Eintageskurs Lineare Algebra 1 - Wintersemester 2012

Wintersemester 2012/2013
Eintageskurs Lineare Algebra 1
Garching, Februar 2013
Konrad Waldherr
Technische Universität München
Technische Universität München
Überblick
• Kein neuer Stoff,
• keine Voraussetzung für die Klausur
• Wiederholung einiger Vorlesungsschwerpunkte:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Abbildungen (injektiv, surjektiv, bijektiv)
Algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper)
Polynomring
Lineare Gleichungssysteme
Vektorräume, Unterräume (Schnitt, Summe)
Lineare (Un-)Abhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis, Dimension
Lineare Abbildungen, Dimensionsformel
Eigenwerte/ Eigenvektoren
Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit
• Integrierte Übungen zum Selberrechnen
• Diskussion der Lösungen und Lösungsansätze
• Sponsered by
• Bitte an der Umfrage teilnehmen
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Zentrum Mathematik, Februar 2013
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Technische Universität München
Durchführung des Kurses
Der Kurs besteht aus 3 Einheiten zu je 90 Minuten:
• 10:15 - 11:45 Uhr:
•
•
•
•
•
lineare Gleichungssysteme,
Abbildungen,
Gruppen, Ringe, Körper,
Die symmetrische Gruppe/Permutatiuonen
Polynome.
• 12:15 - 13:45 Uhr:
•
•
•
Vektorräume, Untervektorräume
Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension
lineare Abbildungen
• 14:15 - 15:45 Uhr:
•
•
Eigenwerte, Eigenvektoren
Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit
Jede Einheit besteht aus
• Theorieblock mit integrierten Aufgaben
• Aufgaben zum Selberrechnen
• Besprechen dieser Aufgaben
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1. Einheit: Algebraische Grundbegriffe, lineare
Gleichungssysteme
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Lineare Gleichungssysteme
• Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System der Form
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1
a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2
.
..
am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
• Ein LGS lässt sich kompakt schreiben in Matrix-Vektor-Notation als Ax = b mit


A=
a1,1
..
.
am,1
...
..
.
...

a1,n
.. 
.  ∈ Matm×n (K),
am,n


x=

x1
.. 
. ,
xn


b=

b1
.. 
. .
bm
• Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b: L A,b
• Für A = ( a1 | a2 | · · · | an ) beschreibt Ax eine Linearkombination der Spalten von A:
Ax = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an .
• Die Lösung eines LGS stellt also die rechte Seite b als Linearkombination der
Spalten von A dar. (b ∈< { a1 , . . . , an } >?)
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Elementare Zeilenoperationen und Elementarmatrizen
Durch die folgenden elementaren Zeilenumformungen bleibt die Lösungsmenge eines
LGS unverändert:
1
Addieren des λ-fachen der j-ten Zeile auf die i-te Zeile,: Ui,j (λ)
2
Vertauschen zweier Zeilen i und j,: Pi,j
3
Multiplikation der i-ten Zeile mit λ 6= 0.: Di (λ)
Diese drei Operationen bilden spezielle Linearkombinationen der Zeilen und lassen
den von den Zeilen aufgespannten Raum unverändert.
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Elementare Zeilenoperationen und Elementarmatrizen
Durch die folgenden elementaren Zeilenumformungen bleibt die Lösungsmenge eines
LGS unverändert:
1
Addieren des λ-fachen der j-ten Zeile auf die i-te Zeile: Ui,j (λ)
2
Vertauschen zweier Zeilen i und j: Pi,j
3
Multiplikation der i-ten Zeile mit λ 6= 0: Di (λ)
Diese drei Operationen bilden spezielle Linearkombinationen der Zeilen und lassen
den von den Zeilen aufgespannten Raum unverändert.
Diese Zeilenoperationen lassen sich durch Matrix-Multiplikation beschreiben:
i
j
1
j
1
Ui,j (λ) =
i














.
.

i






 , Pi,j =




j

.
.
.
.
.
λ
.
.
1


























.
.













 , Di (λ) =i











.
1
0
1
1
.
.
.
1
1
0
1
.
.
.
i
1















.
.







.






.
1
λ
1
.
.
.
1
1
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Lineare Gleichungssysteme
Lösung eines LGS mit dem Gauß-Algorithmus:
Überführe die erweiterte Koeffizientenmatrix ( A|b) durch elementare
Zeilenumformungen in Zeilenstufenform (ZSF):


0 F ~ ~ ~ ~ ~
0 0 F ~ ~ ~ ~


0
0 F ~ ~
0 0
A0 = 
 F ∈ K \ {0} und ~ ∈ K
0
0
0 F ~
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
Algorithmus: Stelle sukzessive ZSF her durch Anwenden der Schritte
1 Vertausche gegebenenfalls Zeilen, so dass a
i,ji 6 = 0
2
ak,j
Addiere auf die Zeilen k = i + 1, . . . , m das − a
i
i,ji
der i-ten Zeile
Bestimmung der Lösung: Rückwärtssubstitution
• Gebundene Variablen entsprechen den Spalten mit einem F-Eintrag, die übrigen
Variablen (freie Variable) sind beliebig wählbar
• Rang: rg( A) = r ist die Anzahl der F-Einträge (”Stufen”) der ZSF A0 von A.
(im Beispiel rg( A) = 4, j1 = 2, j2 = 3, j3 = 5, j4 = 6)
• Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren. Es gilt
Zeilenrang = Spaltenrang .
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Lineare Gleichungssysteme
• Ein LGS Ax = b ist genau dann lösbar, falls rg( A) = rg( A|b) (d.h. jr 6= n + 1).
• Ein LGS Ax = b ist genau dann lösbar, falls b im Spaltenraum von A liegt.
• Das LGS Ax = b hat
•
•
•
keine Lösung, falls rg( A) < rg( A|b) (d.h. jr = n + 1),
genau eine Lösung, falls rg( A) = rg( A|b) = n (d.h. r = n und jr = n),
mehr als eine Lösung, falls rg( A) = rg( A|b) < n (n − r freie Parameter)
• Das LGS Ax = 0 heißt homogenes System. Die Lösungsmenge L A,0 ist ein
Unterraum des Kn .
• Die Lösung L A,b von Ax = b ist gegeben durch x0 + U, wobei x0 eine spezielle
Lösung von Ax = b und U = L A,0 der Untervektorraum der allgemeine Lösung
des zugehörigen homogenen Systems ist.
• Die von Null verschiedenen Zeilen der ZSF sind linear unabhängig.
• Durch elementare Zeilenumformungen bleibt der von den Zeilen aufgespannte
Unterraum des K1×n unverändert.
=⇒ ZSF nützlich für Basisbestimmung, Basisergänzung,... der Zeilenvektoren.
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Invertieren von Matrizen
Die zur invertierbaren n × n Matrix A inverse Matrix ist gegeben durch AX = 1.
Spaltenweise Interpretation: n LGS Axi = ei . Löse simultan mit Gauß-Algorithmus:
( A |1)
elem. Zeilenop.
(1| X ) .
Dann gilt A−1 = X .
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Invertieren von Matrizen
Die zur invertierbaren n × n Matrix A inverse Matrix ist gegeben durch AX = 1.
Spaltenweise Interpretation: n LGS Axi = ei . Löse simultan mit Gauß-Algorithmus:
( A |1)
elem. Zeilenop.
Dann gilt A−1 = X .
(1| X ) .
Beispiel: Berechne die Inverse der Matrix

1
S= 1
1
1
1
0

1
0 
0
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Invertieren von Matrizen
Die zur invertierbaren n × n Matrix A inverse Matrix ist gegeben durch AX = 1.
Spaltenweise Interpretation: n LGS Axi = ei . Löse simultan mit Gauß-Algorithmus:
( A |1)
elem. Zeilenop.
Beispiel: Berechne die Inverse der Matrix

1
S= 1
1
( S |1) =
111|100
110|010
100|001
(−1)· Z2
(−1)· Z3
!
Z2 − Z1
Z3 − Z1
111|1 0 0
0 1 1 | 1 0 −1
0 0 1 | 1 −1 0
!
=⇒ S
1
1
0

1
0 
0
1 1 1 | 1 00
0 0 −1 | −1 1 0
0 −1 −1 | −1 0 1
Z2 − Z3
Z1 − Z3

−1
Dann gilt A−1 = X .
(1| X ) .
0
= 0
1
!
Z2 ↔ Z3
110|0 1 0
0 1 0 | 0 1 −1
0 0 1 | 1 −1 0
0
1
−1
!
1 1 1 | 1 00
0 −1 −1 | −1 0 1
0 0 −1 | −1 1 0
Z1 − Z2
!
100|0 0 1
0 1 0 | 0 1 −1
0 0 1 | 1 −1 0
!

1
−1  .
0
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Mengenlehre
• Teilmenge: A ⊆ B :⇐⇒ (∀ x : ( x ∈ A =⇒ x ∈ B))
• Gleichheit von Mengen: A = B :⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
• Leere Menge: ∅ := { x ∈ A| x 6= x }
• Schnitt von Mengen: x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
• Vereinigung von Mengen: x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
• Komplement: A \ B := { x ∈ A| x 6∈ B}
• Mengen A und B heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅.
• Es gilt
A\
[
M=
\
( A \ X ) und
X∈ M
A\
\
M=
[
( A \ X) .
X∈ M
• Potenzmenge (”Menge aller Teilmengen”): P( A) := { X | X ⊆ A}
• Für endliches A gilt: |P( A)| = 2| A|
• Produkt: M1 × · · · × Mn = {( x1 , . . . , xn )| xi ∈ Mi für alle i }
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Abbildungen
Definition: Abbildungen
Es seien A, B Mengen. Eine Abbildung/Funktion von A nach B ist eine Zuordnung
f : A → B die jedem a ∈ A ein eindeutiges Element b = f ( a) ∈ B zuordnet.
A heißt Definitionsbereich, B heißt Bildbereich von f .
Schreibweise: f : A −→ B, x 7→ y =: f ( x ).
• Abb( A, B) := { f : A → B| f ist Abbildung},
• id : A → A, a 7→ a heißt Identität.
• im( f ) := { f ( a)| a ∈ A} ⊆ B heißt Bild von f ,
• f ∈ Abb( A, B), g ∈ Abb( B, C ). Produktabbildung: g ◦ f : A → C, x 7→ g( f ( x )).
• Eine Abbildung f : A → B heißt
•
•
•
injektiv, falls ∀ x, y ∈ A : ( f ( x ) = f (y) =⇒ x = y),
surjektiv, falls im( f ) := f ( A) = B, d.h. ∀y ∈ B∃ x ∈ A : f ( x ) = y,
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
• Ist f : A → B bijektiv, dann heißt f −1 : B → A, f ( x ) = y 7→ x die
Umkehrabbildung (bzw. inverse Abbildung) von f .
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Algebraische Strukturen: Gruppen
Gruppen
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Abbildung (Produkt ·)
· : G × G → G, ( g1 , g2 ) 7→ g1 · g2 , so dass folgende Eigenschaften gelten:
(AG) ∀ a, b, c ∈ G : ( a · b) · c = a · (b · c)
(NE) ∃e∈ G : ∀ a ∈ G : e · a = a · e = a
(IE) ∀ a ∈ G ∃i ( a)∈ G : i ( a) · a = a · i ( a) = e
Die Gruppe ( G, ·) heißt abelsch (kommutativ), falls gilt
(KG) ∀ a, b ∈ G : a · b = b · a
• In einer Gruppe sind neutrale und inverse Elemente eindeutig bestimmt.
• Es gilt i ( a · b) = i (b) · i ( a) und i (i ( a)) = a.
• Beispiel: G = Aut( M ) = { f : M → M | f ist bijektiv},
· = ◦ : G × G → G, ( f , g) 7→ f ◦ g
( G, ◦) ist (i.A. nicht abelsche) Gruppe mit e = id und i ( f ) = f −1 .
• Für M = {1, . . . , n} heißt Aut( M ) =: Sn die symmetrische Gruppe.
Ein Element ω ∈ Sn heißt Permutation. Schreibweise
1 ··· n
ω (1) ··· ω (n)
.
Ein Paar (i, j) mit i < j und ω (i ) > ω ( j) heißt Fehlstand
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Algebraische Strukturen: Gruppen
Definition: Untergruppe
Eine nicht leere Teilmenge H ⊆ G einer Gruppe G heißt Untergruppe, falls gilt
i) ∀ a, b ∈ H : a · b ∈ H,
ii) ∀ a ∈ H : a−1 ∈ H
Damit ist ( H, ·) selbst eine Gruppe mit neutralem Element e = eG .
Definition: (Gruppen-)Homomorphismus
Es seien ( G, ·) und ( H, ◦) zwei Gruppen. Eine Abbildung φ : G → H heißt
Homomorphismus, falls für alle a, b ∈ G gilt:φ( a · b) = φ( a) ◦ φ(b).
Die Menge ker(φ) := { g ∈ G |φ( g) = e H } heißt der Kern von φ.
• φ(eG ) = e H und für alle g ∈ G gilt φ( g−1 ) = (φ( g))−1 .
• im(φ) ⊆ H ist eine Untergruppe von H.
• ker(φ) ⊆ G ist eine Untergruppe von G.
• φ ist genau dann injektiv, wenn ker(φ) = {eG }.
• Beispiel: e : Sn → {−1, 1}, ω ∈ Sn 7→ (−1)] Fehlstände von ω ist Homomorphismus.
Die Zahl e(ω ) heißt Signum von ω.
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Algebraische Strukturen
Ringe
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Abbildungen
• s : R × R→ R (Summe, +),
• p : R × R→ R (Produkt, ·),
so dass folgende Eigenschaften gelten:
(Gr) ( R, +) ist eine abelsche Gruppe
(AG) ∀ a, b, c ∈ R : a · (b · c) = ( a · b) · c
(1) ∃1 ∈ R : ∀ a ∈ R : 1 · a = a · 1 = a,
(DG) ∀ a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c und ( a + b) · c = a · c + b · c.
Der Ring R heißt kommutativ, falls ∀ a, b ∈ R : a · b = b · a.
Für einen Ring R bezeichnet R∗ die Menge der bzgl · invertierbaren Elemente.
Körper
Ein Körper K ist ein kommutativer Ring (K, +, ·), für den gilt
0 6= 1
∀ a ∈ K \ {0}∃ a0 ∈ K : a0 · a = 1
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Algebraische Strukturen
• Eigenschaften von Ringen:
•
•
∀a ∈ R : 0 · a = 0 = a · 0
∀ a, b ∈ R : (− a) · b = a · (−b) = −( a · b)
• R heißt nullteilerfrei, falls ∀ a, b ∈ R : a · b = 0 =⇒ a = 0 oder b = 0.
Jeder Körper ist nullteilerfrei.
• Es sei e das Einselement von K. Definiere die Charakteristik von K als
(
char(K) :=
0
p
falls m · e 6= 0 ∀m ∈ N, m > 0 ,
falls p ∈ N, p > 0 minimal mit p · e = 0 .
• Falls char(K) = p > 0, so ist p eine Primzahl.
Ring/Körper modulo m: Sei m ∈ N≥2 fest.
• Division mit Rest: Zu jedem a ∈ Z gibt es eindeutige q ∈ Z und
rm ( a) := r ∈ {0, . . . , m − 1} mit a = qm + r.
• Definiere Z/mZ := {0, . . . , m − 1}, a +m b := rm ( a + b), a ·m b := rm ( a · b).
• Dann ist (Z/mZ, +m , ·m ) ein kommutativer Ring und es gilt
(Z/mZ, +m , ·m ) ist Körper ⇐⇒ m ist Primzahl
• Schreibweise: F p für den Körper (Z/pZ, + p , · p ) (p Primzahl)
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Polynome
Es sei K ein Körper.
K(N) := { g : N → K| g(i ) 6= 0 für höchstens endlich viele i }
ist ein K-Vektorraum mit Basis ei : ei ( j) = δi,j . Ein Element aus K(N) heißt Polynom.
N) :
• Definiere Produkt · : K(N) × K(N) → K(!
∑ ai ei
∑ bi e i
i ∈N
i ∈N
= ∑
i ∈N
∑ a j bk
ei .
j + k =i
• Definiere X := e1 und X 0 := e0 . Dann ist X i = ei
• K[ X ] := (K(N) , +·) ist kommutativer, nullteilerfreier Ring (Polynomring)
• Für g = ∑in=0 ai X i ∈ K[ X ] mit an 6= 0 heißt n = deg( g) Grad von g (deg(0) := −∞)
• Für f , g ∈ K [ X ] gilt deg( f g) = deg( f ) + deg( g).
n
n
i =0
i =0
• Für f = ∑ ai x i und b ∈ K heißt f (b) = ∑ ai bi Auswertung von f an der Stelle b.
b heißt Nullstelle von f , falls f (b) = 0,
• Die Abbildung K → K, b 7 → f ( b ) heißt Polynomfunktion.
• K[ X ]≤ p ist der Raum der Polynome über K vom Grad ≤ p.
Vorgriff zu Vektorräumen:
K [ X ]≤ p ist ein p + 1-dimensionaler Unterraum von K[ X ] mit Basis: {1, X, . . . , X p }
•
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Technische Universität München
Polynome
Satz: Polynomdivision mit Rest
Zu f , g ∈ K[ X ], g 6= 0 gibt es Polynome q, r ∈ K[ X ] mit f = g · q + r und
deg(r ) < deg( g).
• f ∈ K[ X ] teilt g ∈ K[ X ], falls es q ∈ K[ X ] gibt mit g = q f . Schreibweise: f | g.
• g ∈ K[ X ] heißt irreduzibel, falls aus g = f q folgt: deg( f ) = 0 oder deg(q) = 0.
• b ∈ K ist Nullstelle von f ∈ K[ X ] ⇐⇒ ( X − b)| f
• Sei g 6= 0: ordb ( g) := max{ j ∈ N|( X − b) j | g} heißt Ordnung von g in b.
Ist b ∈ K Nullstelle von g, so heißt ordb ( g) ≥ 1 auch Vielfachheit der Nullstelle.
• Sei g 6= 0 in ∈ K[ X ] und seien b1 , . . . , br paarweise verschiedene Nullstellen von
g. Dann gibt es q ∈ K[ X ] mit q(bi ) 6= 0 und
g = ( X − b1 )
ordb ( g)
1
· · · ( X − br )ordbr ( g) q
• Ein Polynom f ∈ K[ X ] \ {0} hat höchstens deg( f ) viele Nullstellen.
• f ∈ K[ X ] zerfällt vollständig in Linearfaktoren, falls es a, b1 , . . . , bn ∈ K gibt mit
f = a( X − b1 ) · · · ( X − bn ) .
• Fundamentalsatz der Algebra: Jedes g ∈ C[ X ] zerfällt in Linearfaktoren.
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Technische Universität München
Begriffe
Lineare Gleichungssysteme
• Lösungsmenge L A,b
• Freie Variable, gebundene Variable
• Elementare Zeilenoperationen, Elementarmatrizen
• Homogenes lineares Gleichungssystem
• Zeilenstufenform, Gauß-Algorithmus
• Rang, Zeilenrang, Spaltenrang
Abbildungen
• injektiv, surjektiv, bijektiv
• Bild, Urbild
Gruppen, Ringe, Körper
• neutrales Element, inverses Element
• Assoziativität, Kommutativität, Distributivität
• symmetrische Gruppe: Permutationen, Signum
Polynome
• Polynom, Polynomring, Grad
• irreduzibel
• Teilbarkeit bei Polynomen
• Nullstelle, Vielfachheit
• Zerfallen in Linearfaktoren
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21
Technische Universität München
Wahr oder falsch?
1
2
3
4
5
6
7
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
Es sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine
Primzahl p.
Komplexe Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen
Paaren auf.
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
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Technische Universität München
Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
4
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23
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
4
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24
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
7
Primzahlpotenz
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
7
Gilt für Polynom in R[ X ]
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
4
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
6
7
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
4
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
7
Falls das LGS Ax = b lösbar ist
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
7
=⇒
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
7
⇐= oder K = C
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Wahr oder falsch?
1
Sei f : A → B eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ fˆ : A → f ( A), x 7→ f ( x ) ist bijektiv
2
Z/mZ ist ein Körper ⇐⇒ m = p ist eine Primzahl.
3
Sei K ein endlicher Körper. Dann ist die Anzahl der Elemente in K eine Primzahl.
4
Nullstellen eines Polynoms in C[ X ] treten in konjugiert komplexen Paaren auf.
5
Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Nullstelle.
6
7
Ist das lineare Gleichungssystem Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) eindeutig lösbar, so
gilt m ≥ n.
Ist r = rg( A), so hat die Lösungsmenge L A,b des LGS n − r freie Variable.
8
Ax = b (A ∈ Matm×n (K)) ist eindeutig lösbar ⇐⇒ rg( A) = n
9
Es sei g ∈ K[ X ]. Dann gilt: g ist irreduzibel ⇐⇒ deg( g) = 1.
10
f ∈ K[ X ] mit deg( f ) = n ∈ N hat höchstens n Nullstellen.
4
Konrad Waldherr: Eintageskurs Lineare Algebra 1
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32
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Aufgaben zu Teil 1
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33
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2. Einheit: Vektorräume, lineare Abbildungen
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Vektorräume
Vektorraum
Es sei V eine Menge, K ein Körper. Ferner seien + : V × V → V und · : K × V → V
Abbildungen. V heißt K-Vektorraum, falls folgende Eigenschaften gelten:
(G) (V, +) ist abelsche Gruppe,
(AG) ∀λ, µ ∈ K, v ∈ V : (λµ) · v = λ · (µ · v),
(DG1) ∀λ, µ ∈ K, v ∈ V : (λ + µ) · v = λ · v + µ · v,
(DG2) ∀λ ∈ K, v, w ∈ V : λ · (v + w) = λ · v + λ · w,
(NE) ∀v ∈ V : 1 · v = v.
Ein Element v ∈ V heißt Vektor.
• Es gilt
•
•
Für x ∈ V gilt: 0 · x = 0 (Nullvektor, neutrales Element bzgl +)
(−λ) x = −(λx) = λ(− x)
• Beispiel: M eine Menge, K ein Körper.
Abb( M, K) ist K-Vektorraum:
( f + g)(m) := f (m) + g(m) und (λ · f )(m) := λ f (m)
Spezialfall: M = {1, . . . , n}. Dann ist Kn = Abb( M, K).
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35
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Untervektorräume
Definition Unter(vektor)raum
Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊆ V, die mit den Einschränkungen von
+ und · ebenfalls einen K-Vektorraum bildet, heißt Unter(vektor)raum (UVR) oder
Teilraum von V.
Lemma: Unterraum
Es sei V ein K-Vektorraum und U ⊆ V. U ist Unterraum von V, falls
• U 6= ∅, (insbesondere 0 ∈ U)
• ∀v, w ∈ U : v + w ∈ U,
• ∀v ∈ U, λ ∈ K : λ · v ∈ U.
• V, {0} sind UVR
• L A,0 = { x ∈ Kn | Ax = 0} ist UVR
• U1 , U2 ⊆ V UVR =⇒ U1 ∩ U2 und U1 + U2 := {u + w|u ∈ U1 , w ∈ U2 } sind UVR
• Dagegen ist U1 ∪ U2 i.A. kein UVR. Es gilt
•
U1 ∪ U2 ist Unterraum ⇐⇒ (U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 )
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Linearkombination
Definition: Erzeugnis, Linearkombination
Es sei M ⊆ V eine beliebige Teilmenge.
1
Es seien v1 , . . . , vn ∈ V. Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination (LK) von
v1 , . . . , vn , falls es Skalare α1 , . . . , αn ∈ K gibt, so dass
n
v=
∑ αi · vi .
i =1
2
3
Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination von M, falls es ein m ∈ N sowie
(endlich viele!) Vektoren v1 , . . . , vm ∈ M gibt, so dass v Linearkombination von
v1 , . . . , vm ist.
Der von M erzeugte (bzw. von M aufgespannte) Unterraum ist definiert durch
h Mi := {v ∈ V |v ist LK von Elementen aus M} .
• Satz: h M i ist der kleinste UVR von V, der M enthält.
Es gilt h M1 ∪ M2 i = h M1 i + h M2 i und h∅i = {0}.
M ⊆ N =⇒ h M i ⊆ h N i
• M = h M i =⇒ M ist UVR
• Für endliches M = {v1 , . . . , vm } schreibe hv1 , . . . , vm i := h M i
•
•
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37
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Lineare Unabhängigkeit
Definition: Linear (un-)abhängig
1
Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V heißen linear unabhängig, falls
∀ λ1 , . . . , λ n ∈ K :
n
∑ λi vi = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0.
i =1
2
3
Eine Menge S ⊆ V heißt linear unabhängig, falls für jedes n ∈ N und alle
paarweise verschiedene v1 , . . . , vn ∈ S diese linear unabhängig sind.
Andernfalls heißen v1 , . . . , vn bzw. S linear abhängig.
• ∅ ist linear unabhängig
• v1 , . . . , vn linear unabhängig =⇒ alle vi sind ungleich 0
• Die Nicht-Null Zeilen einer Matrix in ZSF sind linear unabhängig
• Es sei n ≥ 2. Dann gilt
v1 , . . . , vn sind linear abhängig ⇐⇒
Es gibt 1 ≤ i ≤ n mit vi ∈ hv1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn i
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38
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Basis
Basis
Eine Teilmenge M ⊆ V heißt Basis eines Vektorraums V, falls Folgendes gilt:
• M ist Erzeugendensystem von V, d.h. V = h M i,
• M ist linear unabhängig.
Ist M eine endliche Basis von V, so heißt V endlich erzeugt.
• Ist B eine Basis von V, so lässt sich jeder Vektor v ∈ V auf genau eine Weise als
Linearkombination von Vektoren aus B darstellen.
• Charakterisierung von Basen:
→ Maximale linear unabhängige Menge
→ Minimales Erzeugendensystem
Existenz einer Basis
Es sei V ein K-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem M. Dann besitzt
V eine Basis die in M enthalten ist. (allgemeiner: jeder VR besitzt eine Basis)
Basen in endlich-erzeugten VR
Alle Basen eines endlich-erzeugten VR haben gleich viele Elemente.
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Zentrum Mathematik, Februar 2013
39
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Basis und Dimension
Definition: Dimension
Sei V ein K-VR. Die Dimension von V ist
(
| B| falls | B| endliche Basis von V,
dim(V ) :=
∞
falls V nicht endlich erzeugt.
Basisergänzungssatz
Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und M ⊆ V eine linear unabhängige
Teilmenge. Dann gibt es eine Basis B von V mit M ⊆ B.
Steinitzscher Austauschsatz
Es sei B = {v1 , . . . , vn } eine Basis von V und w1 , . . . , wk ∈ V seien linear unabhängig.
Dann ist (nach Umnummerierung der vi ) {w1 , . . . , wk , vk+1 , . . . , vn } eine Basis von V.
1. Dimensionsformel
Für Untervektorräume U1 , U2 ⊆ V gilt
dim(U1 + U2 ) = dim(U1 ) + dim(U2 ) − dim(U1 ∩ U2 ) .
Konrad Waldherr: Eintageskurs Lineare Algebra 1
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40
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Lineare Abbildungen
Lineare Abbildungen
Es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt (K-)linear, falls
• ∀u, v ∈ V : f (u + v) = f (u) + f (v),
• ∀v ∈ V, λ ∈ K : f (λv) = λ f (v).
• Für eine lineare Abbildung f : V → W ist
•
•
ker( f ) := {v ∈ V | f (v) = 0} der Kern (Untervektorraum von V) und
im( f ) := { f (v) ∈ W |v ∈ V } das Bild (Untervektorraum von W).
f ist injektiv ⇐⇒ ker( f ) = {0}
2. Dimensionsformel
Für eine lineare Abbildung f : V → W gilt
dim(ker( f )) + dim(im( f )) = dim(V ) .
• Beispiel: Sei A ∈ Matm×n (K). Die Abbildung ` A : Kn → Km , x 7→ Ax ist linear.
ker(` A ) = { x : ` A ( x) = Ax = 0} (Lösungsmenge des homogenen LGS Ax = 0)
im(` A ) = { Ax : x ∈ Kn } = { x1 a1 + · · · + xn an | x1 , . . . , xn ∈ K } = h a1 , . . . , an i.
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Darstellungsmatrizen
• Seien B = {v1 , . . . , vn } ⊆ V und C := {w1 , . . . , wm } ⊆ W Basen von V bzw. W.
• Dann gibt es zu jedem v ∈ V eine eindeutig bestimmte Darstellung v = ∑nj=1 c j vj .
• Für eine lineare Abbildung φ : V → W ist das Bild φ(v) gegeben durch
n
φ(v) = φ
∑ c j vj
!
n
=
j =1
∑ c j φ ( vj )
(Prinzip der linearen Fortsetzung) .
j =1
⇒ Lineare Abbildungen sind durch ihr Wirken auf einer Basis eindeutig bestimmt.
• Für jedes j = 1, . . . , n existiert eine eindeutige Darstellung φ(vj ) = ∑im=1 ai,j wi .
• Damit ergibt sich
n
φ(v) =
∑ c j φ ( vj ) =
j =1
n
∑ cj
j =1
m
∑ ai,j wi
i =1
!
m
=
∑
i =1
n
∑ ai,j c j
j =1
!
m
wi =
∑ ( Ac)i wi
i =1
mit der Darstellungsmatrix M C ,B (φ) = A = ( ai,j ) und dem Vektor c = (c j ).
Darstellungsmatrix
In den Spalten der Darstellungsmatrix M C ,B (φ) stehen die Bilder der Basisvektoren
aus B als Koordinatenvektoren bzgl. der Basis C .
Wählt man in V und W jeweils die Standardbasis E , so gilt ME ,E (` A ) = A. (Aei = ai )
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Beispiel
Im R-Vektorraum V = R3 seien die Basen E = {e1 , e2 , e3 } und B = {b1 , b2 , b3 } mit






1
1
1
b1 =  1  , b2 =  1  sowie b3 =  0 
0
1
0
gegeben. Betrachte die lineare Abbildung




2x1 + x2 − 2x3
x1
3
3



2x1 + x2 − 2x3  .
x2
7→
f :R →R , x=
3x1 + x2 − 3x3
x3
a) Bestimme die Darstellungsmatrix M E ,E ( f ).
b) Bestimme ker( f ) und im( f ) und verifiziere die Dimensionsformel.
c) Bestimme die Darstellungsmatrix M B ,B ( f ).
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43
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Beispiel
In den Spalten stehen die Koordinatorenvektoren der Bilder der Basisvektoren:
2
f (e1 ) = 2 = 2e1 + 2e2 + 3e3
3


2 1 −2
1

2 1 −2 
f (e2 ) = 1 = 1e1 + 1e2 + 1e3
M E ,E ( f ) =
1
3 1 −3
−2
f (e3 ) = −2 = −2e1 + −2e2 + −3e3
−3
1
Kern: Lösung des homogenen LGS ME ,E ( f ) x = 0: ker( f ) = h 0 i
2 1 −2 1 2 1 Bild: Spaltenraum von ME ,E ( f ): im( f ) = h 2 , 1 , −2 i = h 2 , 1 i
3
1
−3
3
1
Dimensionsformel: dim(R3 ) = 3 = 1 + 2 = dim(ker( f )) + dim(im( f )) X
1
f (b1 ) = 1 = 1b1 + 0b2 + 0b3
1


1
4
3
3

0 −1 −1 
f (b2 ) = 3 = 4b1 + (−1)b2 + 0b3
M B ,B ( f ) =
4
0
0
0
2
f (b3 ) = 2 = 3b1 + (−1)b2 + 0b3
3
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44
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Beispiel
In den Spalten stehen die Koordinatorenvektoren der Bilder der Basisvektoren:
2
f (e1 ) = 2 = 2e1 + 2e2 + 3e3
3


2 1 −2
1

2 1 −2 
f (e2 ) = 1 = 1e1 + 1e2 + 1e3
M E ,E ( f ) =
1
3 1 −3
−2
f (e3 ) = −2 = −2e1 + −2e2 + −3e3
−3
1
Kern: Lösung des homogenen LGS ME ,E ( f ) x = 0: ker( f ) = h 0 i
2 1 −2 1 2 1 Bild: Spaltenraum von ME ,E ( f ): im( f ) = h 2 , 1 , −2 i = h 2 , 1 i
3
1
−3
3
1
Dimensionsformel: dim(R3 ) = 3 = 1 + 2 = dim(ker( f )) + dim(im( f )) X
1
f (b1 ) = 1 = 1b1 + 0b2 + 0b3
1


1
4
3
3

0 −1 −1 
M B ,B ( f ) =
f (b2 ) = 3 = 4b1 + (−1)b2 + 0b3
4
0
0
0
2
f (b3 ) = 2 = 3b1 + (−1)b2 + 0b3
3
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45
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Beispiel
In den Spalten stehen die Koordinatorenvektoren der Bilder der Basisvektoren:
2
f (e1 ) = 2 = 2e1 + 2e2 + 3e3
3


2 1 −2
1

2 1 −2 
f (e2 ) = 1 = 1e1 + 1e2 + 1e3
M E ,E ( f ) =
1
3 1 −3
−2
f (e3 ) = −2 = −2e1 + −2e2 + −3e3
−3
1
Kern: Lösung des homogenen LGS ME ,E ( f ) x = 0: ker( f ) = h 0 i
2 1 −2 1 2 1 Bild: Spaltenraum von ME ,E ( f ): im( f ) = h 2 , 1 , −2 i = h 2 , 1 i
3
1
−3
3
1
Dimensionsformel: dim(R3 ) = 3 = 1 + 2 = dim(ker( f )) + dim(im( f )) X
1
f (b1 ) = 1 = 1b1 + 0b2 + 0b3
1


1
4
3
3

0 −1 −1 
M B ,B ( f ) =
f (b2 ) = 3 = 4b1 + (−1)b2 + 0b3
4
0
0
0
2
f (b3 ) = 2 = 3b1 + (−1)b2 + 0b3
3
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46
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Matrix-Matrix-Multiplikation und Basiswechsel
• Es seien A ∈ Matm×n (K), B ∈ Matn× p (K). Dann ist
A · B ∈ Matm× p (K)
n
definiert durch
( A · B)i,j =
∑ ai,k bk,j .
k =1
Damit gilt M E ,E (` A ) M E ,E (` B ) = A · B = M E ,E (` A· B ) = M E ,E (` A ◦ `matB ).
• Seien V, V 0 , V 00 K-VR mit Basen B , B 0 , B 00 und f : V → V 0 , g : V 0 → V 00 linear.
Dann ist die Hintereinanderausführung g ◦ f : V → V 00 , x 7→ g( f ( x)) linear und es
gilt M B 00 ,B ( g ◦ f ) = M B 00 ,B 0 ( g) · M B 0 ,B ( f ) .
Basiswechselmatrix
Gegeben Basen B , B 0 im n-dimensionalen Vektorraum V. Jedes b j aus B lässt sich
schreiben als b j = ∑in=1 si,j bi0 . Basiswechselmatrix SB 0 ,B := M B 0 ,B (id) = (si,j )
Ist B = {b1 , . . . , bn }, so gilt SE ,B = (b1 |b2 | · · · |bn ).
Basistransformation
φ : V → W linear, B , B 0 Basen von V, C , C 0 Basen von W.
M C 0 ,B 0 ( φ ) = S C 0 ,C M C ,B ( φ ) S B ,B 0
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Zentrum Mathematik, Februar 2013
47
Technische Universität München
Beispiel
Im R-Vektorraum V = R3 seien die Basen E = {e1 , e2 , e3 } und B = {b1 , b2 , b3 } mit






1
1
1
b1 =  1  , b2 =  1  sowie b3 =  0 
0
1
0
gegeben. Die lineare Abbildung f : R3 → R3 hat die Matrixdarstellung


2 1 −2
M E ,E ( f ) =  2 1 −2  .
3 1 −3
d) Man bestimme die Basiswechselmatrix S = SE ,B auf.
e) Man berechne damit die Darstellungsmatrix M B ,B ( f ).
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48
Technische Universität München
Beispiel
Die Basistransformation in die Standardbasis E lässt sich direkt angeben:


1 1 1
S = S E ,B = ( b 1 | b 2 | b 3 ) =  1 1 0  .
1 0 0
Um den Transformationssatz
M B ,B ( f ) = S B ,E M E ,E ( f ) S E ,B
anzuwenden, benötigen wir zuerst noch die Basistransformation
1
= 1
1
1
1
0
 −1
1
0 
0

1
2
−1 2
0
3
1
1
1

−2
1
−2 1
−3
1

S B ,E = S E ,B
Damit ergibt sich

−1
0
M B ,B ( f ) =  0
1
=S
−1
0
1
−1

Gauß-Alg.
=
1
1
0
0
 0
1
0
1
−1
 
1
1
0 = 0
0
0

1
−1  .
0
4
−1
0

3
−1
0
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49
Technische Universität München
Beispiel
Die Basistransformation in die Standardbasis E lässt sich direkt angeben:


1 1 1
S = S E ,B = ( b 1 | b 2 | b 3 ) =  1 1 0  .
1 0 0
Um den Transformationssatz
M B ,B ( f ) = S B ,E M E ,E ( f ) S E ,B
anzuwenden, benötigen wir zuerst noch die Basistransformation
1
= 1
1
1
1
0
 −1
1
0 
0

1
2
−1 2
0
3
1
1
1

−2
1
−2 1
−3
1

S B ,E = S E ,B
Damit ergibt sich

−1
0
M B ,B ( f ) =  0
1
=S
−1
0
1
−1

Gauß-Alg.
=
1
1
0
0
 0
1
0
1
−1
 
1
1
0 = 0
0
0

1
−1  .
0
4
−1
0

3
−1
0
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50
Technische Universität München
Verkettung von linearen Abbildungen, Matrizen
• (Matn×n (K), +, ·) ist ein Ring mit Einselement 1n = M B ,B (id) (Einheitsmatrix)
Aber: (Matn×n (K), +, ·) ist nicht nullteilerfrei und nicht kommutativ.
• Eine Matrix A ∈ Matn×n (K) heißt invertierbar, falls rg( A) = n.
• GLn (K) := { A ∈ Matn×n (K)| A invertierbar}
• (GLn (K), ·) ist eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe
• Für bijektives f : V → V 0 gilt ( M B 0 ,B ( f ))−1 = ( M B ,B 0 ( f −1 ))
Definition: Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen
Matrizen A, A0 ∈ Matm×n heißen äquivalent, falls es invertierbare Matrizen
S ∈ Matn×n (K) und T ∈ Matm×m (K) gibt mit A0 = T −1 AS. Schreibweise: A ∼ A0
Matrizen A, A0 ∈ Matn×n heißen ähnlich, falls es invertierbares S ∈ Matn×n (K) gibt mit
A0 = S−1 AS. Schreibweise: A ≈ A0
Satz: Äquivalenz von Matrizen
Für A, A0 ∈ Matm×n (K) gilt: A ∼ A0 ⇐⇒ rg( A) = rg( B)
• A ≈ A0 =⇒ A ∼ A0 ⇐⇒ rg( A) = rg( A0 )
• A ≈ A0 =⇒ tr( A) := ∑i ai,i = tr( A0 ).
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51
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Determinantenfunktion
Determinantenfunktion
Eine Determinantenfunktion det = detn ist eine Abbildung Matn×n (K) −→ K mit:
1
det(U i,j (λ) A) = det( A)
2
det( Di (λ) A) = λ det( A)
3
det(1n ) = 1
Für eine Determinantenfunktion gilt
• det( AB) = det( A) det( B) (insbesondere det( A−1 ) = (det( A))−1 )
• det(Pi,j A) = − det( A)
• det( A) 6= 0 ⇐⇒ rg( A) = n
Existenz und Eindeutigkeit der Determinantenfunktion
Es gibt für jedes n ≥ genau eine Determinantenfunktion:
det( A) =
∑
e(ω ) a1,ω (1) a2,ω (2) · · · an,ω (n)
Leibniz-Formel .
ω ∈ Sn
Bemerkung: Das ist die übliche Formel für n = 2 und n = 3 (Sarrus-Regel)
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52
Technische Universität München
Berechnung der Determinante
Gauß-Algorithmus: Überführe A durch elementare Zeilenoperationen vom Typ I und
b det( A) = (−1)]Pi,j det( A
b) = (−1)]Pi,j â1,1 · · · ân,n
II in obere Dreiecksform A.
Laplace’sche Entwicklung Zu A ∈ Matn×n (K) und i, j ∈ {1, . . . , n} sei
0 ∈ Mat
Ai,j
n−1×n−1 (K) definiert durch Streichen der iten Zeile und jten Spalte von A.
Dann gilt
n
Für j ∈ {1, . . . , n} : det( A) =
∑ (−1)i+ j ai,j det( Ai,j0 )
i =1
n
Für i ∈ {1, . . . , n} : det( A) =
∑ (−1)i+ j ai,j det( Ai,j0 )
j =1
Block-Diagonal-Gestalt
B C
det
= det( B) det( D )
0 D
für quadratische B, D .
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53
Technische Universität München
Begriffe
Vektorräume
• Vektorraum, Untervektorraum
• linear unabhängig
• Erzeugendensystem
• Basis
• Unterraum
Lineare Abbildungen
• Kern, Bild
• Dimensionsformel
• Matrix-Darstellung
• Basiswechsel, Basiswechselmatrix
• Äquivalenz von Matrizen, Ähnlichkeit von Matrizen
Determinante
• Leibnizformel
• Laplace-Entwicklung
• Cramer’sche Regel
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54
Technische Universität München
Wahr oder Falsch?
1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h M i ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
Für v1 , v2 ∈ V gilt: {v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear
unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
Es gibt eine lineare Abbildung f : R2 → R2 mit
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
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55
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
4
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
7
⇐=
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
MB 0 , B 0 ≈ MB , B
7
oder MC 0 ,B 0 ∼ MC ,B
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58
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
7
=⇒
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
7
dim(V ) = dim(ker( f )) + dim(im( f ))
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
1
1
3
1
1
0
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
4
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61
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1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
1
1
3
1
1
0
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
4
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62
Technische Universität München
1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
7
Voraussetzung: U1 ∩ U2 = {0}
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63
Technische Universität München
1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
7
f (1, 1) = (1, 2)
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64
Technische Universität München
1
Für A, B ∈ Matn×n (K): rg( AB) = n ⇐⇒ (rg( A) = n und rg( B) = n)
2
A und B sind äquivalent =⇒ A und B sind ähnlich
3
MC 0 , B 0 ( φ ) ≈ MC , B ( φ )
4
Für M, N ⊆ V gilt: M ⊆ N ⇐⇒ h Mi ⊆ h N i
5
Für f : V → V gilt V = im( f ) + ker( f )
6
7
8
9
10
{( x1 , x2 , x3 ) : x2 = x1 } ist ein Unterraum des R3 .
{v1 , v2 } ist linear unabhängig ⇐⇒ {v1 , v1 + v2 } ist linear unabhängig
B1 Basis von UVR U1 , B2 Basis von UVR U2 =⇒ B1 ∪ B2 Basis von U1 + U2 .
2
2 mit
Es
gibt
eine lineare
Abbildung
f :R → R
1
1
1
1
0
0
f
=
, f
=
, f
=
.
0
1
1
3
1
1
Die Zeilen der Matrix A ∈ Mat4×3 (Q) seien ein Erzeugendensystem des Q3 .
Dann ist die zugehörige lineare Abbildung f = ` A : Q3 → Q4 , x 7→ Ax injektiv.
4
Konrad Waldherr: Eintageskurs Lineare Algebra 1
Zentrum Mathematik, Februar 2013
65
Technische Universität München
Aufgaben zu Teil 2
Konrad Waldherr: Eintageskurs Lineare Algebra 1
Zentrum Mathematik, Februar 2013
66
Technische Universität München
3.Einheit: Eigenwerte und Eigenvektoren
Konrad Waldherr: Eintageskurs Lineare Algebra 1
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67
Technische Universität München
Eigenwerte und Eigenvektoren
Definition
Es sei V ein K-Vektorraum und f : V → V linear. Dann heißt λ ∈ K Eigenwert von f ,
falls es v 6= 0 in V gibt mit f (v) = λv. Der Vektor v 6= 0 heißt zugehöriger Eigenvektor.
Für endlich-dimensionalen Vektorraum V gilt:
λ ∈ K ist Eigenwert von f ⇐⇒
Eigenraum V ( f , λ) := ker(λid − f ) 6= {0} ⇐⇒
charakteristisches Polynom χ M B,B ( f ) (λ) := det(λ1 − M B,B ( f )) = 0.
Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren:
• Eigenwerte aus Bedingung det(λid − f ) = 0 (Nullstellenproblem)
• Eigenvektor zum Eigenwert λ0 : ker(λ0 1 − M B,B ( f )) (homogenes lineares
Gleichungssystem)
Für A ∈ Matn×n (K) ist das charakteristische Polynom von der Form
χ A = |{z}
1 · X n + (−1) tr( A) X n−1 +sn−2 X n−2 + · · · +s1 X + (−1)n det( A) .
| {z }
|
{z
}
=sn
= s n −1
= s0
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68
Technische Universität München
Satz von Cayley-Hamilton, Minimalpolynom
Satz von Cayley-Hamilton
Für A ∈ Matn×n (K) gilt χ A ( A) = 0 ∈ Matn×n (K).
Definition: Minimalpolynom
Das Minimalpolynom von A ist das normierte Polynom µ A von kleinstmöglichen Grad
mit der Eigenschaft µ A ( A) = 0.
• Für jedes p ∈ K[ X ] mit p( A) = 0 (insbesondere für p = χ A ) gilt µ A | p.
• χ A (λ) = 0 =⇒ µ A (λ) = 0.
• Ist χ A = ( X − λ1 )n1 · · · ( X − λr )nr mit paarweise verschiedenen λi , so gilt
µ A = ( X − λ 1 ) m1 · · · ( X − λ r ) mr
mit 1 ≤ mi ≤ ni
Algorithmus zur Bestimmung von µ A :
1. Berechne χ A .
2. Bestimme minimale mi mit µ A ( A) = 0.
Hauptraum, erweiterter Eigenraum von A zum Eigenwert λi :
H ( A, λi ) := ker ((λi 1 − A)ni ) ⊇ ker (λi 1 − A) = V ( A, λi ) .
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Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit
Definition
Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f : V → V linear. f heißt
a) trigonalisierbar
b) diagonalisierbar
falls es eine geordnete Basis B von V gibt, so dass M B,B ( f )
a) obere Dreiecksmatrix
b) Diagonalmatrix ist.
Satz
• f : V → V ist trigonalisierbar ⇐⇒ χ f zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
• f : V → V ist diagonalsierbar ⇐⇒
Es gibt eine Basis von V aus Eigenvektoren von f ⇐⇒
χ f zerfällt vollständig in Linearfaktoren und für jeden Eigenwert α gilt
ordα (χ f ) = dim(V (χ f , α)) ⇐⇒
µ f ist von der Form ( X − λ1 ) · · · ( X − λr ) für paarweise verschiedene λi .
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Beispiel
Gegeben sei die Matrix

2
A = 2
3
1
1
1

−2
−2
−3
• Berechne das charakteristische Polynom
• Bestimme die Eigenwerte und Eigenräume
• Bestimme das Minimalpolynom
• Ist A diagonalisierbar? Falls ja, gib die entsprechende Transformation an.
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Beispiel
Das charakteristische Polynom χ A = det( X1 − A) lautet
X −2 −1
2
χ A = det −2 X −1 2
−3
−1 X +3
= ( X − 2)( X − 1)( X + 3) + 6 + 4 + 6( X − 1) + 2( X − 2) − 2( X + 3)
= X 3 − X = X ( X − 1)( X + 1) .
Eigenwerte und Eigenräume:
−2 −1 2
−2 −1 2
−3 −1 3
−2 −1 2 1
=h 0 i
1
1
−1 −1 2
−1 −1 2
λ2 = 1 :V ( A, λ2 = 1) = ker −2 0 2 = ker 0 2 −2 = h 1 i
1
0 2 −2
−3 −1 4
1
−3 −1 2
−3 −1 2
λ3 = −1 :V ( A, λ3 = −1) = ker −2 −2 2 = ker 0 −4 2 = h 1 i
λ1 = 0 :V ( A, λ1 = 0) = ker
−3 −1 2
= ker
0
0
0 0
1 0
0
0 0
2
Minimalpolynom: µ A = X ( X − 1)( X + 1) = χ A (da alle Nullstellen einfach)
A ist diagonalisierbar, da die Matrix 3 verschiedene Eigenwerte hat:




1 1 1
0 0
0
−
1
0 
mit S := 0 1 1 gilt: S AS = 0 1
1 1 2
0 0 −1
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Eigenschaften ähnlicher Matrizen
Sind A und B ähnlich, so lassen sie sich interpretieren als Darstellungsmatrizen
derselben linearen Abbildung (bzgl. geeigneter Basen).
Für ähnliche Matrizen A und B gilt:
• rg( A) = rg( B) ⇐⇒ A ∼ B
• det( A) = det( B)
• tr( A) = tr( B)
• A und B haben die gleichen Eigenwerte
• χ A = χB
• µ A = µB
• dim(V ( A, λ)) = dim(V ( B, λ)) für alle λ
• dim( H ( A, λ)) = dim( H ( B, λ)) für alle λ
Achtung: Die genannten Bedingungen reichen nicht aus, um Ähnlichkeit zu zeigen!
• Für diagonalisierbare Matrizen A und B gilt:
A ≈ B ⇐⇒ A und B haben die gleichen Eigenwerte mit gleicher Vielfachheit.
• Vollständige Charakterisierung für trigonalisierbare Matrizen:
Jordan-Normal-Form.
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Begriffe
Eigenwerte, Eigenvektoren
• Eigenwert, Eigenvektor
• Eigenraum
• charakteristisches Polynom
• Vielfachheit eines Eigenwerts
• Satz von Cayley-Hamilton
Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit
• Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit
• Diagonalmatrix, obere Dreiecksmatrix
• Minimalpolynom
• Hauptraum
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A.
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒. A hat n verschiedene Eigenwerte.
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar.
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0 .
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar.
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A.
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte.
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
7
⇐=
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
7
⇐=
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
4
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Wahr oder falsch?
1
A ∈ Matn×n (K) diagonalisierbar mit einzigem Eigenwert λ ⇐⇒ A = λ1.
2
A ist invertierbar ⇐⇒ 0 ist kein Eigenwert von A
3
A ∈ Matn×n (K) ist diagonalisierbar ⇐⇒ A hat n verschiedene Eigenwerte
4
A ist diagonalisierbar =⇒ A ist trigonalisierbar
5
χ A = χ A0 ⇐⇒ A ≈ A0
6
A ∈ Matn×n (C) ist trigonalisierbar
7
λ ist Eigenwert von A ∈ Matn×n (R) =⇒ λ̄ ist Eigenwert von A
8
A ∈ Matn×n (K) hat höchstens n Eigenwerte
9
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig
10
Es sei φ : R4 → R3 eine lineare Abbildung mit dim(V (φ, 0)) = 1. Dann ist φ
surjektiv.
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Aufgaben zu Teil 3
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Last but not least...
• Bitte noch anmelden, falls noch nicht geschehen!
• Bitte an der Umfrage teilnehmen!
• Alte Hausaufgaben abholen!
•
Danke für die Aufmerksamkeit!
•
Viel Erfolg in der Klausur!
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