Differentialgleichungen I

Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. P. Wittbold
Wintersemester 2004/05
Differentialgleichungen I
1. Tutorium
Aufgabe 1 T
Gegeben sei eine Differentialgleichung:
y (n) = f (x, y, y 0 , y (2) , . . . , y (n−1) )
(1)
mit einer Funktion f : D ⊂ IRnN +1 → IRN . Zeigen Sie:
(i) Ist f stetig auf D, und u : I ⊂ IR → IRN , I Intervall, ist eine Lösung von (1), dann ist u
n-mal stetig differenzierbar auf I.
(ii) Ist f k-mal (stetig) differenzierbar auf D, k ∈ IN, und u : I → IRN ist eine Lösung von (1),
dann ist u k + n-mal (stetig) differenzierbar auf I.
Aufgabe 2 T
Gegeben sei die lineare Differentialgleichung
y
(n)
=
n−1
X
Ak (x)y (k) + g(x)
(2)
k=0
mit Funktionen (Koeffizientenmatrizen) Ak : I → IRN ×N und (Inhomogenität) g : I → IRN , I ⊂ IR
Intervall.
Zeigen Sie:
(i) Wenn v : I → IRN Lösung von (2) für die Inhomogenität g = g1 , w : I → IRN Lösung von
(2) für die Inhomogenität g = g2 , dann ist, für alle λ, µ > 0, die Linearkombination λu + µv :
I → IRN eine Lösung von (2) für die Inhomogenität g = λg1 + µg2 (Superpositionsprinzip für
lineare Gleichungen).
(ii) Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass das Superpositionsprinzip i.a. nicht gilt für beliebige
(nicht lineare) Differentialgleichungen.
Aufgabe 3 T
Gegeben sei das AWP
y 0 = f (x, y),
y(x0 ) = y0
(3)
mit einer (beliebigen) Funktion f : D ⊂ IRN +1 → IRN . Sei weiter u : I ⊂ IR → IRN eine Lösung
von AWP (3).
Zeigen Sie:
Wenn jedes der Anfangswertprobleme
y 0 = f (x, y),
y(ξ) = η,
(ξ, η) ∈ D
lokal eindeutig lösbar ist, dann ist das AWP (3) global eindeutig auf I lösbar und u ist die eindeutige Lösung des AWP (3) auf I.
Aufgabe 4 T
Lösen Sie das folgende AWP für eine logistische Differentialgleichung
y 0 = αy(K − y),
y(0) = y0
(4)
mit α, K > 0 und Anfangswert y0 ≥ 0 beliebig.
Welche qualitativen Aussagen kann man über das Verhalten der Lösungen von (4) machen?
Aufgabe 5 T
Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem
y 0 = x3 − xy,
y(0) = 2
(5).
Begründen Sie, weshalb das AWP global eindeutig auf IR lösbar ist.
Aufgabe 6 T
Eine Differentialgleichung vom Typ
y
(6)
y0 = f ( )
x
mit einer Funktion f : J → IR, J ⊂ IR Intervall, heisst homogen.
Mit Hilfe der Variablensubstitution u = xy kann (6) in eine Differentialgleichung vom Typ
u0 =
f (u) − u
x
(60 )
umgeformt werden.
Man löse mit Hilfe dieser Methode das AWP
y0 = 1 +
y2
,
x2
1
y(1) = .
2
Aufgabe 7 T
Eine Differentialgleichung vom Typ
y 0 = f (a + bx + cy)
(7)
mit einer Funktion f : J → IR, J ⊂ IR Intervall, Parametern a, b, c ∈ IR, c 6= 0, kann mit Hilfe der
Variablensubstitution u = a + bx + cy in die Differentialgleichung vom Typ
u0 = b + cf (u)
(70 )
umgeformt werden.
Lösen Sie mit Hilfe dieser Methode das AWP
y 0 = cos(x + y),
y(0) = 0.