Formelsammlung zur Differential und Integralrechnung

Formelsammlung zur Differential und Integralrechnung
Allgemein gelten folgende Voraussetzungen:
f(x) , g(x) , k(x) , u(x) und v(x) sind sowohl ableitbar (d.h. differenzierbar) als auch integrierbare Funktionen.
F(x), G(x) usw. sind entsprechende Stammfunktionen.
Die Zahlen a,b,c und k sind reelle Zahlen.
Ableitungsregeln
Potenzregel:
f(x) = xa
Faktorregel:
f(x) = a·g(x)
Summenregel: f(x) = u(x) + v(x)
→ f '(x) = a·xa-1
→ f '(x) = a·g'(x)
→ f '(x) = u'(x) + v'(x)
Produktregel:
z.B.:
f(x) = u(x) · v(x)
f(x) = x² · ex
→ f '(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
→ f '(x) = 2x · ex + x² · ex
Kettenregel:
z.B.:
f(x) = u( v(x) )
f(x) = sin(x³+x²)
→ f '(x) = v'(x)
· u'( v(x) )
→ f '(x) = (3x² + 2x) · cos(x³+x²)
f (x )=
Quotientenregel:
u( x)
v ( x)
f ' (x )=
→
z.B.: f(x) = x³
→ f '(x) =3x²
z.B.: f(x) = 5·x³ → f '(x) =5·3x²
z.B.: f(x) = x³+x² → f '(x) =3x² + 2x
u ' ( x )· v ( x )– u ( x )· v ' ( x )
(v (x ))2
Bestimmung von Stammfunktionen durch "umgekehrte Anwendung der Ableitungsregeln"
Allgemein gilt: Eine Funktion F ist genau dann Stammfunktion von f wenn gilt: F '(x) = f(x).
Potenzregel:
f(x) = xa
→ F(x) = 1/(a+1) · x(a+1)
z.B.: f(x) = x²
Faktorregel:
f(x) = a·g(x)
→ F(x) = a · G(x)
z.B.: f(x) = 5·x²
Summenregel: f(x) = u(x) + v(x) → F(x) = U(x) + V(x)
z.B.: f(x) = ex + x²
→ F(x) = ⅓ x³
→ F(x) =5· ⅓ x³
→ F(x) =ex + ⅓ x³
Wichtige Ableitungen bzw. Stammfunktionen:
Die Ableitung von ex lautet ex
Eine Stammfunktion von ex lautet ex
1
Die Ableitung von ln(x) lautet /x
Eine Stammfunktion von 1/x lautet ln(|x|)
Eine Stammfunktion von v'(x)/v(x) lautet ln(|v(x)|)
Eine Stammfunktion von ln(x) lautet x·ln(x) - x
Bei den Funktionen sin und cos ist für eine Ableitung den Pfeilen zu folgen. Für die Bildung einer
Stammfunktion geht man umgekehrt vor.
Rechenregeln und Formeln für Integrale:
c
Regel 1:
∫a
Regel 2:
∫a
Regel 3:
∫a
b
b
b
c
f ( x) dx =∫a f ( x ) dx +∫b f (x ) dx
f (x) dx ±
b
∫a
g ( x) dx =
b
∫a
f ( x)±g (x) dx
b
k⋅f ( x) dx =k⋅∫a f ( x) dx
M=
Mittelwert einer Funktion im Intervall [a;b]:
b
1
⋅∫a f ( x) dx
b−a
Volumen von Rotationskörpern (bei Rotation von f um die x-Achse im Intervall [a,b] ):
Potenzgesetze (für
a∈ℝ
und a > 0,
a x⋅a y =a x +y
Beispiele e x⋅e 3 x=e 4 x
x ∈ℝ ,
b
2
V = π⋅∫a ( f (x) ) dx
y ∈ℝ )
a x ÷a y=a x − y
(a x )y =a x⋅y
e x +2 2
x =e
e
2 =( e
x
und
a 0,5 = √ a ;
a−2 =
1
2
a
ln (2) x
) =ex⋅ln( 2)
Logarithmusgesetze
(loga(b) ist nur definiert für a > 0 und b > 0 !)
Es ist e≈2,718 die eulersche Zahl. Als Abkürzung schreibt man ln(b) für loge(b), also den Logarithmus zur Basis b.
log a (b⋅ c ) = log a (b) + loga (c )
log a (b÷c) = loga (b) − loga (c )
log a (br ) = r ⋅ loga (b)
ln (2 e) = ln (2) + ln (e ) = ln (2) + 1
ln (½) = ln (1) – ln (2) = −ln (2)
ln (2x ) = x ⋅ ln(2)
Tangente an f im Punkt P(xp | f(xp)):
t(x) = f '(xp)·(x – xp) + f(xp)
Taschenrechnertipps:
Speichern eines Zwischenergebnisses in einer Variablen, z.B.:
Berechnung eines Integrals:
∫(X^3,A,4)
Lösen einer Gleichung:
SolveN(X^3 = 5)
Funktionswert einer Funktion aus dem Grafikmenü: Y1(3)
(Punkt-Steigungsform mit m = f '(x) )
√2→A
mit Tippfolge: EXIT EXIT OPTN F4 F4
mit Tippfolge: EXIT EXIT OPTN F4 F5
mit Tippfolge: EXIT EXIT VARS F4 F1