Vorlesung Hydrodynamik (Mechanik der Fluide) R. Folk Institut für Theoretische Physik, Universität Linz Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 6 1.1 Die Flüssigkeit als Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Beschreibung der Dynamik der Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Lagrange’sche Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Euler’sche Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Stromlinien und Bahnlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Ansatz für die Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Die übrigen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 Grenzfälle der Navier-Stokes’schen Gleichungen . . . . . . 19 2 Hydrostatik 21 2.1 Die barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Stabiblität eines Sterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Sternentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Gleichgewicht in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Der rotierende Eimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Der rotierende Stern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Astrophysikalische Probleme 3.1 37 Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 37 3 3. März 2008 3.2 Die Eulergleichungen in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Druckloser Kollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Die Bonnor-Ebert Sphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Akkretionsscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Die Eulerschen Gleichungen 4.1 4.2 Stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Ausfluß eines Gases aus einem Überdruckkessel . . . . . . 49 Allgemeine Untersuchung der Euler’schen Gleichungen . . . . . . 55 4.2.1 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.2 Impuls- und Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.3 Erhaltung der Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 Potentialströmungen 5.1 44 62 Ebene Potentialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.1 Konforme Abbildungen und einfache Beispiele . . . . . . . 65 5.1.2 Zirkulation, Kraft und Drehmoment einer allgemeinen Strömung um einen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.3 Strömung um einen Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.4 Ausfluß aus einem Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2 Strömung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3 Diskontinuitätsflächen und Totwasser . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.1 Einige weitere Beispiele konformer Abbildungen . . . . . . 84 5.3.2 Platte mit Totwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.3 Ausfluß durch ein Loch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Potentialströmung um zwei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 4 3. März 2008 6 Zähe Flüssigkeiten 95 6.1 Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2 Laminarströmung durch ein Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Laminarströmung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Die Zähigkeit einer Suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.5 Stabilität der Laminarströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.5.1 Allgemeine Vorgangsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.5.2 Ebene Probleme und die Orr-Sommerfeld Gleichung . . . . 104 7 Kompressible Fluide 7.1 7.2 107 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1.1 Linearisierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1.2 Eindimensionale Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Stoßwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.1 Spezielle Lösungen p=h(v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.2 Allgemeine Lösung nach Riemann . . . . . . . . . . . . . . 115 8 Wärmeleitungsgleichung 121 8.1 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.2 Wärmeleitung in der inkompressiblen Flüssigkeit . . . . . . . . . . 122 9 Chaos und Fraktale Attraktoren 123 9.1 Die Rayleigh-Benard Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.2 Der Lorenzattraktor und das Phasendiagramm . . . . . . . . . . . 127 10 Magnetohydrodynamik 10.1 Herleitung der Gleichungen 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.2 Magnetische Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.3 Magnetohydrodynamische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3. März 2008 11 Literatur 5 140 Kapitel 1 Allgemeines 1.1 Die Flüssigkeit als Kontinuum Die Newton’sche Mechanik beschreibt die Bewegung von Teilchen im klassischen Sinne unter dem Einfluß der gegenseitigen Wechselwirkung (im allgemeinen Zweiteilchenkräfte) und äußeren Kräften. Typischerweise behandelt man Probleme, bei denen nur wenige Teilchen vorkommen (etwa das Planetensystem). Wird die Bewegung von makroskopischen Körpern betrachtet, so werden diese als starr angenommen, dh. die relativen Lagen der Teilchen zueinander bleiben fest (feste Phase). Solch wechselwirkende Teilchen einer Substanz kommen aber nicht nur in festen Phasen vor sondern, je nach Wert der thermodynamischen Felder, wie Druck und Temperatur (siehe Fig. 1.1), auch in einer flüssigen und gasförmigen Phase. Auch wenn sich die Abstände der Teilchen ändern können (dies ist auch in der festen Phase so, man sagt der Körper ist elastisch) so ist das Verhalten der vielen Teilchen doch in einer gewissen Weise geordnet (man denke z.b. an das Verhalten des Rauchs einer Zigarette, in Aufwärtsströmung oder bei der Ringbildung). Um das dynamische Verhalten solcher Phasen zu beschreiben muß man eine Kontinuumstheorie entwickeln, die die Beschreibung der Substanz durch makroskopisch viele Bewegungsgleichungen für die Teilchen (1 mol einer Substanz enthält 1023 Teilchen !) ersetzt durch wenige Gleichungen, die das kollektive Verhalten beschreiben. Der Preis der dafür zu zahlen ist, ist das Auftreten von phänomenologischen Konstanten für die Substanz (Materialkonstanten), die von anderswoher (zB. dem Experiment, oder einer mikroskopischen Theorie) genommen werden müssen. Diese Konstanten beschreiben die Substanz in ihrer Phase und enthalten die Wechselwirkungen der Teilchen untereinander (wie zB. die 6 7 3. März 2008 Abbildung 1.1: Typisches Phasendiagramm Kompressibilität oder der Schermodul). Diese mikroskopischen Wechselwirkungen kommen in den Bewegungsgleichungen für das Kontinuum nicht mehr vor (man denke an die Elektrodynamik in Materie, wo die mikroskopischen Wechselwirkungen in der Substanz ebenfalls in Konstanten wie Dielektrizitätskonstante oder Permeabilität versteckt wurden). Solche Materialkonstanten werden im Rahmen einer Herleitung aus den mikroskopischen Gleichungen berechnet (mit mehr oder weniger Näherungen) siehe dazu Statistische Mechanik VL: Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen aus kinetischen Gleichungen über die Boltzmanngleichung mittels der Chapman-Enskog Entwicklung. Die Hydrodynamik beschäftigt sich nur mit fluiden (also flüssigen und gasförmigen) Phasen sie enthält also auch die Aerodynamik. Feste Phasen werden in der Elastizitätstheorie (VL) behandelt. Der wesentliche Unterschied im Sinne der Kontinuumstheorie zu den festen Phasen ist das Fehlen der Quersteifigkeit in den fluiden Phasen (keine transversalen Wellen in Fluiden). Die Beschreibung des Zustands eines Kontinuums erfolgt durch die Angabe gewisser Felder, wie etwa der Dichte (skalares Feld) oder des Geschwindigkeitsfeldes (Vektorfeld). Diese Felder sind lokal definiert durch einen Mittelungsprozeß über ein den betrachteten Punkt umgebendes Volumen, das noch immer viele mikroskopische Teilchen enthält. In dieser Weise werden makroskopische Flüssigkeitsteilchen definiert (im Unterschied zu den Molekülen). Diese Vorgangsweise gibt nun an wie man etwa durch Lösung der mikroskopischen Bewegungsgleichungen (Molekulardynamik) zu den hydrodynamischen Gleichungen bzw. den Feldern kommt. 8 3. März 2008 Eine weitere Vorausetzung der Kontinuumsbeschreibung ist die lokale Gültigkeit der thermodynamischen Relationen. Dh. es existieren lokale thermodynamische Potentiale zB. die innere Energie pro Masse (~r, t) die eine Funktion der Entropie pro Masse s(~r, t) und des Volumens pro Masse ρ(~r1,t) ist. Dann gilt d(~r, t) = T (~r, t)ds(~r, t) + p(~r, t) dρ(~r, t) ρ(~r, t)2 und als Konsequenz ~ r , t) ~ r , t) = T (~r, t)∇s(~ ~ r , t) + p(~r, t) ∇ρ(~ ∇(~ ρ(~r, t)2 und ∂ ∂ p(~r, t) ∂ (~r, t) = T (~r, t) s(~r, t) + ρ(~r, t) ∂t ∂t ρ(~r, t)2 ∂t Diese thermodynamischen Größen beinhalten die mikroskopischen Wechselwirkungen und tragen dem Umstand Rechnung, daß das Kontinuum eine Substanz im Sinne der Thermodynamik ist. Unter einer hydrodynamischen Beschreibung können wir noch allgemeiner eine Beschreibung irgendeiner Substanz verstehen, solange sie nur als Kontinuum betrachtet werden kann. Also z.b. auch einer magnetischen Substanz. Es ist dann die Magnetisierung ebenfalls eine hydrodynamische Variable, die durch eine hydrodynamische Gleichung (z.Bsp. Diffusionsgleichung) beschrieben wird. Wichtig für die Gültigkeit der hydrodynamischen Beschreibung ist, daß die räumlichen und zeitlichen Änderungen die die Dynamik beschreibt über große Distanzen (kleine Wellenzahlen) und lange Zeiten (niedrige Frequenzen) erfolgen. Anwendungen findet die Hydrodynamik auch in Gebieten wie der Kernphysik (Tröpfchenmodell) in der Astrophysik (da meist die relativistische Verallgemeinerung), in der Plasmaphysik ( als Magnetohydrodynamik), in der Medizin (Stömung des Blutes in Aterien, Sedimentation) und vielen anderen Gebieten. Die mathematische Formulierung der mechanischen Gesetzte für fluide Systeme in Form von partiellen Differentialgleichungen wurde von L. Euler in der 2. Hälfte des 18. Jahrhunderts entwickelt. Diese Formulierung war aber für die technischen Probleme zu Eulers Zeiten weniger brauchbar. Die Anwender (Wie ist eine Springbrunnen zu bauen, wieviel Wasser strömt durch eine Röhre, wie sind Pumpen zu konstruieren etc)) verließen sich eher auf die Erfahrung, und einfache Rechnungen. Die Darstellung ihrer Kenntnisse wurde unter dem Begriff Hydraulik zusammengefaßt. Der anspruchsvollere mathematische Teil wurde in der angewandten Mathematik vorgetragen (z.Bsp. das Lehrbuch von A. Kästner). Aber in Gehler Physicalisches Wörterbuch aus dem Jahre findet man :”In der gemeinen Hydraulik begnügt man sich, Werkzeuge zu beschreiben, womit das Wasser theils zum wirklichen Nutzen in der Oekonomie, dem Bergbaue, verschiedenen Künsten u. s. w., theils auch zum Vergnügen, gehoben und bewegt 9 3. März 2008 werden kan. Man ist aber ohne Beyhülfe der höhern Mathematik nicht einmal im Stande, die Wirkungen dieser Werkzeuge gehörig zu berechnen; ein gründliches Studium der Hydraulik muß daher stets mit Anwendungen der höhern Mathematik oder mit Hydrodynamik begleitet werden.” Hinweis auf andere Vorlesungen SS2008: • Strömungsmechanik I (Mechatronik) • Numerische Methoden der Strömungsmechanik (Mechatronik) • Mathematische Methoden der Kontinuumsmechanik (Mathematik) 1.2 Beschreibung der Dynamik der Flüssigkeit 1.2.1 Lagrange’sche Beschreibung Es wurde bereits bei der Einführung der Felder der Begriff Flüssigkeitsteilchen verwendet. Das Kontinuum ist dann die Gesamtheit aller Flüssigkeitsteichen zu einem bestimmten Zeitpunkt. Man kann nun die Zeitentwicklung des Zustands des Kontinuums angeben indem man die einzelnen Flüssigkeitsteilchen und deren Bahnkurve betrachtet. Dazu muß das Flüssigkeitsteilchen eindeutig identifiziert werden. Ein Flüssigkeitsteilchen befinde sich am Ort ~r0 zur Zeit t0 (meist t0 = 0) in einem festen Koordinatensystem. Ein Vektor in diesem Koordinatensystem wird mit ~r ≡ (x, y, z) ≡ (x1 , x2 , x3 ) dargestellt. Diesen Ort ~r0 als Index genommen identifiziert das Teilchen. Die unabhängigen Variablen der Beschreibung seien nun dieser Index des Flüssigkeitsteilchens ~r0 und die Zeit t. Dann ist der Ort dieses Teilchens zur Zeit t ~r = ~r(~r0 , t) mit r~0 = ~r(~r0 , t0 ) . Das Geschwindigkeitsfeld ergibt sich aus der Zeitabhängigkeit der Position des Teilchens zur Zeit t ∂ ~v (~r0 , t) = ~r(~r0 , t) . ∂L t Der Index L soll dabei erinnern, daß bei der Zeitableitung ~r0 festgehalten wird (Lagrangesche Ableitung) Das Beschleunigungsfeld ist entsprechend ~b(~r0 , t) = ∂ ~v (~r0 , t) ∂L t 10 3. März 2008 und die Bewegungsgleichung für das Kontinuum lautet ρ(~r0 , t) ∂2 ~r(~r0 , t) = ~k(~r0 , t) ∂L2 t Hier tritt rechts die Kraftdichte ~k(~r0 , t) auf (Dimension [dyn/cm3 ]). Daß hier nicht wie bei der Raketengleichung die Zeitableitung von ρ~v auftritt liegt daran daß die Dichte sich nur dadurch ändert, daß sich die Ausgangsmasse auf eine größeres Volumen verteilt, aber nicht ’vernichtet’ wird. Die Dichte am Ort (~r sei ρ(~r, t). Es gilt der Erhaltungssatz für die Gesamtmasse (globaler Erhaltungssatz) Z V Z 3 ρ(~r, t) d x = V0 ρ(~r0 , t0 ) d3 x0 Wegen des eindeutigen Zusammenhangs zwischem ~r und ~r0 (jedes Teilchen ~r0 befindet sich zum Zeitpunkt t an einem von den anderen Teilchen verschiedenen Ort) ist die Funktionaldeterminante |∆| = | ∂~r |= 6 0 ∂~r0 von Null verschieden. Man hat danach Z V0 3 ρ(~r(~r0 , t), t) |∆|d x0 = Z V0 ρ(~r0 , t0 ) d3 x0 und weil das Volumen V0 beliebig war, gilt die Relation für die Integranden ρ(~r0 , t) |∆|(~r0, t) = ρ(~r0 , t0 ) oder anders ausgedrückt ∂ (|∆|(~r0 , t) ρ(~r0 , t)) = 0 . ∂L t Dies ist die differentielle Form des Erhaltungssatzes der Masse. 1.2.2 Euler’sche Beschreibung Die Wahl von ~r0 als unabhängige Variable erweist sich als umständlich. Der Zustand des Kontinuums wird ja eher so beobachtet, daß an festen Raumpunkten ~r die zeitliche Änderung der einzelnen Größen, die nun Felder sind, verfolgt wird. 11 3. März 2008 Abbildung 1.2: Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens Es werden daher nun ~r und t als unabhängige Variablen eingeführt. Ein beliebiges Feld F(~r, t) = F(~r(~r0 , t), t) hat in dieser Darstellung die Zeitableitung ∂F ∂F ~ F = + ~v ∇ ∂L t ∂E t wobei die Eulersche Ableitung (Index E) bei festem ~r zu nehmen ist. Man bezeichnet die Lagrangsche Ableitung auch als totale oder substantielle Ableitung und die Eulersche als lokale Ableitung. Der erste Term rechts entspricht physikalisch der Änderung des Feldes für ein Flüssigkeitsteilchen und der zweite resultiert aus der Bewegung der Flüssigkeitsteilchen. Das Geschwindigkeitsfeld ist definiert durch die Geschwindigkeit am Ort ~r zur Zeit t und das ist die Geschwindigkeit desjenigen Flüssigkeitsteilchens, das sich gerade zur Zeit t bei ~r befindet, wobei unberücksichtigt bleibt auf welcher Bahnkurve sich das Flüssigkeitsteilchen bewegt. Also ist ~v (~r, t) = ∂ ~r0 (~r, t) = ~v(~r0 (~r, t), t) ∂t Wir wollen nun die Kontinuitätsgleichung ins Eulerbild umschreiben. Dazu braucht man die Zeitableitung der Funktionaldeterminante. Diese kann durch das Geschwindigkeitsfeld ausgedrückt werden. Mathematischer Einschub (siehe Gröbner, Matrizenrechnung, BI-Taschenbuch Seite 122ff): P a (A Entwicklung einer Determinante: |A| = ij d )ji wo Ad die Adjunkte zum Element (ij) (i j P fest) ist. Es gilt j Akj Ad jl = |A|δkl . Damit folgt für die Ableitung einer Determinante ∂|A| = (Ad )ji ∂aij Anwendung dieser Formeln auf die Funktionaldeterminante gibt X ∂|∆| X ∂|∆| ∂∆ij ∂ ∂xi = = (∆d )ji = ∂t ∂t ∂x0j ij ∂∆ij ∂t ij 12 3. März 2008 X (∆d )ji ij X (∆d ∆)li li Also X ∂xl ∂vi ∂vi = (∆d )ji = ∂x0j ∂x0j ∂xl lij X ∂vi ∂vi = = |∆| div ~v |∆| δil ∂xl ∂xl li ∂|∆| = |∆| div ~v ∂t Damit kann man die Gleichung für die Masseerhaltung umschreiben in " # ∂ρ ∂(ρ |∆|) = |∆| + ρ div ~v = 0 ∂L t ∂L t Verwenden wir nun noch die Umschreibung in das Eulerbild ∂ρ ∂ρ ~ = + ~v ∇ρ ∂L t ∂E t so folgt ∂ρ ~ + ρ div ~v = 0 + ~v ∇ρ ∂E t oder ∂ρ + div(ρ~v ) = 0 ∂E t Dies ist die differentielle Form des Masseerhaltungssatzes. Die lokale Änderung der Dichte erfolgt nur dadurch daß der Strom ~j = ρ~v , der durch die Dichte mal Geschwindigkeit gegeben ist, eine lokale Quelle oder Senke hat; also lokal ein Zuoder Abfluß erfolgt. Einem Quellterm in der Dichte würde ein positiver Term auf der rechten Seite der Gleichung entsprechen. Betrachtet man ein zeitlich festes Volumen V und integriert, so wird die Bedeutung der Terme sichtbar. Man hat ∂ ∂E t Z V ρ(~r, t)d3 x + Z V div~j(~r, t) d3 x = 0 oder nach Anwendung des Gaußschen Satzes I ∂ Z ρ(~r, t)d3 x = − df~~j(~r, t) ∂E t V O Der Term links mißt die Änderung der Masse im Volumen der Term rechts mißt das, was netto aus dem Volumen ausströmt (wenn Integral positiv) bzw. was reinströmt (wenn Integral negativ). Die Bewegungsgleichung im Eulerbild folgt analog durch Umschreiben der substantiellen Ableitung ∂ ∂~v ρ(~r, t) ~v (~r, t) + vi ∂E t ∂xi ! = ~k(~r, t) 13 3. März 2008 Verläuft die Bewegung adiabatisch, so ist die Entropie pro Masse für jedes Flüssigkeitsteilchen während seiner Bewegung erhalten, d.h. ∂s =0 ∂L t und Umschreiben ins Eulerbild ∂s ~ =0 + ~v ∇s ∂E t Man bezeichnet die Strömung als isentropisch. Man beachte den Unterschied zu der Gleichung für die Dichte, die aus einem globalen Erhaltungssatz abgeleitet wurde und die Form einer Kontinuitätsgleichung hat. In einer nicht idealen Flüssigkeit ist zwischen adiabatisch und isentropisch eine Unterschied. Adiabatisch verläuft eine Strömung wenn der Wärmestrom Null ist, sie muß aber nicht isentropisch sein weil es noch andere dissipative Prozesse gibt. Erst wenn diese keine Rolle spielen ist die Strömung isentropisch. Ist außerdem die Entropie für alle Flüssigkeitsteilchen dieselbe so spricht man von einer homoentropischen Strömung. Es ist dann grads = 0. 1.3 Stromlinien und Bahnlinien Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld ~v (~r, t) und es sollen nun die Bahnkurven der einzelnen Flüssigkeitsteilchen berechnet werden. Nach dem vorher Gesagten erhält man die Bahnkurven aus der Differentialgleichung ∂~r = ~v (~r, t) ∂L t mit der Anfangsbedingung ~r(t = t0 ) = ~r0 . Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt, daß Bahnlinien sich nicht schneiden. Im Eulerbild betrachtet man das Geschwindigkeitsfeld zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Linien zu denen in jedem Punkt des Raumes das Geschwindigkeitsfeld tangential ist, heißen Stromlinien. Sie ändern sich mit der Zeit. Stromlinie zu verschiedenen Zeitpunkten können aus verschiedenen Flüssigkeitsteilchen bestehen. Die Bestimmungsgleichung für die Stromlinien lautet d~s × ~v (~r, t) = 0 wo d~s ein Linienelement der Stromlinie ist. Die Bahnlinien berühren also zum betrachteten Zeitpunkt die Stromlinie an dem Ort wo sich das Flüssigkeitsteilchen gerade befindet. Ist das Geschwindigkeitsfeld zeitunabhängig, dann berührt die Bahnlinie eines Flüssigkeitsteilchens immer die entsprechende Stromlinie, also sind die Bahnlinien und Stromlinien identisch. 14 3. März 2008 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 Abbildung 1.3: Bahnkurven (volle) und Stromlinien (strichlierte) Beispiel: Betrachten wir die ebene Strömung, die durch das Geschwindigkeitsfeld ~v (~r, t) = a [at + r0 ] ~er + b~eφ r gegeben ist. Zum Zeitpunkt t = 0 sollen sich die Flüssigkeitsteilchen auf einem Kreis mit Radius r0 befinden. Nun ist für Polarkoordinaten x = r cos(φ) y = r sin(φ) und somit sind die entsprechenden Einheitsvektoren ~er = ~ex cos(φ) + ~ey sin(φ) und ~eφ = ~ey cos(φ) − ~ex sin(φ) also r~er ∂x ∂y 1 ∂r2 ∂~r =x +y = = a2 t + ar0 ∂L t ∂L t ∂L t 2 ∂L t 15 3. März 2008 und analog ∂y ∂x ∂φ ∂~r =x −y = r2 = rb ∂L t ∂L t ∂L t ∂L t Das führt durch Integration auf die Lösung (unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung) r~eφ r2 (t) = a2 t2 + 2ar0 t + r02 = (at + r0 )2 und damit r(t) = at + r0 ∂φ b = ∂L t at + r0 mit der Lösung b a φ(t) = ln 1 + t + φ0 a r0 Eliminiert man t so findet man als Bahnkurve logarithmische Spiralen i ha r = r0 exp (φ − φ0 ) b Die Stromlinien folgen aus d~s = ~er dr + ~eφ rdφ und somit ~ez [bdr − a(at + r0 )dφ] = 0 woraus als Lösungen Archimedische Spiralen folgen r= a [at + r0 ] φ + k b Die Werte k indizieren zu einem festen Zeitpunkt, die verschiedenen Stromlinien (siehe Fig.1.3). 1.4 Die Grundgleichungen Ziel aller hydrodynamischen Probleme ist es im wesentlichen das Geschwindigkeitsfeld ~v(~r, t) aus den gegebenen Gleichungen zu berechnen. Die Newtonsche Gleichung enthält aber neben dem Geschwindigkeitsfeld auch noch die Dichte ρ(~r, t) und wie wir gleich sehen werden den Druck p(~r, t). Für diese beiden Größen stehen die Kontinuitätsgleichung und die Zustandsgleichung zur Verfügung. Dazu kommen dann noch die Randbedingungen und Anfangsbedingungen. 1.4.1 Ansatz für die Kräfte Die Newton’schen Gleichungen für das Geschwindigkeitsfeld enthalten die Kräfte die für die Bewegung der Flüssigkeit verantwortlich sind. Diese müssen nun spezifiziert werden. Einfach ist dies für die Volumskräfte, die an der Flüssigkeit angreifen wie etwa die Schwerkraft. Es ist ~k(~r, t) = −ρ(~r, t)∇Φ(~ ~ r , t) 16 3. März 2008 mit dem Gravitationspotential Φ. Für die Schwerkraft an der Erdoberfläche ist die Kraftdichte dann einfach ~k = ρ~g . Betrachtet man aber eine Flüssigkeit unter der Einwirkung ihrer eigenen Schwerkraft (Sternmodell in der Astrophysik) so folgt das Potential aus der Laplacegleichung mit der Dichte als Quelle (gilt im nichtrelativistischen Grenzfall, für nicht zu hohe Dichten) ∆Φ(~r) = 4πGρ(~r) Greift man ein Volumselement aus der Flüssigkeit heraus, so können Kräfte auf das Volumselement wirken, die an der Oberfläche angreifen. Ein Beispiel sind die Druckkräfte. Kennzeichen dieser Druckkräfte ist, daß sie nur in Richtung der Oberflächennormale wirken können. Deren Gesamtkraft auf ein Volumselement ist (siehe Fig.1.4) ~p = − K I O p df~ = − Z V gradp d3 x . Damit ist die Druckkraftdichte ~kp = −gradp Daneben gibt es aber auch Rei- Abbildung 1.4: Kraft auf Volumen bungskräfte, die über die Oberfläche am Volumselement angreifen. Diese Kräfte können allgemein gerichtet sein, also auch Scherungen enthalten, man setzt daher für die Kraft auf ein Oberflächenelement an (siehe Fig.1.5) dKi = σij dfj Die Gesamtkraft ist dann Ki = I O σij dfj = Z V ∂ σik d3 x = ∂xk Z V σik,k d3 x wobei der Spannungstensor eingeführt wurde. Damit ist die Kraftdichte dieser Oberflächenkräfte ∂ σik ki = σik,k = ∂xk 17 3. März 2008 Abbildung 1.5: Bedeutung des Spannungstensors Dem Spezialfall von Druckkräften entspricht dem Spannungstensor σik = −pδik . Um die Gestalt des Spannungstensors zu finden ist folgendes zu berücksichtigen: • in ruhenden Flüssigkeiten tritt keine Kraftwirkung durch Reibung auf, • nur an Flüssigkeitsflächen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten tritt eine Kraftwirkung auf, • allerdings tritt keine Kraftwirkung auf, wenn das Geschwindigkeitsfeld einer Rotation entspricht. Als Ansatz wird der erste Term in einer Entwicklung des Spannungstensors in den räumlichen Ableitungen der Geschwindigkeit genommen (kleine Geschwindigkeiten) ∂vi ∂vk ∂vj σik = α +β + γδik ∂xk ∂xi ∂xj Dieser Ansatz muß aber zu σik = 0 führen wenn das Geschwindigkeitsfeld einer Rotation entspricht, also für ~v = ~ω × ~r vx = ωy z − ωz y vy = ωz x − ωx z vz = ωx y − ωy x ∂vx = −ωz ∂y ∂vy = ωz ∂x ∂vz = ωx ∂y ∂vx = ωy ∂z ∂vy = ωx ∂z ∂vz = −ωy ∂x 18 3. März 2008 Einsetzen zeigt, daß die Bedingung für α = β erfüllt ist. Es ist vi = imn ωm xn σik also Null für α = β. = α∂k ωm xn imn + β∂i ωm xn kmn + γ∂j ωm xn jmn (1.1) = αωm imk + betaωm kmi (1.2) = (α − β)ωm imk (1.3) Also lautet der gesuchte allgemeinste Spannungstensor für die Reibungskraft ∂vk ∂vi + σik = η ∂xk ∂xi ! + η̄δik ∂vj ∂xj Die Invarianz gegenüber Rotationen hat also zu einem symmetrischen Spannungstensor geführt. Es ist üblich diesen Tensor noch in einen spurlosen Teil und den Einheitstensor zu zerlegen ∂vk 2 ∂vj ∂vi + − δik σik = η ∂xk ∂xi 3 ∂xj ! + ζδik ∂vj ∂xj Die Koeffizienten heißen die Scherviskosität η und die Kompressionsviskosität oder zweite Zähigkeit ζ. Beide sind größer Null, was aus der Entropiezunahme beim irreversiblen Reibungsvorgang folgt (wird hier nicht explizite gezeigt, siehe z.b. Landau, Lifshitz Hydrodynamik Seite 210ff.). Die vollständige Bewegungsgleichung für eine zähe Flüssigkeit lautet damit ∂ ∂ 1 ∂ η ∂ vi = − Φ− p+ vi + vk ∂t ∂xk ∂xi ρ ∂xi ρ ! ζ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ vi + vk + vk ∂xk ∂xk 3 ∂xi ∂xk ρ ∂xi ∂xk oder in anderer Schreibweise ρ ∂ ~ ~v = −ρgradΦ − gradp + η∆~v + ζ + 1 η graddiv~v ~v + ρ ~v ∇ ∂t 3 Historisches: 1822 fügte L. Navier zu den von L. Euler aufgestellten Gleichungen einen Reibungsterm hinzu, der allerdings nur proportional zu ∆~v war (korrekt für inkompressible Flüssigkeiten). 1845 Stokes. 1.4.2 Die übrigen Gleichungen Dazu kommt die Gleichung die die Masseerhaltung ausdrückt, die Kontinuitätsgleichung (wir vermerken im Folgenden nicht explizit, daß wir die Gleichungen in der Eulerschen Beschreibung verwenden) ∂ρ + div(ρ~v ) = 0 ∂t 19 3. März 2008 und die Zustandsgleichung p = p(ρ, T ) die man aus der Thermodynamik entnimmt. Für Gase nimmt man meist ideale Gase bzw. wenn γ = cp /cv unabhängig von der Temperatur ist perfekte Gase. Es fehlt noch eine Gleichung so daß auch das Temperaturfeld bestimmt werden kann. Diese Gleichung wäre die Wärmeleitungsgleichung. Bis auf das letzte Kapitel werden wir aber Wärmeleitungseffekte vernachlässigen. Eine andere Möglichkeit ist es die Gleichung für die Entropiedichte ∂s ~ =0 + ~v ∇s ∂t bei adiabatischen Vorgängen heranzuziehen. Für isotherme Vorgänge kann man die ideale Gasgleichung nehmen p = RT ρ/m m...Molgewicht oder für adiabatische Vorgänge die Adiabatengleichung p = cργ γ= Cp Cv Ganz wesentlich werden die Lösungen der Gleichungen durch die vorgegebenen Randbedingungen bestimmt. Betrachtet man ein unendlich ausgedehntes Gebiet so stellen sich Randbedingungen im Unendlichen, etwa daß das Geschwindigkeitsfeld dort durch einen konstanten Vektor gegeben ist. Bei Randbedingungen im Endlichen unterscheiden wir zwischen drei Fällen. • Offenen Rändern oder auch freien Oberflächen. Dort muß p = 0 sein (sonst würde sich der Rand ja bewegen, weil ein Druck ausgeübt wird). • Festen Rändern. Dort muß die Geschwindigkeit senkrecht zur Wand verschwinden, also (~v~n) = vn = 0 sein. • Ist die Flüssigkeit zähe so verschwindet wegen der Reibung an der Wand auch die zur Wand parallele Komponente der Geschwindigkeit vk = 0, und man hat ~v = 0 an der Wand. 1.4.3 Grenzfälle der Navier-Stokes’schen Gleichungen Numerische Lösung der Gleichungen: Methoden: Lit.: C.A.J.Fletcher, Computational Techniques for Fluid Dynamics, 2nd ed. 2Vol. Springer Series 20 3. März 2008 Näherung Ideal Inkompressibel Statisch Stationär Wirbelfrei Linearisiert Zeitableitung Dichte Viskosität Null Geschwindigkeit konstant Null Null Null div~v = 0 Null 6= Null rot~v = 0 Tabelle 1.1: Vereinfachungen der Navier Stokes’schen Gleichungen in Computational Physics, Berlin 1991 20. IFF Ferienkurs, Computersimulation in der Physik, 1989 bes. Kap. 32 Zellulare Automaten, Gittergasmodelle Lit.: U.Frisch, B.Haslacher, Y.Pomeau, Phys. Rev. Lett. (56),1505 (1986) D.d’Humieres, B.Haslacher, P.Lallemand, Y.Pomeau, J.-P.Rivet, Complex Syst. 1, 649 (1987) Was numerische Simulationen heute imstande sind zu leisten zeigen die Simulationen von Tröpfchenkollisionen (siehe Spektrum der Wissenschaft Januar 1999, Seite 72). Abbildung 1.6: Ein Tropfen fällt auf eine Fläche, die mit einem dünnen Flüssigkeitsfilm benetzt ist. Es wurde auch berechnet, wie das Licht an den - computersimulierten - Flüssigkeitsoberflächen reflektiert und gebrochen wird. Kapitel 2 Hydrostatik In diesem Fall sind die Zeitableitungen und die Geschwindigkeit Null. ~v = 0 d =0 dt ∂ =0 ∂t Es ist die Dichte und Druckverteilung unter dem Einfluß einer äußeren Kraft (konservativ) zu finden. Dazu stehen die Bewegungsgleichung ρ(~r)grad Φ(~r) + grad p(~r) = 0 und die Zustandsgleichung zur Verfügung. Wir setzten hier eine Zustandsgleichung der allgemeinen Form p = cργ voraus, wobei γ = cp /cv = 1+ f2 ist (f ist die Zahl der Freiheitsgrade des Moleküls der Substanz die das Fluid bildet). Beispiele: • Die barometrische Höhenformel • Stabiblität eines Sterns • Die gleichförmig rotierende Flüssigkeit (Newton’scher Eimer) • Der rotierende Himmelskörper 2.1 Die barometrische Höhenformel Φ = gz → 21 p = p(z) 22 3. März 2008 p 1/γ dp = −ρ(z)g = − g dz c g dp = − 1/γ dz 1/γ p c 1 1 1− γ g p1− γ − p0 γ = 1 (z0 − z) γ−1 cγ Mit z0 = 0 löst man nach p auf (p0 = cργ0 ) p(z) = p0 " ρ(z) = ρ0 " gρ0 γ − 1 1−z p0 γ # und für die Dichte gρ0 γ − 1 1−z p0 γ # γ γ−1 1 γ−1 Der Parameter γ ist für eine isotherme Atmosphäre γ = 1, für eine adiabatische γ = ccVp = 1 + f2 wo f die Anzahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle ist (1-atomig f = 3, 2-atomig f = 5). An der Oberfläche der Atmossphäre ist p(h0 ) = 0 (und dann ρ(h0 ) = 0 woraus die Dicke h0 der Atmosphäre zu h0 = p0 γ gρ0 γ − 1 folgt. Die isotherme Atmosphäre ist also unendlich ausgedehnt. Die inkompressible Atmosphäre ergibt sich als Limes γ → ∞. (Fig.2.3) Abbildung 2.1: Zur barometrischen Höhenformel 23 3. März 2008 2.2 Stabiblität eines Sterns Die Gleichgewichtsbedingung lautet (Druckdifferenz hält Gewicht) gradp(r) = −ρ(r)gradφ(r) wo das Potential der Gravitationskraft aus der Poissongleichung ∆φ(r) = 4πGρ(r) folgt. Kombination beider Gleichungen liefert div gradp(r) = −4πGρ(r) ρ(r) In Kugelkoordinaten nimmt diese Gleichung folgende Gestalt an 1 d r 2 dr r 2 dp(r) ρ(r) dr ! = −4πGρ(r) Einmal integrieren gibt die Veränderung des Drucks als Funktion des Abstands dp GM(r) =− ρ(r) dr r2 mit dM = 4πρr 2 dr 0 Dazu kommt noch die Zustandsgleichung p = p(ρ, T ) und eine Gleichung für die Temperatur. Ohne Zustandsgleichung, bei vorgegebenen Radius und Gesamtmasse kann man schon eine Aussage über den minimalen Druck im Zentrum des Sterns, p(0) machen. Man bildet M(r) = 4π Z r s2 ρ(s)ds dp = dM dp dr dM dr oder =− GM 4πr 4 24 3. März 2008 Abbildung 2.2: Druck und Dichte für Sonne und Erde (Sexl Weiße Zwerge-Rote Riesen) Daraus folgt durch integrieren über M (man beachte p(M) = 0 da Oberfläche) p(0) − p(M) = Z 0 M GMdM G > 4 4πr (M) 4πR4 Z M 0 MdM = GM 2 8πR4 Man sucht nun eine Lösung bei der die Dichte konstant ist, also ρ(r) = ρ0 . Dann ist r3 M(r) = 4πρ0 3 und dp(r) 4πGρ20 r =− dr 3 oder 2πGρ20 r 2 p(r) = p(0) − 3 Der Stern hat einen endlichen Radius R, der sich aus der vorgegebene Masse ergibt (M0 = 4πR3 ρ0 /3). Der Druck im Zentrum ist p(0) = 2πGρ20 R2 3 Verwendet man für den inneren Druck die ideale Gasgleichung (Temperatur konstant), so ist (m mittlere Masse eines Teilchens) p0 = ρ0 kB T /m Setzt man die beiden Drücke gleich erhält man den Jeans Radius RJ2 = 3kB T 2πGρ0 m 25 3. März 2008 für eine vorgegebene Massendichte ρ0 und mittlere Molekülmasse m. Die Gaswolke kollabiert wenn der innere Druck kleiner ist als der Gravitationsdruck, oder anders formuliert, wenn der Radius R der ’Gaswolke’ größer als der Jeans Radius RJ ist (bei fester Massendichte). Eine andere Formulierung folgt aus der Definition der Gesamtmasse, sie kollabiert wenn sie die Jeans Masse MJ = 4πRJ3 ρ0 /3 übersteigt. Dies sieht man auch aus der Stabilitätsbetrachtung für die eben gefundene Lösung. Die zeitliche Entwicklung von Fluktuationen um eine Lösung zeigen ob diese Lösung stabil ist oder nicht. Wachsen sie an so ist die Lösung instabil. Dazu entwickelt man in den Abweichungen von der Lösung (p0 und φ0 sind die Lösungen die für feste ρ = ρ0 gefunden wurde) p = p0 + δp ρ = ρ0 + δρ φ = φ0 + δφ Das führt ausgehend von den Navier Stokes’schen Gleichungen auf das in den Abweichungen lineare Gleichungssystem ρ0 ∂~v = −gradδp + ρ0 gradδφ ∂t ∂δρ = −ρ0 div~v ∂t ∆δφ(r) = 4πGδρ(r) Es wird nun angenommen, daß die Druck und Dichtefluktuationen adiabatisch vor sich gehen und daß damit gilt δp = c20 δρ mit c0 der adiabatischen Schallgeschwindigkeit (c0 = q ∂p0 /∂ρ0 = q γp0 /ρ0 ). Durch Kombination der Kontinuitätsgleichung mit der Impulsgleichung, deren Divergenz man bildet ∂div~v ρ0 = −∆δp + ρ0 ∆δφ ∂t und einsetzen für δp bekommt man ∂2 δρ = c20 ∆δρ + ρ0 ∆δφ 2 ∂t Nun wird noch das Potential ersetzt und man findet ∂2 δρ = c20 ∆δρ + 4πGρ0 δρ ∂t2 Zerlegung der Fluktuation in Fourierkomponenten δρ ∼ exp(i~k~x − iωt) gibt ω 2 = c20 k 2 − 4πGρ0 26 3. März 2008 Die Fluktuationen nehmen zeitlich zu wenn ω imaginär werden, wenn also √ 4πGρ0 2π c0 γkB T = kJ = oder λ2J = = k< c0 λJ 2Gρ0 2Gρ0 m Störungen großer Wellenlängen sind immer instabil. λJ /2 ist mit RJ zu vergleichen. Die Stabilitätsüberlegung ist ebenfalls eine Formulierung des Jeans Kriteriums. Aus der kleinsten instabilen Wellenlänge kann man ebenfalls eine kritische Jeans-Masse berechnen MJ0 4π = 3 1 λJ 2 3 4π ρ0 = 3 γkB T 8Gρ0 m !3/2 ρ0 (2.1) Das Jeans-Kriterium ist eine Bedingung für die Stabilität, ob eine kosmische Gaswolke kollabiert und aus ihr letztendlich ein Stern entstehen kann. Es besagt, dass eine Gaswolke zu kollabieren beginnt, falls die kontrahierenden Gravitationskräfte stärker als die stabilisierenden Kräfte sind. Stabilisierende Kräfte sind vor allem der Gasdruck aber auch die Zentrifugalkraft, der magnetischer Druck und der Strahlungsdruck. Turbulenzen spielen ebenfalls eine Rolle. Üblicherweise erhält man das Jeanskriterium aus dem Verhältnis von Gravitationsenergie zu thermischer Energie (Virialsatz: 2Ekin = 3kB T M/m; Epot = 3GM 2 /5R). Es muß die Gravitationsenergie groß genug sein damit die Gasmasse kollabieren kann, oder 5kB T R (2.2) M> 2Gm wo m die mittlere Masse eines Teilchens in der Gaswolke. Umformen M = 4πρR3 /3 gibt !3/2 4π 15kB T M> (2.3) 3 8πGρ0 m Berechnung der potentiellen Energie: (Mr = 4πρ0 r3 /3, dMr = 4πρr2 dr Z R Z M 14π 2 Gρ20 R5 3 GM 2 14π 2 Gρ20 r4 GMr dMr = − dr = − =− Φ=− r 3 15 5 R 0 0 2.3 Sternentwicklung Die Zustandsgleichung der Materie in einer Kugel, die unter dem Einfluß der Gravitation kollabiert (siehe nc̈hstes Kapitel) definiert einen möglichen Gleichgewichtszustand, Umfang, den die Kugel erreichen kann. Dies hängt von der Masse der Materie ab. Ob das ’Lebensende’ der Kugel ein ’Schwarzes Loch’ ist, ein Neutronenstern oder eien weißer Zwerg hängt von der verwendeten Zustandsgleichung ab. 27 3. März 2008 Abbildung 2.3: Schicksal einer Kugelmasse (Thorne, Gekrm̈mter Raum und verbogene Zeit). Im weißen Gebiet wandert die Kugelmasse mit schrumpfenden Umfang nach links bis sie in einem stabilen Gleichgewicht endet. Im schraffierten Gebiet bläht sich die Kugelmasse auf und bewegt sich nach rechts bis sie in einem stabilen Gleichgewicht endet. Ist die Masse zu groß für den gegebenen Umfang endet die Kugel in einem Schwarzen Loch. 2.4 Gleichgewicht in rotierenden Systemen Für ein rotierendes System ist natürlich im stationären Zustand das Geschwindigkeitsfeld ~v = ~ω ×~r. Da die Stömung stationär ist, verschwindet die Zeitableitung, aber es verschwinden auch die Zähigkeitsterme, da die Flüssigkeit als ganzes rotieren soll. Man setzt also das Geschwindigkeitsfeld lediglich in den Term rechts ~ v ein. (~v ∇)~ vl Es ist ∂ ∂ vi = lmn ωm xn ipq ωp xq = lmn ipl ωm xn ωp = ∂xl ∂xl (δmi δnp − δmp δni ) ωm xn ωp = ωi xn ωn − ω 2 xi ∂ lmn ωm xn lpq ωp xq = ∂xi ∂ xn xq = (δmp δnq − δmq δnp ) ωm ωp ∂xi ∂ ∂ ωm ωm xn xn − ωm ωn xn xm = −2 ωi xn ωn − ω 2xi ∂xi ∂xi grad (~ω × ~r)2 = Das Problem der Gleichgewichtskonfiguration des rotierenden Systems bedeutet, daß zum Potential der Schwerkraft noch das Potential der Zentrifugalkraft hinzu kommt 1 Φges = Φgrav − (~ω × ~r)2 . 2 28 3. März 2008 2.4.1 Der rotierende Eimer Betrachten wir einen zylindrischen Eimer (Fig.2.4) dessen Achse die z-Achse ist Abbildung 2.4: Der rotierende Eimer √ und der um diese rotiert (~ω in z-Richtung r = x2 + y 2 ist der Abstand senkrecht darauf), dann gilt 1 p = ρ −gz + r 2 ω 2 + const. 2 da die Oberfläche frei ist, muß auf ihr p = 0 sein. Sei ρ = const. also die Flüssigkeit inkompressibel, dann ist die Gleichung der Oberfläche (z − z0 ) = r 2 ω2 . 2g z0 ist dadurch festgelegt, daß das Flüssigkeitsvolumen unverändert bleibt. Der rotierende Eimer hat eine wichtige Bedeutung für das Verständnis der klassischen Mechanik und ihre Weiterentwicklung durch die allgemeine Relativitätstheorie (ART). • Newton glaubte durch den rotierenden Eimer die Existenz eines absoluten Raumes (gegen den der Eimer rotiert beweisen zu können. Dem hat schon Berkley widersprochen. Nach Newton resultiert die Zentrifugalkraft (Trägheit) aus der Rotation gegenüber dem absoluten Raum. Die Gravitationskraft ist davon verschieden. Siehe: Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687; Die mathematischen Prinzipien der Physik: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Gruyter (1999) Berkeley, A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge, London (1710) 3. März 2008 29 • Mach widersprach dem mit dem Argument, dass von einer Rotation des Eimers nur gesprochen werden kann, wenn andere Körper (mindestens einer) vorhanden sind gegen die der Eimer (genauer das Wasser) rotiert. Er war der Meinung, dass auch die Rotation (so wie die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) nur relativ und nicht absolut verstanden werden kann. Er nahm als solche, relativ zum Eimer ruhenden Körper, die Sterne des Fixsternhimmels (vereinfacht als Schale) gegen die der Eimer rotiert und behauptete in einem Gedanckenexperiment, dass das Wasser im Eimer ebenfalls eine parabolische Oberfläche zeigen würde, wenn der Eimer ruht und der Fixsternhimmel sich um den Eimer dreht (eigentlich braucht man für diese Überlegung drei Körper). Nach Mach resultiert die Zenrifugalkraft aus der gravitativen Wechselwirkung zwischen den beiden Masen die gegeneinander rotieren. Siehe: Mach, Die Geschichte und die Wurzel des Satzes von der Erhaltung der Arbeit, Prag (1872); Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Leipzig (1883) • Dieses Argumentation hat Einstein mit zur Entwicklung der ART angeregt. Siehe: Einstein, Vierteljahrschrift für gerichtliche Medizin und öffentliches Sanitätswesen 44, 37 (1912); Phys. Z. 14, 1249 (1913) • Im Rahmen der ART kann man die Raum-Zeit für die Fälle wo ein massiver Körper rotiert bzw eine massive Schale rotiert berechnen. In der ART beeinflußt alle vorhande Materie das lokale Trägheitsverhalten, aber es scheint nicht die einzige Ursache für das Trägheitsverhalten zu sein. Siehe: Thirring, Phys. Z. 19, 33 (1918); 22, 29 (1921) Pfister and Brown, Class. Quantum Grav. 2, 909 (1985) Rindler, Relativity. Special, General, and Cosmological. Oxford2nd (2006) Eine Diskussion dazu findet man in B. Green, Der Stoff, aus dem der Kosmos ist, Siedler Verlag 2004. Dort heißt es unter anderem: Nach der ART würde das Wasser in Newton’s Eimer, auch wenn es in einem ansonsten leeren Universum rotierte, eine konkave Form annehmen, was, da sich daraus eine absoluter Beschleunigungsbegriff ergibt, nicht mit Machs rein relationistischer Sichtweise in Einklang steht (Bemerkung: Ist das nicht eine Konsequenz der Randbedingungen im Unendlichen?). Um Machs Idee zu testen betrachtet man eine massereiche rotierende Kugelschale mit dem ruhenden (!) Newton’schen Eimer im Zentrum(Bemerkung: jedenfalls rotiert die Kugelschale relativ zum Eimer). Die Rechnung von Pfister und Brown zeigt, daß die Wasseroberfläche eine konkave Form annehmen würde. Für hinreichend große Masse der Kugelschale ist die Form der Wasseroberfläche unabhängig davon ob der Eimer oder die Kugelschale rotiert. 2.4.2 Der rotierende Stern Die Lösung diese Problems trägt auch zur Beantwortung der Frage nach der Gestalt der Erde bei. Newton schloß aus hydrostatischen Überlegungen, daß die Erde die Gestalt eines an den Polen abgeplatteten Ellipsoids haben müßte und gab auch einen Wert für die Achsenverhältnisse an. Andere Wissenschafter behaupteten gerade das Gegenteil. Dies artete zu einem nationalen Streit zwischen der Londoner Royal Society und der Pariser Akademie der Wissenschaft aus. Entschieden wurde der Streit durch die Lapplandexpedition von Maupertuis im Jahre 1736 3. März 2008 30 zugunsten Newtons. Die Gestalt der Erde war dann später, 1790, auch für die Definition des Meters als zehnmillionster Teil eines Meridianquadranten von Bedeutung. Lit.: J. Teichmann, Abbildung 2.5: Die Gestalt der Erde wie sie noch 1744 dargestellt wurde obwohl der Nachweis eines abgeplatteten Ellipsoids bereits geführt war. Wandel des Weltbildes, rororo7721 Seite 131ff. Eratosthenes (300 vor Chr) hatte als erster eine halbwegs richtige Vorstellung von der Größe (heute: Rk = 6 378 km am Äquator) und Form der Erde (Kugel). Allerdings konnte sich sein Weltmodell nicht durchsetzen. Die tatsächliche und erfolgreiche Erkundung der Erde beginnt erst mit Kolumbus. Damit war auch die Frage des sich Zurechtfindens auf dem Globus von fundamentalem (Überlebens)Interesse. Die moderne Geodäsie geht auf Snellius (1617) zurück. Dabei wird eine (kurze) Strecke genau vermessen. Der Rest sind Winkelmessungen (incl. Polhöhendifferenz). Daß die Erde aufgrund ihrer Rotation ein (an den Polen) abgeplattetes Ellipsoid (Newton: Gleichgewicht von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft liefert 230:229) sein müsse, sagten erstmals Huygens und Newton voraus. Picard führte 1669/70 bei Paris die erste moderne Gradmessung der Erde durch. Diese Messungen wurden von Jaques Cassini (und anderen) in Europa fortgesetz mit dem Ergebnis (1720), daß die Erde die Gestalt einer Zitrone hatte. Es entspann sich dann ein Steit zwischen Newtonianern (England) und Kartesianern (Frankreich — Descartes hatte eine eigene Theorie mit Wirbelkräften). Um die Form der Erde endgültig zu bestimmen, sah man ein, mußten weiter auseinanderliegende Meridiangrade gemessen werden und so wurden im Auftrag Ludwig XV. von der Pariser Akademie zwei Expeditionen ausgerüstet, eine nach Peru (1736-1743), die andere nach Lappland (unter der Leitung von Maupertuis 1736/37). Das Ergebnis bestätigte die Newtonsche Gravitationstheorie: Die Abplattung war unstrittig, der Wert leider nicht (Um den Ruhm einheimsen zu können, wurden die Messungen in Lappland von Maupertuis in größter Eile — gemeinsam mit Clairault und Celsius — durchgeführt und ergaben einen Wert für die Abplattung, der doppelt so groß wie der aus der Peru Expedition war). Endgültig wurde er (nach einer Wiederholung der Messungen in Lappland, wobei sich die Richtigkeit der sorgfältigeren Messung in Peru ergab) 1803 bestimmt. Heute erhält man aus Satelliten-Messungen : (Re - Rp)/Re = 1/298,25 mit Index e für Äquator und p für Pol. Basierend auf den topographischen Daten einer Triangulationskette in Frankreich (Längen- 31 3. März 2008 unterschiede waren mittels Triangulation erstmalig sicher zu bestimmen) und den astronomischen Daten aus einer Breitenbestimmung an den Endpunkten der Kette schloß JEAN PICARD (1620-1682) im Jahre 1670 die erste neuzeitliche Berechnung des Erdradius zu R = 6275 km ab. Das neue Konzept einer (näherungsweise) ellipsoidisch geformten Meeresoberfläche (seit Kepler waren Ellipsen “in”) erforderte allerdings die Bestimmung zweier Größen, der großen Halbachse a der Meridianellipse und deren Abplattung f (oder der numerischen Exzentrizität e=a/E). Der mit der Ausbreitung des französischen Triangulationsnetzes beauftragte königliche Astronom GIOVANNI CASSINI (1625-1712) erhielt als überraschendes Ergebnis ein verlängertes Rotationsellipsoid. Heute wissen wir, daß er das Ergebnis durch einen methodischen Fehler erzeugt hat, durch die Nichtberücksichtigung lokaler Lotabweichungen. Jedenfalls stand es im Gegensatz zu der Schlußfolgerung der damals noch nicht akzeptierten Newtonschen Theorie. Zur endgültigen Klärung der Form der Meridianellipse organisierte die Französische Akademie der Wissenschaften in den Jahren 1735-43 zwei Meßexpeditionen nahe des Äquators (Ecuador) bzw. nahe des Pols (Lappland) unter Leitung von PIERRE BOUGUER (1698-1758) bzw. von PIERRE DE MAUPERTUIS (1698-1759), letzterer begleitet von dem jungen ALEXIS CLAIRAUT (1713-1765). Das Resultat der Datenauswertung (siehe Tabelle 1) bestätigte Newtons Theorie und seine Prognose eines abgeplatteten Erdellipsoids. Analog zum rotierenden Eimer lautet auch hier die Gleichgewichtsbedingung 2 ~ =0 ~ v − Φ − ∇p ρ∇ 2 # " Allerdings liegt die Schwierigkeit nun in der Berechnung des Potentials Φ. Unter der Annahme einer konstanten Dichte (Inkompressibilität, das heißt das Volumen bleibt gleich nur die Form ändert sich) folgt, daß sich die Zenrtifugalkraft, die Druckkraft und die Gravitationskraft im Gleichgewicht befinden müssen. ρ ρΦ + p − (~ω × ~r)2 = C 2 Daraus ist sofort zu sehen, daß eine Kugel keine Fläche konstanten Drucks sein kann, wenn die Rotationsgeschwindigkeit ungleich Null ist. Denn das Potential 3M einer Kugel vom Radius R wäre (die Dichte sei konstant ρ = 4πR 3 ) innerhalb der Kugel im Abstand r vom Zentrum (Φ dort auf Null normiert) Φ(r) = 2πGρr 2 3 was aus der Laplacegleichung in Kugelkoordinaten folgt 1 d 2 dΦ r r 2 dr dr ! = 4πGρ Dann ist eine Fläche konstanten Drucks 2 const. = x 4πρG 4πρG 4πρG ω − + y2 ω2 − − z2 3 3 3 2 32 3. März 2008 und das ist keine Kugelfläche. Also kann die Gleichgewichtsform keine Kugel sein. Es muß also nach einer anderen Gleichgewichtsform gesucht werden. Hier sind wir mit einem häufig auftretenden Problem konfrontiert, daß nämlich eine explizite Berechnung der Flächen konstanten Drucks nur unter der Annahme eine bestimmten Gleichgewichtsform des Körpers möglich ist. Am Ende der Rechnung wird die Konsistenz überprüft. Es wird deshalb als nächstes die Form eines Ellipsoids angenommen. D. h. es muß das Gravitationspotential innerhalb eines Rotationsellipsoids x2 y 2 z 2 + + =1 a2 a2 c2 berechnet werden. Die Lösung kann als Integral hingeschrieben werden Φ(~r) = −ρG Z d3 x0 r − ~r0 | Ellipsoid |~ Übung: Die Rechnung für die Kugel führt auf Z R 0 r02 dr0 Z 1 −1 d cos θ Z 2π 0 dφ √ 1 = 4π r2 + r02 − 2rr0 cos θ R Z r02 dr0 0 1 1 1 Θ(r − r0 ) + Θ(r0 − r) 0 r r −1 Z Für das Ellipsoid (siehe Greiner oder Trefil) kann das Integral ebenfalls ausgewertet werden. Dazu führt man die Koordinatentransformation auf verschobene Kogelkoordinaten durch (~r ist ein Punkt aus dem Inneren des Ellipsoids) x0 = x + r0 sin Θ cos φ y 0 = y + r0 sin Θ sin φ z 0 = z + r0 cos Θ Damit wird das Integral Z dV = r0 Z π 2 d(cos Θ) −π 2 Z 0 2π dφ Z rO (Θ,φ) r0 dr0 0 rO (Θ, φ) ist der Abstand zur Oberfläche des Ellipsoids für eine feste Wahl von Θ und φ. Diese Funktion bekommt man wenn man in die Oberflächengleichung die transformierten Koordinaten einsetzt. Damit gehen die Aufpunktkoordinaten ~r als Parameter in die Funktion rO (Θ, φ) ein. Für rO erhält man die quadratische Gleichung 2 ArO + 2BrO + C = 0 mit 1 1 1 sin2 Θ cos2 φ + sin2 Θ sin2 φ + 2 cos2 Θ a2 b2 c x y z B = 2 sin Θ cos φ + sin Θ sin φ + 2 cos Θ a b2 c A= C= y2 z2 x2 + + −1 a2 b2 c2 33 3. März 2008 und der Lösung (Wahl der Vorzeichen so daSS Punkt im Innern des Ellipsoids) p 1 −B + B 2 − AC rO = A Die r0 Integration gibt Z π2 d(cos Θ) −π 2 Z 2π dφ 0 p 1 2 2 − AC B 2B − AC − 2B A2 Bevor man weiterrechnet ist es nützlich Symmetrieüberlegungen anzustellen. B ändert das Vorzeichen unter φ in π + φ und Θ in π − Θ. Das heißt der Wurzelterm trägt insgesamt nichts bei. Ferner erwartet man, daß die Kreuzterme xy, xz, usw. nichts beitragen. Als Resultat solcher Betrachtungen ergibt sich (noch wird der allgemeine Fall mit a 6= b 6= c behandelt) 2 Z π2 Z 2π y2 z2 1 x 2 2 2 2 2 sin Θ cos φ + − sin Θ sin φ + 2 cos Θ Φ(~x) = d(cos Θ) dφ 2 2 π a b2 c A −2 0 − π 2 Z d(cos Θ) −π 2 Z 2π dφ 0 C 2A Die Integrale sind kompliziert, doch kann man alle Integrale durch eines und seine Ableitungen Ausdrücken. Dieses ist Z 2π Z π2 1 d(cos Θ) dφ π 2A 0 −2 Damit wird das Potential Φ(~x) = das ist von der Form 1 ∂W W W 1 ∂W 2 − 3 x + − 3 y2+ a ∂a a b ∂b b 1 ∂W W + − 3 z2 + W = c ∂c c = αx2 + βy 2 + γz 2 + χ Um die Koeffizienten zu bekommen ist W zu berechnen. Zuerst wird die φ-Integration ausgeführt. Dazu schreibt man A = M cos2 φ + N sin2 φ mit M= sin2 Θ cos2 Θ + a2 c2 W = 1 2 Es ist Z π 2 d(cos Θ) −π 2 N= Z 2π M 0 2 Z π 2 −π 2 sin Θ = √ W = πabc Z 0 ∞ cos2 dφ = φ + N sin2 φ d(cos Θ) √ MN Die Transformation von Θ auf λ führt auf sin2 Θ cos2 Θ + b2 c2 c +λ c2 dλ p 2 (a + λ)(b2 + λ)(c2 + λ) 34 3. März 2008 Setzt man das in obige Formel ein so stellt sich das Potential dar als Z ∞ y2 z2 dλ x2 + 2 + 2 −1 Φ(~x) = πabc 2 a +λ b +λ c +λ ∆ 0 mit ∆= Die Koeffizienten α etc. sind also p (a2 + λ)(b2 + λ)(c2 + λ) α = abc Z ∞ 0 dλ ∆(a2 + λ) etc. Die Flächen konstanten Drucks sind dann const. = x2 ω 2 − 2πρGα + y 2 ω 2 − 2πρGα + z 2 2πρGγ α und γ sind geometrische Konstanten die von den Halbachsen des Rotationsellipsoids abhängen (wir haben schon zwei Halbachsen gleich gesetzt) 2 α=a c Z ∞ Z ∞ 0 und analog für γ 2 γ=a c 0 (a2 dλ √ + λ)2 c2 + λ dλ (a2 3 + λ)(c2 + λ) 2 Konsistenz verlangt daß die Oberfläche eine Fläche konstanten Drucks ist. Sind die Halbachsen des Rotationsellipsoids √ 2 ξ +1 0≤ξ≤∞ a=c ξ (die Parametrisierung garantiert, daß die Kreise für jedes ξ einen größeren Radius haben als c, charakterisiert also die Abplattung. Für ξ → 0 erhält man eine unendlich ausgedehnte Scheibe, für ξ → ∞ eine Kugel) dann ist α = (ξ 2 + 1)ξarccotξ − ξ 2 γ = 2(ξ 2 + 1)(1 − ξarccotξ) und es folgt aus der Bedingung ω 2 − 2πρGα a2 = 2πρGγc2 ω2 = ξ(3ξ 2 + 1)arccot(ξ) − 3ξ 2 , 2πρG die die Abplattung als Funktion der Rotationsgeschwindigkeit gibt. Die rechte Seite dieser Gleichung hat ein Maximum (siehe Fig.2.6), d. h. für zu große 35 3. März 2008 Abbildung 2.6: Konsistenzbedingung Werte von ω ist keine konsistente Lösung dieser Gestalt möglich. Die Gravitationskraft ist dann zu schwach um den Körper zusammenzuhalten. Diese kritische Rotationsgeschwindigkeit liegt bei ω̄c = q 0.448πρG Ist ω kleiner so gibt es eine Gleichgewichtslösung, es gibt sogar zwei Lösungen (wie es zu genau einer Lösung kommt siehe weiter unten). Man kann für eine beliebige Gestalt zeigen daß q ωc = 2πρG also kein inkompressibler flüssiger Körper kann mit einer größeren Winkelgeschwindigkeit stabil rotieren. Dies ist mit Hilfe des Green’schen Satzes (siehe Elektrodynamik) möglich ∂φ ∂ψ − ψ ]dO ∂n ∂n V O Spezialisiert man auf φ = 1 und ψ = p(~r) so folgt die Beziehung Z [φ∇2 ψ − ψ∇2 φ]dV = Z V ∇ pdV = Setzt man nun für p ein, so folgt Z V 2 ∇ p dV = Z V ∇ 2 (" 2 I I O [φ ∂p dO ∂n ρω 2 2 (x + y 2) − ρΦ dV = 2ρV (ω 2 − 2πρG) 2 # ) 3. März 2008 36 wobei ∇2 Φ = 4πGρ, die Laplacegleichung für das Gravitationspotential benutzt wurde. Nun ist der Druck auf der Oberfläche der rotierenden Flüssigkeit konstant also die rechte Seite der Gleichung eine Konstante. Wenn nun ω > ωc ist, so muß jedes Integral über eine Oberfläche in der Flüssigkeit positiv sein, d.h. der Druck nimmt nach außen hin zu (das Integeral geht mit dem eingeschlossenen Volumen), die Druckkraft weist also zum Zentrum so wie die Gravitationskraft (das gilt für die Kräfte entlang der z-Achse, da entlang dieser keine Zentrifugalkraft wirkt). Damit ist aber Stabilität nicht mehr möglich. Man sieht daraus, daß der Deformationsprozeß so erfolgt, daß die Flüssigkeit in der z-Richtung kollabiert und am Äquator auseinanderfliegt. Im allgemeinen betrachtet man folgendes Problem, eine Gaswolke zieht sich unter dem Einfluß der Schwerkraft zusammen und findet eine Gleichgewichtskonfiguration. Unter der Annahme der Inkompressibilität ist schon der Prozess der Kondensation geschehen nur die Form kann sich noch ändern. Die Gaswolke kann anfangs rotieren, d.h. sie hat einen bestimmten Drehimpuls, neben einer bestimmten Masse. Beide Größen bleiben konstant, auch wenn sich die Gestalt ändert. Dies hat aber zur Folge, daß sich die Rotationsgeschwindigkeit ändert. Läßt man den Stern Formen charakterisiert durch ξ durchlaufen, so durchläuft man verschiedene Trägheitmomente. Also im betrachteten Beispiel wird die Rotationsgeschwindigkeit über das Trägheitsmoment eine Funktion des Parameters ξ. Das führt zu einer Lösung; sofern allerdings, dabei ω unter der Stabilitätsgrenze für die betrachtete Geometrie bleibt. Einige Werte: Erde: ρ = 5.52 g cm−3 daraus folgt mit G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 der kritische Wert ωc = 1.5×10−3 sec−1 oder Tc = 2π ωc = 1.8h. aus der Abplattung (ξ = 12.6) folgt (ω/ωc ) = 0.059; die tatsächliche Rotationsgeschwindigkeit ist (ω/ωc ) = 0.048 Für die Sonne ergib sich keine zufriedenstellende Übereinstimmung. Wir haben eine Gleichgewichtsform (das abgeplattete Ellipsoid) gefunden. Ist diese Form auch stabil gegen kleine Störungen der Form? Man kann zeigen, daß das Ellipsoid gegenüber allen Störungen die die Achsenlängen ändern stabil ist (bei konstanter Dichte). Es sind dann Oszillationen um die Gleichgewichtsform möglich. Es sei noch vermerkt, daß auch eine Gleichgewichtskonfiguration möglich ist für die alle drei Achsen des Ellipsoids verschieden sind. Lit.: H. Lamb, Hydrodynamics, Dover Publ., New York 1945 Kapitel 3 Astrophysikalische Probleme 3.1 Allgemeine Bemerkungen Das größte ungelöste Rätsel in der Astrophysik ist wohl, wie aus einer Molekülwolke ein Stern entsteht, der unserer Sonne entspricht (Konstanze Zwintz, Astrophysikerin, Universität Wien in heureka 4-07). ...insbesondere ist unklar, wie sich nach den ersten Kollisionen stabile, größere Objekte bilden konnten, ohne einfach wieder als Fragmente auseinanderzudriften (R. Jauman). Lit.: Spektrum Spezial 2/07, R. Jaumann, Geburt im Trümmerhagel Spektrum Dossier 5/07, G. P. Laughlin, Von der Staubmaus zur Erde: Die heutigen Computersimulationen bestätigen die allgemeinen Vorstellungen von Kant und Laplace - und schließen deren Lücken. 3.2 Die Eulergleichungen in Kugelkoordinaten Die Kontinuitätsgleichung lautet 1 ∂ 2 ∂ρ r ρvr = 0 + 2 ∂t r ∂r (3.1) Die Bewegungsgleichung lautet (schon durch ρ dividiert) ∂vr vr ∂ 2 1 ∂p GM(r) r ρvr = − + 2 − ∂t r ∂r ρ ∂r r2 (3.2) und die Masse M(r) ist durch das räumliche Integral über die Dichte gegegben M(r) = Z r 0 37 ρ(s)s2 ds (3.3) 38 3. März 2008 Die Bewegungsgleichung enthält auf der rechten Seite den Druckterm und den Gravitationsterm. Der Druck resultiert aus den nicht gravitativen Wechselwirkungen der mikroskopischen Teilchen und ist durch eine Zustandsgleichung definiert, der gravitative Term ist durch die Gravitation der Flüssigkeit (des Gases) innerhalb des Radius r hervorgerufen. 3.3 Druckloser Kollaps Annahmen: Kein innerer Druck in der Gaswolke mit der Gesamtmasse M0 ; Ausgangsradius R0 zum Zeitpunkt t = 0; der Radius schrumpft die Dichte erhöt sich. Ferner nimmt man an dass die Dichte räumlich konstant bleibt aber ihr Wert ansteigt, dann ist die Masse M(r) durch M(r) = 4πρr 3 /3 gegeben. Geht man damit in die Gleichungen (3.1) und (3.2) und sucht eine Lösung mit den Ansatz ρ(r, t) = ρ0 f (t) und vr (r, t) = −g(t)r (3.4) - letzteres sagt der Kollaps stoppt bei r = 0 - so folgen die Gleichungen df − 3ρ0 f g = 0 dt dg 4π −r + g 2 r = − Gρ0 f r dt 3 ρ0 (3.5) (3.6) Kürzen führt auf df − 3f g = 0 dt 4π dg − + g 2 = − Gρ0 f dt 3 (3.7) (3.8) Man führt nun den dimensionslosen Radius X(t) zur Zeit t ein, R(t) = R0 X(t), dann ist M = 4πρ0 R03 f (t)X 3 (t)/3 oder f X3 = 1 und 1 df 1 dX = −3 f dt X dt (3.9) Die Geschwindigkeit der Kontraktion am Außenrand ist dann vr (R(t), t) = also dX dR = R0 = −g(t)R0 X(t) dt dt 1 dX = −g X dt (3.10) (3.11) 39 3. März 2008 Leitet man eine der beiden Gleichungen für f und g nach der Zeit ab und benützt die Relationen zu X ergibt sich für X die Differentialgleichung zweiter Ordnung A d2 X + 2 =0 2 dt X (3.12) mit A = 4πGρ0 /3. Durch Multiplikation der Gleichung mit der Zeitableitung von X kann integriert werden. Da x(0) = 1 und dX/dt(0) = 0 ergibt sich 1 2 dX(t) dt !2 1 =A 1− X(t) ! . (3.13) Die daraus resultierende Differentialgleichung erster Ordnung löst man durch Variablentransformation X = cos2 (α) (Die Werte von X liegen zwischen 0 und 1); das führt auf die Gleichung dα = dt s A 1 2 cos2 α (3.14) mit der Lösung Z α sin 2α = cos αdα = (Dwight 440.20) = + 2 4 2 s A t 2 (3.15) Aus der Lösung dieser transzendenten Gleichung findet man die Werte von ρ und vr zu s A sin α −6 ρ(r, t) = ρ0 cos α und vr (r, t) = −2r (3.16) 2 cos3 α Das System ist kollabiert wenn der Radius Null erreicht. Dies geschiet in der endlichen Zeit τf f , der sogenannten Freifallzeit. Sie ist durch α = π/2 gegeben also nach Gleichung (3.15) τf f = r π = 8A s 3π 32Gρ0 (3.17) Daraus ergeben sich die Zeiten von etwa 2x109 Jahre, 7x104 Jahre und 1/2 Minute für eine Protogalaxie (heiße Gaswolke aus He und Wasserstoff), einen Prototern (der Kern der sich in der Protogalaxie durch Kollaps bildet [höhere Dichte]) und die Sonne. Aufgehalten wird der freie (drucklose) Kollaps dadurch daß die Teilchenwolken einen inneren Druck besitzen der gegen den Druck der Gravitation wirkt. 40 3. März 2008 Abbildung 3.1: Bok Globul B(arnard)68: Solche Dunkelwolken werden als Vorstufe der Sternentstehung betrachtet. Es sind relativ scharf begrenzte dunkle Regionen interstellaren Gases und Staubes, die im Verdacht stehen, zu kollabieren, und auf dem Weg sind, einen neuen Stern zu bilden, wie Bart Bok 1947 vorschlug. 3.4 Die Bonnor-Ebert Sphäre Gleichgewicht einer Gaswolke bei r-abhängiger Dichte (Bonnor-Ebert-Sphäre) GM(r) 1 dp =− ρ dr r2 (3.18) Mit der Zustandsgleichung in der Form p = ρc2 , wo die Schallgeschwindigkeit c konstant ist, folgt d ln ρ GM(r) c2 =− (3.19) dr r2 Multiplizieren mit r 2 und Ableiten nach r gibt d d ln ρ r2 dr dr ! =− G dM G = − 2 4πr 2 ρ 2 c dr c (3.20) 41 3. März 2008 also d ln ρ 1 d r2 2 r dr dr ! =− 4πG ρ c2 (3.21) Diese Gleichung wird durch den Ansatz ρ ∼ r −2 gelöst ρ(r) = c2 1 2πG r 2 (3.22) Das heißt die Dichte ist im Zentrum singulär. Suchen aber eine Lösung, die eine endliche Dichte, ρc , im Zentrum hat (die aber erst gefunden werden muß) und nach außen abfällt. Der neue Ansatz lautet ρ(r)/ρc = exp(−Ψ(r)). Das liefert q mit dem dimensionslosen Abstand ξ = 4πGρc /c2 r die Lane-Emden Gleichung dΨ 1 d ξ2 2 ξ dξ dξ ! = exp(−Ψ) (3.23) Die Randbedingungen sind: Ψ(0) = 0 und dΨ |ξ=0 = 0 dξ (3.24) Vorgegeben sind die Gesamtmasse und der äußere Druck. Die Lösung der Gleichung liefert die Dichte und damit den Druck (der proportional zur Dichte ist). Der Rand der Wolke (ξmax ) befindet sich dort, wo der innere Druck gleich dem äußeren Druck p0 = ρ0 c2 ist. Gegeben ist p0 und c. Die Gleichung wird numerisch gelöst, Die Gesamtmasse folgt aus der Lösung zu Abbildung 3.2: numerische Lösung der Lane-Emden Gleichung und eien Familie von Lösungen M = 4π Z 0 rmax 2 ρ(r)r dr = 4πρc c2 4πGρc !3/2 Z 0 ξmax e−Ψ ξ 2 dξ (3.25) 42 3. März 2008 Mit der Differentialgleichung ergibt sich M = 4πρc c2 4πGρc !3/2 Z ξmax 0 dΨ d c2 ξ2 dξ = 4πρc dξ dξ 4πGρc ! !3/2 ξ 2 dΨ dξ ! ξ=ξmax (3.26) Daraus findet man den Zusammenhang zwischen dem äußeren Druck po und der Dichte im Zentrum bei fester Masse M und Schallgeschwindigkeit c. p0 G3/2 M ρc = π 4 c ρ0 !−1/2 ξ 2 dΨ dξ ! = f (ρc /ρ0 ) (3.27) ξ=ξmax Eine stabile Lösung folgt aus der graphischen Darstellung der numerischen Lösung solange ρc < 14.1 (3.28) ξmax = ρ0 3.5 Stabilität 3.6 Akkretionsscheibe Endliche Ausdehnung in z-Richtung. Dichte Verteilung aus ∂Φ ∂p =ρ ∂r ∂z (3.29) Mit der idealen Gasgleichung p = ρkB T /m und der Entwicklung des Gravitationspotential GM GM GM z 2 Φ(r, z) = − √ 2 ≈ − − r r3 2 r + z2 folgt ! Ω(r)z 2 (3.30) ρ(r, z) = ρ0 (r) exp − 2c0 mit Ω(r) = 3.7 q GM/r 3 die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe Simulation Mathew Bate, Ian Bonnel, Volker Bromm vorgestellt 2002: 100.000 CPU Stunden = 101 6 Flops; 3.5x106 Partikel Parameter: M = 50Msonne , T = 10K; R = 1.5ly 3. März 2008 43 Resultat: chaotisch Turbulente Sternentstehung, 50% braune Zwerge; Sterne verlassen Entstehungsort Kapitel 4 Die Eulerschen Gleichungen Das System der Euler’schen Gleichungen erhält man aus den Navier-Stokes’schen Gleichungen durch Vernachlässigung der Zähigkeitsterme. Die Eulerschen Gleichungen wurden in Memoire de l’Acad. des sciences de Berlin, 11, 274 (1755) von Euler aufgestellt. Truesdell schreibt: Diese Eulersche Theorie der Flüssigkeiten besitzt eine kaum zu überschätzende Wichtigkeit.. . . Erstens war es die erste Formulierung einer Teilerfassung der Erfahrungswelt mit Hilfe des Modells des kontinuierlichen Feldes. Zweitens hat die ideale Flüssigkeit als Musterbeispiel oder Ausgangspunkt für viele spätere physikalische Modelle bis zur heutigen Zeit gedient. Drittens ist ein ganz neuer Zweig der reinen Analysis, die Theorie der partiellen Differentialgleichungen, daraus entstanden. Also ∂ ρ + div (ρ~v ) = 0 ∂t ∂ ~ v = −grad Φ − 1 grad p ~v + (~v ∇)~ ∂t ρ Machen wir die weitere Annahme, daß die Bewegung der Flüssigkeit isentrop erfolgt, d.h. ds(~r, t) = 0, so kann man schreiben ∂ ~ v = −grad (Φ + w) ~v + (~v ∇)~ ∂t mit der Enthalpie pro Masse w(s, p) = (s, ρ) + pρ . Für die Enthalpie gilt 1 dw = T ds + dp = ρ und isentrop 1 = dp ρ 1 ~ ~ = 1 ∇p dw = dp bzw. ∇w ρ ρ 44 45 3. März 2008 Verläuft die Strömung adiabatisch (die Entropiedichte ist ortsabhängig, bleibt aber bei der Bewegung mit dem Flüssigkeitsteilchen konstant), so gilt für die Entropie pro Volumen ρs (s war die Entropie pro Masse) ∂(ρs) = −ρ~v grads − sdiv(ρ~v ) = −div(ρs~v ) ∂t Das Produkt ρs~v ist die Dichte des Entropiestroms. In beiden Fällen isentrop und adiabatisch lassen wir keinen Wärmeaustausch zwischen den Flüssigkeitselementen zu, können also von den Wärmeleitungseffekten absehen. Für reversible Vorgänge bezeichnen isentropisch und adiabatisch dieselben Vorgänge. Für irreversible Vorgänge kann aber ein Vorgang adiabatisch aber nicht isentrop sein. Strömt etwa ein Gas aus einem Überdruckkessel in einen Vakuumkessel, ohne Wärme ab- und zuzuführen, so ist das eine adiabatische Expansion. Es wird aber keine Arbeit geleistet und es entstehen im Gas Ströme, die erst abklingen müssen, bis wieder ein Gleichgewichtszustand erreicht wird. Dieser Vorgang ist irreversibel. Die innere Energie bleibt dabei unverändert, da weder Wärme noch Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht wird. Die Entropie aber wird erhöht. Für ein ideales Gas ist ρi > 0 wegen ρi > ρf sf − si = cv (γ − 1) ln ρf Lit.: Wieghart Seite 115 Aus den Eulergleichungen leitet man eine Gleichung für die Rotation der Geschwindigkeit her. Man nimmt die Rotation beider Seiten (rotgrad = 0) ∂ εijk ∇j vk = −εijk ∇j vn ∇n vk = ∂t = −εijk δnm δkl ∇j vn ∇m vl + εijk ∇j vn ∇k vn = −εijk δnm δkl ∇j vn ∇m vl + εijk δnl δmk ∇j vn ∇m vl Der letzte Term in der zweiten Zeile ist Null da j und k vertauscht werden können. Nun ist εnkp εmlp = δnm δkl − δnl δmk und somit ∂ εijk ∇j vk = −εijk ∇j εnkpεmlp vn ∇m vl = εijk ∇j εknp εmlp vn ∇m vl ∂t oder ∂ rot ~v = rot (~v × rot ~v) ∂t Somit bleibt die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes Null, falls sie bei t0 Null war. In Abschnitt 3.2.3 wird dieser Sachverhalt in integraler Form dargestellt. Bemerkenswert ist jedenfalls, daß für isentropische Strömungen unter dem Einfluß konservativer Kräfte sich eine Gleichung für Geschwindigkeitsfeld ergibt, die keine weiteren Felder enthält. 46 3. März 2008 Definiert man ein Wirbelfeld ~ω (wofür man Wirbellinien als Stromlinien des Wirbelfeldes zeichnen kann) 1 rot~v = ω ~ 2 (der Faktor 12 ist deshalb gewählt um die Analogie zur Elektrodynamik, dh dem Biot-Savart’schen Gesetz zu wahren, [Stromstärke=Wirbelstärke, Strom=Wirbelfeld, magnetisches Feld= Gesamtströmung, lineare Leiter=Wirbelfaden] Greiner Seite 80, Sommerfeld Seite 131) so folgt aus obiger Gleichung ∂~ω = rot (~v × ~ω ) . ∂t Übung: Zeichnen Sie die Stromlinien für das Geschwindigkeitsfeld und die Wirbellinien für das Wirbelfeld. 1 ~v = ~ ω × ~r w ~ = rot~v = ~ω 2 Stromlinien Kreise um die z-Achse, Wirbellinien Parallelen zur z-Achse. Übung: Zeichnen Sie die Wirbellinien für das Geschwindigkeitsfeld (ρ Abstand von der ~ω-Achse) ~v = ~ ω × ~rf (ρ) f (ρ) = exp((ρ − 1)2 /2 ) Da div~ω = 0 (Wirbellinien könne nirgends in der Flüssigkeit anfangen, noch enden; also nur am Rand, oder sind geschlossene Linien) folgt ∂~ω ~ ω + (~ω ∇)~ ~ v = ~vdiv~ω − ~ω div~v − (~v∇)~ ∂t Also ∂~ω ~ ω = (~ω ∇)~ ~ v + (~v ∇)~ ∂t oder in der Lagrange’schen Beschreibung ∂~ω ~ v = (~ω ∇)~ ∂L t Daraus folgert man Wirbel können nicht vergehen und entstehen. Die Wirbelung wird mit den Flüssigkeitsteilchen transportiert, sie haftet ihnen an. Wie können also Wirbel überhaupt entstehen? Eine Möglichkeit wäre die Reibungskräfte dafür verantwortlich zu machen. Man kann aber auch für die Navier Stokes’schen Gleichungen zeigen, das Wirbel nicht entstehen und vergehen können. Bei zähen Flüssigkeiten können Wirbel nur über die Wandflächen in die Flüssigkeit einwandern (tangentiale Haftkräfte). 47 3. März 2008 Abbildung 4.1: Das Prandtl’sche Staurohr 4.1 Stationäre Strömungen Im stationären Zustand sind die Zeitableitungen Null, somit lautet die Bewegungsgleichung ~ v = −grad (Φ + w) (~v ∇)~ Nun gilt (Übung) ~ v = 1 grad (v 2 ) − ~v × rot ~v (~v∇)~ 2 so daß, 1 ~v × rot ~v = grad (Φ + w + v 2 ) 2 Betrachtet man diese Gleichung entlang einer Stromlinie (diese bleiben ja zeitlich fest) so gilt für eine Änderung entlang der Stromlinie 1 ~ d~s ∇(Φ + w + v2) = 0 2 da d~s k~v ⊥ ~v × rot ~v. Es ist also die Änderung der Größe in der Klammer Null, also 1 Φ + w + v 2 = konst. 2 48 3. März 2008 für einen Stromfaden der stationären Strömung. Diese Gleichung heißt Bernoulli Gleichung. Ist die stationäre Strömung auch noch inkompressibel (w = pρ ) dann gilt für den Druck ρ p = konst. − ρΦ − v 2 2 Beispiele: • Die gleichförmig rotierende Flüssigkeit: ~v = ~ω × ~r • Das Bernoulli’sche Paradoxon: ρ konst. = −p(~r) − v 2 (~r) 2 Dort wo die Geschwindigkeit größer ist, ist der Druck kleiner. Der letzte Term heißt auch Staudruck. • Das Prandtl’sche Staurohr Es ist interessant den Fehler zu berechnen den man macht wenn man die Formel für den Druck unter der Ananhme der Inkompressibilität auf eine kompressible Flüssigkeit anwendet (Sommerfeld v2 Seite 90). Er geht mit 4c 2 , dem Quadrat des Verhältnisses der gemessenen Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit. • Das Ausfließen aus einem Gefäß: Die Bewegungsgleichung gibt Abbildung 4.2: Ausfluß aus einem Gefäß ρ 2 ρ 2 vh + ρgh + po = vaus + po 2 2 Die Kontinuitätsgleichung gibt ρFh vh = ρFaus vaus Es folgt ρ 2 ρ 2 Faus + ρgh = vaus vaus 2 Fh 2 √ Fh ist vaus = 2gh. Wenn nun Faus 49 3. März 2008 4.1.1 Ausfluß eines Gases aus einem Überdruckkessel Laval Düse nach Carl Gustaf de Laval (1845 - 1930) schwedischer Ingenieur. Abbildung 4.3: Ausströmen aus einem Überdruckkessel, p0 Druck am Düsenanfang im Innern, pA Außendruck, p∗ Druck im kleinsten Düsenquerschnitt (gerade kritischer Druck und dort v = c d.h Ma=1) Wiederholung ideales Gas: Zustandsgleichung p = kB T ρ innere Energie und Enthalpie (γ = cp /cv ) = cv T = p ρ(γ − 1) w = cp T = γp (γ − 1)ρ Entropie s = cv ln adiabatische Schallgeschwindigkeit p1/γ c2 p = c ln = p ργ ρ γ−1 2 c = ∂p ∂ρ s Nun gilt (Maxwellrelation) ∂p ∂ρ s = cp cv ∂p ∂ρ T =γ p ρ und cp − cv = kB Wir betrachten den Fluß eines kompressiblen Fluids (Gas) durch eine Röhre unterschiedlichen Querschnitts. Dabei soll der Querschnitt sich so stark verengen können, dass die Geschwindigkeit der Strömung die Schallgeschwindigkeit 50 3. März 2008 erreicht. Dort ist das Gas weniger dicht und kälter als überall sonst. Die Schallgeschwindigkeit ist nicht konstant entlang eines Stromfadens aber die Größen sind konstant über den Querschnitt (Zähigkeit ist ja Null). Abbildung 4.4: Laval und Laval Düse Es gilt der Zusammenhang zwischen ρ0 , ρ, p0 und p gemäß der Adiabatengleichung !1/γ p ρ = ρ0 p0 Man kann damit den Druck Term als Gradienten Schreiben Z dp γ p0 1 gradp = grad = grad ρ ρ γ − 1 ρ0 p p0 !(γ−1)/γ Die Bernoulli-Gleichung lautet damit (~v Geschwindigkeit in der Düse, p der Druck dort, p0 ist der Innendruck, dort ist die Geschwindigkeit des Gases gleich Null) v2 γ p0 + 2 γ − 1 ρ0 p p0 !(γ−1)/γ Kompatibel mit v 2 + w = 0 + w0 v2 + =0+ γ p0 γ − 1 ρ0 γp γp0 = (γ − 1)ρ (γ − 1)ρ0 51 3. März 2008 wenn ρ durch Adiabatengleichung eliminiert. Im limes γ → ∞ (inkompressibles Gas) erhält man p0 p v2 = + 2 ρ0 ρ0 und somit die Ausflußgeschwindigkeit s p0 − p v= 2 ρ0 Das ist das Bunsen’sche Ausströmgesetz das Gas könnte beliebig schnell ausströmen und die Durchflußmenge könnte beleibig groß gemacht werden durch geeignete Wahl des Druckunterschieds. Man bemerkt folgendes: Mit wachsender Geschwindigkeit • sinkt der Druck p, die Dichte ρ, die Enthalpie w, die Temperatur T , die Schallgeschwindigkeit c und es • steigt die Machzahl Ma = v/c Aus der Bernoulli-Gleichung läßt sich die Geschwindigkeit v im Mündungsquerschnitt (Fläche F ) und die Durchflußmenge Q als Funktion des Drucks p berechen Q = F ρv = F p p0 v !1/γ u u u t 2γ p p0 ρ0 1 − γ−1 p0 !(γ−1)/γ Diese Menge ist keine monotone Funktion des Drucks. Im limes γ → ∞ findet man v ! u u p − p 0 Q = F ρ0 t2 ρ0 Für p = 0 und p = p0 ist die Durchflußmenge Null. Letzteres is klar, weil kein Druckunterschied. Ersteres ? Daher gibt es ein Maximum für einen bestimmten Druck im Mündungsquerschnitt, dem kritischen Druck. Aus p p0 1 dρv =0= dp γ !1/γ−1 √ γ −1 .. − 2γ p p0 !1/γ folgt 1 p γ p0 !(1−γ)/γ − 1 − γ−1 =0 2γ cx(γ−1)/γ−1 √ .. 52 3. März 2008 also p p0 !(1−γ)/γ = γ+1 γ−1 +1= 2 2 und somit der Maximalwert bei dem Druck p∗ = p0 2 γ+1 ! γ γ−1 Dieser Druck wird an der engsten Stelle (kleinstes F) angenommen, da sonst für den kleineren Querschnitt ρv größer als das Maximum sein müßte, was unmöglich ist. p0 ist der Druck im Gefäß. Die dazugehörige Austrittsgeschwindigkeit v∗ = s 2γ p0 γ + 1 ρ0 ist dann gerade gleich der örtlichen Schallgeschwindigkeit (c0 = γp0 /ρ0 ) c= s dp = dρ und der Strom ∗ ∗ ∗ v u u γp t 0 ρ0 j = ρ v = ρ0 p p0 !(γ−1)/γ 2 γ+1 ∗ ∗ = (für p = p ) = v = !1/(γ−1) s s 2 2 c0 = ρ0 c0 γ+1 γ+1 2 c0 γ+1 ! γ+1 2(γ−1) Auch wenn der Außendruck kleiner als der kritische Druck ist, kann nicht mehr durch die Düse fließen. Der Druckabfall im Rohr kann p0 − p∗ nicht überschreiten, sondern er erfolgt außerhalb des Rohres. Also wird die Durchflußmenge für pA < p∗ unabhängig von pA . Die Form des austretenden Gasstrahls und dessen Geschwindigkeit wird jedoch von pA abhängen. Will man ein geregeltes Ausströmen (keinen flatternder Strahl) erreichen schließt man an die engste Stelle der Mündung eine sich erweiternde Düse an (Lavaldüse). Die Querschnittserweiterung ist notwendig weil dies die Kontinuitätsgleichung für eine Überschallströmung verlangt. Es gilt F vρ = konst., also vρ dF dρ + Fρ + Fv =0 dv dv Also in der Lavaldüse kann Überschallgeschwindigkeit erreicht werden. Andererseits ist ! dv v dρ v dρ v2 2 dρ 2 vρ =− = (Ma) = 2 = v c dp ρ dv dp ρ dv wobei letzteres aus der differentiell Form der Bernoulli-Gleichung folgt vdv + dp =0 ρ 53 3. März 2008 Einsetzen gibt den Zusammenhang vρ dF + F ρ − F ρ(Ma)2 = 0 dv oder v dF = (Ma)2 − 1 F dv d.h., daß der Querschnitt für Ma > 1 mit der Geschwindigkeit der Strömung größer werden muß (und kleiner für Ma < 1); und die Geschwindigkeit wächst weil pA < p∗ . Die Durchflußmenge durch so eine Düse ist konstant. So kann man eine maximale Geschwindigkeit für pA = 0 von (aus dem Ausdruck für v) vmax = s 2γ p0 = γ − 1 ρ0 s 2 c0 γ−1 erreichen, über das doppelte der Schallgeschwindigkeit im Kessel. Übung: Es soll der Druck p2 am Ende der Überschalldüse (Lavaldüse) bestimmt werden auf den expandiert werden muß, um die maximale Schubkraft zu erzielen. Größen mit Index 1 am Anfang der Lavaldüse, mit Index 2 am Ende. Anleitung: (i) Impulsbilanz enthält Schubkraft Ks KS = v12 ρ1 F1 + p1 F1 − v22 ρ2 F2 − p2 F2 + pa (F2 − F1 ) (ii) Die Durchflußmenge ist konstant Q = ρ1 F1 v1 = ρ2 F2 v2 (iii) Bernoulli- mit Adiabatengleichung Die Schubkraft ist eine Funktion des Enddrucks, Ableitung muß null sein. dFS =0 dp2 Beachten sie, dass die Größen mit Index 1 und der Außendruck pa nicht von p2 abhängen. Also ist zu berechnen d (−F2 (p2 − pa + ρ2 v22 ) = 0 dp2 Die auftretenden Ableitungen holt man sich aus der Kontinuitäts- und Bernoulligleichung. Man findet dFS dA2 =− (p2 − pa ) = 0 dp2 dp2 also muß der Enddruck gleich dem Aussendruck sein. Die maximale Schubkraft ist dann FS,max = Q(v1 − v2 ) + F1 (p1 − pa ) alledings muß v2 gegeben sein 54 3. März 2008 Abbildung 4.5: Laval Düse und Schwarzes Loch Laval Düse und Schwarzes Loch Das Verhalten von Schallwellen in Füssigkeiten und Lichtwellen in der gekrümten Raumzeit weist gewisse Ähnlichkeiten auf. Die Verengung in einer Laval Düse wirkt wie der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs. Schall kann in die Überschallregion der Lavaldüse eindringen, aber sie nicht verlassen. Licht ist eine transversale Welle, Schall eien longitudinale Welle. Dennoch kann man aus dem Vergleich der beiden Wellen und ihren quantenmechanischen Pendants den Photonen und den Phononen Erkenntnisse gewinnen. Abbildung 4.6: Licht und Schall 55 3. März 2008 Lit.: Spektrum der Wissenschaft April 2006 Seite 40 W. G. Unruh, Phys. Rev. Lett. 46 1351 (1981) (in dieser Publikation wird die Analogie präsentiert) R. Schützhol and W. G. Unruh, Phys. Rev. Lett. 95 031301 (2005) (in dieser Publikation wird ein analoges elektromagnetisches Experiment dargestellt) 4.2 Allgemeine Untersuchung der Euler’schen Gleichungen Ganz allgemein gilt, daß die Dichten von Erhaltungsgrößen Kontinuitätsgleichungen erfüllen. Grundlage für diese Überlegungen ist die Extensivität der Erhaltungsgröße. Solche extensiven Größen sind die Energie, der Impuls, der Drehimpuls und wie schon behandelt die Masse. Bezeichnet man die Erhaltungsgröße mit A und ihre Dichte mit a(~r, t) also A= Z a(~r, t)d3 x so erfüllt die Dichte die Gleichung ∂ a + div ja = 0 ∂t Es kann sich nämlich A zeitlich nur dadurch ändern, daß aus dem Volumen etwas hinaus- bzw. hineinströmt, also dA = dt Z ∂a 3 d x=− ∂t Z ja df~ = − Z div ja d3 x Dabei kann a ein Tensor beliebiger Stufe sein, jedenfalls ist der Strom ein Tensor der um eine Stufe höher ist als die Dichte der Erhaltungsgröße. Ziel dieser Überlegungen ist die Berechnung der Ströme aus den dynamischen Gleichungen, die die Flüssigkeit beschreiben. Ist das betrachtete System nicht abgeschlossen so können Quellen und Senken durch entsprechende Terme Qa berücksichtigt werden so daß man allgemeiner erhält ∂ a + div ja = Qa ∂t Auf diese Weise kann man das System der hydrodynamischen Gleichungen als System der Gleichungen für die Dichten der Erhaltungsgrößen sehen, ein Gesichtspunkt der wichtig für die Herleitung aus den mikroskopischen Gleichungen ist und der für andere physikalische Systeme anwendbar ist (zB. magnetische Systeme, zweiter Schall in Festkörpern) 56 3. März 2008 4.2.1 Energieerhaltung Die Energie besteht aus mehreren Anteilen, der kinetischen Energie, der inneren Energie (siehe Thermodynamik) und eventuell der potentiellen Energie bei konservativen Kräften (lassen wir jetzt der Einfachheit halber weg), also 1 e(~r, t) = ρ(~r, t)v 2 (~r, t) + ρ(~r, t)(~r, t) 2 Die innere Energie (pro Masse) hängt mit der Enthalpie (pro Masse) folgendermaßen zusammen + p =w ρ d = T ds − pdv = T ds + p dρ ρ2 wo v das spezifische Volumen bedeutet, dann ist p d(ρ) = dρ + ρd = dρ + ρT ds + dρ = wdρ + ρT ds ρ Unter adiabatischen Bedingungen ist die Entropiedichte im Lagrange’schen Sinn zeitunabhängig, also ∂ ∂ s= s + ~v grad s = 0 ∂L t ∂E t Daraus folgt für die Dichte der inneren Energie ∂ ∂ ∂ (ρ) = w ρ + ρT s = −wdiv (ρ~v ) − ρT~v grad s ∂t ∂t ∂t Für die Dichte der kinetischen Energie folgt (ohne äußeres Potential) ∂ 1 2 1 ∂ ∂ ( ρv ) = v 2 ρ + ρ~v ~v = ∂t 2 2 ∂t ∂t 1 ~ v − ~v grad p = − 1 v 2 div (ρ~v ) − 1 ρ~v grad v 2 − ~v grad p = − v 2 div (ρ~v ) − ρ~v (~v∇)~ 2 2 2 1 Man benützt vi vn ∇n vi = 2 vn ∇n vi2 . Aus 1 dw = T ds + dp ρ folgt ~v grad p = −T ρ ~v grad s + ρ~v grad w 57 3. März 2008 Alles zusammengenommen führt auf 1 1 1 ∂ e = −( v 2 + w)div (ρ~v ) − ρ~v grad ( v 2 + w) = −div [ρ~v ( v 2 + w)] ∂t 2 2 2 Der Energiestrom lautet also ~je = ρ~v ( 1 v 2 + w) 2 Das kann man, mit der Definition für w (isentrop) noch umschreiben auf ~je = ~v e + ~v p Man könnte erwarten daß der Strom einfach die Energiedichte mit der Geschwindigkeit ~v aus dem (in das) Volumen transportiert. Es gibt aber noch einen Zusatzterm, der berücksichtigt, daß der Druck Arbeit in der Oberfläche leistet. Das sieht man wenn man zur Integralen Formulierung übergeht. Integration und Gauß’scher Satz führen auf den gesamten Strom durch die Oberfläche J~e = − I ~v e df~ − I ~vp df~ Der erste Term entspricht dem physischen Abtransport von Energie (pro Zeiteinheit), der zweite der Arbeit die von den Druckkräften normal auf die Oberflche geleistet wird (Kraft mal Weg pro Zeit). Bei Anwesenheit von konservativen Kräften kommt zum kinetischen Anteil links noch ein Term vom Potential zum Strom ~je0 = ~je + ρ~v Φ 4.2.2 Impuls- und Drehimpulserhaltung Die Impulsdichte ist ~j = ρ~v und die zeitliche Änderung ∂ ∂ ∂ (ρ~v ) = ρ ~v + ~v ρ ∂t ∂t ∂t Unter Benutzung der Bewegungsgleichung und der Kontinuitätsgleichung folgt " # 1 ∂ (ρvi ) = ρ −vj ∇j vi − ∇i p + vi [−vj ∇j ρ − ρ∇j vj ] = −∇i p − ∇j ρ vi vj ∂t ρ ∂~ ~ Π j = −∇ ∂t 58 3. März 2008 mit dem Impulsstromtensor Πij = p δij + ρ vi vj Durch ein Flächenelement fließt dann ~jf = Πdf~ = pdf~ + ρ~v ~v df~ Die Drehimpulsdichte ist ~l = ρ (~r × ~v ) und die Zeitableitung ∂ ∂~ l = ~r × ~j ∂t ∂t oder mit der Impulsstromdichte ∂ ∂ ∂ li = −εijk xj Πkl = − εijk xj Πkl ∂t ∂xl ∂xl die Ableitung kann herausgezogen werden da der Impulsstromtensor ein symmetrischer Tensor ist εijk δjl Πkl = εilk Πkl = 0 Es folgt also keine neue unabhängige Gleichung. Die Drehimpulsstromdichte lautet also Λ = ~r × Π. 4.2.3 Erhaltung der Zirkulation Wir definieren die Zirkulation, als das Kurvenintegral in einem Strömungsfeld über eine geschlossene Kurve (Fig. 4.7) Abbildung 4.7: Zur Definition der Zirkulation 59 3. März 2008 Γ= I C ~v d~s Die Kurve wird aus Flüssigkeitsteilchen gebildet und wir verfolgen diese Teilchen im Laufe der Zeit, so daß wir zu jedem Zeitpunkt die Kurve, über die integriert wird, definiert haben. Zu jedem Zeitpunkt können wir den Stoke’schen Satz anwenden I Z ~v d~s = rot~v df~ C(t) F (t) Ist daher die Strömung wirbelfrei rot~v = 0 in dem einfach zusammenhängenden Gebiet, so verschwindet die Zirkulation. Die Zeitableitung der Zirkulation berechnen wir im Lagrangebild ∂ Γ= ∂L t I C ∂~v d~s + ∂L t I C ~v ∂ d~s ∂L t Die Zeitableitung im ersten Term rechts ist, da wir nur konservative Kräfte betrachten, ein Gradient und das Integral daher Null. Nur der zweite Term ist näher zu betrachten. Die Kurve entlang der integriert wird ist verschoben durch das Geschwindigkeitsfeld ~v (~r), und dabei wird d~s in d~s 0 transformiert Abbildung 4.8: Zur zeitlichen Entwicklung der Zirkulation ~v(~r)dt + d~s 0 = ~v (~r + d~s)dt + d~s = ~ v (~r)dt + d~s = ~v (~r)dt + (d~s∇)~ 60 3. März 2008 Daraus folgt ~ v (~r)dt d~s 0 (t + dt) = d~s(t) + (d~s∇)~ und somit ∂ ~ v d~s = (d~s∇)~ ∂L t Weiters folgt ~v 2 ∂ ~ v = (d~s∇) ~ v d~s = ~v(d~s∇)~ ∂L t 2 Damit wird ∂ d~s = C ∂L t Es folgt der Satz von Thomson I ~v I C d~sgrad v2 =0 2 ∂ Γ=0 ∂L t dieser Satz gilt in isentropen Flüssigkeiten unabhängig davon ob die Strömung rotationsfrei ist oder nicht. Bei der Herleitung hat man die Eulerschen Gleichungen für isentropische Strömungen benutzt. Ist die Strömung nicht isentropisch, besteht aber ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Dichte ρ und dem Druck p, so kann man den Druckterm ebenfalls als Gradient einer Funktion schreiben, 1 gradp = gradP ρ mit P = Z dp ρ und die Wirbelsätze gelten ebenfalls. Für eine isentrope Strömung ist dieser Eindeutige Zusammenhang durch s(ρ, p) = konst. gegeben. Betrachten wir das Wirbelfeld ~ω , so bilden die Stromlinien des Wirbelfeldes die Wirbellinien. Aus diesen Wirbellinien können wir nun Wirbelröhren, fäden(Röhren mit kleinem Durchmesser) oder -schichten bilden. Betrachten wir eine Wirbelröhre endlicher Länge, so gilt wegen div~ω = 0 Z div~ω dV = I ~ω df~ = 0 Da nur die Deckflächen etwas zum Oberflächenintegral beitragen (am Mantel ist ja ~ω senkrecht auf df~) gilt für eine Wirbelfaden (Wirbelfeld konstant über die Fläche) |~ω1 |F1 = |~ω2|F2 Je kleiner der Querschnitt eines Wirbelfadens desto größer die Rotationsgeschwindigkeit. Da aber I Γ ~ω df~ = 2 3. März 2008 61 heißt das auch: die Zirkulation um eine Wirbelröhre ist an allen Stellen gleich groß. Aus der Betrachtung zweier Wirbellinien kann man schließen (Greiner Seite 79), daß Wirbelfäden, etc immer aus den gleichen Flüssigkeitsteilchen gebildet werden. Bei Inkompressibilität heißt das, daß das Volumen einer Wirbelröhre unveränderlich ist. Interessant ist das dynamische Verhalten von Wirbeln, sie wird hier aber nicht behandelt (siehe Sommerfeld Seite 138) Kapitel 5 Potentialströmungen Setzt man vorraus, daß rot~v = 0 für das Geschwindigkeitsfeld gilt (das heißt nicht daß Γ = 0, das würde nur für ein einfach zusammenhängendes Gebiet gelten), so läßt sich das Geschwindigkeitsfeld als Gradient eines Potentials Φ schreiben ~ . ~v = gradΦ = ∇Φ Man achte auf das Vorzeichen. Damit geht die Eulergleichung für das Geschwindigkeitsfeld in eine Gleichung für das Potential über, die im isentropischen Fall lautet ∂Φ 1 2 grad = −grad φ + w + (gradΦ) ∂t 2 Ein allgemeines Integral ist ∂Φ 1 + φ + w + (gradΦ)2 = f (t) ∂t 2 Durch die Umeichung von Φ auf Φ0 = Φ+ t f (τ )dτ kann man rechts Null erhalten also 1 ∂Φ + φ + w + (gradΦ)2 = 0 ∂t 2 Ist die Strömung stationär, erhält man die Bernoulli-gleichung, aber es mußte früher rot~v nicht Null sein. Dafür gilt die Bernoulli-gleichung aber jetzt im ganzen Raum und nicht nur längs eines Stromfadens. R Aus der Rotationsfreiheit folgt für ein einfach zusammenhängendes Gebiet, daß es in ihm keine geschlossenen Stromfäden geben kann, denn dann wäre d~sk~v H und somit die Zirkulation Γ = ~v d~s 6= 0. Wir machen nun eine weitere Einschränkung, nämlich die der Inkompressibilität dann ist auch div~v = 0 also folgt mit ~v = gradΦ ∆Φ = 0 62 63 3. März 2008 die Laplace-gleichung. Dazu kommen noch die geeigneten Randbedingungen. • feste Wand ~vn = ∂Φ ∂n =0 • bewegliche Wand ~vn = ∂Φ ∂n = f (~r, t) Die Parallelströmung ist rotationsfrei, d.h. für eine stationäre Strömung, die im unendlichen eine Parallelströmung ist und einen Körper umströmt, daß entlang einer Stromlinie die Rotationsfreiheit erhalten bleibt. Für eine nicht stationäre Strömung gilt dies für die Bahnlinie. Die Euler’schen Gleichungen lassen aber auch Lösungen zu, wo sich Stromlinien von der Oberfläche des umströmten Körpers in das Innere der Flüssigkeit erstrecken (wo die Strömung ablöst). Ein Beginn einer Stromlinie an der Oberfläche bedeutet eine Unstetigkeit der tangentialen Geschwindigkeit an dieser Stelle. Ein Sprung in der tangentialen Geschwindigkeitskomponente stellt aber eine Flächenrotation der Geschwindigkeit dar (siehe dazu Kapitel 4.3). Bewegt sich ein fester Körper durch eine Flüssigkeit und ist die dabei auftretende Strömung eine Potentialströmung, so hängt diese Strömung zu einem betrachtetetn Augenblick, nur von der Geschwindigkeit und nicht von der Beschleunigung ab. Die Laplace-gleichung enthält die Zeit nicht explizit, sie geht nur über die Randbedingungen ein, und damit nur über die Geschwindigkeit. 5.1 Ebene Potentialströmungen Lit.: Curle, Davies, Modern fluid dynamics Vol.1 Wir betrachten nun Strömungen in einer Ebene, bzw. dreidimensionale Strömungen die unabhängig von der z-Koordinate sind (d.h. mit einer Strömung um eine Kreis ist eine Strömung um einen unedlich langenen Zylinder gemeint) Sei die Flüssigkeit inkompressibel, so erfüllt das Geschwindigkeitsfeld die Bedingung ∂vx ∂vy + =0 ∂x ∂y Man kann eine skalare Funktion Ψ(x, y), die Stromfunktion, definieren, derart daß die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes automatisch erfüllt ist (Vektorfeld ist durch Divergenz und Rotation bestimmt). Denn ist vx = ∂Ψ ∂y vy = − ∂Ψ ∂x so folgt sofort div~v = 0. Setzt man diese Darstellung in die Eulergleichung ∂rot~v − rot(~v × rot~v) = 0 ∂t 64 3. März 2008 ein (rot~v ist dabei senkrecht zur Ebene, in der die Strömung stattfindet), so folgt aus ! ∂vy ∂vx ~ez = −∆Ψ~ez − rot~v = ∂x ∂y und −rot(~v × ∆Ψ~ez ) = −~v × rot(∆Ψ~ez ) = ! ∂Ψ ∂∆Ψ ∂Ψ ∂∆Ψ ~ez . + = − ∂y ∂x ∂x ∂y Also folgt die Gleichung für die Stromfunktion ! ∂ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂ ∆Ψ = 0 . − + ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x Dazu kommen die Randbedingungen. Aus der Kenntnis der Stromfunktion sind die Stromlinien einfach zu konstruieren. Die Stromlinien findet man aus dx dy = vx vy und somit aus ∂Ψ ∂Ψ dx − dy = dΨ = 0 ∂x ∂y Also sind die Stromlinien die Linen auf denen die Stromfunktion konstant ist. vy dx − vx dy = − Nun ist aber die ebene Potentialströmung natürlich auch rotationsfrei. Daher folgt für die Stromfunktion die Laplacegleichung rot~v = 0 ∆Ψ = 0 und das Geschwindigkeitsfeld ist auch durch ein skalares Potential Φ darstellbar. vx = ∂Ψ ∂Φ = ∂x ∂y vy = ∂Φ ∂Ψ =− ∂y ∂x Damit haben wir die Cauchy Riemann’schen Bedingungen für die Analytizität einer komplexen Funktion F (z) in der komplexen Ebene erhalten, wenn wir diese Funktion wie folgt definieren F (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y) z = x + iy F (z) heißt das komplexe Potential. Seine komplexe Ableitung gibt das Geschwindigkeitsfeld, dF = vx − ivy . dz 65 3. März 2008 Aus der Definition der komplexen Ableitung folgt: 1 ∂F ∂F dF = ≡ −i dz 2 ∂x ∂y 1 ∂Φ ∂Ψ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ ∂Ψ = = +i −i + +i 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x Wir können also den Geschwindigkeitsvektor schreiben als ~v = (<F 0 , −=F 0 ). Die Kurvenschar der Linien Φ = const. steht senkrecht auf die Kurvenschar der Stromlinien (klar aus der Konstruktion der Stromlinien). Die beiden Kurvenschare sind auch isometrisch zueinander, d.h. die Maßstäbe die für das Anwachsen von Φ und Ψ gelten sind dieselben. Legt man in der xy-Ebene zwei orthogonale Linienelemente fest (~n und ~t = ~ez × ~n) und betrachtet den Zuwachs von Φ und Ψ längs dieser Linienelemente so gilt ∂Ψ ∂Φ = ∂n ∂t denn ∂Ψ ∂Ψ − ny = ~ez × ~ngradΨ ∂y ∂x Wächst also Φ und Ψ um den gleichen Betrag so auch die n- bzw. t-Koordinate. ~ngradΦ = nx Die Oberfläche (das ist eine Kurve) muß eine Stromlinie sein, also Ψ = const. (nochmals die tangentiale Komponente von ~v darf unstetig sein; z.Bsp. Kreisströmung um Kugel). Diese Konstante wählen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit Null, also Ψ = 0. D.h. aber daß auf der Oberfläche F reell ist. Mit diesen Überlegungen stellt sich das Strömungsproblem als die Bestimmung einer analytischen Funktion F dar, die auf einer Kontur bestimmte reelle Werte annimmt. 5.1.1 Konforme Abbildungen und einfache Beispiele Als Lösung des Strömungsproblems (Angabe des Geschwindigkeitsfeldes) sucht man eine geeignete konforme Abbbildung, F (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y), die die Stromlinien in der z-Ebene in der F -Ebene auf Parallele Ψ = konst. abbildet. Meist trifft man die Wahl so, daß dabei die Berandung des umströmten Körpers auf Ψ = 0 abgebildet wird. Als konforme Abbildung ist sie maßstabsgetreu und winkeltreu und in den kleinsten Teilen ähnlich. Infinitesimale Dreiecke gehen in ähnliche infinitesimale Dreiecke über. Die Φ und Ψ Linien bleiben orthogonal (Mercatorprojektion). Beispiele für konforme Abbildungen 66 3. März 2008 (i) Die Parallelströmung Sie ist durch F (z) = vz gegeben. F 0 (z) = vx − ivy = v ∂Φ ∂Φ =v vy = =0 ∂x ∂y ∂Ψ ∂Ψ Ψ = vy vx = =v vy = − =0 ∂y ∂x Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. y = konst (siehe Fig.7.5). Φ = vx vx = Abbildung 5.1: Die konforme Abbildung für die Parallelströmung. In allen folgenden Abbildungen in der F-Ebene Φ und Ψ vertauschen! (ii) Die Strömung im rechten Winkel Sie ist durch F (z) = z 2 F 0 (z) = vx − ivy = 2z = 2x − i(−2y) gegeben. ∂Φ ∂Φ = 2x vy = = −2y ∂x ∂y ∂Ψ ∂Ψ = 2x vy = − = −2y Ψ = 2xy vx = ∂y ∂x Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. xy = konst (siehe Fig.5.2). Auf der x-Achse ist vy = 0, auf der y-Achse vx = 0 also tatsächlich am Rand Ψ = 0 und damit F reell. Die Tangentialgeschwindigkeit ist aber am Rand diskontinuierlich. Φ = x2 − y 2 vx = (iii) Quelle oder Senke Sie sind durch Q Q ln z = (ln r + iφ) F (z) = 2π 2π z = r exp(iφ) 67 3. März 2008 Abbildung 5.2: Die konforme Abbildung für die Strömung im rechten Winkel gegeben. Q ln r 2π Q Q x y vy = 2 2 2 2π x + y 2π x + y 2 Q Ψ= φ 2π Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. φ = konst (siehe Fig.5.3). Sie entspringen dem Ursprung in dem das Geschwindigkeitsfeld singulär ist. Die Φ= vx = Abbildung 5.3: Die konforme Abbildung für die Strömung aus einer Quelle, oder in eine Senke Ergiebigkeit der Quelle findet man durch Integration der Divergenz über ein Volumen, das den Ursprung enthält Z Z div~v dxdy = I ~v df~ = Z dφ Q =Q 2π 68 3. März 2008 Im Gebiet z − {0} ist die Divergenz des Vektorfeldes Null. (iv) Kreisströmung Sie ist durch F (z) = − gegeben. Φ= Γ φ 2π vx = Γ i ln z 2π Γ −y 2π x2 + y 2 vy = Γ x 2 2π x + y 2 Γ ln r 2π Die Stromlinien sind die Linien Ψ = konst. d.h. r = konst (siehe Fig.5.4). Es sind Kreise um den Ursprung in dem das Geschwindigkeitsfeld singulär ist. Ψ=− Abbildung 5.4: Die konforme Abbildung für die Kreisströmung Die Zirkulation der Kreisströmung findet man durch Integration der Rotation über eine Oberfläche, die den Ursprung umschließt (mathematisch positiv im Gegenuhrzeigersinn) I rot~v df~ = I ~v d~s = Z dφ Γ =Γ 2π Im Gebiet z − {0} ist die Rotation des Vektorfeldes Null. Man kann die Zirkulation des Geschwindigkeitsfeldes als komplexes Integral schreiben I I I Γ = ~v d~s = (vx dx + vy dy) = < F 0 (z)dz Beweis: Es ist dz = dx + idy und F 0 (z) = Realteil. ∂Φ ∂x + i ∂Ψ ∂x = vx − ivy . Produktbildung und davon der Das komplexe Integral wird mit dem Residuensatz gelöst. Im Beispiel ist F 0 (z) = 69 3. März 2008 i z hat also eine einfache Singularität im Ursprung. Nach dem Residuensatz ist das Integral I i dz = 2πiResiduum = 2πi × i = −2π z (v) Quelle und Senke, Dipolströmung Befindet sich eine Quelle bei −z0 und eine Senke bei z0 so ist das komplexe Potential durch m F (z) = (ln(z + z0 ) − ln(z − z0 )) 2π|z0 | gegeben. Führt man nun den Limes |z0 | → 0 durch so erhält man das komplexe Potential für die Dipolströmung. Man setzt z0 = |z0 | exp(iφ) ein und entwickelt) F (z) = meiφ z gegeben. Das Geschwindigkeitpotential und die Stromfunktion lauten Abbildung 5.5: Die konforme Abbildung für die Dipolströmung Φ= mx x2 + y 2 Ψ=− my x2 + y 2 Daraus folgt das Geschwindigkeitsfeld vx = 2mx2 m − x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 vy = − 2mxy (x2 + y 2 )2 70 3. März 2008 (vi) Die Strömung um einen Kreis Dieses Beispiel ist schon komplizierter. Es gibt jetzt in der z-Ebene Bereiche in denen sich keine Stromlinien befinden (im Kreis). Der Kreis muß aber eine Stromlinie sein (jedenfalls ein Halbkreis). Es wird das Kreisloch auf einen Schlitz in der F -Ebene abgebildet. Im Unendlichen liegt eine Parallelströmung vor (mit der Geschwindigkeit v). Ansatz daher: F (z) = v z + 1 F (z) = v x + iy + x + iy ! 1 z x − iy = v x + iy + 2 x + y2 x Φ = <F = v x + 2 x + y2 x2 − y 2 vx = v 1 − 2 (x + y 2)2 ! ! ! vy = −2v (x2 xy + y 2 )2 Punkte an denen die Geschwindigkeit Null ist, ~v = 0, heißen Staupunkte. Sie sind bei x = ±1; y = 0. Man findet die Staupunkte aus dF =0 dz 1− 1 =0 z2 z2 = 1 Dort herrscht maximaler Druck. Im Unendlichen ist der Druck kleiner da dort v endlich ungleich Null ist. Aus F folgt die Stromfunktion Ψ y Ψ=v y− 2 x + y2 ! = vy x2 + y 2 − 1 x2 + y 2 und auf der Kontur Ψ = 0. Tatsächlich ist der Kreis x2 + y 2 = 1 eine Stromlinie (siehe Fig.5.6). Übung: (siehe Lighthill 9.4) Diskussion der Abbildung F (z) = z + a2 z (Kreis mit Radius a) (vii) Die Strömung um einen Kreis mit Zirkulation Γ 1 + ln z z 2πi ! x Γ y Φ = <F = v x + 2 + arctan 2 x +y 2π x F (z) = v z + x2 − y 2 vx = v 1 − 2 (x + y 2 )2 ! − Γ y 2 2π x + y 2 vy = −2v (x2 xy Γ x + 2 2 2 +y ) 2π x + y 2 Die Staupunkte sind dF =0 dz v Γ v− 2 + =0 z 2πiz z1,2 Γ =− ± 4πiv s 1− Γ2 16π 2v 2 71 3. März 2008 Abbildung 5.6: Die konforme Abbildung für die Strömung um einen Kreis 2 Für 16πΓ2 v2 < 1 gibt es zwei Staupunkte (siehe Fig.). Durch die asymmetrische Lage der Staupunkte (beide in der unteren Halbebene) kommt es zu einer resultierenden Kraft auf den Kreis. Wir führen die komplexe Kraft K ein (siehe Fig.5.7), Abbildung 5.7: Die Lage der Staupunkte für eine Strömung um einen Kreis mit Zirkulation K = Ky + iKx = I U mrandung p(dx − idy) = I pdz ? 72 3. März 2008 Nach Bernoulli findet man den Druck aus ρ p∞ = p(~x) + v 2 (~x) 2 Also ρ ρ dF p = p∞ − v 2 (~x) = p∞ − 2 2 dz dF dz !? Man definiert einen Druckkoeffizienten Cp Cp = |F 0|2 p =1− 2 p∞ v∞ Am Staupunkt ist der Wert des Koeffizienten +1, ist null dort wo die Strömungsgeschwindigkeit gleich v∞ ist und nimmt negative Werte dort an wo die Strömungsgeschwindigkeit größer als die Anströmgeschwindigkeit ist. Setzt man den Druck in das Integral ein, so sieht man daß der konstante Term nichts beiträgt, es bleibt I ρ dz ? F 0? F 0 K=− 2 Nun gilt entlang einer Stromlinie dz ? F 0? = dF ? = dΦ − idΨ = dΦ = dzF 0 , also können wir schreiben I ρ K=− dzF 02 2 U mrandung Beiträge zum Integral kommen nur von den 1z -Termen. Man entwickelt F (z) F (z) ∼ vz + 1 Γ ln z + O( ) 2πi z F 0 (z) ∼ v + Γ 1 1 + O( 2 ) 2πi z z dann ist und F 02 (z) ∼ Damit wird die Kraft vΓ 1 πi z 1 ρvΓ dz = −ρvΓ 2πi z Nur die Ky -Komponente ist von Null verschieden, da reell. Ferner sind die Staupunkte unten wenn Γ < 0, dann ist die Kraft nach oben, also Ky > 0. Es gilt allgemein das Kutta-Joukowski Theorem: die Kraft ist senkrecht auf die freie Strömungsgeschwindigkeit und positiv wenn die Zirkulation im Uhrzeigersinn (math. negativer Sinn) umläuft. Das gilt unabhängig von der geometrischen Form des umströmten Körpers. Es wirkt keine Kraft parallel zur Strömungsgeschwindigkeit (Keine Reibung, kein Totwasser). Anwendung: Magnuseffekt (1851) Abweichung von Geschoßen, Flettner Rotator (1924) vertikale Zylinder an Stelle von Segeln. K=− I 73 3. März 2008 Abbildung 5.8: Das Rotatorschiff Am 31. Mai 1926 startete tatsächlich ein Rotorschiff, die Baden-Baden über den Ozean via Südamerika nach New York. Trotz des Erfolgs scheiterte diese Anwendung an dem Nachteil, daß bei Windstille natürlich kein Magnus-Effekt auftrat. Zur Erklärung siehe Bild 69 Seite 180 in Lighthill (viii) Die Joukowski Abbildung Die konforme Abbildung exp(2iα) z bildet den Einheitskreis (Durchmesser 2) auf einen schrägen Schlitz der Länge 4 ab. F (z) = z + z = exp(iφ) F (z) = exp(iφ) + exp(2iα − iφ) = 2 cos(φ − α) exp(iα) Folgt man in der z-Ebene am Einheitskreis den Punkten 1-4 wieder nach 1, so bewegt man sich in der F -Ebene auf dem Schlitz auf der oberen Seite nach unten und auf der unteren wieder nach 1 zurück. Es wird ein Kreis vom Radius 1 auf eine Gerade der Länge 4 abgebildet. Der Spezialfall α = 0 entspricht der Strömung um eine Kreis (siehe Punkt (vi)). Dann ist der Einheitskreis eine Stromlinie. Ist etwa α = π2 , so ist der Einheitskreis keine Stromlinie. (ix) Die Strömung um eine Platte Hier machen wir uns unmittelbar die Youkowski Abbildung zu nutze indem wir 74 3. März 2008 Abbildung 5.9: Die Joukowski Abbildung Punkt 1 2 3 4 φ cos(φ − α) α 1 α + 90 0 α + 180 −1 α + 270 0 F 2 exp(iα) 0 −2 exp(iα) 0 Tabelle 5.1: Abbildung einzelner Punkte sie umkehren und die Platte (in der z-Ebene) auf einen Kreis (in einer t-Ebene) abbilden und diesen dann auf einen Schlitz in der F -Ebene (siehe Fig.5.10) Abbildung 5.10: Die Strömung um eine Platte exp(−2iα) z =t+ t 1 F (t) = v t + t Wir finden die Staupunkte aus dF dt dF dF = = F = dz dt dz dt 0 1 =v 1− 2 t exp(−2iα) 1− t2 !−1 =v dz dt !−1 = t2 − 1 (t + exp(−iα))(t − exp(−iα)) 3. März 2008 75 Daraus findet man die Staupunkte bei t = ±1, d.h. z = ±1 ± exp(−2iα) = ±2 cos α exp(−iα). Man findet aber nun auch Unendlichkeitsstellen, wo |F 0 | = ∞. Die sind bei t = ± exp(−iα) und das ist genau an den Spitzen der Platte, z = ±2 exp(−iα). Dort ist der Druck −∞ was natürlich unphysikalisch ist. Zum Strömungsbild. Die =t = 0 Achse ist die Stromlinie, die in der z-Ebene auf der x-Achse im (-) Unendlichen beginnt, im oberen Staupunkt auf die Platte auftrifft, dann um die Platte läuft und am unteren Staupunkt die Platte wieder verläßt und im Unendlichen wieder auf die x-Achse trifft. Sie ist durch =Ψ = 0 gegeben. Abbildung 5.11: Die Strömung um eine Platte mit Zirkulation Abbildung 5.12: Der Auftrieb als Funktion des Anstellwinkels für eine Platte theoretisch und experimentell (strichliert) 76 3. März 2008 ~ auf die Platte. Wir berechnen nun noch das Drehmoment M ~ = [~r, K] ~ = M~ez M M = xKy − yKx Nun ist Kx = −pdy und Ky = pdx so daß M= I p(xdx + ydy) = I ρ <(dz ? z)(konst − F 0? F 0 ) 2 Da das Ringintegral über die Konstante Null ist ergibt sich die geschlossene Darstellung I ρ M = − < dzzF 02 2 Der von Null verschiedene Beitrag kommt von dem 1/z 2 -Beitrag in F 02 , den man durch entwickeln findet (große t, dann t ∼ z) 1 F =v 1− 2 t 0 =v+ ! exp(−2iα) 1+ + ... = t2 v (cos(2α) − 1 − i sin(2α)) + . . . t2 Nun gilt t = z + O( z1 ) also ρ M =− < 2 I 2v 2 i sin(2α) ρ dzz . . . − . . . = − 2v 2 2π sin(2α) 2 z 2 ! M = −4πρv 2 cos α sin α dM = −4πρv 2 cos(2α) dα Daraus folgt daß die lage α = 0 labil und α = π2 stabil ist. Die Kraft in den Staupunkten richtet die Platte auf. (x) Die Strömung um eine Platte mit Zirkulation Der nächste Schritt ist es um die Platte eine Zirkulationsströmung hinzuzufügen. Dann haben wir schon so etwas wie einen Tragflügel. F (t) = v t + 1 Γ + ln t t 2πi z =t+ exp(−2iα) t Die Staupunkte sind nun verschoben, wie oben nun bei iΓ ± t= 4πv s 1− Γ 4πv 2 Die Spitzen sind nach wie vor Unendlichkeitspunkte, sie liegen bei t = ± exp(−iα) 77 3. März 2008 Durch geeignete Wahl von Γ verschieben wir die Staupunkte so, daß der untere Staupunkt auf die Spitze zu liegen kommt. Dann erfolgt dort ein glattes Abströmen. Dazu muß (Kuttasche Bedingung) Γ = exp(−iα) − exp(iα) 2πiv denn dann liegen die Staupunkte bei 1 t = − (exp(−iα) − exp(iα)) ± 2 s 1+ 1 1 1 exp(2iα) + exp(−2iα) − 4 4 2 also bei 1 1 tU = − (exp(−iα) − exp(iα)) + (exp(−iα) + exp(iα)) = − exp(−iα) 2 2 der untere Staupunkt und bei 1 1 tO = − (exp(−iα) − exp(iα)) − (exp(−iα) + exp(iα)) = exp(iα) 2 2 der obere Staupunkt Das Strömungsbild sieht dann etwa so aus: Fig.5.11 Neben einem Drehmoment gibt es jetzt auch einen Auftrieb Γ = 2πiv (2i sin α) = −4πv sin α K = −4πρv 2 sin α Also Auftrieb für α < 0, aber es wäre auch auch für α = π2 der Auftrieb maximal, was unphysikalisch ist. Trotzdem ist das Ergebnis wichtig weil es linear im Sinus ist und nicht quadratisch wie es Newton vorhergesagt hat (auf Grund vom Imgcm cm2 pulsübertrag beim Anströmen des Flügels. Dimensionsbetrachtung: Kraft [ sec 2 ]; Γ [ sec ]; g ρ [ cm 2 ]; in Γ ist eine Länge verborgen, da wir den Einheitskreis betrachtet haben. Allgemein würde noch der Radius auftauchen. 5.1.2 Zirkulation, Kraft und Drehmoment einer allgemeinen Strömung um einen Körper Allgemeine Formeln F (z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y) F 0 (z) = vx (x, y) − ivy (x, y) Γ = Re I dzF 0 (z) 78 3. März 2008 ρ dzF 02 (z) K = Ky + iKx = − 2 I ρ Mz = − Re dzzF 02 (z) 2 m Γ ln(z) − F (z) = vz + 2πi 2z Γ m F 0 (z) = v + + 2 2πiz 2z Ky = −ρvΓ Mz = 2πρvIm(m) I 5.1.3 Strömung um einen Tragflügel Literatur: A. Pope, Basic Wing and Airfoil Theory, McGraw Hill 1951 J. Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics, Clarendon Press 1986 Um aus der Platte einen schmalen Tragflügel zu konstruieren, muß man die konforme Abbildung von z nach t ändern. Dies geschieht durch Hinzufügen von Termen einer Laurentreihenentwicklung, die die Lage der bisher gefundenen Staupunkte und Spitzen im wesentlichen unverändert lassen. z =t+ 1 a b − + 2 t t t Es bleibt F = v(t + 1/t) + (Γ/2πi) ln t. Dann ist Γ 1 F =v 1− 2 + t 2πivt 0 1 a 2b 1− 2 + 2 − 3 t t t !−1 Γ t2 − 1 + t 2πiv = vt 3 t − t + at − 2b Die Nullstellen des Zählers liefern die Staupunkte, die Nullstellen des Nenners die Unendlichkeitspunkte. Einer dieser Unendlichkeitspunkte soll mit einem Staupunkt (der sei bei t = 1) kompensiert werden, die anderen Unendlichkeitspunkte sollen in das Tragflügelprofil gelegt werden, also bei |t| < 1 liegen. Eine geeignete Wahl dafür ist a = 2b = − iδ (durch den Imaginärteil δ wird das Tragflügelprofil unsymmetrisch um die x-Achse), wo und δ kleine Größen sein sollen (schmaler Flügel). Berechnung der Unendlichkeitspunkte: t3 − t + at − a = (t − 1)(t2 + t + a) = 0 Also liegen die Unedlichkeitspunkte bei t=1 1 t=− ± 2 r 1 −a 4 79 3. März 2008 Einer wie gewünscht, die beiden anderen müssen erfüllen 1 r1 − + iδ < 1 − ± 2 4 Es ist Abbildung 5.13: Die Wirbelbildung um eine Flügel Abbildung 5.14: Das Tragflügelprofil 1 |...| = + 4 2 Also muß ( 14 − )2 + δ 2 < r 1 16 1 1 ( − )2 + δ 2 ± 4 2 r 1 − + iδ + 4 r 1 − − iδ 4 ! sein. Das ist erfüllt, wenn etwa = δ < 41 . Das Flügelprofil erhalten wir durch einsetzen von t = eiφ in die z → t Abbildung z = 2 cos φ + (cos2 φ − cos φ) + δ(sin φ − sin φ cos φ)+ Es ist h i 1 +i (1 − cos φ) sin φ + δ(cos φ − cos2 φ) − ( + iδ) 2 1 3 <z(0) = 2 − <z(π) = −2 + 2 2 Also <(z(0) − z(π)) = 4 − 2 1 =z(0) = − δ 2 5 =z(π) = − δ 2 =(z(0) − z(π) = 2δ > 0 Breite kleiner; δ > 0 Nase nach unten. Das Anstellen des Flügels erfolgt durch Drehung wie bei der Platte also e−2iα ae−2iα be−3iα 1 a b z =t+ − + = e−iα teiα + iα − iα + 2 2iα 2 t t t te te te " # 80 3. März 2008 Die konforme Abbildung ist so konstruiert, daß die Spitze und der hintere Staupunkt immer zusammenfallen, also erst durch eine Drehung um α ein Auftrieb zustande kommt. Die Nase des Flügels zeigt für α = 0 aber nach unten (siehe Fig.5.14). Abbildung 5.15: Die Strömung um den Tragflügel Resumee: Die Auftriebskraft geht mit dem sin α. Newton aber argumentierte daß der Auftrieb nur mit sin2 α geht. Sein Argument war folgendes: Die Platte wird angeströmt und die Luft an der Platte reflektiert. Dabei wird Impulsübertragen. K= (Impulsdichte) (Volumen pro Zeit) (Komponente aufwärts) K = (ρv)(vL sin α)(sin 2α) ∼ sin2 α Das entmutigte und man dachte Flugmaschinen sind nicht möglich. Erst 1790 wurde die Argumentation überdacht. Erst für sehr hohe Geschwindigkeiten (Überschall) gilt K ∼ sin2 α Historische Daten:Kutta (1902), Youkowski (1902-09), Prandtl (1918). Weitere Entwicklung Flugzeug Boeing 747 Startgeschw. 300 km/h Breite 9m Spannweite 60 m in den 20er und 30er Jahren. Fig.66 im Sommerfeld. Webseite:http://www.monmouth.com/ jsd/how/htm/ 5.1.4 Ausfluß aus einem Rohr z-Ebene auf einen Streifen abbilden. Anstellwinkel 10 Auftrieb 3 107 N Gewicht 300 t 81 3. März 2008 15 10 5 -15 -5 -10 5 10 -5 -10 -15 Abbildung 5.16: Ausfluß aus einem Rohr z = F + exp(F ) x = Φ + exp(Φ) cos(Ψ) |F 0 | = | y = Ψ + exp(Φ) sin(Ψ) 1 1 |=| | 1 + exp(F ) 1 + exp(Φ) exp(iΨ) Ψ 0 ±π ± π2 y 0 ±π ± π2 ± exp(Φ) x Φ + exp(Φ) Φ − exp(Φ) Φ Tabelle 5.2: Abbildung einzelner Punkte 15 82 3. März 2008 Die Geschwindigkeit im Rohr ist für z = −∞ oder Φ = −∞ v = 1, außerhalb im unendlichen Null (Φ = ∞). v2 = ~v = 1 1 + 2 exp(Φ) cos(Ψ) + exp(2Φ) (1 + exp(Φ) cos(Ψ), exp(Φ) sin(Ψ) 1 + 2 exp(Φ) cos(Ψ) + exp(2Φ) In den Limiten wie oben im Rohr ~v k(1, 0), aßerhalb ~v k(cos(Ψ), sin(Ψ)) 5.2 Strömung um eine Kugel Die Kugel habe den Radius R. Es ist die Laplace Gleichung im Gebiet außerhalb der Kugel zu lösen ∆Φ = 0 umschreiben in Kugelkoordinaten ! 1 ∂ 1 ∂Φ r2 + 2 2 r ∂r ∂r r ∂Φ 1 ∂2Φ 1 ∂ sin θ + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 ! ! =0 die Randbedingungen lauten im unendlichen Φ∞ = v∞ z = v∞ r cos θ Ferner muß auf der Kugeloberfläche die radiale Komponente der Geschwindigkeit verschwinden ∂Φ =0 ∂r Es bietet sich die Entwicklung nach Kugelfunktionen an (siehe Elektrodynamik), q wegen der Bedingung im Unendlichen braucht man nur Y10 (θ, φ) = 21 π3 cos θ. Also macht man den Ansatz Φ = Aχ(r)Y10 (θ, φ) wobei χ(r) die Differentialgleichung ! d dχ r2 − 2χ = 0 dr dr erfüllen muß. Die Lösung besitzt zwei Integrationskonstante in die A absorbiert werden kann a χ(r) = 2 + br r 83 3. März 2008 Vergleich von Φ bei großen r gibt bA = 2 q π v . 3 ∞ dχ = dr Es bleibt die Randbedingung an der Kugeloberfläche zu erfüllen auf der 0 sein muß. Also ergibt sich q 3 π aA = R 3 v∞ . Somit ist die Lösung Das Resultat ist R2 Φ = r + 2 v∞ cos θ 2r ! ~ die Geschwindigkeit ist dann ∇Φ ~v = v∞ " R3 3R3 z 1 + 3 ~ez − ~er 2r 2r 4 ! # Reduziert man das Ergebnis auf die Kugeloberfläche und integriert v 2 ∼ sin2 θ über die Kugeloberfläche, kann man zeigen, daß die Kraft auf die Kugel Null ist. Übung: Was ist df~ in Kugelkoordinaten? 5.3 Diskontinuitätsflächen und Totwasser Das Strömungsbild um eine Platte sieht tatsächlich anders aus als wir es im Kapitel 4.2 gefunden haben. Grund ist die Nichtlinearität und die Zähigkeit die in den vollen hydrodynamischen Gleichungen enthalten sind. Man bemerkt daß hinter der Platte ein Gebiet entsteht das relativ träge ist und an dem die Strömung fast reibungslos vorbeigleitet. Dieses Gebiet heißt Totwasser und wir nehmen in diesem Gebiet an, daß die Geschwindigkeit der Strömung ~v = 0 ist und der Druck konstant und per Definition p = 0 ist. Die Form der Berandung dieses Gebiets ist unbekannt und wird sich als ein Resultat der Lösung der Laplacegleichung im Gebiet außerhalb des Totwassers ergeben. Es ist aber dazu die Frage wie die Randbedingungen auf der Totwasserbegrenzung aussehen zu beantworten. Auf der Begrenzung ist ~vn = 0 aber ~vt 6= 0. Das heißt, die tangentiale Geschwindigkeit ist unstetig und dies führt wiederum dazu, daß an der Begrenzung die Rotation der Geschwindigkeit eine δ-Singularität besitzt. Es gilt für vΘ(z) ~v = 0 0 div~v = 0 0 rot~v = vδ(z) 0 0 0 ~v × rot~v = v 2 Θ(z)δ(z) 84 3. März 2008 Also ist dieses Geschwindigkeitsfeld eine stationäre Lösung im inkompressiblen reibungsfreien Fall, wobei der Druck konstant ist. Der Reibungsterm geht mit ∆~v und das ist ungleich Null. Der Reibungsterm löst die Diskontinuitätsfläche in eine Wirbelfläche auf. Diese ersetzen wir durch die Randbedingung vn = 0 5.3.1 δp = 0 δvt 6= 0 Einige weitere Beispiele konformer Abbildungen Wir untersuchen nun spezielle einfache Beispiele von konformen Abbildungen in denen ein Bereich in der F -Ebene auf einen Bereich in der w-Ebene abgebildet wird. Die Lösung eines Potentialproblems geschieht dann durch geeignete Hintereinanderschachtelung solch einfacher Abbildungen. Abbildung des 1. Quadranten auf eine Halbebene Abbildung 5.17: Die konforme Abbildung eines Winkelbereichs auf eine Halbebene (z-Ebene in Abb. ist F-Ebene im Text, w-Ebene ist z-Ebene) Die Abbildung z = F2 bildet den 1. Quadranten (m = 2) der F -Ebene auf den oberen Halbraum der z-Ebene ab (siehe Fig. 5.17). Wegen (1 + i)2 = 2i wird die 45-Grad Gerade in der F -Ebene auf die positive imaginäre Achse in der z-Ebene abgebildet. Abbildung eines Streifens auf eine Halbebene Die Abbildung z = exp(F ) = exp(Φ) (cos Ψ + i sin Ψ) bildet den Streifen − π2 ≤ Ψ ≤ π2 in der F -Ebene auf den rechten Halbraum in der z-Ebene ab (siehe Fig. 5.18). 85 3. März 2008 Abbildung 5.18: Die konforme Abbildung eines Streifen auf eine Halbebene (zEbene in Abb. ist F-Ebene im Text, w-Ebene ist z-Ebene; im Text ist a = π) Abbildung der halbseitig geschlitzten Ebene auf eine Halbebene Abbildung 5.19: Die konforme Abbildung der halbseitig geschlitzten Ebene auf eine Halbebene Die Abbildung z= √ F bildet die entlang der positiven Φ-Achse geschlitzte F -Ebene auf den oberen √ √ π π Halbraum der z-Ebene ab. ±i = cos( 4 ) ± i sin( 4 ) und 1 = 1. Abbildung eines auf der x-Achse liegenden Halbkreises auf die Halbebene Die Abbildung 1 + Φ + iΨ 1+F = 1−F 1 − Φ − iΨ bildet das Innere des Halbkreises in der obere F -Ebene auf den 1. Quadranten der z-Ebene ab. 2Ψ 1 − (Φ2 + Ψ2 ) y= x= 2 2 (1 − Φ) + Ψ (1 − Φ)2 + Ψ2 z= Auf dem Halbkreis gilt Φ2 + Ψ2 = 1 daher immer x = 0 und y = √ 1−Φ2 . 1−Φ 86 3. März 2008 F i −1 0 1 z i 0 1 ∞ Tabelle 5.3: Abbildung einzelner Punkte Abbildung 5.20: Die konforme Abbildung eines Halbkreises auf den 1. Quadranten Abbildung eines auf der y-Achse liegenden Halbkreises auf den 3. Quadranten Abbildung 5.21: Die konforme Abbildung eines Halbkreises auf den 3. Quadranten Die Abbildung F −i Φ + iΨ − i = F +i Φ + iΨ + i bildet den Halbkreis der F -Ebene auf den 3. Quadranten der z-Ebene ab. Das kann man aus dem vorhergehenden Beispiel durch eine Spiegelung von z in −z und eine Drehung um 90 Grad im F -Raum, F in iF erhalten. Explizite ist z= x= Φ2 + Ψ2 − 1 Φ2 + (1 + Ψ)2 y=− Φ2 2Φ + (1 + Ψ)2 87 3. März 2008 Die imaginäre Achse Φ = 0 wird auf die x-Achse abgebildet. x= Ψ−1 Ψ+1 Auf dem Halbkreis gilt Φ2 + Ψ2 = 1 daher immer x = 0 und y = − F 0 i −i −i 1 √ 1−Ψ2 . 1+Ψ z −1 0 −i∞ −∞ −i Tabelle 5.4: Abbildung einzelner Punkte 5.3.2 Platte mit Totwasser Abbildung 5.22: Totwasser hinter einer Platte Wird eine Platte von links angeströmt, so bildet sich hinter der Platte eine Region ohne Fluid aus, in der der Druck Null (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) herrscht. Dieser Druck herrscht auch im Unendlichen rechts, auf der das Totwasser begrenzenden Stromlinie. Im Unendlichen ist aber die Geschwindigkeit des Fluids v. Nun ist aber auf der ganzen Stromlinie p = 0, also auch der Betrag der Geschwindigkeit gleich v. Es gilt also |F 0| = v auf der Berandung des Totwassers (die Richtung der Geschwindigkeit ergibt sich erst aus der Form der Berandung). Das Strömungsproblem ist gelöst, wenn wir die konforme Abbildung der zEbene auf die geschlitzte F -Ebene gefunden haben, wobei die Berandung des Totwassers auf den Rändern des Schlitzes liegt. Eine wichtige Information ist dabei, daß die Geschwindigkeit außerhalb der Totwasserregion überall endlich aber ungleich Null ist. Ferner, daß der Betrag der Geschwindigkeit auf der Berandung konstant ist und auf der Platte Re(F 0 ) = vx = 0. D. h. für die Abbildung 88 3. März 2008 der F -Ebene auf die F 0 -Ebene, daß der Schlitz in der F Ebene auf einen Halbkreis in der F 0 Ebene abgebildet wird, wobei das Innere des Halbkreises auf die geschlitzte Ebene abgebildet wird. Dabei spielen die bilinearen Abbildungen eine wichtige Rolle. Abbildung 5.23: Die Abbildung a) der z-Ebene auf b) die F’-Ebene und auf c) die F-Ebene. In der Abbildung a) auf b) liegt U oberhalb O weil =F 0 = −vy . z F F0 φF φF 0 S 0 0 0 360 =2 180 O ir F0 −iv 180 =2 90 U −ir F0 iv 180 =2 90 ∞ ∞ ∞ v 360 =2 180 −∞ −∞ −∞ v Tabelle 5.5: Abbildung ausgezeichneter Punkte. In der letzten Zeile ist das Verhältnis der Phasen in der Abbildung angegeben Ein Ansatz für die Abbildung von F 0 auf F lautet nun folgendermaßen (es ist immer die positive Wurzel gemeint, F0 reelle Konstante) √ √ (F 0 − iv)2 F0 + F 0 √ = B(F ) =√ A(F ) = (F 0 + iv)2 F0 − F 89 3. März 2008 dabei ist√zu beachten welche gibt immer zwei Möglich√ Wurzel genommen √ wird (es √ keiten, F0+ = lim→0 F0 + i = lim→0 (± F0 ± i 2 F0 ). Löst man nach F 0 auf, so erhält man (s = F0 /F und geeignete Vorzeichenwahl schon getroffen) v u√ u s+1 F 0 − iv = ±t √ 0 F + iv s−1 q√ q√ √ √ √ s − 1 − s+1 s−1+ s+1−2 s−1 0 q√ √ √ = iv F = iv q√ s − 1 − ( s + 1) s−1+ s+1 s F0 − = −iv F s F0 dF − 1 = F dz Eine Überprüfung der Abbildung gibt die Zuordnung gemäß Tab.5.6 in Übereinstimmung mit Tab.5.5. Es gilt S z 0 F 0 F0 0 B(F) 1 A(F’) 1 O ir F0+ −iv ∞ ∞ U −ir F0− iv 0 0 ∞ ∞ ∞ v −1 −1 −∞ −∞ −∞ v −1 −1 Tabelle 5.6: Abbildung ausgezeichneter Punkte dz = und rational machen liefert dz = i dF q q v F0 − F0 − 1 F F s i F0 + v F s F0 − 1 dF F q √ Führt man geeignete Variable ein, sin α = FF0 mit dF = 2 F F0 cos αdα, so folgt aus 2iF0 dz = cos α + cos2 α dα v die Lösung (Dwight 440.20) 2iF0 1 z= sin α + (sin α cos α + α) v 2 90 3. März 2008 3 2 1 4 2 6 8 10 -1 -2 -3 Abbildung 5.24: Totwasser hinter einer Platte Die Integrationskonstante wurde Null gesetzt, da damit die Bedingung der Abbildung α(z = 0) = F (z = 0) = 0 erfüllt ist. Die noch unbestimmte Konstante F0 kann nun ebenfalls bestimmt werden. Es muß F (ir) = F0 also α(ir) = π2 sein 2rv folgt. Somit lautet die vollständige Lösung woraus F0 = π+4 z = = ir 1 α sin α + sin α cos α + 1 + π/4 2 2 v u 2 uF t s 2rF 2rF 2ir − + 2i + arcsin 2 v v(π + 4) v(π + 4) (π + 4) s F (π + 4) 2rv Diese Lösung ist mit der Lösung ohne Totwasser zu vergleichen. Diese lautet (z = t − 1/t, F = v(t + 1/t)) (siehe Kapitel 4.1.1. (ix) mit α = π2 ) z= s F2 −4 v2 Die Begrenzung des Totwassers ist die Kurve y(x) die sich aus <(z) und =(z) nach Elimination von F (reel, es ist die Stromlinie Ψ = 0) ergibt (siehe Fig.5.24). Für große F ergibt sich ein Parabelstück y= s 8r √ x π+4 F <(z) = v =(z) = 2 s 2rF v(π + 4) Für |z| → ∞ ist die Abbildung durch F = vz gegeben. Der wichtige Unterschied zum Fall ohne Totwasser ist nun der, daß auf die Platte ein Druck ausgeübt wird. Hinter der Platte ist der Druck Null, da im 91 3. März 2008 Unendlichen der Druck Null gesetzt wurde. Daher ist wird der lokale Druck nach Bernoulli erhalten aus ρ ρ 2 v = p + vy2 2 2 Es ist also der Gesamtdruck auf die Platte durch das Integral ρ dy (v 2 − |F 0 |2 ) 2 −r 2 Z ir ρv = dz(1 − |F 0|2 /v 2 ) 2i −ir Z 1 ρv 2 ir dzF 0 ( 0 − (F 0 )∗ /v 2 ) = 2i −ir F ! Z F0 1 (F 0 )∗ 2 = iρv dF − 2 F0 v 0 P = Z r = 2ρv Z F0 0 dF s 2rπ F0 −1= ρv 2 F π+4 gegeben. Im letzten Rechenschritt wurde F 0 über die Differentialgleichung elimiP = 0.88 ρ2 v 2 ändert sich noch wenn die Wirbel berücksichniert. Das Ergebnis 2r tigt werden die verhindern, daß sich das Totwasser bis ins Unendliche erstreckt; das ändert den Faktor 0.88 auf 2. Wesentliches Resultat ist aber, daß der Luftwiderstand wie v 2 geht. Ferner sieht man, daß tatsächlich die stabile Lage des Rayleighschen Scheibchens senkrecht zum Wind ist. Notation Sommerfeld x und y vertauscht(!), ζ = (i/F 0 )∗ , damit schreibt sich die konforme Abbildung von Sommerfeld √ √ 0∗ 2 F − iv F0 − F √ =√ F 0 + iv ∗ F0 + F Eine Drehung um 90 Grad auf der rechten Seite liefert die Übereinstimmung mit der hier verwendeten Abbildung 5.3.3 Ausfluß durch ein Loch In der F -Ebene wird auf einen Streifen F20 π ≤ Ψ ≤ − F20 π abgebildet. Setzen wir an 1+w (F 0 − iv)2 = 0 2 (F + iv) 1−w Diese Abbildung erfüllt die in Tab. 5.7 Zuordnungen. Daran schließen wir noch die Abbildung einer Halbebene (w) auf einen Streifen (F ) w = i exp( F ) F0 92 3. März 2008 Abbildung 5.25: Die Abbildung a) der z-Ebene auf b) die F’-Ebene und auf c) die F-Ebene. In der Abbildung a) auf b) liegt U oberhalb O weil =F 0 = −vy . O ir z F F0 w i F20 π iv −1 U −ir −i F02π −iv 1 ∞ ∞ ∞ v i∞ −∞ −∞,±i∞ −∞ 0 0 Tabelle 5.7: Abbildung ausgezeichneter Punkte Die Differenzialgleichung lautet oder Mit s s 1 F = −iv − w 0 1 iw 1 i dz = dF + v w = − exp(− FF0 ) = i sin α wird daraus dz = − 1 − 1 w2 1 − 1 w2 F0 cos α exp(−iα) dα v sin α Mit Dwight 453.21 ist die Lösung 1 1 + cos α F0 exp(−iα) − ln + konst. z=− v 2 1 − cos α 93 3. März 2008 Es muß gelten z = ir, F = i F20 π , sin α = 1 also muß die Konstante gleich i sein. F0 1 1 + cos α z=− exp(−iα) + i − ln v 2 1 − cos α Daraus findet man die Parameterdarstellung der gesuchten Kurve F0 1 1 + cos α F0 x=− cos α − ln y=r− [1 − sin α] v 2 1 − cos α v Es bleibt noch F0 zu bestimmen. Es wurde noch nicht benutzt die Bedingung im ∞. Dort muß die Geschwindigkeit in x-Richtung weisen. Also cos α = 1 und sin α = 0 dann x → ∞ und y = r − Fv0 = b. b ist die Breite des Stahls im Unendlichen. Es ist vx = ∂Ψ also ∂y v= oder r− Ψ F0 π |∞ = y 2b F0 π rv F0 = → F0 = v 2v 1 + π/2 Daraus findes man die Kontraktion des Strahls zu b= 5.4 π r F0 π = = 0.611 r 2v 2 1 + π/2 Potentialströmung um zwei Kugeln Befinden sich mehrere Kugeln (hier zwei) in einer Strömung, so kommt es zu einer Kraft zwischen diesen Kugeln, die von der Lage der Verbindungslinie der beiden Kugeln abhängt. Ist diese Verbindungslinie senkrecht zur Richtung der Strömung ist die Kraft anziehend, da die Stromlinien zwischen den Kugeln enger als außerhalb aneinander liegen. Ist die Verbindungslinie parallel zur Strömungsrichtung, so ist die Kraft abstoßend, da die Kraftlinien zwischen den Kugeln weiter auseinander liegen. Diese Kraft ist klein und proportional zu K ∝ (Abstand)−4 (5.1) Es wird auch eine Kugel die sich parallel zu einer Wand bewegt von dieser angezogen. Dies folgt aus der Existenz der Symmetriachse für die in Fig. 5.26(a) gezeigten Strömung. Diese Kraft ist z.B. wichtig für die Sedimentation des Blutes, und der Bewegung der Blutkörperchen in den Adern. 3. März 2008 94 Abbildung 5.26: Strömung um zwei Kugeln (a) Strömung senkrecht zur Verbindungslinie der beiden Kugel, (b) parallel dazu Kapitel 6 Zähe Flüssigkeiten Ausgehend von den allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen wird nun nur verlangt daß die Strömung inkompressibel ist (div~v = 0) und kein äußeres Potential vorhanden ist. Dann lauten die Gleichungen 1 ∂ η ∂ ∂ ∂ ∂ vi = − p+ vi vi + vk ∂t ∂xk ρ ∂xi ρ ∂xk ∂xk Daraus kann man durch Rotationsbildung den Druck eliminieren ∂ η rot~v = rot(~v × rot~v) + ∆rot~v ∂t ρ oder ∂ ~ ~ v = η ∆rot~v rot~v + (~v ∇)rot~ v − (rot~v∇)~ ∂t ρ Durch Divergenzbildung der Navier-stokes Gleichungen findet man den Druck ∆p = −ρ ∂vi ∂vk ∂xk ∂xi Die Randbedingung an der Wand lautet nun ~v = 0. Wir werden im folgenden einen speziellen Typ von Strömung betrachten, bei der die Strömung so erfolgt als ob Fäden glatt aneinander vorbeigleiten. Eine solche Strömung heißt Laminarströmung. Sie ist im allgemeinen nicht stabil sondern geht unter bestimmten Bedingungen in die turbulente Strömung, bei der die Fäden aufgelöst werden, über. Somit ist ein Stabilitätsproblem gegeben, das sehr schwierig zu lösen ist. Um eine Übersicht darüber zu erhalten, ob eine Strömung bei Änderung der Flüssigkeitsparameter laminar bleibt, betrachtet man ähnliche Strömungen indem man die Koordinaten und die Zeit skalt. 95 96 3. März 2008 6.1 Ähnlichkeitsgesetze Versucht man aus experimentellen Untersuchungen Aussagen über den Strömungsverlauf zu erhalten, so muß man Ordnung in die anfallenden Daten bringen. Änderungen der in den hydrodynamischen Gleichungen auftretenden Parameter führen unter den hier zu besprechenden Gründen zu gleichartigen Strömungsbildern. Der in den Gleichungen auftretende Parameter ist die kinematische Zähigkeit ν = ηρ . Für die stationäre Strömung werden die Geschwindigkeit ~v und das Verhältnis p bestimmt. Durch die Randbedingungen gehen Gestalt und Abmessungen der ρ jeweiligen Körper ein. Sei die Gestalt fest so bleibt eine typische Abmessung des Körpers als Parameter über. Es sind also ν, u, die Anströmgeschwindigkeit und L die Abmessung die drei vorhanden Parameter. Deren Dimensionen sind ν=[ cm2 ] s u=[ cm ] s L = [cm] Daraus kann man gerade eien dimensionslose Größe bilden, nämlich die Reynoldsche Zahl Lu Re = ν ν x uy Lz soll dimensionslos sein. Daraus folgt 2x + y + z = 0 und −x − y = 0. Also 2x − x + z = 0. Eine Lösung erhält man für z = 1 mit x = −1 und y = 1. Alle weiteren Lösungen sind Potenzen der gefundenen Kombination. Allgemein geht man so vor: Man führt dimensionslose Variable ein indem man durch typische Geschwindigkeit u und typische Länge L dividiert. Dann schreibt sich die Lösung ~v = uf~v (~x/L; Re) und ebenso für den Druck p = ρu2 fp (~x/L; Re) Das führt auf das Ähnlichkeitsprinzip, daß nämlich bei gleichem Wert von Re ähnliche Strömungen vorliegen sie unterscheiden sich nur durch Maßstabsänderungen. Ähnliche Überlegungen gelten aber auch für andere aus der Strömung abgeleiteten Größen, wie etwa die Widerstandskraft F . Dividiert man die Widerstandskraft durch eine aus den drei Parametern aufgebaute Größe der Dimension einer Kraft so kann dann diese nur mehr eine Funktion der Reynoldschen Zahl sein, also F = ρu2 L2 fF (Re) Ist noch die Schwerkraft von Bedeutung so tritt ein weiterer dimensionsloser Parau2 . Ferner tritt für nichtstationäre Strömunmeter auf die Froudsche Zahl F r = Lg gen noch eine Zeitskala τ auf. Dies führt zur Strouhalschen Zahl St = uτ . L 97 3. März 2008 Die Reynolsche Zahl kann auch als Maß für das Verhältnis von dynamischer 2 ~ v ) zu Reibungskraft η v2 (von η∆~v ) verstanden werden. Kraft ρ vL (von ρ(~v ∇)~ L Wird die Reynoldsche Zahl groß so gewinnt der nichtlineare Term an Bedeutung, Turbulenz tritt auf. 6.2 Laminarströmung durch ein Rohr Die stationäre Strömung durch ein Rohr (Achse in z-Richtung) wird durch eine Druckdifferenz aufrecht erhalten. Aus geometrischen Gründen ist der Ansatz für das Geschwindigkeitsfeld ~v = ~ez vz (x, y) ~ v = 0 und (~v∇)~ ~ v = 0. Also lauten die Navier Stokes’schen GleiDeshalb ist ∇~ chungen ~ = η~ez ∆vz ∇p mit der Randbedingung vz (r = a) = 0 (a ist der Radius der Röhre). Daraus folgt daß der Druck nur von z abhängen kann. In Zylinderkoordinaten also dp dvz 1 d r =η dz r dr dr ! Die recht Seite ist aber von z unabhängig daher ist der Druckgradient eine Kon` . stante. Der Druck nimmt in Richtung der Strömung ab daher negativ, − p0 −p ` Es ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zu lösen. Abbildung 6.1: dvz p0 − p` 1 d − r =η ` r dr dr Die spezielle Lösung ist vzsp = − p0 − p` 2 r 4`η ! 98 3. März 2008 wie sofort zu sehen ist. die homogene Lösung lautet vzh = c1 ln r + c2 mit zwei Integrationskonstanten. Dies werden durch die Randbedingungen bestimmt. Es muß natürlich vz (r = 0) endlich sein, also c1 = 0 ferner vz (r = a) = 0 also p0 − p` 2 a + c2 = 0 vz (r = a) = − 4`η somit lautet die Lösung p0 − p` 2 vz = a − r2 4`η Dies ist das Hagen Poiseuill’sche Gesetz. Das Geschwindigkeitsprofil entspricht einer Parabel. Die in der Zeiteinheit durch den Querschnitt strömende Flüssigkeitsmenge ist Q = 2π Q= Z vz rdr = πa4 (p0 − p` ) 8`η Das ist die Hagen-Poiseuille Formel an der die a4 -Abhängigkeit bemerkenswert ist. Die laminare Strömung schlägt in eine turbulente Strömung um, wenn die Reynoldszahl Re = ρav einen kritischen Wert Recr = 1160 überschreitet (schon η 1883 gefunden). Schaum, Prozeß des Befeuchtens Weaire et al. Phys. Rev. Let. 71, 2670 (1993) Gasanteil im Schaum Φ, dann in den ’pipes’ 1 − Φ der Flüssigkeitsanteil und Q ∼ (1 − Φ)2 die Durchflussmenge. Bewegt sich eine Platte mit v über eine Flüssigkeitsschicht der Höhe h so ergibt sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil v(x) = v hx 6.3 Laminarströmung um eine Kugel Die Strömungsgeschwindigkeit um die Kugel (oder die Geschwindigkeit der Kugel in der Flüssigkeit) darf nicht zu groß sein um im laminaren Bereich zu bleiben. Unter diesen Vorraussetzungen lösen wir die stationären Gleichungen. Ausgangspunkt sind die Navier-Stokes Gleichungen, wobei wir die in ~v quadratischen Terme vernachlässigen, ~ = η∆~v . ∇p 99 3. März 2008 Die Randbedingungen an der Kugeloberfläche (der Radius der Kugel sei a) lauten ~n~v (a, θ, φ) = 0 und im Unendlichen liegt eine zu z parallele Strömung vor ~v = (0, 0, v). Ferner sei die Flüssigkeit inkompressibel, also div~v = 0. Das führt auf die Laplacegleichung für den Druck ∆p = 0. Wir versuchen eine Lösung durch eine Ansatz (Entwicklung in Kugelfunktionen) p= X c`,m Y`m (θ, φ)r −`−1 `,m wobei man sich auf negative Potenzen beschränken kann, da der Druck im Unendlichen Endlich sein soll. Wir werden sehen daß man mit dem niedrigsten Term (` = 1) auskommt, also (bis auf eine Konstante) p = ηA cos θ r2 wobei A noch zu bestimmen ist. Abbildung 6.2: Strömung um einen Zylinder bei verschiedenen Reynoldszahlen (aus Curle, Davies) Das Geschwindigkeitsfeld ~v zerlegen wir in einen rotationsfreien Anteil und einen Wirbelanteil ~ +w ~v = ∇Φ ~ Aus der Divergenzfreiheit von ~v folgt ~w ∆Φ + ∇ ~ =0 100 3. März 2008 und aus der Navier-Stokes Gleichung folgt ~ (p − η∆Φ) − η∆w ∇ ~ =0 Diese Gleichung ist erfüllt wenn man fordert ∆w ~ = 0 und (bis auf eine Konstante) ~w p = η∆Φ = −η ∇ ~ ∂ A θ Aus dem Ansatz für p ergibt sich ( ∂z = − rA2 zr = − A cos ) r r2 w ~ = (0, 0, A ) r Also ist noch zu lösen ∂ 1 ∂z r also lesen wir sofort die spezielle Lösung der inhomogenen Laplace ∆Φ = −A Nun ist ∆r = Gleichung ab 2 r Az A ∂ r=− 2 ∂z 2r Dazu kommt die homogene Lösung, die einsteils die Strömumg im Unendlichen, vz, enthält und einen im Unendlichen verschwindenden Anteil, wiederum die niedrigste Kugelfunktion mit ` = 1. Also es ist die gesamte Lösung für Φ Φ̄ = − Φ = vz − Az z +B 3 2r r Wir haben die offenen Konstanten A und B durch die Randbedingungen an der Kugel zu bestimmen ~ +w ~v = ∇Φ ~ =0 für r = a und alle θ und φ. Die x-Komponente liefert 0=0− oder A −z x −3z x +B 4 2 2 r r r r 3B A = 2 2 a Die y-Komponente liefert dieselbe Beziehung und aus der z-Komponente ergibt sich A −z z 1 −3z z 1 A + 3) 0 = + v − ( 2 + ) + B( 4 r 2 r r r r r r oder 1 A +v+B 3 =0 2a a 101 3. März 2008 und wiederum dieselbe Relation wie oben. Also man kann die Randbedingungen erfüllen und erhält 3 A = − av 2 und somit Aa2 1 B= = − a3 v 6 4 3 az 1 a3 z Φ=v z+ − 4 r 4 r3 ! Damit kennen wir das Geschwindigkeitsfeld um die Kugel a2 3 vx = −v a 1 − 2 4 r ! xz r3 3 a2 vy = −v a 1 − 2 4 r ! yz r3 3 a 1 a3 3 a2 z2 vz = v 1 − − + a − 1 4 r 4 r3 4 r2 r3 " ! # dieses Geschwindigkeitsfeld können wir nun mit dem einer idealen Flüssigkeit 3 vergleichen (Zähigkeit Null). Es ist das Potential Φη=0 = v(z + a2r3z ) und somit vx,η=0 = −v 3 a3 xz 2 r5 3 a3 yz 2 r5 " # 1 a3 3 a3 z 2 =v 1+ − 2 r3 2 r5 vy,η=0 = −v vz,η=0 Natürlich ist nun das Geschwindigkeitsfeld an der Kugel (r = a) von Null verschieden. In der zähen Flüssigkeit wird auf die Kugel eine Kraft ausgeübt. Diese ist nach den Überlegungen in Abschnitt 1.4.1 gegeben durch den Spannungstensor Ki = I σij dfj und σij = η (vi,j + vj,i) − pδij Der Druck p ist bekannt (wir berücksichtigen nun die Konstante obwohl die zur Kraft nichts beiträgt) 3aηv z z ~w p = p0 − η ∇ ~ = p0 + ηA 3 = p0 − r 2 r3 102 3. März 2008 Aus Symmetriegründen ist die Kraft in z-Richtung gerichtet. Ferner kann man zwei Kugeln betrachten, eine innere und eine äußere I Oi + I Oa = Z σij,j dV = Z [η (vi,jj + vi,jj ) − p,i ] dV = 0 denn der letzte Term hebt den vorletzten weg und der erste verschwindet wegen div~v = 0. Wir schieben nun die äußere Kugel ins Unendliche dann tragen zur Kompensation auf Null nur die Terme des Spannungstensors proportional r12 bei (die gehen ja gerade invers zur Größe der Oberfläche). Also Kz = Wir brauchen nur I (σzx dfx + σzy dfy + σzz dfz ) 9 xz 2 vz,x + vx,z = . . . + va 5 + . . . 2 r 9 yz 2 vz,y + vy,z = . . . + va 5 + . . . 2 r 9 z3 2vz,z − p,z = . . . + va 5 2 r Damit wird die Kraft Kz = I 2 2 ~x 9 aηv z = 2πaa2 sin θdθ 9 aηv cos θ df~ 2 r5 2 a3 Z 1 9 Kz = aηv2π d cos θ cos2 θ 2 −1 Kz = 6πηva Z das ist das Stokes’sche Gesetz. Es gibt den Widerstand einer Kugel in einer Flüssigkeit an und geht linear mit der Geschwindigkeit, während der Luftwiderstand (Totwasser) mit dem Quadrat der Geschwindigkeit geht. Dieselbe Rechnung für eine Zylinder führt auf ein unmögliches Resultat. Der Grund ist die Vernachlässigung der in v quadratischen Terme in den Navier-Stokes Gleichungen. Das Ergebnis für die Kugel ist nur zufällig richtig (im Unterschied zur Kugel ist der Zylinder ins Unendliche ausgedehnt)! Oseen hat die vollständige Rechnung durchgeführt, das gibt eine Korrektur für die Kugel 3ρva Kz = 6πηva 1 + 8η ! also (1 + 83 Re), und für den Zylinder (Kraft pro Längeneinheit) bekommt er Kz = π(ln 2ηv − 0.0772) 4η ρva was nicht in Re entwickelt werden kann. Die Formel gilt nur für kleine Geschwindigkeiten Lit.: N. J. Kotschin, I. A. Kibel, N.W. Rose, Theoretische Hydromechanik II Akademie-Verlag 1955 3. März 2008 103 Abbildung 6.3: Strömung um eine Zylinder bei verschiedenen Reynoldszahlen 6.4 Die Zähigkeit einer Suspension Lit.: Landau Lifschitz VI Seite 85 Flüssigkeiten in denen feste kleine Teilchen suspendiert sind, kann man als homogene Medien mit einer effektiven Zähigkeit betrachten, solange man Phänomene auf einer Längenskala studiert, die groß ist gegenüber der Dimension der Teilchen. 6.5 6.5.1 Stabilität der Laminarströmung Allgemeine Vorgangsweise Die Stabilität untersucht man durch Linearisieren der allgemeinen Gleichungen um die stationäre Laminarströmung. Man setzt in die Gleichungen am Anfang von Kapitel 5 ~v = ~v0 + δ~v und p = p0 + δp ein mit der Bedingung daß δ~v = 0 am Rand. Es gilt ∂ ∂ 1 ∂ η ∂ ∂ ∂ δvi + δvk v0i = − δp + δvi δvi + v0k ∂t ∂xk ∂xk ρ ∂xi ρ ∂xk ∂xk und divδ~v = 0. Genauso wie die allgemeinen Gleichungen kann man auch hier in den Wirbel- und Quellenanteil zerlegen. Das geschieht in der nächsten Sektion. Da 104 3. März 2008 obiges Gleichungssystem linear ist und die Koeffizienten zeitunabhängig sind kann man Fouriertransformieren und die Eigenwerte der Frequenz ω suchen. Solche mit positivem Imaginärteil führen zu einer Instabilität, da die Störung exponentiell anwächst. 6.5.2 Ebene Probleme und die Orr-Sommerfeld Gleichung Für Strömungen in einer Ebene kommt es zu weiteren Vereinfachungen, da dann ~v = ~ex vx (x, y) + ~ey vy (x, y) ist und somit alle Ableitungen nach z verschwinden. Beispiele sind die ebene Couette Strömung (zwei Platten die untere ruht die obere bewegt sich mit v0 , es ergibt sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil) und die ebene Poiseuille Strömung zwischen zwei festen Platten (Parabelprofil). Für rot~v vereinfacht sich die allgemeine Gleichung dann auf ∂ η ~ rot~v + (~v∇)rot~ v = ∆rot~v ∂t ρ Daraus folgt die Gleichung für die Störung η ∂ ~ ~ rotδ~v + (~v0 ∇)rotδ~ v + (δ~v ∇)rot~ v0 = ∆rotδ~v ∂t ρ Man führt nun ein Vektorpotential ein δ~v = −rot~a über dessen Quellenstärke frei verfügt werden kann (Eichfreiheit einen beliebigen Gradienten hinzuzufügen); die sei Null. Dann ist rotrot~a = −∆~a. Die Gleichung für das Vektorpotential mit dieser Eichung ist die Orr-Sommerfeldsche Gleichung ∂ η ~ a − ((rot~a)∇)rot~ ~ ∆~a + (~v0 ∇)∆~ v0 = ∆∆~a ∂t ρ Da die Strömung eben ist kann man auch für das Vektorpotential den Ansatz machen (gibt für die Geschwindigkeit nur x und y Komponenten) ~a = ~ez a(x, y, t) Damit vereinfacht sich die Gleichung für a(x, y, t) zu ∂ ~ ~ ez rot~v0 ) = η ∆∆a ∆a + (~v0 ∇)∆a + ~ez ((grada) × ∇)(~ ∂t ρ Für die Kanalströmung zwischen zwei ebenen Platten (im Abstand 2h) kommt 105 3. März 2008 Abbildung 6.4: Stabilitätsbereich für die ebene Kanalströmung es zu weiteren Vereinfachungen. Es ist y2 v0 (y) = u 1 − 2 h ~v0 = ~ex v0 (y) ! Mit c = −2u/h2 lautet die Orr-Sommerfeldsche Gleichung ∂ ∂a η ∂ ∆a + v0 (y) ∆a − c = ∆∆a ∂t ∂x ∂x ρ Die Randbedingungen für das Vektorpotential lauten ∂a |±h = 0 ∂x ∂a |±h = 0 ∂y Skalt man in der x und y-Richtung mit h, und skalt man die Geschwindigkeit mit u, führt noch Fouriertransformationen bezüglich x und t (eine Fourierreihe) durch so bleibt letztlich die Differentialgleichung " h2 i ν ωn + (1 − y 2 )Re k # 2 ! 2 ∂ ∂ − k 2 + 2iRe k − − k2 2 2 ∂ y ∂ y mit den Bedingungen a(k, y = ±1, n) = 0 ∂a(k, y, n) |y=1 = 0 y !2 a(k, y, n) = 0 106 3. März 2008 (ν kinematische Zähigkeit). Diese Gleichung besitzt Eigenwerte ωn und Re = hu ν die komplex sind ν ωn = 2 gn (k, Re) h Es ist die Frage zu beantworten für welchen Wert von k wird die Strömung zuerst instabil. Also gesucht ist Rekrit = min Re(k) k für das =ωn = 0 also die in h gemessene Wellenzahl, k = Führt man den Parameter α = 2hπ λ so sieht man daß die Strömung bei Re ∼ 5800 instabil wird. α , h Lit.: P.G.Drazin and W.H.Reid, Hydrodynamic Stability Cambridge Univ. Press 1982 Kapitel 7 Kompressible Fluide 7.1 7.1.1 Schallwellen Linearisierte Gleichungen Volle Gleichungen aber linearisieren, ohne äußeres Potential ρ = ρ0 + δρ(~x, t) vi = δvi (~x, t) p = p(ρ0 ) + c2 δρ(~x, t) wobei c2 = lauten ∂p | ∂ρ ρ=ρ0 die longitudinale Schallgeschwindigkeit ist. Die Gleichungen ρ̇ + div(ρ~v ) = 0 ~ v = −gradp + η∆~v + (ζ + 1 η)graddiv~v ρ~v˙ + ρ(~v ∇)~ 3 Einsetzen und nur die in δ linearen Terme mitnehmen führt auf δ ρ̇ + ρ0 δvi,i = 0 1 ρ0 δ v̇i = −c2 δρ,i + ηδvi,kk + (ζ + η)δvk,ik 3 Man zerlegt die Geschwindigkeit in einen transversalen (divδ~v T = 0) und longitudinalen Anteil (rotδ~v L = 0). Die Bezeichnung wird im Fourier Raum klar, senkrecht auf und parallel zu der ~k Richtung. Man kann für den longitudinalen Anteil der Geschwindigkeit ein Potential ~ einführen, δ~v L = ∇Φ. Leitet man außerdem die 2. Gleichung nach der Zeit ab und setzt in die 1. Gleichung ein so folgt 4 T ρ0 (δv̈iT + Φ̈,i ) = c2 ρ0 Φ,ikk + η v̇i,kk + (ζ + η)Φ̇,kik 3 107 108 3. März 2008 Damit ergeben sich für die beiden Anteile Φ̈,i = c2 Φ,ikk + η̄0Φ̇,ikk oder L L δv̈iL = c2 vi,kk + η̄0δ v̇i,kk T δv̈iT = η̄δ v̇i,kk mit den Zähigkeiten η̄0 = (ζ + 34 η)/ρ0 und η̄ = η/ρ0 . Durch Fouriertransformation δviL ∼ A exp(i~k~x − iωt) erhält man die Dispersion der gedämpften longitudinalen Schallwellen ω 2 = c2 k 2 − iη̄0ωk 2 oder s k2 k2 ω = ck ± 1 − η̄02 2 − iη̄0 4c 2 Für die transversalen Geschwindigkeitskomponenten ergibt sich eine reine diffusive Mode δviT ∼ i exp(i~k~x − iωt) i ki = 0 (divδ~v T = 0) ω 2 = −iω η̄k 2 ω = −iη̄k 2 Schall in bewegten Medien: Gruppengeschwindigkeit ~k ~vg = c + ~v k Doppler Effekt. Beobachter bewegt ω = ω0 (1 − Quelle bewegt ω= ~v~k ) ck ω0 ~ 1 − ~vckk Es gibt ein ausgezeichnetes Bezugssystem in dem die Geschwindigkeit der Schallwelle c ist. Dieses Bezugsystem gibt es für die Ausbreitung der Lichtwellen nicht (Suche nach dem Äther). Weiters gibt es keinen transversalen (θ = 90) Dopplereffekt (die Frequenz bleibt unverändert, relativistisch aber schon). Die Schallgeschwindigkeit die wir bisher betrachtet haben ist die adiabatische Schallgeschwindigkeit (Konstanz der Entropie, kleine Wärmeleitfähigkeit). Ist jedoch die Wärmeleitfähigkeit groß, muß man die Wärmeleitungsgleichung mitberücksichtigen. Dadurch kommt es zu einer Kopplung zwischen der Gleichung 109 3. März 2008 für die Temperatur und dem Druck und im Endeffekt zu einer Schallausbreitung mit der isothermen Schallgeschwindigkeit für größere Frequenzen. Die isotherme Schallgeschwindigkeit ist immer kleiner als die adiabatische c2ad = ∂p ∂ρ ! ∂p ∂ρ c2iso = s ! c2iso = T c2ad γ γ= cp >1 cv Abbildung 7.1: Schallgeschwindigkeiten als Funktion der Temperatur bei verschiedenem Druck 7.1.2 Eindimensionale Wellen Spezialisiert man die Navier Stokes Gleichungen für den eindimensionalen Fall so lautet die Kontinuitätsgleichung ∂ρ ∂v = −ρ0 ∂t ∂x und die Bewegungsgleichung (ohne Zähigkeit) ∂v 1 ∂p =− ∂t ρ0 ∂x Gemäß der Zustandsgleichung gilt der Zusammenhang ∂ρ = ∂i ∂ρ ∂p ! 0 1 ∂p ∂p = 2 ∂i c ∂i i = t, x 110 3. März 2008 Daraus folgt durch Ableiten der Kontinuitätsgleichung nach t die Wellengleichung für den Druck 2 ∂2p 2∂ p −c =0 ∂t2 ∂x2 Die Geschwindigkeit ist dann durch Integration aus der Lösung für p(x, t) zu finden: Z Z Z ∂p ∂v 1 1 ∂p ∂v ( dt + 2 dx) dx) = − v = dv = ( dt + ∂t ∂x ρ0 ∂x c ∂t Analog findet man durch Ableiten der Bewegungsgleichung nach der Zeit dieselbe Wellengleichung für die Geschwindigkeit 2 ∂2v 2∂ v − c =0 ∂t2 ∂x2 Der Druck ergibt sich dann durch Integration der Lösung für v(x, t) p= Z dp = Z ( ∂p ∂p dt + dx) = −ρ0 ∂t ∂x Z (c2 ∂v ∂v dt + dx) ∂x ∂t Das Anfangswertproblem kann allgemein gelöst werden nach D’Alembert (siehe die Elektrodynamikvorlesung). Dazu führt man statt x, t die charakteristischen Variablen r, s ein x − ct = r x + ct = s Die Kurven r = const bzw. s = const nennt man Charakteristiken. Es sind dies Gerade mit der Steigung c. Die Wellengleichung lautet in den charakteristischen Variablen ∂2v =0 ∂r∂s und wird durch v = f (r) + g(s) mit beliebigen Funktionen f und g allgemein gelöst. diese Funktionen sind durch ∂v(x,t) bestimmt. Geht man zurück die Anfangsfunktionen v(x, t = 0) und ∂t t=0 zu den ursprünglichen Variable x, t so erhält man die Lösung in Form einer Überlagerung zweier Wellen v = f (x − ct) + g(x + ct). Für eine einfache fortschreitende Welle v = f (x−ct) ist der Druck ist dann durch p(x, t) = ρ0 cv(x, t) + p0 = p(v) gegeben. Allgemein findet man Z Z Z 2 0 0 0 0 p = dp = −ρ0 (c (f + g )dt + c(−f + g )dx) = −ρ0 c (f 0 (cdt − dx) + g 0 (cdt + dx)) = = ρ0 c Z (f 0 dr + g 0 ds) = ρ0 c(f + g) + p0 111 3. März 2008 ’ bedeutet Ableitung nach dem Argument. Integrieren nach dem Argument gibt p und die Proportionalität für den einfachen Fall. Die Bedeutung der beiden Charakteristiken ergibt sich nun als diejenigen Kurven auf denen ein bestimmter Wert f (r = const) bzw. g(s = const) der jeweiligen Wellen mit der Geschwindigkeit c fortschreitet (nach links oder rechts). Definiert = ±c so kann man die Charakteristiken auch als die man noch die Geraden dx dt Kurven interpretieren längs denen sich eine Störung von den gerade definierten Kurven wegbewegen. 7.2 Stoßwellen Es soll nun das eindimensionale nichtlineare Sytem der Navier Stokes’schen Gleichungen gelöst werden. Es lautet die Kontinuitätsgleichung ∂ρ ∂v ∂ρ +ρ +v =0 ∂t ∂x ∂x und die Bewegungsgleichung ρ( ∂v ∂v ∂p +v )+ =0 ∂t ∂x ∂x Die Zustandsgleichung sei allgemein und speziell die adiabatische p ρ = φ(p) = A 7.2.1 1 γ Spezielle Lösungen p=h(v) Im linearisierten Fall konnte man den Druck p(x, t) durch die Geschwindigkeit v(x, t) ausdrücken. Es soll nun nach solchen exakten Lösungen gesucht werden für die ebenfalls so ein Zusammenhang, p = h(v), besteht. Im allgemeinen wird dies nicht der Fall sein. Berücksichtigt man, daß nun ∂ρ = ∂i dρ dp ! ∂p ∂p ∂v = φ0 (p) = φ0 (p)p=h(v) h0 (v) ∂i ∂i ∂i so lautete die Kontinuitätsgleichung φ0 h0 ∂v ∂v ∂v +φ + vφ0 h0 =0 ∂t ∂x ∂x und die Bewegungsgleichung φ ∂v ∂v ∂v + φv + h0 =0 ∂t ∂x ∂x i = t, x 112 3. März 2008 Für eine nichttriviale Lösung müssen die beiden Gleichungen linear abhängig sein, also die Systemdeterminante verschwinden. Das liefert die Bedingung φ0 h0 (φv + h0 ) − φ(φ + φ0 h0 v) = 0 oder φ2 φ0 Dann lautet die Bestimmungsgleichung für die Geschwindigkeit h02 = h0 ∂v ∂v + (v + ) =0 ∂t φ ∂x oder ∂v ∂v + (v + c) =0 ∂t ∂x mit der Schallgeschwindigkeit c, die nun von x und t über v(x, t) abhängt, c= 1 0 φ (p)p=h(v) !1 2 Eine Gleichung der Gestalt ∂v ∂v + F (v) =0 ∂t ∂x läßt sich mit Hilfe der Charakteristiken, die durch dt dt dx = (v + c) = F (v) dr dr dr definiert sind lösen. Längs der Charakteristik gilt v = const. Daher sind die Charakteristiken die Lösungen von dx = F (v) dt also die Geraden (eine Integrationskonstante) x = F (v)t + G(v) Die Auflösung dieser Gleichung nach v gibt die gesuchte Lösung v(x, t). Dies ist aber problematisch. Dennoch die implizite Lösung lautet v(x, t) = V (x − F (v)t) Die Funktion F (v) ist durch die Zustandsgleichung und die Bedingung daß die Systemdeterminante verschwindet bestimmt, die Funktion G(v) V (v) durch die 113 3. März 2008 x x t G(v) t Abbildung 7.2: Die Charakteristik Geschwindigkeit v(x, t = 0) bei t = 0, bzw. deren Umkehrfunktion gegeben. Es gilt für t = 0 x = G(v) oder v = V (x) Z.B. eine Gaußkurve g(x) wie in Fig. 7.6. Mit wachsendem x wird v kleiner. Die Umkehrfunktion G(v) ist eine mit v fallende Funktion. Für verschiedene v können sich die Geraden schneiden. Das wird der Fall sein da sonst nur F = const in Frage käme. Dann wird der Zusammenhang zwischen v und x und t uneindeutig, denn es existieren zwei Werte von v zu einem x, t-Wert. Ein solcher Schnitpunkt tritt genau dann auf, wenn mit wachsendem G(v) die Steigung F (v) kleiner wird. Das tritt aber für den adiabatischen Fall genau dann auf wenn zum Zeitpunkt t = 0 die Geschindigkeit mit wachsenden x kleiner wird. Die Schallgeschwindigkeit c wächst mit v, F (v) wächst mit v, und G(v) fällt mit v; was umgekehrt heißt F sinkt mit wachsendem G. Explizite Rechnung für adiabatische Zustandsgleichung γ p = Aρ p φ(p) = A h0 = φ2 φ0 1 1 φ(p) = Aγ γ !1 2 0 1 1 = γ 2 A− 2γ p γ+1 2γ = p A 1 −1 dp dv γ 1 γ≥1 Integration liefert (v = 0 dann p = 0) v=γ − 21 A 1 2γ Z 1 p − γ+1 2γ 1 c = γ 2 A 2γ p 2γ 2 2γ1 γ−1 A p 2γ + konst. dp = γ−1 γ−1 2γ 114 3. März 2008 c= γ −1 v + c0 2 1 p = h(v) = A 1−γ ( γ−1 2γ 1 2 2γ v) γ−1 + konst. γ+1 v + c0 2 Man sieht F (v) ist linear in v. Der Druck p wächst mit der Geschwindigkeit v. Was also für die Geschwindigkeit v gesagt wurde gilt auch für den Druck p. F (v) = v + c = Damit wird die spezielle Lösung v(x, t) = V x − c0 t − γ+1 v(x.t)t 2 Ein spezielles Beispiel: Sei γ = 3 für die betrachtete Sustanz und die Mitschwimmkoordinate y = x − c0 t (nach rechts) so gilt v(y, t) = V (y − 2vt) Es verändert sich das Profil V im Laufe der Zeit so daß V0 ∂v = ∂y 1 + 2tV 0 bei 1 2V 0 wird v,y unendlich, dh. das Profil von v hat eine senkrechte Tangente. Beispiel: b für x < −b τ v(x, 0) = − τx für −b < x < 0 0 für x > 0 tc = − Berechnen v,y (y, t) Abbildung 7.3: Anfangsgeschwindigkeit und Zeitentwicklung für das Beispiel − τ1 v,y = 1 + 2t(− τ1 ) 115 3. März 2008 Es entsteht eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt t = explizit angeben v(y, t) = b τ y τ − 1−2 t τ 0 τ . 2 Die Lösung läßt sich für y < −b(2 τt − 1) für −b(2 τt − 1) < y < 0 für y > 0 denn es läßt sich für v = τb die Ungleichung y − 2 τb < −b in y < −b(2 τt − 1) umschreiben. Die Gleichung v = (−y + 2vt)/τ läßt sich nach v auflösen. Eine Stufe bleibt eine Stufe und bewegt sich nach rechts. Eine um x = 0 reflektierte Geschwindigkeitsverteilung löst die Kante auf. Problem: Was war vor der Stufe? Eine Geschwindigkeitsverteilung x2 v(x, 0) = exp(− 2 ) b ist schwer zu diskutieren. um v(y, t) zu finden ist die Gleichung v = exp(− (y − 2vt)2 ) b2 aufzulösen. Abbildung 7.4: Zeitliche Entwicklung einer Welle für verschieden Werte von Γ = (γ + 1)/2 Anwendungen: Explosionen, Schockwellen in Röhren, Kolben Problem Andere Methoden: Numerische Lösung, Analog-Experimente, Formulierung als selbstähnliches Problem 7.2.2 Allgemeine Lösung nach Riemann Literatur: Thompson, Compressible-fluid dynamics, Kapitel 8 116 3. März 2008 Abbildung 7.5: Die Lavaldüse Abbildung 7.6: Verzerrung einer Verdichtungswelle Wir beschränken uns auf die adiabatische Zustandsgleichung, ρ = (p/A)1/γ , (Bildung einer Schockwelle im ’perfekten’ Gas) und führen statt p und v die Variablen c und v ein. Es gilt 1 2 ρ = (Aγ)− γ−1 c γ−1 1 c = (Aγ) 2 ρ γ−1 2 dρ 2 ρ = dc γ−1c Damit wird aus der Kontinuitätsgleichung ∂v dρ ∂c dρ ∂c +ρ +v =0 dc ∂t ∂x dc ∂x ∂c γ − 1 ∂v ∂c +v + c =0 ∂t ∂x 2 ∂x und mit (∂p/∂ρ = c2 ) 1 ∂p 1 dp ∂ρ 1 2 ∂c 2 ρ ∂c = = c2 = c ρ ∂x ρ dρ ∂x ρ γ − 1 c ∂x γ − 1 ∂x 117 3. März 2008 die Bewegungsgleichung ∂c γ − 1 + c ∂x 2 ∂v ∂v +v ∂t ∂x ! =0 Bildet man die Summe und Differenz der beiden Gleichungen, so erhält man ∂c γ − 1 ∂v ∂v ∂c + (v ± c) ± [ + (v ± c) ] = 0 ∂t ∂x 2 ∂t ∂x oder noch kompakter ∂ ∂ + (v ± c) ∂t ∂x ! γ−1 c± v =0 2 In dieser Form enthält jede Gleichung einen Differentialoperator. Dieser hat jeweils eine einfache Interpretation: es ist die zeitliche Änderung für eine Beobachter der sich mit der Geschwindigkeit v ± c bewegt. Analog zum Sonderfall sucht man eine Lösung mit Hilfe von Charakteristiken. Da es sich um zwei Gleichungen handelt (jetzt ist keine Beziehung wie vorher zwischen den Lösungen gefordert) Abbildung 7.7: Die Charakteristik (a) für c = c0 = konst. (S zeigt die Geschwindigkeit bei t = 0; PP die dazugehörige Auslenkung [die Steigung von x gibt die Geschwindigkeit]) und (b) im allgemeinen Fall (u ≡ v). Die Charakteristiken sind nun keine Geraden, sondern von vorn herein erstmal unbekannte Kurven. braucht man nun zwei Kurvenscharen. Die erste ist definiert durch dt dx = (v + c) ds ds 118 3. März 2008 v s-unabhängig, Längs der Charakteristik ist die Riemann’sche Invariante c + γ−1 2 denn d γ−1 ∂c dt ∂c dx γ − 1 ∂v dt ∂v dx [c + v] = + + [ + ]=0 ds 2 ∂t ds ∂x ds 2 ∂t ds ∂x ds γ − 1 ∂v ∂v dt ∂c ∂c [ + (v + c) + ( + (v + c))] = 0 = ds ∂t ∂x 2 ∂t ∂x die zweite Charakteristik ist definiert durch dx dt = (v − c) dr dr v r-unabhängig. Längs der Charakteristik ist die Riemann’sche Invariante c − γ−1 2 Die Charakteristiken haben eine einfache Interpretation. Es sind dies die Ausbreitungskurven von Wellen in und gegen die Flußrichtung des Fluids. Sie gehen für v klein gegen c und c = konst in die Charakteristiken der linearisierten Theorie über. Im allgemeinen Fall sind es keine Geraden für die Vorraussetzungen eines perfekten Gases sind es jedoch Gerade. In einem typischen Anfangswertproblem sind die Riemann’schen Invarianten zur Zeit t = 0 gegeben, woraus sich v und c zu einem späteren Zeitpunkt berechnen lassen. Allerdings zerfällt die Raum-Zeit-Welt in verschiedene Gebiete. Solche in denen die Werte von v und c eindeutig bestimmt sind, nämlich dort, wo sich die vom Anfangsgebiet in x ausgehenden Charakteristiken schneiden γ−1 γ−1 va = cd + vd 2 2 cb − γ−1 γ−1 vb = cd − vd 2 2 γ−1 1 (va − vb ) cd = (ca + cb ) + 2 2 vd = 1 1 (ca − cb ) + (va − vb ) γ−1 2 ca + woraus folgt. Es gibt noch Gebiete, die von den Charakteristiken nicht erreicht werden, sowie solche wo nur eine Charakteristikenschar hinkommt. v eine beliebige Funktion von Aus den Invarianzgleichungen folgt, daß c + γ−1 2 r ist bzw. daß c − γ−1 v eine beliebige Funktion von s ist. Diese Funktionen seien 2 lineare Funktionen (es sind die Gleichungen für die Charakteristiken invariant unter Transformationen s → s0 (s) und r → r 0 (r)) und zwar c+ γ −1 v = (γ − 1)r 2 oder c= γ−1 (r + s) 2 c− γ−1 v = (γ − 1)s 2 v =r−s 119 3. März 2008 Abbildung 7.8: Die verschiedenen Gebiete und die Konvektion einer Druckstörung (M = v/c) Daraus berechnet man v+c= γ+1 γ−3 r+ s 2 2 v−c=− γ−3 γ+1 r− s 2 2 Das setzt man in die Charakteristiken ein. γ − 3 dt dx γ+1 = r+ s ds 2 2 ds γ − 3 dt dx γ+1 =− s+ r dr 2 2 ds und t,rs = t,sr Es gilt x,rs = x,sr x,sr = γ+1 γ+1 γ−3 t,s + rt,sr + st,sr 2 2 2 x,rs = − also x,sr − x,rs = γ+1 γ−3 γ+1 t,r − st,rs − rt,rs 2 2 2 γ+1 (t,s + t,r ) + (γ − 1)(r + s)t,rs = 0 2 120 3. März 2008 oder 2 γ−1 (r + s)t,rs + t,s + t,r = 0 γ+1 Einfachster Fall für γ = 3 (r + s)t,rs + t,s + t,r = 0 Allgemeine Lösung [(r + s)t],rs (r + s)t = f¯(r) + ḡ(s) Analoges gilt für x. Weitere Lösungen können durch Ableiten gefunden werden. Beschränkt man sich auf γ = 3 so findet man mit 2r = c + v 2s = c − v r+s=c und die Lösungen (x − (c + v)t),s = 0 x − (c + v)t = f (r) (x + (c − v)t),r = 0 x + (c − v)t = g(s) kompatibel mit der schon hergeleiteten Form von oben für t. Umkehren der Lösungen gibt c + v = F (x − (c + v)t) c − v = G(x + (c − v)t) daraus 1 1 (F + G) v = (F − G) 2 2 Mit den Anfangsbedingungen v(x, 0) = V (x) und c(x, 0) = C(x) folgt c= v(x, t) = 1 {V (x − (v + c)t) + C (x − (v + c)t) + [V (x + (c − v)t) − C (x + (c − v)t)]} 2 1 {V (x − (v + c)t) + C (x − (v + c)t) − [V (x + (c − v)t) − C (x + (c − v)t)]} 2 Für s = const ist G = const = c0 und man erhält eine Welle nach rechts. Dann sind die Anfangsbedingungen c = c0 + v (wegen G = c − v) und F = c0 + 2v also lautet die Lösung (die Anfangsbedingungen müssen kompatibel sein, erfüllen also auch diese Relationen, also V + c0 = C) c(x, t) = v(x, t) = V (x − c0 t − 2vt) denn v(x, t) = 1 {V (x − (c0 + 2v)t) + c0 + V (x − (c0 + 2v)t) + [V (x + c0 )t) − c0 − V (x + c0 )t)]} 2 Kapitel 8 Wärmeleitungsgleichung Bisher wurden die Phänomene die mit der Zeitentwicklung der Temperatur zusammenhängen ausgespart. Der vollständige Satz von Gleichungen, die eine ideale Flüssigkeit beschreiben besteht aus fünf Gleichungen, für ~v , p und ρ. Wir haben für eine ideale Flüssigkeit 4 Erhaltungssätze • Masseerhaltung • Energieerhaltung • Impulserhaltung • Entropieerhaltung von denen der Masseerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz verwendet wurde. Der Entropieerhaltungssatz wurde in der Form verwendet, daß die Strömung adiabatisch verlief. Das kann in der Zustandsgleichung formuliert werden. In einer dissipativen Flüssigkeit, geht die Erhaltung der Entropie verloren, es kommt aber die Wärmeleitungsgleichung hinzu, die aus dem Energiesatz gewonnen wird. Die restlichen Gleichungen sind die Kontinuitätsgleichung und die Navier-Stokes’sche Gleichung. 8.1 Energiebilanz Nach wie vor gilt der Energiesatz, doch der Energiestrom sieht unter dissipativen Bedingungen anders aus, weil es noch einen Energiestrom infolge der Prozesse 121 122 3. März 2008 der inneren Reibung gibt (Reibung erzeugt Wärme). Dieser kommt zu dem vi pδik Term hinzu und enthält den Scheranteil des Spannungstensors vi σikdiss . Außerdem gibt es einen Wärmestrom infolge der Wärmeleitung. Dieser Strom fliest nur wenn ein Temperaturgradient vorhanden ist und der Strom kann in diesem entwickelt werden, so daß man in einfachster Näherung ~q = κgradT schreiben kann. κ ist dabei die Wärmeleitfähigkeit. Die Energierhaltung sieht jetzt so aus 1 ∂ e = −div ρ~v ( v 2 + w) − ~vσdiss − κgradT ∂t 2 In dieser Form wird die Gleichung aber nicht verwendet, sondern noch mit Hilfe der Navier Stoke’schen Gleichung umgeschrieben. Dabei geht man für die innere Energie wieder auf die ursprünglichen thermodynamischen Variablen s und ρ über und kann so eine Gleichung für die Entropie pro Masse herleiten ρT ! ∂s ~ ~ v + div(κ∇T ~ ). + ~v ∇s = (σdiss ∇)~ ∂t Setzt man für den dissipativen Reibungsteil ein, lautet die Gleichung ρT ! ∂s ~ ~ )+ η + ~v ∇s = div(κ∇T ∂t 2 ∂vi ∂vk 2 ∂vl + − δik ∂xk ∂xi 3 ∂xl !2 + ζ(div~v )2 . Die Entropie wächst, weil die irreversiblen Prozesse der Wärmeleitung und ReiR bung ablaufen. Das betrifft die Gesamtentropie, dies ist ρsdV . Da die Entropie nur zunehmen kann, sieht man aus der Zeitableitung der Gesamtentropie, daß die Wärmeleitungskonstante κ, und die Viskositäten η und ζ positiv sein müssen. ~ Term zum Wärmestrom nicht möglich ist, da Man sieht ferner noch daß ein ∇p dann die Entropieänderung nicht mehr positv definit wäre. 8.2 Wärmeleitung in der inkompressiblen Flüssigkeit ∂T ~ = DT ∆T + ν + ~v∇T ∂t 2cp ∂vk 2 ∂vl ∂vi + − δik ∂xk ∂xi 3 ∂xl !2 . Kapitel 9 Chaos und Fraktale Attraktoren Lit.: KFA-Ferienkurs 83; J.M.T. Thompson, H.B. Stewart, Nonlinear Dynamics and Chaos, Wiley 1986; G. Nicolis, Introduction to Nonlinear Science, Cambridge 1995; P. Berge, Y. Pomeau, C. Vidal, Order within chaos, Wiley 1984 9.1 Die Rayleigh-Benard Instabilität Man Betrachte die Navier Stokes Gleichungen für folgende Anordnung: eine zweidimensionale Flüssigkeitsschicht der Dicke H und unter dem Einfluß der Schwerkraft (senkrecht zur Schicht) wird an der Unterseite auf einer höheren Temperatur, T = T0 + ∆T , gehalten als auf der Oberseite, T = T0 . Man hat folgende Abbildung 9.1: Die Geometrische Anordnung bei der Benard Instabilität Gleichungen: (keine y-Abhängigkeit und keine Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung) 123 124 3. März 2008 Kontinuitätsgleichung: ∂ρ ∂ρvx ∂ρvz + + =0 ∂t ∂x ∂z Bewegungsgleichungen: ρ ∂vx ∂vx ∂p ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂vx + ρ(vx + vz )+ − η( 2 + ) = Fx ∂t ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z 2 ∂vz ∂vz ∂p ∂ 2 vz ∂ 2 vz ∂vz + ρ(vx + vz )+ − η( 2 + ) = Fz ∂t ∂x ∂z ∂z ∂x ∂z 2 (die Dichte vor den Geschwindigkeitstermen wird im folgenden durch eine konstante Dichte ρ0 ersetzt [~v klein], nur im Gravitationsterm wird die Temperaturabhängigkeit mitgenommen) und die Wärmeleitungsgleichung: ρ ∂T ∂T ∂T ∂2T ∂2T + vx + vz = DT ( 2 + 2 ) ∂t ∂x ∂z ∂x ∂z Der zusätzliche dissipative Term wurde im Vergleich zum Wärmeleitungsterm weggelassen. Dazu kommen noch geeignete Randbedingungen: (i): starre Oberflächen; keine Geschwindigkeit parallel (endliche Zähigkeit) und senkrecht zur Oberfläche (merke für alle x) vz (x, 0) = vz (x, H) = vx (x, 0) = vx (x, H) = 0 Dazu kommt noch (folgt aus der Kontinuitätsgleichung): ρ = konstant auf der Oberfläche ∂vz (x, z) ∂vz (x, z) |z=0 = |z=H = 0 ∂z ∂z denn (konstante Temperatur und daher konstante Dichte) div~v |z=0,H = 0 = ∂vx ∂vz + ∂x ∂z Nun ist z.Bsp. vx (x, 0) = 0 (für alle x) auf der starren Oberfläche, also auch ∂vx = 0 und es folgen die angegebenen Randbedingungen für die Ableitungen. ∂x (ii): freie Oberflächen; keine Scherkräfte an der Oberfläche (endliche Zähigkeit) σxz = σyz = 0 (letzteres ist klar laut Vorr.) ∂vz (x, 0) ∂vx (x, z) |z=0 + =0 ∂z ∂x und ∂vx (x, z) ∂vz (x, H) |z=H + =0 ∂z ∂x 125 3. März 2008 sowie, da keine Strömung durch die Wand erfolgt vz (x, 0) = vz (x, H) = 0 Daraus folgt aber für alle x ∂vz (x, 0) =0 ∂x ∂vz (x, H) =0 ∂x und aus der Kontinuitätsgleichung, nach nochmaligem Differenzieren ∂ 2 vz (x, z) ∂div~v |z=0 = |z=0 = 0 ∂z ∂z 2 Zur Vereinfachung nimmt man an daß die Temperaturabhängigkeit aller Koeffizienten vernachlässigt werden kann, bis auf die der Dichte ρ = ρ0 (1 − α∆T (z − H)) (α thermische Ausdehnung. Ferner sei die Flüssigkeit inkompressibel (dies ist für kleine Temperaturunterschiede approximativ erfüllt; die sogenannte Boussinesq Näherung nimmt die Dichteänderung mit der Temperatur nur dort mit wo sie für Gravitationseffekte wichtig ist, also nur im Gravitationsterm, wie schon vorher erwähnt). Dann kann man die Geschwindigkeit durch die Stromfunktion ψ ausdrücken ∂ψ ∂ψ vz = vx = − ∂z ∂x Weiters führt man die Abweichung vom linearen Temperaturprofil ein (bei z = 0 die höhere Temperatur T0 + ∆T , bei z = H die niedrigere Temperatur T0 ) T = T0 + ∆T − ∆T z + Θ(x, z, t) H Θ = 0 ist die Lösung wenn die Flüssigkeit ruht (~v ≡ 0). Es ist dann der Druck gegeben durch ~ = −ρ(z)g~ez ∇p mit ρ(z) = ρ0 z 1 − α∆T 1 − H Allgemein erhält man zwei Gleichungen für ψ und Θ. Als Randbedingungen wurden von Lorenz die für freie Oberflächen oben und unten gewählt. Da die Temperaturen der Platte festgehalten werden gilt Θ(x, 0, t) = Θ(x, H, t) = ψ(x, 0, t) = ψ(x, H, t) = ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ = ( 2 + 2 )(x,0,t) = ( 2 + 2 )(x,H,t) = 0 ∂x ∂z ∂x ∂z Diese Randbedingungen legen es nahe die Funktionen ψ und Θ geeignet anzu- 126 3. März 2008 Abbildung 9.2: Die X, Y und Z Mode setzen und zwar πa π ψ ∼ X(t) sin( x) sin( z) H H Θ ∼ Y (t) cos( 2π πa π 1 x) sin( z) − Z(t) √ sin( z) H H H 2 wo das dimensionslose a die Periodizität in x-Richtung festlegt (Struktur der ’Rollen’). Es ist dann π πa π πa vz ∼ −X(t) cos( x) sin( z) vx ∼ −X(t) sin( x) cos( z) H H H H Für die Amplituden X, Y, Z erhält man dann folgendes nichtlineare System von Differentialgleichungen erster Ordnung, die Lorenz Gleichungen, Ẋ = −σX + σY Ẏ = −XZ + rX − Y Ż = XY − bZ Die Gleichungen beschreiben auch andere physikalische Situtationen zb. den Dynamo. sie treten auch in der Laserphysik auf. Der Punkt bedeutet die Ableitung nach der geskalten Zeit τ = π 2 H −2 (1 + 4 R a )κt, σ = DνT ist die Prandtl-Zahl, b = 1+a ∼ ∆T der äußere 2 und r = R c Kontrollparameter als Verhältnis der Rayleigh-Zahl und der kritischen RayleighZahl π4 gαH 3 ∆T Rc = 2 (1 + a2 )3 R= DT ν a Es gibt nun in Abhängigkeit von dem Parameter r verschiedene Regionen in denen unterschiedliche stationäre Lösungen stabil sind 2 • Wärmediffusion, keine Flüssigkeitsbewegung X=Y =Z =0 0<r<1 127 3. März 2008 • Konvektion, die wärmere Flüssigkeit steigt auf. Es entsteht eine dissipative Struktur (Rollen) q X = Y = ± 2 b(r − 1) Z = r − 1 1 < r < rc = σ(σ+b+3) σ−b−1 Abbildung 9.3: Die Konvektionslösung Weiter stationäre Lösungen gibt es nicht und die Konvektion wird instabil für r > rc . Lit.: P.Berge and M. Dubois, Contemp. Phys. 25, 535 (1984) Stabilitätsanalyse um den konduktiven Zustand: Die Eigenwerte folgen aus (λ + b)(λ2 + (σ + 1)λ + σ(1 − r)) = 0 Stabilitätsanalyse um den konvetiven Zustand: λ3 + (σ + b + 1)λ2 + (r + σ)bλ + 2σb(r − 1) = 0 Drei Nullstellen entweder drei negative reele, zwei konjugiert komplexe mit negativen Realteil und eine reele negative. Bei rc wird der Realteil der komplexen Nullstellen positiv. σ(σ + b + 3) rc = σ−b−1 9.2 Der Lorenzattraktor und das Phasendiagramm Das System der Lorenzgleichungen ist dissipativ, das heißt das Phasenraumvolumen eines Ensembles von Anfangsbedingungen schrumpft im Laufe der Dynamik. Das heißt aber nicht, daß die Trajektorien auf einen Punkt zusammenschrumpfen müßen sonder nur auf ein Objekt mit Volumen Null (eine Oberfläche, eine Kurve oder ein Objekt mit fraktaler Dimension). Schreibt man das Gleichungssystem allgemein in der Form ~ dX ~ = F~ (X) dt 128 3. März 2008 ~ und F~ ) so ist die Änderung eines kleine Volu(mit N-dimensionalen Vektoren X ~0 mens im N-dimensionalen Phasenraum um X ~ 0 , t) = ∆V (X N Y ~ 0 , t) = ∆Xi (X i 1 ∂V V ∂t = = N X i N X i N Y i ∂Xi (X~i0 ) ∆Xi0 ∂Xi0 ~ 0 , t) 1 ∂∆Xi X 1 ∂ ∂∆Xi (X = ∆Xi0 = ∆Xi ∂t ∂t i ∆Xi ∂X0i ∂Fi = divF~ ∂Xi Für das Lorenz-System ist divF~ = −(σ + b + 1) < 0. Für ein dissipatives System ist die Summe der Ljapunov Exponenten kleiner als Null. Ein Ljapunov Exponent ist immer Null, das ist der längs der Trajektorie. Also kann ein positiver Exponent erst ab 3 Gleichungen auftreten. Den positiven braucht man um Chaos zu erzeugen. (eponentielles Auseinanderlaufen zweier benachbarter Anfangswerte) Stationäre Lösungen sind Punkte im Phasenraum (Fixpunkte). Die Dimension des Attraktors ist D = 0. Neben diesen Fixpunkten gibt es aber andere Attraktoren, etwa periodische Lösungen, wo im Limes großer Zeiten eine Kurve im Phasenraum periodisch durchlaufen wird. Die Dimension dieser Attraktoren ist D = 1. Wenn nun die Bewegung im Phasenraum innerhalb eines endlichen Volumens verläuft so muß es wenn die bereits erwähnten Attraktoren instabil sind einen weiteren endlichdimensionalen (D < 3) Attraktor geben. Eine weitere Eigenschaft der Lorenzgleichungen ist die Begrenzheit des Attraktors, d.h. die Trajektorie bleibt in einem endlichen Gebiet. Man definiere den Radius R eienr Kugel um den Punkt (0,0,r + σ) X 2 + Y 2 + (Z − r − σ)2 = R2 Es gilt für die zeitliche Entwicklung des Radius r + σ 2 b(r + σ)2 dR = −σX 2 − Y 2 − b(Z − ) + dt 2 4 Daraus erkennt man, dass der Radius startet man knapp unterhalb der Kugelschale einer Kugel mit Radius r + σ um den Punkt (0,0,r + σ) dann nimmt der Radius ab. R Der Lorenz Attraktor lässt sich als Cantor Menge von zweidimensionalen Schichten verstehen. Seine Hausdorff Dimension D liegt nahe bei zwei, nämlich D = 2.06 für σ = 16 b = 4 und r = 40. Der Attraktor hat zwei Löcher um den konvektiven Zustand (dieser ist instabil). Dei Bewegung erfolgt um eiens der beiden Löcher wobei sie chaotisch zwischen den zu den Löchern gehörenden Blättern hin und her springt. 3. März 2008 129 Abbildung 9.4: Das Phasendiagramm für das Lorenz System mit den Parametern σ = 10 und b = 8/3 • Phasenraum: dreidimensional (X, Y, Z) • Attraktoren: Fixunkte (nulldimensional), Spiralpunkt (Zentrum einer Spirale), Grenzzyklus (eindimensional), seltsame Attraktoren (Lorenz Attraktor), Sattelpunkte • Stabile und instabile Attraktoren nebeneinander, Einzugsgebiete, • Seperatrix: trennt Einzugsgebiete wenn mehrere Attraktoren vorhanden sind, kann fraktal ineinandergeschachtelt sein • Linearisierung um Fixpunkte: stabile und instabile Richtungen (es muss Sysem Matrix nicht symmetrisch sein, also komplexe Eigenwerte und nicht orthogonale eigenvektoren möglich) Die folgenden Abbildungen sind Projektionen in den zweidimensionalen Z-XUnterraum. Die Parameter σ = 10 und b = 8/3 bleiben fix. Dann ist rc = 24.74 130 3. März 2008 Abbildung 9.5: Das Bifurkationsdiagramm r Attraktor 0 Konduktion 1 Konvektion 25 Chaos (Lorenz Attraktor) 145 Periodisches Verhalten 166 Chaos 235 Periodisches Verhalten Ursache Einfache Instabilität homokliner Punkt umgekehrte Bifurkation Intermittenz Tabelle 9.1: Phasendiagramm 3. März 2008 Abbildung 9.6: Lorenz Attraktor für r = 26, r = 28 und r = 30 131 132 3. März 2008 Abbildung 9.7: Zwei stabile Fixpunkte 133 3. März 2008 Abbildung 9.8: Spiralpunkte 134 3. März 2008 Abbildung 9.9: Lorenz Attraktor und Grenzzyklus Kapitel 10 Magnetohydrodynamik 10.1 Herleitung der Gleichungen Betrachten eine elektrisch neutrale, leitende Flüssigkeit. Eine Flüssigkeitsströmung stellt dann einen Strom dar, der ein Magnetfeld erzeugt unter dem sich die Strömung wieder verändert (Wirbelstrombremse). Relevante Flüssigkeiten sind • Flüssigmetalle wie Hg, Fe, Na,... • Halbleiterschmelzen wie Ga, Si,... • Elektrolyte wie Seewasser,... • Plasmen in Planeten oder Sternen Die Grundgleichungen, die eine solche Flüssigkeit beschreiben sind die Navier Stokes’schen Gleichungen erweitert um einen der Lorentz Kraft entsprechenden Term und den Maxwellschen Gleichungen zusammen mit dem Ohm’schen Gesetz. Um die Gleichungen zu vereinfachen machen wir von Anfang an folgende Annahmen: 1. Die Flüssigkeit ist inkompressibel. Dann vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung auf div~v = 0 und es bleibt als Zähigkeitsterm nur η∆~v . 2. Die Geschwindigkeiten der Strömung sollen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sein, v << c. Dann kann man in den Maxwellgleichungen den Verschiebungsstrom vernachlässigen. 135 136 3. März 2008 3. Der Gravitationsterm wird vernachlässigt. 4. µ ∼ 1 Das Gleichungssystem lautet also (0) ρ ∂ ~ ~v = 1~j × B ~ − gradp + η∆~v ~v + ρ ~v ∇ ∂t c Hinzugefügt wurde der Wechselwirkungsterm zwischen dem Strom (das ist die bewegte Flüssigkeit als Leiter, die zu unterscheiden ist von der Strömung beschrieben durch ~v) und dem durch die Strömung hervorgerufene Magnetfeld. Diese wiederum ergibt sich aus der inhomogene Maxwell Gleichung (die zeitliche Ableitung des elektrischen Feldes tritt nicht auf, es muß auch div~j = 0 sein) (1) ~ = rotB 4π ~ j c ~ =0 divB Der Strom wiederum hängt von den Feldern über das Ohm’sche Gesetz ab (2) ~ ~ + ~v × B ~j = σ E c ! Wir haben benützt, daß sich das leitende Medium mit der Geschwindigkeit ~v ( << c) bewegt und keine freien Ladungen vorhanden sind. Im Ruhsystem des ~ 0 im Laborsystem aber der obige Ausdruck. RelativistiMediums wäre ~j 0 = σ E sche q Terme wurden vernachlässigt (siehe Lorentztransformation des Viererstroms, 1 − v 2 /c2 ∼ 1). Nimmt man die effektive Leitfähigkeit als undendlich an (keine Dissipation), so verlangt die Bedingung, daß ein endlicher Strom vorhanden ist, daß das elektrische Feld die Gleichung ~ = − 1 ~v × B ~ E c erfüllt. Dazu kommen noch die Maxwellgleichungen für das elektrische Feld (3) ~ =− rotE ~ 1 ∂B c ∂t ~ =0 divE Eliminiert man nun mit dem Ohm’schen Gesetz das elektrische Feld, so erhält man ~ ∂B ~ = − c rot~j − rot(~v × B) ~ = −c rotE ∂t σ 137 3. März 2008 Nun ist mit der Maxwell Gleichung (1) c ~ = − c ∆B ~ rotrotB rot~j = 4π 4π mit ~ =0 divB und ~ = (∇ ~ B)~ ~ v + (B ~ ∇)~ ~ v − (∇~ ~ v )B ~ − (~v ∇) ~ B ~ = (B ~ ∇)~ ~ v − (~v∇) ~ B ~ rot(~v × B) wenn beide Felder Divergenzfrei sind. Alles zusammen führt auf (I) 2 ~ ∂B ~ ∇)~ ~ v − (~v ∇) ~ B ~ + c ∆B ~ = (B ∂t 4πσ ~ siehe (1), Die erweiterte Navier Stokes Gleichung lautet (~j in (0) durch rotB, ersetzen) ∂ ~ ~v = 1 (rotB) ~ ×B ~ − gradp + η∆~v ρ ~v + ρ ~v∇ ∂t 4π dies kann man noch sinnfälliger schreiben, wenn man benützt 1 ~ ∇) ~ B ~ + (rotB) ~ ×B ~ gradB 2 = (B 2 Dann ist (II) ρ ∂ ~ ~v = −grad(p + 1 B 2 ) + 1 (B ~ ∇) ~ B ~ + η∆~v ~v + ρ ~v ∇ ∂t 8π 4π Der Term, der zum Druck dazugekommen ist wird als magnetischer Druck inter~ und ~v gegeben. pretiert. Damit sind zwei Gleichungen (I) und (II) für B 10.2 Magnetische Diffusion Für eine ruhende Flüssigkeit reduziert sich die Gleichung für das Magnetfeld auf eine Diffusionsgleichung ~ ∂B c2 ~ = ∆B ∂t 4πσ 2 c . Das heißt eine Konfiguramit der magnetischen Diffusionskonstante Dm = 4πσ tion mit einem Anfangsmagnetisierungsfeld, das sich über die Länge L ändert, zefällt in der Zeit τ= 4πσL2 c2 = 1s,104 J,1010 J für Kupferkugel (R = 1cm), Erde und Sonne Der Gleichgewichtszustand ist ein homogenes Magnetfeld. 138 3. März 2008 Andererseits für Zeiten klein gegenüber τ (oder unendlicher Leitfähigkeit) kann man den Diffusionsterm vernachlässigen und man erhält ~ ∂B ~ ∇)~ ~ v − (~v ∇) ~ B ~ = (B ∂t oder ~ dB ~ ∇)~ ~ v = (B dt Wie bei der Definition der Zirkulation betrachtet man ein Linienelement das sich mit den Flüssigkeitsteilchen bewegt. Dann ist nach Kapitel 4.2.3 die Änderung von d~s d d~s ~ v = (d~s∇)~ dt ~ durch dieselbe Gleichung beschrieben werden. Sind beide Das zeigt daß d~s und B Vektoren paralell, so bleiben sie das auch in der Strömung. Ihre Beträge ändern sich so daß ihr Verhältnis gleich bleibt, denn 2 ∂ a2 a2 ~ v − 2 a b2~n(~n∇)~ ~ v=0 = 2 ~ n (~ n ∇)~ ∂t b2 b2 b4 Zwei infinitesimal benachbarte Flüssigkeitsteilchen auf einer Magnetfeldlinie bleiben auf ihr. Also jede Magnetfeldlinie bewegt sich mit den Flüssigkeitsteilchen, die auf ihr liegen. Das Magnetfeld bewegt sich also mit der Flüssigkeit, sie ’kleben’ an der Flüssigkeit. Das heißt aber auch, daß der magnetische Fluß durch eine Kontur die mit der Flüssigkeit strömt (wie bei der Definition der Wirbelstärke) konstant bleibt. 10.3 Magnetohydrodynamische Wellen Durch die Kopplung der Gleichungen zwischen dem Magnetfeld und Strömungsfeld kommt es zu neue Moden des Systems. Betrachten wir den einfachsten Fall einer inkompressiblen Flüssigkeit ohne die dissipativen Terme, also Scherviskosität und Leitfähigkeit sind Null. Keine weiteren äußere Kräfte. Dann lauten die Gleichungen, die zu lösen sind ~ ∂B ~ ∇)~ ~ v − (~v ∇) ~ B ~ = (B ∂t ~ =0 divB ∂ ~ ~v = − 1 grad(B 2 ) + 1 (B ~ ∇) ~ B ~ ~v + ρ ~v ∇ ∂t 8πρ 4πρ div~v = 0 139 3. März 2008 Ohne Magnetfeld existieren keine Wellen in der Flüssigkeit, mit einem Magnetfeld aber kommt es zu transversalen (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingenden) Wellen. Man findet die Wellengleichung durch Entwicklung um den Gleichgewichtszustand. ~ =B ~ 0 + ~b B ~v = ~0 + ~v Linearisieren führt auf ∂~b ~ 0 ∇)~ ~ v = (B ∂t und div~b = 0 ∂ 1 ~ 0~b) + 1 (B ~ 0 ∇) ~ ~b ~v = − grad(B ∂t 4πρ 4πρ div~v = 0 Man leitet die Gleichung für ~v nochmals nach der Zeit ab und setzt für die zeitliche Ableitung des Magnetfelds ein Sei das Magnetfeld in z-Richtung so vereinfacht sich die Gleichung auf ∂2 B02 ∂ B02 ∂ 2 ~ v = − grad( v ) + ~v z ∂t2 4πρ ∂z 4πρ ∂z 2 oder ∂2 vz = 0 ∂t2 ∂2 B02 ∂ 2 ~ v = ~v⊥ ⊥ ∂t2 4πρ ∂z 2 Das ist eine Wellengleichung für transversale Wellen (Schwingung ~v⊥ senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ~ez ) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit B0 cA = √ πρ Sie heißen Alfven Wellen. Ist die Flüssigkeit kompressibel, so bleibt die Geschwindigkeit unverändert. Die Geschwindigkeit der Alfven Wellen ist üblicherweise viel kleiner als die Schallgeschwindigkeit, allerdings in astrophysikalischen Systemen, wo die Dichte sehr klein werden kann, ist sie sehr groß. Kapitel 11 Literatur J. D. Anderson, Jr., A History of Aerodynamics, Cambridge Univ. Press. (1997) N. Curle and H.J. Davies, Modern Fluid Dynamics, 2 Vol. Van Nostrand (1968) T. E. Faber, Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge Uni. Press, Cambridge (2 1997) W. Greiner und H. Stock, Theoretische Physik, Band 2a, Verlag Harry Deutsch (1991) E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, Hydrodynamik, Vieweg 1997 E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, Physical Hydrodynamics, Oxford 2001 G. Hamel, Mechanik der Kontinua, Teubner (1955) N.J. Kotschin, I.A. Kibel und N.W. Rose, Theoretische Hydrodynamik, Band II, Akademie Verlag (1955) C. Lamb, Hydrodynamics, Dover Publication, New York (1945) L. D. Landau und E. M. Lifshitz, Theoretische Physik, Band IV, Akademie Verlag (1991) J. Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics, Clarendon Press (1986) W. Macke, Mechanik der Teilchen, Akademie Verlag A. Pope, Basic Wing and Airfoil Theory, McGraw-Hill (1951) L. Prandtl and O. G. Tietjens, Fundamentals of Hydro- and Aerodynamics, Dover Publ. (1934) L. Prandtl and O. G. Tietjens, Applied Hydro- and Aerodynamics, Dover Publ. (1934) I. Prigogine and R. Herman, Kinetic Theory of Vehicular Traffic, American Elsevier, New York 1971 W. F. Hughes and J. A. Brighton, Fluid Dynamics, Schaum Outline Series, McGraw Hill (167) A. Sommerfeld, Theoretische Physik II, Verlag Harry Deutsch (1992) M. R. Spiegel, Complex Variables, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill (1964) J. H. Spurk, Fluid Mechanics, Springer (1997) 140 3. März 2008 141 P. A. Thompson, Compressible-fluid dynamics, McGraw Hill (1972) G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics, Dover (1971) J. S. Trefil, Introduction to Physics of Fluids and Solids, Pergamon Press (1975) D. J. Triton, Physical fluid Dynamics, Van Nostrand Reinhold (1977) K. Wieghardt, Theoretische Strömungslehre, Teubner (1974)