formelsammlung statistik - Department für Raum, Landschaft und

FORMELSAMMLUNG
STATISTIK
Michael Melcher
Gregor Laaha, Friedrich Leisch, Bernhard Spangl
Universität für Bodenkultur
Department für Raum, Landschaft und Infrastruktur
Institut für Angewandte Statistik & EDV
Peter-Jordan-Straße 82, 1190 Wien
http://statistik.boku.ac.at/
c
1993-2016,
alle Rechte vorbehalten
10. Juni 2016
1
Beschreibende Statistik – Kenngrößen
Ausgangssituation: Stichprobe bzw. Rohdaten x1 , x2 , . . . , xn (n . . . Stichprobenumfang, xi . . .
Merkmalsausprägung der i-ten Beobachtung).
1.1
Häufigkeiten & empirische Verteilungsfunktion
Sind a1 , a2 , . . . , ak die k verschiedenen Werte in der Stichprobe, so bezeichnet
hj = h(aj ) = # {xi : xi = aj }
die absoluten und
hj
n
die relativen Häufigkeiten für j = 1, . . . , k. Die absolute kumulierte Häufigkeitsverteilung
H(x) ist gegeben durch
X
h(aj ),
H(x) = # {xi : xi ≤ x} =
fj = f (aj ) =
j:aj ≤x
die relative kumulierte Häufigkeitsverteilung (oder empirische Verteilungsfunktion)
Fn (x) = F̂n (x) durch
X
H(x)
F̂n (x) = Fn (x) = F (x) =
=
f (aj ).
n
j:aj ≤x
1.2
Ränge und Quantile
• x(i) in der aufsteigend sortierten Stichprobe
Minimum = x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n−1) ≤ x(n) = Maximum
bezeichnet man als i-te Ordnungsstatistik, den geklammerten Index nennt man den Rang
einer Beobachtung. Bei Bindungen, d.h. k ≥ 2 der xi sind identisch, erhalten diese k Beobachtungen denselben durchschnittlichen Rang.
• Das α−Quantil qα (0 < α < 1) ist definiert als
qα = x(bnαc+1) = x(dnαe) ,
qα ∈ [x(nα) , x(nα+1) ],
wenn nα nicht ganzzahlig,
wenn nα ganzzahlig.
Dabei ist bnαc die zu nα nächstkleinere, dnαe die nächstgrößere ganze Zahl.
1.3
Lagemaße
• arithmetisches Mittel (Stichprobenmittel) x (oder xn ) aus Rohdaten bzw. Häufigkeitsdaten
n
k
k
X
1X
1X
x=
xi =
aj · h(aj ) =
aj · f (aj )
n
n
i=1
j=1
• Stichprobenmedian xmed = x̃ = q0.5
x((n+1)/2)
xmed = x̃ = q0.5 =
(x(n/2) + x(n/2+1) )/2
1
j=1
falls n ungerade
falls n gerade
1.4
Streuungsmaße
• empirische Standardabweichung (Stichprobenstandardabweichung) s
v
v
u
u
n
n
u 1 X
u 1 X
2
t
s=
(xi − x) = t
x2i − n · x2
n−1
n−1
i=1
i=1
Das Quadrat s2 bezeichnet man als empirische Varianz oder Stichprobenvarianz.
• Variationskoeffizient (coefficient of variation) cv
cv =
s
x
• MAD (mean absolute deviation) bzw. Medmed
Medmed = MAD = mediani=1,...,n {|xi − x̃|}
• Interquartilsabstand IQR
IQR = q0.75 − q0.25
• Spannweite (Spannbreite) R
R = x(n) − x(1) = maxi=1,...,n xi − mini=1,...,n xi
1.5
Beurteilung der Gestalt
• empirische Schiefe γ̂1
n
γ̂1 =
1X
n
i=1
xi − x
s
3
• empirische Wölbung/Kurtosis γ̂2 & Exzeß
n
1X
Wölbung = Kurtosis = γ̂2 =
n
i=1
Exzess = γ̂2 − 3
2
xi − x
s
4
2
Normalverteilungsverfahren
2.1
Konfidenzintervalle und Tests für µ
Ausgangssituation:
Stichprobe x1 , . . . , xn als Realisation einer normalverteilten Zufallsgröße
X ∼ N µ, σ 2 bzw. X ∼ N µ, σ02 für den Fall, dass σ 2 = σ02 bekannt ist. Für eine Irrtumswahrscheinlichkeit α ∈ (0, 1) sind die Grenzen eines (1 − α) Konfidenzintervalls (µu , µo ) für den
Mittelwertparameter µ bzw. die Grenzen des Annahmebereichs (cu , co ) für einen Mittelwerttest mit
Signifikanzniveau α den folgenden Tabellen zu entnehmen.
Teststatistik t
σ
H0
σ
bekannt
σ = σ0
t=
Grenzen
µo
µu
σ0
= x ± z1−α/2 √
n
σ0
µo = x + z1−α √
n
µu = −∞
bekannt
σ = σ0
µo = ∞
σ0
µu = x − z1−α √
n
µo
µu
unbekannt
Annahmebereich (cu , co )
µ = µ0
co
cu
µ ≤ µ0
co = z1−α
cu = −∞
µ ≥ µ0
co = ∞
cu = −z1−α
= x ± tn−1;1−α/2 √sn
= ±z1−α/2
t=
µo = x + tn−1;1−α √sn
µu = −∞
µo = ∞
µu = x − tn−1;1−α √sn
unbekannt
x−µ
√0
σ/ n
x−µ
√0
s/ n
µ = µ0
co
cu
µ ≤ µ0
co = tn−1;1−α
cu = −∞
µ ≥ µ0
co = ∞
cu = −tn−1;1−α
= ±tn−1;1−α/2
Quantile der Standardnormalverteilung sowie der tf -Verteilungen sind in den Tabellen A.1 und
A.2 zu finden.
3
2.2
Konfidenzintervalle und Tests für σ 2
Ausgangssituation:
Stichprobe x1 , . . . , xn als Realisation einer normalverteilten Zufallsgröße X ∼ N µ, σ 2 . Für eine Irrtumswahrscheinlichkeit α ∈ (0, 1) sind die Grenzen eines
(1 − α) Konfidenzintervalls (σu2 , σo2 ) für die Varianz σ 2 bzw. die Grenzen des Annahmebereichs
(cu , co ) für einen Varianztest mit Signifikanzniveau α den folgenden Tabellen zu entnehmen.
Teststatistik t
Grenzen
H0
Annahmebereich (cu , co )
σu2
σo2
(n − 1)s2 /χ2n−1;1−α/2
(n − 1)s2 /χ2n−1;α/2
0
(n − 1)s2 /χ2n−1;α
σ 2 = σ02
χ2n−1;α/2
χ2n−1;1−α/2
(n − 1)s2 /χ2n−1;1−α
∞
σ 2 ≤ σ02
0
χ2n−1;1−α
σ 2 ≥ σ02
χ2n−1;α
∞
cu
co
t=
Quantile der χ2f -Verteilungen sind in Tabelle A.3 zu finden.
4
(n−1) s2
σ02
2.3
Vergleich zweier Mittelwerte für unabhängige Stichproben
Ausgangssituation: zwei unabhängige Stichproben
x1 , x2 , . . . , xnX und y1 , y2 , . . . , ynY aus Nor
2
malverteilungen N µX , σX
bzw. N µY , σY2 der Umfänge nX bzw. nY . Für eine Irrtumswahrscheinlichkeit α ∈ (0, 1) sind die Grenzen eines (1 − α) Konfidenzintervalls (∆µu , ∆µo ) für die
Größe ∆µ = µX − µY bzw. die Grenzen des Annahmebereichs (cu , co ) für einen Test der Differenz
∆µ = µX − µY mit Signifikanzniveau α den folgenden Tabellen zu entnehmen.
σX und σY
Grenzen
∆µo
∆µu
bekannt
= (x − y) ± z1−α/2
∆µo = (x − y) + z1−α
∆µu = −∞
q
2
σX
nX
+
2
σY
nY
q
2
σX
nX
+
2
σY
nY
q
2
σX
nX
+
2
σY
nY
∆µo = ∞
∆µu = (x − y) − z1−α
q
(n −1)s2 +(n −1)s2Y
X
Y
X
s =
nX +nY −2
f = nX + nY − 2
∆µo
∆µu
unbekannt
σX = σY = σ
= (x − y) ± s · tf ;1−α/2
∆µo = (x − y) + s · tf ;1−α
q
1
nX
+
1
nY
q
1
nX
+
1
nY
q
1
nX
+
1
nY
∆µu = −∞
∆µo = ∞
∆µu = (x − y) − s · tf ;1−α
s =
f
∆µo
∆µu
unbekannt
σX , σY beliebig
=
q
s2X
nX
s2
X
nX
+
s2Y
n
Y
2
s2
+ nY
Y
2 2 2 s
(nX −1)+ nY
(nY −1)
s2
X
nX
= (x − y) ± s · tf ;1−α/2
∆µo = (x − y) + s · tf ;1−α
∆µu = −∞
∆µo = ∞
∆µu = (x − y) − s · tf ;1−α
5
Y
Teststatistik t
σX und σY
H0
t=
bekannt
Annahmebereich (cu , co )
x−y
r
σ2
X
nX
σ2
+ nY
Y
µX = µ Y
(µX − µY = 0)
co
cu
µX ≤ µ Y
(µX − µY ≤ 0)
co = z1−α
cu = −∞
µX ≥ µ Y
(µX − µY ≥ 0)
co = ∞
cu = −z1−α
t=
= ±z1−α/2
x−y
s×
q
1
nX
+ n1
Y
q
(n −1)s2 +(n −1)s2Y
X
Y
X
s =
nX +nY −2
f = nX + nY − 2
µX = µ Y
co
= ±tf ;1−α/2
(µX − µY = 0)
cu
unbekannt
σX = σY = σ
µX ≤ µ Y
(µX − µY ≤ 0)
co = tf ;1−α
cu = −∞
µX ≥ µ Y
(µX − µY ≥ 0)
co = ∞
cu = −tf ;1−α
t=
x−y
r
s2
X
nX
s2
+ nY
Y
2
s2
+ nY
Y
2 2 2 s
(nX −1)+ nY
(nY −1)
f
unbekannt
σX , σY beliebig
=
s2
X
nX
s2
X
nX
Y
µX = µ Y
(µX − µY = 0)
co
cu
µX ≤ µ Y
(µX − µY ≤ 0)
co = tf ;1−α
cu = −∞
µX ≥ µ Y
(µX − µY ≥ 0)
co = ∞
cu = −tf ;1−α
= ±tf ;1−α/2
Quantile der Standardnormalverteilung sowie der tf -Verteilungen sind in den Tabellen A.1 und
A.2 zu finden.
6
2.4
Vergleich zweier Mittelwerte für abhängige Stichproben
2 ) bzw.
Ausgangssituation: Für zwei Merkmale X und Y aus Normalverteilungen N (µX , σX
2
N (µY , σY ) liegen paarweise Beobachtungen (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) vor.
2.4.1
X − Y normalverteilt
Grenzen der (1 − α) Konfidenzintervalle (∆µu , ∆µo ) für die Größe ∆µ = µX − µY und eine Irrtumswahrscheinlichkeit α bzw. Annahmebereiche (cu , co ) für Tests der Differenz ∆µ = µX − µY
zum Signifikanzniveau
α basierend auf den Differenzen di = xi − yi (i = 1, . . . , n), deren Mittel
P
d = n1 ni=1 di sowie deren empirischer Varianz
n
s2D =
1 X
(di − d)2
n−1
i=1
sind den folgenden Tabellen zu entnehmen.
Teststatistik t
Annahmebereich (cu , co )
H0
cu
∆µu
∆µo
sD
(x − y) − tn−1;1−α/2 √
n
sD
(x − y) + tn−1;1−α/2 √
n
−∞
sD
(x − y) + tn−1;1−α √
n
(x − y) −
sD
tn−1;1−α √
n
∞
x−y
√
sD / n
t=
µX = µY
(µX − µY = 0)
µX ≤ µY
(µX − µY ≤ 0)
µX ≥ µY
(µX − µY ≥ 0)
co
−tn−1;1−α/2
tn−1;1−α/2
−∞
tn−1;1−α
−tn−1;1−α
∞
Quantile der tf -Verteilungen sind in Tabelle A.2 zu finden.
2.4.2
X − Y beliebig verteilt
Näherungsweise (1 − α) Konfidenzintervalle (∆µu , ∆µo ) für ∆µ = µX − µY und Irrtumswahrscheinlichkeit α bzw. Annahmebereiche (cu , co ) der Tests zum Signifikanzniveau α für die Differenz
∆µ = µX − µY bei großen Stichprobenumfängen (Faustregel n ≥ 30) sind – mit den gleichen
Bezeichnungen wie im vorigen Abschnitt – den nachfolgenden Tabellen zu entnehmen.
Teststatistik t
H0
∆µu
∆µo
sD
(x − y) − z1−α/2 √
n
sD
(x − y) + z1−α/2 √
n
−∞
sD
(x − y) + z1−α √
n
(x − y) −
sD
z1−α √
n
Annahmebereich (cu , co )
cu
t=
µX = µY
(µX − µY = 0)
µX ≤ µY
(µX − µY ≤ 0)
µX ≥ µY
(µX − µY ≥ 0)
∞
Quantile der Standardnormalverteilung sind in Tabelle A.1 zu finden.
7
co
x−y
√
sD / n
−z1−α/2
z1−α/2
−∞
z1−α
−z1−α
∞
2.5
Vergleich zweier Varianzen
Ausgangssituation: zwei unabhängige Stichproben x1 , x2 , . . . , xnX und y1 , y2 , . . . , ynY der
2 ) bzw. N (µ , σ 2 ). s2 und s2 stehen für die
Umfänge nX bzw. nY aus Normalverteilungen N (µX , σX
Y
Y
X
Y
entsprechenden empirischen Varianzen. Annahmebereiche (cu , co ) der Tests mit Signifikanzniveau α
für einen Vergleich der Varianzen finden sich in nachfolgender Tabelle.
Teststatistik t
H0
Annahmebereich (cu , co )
cu
co
t=
s2X
s2Y
σX = σY
FnX −1,nY −1;α/2
FnX −1,nY −1;1−α/2
σX ≤ σY
0
FnX −1,nY −1;1−α
σX ≥ σY
FnX −1,nY −1;α
∞
Quantile der Ff1 ,f2 -Verteilungen sind in Tabelle A.4 zu finden.
8
3
3.1
Varianzanalyse
Einfache Varianzanalyse
Ausgangssituation: Ji Beobachtungen einer quantitativen Variable y zu den I Stufen eines Faktors
A:
yij
(i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , Ji )
und das zugehörige Modell
yij = µ + αi + eij
(i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , Ji )
mit Gesamtmittel µ, Effekten αi und Fehlern eij . Getestet wird die Nullhypothese HA
HA : α1 = α2 = . . . = αI = 0
Der ANOVA Table im Falle der einfachen Varianzanalyse lautet
Ursprung der
Variabilität
SS
d.f.
MS
F
p
I −1
SSA
I−1
M SA
M Se
pA
Fehler
Ji (y i. − y .. )2
PI PJi
2
i=1
j=1 (yij − y i. )
Total
PI
PI
A
i=1
i=1
PJi
j=1
(yij − y .. )2
PI
Ji − I
PI SSe
i=1 Ji −I
−
−
PI
Ji − 1
−
−
−
i=1
i=1
mit den Abkürzungen
y i. =
Ji
1 X
yij
Ji
y .. = PI
und
1
Ji
I X
X
i=1 Ji i=1 j=1
j=1
yij .
Testentscheidung: Unter der Nullhypothese HA gilt
F =
M SA
∼ FI−1,PI Ji −I ,
i=1
M Se
weshalb die Nullhypothese HA zum Signifikanzniveau α zu verwerfen ist, falls
F =
M SA
> FI−1,PI Ji −I;1−α
i=1
M Se
Quantile der Ff1 ,f2 -Verteilungen sind in Tabelle A.4 zu finden.
Die Schätzung der Modellparameter erfolgt mittels
µ̂ = y ..
und α̂i = y i. − y .. .
9
3.2
Zweifache Varianzanalyse ohne Wechselwirkungen
Im Falle der zweifachen Varianzanalyse ohne Wechselwirkungen liegen Beobachtungen
yijk
(i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K)
zu den I bzw. J Stufen zweier Faktoren A und B mit jeweils K Wiederholungen vor. Es wird das
Modell
yijk = µ + αi + βj + eijk
(i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K)
mit Gesamtmittel µ, Effekten αi und βj sowie Fehlern eijk unterstellt. Getestet werden die
Nullhypothesen HA und HB :
HA : α1 = . . . = αI = 0
HB : β1 = . . . = βJ = 0
Der ANOVA Table der zweifachen Varianzanalyse ohne Wechselwirkungen lautet
Ursprung der
Variabilität
SS
d.f.
MS
F
p
i
JK(y i.. − y ... )2
I −1
SSA
I−1
M SA
M Se
pA
j
IK(y .j. − y ... )2
J −1
SSB
J−1
M SB
M Se
pB
IJK − I
−J +1
SSe
IJK−I−J+1
−
−
IJK − 1
−
−
−
A
P
B
P
Fehler
P
ijk (yijk
Total
P
ijk (yijk
− y i..
− y .j. + y ... )2
− y ... )2
mit den Abkürzungen
y ...
I
J K
1 XXX
=
yijk
IJK
y i..
i=1 j=1 k=1
J K
1 XX
=
yijk
JK
j=1 k=1
y .j.
I
K
1 XX
=
yijk
IK
i=1 k=1
Testentscheidung: unter den Nullhypothesen HA bzw. HB gilt
FA =
M SA
∼ FI−1,IJK−I−J+1
M Se
und
FB =
M SB
∼ FJ−1,IJK−I−J+1
M Se
weshalb HA verworfen wird, falls
FA > FI−1,IJK−I−J+1;1−α
und HB verworfen wird, falls
FB > FJ−1,IJK−I−J+1;1−α .
Quantile der Ff1 ,f2 -Verteilungen sind in Tabelle A.4 zu finden.
Schätzwerte für die Modellparameter ergeben sich zu
µ̂ = y ...
α̂i = y i.. − y ...
10
β̂j = y .j. − y ...
3.3
Zweifache Varianzanalyse mit Wechselwirkungen
Werden zusätzlich Wechselwirkungen (αβ)ij berücksichtigt, gelangt man zum Modell
yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + eijk
(i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K)
mit der zusätzlichen Nullhypothese HAB
HAB : (αβ)11 = . . . = (αβ)IJ = 0.
Der ANOVA Table für die zweifache Varianzanalyse mit Wechselwirkungen lautet
Ursprung der
Variabilität
SS
d.f.
MS
F
p
A
P
JK(y i.. − y ... )2
I −1
SSA
I−1
M SA
M Se
pA
B
P
IK(y .j. − y ... )2
J −1
SSB
J−1
M SB
M Se
pB
AB
P
K(y ij. − y i..
− y .j. + y ... )2
(I − 1)(J − 1)
SSAB
(I−1)(J−1)
M SAB
M Se
pAB
Fehler
P
− y ij. )2
IJ(K − 1)
SSe
IJ(K−1)
−
−
Total
P
− y ... )2
IJK − 1
−
−
−
i
j
ij
ijk (yijk
ijk (yijk
mit der Abkürzung
y ij.
K
1 X
yijk
=
K
k=1
Testentscheidung: unter den Nullhypothesen HA , HB und HAB gilt
MS
FA = M SA ∼ FI−1,IJ(K−1)
e
MS
FB = M SB ∼ FJ−1,IJ(K−1)
e
FAB =
M SAB
M Se ∼ F(I−1)(J−1),IJ(K−1) ,
weshalb HA verworfen wird, falls
FA > FI−1,IJ(K−1);1−α ,
HB verworfen wird, falls
FB > FJ−1,IJ(K−1);1−α
und HAB verworfen wird, falls
FAB > F(I−1)(J−1),IJ(K−1);1−α .
Quantile der Ff1 ,f2 -Verteilungen sind in Tabelle A.4 zu finden.
Die Schätzwerte für die Modellparameter lauten
µ̂ = y ...
α̂i = y i.. − y ...
β̂j = y .j. − y ...
11
[ =y −y −y +y
(αβ)
ij.
i..
.j.
...
ij
3.4
Varianztests
Ausgangssituation: I Stichproben mit Umfängen n1 , . . . , nI
y11
y21
yI1
mit
mit
. . . y1n1
. . . y2n2
...
. . . yInI
mit
Var(Y1j1 ) = σ12
Var(Y2j2 ) = σ22
...
Var(YIjI ) = σI2
j1 = 1, . . . , n1
j2 = 1, . . . , n2
...
jI = 1, . . . , nI
sowie die zu testende Nullhypothese H0 : σ12 = σ22 = . . . = σI2 .
3.4.1
Bartlett Test
Die Testgröße b lautet
I
1X
s2
b=
(ni − 1) · ln 2 =
c
si
i=1
" I
!
#
I
X
X
1
2
2
=
(ni − 1) · ln s −
(ni − 1) · ln si
c
i=1
i=1
mit den I Gruppen-Varianzen s2i und der gemittelten Stichprobenvarianz s2
n
s2i
i
1 X
(yij − y i. )2
=
ni − 1
1
s2 = PI
i=1 (ni
j=1
− 1)
I
X
(ni − 1)s2i
i=1
sowie der Konstante c
I
X
1
c=
3 · (I − 1)
i=1
1
1
− PI
ni − 1
i=1 (ni − 1)
!
+1
Unter H0 ist die Testgröße b annähernd χ2 –verteilt mit I − 1 Freiheitsgraden. H0 wird zum Niveau
α verworfen, wenn b > χ2I−1;1−α .
Quantile der χ2f -Verteilungen sind in Tabelle A.3 zu finden.
3.4.2
Levene Test
Basierend auf den Hilfsgrößen zij = |yij − y i. | und dem Gesamtstichprobenumfang n = n1 + . . . + nI
lautet die Teststatistik w des Levene Tests
I
1 X
ni (z i. − z .. )2
I −1
i=1
w=
1
n−I
mit den Mittelwerten
z i. =
ni
1 X
zij
ni
ni
I X
X
(zij − z i. )2
i=1 j=1
I
und z .. =
j=1
n
i
1 XX
zij
n
i=1 j=1
Unter der Nullhypothese gilt w ∼ FI−1,n−I . H0 wird daher bei einem Test zum Niveau α verworfen,
∗ = |y − ỹ |
wenn w > FI−1,n−I;1−α . In einer Variante des Levene Tests verwendet man die Größen zij
ij
i.
(Stichprobenmediane anstatt der Stichprobenmittel).
Quantile der Ff1 ,f2 -Verteilungen sind in Tabelle A.4 zu finden.
12
4
Korrelations- und Regressionsanalyse
Ausgangssituation: Stichprobe paarweiser Beobachtungen (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ).
4.1
4.1.1
Korrelation
(Pearson-)Korrelationskoeffizient
• Stichprobenkovarianz sxy :
sxy
n
n
X
i=1
i=1
1 X
1
=
(xi − x)(yi − y) =
n−1
n−1
!
x i yi − n · x · y
• Stichprobenkorrelationskoeffizient rxy :
sxy
=
rxy =
sx sy
Pn
(xi − x)(yi − y)
= pPn i=1
=
Pn
2
2
i=1 (xi − x)
i=1 (yi − y)
Pn
i=1 xi yi − nxy
=q P
Pn
n
2
2
2
2
i=1 xi − nx
i=1 yi − ny
wobei s2x und s2y die Stichprobenvarianzen der x- bzw. y-Werte bedeuten (und daher sx und
sy die Stichprobenstandardabweichungen):
n
s2x
1 X
=
(xi − x)2
n−1
n
und
i=1
s2y
1 X
(yi − y)2
=
n−1
i=1
• Test auf Unkorreliertheit (H0 : ρX,Y = 0): Unter H0 ist die Testgröße
√
rxy n − 2
t= q
2
1 − rxy
verteilt nach tn−2 . Die Testentscheidung zum Niveau α lautet
>
ablehnen
tn−2;1−α/2 ⇒ H0
|t|
≤
beibehalten
Quantile der tf -Verteilungen sind in Tabelle A.2 zu finden.
4.1.2
Spearman Korrelationskoeffizient
Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient rS verwendet anstatt der Originaldaten (xi , yi ) die
Ränge, welche – getrennt voneinander – für die xi und yi bestimmt werden. Bezeichne ri den Rang
von xi und si den von yi , so ergibt sich rS zu
Pn
r) (si − s)
i=1 (ri −q
rS = qP
n
2 Pn
2
i=1 (ri − r)
i=1 (si − s)
wobei r und s die arithmetischen Mittel der Ränge darstellen. Diese Darstellung lässt sich erheblich
vereinfachen zu
P
6 · ni=1 d2i
rS = 1 −
(n − 1) n (n + 1)
wobei di := ri − si die Rangdifferenz des Beobachtungspaars i darstellt.
13
4.2
Einfache lineare Regressionsanalyse
• Modell der einfachen linearen Regression:
Y | x = a + bx + E
mit Fehlern E ∼ N (0, σ 2 ).
• Schätzung der Regressionskoeffizienten anhand einer Stichprobe (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )
des Umfangs n:
sxy
b̂ = 2
und
â = y − b̂x
sx
mit der Stichprobenkovarianz sxy und der Stichprobenvarianz der x-Werte s2x .
• Vorhergesagte/mittels der Regression modellierte Werte ŷ:
ŷi = â + b̂ · xi
• Schätzung der Fehlervarianz σ 2 :
n
1 X
σ̂ = s =
(yi − â − b̂xi )2
n−2
2
2
i=1
n−1 2
(s − b̂2 s2x )
=
n−2 y
• Beidseitiges (1 − α) Konfidenzintervall für die Fehlervarianz σ 2 :
(n − 2)s2
(n − 2)s2
2
≤
σ
≤
χ2n−2;1−α/2
χ2n−2;α/2
• Beidseitige (1 − α) Konfidenzintervalle für Regressionskoeffizienten:
s
1
x2
â ± tn−2;1−α/2 · s ·
+
n (n − 1)s2x
s
b̂ ± tn−2;1−α/2 · √
sx n − 1
• Tests zum Niveau α für die Regressionskoeffizienten:
Test für a:
H0 : a = a0
Die Teststatistik
vs. H1 : a 6= a0
â − a0
t=
s
q
1
n
+
x2
(n−1)s2x
ist unter H0 t-verteilt mit n−2 Freiheitsgraden. H0 wird verworfen, wenn |t| > tn−2;1−α/2 .
14
Test für b:
H0 : b = b0
vs. H1 : b 6= b0
Die Teststatistik
t=
b̂ − b0
√
s/( n − 1sx )
ist unter H0 t-verteilt mit n−2 Freiheitsgraden. H0 wird verworfen, wenn |t| > tn−2;1−α/2 .
• Bestimmtheitsmaß R2 :
Pn
(yi − ŷi )2
(n − 2)s2
R = 1 − Pi=1
=
1
−
n
2
(n − 1)s2y
i=1 (yi − y)
2
• Konfidenz- und Prognoseband:
(1 − α) Konfidenzintervall des Erwartungswerts für einen y–Wert an der Stelle x0 :
s
!
1
(x0 − x)2
y ∈ â + b̂x0 ± tn−2;1−α/2 · s ·
+
n (n − 1)s2x
(1 − α) Prognoseintervall für einen y–Wert an der Stelle x0 :
s
!
1
(x0 − x)2
y ∈ â + b̂x0 ± tn−2;1−α/2 · s · 1 + +
n (n − 1)s2x
Quantile der tf -Verteilungen sind in Tabelle A.2, Quantile der χ2f -Verteilungen in Tabelle A.3
zu finden.
15
5
5.1
Nichtparametrische Verfahren
Wilcoxon-Vorzeichenrangtest
Für eine Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn und einen ein- oder zweiseitigen Test für den Median der
Population x0.5 werden die Hilfsgrößen
x0i = xi − ζ0
und anschließend die Ränge ri der Absolutbeträge |x0i | gebildet. Tritt dabei x0i = 0 auf, wird diese
Beobachtung aus der Stichprobe eliminiert. Die Testgröße t+ lautet
t+ =
X
(Rangzahlen der positiven x0i ) =
n
X
ci ri
i=1
mit
ci =
1 falls x0i > 0
0 falls x0i < 0
Annahmebereiche (cu , co ) in den verschiedenen Testsituationen sind der folgenden Tabelle zu entnehmen, kritische Werte der Einstichproben Wilcoxon Verteilung wn finden sich in Tabelle A.5.
Teststatistik t+
H0
Annahmebereich (cu , co )
cu
co
t+ =
5.2
Pn
i=1 ci ri
x0.5 = ζ0
wn;α/2
wn;1−α/2
x0.5 ≥ ζ0
wn;α
n(n + 1)/2
x0.5 ≤ ζ0
0
wn;1−α
Wilcoxon Rangsummentest
Ausgangssituation: zwei unabhängige Stichproben x1,1 , x1,2 , . . . , x1,n1 und x2,1 , x2,2 , . . . , x2,n2 der
Umfänge n1 bzw. n2 als Realisationen der Zufallsgrößen X1 und X2 mit Verteilungsfunktionen F1
und F2 und den Hypothesen (c ∈ R)
H0 : F1 (z) = F2 (z)
vs.
Die Testgröße lautet
wn1 ,n2 =
HA : F1 (z) = F2 (z − c)
n1
X
ri ,
i=1
wobei ri die n1 Rangzahlen der ersten Stichprobe in der vereinigten Stichprobe der Größe n1 + n2
bedeuten. Als Entscheidungsregel eines Tests zum Signifikanzniveau α ergibt sich

wn1 ,n2 < wn2,u
1 ,n2 
oder
⇒ Ablehnung von H0 .

2,o
wn1 ,n2 > wn1 ,n2
16
2,o
mit den α/2 bzw. (1 − α/2) Quantilen wn2,u
1 ,n2 bzw. wn1 ,n2 der Rangsummenverteilung Wn1 ,n2 unter
H0 . Dabei gelten
(n1 + n2 )(n1 + n2 + 1)
wn2,u
=
− wn2,o
1 ,n2
2 ,n1
2
und
(n1 + n2 )(n1 + n2 + 1)
wn2,o
=
− wn2,u
1 ,n2
2 ,n1
2
Die kritischen Werte der Zweistichproben Wilcoxon Verteilung wn1 ,n2 finden sich in Tabelle A.6.
5.3
Kruskal-Wallis Test
Ausgangssituation: Stichproben der Größen n1 , n2 , . . . , nk aus k Verteilungen: xij
1, . . . , k; j = 1, . . . , ni ) sowie das Testproblem
H0 :
(i =
alle k Verteilungen stimmen überein“
”
gegen die Alternative
HA :
mindestens eine Verteilung hat eine andere Lokation“
”
Bezeichne rij den Rang von xij in der gemeinsamen (vereinigten) Stichprobe mit n = n1 + · · · + nk
Messwerten und für jede Gruppe i (i = 1, . . . , k) ri. die Summe der Rangzahlen ihrer Stichprobenwerte
ni
X
ri. =
rij ,
j=1
dann ist die Testgröße gegeben durch
"
#
k
X
1
12
ri.2
t=
− 3(n + 1) .
b n(n + 1)
ni
i=1
Die Korrekturgröße b beträgt
g
b=1−
1 X 3
(tl − tl )
n3 − n
l=1
beim Vorliegen von Bindungen (sonst gilt b = 1). g steht für die Anzahl an verschiedenen Werten
z1 < z2 < . . . < zg in der vereinigten Stichprobe und tl (l = 1, . . . , g) bezeichnet die jeweilige Anzahl
der Messwerte unter den xij , die gleich zl sind.
Die Entscheidungsregel lautet
≤
t
hk;(n1 ,...,nk );1−α
>
⇒
H0
beibehalten
ablehnen
unter Verwendung des (1 − α)–Quantils hk;(n1 ,...,nk );1−α der Verteilung der Prüfgröße unter H0 .
Kritische Werte der Kruskal-Wallis Verteilung hk;(n1 ,...,nk ) finden sich in Tabelle A.7.
17
5.4
Der einfache χ2 –Test
Ausgangssituation: Stichprobe x1 , . . . , xn als Realisation einer Zufallsgröße X mit Wahrscheinlichkeitsverteilung PX sowie eine Zerlegung des Merkmalraums MX in k disjunkte Bereiche (Klassen):
MX = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Kk . Zu untersuchen ist die Behauptung, dass P0 die Verteilung von X ist:
H0 : PX = P0
Die Testgröße lautet
t=
k
X
(yn;l − el )2
el
l=1
mit den beobachteten absoluten Häufigkeiten yn;l für die k Klassen und den unter H0 zu erwartenden Häufigkeiten el (l = 1, . . . , k). Unter H0 ist die Testgröße asymptotisch χ2 –verteilt mit k − 1
Freiheitsgraden, wodurch sich als Entscheidungsregel ergibt
≤
Beibehaltung
2
t
χk−1;1−α ⇒
von H0
>
Ablehnung
Quantile der χ2f -Verteilungen sind in Tabelle A.3 zu finden.
5.5
Der zusammengesetzte χ2 –Test
Ausgangssituation: gleicht der beim einfachen χ2 –Test, allerdings mit der Nullhypothese
H0 : PX ∈ {Pθ : θ ∈ Θ}.
Die Testgröße lautet
t=
k
X
(yn;l − êl )2
êl
l=1
,
wobei êl = n· p̂l = n·Pθ̂ (X ∈ Kl ) die geschätzten erwarteten Häufigkeiten und θ̂ ein Schätzwert für θ
ist (l = 1, . . . , k). Unter H0 ist die Teststatistik asymptotisch χ2 –verteilt mit k−s−1 Freiheitsgraden,
wobei s die Anzahl der zu schätzenden Parameter in der Nullhypothese angibt.
Als Entscheidungsregel ergibt sich somit für einen Test mit Signifikanzniveau α
≤
Beibehaltung
2
t
χk−s−1;1−α ⇒
von H0
>
Ablehnung
Quantile der χ2f -Verteilungen sind in Tabelle A.3 zu finden.
18
5.6
5.6.1
Kolmogorov–Smirnov–Test
Einstichproben–Kolmogorov–Smirnov–Test
Ausgangssituation: Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn (mit empirischer Verteilungsfunktion Fn ) als Realisation einer stetigen Zufallsgröße X mit Verteilungsfunktion FX sowie das Testproblem
H0 : FX = F0 .
Die Teststatistik lautet
t=
√
n dn
mit
dn = sup |F0 (x) − F̂n (x)| = max |F0 (xi ) − F̂n (xi )|,
i=1,...,n
x∈R
also dem maximalen Unterschied zwischen empirischer und hypothetischer Verteilungsfunktion.
Die Testentscheidung für einen Test mit Signifikanzniveau α lautet
≤
Beibehaltung
(1)
t
dn;1−α ⇒
von H0 .
>
Ablehnung
(1)
Kritische Werte dn;1−α für den Einstichproben Kolmogorov Smirnov Test finden sich in Tabelle
A.8.
5.6.2
Zweistichproben–Kolmogorov–Smirnov–Test
Ausgangssituation: Stichproben x1 , x2 , . . . , xnX und y1 , y2 , . . . , ynY (mit empirischen Verteilungsfunktionen F̂X;nX und F̂Y ;nY ) als Realisationen stetiger Zufallsgrößen X und Y mit Verteilungsfunktionen FX und FY . Das Testproblem (Signifikanzniveau α) lautet
H0 : FX = FY .
Die Berechnung der Teststatistik basiert auf dem Maximalabstand zwischen den empirischen Verteilungsfunktionen
dnX ,nY = max |F̂X;nX (t) − F̂Y ;nY (t)|.
t∈R
• Im Fall nX = nY = n lautet die Testgröße
t = n dnX ,nY
(2)
und H0 wird verworfen, falls t > dn;1−α .
• Im Fall nX 6= nY wählt man als Teststatistik
s
r
1
nX nY
t=
dn ,n
1
1 dnX ,nY =
nX + nY X Y
nX + nY
(2)
und verwirft H0 , wenn t > dnX ,nY ;1−α .
(2)
(2)
Kritische Werte dn;1−α und dnX ,nY ;1−α finden sich in den Tabellen A.9 und A.10.
19
6
6.1
Kontingenztafeln
Kreuztabellen
Ausgangssituation: zwei betrachtete Variablen X1 und X2 mit Merkmalsbereichen M1 =
{1, . . . , r} und M2 = {1, . . . , c} , angeordnet in Matrixform (Tabelle 1). pij bezeichne die gemeinsame
Wahrscheinlichkeit
pij = P (X1 = i ∧ X2 = j),
pi. und p.j die Randwahrscheinlichkeiten. Von den insgesamt n Beobachtungen werden nij Objekte mit der Ausprägung i für X1 und j für X2 festgestellt (i = 1, . . . , r; j = 1, . . . , c). Mit den
Randhäufigkeiten
c
r
X
X
ni. =
nij bzw. n.j =
nij
j=1
i=1
ergeben sich Schätzungen für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X1 und X2
p̂i. = ni. /n
bzw. p̂.j = n.j /n
Tabelle 1: Schema einer Kreuztabelle
X2
X1
1
2
..
.
r
6.2
1
2
p11
n11
e11
p21
n21
e21
p12
n12
e12
p22
n22
e22
..
.
..
.
pr1
nr1
er1
p.1
n.1
np.1
pr2
nr2
er2
p.2
n.2
np.2
c
···
···
..
.
···
···
···
χ2 -Test
Die Testgröße des χ2 -Tests lautet
t=
r X
c
X
(nij − êij )2
êij
i=1 j=1
mit den geschätzten erwarteten Häufigkeiten
êij = n p̂i. p̂.j =
20
ni. n.j
n
p1c
n1c
e1c
p2c
n2c
e2c
p1.
n1.
np1.
p2.
n2.
np2.
..
.
..
.
prc
nrc
erc
p.c
n.c
np.c
pr.
nr.
npr.
n
Unter H0 (Unabhängigkeit) ist die Testgröße asymptotisch χ2 -verteilt mit (r −1)(c−1) Freiheitsgraden, was zu folgender Entscheidungsregel für einen Test mit asymptotischem Signifikanzniveau
α führt
Ablehnung (“abhängig”)
>
2
von H0
t
χ(r−1)(c−1);1−α ⇒
Annahme (“unabhängig”)
≤
Quantile der χ2f -Verteilungen sind in Tabelle A.3 zu finden.
Im Fall einer 2 × 2–Tafel lässt sich die Teststatistik des χ2 -Tests vereinfachen zu
t=
n (n11 n22 − n12 n21 )2
n1. n.1 n2. n.2
21
A
A.1
Anhang
Quantile der Standardnormalverteilung
Tabelle A.1: N (0, 1)–Verteilung; γ = Φ(zγ ) = P(Z ≤ zγ )
zγ
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
.0
.1
.2
.3
.4
.5
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
.6
.7
.8
.9
1.0
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
3.1
3.2
3.3
3.4
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
22
A.2
Quantile der t-Verteilungen
Tabelle A.2: t–Verteilung; γ–Quantile tf ;γ ; γ = P(T ≤ tf ;γ )
γ
FG f
.750
.900
.950
.975
.990
.995
1
2
3
4
5
1.000
0.816
0.765
0.741
0.727
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
31.824
6.965
4.541
3.747
3.365
63.659
9.925
5.841
4.604
4.032
6
7
8
9
10
0.718
0.711
0.706
0.703
0.700
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
11
12
13
14
15
0.697
0.695
0.694
0.692
0.691
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
16
17
18
19
20
0.690
0.689
0.688
0.688
0.687
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
21
22
23
24
25
0.686
0.686
0.685
0.685
0.684
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
26
27
28
29
30
0.684
0.684
0.683
0.683
0.683
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
35
40
45
50
55
0.682
0.681
0.680
0.679
0.679
1.306
1.303
1.301
1.299
1.297
1.690
1.684
1.679
1.676
1.673
2.030
2.021
2.014
2.009
2.004
2.438
2.423
2.412
2.403
2.396
2.724
2.704
2.690
2.678
2.668
60
65
70
75
80
0.679
0.678
0.678
0.678
0.678
1.296
1.295
1.294
1.293
1.292
1.671
1.669
1.667
1.665
1.664
2.000
1.997
1.994
1.992
1.990
2.390
2.385
2.381
2.377
2.374
2.660
2.654
2.648
2.643
2.639
85
90
95
100
0.677
0.677
0.677
0.677
1.292
1.291
1.291
1.290
1.663
1.662
1.661
1.660
1.988
1.987
1.985
1.984
2.371
2.368
2.366
2.364
2.635
2.632
2.629
2.626
23
A.3
Quantile der χ2 -Verteilungen
Tabelle A.3: χ2 –Verteilung; γ–Quantile χf ;γ γ = P(X ≤ χf ;γ )
FG
γ
f
.005
.01
.025
.05
.1
.9
.95
.975
.99
.995
1
2
3
4
5
.000
.010
.072
.207
.412
.000
.020
.115
.297
.554
.001
.051
.216
.484
.831
.004
.103
.352
.711
1.145
.016
.211
.584
1.064
1.610
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
5.024
7.378
9.348
11.143
12.832
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
6
7
8
9
10
.676
.989
1.344
1.735
2.156
.872
1.239
1.647
2.088
2.558
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
11
12
13
14
15
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
26.757
28.299
29.819
31.319
32.801
16
17
18
19
20
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
21
22
23
24
25
8.034
8.643
9.261
9.886
10.520
8.897
9.543
10.196
10.856
11.524
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
41.401
42.796
44.181
45.559
46.928
30
13.787
14.953
16.791
18.493
20.599
40.256
43.773
46.979
50.892
53.672
35
17.192
18.509
20.569
22.465
24.797
46.059
49.802
53.203
57.342
60.275
40
45
20.707
24.311
22.164
25.901
24.433
28.366
26.509
30.612
29.051
33.350
51.805
57.505
55.758
61.656
59.342
65.410
63.691
69.957
66.766
73.166
50
55
27.991
31.735
29.707
33.570
32.357
36.398
34.764
38.958
37.689
42.060
63.167
68.796
67.505
73.311
71.420
77.380
76.154
82.292
79.490
85.749
60
65
35.534
39.383
37.485
41.444
40.482
44.603
43.188
47.450
46.459
50.883
74.397
79.973
79.082
84.821
83.298
89.177
88.379
94.422
91.952
98.105
70
75
43.275
47.206
45.442
49.475
48.758
52.942
51.739
56.054
55.329
59.795
85.527
91.061
90.531
96.217
95.023
100.839
100.425
106.393
104.215
110.286
80
85
51.172
55.170
53.540
57.634
57.153
61.389
60.391
64.749
64.278
68.777
96.578
102.079
101.879
107.522
106.629
112.393
112.329
118.236
116.321
122.325
90
95
100
59.196
63.250
67.328
61.754
65.898
70.065
65.647
69.925
74.222
69.126
73.520
77.929
73.291
77.818
82.358
107.565
113.038
118.498
113.145
118.752
124.342
118.136
123.858
129.561
124.116
129.973
135.807
128.299
134.247
140.169
24
A.4
Quantile der F -Verteilungen
Tabelle A.4: Ff1 ,f2 –Verteilung; 0.9–Quantile Ff1 ,f2 ;0.9
P(F ≤ Ff1 ,f2 ;0,9 ) = 0.9;
FG
f2
Ffz ,fn ;0,1 = 1/Ffn ,fz ;0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
39.863
49.500
53.593
55.833
57.240
58.204
58.906
59.439
59.858
60.195
60.706
61.220
61.740
62.265
62.794
63.061
63.168
63.265
8.526
9.000
9.162
9.243
9.293
9.326
9.349
9.367
9.380
9.392
9.408
9.425
9.441
9.458
9.475
9.483
9.486
9.489
5.538
5.462
5.391
5.343
5.309
5.285
5.266
5.252
5.240
5.230
5.216
5.200
5.184
5.168
5.151
5.143
5.139
5.136
4.545
4.325
4.191
4.107
4.051
4.010
3.979
3.955
3.936
3.920
3.896
3.870
3.844
3.817
3.790
3.775
3.769
3.764
4.060
3.780
3.619
3.520
3.453
3.405
3.368
3.339
3.316
3.297
3.268
3.238
3.207
3.174
3.140
3.123
3.116
3.109
3.776
3.463
3.289
3.181
3.108
3.055
3.014
2.983
2.958
2.937
2.905
2.871
2.836
2.800
2.762
2.742
i 2.734
2.727
3.589
3.257
3.074
2.961
2.883
2.827
2.785
2.752
2.725
2.703
2.668
2.632
2.595
2.555
2.514
2.493
2.484
2.476
3.458
3.113
2.924
2.806
2.726
2.668
2.624
2.589
2.561
2.538
2.502
2.464
2.425
2.383
2.339
2.316
2.307
2.298
3.360
3.006
2.813
2.693
2.611
2.551
2.505
2.469
2.440
2.416
2.379
2.340
2.298
2.255
2.208
2.184
2.174
2.165
10
12
15
20
30
60
120
200
500
3.285
2.924
2.728
2.605
2.522
2.461
2.414
2.377
2.347
2.323
2.284
2.244
2.201
2.155
2.107
2.082
2.071
2.062
3.177
2.807
2.606
2.480
2.394
2.331
2.283
2.245
2.214
2.188
2.147
2.105
2.060
2.011
1.960
1.932
1.921
1.911
3.073
2.695
2.490
2.361
2.273
2.208
2.158
2.119
2.086
2.059
2.017
1.972
1.924
1.873
1.817
1.787
1.774
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1.320
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1.239
1.212
2.731
2.329
2.111
1.973
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1.631
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1.522
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1.199
1.168
2.716
2.313
2.095
1.956
1.859
1.786
1.729
1.683
1.644
1.612
1.559
1.501
1.435
1.358
1.260
1.194
1.160
1.122
f1
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7
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200
500
FG
f2
f1
1
2
3
4
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6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
25
Tabelle A.4: Ff1 ,f2 –Verteilung; 0.95–Quantile Ff1 ,f2 ;0.95
P(F ≤ Ff1 ,f2 ;0,95 ) = 0.95;
FG
f2
Ffz ,fn ;0,05 = 1/Ffn ,fz ;0,95
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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241.882
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8.745
8.703
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8.617
8.572
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5.658
5.646
5.635
6.608
5.786
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4.000
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3.581
3.500
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3.284
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2.951
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15
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2.707
2.641
2.588
2.544
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2.403
2.328
2.247
2.160
2.114
2.095
2.078
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2.165
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1.932
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2.175
2.087
2.016
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1.316
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2.144
2.056
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1.927
1.878
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1.516
1.386
1.302
1.263
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3.860
3.014
2.623
2.390
2.232
2.117
2.028
1.957
1.899
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1.772
1.686
1.592
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1.159
f1
1
2
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4
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7
8
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200
500
FG
f2
f1
1
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10
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15
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120
200
500
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3.708
3.478
3.326
3.217
3.135
3.072
3.020
2.978
2.913
2.845
2.774
2.700
2.621
2.580
2.563
2.548
26
Tabelle A.4: Ff1 ,f2 –Verteilung; 0.975–Quantile Ff1 ,f2 ;0.975
P(F ≤ Ff1 ,f2 ;0,975 ) = 0.975;
FG
f2
Ffz ,fn ;0,025 = 1/Ffn ,fz ;0,975
1
2
3
4
5
6
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963.217
968.628
976.708
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39.387
39.398
39.415
39.431
39.448
39.466
39.481
39.490
39.493
39.496
17.443
16.044
15.439
15.101
14.885
14.735
14.624
14.540
14.473
14.419
14.337
14.253
14.167
14.080
13.992
13.947
13.929
13.913
12.218
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9.604
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9.197
9.074
8.980
8.905
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8.751
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8.560
8.461
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8.309
8.289
8.270
10.007
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7.764
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6.757
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6.619
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8.813
7.260
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5.600
5.523
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6.542
5.890
5.523
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4.823
4.761
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4.568
4.467
4.362
4.254
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4.156
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3.705
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4.718
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4.320
4.197
4.102
4.026
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3.868
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3.560
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3.392
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3.347
10
12
15
20
30
60
120
200
500
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4.121
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3.728
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3.436
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3.177
3.073
2.963
2.848
2.787
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2.740
6.200
4.765
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3.199
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3.060
2.963
2.862
2.756
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3.515
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2.837
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2.573
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2.349
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2.156
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2.867
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2.651
2.575
2.511
2.412
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2.786
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2.507
2.412
2.334
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2.515
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1.945
1.825
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2.630
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2.178
2.113
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1.900
1.778
1.640
1.474
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1.320
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5.054
3.716
3.142
2.811
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2.434
2.313
2.217
2.139
2.074
1.971
1.859
1.736
1.596
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1.311
1.254
1.192
f1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
FG
f2
f1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
6.937
5.456
4.826
4.468
4.236
4.072
3.950
3.855
3.779
3.717
3.621
3.522
3.419
3.311
3.198
3.140
3.116
3.094
27
Tabelle A.4: Ff1 ,f2 –Verteilung; 0.99–Quantile Ff1 ,f2 ;0.99
P(F ≤ Ff1 ,f2 ;0,99 ) = 0.99;
FG
f2
1
Ffz ,fn ;0,01 = 1/Ffn ,fz ;0,99
2
3
4
5
6
7
8
9
98.505
99.002
99.169
99.252
99.300
99.335
99.359
99.376
99.389
99.400
99.416
99.434
99.452
99.468
99.484
99.491
99.495
99.499
34.116
30.817
29.457
28.710
28.237
27.911
27.672
27.489
27.347
27.229
27.052
26.872
26.690
26.506
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26.221
26.183
26.148
21.198
18.000
16.694
15.977
15.522
15.207
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14.799
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14.198
14.020
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13.652
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13.520
13.486
16.258
13.274
12.060
11.392
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10.289
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10.051
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9.722
9.552
9.379
9.202
9.111
9.075
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7.718
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6.969
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6.840
6.719
6.620
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6.155
5.992
5.824
5.737
5.702
5.671
11.259
8.649
7.591
7.006
6.632
6.371
6.178
6.029
5.911
5.814
5.667
5.515
5.359
5.198
5.032
4.946
4.911
4.880
10.561
8.022
6.992
6.422
6.057
5.802
5.613
5.467
5.351
5.257
5.111
4.962
4.808
4.649
4.483
4.398
4.363
4.332
10
12
15
20
30
60
120
200
500
10.044
7.559
6.552
5.994
5.636
5.386
5.200
5.057
4.942
4.849
4.706
4.558
4.405
4.247
4.082
3.996
3.962
3.930
9.330
6.927
5.953
5.412
5.064
4.821
4.640
4.499
4.388
4.296
4.155
4.010
3.858
3.701
3.535
3.449
3.414
3.382
8.683
6.359
5.417
4.893
4.556
4.318
4.142
4.004
3.895
3.805
3.666
3.522
3.372
3.214
3.047
2.959
2.923
2.891
8.096
5.849
4.938
4.431
4.103
3.871
3.699
3.564
3.457
3.368
3.231
3.088
2.938
2.778
2.608
2.517
2.479
2.445
7.562
5.390
4.510
4.018
3.699
3.473
3.304
3.173
3.067
2.979
2.843
2.700
2.549
2.386
2.208
2.111
2.070
2.032
7.077
4.978
4.126
3.649
3.339
3.119
2.953
2.823
2.718
2.632
2.496
2.352
2.198
2.028
1.836
1.726
1.678
1.633
6.851
4.787
3.949
3.480
3.174
2.956
2.792
2.663
2.559
2.472
2.336
2.192
2.035
1.860
1.656
1.533
1.477
1.421
6.763
4.713
3.881
3.414
3.110
2.893
2.730
2.601
2.497
2.411
2.275
2.129
1.971
1.794
1.583
1.453
1.391
1.328
6.686
4.648
3.821
3.357
3.054
2.838
2.675
2.547
2.443
2.356
2.220
2.075
1.915
1.735
1.517
1.377
1.308
1.232
f1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
FG
4052
4998
5402
5623
5763
5858
5927
5980
6021
6055
6105
6156
6208
6259
6312
6338
6349
6358
f2
f1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
28
Tabelle A.4: Ff1 ,f2 –Verteilung; 0.995–Quantile Ff1 ,f2 ;0.995
P(F ≤ Ff1 ,f2 ;0,995 ) = 0.995;
FG
f2
Ffz ,fn ;0,005 = 1/Ffn ,fz ;0,995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16205
19991
21606
22491
23046
23428
23705
23915
24081
24215
24417
24620
24826
25034
25243
25348
25391
25429
198.5
199.0
199.1
199.2
199.3
199.3
199.3
199.3
199.3
199.4
199.4
199.4
199.4
199.4
199.4
199.4
199.4
199.4
55.553
49.803
47.473
46.196
45.394
44.838
44.436
44.131
43.882
43.692
43.388
43.085
42.777
42.467
42.149
41.989
41.925
41.867
31.333
26.284
24.259
23.157
22.456
21.975
21.622
21.352
21.139
20.967
20.705
20.438
20.167
19.891
19.611
19.468
19.411
19.359
22.785
18.314
16.530
15.556
14.940
14.513
14.200
13.961
13.772
13.618
13.384
13.146
12.903
12.656
12.402
12.274
12.222
12.175
18.635
14.544
12.916
12.027
11.463
11.073
10.786
10.565
10.391
10.250
10.034
9.814
9.588
9.358
9.122
9.001
8.952
8.908
16.235
12.404
10.882
10.050
9.522
9.155
8.885
8.678
8.514
8.380
8.176
7.967
7.754
7.534
7.309
7.193
7.147
7.104
14.688
11.042
9.596
8.805
8.301
7.952
7.694
7.496
7.339
7.211
7.015
6.814
6.608
6.396
6.177
6.065
6.019
5.978
13.614
10.107
8.717
7.956
7.471
7.134
6.885
6.693
6.541
6.417
6.227
6.032
5.832
5.625
5.410
5.300
5.255
5.215
10
12
15
20
30
60
120
200
500
12.826
9.426
8.081
7.343
6.872
6.545
6.303
6.116
5.968
5.847
5.661
5.471
5.274
5.071
4.859
4.750
4.706
4.666
11.754
8.510
7.226
6.521
6.071
5.757
5.525
5.345
5.202
5.086
4.906
4.721
4.530
4.331
4.123
4.015
3.971
3.931
10.798
7.701
6.476
5.803
5.372
5.071
4.847
4.675
4.536
4.424
4.250
4.070
3.883
3.687
3.480
3.372
3.328
3.287
9.944
6.986
5.818
5.174
4.762
4.472
4.257
4.090
3.956
3.847
3.678
3.502
3.318
3.123
2.916
2.806
2.760
2.719
9.180
6.355
5.239
4.623
4.228
3.949
3.742
3.580
3.450
3.344
3.179
3.006
2.823
2.628
2.415
2.300
2.251
2.207
8.495
5.795
4.729
4.140
3.760
3.492
3.291
3.134
3.008
2.904
2.742
2.570
2.387
2.187
1.962
1.834
1.779
1.726
8.179
5.539
4.497
3.921
3.548
3.285
3.087
2.933
2.808
2.705
2.544
2.373
2.188
1.984
1.747
1.605
1.541
1.478
8.057
5.441
4.408
3.837
3.467
3.206
3.010
2.856
2.732
2.629
2.468
2.297
2.112
1.905
1.661
1.512
1.442
1.369
7.950
5.355
4.330
3.763
3.396
3.137
2.941
2.789
2.665
2.562
2.402
2.230
2.044
1.835
1.584
1.425
1.346
1.260
f1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
FG
f2
f1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
120
200
500
29
A.5
Quantile der Einstichproben Wilcoxon Verteilungen
Tabelle A.5: Wilcoxon–Vorzeichenrangtest; kritische Werte wn;γ
n
wn;0.01
wn;0.025
wn;0.05
wn;0.1
wn;0.9
wn;0.95
wn;0.975
wn;0.99
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
0
1
2
4
6
8
10
13
16
20
24
28
33
38
44
0
0
1
3
4
6
9
11
14
18
22
26
30
35
41
47
53
0
1
3
4
6
9
11
14
18
22
26
31
36
42
48
54
61
1
3
4
6
9
11
15
18
22
27
32
37
43
49
56
63
70
8
11
16
21
26
33
39
47
55
63
72
82
92
103
114
126
139
9
13
17
23
29
35
43
51
59
68
78
88
99
110
122
135
148
10
14
19
24
31
38
45
54
62
72
82
93
105
117
129
142
156
10
14
20
26
33
40
48
57
66
77
88
99
111
124
137
151
165
30
A.6
Quantile der Zweistichproben Wilcoxon Verteilungen
Tabelle A.6: Wilcoxon–Rangsummentest; γ–Quantile wn1 ,n2 ;γ
1. Zeile: γ = 0.025 ; 2. Zeile: γ = 0.05 ; 3. Zeile: γ = 0.1
n2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
3
3
3
3
4
3
3
4
3
4
5
3
4
5
3
4
5
4
5
6
4
5
6
4
5
7
4
5
7
5
6
8
5
6
8
5
7
8
5
7
9
3
6
6
7
6
7
8
6
7
8
7
8
9
8
9
10
8
9
11
9
10
12
9
11
12
10
11
13
10
12
14
11
12
15
11
13
16
12
14
17
12
14
17
4
10
10
11
10
11
12
11
12
14
12
13
15
13
14
16
14
15
17
15
16
18
15
17
20
16
18
21
17
19
22
18
20
23
19
21
24
20
22
26
21
23
27
5
15
16
17
16
17
18
17
18
20
18
20
21
19
21
23
21
22
24
22
24
26
23
25
28
24
27
29
25
28
31
27
29
33
28
31
34
29
32
36
30
34
38
6
21
22
23
23
24
25
24
25
27
25
27
29
27
29
31
28
30
33
30
32
35
32
34
37
33
36
39
35
38
41
36
39
43
38
41
45
39
43
47
41
45
49
7
28
29
30
30
31
33
32
33
35
34
35
37
35
37
40
37
40
42
39
42
45
41
44
47
43
46
50
45
48
52
47
50
55
49
53
57
51
55
60
53
57
62
8
37
38
39
39
40
42
41
42
44
43
45
47
45
47
50
47
50
53
50
52
56
52
55
59
54
57
61
56
60
64
59
63
67
61
65
70
63
68
73
66
70
76
9
46
47
48
48
50
51
50
52
55
53
55
58
56
58
61
58
61
64
61
64
68
63
67
71
66
70
74
69
73
77
72
76
81
74
79
84
77
82
87
80
85
91
10
56
57
59
59
60
62
61
63
66
64
67
69
67
70
73
70
73
77
73
76
80
76
80
84
79
83
88
82
87
92
85
90
95
89
93
99
92
97
103
95
100
107
11
67
68
70
70
72
74
73
75
78
76
79
82
80
83
86
83
86
90
86
90
94
90
94
98
93
98
103
97
101
107
100
105
111
104
109
115
107
113
119
111
117
124
12
80
81
83
83
84
87
86
88
91
90
92
96
93
96
100
97
100
105
101
105
109
105
109
114
108
113
118
112
117
123
116
121
128
120
126
132
124
130
137
128
134
142
13
93
94
96
96
98
101
100
102
105
104
107
110
108
111
115
112
116
120
116
120
125
120
125
130
125
129
135
129
134
140
133
139
145
137
143
150
142
148
155
146
153
160
14
107
109
110
111
113
116
115
117
121
119
122
126
123
127
131
128
132
137
132
137
142
137
142
147
142
147
153
146
152
158
151
157
164
156
162
169
161
167
175
165
172
180
15
122
124
126
126
128
131
131
133
137
135
139
143
140
144
148
145
149
154
150
154
160
155
160
166
160
165
172
165
171
178
170
176
184
175
182
189
180
187
195
185
193
201
n1
31
A.7
Quantile der Kruskal–Wallis Verteilungen
Tabelle A.7: Kruskal–Wallis–Test;
kritische Werte h3;(n1 ,n2 ,n3 );1−α
n
n1
n2
h3;(n1 ,n2 ,n3 );1−α
n3
α = 0.10
α = 0.05
7
1
1
2
2
3
2
4
3
3
4.50
4.57
4.50
4.82
5.14
4.71
8
1
1
2
2
2
3
2
3
5
4
4
3
4.20
4.06
4.46
4.56
5.00
5.21
5.13
5.14
9
1
1
2
2
3
3
4
2
3
3
5
4
5
4
3
4.02
4.07
4.37
4.51
4.62
4.87
4.87
5.04
5.40
5.60
10
1
2
2
3
4
3
4
3
5
5
4
4
3.96
4.49
4.55
4.70
4.86
5.11
5.24
5.72
11
1
2
3
3
5
4
3
4
5
5
5
4
4.04
4.52
4.41
4.48
4.91
5.27
5.52
5.58
12
2
3
4
5
4
4
5
5
4
4.51
4.52
4.50
5.25
5.63
5.65
13
3
4
5
4
5
5
4.55
4.62
5.63
5.62
14
4
5
5
4.52
5.64
15
5
5
5
4.56
5.66
32
A.8
Quantile der Einstichproben Kolmogorov–Smirnov–Verteilungen
Tabelle A.8: Einstichproben Kolmogorov–Smirnov Verteilungen;
(1)
kritische Werte dn;1−α
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
n
dn;0.80
dn;0.90
dn;0.95
dn;0.98
dn;0.99
5
8
10
20
40
> 40
1.00
1.01
1.02
1.04
1.05
1.08
1.14
1.16
1.17
1.19
1.20
1.23
1.26
1.28
1.29
1.31
1.33
1.36
1.40
1.43
1.45
1.47
1.49
1.52
1.50
1.53
1.55
1.57
1.59
1.63
33
A.9
Quantile der Zweistichproben Kolmogorov–Smirnov–Verteilungen
Tabelle A.9: Zweistichproben Kolmogorov–Smirnov Verteilungen (n = nX = nY );
(2)
kritische Werte dn;1−α
α
n
0.20
0.10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
7
11
16
22
28
36
3
4
6
9
13
17
22
28
34
0.05
4
5
7
10
14
18
23
28
33
40
0.02
0.01
5
6
9
11
15
18
22
27
32
37
5
6
8
10
13
16
20
24
28
33
38
n > 40
1.527
√
n
√
1.739 n
1.923
√
n
2.150
√
n
2.305
√
n
Tabelle A.10: Zweistichproben Kolmogorov–Smirnov Verteilungen;
(2)
kritische Werte dnX ,nY ;1−α
α
0.20
0.10
0.05
n(1)
n(2)
(2)
dn(1) ,n(2) ;1−α
2–4
5–40
5–15
5–40
sonst
1.02
1.03
1.08
2–3
3–12
4–8
5–9
4–16 10–20
sonst
1.10
1.12
1.16
1.23
2–4
3–15
5–16
6–20
sonst
1.22
1.30
1.36
Festsetzung: n(1) < n(2)
34