¨Ubungen zur Vorlesung Mechanik und Quantenmechanik SS 2016

Übungen zur Vorlesung Mechanik und Quantenmechanik SS 2016
Prof. Dr. Wolfgang Kinzel
Aufgabe 19: Dreifachspaltexperiment
Ein Elektronenstrahl treffe auf einen Schirm mit 3 Spalten j = 1, 2, 3. Die durchgehenden
Elektronen werden vom Detektor D registriert und gezählt. Die Amplitude für das Ereignis:
j]. Wenn man nur
”Elektron läuft durch Spalt j und wird von D gezählt” sei Φj = A exp[ 2πi
3
den Spalt j = 1 öffnet, sollen pro Zeiteinheit 1000 Teilchen gezählt werden.
Wieviele Teilchen werden pro Zeiteinheit registriert, wenn
a)
b)
c)
d)
nur der Spalt j = 2 geöffnet wird,
nur die Spalte j = 1 und j = 2 geöffnet werden,
alle Spalte geöffnet werden,
alle Spalte geöffnet werden und zusätzlich die Elektronen am Spalt j = 1 durch einen
weiteren Detektor, der die Amplitude Φ1 nicht ändert, registriert werden ?
Aufgabe 20: Unschärferelation
Es sei Ψ(x) eine normierte Wellenfunktion in einer Raumdimension, die für |x| → ∞ genügend
stark abfällt.
1
d2
i≤− .
2
dx
4
Dabei ist allgemein der quantenmechanische Erwartungswert definiert als
Z
hAi = Ψ∗ (x) A Ψ(x) dx,
a) Zeigen Sie:
hx2 i h
Ω
wobei A der Operator, Ψ(x) die Wellenfunktion und Ω der Ortsraum ist.
Z∞
Z∞
2
d2
d
Hier also hx2 i =
Ψ∗ (x) x2 Ψ(x) dx und analog h 2 i =
Ψ∗ (x) 2 Ψ(x) dx.
dx
dx
−∞
−∞
Hinweis: Starten Sie mit der für jedes reelle α gültigen Ungleichung
2
Z∞ dΨ
α x Ψ +
dx , dann das Betragsquadrat ausführen und partiell integrieren, so
0≤
dx −∞
dass die obigen Mittelwerte entstehen.
b) Wie folgt daraus die Unschärferelation hx̂2 i hp̂2 i ≥
~2
?
4
c) Wer hat eine Idee, wie man auf ähnliche Weise die allgemeine Heisenbergsche Unschärfere
~2
beweisen könnte ?
lation (x̂ − hx̂i)2 (p̂ − hp̂i)2 ≥
4
Hinweis: Der Impulsoperator ist definiert als p̂ =
~ d
.
i dx
Aufgabe 21: Gaußintegrale
1
C
2
Es sei die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) = √ e− 2 a x +b x der Zufallsgröße x mit a, b ∈ R und
2π
a > 0 gegeben. Der Erwartungswert einer eindimensionalen Zufallsvariable mit Dichtefunktion
p(x) ist allgemein definiert als
Z∞
hxi =
x p(x) dx.
−∞
Berechnen Sie
a) die Normierung C,
b) den Mittelwert hxi ,
c) das Schwankungsquadrat (= Varianz von x) ∆2 x = h(x − hxi)2 i .
Z ∞
√
1 2
e− 2 x dx = 2 π .
Hinweis: Benutzen Sie
−∞
Besprechung am 01.06.2016
Web-Seite der Vorlesung:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=5900