Analysis II

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Verena Bögelein
Besprechung: 11.01.2016
Analysis II
9. Übungsblatt
Theorieaufgaben
1. Erklären Sie im Kontext metrischer Räume den Begri des Grenzwertes einer Funktion
bei Annäherung an einen Häufungspunkt.
2. Erklären Sie den Begri der Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen.
3. Geben Sie eine topologische Charakterisierung der Stetigkeit an.
Rechen-/Beweisaufgaben
Aufgabe 47
Seien −∞ < a < b < ∞ und X := C 0 ([a, b]) der Vektorraum der stetigen reellwertigen
Funktionen auf [a, b]. Auf X denieren wir zwei Normen, die Supremumsnorm k · k∞ , und die
Norm k · k1 aus Aufgabe 11, d. h. wir betrachten die beiden Normen
Zb
kf k1 :=
|f (x)| dx
und
kf k∞ := sup |f (x)|
a
x∈[a,b]
für f ∈ X . Ferner sei k : [a, b]2 → R eine stetige Funktion. Wir denieren die Abbildung
K : X → X durch
Zb
(Kf )(x) :=
k(x, y)f (y) dy
für alle x ∈ [a, b] für alle f ∈ X.
a
(a) Überprüfen Sie, dass Kf ∈ X und zeigen Sie, dass K eine lineare Abbildung ist.
(b) Zeigen Sie, dass K : (X, k · k1 ) → (X, k · k1 ) stetig ist.
(c) Zeigen Sie, dass K : (X, k · k∞ ) → (X, k · k∞ ) stetig ist.
(d) Zeigen Sie, dass K : (X, k · k∞ ) → (X, k · k1 ) stetig ist.
(e) Zeigen Sie, dass K : (X, k · k1 ) → (X, k · k∞ ) stetig ist.
Geben Sie bei den Aufgaben (b)-(e) jeweils eine obere Schranke an die Operatornorm an.
Aufgabe 48
Es sei für b ∈ (0, ∞) der Vektorraum X := C 0 ([0, b]) der stetigen reellwertigen Funktionen
f : [0, b] → R mit der Supremumsnorm kf k∞ := sup{|f (t)| : t ∈ [0, b]} versehen. Die dazu
assoziierte Metrik d : X × X → R ist deniert durch d(f, g) := kf − gk∞ für alle f, g ∈ X .
Zeigen Sie, dass die Abbildung F : (X, d) → (X, d), deniert durch
Zt
F (f )(t) :=
f (s) ds
für alle t ∈ [0, b] für alle f ∈ X,
0
Lipschitz-stetig ist.
Aufgabe 49
Zusätzlich zu den beiden Normen k · k1 und k · k∞ aus Aufgabe 48 denieren wir die Norm
kf kC 1 := kf k∞ + kf 0 k∞
für alle stetig dierenzierbaren reellwertigen Funktionen f ∈ C 1 ([0, 1]).
(a) Zeigen Sie für p ∈ {1, ∞}, dass die Identität id : C 0 ([0, 1]), k · kp → C 0 ([0, 1]), k · kp ,
deniert durch id(f ) = f für alle f ∈ C 0 ([0, 1]), stetig ist.
0
0
(b) Ist id auch als Abbildung von
C ([0,01]), k · k1 nach
C ([0, 1]), k · k∞ bzw. als Abbil0
dung von C ([0, 1]), k · k∞ nach C ([0, 1]), k · k1 stetig?
(c) Entscheiden Sie, ob die Abbildung D : C 1 ([0, 1]) → C 0 [0, 1]), deniert durch D(f ) = f0
für alle f ∈ C 1 ([0, 1]), als Abbildung von C 1 ([0, 1]), k · kC 1 nach C 0 ([0, 1]), k · k∞
stetig ist. Dabei bezeichnet f 0 die Ableitung von f .
(d) Ändert sich das Ergebnis aus (c), wenn man die Abbildung D als Abbildung von
C 1 ([0, 1]), k · k∞ nach C 0 ([0, 1]), k · k∞ auasst?
Aufgabe 50
Sei (X, T ) ein topologischer Raum und A ⊂ X . Man nennt x ∈ X einen Berührpunkt von A
genau dann, wenn A ∩ U 6= ∅ für alle Umgebungen U von x gilt bzw. einen Häufungspunkt
von A genau dann, wenn A ∩ (U \ {x}) 6= ∅ für alle Umgebungen U von x gilt. Zeigen Sie,
dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) A = A.
(ii) Jeder Berührpunkt von A gehört zu A.
(iii) Jeder Häufungspunkt von A gehört zu A.
Aufgabe 51
(a) Sei (Y, TY ) ein topologischer Raum, X eine Menge, und f : X → (Y, TY ) eine Abbildung.
Zeigen Sie, dass das Mengensystem TXf := {f −1 (A) : A ∈ TY } eine Topologie auf X
deniert. (Man nennt TXf die Urbildtopologie.)
(b) Sei (X, TX ) ein topologischer Raum und A ⊂ X . Zeigen Sie, dass das Mengensystem
TA := {T ∩ A : T ∈ TX } eine Topologie auf A deniert. (Man nennt TA die Relativ- oder
Spurtopologie auf A und (A, TA ) heiÿt topologischer Unterraum von (X, TX ).)
Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!