Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Massenpunkt. Vektoren von Ort, Geschwindigkeit
und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Gleichförmig geradlinige Bewegung . . .
1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung . .
1.2.3 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . .
1.2.4 Superposition von Bewegungen . . . . .
1.3 Einheiten von Länge und Zeit. Dimensionen.
Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Dynamik eines einzelnen Massenpunktes . . . . . . . . . .
2.1 Schwere Masse. Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kraft als Vektorgröße . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Beispiele von Kräften, Gewicht, Reibungskraft,
Federkraft. Reduzierung der Reibung
durch Luftkissen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Erstes Newtonsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Zweites Newtonsches Gesetz. Träge Masse . . . . . . .
2.5 Drittes Newtonsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Anwendungen: Federpendel. Mathematisches Pendel.
Fall und Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Federpendel
(eindimensionaler harmonischer Oszillator) . .
2.6.2 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Fall und Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Wurf mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VIII
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
Inhaltsverzeichnis
Kraftfelder. Feldstärke. Gravitationsgesetz . . . . . .
Potential. Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . .
Konservatives Kraftfeld als Gradient des Potentialfeldes
Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energieerhaltungssatz für konservative Kraftfelder . .
Einheiten der Energie. Leistung und Wirkung . . . . .
Drehimpuls und Drehmoment . . . . . . . . . . . . .
Bewegung im Zentralfeld . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung im zentralen Gravitationsfeld . . . . . . .
Beschreibung der Planetenbewegung im Impulsraum .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Dynamik mehrerer Massenpunkte . . . . . . . .
3.1 Impuls eines Systems zweier Massenpunkte.
Schwerpunkt. Impulserhaltungssatz . . . . . .
3.2 Verallgemeinerung auf mehrere Massenpunkte.
Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . .
3.4 Drehimpuls. Drehimpulserhaltungssatz . . . .
3.5 Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
3.5.2 Planetenbewegung . . . . . . . . . .
3.5.3 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . .
3.6 Mehrkörperproblem . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Numerische Lösung . . . . . . . . .
3.6.2 Beispiele zum Dreikörperproblem . .
3.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Starrer Körper. Feste Achsen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit
und Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Impuls. Zentripetalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment. Bewegungsgleichung
4.4 Bewegung im Schwerefeld. Physikalisches Pendel . . .
4.5 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Rotationsenergie. Energieerhaltung . . . . . . . . . . .
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . .
5.1 Translationen . . . . . . . . . .
5.2 Rotation des Koordinatensystems
5.3 Galilei-Transformationen . . . .
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
6 Nichtinertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zeitabhängige Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Gleichförmig rotierendes Bezugssystem. Zentrifugalkraft.
Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX
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7 Starrer Körper. Bewegliche Achsen . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Die Freiheitsgrade des starren Körpers . . . . . . . . . .
7.2 Eulersches Theorem. Zeitableitung beliebiger Vektoren . .
7.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment des starren Körpers
bei Rotation um einen festen Punkt . . . . . . . . . . . .
7.4 Trägheitstensoren verschiedener Körper.
Hauptträgheitsachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Drehimpuls und Trägheitsmoment um feste Achsen . . . .
7.6 Trägheitsellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Bewegungsgleichungen des starren Körpers.
Drehimpulserhaltungssatz. Eulersche Gleichungen . . . .
7.9 Kinetische Energie des starren Körpers.
Translationsenergie. Rotationsenergie. Energieerhaltungssatz
7.10 Kräftefreier Kugelkreisel . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Kräftefreie Rotation um eine Hauptträgheitsachse . . . . .
7.12 Kräftefreie Rotation um eine beliebige Achse.
Poinsotsche Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.14 Kreisel unter der Einwirkung von Kräften.
Larmor-Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Ungedämpfte Schwingung. Komplexe Schreibweise . . .
8.3 Phasenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Erregter Oszillator. Schwingungsgleichung . . . .
8.5.2 Lösung der Schwingungsgleichung . . . . . . . .
8.5.3 Stationäre Schwingung . . . . . . . . . . . . . .
8.5.4 Energie- und Leistungsbilanz. Resonanz . . . . .
8.5.5 Einschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.6 Grenzfall verschwindender Dämpfung. Schwebung
8.5.7 Resonanzkatastrophe . . . . . . . . . . . . . . .
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201
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X
Inhaltsverzeichnis
Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Nichtlineare Dynamik. Deterministisches Chaos . . . . . . .
9.1 Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Lineare Bewegungsgleichung. Stabilität. Fixpunkte . . . .
9.3 Nichtlineare Bewegungsgleichung. Linearisierung . . . .
9.4 Grenzmengen. Attraktoren. Poincaré-Darstellung . . . . .
9.5 Stabile und seltsame Attraktoren. Deterministisches Chaos
9.6 Feigenbaum-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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233
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10 Wellen auf ein- und zweidimensionalen Trägern
10.1 Longitudinale Wellen . . . . . . . . . . . .
10.2 Transversale Wellen . . . . . . . . . . . . .
10.3 Allgemeine Lösung der Wellengleichung . .
10.4 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . .
10.5 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . .
10.6 Energiedichte und Energiestromdichte . . .
10.7 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Laufende Welle auf eingespannter Saite . . .
10.10 Membranschwingungen . . . . . . . . . . .
10.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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303
11 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Elastische Körper . . . . . . . . .
11.2 Dehnung . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Dehnung und Querkontraktion . .
11.4 Spannungs- und Verzerrungstensor
für den längsverzerrten Quader . .
11.5 Lokaler Verzerrungstensor . . . . .
11.6 Lokaler Spannungstensor . . . . .
11.7 Kraftdichte . . . . . . . . . . . .
11.8 Lokales Hookesches Gesetz . . . .
11.9 Scherung . . . . . . . . . . . . .
11.10 Torsion . . . . . . . . . . . . . .
11.11 Biegung . . . . . . . . . . . . . .
11.12 Aufgaben . . . . . . . . . . . . .
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345
Inhaltsverzeichnis
12 Wellen in elastischen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Eulersche Bewegungsgleichung elastischer Medien . . . .
12.2 Zerlegung in Quell- und Wirbelfeld . . . . . . . . . . . .
12.3 Das Quellfeld. Longitudinalwellen
im unendlich ausgedehnten Medium . . . . . . . . . . .
12.4 Das Wirbelfeld. Transversalwellen
im unendlich ausgedehnten Medium . . . . . . . . . . .
12.5 Verzerrungs- und Spannungstensoren
von Transversal- und Longitudinalwellen . . . . . . . . .
12.6 Reflexion und Brechung
der Transversal- und Longitudinalwelle an der Oberfläche
eines Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Transversal- und Longitudinalwellen in einer Materialplatte
12.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Deformation eines Flüssigkeitselementes . . . . . . .
13.2 Rotations- und Verzerrungsgeschwindigkeitstensor . .
13.3 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Konservative äußere und innere Kräfte . . . . . . . .
13.5 Ideale Flüssigkeiten. Eulersche Bewegungsgleichung .
13.6 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Gleichförmig rotierende, inkompressible,
ideale Flüssigkeit im Schwerefeld . . . . . . . . . . .
13.8 Stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit.
Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Energiesatz für die nichtstationäre Strömung
der idealen Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.10 Spannungstensor der Reibung einer zähen Flüssigkeit.
Stokessches Reibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . .
13.11 Navier–Stokes-Gleichung. Ähnlichkeitsgesetze . . . .
13.12 Strömung durch Röhren. Hagen–Poiseuille-Gesetz . .
13.13 Reibungswiderstand einer Kugel
in einer zähen Flüssigkeit. Stokessches Reibungsgesetz
13.14 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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XI
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349
351
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355
357
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372
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408
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409
409
Anhang
A Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1 Begriff des Vektors . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Vektoralgebra in koordinatenfreier Schreibweise .
A.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
A.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren .
XII
Inhaltsverzeichnis
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412
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422
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424
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427
428
431
B Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1 Basistensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Allgemeine Tensoren. Rechenregeln . . . . . . . . . . .
B.3 Darstellung durch Links- und Rechtsvektoren . . . . . . .
B.4 Produkt von Tensor und Vektor . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Produkt zweier Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6 Vektorprodukt in Tensorschreibweise . . . . . . . . . . .
B.7 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.8 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.9 Matrixinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.10 Zerlegung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren
B.11 Abbildungen durch einfache Tensoren . . . . . . . . . . .
B.12 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.13 Infinitesimale Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.14 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.15 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . .
B.16 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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433
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436
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444
445
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452
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461
466
C Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1 Skalarfelder und Vektorfelder . . . . . . . . . . .
C.2 Partielle Ableitungen. Richtungsableitung. Gradient
C.3 Nabla-Operator in Kugel- und Zylinderkoordinaten
C.4 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.6 Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.7 Totale Zeitableitung . . . . . . . . . . . . . . . .
468
468
470
477
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485
A.3
A.4
A.5
A.6
A.2.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.5 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.6 Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoralgebra in Koordinatenschreibweise . . . . . . .
A.3.1 Einheitsvektor. Kartesisches Koordinatensystem.
Vektorkomponenten . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . .
A.4.1 Vektor als Funktion eines Parameters. Ortsvektor
A.4.2 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtkartesische Koordinatensysteme . . . . . . . . . .
A.5.1 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3 Ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
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511
C.8 Einfache Rechenregeln für den Nabla-Operator
C.9 Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.10 Wegunabhängiges Linienintegral.
Potentialfunktion eines Vektorfeldes . . . . .
C.11 Oberflächenintegral . . . . . . . . . . . . . .
C.12 Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . .
C.13 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . .
C.14 Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . .
C.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D Taylor-Reihen
E Komplexe Zahlen
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F Die wichtigsten SI-Einheiten der Mechanik
514
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520
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522
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545
Hinweise und Lösungen zu den Aufgaben
Sachverzeichnis
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