1 ∣Ψ′ ⟩ + c2 ∣Φ′ ⟩ , Û † = Û −1 ]
- oder antilinear & unitär [„antiunitär“] [Û [c1 ∣Ψ⟩ + c2 ∣Φ⟩ ] = c∗1 ∣Ψ′ ⟩ + c∗2 ∣Φ′ ⟩ , Û † = Û −1 ].
ˆ⃗i → −x
ˆ⃗i :
Parität x
[Û (P )Ψ](⃗
xi ) = Ψ(−⃗
xi ) , Û (P ) Û (P ) = 1 [⇒ EW = ±1]
ˆ⃗i , pˆ⃗i ) Û −1 (P ) = Ĥ(−x
ˆ⃗i , −pˆ⃗i ).
und damit Û (P ) Ĥ(x
,
ˆ⃗i Û −1 (P ) = −x
ˆ⃗i
Û (P ) x
und
Û (P ) pˆ⃗i Û −1 (P ) = −pˆ⃗i
Ist nun Ĥ [und somit V ] spiegelinvariant, so kommutieren Û & Ĥ und können somit gleichzeitig diagonalisiert werden.
ˆ⃗i → x
ˆ
⃗i + a
⃗:
Translation x
ˆ⃗i , pˆ
ˆ⃗i + a
⃗) , Û (⃗
⃗i ) Û −1 (⃗
⃗, pˆ⃗i ).
[Û (⃗
a)Ψ](⃗
xi ) = Ψ(⃗
xi + a
a) Ĥ(x
a) = Ĥ(x
Ist nun Ĥ [und somit V ] translationsinvariant, so kommutieren Û & Ĥ und können somit gleichzeitig diagonalisiert
werden.
⃗ = 1H ].
Jeder Translation im R3 ist ein unitärer Operator in H = L2 (R3 ) zugeordnet [Û (⃗
a), Û (⃗
a + ⃗b) = Û (⃗
a) Û (⃗b), Û (0)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Die Zuordnung heißt Gruppenhomomorphismus
Die Menge der Translationen bildet dabei eine abelsche Gruppe [bzw. kommutierende Gruppe: a⃗ + ⃗b = ⃗b + a⃗]; die Menge der
ihnen zugeordneten unitären Operatoren ebenso [Û (⃗a) Û (⃗b) = Û (⃗b) Û (⃗a)].
i ˆ
⃗p⃗ , so ergibt sich: pˆ⃗ = − i h
̵∇
⃗ [Impulsoperator, hermitesch].
Sei nun: Û (⃗
a) = e h̵ a
Ist Ĥ nun translationsionvariant, so gilt: [pˆ⃗k , Ĥ] = 0 .
1
[
]
Da {Û (⃗
a)} abelsch ist, folgt aus der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel [eX̂ eŶ = eX̂ + Ŷ + 2 X̂, Ŷ + ... ]:
[p̂i , p̂j ] = 0
∶ ∀i, j ∈ {1, 2, 3}.
9
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
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⃗i → R x
⃗i :
Drehung x
ˆ
ˆ⃗i , R pˆ⃗i ).
⃗i , pˆ⃗i ) Û (R−1 ) = Ĥ(R x
⃗i ) , Û (R) Ĥ(x
[Û (R) Ψ](⃗
xi ) = Ψ(R−1 x
Ist nun Ĥ [und somit V ] drehinvariant, so kommutieren Û & Ĥ und können somit gleichzeitig diagonalisiert werden.
⃗j ∣)]
[Dies gilt, wenn: V = ∑i≠j V (∣⃗
xi − x
Jeder Drehung im R ist ein unitärer Operator in H = L2 (R ) zugeordnet [Û (R), Û (R2 R1 ) = Û (R2 ) Û (R1 ),
Û (1R3 ) = 1H ].
Die Menge der Drehungen [nicht Drehspiegelungen ⇒ det(R) = +1] bildet eine Liesche Gruppe [SO(3), nicht abelsch!]; die
Menge der ihnen zugeordneten unitären Operatoren ebenso.
e⃗
Bei Drehung um die Achse in Richtung des Einheitsvektor e⃗ um einen Winkel θ gilt:
3
3
⃗ = [⃗
⃗]⃗
⃗] cos(θ) + e⃗ × x
⃗ sin(θ) .
R(⃗
e, θ) x
ex
e − e⃗ × [⃗
e×x
⎛ 0
⃗ = Ωe x
⃗ ⇒ Ωe = ⎜ e 3
Sei e⃗ × x
⎝−e2
−e3
0
e1
e2 ⎞
−e1 ⎟ = −ΩeT ⇒
0 ⎠
⃗
e⃗ × x
⃗]
e⃗ × [⃗
e×x
R(⃗
e, θ) = eθΩe
θ
⃗
x
i
Sei weiterhin Û (eθΩe ) = e− h̵ θL̂e [L̂e hermitesch], so gilt L̂e = e⃗L̂ und:
ˆ⃗
i
eL
[Û (R(⃗
e, θ)) Ψ] (⃗
xi ) = [e− h̵ θ⃗
Ψ] (⃗
xi )
⃗′
x
ˆ⃗ = x
L
∑ ˆ⃗i × pˆ⃗i
i
̵ jkl x̂l
[L̂j , x̂k ] = i hε
Es gilt:
,
̵ jkl L̂l
[L̂j , L̂k ] = i hε
̵ jkl Jˆl , Jˆ† = Jˆj
Für alle Operatoren mit [Jˆj , Jˆk ] = i hε
j
,
L̂†j = L̂j
.
definiert man Leitoperatoren: Jˆ± = Jˆ1 ± i Jˆ2 .
̵ Jˆ± , [Jˆ+ , Jˆ− ] = 2h
̵ Jˆ3 und [Jˆ⃗2 , Jˆj ] = 0 .
Dann gilt: [Jˆ3 , Jˆ± ] = ±h
⃗2 = Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 ]
[Jˆ
̵
̵ 2 j[j +1] ∣j, j3 ⟩
⃗2 [EW hj[j
Diagonalisiert man nun gleichzeitig Jˆ3 und Jˆ
+ 1] > 0], so ergeben sich aus Jˆ⃗2 ∣j, j3 ⟩ = h
√
̵
Jˆ3 ∣j, j3 ⟩ = hj3 ∣j, j3 ⟩
̵ c+ (j, j3 ) ∣j, j3 + 1⟩
Jˆ+ ∣j, j3 ⟩ = h
√
†
̵ c− (j, j3 ) ∣j, j3 − 1⟩ und Jˆ+ = Jˆ− ,dass
Jˆ− ∣j, j3 ⟩ = h
,
̵ 2 c± ∥ ∣j, j3 ± 1⟩ ∥ ≥ 0 .
̵ 2 [j[j + 1] − j3 [j3 ± 1]] ∥ ∣j, j3 ± 1⟩ ∥ = h
∥Jˆ± ∣j, j3 ⟩ ∥ = h
2
2
2
Das bedeutet c± ≥ 0 und [j > 0] −j ≤ j3 ≤ j .
̵ und hj
̵ müssen EW von Jˆ3 sein.
Nach den Abbruchbedingungen für die Leiteroperatoren gilt: −hj
̵ 2 j[j + 1] , j ∈ N0 und EW von Jˆ3 sind hj
̵ 3 , j3 ∈ {−j, −j + 1, . . . , j − 1, j} .
Resultat: EW von Jˆ⃗2 sind h
2
Für den Drehimpuls L̂ ergeben sich mit der [Bahn-] Drehimpuls-Quantenzahl l [vgl. j] und der magnetischen Quantenzahl
m [vgl. j3 ], sowie ⟨⃗
x ∣ l, m⟩ = Yl,m (⃗
x) die Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen [r ≡ 1]:
Yl,l
[−1]l
= l
2 l!
√
2l + 1
[2l]! ei lϕ sinl (θ)
4π
Yl,m−1 = √
1
l[l + 1] − m[m − 1]
e− i ϕ [−∂θ + i cot(θ)∂ϕ ]Yl,m (θ, ϕ)
mit −l ≤ m ≤ l , l ∈
N0
2
,m ∈ Z .
¿
RRR
2l + 1 [l + m]! ei mϕ
d l−m
[−1]l Á
2 l RRR
Á
À
Yl,m (θ, ϕ) = l
[ ]
[1 − u ] RRR
2 l!
4π [l − m]! sinm (θ) du
RRR
Ru=cos(θ)
Es ergibt sich:
∗
Yl,−m = [−1]m Yl,m
(θ, ϕ)
,
[P̂ Yl,m ](θ, ϕ) = Yl,m (π − θ, π + ϕ) = [−1]l Yl,m (θ, ϕ)
,
∗
′
′
∑l,m Yl,m (θ , ϕ ) Yl,m (θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ′ ) δ(cos(θ) − cos(θ′ )) .
̵ jkl V̂l , V̂ heißt Vektoroperator;
[L̂j , V̂k ] = i hε
10
[L̂j , Ŝ] = 0 , Ŝ heißt skalarer Operator.
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̵2
h
⃗ˆ gilt:
In einem Zentralkraftfeld mit [µ - reduzierte Masse] Ĥ = − 2µ
∆ + V (r) und Drehimpulsoperator L
2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
∂2
+ 2 2
[sin(θ) ] + 2 2
∆= 2 +
.
∂r
r ∂r r sin (θ) ∂θ
∂θ
r sin (θ) ∂ϕ2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
ˆ⃗ 2
L
= − 2̵2
r h
Ĥ ∣E, l, m⟩ = E ∣E, l, m⟩
ˆ⃗ 2 ∣E, l, m⟩ = h
̵ 2 l[l + 1] ∣E, l, m⟩ ; daraus ergibt sich die
L
̵ ∣E, l, m⟩
L̂3 ∣E, l, m⟩ = hm
Schrödinger-Gleichung für ⟨⃗
x ∣ E, l, m⟩ = ΨE,l,m (⃗
x) = fE,l Yl,m (θ, ϕ) zur [gewöhnlichen] radialen Schrödinger-Gleichung:
Das heißt: Ĥ = −
[−
ˆ
̵ 2 ∂2
⃗2
h
2 ∂
1 L
[ 2+
]+
+ V (r) und
2µ ∂r
r ∂r
2µ r2
̵ 2 ∂2
̵ 2 l[l + 1]
h
2 ∂
1 h
[ 2+
]+
+ V (r)] fE,l = E fE,l
2µ ∂r
r ∂r
2µ
r2
̵2
2
h ∂
Mit UE,l (r) = rfE,l (r) gilt: [− 2µ
+
∂r 2
̵ 2 l[l+1]
1 h
2µ
r2
+ V (r)] UE,l = E UE,l
∞
2
, wobei ∥ΨE,l,m ∥ = ∫
0
2
dr r2 ∣fE,l (r)∣
[durch die Normierung von Yl,m ].
∞
2
, wobei ∥ΨE,l,m ∥ = ∫
0
2
dr ∣UE,l (r)∣ .
Ist das Potential V im ∞-en schnell genug abfallend, so ergeben sich keine gebundenen Zustände
̵2 2
⎧
⎪
, E = h2µk > 0
⎪ ei kr
[limr→∞ ∶ V (r) = 0, UE,l (r) = ⎨ −κr
].
̵2 2
⎪
, E = −h2µκ < 0
⎪
⎩ e
Ist das Potential gegen 0 nicht zu stark ansteigend [∼ r12 ], so kann man UE,l in ein Polynom entwickeln
[UE,l = rl+1 [1 + a1 r + a2 r2 + . . .] ⇒ l ≠ 0 ∶ ΨE,l,m (0) = 0].
ˆ⃗ = L
ˆ⃗ + L
ˆ⃗ , V = V (∣⃗
⃗K , x
⃗e ), L
⃗e ∣) nach Betrachtung
Für wasserstoffähnliche Atome ergibt sich so mit Ψ(t, x
xK − x
K
e
ˆ⃗ =
mK me
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
in Relativ- [µ = m
,
M
=
m
+
m
,
,
M
p
=
m
p
−
m
p
]
und
Schwerpunktskoordinaten
[M X
x
=
x
−
x
K
e
K
e
e K
K e
K +me
1 ˆ
1
⃗ x
⃗ x
ˆ⃗K +me x
ˆ⃗e , Pˆ⃗ = pˆ⃗K +pˆ⃗e ], mit Ĥ =
ˆ⃗∣) in Ortsdarstellung und mit Pˆ⃗ Ψ(t, X,
⃗) = P⃗ Ψ(t, X,
⃗),
mK x
P⃗ 2 + pˆ⃗2 + V (∣x
2M
2µ
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
⃗) = EΨ(t, x
⃗) und
Ĥrelativ Ψ(t, x
ĤSchwerpunkt
P⃗ 2
Etot = 2M
+ E, aus
Ĥrelativ
der Schrödingergleichung, dass:
i ⃗ ⃗
i
⃗ x
⃗) = e− h̵ Etot t e h̵ P X Ψ(⃗
Ψ(t, X,
x) .
2
x) = 1r UE,l (r) Yl,m (θ, ϕ) , dem bohrschen Radius aB =
mit ΨE,l,m (⃗
d2
2Z l[l + 1]
−
] UE,l (aB ρ) = 0 .
[ρ = arB , ε = EEa ] ergibt sich: [ 2 + 2ε +
dρ
ρ
ρ2
Für Coulomb-Potential V (∣⃗
x∣) = − Ze
∣⃗
x∣
einer typischen Energie Ea =
2
e
aB
̵2
h
µe2
und
Für gebundene Zustände [ε = − 12 κ2 , κ ∈ R] und über Endlichkeit der Wellenfunktion Ψ(⃗
x) ergibt sich mit dem Ansatz
∞
UE,l (ρ) ∼ ρl+1 e−κρ ∑ ak ρk und dem Verschwinden aller Summanden in Potenz von ρn :
k=0
an+1 =
2[κ[n + l + 1] − Z]
an .
2[n + 1][l + 1] + [n + 1]n
Fordert man nun den Abbruch [anr +1 = 0], so gilt mit der Hauptquantenzahl n = nr + l + 1, dass κn = Z und somit
En = −
Z 2 Ea
.
n2 2
Die Anzahl der möglichen Zustände zu En ist n2 .
ˆ⃗ H]
ˆ⃗ = 0 ⇔ V = V (r)
[L,
11
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
¿
n+l
Á 2Z 3 [n − l − 1]! − Zρ 2Zρ l d2l+1
UE,l (ρ)
η d
À[ ]
n [
[η n+l e−η ]]∣
= fn,l = − Á
]
[e
e
2Zρ .
ρ
n
2n[[n + l]!]3
n
dη 2l+1
dη n+l
η=
n
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Nn,l
2l+1 2Zρ
Laguerre-Polynome Ln+l (
)
∞ 2 2
n
∫0 ρ fn,l (ρ) dρ = 1 .
Es ergibt sich:
Dabei gilt:
Mit ∫
∞
0
Prof. Wipf 2013
q!
ρq e−βρ dρ = q+1
β
2
p 2
2
3
p
∫0 dr r f˜n,l (r)r
∫R3 d x r ∣Ψn,l,m ∣
2
= aBp ∫ dρ ρ2+p fn,l
(ρ)
=
∞
2
2 r2
˜
3
dr
f
∫0
∫R3 d x ∣Ψn,l,m ∣
n,l
Z 2 e2 1
1
= 2En .
⟨Epot ⟩ = −Ze2 ⟨ ⟩ = −
r
a B n2
∞
ist dann
⟨rp ⟩ Ψn,l,m =
berechenbar und man erhält das Virialtheorem:
[Der Mittelwert der potentiellen Energie ist genauso groß wie die doppelte Gesamtenergie.]
0
s
1
p
2
d
3
f
4
g
scharf
prinzipal
diffus
fundamental
[alphabetisch...]
(Historische) Benennung des Bahndrehimpulses l:
Geladene Teilchen im „äußeren“ elektromagnetischen Feld:
⃗ = − grad(ϕ) −
Mit Potenzialen ϕ, A⃗ [E
⃗
dA
,
dt
[im cgs-System!]
⃗ = rot(A)]
⃗ gilt klassisch H =
B
Nach Symmetrie und Hermitizität gilt in QM: Ĥ =
1
2µ
.
[pˆ⃗2 + ec pˆ⃗Aˆ⃗ + ec Aˆ⃗pˆ⃗ +
1
2µ
⃗ + eϕ .
[⃗
p − ec A]
2
e2 ˆ
A⃗2 ] + eϕ̂
c2
.
⃗
⃗ in z-Richtung, A⃗ = 1 B
⃗×x
⃗ in Umgebung von
⃗ [B
Für ein Wasserstoffatom in „äußerem“ B-Feld
mit [o.B.d.A] B
2
2
2
̵
i
e
h
e
2
2
⃗L
⃗ gilt:
⃗L
⃗ +
⃗ = ̵B
Wasserstoff räumlich konstant] und A⃗∇
B [x + y 2 ] +eϕ .
Ĥ = − 2µ ∆ − 2µc B
2h
8µc2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
paramagnetisch
diamagnetisch
diamagnet.
Unter Vernachlässigung des diamagnetischen Terms [ paramagnet.
≈ 10−10 ⋅B[Gauss]] ergibt sich der normale Zeeman-Effekt:
Ĥ ∣n, l, m⟩ = [− Ry
+ µB Bm] ∣n, l, m⟩
n2
, mit dem Bohrschen Magneton µB =
̵
∣e∣h
.
2µc
⎛ŝ1 ⎞
̵ jkl ŝl ] ; die gemessenen Eigenwerte sind ± h̵ .
⃗ = ⎜ŝ2 ⎟ , wobei sˆ⃗ die Drehimpulsalgebra erfüllt [[ŝj , ŝk ] = i hε
Der Spin: sˆ
2
⎝ŝ3 ⎠
1
0
̵
⇒ Ψ = Ψ↑ (⃗
x) ( ) +Ψ↓ (⃗
x) ( ) mit ŝi = h2 σi auf Hilbertraum H = L2 (R3 ) ⊗ C2 mit ⟨Φ ∣ Ψ⟩ = ∫R3 Φ∗ (⃗
x) Ψ(⃗
x) d3 x.
0
1
°
°
∣n↑ ⟩
∣n↓ ⟩
a3
a1 − i a2
a
b
) die allgemeinste spurfreie, hermitesche 2 × 2-Matrix, U = ( ∗
) ∈ SU (2)
a1 + i a2
−a3
−b a∗
⃗ ]U −1 = ⃗b σ
⃗ , dann gilt: ⃗b = R⃗
⃗2
[U † U = 1, det(U ) = 1] und U [⃗
aσ
a , ⃗b2 = a
⇒
R ∈ SO(3) [Drehung!].
Sei nun A = σi ai = (
Dabei gilt R(12 ) = 13 , R(U1 U2 ) = R(U1 )R(U2 ) , R(U ) = R(−U ) und daher SO(3) = SU (2)/Z2 .
U = e− h̵ e⃗s⃗θ ⇒ R = eΩe⃗θ
⇒ Bei Realraumdrehung um 2π wechselt die Wellenfunktion des e− durch den Spin ihr Vorzeichen.
i
⃗ = R(U )⃗
Die Spins transformieren unter Drehung m
n gemäß: ∣m↑ ⟩ = U ∣n↑ ⟩ , ∣m↓ ⟩ = U ∣n↓ ⟩ .
ˆ⃗ ⊗ 1 + 1 ⊗ sˆ⃗ =! L
ˆ⃗ + sˆ⃗.
Der Gesamtdrehimpuls des Wasserstoffatoms ist dann: Jˆ⃗ = L
Wiederum unter Vernachlässigung des Diamagnetismus ergibt sich
[„anomaler Zeeman-Effekt“]
Ry
s
3
ˆ
⃗ L
⃗ + g sˆ⃗]] ∣n, l, m, s3 ⟩ = [ −
Ĥ ∣n, l, m, s3 ⟩ = [Ĥ0 − µB B[
+ µB B[m + g ̵ ]] ∣n, l, m, s3 ⟩
n2
h
Pauli-Matrizen: σ1 = (
0
1
1
0
), σ2 = (
0
i
−i
1
), σ3 = (
0
0
0
) , σj σk = δjk 1 + i εjkl σl , [σj , σk ] = 2 i εjkl σl .
−1
12