Lagrangeformalismus in der klassischen Feldtheorie
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Lagrangeformalismus in der klassischen Feldtheorie Franz Embacher Seminar Ausgewählte Probleme der Quantentheorie, WS 2013/14 Allgemeiner Lagrangeformalismus für Felder Raumzeit-Koordinaten x Μ º Jt, x N ® Abkürzung: ¶Μ º (Μ = 0, ... 3; räumliche Indizes: j = 1, 2, 3) ¶ ¶x Μ Klassische Felder: Φa º Φa HxL (a = 1, ... n) Abkürzung: Φa,Μ º ¶Μ Φa º ¶ Φa ¶x Μ Einsteinsche Summenkonvention: über zweifach auftretende Indizes wird summiert. Lagrangedichte: L º LHΦ, ¶ΦL Allgemeine Variation der Lagrangedichte (für beliebige ∆Φa ): ∆L = ¶L ¶Φa ∆Φa + = ¶L ¶Φa ¶L ¶Φa,Μ ∆Φa + ∆Φa,Μ = ¶ ¶x Μ = B ¶L ¶Φa K ¶ ¶x Μ ¶L ¶Φa,Μ K ¶L ¶Φa ∆Φa + ∆Φa O - B ¶L ¶ ¶Φa,Μ ¶x Μ ¶ ¶x Μ K ∆Φa = ¶L OF ∆Φa ¶Φa,Μ ¶L OF ∆Φa + ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ ¶Φa,Μ = ∆Φa O Wirkungsprinzip (Herleitung der Feldgleichungen): S = Ù d4 x L ∆S = Ù d 4 x ∆L = à d 4 x :B ¶L ¶Φa = à d 4 x B ¶L ¶Φa ¶ ¶x Μ K ¶ ¶x Μ K ¶L OF ∆Φa + ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ ¶Φa,Μ ¶L OF ∆Φa + à ¶Φa,Μ dS Μ K ¶L ¶Φa,Μ ∆Φa O ∆Φa O> = Der letzte Tern ist ein Randintegral. Die Wirkung ist stationär (∆S = 0) für Variationen ∆Φa , die im Unendlichen (oder am Rand des betrachtenen Raumzeit-Bereichs) verschwinden, aber ansonsten (bis auf ausreichende DIfferenzierbarkeit) beliebig sind, wenn ¶ ¶x Μ J ¶Φ¶L N = a,Μ ¶L ¶Φa ... Feldgleichungen Noether-Theorem (Symmetrien und Erhaltungsgrößen) - einfache Version: Sei L invariant unter einer (infinitesimalen) Familie von Transformationen der Form ∆Φa = Ε Ma b Φb (M = n ´ n-Matrix, Ε = infinitesimaler Parameter). 2 Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb Noether-Theorem (Symmetrien und Erhaltungsgrößen) - einfache Version: Sei L invariant unter einer (infinitesimalen) Familie von Transformationen der Form ∆Φa = Ε Ma b Φb (M = n ´ n-Matrix, Ε = infinitesimaler Parameter). Dann 0 = ∆L = B ¶L ¶Φa ¶ ¶x Μ K ¶L OF ∆Φa + ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ ¶Φa,Μ ∆Φa O. Falls die Φa die Feldgleichungen erfüllen, verschwindet der @D-Term. Damit reduziert sich die Aussage auf 0 = ∆L = ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ ∆Φa O = Ε ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ Ma b Φb O für alle Ε, d.h. auf die “Kontinuitätsgleichung” ¶Μ nΜ = 0 mit ¶L ¶Φa,Μ nΜ = Ma b Φb (Noether-Stromdichte) oder, in Raum- und Zeitkomponenten n Μ º Jn0, nN aufgespaltet: ® ¶ ¶t ® n0 + div n = 0. Konstruktion der zugehörigen Erhaltungsgröße: Integriere über ein beliebiges 3Volumen V: 3 ÙV d x ¶ ¶t n0 + ÙV d 3 x div n = 0 ® Ziehe die Zeitableitung aus dem ersten Integral und wende auf das zweite den Satz von Gauß an: d 3 Ù d dt V x n0 = - Ù¶V d S n ®® ® Daher Interpretation: n0 = Dichte einer Erhaltungsgröße, n = zugehörige Stromdichte. Die in V enthaltene “Noether-Ladung” (Erhaltungsgröße) ist gegeben durch 3 0 ÙV d x n . Sie kann sich nur ändern, wenn ein entsprechender “Noether-Strom” durch die Oberfläche von V fließt. Anmerkung: Sind auch Raumzeit-Symmetrien (z.B. Poincarétransformationen, d.h. Lorentztransformationen und raumzeitliche Translationen) involviert, so ist die Konstruktion einer erhaltenen Noetherstromdichte ein bisschen komplizierter, da dann auch die Änderungen der Felder durch die Variationen der Argumente (∆xΜ ) berücksichtigt werden müssen. In diesen Fällen ist nicht L invariant, sondern nur das Wirkungsintegral S. So ergibt sich beispielsweise als Folge einer raumzeitlichen Translationsinvarianz (∆xΜ = Ε a Μ ) mit ∆Φ = Ε a Μ ¶Μ Φa und ∆L = Ε a Μ ¶Μ L die abgeänderte Argumentation Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb 3 Anmerkung: Sind auch Raumzeit-Symmetrien (z.B. Poincarétransformationen, d.h. Lorentztransformationen und raumzeitliche Translationen) involviert, so ist die Konstruktion einer erhaltenen Noetherstromdichte ein bisschen komplizierter, da dann auch die Änderungen der Felder durch die Variationen der Argumente (∆xΜ ) berücksichtigt werden müssen. In diesen Fällen ist nicht L invariant, sondern nur das Wirkungsintegral S. So ergibt sich beispielsweise als Folge einer raumzeitlichen Translationsinvarianz (∆xΜ = Ε a Μ ) mit ∆Φa = Ε a Μ ¶Μ Φa und ∆L = Ε a Μ ¶Μ L die abgeänderte Argumentation Ε a Μ ¶Μ L = ∆L = ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ ∆Φa O = Ε aΝ ¶Μ K so dass nun die Kontinuitätsgleichung aΝ ¶Μ K ¶L ¶Φa,Μ folgt, wobei T Μ Ν = Φa,Ν - ∆Μ Ν LO º aΝ ¶Μ T Μ Ν = 0 ¶L ¶Φa,Μ ¶L ¶Φa,Μ Φa,Ν O, für alle a Μ Φa,Ν - ∆Μ Ν L der Energie-Impuls-Tensor ist und die Gleichung ¶Μ T ΜΝ = 0 die Erhaltung des Viererimpulses (d.h. für Ν = 0 die Erhaltung der Feld-Energie und für Ν = 1, 2, 3 die Erhaltung des Feld-Impulses) ausdrückt. Im Fall von Lorentztransformationen (∆xΜ = Ε a Μ Ν mit a Μ Ν = -aΝ Μ ) muss zusätzlich das konkrete Transformationsverhalten der Felder (das sich für skalare Felder, Spinorfelder und Vierervektorfelder unterscheidet) berücksichtigt werden und führt auf die Erhaltung des Viererdrehimpulses. Elektromagnetisches Feld + massives Dirac-Feld Klassische Felder: A Μ (Vierervektor), Ψ (Dirac-Spinor) Abkürzung: F Μ Ν = ¶Μ AΝ - ¶Ν A Μ º -FΝ Μ (elektromagnetischer Feldtensor) A Μ º KΦ, AO ® (Viererpotential: skalares Potential + Vektorpotential) Elektrisches Feld: E j = F0 j = -F0 j Magnetfeld: B j = - 1 Ε j k l Fk l , F j k = -Ε j k l Bl (Ε123 = Ε123 = 1) 2 ΜΝ Indexziehen mit Η Μ Ν und Η , beide numerisch gleich diagH1, -1, -1, -1L Lagrangedichte: L = - 1 F Μ Ν F Μ Ν + ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Ψ Γ Μ Ψ º LF + LΨ + LKopplung - - 4 Gamma-Matrizen: 0 Σj 1 0 Γ0 = , Γj = , Σ j = Pauli-Matrizen. 0 -1 -Σ j 0 Sie erfüllen Γ Μ ΓΝ + ΓΝ Γ Μ = 2 Η Μ Ν 1 (Clifford-Algebra) und IΓ0M = Γ0, IΓ j M = -Γ j . † † - Mit der Dirac-konjugierten Ψ º Ψ† Γ0 gilt daher allgemein JΨ1 Ψ2N = Ψ2 Ψ1 und JΨ1 Γ Μ Ψ2N = Ψ2 Γ Μ Ψ1, folglich sind Ψ Ψ und Ψ Γ Μ Ψ reell. - * - - * - - - 4 Gamma-Matrizen: 0 Σj 1 0 Γ0 = , Γj = , Σ j = Pauli-Matrizen. Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb 0 -1 -Σ j 0 Sie erfüllen Γ Μ ΓΝ + ΓΝ Γ Μ = 2 Η Μ Ν 1 (Clifford-Algebra) und IΓ0M = Γ0, IΓ j M = -Γ j . † † - Mit der Dirac-konjugierten Ψ º Ψ† Γ0 gilt daher allgemein JΨ1 Ψ2N = Ψ2 Ψ1 und JΨ1 Γ Μ Ψ2N = Ψ2 Γ Μ Ψ1, folglich sind Ψ Ψ und Ψ Γ Μ Ψ reell. - - * - - * - - Die Elementarladung e spielt hier die Rolle einer Kopplungskonstante. Herleitung der Feldgleichungen aus dem Wirkungsprinzip: ∆L = -I¶Μ ∆AΝ M F Μ Ν + ∆ ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ + ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM ∆Ψ - - - - - - e ∆A Μ Ψ Γ Μ Ψ - e A Μ ∆ Ψ Γ Μ Ψ - e A Μ Ψ Γ Μ ∆Ψ = = ∆AΝ B¶Μ F Μ Ν - e Ψ ΓΝ ΨF + ∆ Ψ AIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Γ Μ ΨE - - +BΨ J-i ¶Μ Γ Μ - mN - e A Μ Ψ Γ Μ F ∆Ψ - - + ¶Μ B-∆AΝ F Μ Ν + i Ψ Γ Μ ∆ΨF - Daher lauten die Feldgleichungen (“Maxwell-Dirac-Gleichungen”): - ¶Μ F Μ Ν º ¶Μ ¶Μ AΝ - ¶Ν ¶Μ A Μ = e Ψ ΓΝ Ψ º j Ν ... Maxwell-Gleichungen mit Dirac-Stromdichte als Quellterm Ii Γ Μ ¶Μ -mM Ψ = e Γ Μ A Μ Ψ ... Dirac-Gleichung mit Kopplung an das elektromagnetische Feld Bemerkung: Die zur Dirac-Gleichung Dirac-konjugierte (äquivalente) Gleichung lautet: Ψ J-i ¶Μ Γ Μ -m N = e Γ Μ A Μ Ψ. - - Bemerkung 1: Die homogenen Maxwellgleichungen ¶Μ FΝ Ρ + ¶Ν F Ρ Μ + ¶ Ρ F Μ Ν = 0 folgen automatisch aus F Μ Ν = ¶Μ AΝ - ¶Ν A Μ . Bemerkung 2: Obiges L ist nicht reell, unterscheidet sich aber von einer reellen Funktion nur durch eine Viererdivergenz, die keinen Einfluss auf die Feldgleichungen hat. Um ganz sauber vorzugehen, kann L durch 1 2 - den Anteil Ψ i Γ Μ ¶Μ Ψ durch 1 2 JΨ i Γ Μ ¶Μ Ψ + c.c.N = - 1 2 HL + L* L ersetzt werden, was bedeutet, JΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ΨN º - - 1 2 - Ψ i Γ Μ ¶Μ Ψ = reell zu ersetzen. Damit lautet die Rechnung zur Variation von L so (die Änderung zu vorher betrifft nur die ¶Μ Ψ-Terme): L= 1 2 ∆L = JΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ΨN + ... - 1 2 - J∆ ΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ + ΨIi Γ Μ ¶Μ M ∆Ψ - J¶Μ ∆ ΨN Hi Γ Μ L Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ∆ΨN + ... = - - = ∆ ΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ∆Ψ + - - insgesamt = - i 2 - ¶Μ BΨ Γ Μ ∆Ψ - ∆ Ψ Γ Μ ΨF + ... = - - ∆AΝ B¶Μ F Μ Ν - e Ψ ΓΝ ΨF + ∆ Ψ AIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Γ Μ ΨE - - +B-iJ¶ ΨN Γ Μ - Ψ m - e A Ψ Γ Μ F ∆Ψ - - - betrifft nur die ¶Μ Ψ-Terme): L= 1 2 ∆L = JΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ΨN + ... - 1 2 Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb - J∆ ΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ + ΨIi Γ Μ ¶Μ M ∆Ψ - J¶Μ ∆ ΨN Hi Γ Μ L Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ∆ΨN + ... = - - - = ∆ ΨIi Γ Μ ¶Μ M Ψ - J¶Μ ΨN Hi Γ Μ L ∆Ψ + - - insgesamt = i 2 - ¶Μ BΨ Γ Μ ∆Ψ - ∆ Ψ Γ Μ ΨF + ... = - - ∆AΝ B¶Μ F Μ Ν - e Ψ ΓΝ ΨF + ∆ Ψ AIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Γ Μ ΨE - - +B-iJ¶Μ ΨN Γ Μ - Ψ m - e A Μ Ψ Γ Μ F ∆Ψ - + ¶Μ B-∆AΝ F Μ Ν + i 2 Globale UH1L-Transformationen: - - J Ψ Γ Μ ∆Ψ - ∆ Ψ Γ Μ ΨNF - - AΜ ® AΜ Ψ ® e-i e Α Ψ, - - Ψ ® ei e Α Ψ daher lassen L invariant. Infinitesimale Version (Α = infinitesimaler Parameter): ∆A Μ = 0 - - ∆Ψ = -i Α e Ψ, daher ∆ Ψ = i Α e Ψ. Damit 0 = ∆L = BFeldgleichungstermeF + ¶Μ Bi Ψ Γ Μ ∆ΨF = Α e ¶Μ J Ψ Γ Μ ΨN, - - =0 womit sich die Noether-Stromdichte zu - nΜ = e Ψ Γ Μ Ψ ergibt. Sie ist gleich der elektromagnetischen Viererstromdichte j Μ , die zugehörige Erhaltungsgröße ist die elektrische Ladung. (Mit der reellen Version von L, siehe oben, lautet die Argumentation 0 = ∆L = BFeldgleichungstermeF + ¶Μ B i J Ψ Γ Μ ∆Ψ - ∆ Ψ Γ Μ ΨNF = Α e ¶Μ J Ψ Γ Μ ΨN, - - 2 =0 - führt also auf die gleiche Noether-Stromdichte n Μ = e Ψ Γ Μ Ψ.) Eichtransformationen (lokale UH1L-Transformationen): A Μ ® A Μ + ¶Μ ΑHxL Ψ ® e-i e ΑHxL Ψ, - - Ψ ® ei e ΑHxL Ψ daher Damit ist FΜ Ν ® FΜ Ν ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - Ψ ei e ΑHxL Ii Γ Μ ¶Μ -mM e-i e ΑHxL Ψ = - ® = ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ + e A¶Μ ΑHxLE Ψ Γ Μ Ψ - - - 5 A Μ ® A Μ + ¶Μ ΑHxL 6 Ψ ® e-i e ΑHxL Ψ, Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb - - Ψ ® ei e ΑHxL Ψ daher Damit ist FΜ Ν ® FΜ Ν ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ Ψ ei e ΑHxL Ii Γ Μ ¶Μ -mM e-i e ΑHxL Ψ = - - ® = ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ + e A¶Μ ΑHxLE Ψ Γ Μ Ψ - - e A Μ Ψ Γ Μ Ψ - e A¶Μ ΑHxLE Ψ Γ Μ Ψ - - e AΜ Ψ Γ Μ Ψ - - ® daher ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Ψ Γ Μ Ψ - - - Ψ Ii Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Ψ Γ Μ Ψ - ® und somit - L ® L Durch die Forderung nach Invarianz unter lokalen UH1L-Transformationen kann die Form von LKopplung motiviert werden. Oft werden die Anteile ΨIi Γ Μ ¶Μ -mM Ψ - e A Μ Ψ Γ Μ Ψ - - in der Form ΨIi Γ Μ D Μ - mM Ψ - mit D Μ = ¶Μ +i e A Μ (“kovariante Ableitung”) zusammengefasst. Unter einer lokalen UH1L-Transformation gilt D Μ Ψ ® e-i e ΑHxL D Μ Ψ. Der A Μ -Anteil in D Μ kompensiert also genau die durch ¶Μ bewirkte Ableitung ¶Μ ΑHxL. Die an das elektromagnetische Feld gekoppelte Dirac-Gleichung lautet damit Ii Γ Μ D Μ - mM Ψ = 0, die Lagrangedichte des Gesamtsystems ist gleich L = - 1 F Μ Ν F Μ Ν + ΨIi Γ Μ D Μ - mM Ψ - 4 (ihre Eichinvarianz ist jetzt offensichlich oder “manifest”) oder, in der reellen Variante, L = - 1 FΜ Ν F Μ Ν + 4 1 2 ΨJi Γ Μ D Μ - mN Ψ. - Generell ist das Rezept, eine freie Feldtheorie an das elektromagnetische Feld zu koppeln, 1. LF = - 1 F Μ Ν F Μ Ν zur Lagrangedichte zu addieren und 4 2. in der Lagrangedichte der Felder ¶Μ durch D Μ = ¶Μ +i e A Μ zu ersetzen (“minimale Kopplung”). Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb 7 Generell ist das Rezept, eine freie Feldtheorie an das elektromagnetische Feld zu koppeln, 1. LF = - 1 F Μ Ν F Μ Ν zur Lagrangedichte zu addieren und 4 2. in der Lagrangedichte der Felder ¶Μ durch D Μ = ¶Μ +i e A Μ zu ersetzen (“minimale Kopplung”). Alternative Logik: 1. Gehe aus von der Lagrangedichte des freien Dirac-Feldes. 2. Beobachte die globale UH1L-Symmetrie. 3. Möchte die globale UH1L-Symmetrie zu einer lokalen UH1L-Symmetrie (Eichsymmetrie) erweitern. 4. Muss dazu ein Feld A Μ einführen (“Eichfeld”), das die ¶Μ Α-Terme kompensiert. 5. Das Ergebnis ist die hier betrachtete Lagrangedichte mit den Feldern Ψ und A Μ . Diese Logik wird auch für nicht-abelsche Symmetrien (SUH2L bzw. SUH2L ´ SUH3L) angewandt und führt - mit einer entsprechenden Verallgemeinerung des A Μ -Feldes - auf die Struktur der elektroschwachen und der starken Wechselwirkung mit “Eichbosonen” (W- und Z-Bosonen bzw. Gluonen) als “Austauschteilchen” dieser Wechselwirkungen. Mit Hilfe der lokalen UH1L-“Eichfreiheit” können “Eichbedingungen” verlangt werden, z.B. die Lorenz-Eichung ¶Μ A Μ = 0, mit der sich die Maxwell-Gleichungen (mit ¶Μ ¶Μ º á) zu á AΝ = j Ν - (mit j Ν = e Ψ ΓΝ Ψ) vereinfachen. (Die Lorenz-Eichung ist nach Ludvig Lorenz benannt, nicht nach Hendrik Lorentz, daher das fehlende “t”.) ® Eiune andere Eichbedingung ist die Coulomb-Eichung div A = 0. Sie besitzt den Vorteil, dass das skalare Potential A0 durch eine Integration durch j 0 ausgedrückt werden kann (die 0-Gleichung lautet óA0 = - j 0, daher A Jt, x N = á d x' 0 ® 3 j 0 Jt,x 'N ® ® ® ) und daher als unabhängige Variable verschwindet. 4 Π x -x ' Welche Eichbedingung in der Praxis verwendet wird, ist Bequemlichkeits- und Geschmackssache. Literatur zur Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik: à http://www.e12.ph.tum.de/stud/vorlesungen/kruecken/KT-Skript/14-QED.pdf (geht aber nicht auf die Eichsymmetrie ein) und à http://www.phys.ethz.ch/~mrg/QFT/QFT.pdf à http://wwwkph.kph.uni-mainz.de/T/members/meyer/TPV/2013/noether.pdf 8 à http://www.e12.ph.tum.de/stud/vorlesungen/kruecken/KT-Skript/14-QED.pdf (geht aber nicht auf die Eichsymmetrie ein) und à http://www.phys.ethz.ch/~mrg/QFT/QFT.pdf à http://wwwkph.kph.uni-mainz.de/T/members/meyer/TPV/2013/noether.pdf Lagrangeformalismus_Feldtheorie.nb