Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013

LOGIK
(Alltagslogik, Paradoxien, Aussagenlogik, Boolesche
Funktionen, Schaltkreise, formale Beweise, Ausblick)
Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013
Prof. Dr. Martin Ziegler, MSc. Carsten Rösnick, BSc. Björn Deiseroth, BSc. Holger Thies (FB 4)
Dienstag 17.9.
8h30 – 10h
10h30 – 12h
Vorlesung S1/05-122
Tutorien
13h45 – 14h30 Vorlesung S1/05-122
14h45 – 15h30 Übungsaufgabenbetreuung
Mittwoch 18.9.
8h30 – 10h
10h30 – 12h
Vorlesung S1/05-122
Tutorien
13h45 – 14h30 Vorlesung S2/15-244 (!)
14h45 – 15h30 Übungsaufgabenbetreuung
Donnerstag 19.9.
8h30 – 10h
10h30 – 12h
Tutorien/Übungsaufgabenbetreuung
Vorlesung S2/14-024
Tutorien und Übungsaufgabenbetreuung in Gruppen,
aufgeteilt auf die Räume S2/15-234, S1/05-23 und S1/05-24.
Prof.Dr.Ziegler, MSc.Rösnick, BSc.Deiseroth, BSc.Thies
19.9.2013 Tutorium
TU Darmstadt, Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013: LOGIK
AUFGABE 15:
Seien Φ und Ψ zwei (endliche) Mengen von Boole’schen Ausdrücken ϕ und ψ. Schreiben ”Φ |= Ψ”,
wenn jede Belegung der Variablen, die alle ϕ ∈ Φ in Φ wahr macht, auch mindestens ein ψ ∈ Ψ
wahr macht. Überprüfen Sie die folgenden Behauptungen:
a) {x ∧ y} |= {x}
b) {ϕ ∧ ψ} |= {ϕ}.
c) {ϕ ∨ ψ} |= {ϕ}
d) {ϕ ∨ ψ} |= {ϕ, ψ}
e) {x ∨ y, x ∨ ¬y} |= {x}
f) {} |= Ψ
g) Φ |= Ψ
W
gilt genau dann, wenn Φ ∪ ¬ ψ∈Ψ ψ unerfüllbar ist.
AUFGABE 16:
Abkürzung: Φ, ϕ für Φ ∪ {ϕ}. Verifizieren/begründen Sie die Korrektheit der folgenden Schlussregeln (für beliebige – d.h. alle – Φ, Ψ, ϕ, ψ):
a) Φ, ϕ |= Ψ, ϕ
b) Wenn Φ |= Ψ, ϕ, dann Φ, ¬ϕ |= Ψ
c) Wenn Φ, ϕ |= Ψ, dann Φ |= Ψ, ¬ϕ
d) Wenn Φ |= Ψ, ϕ, ψ, dann Φ |= Ψ, ϕ ∨ ψ
e) Wenn Φ, ϕ, ψ |= Ψ, dann Φ, ϕ ∧ ψ |= Ψ
f) Wenn Φ, ϕ |= Ψ und Φ, ψ |= Ψ, dann Φ, ϕ ∨ ψ |= Ψ
g) Wenn Φ |= Ψ, ϕ und Φ |= Ψ, ψ, dann Φ |= Ψ, ϕ ∧ ψ
ZUSATZAUFGABE 17:
In der Vorlesung wird die Kommutativität der Disjunktion und die doppelte Negation syntaktisch
mit den Regeln aus Aufgabe 16 abgeleitet. Leiten Sie auch die folgenden semantisch bekannten
Eigenschaften syntaktisch ab:
a) ϕ ∧ ψ |= ψ ∧ ϕ
b) ¬(ϕ ∨ ψ) |= ¬ϕ ∧ ¬ψ
c) (x ∧ y) ∨ (x ∨ z) |= x ∧ (y ∨ z)
Prof.Dr.Ziegler, MSc.Rösnick, BSc.Deiseroth, BSc.Thies
18.9.2013 Hausaufgaben
TU Darmstadt, Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013: LOGIK
AUFGABE 12:
In der Vorlesung wurde der Schaltkreis ”Halbaddierer” (HA, oben links) vorgestellt.
a) Erstellen Sie die Wertetabelle des oben rechts abgebildeten sogenannten Volladdierers (VA),
kombiniert aus zwei Halbaddierern und einem ODER. Können Sie diesen Namen erklären?
b) Es sei ~A = (A3 , A2 , A1 , A0 ) die Binärzahl 1101 und analog ~B die Binärzahl 1011.
Führen Sie eine schriftliche Addition beider Zahlen durch!
c) Oben sind drei Volladdierer und ein Halbaddierer kombiniert zu einem neuen Schaltkreis.
Welches Ergebnis ~L = (L4 , L3 , L2 , L1 , L0 ) liefert dieser, wenn an den Eingängen ~A bzw. ~B die
Binärzahlen aus b) anliegen? Welche Rollen spielen die C1 ,C2 ,C3 ?
d) Bauen Sie aus Volladdierern einen Schaltkreis auf, der zwei 8-Bit Zahlen mit Übertrag addiert! (Auf Intels X 86 und kompatiblen Prozessoren beispielsweise weist der Befehl ADD AL,AH
die arithmetisch-logische Einheit ALU an, diese Operation durchzuführen. Ähnliche Befehle gibt es
für die Addition von 16-Bit Zahlen, 32-Bit und auf modernen Prozessoren auch von 64-Bit Zahlen.)
e) Führen Sie eine schriftliche Multiplikation der beiden Binärzahlen ~A und ~B aus b) durch!
Wie lange ist das Ergebnis?
f* ) Konstruieren Sie einen Schaltkreis, der zwei 4-Bit-Zahlen multipliziert, indem Sie bekannte
Schaltkreise (bspw. aus d) geeignet kombinieren.
AUFGABE 13:
Welche der folgenden Formeln bzw. Formelmengen ist erfüllbar?
a) (x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y) ∧ (¬x ∨ y) ∧ (¬x ∨ ¬y)
b) (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬q)
c) {p ∨ ¬r, q ∨ r, ¬p ∨ ¬s, p ∨ ¬q ∨ r ∨ s, q ≤ (s ≤ r), r ∨ s, (p ∧ r) ≤ s}
d) (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬r) ≤ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ ¬r) ∨ (¬r ≤ 0)
e* ) a0 ≤ (b0 = ¬b0 ), a1 ≤ (b0 = ¬b1 ), a2 ≤ (b1 = ¬b0 ), a3 ≤ (b
0 = ¬b2 ),
a4 ≤ (b1 = ¬b2 ), a5 ≤ (b2 = ¬b1 ), a1 ∨ a2 , a4 ∨ a5 , ¬a0 ≤ a3
ZUSATZAUFGABE 14:
Für ~x = (x1 , . . . , xn ) und ~y = (y1 , . . . , yn ) in {0, 1}n schreiben wir “~x ≤ ~y” für (x1 ≤ y1 ) ∧ (x2 ≤
y2 ) ∧ · · · ∧ (xn ≤ yn ). Eine Funktion f : {0, 1}n → {0, 1} heisst monoton, wenn für alle ~x ≤ ~y gilt
f (~x) ≤ f (~y).
a) Geben Sie ~x und ~y an mit ~x 6≤ ~y und ~y 6≤ ~x.
b) Welche der Boole’schen Funktionen aus Aufgabe 5 sind monoton?
c) Sei A ein Boole’scher Ausdruck in n Variablen x1 , . . . , xn , der nur aus ∨ und ∧ (aber keinem
¬) besteht. Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach der Länge von A, dass die durch
A beschriebene Boole’sche Funktion monoton ist.
d) Kann man jede Boole’sche Funktion alleine mit ∨ und ∧ ausdrücken? Beweisen Sie!
Prof.Dr.Ziegler, MSc.Rösnick, BSc.Deiseroth, BSc.Thies
18.9.2013 Tutorium
TU Darmstadt, Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013: LOGIK
AUFGABE 8:
Wir wissen, dass ∨ (und analog ∧) dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz genügt:
∀x, y :
x∨y = y∨x
∀x, y, z :
x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z .
(1)
a) Ist x ⊕ y kommutativ?
b) Ist x ≤ y kommutativ?
c) Ist (x ∧ y) ∨ (x ∧ ¬y) ∨ (¬x ∧ y) ∨ (¬x ∧ ¬y) kommutativ?
d) Ist x ⊕ y assoziativ?
e) Ist x ≤ y assoziativ?
f) Ist (x ∧ y) ∨ (x ∧ ¬y) ∨ (¬x ∧ y) ∨ (¬x ∧ ¬y) assoziativ?
Begründen Sie Ihre Antworten, bspw. durch Vergleich der Wertetabellen beider Seiten der Gleichung! Formulieren Sie Ihre Antworten auch symbolisch analog zu (1); was wird aus ”∀”, wenn
ein Gesetz nicht erfüllt ist?
AUFGABE 9:
Erinnern Sie sich an den Ausdruck aus Aufgabe 5f) und 8c)+f).
a) Bilden Sie die Negation dieses Ausdrucks mit Hilfe der Regeln von de Morgan.
b) Vereinfachen Sie den (nicht-negierten) Ausdruck mittels Assoziativitäts-, Kommutativitäts-,
Distributivitätsgesetz und den Regeln von de Morgan.
c) Geben Sie einen Boole’schen Ausdruck in n ≥ 2 Variablen an für die folgende Boole’sche
Funktion d : {0, 1}n → {0, 1}:
1 : x j = 1 für genau ein j
c(x1 , . . . , xn ) :=
0 : sonst
d) Geben Sie einen Boole’schen Ausdruck in n Variablen an für die folgende Boole’sche Funktion d : {0, 1}n → {0, 1}:
1 : x1 = x2 = . . . = xn
d(x1 , . . . , xn ) :=
0 : sonst
e) Geben Sie einen Boole’schen Ausdruck in n Variablen an für die folgende Boole’sche Funktion e : {0, 1}n → {0, 1}:
1 : die Zahl der j mit x j = 1 ist ungerade
e(x1 , . . . , xn ) :=
0 : die Zahl der j mit x j = 1 ist gerade
Tipp: Sie dürfen ausser ∨, ∧, ¬ auch andere Operationen (bspw. aus Aufgabe 5) verwenden –
zunächst, und diese dann wiederum durch ∨, ∧, ¬ ausdrücken.
AUFGABE 10:
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sich jede Boole’sche Funktion als Ausdruck über ¬, ∨, ∧
darstellen läßt; genauer: in disjunktiver Normalform.
a) Welche der folgenden Ausdrücke sind in konjunktiver Normalform, d.h. eine Konjunktion
von Disjunktionen von (potentiell negierten) Variablen?
i) (x ∧ y) ∨ (x ∧ ¬y) ∨ (¬x ∧ y) ∨ (¬x ∧ ¬y)
ii) (x ∨ ¬y) ∧ (¬x ∨ y)
iii) (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y)
iv) ((x1 ∨ x2 ) ∨ x3 ∨ x4
b) Wandeln Sie die Boole’schen Ausdrücke aus a) um in konjunktive Normalform durch Anwendung der Rechenregeln aus der Vorlesung.
ZUSATZAUFGABE 11:
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass man ¬ und ∨ durch ↓ ausdrücken kann.
a) Drücken Sie ¬ durch 0 und ≤ aus.
b) Drücken Sie ∨ durch ≤ aus.
c) Läßt sich jede Boole’sche Funktion auch als konjunktive Normalform darstellen?
Beweisen Sie!
Tipp: Schauen Sie sich den Beweis für disjunktive Normalform aus der Vorlesung nochmal an.
Prof.Dr.Ziegler, MSc.Rösnick, BSc.Deiseroth, BSc.Thies
17.9.2013 Hausaufgaben
TU Darmstadt, Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013: LOGIK
AUFGABE 5:
Erstellen Sie die Wertetabellen der folgenden Ausdrücke:
a) (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y)
b) x ≤ y
c) (x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y)
d) (x ∨ ¬y) ∧ (¬x ∨ y)
e) x 6= y
f) (x ∧ y) ∨ (x ∧ ¬y) ∨ (¬x ∧ y) ∨ (¬x ∧ ¬y)
g) (x ≤ y) ≤ y
h) x ⊕ y, das ausschließende Oder / Entweder-Oder / XOR
j) (x ⊕ y) ⊕ (x ⊕ z) ⊕ (y ⊕ z)
AUFGABE 6:
Jeder Boole’sche Ausdruck A(x1 , . . . , xn ) in n Variablen x1 , . . . , xn beschreibt durch seine Wertetabelle eine Funktion fA : {0, 1}n → {0, 1}.
a) Manchen der in Aufgabe 5 beschriebenen Boole’schen Funktion kann man ihre Bedeutung
direkt ablesen, bspw. bei 5b) oder 5e). Finden Sie auch für die anderen Teilaufgaben ähnliche
eingängige informelle Beschreibungen.
b) Was fällt Ihnen auf beim Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 5? Formulieren Sie Ihre
Beobachtung über den Zusammenhang zwischen Boole’schen Ausdrücken A in n Variablen
und Boole’schen Funktionen f : {0, 1}n → {0, 1}.
c) Wie viele Zeilen hat die Wertetabelle einer Boole’schen Funktion in n Variablen?
d) Wie viele verschiedene Boole’sche Funktionen in n Variablen gibt es? (Tipp: Aufgabe 3c)
ZUSATZAUFGABE 7:
a) Geben Sie die Wertetabelle einer Boole’schen Funktion in 2 Variablen an, die NICHT in
Aufgabe 5 vorkommt.
b) Geben Sie einen Boole’schen Ausdruck an für Ihre Funktion aus a).
c) Geben Sie einen anderen Boole’schen Ausdruck an für die gleiche Funktion.
Prof.Dr.Ziegler, MSc.Rösnick, BSc.Deiseroth, BSc.Thies
17.9.2013 Tutorium
TU Darmstadt, Schülerpraktikum Reine Mathematik 2013: LOGIK
AUFGABE 1:
Diskutieren Sie die folgenden Aussagen:
a) Wenn ich mich beeilen muss, komme ich häufig zu spät. Deswegen gehe ich lieber langsam.
b) Wer nicht für uns ist, ist gegen uns.
c) Diese Aussage ist falsch.
d) Folgende Aussage ist falsch: Der vorhergehende Satz ist wahr.
AUFGABE 2:
a) Kommentieren Sie folgenden Auszug aus dem Bürgerlichen Gesetzbuch (BGB) zum Thema
Vorkaufsrecht (§463: Voraussetzungen der Ausübung):
Wer in Ansehung eines Gegenstandes zum Vorkauf berechtigt ist, kann das Vorkaufsrecht ausüben, sobald der Verpflichtete mit einem Dritten einen Kaufvertrag
über den Gegenstand geschlossen hat.
b) Kommentieren Sie folgende Erklärung von Amazon:
Wenn das voraussichtliche Lieferdatum Ihrer nicht verfolgbaren Sendung noch
nicht erreicht wurde, sollte Ihre Sendung pünktlich bei Ihnen eintreffen.
AUFGABE 3:
a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion für x 6= 1:
∑
k=0...n−1
(!) 1−xn
1−x
xk = 1 + x + x2 + · · · + xn−1 =
.
b) Seien X und Y endliche Mengen mit |X| bzw. |Y | Elementen. Wie viele Elemente hat das
kartesische Produkt X ×Y , wie viele hat X n ?
c) Seien X und Y endliche Mengen. Wie viele verschiedene Funktionen f : X → Y gibt es?
d) Sei X eine endliche Menge und f : X → Y surjektiv. Vergleichen Sie |X| und |Y |.
e) Sei Y eine endliche Menge und f : X → Y injektiv. Vergleichen Sie |X| und |Y |.
f) Sei X eine (endliche) Menge. Vergleichen Sie Anzahl der Funktionen f : X → {0, 1} mit der
Anzahl aller Teilmengen T ⊆ X.
ZUSATZAUFGABE 4:
Drei Schülerinnen haben im Logik-Unterricht geschlafen und müssen beim Nachsitzen die folgende Aufgabe lösen: Jede bekommt entweder einen roten oder einen blauen Hut auf und soll
herausfinden, welche Farbe ihr Hut hat – kann aber nur die Hüte ihrer Kameradinnen sehen; außerdem herrscht striktes Kommunikationsverbot. Die Aufsicht führende Lehrerin verrät allerdings,
dass nicht alle Hüte gleicher Farbe haben. Sie gibt reihum jeder die Möglichkeit, die Farbe ihres
Huts zu nennen – oder eine Runde auszusetzen.
a) Was (und wann) kann eine Schülerin aus der Farbkombination schließen, die sie bei den
Hüten der anderen beiden sieht?
b) Wann wird eine Schülerin die erste Runde aussetzen?
c) Wie können die drei ihre Aufgabe nach drei Runden sicher lösen?
d) Funktioniert die Strategie auch mit mehr als drei Nachsitzerinnen?
wiederholt hohe Ränge bei CHE etc.
vermittelt mathemat. Grundausbildung
für ca. 8000 Studierende (Ing.) pro Jahr
Lehramt:
Gymnasium
Master of Education
B.Sc./M.Sc.:
Mathematik (bilingual)
Wirtschaftsmathematik
Studiengänge
ca.25 ProfessorInnen
ca.80 wiss. MitarbeiterInnen
(größtenteils DoktorandInnen)
ca.1200 StudentInnen
Fachbereichsstruktur
19. September 2013 | FB Mathematik | 3
Zahlreiche Industriepartner und -projekte
der TU Darmstadt
3 von 5 Sonderforschungsbereichen
LOEWE-Zentrum AdRIA
Internationales DFG Graduiertenkolleg 1529
„Mathematical Fluid Dynamics“
Forschergruppe "Symmetrie, Geometrie und Arithmetik"
Graduiertenschule CE
Exzellenzcluster Smart Interfaces
Beteiligung an:
Der Fachbereich 4 (Mathematik)
13 Fachbereiche,
5 Studienbereiche
110 Studiengänge
25.100 Studierende
(4.450 internationale)
2900 Absolvent/Innen
360 Promotionen
293 Professor/Innen
2310 wiss. Mitarbeiter-/
Innen
TU Darmstadt
LOGIK
Martin Ziegler
Björn Deiseroth
Carsten Rösnick
Holger Thies
7
k) Ist "nein" die einzige korrekte Antwort auf diese Frage?
Martin Ziegler
j) Können Sie diese Frage korrekt beantworten?
h) Epimenides, der Kreter, sagte: Alle Kreter sind Lügner!
8
g) Im Unterricht sind Handys verboten: Zu Schulbeginn sammelt die
Lehrerin alle ein. Am Ende wird nur jedes zweite Handy
zurückgegeben – und trotzdem beklagt sich niemand.
f) Zwei Mütter und zwei Töchter kaufen jede einen Fußball,
zusammen aber nur drei.
e) Jedes Kind hat zwei Eltern.
Also gibt es doppelt so viele Eltern wie Kinder.
d) Wer männlich, erwachsen und unverheiratet ist, gilt
als Junggeselle. Klaus ist kein Junggeselle. Was folgt daraus?
c) Für das passive Wahlrecht in Hessen muss man ≥21 Jahre alt sein.
Petra ist 24, kann sich also zur Wahl aufstellen lassen.
b) Die Summe zweier gerader Primzahlen ist stets eine Quadratzahl.
a) 3 und 5 sind beides Teiler von 60. Also ist auch 3⋅5 Teiler von 60.
zum Aufwärmen…
Martin Ziegler
•Derjenige, der Urlaub in Dänemark macht, ist länger im Urlaub als Ingo.
•Der Italienreisende geniesst fünf Wochen pure Erholung.
X
X
O
XX
X
•Der Angestellte,
der in Portugal
seine Ferien
verbringt, ist länger
O
im Urlaub als Udo,
XX
O
X jedoch nicht so
X X X
lange wie Gerd.
XX
XX
•Der Buchhalter macht zwei
O
Wochen Ferien.
•Der Leiter der Forschungsabteilung erholt sich in Belgien.
•Gustav macht in Frankreich länger Urlaub
O als die Person aus dem Vertrieb.
X •Emil ist für die technische Abteilung zuständig.
"Logik--Trainer"
"Logik
Doktoranden und Postdocs:
• Kord Eickmeyer
• Daniel Günzel
• Vassilis Gregoriades
• Daniel Körnlein
• Davorin Lesnik
• Carsten Rösnick
• Stéphane Le Roux
• Florian Steinberg
plus zahlreichende laufende
Bachelor- & Masterarbeiten
ein Sudoku
Martin Ziegler
6
wechselnde Gäste, aktuell:
• Makoto Fujiwara (Japan)
• Aday Shomanov (Kasachstan)
• Aqeel Khan (Pakistan)
Darmstadt/Tokyo Graduiertenkolleg
"Mathematical Fluid Dynamics"
• Paul Potgieter (Südafrika)
Professoren:
• Kohlenbach (Beweistheorie)
• Otto (Algorithm. Modelltheorie)
• Streicher (Kategorientheorie)
• Ziegler (Komplexitätstheorie)
• Achim Blumensath (Privatdozent)
• Benjamin Seyfferth (Studienkoord.)
• Klaus Keimel, Christian Herrmann
Arbeitsgruppe Logik
Y
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
y
x
1
0
0
0
x∧y
1
1
0
0
x
1
0
1
0
y
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
¬x∧¬y
(x∧y)∨(¬x∧¬y)
(x ∧ z)∨(¬x∧¬z)
Martin Ziegler
11
1
1
1
0
12
x∨y
((x ∧ y) ∨ (¬x∧¬y)) ∧ ((x ∧ z) ∨ (¬x∧¬z))
(¬(0∨1) ∧ (1∧¬0)) ∨ ¬1
Beispiel (Ausdruck):
¬x
x
0
Wahrheitswerte 0 und 1
mit Verknüpfungen: z.B. ∨, ∧, ¬
Aussagenlogik (Boole)
Martin Ziegler
d) Eine Funktion f:X→Y ordnet jedem
x∈X genau ein f(x)∈Y zu.
e) f heisst surjektiv,
surjektiv wenn
X
∀y∈Y ∃x∈X: f(x)=y.
f
f) f heisst injektiv,
injektiv wenn
∀x,x'∈X: f(x)=f(x') ⇒ x=x'.
b) Seien X,Y (nicht notwendig endliche) Mengen.
Dann bezeichne X×Y ihr kartesisches Produkt.
c) Schreibe Xn für das n-fache Produkt X×X×…×X
a) Sei X
Dann bezeichne |X| die Anzahl ihrer Elemente.
Mengenlehre als (eine)
eine endliche Menge. Grundlage aller Mathematik
Mengen und Funktionen
Martin Ziegler
Hippasos: √2 ist irrational; ¬∃a,b: a/b = √2.
Beweis (indirekt): 2 | 2⋅b² = a²
10
Bekannt: Außer 1 besitzt jede natürliche Zahl
einen Primteiler: ∀N>1 ∃p prim: p | N.
Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis (indirekt): N := 1+p1⋅ p2⋅ …⋅ pn
Beispiele:
9
a | b :⇔ ∃c: a⋅c = b
6|42, 7|42, ¬8|42
p prim :⇔ p≠1 ∧ (∀c: c | p ⇒ c=1 ∨ c=p)
Lemma: ∀a,b,x,r,s: x | a ∧ x | b ⇒ x | a⋅r+b⋅s
Beweis: ∃c: a=x⋅c; ∃d: b=x⋅d. e:=r⋅c+s⋅d.
Teilbarkeit natürlicher Zahlen:
BeispielBeispiel-Beweise aus Zahlentheorie
Martin Ziegler
Beispiel: Für n∈ : ∑k=1..n k := 1+2+…+n = n⋅(n+1)/2
Beweismethode vollständige Induktion über :
Wenn A(1) und ∀n: A(n) ⇒ A(n+1), dann ∀n: A(n)
Beweis: Nach Voraussetz. ist n gerade Primzahl.
Jede Primzahl n hat nur 1 und n als Teiler (Def!);
daher bedeutet Teiler 2 (n gerade!) dass n=2 gilt.
Analog m=2. Also n+m=4: eine Quadratzahl. □
Beispiel: Wenn n,m gerade Primzahlen sind,
dann ist n+m eine Quadratzahl.
"Theorem: Wenn A, dann B."
Theoreme und Beweise
∨b:f(b)=1 hb(x)
= f(x)
"höchstens eine 1"
"x1=1 & x2=0 & x3=0 & x4=1"
"x1=b1 & x2=b2 & … & xn=bn"
"mindestens eine 1"
∨
B
¬B
∨
¬A
H
L
∧
⊕
sog. Halbaddierer
A
B
= A⊕
A⊕B, siehe Folie 14
A B H L
0+0
0+1
1+0
1+1
A
0
0
1
1
B Q
0
1
0
1
∨
¬(¬A∨¬B)
∨¬B)
¬(A∨
(A∨B)
∨
Q = ¬(¬(¬A∨¬B)
∨¬B) ∨ ¬(A∨
(A∨B) )
∨
A
Q
⊕
∧
∨
Martin Ziegler
A
B
A
B
A
B
B
A
15
16
Q
Q
Q
Q
CMOS IC4001
Boole'sche Schaltkreise
• x↓y := ¬(x∨y) heißt NOR (negiertes Oder).
Kann ¬x = x↓x und x∨y = (x↓y)↓(x↓y) ersetzen
Martin Ziegler
• x∧y = ¬(¬x∨¬y) (de Morgan)
d.h. kann in allen Ausdrücken ∧ ersetzen durch ∨, ¬
D.h. kann jede
Boole'sche Funktion ausdrücken durch ∨, ∧, ¬
• Eine Disjunktion von Konjunktionen von (potentiell
negierten) Variablen heisst "disjunktive Normalform"
Normalform
•
• x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3 ∧ x4
• hb1,…,bn(x1,…,xn)
•
∨1≤k≤n xk := x1 ∨ x2 ∨ … ∨ xn
• ∧1≤k≠ℓ≤n ¬(xk∧x ℓ )
Basteln mit Boole'schen Ausdrücken
Z
•
•
•
•
•
Inverse?
neutrales
Element?
Martin Ziegler
Addition + Multiplikation von Zahlen
Verkettung (Komposition) von Funktionen
Potenzierung
Addition + Skalierung von Vektoren
Quantenlogik: Durchschnitt und Summe
von linearen Unterräumen (der Ebene)
distributiv?
kommutativ?
assoziativ?
Rechenregeln in Strukturen
14
Martin Ziegler
if (object != null && object.size())
{ ... }13
a) ¬( ¬(¬x∨¬y) ∨ ¬(x∨y) )
b) (x∨y) ∧ (x∨¬y) ∧ (¬x∨y) ∧ (¬x∨¬y)
Y
¬(¬x) = x
•Name der Regel
x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x
•Begründung
x ∨ 0 = x,
x∨1=1
•Beweis (-Idee)
x ∧ 0 = 0,
x∧1=x
•vgl. Mengenalgebra
x ∨ ¬x = 1,
x ∧ ¬x = 0
¬(x ∧ y) = (¬x) ∨ (¬y) Kurzschluss- mit ∩ für ∧, ∪ für ∨
auswertung und was für ¬ ?
¬(x ∨ y) = (¬x) ∧ (¬y)
x ∧ ( y ∨ z ) = (x ∧ y) ∨ ( x ∧ z )
x ∨ ( y ∧ z ) = (x ∨ y) ∧ ( x ∨ z )
X
Beispiele (Vereinfachung):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Rechenregeln der Aussagenlogik
19
Regeln (Axiomschemata):
d) Φ╞Ψ,ϕ,ψ ⇒ Φ╞Ψ,ϕ∨ψ
e) Φ,ϕ,ψ╞Ψ ⇒ Φ,ϕ∧ψ ╞Ψ
f) Φ,ϕ╞Ψ & Φ,ψ╞Ψ ⇒ Φ,ϕ∨ψ╞Ψ
g) Φ╞Ψ,ϕ & Φ╞Ψ,ψ ⇒ Φ╞Ψ,ϕ∧ψ
a) Φ,ϕ╞ Ψ,ϕ
b) Φ╞Ψ,ϕ
⇒ Φ,¬ϕ╞Ψ
c) Φ,ϕ╞Ψ
⇒ Φ╞Ψ,¬ϕ20
Martin Ziegler
Beispiele: a) { x ∧ y } ╞ { x } b) { ϕ∧ψ }╞ { ϕ }
c) { ϕ ∨ ψ }╞ { ϕ, ψ }
d) { x ∨ y, x ∨ ¬y } ╞ { x } e) {}╞ Γ
f) Φ ╞ {} ⇔ Φ unerfüllbar
Abkürz. Φ,ϕ für Φ∪{ϕ}.
Def: Seien Φ,Ψ (endliche) Mengen von Ausdrücken ϕ,ψ.
Schreibe "Φ╞Ψ" für: Jede Belegung der Variablen, die
alle ϕ∈Φ wahr macht, macht auch mind. ein ψ∈Ψ wahr.
Idee (Aussagenlogik): Formalisiere "aus einer Menge
von Ausdrücken folgt ein anderer Ausdruck" wie folgt:
Sequenzenkalkül
Martin Ziegler
Beweis: Nach Voraussetz. ist n gerade Primzahl.
Jede Primzahl n hat nur 1 und n als Teiler (Def!);
daher bedeutet Teiler 2 (n gerade!) dass n=2 gilt.
Analog m=2. Also n+m=4: eine Quadratzahl. □
Für n,m gerade Primzahlen ist n+m Quadratzahl.
P vs. NP
a) ausprobieren / Wertetabelle
Millennium
(Laufzeit asymptotisch bei n Variablen…?) -problem!
b) unerfüllende Belegung angeben und verifizieren
(aber was im unerfüllbaren Fall?)
c) durch wiederholte Anwendung von Regeln herleiten!
Wie kann man entscheiden ob/beweisen dass
ein Boole'scher Ausdruck allgemeingültig ist?
formale Beweise
∨
∨
¬Q
Q
∨
∨
oben:
gerichteter
azyklischer
Graph
links: gerichtet.
Graph mit
Zyklen -- bistabil
∨
Q
⊕
A
B
Martin Ziegler
∧
∨
A
B
A
B
17
Q
Q
Q
Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
S
R
∨
∨
Martin Ziegler
Proposition: ϕ allgemeingültig ⇔ ¬ϕ unerfüllbar
Beispiele: a) x∨y erfüllbar, nicht allgemeingültig
b) x∨¬x∨¬y erfüllbar, und sogar allgemeingültig
c) x∧¬x nicht erfüllbar (noch allgemeingültig)
d) { x∨y, x∨¬y, ¬x∨y, ¬x∨¬y } nicht erfüllbar
ϕ heißt allgemeingültig (Tautologie)
Tautologie wenn ϕ für jede
Belegung seiner Variablen den Wert 1 annimmt.
18
Eine Menge Φ von Ausdrücken heißt erfü
erfüllbar,
llbar wenn es
eine Variablenbelegung gibt, für die jedes ϕ∈Φ zu 1 wird.
Definition: Ein Boole'scher Ausdruck ϕ heißt erfüllbar,
llbar
wenn es eine Belegung seiner Variablen mit 0en und
1en gibt, so dass der Ausdruck den Wert 1 annimmt.
B
A
Exkurs: Schaltkreise mit Schleifen
23
zahlreiche weitere Logiken (Modal, temporal, MSO…)
maßgeschneidert auf die jeweilige Anwendung
(Informatik: Algorithmen, Automaten;
Mathematik: Beweistheorie, Computerbeweise)
Trade-Off zwischen Aussagekraft und Komplexität
Erfüllbarkeit, Model Checking; algor. Modelltheorie…
24
Martin Ziegler
Axiomatisierung, Entscheidbarkeit (Gödel), …
∀x ∃y: x=0 ∨ x·y=1=y·x
Bislang nur Aussagenlogik:
• keine Quantoren ( → Prädikatenlogik)
• Variablen nur für Wahrheitswerte
( → Logik erster Stufe)
Ausblick
Martin Ziegler
Theorem (Kompaktheitssatz):
Eine Menge Boole'scher Ausdrücke ist genau
dann erfüllbar, wenn jede endliche Teilmenge
erfüllbar ist.
Sei Φ eine Menge Boole'scher Ausdrücke.
Wie beweisen, wenn sie erfüllbar ist?
Lemma von König:
Jeder unendliche endlich-verzweigende Baum
besitzt einen unendlichen Pfad.
Beispiel:
Beweis:
Gegenbeispiel:
Kompaktheitssatz / unendliche Formelmengen
……
……
……
Courtesy of Joel D. Hamkins
Faust als Finanz-Spekulant
handelt mit dem Teufel:
Gegen jeden eigenen Dollar
bekommt er zwei neue.
Und am Ende?
(Schülerpraktikum 2012)
Unendlichkeit
Martin Ziegler
22
"Theorem:" x╞ (x∧y)∨¬y semant. Beweis: Wertetab.
Syntakt. Beweis, schrittweise Ableitung aus Axiomen:
c) x╞ y,¬y
a) x,y╞ y
g) x╞ x∧y,¬y d) x╞ (x∧y)∨¬y
a) x╞ x,¬y
"Theorem:" ψ╞ ¬¬ψ a) ψ╞ψ d) ψ,¬ψ╞{} e) ψ╞¬¬ψ
a) ψ╞ψ e) {}╞ψ,¬ψ d) ¬¬ψ╞ψ
"Theorem:" ¬¬ψ╞ ψ
a) ϕ╞ψ,ϕ d) ϕ╞ψ∨ϕ f)
"Theorem:" ϕ∨ψ╞ ψ∨ϕ a) ψ╞ψ,ϕ d) ψ╞ψ∨ϕ ϕ∨ψ╞ψ∨ϕ
Regeln (Axiomschemata):
a) Φ,ϕ╞ Ψ,ϕ
d) Φ╞Ψ,ϕ,ψ ⇒ Φ╞Ψ,ϕ∨ψ
b) Φ╞Ψ,ϕ
e) Φ,ϕ,ψ╞Ψ ⇒ Φ,ϕ∧ψ ╞Ψ
⇒ Φ,¬ϕ╞Ψ
f) Φ,ϕ╞Ψ & Φ,ψ╞Ψ ⇒ Φ,ϕ∨ψ╞Ψ
c) Φ,ϕ╞Ψ
g) Φ╞Ψ,ϕ & Φ╞Ψ,ψ ⇒ Φ╞Ψ,ϕ∧ψ
⇒ Φ╞Ψ,¬ϕ21
Martin Ziegler
Beweise im Sequenzenkalkül